测圆海镜/卷03

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边股一十七问

或问：乙出东门南行不知步数而立，甲出西门南行四百八十步望见乙，复就乙行五百一十步与乙相会。问答同前。法曰：倍相减步，以乘二之甲南行步为平方实，得城径。

草曰：识别得二行相减馀三十步，即乙出东门南行步也，倍相减步得六十步，以乘二之甲南行步九百六十步，得五万七千六百步为平方实。如法开之，得二百四十步即城径也。合问。

或问：甲出西门南行四百八十步而止，乙从艮隅东行八十步望见甲。问答同前。

法曰：倍南行步，以东行步乘之为实，东行步为从方，一步常法。得全径。

草曰：立天元一为圆径，以减于二之甲南行步，得�为两个大差也。以乙东行步乘之，得�为圆径幂（寄左）。然后以天元幂与左相消，得�。以平方开之，得二百四十步即城径也。合问。

又法：半之乙东行步乘南行步为实，半乙东行步为从，一步常法。得半径。

草曰：立天元一为半城径，减甲南行步，得�为大差也。以半之东行步乘之，得�即半径幂（寄左）。然后以天元幂为同数，与左相消得�。开平方得一百二十步，倍之即城径也。合问。

或问：甲出西门南行四百八十步而止，乙从艮隅亦南行一百五十步望见甲。问答同前。法曰：两行步相乘为实，南行步为从方，一为隅。得半径。

草曰：立天元一为半城径，以减乙南行步，得�为半梯头；以甲行步为梯底，以乘之，得�为半径幂（寄左）。然后以天元幂与左相消，得�。开平方得一百二十步，倍之即城径也。合问。

或问：甲出西门南行四百八十步，乙出东门直行一十六步望见甲。问答同前。

法曰：以四之东行步乘南行幂为实，从空，东行为廉，一步为隅法。得全径。

草曰：立天元一为圆径，加乙东行步，得�为中勾，其甲南行即中股也。置东行步为小勾，以中股乘之，得�太，合以中勾除。今不受除，便以为小股也（内寄中勾分母）。乃复以中股乘之，得三百六十八万六千四百，又四之，得一千四百七十四万五千六百为一段圆径幂（寄中勾分母。寄左）。然后以天元径自之，又以中勾乘之，得�为同数，与左相消得�。以立方开之，得二百四十步为城径也。合问。

或问：乙出南门东行七十二步而止，甲出西门南行四百八十步，望乙与城参相直。问答同前。

法曰：以乙东行幂乘甲南行为实，乙东行幂为从方，甲南行步内减二之东行步为益廉，一步常法。得半径。

草曰：立天元一为半城径，以减南行步，得�为小股；又以天元加乙东行，得�为小勾。又以天元加南行步，得�为大股。乃置大股在地，以小勾乘之，得下式�，合以小股除之。今不受除，便以为大勾（内寄小股分母）。又置天元半径，以分母小股乘之，得�，以减大勾，得�为半个梯底于上。以乙东行七十二步为半个梯头，以乘上位，得�为半径幂（内寄小股分母。寄左）。然后置天元幂，又以分母小股乘之，得�为同数，与寄左相消得�。以立方开之，得一百二十步，倍之即城径也。合问。

又法曰：以云数相乘为实，相减为从，一虚法，平开得半径。

草曰：别得二数相并为大股内少一虚勾，其二数相减为大差弦也。立天元一为半径，副置之。上位减于四百八十，得�为股圆差（即大差股也）。下位加七十二，得�为大差勾。勾股相乘得下式�为一段大差积（寄左）。再以大差勾减于大差股，馀�为较，又加入大差弦四百单八，共得�为弦较共也。以天元乘之，得� 为同数，与左相消得�。以平方开之得一百二十步，即半径。合问。

前法太烦，故又立此法以就简也。

或问：乙出南门东行不知步数而立，甲出西门南行四百八十步望见乙，与城参相直。又就乙行四百○八步与乙相会。问答同前。

法曰：二行步相减以乘甲南行步为实，甲南行步内减相减步为益方，一步常法。得半径。

草曰：识别得二行相减馀七十二步，即是乙出南门东行数也，更不须用弦。遂立天元一为半城径，加乙东行，得�为小勾也。副置南行步，上减天元，得� 为小股；下加天元，得�为大股。乃置大股以小勾乘之，得下式�，合以小股除之。今不受除，便以此为大勾也（内带小股分母）。又倍天元，以小股乘之得下式 �，以减于大勾，得�为勾圆差也。合以股圆差乘之，缘此勾圆差内已带小股分母（小股即股圆差也），更不须乘，便以此为半段黄方幂（更无分母也。寄左）。乃以天元自之，又倍之为同数，与左相消得�。以平方开之，得一百二十步，倍之即城径也。合问。

或问：乙出东门直行不知步数而止，甲出西门南行四百八十步望见乙，复就乙斜行五百四十四步与乙相会。问答同前。

法曰：半南行步减半斜行步，以乘南行幂为实，从方空，半斜行半南行相减，得数加入南行步为隅法。得半径。

草曰：识别得二行相减馀六十四步，即半径为股之勾也。立天元为半径，就以为小股，其二行相减馀六十四步即小勾也。乃置甲南行步加天元，得下式�为大股，以小勾乘之得�，又以小股除之得�为大勾。又倍天元一减之，得下式�为勾圆差也，半之得�于上。乃以天元减甲南行步，得�为股圆差，以乘上位得�为半径幂（寄左）。然后以天元幂与左相消，得下式�。以平方开之得一百二十步，倍之即城径也。合问。

又法：以二数差乘二数并，开方得边勾，复以边股乘之为实，并二数而半之为法，实如法得二百四十步，即城径（此盖用前勾上容圆法也）。

或问：乙从干地东行，不知几步而止，甲出西门南行四百八十步望见乙，复就乙斜行六百八十步与乙相会。问答同前。

法曰：并二行数以二行差乘之，内减二行差幂为实，并二行步及二行差为从方，二步常法。得半径。

草曰：识别得二行相减馀二百步，即半圆径与小差共数也。立天元一为半城径，加于二百步得�为大勾也。又以天元加于甲南行四百八十步，得�即大股也。乃以大勾自之，得�为勾幂（寄左）。乃置甲斜行六百八十步为大弦，加入大股，共得�于上。再置二行差内减天元，得�为小差，以乘上位，得�为同数，与左相消得�。以平方开之得一百二十步，倍之即城径也。合问。

又法：求小差：二行相减以自之，又四之为实；二行相减，八之于上，二之南行步内减二之二行相减数，又以加上位为益方；二步常法。

草曰：立天元一为小差，减二行差得�为半城径，以自之得�，又四之得�为圆径幂（寄左）。然后以半城径减于甲南行，得�，又倍之得�为两个大差也，又以天元乘之得�为同数，与左相消得下式�。以平方开之，得八十步为小差也。

或问：乙出南门不知步数而立，甲出西门南行四百八十步，望乙与城参相直，复就乙斜行二百五十五步与乙相会。问答同前。

法曰：甲南行内减二之两行差，馀以乘甲南行，又倍之为实，二步为隅。得半径。

草曰：别得二行步相减，馀二百二十五步乃是半径为勾之股也。立天元一为半城径，就以为小勾率，其二行差二百二十五步即为小股率。乃置甲南行步加入天元，得�为大股，以天元小勾乘之，得�，合以小股除。今不受除，便以此为大勾（内寄小股为母）。乃倍天元，以小股乘之得�元，以减大勾，馀�为一个小差于上（内寄小股分母）。乃以天元减甲南行步，得�为大差也，以乘上位得�，又倍之得�为圆径幂（内寄小股分母。寄左）。然后倍天元以自之，又以小股乘之，得 �为同数，与左相消得�。以平方开之得一百二十步，倍之即城径也。合问。

或问：乙出南门直行一百三十五步而止，甲出西门南行四百八十步，望乙与城参相直。问答同前。

法曰：二行步相减馀以自乘，内减乙行幂为实，二之甲南行为益从，一步常法。得半径。

草曰：立天元一以为半径，便以为勾率；又以天元加乙行步，并以减于甲行步，得�为股率。乃置乙南行步一百三十五步为小股，以勾率乘之得�元，合以股率除之。今不受除，乃便以此为小勾（内寄股率分母）。又置乙南行步，加二天元，得�为大股，以勾率乘之得�，合以股率除之。今不受除，便以此为大勾（内寄股率分母）。以小勾大勾相乘，得�为半径幂（内带股率幂为分母。寄左）。然后置天元以自乘，又以股率幂乘之，得�为同数，与左相消得�。以平方开之得一百二十步，倍之即城径也。合问。

或问：甲乙二人同出西门向南行，至西南十字道口分路。乙折东行一百九十二步而立，甲又南行，甲通行四百八十步，望乙与城参相直。问答同前。

法曰：两行相乘得数，又以乙东行乘之为实，二行相乘于上位，又置乙东行以二行相减数乘之，得数加上位为法。

草曰：立天元一为半城径，副之。上位加甲行步，得�为大股也；下位减于甲行步，得�为小股也；其乙东行即小勾也。置大股以小勾乘之，得�（内寄小股 �为母）。便以为大勾也。置天元以母通之，得�，减于大勾，得�为半个矮梯底于上，再置乙东行内减天元，得下式�为半个矮梯头，以乘上位得下式�为半径幂（寄左）。再置天元以自之为幂，又以分母乘之，得�为如积，与左相消得�。上法下实，得一百二十步，即城之半径也。合问。

又法：二行步相乘为实，倍甲南行内减乙东行为法。

草曰：立天元一为半城径，副之。上位加甲南行，得�为大股；下位减甲行步，得�为小股，便是股圆差也。其乙东行即小勾也。置大股以小勾乘之，得�，内寄小股�为母，便以为大勾也。再置天元以二之，又以分母乘之，得�为全径。以减于大勾，馀�为勾圆差也。合以股圆差乘之，缘内已有小股分母，不须更乘，便以此为两段之半径幂也，更无分母（寄左）。然后置天元幂以二之，得�为如积，以左相消得�。上法下实，得一百二十步即半城径也。合问。

或问：见边股四百八十步，叀弦三十四步。问答同前。

法曰：叀弦乘边股，半之为实，半叀弦半边股相并为从，半步隅法。开平方，得叀股�。

草曰：立天元一为叀股，加叀弦得�，为平勾也。又以天元减边股而半之，得�为高股也。平勾高股相乘，得�为半径幂（寄左）。然后以天元乘边股为同数，与左相消得下式�。开平方得叀股三十步，以乘边股，开平方倍之即圆径也。合问。

或问：见边股四百八十，明弦一百五十龋粒保问答同前。

法曰：二云数相减复倍之，内减边股，复以边股乘之于上；又以明弦幂乘上位为实，以边股乘明弦幂又二之为从；二云数相减馀以自之为第一廉，二云数相减又倍之为第二益廉，一常法。开三乘方，得明勾�。

草曰：立天元一为明勾，加明弦得�为高股也。以高股减边股，馀�为高弦，以倍之得�为黄广弦也。内却减边股，得�为叀股，复以边股乘之，得�于上。又以明弦自乘，得二万三千四百○九为分母，以乘上位得�为带分半径幂（寄左）。然后置黄广弦，以天元乘之，得�。复合以明弦除之，不除，寄为母，便以此为全径。又半之，得�为半径，以自之得�为同数，与左相消得下式�。开三乘方得七十二步，即明勾也。馀各依法入之。合问。

又法：边股内减二明弦，复以边股乘之，复以明弦幂乘之为三乘方实。廉从并与前同。

草曰：识别得二数相减馀�为高股虚弦共，又为高弦明勾共。此馀数内又去半径即明和也。明和明弦相并即股圆差，相减则明黄方也。又倍明弦加明黄亦得股圆差也。边股内减明勾馀即大差弦也。立天元一为明勾，减于云数相减数，得�即高弦也。以高弦减边股得�即高股也，以高股减于云数相减数，得�即虚弦也。以天元又减虚弦，得�即叀股也。乃置高弦，以天元乘之，得�，合明弦除。不受除，便以此为高勾也（即半径）。高勾自之，得�为半径幂（内带明弦幂分母。寄左）。然后置边股以叀股乘之，得�为半径幂；又以明弦幂二万三千四百○九分母通之，得�为同数，与左相消得实、从、廉、隅五层，一如前式。

或问：边股四百八十步，高弦二百五十五步。问答同前。法曰：以边股减于二之高弦，复以边股乘之。开平方，得半径。

草曰：立天元一为半径。先倍高弦，内减边股馀�，复以边股乘之，得�（寄左）。以天元幂与左相消，得�。开平方得数，倍之即城径也。合问。

或问：边股四百八十步，平弦一百三十六步。问答同前。

法曰：置平弦以边股再乘之为实，以边股自之为益从，平弦为益廉，一虚隅。开立方，得半径。

草曰：别得平弦即皇极勾也。立天元一为半径，副之。上位加平弦，得�即边勾也；下位减于平弦，得�即叀勾也。置叀勾以边股乘之，得�，合边勾除。今不受除，寄为母，便以此为叀股。乃以此边股乘之，得�为半径幂（内带边勾分母。寄左）。然后以天元为幂，以分母边勾乘之，得�为同数，与左相消得 �。开立方得一百二十步，倍之即城径也。合问。

或问：边股四百八十步，明股明弦和二百八十八步。问答同前。

法曰：以二云数相减馀加边股，复以减馀乘之，讫。又折半于上，又以减馀自之，减上位为实，并云数半之为法。得明勾�。

草曰：别得二数相减馀�为大差勾。立天元一为明勾，减于大差勾，得�即半径也。又以天元减半径，得�为虚勾于上；又以半径加边股，得�为通股于下。上下相乘，得�。折半得�为半径幂（寄左）。然后以半径幂�为同数，与左相消得�。上法下实，得七十二步，即明勾也。合问。

或问：见边股四百八十步，叀勾叀弦和五十步。问答同前。

法曰：半边股、半和步相并得�为汛率。以汛率减边股，以自之，又二之于上，以和步乘汛率减上位为实，以汛率减边股六之于上，内又加半个边股、三个和步为益从，三步常法。得叀股�。

草曰：别得和步得叀股即小差也，小差边股共即二中差。立天元一为叀股，加和步得�即小差也。以小差加边股而半之，得�即中差也。中小差相并得 �即大差也。以小差乘之，得�为半段径幂（寄左）。然后置边股内减大差得�为半径，以自之，得�，又倍之得下式�。与左相消得下式�。开平方，得三十步即叀股也。合问。

法曰：和步乘边股，又以和步乘之为实；倍边股加和步，又以和步乘之为从；边股内减二之和步为益廉，一常法。开立方，得叀股�。

草曰：别得边勾边弦和内减和步即黄广勾弦和也。边股得叀股即黄广弦也。黄广勾即圆径。叀弦上三事和即小差。立天元一为叀股。以和步乘边股得 �，以叀股除之得�为边勾边弦和也。以和步减之，馀得下式�为黄广勾弦和也。以天元加边股得下式�为黄广弦，以减于黄广勾弦和，馀得下式�为圆径。倍边股得下�太，内减圆径得下式�为两个大差于上。又以和步加天元，得下式�为小差，以乘上位得�为径幂（寄左）。然后以天元乘边股，又四之得�为同数，与左相消得�。开立方得三十步，即叀股也。合问。