數學九章 (四庫全書本)/卷2下

數學九章　卷二下

　　欽定四庫全書
　　數學九章卷二下　　　　宋　秦九韶　撰天時
　　揆日究微
　　問厯代測景惟唐大衍厯最宻本朝崇天厯陽城冬至景一丈二尺七寸一分五十杪夏至景一尺四寸七分七十杪九係與大衍厯同今開禧厯臨安府冬至景一丈八寸二分二十五杪夏至景九寸一分欲求臨安府夏至後差㡬日而景與陽城夏至日等較以大衍厯晷景所差尺寸各㡬何
　　答曰大暑後五日午中景長一尺四寸八分八十
　　五杪
　　按舊本答數後有二圖舛錯潦草傳冩者失其真也細考圖内所載之數皆與今法頗合知此悉當時實測所定非同臆説也因取其數改正於後
<子部,天文算法類,算書之屬,數學九章,卷二下>
　　置臨安府所測冬至景一丈八寸二分二十五杪以夏至景九寸一分減之餘九尺九寸一分二十五杪為景差以為實


　　置象限度九十一度三十一分四十四杪加一十一度二十五分二十七杪五十小分命度為寸得一百二寸五十六百七十一分五十杪為法以除前差實得空寸九十六百六十四分四十杪不盡棄之自乗得節泛數九千三百四十分不盡棄之






　　先以小暑節乗率二十五乗節率九千三百四十分得二十三寸三千五百分於上


　　次以臨安夏至九寸一分自乗得八十二寸八千一百分為夏至冪


　　乃以夏至冪加上得一百六寸一千六百分為小暑冪以為實以一寸為隅開平方得一尺三分為臨安小暑節景不盡七百分即寸下七毫棄之


　　按各節氣影長皆當時實測所定本不待求今所設求法乃故為溟涬使人不可觧也細查其數首以象限加十一度餘為法以除影差得數自乗為節率四每節下又有乗率以乗率節率相乗與夏至影冪相加即為本節影冪是知節率乃强取之數蓋以此數先除各節影冪與夏至影冪之較名為乗率故以此與節率相乗加夏至影冪即各節影冪也數家設術誤人往往如此
　　又以大暑乗率一百九乗節率九千三百四十分得一百一寸八千六十分於頭位




　　仍以夏至冪八十二寸八千一百分加頭位一百一寸八千六十分得一百八十四寸六千一百六十分為大暑冪以為實以一寸為隅開平方得一尺三寸五分八十七杪為大暑不盡棄之






　　又置立秋乗率二百八十九乗節率九千三百四十分得二百六十九寸九千二百六十分於上


　　仍置夏至冪八十一寸八千一百分加於上二百六十九寸九千二百六十分得三百五十二寸七千三百六十八為立秋冪



　　置立秋冪為實以一寸為隅開平方得一尺八寸七分八十一杪為立秋景不盡棄之



　　乃驗陽城夏至景一尺四寸七分七十九杪在大暑後立秋前乃置大暑一尺三寸五分八十七杪併立秋景一尺八寸七分八十一杪得三尺二寸三分六十八杪以半之得一尺六寸一分八十四杪為大暑後九日景　又以九日景併大暑景得二尺九寸七分七千一杪以半之得一尺四寸八分八十五杪半為大暑後五日景




　　乃以大暑景得五日景得二尺八寸四分七十二杪半以半之得一尺四寸二分三十六杪少為大暑後三日景


　　又以五日景得三日景得二尺九寸一分二十一杪大以半之得一尺四寸五分六十杪八十七小分五十小杪為大暑後四日景




　　今驗陽城夏至景一尺四寸七分七十九杪為入臨安府大暑後四日景一尺四寸五分六十杪太強乃以四日減五日景餘三分二十四杪太弱為景差以十二時除之得二十七杪五小分二十小杪為法




　　乃置陽城夏至景一尺四寸七分七十九抄減臨安大暑後四日景一尺四寸五分六十杪八十七小分五十小杪餘二分一十八杪一十二小分五十小杪為實後以法二十七杪五小分二十小杪除之實如法而一得商數八有餘命大暑四日午後數八辰得大暑五日寅時景與陽城夏至之日午景等





　　求較以大衍厯晷景所差乃置陽城大暑景長一尺九寸五分七十六杪併陽城立秋景二尺五寸三分三十一杪得四尺四寸九分七杪以半之得二尺二寸四分五十三杪半為次暑後九日午中景



　　置九日景復併大暑景一尺九寸五分七十六抄得四尺二寸二十九杪半以半之得二尺一寸一十四杪太為大暑後五日景





　　今驗開禧厯所推臨安府大暑後五日午中景一尺四寸八分八十五杪半與陽城大暑後五日午中景尺一寸一十四杪太課之


　　乃以臨安府五日景減陽城五日景差六寸一分二十九杪少


　　按此法不過以臨安前後兩節氣影長比例一影長之日數時刻復以所得節氣日數時刻比例一陽城影長與之相較耳題内引大行崇天開禧諸法名目又稱其較同異差數皆故為張皇之語且影差逐日不同皆以平派求之法亦未宻也
　　草曰置臨安府所測冬至景一丈八寸二分二十五抄以夏至景九寸一分減之餘九尺九寸一分二十五抄為景差以為實置象度九十一度三十一分四十四杪加一十一度二十五分二十七杪半命度為寸得一百二寸五千六百七十一分半為法除實得空寸九千六百六十四分四十杪以自乗之得空寸九千三百四十分為節率先以小暑乗率二十五乗之得二十三寸三千五百分於上次以臨安夏至景九寸一分自乗得八十二寸八千一百分為夏至景冪以加上得一百六寸一千六百分為小暑景冪開平方以一寸為隅開之得一尺三分為小暑景又以大暑乗率一百九乗節率九千三百四十分得一百一寸八千六十分於上仍加夏至冪八十二寸八千一百分得一百八十四寸六千一百六十分為大暑冪以為實一寸寸為隅開平方得一尺三寸五分八十七杪為大暑景又置立秋乗率二百八十九乗節率九千三百四十分得二百六十九寸九千二百六十分於上仍加夏至冪八十二寸八千一百分共得三百五十二寸七千三百六十為立秋冪以為實以一寸為隅開平方得一尺八寸七分八十一抄為立秋景乃驗陽城夏至景一尺四寸七分七十九杪在大暑後立秋前乃併大暑立秋二景半之得一尺六寸一分八十四杪為大暑後九日景又併大暑景半之得一尺四寸八分八十五杪半為大暑後五日午中景又併大暑景得數半之得一尺四寸二分三十六杪少為大暑後三日景又併五日景一尺四寸八分八十五杪半得數半之得一尺四寸五分六十杪强為大暑後四日景驗得陽城夏至景入臨安大暑後四日乃以四日景減五日景餘三分二十四杪太弱為差以十二時除之得二十七杪五小分二十小杪為法復除陽城景與本日景差二分一十八杪一十二小分五十小杪得八命外為在初五日寅時景等求較以大衍厯晷景所差乃置陽城大暑景長一尺九寸五分七十六杪併陽城立秋景二尺五寸三分三十一杪得四尺四寸九分七杪以半之得二尺二寸四分五十三杪半為大暑後九日午中景復併暑景一尺九寸五分七十六杪得四尺二寸二十九杪半以半之得二尺一寸一十四杪太為大暑後五日暑以較今開禧厯當日景一尺四寸八分八十五杪半差少六寸一分二十九杪少合問
　　接集中皆術在前草次之圖在後此條之例不同
　　天池測雨
　　問今州郡多有天池盆以測雨水但知以盆中之水為得雨之數不知器形不同則受雨多少亦異未可以所測便為平地得雨之數假今盆口徑二尺八寸底徑一尺二寸深一尺八寸接雨水深九寸欲求平地雨䧏㡬何
　　答曰平地雨䧏三寸
　　術曰盆深乗底徑為底率二徑差乗水深併底率為靣率以盆深為法除靣率得面徑以二率相乗又各自乗三位併之乗水深為實盆深乗口徑以自之又三因為法除之得平地水深
　　草曰以盆深及徑皆通為寸盆深得一十八寸底徑得一十二寸相乗得二百一十六寸為底率置口徑二十八寸減底徑一十二寸餘一十六寸為差以乗水深九寸得一百四十四寸併底率二百一十六寸得三百六十寸為靣率以盆深一十八寸為法除靣率得二十寸展為二尺為水靣徑以底率二百一十六寸乗靣率三百六十寸得七萬七千七百六十寸於上以底率二百一十六寸自乗得四萬六千六百五十六寸加上又以靣率三百六十寸自乗得一十二萬九千六百併上共得二十五萬四千一十六以乗水深九寸得二百二十八萬六千一百四十四寸為實以盆深一十八寸乗口徑二十八寸得五百四寸自乗得二十五萬四千一十六寸又三因得七十六萬二千四十八寸為法除實得三寸為平地雨深合問
　　竹器驗雪
　　問以圓竹籮驗雪籮口徑一尺六寸深一尺七寸底徑一尺二寸雪䧏其中髙一尺籮體通風受雪多則平地少欲知平地雪髙㡬何
　　按籮體通風一語與算術不相涉或籮口所降之雪歸於籮底與前天池測雨題相同然依上步算平地雪深只七寸餘今其數又不合殆故為是語以誤人也
　　答曰平地雪厚九寸三千四百二十九分之七百
　　六十四
　　術曰口徑減底徑餘乗雪深半之自乗為隅以籮深冪乗雪深冪併隅又乗雪深冪為實隅實可約約之開連枝三乗方得平地雪厚
　　草曰列問數各通為寸置口徑一十六寸減底徑一十二寸餘四寸乗雪深一十寸得四十寸以半之得二十寸自乗得四百寸為隅以籮深一十七寸自乗得二百八十九寸為籮深冪次置雪深一十寸自乗得一百寸為雪深冪以乗籮深冪數加隅又乗深冪得二百九十三萬寸為實隅實求等得四百俱約之得七千三百二十五為實得一為隅開三乗方歩法不可超乃約實置商九寸與隅一相生得九為下亷又與商相生八十一寸為上亷又與商相生得七百二十九為從方乃命上商除實不盡七百六十四已而復以商生隅入二亷至方陸續又生畢以方亷隅共併之得三千四百三十九分寸之七百六十四為平地雪厚九寸三千四百三十九分寸之七百六十四合問
　　按此法之意不可見然以數考之非通法也設原題雪深為一寸以口徑底徑較四寸乗雪深一寸仍得四寸半之得二寸自之得四寸為隅以籮深一十七寸自之得二百八十九寸為籮深冪雪深一寸自之仍得一寸為雪深冪二深冪相乗仍得二百八十九寸併隅得二百九十三寸再以雪深冪乗之仍得二百九十三寸為實隅實相約得七十四寸二十五百分為實一為隅開三乗方得二寸又六千四百分寸之五千七百二十五是平地雪反深於籮内矣
　　列問數各通為十口徑得一十六寸深一十七寸底徑一十二寸籮中雪髙一十寸

　　乃以底徑減口徑餘四寸乗雪深一十寸得四十寸以中得數二十寸自乗得四百寸為隅


　　以籮深一十七寸自乗得二百八十九寸為籮深冪

　　次置雪深一十寸自乗得一百寸為雪深冪

　　以雪深冪一百寸乗籮深冪二百八十九寸得二萬八千九百寸併隅四百寸得二萬九千三百寸為上



　　置頭位數二萬九千三百寸又乗雪深冪一百寸得二百九十三萬寸為實開三乗方



　　以隅實求等得四百俱為約之得七千三百二十五為實一為隅開之


　　歩法不可超乃約實置商九寸與隅相生得九為下亷


　　下亷九又與商九相生得八十一為上亷


　　上亷又與商相生得七百二十九為從方


　　乃以從方七百二十九命上商九除實七千三百二十五訖實餘七百六十四既而後以商生隅入下亷


　　下亷得一十八又與啇九相生入上亷

　　上亷得二百四十三又與商相生入方得二千九百一十六


　　又以商九生隅一入下亷一十八内得二十七



　　又以商九生下亷二十七入上亷二百四十三内得四百八十六又以商生隅入下亷二十七内得三十六為求圖乃以末圓方亷隅四者併之得三千四百三十九為母以實餘七百六十四為子


　　命為平地雪厚九寸三千四百三十九分寸之七百六十四合問
　　圓罌測雨
　　問以圓罌接雨口徑一尺五寸腹徑二尺四寸底徑八寸深一尺六寸並裏明接得雨水深一尺二寸圓法用宻率問平地雨水深㡬何
　　按此題問平地雨深無闗圓法宻率句贅若求罌中雨積數則當加此語
　　答曰平地雨深一尺八寸七萬四千八十八分寸
　　之六萬四千四百八十三
　　按答數誤改正見後
　　術曰底徑與腹徑相乗又各自乗併之乗半罌深以一十一乗之為下率以四十二為下法除得下積以半罌深併雨深減元罌深餘為上深以口徑減腹徑餘乗上深為次以半罌深乗口徑加次為靣率以半深除靣率得水靣徑以半深乗腹徑為腹率置靣率與腹率相乗又各自乗併之以一十一乗之為上率以半深自乗為冪以乗下法為上法上法除上率得上積半深冪乗下率併上率為總實口徑冪乗上法為總法除實得平地雨髙
　　草曰置底徑八寸與腹徑二十四寸相乗得一百九十二寸於上又底徑八寸自乗得六十四寸加上又腹徑二十四寸自乗得五百七十六寸併上共得八百三十二寸以乗半罌深八寸得六千六百五十六寸又以一十一乗之得七萬三千二百一十六寸為下率〈按此下法不合皆為題中圖法句所誤〉置宻率法一十四以所併三因之得四十二為下法以半深八寸併雨深一十二寸得二十寸以減元深一十六寸餘四寸為上深以口徑一十寸五分減腹徑二十四寸餘一十三寸五分以乗上深四寸得五十四寸為次以半罌深八寸乗口徑一十寸五分得八十四寸加次共得一百三十八寸為靣率以半深八寸乗腹徑二十四寸得一百九十二寸為腹率置靣率一百三十八寸與腹率一百九十二寸相乗得二萬六千四百九十六寸於上又以靣率一百三十八寸自乗得一萬九十四十四加上又以腹率一百九十二寸自乗得三萬六千八百六十四併上共得八萬二千四百四寸〈按此條内落以上髙四寸乗之一層〉以一十一乗之得九十萬六千四百四十四寸為上率以半深八寸自乗得六十四寸為半深冪以乗下法四十二得二千六百八十八為上法以半深冪六十四寸乗下率七萬三千二百一十六寸得四百六十八萬五千八百二十四寸併上率九十萬六千四百四十四共得五百五十九萬二千二百六十八寸為總實以口徑一十寸五分自乗得一百一十寸二分五厘以乗上法二千六百八十八寸得二十九萬六千三百五十二寸為總法除實得一尺八寸不盡二十五萬七千九百三十二與法求等得四俱約之為一尺八寸七萬四千八十八分寸之六萬四千四百八十三為平地雨深合問
　　按此法有二誤法實皆當用圓冪或皆用方冪今以圓冪率乗實方冪率乗法法實不同類一誤也罌内雨自腹徑截之為雨圓䑓體下髙八寸上髙四寸於下體併三冪以髙乗之於上體只併三冪未以髙乗之二誤也有此二誤故得平地雨深少三十五分之十七今依本法改正於後
　　法以腹徑底徑相乗又各自乗併三積以半罌深八寸乗之得六千六百五十六寸為三倍方罌内腹下雨積又以口徑腹徑相減餘一十三寸五分以雨深減罌深餘四寸相乗以半罌深除之得六寸七分五厘與口徑相加得一十七寸二分五厘為雨靣徑與腹徑相乗又各自乗併三積以雨上深四寸乗之得五千一百五十寸二五為方罌内三倍腹上雨積併二雨積得一萬一千八百零六寸二五為方罌内三倍共雨積為實口徑自乗三因得三百三十寸七五為法除實得三尺五寸又一千三百二十三分寸之九百二十為平地雨深若不先用除則以口徑腹徑較與罌深雨深較相乗之五十四寸為雨靣徑口徑較加一半罌乗之數〈應以半罌除之得雨徑較今不除即如雨徑較以半罌乗之〉即為雨靣徑口徑較此數既加一半罌乗則諸數皆以半罌乗之得口徑八十四寸腹徑一百九十二寸以口徑與雨靣徑口徑較相加得雨靣徑一百三十八寸與腹徑相乗又各自乗併三冪以腹上雨深四寸乗之得三十二萬九千六百一十六寸為三倍上雨積又以半罌深冪乗前三倍下雨積得四十二萬五千九百八十四寸為三倍下雨積併二積得七十五萬五千六百寸為三倍共雨積為實以半罌深冪乗三因口徑冪得二萬一千一百六十八寸為法除之得數亦同
　　峻積驗雪
　　問驗雪占年墻髙一丈二尺倚木去址五尺梢與墻齊木身積雪厚四寸峻積薄平積厚欲知平地雪厚㡬何
　　答曰平地雪厚一尺四分
　　術曰以少廣求之連枝入之以去址自乗為隅以墻髙自乗併隅於上以雪厚自之乗上為實〈可約者約而開之〉開連枝平方得地雪厚
　　草曰以問數皆通為寸置去址五十寸自乗得二千五百為隅以墻髙一百二十寸自乗得一萬四千四百寸併隅得一萬六千九百寸於上以雪厚四寸自之得一十六乗上得二十七萬四百寸為實開連枝平方今隅實可求等得一百俱約之得二千七百四為實得二十五為隅開平方得一十寸四分展為一尺四分為平地雪厚合問
　　按此術理法皆確然實用勾股不曰勾股而曰少廣曰連枝者猶有所閉匿而不肯盡發也試以圗明之甲乙為牆上雪厚即平地雪厚乙丙為木上雪厚甲乙丙勾股形與木倚牆所成勾股形同式牆髙為大股木為大弦木去址為大
　　勾甲乙為小弦甲丙為小
　　股乙丙為小勾以牆髙大
　　股自乗木去址大勾自乗
　　併之為大弦冪為實以木
　　上雪厚乙丙小勾冪乗之以木去址大勾冪除之得甲乙小弦冪開平方即為平地雪厚也









　　數學九章卷二下