元史/卷052

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曆一

◎曆一

夫明時治曆,自黃帝、堯、舜與三代之盛王,莫不重之,其文備見於傳記矣。雖去古既遠,其法不詳,然原其要,不過隨時考驗,以合於天而已。漢劉歆作《三統曆》,始立積年日法,以為推步之準。後世因之,歷唐而宋,其更元改法者,凡數十家,豈故相為乖異哉?蓋天有不齊之運,而曆為一定之法,所以既久而不能不差,既差則不可不改也。

元初承用金《大明曆》,庚辰歲,太祖西征,五月望,月蝕不效;二月、五月朔,微月見於西南。中書令耶律楚材以《大明曆》後天,乃損節氣之分,減周天之秒,去交終之率,治月轉之余,課兩曜之後先,調五行之出沒,以正《大明曆》之失。且以中元庚午歲,國兵南伐,而天下略定,推上元庚午歲天正十一月壬戌朔,子正冬至,日月合璧,五星聯珠,同會虛宿六度,以應太祖受命之符。又以西域、中原地裏殊遠,創為裏差以增損之,雖東西萬里,不復差忒。遂題其名曰《西征庚午元曆》,表上之,然不果頒用。

至元四年,西域劄馬魯丁撰進《萬年曆》,世祖稍頒行之。十三年,平宋,遂詔前中書左丞許衡、太子贊善王恂、都水少監郭守敬改治新曆。衡等以為金雖改曆,止以宋《紀元曆》微加增益,實未嘗測驗於天,乃與南北日官陳鼎臣、鄧元麟、毛鵬翼、劉巨淵、王素、嶽鉉、高敬等參考累代曆法,復測候日月星辰消息運行之變,參別同異,酌取中數,以為曆本。十七年冬至,曆成,詔賜名曰《授時曆》。十八年,頒行天下。二十年,詔太子諭德李謙為《曆議》,發明新曆順天求合之微,考證前代人為附會之失,誠可以貽之永久,自古及今,其推驗之精,蓋未有出於此者也。今衡、恂、守敬等所撰《曆經》及謙《曆議》故存,皆可考據,是用具著於篇。惟《萬年曆》不復傳,而《庚午元曆》雖未嘗頒用,其為書猶在,因附著於後,使來者有考焉。作《曆志》。

授時曆議上驗氣

天道運行,如環無端,治曆者必就陰消陽息之際,以為立法之始。陰陽消息之機,何從而見之?惟候其日晷進退,則其機將無所遁。候之之法,不過植表測景,以究其氣至之始。智作能述,前代諸人為法略備,茍能精思密索,心與理會,則前人述作之外,未必無所增益。

舊法擇地平衍,設水準繩墨,植表其中,以度其中晷。然表短促,尺寸之下所為分秒太、半、少之數,未易分別。表長,則分寸稍長,所不便者,景虛而淡,難得實景。前人欲就虛景之中考求真實,或設望筒,或置小表,或以木為規,皆取表端日光下徹圭面。今以銅為表,高三十六尺,端挾以二龍,舉一橫梁,下至圭面,共四十尺,是為八尺之表五。圭表刻為尺寸,舊寸一,今申而為五,厘毫差易分。別創為景符,以取實景。其制以銅葉,博二寸,長加博之二,中穿一竅,若針芥然,以方跂為趺,一端設為機軸,令可開闔,榰其一端,使其勢斜倚,北高南下,往來遷就於虛景之中,竅達日光,僅如米許,隱然見橫梁於其中。舊法以表端測晷,所得者日體上邊之景,今以橫梁取之,實得中景,不容有毫末之差。

地中八尺表景,冬至長一丈三尺有奇,夏至尺有五寸。今京師長表,冬至之景七丈九尺八寸有奇,在八尺表則一丈五尺九寸六分;夏至之景一丈一尺七寸有奇,在八尺表則二尺三寸四分。雖晷景長短所在不同,而其景長為冬至,景短為夏至,則一也。惟是氣至時刻考求不易,蓋至日氣正,則一歲氣節從而正矣。劉宋祖沖之嘗取至前後二十三四日間晷景,折取其中,定為冬至,且以日差比課,推定時刻。宋皇祐間,周琮則取立冬、立春二日之景,以為去至既遠,日差頗多,易為推考。《紀元》以後諸曆,為法加詳,大抵不出沖之之法。新曆積日累月,實測中晷,自遠日以及近日,取前後日率相埒者,參考同異,初非偏取一二日之景,以取數多者為定,實減《大明曆》一十九刻二十分。仍以累歲實測中晷日差分寸,定擬二至時刻於後。

推至元十四年丁丑歲冬至

其年十一月十四日己亥,景長七丈九尺四寸八分五厘五毫;至二十一日丙午,景長七丈九尺五寸四分一厘;二十二日丁未,景長七丈九尺四寸五分五厘。以己亥、丁未二日之景相校,余三分五毫為晷差,進二位;以丙午、丁未二日之景相校,余八分六厘為法;除之,得三十五刻;用減相距日八百刻,余七百六十五刻;折取其中,加半日刻,共為四百三十二刻半;百約為日,得四日;余以十二乘之,百約為時,得三時,滿五十又作一時,共得四時;余以十二收之,得三刻;命初起距日己亥算外,得癸卯日辰初三刻為丁丑歲冬至。此取至前後四日景。

十一月初九日甲午,景七丈八尺六寸三分五厘五毫;至二十六日辛亥,景七丈八尺七寸九分三厘五毫;二十七日壬子,景七丈八尺五寸五分。以甲午、壬子景相減,復以辛亥、壬子景相減,準前法求之,亦得癸卯日辰初三刻。至二十八日癸丑,景七丈八尺三寸四厘五毫,用壬子、癸丑二日之景與甲午景,準前法求之,亦合。此取至前後八九日景。

十一月丙戌朔,景七丈五尺九寸八分六厘五毫;二日丁亥,景七丈六尺三寸七分七厘;至十二月初六日庚申,景七丈五尺八寸五分一厘。準前法求之,亦在辰初三刻。此取至前後一十七日景。

十月二十一日丙子,景七丈九寸七分一厘;至十二月十六日庚午,景七丈七寸六分;十七日辛未,景七丈一寸五分六厘五毫。準前法求之,亦得辰初三刻。此取至前後二十七日景。

六月初五日癸亥,景一丈三尺八分;距十五年五月癸未朔,景一丈三尺三分八厘五毫;初二日甲申,景一丈二尺九寸二分五毫。準前法求之,亦合。此取至前後一百六十日景。

推十五年戊寅歲夏至

五月十九日辛丑,景一丈一尺七寸七分七厘五毫;距二十八日庚戌,景一丈一尺七寸八分;二十九日辛亥,景一丈一尺八寸五厘五毫。用辛丑、庚戌二日之景相減,余二厘五毫,進二位為實;復用庚戌、辛亥景相減,余二分五厘五毫為法;除之,得九刻,用減相距日九百刻,余八百九十一刻;半之,加半日刻,百約,得四日;余以十二乘之,百約,得十一時;余以十二收為刻,得三刻;命初起距日辛丑算外,得乙巳日亥正三刻夏至。此取至前後四日景。

十四年十二月十五日己巳,景七丈一尺三寸四分三厘;距十五年十一月初二日辛巳,景七丈七寸五分九厘五毫;初三日壬午,景七丈一尺四寸六厘。用己巳、壬午景相減,以辛巳、壬午景相減除之,亦合。此用至前後一百五十六日景。

十四年十二月十二日丙寅,景七丈二尺九寸七分二厘五毫;十三日丁卯,景七丈二尺四寸五分四厘五毫;十四日戊辰,景七丈一尺九寸九厘;距十五年十一月初四日癸未,景七丈一尺九寸五分七厘五毫;初五日甲申,景七丈二尺五寸五厘;初六日乙酉,景七丈三尺三分三厘五毫。前後互取,所得時刻皆合。此取至前後一百五十八九日景。

十四年十二月初七日辛酉,景七丈五尺四寸一分七厘;初八日壬戌,景七丈四尺九寸五分九厘五毫;初九日癸亥,景七丈四尺四寸八分六厘;距十五年十一月初九日戊子,景七丈四尺五寸二分五毫;初十日己丑,景七丈五尺三厘五毫;十一日庚寅,景七丈五尺四寸四分九厘五毫。以壬戌、己丑景相減為實,以辛酉、壬戌景相減為法,除之;或以壬戌、癸亥景相減,或以戊子、己丑景相減,若己丑、庚寅景相減,推前法求之,皆合。此取至前後一百六十三四日景。

推十五年戊寅歲冬至

其年十一月十九日戊戌,景七丈八尺三寸一分八厘五毫;距閏十一月初九日戊午,景七丈八尺三寸六分三厘五毫;初十日己未,景七丈八尺八分二厘五毫。用戊戌、戊午二日景相減,余四分五厘為晷差,進二位,以戊午、己未景相減,余二寸八分一厘為法,除之,得一十六刻,加相距日二千刻,半之,加半日刻,百約,得十日;余以十二乘之,百約為時,滿五十又進一時,共得七時;余以十二收為刻;命初起距日己亥算外,得戊申日未初三刻為戊寅歲冬至。此取至前後十日景。

十一月十二日辛卯,景七丈五尺八寸八分一厘五毫;十三日壬辰,景七丈六尺三寸一厘五毫;閏十一月十五日甲子,景七丈六尺三寸六分六厘五毫;十六日乙丑,景七丈五尺九寸五分三厘;十七日丙寅,景七丈五尺五寸四厘五毫。用壬辰、甲子景相減為實,以辛卯、壬辰景相減為法,除之,亦得戊申日未初三刻。或用甲子、乙丑景相減,推之,亦合。若用辛卯、乙丑景相減為實,用乙丑、丙寅景相減,除之,並同。此取至前後十六七日景。

十一月初八日丁亥,景七丈四尺三分七厘五毫;閏十一月二十日己巳,景七丈四尺一寸二分;二十一日庚午,景七丈三尺六寸一分四厘五毫。用丁亥、己巳景相減為實,以己巳、庚午景相減,除之,亦同。此取至前後二十一日景。

六月二十六日戊寅,景一丈四尺四寸五分二厘五毫;二十七日己卯,景一丈四尺六寸三分八厘;至十六年四月二日戊寅,景一丈四尺四寸八分一厘。以二戊寅景相減,用後戊寅、己卯景相減,推之,亦同。此取至前後一百五十日景。

五月二十八日庚戌,景一丈一尺七寸八分;至十六年四月二十九日乙巳,景一丈一尺八寸六分三厘;三十日丙午,景一丈一尺七寸八分三厘。用庚戌、丙午景相減,以乙巳、丙午景相減,推之,亦同。此取至前後百七十八日景。

推十六年己卯歲夏至

四月十九日乙未,景一丈二尺三寸六分九厘五毫;二十日丙申,景一丈二尺二寸九分三厘五毫;至五月十九日乙丑,景一丈二尺二寸六分四厘。以丙申、乙丑景相減,余二分九厘五毫為晷差,進二位;以乙未、丙申景相減,得七分六厘為法;除之,得三十八刻;加相距日二千九百刻,半之,加半日刻,百約,得十五日;余以十二乘之,百約,得二時;余以十二收之,得二刻;命初起距日丙申算外,得辛亥日寅正二刻為夏至。此取至前後十五日景。

三月二十一日戊辰,景一丈六尺三寸九分五毫;六月十六日壬辰,景一丈六尺九分九厘五毫;十七日癸巳,景一丈六尺三寸一分一厘。用戊辰、癸巳景相減,以壬辰、癸巳景相減,準前法推之,亦合。此取至前後四十二日景。

三月初二日己酉,景二丈一尺三寸五厘;至七月初七日壬子,景二丈一尺一寸九分五厘五毫;初八日癸丑,景二丈一尺四寸八分六厘五毫。用己酉、壬子景相減,以壬子、癸丑景相減,如前法推之,亦合。此取至前後六十一二日景。

三月戊申朔,景二丈一尺六寸一分一厘;至七月初八日癸丑,景二丈一尺四寸八分六厘五毫;初九日甲寅,景二丈一尺九寸一分五厘五毫。用戊申、癸丑景相減,以癸丑、甲寅景相減,準前法推之,亦同。此取至前後六十二三日景。

二月十八日乙未,景二丈六尺三分四厘五毫;至七月二十一日丙寅,景二丈五尺八寸九分九厘;二十二日丁卯,景二丈六尺二寸五分九厘。用乙未、丙寅景相減,以丙寅、丁卯景相減,如前法推之,亦同。此取至前後七十五六日景。

二月三日庚辰,景三丈二尺一寸九分五厘五毫;至八月初五日庚辰,景三丈一尺五寸九分六厘五毫;初六日辛巳,景三丈二尺二分六厘五毫。用前庚辰與辛巳景相減,以後庚辰、辛巳景相減,如前推之,亦同。此取至前後九十日景。

正月十九日丁卯,景三丈八尺五寸一厘五毫;至八月十八日癸巳,景三丈七尺八寸二分三厘;十九日甲午,景三丈八尺三寸一分五毫。用丁卯、甲午景相減,以癸巳、甲午景相校,如前推之,亦同。此取至前後一百三四日景。

推十六年己卯歲冬至

十月二十四日戊戌,景七丈六尺七寸四分;至十一月二十五日己巳,景七丈六尺五寸八分;二十六日庚午,景七丈六尺一寸四分二厘五毫。用戊戌、己巳景相減,余一寸六分為晷差,進二位;以己巳、庚午景相減,余四寸三分七厘五毫為法;除之,得三十六刻;以相減距日三千一百刻,余三千六十四刻;半之,加五十刻,百約,得一十五日;余以十二乘之,百約為時,滿五十,又進一時,共得十時;余以十二收之為刻,得二刻;命初起距日戊戌算外,得癸丑日戌初二刻冬至。此取至前後十五六日景。

十月十八日壬辰,景七丈四尺五分二厘五毫;十九日癸巳,景七丈四尺五寸四分五厘;二十日甲午,景七丈五尺二分五厘;至十一月二十八日壬申,景七丈五尺三寸二分;二十九日癸酉,景七丈四尺八寸五分二厘五毫;十二月甲戌朔,景七丈四尺三寸六分五厘;初二日乙亥,景七丈三尺八寸七分一厘五毫。用甲午、癸酉景相減,癸巳、甲午景相減,如前推之,亦同。若以壬申、癸酉景相減為法,推之亦同。此取至前後十八九日景。

若用癸巳與甲戌景相減,以壬辰、癸巳景相減,推之,或癸巳、甲午景相減,推之,或用甲戌、癸酉景相減,推之,或甲戌、乙亥景相減,推之,或以壬辰、乙亥景相減,用壬辰、癸巳景相減,推之並同。此取至前後二十日景。

十月十六日庚寅,景七丈三尺一分五厘;十二月初三日丙子,景七丈三尺三寸二分;初四日丁丑,景七丈二尺八寸四分二厘五毫。用庚寅、丁丑景相減,以丙子、丁丑景相減,推之亦同。此取至前後二十三日景。

十月十四日戊子,景七丈一尺九寸二分二厘五毫;十五日己丑,景七丈二尺四寸六分九厘;十二月初五日戊寅,景七丈二尺二寸七分二厘五毫。用己丑、戊寅景相減,以戊子、己丑景相減,推之,或用己丑、庚寅相減,推之亦同。此取至前後二十四日景。

十月初七日辛巳,景六丈七尺七寸四分五厘;初八日壬午,景六丈八尺三寸七分二厘五毫;初九日癸未,景六丈八尺九寸七分七厘五毫;十二月十二日乙酉,景六丈八尺一寸四分五厘。用壬午、乙酉景相減,以辛巳、壬午相減,推之,壬午、癸未景相減,推之亦同。此取至前後三十一二日景。

十月乙亥朔,景六丈三尺八寸七分;十二月十八日辛卯,景六丈四尺二寸九分七厘五毫;十九日壬辰,景六丈三尺六寸二分五厘。用乙亥、壬辰景相減,以辛卯、壬辰景相減,推之亦同。此取至前後三十八日景。

九月二十二日丙寅,景五丈七尺八寸二分五厘;十二月二十八日辛丑,景五丈七尺五寸八分;二十九日壬寅,景五丈六尺九寸一分五厘。用丙寅、辛丑景相減,以辛丑、壬寅景相減,推之亦同。此取至前後四十七八日景。

九月二十日甲子,景五丈六尺四寸九分二厘五毫;至十二月二十九日壬寅,景五丈六尺九寸一分五厘;至十七年正月癸卯朔,景五丈六尺二寸五分。用甲子、癸卯相減,壬寅、癸卯景相減,推之亦同。此取至前後五十日景。

右以累年推測到冬夏二至時刻為準,定擬至元十八年辛巳歲前冬至,當在己未日夜半後六刻,即丑初一刻。歲餘歲差

周天之度,周歲之日,皆三百六十有五。全策之外,又有奇分,大率皆四分之一。自今歲冬至距來歲冬至,曆三百六十五日,而日行一周,凡四周,曆千四百六十,則餘一日,析而四之,則四分之一也。然天之分常有餘,歲之分常不足,其數有不能齊者,惟其所差至微,前人初未覺知。迨漢末劉洪,始覺冬至後天,謂歲周余分太強,乃作《乾象曆》,減歲餘分二千五百為二千四百六十二。至晉虞喜,宋何承天、祖沖之,謂歲當有差,因立歲差之法。其法損歲餘,益天周,使歲餘浸弱,天周浸強,強弱相減,因得日躔歲退之差。歲餘、天周,二者實相為用,歲差由斯而立,日躔由斯而得,一或損益失當,詎能與天葉哉?

今自劉宋大明壬寅以來,凡測景驗氣得冬至時刻真數者有六,取相距積日時刻,以相距之年除之,各得其時所用歲餘。復自大明壬寅距至元戊寅積日時刻,以相距之年除之,得每歲三百六十五日二十四分二十五秒,比《大明曆》減去一十一秒,定為方今所用歲餘。余七十五秒,用益所謂四分之一,共為三百六十五度二十五分七十五秒,定為天周。余分強弱相減,余一分五十秒,用除全度,得六十六年有奇,日卻一度,以六十六年除全度,適得一分五十秒,定為歲差。

復以《堯典》中星考之,其時冬至日在女、虛之交。及考之前史,漢元和二年,冬至日在鬥二十一度;晉太元九年,退在鬥十七度;宋元嘉十年,在鬥十四度末;梁大同十年,在鬥十二度;隋開皇十八年,猶在鬥十二度;唐開元十二年,在鬥九度半;今退在箕十度。取其距今之年、距今之度較之,多者七十餘年,少者不下五十年,輒差一度。宋慶元間,改《統天曆》,取大衍歲差率八十二年及開元所距之差五十五年,折取其中,得六十七年,為日卻行一度之差。施之今日,質諸天道,實為密近。

然古今曆法,合於今必不能通於古,密於古必不能驗於今。今《授時曆》,以之考古,則增歲餘而損歲差;以之推來,則增歲差而損歲餘;上推春秋以來冬至,往往皆合;下求方來,可以永久而無弊;非止密於今日而已。仍以《大衍》等六曆,考驗春秋以來冬至疏密,凡四十九事,具列如後。

○冬至刻

《大衍》《宣明》《紀元》《統天》《大明》《授時》獻公十五年戊寅歲,正月甲寅朔旦冬至。

丙辰(22)乙卯(88)丁巳(33)乙卯(2)丁巳(35)甲寅(99)僖公五年丙寅歲,正月辛亥朔旦冬至。

辛亥(94)辛亥(66)壬子(74)辛亥(27)壬子(89)辛亥(14)昭公二十年己卯歲,正月己丑朔旦冬至。

己丑(45)己丑(20)庚寅(25)戊子(92)庚寅(29)戊子(83)宋元嘉十二年乙亥歲,十一月十五日戊辰景長。

戊辰(35)戊辰(32)戊辰(39)戊辰(51)戊辰(41)戊辰(47)元嘉十三年丙子歲,十一月二十六日甲戌景長。

癸酉(59)癸酉(57)癸酉(63)癸酉(75)癸酉(65)癸酉(71)元嘉十五年戊寅歲,十一月十八日甲申景長。

甲申(8)甲申(6)甲申(12)甲申(24)甲申(14)甲申(19)元嘉十六年己卯歲,十月二十九日己丑景長。

己丑(33)己丑(3)己丑(37)己丑(48)己丑(37)己丑(44)元嘉十七年庚辰歲,十一月初十日甲午景長。

甲午(57)甲午(55)甲午(61)甲午(72)甲午(63)甲午(68)元嘉十八年辛巳歲,十一月二十一日己亥景長。

己亥(82)己亥(79)己亥(85)己亥(97)己亥(87)己亥(93)元嘉十九年壬午歲,十一月初三日乙巳景長。

乙巳(6)乙巳(4)乙巳(10)乙巳(21)乙巳(11)乙巳(17)大明五年辛丑歲,十一月乙酉冬至。

甲申(70)甲申(68)甲申(73)甲申(89)甲申(74)甲申(79)陳天嘉六年乙酉歲,十一月庚寅景長。

庚寅(12)庚寅(13)庚寅(5)庚寅(24)庚寅(80)庚寅(17)光大二年戊子歲,十一月乙巳景長。

乙巳(8)乙巳(86)乙巳(79)乙巳(97)乙巳(81)乙巳(90)太建四年壬辰歲,十一月二十九日丁卯景長。

丙寅(83)丙寅(78)丙寅(77)丙寅(95)丙寅(98)丙寅(87)太建六年甲午歲,十一月二十日丁丑景長。

丁丑(32)丁丑(33)丁丑(25)丁丑(43)丁丑(27)丁丑(36)太建九年丁酉歲,十一月二十三日壬辰景長。

癸巳(4)癸巳(6)壬辰(99)癸巳(16)癸巳(空)癸巳(8)太建十年戊戌歲,十一月五日戊戌景長。

戊戌(30)戊戌(30)戊戌(23)戊戌(40)戊戌(24)戊戌(33)隋開皇四年甲辰歲,十一月十一日己巳景長。

己巳(77)己巳(78)己巳(69)己巳(86)己巳(71)己巳(86)開皇五年乙巳歲,十一月二十二日乙亥景長。

乙亥(1)乙亥(2)甲戌(92)乙亥(11)甲戌(55)乙亥(10)開皇六年丙午歲,十一月三日庚辰景長。

庚辰(25)庚辰(26)庚辰(18)庚辰(34)庚辰(19)庚辰(34)開皇七年丁未歲,十一月十四日乙酉景長。

乙酉(50)乙酉(51)乙酉(42)乙酉(59)乙酉(44)乙酉(59)開皇十一年辛亥歲,十一月二十八日丙午景長。

丙午(48)丙午(49)丙午(43)丙午(57)丙午(41)丙午(56)開皇十四年甲寅歲,十一月辛酉朔旦冬至。

壬戌(21)壬戌(22)壬戌(13)壬戌(30)壬戌(14)壬戌(29)唐貞觀十八年甲辰歲,十一月乙酉景長。

甲申(43)甲申(45)甲申(31)甲申(50)甲申(32)甲申(44)貞觀二十三年己酉歲,十一月辛亥景長。

庚戌(65)庚戌(68)庚戌(53)庚戌(72)庚戌(54)庚戌(66)龍朔二年壬戌歲,十一月四日己未至戊午景長。

戊午(83)戊午(86)戊午(69)戊午(88)戊午(71)戊午(82)儀鳳元年丙子歲,十一月壬申景長。

壬申(25)壬申(28)壬申(10)壬申(28)壬申(12)壬申(22)永淳元年壬午歲,十一月癸卯景長。

癸卯(72)癸卯(75)癸卯(57)癸卯(76)癸卯(58)癸卯(68)開元十年壬戌歲,十一月癸酉景長。

癸酉(49)癸酉(54)癸酉(31)癸酉(50)癸酉(32)癸酉(46)開元十一年癸亥歲,十一月戊寅景長。

戊寅(74)戊寅(77)戊寅(55)戊寅(74)戊寅(56)戊寅(70)開元十二年甲子歲,十一月癸未冬至。

癸未(98)甲申(3)癸未(80)癸未(99)癸未(81)癸未(95)宋景德四年丁未歲,十一月戊辰日南至。

戊辰(15)戊辰(26)丁卯(74)丁卯(82)丁卯(74)丁卯(80)皇祐二年庚寅歲,十一月三十日癸丑景長。

癸丑(65)癸丑(79)癸丑(22)癸丑(25)癸丑(22)癸丑(23)元豐六年癸亥歲,十一月丙午景長。

丙午(73)丙午(85)丙午(26)丙午(27)丙午(26)丙午(26)元豐七年甲子歲,十一月辛亥景長。

辛亥(97)壬子(10)辛亥(50)辛亥(51)辛亥(50)辛亥(51)元祐三年戊辰歲,十一月壬申景長。

壬申(94)癸酉(8)壬申(48)壬申(48)壬申(48)壬申(48)元祐四年己巳歲,十一月丁丑景長。

戊寅(19)戊寅(32)丁丑(72)丁丑(72)丁丑(72)丁丑(72)元祐五年庚午歲,十一月壬午冬至。

癸未(44)癸未(56)壬午(96)壬午(97)壬午(96)壬午(96)元祐七年壬申歲,十一月癸巳冬至。

癸巳(92)甲午(5)癸巳(45)癸巳(45)癸巳(45)癸巳(45)元符元年戊寅歲,十一月甲子冬至。

乙丑(39)乙丑(52)甲子(91)甲子(91)甲子(91)甲子(91)崇寧三年甲申歲,十一月丙申冬至。

丙申(86)丙申(99)丙申(37)丙申(36)丙申(37)丙申(37)紹熙二年辛亥歲,十一月壬申冬至。

癸酉(12)癸酉(27)壬申(57)壬申(47)壬申(57)壬申(46)慶元三年丁巳歲,十一月癸卯日南至。

甲辰(59)甲辰(74)甲辰(3)癸卯(92)甲辰(3)癸卯(92)嘉泰三年癸亥歲,十一月甲戌日南至。

丙子(5)丙子(21)乙亥(49)乙亥(37)乙亥(49)乙亥(37)嘉定五年壬申歲,十一月壬戌日南至。

癸亥(25)癸亥(41)壬戌(69)壬戌(56)壬戌(68)壬戌(56)紹定三年庚寅歲,十一月丙申日南至。

丁酉(65)丁酉(83)丁酉(7)丙申(63)丁酉(7)丙申(92)淳祐十年庚戌歲,十一月辛巳日南至。

壬午(94)壬午(71)辛巳(96)辛巳(77)辛巳(94)辛巳(78)本朝至元十七年庚辰歲,十一月己未夜半後六刻冬至。

己未(87)庚申(5)己未(25)己未(4)己未(24)己未(6)

右自春秋獻公以來,凡二千一百六十餘年,用《大衍》、《宣明》、《紀元》、《統天》、《大明》、《授時》六曆推算冬至,凡四十九事。《大衍曆》合者三十二,不合者十七;《宣明曆》合者二十六,不合者二十三;《紀元曆》合者三十五,不合者十四;《統天曆》合者三十八,不合者十一;《大明曆》合者三十四,不合者十五;《授時曆》合者三十九,不合者十事。

今按獻公十五年戊寅歲正月甲寅朔旦冬至,《授時曆》得甲寅,《統天曆》得乙卯,後天一日;至僖公五年丙寅歲正月辛亥朔旦冬至,《授時》、《統天》皆得辛亥,與天合;下至昭公二十年己卯歲正月己丑朔旦冬至,《授時》、《統天》皆得戊子,並先一日,若曲變其法以從之,則獻公、僖公皆不合矣。以此知《春秋》所書昭公冬至,乃日度失行之驗。一也。《大衍曆》考古冬至,謂劉宋元嘉十三年丙子歲十一月甲戌日南至,《大衍》與《皇極》、《麟德》三曆皆得癸酉,各先一日,乃日度失行,非三曆之差。今以《授時曆》考之,亦得癸酉。二也。大明五年辛丑歲十一月乙酉冬至,諸曆皆得甲申,殆亦日度之差。三也。陳太建四年壬辰歲十一月丁卯景長,《大衍》、《授時》皆得丙寅,是先一日;太建九年丁酉歲十一月壬辰景長,《大衍》、《授時》皆得癸巳,是後一日;一失之先,一失之後,若合於壬辰,則差於丁酉,合於丁酉,則差於壬辰,亦日度失行之驗。五也。開皇十一年辛亥歲十一月丙午景長,《大衍》、《統天》、《授時》皆得丙午,與天合;至開皇十四年甲寅歲十一月辛酉冬至,而《大衍》、《統天》、《授時》皆得壬戌,若合於辛亥,則失於甲寅,合於甲寅,則失於辛亥,其開皇十四年甲寅歲冬至,亦日度失行。六也。唐貞觀十八年甲辰歲十一月乙酉景長,諸曆得甲申,貞觀二十三年己酉歲十一月辛亥景長,諸曆皆得庚戌,《大衍曆議》以永淳、開元冬至推之,知前二冬至乃史官依時曆以書,必非候景所得,所以不合,今以《授時曆》考之亦然。八也。自前宋以來,測景驗氣者凡十七事,其景德丁未歲戊辰日南至,《統天》、《授時》皆得丁卯,是先一日;嘉泰癸亥歲甲戌日南至,《統天》、《授時》皆得乙亥,是後一日;一失之先,一失之後,若曲變其數以從景德,則其餘十六事多後天,從嘉泰,則其餘十六事多先天,亦日度失行之驗。十也。

前十事皆《授時曆》所不合,以此理推之,非不合矣,蓋類其同則知其中,辨其異則知其變。今於冬至略其日度失行及史官依時曆書之者凡十事,則《授時曆》三十九事皆中,《統天曆》與今曆不合者僅有獻公一事,《大衍曆》推獻公冬至後天二日,《大明》後天三日,《授時曆》與天合。下推至元庚辰冬至,《大衍》後天八十一刻,《大明》後天一十九刻,《統天曆》先天一刻,《授時曆》與天合。以前代諸曆校之,《授時》為密,庶幾千歲之日至,可坐而致云。

古今曆參校疏密

《授時曆》與古曆相校,疏密自見,蓋上能合於數百載之前,則下可行之永久,此前人定說。古稱善治曆者,若宋何承天,隋劉焯,唐傅仁均、僧一行之流,最為傑出。今以其曆與至元庚辰冬至氣應相校,未有不舛戾者,而以新曆上推往古,無不吻合,則其疏密從可知已。

宋文帝元嘉十九年壬午歲十一月乙巳日十一刻冬至,距本朝至元十七年庚辰歲,計八百三十八年。其年十一月,氣應己未六刻冬至,《元嘉曆》推之,得辛酉,後《授時》二日,《授時》上考元嘉壬午歲冬至,得乙巳,與元嘉合。

隋大業三年丁卯歲十一月庚午日五十二刻冬至,距至元十七年庚辰歲,計六百七十三年。《皇極曆》推之,得庚申冬至,後《授時》一日;《授時》上考大業丁卯歲冬至,得庚午,與《皇極》合。

唐武德元年戊寅歲十一月戊辰日六十四刻冬至,距至元十七年庚辰歲,計六百六十二年。《戊寅曆》推之,得庚申冬至,後《授時》一日;《授時曆》上考武德戊寅歲,得戊辰冬至,與《戊寅曆》合。

開元十五年丁卯歲十一月己亥日七十二刻冬至,距至元十七年庚辰歲,計五百五十三年。《大衍曆》推之,得己未冬至,後《授時》八十一刻;《授時曆》上考開元丁卯歲,得己亥冬至,與《大衍曆》合,先四刻。

長慶元年辛丑歲十一月壬子日七十六刻冬至,距至元十七年庚辰歲,計四百五十九年。《宣明曆》推之,得庚申冬至,後《授時》一日;《授時曆》上考長慶辛丑歲,得壬子冬至,與《宣明曆》合。

宋太平興國五年庚辰歲十一月丙午日六十三刻冬至,距至元十七年庚辰歲,計三百年。《乾元曆》推之,得庚申冬至,後《授時》一日;《授時曆》上考太平興國庚辰歲,得丙午冬至,與《乾元》合。

咸平三年庚子歲十一月辛卯日五十三刻冬至,距至元十七年庚辰歲,計二百八十年。《儀天曆》推之,得庚申冬至,後《授時》一日;《授時》上考咸平庚子歲,得辛卯冬至,與《儀天》合。

崇寧四年乙酉歲十一月辛丑日六十二刻冬至,距至元十七年庚辰歲,計一百七十五年。《紀元曆》推之,得己未日冬至,後《授時》十九刻;《授時曆》上考崇寧乙酉歲,得辛丑日冬至,與《紀元曆》合,先二刻。

金大定十九年己亥歲十一月己巳日六十四刻冬至,距至元十七年庚辰歲,計一百一年。《大明曆》推之,得己未冬至,後《授時》一十九刻;《授時曆》上考大定己亥歲,己巳冬至,與《大明曆》合,先九刻。(《大明》冬至蓋測驗未密故也。)

慶元四年戊午歲十一月己酉日一十七刻冬至,距至元十七年庚辰歲,計八十二年。《統天曆》推之,得己未冬至,先《授時》一刻;《授時曆》上考慶元戊午歲,得己酉日冬至,與《統天曆》合。

周天列宿度

列宿著於天,為舍二十有八,為度三百六十五有奇。非日躔無以校其度,非列舍無以紀其度,周天之度,因二者以得之。天體渾圓,當二極南北之中,絡以赤道,日月五星之行,常出入於比。天左旋,日月五星溯而右轉,昔人曆象日月星辰,謂此也。然列舍相距度數,歷代所測不同,非微有動移,則前人所測或有未密。古用窺管,今新制渾儀,測用二線,所測度數分秒與前代不同者,今列於左。

(表略)日躔

日之麗天,縣象最著,大明一生,列宿俱熄。古人欲測躔度所在,必以昏旦夜半中星衡考其所距,從考其所當;然昏旦夜半時刻未易得真,時刻一差,則所距、所當,不容無舛。晉姜岌首以月食沖檢,知日度所在;《紀元曆》復以太白誌其相距遠近,於昏後明前驗定星度,因得日躔。今用至元丁丑四月癸酉望月食既,推求得冬至日躔赤道箕宿十度,黃道九度有奇。仍自其年正月至己卯歲終,三年之間,日測太陰所離宿次及歲星、太白相距度,定驗參考,共得一百三十四事,皆躔箕宿,適與月食所沖允合。以金趙知微所修《大明曆法》推之,冬至猶躔鬥初度三十六分六十四秒,比新測實差七十六分六十四秒。

日行盈縮

日月之行,有冬有夏,言日月行度,冬夏各不同也。人徒知日行一度,一歲一周天,曾不知盈縮損益,四序有不同者。北齊張子信積候合蝕加時,覺日行有入氣差,然損益未得其正。趙道嚴復準晷景長短,定日行進退,更造盈縮以求虧食。至劉焯立躔度,與四序升降,雖損益不同,後代祖述用之。

夫陰陽往來,馴積而變,冬至日行一度強,出赤道二十四度弱,自此日軌漸北,積八十八日九十一分,當春分前三日,交在赤道,實行九十一度三十一分而適平。自後其盈日損,復行九十三日七十一分,當夏至之日,入赤道內二十四度弱,實行九十一度三十一分,日行一度弱,向之盈分盡損而無余。自此日軌漸南,積九十三日七十一分,當秋分後三日,交在赤道,實行九十一度三十一分而復平。自後其縮日損,行八十八日九十一分,出赤道外二十四度弱,實行九十一度三十一分,復當冬至,向之縮分盡損而無余。盈縮均有損益,初為益,末為損。自冬至以及春分,春分以及夏至,日躔自北陸轉而西,西而南,於盈為益,益極而損,損至於無余而縮。自夏至以及秋分,秋分以及冬至,日躔自南陸轉而東,東而北,於縮為益,益極而損,損至於無余而復盈。盈初縮末,俱八十八日九十一分而行一象;縮初盈末,俱九十三日七十一分而行一象;盈縮極差,皆二度四十分。由實測晷景而得,仍以算術推考,與所測允合。

月行遲疾

古曆謂月平行十三度十九分度之七。漢耿壽昌以為日月行至牽牛、東井,日過度,月行十五度,至婁、角,始平行,赤道使然。賈逵以為今合朔、弦、望、月食加時,所以不中者,蓋不知月行遲疾意。李梵、蘇統皆以月行當有遲疾,不必在牽牛、東井、婁、角之間,乃由行道有遠近出入所生。劉洪作《乾象曆》,精思二十餘年,始悟其理,列為差率,以囿進退損益之數。後之作曆者,咸因之。至唐一行,考九道委蛇曲折之數,得月行疾徐之理。

先儒謂月與五星,皆近日而疾,遠日而遲。曆家立法,以入轉一周之日,為遲疾二曆,各立初末二限,初為益,末為損。在疾初遲末,其行度率過於平行;遲初疾末,率不及於平行。自入轉初日行十四度半強,從是漸殺,曆七日,適及平行度,謂之疾初限,其積度比平行余五度四十二分。自是其疾日損,又曆七日,行十二度微強,向之益者盡損而無余,謂之疾末限。自是復行遲度,又曆七日,適及平行度,謂之遲初限,其積度比平行不及五度四十二分。自此其遲日損,行度漸增,又曆七日,復行十四度半強,向之益者亦損而無余,謂之遲末限。入轉一周,實二十七日五十五刻四十六分,遲疾極差皆五度四十二分。舊曆日為一限,皆用二十八限。今定驗得轉分進退時各不同,今分日為十二,共三百三十六限,半之為半周限,析而四之為象限。

白道交周

當二極南北之中,橫絡天體以紀宿度者,赤道也。出入赤道,為日行之軌者,黃道也。所謂白道,與黃道交貫,月行之所由也。古人隨方立名,分為八行,與黃道而九,究而言之,其實一也。惟其隨交遷徙,變動不居,故強以方色名之。

月道出入日道,兩相交值,當朔則日為月所掩,當望則月為日所沖,故皆有食。然涉交有遠近,食分有深淺,皆可以數推之。所謂交周者,月道出入日道一周之日也。日道距赤道之遠,為度二十有四。月道出入日道,不逾六度;其距赤道也,遠不過三十度,近不下十八度。出黃道外為陽,入黃道內為陰,陰陽一周,分為四象。月當黃道為正交,出黃道外六度為半交,復當黃道為中交,入黃道內六度為半交,是為四象。象別七日,各行九十一度,四象周曆,是謂一交之終,以日計之,得二十七日二十一刻二十二分二十四秒。每一交,退天一度二百分度之九十三,凡二百四十九交,退天一周有奇,終而復始。正交在春正,半交出黃道外六度,在赤道內十八度。正交在秋正,半交出黃道外六度,在赤道外三十度。中交在春正,半交入黃道內六度,在赤道內三十度。中交在秋正,半交入黃道內六度,在赤道外十八度。月道與赤道正交,距春秋二正黃赤道正交宿度,東西不及十四度三分度之二。夏至在陰曆內,冬至在陽曆外,月道與赤道所差者多;夏至在陽曆外,冬至在陰曆內,月道與赤道所差者少。蓋白道二交,有斜有直,陰陽二曆,有內有外,直者密而狹,斜者疏而闊,其差亦從而異。今立象置法求之,差數多者不過三度五十分,少者不下一度三十分,是為月道與赤道多少之差。

晝夜刻

日出為晝,日入為夜,晝夜一周,共為百刻。以十二辰分之,每辰得八刻三分刻之一。無間南北,所在皆同。晝短則夜長,夜短則晝長,此自然之理也。春秋二分,日當赤道出入,晝夜正等,各五十刻。自春分以及夏至,日入赤道內,去極浸近,夜短而晝長。自秋分以及冬至,日出赤道外,去極浸遠,晝短而夜長。以地中揆之,長不過六十刻,短不過四十刻。地中以南,夏至去日出入之所為遠,其長有不及六十刻者;冬至去日出入之所為近,其短有不止四十刻者。地中以北,夏至去日出入之所為近,其長有不止六十刻者;冬至去日出入之所為遠,其短有不及四十刻者。今京師冬至日出辰初二刻,日入申正二刻,故晝刻三十八,夜刻六十二;夏至日出寅正二刻,日入戌初二刻,故晝刻六十二,夜刻三十八。蓋地有南北,極有高下,日出入有早晏,所以不同耳。今《授時曆》晝夜刻,一以京師為正,其各所實測北極高下,具見《天文志》。

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