劉徽割圓術

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劉徽割圓術
作者:劉徽 曹魏
    此為劉徽於《九章算術》作註的其中一個註,原文是「半周半徑相乘得積步」

    術曰:半周半徑相乘得積步。

    按:半周為從,半徑為廣,故廣從相乘為積步也。假令圓徑二尺,圓中容六觚之一面,與圓徑之半,其數均等。合徑率一而外周率三也。

    又按:為圖,以六觚之一面乘一弧半徑,三之,得十二觚之冪。若又割之,次以十二觚之一面乘一弧之半徑,六之,則得二十四觚之冪。割之彌細,所失彌少。割之又割,以至於不可割,則與圓周合體而無所失矣。觚面之外,又有餘徑。以面乘餘徑,則冪出觚表。若夫觚之細者,與圓合體,則表無餘徑。表無餘徑,則冪不外出矣。以一面乘半徑,觚而裁之,每輒自倍。故以半周乘半徑而為圓冪。

    此一周、徑,謂至然之數,非周三徑一之率也。周三者,從其六觚之環耳。以推圓規多少之覺,乃弓之與弦也。然世傳此法,莫肯精核;學者踵古,習其謬失。不有明據,辯之斯難。凡物類形象,不圓則方。方圓之率,誠著於近,則雖遠可知也。由此言之,其用博矣。謹按圖驗,更造密率。恐空設法,數昧而難譬,故置諸檢括,謹詳其記註焉。

    割六觚以為十二觚術曰:置圓徑二尺,半之為一尺,即圓里觚之面也。令半徑一尺為弦,半面五寸為句,為之求股。以句冪二十五寸減弦冪,餘七十五寸,開方除之,下至秒、忽。又一退法,求其微數。微數無名知以為分子,以十為分母,約作五分忽之二。故得股八寸六分六釐二秒五忽五分忽之二。以減半徑,餘一寸三分三釐九毫七秒四忽五分忽之三,謂之小句。觚之半面又謂之小股。為之求弦。其冪二千六百七十九億四千九百一十九萬三千四百四十五忽,餘分棄之。開方除之,即十二觚之一面也。

    割十二觚以為二十四觚術曰:亦令半徑為弦,半面為句,為之求股。置上小弦冪,四而一,得六百六十九億八千七百二十九萬八千三百六十一忽,餘分棄之,即句冪也。以減弦冪,其餘開方除之,得股九寸六分五釐九毫二秒五忽五分忽之四。以減半徑,餘三分四釐七秒四忽五分忽之一,謂之小句。觚之半面又謂之小股。為之求小弦。其冪六百八十一億四千八百三十四萬九千四百六十六忽,餘分棄之。開方除之,即二十四觚之一面也。

    割二十四觚以為四十八觚術曰:亦令半徑為弦,半面為句,為之求股。置上小弦幕,四而一,得一百七十億三千七百八萬七千三百六十六忽,餘分棄之,即句冪也。以減弦冪,其餘,開方除之,得股九寸九分一釐四毫四秒四忽五分忽之四。以減半徑,餘八釐五毫五秒五忽五分忽之一,謂之小句。觚之半面又謂之小股。為之求小弦。其冪一百七十一億一千二十七萬八千八百一十三忽,餘分棄之。

    開方除之,得小弦一寸三分八毫六忽,餘分棄之,即四十八觚之一面。以半徑一尺乘之,又以二十四乘之,得冪三萬一千三百九十三億四千四百萬忽。以百億除之,得冪三百一十三寸六百二十五分寸之五百八十四,即九十六觚之冪也。割四十八觚以為九十六觚術曰:亦令半徑為弦,半面為句,為之求股。置次上弦冪,四而一,得四十二億七千七百五十六萬九千七百三忽,餘分棄之,即句冪也。以減弦冪,其餘,開方除之,得股九寸九分七釐八毫五秒八忽十分忽之九。

    以減半徑,餘二釐一毫四秒一忽十分忽之一,謂之小句。觚之半面又謂之小股。為之求小弦。其冪四十二億八千二百一十五萬四千一十二忽,餘分棄之。開方除之,得小弦六分五釐四毫三秒八忽,餘分棄之,即九十六觚之一面。以半徑一尺乘之,又以四十八乘之,得冪三萬一千四百一十億二千四百萬忽,以百億除之,得冪三百一十四寸六百二十五分寸之六十四,即一百九十二觚之冪也。以九十六觚之冪減之,餘六百二十五分寸之一百五,謂之差冪。倍之,為分寸之二百一十,即九十六觚之外弧田九十六所,謂以弦乘矢之凡冪也。加此冪於九十六觚之冪,得三百一十四寸六百二十五分寸之一百六十九,則出圓之表矣。故還就一百九十二觚之全冪三百一十四寸以為圓冪之定率而棄其餘分。以半徑一尺除圓冪,倍之,得六尺二寸八分,即周數。令徑自乘為方冪四百寸,與圓冪相折,圓冪得一百五十七為率,方冪得二百為率。方冪二百其中容圓冪一百五十七也。圓率猶為微少。

    案:弧田圖令方中容圓,圓中容方,內方合外方之半。然則圓冪一百五十七,其中容方冪一百也。又令徑二尺與周六尺二寸八分相約,周得一百五十七,徑得五十,則其相與之率也。周率猶為微少也。晉武庫中漢時王莽作銅斛,其銘曰:律嘉量斛,內方尺而圓其外,庣旁九釐五毫,冪一百六十二寸,深一尺,積一千六百二十寸,容十鬥。以此術求之,得冪一百六十一寸有奇,其數相近矣。此術微少。而觚差冪六百二十五分寸之一百五。以一百九十二觚之冪為率消息,當取此分寸之三十六,以增於一百九十二觚之冪,以為圓冪,三百一十四寸二十五分寸之四。置徑自乘之方冪四百寸,令與圓冪通相約,圓冪三千九百二十七,方冪得五千,是為率。方冪五千中容圓冪三千九百二十七;圓冪三千九百二十七中容方冪二千五百也。以半徑一尺除圓冪三百一十四寸二十五分寸之四,倍之,得六尺二寸八分二十五分分之八,即周數也。全徑二尺與周數通相約,徑得一千二百五十,周得三千九百二十七,即其相與之率。若此者,蓋盡其纖微矣。舉而用之,上法仍約耳。當求一千五百三十六觚之一面,得三千七十二觚之冪,而裁其微分,數亦宜然,重其驗耳。

    淳風等案:舊術求圓,皆以周三徑一為率。若用之求圓周之數,則周少徑多。


    PD-icon.svg 本曹魏作品在全世界都属于公有领域,因为作者逝世已经遠遠超过100年。