御製厯象考成 (四庫全書本)/上編卷02

御製厯象考成　上編卷二

　　欽定四庫全書
　　御製厯象考成上編卷二
　　弧三角形上
　　弧三角形總論
　　弧三角形綱領
　　弧三角形凡例
　　正弧三角形論
　　正弧三角形圖說
　　正弧三角形八線勾股比例圖說
　　正弧三角形用次形圖說
　　正弧三角形邊角相求法
　　正弧三角形設例七則






　　弧三角形總論
　　弧三角形者球面弧線所成也古厯家有黄赤相準之率大約就渾儀度之僅得大概未能形諸算術惟元郭守敬以弧矢命算黄赤相求始有定率視古為密但其法用三乘方取數甚難自西人利瑪竇湯若望等翻譯厯書始有曲線三角形之法三弧度相交成三角形其三弧三角各有相應之八線弧與弧相交即線與線相遇而勾股比例生焉於是乎有黄道可以知赤道有赤道可以知黄道有經可以知緯有緯可以知經厯象之法至此而備勾股之用至此而極矣
　　弧三角形綱領
　　凡弧三角形皆在球面球面之腰圍一線謂之大圈如甲乙丙丁為子午規戊己為赤道庚辛為黄道壬乙癸丁為地平規如此之類皆為大圈其周度皆相等故可以相為比例凡圈皆有極極距圈皆九十度如赤道則有南北極黄道則有黄極若圈不相等則為距等圈如子丑二圈其四圍之距大圈皆相等而與大圈平行雖亦為三百六十度其分則小於大圈距大圈愈逺距極愈近則其圈愈小至極一㸃而止不能與大圈為比例故弧三角形之角度邊度皆大圈之度也
　　凡兩弧相交所成角相距皆半周一百八十度名其角度則必取其兩弧各足象限九十度其對角之弧即為本角之度如甲乙丙丁為黄道甲戊丙己為赤道甲丙二處相交相距各半周一百八十度即如春秋分試於甲丙弧之各平分九十度處作丁己乙戊垂弧〈凡言垂弧皆曲線畫圖於平面不能顯出故作虚線以别之〉則丁己弧為甲丁己三角形之甲角度亦為丙丁己三角形之丙角度其乙戊弧為甲乙戊三角形之甲角度亦為丙乙戊三角形之丙角度即如冬夏至之大距為春秋分之角度葢甲丙為極則丁己乙戊為腰圈所謂大圈者是也
　　凡弧三角形之三弧不足九十度者必引長至九十度其對角之弧方為本角之度如甲乙丙弧三角形三弧皆不足九十度則将甲乙弧引長至丁甲丙弧引長至戊作丁戊弧其丁戊弧之度即甲角之度也又将乙甲弧引長至己乙丙弧引長至庚作己庚弧其己庚弧之度即乙角之度也又将丙甲弧引長至辛丙乙弧引長至壬作辛壬弧其辛壬弧之度即丙角之度也
　　凡弧三角形其角適足九十度者為直角為正弧三角形甲圖是也大於九十度者為鈍角不及九十度者為鋭角俱為斜弧三角形乙圖丙圖是也因三邊皆弧故與直線三角形不同直線三角形有一直角或一鈍角餘二角必銳弧三角形則有一直角二銳角者如丁形有一直角二鈍角者如戊形有一直角一鈍角一銳角者如己形有二直角一銳角者如庚形有二直角一鈍角者如辛形有三角俱直者如壬形有一鈍角二銳角者如癸形有三角俱鈍者如子形有一銳角二鈍角者如丑形而弧三角之形勢大概盡於此數端矣
　　弧三角形凡例
　　一直線三角形之三角相加成一百八十度弧三角形之三角相加最小者亦必大於一百八十度但不得滿五百四十度〈因其有三鈍角每一鈍角不得滿一百八十度故三鈍角不得滿五百四十度〉
　　一直線三角形知兩角即知其所餘一角弧三角形雖知兩角其餘一角非算不知
　　一直線三角形之邊小則咫尺大則千百萬里實有尺度之可量弧三角形之邊俱係弧度必在半周一百八十度之内但合三邊不得滿三百六十度〈葢三百六十度則成全圜而不得成角矣〉
　　一直線三角形之八線惟用於角弧三角形之八線并用於邊角之八線與邊之八線相求仍以勾股為比例也
　　一直線三角形兩形之三邊各相等者為相等形兩形之三角各相等者為同式形弧三角形則但有相等形而無同式形葢以兩形之三角同其三邊必各相同也
　　一直線三角形可以三邊求角不可以三角求邊而弧三角形既可以三邊求角又可以三角求邊
　　一弧三角形三角三弧共六件知三件可求其餘理與直線三角形同
　　一正弧三角形除直角外二角三弧共五件知二件可求其餘理與直線三角形同
　　一斜弧三角形作垂弧分為兩正弧三角形與直線三角形作中垂線之理同
　　一弧三角形所知之三件有弧角相對者即用弧角為比例理與直線三角形同
　　一正弧三角形弧角不相對者則用次形法
　　一斜弧三角形知三邊求角者用總較法知三角求邊者先用次形法将角易為邊邊易為角然後用總較法
　　一斜弧三角形知兩邊一角而角在兩邊之間者用總較法或用垂弧法知兩角一邊而邊在兩角之間者先用次形法将角易為邊邊易為角然後用總較法或用垂弧法









　　正弧三角形論
　　正弧三角形必有一直角者葢因南北二極為赤道之樞紐皆距赤道九十度故凡過南北二極經圈與赤道相交所成之角俱為直角其相當之弧皆九十度又凡有一圈即有兩極其過兩極經圈與本圈相交亦必為直角其所成三角形必皆為正弧三角形夫正弧三角形所知之三件弧角相對者用弧角之八線所成勾股為比例而弧角不相對者則用次形盖以弧角之八線所成勾股比例不生於本形而生於次形而次形者乃以本形與象限相減之餘度所成故用本形之餘餘切即用次形之正正切也其法可易弧為角易角為弧〈若斜弧三角形可易大形為小形易大邊為小邊易鈍角成銳角〉邊與角雖不相對可易為相對且知三角即可以求邊其理實一以貫之也今以黄道赤道與過極經圈所成之三角形設例而正弧三角形比例推算之法無不統於是矣
　　正弧三角形圖說〈設黄赤大距二十三度三十分〉
　　如甲乙丙丁為赤道甲戊
　　丙己為黄道相交於甲丙
　　甲為春分丙為秋分戊為
　　夏至己為冬至庚為北極
　　辛為南極庚戊乙辛己丁
　　為二極二至交圈戊至乙
　　己至丁俱二十三度三十
　　分為黄赤大距今作庚壬
　　癸辛為過南北二極經圈
　　與黄道交於壬與赤道交
　　於癸成甲癸壬正弧三角
　　形甲為黄道赤道交角當
　　戊乙弧二十三度三十分
　　癸為直角葢庚辛二極即
　　赤道之極皆距赤道九十
　　度故凡過南北極經圈與
　　赤道所成之角皆為直角
　　其相當之弧皆九十度又
　　如子丑為黄道兩極若從
　　子丑二處作子寅卯丑過
　　黄極經圈與黄道交於卯
　　與赤道交於寅成甲寅卯
　　正弧三角形則卯亦為直
　　角葢子丑為黄道兩極皆
　　距黄道九十度故凡過黄
　　極經圈與黄道所成之角
　　皆為直角其相當之弧皆
　　九十度由此推之凡有一
　　圈必有兩極其過兩極圈
　　與本圈相交必為直角其
　　所成三角形必皆為正弧
　　三角形可知矣
　　正弧三角形八線勾股比例圖說〈設黄道四十五度〉
　　甲為黄道赤道交角甲乙
　　為黄道四十五度甲丙為
　　赤道同升度乙丙為黄赤
　　距度成甲乙丙正弧三角
　　形甲丁甲戊皆象限丁戊為
　　黄赤大距二十三度三十分
　　即甲角度己為北極庚為南
　　極己丁庚壬為二極二至交
　　圈甲為春分丁為夏至辛為
　　秋分壬為冬至癸為地心己
　　乙丙庚為過南北二極經圈
　　其甲乙丙三角形之八線各
　　成相當比例之勾股形丁子
　　為甲角之正弦子癸為甲角
　　之餘丑戊為甲角之正切
　　丑癸為甲角之正割戊癸丁
　　癸皆為半徑成丑戊癸及丁
　　子癸同式兩勾股形乙寅為
　　乙丙距緯弧之正乙卯為
　　甲乙黄道弧之正将兩正
　　之寅卯

　　二處作虚線聨之成乙寅
　　卯勾股形〈兩正之末立於各半徑寅卯
　　二處而寅卯二處皆未抵於弧界故不得為正今
　　以虚線聨之者為眀勾股之理也〉辰丙為
　　乙丙距緯弧之正切丙己
　　為甲丙赤道弧之正将
　　正切正之辰巳二處作
　　虚線聨之成辰丙巳勾股
　　形午甲為甲乙黄道弧之
　　正切未甲為甲丙赤道弧
　　之正切将兩正切之午未
　　二處作虚線聨之成午未
　　甲勾股形此三勾股形與
　　前二勾股形皆為同式形
　　夫甲癸辛原係一線如将
　　甲癸辛平視之則甲癸辛
　　合成一㸃而辛癸卯己甲
　　五角皆合為一角甲戊象
　　限亦成一直線而戊癸半徑
　　寅卯聨線丙己正未甲正
　　切亦皆合為一線矣赤道既
　　平置則黄道斜倚従辛視之
　　甲丁象限亦成一直線而丁
　　癸半徑乙卯正辰巳聨線
　　午甲正切亦皆合為一線矣
　　夫五勾股形既同角而各股
　　皆合為赤道之一線各皆
　　合為黄道之一線則各勾必
　　皆與赤道徑線相交成直角
　　而自将平行故皆為相當比
　　例之勾股形而可以互相比
　　例也正弧三角形用次形圖
　　說如甲乙丙
　　形可易為乙己丁次形葢
　　甲戊甲丁己丙

　　己戊四弧皆象限九十度
　　於甲丁象限弧内減去甲
　　乙弧餘乙丁弧即次形之
　　乙丁邊於己丙象限弧内
　　減去乙丙弧餘己乙弧即
　　次形之己乙邊於己戊象
　　限弧内減去丁戊弧〈即甲角度〉餘己丁弧即次形之己丁
　　邊於甲戊象限弧内減去
　　甲丙弧餘丙戊弧即次形
　　之己角度是次形之三邊
　　一角即本形三邊一角之
　　餘度而用形之餘餘
　　切實即用次形之正正
　　切也次形之丁角為直
　　角與本形之丙角等乙為
　　交角其度又等故算乙己
　　丁形即得甲乙丙形也
　　又甲乙丙形可易為己庚辛
　　次形葢庚丁為象限弧與己
　　戊等則庚己與丁戊等故本
　　形〈丁戊即甲角度〉之甲角即次形
　　之庚己邊乙辛壬庚乙壬皆
　　為象限弧與甲丁等則壬丁
　　即與甲乙等故本形之甲乙
　　邊即次形之庚角乙壬與乙
　　辛既皆〈庚壬與庚丁俱象限故壬丁弧為庚
　　角度〉為象限則辛壬弧即乙角
　　之度故象限内減去乙角之
　　辛壬弧餘即次形之庚辛邊
　　丙戊弧即己角之度故於甲
　　戊象限弧内減去甲丙弧餘
　　丙戊弧即次形之己角又次
　　形之辛角為直角與本形之
　　丙角等次形之丁戊即甲角
　　度庚壬與庚丁俱象限故壬
　　辛己邊與本形之乙丙邊等
　　故〈辛乙與己丙等故辛己與乙丙等〉算己
　　庚辛形亦得甲乙丙形也辛
　　乙












　　正弧三角形邊角相求法
　　正弧三角形邊角相求錯綜變換共三十則用黄赤交角所生八線勾股比例者九用黄道交極圏角所生八線勾股比例者亦九用次形者十二依題比類列目於前按法循序設問於後以便觀覽
　　有直角有黄赤交角有黄道求距緯〈第一〉
　　有直角有黄赤交角有黄道求赤道〈并見第一〉有直角有黄赤交角有黄道求黄道交極圏角〈并見第一〉
　　有直角有黄赤交角有赤道求距緯〈第二〉
　　有直角有黄赤交角有赤道求黄道〈并見第二〉有直角有黄赤交角有赤道求黄道交極圏角〈并見第二〉
　　有直角有黄赤交角有距緯求黄道〈第三〉
　　有直角有黄赤交角有距緯求赤道〈并見第三〉有直角有黄赤交角有距緯求黄道交極圏角〈并見第三〉
　　有直角有黄道有赤道求黄赤交角〈第四〉
　　有直角有黄道有赤道求距緯〈道并見第〉
　　有直角有黄道有赤道求黄道交極圏角〈四并見第〉有直角有黄道有距緯求黄赤交角〈四第〉
　　有直角有黄道有距緯求赤道〈五并見第〉
　　有直角有黄道有距緯求黄道交極圏角〈五并見第〉有直角有赤道有距緯求黄赤交角〈五第〉
　　有直角有赤道有距緯求黄道〈六并見第〉
　　有直角有赤道有距緯求黄道交極圏角〈六并見第〉有直角有黄道交極圏角有黄道求赤道〈六與第一之理〉
　　有直角有黄道交極圏角有黄道求距緯〈同與第一之理〉
　　有直角有黄道交極圏角有黄道求黄赤交角〈同與第一之理〉
　　有直角有黄道交極圏角有距緯求赤道〈同與第二之理〉
　　〈同〉有直角有黄道交極圏角有距緯求黄〈與第二之理同〉
　　有直角有黄道交極圏角有距緯求黄赤交角〈與第二之理同〉
　　有直角有黄道交極圏角有赤道求黄道〈與第三之理同〉
　　有直角有黄道交極圏角有赤道求距緯〈與第三之理同〉
　　有直角有黄道交極圏角有赤道求黄赤交角〈與第三之理同〉
　　有直角有黄赤交角有黄道交極圏角求黄道〈第七〉
　　有直角有黄赤交角有黄道交極圏角求赤道〈并見第七〉
　　有直角有黄赤交角有黄道交極圏角求距緯〈并見第七〉
　　設如黄赤交角二十三度三十分黄道弧四十五度求距緯度及赤道度併黄道交極圏角各㡬何〈第一〉
　　甲乙丙正弧三角形甲為
　　黄赤交角丙為直角甲乙
　　為黄道弧求乙丙距緯弧則
　　以丙直角為對所知之角其
　　正即半徑一千萬為一率
　　甲角二十三度三十分為對
　　所求之角其正三百九十
　　八萬七千四百九十一為二
　　率甲乙弧四十五度為所知
　　之邊其正七百零七萬一
　　千零六十八為三率求得四
　　率二百八十一萬九千五百
　　八十二為乙丙弧之正檢
　　表得一十六度二十二分三
　　十八秒即乙丙距緯弧之度
　　也如圖丁癸為半徑丁子為
　　甲角之正乙卯為甲乙弧
　　之正乙寅為乙丙弧之正
　　丁子癸

　　勾股形與乙寅卯勾股形為
　　同式形故以丁癸與丁子之
　　比同於乙卯與乙寅之比也
　　求甲丙
　　赤道度則以半徑一千萬為
　　一率甲角二十三度三十分
　　之餘九百一十七萬零六
　　百零一為二率甲乙弧四十
　　五度之正切一千萬為三率
　　仍得四率九百一十七萬零
　　六百零一為甲丙弧之正切
　　檢表得四十二度三十一分
　　二十二秒即甲丙赤道弧之
　　度也如圖丁癸為半徑子癸
　　為甲角之餘午甲為甲乙
　　弧之正切未甲為甲丙弧之
　　正切丁子癸

　　勾股形與午未甲勾股形為
　　同式形故以丁癸與子癸之
　　比同於午甲與未甲之比也
　　求黄道
　　交極圈之乙角則用次形法
　　以甲乙弧四十五度之餘
　　七百零七萬一千零六十八
　　為一率甲角二十三度三十
　　分之餘切二千二百九十九
　　萬八千四百二十五為二率
　　半徑一千萬為三率求得四
　　率三千二百五十二萬四千
　　六百八十三為乙角之正切
　　檢表得七十二度五十四分
　　三十四秒即黄道交極圈之
　　乙角度也如圖甲乙丙正弧
　　三角形之次

　　形為乙己丁葢甲乙弧之餘
　　即乙己丁次形之丁乙弧
　　之正為丁子而甲角之餘
　　切即乙己丁次形之己丁弧
　　之正切為丑丁又乙角之正
　　切亦即乙己丁次形之乙角
　　之正切為寅壬而丑丁子勾
　　股形與寅壬癸勾股形為同
　　式形故以丁子與丑丁之比
　　同於壬癸與寅壬之比也此
　　法用乙己丁次形有丁乙邊
　　己丁邊及丁直角求乙角即
　　與〈甲乙餘弧〉有赤道〈甲角餘弧〉有距
　　緯求黄赤交角之理同葢乙
　　角即如黄赤交角丁乙即如
　　赤道己乙即如黄道己丁即
　　如距緯其八甲乙餘弧甲角
　　餘弧
　　線所成之勾股皆由乙角
　　而生故其相當之比例皆
　　同也
　　設如黄赤交角二十三度三十分赤道弧四十二度三十一分二十二秒求距緯度及黄道度併黄道交極圈角各㡬何〈第二〉
　　甲乙丙正弧三角形甲為
　　黄赤交角丙為直角甲丙
　　為赤道弧求乙丙距緯弧
　　則以半徑一千萬為一率
　　甲角二十三度三十分之
　　正切四百三十四萬八千
　　一百二十四為二率甲丙
　　弧四十二度三十一分二
　　十二秒之正六百七十
　　五萬八千八百二十一為
　　三率求得四率二百九十
　　三萬八千八百一十九為
　　乙丙弧之正切檢表得一十
　　六度二十二分三十八秒即
　　乙丙距緯弧之度也如圖戊
　　癸為半徑丑戊為甲角之正
　　切丙己為甲丙弧之正辰
　　丙為乙丙弧之正切丑戊癸
　　勾股形與辰丙己勾股形為
　　同式形故以戊癸與丑戊之
　　比同於丙已與辰丙之比也
　　求甲乙黄道度則以甲
　　角二十三度三十分之餘
　　九百一十七萬零六百零一
　　為一率半徑一千萬為二率
　　甲丙弧四十二度三十一分
　　二十二秒之正切九百一十
　　七萬零六百零一為三率仍
　　得四率一千

　　萬為甲乙弧之正切檢表得
　　四十五度即甲乙黄道弧之
　　度也如圖子癸為甲角之餘
　　丁癸為半徑未甲為甲丙
　　弧之正切午甲為甲乙弧之
　　正切丁子癸勾股形與午未
　　甲勾股形為同式形故以子
　　癸與丁癸之比同於未甲與
　　午甲之比也求黄道交極圈
　　之乙角
　　則用次形法以半徑一千萬
　　為一率甲丙弧四十二度三
　　十一分二十二秘之餘七
　　百三十七萬零九十八為二
　　率甲角二十三度三十分之
　　正三百九十八萬七千四
　　百九十一為

　　三率求得四率二百九十三
　　萬八千八百二十為乙角之
　　餘檢表得七十二度五十
　　四分三十四秒即黄道交極
　　圈之乙角度也如圖甲乙丙
　　正弧三角形之次形為己庚
　　辛葢甲丙弧之餘即己庚
　　辛次形之己角之正為卯
　　辰而甲角之正亦即己庚
　　辛次形之己庚弧之正為
　　庚己又乙角之餘即己庚
　　辛次形之庚辛弧之正為
　　庚午而庚午巳勾股形與卯
　　辰癸勾股形為同式形故卯
　　癸與卯辰之比同於庚己與
　　庚午之比也此法用己庚辛
　　次形有己

　　角〈甲丙餘弧〉己庚邊〈與甲角等〉及辛
　　直角求庚辛邊〈乙角餘弧〉即與
　　有黄赤交角有黄道求距
　　緯之理同葢己角即如黄
　　赤交角己庚即如黄道己
　　辛即如赤道庚辛即如距
　　緯其八線所成之勾股皆
　　由己角而生故其相當之
　　比例皆同也
　　設如黄赤交角二十三度三十分距緯弧一十六度二十二分三十八秒求黄道度及赤道度併黄道交極圈角各㡬何〈第三〉
　　甲乙丙正弧三角形甲為
　　黄赤交角丙為直角乙丙
　　為距緯弧求甲乙黄道弧
　　則以甲角二十三度三十
　　分為對所知之角其正
　　三百九十八萬七千四百
　　九十一為一率丙直角為對
　　所求之角其正即半徑一
　　千萬為二率乙丙弧一十六
　　度二十二分三十八秘為所
　　知之邊其正二百八十一
　　萬九千五百八十二為三率
　　求得四率七百零七萬一千
　　零六十八為甲乙弧之正
　　檢表得四十五度即甲乙黄
　　道弧之度也如圖丁子為甲
　　角之正丁癸為半徑乙寅
　　為乙丙弧之正乙卯為甲
　　乙弧之正丁子癸勾股形
　　與乙寅卯勾股形為同式形
　　故丁子與丁癸之比同於乙
　　寅與乙卯之比也


　　求甲丙赤道度則以甲角二
　　十三度三十分之正切四百
　　三十四萬八千一百二十四
　　為一率半徑一千萬為二率
　　乙丙弧一十六度二十二分
　　三十八秒之正切二百九十
　　三萬八千八百一十九為三
　　率求得四率六百七十五萬
　　八千八百二十一為甲丙弧
　　之正檢表得四十二度三
　　十一分二十二秒即甲丙赤
　　道弧之度也如圖丑戊為甲
　　角之正切戊癸為半徑辰丙
　　為乙丙弧之正切丙己為甲
　　丙弧之正丑戊癸勾股形
　　與辰丙己勾股形為同式形
　　故丑戊與

　　戊癸之丙同於辰丙與丙己
　　之比也求
　　黄道交極圈之乙角則用次
　　形法以乙丙弧一十六度二
　　十二分三十八秒之餘九
　　百五十九萬四千二百六十
　　七為一率甲角二十三度三
　　十分之餘九百一十七萬
　　零六百零一為二率半徑一
　　千萬為三率求得四率九百
　　五十五萬八千四百一十七
　　為乙角之正檢表得七十
　　二度五十四分三十四秘即
　　黄道交極圈之乙角度也如
　　圖甲乙丙正弧三角形之次
　　形為乙己丁葢乙丙弧之餘
　　即乙己丁

　　次形之己乙弧之正為
　　己未而甲角之餘即乙
　　己丁次形之己丁弧之正
　　為巳申又乙角之正
　　亦即乙己丁次形之乙角
　　之正為辛酉而巳申未
　　勾股形與辛酉癸勾股形
　　為同式形故巳未與巳申
　　之比同於辛癸與辛酉之
　　比也
　　設如黄道弧四十五度赤道弧四十二度三十一分二十二秒求黄赤交角及距緯度併黄道交極圈角各幾何〈第四〉
　　甲乙丙正弧三角形丙為
　　直角甲乙為黄道弧甲丙
　　為赤道弧求黄赤相交之
　　甲角則以甲乙弧四十五
　　度之正切一千萬為一率
　　甲丙弧四十二度三十一分
　　二十二秒之正切九百一十
　　七萬零六百零一為二率半
　　徑一千萬為三率仍得四率
　　九百一十七萬零六百零一
　　為甲角之餘檢表得二十
　　三度三十分即黄赤相交之
　　甲角度也如圖午甲為甲乙
　　弧之正切未甲為甲丙弧之
　　正切丁癸為半徑子癸為甲
　　角之餘午未甲勾股形與
　　丁子癸勾股形為同式形故
　　午甲與未甲之比同於丁癸
　　與子癸之比也求乙丙距緯
　　度則用次形法以甲丙
　　弧四十二度三十一分二十
　　二秒之餘

　　七百三十七萬零九十八為
　　一率半徑一千萬為二率甲
　　乙弧四十五度之餘七百
　　零七萬一千零六十八為三
　　率求得四率九百五十九萬
　　四千二百六十六為乙丙弧
　　之餘檢表得一十六度二
　　十二分三十八秒即乙丙距
　　緯弧之度也如圖甲乙丙正
　　弧三角形之次形為乙己丁
　　葢甲丙弧之餘即乙己丁
　　次形之己角之正為丙辰
　　而甲乙弧之餘即乙己丁
　　次形之乙丁弧之正為乙
　　子又乙丙弧之餘即乙己
　　丁次形之乙己弧之正為
　　乙未而丙

　　辰癸勾股形與乙子未勾股
　　形為同式形故丙辰與丙癸
　　之比同於乙子與乙未之比
　　也此法用乙己丁次形有己
　　角乙丁邊及〈甲丙餘弧〉丁直角
　　〈甲乙餘弧〉求乙己邊即與有黄
　　〈乙丙餘弧〉赤交角有距緯求黄
　　道之理同葢己角即如黄赤
　　交角己乙即如黄道己丁即
　　如赤道乙丁即如距緯其八
　　線所成之勾股皆由己角而
　　生故其相當之比例皆同也
　　求黄道交極圈之乙角
　　則以甲乙弧四十五度為對
　　所知之邊其正七百零七
　　萬一千零六十八為一率甲
　　丙弧四十二度三十甲丙餘
　　弧甲乙餘弧乙丙餘弧
　　一分二十二秒為對所求之
　　邊其正六百七十五萬八
　　千八百二十一為二率丙直
　　角九十度為所知之角其正
　　即半徑一千萬為三率求
　　得四率九百五十五萬八千
　　四百一十六為乙角之正
　　檢表得七十二度五十四分
　　三十四秒即黄道交極圈之
　　乙角度也如圖甲申為甲乙
　　弧之正甲酉為甲丙弧之
　　正戌癸為半徑戌亥為乙
　　角之正甲酉申勾股形與
　　戌亥癸勾股形為同式形故
　　甲申與甲酉之比同於戌癸
　　與戌亥之比也此與有黄道
　　有距緯求

　　黄赤交角之理同葢乙角
　　即如黄赤交角甲乙為黄
　　道乙丙即如赤道甲丙即
　　如距緯其八線所成之勾
　　股皆由乙角而生故其相
　　當之比例皆同也
　　設如黄道弧四十五度距緯弧一十六度二十二分三十八秒求黄赤交角及赤道度併黄道交極圈角各㡬何〈第五〉
　　甲乙丙正弧三角形丙為
　　直角甲乙為黄道弧乙丙
　　為距緯弧求黄赤相交之
　　甲角則以甲乙弧四十五
　　度為對所知之邊其正
　　七百零七萬一千零六十
　　八為一率乙丙弧一十六
　　度二十二分三十八秒為
　　對所求之邊其正二百
　　八十一萬九千五百八十二
　　為二率丙直角九十度為所
　　知之角其正即半徑一千
　　萬為三率求得四率三百九
　　十八萬七千四百九十一為
　　甲角之正檢表得二十三
　　度三十分即黄赤相交之甲
　　角度也如圖乙卯為甲乙弧
　　之正乙寅為乙丙弧之正
　　丁癸為半徑丁子為甲角
　　之正乙寅卯勾股形與丁
　　子癸勾股形為同式形故乙
　　卯與乙寅之比同於丁癸與
　　丁子之比也求甲丙赤道度
　　則用次形法以乙丙
　　弧一十六度二十二分三十
　　八秒之餘

　　九百五十九萬四千二百六
　　十七為一率甲乙弧四十五
　　度之餘七百零七萬一千
　　零六十八為二率半徑一千
　　萬為三率求得四率七百三
　　十七萬零一百一十三為甲
　　丙弧之餘檢表得四十二
　　度三十一分二十二秒即甲
　　丙赤道弧之度也如圖甲乙
　　丙正弧三角形之次形為乙
　　己丁葢乙丙弧之餘即乙
　　己丁次形之乙己弧之正
　　為乙未而甲乙弧之餘即
　　乙己丁次形之乙丁弧之正
　　為乙子又甲丙弧之餘
　　即乙己丁次形之己角之正
　　為丙辰

　　而乙子未勾股形與丙辰
　　癸勾股形為同式形故乙
　　未與乙子之比同於丙癸
　　與丙辰之比也
　　求黄道交極圈之乙角則
　　與前第四問有黄道有赤
　　道求黄赤交角之理同葢
　　乙角即如黄赤交角甲乙
　　為黄道乙丙即如赤道其
　　勾股比例同也
　　設如赤道弧四十二度三十一分二十二秒距緯弧一十六度二十二分三十八秒求黄赤交角及黄道度併黄道交極圈角各㡬何〈第六〉
　　甲乙丙正弧三角形丙為
　　直角甲丙為赤道弧乙丙
　　為距緯弧求黄赤相交之
　　甲角則以甲丙弧四十二
　　度三十一分二十二秒之
　　正六百七十五萬八千八
　　百二十一為一率乙丙弧一
　　十六度二十二分三十八秒
　　之正切二百九十三萬八千
　　八百一十九為二率半徑一
　　千萬為三率求得四率四百
　　三十四萬八千一百零九為
　　甲角之正切檢表得二十三
　　度三十分即黄赤相交之甲
　　角度也如圖丙己為甲丙弧
　　之正辰丙為乙丙弧之正
　　切戊癸為半徑丑戊為甲角
　　之正切辰丙己勾股形與丑
　　戊癸勾股形為同式形故丙
　　己與辰丙之比同於戊癸與
　　丑戊之比也求甲乙黄道度
　　則用次形

　　法以半徑一千萬為一率甲
　　丙弧四十二度三十一分二
　　十二秒之餘七百三十七
　　萬零九十八為二率乙丙弧
　　一十六度二十二分三十八
　　秒之餘九百五十九萬四
　　千二百六十七為三率求得
　　四率七百零七萬一千零六
　　十八為甲乙弧之餘檢表
　　得四十五度即甲乙黄道弧
　　之度也如圖甲乙丙正弧三
　　角形之次形為乙己丁葢甲
　　丙弧之餘即乙己丁次形
　　之己角之正為丙辰而乙
　　丙弧之餘即乙己丁次形
　　之乙己弧之正為乙未又
　　甲乙弧之

　　餘即乙己丁次形之乙
　　丁弧之正為乙子而丙
　　辰癸勾股形與乙子未勾
　　股形為同式形故丙癸與
　　丙辰之比同於乙未與乙
　　子之比也
　　求黄道交極圈之乙角則
　　與求黄赤交角之理同葢
　　乙角即如黄赤交角乙丙
　　即如赤道甲丙即如距緯
　　其勾股比例同也
　　設如黄赤交角二十三度三十分黄道交極圈角七十二度五十四分三十四秒求黄道度及赤道度併距緯度各㡬何〈第七〉
　　甲乙丙正弧三角形甲為
　　黄赤交角丙為直角乙為
　　黄道交極圈角求甲乙黄
　　道弧則用次形法以乙角
　　七十二度五十四分三十四
　　秒之正切三千二百五十二
　　萬四千六百八十三為一率
　　半徑一千萬為二率甲角二
　　十三度三十分之餘切二千
　　二百九十九萬八千四百二
　　十五為三率求得四率七百
　　零七萬一千零六十八為甲
　　乙弧之餘檢表得四十五
　　度即甲乙黄道弧之度也如
　　圖甲乙丙正弧三角形之次
　　形為乙己丁葢乙角之正切
　　亦即乙己丁次形之乙角之
　　正切為寅壬而甲角之餘切
　　即乙己丁次形之丁己弧之
　　正切為丑丁又甲乙弧之餘
　　即乙己

　　丁次形之丁乙弧之正為
　　丁子而寅壬癸勾股形與丑
　　丁子勾股形為同式形故寅
　　壬與壬癸之比同於丑丁與
　　丁子之比也求甲丙赤
　　道弧亦用次形法以甲角二
　　十三度三十分之正三百
　　九十八萬七千四百九十一
　　為一率乙角七十二度五十
　　四分三十四秒之餘二百
　　九十三萬八千八百二十為
　　二率半徑一千萬為三率求
　　得四率七百三十七萬零九
　　十八為甲丙弧之餘檢表
　　得四十二度三十一分二十
　　二秒即甲丙赤道弧之度也
　　如圖甲乙丙

　　正弧三角形之次形為己庚
　　辛葢甲角之正亦即己庚
　　辛次形之庚己弧之正為
　　庚己而乙角之餘即己庚
　　辛次形之庚辛弧之正為
　　庚午又甲丙弧之餘即己
　　庚辛次形之己角之正為
　　卯辰而庚午己勾股形與卯
　　辰癸勾股形為同式形故庚
　　己與庚午之比同於卯癸與
　　卯辰之比也求乙丙距緯弧
　　亦用次形法
　　以乙角七十二度五十四分
　　三十四秒之正九百五十
　　五萬八千四百一十七為一
　　率半徑一千萬為二率甲角
　　二十三度三

　　十分之餘九百一十七萬
　　零六百零一為三率求得四
　　率九百五十九萬四千二百
　　六十七為乙丙弧之餘檢
　　表得一十六度二十二分三
　　十八秒即乙丙距緯弧之度
　　也如圖甲乙丙正弧三角形
　　之次形為乙己丁葢乙角之
　　正亦即乙己丁次形之乙
　　角之正為辛酉而甲角之
　　餘即乙己丁次形之己丁
　　弧之正為巳申又乙丙弧
　　之餘即乙己丁次形之己
　　乙弧之正為己未而辛酉
　　癸勾股形與巳申未勾股形
　　為同式形故辛酉與辛癸之
　　比同於巳

　　〈象考成上編卷二〉
















　　申與巳未之比也御製厯
<子部,天文算法類,推步之屬,御製歷象考成>