數學鑰 (四庫全書本)/全覽
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欽定四庫全書 子部六
數學鑰 天文算法類二〈算書之屬〉提要
〈臣〉等謹案數學鑰六巻
國朝杜知耕撰其書列古方田粟布裒分少廣商功均輸盈朒方程勾股九章取今線面體三部之法𨽻之載其圖解並摘其要語以為之注與方中通所撰數度衍用今法以合九章者體例相同而每章設例必標其凡於章首每問答有所旁通者必附其術於條下所引証之文必著其所出蒐輯尤詳梅文鼎勿菴歴算書記曰近代作者如李長茂算海詳説亦有發明然不能具九章惟方位伯數度衍於九章之外蒐羅甚富杜端伯數學鑰圖注九章頗中肯綮可為筭家程式其説固不誣矣世有二本其一為妄人竄亂殊失本真此本猶當日初刋今據以校正以復知耕之舊焉乾隆四十六年四月恭校上
總纂官〈臣〉紀昀〈臣〉陸錫熊〈臣〉孫士毅
總 校 官〈臣〉陸費墀
欽定四庫全書
數學鑰卷一凡例
柘城杜知耕撰
凡例〈計十四則〉
一則
數非圖不明圖非手指不明圖用甲乙等字作誌者代指也作誌必用甲乙等字者取其筆畫省而不亂正文也甲乙等字盡則用子丑等字又盡則用乾坤等字如云甲乙丙丁方形則指第一圖戊巳庚辛方形
則指第二圖或錯舉二字謂
第一圖為甲丁或乙丙形謂
第二圖為戊辛或巳庚形又
指第一圖左下角曰甲角右
下角曰乙角又或有兩角相
連如第三圖兩形相同一角
如第四圖舉一字不能别為某形某角則連用三字曰寅癸丑角或壬癸子角以中一字為所指之角二則
四邊皆等四角中矩者曰方形如第一圖四角中矩四邊兩兩相等者曰直形如第二圖或四邊等或兩邊等而四角俱不中矩者曰象目形如第三圖四邊俱
不等兩角中矩兩
角不中矩者曰斜
方形如第四圖角
不中矩兩邊相等
者曰梯形如第五
圖邊及角俱不等
者曰無法形如第六圖三邊形有一方角者〈甲為方角〉曰勾股形如第七圖無方角者曰三角形如第八圖三則
形邊之界曰線線之縱者曰長或曰高衡者曰濶或曰廣在下者或曰底斜對兩角者曰
四則
形之積步積尺曰積曰容方形之容或曰羃
五則
線之作誌處曰㸃
六則
兩線相並曰和
七則
以此線比彼線彼線之大于此線者以此形比彼形彼形之大于此形者或曰較或曰差如甲丙線之大于甲乙線為丙乙則丙乙為兩線之較線或曰兩線之
差丁己形之大于丁戊形為庚己形
則庚己為兩形之較形或曰兩形之
差
八則
甲乙線上作甲丙方形各邊俱等于甲乙曰甲乙線上
方形其形之容即甲乙自乘
之數丁戊衡線戊己縱線内
作丁己直形己庚與丁戊等
庚丁與戊己等曰丁戊偕戊己兩線矩内形其形之容即丁戊戊己相乘之數
九則
甲乙衡線上作丙丁縱線而丙丁乙與丙丁甲兩角俱
方角則丙丁為甲乙線上之垂線
十則
兩直線引至無窮不相離亦不相遇曰平行線平行線内任作幾形皆等高如甲乙丙丁兩線平行兩線内
作戊己庚三角形與辛壬直形兩形
之高必相等凡兩形等高者則曰同
在平行線内
十一則
甲乙丙三形並為一形形曲如磬曰甲乙丙磬折形
十二則
方形並舉四邊曰方周
十三則
方形或圓形外實中虚曰環其中虚處曰虚形或曰缺形
十四則
甲乙形以丙丁線分之成甲丁丙乙兩形或再以戊己
線分之成甲庚丙己戊丁庚乙四形
謂甲丁等二形或甲庚等四形曰分
形謂甲乙元形曰全形
數學鑰巻一凡例
欽定四庫全書
數學鑰巻一目録
柘城杜知耕撰
方田上〈直線類〉
一則實積求畝
二則直形求積
三則方形求積
四則勾股求積〈二法〉
五則三角形求積
六則斜方形求積
七則梯形求積
〈西法〉八則象目形求積〈二法〉
九則諸直線形求積
十則積求方邊〈即開平方 二法〉
十一則方邊求斜
十二則斜求方邊
十三則直積求長與濶〈即帶縱開平方〉
十四則直形以長求濶
十五則直形以濶求長
十六則直形長濶求
十七則直形濶求長
十八則直形長求濶
十九則直形長及濶差求濶
二十則直形濶及長差求長
二十一則直形及長濶和求長濶差
二十二則直形長及濶和求濶
二十三則直形濶及長和求長
二十四則直形及長濶差求長與濶
二十五則直形長和及濶和求長與濶二十六則直形長差及濶差求長與濶二十七則直形積及長濶和求長濶差
二十八則直形積及長濶和求
二十九則兩邊等之三角形求對角之垂線〈増〉三十則有一方角之三角形求對角之垂線〈増〉三十一則不等邊而無方角之三角形求對角之垂線
三十二則方周求積
三十三則方環以周求積
〈増〉三十四則方環以積及濶求邊
三十五則直形依長截濶
三十六則直形依濶截長
三十七則直形截勾股
三十八則直形截三角
三十九則直形截斜方
四十則直形截梯形
四十一則三角形以截積截濶求截長〈勾股截積同〉
四十二則三角形以截積截長求截濶
四十三則三角形以截長求截濶
四十四則三角形以截濶求截長
四十五則三角形以截積求截長
四十六則三角形以截積求截濶
四十七則斜方形以截積截長求截濶〈梯形截積同〉
四十八則斜方形以截積截濶求截長
四十九則斜方形以截濶求截長
五十則斜方形以截長求截濶
五十一則斜方形依小邊截積求截濶
五十二則斜方形依大邊截積求截濶
五十三則梯形截勾股
五十四則梯形截斜方
五十五則梯形截無法五邊形
〈増〉五十六則方環截外周
〈増〉五十七則方環截内周
數學鑰巻一目録
欽定四庫全書
數學鑰巻一
柘城杜知耕撰
方田上〈直線類〉
一則
實積求畝
設田積二萬九千五百二十步求畝法曰置積為實以畝法二四除之得一百二十三畝即所求
解曰五尺為步二百四十步為畝如自甲至乙濶一
步〈即五尺〉餘三邊各與甲乙等則甲丙
方形為積一步二百四十倍之則為
一畝故畝法用二四也本巻及二巻
皆言求積之法得積以此法求之即
得畝數
二則
直形求積
設直田長十步濶八步求積法曰置長為實以濶乘之得八十步即所求
解曰直田長濶不等求積之法任取
一邊為此一邊之倍數〈或以濶乘長或以長乘濶〉如甲戊形之戊乙己甲各二步則二
倍甲乙邊八步之數而甲戊形得積
一十六步今丙乙丁甲各十步是十倍甲乙邊八步之數故得積八十步也
三則
方形求積
設方田方八步求積法曰置八步自乘得六十四步
即所求
解曰方田四邊皆等以此邊為此邊
之倍數與以他邊為此邊之倍數同
故法用自乘也
四則
勾股求積
設勾股田股長十二步勾濶八步求積法曰置股為實以勾乘之〈得九十六步〉折半得四十八步即所求解曰勾股形當等高等濶直形之半如甲乙丙勾股
形另作丁己直形
與之等高〈謂丁庚與甲丙
等等濶〉〈謂丁戊與甲乙等〉以庚戊線分之則
成丁戊庚庚己戊兩勾股形皆與甲乙丙勾股形等夫丁己一直形當甲乙丙勾股形二而甲乙丙勾股形不當丁己直形之半乎法以勾乘股所得者丁己直形積也故半之得勾股積又法置股為實以半勾〈四步〉乘之所得同前〈半股為實以勾乘之亦得〉
解曰丁己直形再以壬辛線中分之成丁壬辛己兩分形法以半勾乘股所得即分形積也勾股既為丁己直形之半而分形亦為丁己直形之半故分形積即勾股積也
五則
三角形求積
設三角田中長一十二步底濶八步求積法同勾股田
解曰甲乙丙三角形依底線作甲丁直形從角以丙
己線分之則三角
形内成甲己丙乙
己丙兩勾股形直
形内成甲丙己丁
兩分形從前解推
之甲己丙勾股形
當甲丙分形之半
乙己丙勾股形當
己丁直形之半兩勾股形既當兩分形之半而三角全形不為甲丁全形之半乎故求積之法與勾股同也 或兩邊等〈如第一圖〉或三邊等〈如第二圖〉或三邊俱不等〈如第三圖〉法皆同
六則
斜方形求積
設斜方田長一十
五步上濶六步下
濶十步求積法曰
置長為實以兩濶
相並〈共一十六步〉折半〈得八步〉為法乘之得一百二十步即所求
解曰甲乙丁庚斜方形減去辛丁直形所餘必甲庚辛勾股形勾股形既為等高等濶直形之半〈本巻四則〉則己庚直形必與甲庚辛勾股形等又己庚直形與辛丁直形並亦必與甲庚辛勾股形與辛丁直形並等法並兩濶折半者乙己之度也以乙己乘丁乙所得乃己丁直形也而己丁直形即己庚辛丁兩形並也安得不與甲乙丁庚斜方形等乎
七則
梯形求積
設梯田長一十五步上濶六步下濶十步求積法同斜方田
解曰甲乙丙丁梯形減去戊丁直形餘甲丙戊乙丁
己兩勾股形必與
辛丙己庚兩分形
等今戊丁直形與
兩分形並則與全
梯形等矣故並兩濶折半乘長得積也
八則
象目形求積
設象目田濶八步正長一十二步求積法曰置正長
為實以濶乘之得
九十六步即所求
解曰幾何原本云
甲乙丙丁象目形
甲戊為正長自乙
作乙己線與甲戊平行次于丁丙線引長之至戊成甲乙己戊甲乙丁丙兩形在平行線内〈等高即在平行線内〉而同底〈等濶即同底〉則兩形必相等何也甲戊乙己兩線既平行則戊己必與甲乙等而丙丁元等于甲乙則丙丁與戊己必亦等丙丁既與甲乙等則甲丙乙丁兩線必平行而亦相等因顯甲丙戊乙丁己兩三角形亦等于兩形内每減一己丙庚三角形所餘甲庚己戊庚乙丙丁兩無法四邊形亦等次于兩無法形每加一甲庚乙三角形則成甲乙丙丁甲乙戊己兩形安得不等法以濶乘正長得甲己直形之積即甲乙丙丁象目形之積
又法甲乙丙丁象目田自甲量至丁得一十六步自丙量至戊得六步兩數相乘亦得九十六步與前同
解曰象目田以甲丁線分之則成相
等之兩三角形甲丁即底丙戊即中
長也故以底乘長得全積也〈三角法以底乘
長折半得積今不折故得兩形之共積〉
九則
諸直線形求積
第一圖
可作三
三角形
第二圖
可作一
斜方形
一三角
形第三圖可作一三角形而減一小三角形第四圖可作一方形而減一勾股形第五圖可作一直形一勾股形第六圖可作兩三角形其餘千形萬狀凡屬直線邊者皆依方直三角勾股裁之
十則
積求方邊〈即開平方〉
設方田積三萬六千一百步求方邊法曰置積于中為實初商一百步于實左亦置一百步于實右為方法左右對呼除實一萬步〈餘二萬六千一百步〉倍方法〈得二百步〉為
亷法次商九十步于左初商
之次〈共一百九十步〉亦置九十步于
右亷法之次為隅法〈共二百九十步〉以左次商與亷法對呼除實
一萬八千步〈餘八千一百步〉又以左
次商與隅法對呼除實八千
一百步恰盡于左得一百九十步即所求方邊之數解曰初商與方法對呼所除者己辛方形也〈即大方積〉次商與亷法對呼所除者甲壬壬丁兩直形也〈即兩亷〉必倍方法為亷法者以亷有二也次商與隅法對呼所除者庚戊方形也〈即隅方〉四形恰盡實積則初次兩商
之數為方田邊無疑矣
又設方田積七萬一千八百
二十四步求方邊法曰置積
于中為實初商二百步于左
亦置二百步于右為方法左
右對呼除實四萬步〈餘三萬一千八
百二十四步倍方法〉〈得四百步〉為亷法
次商六十步于左初商之次亦置六十步于亷法之次為隅法先以次商與亷法對呼除實二萬四千步再以次商與隅法對呼除實三千六百步〈餘實四千二百二十四步〉又倍次商〈得一百二十步〉並右亷法〈共五百二十步〉復為亷法三商八步于左初商次商之次〈共二百六十八步〉亦置八步于右亷法之次復為隅法先以三商與亷法對呼除實四千一百六十步再以三商與隅法對呼除實六十四步恰盡于左初次三三商共得二百六十八步即所求方邊之數
解曰此與前條無異但前二位此三位耳初商次商不能盡故三商之如三商又不盡則四商五商倣此十一則
方邊求斜
設方田方五十步求法曰置方數自乘〈得二千五百步〉倍
之〈得五千步〉平方開之〈本巻十則〉得七十步零
七分有竒即所求
解曰甲乙丙丁方形作甲丁丙乙
線次作己庚辛壬方形令方邊與甲
丁方形之線等則庚壬方形必倍大于甲丁方形何也甲丁形内丁戊丙丙戊甲甲戊乙乙戊丁三角形四是四三角形當一甲丁方形也形外丁丙己乙丁壬甲乙辛丙甲庚三角形亦四各與甲丁形内四三角形等是形外四三角形又當一甲丁方形矣因知斜自乘之方形〈即庚壬方形〉倍大于方邊自乘之方形〈即甲丁方形〉法置方邊自乘即甲丁方積也倍之即庚壬方積也平方開之得庚壬方形之邊即得甲丁方形之也
十二則
斜求方邊
設方田長七十步零七分有竒求方邊法曰置自乘〈得五千步〉折半〈得二千五百步〉平方開之得五十步即所求解曰置自乘求庚壬方積也〈圖同上則〉折半即甲丁方積也故平方開之得甲乙
十三則
直積求長與濶〈即帶縱開平方〉
設直田積九百七十二步長濶差九步求長與濶法
曰置積四因之〈得三千八百八十八步〉又長濶
差自乘〈得八十一步〉兩數並〈共三千九百六十九步〉平方開之得六十三步加長濶差〈共七
十二步〉折半得三十六步即長以長濶
差減長餘二十七步即濶
解曰一線任兩分之兩分線矩内形四及兩分線之較線上方形一並與元線上方形等如圖甲乙線兩分于丙丙子庚癸己壬辛丑四線各與乙丙等庚子己癸辛壬丙丑四線各與甲丙等則丙庚庚己己辛辛丙四形必兩分線矩内形也辛丑既等于丙乙壬辛又等于甲丙則丑壬必兩分線之較線壬癸癸子子丑又各等于丑壬則癸丑形必較線上方形矣甲乙元線上方形不與五形並等乎直田積即兩分線矩内形也四因之者矩内形四也長濶差自乘即較線上方形也五形並等于元線上方形故平方開之得甲乙元線即長濶相和之度也〈開方所得之六十三步〉長濶和增一長濶差即兩長兩長折半非一長而何以長濶差減長非濶而何
十四則
直形以長求濶
設直田積九百七十二步長三十六
步求濶法曰置積為實以長除之得
二十七步即所求
解曰濶為長之倍數故以長除積得
濶〈本巻二則〉
十五則
直形以濶求長
設直田積九百七十二步濶二十七步求長法曰置積為實以濶除之得三十六步即所求
解曰長亦為濶之倍數故以濶除實得長〈本巻二則〉十六則
直形長濶求
設直田濶二十七步長三十六步求
法曰長濶各自乘〈長得一千二百九十六步濶得
七百二十九步兩數並〉〈共二千零二十五步〉平方開之
得四十五步即所求
解曰此即勾股求〈六巻一則〉
十七則
直形濶求長
設直田濶二十七步四十五步求長法曰濶各自乘〈得二千零二十五步濶得七百二十九步〉兩數相減〈餘一千二百九十六〉平方開之得三十六步即所求
解曰此即勾求股〈六巻二則〉
十八則
直形長求濶
設直田長三十六步四十五步求濶法曰長各自乘〈得二千零二十五步長得一千二百九十六步〉兩數相減〈餘七百二十九步〉平方開之得二十七步即所求
解曰此即股求勾〈六巻三則〉
十九則
直形長及濶差求濶
設直田長三十六步濶差一十八步求濶法曰長與濶差各自乘〈長得一千二百九十六步濶差得三百二十四步〉兩數相減〈餘九百七十二步〉折半〈得四百八十六步〉以濶差為法除之得二十七步即所求
解曰此即股與勾較求勾〈六巻十四則〉
二十則
直形濶及長差求長
設直田濶二十七步長差九步求長法曰置濶自乘〈得七百二十九步〉以長差為法除之〈得八十一步〉減長差〈餘七十二步〉折半得三十六步即所求
解曰此即勾與股較求股〈六巻十五則〉
二十一則
直形及長濶和求長濶差
設直田長濶和六十三步四十五步求長濶差法曰置自乘〈得二千零二十五步〉倍之〈得四千零五十步〉另置長濶和自乘〈得三千九百六十九步〉兩數相減〈餘八十一步〉平方開之得九步即長濶差以減長濶和〈餘五十四步〉折半得二十七步即濶加長濶差得三十六步即長
解曰此即與勾股和求勾股較〈六巻七則〉
二十二則
直形長及濶和求濶
設直田濶和七十二步長三十六步求濶法曰置長自乘〈得一千二百九十六步〉以濶和為法除之得一十八步即濶差以減濶和〈餘五十四步〉折半得二十七步即所求
解曰此即股與勾和求勾較〈六巻十八則〉
二十三則
直形濶及長和求長
設直田長和八十一步濶二十七步求長法曰置濶自乘〈得七百二十九步〉以長和為法除之得九步即長差以減長和〈餘七十二步〉折半得三十六步即所求解曰此即勾與股和求股較〈六巻十九則〉
二十四則
直形及長濶差求長與濶
設直田長濶差九步四十五步求長與濶法曰置自乘〈得二千零二十五步〉倍之〈得四千零五十步〉另置長濶差自乘〈得八十一步〉兩數相減〈餘三千九百六十九步〉平方開之得六十三步即長濶和加長濶差〈共七十二步〉折半得三十六步即長減長濶差餘二十七步即濶
解曰此即與勾股較求勾股和〈六巻十則〉
二十五則
直形長和及濶和求長與濶
設直田長和八十一步濶和七十二步求長與濶法曰置長和以濶和乘之〈得五千八百三十二步〉倍之〈得一萬一千六百六十四步〉平方開之得一百零八步與長和相減餘二十七步即濶與濶和相減餘三十六步即長
解曰此即勾和股和求勾與股〈六巻十三則〉
二十六則
直形長差及濶差求長與濶
設直田長差九步濶差一十八步求長與濶法曰置長差以濶差乘之〈得一百六十二步〉倍之〈得三百二十四步〉平方開之得一十八步加濶差得三十六步即長加長差得二十七步即濶
解曰此勾較股較求勾與股〈六巻二十則〉
二十七則
直形積及長濶和求長濶差
設直田長濶和六十三步積九百七十二步求長濶差法曰置長濶和自乘〈得三千九百六十九步〉另置積四因之〈得三千八百八十八步〉兩數相減〈餘八十一步〉平方開之得九步即所求
解曰長濶和自乘之方積當直田積四長濶差自乘之方積一故以長濶和自乘減去四直田積餘以平方開之得長濶差也〈本巻十三則〉
二十八則
直形積及長濶和求
設直田積九百七十二步長濶和六十三步求法曰置長濶和自乘〈得三千九百六十九步〉另置積倍之〈得一千九百四十四步〉兩數相減〈餘二千零二十五步〉平方開之得四十五步即所求
解曰甲戊形長濶和自乘之方也庚
辛形自乘之方也甲戊形内勾股
八及長濶差自乘之方一庚辛形内
勾股四及長濶差自乘之方一每二
勾股當一直形〈如一丙乙丑辛直形内有乙丙辛丑辛丙〉
〈兩勾股形〉是長濶和上方形大于上方形之較為二直田積也故法以長濶和自乘減去二直田積平方開之即得度也
二十九則
兩邊等之三角形求對角之垂線
設三角田底濶六步兩餘邊各五步
求中長法曰置底折半〈得三自步〉乘〈得九
步餘邊亦自乘〉〈得二十五步〉兩數相減〈餘一
十六步〉平方開之得四步即所求
解曰丙乙作乙丁作勾以所求之丙丁作股此即勾求股法也〈六巻二則〉甲乙邊折半即得勾者以乙丙丙甲兩邊等也設兩邊不等此法不行矣則有下法在
三十則
有一方角之三角形求對角之垂線
設不等邊三角田有一方角〈丙為方角即勾股田〉底濶十步乙丙邊六步甲丙邊八步求中長法曰置乙丙邊自乘〈得三十六步〉以底除之〈得三步六分○此即丁乙之度以下仍勾求股法〉又自乘
〈得一十二步九分六釐〉與丙乙邊自乘之數相
減〈餘二十三步零四釐〉平方開之得四步八分
即所求
解曰此勾股求對角垂線法也〈六巻二十
五則〉因有方角故用之若無方角此法
又窮矣更有一法不問等邊方角與否皆可求如下則
三十一則
不等邊而無方角之三角形求對角之垂線
設三角田底濶一十五步乙丙邊八
步甲丙邊十步求中長法曰置乙丙
甲丙兩邊各自乘〈乙丙得六十四步甲丙得一百步〉兩數相減〈餘三十六步〉為實以底除之〈得二
步四分以減底〉〈餘一十二步六分〉折半〈得六步三分〉
〈即乙丁之度以下勾求股法〉又自乘〈得三十九步六分九釐〉另置乙丙自乘〈得六十四步〉兩數相減〈餘二十四步三分一釐〉平方開之得四步九分三釐有竒即所求
解曰甲乙丙三角形丁為對角㸃另作庚辛為乙丙
邊上方壬癸為甲
丙邊上方壬癸大
于庚辛之較為夘
子丑磬折形若移
丑于寅則成夘子
寅直形又作辰巳
為丁乙上方午未
為甲丁上方午未
大于辰巳之較為申酉戌磬折形若移戌于亥則成申酉亥直形申酉亥與夘子寅兩直形必相等何也甲乙丙三角形以丙丁線分之則成丁乙丙丁甲丙兩勾股形既皆勾股形則丙乙上方形必與丙丁股乙丁勾上兩方形並等甲丙上方形必與丙丁股甲丁勾上兩方形並等〈六巻一則〉從此推之則甲丙上方形大于丙乙上方形之容必與丙丁甲丁上兩方形大于丙丁乙丁上兩方形之容等試減去同用之丙丁上方形則甲丙上方形大于乙丙上方形之夘子寅直形與甲丁上方形大于乙丁上方形之申酉亥直形必相等矣法以乙丙甲丙上兩方形相減餘即夘子寅直形之容亦即申酉亥直形之容也夫申酉亥直形以甲乙底為長〈以甲丁乙丁兩線並為長即以甲乙全線為長〉以甲丁乙丁之較線甲己為濶者也故以甲乙底除之得甲己甲己既為甲丁乙丁之較線于甲乙線減去甲己則己丁乙丁兩線等矣故折半得乙丁餘仍勾求股法〈六巻二則〉同前則
三十二則
方周求積
設方田周二百步求積法曰置周自乘〈得四萬步〉以方法十六除之得二千五百步即所求
解曰假如一步以
四面計之則周四
步四步自乘得一
十六步是周自乘
之十六步止得實積一步故以十六為方法也然此法止可施于方田至于直田則不可用如下圖直田長六十步濶四十步周亦得二百步實積止得二千四百步如以前法求之則多積百步矣
三十三則
方環以周求積
設方環田外周二百八十步内周一百二十步求積法曰二周各自乘〈外周得七萬八千四百步内周得一萬四千四百步〉兩數相
減〈餘六萬四千步〉以方法十六除之得四千
步即所求
解曰此方内減方法也○如知環濶
則用梯田法置兩周相並折半以濶
乘之即得環積
三十四則
方環以積及濶求邊
設方環田積四千步濶二十步求内外邊法曰置濶自乘〈得四百步〉以四因之〈得一千六百步〉以減環積〈餘二千四百步〉餘積
以四歸之〈得六百步〉以濶除之得三十步
即内邊倍濶〈得四十步〉加之得七十步即
外邊
解曰法以環濶自乘者求環之隅方
也〈即甲等〉以四因之者環之隅有四也〈即甲乙丙丁四方形〉以減環積所餘必四直形也〈即戊己庚辛四直形〉四歸之者取四直形之一也以濶除之即得内邊者其直形以環之濶為濶以内邊之度為長也加兩濶即得外邊者外邊大于内邊之較為兩濶也○或四因環濶除積得五十步〈即直方兩形並之共長〉加濶得外邊減濶得内邊
三十五則
直形依長截濶
設直田長八十五步依元長截積二千七百二十步
求截濶法曰置積為實以元長除之
得三十二步即所求
解曰即以長求濶法〈本巻十四則〉
三十六則
直形依濶截長
設直田濶六十四步依元濶截積二千七百二十步求截長法曰置積為實以元濶除之得四十二步五分即所求
解曰即以濶求長法〈本巻十五則〉
三十七則
直形截勾股
設直田長八十五步依元長截積一千三百六十步成勾股形法曰置積倍之〈得二千七百二十步〉以元長除之得三十二步即所求
解曰勾股形當等高等濶直形之半
法倍勾股積即乙丙直形積也乙丙
直形既倍勾股積則必與勾股等高
等濶矣故求乙丙直形之濶即勾股
之濶也
三十八則
直形截三角
設直田濶六十四步依元濶截積一千三百六十步成三角形求長法曰置積倍之〈得二千七百二十步〉以元濶除
之得四十二步五分即所求
解曰三角形亦當等高等濶直形之
半法倍三角積即甲乙直形積也甲
乙直形既倍三角積則必與三角形
等高等濶矣故求甲乙直形之長即三角形之長也三十九則
直形截斜方
設直田長八十五步依元長截積二千七百二十步成斜方形兩濶相差五步求兩濶法曰置積為實以
元長除之〈得三十二步〉另置相差五步折
半〈得二步五分〉並三十二步得三十四步
五分即大邊減三十二步得二十九
步五分即小邊
解曰以元長除積者求甲乙直形之濶也甲乙直形之濶為斜方兩濶之中度〈謂小于大邊二步五分大于小邊亦二步五分〉故置差折半增減之即得兩濶
四十則
直形截梯形
設直田濶六十步依元濶截積三千七百八十步成梯形兩濶相差一十二步求長法曰置積為實倍元濶〈得一百二十步〉減相差一十二步〈餘一百零八步〉折半〈得五十四步〉為
法除之得七十步即所求
解曰倍濶減差折半者求甲乙直形
之濶也甲乙直形濶為梯形兩邊之
中度〈謂小于大邊六步大于小邊亦六步〉則直形之容
必與梯形等故求直形之長即得梯形之長
四十一則
三角形以截積截濶求截長〈勾股截積同〉
設三角田依角截積一千三百六十
步截濶六十四步求截長法曰置積
倍之〈得二千七百二十步〉以濶除之得四十二
步五分即所求
解曰此與直田截三角同〈本巻三十八則〉
四十二則
三角形以截積截長求截濶
設三角田依角截積一千三百六十步截長四十二步五分求截濶法曰置積倍之〈得二千七百二十步〉以長除之得六十四步即所求
解曰此與直田截勾股同〈本巻三十七則〉
四十三則
三角形以截長求截濶
設三角田元長二百步濶一百五十步自角截長一百五十步求截濶法曰置截長為實以元濶乘之〈得二萬二千五百步〉以元長除之得一百一十二步五分即所求解曰凡三角形任以一線分之分線若與底線平行則分形之比例必各與全形等謂丙丁與丁戊若丙甲與甲乙丁戊與丙庚若甲乙與丙己又丁戊與甲乙若丙丁與甲丙丙庚與丙己也〈泰西幾何原本〉甲乙丙即元形丁戊丙即截形也則截長與截濶之比例必若元長與元濶矣截濶與元濶之比例亦必若截長與
元長矣〈謂截長大于截濶幾
分之幾則元長亦大于元濶幾分之
幾截濶小于元濶幾分之幾則截長
亦小于元長幾分之幾〉法以
元濶乘截長以元長除之者借元長及元濶之比例因截長以求截濶也〈求比例用異乘同除法詳三巻五則〉
四十四則
三角形以截濶求截長
設三角田元長二百步濶一百五十步截濶一百一十二步五分求截長法曰置截濶為實以元長乘之〈得二萬二千五百步〉以元濶除之得一百五十步即所求解曰此借元濶元長之比例因截濶以求截長也四十五則
三角形以截積求截長
設三角田元長二百步濶一百五十步自角截積八千四百三十七步五分求截長法曰置積倍之〈得一萬六千八百七十五步〉為實以元長乘之〈得三百三十七萬五千步〉以元濶除之〈得二萬二千五百步〉平方開之得一百五十步即所求
解曰甲乙丙即元
形丁戊丙即截形
丁壬為截形等高
等濶之直形辛壬
為截長丙庚線上方形丁壬辛壬兩形之高必相等兩形既等高則其比例必若丁戊與辛戊〈幾何原本云凡兩形等高形與形之比例若線與線〉辛戊與截長丙庚等而丁戊即截濶是丁壬與辛壬之比例若截濶與截長也分形之比例元與全形等〈本巻四十三則〉則丁壬與辛壬之比例又若元濶與元長矣法倍截積者求丁壬直形也以元長乘元濶除之者借元長元濶之比例因丁壬直形以求辛壬方形也辛壬為截長丙庚上方形故平方開之得截長也
四十六則
三角形以截積求截濶
設三角田元長二百步濶一百五十步自角截積八千四百三十七步五分求截濶法曰置截積倍之〈得一萬六千八百七十五步〉為實以元濶乘之〈得二百五十三萬一千二百五十步〉以
元長除之〈得一萬二千六
百五十六步二分五釐〉平方
開之得一百一十
二步五分即所求
解曰甲乙丙即元形丁戊丙即截形丁壬為截形等高等濶之直形丁辛為截濶丁戊上方形丁壬丁辛兩形之濶必相等兩形既等濶則其比例必若戊壬與戊辛戊辛與截濶等戊壬與截長等是丁壬與丁辛之比例若截長與截濶亦若元長與元濶矣法倍截積者求丁壬直形也以元濶乘元長除之者借元長元濶之比例因丁壬直形以求丁辛方形也丁辛為截濶丁戊上方形故平方開之得截濶也○以上皆自角截積法若自底截積則以截積減元積餘積亦以上法求之得濶即截濶得長減元長餘為截長四十七則
斜方形以截積截長求截濶〈梯形截積同〉
設斜方田元長九十步大邊
濶三十八步小邊濶二十步
依小邊截積八百二十二步
五分截長三十五步求截濶
法曰置積為實以截長除之
〈得二十三步五分〉倍之〈得四十七步〉減小
邊元濶餘二十七步即所求
解曰以截長除積者求甲丙直形之濶甲乙也甲乙為小邊及截濶之中度倍之則與小邊及截濶並等矣故減小邊即得截濶也
四十八則
斜方形以截積截濶求截長
設斜方田元長九十步大邊濶三十八步小邊濶二十步依小邊截積八百二十二步五分截濶二十七步求截長法曰置積為實以截濶與小邊元濶並〈得四十七步〉折半〈得二十三步五分〉為法除之得三十五步即所求解曰以截濶與小邊相並折半者求兩濶之中度甲乙也〈同前圖〉故以除積得截長
四十九則
斜方形以截濶求截長
設斜方田元長九十步大邊
濶三十八步小邊濶二十步
截濶二十七步求截長法曰
置小邊元濶與截濶相減〈餘七〉
〈步〉為實以元長乘之〈得六百三十步〉另以兩元濶相減〈餘一十八步〉除之得三十五步即所求
解曰小邊與截濶相減所餘必庚己兩元濶相減所餘必甲戊庚己與截長之比例若甲戊與元長也與三角形同〈本巻四十三則〉
五十則
斜方形以截長求截濶
設斜方田元長九十步大邊濶三十八步小邊濶二十步自小邊截長三十五步求截濶法曰置截長為實以兩元濶相減〈餘一十八步〉乘之〈得六百三十步〉以元長除之〈得七步〉並小邊元濶得二十七步即所求
解曰七步即己庚之度也〈圖同前〉故加小邊元濶得截濶餘同前解
五十一則
斜方形依小邊截積求截濶
設斜方田元長九十步大邊濶三十八步小邊濶二十步自小邊截積八百二十二步五分求截濶法曰置積為實以兩元濶相減〈餘一十八步〉乘之〈得一萬四千八百零五步〉以元長除之〈得一百六十四步五分〉倍之〈得三百二十九步〉另以小邊元濶自乘〈得四百步〉兩數並〈共七百二十九步〉平方開之得二十七步即所求
解曰甲乙丙丁全形己辛丙丁截形丙丁與甲乙為兩元濶辛己為截濶丙戊為元長丙庚為截長庚己
為小邊與截濶之較線甲戊
為兩元濶之較線癸辛為截
濶上方形子辛為小邊上方
形〈庚辛與丙丁等〉癸辛之大于子辛
者為丑寅兩亷與夘一隅夘隅即較線庚己上方形也截形以丙庚線分之必成庚丁一直形己丙庚一勾股形若以截長丙庚除直形必得辛庚線再以較線己庚乘之必成一亷〈兩亷俱以小邊為長以較線為濶〉若以截長丙庚除勾股必得庚壬線庚壬者庚己之半也再以庚己乘之必成半隅然直形與勾股兩形實一截形之分也若以己庚乘截積以丙庚除之亦必得一亷半隅也又全形之比例與截形等〈本巻四十九則〉丙戊之與甲戊必若丙庚之與己庚故置截積以元長丙戊除之以兩邊較線甲戊乘之亦得一亷半隅與前同倍之則成兩亷一隅夫小邊上方形之小于截濶上方形者此兩亷一隅也並之則成截濶上方形矣故平方開之得截濶
五十二則
斜方形依大邊截積求截濶
設斜方田元長九十步大邊濶三十八步小邊濶二十步自大邊截積一千七百八十七步五分求截濶法曰置積為實以兩元濶相減〈餘一十八步〉乘之〈得三萬二千一百七十五步〉以元長除之〈得三百五十七步五分〉倍之〈得七百一十五步〉另以大邊元濶自乘〈得一千四百四十四步〉兩數相減〈餘七百二十九步〉平方開之得二十七步即所求
解曰既自大邊截積則
元形之大邊亦即截形
之大邊而截濶為小邊
小邊上方形之小于大
邊上方形者兩亷一隅也故于大邊上方形内減去兩亷一隅平方開之即得截濶○若並求長得濶用本巻四十八則法求之
五十三則
梯形截勾股
設梯田元長一百二十步大邊濶八十步小邊濶二十步自一角截勾股積三百四十八步四分八釐求
截濶法曰置積倍之〈得六百九十六
步九分六釐〉以兩元濶相減〈餘六十步〉折半〈得三十步〉乘之〈得二萬零九百零八步八
分以元長除之〉〈得一百七十四步二分四〉
〈釐〉平方開之得一十三步二分即所求
解曰甲乙丙丁梯形減去甲戊丙丁斜方所餘必戊丁乙勾股形截積亦勾股形則是勾股截勾股也故法同勾股〈本巻四十六則〉○若求長則倍截積以截濶除之即得〈本巻三十八則〉
五十四則
梯形截斜方
設梯田元長一百二十步大邊濶八十步小邊濶二十步截斜方積三千六百步求截濶法曰置積為實
以元長除之〈得三十步〉另以兩元
濶相減〈餘六十步〉四歸之〈得一十五步〉兩數並得四十五步即所求
解曰元長除截積得己戊甲
庚為大邊大于小邊之半甲己又為甲庚之半則甲己為大邊大于小邊四分之一矣故四歸兩濶之較並己戊得截濶
五十五則
梯形截無法五邊形
設梯田元長一百二十步大邊濶八十步小邊濶二十步截五邊形〈即甲戊己丁丙〉積五千六百五十一步五分二釐求截濶法曰先求梯田全積〈本巻七則〉減去截積〈餘三
百四十八步四分八釐〉以梯田截勾股
法求之〈本巻五十三則〉得濶〈一十三步二分〉以減大邊元濶餘六十六步
八分即所求
解曰一十三步二分者乙己戊餘形之濶乙戊也大邊元濶甲乙減去乙戊餘甲戊即截濶
五十六則
方環截外周
設方環田外方七十步自外截積二千四百步求截
環内方法曰置元方自乘〈得四千九百步〉減
去截積〈餘二千五百步〉平方開之得五十步
即所求
解曰餘環外方即截環内方
五十七則
方環截内周
設方環田内方三十步自内截積一千六百步求截環外方法曰置内方自乘〈得九百步〉與截積並〈得二千五百步〉平方開之得五十步即所求
解曰内方自乘者補環内虚形以便開方也
數學鑰巻一
<子部,天文算法類,算書之屬,數學鑰>
欽定四庫全書
數學鑰巻二凡例
柘城杜知耕撰
凡例
一則
圓必中規不中規者不得為圓形形界曲線曰周〈如甲乙丙
丁線過心直線曰徑〉〈如丁丙線〉
二則
一率自乘之數等于兩率相乘之數則此率為兩率之中率如甲與乙之比例猶乙與丙則乙為甲丙之中率
三則
設内外兩形内形或以角或以邊抵外形之界而不交
曰相切如丙為甲乙之内切形甲乙
為丙之外切形
四則
曲線直線相雜曰雜線形
五則
割甲乙丙丁圓之一分為甲乙丙弧矢形甲乙丙曲線
曰背甲乙衡線曰丙丁縱線曰矢
丙己曰全徑丁己曰餘徑丁戊曰離
徑丙戊曰半徑
六則
設甲乙直線以線為徑作甲乙丙丁圓形曰甲乙線上
圓形
數學鑰巻二凡例
欽定四庫全書
數學鑰卷二目録
柘城杜知耕撰
方田下〈曲線類〉
一則圓徑求周
二則圓周求徑
三則圓周徑求積
四則圓徑求積
五則圓周求積
六則圓積求徑
七則圓積求周
八則圓環求積
〈增〉九則圓環以積及内周求外周
〈增〉十則圓環以積及外周求内周
十一則圓環以積及内外周求環濶
〈增〉十二則圓環以兩周求環濶
〈增〉十三則圓環以積及濶求兩周
〈增〉十四則圓環以積及濶求徑
十五則圓環以全徑及虚徑求積
〈西法〉十六則撱圓求積
〈西法〉十七則弧矢求積
〈增〉十八則弧矢形以積矢及離徑求背
〈西法〉十九則弧矢形以矢求餘徑〈求全徑離徑半徑附〉
〈西法〉二十則弧矢形以矢徑求
二十一則弧矢形以離徑半徑求
〈西法〉二十二則弧矢形以及餘徑求矢
〈增〉二十三則弧矢形以及全徑求矢
二十四則弧矢形以半半徑求矢
二十五則弧矢形以半及離徑求矢
〈增〉二十六則弧矢形以半徑半較及半離徑較求矢與
二十七則舊弧矢法以矢求積
二十八則舊弧矢法以積矢求
二十九則舊弧矢法以積求矢
〈增〉三十則增弧矢法以矢求積
〈增〉三十一則圓截圓
三十二則圓截弧矢
〈西法〉三十三則弧矢形截雜線三角形
三十四則方内減圓以餘積求圓積
三十五則方内減圓以餘積求方積〈求方邊圓徑附〉
三十六則圓内減方以餘積求方積〈求方邊圓徑附〉
三十七則圓内減方以餘積求圓積
三十八則方内減不相切之圓以餘積求方邊及圓徑
〈增〉三十九則圓内減不相切之方以餘積求圓徑及方
四十則諸雜線形求積
數學鑰巻二目録
欽定四庫全書
數學鑰巻二
柘城杜知耕撰
方田下〈曲線類〉
一則
圓徑求周
設圓田徑二十八步求周法曰置徑為實以周法二十二乘之〈得六百一十六步〉以徑法七除之得八十八步即所求
解曰徑法七周法二十二者徑與周
之比例若七與二十二也何也西洋
亞竒黙德云圓徑與圓周三倍又七
十之十則朒〈謂周不及此數也〉三倍又七十
一之十則盈〈謂周過于此數也〉先論三倍又七十之十曰丁甲乙半圜戊為心從甲作午子切線從乙從丁作乙己壬丁線各與乙戊半徑等設乙戊己角六十度己戊甲角必三十度為六邊形之半角也末從心過己過壬作戊午戊子線成戊午子等角形己戊壬既六十度則午子為等角形之邊設甲午股一百五十三
步則戊午必三百零六步〈戊午元與午子
等午子既倍大于甲午則戊午亦必倍大于甲午〉各自乘甲
午股得二萬三千四百零九步戊午
得九萬三千六百三十六步兩數
相減餘七萬零二百二十七步平方
開之得二百六十五步有竒為戊甲
勾〈即半徑〉則戊甲與甲午之比例為二
百六十五步有竒與一百五十三步
次平分午戊甲角作戊庚線任分甲午于庚〈庚戊線割圜界于酉己酉甲酉兩弧等兩弧既等則酉戊己酉戊甲兩角必等故曰平分甲庚庚午兩線不等故曰任分〉則午戊與戊甲若午庚與甲庚合之戊午偕戊甲而與戊甲若午庚偕甲庚而與甲庚更之戊午並戊甲而與甲午〈甲午即午庚偕甲庚〉若戊甲與甲庚先定戊午戊甲並為五百七十一步有竒午甲為一百五十三步則戊午並戊甲與甲午之比例若五百七十一步有竒與一百五十三步則戊甲與甲庚之比例亦若五百七十一步有竒與一百五十三步矣即以兩數各自乘並而開方得五百九十一步又八之一不盡為庚戊線〈戊甲為勾甲庚為股庚戊為〉則庚戊與甲庚之比例若五百九十一步又八之一不盡與一百五十三步次平分庚戊甲角作戊辛線則戊庚並戊甲一千一百六十二步又八之一與庚甲一百五十三步若戊甲與甲辛若設甲辛為一百五十三步則戊甲為一千一百六十二步又八之一有竒兩數各自乘並而開方得一千一百七十二步又八之一為辛戊線〈甲戊為勾甲辛為股辛戊為〉則辛戊與辛甲之比例若一千一百七十二步又八之一與一百五十三步次平分辛戊甲角作戊寅線則辛戊並戊甲二千三百三十四步又四之一與辛甲一百五十三步若戊甲與甲寅設甲寅為一百五十三步則戊甲為二千三百三十四步又四之一兩數各自乘並而開方得二千三百三十九步又四之一有竒為寅戊線〈戊甲為勾甲寅為股寅戊為〉則寅戊與寅甲之比例若二千三百三十九步又四之一有竒與一百五十三步次平分寅戊甲角作未戊線則寅戊並戊甲四千六百七十三步五分有竒與寅甲一百五十三步若戊甲與甲未若設甲未為一百五十三步則戊甲為四千六百七十三步五分有竒子戊午為半圜三分之一即為全圜六分之一甲戊午為十二分之一甲戊庚為二十四分之一甲戊辛為四十八分之一甲戊寅為九十六分之一甲戊未為一百九十二分之一復作甲戊申角與甲戊未角等成未戊申三角形未甲申其切線也為九十六邊形之一邊此邊與全徑之比例若一百五十三步與四千六百七十三步五分〈未申倍大于未甲乙丁全徑亦倍大于甲戊半徑〉以一百五十三步乘九十六邊得一萬四千六百八十八步則全邊與全徑之比例為一萬四千六百八十八步與四千六百七十三步五分約之為三又七之一不足夫形外切線尚不及三又七之一況圜周乎 次論三倍又七十一之十曰乙甲丙半圜乙丙徑戊心從丙作丙甲與半徑戊丙等〈甲丙即六邊形之一邊〉從乙作乙甲線成乙甲丙勾股形而甲為方角設甲丙勾為七百八十步乙丙為一千五百六十步兩數各自乘相減開方得一千三百五十一步不足為乙甲股則乙甲與甲丙之比例為一千三百五十一步與七百
八十步次平分甲乙丙角作乙丁線
以丁丙聨之成丁乙丙丙丁己兩勾
股形自相似葢同用丁方角在半圜
内甲丁丁丙兩線所乘之弧等則丁
丙己丁乙丙兩弧之角必等凡兩形
有兩角等者各腰俱相似則乙丁〈大股〉與丙丁〈大勾〉若丁丙〈小股〉與丁己〈小勾〉又乙
丙〈大〉與丁丙〈大勾〉若己丙〈小〉與丁己〈小勾〉
更之乙丙與己丙〈兩〉若丁丙與丁己〈兩勾〉是乙丁與丁丙〈兩股〉丁丙與丁己〈兩勾〉乙丙與己丙〈兩〉三比例皆等又乙丙與己丙〈兩〉若乙丙並甲乙〈兩腰〉與甲丙底之兩分則乙丁與丁丙亦若乙丙並乙甲與甲丙先定乙甲一千三百五十一步弱乙丙一千五百六十步是乙甲乙丙並為二千九百一十一步弱甲丙先設七百八十步則乙丁與丁丙亦為二千九百一十一步弱與七百八十步各自乘並而開方得三千零一十三步又四之一弱為乙丙線〈乙丁丙形之〉則乙丙與丁丙之比例為三千零一十三步又四之一弱與七百八十步次平分丁乙丙角作辛乙線依前論丁乙並乙丙與丙丁若乙辛與辛丙先定乙丙三千零一十三步又四之一弱乙丁二千九百一十一步弱並為五千九百二十四步又四之一弱今丙丁為七百八十步則乙辛與辛丙為五千九百二十四步又四之一弱與七百八十步欲省數改設辛丙二百四十步改設乙辛一千八百二十三步弱兩數各自乘並而開方得一千八百三十八步又十一之九弱為乙丙線〈乙辛丙形之〉則二百四十步與一千八百三十八步又十一之九弱為丙辛乙辛之比例次平分辛乙丙角作乙壬線以壬丙線聨之辛乙乙丙兩數並三千六百六十一步又十一之九弱與辛丙二百四十步為乙壬與壬丙之比例又改設壬丙六十六步改設乙壬一千零七步弱兩數各自乘並而開方得一千零九步弱則六十六步與一千零九步弱為壬丙與乙丙之比例末平分壬乙丙角作乙庚線以庚丙線聨之乙庚與庚丙若壬乙並乙丙二千零一十六步又六之一與丙壬六十六步兩數各自乘並而開方得二千零一十七步又四之一弱為乙丙線〈乙庚丙形之〉則庚丙與乙丙之比例為六十六步與二千零一十七步又四之一弱丙甲弧為全圜六分之一丙丁十二分之一丙辛二十四分之一丙壬四十八分之一丙庚九十六分之一是丙庚為九十六邊内切圜形之一邊也以六十六步乘九十六邊得六千三百三十六步為九十六邊内切形之周乙丙徑為二千零一十七步又四之一弱約之徑一周三又七十一之十強夫圜内切線為三又七十一之十尚強況圜周乎○按三又七十一之十設徑一則周三一四零八四五零七零四二二有竒設周一則徑三一八三八五六五零二二再約之徑七十一步周二百二十三步三又七十之十設徑一則周三一四二八五七一四二八五七有竒設周一則徑三一八一八一八一八一八有竒再約之徑七步周二十二步兩數皆不能與周徑脗合但徑七周二十二其數少整姑從之
二則
圓周求徑
設圓田周八十八步求徑法曰置周為實以徑法七因之〈得六百一十六步〉以周法二十二除之得二十八步即所求
解曰即前法反用之
三則
圓周徑求積
設圓田周八十八步徑二十八步求積法曰置周折半〈得四十四步〉為實以徑折半〈得一十四步〉為法乘之得六百
一十六步即所求
解曰圓形與半徑為高全周為底之
三角形等何也測量全義云甲乙丙
丁圜自戊心百分之必皆成三角形
而己戊甲其百分之一也次依甲戊半徑作庚戊辛三角形令庚辛底與圜之全周等自戊角百分之亦必皆成三角形而甲戊壬其百分之一也己戊甲甲戊壬兩分形己甲甲壬兩底既等又戊甲同高因推其容必等夫百倍己戊甲為甲乙丙丁全圜百倍甲
戊壬為庚戊辛三角形兩分形既等
兩全形有不等乎故法以半徑乘半
周得庚戊辛三角形之積即得甲乙
丙丁圜之積也○或云己戊甲雖全
圜百分之一其底終屬曲線不可與
直線三角形為比不知甲戊壬角大
于己戊甲角而己戊甲中垂線大于
甲戊壬中垂線兩相折准即謂之無
差亦可
四則
圓徑求積
設圓田徑二十八步求積法曰置徑自乘〈得七百八十四步〉再以十一乘之〈得八千六百二十四步〉以十四除之得六百一十六步即所求
解曰測量全義云甲乙丙丁圜庚戊辛三角形以半徑為高以圜周為底己壬為圜徑上方形己丁直形以全徑為濶以半徑為高而為己壬方形之半己戊癸三角形亦以全徑為濶半徑為高而為己丁直形
之半己戊癸形既為己丁直形之半
必為倍大于己丁之己壬方形四之
一又己戊癸與庚戊辛兩形同以半
徑為高凡兩形等高者形與形之比
例若線與線〈兩線即兩底○一巻四十五則〉今庚辛
底與圜周等己癸底與圜徑等是己
戊癸庚戊辛兩形之比例若圜徑七
與圜周二十二若以四倍大于己戊
癸之己壬方形與庚戊辛三角形較
其比例必若二十八與二十二矣各以二約之為十四與十一夫庚戊辛三角形與圓形等〈本巻三則〉故方圓之比例亦若十四與十一法以圓徑自乘求己壬方形之積也以十一乘十四除取方積十四分之十一以為圓積也
五則
圓周求積
設圓田周八十八步求積法曰置周自乘〈得七千七百四十四步〉以七因之〈得五萬四千二百零八步〉以八十八除之得六百一
十六步即所求
解曰戊己庚辛圜
戊己徑與甲乙丙
丁圜周等則兩圜
之比例為其徑與
徑再加之比例再
加云者以兩徑各
自乘之數以為比
例也設甲乙徑七
戊己徑二十二甲乙自乘得四十九戊己自乘得四百八十四是兩圜之比例若四十九與四百八十四又壬癸方形與戊己庚辛圜元若十四與十一〈本巻四則〉今戊己庚辛圜既為四百八十四壬癸方形必六百一十六是壬癸方形與甲乙丙丁圜必若六百一十六與四十九矣各以七約之為八十八與七法以圜周自乘即壬癸方形之積也以七乘八十八除取方積八十八分之七以為甲乙丙丁圜積也
六則
圓積求徑
設圓田積六百一十六步求徑法曰置積為實以十四乘之〈得八千六百二十四步〉以十一除之〈得七百八十四步〉平方開
之得二十八步即所求
解曰以十四乘十一除者因圜積以
求戊己方積也平方開之得方邊即
得圜徑者方邊與圜徑等也
七則
圓積求周
設圓田積六百一十六步求周法曰置積為實以八十八乘之〈得五萬四千二百零八步〉以七除之〈得七千七百四十四步〉平方開之得八十八步即所求
解曰以八十八乘七除者因圜積以求圜周上方積也〈本巻五則〉故平方開之得圜周
八則
圓環求積
設環田外周六十六步内周一十一步求積法曰置内外兩周各自乘〈外周得四千三百五十六步内周得一百二十一步〉兩數相減〈餘四千二百三十五步〉以七乘之〈得二萬九千六百四十五步〉以八十八
除之得三百三十六步八分七釐五
毫即所求
解曰與方環求積同〈一巻三十三則及本巻五則〉
九則
圓環以積及内周求外周
設圓環田積三百三十六步八分七釐五毫内周一十一步求外周法曰置積為實以八十八乘之〈得二萬九千六百四十五步〉以七除之〈得四千二百三十五步〉另置内周自乘〈得一百二十一步〉兩數並〈共四千三百五十六步〉平方開之得六十六步即所求
解曰兩數並共成周上方積故平方開之得外周十則
圓環以積及外周求内周
設圓環田積三百三十六步八分七釐五毫外周六十六步求内周法曰置外周自乘〈得四千三百五十六步〉另置環積以八十八乘之〈得二萬九千六百四十五步〉以七除之〈得四千二百三十五步〉兩數相減〈餘百二十一步〉平方開之得一十一步即所求
解曰外周上方積減去八十八乘七除之環積所餘即内周上方積也故平方開之得内周
十一則
圓環以積及内外周求環濶
設圓環田積三百三十六步八分七釐五毫外周六十六步内周一十一步求環濶法曰置積為實以兩周相並〈共七十七步〉折半〈得三十八步五分〉為法除之得八步七分五釐即所求
解曰全圓既同三角形則圓環必同梯形圓環之兩周猶梯形之兩濶也圓環之濶猶梯形之中長也故用梯形求長法〈一巻四十八則〉即得環濶
十二則
圓環以兩周求環濶
設圓環田外周六十六步内周一十一步求環濶法曰置兩周各以七乘之〈外周得四百六十二步内周得七十七步〉各以二十二除之〈外周得二十一步内周得三步五分〉兩數相減〈餘一十七步五分〉折半得八步七分五釐即所求
解曰外周所得者圓之全徑也内周所得者環内虚徑也全徑減虚徑所餘即環之兩濶故折半得一濶也
十三則
圓環以積及濶求兩周
設圓環田積三百三十六步八分七釐五毫濶八步七分五釐求兩周法曰置積為實以濶除之得三十八步五分另置濶以二十二乘之〈得一百九十二步五分〉以七除之〈得二十七步五分〉與三十八步五分相並得六十六步即外周與三十八步五分相減得一十一步即内周解曰此亦梯形求濶法也法以環濶除積所得之三十八步五分即兩環周之中度也環濶為全徑與虚徑相差之半以二十二乘七除則為内外兩周相差之半矣故以之增減兩周之中度得兩周也
十四則
圓環以積及濶求徑
設圓環田積三百三十六步八分七釐五毫濶八步七分五釐求全徑及虚徑法曰置積以十四乘之〈得四千七百一十六步二分五釐〉十一除之〈得四百二十八步七分五釐〉另置濶自乘〈得七十六步五分六釐二毫五絲〉以四因之〈得三百零六步二分五釐〉兩數相減〈餘一百二十二步五分〉為實以四因濶〈得三十五步〉為法除之得三步五分即虚徑倍濶〈得一十七步五分〉加之得二十一步即全徑
解曰置積以十四乘十一除者令圓環積化為方環積也餘即方環求内方法〈一巻五十六則〉
十五則
圓環以全徑及虚徑求積
設圓環田全徑二十一步虚徑三步五分求積法曰置兩徑各自乘〈全徑得四百四十一步虚徑得一十二步二分五釐〉兩數相減〈餘四百二十八步七分五釐〉以十一乘之〈得四千七百一十六步二分五釐〉十四除之得三百三十六步八分七釐五毫即所求解曰兩徑各自乘相減者求方環積也十一乘十四除者因方環積以求圓環積也
十六則
撱圓求積
設撱圓田大徑九十步小徑四十步求積法曰置兩徑相乘〈得三千六百步〉以十一乘之〈得三萬九千六百步〉以十四除之得二千八百二十八步五分七釐有竒即所求
解曰西洋亞竒黙德云取撱
圓兩徑之中率為徑作圓其
容與撱圓等〈四九之中率為六謂四之與六
猶六之與九也〉夫求中率之法以兩
徑相乘平方開之即得然中率自乘之數實即兩徑相乘之數故法以兩徑相乘十一乘十四除為撱圓積也〈撱圓形狀不同恐不能無小差〉
十七則
弧矢求積
設弧矢田矢濶五步長一十七步三分二釐有竒背二十步零九分五釐二毫有竒離徑五步求積法
曰置背以離徑並矢〈共十步〉乘
之〈得二百零九步五分二釐三毫有竒〉另置
以離徑乘之〈得八十六步六分有竒〉兩
數相減〈餘一百二十二步九分二釐三毫有竒〉
折半得六十一步四分六釐一毫有竒即所求解曰甲乙丙弧矢形戊為圜心自甲自乙作甲戊乙戊兩線成甲戊乙丙雜線形其丙丁矢與丁戊離徑並即全圓之半徑甲丙乙背又為圓周之分線求積之法當與圓同夫圓以半徑乘周折半得積〈本巻三則〉則雜線形亦必以半徑乘背折半得積矣又雜線形内以甲乙線分之必成一甲乙丙弧矢形一甲戊乙三角形其三角形以甲乙為濶以丁戊離徑為高若以高乘濶折半必得三角形之積〈一巻五則〉于雜線形内減去三角積所餘非弧矢積而何故法以半徑乘背離徑乘相減折半得積也〈相減而後折半與各折半而後相減得數同〉十八則
弧矢形以積矢及離徑求背
設弧矢田積六十一步四分六釐一毫有竒矢五步
一十七步三分二釐有竒離徑五
步求背法曰置積倍之〈得一百二十二步九分二
釐三毫有竒另置〉以離徑乘之〈得八十六步六
分有竒兩數並〉〈得二百零九步五分二釐三毫有竒〉以矢
並離徑〈共十步〉除之得二十步零九分五釐二毫有竒即所求
解曰即前則求積法反用之
十九則
弧矢形以矢求餘徑〈求全徑離徑半徑附〉
設弧矢田矢五步一十七步三分二釐有竒求餘徑法曰置折半〈得八步六分六釐有竒〉自乘〈得七十五步〉以矢除之得一十五步即所求
解曰甲乙丙弧矢形丙丁為矢丁戊為離徑丁己為
餘徑自圓心戊作
戊乙線成丁戊乙
勾股形丁乙半
為股丁戊離徑為
勾戊乙半徑為
另作辛夘形為丁
戊勾上方形庚壬形為戊乙上方形夫庚壬之大于辛夘者為癸丑子磬折形癸丑子磬折形必等于乙丁股上方形何也上方形與勾股上兩方形並等故也〈六巻一則〉若移子于寅則成癸丑寅直形必以勾較為濶勾和為長今戊乙等于戊丙戊丙之大于丁戊勾者為丙丁是丙丁矢即勾較也故以矢除丁乙半〈弧矢形之〉自乘之積即得勾和又乙戊〈勾股形之〉既半徑必與戊己等戊己合丁戊非丁己餘徑而何○求得餘徑加矢即全徑減矢折半即離徑加矢折半即半徑
二十則
弧矢形以矢徑求
設弧矢田矢五步徑二十步求法曰以矢減徑〈餘一十五步〉以矢乘之〈得七十五步〉平方開之〈得八步六分六釐有竒〉倍之得一十七步三分二釐有竒即所求
解曰依前解矢與餘徑相乘之數即半自乘之數故平方開之得半倍之得全也
二十一則
弧矢形以離徑半徑求
設弧矢田半徑十步離徑五步求法曰置半徑離徑各自乘〈半徑得一百步離徑得二十五步〉兩數相減〈餘七十五步〉平方
開之〈得八步六分六釐有竒〉倍之得一十七步
三分二釐有竒即所求
解曰半徑乙戊為〈勾股形之〉離徑丁
戊為勾求得乙丁股即半也〈弧矢形之〉
〈〉故倍之得全
二十二則
弧矢形以及餘徑求矢
設弧矢田一十七步三分二釐有竒餘徑一十五步求矢法曰置折半〈得八步六分六釐有竒〉自乘〈得七十五步〉以餘徑除之得五步即所求
解曰依十九則解半自乘之數即矢偕餘徑相乘之數故以餘徑除之得矢
二十三則
弧矢形以及全徑求矢
設弧矢田一十七步三分二釐有竒全徑二十步求矢法曰置徑各自乘〈得三百步徑得四百步〉兩數相減〈餘一百步〉平方開之〈得十步〉以減全徑〈餘十步〉折半得五步即所求
解曰全徑上方形當矢偕餘徑矩内形四及矢與餘徑之較線上方形一〈一巻十三則〉全上方形當半上方形四又半上方形與矢偕餘徑矩内形等〈本巻十九則〉于全徑上方積内減去全上方積即減去矢偕餘徑矩内積四也則所餘必矢與餘徑之較線上方積平方開之即得矢與餘徑之較線故以之減徑折半得矢也
二十四則
弧矢形以半半徑求矢
設弧矢田半八步六分六釐有竒半徑十步求矢法曰置半半徑各自乘〈半得七十五步半徑得一百步〉兩數相
減〈餘二十五步〉平方開之〈得五步〉以減半徑
得五步即所求
解曰半丁乙為股戊乙半徑為
求得丁戊勾即離徑也故以之減半
徑得矢
二十五則
弧矢形以半及離徑求矢
設弧矢田半八步六分六釐有竒離徑五步求矢法曰置半離徑各自乘〈半得七十五步離徑得二十五步〉兩數並〈得一百步〉平方開之〈得十步〉減去離徑得五步即所求解曰半丁乙〈圖同前則〉為股離徑丁戊為勾求得乙戊即徑也故減去離徑得矢
二十六則
弧矢形以半徑半較及半離徑較求矢與設弧矢田半徑多半一步三分四釐弱半多離徑三步六分六釐強求矢及法曰並兩數〈共五步〉以半徑多半之數乘之〈得六步七分〉倍之〈得一十三步四分〉平方開之〈得三步六分六釐〉以加半徑多半之數得五步即離徑再加半多離徑之數得八步六分六釐即半再加半徑多半之數得十步即半徑半徑減去離徑餘五步即矢
解曰戊乙半徑〈圖同二十四則〉多于丁乙半之數即股較丁乙半多于丁戊離徑之數即勾股較勾股較並股較即勾較此即勾較股較求勾股法也〈六巻二十則〉
二十七則
舊弧矢法以矢求積
設弧矢田矢十步二十步求積法曰置矢相並〈共三十步〉折半〈得一十五步〉以矢乘之得一百五十步即所求解曰舊説圓徑一周三甲乙丙丁圓徑二十步周六
十步甲乙丙弧矢形為全圓之半其
背為全周之半必三十步法以矢
相並即與弧背等折半以矢乘之猶
圓法以半徑乘周折半得積之義也
〈本巻三則〉以舊法論全圓得積三百步而半圓之弧得積一百五十步與圍三徑一之數脗合無差過此以往其矢漸短弧形漸細其差漸多甚至百步之積有差至二十餘步者即如十七則弧矢田一十七步三分二釐有竒矢五步依舊法求之止得積五十五步八分較前法所求之積則少五步六分六釐有竒前法雖密于舊法然必背矢皆具方可起算舊法有矢有即可得積故並存之
二十八則
舊弧矢法以積矢求
設弧矢田積五十五步八分矢五步求法曰置積倍之〈得一百 十一步六分〉以矢除之〈得二十二步三分二釐〉減去矢餘
一十七步三分二釐即所求
解曰舊法以矢乘半半矢得弧矢
積若以矢除弧矢積必仍得半半
矢以矢除弧矢積既得半半矢以
矢除弧矢之倍積不得一一矢乎一一矢内減去一矢所餘非而何
二十九則
舊弧矢法以積求矢
設弧矢田積五十五步八分一十七步三分二釐求矢法曰置積八因之〈得四百四十六步四分〉另置自乘〈得二
百九十九步九分八釐二毫四絲〉兩數並〈共七百四十六步三
分八釐二毫四絲〉平方開之〈得二十七步三分二釐〉減
去〈餘十步〉折半得五步即所求
解曰甲丁方形邊與一二矢等甲
戊乙己丁庚丙辛各與矢等其戊己
等四直形即矢偕一一矢矩内形壬子即上方形也又弧矢形以矢乘半半矢得積〈本巻二十七則〉而當一直形之半則四直形必當八弧矢積矣是一二矢上方形與上方積一及弧矢積八並等反之則上方積一及弧矢積八並為一方其邊必一二矢也法並兩數以平方開之所得即一二矢之度故減折半得矢也○舊弧矢法背積及徑輾轉相求共三百二十六法實亦不出十七則以下十法之外其不能該者止以上三法耳故存之
三十則
增弧矢法以矢求積
設甲乙丙弧矢田丙丁矢五步甲乙一十七步三分二釐有竒求積法曰有矢與可得丁壬餘徑餘徑加矢可得丙壬全徑〈本卷十九則〉甲己與丙壬等即以
甲己為甲乙為股求乙巳勾得十
步〈六卷三則〉為乙巳庚餘弧之又將乙
己折半得巳辛復為勾戊巳半徑為
求戊辛股以減半徑〈戊庚與戊巳等〉餘庚
辛一步三分四釐為乙己庚餘弧之矢另求甲己徑上半圓積〈得一百五十七步一分四釐二毫八絲○本巻三則〉次求甲乙己勾股積〈得八十六步六分○一巻四則〉與半圓積相減〈餘七十步零五分四釐二毫八絲〉為甲乙丙與乙己庚兩弧之共積置為實兩弧各以三一矢相並以矢乘之〈甲乙丙弧得二百八十四步八分乙己庚弧得四十一步九分九釐五毫六絲〉以甲乙丙弧數乘實〈得二萬零九十步零五分八釐九毫四絲四忽〉並兩弧數〈共三百二十六步七分九釐五毫六絲〉除之得六十一步四分七釐七毫五絲有竒即所求
解曰此借兩弧三一矢以矢乘之之數為比例以分共積也此法較舊法為密然大弧既盈則小弧必朒較十七則未免有千一之差如必欲得弧積眞數密量弧背從十七則可也
三十一則
圓截圓
設圓田徑二十一步依外周截積三
百三十六步八分七釐五毫求餘圓
徑法曰置徑自乘〈得四百四十一步〉另置截
積以十四乘之〈得四千七百一十六步二分五釐〉十
一除之〈得四百二十八步七分五釐〉兩數相減〈餘一十二步二分五釐〉平方開之得三步五分即所求
解曰此與方環截積同〈一巻五十六則〉
三十二則
圓截弧矢〈舊法〉
設圓田徑一十三步截弧矢積三十
二步求矢法曰置截積自乘〈得一千零二十
四步〉為實用商法商矢四步即以所商
之矢乘截積〈得一百二十八步〉為上亷另以
矢每步加負隅二分五釐〈得五步〉與徑相減餘八步為餘徑又以所商之矢自乘〈得一十六步〉以乘餘徑〈得一百二十八步〉為下亷並兩亷〈共二百五十六步〉為法除實得四步即所求
解曰弧矢之積元以矢乘半半矢而得〈本巻二十七則〉若以半半矢相並除積必得矢法置截積自乘是倍截積為三十二若以三十二半與三十二半矢並除倍積必亦得矢法以矢乘截積得三十二全矢是多三十二半矢少三十二半若以半大于半矢
之數三十二倍之與三十二全矢並
即與三十二半三十二半矢相並
之數同今無半數須以矢乘餘徑
以為半自乘之方〈本巻十九則〉如甲乙
方形甲己為半甲丁為半矢丁己為半矢較〈即半大于半矢之度〉則丁己乙戊直形必半矢較以半為倍數者也庚辛等于丁己庚丙等于甲丁則庚丙戊辛直形必半矢較以半矢為倍數者也兩直形並再以矢乘之必半矢較以截積三十二為倍數者也何也弧矢之積元以矢乘半半矢而得故也甲乙大方形減去丁己乙戊與庚丙戊辛兩直形餘甲丙小方形為甲丁半矢之冪法所謂負隅也負隅既為半矢之冪必為全矢冪四分之一故法以二分五釐為負隅也法用矢自乘以乘餘徑與用矢乘餘徑再以矢乘之得數同也○按元注云所得之矢過于所商之矢為約矢太短不及所商之矢為約矢太長宜更商之商約之法既無一定惟以意斟酌之若整齊之矢或一二商可得苟遇畸零之矢必至千百商不能得者古人于此條實無善法姑以此考驗所商之合否耳若止欲考驗所商之合否又何如以所商之矢求半〈本巻二十則〉再加半矢以矢乘之〈本巻二十七則〉合積為準過積為約矢太長不及積為約矢太短不較捷乎
三十三則
弧矢截雜線三角形
設半圓弧矢田二十步自心截雜線三角形背長一十步零四分七釐六毫一絲六忽求截積法曰置
截背以折半〈得十步〉乘之〈得一百零四步七分
六釐一毫六絲〉折半得五十二步三分八釐
零八絲即所求
解曰雜線三角形為圓之分形故求
積之法同圓〈本巻三則〉
三十四則
方内減圓以餘積求圓積
設方田減去内切圓田四隅餘積一百六十八步求圓積法曰置積為實以圓法十一乘之〈得一千八百四十八步〉
以圓法十一與方法十四相減餘三
為法除之得六百一十六步即所求
解曰圓既為方十四分之十一則方
内減圓之餘積必為方十四分之三
圓十一分之三矣故十一乘三歸得圓積也
三十五則
方内減圓以餘積求方積〈求方邊圓徑附〉
設方田減去内切圓田四隅餘積一百六十八步求方積法曰置積為實以十四乘之〈得二千三百五十二步〉以圓法十一與方法十四相減餘三為法歸之得七百八十四步即所求
解同前○置方積平方開之即方邊亦即圓徑三十六則
圓内減方以餘積求方積〈求方邊圓徑附〉
設圓田減去内切方田餘積二百二
十四步求方積法曰置積為實以七
乘之〈得一千五百六十八步〉以七與圓法十一
相減餘四為法歸之得三百九十二
步即所求
解曰内切方形之與外切方形之邊等則内切方形必倍小于外切方形而若七之與十四夫圓既為外方十四分之十一而内方不為圓十一分之七乎圓内減方之餘積為圓十一分之四即為内方七分之四故七乘四除得内切方積也○置方積平方開之即得方邊倍方積平方開之即得圓徑
三十七則
圓内減方以餘積求圓積
設圓田減去内切方田餘積二百二十四步求圓積法曰置積為實以圓法十一乘之〈得二千四百六十四步〉以圓法十一與七相減餘四為法歸之得六百一十六步即所求
解同前
三十八則
方内減不相切之圓以餘積求方邊及圓徑
設方田内減圓田方邊至圓周五步餘積一千七百二十五步求方邊及圓徑法曰置五步自乘〈得二十五步〉以三因之〈得七十五步〉與餘積並〈共一千八百步〉另置五步以六因之〈得三十步〉為縱方以平方帶縱開之〈得九十步 一巻十三則〉減
去縱方餘六十步即方邊再
減兩邊各五步〈共十步〉餘五十
步即圓徑
解曰依圖分之成甲乙等方
形四子丑等直形八乾坎等
雜線三角形四其甲乙等四形即方邊至圓周五步自乘之方形也子丑等八形亦各以五步為濶其長
則圓之半徑也乾坎等四形
為方減内切圓形之餘積以
方四圓三推之〈舊法謂方内容圓圓居方
四分之三〉四形並必當方四分之
一乾坎艮三形並必足以補
癸形之闕而與一小方二直
形一雜形並共凑成一坤震
方形矣次移甲于丁移乙于
戊移丙于己移子于午移丑于未移寅于申移夘于酉移辰于戌移巳于亥尚闕庚辛壬三形故法取方邊至圓周之五步自乘以三因之加入積内也自壬至丁凡六形每形濶五步共計三十步故法取方邊至圓周之五步以六因之為縱方也帶縱開方法置積四因之縱方自乘兩數並平方開之得長濶相和之度〈即兑巽與巽震並〉減去縱方〈即兑坤〉餘兩濶〈即坤巽與巽震並〉即方邊方邊之大于圓徑者為兩邊之各五步故減之得圓徑〈本則及下則皆用周三徑一法〉
三十九則
圓内減不相切之方以餘積求圓徑及方
設圓田内減方田圓周至方角一步餘積四十三步
求圓徑及方法曰置一步
自乘〈仍得一步〉以二因之〈得二步〉與
餘積並〈並四十五步〉另置一步以
四因之〈得四步〉為縱方以平方
帶縱開之〈得一十四步〉減去縱方
即圓徑再減圓周至方角各一步〈共二步〉餘八步即方
解曰依内方角作一圓線此圓線偕外圓周必成一圓環形次依環濶改作方環圓環當方環四分之三
故止作方環之三隅即與圓
環等依圖分之成甲乙丙三
方形丁戊己庚辛壬六直形
尚餘癸子丑寅四弧矢形為
圓減内切方形之餘積以圓
三方二推之〈舊法謂圓内容方方居圓三分
之二〉四弧矢形並當圓三分之
一必當内方二分之一而夘癸辰方形亦當内方二分之一則四弧矢形必能補夘癸辰方形之闕而與辛壬丙三形並共輳成一震坎方形矣次移甲于巳移乙于午移丁于酉移戊于戌移己于亥移庚于乾尚闕未申二形故法取圓周至方角一步自乘二因之補入積内也自巳至申凡四形每形濶一步共四步故取圓周至方角之一步四因之為縱方也以平方帶縱開之得巽艮艮坎長濶相和之度減去縱方巽震餘震艮艮坎兩濶即圓徑圓徑之大于方者為兩邊之各一步故減之得方
四十則
諸雜線形求積
第一圖可作一弧矢形而減一弧矢形第二圖可作半弧矢形而減半弧矢形第三圖可作兩弧矢形第四圖移甲丙實形補乙丁虚形成戊三角形又移己實形補庚虚形成辛三角形壬癸子各成三角形丑自成弧矢形此一大形内成三角形五弧矢形一第五圖甲乙各自成弧矢形丙丁辛各自成三角形移
戊實形補
己虚形庚
亦成三角
形癸借壬
虚形亦成
三角形〈得積
減去壬圓形此〉
一大形内
成弧矢形二三角形五而減一圓形凡屬雜線形者〈裁之數學鑰巻二〉
皆依五形例
<子部,天文算法類,算書之屬,數學鑰>
欽定四庫全書
數學鑰卷三凡例
柘城杜知耕撰
凡例
一則
設一數與甲乙兩率為同名與丙丁兩率為異名置所設之數為實以甲乘丙除曰同乘異除以丙乘甲除曰異乗同除以丙乘甲得數乘實曰異乘同乘〈與以丙乘復以甲乘同〉以丙乘甲得數除實曰異除同除〈與以丙除復以甲除同〉以丙乘丁除曰異乘異除以甲乘乙除曰同乘同除
二則
設一數以一率除二率乘又以三率除四率乘又以五率除六率乘方得所求變為以四率乘二率復以六率乘之得數乘實以三率乘一率復以五率乗之得數除實即得所求亦曰同乘同除
三則
凡用一率除二率乘者則變為先以二率乘後以一率除凡用一率除復用二率除者則變為以一率乘二率得數除實恐歸除多有畸零不盡之數也
四則
設甲乙丙三率以甲乘乙以乙乘丙曰逓乘以甲乘乙以乙乘丙以丙復乘甲曰維乘以甲乘乙復以乙乘甲曰互乘以甲乘乙復乘丙曰遍
五則
命分數曰母得分數曰子母數者子之本數子數者母之分數
六則
設兩數一為法一為實以法除實得若干將法實任各若干倍之以倍法除倍實必仍得若干與原得數同若以倍法除元實則得數小于元得數之倍數即同元法小于倍法之倍數若以元法除倍實則得數大于元得數之倍數即倍實大于元實之倍數如元實為六十元法為五十以五十除六十得十二任三倍元實為一百八十亦三倍元法為一百五十以一百五十除一百八十亦得十二與元得數同以倍法一百五十除元實六十得四則四與元得數十二之比例若元法五十與倍法一百五十也以元法五十除倍實一百八十得三十六則三十六與元得數十二之比例若倍實一百八十與元實六十也
數學鑰巻三凡例
欽定四庫全書
數學鑰巻三上目録
柘城杜知耕撰
粟布
一則糴糶一法
二則糴糶二法
三則糴糶三法
四則糴糶四法
五則糴糶五法
六則糴糶六法
七則糴糶七法
八則糴糶八法
九則撞換一法
十則撞換二法
十一則撞換三法
十二則盤量倉窖
十三則布帛
十四則銀色一法
十五則銀色二法
十六則銀色三法
十七則銀色四法
十八則銀色五法
十九則銀色六法
二十則斤兩一法
二十一則斤兩二法
二十二則斤兩三法
二十三則斤兩四法
二十四則斤兩五法
二十五則斤兩六法
二十六則權重一法
二十七則權重二法
〈増〉二十八則權重三法
巻三下目録
衰分
一則合率差分
二則折半差分
三則四六差分
四則三七差分
五則二八差分
六則逓減差分一法
七則逓減差分二法
八則逓減差分三法
九則帶分子母差分一法
十則帶分子母差分二法
十一則互和逓減差分一法
十二則互和逓減差分二法
十三則匿價差分一法
十四則匿價差分二法
十五則二色差分
十六則三色差分〈四色五色六色附〉
十七則貴賤和率差分
十八則首尾和率差分
附分法
一則命分
二則約分
三則乗分
四則課分
五則通分
數學鑰巻三目録
欽定四庫全書
數學鑰巻三上
柘城杜知耕撰
粟布
一則
糴糶一法
設粟三十五石每石價銀二錢五分求共銀法曰置粟為實以價乘之得八兩七錢五分即所求
二則
糴糶二法
設粟三十五石賣銀八兩七錢五分求每石價法曰置銀為實以粟除之得二錢五分即所求
三則
糴糶三法
設粟每石價銀二錢五分今有銀八兩七錢五分求值粟法曰置銀為實以價除之得三十五石即所求四則
糴糶四法
設銀八兩七錢五分共買粟三十五石求每銀一兩值粟若干法曰置粟為實以銀除之得四石即所求解曰凡以物交易或論箇論斛論斤論尺之類莫不有數有價以價乘共物則得共銀以價除共銀則得共物以共物除共銀則得每一物所值之價以共銀除共物則得每銀一兩或一錢或一分所值之物交易常用之法盡于此矣
五則
糴糶五法
設原有粟二石六斗賣銀六錢五分今有粟三十五石求值銀法曰置今粟為實以原價乘之〈得二十二兩七錢五分〉以原粟除之得八兩七錢五分即所求
解曰此異乘同除也銀與粟異名以原銀乘今粟故謂異乘粟與粟同名以原粟除今粟故謂同除若以原粟除原價得每石價以乘今粟或先以原粟除今粟再以原價乘之俱未嘗不合但先用歸除恐遇竒零不盡之數難用乘法故變為先乘後除也
六則
糴糶六法
設原有銀三十兩零七錢五分買粟一百二十三石今有銀八兩七錢五分求值粟法曰置今銀為實以原粟乘之〈得一千零七十六兩二錢五分〉以原銀除之得三十五石即所求
解同前
七則
糴糶七法
設原銀五錢買米一石每米八斗五升換粟一石七斗今有銀八兩七錢五分求值粟法曰以今銀八兩七錢五分乘粟一石七斗〈得一十四兩八錢七分五釐〉為實以米價五錢乘米八斗五升〈得四錢二分五釐〉為法除之得三十五石即所求
解曰米八斗五升粟一石七斗其價等法以米價乘米所得之四錢二分五釐既為八斗五升之米價亦一石七斗之粟價也以粟乘銀以價除之亦異乘同除法也
八則
糴糶八法
設粟一石七斗換米八斗五升每米一石價銀五錢今有粟三十五石求值銀法曰置米八斗五升以米價五錢乘之〈得四錢二分五釐〉再以今粟三十五石乘之〈得一十四兩八錢七分五釐〉為實以粟一石七斗除之得銀八兩七錢五分即所求
解同前
九則
撞換一法
設稻每石價六錢二分五釐粟每石價二錢五分今有稻一十四石換粟求粟數法曰置稻一十四石為實以稻價乘之〈得八兩七錢五分〉以粟價除之得三十五石即所求
十則
撞換二法
設每菽三斗換黍二斗每黍四斗換稷三斗每稷五斗換稻四斗每稻六斗換麥五斗今有麥七斗換菽求菽數法曰以今麥七斗乘每稻六斗〈得四石二斗〉再以每稷五斗乗之〈得二十一石〉再以每黍四斗黍之〈得八十四石〉再以每菽三斗乘之〈得二百五十二石〉為實以換黍二斗乘換稷三斗〈得六斗〉再以換稻四斗乘之〈得二石四斗〉再以換麥五斗乘之〈得一十二石〉為法除之得二石一斗即所求解曰若置麥七斗為實以換麥五斗除之以每稻六斗乘之得八斗四升為麥七斗應換之稻再以八斗四升為實以換稻四斗除之以每稷五斗乘之得一石零五升為麥七斗應換之稷再以一石零五升為實以換稷三斗除之以每黍四斗乘之得一石四斗為麥七斗應換之黍再以一石四斗為實以換黍二斗除之以每菽三斗乘之得二石一斗為麥七斗應換之菽凡四除四乘方得菽數今逓乘為實逓乘為法一次歸除即得所求非徒省力亦免遇畸零之數難於布算耳
十一則
撞換三法
設黍一石換菽三石每黍三石換麥一石今黍三十三石共換菽麥一十九石求菽麥各若干法曰列黍
三石黍一石共黍
三十三石于左列
麥一石菽三石共
菽麥一十九石于
右先以右上互乘
左中〈仍得一石〉以左上互乘右中〈得九石〉兩數相減〈餘八石〉為長法次以左中互乘右下〈仍得一十九石〉以右中互乘左下〈得九十九石〉兩數相減〈餘八十石〉以長法除之〈得一十石〉為短法以麥一石乘短法仍得十石為麥數以黍三石乘短法得三十石為換麥黍數以麥數減共菽數餘九石為菽數以換麥黍數減共黍餘三石為換菽黍數〈解見三巻下十七則〉
十二則
盤量倉窖
設直倉底長七尺濶五尺髙八尺求容粟數法曰以底濶乘長〈得三十五尺〉再以髙乘之〈得二百八十尺〉為實取木板四塊如圖錯綜合之令縱廣及髙各一尺納粟于内令平以升量之假如一斗二升即以之為法乘實得
三十三石六
斗即所求
解曰倉窖形
狀不一求積
法俱詳四巻
十三則
布帛
設原買布長四十尺濶二尺二寸價銀七錢五分今有布長三十六尺濶一尺八寸求價法曰置今布長三十六尺以濶一尺八寸乘之〈得六十四尺八寸〉再以原價七錢五分乘之〈得四十八兩六錢〉為實另置原布長四十尺以濶二尺二寸乘之〈得八十八尺〉為法除實得五錢五分二釐二毫有竒即所求
十四則
銀色一法
設九三色銀一兩二錢傾銷足色求銀數法曰置銀一兩二錢為實以銀色九三乘之得一兩一錢一分六釐即所求
十五則
銀色一法
設足色銀一兩一錢一分六釐改傾九三色求銀數法曰置銀一兩一錢一分六釐為實以九三除之得一兩二錢即所求
十六則
銀色三法
設八五色銀五兩六錢改傾九五色銀求銀數法曰置銀五兩六錢為實以八五乘之〈得四兩七錢六分〉再以九五除之得五兩零一分零五毫即所求
十七則
銀色四法
設足色銀七兩六錢五分傾成九兩求銀色法曰置銀七兩六錢五分為實以九兩除之得八五即所求十八則
銀色五法
設足色銀三十五兩二錢改傾八八色銀求加銅數法曰置銀三十五兩二錢為實以八八除之〈得四十兩〉與原銀相減餘四兩八錢即所求
十九則
銀色六法
設傾八八色銀用銅四兩八錢求用銀數法曰置銅四兩八錢為實以八八與一兩相減餘一錢二分為法除之〈得四十兩〉與銅數相減餘三十五兩二錢即所求二十則
斤兩一法
設物重一千四十兩求斤法曰置物重為實以斤法十六除之得六十五斤即所求
二十一則
斤兩二法
設物重六十五斤求兩法曰置物重為實以斤法十六乘之得一千四十兩即所求
二十二則
斤兩三法
設物重六十五斤四兩每斤價二錢五分求共價法曰先取四兩以斤法十六除之〈得二五〉並六十五斤之下〈成六五二五〉為實以價乘之得一十六兩三錢一分二釐五毫即所求
二十三則
斤兩四法
設物每斤價二錢五分今銀一十六兩三錢一分二釐五毫求值物重法曰置今銀為實以價為法除之得六十五斤二五取斤下二五以斤法十六乘之得四兩共六十五斤四兩即所求
二十四則
斤兩五法
設物每斤價四兩求每兩價法曰置每斤價為實以斤法十六除之得二錢五分即所求
二十五則
斤兩六法
設物每兩價二錢五分求斤價法曰置每兩價為實以斤法十六乘之得四兩即所求
二十六則
權重一法
設秤原錘重二十六兩遇重物不能勝另取一物重四十六兩八錢作錘秤之得一千零七十二兩求物重真數法曰置物重一千零七十二兩為實以借用作錘之四十六兩八錢乘之〈得五萬零一百六十九兩六錢〉再以原錘二十六兩除之得一千九百二十九兩六錢即所求
解曰借用之錘重于原錘若干倍則借用之錘所秤之物重亦重于原錘所秤之物重若干倍以原錘除借用之錘得一八是借用之錘重於原錘十分之八也則于借用錘所秤之一千零七十二兩以十分之八加之必得一千九百二十九兩六錢為原錘所秤之重法先乘後除者亦異乘同除也〈本巻五則〉
二十七則
權重二法
設秤失其錘止有原秤過輕重二物重者重一千九百二十九兩六錢輕者重四十六兩八錢以輕者作錘秤重者得一千零七十二兩求原錘重法曰置四十六兩八錢為實以一千零七十二兩乘之〈得五萬零一百六十九兩六錢〉以一千九百二十九兩六錢除之得二十六兩即所求
解曰一千九百二十九兩六錢之與一千零七十二兩若四十六兩八錢之與原錘也故以之乘除得原錘之重
二十八則
權重三法
設秤失其錘有輕重兩物不知斤兩以輕者作錘秤重者得五十二兩以重者作錘秤輕者得一十三兩求原錘重法曰置兩數相乘〈得六百七十六兩〉平方開之得二十六兩即所求
解曰兩數之中率即原錘之重兩數相乘平方開之求中率之法也〈二巻十六則〉○又法以等重二物一作錘一作物秤之所得之數即原錘之重○按以上三法用之于平星提索同居一位之秤雖有微差尚可得近似之數至于平星提索不同一位相去愈逺其差愈多甚至與真數懸絶留心此道者不可不知也數學鑰巻三上
欽定四庫全書
數學鑰巻三下
柘城杜知耕撰
衰分〈諸分附〉
一則
合率差分
設有銀一百二十一兩一錢七分五釐買稻麥菽三等糧買稻一分每斗價九分二釐麥二分毎斗價八分五釐菽三分每斗價三分六釐求三色糧各若干法曰置共銀為實另二因麥價〈得一錢七分〉三因菽價〈得一錢零八釐〉與稻價並〈共三錢七分〉為法除實得三十二石七斗五升為稻數二因稻數得六十五石五斗為麥數三因稻數得九十八石二斗五升為菽數
解曰稻一麥二菽三共六衰而稻為六分之一麥為六分之二菽為六分之三二因麥價者令麥二倍于稻也三因菽價者令菽三倍于稻也合二與三得五是麥菽得五而稻得一則稻為六分之一矣故並價除實即得稻數也麥原二倍于稻故二因稻數得麥數菽原三倍于稻故三因稻數得菽數○如求各銀數則以各價乘各數即得
二則
折半差分
設銀六百七十二兩令甲乙丙三等人折半納之求各應納銀數法曰置共銀為實定丙為一衰乙倍丙為二衰甲倍乙為四衰並之共七衰為法除實得九十六兩為丙數二因丙數得一百九十二兩為乙數二因乙數得三百八十四兩為甲數
解曰所謂折半者令乙半於甲丙半於乙以一為丙衰倍一得二為乙衰乙倍于丙即丙半於乙也倍二得四為甲衰甲倍于乙即乙半于甲也並之共得七衰而丙為七分之一故以七除實得丙數餘同前解三則
四六差分
設銀八百一十二兩五錢令甲乙丙丁四等人四六納之求各應納銀數法曰置共銀為實先定丁為四衰以一五乘四得六為丙衰再以一五乘六得九為乙衰再以一五乘九得十三衰五分為甲衰並之共三十二衰五分為法除實得二十五兩為一衰之數四因二十五兩得一百兩為丁數六因二十五兩得一百五十兩為丙數九因二十五兩得二百二十五兩為乙數以十三衰五分乗二十五兩得三百三十七兩五錢為甲數
解曰定衰之法當六乘四除今用一五乘何也葢四之于六若一與一五也以一五乘四得六乘六得九乗九得十三五而十三五之與九九之與六皆若六之與四也並四數共三十二衰半除實所得銀數即原銀三十二分五釐之一而丁應納者則三十二分五釐之四故四因一衰之數得丁數也餘同前解四則
三七差分
設有銀一千九百七十五兩令甲乙丙三等人三七納之求各應納銀數法曰置共銀為實先定丙為九衰七因三歸得二十一為乙衰再七因三歸得四十九為甲衰並之共七十九衰為法除實得二十五兩為一衰之數九因之得二百二十五兩為丙數以二十一乘之得五百二十五兩為乙數以四十九乘之得一千二百二十五兩為甲數
解曰不以三為丙衰而以九為丙衰者以三為丙衰則不能得甲衰也何也試定三為丙衰七為乙衰七因三歸則得一六三三不盡定九為丙衰正為甲衰地也若甲乙丙丁四位則九又不可為丁衰必三倍之得二十七為丁衰若五位又三倍二十七得八十一為戊衰位多者倣此
五則
二八差分
設有銀一千零五十兩令甲乙丙三等人二八納之求各應納銀數法曰置共銀為實先定二為丙衰四因二得八為乙衰四因八得三十二為甲衰並之共四十二衰為法除實得二十五兩為一衰之數二因之得五十兩為丙數八因之得二百兩為乙數三十二乘之得八百兩為甲數
解曰逓以四因定衰者以八四倍于二也
六則
逓減差分一法
設米一千一百三十四石令五等人户逓減納之一等二十四戸二等三十三戸三等四十二戸四等五十一戸五等六十户求毎等及毎戸應納銀數法曰置共米為實先定五等六十戸為六十衰二因四等戸數得一百零二衰三因三等戸數得一百二十六衰四因二等戸數得一百三十二衰五因一等戸數得一百二十衰五數並共五百四十衰為法除實得二石一斗為第五等每戸納數以五等六十戸乘之得一百二十六石為第五等共納數以二因二石一斗得四石二斗為第四等毎戸納數以四等五十一戸乘之得二百一十四石二斗為第四等共納數以三因二石一斗得六石三斗為第三等毎戸納數以三等四十二戸乘之得二百六十四石六斗為第三等共納數以四因二石一斗得八石四斗為第二等每户納數以二等三十三戸乗之得二百七十七石二斗為第二等共納數以五因二石一斗得十石零五斗為第一等每戸納數以一等二十四戸乘之得二百五十二石為第一等共納數
解同本巻一則
七則
逓減差分二法
設有米二百四十石令甲乙丙丁戊五人納之定甲乙二人納數與丙丁戊三人納數等求各應納米數法曰置共米為實先以一為戊衰二為丁衰三為丙衰四為乙衰五為甲衰次並戊一丁二丙三得六並乙四甲五得九以六減九餘三于每人衰數各増三戊得四衰丁得五衰丙得六衰乙得七衰甲得八衰並之共三十衰為法除實得八石為一衰之數四因之得三十二石為戊數五因之得四十石為丁數六因之得四十八石為丙數七因之得五十六石為乙數八因之得六十四石為甲數
解曰若六位令丙丁戊己四人與甲乙二人納數等則並己一戊二丁三丙四共十並乙五甲六共十一兩數相減餘一為實另以甲乙二人與丙丁戊己四人相減餘二人為法歸之得五各加入每人衰數己得一五戊得二五丁得三五丙得四五乙得五五甲得六五若七位令丙丁戊己庚五人與甲乙二人納數等並庚一己二戊三丁四丙五共十五並乙六甲七共十三是四人衰數反多于二人衰數前法不行矣則置各衰自乘庚得一己得四戊得九丁得十六丙得二十五並之共五十五乙得三十六甲得四十九並之共八十五兩數相減餘三十為實另以甲乙二人與丙丁戊己庚五人相減餘三人為法歸之得十各加入每人衰數庚得十一己得十四戊得十九丁得二十六丙得三十五乙得四十六甲得五十九餘倣此
八則
逓減差分三法
設米二百六十五石令三等人戸納之上等二十戸每戸多中等七斗中等五十戸每戸多下等五斗下等一百一十戸求各應納米數法曰置共米為實並七斗五斗〈共一石二斗〉乘上等尸數〈得二十四石〉以五斗因中等尸數〈得二十五石〉兩數並〈共四十九石〉減實餘二百一十六石並三等尸數〈共一百八十戸〉為法除之得一石二斗為下等納數加五斗共一石七斗為中等納數再加七斗共二石四斗為上等納數以每等納數乘每等戸數得每等共納數
解曰共米内減去上中兩等多于下等米數所餘即一百八十戸均平公納之米除實得一石二斗即每戸均納之數均納之數即下等每戸應納之數也故加五斗得中等每戸納數再加七斗得上等每戸納數
九則
帶分子母差分一法
設甲乙丙三人納銀令乙納甲數六分之五丙納甲數四分之三乙多丙納銀八兩求共銀及各應納銀數法曰列母四子三于左母六子五于右右上互乘左下得十八左上互乘右下得二十左上右上相乘得二十四以十八減二十餘二為法另以乙多丙八兩乘二十四〈得一百九十二兩〉以法除之得九十六兩即甲
數以八兩乘二十〈得一百六十兩〉以法除之得八十兩即乙
數以八兩乘十八〈得一百四十四
兩以法除之得七十二兩〉
即丙數並之得二百四十
八兩即共銀數
解曰此借比例以求真數也二十四與二十六分之五也二十四與十八四分之三也六分之五之二十較四分之三之十八多二六分之五之乙數較四分之三之丙數却多八兩則二十四之與甲數二十之與乙數十八之與丙數其比例必皆若二與八也故八乘二除各得真數也
十則
帶分子母差分二法
設布一十二萬四千四百八十五疋給散軍士每三名給襖布七疋每四名給褲布五疋求軍數法曰列三名七疋于右四名五疋于左右上互乘左下〈得十五〉左上互乘右下〈得二十八〉並之〈共四十三〉為法另以左上右上
相乘〈得一十二〉以乘共布〈得一百四
十九萬三千八百二十疋〉以法除之得
三萬四千七百四十名即
所求
解曰十二為三名者四當
給襖布二十八疋為四名者三當給褲布一十五疋是毎軍士十二名給布四十三疋也反之每給布四十三疋得軍士一十二名也故十二乘四十三除得軍數也
十一則
互和逓減差分一法
設米一百八十石令甲乙丙三人逓減納之定甲多丙米三十六石求各應納米數法曰置共米以人數歸之得六十石為乙數另置甲多丙數折半〈得一十八石〉加乙數得七十八石為甲數減乙數得四十二石為丙數
解曰甲多于乙數必為甲多于丙數之半丙少于乙數亦必為丙少于甲數之半兩相折凖是甲丙共得三分之二而乙自得三分之一故三歸之得乙數加減之得甲與丙數也
十二則
互和逓減差分二法
設令甲乙丙丁四人逓減納銀定甲納六十九兩丁納五十一兩求乙丙應納數及共銀數法曰以丁數減甲數〈餘一十八兩〉三歸之得六兩加丁數得五十七兩為丙數加丙數得六十三兩為乙數並之共二百四十兩為共銀數
解曰甲多于乙乙多于丙丙多于丁三數並與甲多于丁數等故三歸得每率逓差之數凡四位以上皆取首尾兩數相減五位則四歸之六位則五歸之七位則六歸之即得每率逓差之數餘同前
十三則
匿價差分一法
設銀一百八十兩零二錢五分買麥六十五石菽二十五石麥每石多菽價一兩零七分求各價法曰置麥以麥多菽價乗之〈得六十九兩五錢五分〉以減元銀〈餘一百一十兩零七錢〉並麥菽兩數除之得一兩二錢三分即菽價加麥多菽價得二兩三錢即麥價
解曰減去麥多菽價餘銀即菽九十石之共價故以九十石歸之得菽價
十四則
匿價差分二法
設稻一十八石稷二十二石其值適等交換五石則兩率差銀一兩六錢二分五釐求各價法曰置一兩六錢二分五釐以交換五石歸之得三錢二分五釐以乗稻一十八石〈得五兩八錢五分〉另以稻一十八石減稷二十二石餘四石為法除之得一兩四錢六分二釐五毫即稷價另以三錢二分五釐乗稷二十二石〈得七兩一錢五分〉以前法除之得一兩七錢八分七釐五毫即稻價
解曰交換五石兩率相差一兩六錢二分五釐則一兩六錢二分五釐必稻五石多稷五石之價也以五歸之得三錢二分五釐即稻稷每石相差之價稻稷既每石相差三錢二分五釐則一十八石必差五兩八錢五分矣今稷多稻四石而價適等是稷四石之價必五兩八錢五分也故四歸之得稷價又稻與稷價之比例原若十八與二十二既以三錢二分五釐乗稻一十八石得稷每四石之價則以三錢二分五釐乗稷二十二石必得稻每四石之價無疑矣故四歸之得稻價
十五則
二色差分
設銀六十七兩五錢共買稻菽一百石稻毎石價八錢菽毎石價三錢求稻菽各若干法曰以菽價乗共一百石〈得三十兩〉以減原銀〈餘三十七兩五錢〉為實以兩價相減〈餘五錢〉為法除之得七十五石即稻數以減共一百石餘二十五石即菽數
解曰原銀為稻菽共百石之價以菽價乗百石為菽百石之價兩率不等者以稻貴于菽也今稻毎石多菽價五錢是兩率毎相差五錢百石内必有稻一石兩率相減餘銀三十七兩五錢凡為五錢者七十五故得稻七十五石也
十六則
三色差分〈四色五色六色附〉
設銀十兩零五錢共買稻麥菽一十八石稻每石價八錢麥每石價六錢菽毎石價三錢求三色各若干法曰置共糧以三歸之得六石為麥數以麥價因之得三兩六錢為麥共價另以麥數減共糧〈餘一十二石〉以菽價因之〈得三兩六錢〉另以麥共價減原銀〈餘六兩九錢〉兩數相減〈餘三兩三錢〉為實稻菽兩價相減〈餘五錢〉為法除之得六石六斗為稻數以稻麥兩數減共糧餘五石四斗為菽數
解曰若四色則四歸共物得若干即第二色數亦即第三色數以第二色價乗之得第二色共價以第三色價乗之得第三色共價以兩數減共物兩共價減原銀餘依二色差分法求之五色則五歸六色則六歸之倣此○按三色以上亦可與共物共價相合無差然實非一定不易之數即前三色論之設稻九石共價七兩二錢麥二石共價一兩二錢菽七石共價二兩一錢亦與原銀共糧共價皆合而與上法所求三色之數不同
十七則
貴賤和率差分
設銀一百二十七兩五錢共買稻麥一百零八石毎稻三石價四兩毎麥四石價三兩五錢求二色數及價各若干法曰列稻三石麥四石共稻麥一百零八石于右次列稻價四兩麥價三兩五錢原銀一百二十七兩五錢于左以右上互乘左中〈得十兩零五錢〉以左上互乘右中〈得一十六兩〉兩數相減餘五兩五錢為長法次
以右中互乗左下
〈得五百一十兩〉以左中互
乗右下〈得三百七十八兩〉兩數相減〈餘一百三十二
兩以長法除之得〉
二十四為短法以稻三石乗短法得七十二石即稻數以稻價乗短法得九十六兩即稻共價以稻數減共稻麥一百零八石餘三十六石即麥數以稻共價減原銀一百二十七兩五錢餘三十一兩五錢即麥共價
解曰此與前二色差分同但彼數齊此數不齊耳凡數之不齊者必假一數以齊之今稻三石麥四石則以十二齊之何為必齊之十二也十二為四倍稻三石三倍麥四石之數也以稻三乗麥價即得麥十二石之價以麥四乗稻價即稻十二石之價兩數相減為長法者即稻十二石多于麥十二石之銀數亦即稻四石多于麥四石之價又三倍之之數也以麥價乗共稻麥一百零八石即麥四百三十二石之價亦即一百零八石盡皆為麥而又四倍其價之數也以麥四乗原銀即稻麥四百三十二石之共價亦即稻麥一百零八石之原價而又四倍之之數也兩數相減之餘即麥四百三十二石少于稻麥共四百三十二石之價實即稻七十二石多于麥七十二石之價又四倍之之數也以之為實若以稻四石多于麥四石之價除之必得稻七十二石今稻四石多于麥四石之價不可得止得稻十二石多于麥十二石之價為長法除實得二十四二十四者即為稻三石者二十四也〈十二石三倍多于四石二十四三倍少于七十二石葢法増若干倍得數即減若干倍也〉故為短法以稻三石乗之得稻數以稻價乗之得共稻價○若欲先得麥數則以稻三石乗元銀以稻價乗共稻麥數兩數相減以長法除之得數為短法以麥四石乗之得麥數以麥價乗之得共麥價〈解同前〉○按此條當列稻三石價四兩共稻麥一百零八石于右列麥四石價三兩五錢共銀一百二十七兩五錢于左以左上互乗右中〈得一十六兩〉以右上互乗右中〈得十兩零五錢〉兩數相減〈餘五兩五錢〉為法次以左上右上相乗〈得一
十二石以乗左下〉〈得一
千五百三十兩以左中十〉
兩零五錢乗右下
〈得一千一百三十四兩〉兩數
相減〈餘三百九十六兩〉為
實以法除之得七十二石即稻數似較舊法更捷○舊法以十二倍之法除四倍之實故止得二十四以稻三石乗之方得稻數後法以十二倍之法除十二倍之實故一除即得稻數無須再乗也
十八則
首尾兩和差分
設十人挨次逓減納銀甲乙丙三人共納一十三兩八錢庚辛壬癸四人共納一十三兩求各應納銀數
法曰列三人于右
上定甲九衰乙八
衰丙七衰共二十
四衰列于右中三
人納數列于右下
次列四人于左上定庚三衰辛二衰壬一衰共六衰列于左中四人納數列于左下先以右上徧乗左行〈中得一十八衰下得三十九兩六錢〉次以左上徧乗右行〈中得九十六衰下得五十五兩二錢〉以兩下對減〈餘一十五兩六錢〉為實兩中對減〈餘七十八衰〉為法除之得二錢〈為十人挨次逓減之數〉另以右上歸右下得四兩六錢為乙數加乙二錢得四兩八錢為甲數减乙二錢得四兩四錢為丙數減丙二錢得四兩二錢為丁數以下各逓減二錢得應納銀數
解曰首三人尾四人兩數不齊不可相減以求首尾相差之數故互乗以齊之夫左下尾四人共納之銀數也以右上三人乗之得三十九兩六錢即三倍尾四人為一十二人之納數右下首三人共納之銀數也以左上四人乘之得五十五兩二錢即四倍首三人亦為一十二人之納數對減之餘即首十二人多于尾十二人之納數故以為實左中尾四人之衰數以右上三人乗之得十八即三倍尾四人為一十二人之衰數右中首三人之衰數以左上四人乗之得九十六即四倍首三人亦為一十二人之衰數對減之餘即首十二人多于尾十二人之衰數故以為法以法除實所得非一衰之銀數而何一衰之銀數即十人挨次逓減之數也以右上三人歸右下納數即得乙數何也葢乙多于丙者即甲多于乙者也減甲之多補丙之少則成三平數乙居甲丙之中故三歸之得平數即得乙數也
數學鑰巻三下
欽定四庫全書
數學鑰巻三附
柘城杜知耕撰
分法
一則
命分
設銀四十兩三人分之求毎人應分銀數法曰置銀為實以人數除之得一十三兩餘一不盡則以法為分母以不盡之一為分子命為一十三兩又三分兩之一
解曰三分兩之一即三錢三分三三不盡
二則
約分
設以九十八為法除實不盡者四十二求約若干法曰以子四十二減母九十八〈餘五十六〉再減之餘一十四復以母十四減子四十二〈餘二十八〉再減之亦餘一十四謂之子母相同即以十四為法除母九十八得七除子四十二得三即命為七分之三
解曰母數九十八是七箇十四子數四十二是三箇十四九十八之與四十二若七之與三也故命為七分之三遇不可約之數直以本數命之如母九十七子四十二此數之不可約者也直命為九十七之四十二
三則
乘分
設一十八人分銀毎人分得三百七十六兩又九分兩之六求共銀法曰置三百七十六兩為實以母九因之〈得三千三百八十四兩〉加入子六〈共三千三百九十兩〉以人數乘之〈得六萬一千零二十兩〉再以母九歸之得六千七百八十兩即所求
解曰不以母因實則不能加入子數故因實以就子也
四則
課分
設有布二疋又九分疋之五用過一疋又六分疋之一求餘布法曰置用過布一疋以母六因之〈仍得六〉加入子一〈共七〉又以原布母九因之〈得六十三〉另置原布二疋以母九因之〈得一十八〉加入子五〈共二十三〉又以用過布母六因之〈得一百三十八〉兩數相減〈餘七十五〉為實以兩母〈謂九與六〉相乘〈得五十四〉為法除之得一疋零二十一以約分法約之得十八之七即命為餘布一疋又十八分疋之七解曰兩數各帶子母不得不兩因之兩因之不得不兩歸之法以兩母相乘除實者與兩歸得數同也五則
通分
設粟四十五石毎七分石之五值銀八分兩之六求共銀法曰置粟為實以粟母七乘銀子六〈得四十二〉為法乘實〈得一千八百九十〉另以銀母八乘粟子五〈得四十〉為法除之得四十七兩二錢五分即所求
解曰原當置粟為實以粟母七乘之粟子五除之求得共粟七分之五再以銀子六乘之銀母八除之即得銀數然既以粟母七乘之又以銀子六乘之不如以粟母七乘銀子六以乘之也既以粟子五除之又以銀母八除之不如以銀母八乘粟子五以除之也
數學鑰巻三附
<子部,天文算法類,算書之屬,數學鑰>
欽定四庫全書
數學鑰巻四凡例
柘城杜知耕撰
凡例
一則
形為體之界在上之界曰靣在下之界曰底底與面有長廣而無厚薄故底面之積曰平積
二則
體之縱者曰長衡者曰廣立者曰髙
三則
底面長廣及髙皆等者曰立方如第一圖底面皆方而
髙不與長
廣等者曰
方體如第
二圖長廣
及髙皆不
等而角方
者曰直體
亦曰直方體如第三圖底或方或直而傍為勾股形曰塹堵如第四圖底或方或直而傍為三角形曰芻蕘如第五圖底或方或圓或多邊而上鋭至盡者曰錐體如第六圖凡底面相等者即取底之形為體之名設底六邊即為六邊體如第七圖渾然無界無稜者曰渾體渾圓如第八圖渾撱圓如第九圖面長殺于底長而無廣者曰鋭脊如第十圖面之長廣各殺于底者曰鋭面如第十一圖上下皆有長無廣者曰鼈臑如第十二圖
四則
錐及鋭面等體自傍科量之度非正髙五邊七邊等底中長折半之㸃非正心
五則
線之度尺容十寸寸容十分形之度尺容百寸寸容百分體之度尺容千寸寸容千分
六則
相似兩形之比例為線與線再加之比例再加者謂兩線各自乘以為比例也相似兩體之比例為線與線三加之比例三加者謂兩線各自乘再乘以為比例也兩形有一度等者同兩線之比例兩體有一度等者同兩形之比例兩體有兩度等者亦同兩線之比例
七則
堆止一層曰平堆二層以上曰髙堆
數學鑰巻四凡例
欽定四庫全書
數學鑰卷四目録
柘城杜知耕撰
少廣
一則立方求積
二則直體求積
三則塹堵求積
四則芻蕘求積
五則三角體求積
六則六邊體求積〈八邊十二邊附〉
〈増〉七則五邊體求積〈九邊附〉
八則圓體求積
〈増〉九則撱圓體求積
〈増〉十則弧矢體求積
十一則錐體求積
十二則諸雜線體求積
〈西法〉十三則渾圓求積〈二法〉
〈增〉十四則渾撱圓求積
十五則鋭脊體求積
〈増〉十六則鼈臑求積
〈増〉十七則等廣鋭面體求積
十八則鋭面方體求積
十九則鋭面直體求積〈二法 後法増〉
二十則鋭面圓體求積
〈増〉二十一則鋭面撱圖體求積
〈西法〉二十二則諸鋭面體求積
二十三則求錐體之正髙
二十四則立方以積求邊一法〈即開立方法〉二十五則立方以積求邊二法
〈増〉二十六則方體以積求邊一法〈即帶縱開立方法増〉二十七則方體以積求邊二法
二十八則直體以積求邊一法
〈増〉二十九則直體以積求邊二法
三十則渾圓以積求徑
〈増〉三十一則渾撱圓以積求徑
三十二則三乗還原〈即開三乗方法 五乗七乗附〉三十三則委粟求積
三十四則倚壁委粟求積
三十五則倚外角委粟求積
三十六則倚内角委粟求積
三十七則方平堆以周求積
三十八則方平堆以積求周
三十九則三角平堆以濶求積
四十則三角平堆以積求濶
四十一則梯形平堆以濶求積
四十二則六邊平堆以邊求積
四十三則六邊平堆以積求邊〈求周附〉
四十四則塹堵髙堆求積
四十五則方底髙堆求積
四十六則三角髙堆求積
四十七則直底髙堆求積
四十八則直底鋭面堆求積
四十九則三角鋭面堆求積
數學鑰巻四目録
欽定四庫全書
數學鑰巻四
柘城杜知耕撰
少廣
一則
立方求積
設立方方三尺求積法曰置三尺自乘〈得九尺〉再以三尺乘之得二十七尺即所求
解曰算體之法先求底積〈即方圓等形求積詳一二巻〉以髙為底
積倍數如圖長廣各三尺相乘得九尺
為底積若髙二尺則二倍底積之數得
一十八尺髙三尺則三倍底積之數得
二十七尺
二則
直體求積
設直體長七尺廣五尺髙一十二尺
求積法曰以廣乘長〈得三十五尺〉以髙乘
之得四百二十尺即所求
解同前
三則
塹堵求積
設塹堵長一十二尺廣五尺髙七尺求積法曰以廣
乘長〈得六十尺〉以髙
乘之〈得四百二十尺〉折
半得二百一十
尺即所求
解曰甲乙丙丁直體與塹堵髙廣長各等依甲乙線丙乙稜分之必成二塹堵夫一直體既能當二塹堵則一塹堵必當半直體也故折半得積
四則
芻蕘求積
設芻蕘長一十二尺廣五尺髙七尺求積法同塹堵
解曰甲乙丙戊
芻蕘依丙丁線
丙戊脊分之必
成二塹堵各為
相當直方之半兩直方並必成一直方夫直方之兩分既倍于芻蕘之兩分直方之全體不倍于芻蕘之全體乎故亦折半得積同塹堵也
五則
三角體求積
設三角體廣六尺
中長五尺高一十
二尺求積法曰置
長廣相乘〈得三十尺〉以
髙乘之〈得三百六十尺〉折半得一百八十尺即所求
解曰即芻蕘但彼横此縱耳○勾股體同
六則
六邊體求積〈八邊及十二邊附〉
設六邊體每邊廣二十尺中長三十四尺六寸四分
有竒髙四十尺
求積法曰置廣
三因之〈得六十尺〉以
長折半〈得一十七尺三〉
〈寸二分零二毫〉乘之〈得一千零三十九尺二寸一分二釐〉為底積再以高乘之得四萬一千五百六十八尺四寸八分即所求解曰六邊底依各角分之成三角形六三角求積法以廣乘長折半〈一巻五則〉不折則得兩三角積故三因邊廣以底長之半乘之〈底之半長即三角之中長〉即得六三角積〈即全底積〉猶平圓半徑乘半周之義也〈二巻三則〉若無底長之度則取邊廣為〈全底分為六三角形每形之三邊俱等以甲乙為即以丙乙為也〉半廣為勾〈丁乙〉各自乘相減平方開之得股〈丙丁〉即底長之半〈六巻二則〉○設八邊底每邊廣二十尺求底長即以二十尺折半為勾〈丁乙〉另置二十尺以七六五三六除之得二六一三一四强為〈丙乙〉各自乘相減平方開之得股〈丙丁〉即底長之半設十二邊底每邊廣二十尺求底長即以二十尺折半為勾〈丁乙〉另置二十尺以五一七六四除之得三八六三六八强為〈丙乙〉各自乘
相減平方開之
得股〈丙丁〉即底長
之半按七六五
三六乃四十五
度弧之通四十五度為三百六十度八之一故以之除八邊底之一邊即得外切圓形之半徑五一七六四乃三十度弧之通三十度為三百六十度十二之一故以之除十二邊底之一邊即得外切圓形之半徑外切圓形之半徑即三角形之腰線〈丙乙〉也〈見大測及八線表〉
七則
五邊體求積
設五邊體毎邊廣二十尺中長三十尺零七寸七分
六釐六毫强高
四十尺求積法
曰置邊廣以邊
數五因之〈得一百尺〉
折半〈得五十尺〉為實另置邊廣折半〈得十尺〉自乘〈得一百尺〉以中長除之〈得三尺二寸四分九釐一毫强〉與中長相減〈餘二十七尺五寸二分七釐四毫强〉折半〈得一十三尺七寸六分三釐七毫强〉為法乘實〈得六百八十八尺一寸八分八釐〉為底積再以高乘之得二萬七千五百二十七尺五寸二分即所求
解曰五邊底依各角分之成三
角形五欲求底積必先得三角
積欲求三角積必先得三角之
中長〈丙丁〉然上則六邊邊為偶數
角與角相對邊與邊相對其全底之長即相對兩三角之中長令五邊邊為竒數邊與角相對其底長〈己丁〉小半為此三角之中線〈丙丁〉大半為彼三角之腰線〈己丙〉折半則得庚丁不能得丙丁也若欲得丙丁必先求己丙〈于己丁底長減去己丙餘即丁丙〉欲得己丙必先求外切圓形之己戊徑〈己戊折半即己丙〉欲得己戊必先求外切圓徑大于底長之丁戊〈底長加丁戊即己戊〉欲求丁戊則用弧矢以及餘徑求矢法〈二巻二十二則〉今邊廣甲戊乙弧矢形之甲乙也邊廣折半自乘丁乙半上方形也底長己丁餘徑也以除半上方形所得者丁戊矢也以矢減底長所餘者倍三角中長之辛丁也故半之為三角之中長又五因邊廣折半者取五三角底之半也若無底長之度則取邊廣折半為勾〈丁乙〉另置邊廣以一一七五五八除之得一七零一二八八為〈丙乙〉各自乘相減平方開之得股〈丙丁〉即三角形之中長〈六巻二則〉
一 一七五五八乃七十二度弧
之通七十二度為三百六十
度五之一故以之除五邊之一
即得外切圓形之半徑〈丙乙〉為三
角形之腰線也○設九邊底每邊廣二十尺求三角分形之中長則以二十尺折半為勾〈丁乙〉另置二十尺以六八四零四除之得二九二三八為〈丙乙〉自乘相減平方開之得股〈丙丁〉即三角形之中長六八四零四乃四十度弧之通四十度為三百六十度九之一故以之除九邊之一即得三角形之腰線也
八則
圓體求積
設圓體徑三十尺高四十尺求積法曰置徑自乘〈得九
百尺再以高乘之〉
〈得三萬六千尺〉用圓法
十一乘十四除
〈二巻四則〉得二萬八
千二百八十五尺七寸有竒即所求
解曰以徑自乘再以髙乘之方體積也方體與圓體等髙則兩體即若兩底之比例故用平圓法求圓體之積也
九則
撱圓體求積
設撱圓體大徑三十六尺小徑一十六尺髙四十尺求積法曰置兩徑相乘〈得五百七十六尺〉再以高乘之〈得二萬三千零四十尺〉用圓法十一乘十四除得一萬八千一百零
二尺八寸有竒
即所求
解同前則及二
巻十六則
十則
弧矢體求積
設弧矢體矢濶八尺六寸六分零二毫長三十尺背三十六尺二寸九分零三毫六絲高四十尺求積法曰置半自乘〈得二百二十五步〉以矢除之〈得二十五尺九寸八分零
九壹强為餘徑餘〉
徑加矢折半〈得一
十七尺三寸二分零五毫五絲〉為法乘背〈得六百二〉
〈十八尺五寸六分九釐〉另以餘徑減矢折半〈得八尺六寸六分零四毫弱〉為法乘〈得二百五十九尺八寸一分二釐〉兩數相減〈餘三百六十八尺七寸五分七釐〉折半〈得一百八十四尺三寸七分八釐〉為底積再以高乘之得七千三百七十五尺一寸四分即所求〈二卷十七則〉
十一則
錐體求積
設方錐方二十尺高四十尺求積法曰置二十尺自
乘〈得四百尺〉為底積
再以高乘之〈得一
萬六千尺以錐法三〉
歸之得五千三
百三十三尺三寸三分有奇即所求
解曰方邊自乘再以高乘之方體也方錐居方體三之一故三歸得積也何以知方錐居體三之一也試
作立方如甲乙
自心至各稜分
之必成錐體六
俱以方靣為底
方邊之半為高
更作一方體與
錐體同底等高
如丙丁丙丁方
體既與錐體同
底必亦與甲乙立方同底既與錐體等高必以甲乙方邊之半為高兩方體既同底則兩體之比例若高與高丙丁體必為甲乙立方二之一矣錐體既為甲乙立方六之一不為等高同底丙丁方體三之一乎再作直體廣二尺長四尺高八尺如癸辛亦自心至各稜分之亦成錐體六底等戊庚辛己高等辛子之半如丑者二底等癸壬庚戊高等庚辛之半如寅者二底等庚壬子辛高等辛己之半如卯者二六錐體形勢雖殊而俱等何也丑與寅同長丑之高倍于寅而寅之廣倍于丑折寅之廣凖丑之高則丑寅二體等矣又丑與卯同廣丑之長倍于卯而卯之高倍于丑折丑之長凖卯之高則丑卯二體亦等矣夫寅等于丑丑等于卯是六錐俱等矣今癸辛一直體能分為相等之六錐體則一錐體不為癸辛直體六之一乎錐體既為同底倍高直體六之一必為同底等高三之一無疑矣○從此推之不論方圓多邊弧矢凡屬錐體者皆為同底等高體三之一
十二則
諸雜線體求積
凡體先求底積底屬直線依一巻九則例屬曲線及雜線依二巻四十則例裁之得底積再以高乘之即得體積
十三則
渾圓求積
設渾圓徑十尺求積法曰置徑自乘〈得一百尺〉四因之〈得四百尺〉十一乘十四除〈得三百一十四尺二寸八分六釐弱〉為靣積再以半徑乘之〈得一千五百七十一尺四寸三分弱〉以三歸之得五百二十三
尺八寸一分即所求
解曰置徑自乘再以十一乘十
十四除者渾圓中丙子乙丑平
圓積也以四因之者渾圓面積
當平圓積四也何也渾圓面任割一分〈如甲丁己戊〉欲求面分之容則取自甲頂至戊界之度〈甲戊線〉為半徑作平圓〈如辛癸平圓辛壬與甲戊等〉其容即等若自乙丙平割渾圓之半取自甲頂至乙界之度為半徑作平圓其容必與渾圓半靣等今丙子乙丑平圓半徑為乙庚乙庚
與甲庚等乙庚甲庚
兩線偕甲乙線則成
一勾股形甲乙為
乙庚甲庚一為勾一
為股也以為半徑之平圓必倍大于或勾或股為半徑之平圓渾圓半靣既等于以甲乙弦為半徑之平圓不倍大于以乙庚勾為半徑之丙子乙丑平圓乎半面既倍大于丙子乙丑平圓全靣不四倍大于丙子乙丑平圓乎法以半徑乘之以三歸之又何也平圓求積同于以圓周為底以半徑為高之三角形〈二巻四則〉故渾圓求積同于以全面為底以半徑為高之
錐體以高乘底以三歸之者
錐體求積之法也〈本巻十一則〉○
又嘗借西洋割圓八線表考
之如前徑十尺之渾圓自頂
中剖之再以乙丙線平分之依八線表例分乙丁甲曲線為九十度設任割球分為甲丁己戊其甲丁曲線三十度自丁戊向甲截作三十段梯形于八線表中求三十度通得五尺二十九度通得四尺八寸四分八釐一毫用梯形求積法〈一巻七則〉並兩數折半得四尺九寸二分四釐零五絲再求二十八度通得四尺六寸九分四釐七毫與二十九度通並而折半得四尺七寸七分一釐四毫依次折盡三十度共得通數七十六尺七寸五分九釐七毫五絲用圓徑求周法〈二巻一則〉求得二百四十一尺二寸四分五釐弱〈為球分面上三十段梯形兩濶折半之數〉為實復求甲丁曲線三十分之一得八分七釐三毫有竒〈取渾圓全周以三十六歸之即得〉為
梯長乘實得割 〈即〉球靣積二十一尺零五分有奇叧求甲戊直線得二尺五寸八分八釐二〈即表中十五度通〉毫倍之得五尺一寸七分六釐四毫為徑求圓積亦得二十一尺零五分有竒與前數
合又法置徑自乘再以徑乘〈得一千尺〉之以十一乘二十一除得數
同解曰圓體與方體等高則兩體之比例若兩底之比例是方體與圓體若十四與十一也又圓體與渾圓等高令圓體之底同渾圓中心之平圓則圓體之
容必等于以平圓為底以渾圓
半徑為〈渾圓半徑即固體高度之半也〉高之錐
體〈本巻十一則〉六渾圓之面既四倍
于中心平圓而渾圓求積之法
又同錐體則渾圓之容必等于以平圓為底半徑為高之錐體四夫以相等之錐體圓體得六而渾圓得四是圓體與渾圓若六之與四六之與四即三之與二也又以三因十四得四十二以二因十一得二十二各以二約之為二十一與十一則二十一與十一等高立方渾圓之比例也法置徑自乘再乘立方也十一乘二十一除取立方二十一之十一為渾圓也十四則
渾撱圓求積
設渾撱圓大徑四十尺小徑二十尺求積法曰置小
徑自乘〈得四百尺〉再
以大徑乘之〈得一
萬六千尺以十一乘〉
二十一除得八
千三百八十尺零九寸五分即所求
解曰小徑自乘再以大徑乘之甲乙方體也方體渾撱圓比例亦猶立方與渾圓故十一乘二十一除得渾撱圓之積
十五則
鋭脊體求積
設鋭脊體脊長十尺底長十四尺廣五尺高十二尺求積法曰倍底長加脊長〈得三十八尺〉以廣乘之〈得一百九十尺〉再以高乘之〈得二千二百八十尺〉以六歸之得三百八十尺即
所求
解曰依甲丙乙丁兩線
分之成芻蕘一斜錐二
〈斜錐與正錐同論〉芻蕘以高乘
底積之半得積〈本巻四則〉錐以高乘底積三之一得積〈本巻十一則〉夫芻蕘之底長即鋭脊之脊長也若三倍脊長以六歸之即得芻蕘底長之半又兩斜錐之底長即鋭脊之脊長與底長之較也〈即戊庚己辛兩線並之度〉若二倍較線以六歸之即得斜錐底長三之一今倍底長加脊長非即三倍脊長二倍較線乎以六歸之以廣乘之再以高乘之得三分體之積即全體之積法先乘後歸亦異乘同除之意也
十六則
鼈臑求積
設鼈臑上長二
尺下長四尺高
九尺求積法曰
置兩長相乘〈得八〉
〈尺〉再以高乘之〈得七十二尺〉以六歸之得一十二尺即所求
解曰叧作一芻蕘如下圖芻蕘原為等高同底方體二之一〈本巻四則〉依甲丙乙丙兩線各從底稜分之成一錐體二鼈臑錐體原為等高同底方體三之一〈本巻十一則〉必為芻蕘三之二于芻蕘内減去錐體所餘三之一則兩鼈臑也兩鼈臑並既為芻蕘三之一必為與芻蕘等高同底方體六之一矣與芻蕘等高同底即為鼈臑等高倍底者也兩鼈臑既為等高倍底方體六之一則一鱉臑亦必為等高同底方體六之一故用六歸也
十七則
等廣鋭面體求積
設等廣鋭靣體靣長四尺底長一十二尺底面俱廣
五尺高一十二
尺求積法曰並
兩長折半〈得八尺〉以廣乘之〈得四十尺〉
再以高乘之得四百八十尺即所求
解曰依甲丙乙丁兩線分之成一直體二塹堵全靣即一直體底全底即一直體二塹堵底底靣並而折半則成一直體一塹堵底矣夫直體以高乘本底得積〈本巻二則〉塹堵以高乘半底得積〈本巻三則〉今一塹堵之全底即兩塹堵之半底也故以高乘㡳靣相並折半之數得全積十八則
鋭靣方體求積
設鋭靣方體靣方六尺底方八尺高一十二尺求積
法曰置上方自
乘〈得三十六尺〉下方
自乘〈得六十四尺〉上
下兩方相乘〈得四〉
〈十八尺〉三數並〈共一百四十八尺〉以高乘之〈得一千七百七十六尺〉以三歸之得五百九十二尺即所求
解曰各依面稜分之成方體一塹堵方錐各四凡九體而有三等三等求積之法則各殊方體以高乘底得積〈本巻二則〉塹堵以高乘底二之一得積〈本巻三則〉方錐以高乘底三之一得積〈本巻十一則〉若從方體則與塹堵不合從塹堵又與方錐不合不得不用三歸以就方錐然用三歸必三倍方體之底半倍塹堵之底而後可今下方自乘即甲乙方形得方體之底一塹堵方錐之底各四上方自乘即丙丁方形得方體之底一上下相乘即戊己直形得方體之底一塹堵之底二合三形共方體底三塹堵底六方錐底四夫方體底三三歸之仍得一塹堵底六三歸之得二二塹堵底即四塹堵底二之一也方錐底四三歸之各得三之一今以高乘一方體底四塹堵底二之一四方錐底三之一故得全積〈餘同本巻十五則〉
十九則
鋭靣直體求積
設鋭靣直體靣長六尺廣五尺底長十尺廣八尺高
一十二尺求積
法曰倍上長加
下長〈共二十二尺〉以
上廣乘之〈得一百一〉
〈十尺〉另倍下長加上長〈共二十六尺〉以下廣乘之〈得二百零八尺〉兩數並〈得三百一十八尺〉以高乘之〈得三千八百一十六尺〉以六歸之得六百三十六尺即所求
解曰依各靣稜分之亦成九體與前則同但四塹堵兩兩相等辛戊與庚己等丙戊與丁己等四塹堵既不等則三歸之法不可用矣于是有六歸之法倍上長加下長以上廣乘之即戊己直形二丙丁直形一得戊己直體底三丙戊己丁塹堵底各一倍下長加上長以下廣乘之即甲乙直形二辛庚直形一得戊己直體底三辛戊庚己塹堵底各三丙戊丁己塹堵底各二甲戊等四錐底各二合之共直體底六塹堵底十二與辛戊等者六與丙戊等者六錐底八以六歸之得一直體底四塹堵底二之一四錐底三之一故以高乘之得全積○按鋭靣直體亦有可用三歸
者如後圖面長五尺廣三尺底
長七尺廣四尺二寸高一十二
尺用前法得積二百六十一尺
六寸今以面廣乘靣長得一十
五尺以底廣乘底長得二十九尺四寸以靣廣乘底長得二十一尺〈或以底廣乘靣長亦同〉三數並共六十五尺四寸以高乘之以三歸之得積同用此法求前體則不合其故何也葢前體乃鋭脊之截體後體乃直錐之截體後體底靣長廣可互為比例若依四角斜線引而高之必成直錐是以謂之直錐之截體依前例分為九體其四塹堵雖體勢不同而容積皆等故用三歸而合也若前體底靣長廣不可為比例亦依四角斜線引而高之止成鋭脊終不成錐體是以謂之鋭脊之截體如前分為九體其四塹堵體勢既異而大小復殊故用三歸必不合也鋭靣直體有此二等不可不知也
二十則
鋭靣圓體求積
設鋭靣圓體靣徑六尺底徑八
尺高一十二尺求積法曰置靣
徑自乘〈得三十六尺〉底徑自乘〈得六十四
尺兩徑相乘〉〈得四十八尺〉三數並〈共一〉
〈百四十八尺〉以高乘之〈得一千七百七十六尺〉再十一乘四十二除得四百六十五尺一寸四分有竒即所求
解曰此與鋭靣方體法同元當用三歸得鋭靣方體積再十一乘十四除為本積今用十一乘四十二除者以三因十四得四十二以四十二除猶三歸又十四除也
二十一則
鋭面撱圓體求積
設鋭面撱圓體面大徑四尺小徑二尺底大徑八尺
小徑六尺高一十二尺求積法
曰倍靣大徑加底大徑以靣小
徑乘之〈得三十二尺〉另倍底大徑加
靣大徑以底小徑乘之〈得一百二十尺〉
兩數並〈共一百五十二尺〉以高乘之〈得一千八百二十四尺〉再以十一乘八十四除得二百三十八尺八寸五分有竒即所求
解曰此與鋭靣直體法同元當用六歸得鋭靣直體積再十一乘十四除為本積今以八十四除者以六因十四得八十四以八十四除猶六歸又十四除也二十二則
諸鋭靣體求積
設鋭靣六邊體靣每邊廣一尺中長一尺七寸三分二釐〈所謂中長者乃邊與邊相對之度非角與角相對之度也底同〉底每邊廣二尺
中長三尺四寸
六分四釐高四
尺求積法曰置
高以底長折半
乘之〈得六尺九寸二分八釐〉以兩長相減折半〈得八寸六分六釐〉除之得八尺為錐高另三因底邊二尺〈得六尺〉以底長之半乘之〈得十尺零三寸九分二釐〉以錐高八尺乘之三歸之〈得二十七尺七寸一分强〉為錐積另三因靣邊一尺〈得三尺〉以靣長之半乘之〈得二尺五寸九分八釐〉以原高減錐高餘四尺乘之三歸之〈得三尺四寸六分四釐〉為虚積以虚積減錐積餘二十四尺二寸四分八釐即所求
解曰凡鋭靣體底靣長廣能為比例者皆諸錐之截體既得錐積復得體外虚積相減之餘即為所求之實積然欲求錐積必先求錐高錐高甲丙與元高甲丁之比例若底長之半甲乙與底靣兩半長之較線己乙也法以底長之半乘高以兩半長之較線除之者乃借乙己與己戊之比例〈己戊即甲丁〉因甲乙以求甲丙也凡鋭靣體俱同此法
二十三則
求錐體之正高
設方錐底方十尺斜高一十三尺求正高法曰置斜高自乘〈得一百六十九尺〉另以底方折半自乘〈得二十五尺〉兩數相
减〈餘一百四十四尺〉平方開之得一十
二尺即所求
解曰此勾求股法也〈六巻二則〉凡
求諸錐體之積須得諸錐正高
自傍面量者乃斜高非正高也自頂至底中心方為正高方錐係偶邊故折底長為勾如遇竒邊則求底中心至邊之度為勾〈本巻七則〉
二十四則
立方以積求邊一法〈即開立方〉
設立方積三千三百七十五尺求方邊法曰置積于中為實先商十尺于左下法亦置十尺于右自乘再乘〈得一千尺〉除實〈餘二千三百七十五尺〉三因下法十尺〈得三十尺〉為方法次商五尺置于左初商十尺之次下法亦置五尺于初商十尺之次〈共一十五尺〉以次商五尺徧乘之〈得七十五尺〉為廉法再以方法乘廉法〈得二千二百五十尺〉除實〈餘一百二十五尺〉又置次商五尺自乘再乘〈得一百二十五尺〉為隅法除實恰盡合左初商次商得一十五尺即所求
解曰初商自乘再乘大方積也次商五尺乘下法十
尺得五十尺即
方廉甲乙丙丁
一側面之平積
也〈丁乙五尺丁丙十尺相乘
得五十尺以初商乘〉
之必得一方廉
之積〈每一方廉積五百尺〉若以方法三十
尺乘之則得三
方廉之積〈三方廉皆等〉又以次商五尺乘下法五尺得二十五尺即戊己庚辛長廉一方面之平積也〈戊己五尺戊庚亦五尺相乘得二十五尺〉以初商乘之必得一長亷之積〈每一長廉積二百五十尺〉若以方法三十尺乘之則得三長廉之積〈三長廉皆等〉今以次商五尺徧乘下法十五尺得七十五尺即方廉之側面長亷之方面兩平積也總以方法三十尺乘之即得三方廉三長廉之共積矣又次商五尺自乘再乘得一百二十五尺即隅方積以三方廉附于大方之三面以三長廉補方廉之缺又以一隅方補長廉之缺八體凑合則成一縱廣皆一十五尺之立方矣
二十五則
立方以積求邊二法
設立方積三百六十五萬二千二百六十四尺求方邊法曰置積于中為實先商一百尺于左下法亦置一百尺于右自乘再乘〈得一百萬尺〉除實〈餘二百六十五萬二千二百六十四尺〉三因下法一百尺〈得三百尺〉為方法次商五十尺置于左初商一百尺之次下法亦置五十尺于初商一百尺之次〈共一百五十尺〉次商五十尺徧乘之〈得七千五百尺〉為廉法以方法乘廉法〈得二百二十五萬尺〉除實〈餘四十萬零二千二百六十四尺〉又以次商自乘再乘〈得一十二萬五千尺〉為隅法除實〈餘二十七萬七千二百六十四尺〉復三因下法一百五十尺〈得四百五十尺〉為方法三商四尺于左初商次商一百五十尺之次下法亦置四尺于初商次商一百五十尺之次〈共一百五十四尺〉以三商四尺徧乘之〈得六百一十六尺〉又為廉法以方法乘廉法〈得二十七萬七千二百尺〉除實〈餘六十四尺〉又以三商四尺自乘再乘〈得六十四尺〉為隅法除實恰盡合左初次三商共得一百五十四尺即所求
解曰此與前則同但彼二位此三位耳設三商又不盡復三因初次三商為方法四商之倣此
二十六則
方體以積求邊一法〈即帶縱開立方〉
設方體積二千九百二十五尺長廣相等高朒二尺求各度法曰置積于中為實初商十尺自乘又以朒二尺減十尺餘八尺乘之〈得 百尺〉除實〈餘二千一百二十五尺〉倍八尺加初商十尺〈共二十六尺〉為方廉法又倍初商十尺加八尺〈共二十八尺〉為長廉法次商五尺置于初商之次以初商十尺乘方廉法〈得二百六十尺〉以次商五尺乘長廉法〈得一百四十尺〉兩數並〈共四百尺〉以次商五尺乘之〈得二千尺〉除實〈餘一百二十五尺〉又置次商五尺自乘再乘〈得一百二十五尺〉為隅法除實恰盡合初商次商共得一十五尺即底方之度減高朒二尺餘一十三尺即高度
解曰初商自乘大方之底積又減二尺乘之高朒于縱及廣也倍八尺加十尺為方廉法者以方廉廣十尺者一廣八尺者二也又以十尺乘之者三方廉之
長皆十尺也倍
十尺加八尺為
長廉法者以長
廉長八尺者一
長十尺者二也
又以次商五尺
乘之者三長廉
之廣皆五尺也
又並六廉以五
尺乘之者六廉之厚皆五尺也餘同前則○改設前積為三千二百四十三尺三寸七分五釐初商十尺次商五尺仍餘積三百一十八尺三寸七分五釐又以朒二尺減初次兩商十五尺餘十三尺倍之加十五尺共四十一尺為方廉法倍十五尺加十三尺共四十三尺為長廉法三商五寸于初次兩商一十五尺之次以初次兩商十五尺乘方廉法得六百一十五尺以三商五寸乘長廉法得二十一尺五寸並兩數共六百三十六尺五寸又以三商五寸乘之得三百一十八尺二寸五分除實餘一寸二分五釐陞二位作一百二十五寸又置三商五寸自乘再乘得一百二十五寸除實恰盡合初次三商得一十五尺五寸為底方之度减高朒二尺餘一十三尺五寸為高度○餘積一寸二分五釐陞二位何也葢體以縱廣及高各一尺為積一尺一尺實積千寸取十分尺之一為寸是一寸而實積百寸也故寸以下皆陞二位二十七則
方體以積求邊二法
設方體積四千二百七十五尺長廣相等高多四尺求各度法曰置積于中為實初商十尺自乘又以多四尺並十尺共十四尺乘之〈得一千四百尺〉除實〈餘二千八百七十五尺〉倍十四尺加初商十尺〈共三十八尺〉為方廉法倍初商十尺加十四尺〈共三十四尺〉為長廉法次商五尺置于初商之次以初商十尺乘方廉法〈得三百八十尺〉以次商五尺乘長廉法〈得一百七十尺〉兩數並〈共五百五十尺〉又以次商五尺乘之〈得二千七百五十尺〉除實〈餘一百二十五尺〉又置次商五尺自乘再乘〈得一百二十五尺〉為隅法除實恰盡合初次兩商共得一十五尺即底方之度加高多四尺共一十九尺即高度解同前
二十八則
直體以積求邊一法
設直體積七千二百尺高一十二尺廣朒于長十尺求長廣法曰置積以高除之〈得六百尺〉四因之〈得二千四百尺〉叧置廣朒于長十尺自乘〈得一百尺〉兩數並平方開之〈得五十尺〉減廣朒于長十尺〈餘四十尺〉折半得二十尺即廣加十尺得三十尺即長
解曰以高除積所得者直體底積也故平方帶縱開之即得所求也
二十九則
直體以積求邊二法
設直體積三千一百三十五尺高多長四尺長多廣四尺求各度法曰置積于中為實初商十尺以十尺減長多廣四尺餘六尺乘之又以十尺加高多長四尺共十四尺乘之〈得八百四十尺〉除實〈餘二千二百九十五尺〉列十尺六尺十四尺為方廉法並十尺六尺十四尺共三十尺為長廉法次商五尺置于初商之次方廉法維乘以六尺乘十尺〈得六十尺〉十尺乘十四尺〈得一百四十尺〉十四尺乘六尺〈得八十四尺〉並之〈共二百八十四尺〉又以次商五尺乘長廉法〈得一百五十尺〉兩數並〈共四百二十四尺〉再以次商五尺乘之〈得二千一百七十尺〉除實〈餘一百二十五尺〉又置次商五尺自乘再乘〈得一百十五尺〉 為隅法除實恰盡合初次兩商共一十五尺即長増四尺共一十九尺即高減長四尺餘一十一尺即廣
解曰初商十尺為大方之長減四尺餘六尺為廣増
四尺共一十四尺為高故兩乘
得大方積大方三面之平積即
三方廉之底積也而大方之三
面各不等以廣六尺乘長十尺
得甲乙丙丁面平積以長十尺乘高一十四尺得戊己甲乙面平積以高一十四尺乘廣六尺得已庚乙丁面平積故列三位為方廉法維乘也又大方三稜之度即三長廉之高也而大方三稜亦不等甲乙稜十尺乙丁稜六尺乙己稜一十四尺故並三數為長
廉法也餘同前解
三十則
渾圓以積求徑
設渾圓積一千七百六十七尺八分五釐七毫有竒求圓徑法曰置積二十一乘十一除〈得三千三百七十五尺〉立方開之得一十五尺即所求
解曰十一與二十一渾圓立方之比例也〈本巻十三則〉二十一乘十一除令渾圓化為相當之立方故立方開之得方邊即得圓徑也
三十一則
渾撱圓以積求徑
設渾撱圓積二千二百三十九尺二寸八分五釐有竒大徑多小徑四尺求兩徑法曰置積二十一乘十一除〈得四千二百七十五尺〉以帶縱立方開之得一十五尺即小徑加多四尺得一十九尺即大徑
解曰渾㨊圓與方體之比例亦若渾圓與立方故二十一乘十一除帶縱立方開之得方體之廣及高即渾撱圓之兩徑也
三十二則
三乘還原〈即開三乘方〉
設三乘積六百二十五尺求還原法曰置積為實平方開之〈得二十五尺〉再以平方開之得五尺即所求解曰以五自乘再乘三乘得六百二十五即所謂三乘方也反求元數即所謂開三乘方也三乘原無形體可言但法類于開平方立方故亦謂之方耳○從此推之一次平方一次立方可開五乘方三次平方可開七乘方
三十三則
委粟求積
設委粟底周八十八尺高八尺八寸求積法曰置周自乘〈得七千七百四十四尺〉以高乘之〈得六萬八千一百四十七尺二寸〉再七乘二百六十四除得一千八百零六尺九寸三分有竒即所求
解曰此即圓錐也圓形與周上方形之比例若七與
八十八〈二巻五則〉凡兩體等高者體與
體之比例若底與底圓體與周上
等高方體之比例必亦若七與八
十八今圓錐居圓體三之一以三
乘八十八得二百六十四則是圓錐與周上等高方體之比例必若七與二百六十四矣
二十四則
倚壁委粟求積
設倚壁委粟周四十
四尺高八尺八寸求
積法曰置周自乘〈得一
千九百三十六尺〉以高乘之
〈得一萬七千零三十六尺八寸〉再七乘一百三十二除得九百零三尺四寸六分有竒即所求
解曰此圓錐之半也半錐居全錐二之一半周上方體〈與圓錐等高下同〉居全周上方體四之一故其比例為七與一百三十二也
三十五則
倚外角委粟求積
設倚外角委粟周六十六尺高八尺八寸求積法曰
置周自乘〈得四千三百五十六
尺以高乘之〉〈得三萬八千三
百三十二尺八寸〉再七乘一
百九十八除得一千
三百五十五尺二寸即所求
解曰此圓錐四之三也與全周上方體〈與圓錐等高下同〉之
欽定四庫全書
數學鑰巻五凡例
柘城杜知耕撰
凡例
一則
以此㡬分之㡬為彼幾分之幾之倍數即以彼㡬分之㡬為此㡬分之㡬之倍數兩數必相等設甲數十二乙為甲四分之三數九丙為甲三分之二數八以丙乗乙得七十二以乙乗丙亦得七十二更設丁數四十八戊為丁四分之三數三十六己為丁三分之二數三十二以己乗乙得二百八十八以戊乗丙亦得二百八十八故曰兩數必相等
二則
設乙四倍之多于甲數為三七倍之多于甲數為十五以倍數四互乗十五得六十為二十八倍乙多于四倍甲之數以倍數七互乗三得二十一為二十八倍乙多于七倍甲之數兩數對減所餘必七倍甲多于四倍甲之數七倍甲多于四倍甲之數則三甲之數也
三則
同名相減猶異名相加故異名相加者必同名相減同名相加猶異名相減故異名相減者必同名相加四則
正與正負與負為同名正與負為異名
五則
有一數為法中之闗鍵而乗除加減反不用者曰暗用數
數學鑰巻五凡例
欽定四庫全書
數學鑰巻五上之上目録
柘城杜知耕撰
商功
一則修築計積
二則以積計工
三則以工計日一法
四則以工計日二法
五則堅土壤土之較
六則遲疾求齊一法
七則遲疾求齊二法
八則遲疾求齊三法
巻五上之下
均輸
一則田地之多寡
二則方物之貴賤
三則道里之逺近一法
四則道里之逺近二法
五則任載之重輕一法
六則任載之重輕二法
七則合均田地多寡方物貴賤道里逺近
卷五下之上
盈朒
一則盈適足
二則朒適足
三則兩盈
四則兩朒
五則一盈一朒
六則帶分子母盈適足〈朒適足同〉
七則帶分子母兩盈〈兩朒同〉
八則帶分子母一盈一朒〈二法〉
卷五下之下
方程
一則二色方程
二則三色方程一法
三則三色方程二法
四則正負同異加減一法
五則正負同異加減二法
六則正負同異加減三法
七則正負同異加減四法
八則正負同異加減五法
九則四色方程
數學鑰巻五目録
欽定四庫全書
數學鑰卷五上之上
柘城杜知耕撰
商功
一則
修築計積
設修堤七千二百尺上濶八尺下濶三十尺髙四十尺求積法曰並兩濶折半〈得一十九尺〉為實以髙乗之〈得七百六十尺〉再以長〈七千二百尺〉乗之得五百四十七萬二千尺即所求
解曰此等廣銳靣體求積法也〈詳四巻十七則〉
二則
以積計工
設築堤一座積五百四十七萬二千尺每夫日築八尺求用夫數法曰置積為實以八尺除之得六十八萬四千名即所求
解曰此求一日築完
三則
以工計日一法
設修堤同前欲一年築完求用夫數法曰置積為實以每夫日築八尺乗三百六十日〈得二千八百八十尺〉為法除之得一千九百名即所求
解曰二千八百八十尺乃一夫一年所築者故以之除實得夫數
四則
以工計日二法
設原議用夫一千九百名一年築完今欲速成增夫九百五十名求用日數法曰以一千九百名乗三百六十日〈得六十八萬四千日〉為實並原夫增夫〈共二千八百五十名〉為法除之得二百四十日即所求
解曰六十八萬四千日乃一夫築完所用之日數故並原夫增夫除之得二千八百五十名所用之日數五則
堅土壤土之較
設鑿池土築堤堤積五百四十七萬二千尺池長七千五百尺濶三十五尺求池深法曰置堤積四因三歸〈得七百二十九萬六千尺〉為實以池濶乗長〈得二十六萬二千五百尺〉為法除之得二十七尺七寸九分四釐有竒即所求解曰凡闕地四尺為壤五尺築堅三尺故于堤積四因三歸為池積以濶乗長池靣平積也以平積除池積所得非池深而何
六則
遲疾求齊一法
設甲日築九尺乙日築六尺乙先築十日方令甲築求㡬日工齊法曰以乙日築六尺乗先築十日〈得六十尺〉為實以甲日築九尺乙日築六尺相減〈餘三尺〉為法除之得二十日即所求
解曰乙先築十日必多甲六十尺甲日築多乙三尺二十日必亦多六十尺故同築二十日而齊
七則
遲疾求齊二法
設一臺甲約五日築完乙約七日築完丙約九日築完令甲乙丙同築求㡬日完法曰以七乗五〈得三十五日〉再以九乗之〈得三百一十五日〉為實另以七乗五〈得三十五〉以五
乗九〈得四十五〉以九乗七〈得六十三〉三
數並〈共一百四十三〉為法除之得二
日又一百四十三分日之二
十九即所求
解曰以乙乗甲又以丙乗之
者求三率之齊數也〈三百一十五日是六十三箇五日四十五箇七日三十五箇九日也〉甲五日築一臺則三百一十五日必能築六十三臺乙七日築一臺則三百一十五日必能築四十五臺丙九日築一臺則三百一十五日必能築三十五臺是三人三百一十五日共築一百四十三臺也故以一百四十三臺除三百一十五日得三人共築一臺之日數
八則
遲疾求齊三法
設一夫一日闕土可成五十尺一日運土可成三十尺一日築土可成二十尺令一夫自闕自運自築求日成㡬何法曰以二十尺乗三十尺〈得六百尺〉再以五十尺乗之〈得三萬只〉為實另以二十尺乗三十尺〈得六百日〉五十
尺乗二十尺〈得一千日〉三十尺乗
五十尺〈得一千五百日〉三數並〈共三千一
百日〉為法除之得九尺又三十
一分尺之二十一即所求
解曰以二十尺乗三十尺再
以五十尺乗之亦取三率之齊數也〈三萬尺是一千五百箇二十尺一千箇三十尺六百箇五十尺也〉一日闕土成五十尺必六百日成三萬尺一日運土成三十尺必一千日成三萬尺一日築土成二十尺必一千五百日成三萬尺是一夫六百日闕土一千日運土一千五百日築土共計三千一百日乃成三萬尺也故以三千一百日除三萬尺得一日所成之數
數學鑰巻五上之上
欽定四庫全書
數學鑰巻五上之下
柘城杜知耕撰
均輸
一則
田地之多寡
設甲乙丙三人以田地多寡應一年差役甲田八十畆乙田六十畆丙田四十畆求各值日數法曰分置三人田數各以三百六十日乗之〈甲得二萬八千八百乙得二萬一千六百丙得一萬四千四百〉並三人田數〈共一百八十畆〉為法除甲得一百六十日除乙得一百二十日除丙得八十日即所求二則
方物之貴賤
設米九百石令甲乙二處以米價之貴賤均納之甲處米價每石五錢乙處米價毎石七錢求各應納米數法曰置米為實並兩價〈共一兩二錢〉除之得七十五以七錢乗七十五得五百二十五石價二百六十二兩五錢為甲數以五錢乗七十五得三百七十五石價亦二百六十二兩五錢為乙數
解曰甲乙米價既為五與七則甲乙納數必若七與五矣甲納數與共米必若乙價七錢與兩價並之一兩二錢也此借五錢與一兩二錢之比例因元米以求甲數也乙同此論
三則
道里之逺近一法
設牛車已行七日馬車方行六日行齊其程五百八十五里求各日行里數法曰置五百八十五里為實以六日除之得九十七里半為馬車日行里數以七日六日相並〈共一十三日〉除實得四十五里為牛車日行里數
四則
道里之逺近二法
設自甲至乙八百五十五里牛車自甲反乙日行四十五里馬車自乙往甲日行九十七里半同日行求㡬日相遇法曰置八百五十五里為實並牛馬車日行里數〈共一百四十二里半〉除之得六日即所求
解曰此是彼來此往兩行相就與以疾追遲者不同故並兩日行數為法也
五則
任載之重輕一法
設原車載重八百斤行一千二百里與僦值八兩今載重一千二百斤行一千八百里求僦值法曰置僦值八兩為實以今重一千二百斤乗今行一千八百里〈得二百一十六萬〉為法乗實〈得一千七百二十八萬〉另以原重八百斤乗原行一千二百里〈得九十六萬〉為法除之得一十八兩即所求
解曰此同乗同除法也任載半倍于原數僦值已當半倍八兩為十二兩道里復半倍于原數僦值故又半倍十二兩為十八兩
六則
任載之重輕二法
設重車日行五十里輕車日行七十里今載米至倉五日三返求至倉里數法曰置輕重車日行里數相乗〈得三百五十里〉又以五日乗之〈得一千七百五十里〉為實另並輕重車日行里數以三返乗之〈得三百六十〉為法除之得四十八里又三十六分里之二十二即所求
解曰兩車日行里數相乗得三百五十里是兩車行之齊數也〈三百五十里是七箇五十里亦五箇七十里〉乃輕車五日重車七日所行之里數並兩車日行里數除之即得一日重往輕來之里數再以五日乗之三返除之即得至倉之里數法變用五日乗實三返乗法者亦同乗同除法也
七則
合均田地多寡方物貴賤道里逺近
設甲乙丙丁戊五處定粟二千石以田地之多寡道里之逺近粟價之貴賤均輸之甲地二萬零五百二十畆粟價每石二兩自輸本處乙地一萬二千三百一十二畆粟價每石一兩至輸所二百里丙地七千一百八十二畆粟價每石一兩二錢至輸所一百五十里丁地一萬三千三百三十八畆粟價每石一兩七錢至輸所二百五十里戊地五千一百三十畆粟價每石一兩三錢至輸所一百五十里每石每里僦車銀四釐求各應輸數法曰先置甲地為實以粟價二兩為法除之得一千零二十六衰次置乙地為實以僦銀四釐因至輸所二百里〈得八錢〉並入粟價一兩〈共一兩八錢〉為法除實得六百八十四衰次置丙地為實以僦銀四釐因至輸所一百五十里〈得六錢〉並入粟價一兩二錢〈共一兩八錢〉為法除實得三百九十九衰又次置丁地為實以僦銀四釐因至輸所二百五十里〈得一兩〉並入粟價一兩七錢〈共二兩七錢〉為法除實得四百九十四衰末置戊地為實以僦銀四釐因至輸所一百五十里〈得六錢〉並入粟價一兩三錢〈共一兩九錢〉為法除實得二百七十衰合五數〈共二千八百七十三衰〉為總衰置定粟二千石以甲衰乘之〈得二百零五萬二千石〉以總衰除之得七百一十四石二斗三升五合九勺九抄為甲數置二千石以乙衰乗之〈得一百三十六萬八千石〉以總衰除之得四百七十六石一斗五升七合三勺三抄為乙數置二千石以丙衰乗之〈得七十九萬八千石〉以總衰除之得二百七十七石七斗五升八合四勺四抄為丙數置二千石以丁衰乗之〈得九十八萬八千石〉以總衰除之得三百四十三石八斗九升一合四勺為丁數置二千石以戊衰乗之〈得五十四萬石〉以總衰除之得一百八十七石九斗五升六合八勺四抄為戊數
解曰因地畆以定粟數則輸粟均矣而價值有貴賤猶未均也故取粟價除地畆以均貴賤貴賤均矣而道里有逺近猶未均也故又取僦值並入粟價以均逺近此衰分法也
數學鑰巻五上之下
欽定四庫全書
數學鑰巻五下之上
柘城杜知耕撰
盈朒
一則
盈適足
設和買一物每人出銀七兩盈六兩每人出銀五兩適足求物價人數法曰列七兩盈六兩于右列五兩于左以左上乗右下〈得三十兩〉為物實右下六兩為人實
另以左上右上對減〈餘二兩〉為
法以法除物實得一十五兩
為物價以法除人實得三為
人數
解曰甲為七兩乙為五兩
丙為五兩七兩對減之二兩各三倍之為丁戊己己即出七兩所盈之六兩己與戊或與丁之比例必若丙與乙或與甲也丁與甲戊與乙之比例必皆若己與丙也法以五兩乗盈六兩以對減所
餘之二兩除之者借
丙與己之比例因乙
以求戊也戊即物價
倍數則人數也
二則
朒適足
設貴賤二物貴價七兩賤價五兩以銀買貴物朒六兩買賤物適足求物數銀數法曰列貴價
七兩朒六兩于右列賤價
五兩于左以左上乗右下
〈得三十兩〉為銀實右下六兩
為物實另以左上右上
對減〈餘二兩〉為法以法除
銀實得一十五兩為銀數以法除物實得三為物數
解曰甲為賤價乙為貴價丙為兩價之較丁為賤物之共價即銀數也戊為貴物之共價己則
兩共價之較也丁與
甲戊與乙之比例皆
若己與丙此借丙與
己之比例因甲以求
丁也既得丁而戊不
待言矣
三則
兩盈
設有銀七人分之盈二兩五人分之盈八兩求共銀及分銀數法曰列七人盈二兩于右列五人盈八兩于左先以右上乗左下〈得五十六兩〉次以左上乗右下〈得十兩〉兩數對減〈餘四十六兩〉為共銀實又以左下右下對減〈餘六兩〉為分銀實另以左上右上對減〈餘二〉為法以法除
共銀實得二十三兩為共
銀數以法除分銀實得三
兩為每人分銀數
解曰七人分之盈二兩是
七倍三兩朒于共銀之數
以五人乗之則是三十五倍三兩朒于五倍共銀之數也又五人分之盈八兩是五倍三兩朒于共銀之數以七人乗之則是三十五倍三兩朒于七倍共銀之數也今以三十五倍三兩朒于五倍共銀之數〈即一十兩〉減三十五倍三兩朒于七倍共銀之數〈即五十六兩〉所餘必二倍共銀之數矣故以五七對減之二為法除之即得共銀也以法除分銀實得分銀數與前二則除人實物實得人數物數同
四則
兩朒
設有銀每人分七兩朒八兩每人分五兩朒二兩求人及銀數法曰列分七兩朒八兩于右列分五兩朒二兩于左先以右上乗左下〈得十四兩〉次以左上乗右下
〈得四十兩〉兩數相減〈餘二十六兩〉為
銀實又以左下右下對減
〈餘六兩〉為人實另以左上右
上對減〈餘二兩〉為法以法除
銀實得一十三兩為銀數
以法除人實得三為人數
解曰以五兩乗朒八兩得四十兩為三十五倍三兩盈于五倍共銀之數以七兩乘朒二兩得一十四兩為三十五倍三兩盈于七倍共銀之數相減之餘必為二倍共銀之數故以法除之得銀數餘同前解五則
一盈一朒
設木不知髙以索五摺比之木朒二尺七摺比之木盈三尺求木髙及索長法曰以五摺因朒二尺得十
尺以七摺因盈三尺得二
十一尺列五摺朒十尺于
右列七摺盈二十一尺于
左先以右上乘左下〈得一百零
五尺次以左上乗右下〉〈得七十尺〉
兩數並〈共一百七十五尺〉為索實又並左下右下〈共三十尺〉為木實另以左上右上對減〈餘二摺〉為法以法除索實得八十七尺五寸為索長以法除木實得一十五尺五寸為木髙
觧曰同此一索或為七摺或為五摺必五摺長而七摺短也雖不知每摺之度而每五長摺之盈于五短摺者必二短摺每七短摺之朒于七長摺者必二長摺今長摺盈于木髙二尺〈木朒于索是索盈于木也〉五長摺盈于五倍木髙必十尺以七乗十尺則為三十五長摺盈于三十五倍木髙之度短摺朒于木髙三尺〈木盈于索是索朒于木也〉七短摺朒于七倍木髙必二十一尺以五乘二十一尺則為三十五短摺朒于三十五倍木髙之度兩數並〈即一百七十五尺為索實者〉則三十五長摺盈于三十五短摺之度矣然三十五長摺盈于三十五短摺者即七倍五長摺盈于七倍五短摺之度亦即五倍七短摺朒于五倍七長摺之度也五倍七短摺之朒于五倍七長摺者十長摺之度也七倍五長摺之盈于七倍五短摺者十四短摺之度也十四短摺為索之倍長十長摺亦索之倍長也故以五七對減之二除之得索長餘同前解
六則
帶分子母盈適足〈朒適足同〉
設物以銀三分之二買之盈五兩以銀二分之一買之適足求物價銀數法曰列母三子二盈五兩于右列母二子一于左先以右上乘左中得三兩即以三兩乘右下〈得一十五兩〉為物實又以兩母相乗得六兩即
以六兩乗右下〈得三
十兩為銀實又以左〉
上乗右中〈得四兩〉與
左中得數相減〈餘一
兩為法以法除物〉
實仍得一十五兩為物價以法除銀實仍得三十兩為銀數
解曰以兩母相乗得六兩取兩母之齊數也〈六兩為二倍三兩亦三倍二兩也〉右母乗左子得三兩即六兩二分之一也左母乗右子得四兩即六兩三分之二也以六兩三分之二之四兩與六兩二分之一之三兩較相差止一兩今三分之二盈五兩二分之一適足是元銀三分之二與元銀二分之一較則相差五兩矣以相差之五兩與相差之一兩較為五倍之比例因知元銀之與六兩物價之與三兩必皆為五倍之比例法以六兩乗五兩以一兩除之者是借一兩與五兩之比例因六兩以求元銀也以三兩乗五兩以一兩除之者亦借一兩與五兩之比例因三兩以求物價也七則
帶分子母兩盈〈兩朒同〉
設物以銀四分之三買之盈七兩五錢以銀六分之四買之盈五兩求物價銀數法曰列母四子三盈七兩五錢于右列母六子四盈五兩于左先以右上乘
左中得一十六兩
即以一十六兩乗
右下〈得一百二十兩〉次以
左上乗右中得一
十八兩即以一十
八兩乗左下〈得九十兩〉兩數相減〈餘三十兩〉為物實又以兩母相乗得二十四兩以二十四兩乗右下〈得一百八十兩〉以二十四兩乗左下〈得一百二十兩〉兩數相減〈餘六十兩〉為銀實另以左中右中兩得數相減〈餘二兩〉為法以法除物實得一十五兩為物價以法除銀實得三十兩為銀數解曰二十四兩為兩母之齊數左中得十六兩為二十四兩六分之四右中得十八兩為二十四兩四分之三兩數相差二兩今盈五兩與盈七兩五錢較則差二兩五錢是二十四兩與元銀之比例必若二兩與二兩五錢矣以二十四兩乗兩下對減為銀實以法除之亦借比例法也〈先乗後相減與先減後乗得數同〉又求物實本當以元銀六分之四乗右下四分之三乗左下然尚未得兩率之數不得不借與兩率比例等者用之與兩率之比例等者乃二十四兩六分之四之十六與四分之三之十八也故以之互乗兩下左得九十兩為一十八倍元銀六分之四盈于一十八倍物價之數右得一百二十兩為一十六倍元銀四分之三盈于一十六倍物價之數而一十六倍四分之三與一十八倍六分之四兩數實等是以對減之餘即為二倍物價也故以十六十八對減之二除之得物價八則
帶分子母一盈一朒
設物以銀十二分之七買之盈二兩五錢以銀六分之二買之朒五兩求物價銀數法曰列母十二子七盈二兩五錢于右列母六子二朒五兩于左先以右上乗左中得二十四兩即以二十四兩乗右下〈得六十兩〉
次以左上乗右中
得四十二兩即以
四十二兩乗左下
〈得二百一十兩〉兩數並〈共二
百七十兩為物實又以〉
兩母相乗得七十二兩以七十二兩乗左下〈得三百六十兩〉以七十二兩乗右下〈得一百八十兩〉兩數並〈共五百四十兩〉為銀實另以左中右中兩得數相減〈餘一十八兩〉為法以法除物實得一十五兩為物價以法除銀實得三十兩為銀數
解曰七十二兩為兩母之齊數二十四兩為七十二兩六分之二四十二兩為七十二兩十二分之七兩數相差十八兩並盈朒兩數共七兩五錢〈一盈一朒相並猶兩盈兩朒相減也〉為元銀十二分之七與六分之二相差之數是七十二兩與元銀之比例必若十八兩之與七兩五錢矣以七十二兩乗兩下相並為銀實以十八除之亦借比例法也〈解同前〉又求物實以四十二兩乗左下得二百一十兩為四十二倍六分之二朒于四十二倍物價之數以二十四兩乗右下得六十兩為二十四倍十二分之七盈于二十四倍物價之數然四十二倍六分之二實與二十四倍十二分之七等今並六十兩與二百一十兩共二百七十兩必四十二倍物價盈于二十四倍物價之數也四十二倍物價之盈于二十四倍物價者即十八倍物價故以十八為法除之得物價○又法以左中得數二十四兩乗左下得數二百一十兩得五千零四十兩以右中得數四十二兩乗右下得數六十兩得二千五百二十兩並兩數共七千五百六十兩另以兩子二七相乗得一十四兩除之得五百四十兩為銀實以前法十八除之得數同○左下先以四十二乗之又以二十四乗之右下先以二十四乗之又以四十二乗之猶以二十四與四十二相乗得一千零八以乗之也以一千零八乗之又以兩中相乗得一十四除之猶以一十四除一千零八得七十二以乗之也前法元以兩母相乗得七十二以乗兩下得數相並為銀實與後法無異故得數同也
數學鑰巻五下之上
欽定四庫全書
數學鑰卷五下之下
柘城杜知耕撰
方程
一則
二色方程
設稻三石菽二石共價銀八兩二錢四分又稻四石菽五石共價銀一十二兩二錢求二色價法曰列稻三石菽二石價八兩二錢四分于右列稻四石菽五
石價一十二兩二
錢于左先以右稻
遍乗左行〈菽得一十五石
價得三十六兩六錢〉次以左
稻遍乗右行〈菽得八石〉
〈價得三十二兩九錢六分〉以兩價得數對減〈餘三兩六錢四分〉為實以兩菽得數相減〈餘七石〉為法除之得五錢二分為菽每石價以右行菽二石因之〈或用左行菽五石亦可〉得一兩零四分為菽二石價以減右共價餘七兩二錢為稻三石價以稻三石歸之得二兩四錢為稻每石價
解曰欲得稻菽二色價須先求菽一色價欲求菽一色價須先減去稻數及稻價欲減去稻數及稻價必先齊兩行稻數稻價而使之等今左價一十二兩二錢為稻四石菽五石之共價以右稻三石遍乗之價得三十六兩六錢是三倍元價矣既三倍元價則必為三倍稻數十二石三倍菽數十五石之共價右價八兩二錢四分為稻三石菽二石之共價以左稻四石遍乗之價得三十二兩九錢六分是四倍元價矣既四倍元價則必為四倍稻數十二石四倍菽數八石之共價兩行稻數既各十二石是稻數齊矣稻數齊而稻價因之亦齊矣于稻十二石菽十五石價内減去稻十二石菽八石之價所餘非菽七石之價而何故以兩菽對減之七石除之得菽價菽價既得求稻價不須解矣○如欲先得稻價則列兩菽數于兩稻數之上以右菽二石遍乗左行以左菽五石遍乗右行兩價得數相減餘十六兩八錢為實兩稻得數對減餘七石為法除之得稻價此與前法同
前齊稻數故先得
菽價此齊菽數故
先得稻價也○前
稻數齊以十二石
後菽數齊以十石
法中不曽明言十二石十石乃暗用數也後倣此二則
三色方程一法
設稻五石麥七石菽四石共價銀二十六兩六錢八分又稻四石麥二石菽三石共價銀一十四兩七錢六分又稻七石麥五石菽七石共價銀二十九兩四
錢四分求
三色價前
法曰列稻
五石麥七
石菽四石
價二十六
兩六錢八
分于左列稻四石麥二石菽三石價一十四兩七錢六分于中列稻七石麥五石菽七石價二十九兩四錢四分于左先以中稻四石遍乗右行〈麥得二十八石菽得一十六石價得一百零六兩七錢二分〉以右稻五石遍乗中行〈麥得一十石菽得一十五石價得七十三兩八錢〉兩行對減麥餘一十八石菽餘一石價餘三十二兩九錢二分次以中稻四石遍乗左行〈麥得二十石菽得二十八石價得一百一十七兩七錢六分〉以左稻七石遍乗中行〈麥得一十四石菽得二十一石價得一百零三兩三錢二分〉兩行對減麥餘六石菽餘七石價餘一十四兩四錢四分
解曰二色方程減去一色即得餘一色之價三色方程必減去二色方得一色之價然無一算並減二色之法故前法互乗對減先減去一色也
後法曰列餘麥一十八石餘菽一石餘價三十二兩九錢二分于右列餘麥六石餘菽七石餘價一十四兩四錢四分于左先以右麥一十八石遍乗左行〈菽得一百二十六石價得二百五十九兩九錢二分〉次以左麥六石遍乗右行〈菽得六石價得一百九十七兩五錢二分〉以兩價得數對減〈餘六十二兩四錢〉為實以兩菽得數對減〈餘一百二十石〉為法除之得五錢二分為
菽價以左菽七石
因之〈得三兩六錢四分〉以
減左價〈餘十兩零八錢〉以
左麥六石除之得
一兩八錢為麥價
取前圖中行麥二石因麥價〈得三兩六錢〉菽三石因菽價〈得一兩五錢六分〉並兩數〈共五兩一錢六分〉減中價〈餘九兩六錢〉以中稻四石除之得二兩四錢為稻價
解曰減去稻數稻價餘麥菽二色故用二色方程法得菽價
三則
三色方程二法
設稻五石麥七石菽四石共價銀二十六兩六錢八
分又稻四
石麥二石
菽三石共
價銀一十
四兩七錢
六分又麥五石菽七石共價銀一十二兩六錢四分求三色價前法曰列稻五石麥七石菽四石價二十六兩六錢八分于右列稻四石麥二石菽三石價一十四兩七錢六分于左先以右稻五石遍乗左行〈麥得十石菽得一十五石價得七十三兩八錢〉次以左稻四石遍乗右行〈麥得二十八石菽得一十六石價得一百零六兩七錢二分〉兩行對減麥餘一十八石菽餘一石價餘三十二兩九錢二分
解曰麥五石菽七石價十二兩六錢四分不與兩行並列何也葢前法元為減去稻價稻數取麥菽二色今此率本無稻數稻價故直與餘麥餘菽餘價並列為後法也
後法曰列麥五石菽七石價一十二兩六錢四分于右列餘麥一十八石餘菽一石餘價三十二兩九錢
二分于左先以右
麥五石遍乗左行
〈菽得五石價得一百六十四兩六錢〉次以左麥一十八
石遍乗右行〈菽得一百〉
〈二十六石價得二百二十七兩五錢二分〉以兩價得數相減〈餘六十二兩九錢二分〉為實以兩菽得數對減〈餘一百二十一石〉為法除之得五錢二分為菽價〈求麥價稻價同前〉
四則
正負同異加減一法
設麥七石稷五石共價銀一十六兩二錢五分今以麥二石増銀二兩二錢四分換稷八石求二色價法曰列正麥七石正稷五石正價一十六兩二錢五分于右列負麥二石正稷八石正價二兩二錢四分于
左先以右正麥七
石遍乗左行〈稷得五十
六石價得一十五兩六錢八分〉次
以左負麥二石遍
乗右行〈稷得十石價得三十〉
〈二兩五錢〉兩價得數同名相加〈共四十八兩一錢八分〉為實兩稷得數同名相加〈共六十六石〉為法除之得七錢三分為稷價〈求麥價同一則〉
解曰左行價二兩二錢四分増二石麥價方與稷八石之價等麥二石乃倒欠之數故謂之負餘皆謂之正者所以别于負也左右兩麥相乘各得一十四石為正負之齊數以負麥遍乗右行價得三十二兩五錢為麥一十四石稷十石之共價以正麥遍乗左行價得一十五兩六錢八分尚欠一十四石麥價不足稷五十六石之價若將右行麥一十四石之價移于左行則右銀必為稷十石之價左銀必為稷五十六石之價故並之為稷六十六石之價○以正加正以負加負謂之同名相加以正減正以負減負謂之同名相減以正加負以負加正謂之異名相加以正減負以負減正謂之異名相減
五則
正負同異加減二法
設稻四石黍七石共價銀一十五兩五錢五分今以黍三石増銀九兩四錢五分換稻五石求二色價法曰列正稻四石正黍七石正價一十五兩五錢五分于右列正稻五石負黍三石正價九兩四錢五分于左先以右正稻四石遍乗左行〈黍得一十二石價得三十七兩八錢〉次
以左正稻五石遍
乗右行〈黍得三十五石價得
七十七兩七錢五分〉兩價得
數同名相減〈餘三十九
兩九錢五分為實兩黍〉
得數異名相加〈共四十七石〉為法除之得八錢五分為黍價〈求稻價同一則〉
解曰以右稻遍乗左行價得三十七兩八錢尚欠一十二石黍價不足稻二十石之價以左稻遍乗右行價得七十七兩七錢五分為稻二十石黍三十五石之共價若以稻二十石全價減之必餘黍三十五石之價今以左行尚欠一十二石黍價不足稻二十石之價減之故餘四十七石黍價也
六則
正負同異加減三法
設麥五石稷八石共價銀一十四兩八錢四分又麥四石黍二石共價銀八兩九錢又黍五石稷三石共價銀六兩四錢四分求三色價前法曰列麥五石黍
空稷八石
價一十四
兩八錢四
分于右列
麥四石黍
二石稷空價八兩九錢于左先以右麥五石遍乗左行〈黍得十石價得四十四兩五錢〉次以左麥四石遍乗右行〈稷得三十二石價得五十九兩三錢六分〉兩行對減右行黍空取左黍十石為本位負數左行稷空右稷無減仍得三十二石價餘一十四兩八錢六分
解曰以右麥遍乗左行價得四十四兩五錢為麥二十石黍十石之共價以左麥遍乗右行價得五十九兩三錢六分為麥二十石稷三十二石之共價兩價對減必餘右稷三十二石與左黍十石兩價相差之數于右立負黍十石者謂餘價一十四兩八錢六分再増黍十石之價方足稷三十二石之價猶以黍十石増銀一十四兩八錢六分換稷三十二石也或問右行黍空左行稷空不立負于左而必立負于右者何也葢前法原于多内減少以取二色之價今右稷三十二石價多于左黍十石價若于左立負稷亦須立負價矣是以立負于右而不立于左也
後法曰列正黍五石正稷三石正價六兩四錢四分
于右列餘負黍十
石餘正稷三十二
石餘正價一十四
兩八錢六分于左
先以右正黍五石
遍乗左行〈稷得一百六十石價得七十四兩三錢〉次以左負黍十石遍乗右行〈稷得三十石價得六十四兩四錢〉兩價得數同名相加〈共一百三十八兩七錢〉為實兩稷得數同名相加〈共一百九十石〉為法除之得七兩三錢為稷價〈求麥價黍價同二則〉
解曰後法同四則
七則
正負同異加減四法
設麥四石黍五石價銀一十一兩四錢五分又麥五石稷二石價銀一十兩零四錢六分又黍四石稷七
石價銀八
兩五錢一
分求三色
價前法曰
列麥四石
黍五石稷空價一十一兩四錢五分于右列麥五石黍空稷二石價一十兩零四錢六分于左先以右麥四石遍乗左行〈稷得八石價得四十一兩八錢四分〉次以左麥五石遍乗右行〈黍得二十五石價得五十七兩二錢五分〉兩行對減左行黍空右黍無減仍得二十五石右行稷空取左稷八石為本位負數價餘一十五兩四錢一分
解曰右價得五十七兩二錢五分為麥二十石黍二十五石之共價左價得四十一兩八錢四分為麥二十石稷八石之共價兩價對減餘一十五兩四錢一分即二十五石黍價多于八石稷價之數是以餘銀並八石稷價方足黍二十五石之價故立負稷八石也餘同前則
後法曰列正黍四石正稷七石正價八兩五錢一分
于右列餘正黍二
十五石餘負稷八
石餘正價一十五
兩四錢一分于左
先以右正黍四石
遍乗左行〈稷得三十二石價得六十一兩六錢四分〉次以左正黍二十五石遍乗右行〈稷得一百七十五石價得二百一十二兩七錢五分〉兩價得數同名相減〈餘一百五十一兩一錢一分〉為實兩稷得數異名相加〈共二百零七石〉為法除之得七錢三分為稷價〈求黍價麥價同二則〉解曰後法同五則
八則
正負同異加減五法
設以稷七石増銀四兩零七分換麥二石粟九石又以麥三石換稷四石粟四石適平又以麥一石稷一石増銀四兩九錢一分換粟一十二石求三色價前法曰列正麥二石負稷七石正粟九石正價四兩零七分于右列負麥三石正稷四石正粟四石價空于中列負麥一石負稷一石正粟一十二石正價四兩
九錢一分
于左先以
右正麥二
石遍乗中
行〈稷得八石粟得
八石價空以中〉
負麥三石
遍乗右行〈稷得二十一石粟得二十七石價得一十二兩二錢一分〉兩稷得數異名相減餘一十三石兩粟得數同名相加共三十五石中價空無加仍得一十二兩二錢一分
解曰右價得一十二兩二錢一分是尚欠稷二十一石價不足麥六石粟二十七石之價中價空是稷八石粟八石適等于麥六石之價若減右麥六石即以稷粟各八石補之其價不須増減必相均平矣然右稷乃倒欠之數不可相加故減之減倒欠猶之加正數也
次以左負麥一石遍乗中行〈稷仍得四石粟仍得四石價空〉以中負麥三石遍乗左行〈稷得三石粟得三十六石價得一十四兩七錢三分〉兩稷得數異名相加共七石兩粟得數同名相減餘三十二石中價空無減仍得一十四兩七錢三分
解曰左價得一十四兩七錢三分是尚欠麥稷各三石價不足粟三十六石之價中價空是麥三石適等于稷粟各四石之價若減左負麥三石復減正稷正粟各四石其價不須増減必相均平然左非正稷乃倒欠之數不可相減故加之加倒欠猶之減正數也後法曰列餘負稷一十三石餘正粟三十五石餘正價一十二兩二錢一分于右列餘負稷七石餘正粟
三十二石餘正價
一十四兩七錢三
分于左先以右負
稷一十三石遍乗
左行〈粟得四百一十六石價得〉
〈一百九十一兩四錢九分〉次以左負稷七石遍乗右行〈粟得二百四十五石價得八十五兩四錢七分〉兩價得數同名相減〈餘一百零六而零二分〉為實兩粟得數同名相減〈餘一百七十一石〉為法除之得六錢二分為粟價〈求麥價稷價同二則〉
解曰兩稷皆負兩粟兩價皆正左右相等故法同二色方程
九則
四色方程
設稻一石麥五石黍三石稷七石共價銀一十九兩零六分又稻八石麥四石黍七石稷六石共價銀三十六兩七錢三分又稻三石麥二石黍五石稷七石共價銀二十兩零一錢六分又稻四石麥二石黍六石稷四石共價銀二十一兩二錢二分求四色價前
法曰列稻一石麥五石黍三石稷七石價一十九兩零六分于右列稻八石麥四石黍七石稷六石價三十六兩七錢三分于次右列稻三石麥二石黍五石稷七石價二十兩零一錢六分于次左列稻四石麥二石黍六石稷四石價二十一兩二錢二分于左先以右稻一石遍乗次右行〈仍得元數〉以次右稻八石遍乗右行〈麥得四十石黍得二十四石稷得五十六石價得一百五十二兩四錢八分〉兩行對減麥餘三十六石黍餘一十七石稷餘五十石價餘一百一十五兩七錢五分次以次右稻八石遍乗次左行〈麥得十六石黍得四十石稷得五十六石價得一百六十一兩二錢八分〉以次左稻三石遍乗次右行〈麥得十二石黍得二十一石稷得十八石價得一百一十兩零一錢九分〉兩行對減麥餘四石黍餘一十九石稷餘三十八石價餘五十一兩零九分末以次左稻三石遍乗左行〈麥得六石黍得一十八石稷得一十二石價得六十三兩六錢六分〉以左稻四石遍乗次左行〈麥得八石黍得二十石稷得二十八石價得八十兩零六錢四分〉兩行對減麥餘二石黍餘二石稷餘一十六石價餘一十六兩九錢八分
解曰前法減稻一色餘麥黍稷三色
次法曰列餘麥三十六石餘黍一十七石餘稷五十石餘價一百一十五兩七錢五分于右列餘麥四石餘黍一十九石餘稷三十八石餘價五十一兩零九分于中列餘麥二石餘黍二石餘稷一十六石餘價一十六兩九錢八分于左先以右麥三十六石遍乗中行〈黍得六百八十四石稷得一千三百六十八石價得一千八百三十九兩二錢四分〉以中麥四石遍乗右行〈黍得六十八石稷得二百石價得四百六十三兩〉兩行對減黍餘六百一十六石稷餘一千一百六十八石價餘一千三百七十六兩二錢四分次以中麥四石遍
乗左行〈黍得
八石稷得六十四石
價得六十七兩九錢
二分以左麥〉
二石遍乗
中行〈黍得三十
八石稷得七十六石〉
〈價得一百零二兩一錢八分〉兩行對減黍餘三十石稷餘一十二石價餘三十四兩二錢六分
觧曰次法減麥一色餘黍稷二色
後法曰列餘黍六百一十六石餘稷一千一百六十八石餘價一千三百七十六兩二錢四分于右列餘黍三十石餘稷一十二石餘價三十四兩二
錢六分于左以右
黍六百一十六石
遍乗左行〈稷得七千三百
九十二石價得二萬一千一百零四
兩一錢六分以左黍三〉
十石遍乗右行〈稷得三萬五千零四十石價得四萬一千二百八十七兩二錢〉兩價得數對減〈餘二萬零一百八十三兩零四分〉為實兩稷得數對減〈餘二萬七千六百四十八石〉為法除之得七錢三分為稷價〈求黍麥稻價同二則〉
解曰後法同二色方程五色六色以上倣此○按方程之要在加減加減之闗鍵在首位〈謂第一横行〉首位同名則異名相加同名相減首位異名則同名相加異名相減然大略如是亦有不盡然者有應減者無可減而反加之有應加者無可加而反減之變化無窮〈數學鑰卷五下之下〉
亦存乎人之自悟耳
<子部,天文算法類,算書之屬,數學鑰>
欽定四庫全書
數學鑰卷六凡例
柘城杜知耕撰
凡例
一則
縱曰股衡曰勾斜曰
二則
股大于勾者曰勾股較大于勾者曰勾較大于股者曰股較勾股並大于者曰和較
三則
勾股並曰勾股和勾並曰勾和股並曰股和勾股並曰勾股和亦曰和和
四則
勾股較加股較即勾較勾較減股較即勾股較和較加勾較即股和較加股較即勾和較加勾較股較即勾股較減股和即勾和勾股和加股較即勾和股和減勾和即勾股較股和減勾股和即勾較勾股較加勾股和半之為股勾股和減勾股較半之為勾股較加股和半之為股和減股較半之為股勾較加勾和半之為勾和減勾較半之為勾〈用乗除開方相求者不在此例〉
五則
或方形或直形有對角斜線者曰角線形
數學鑰卷六凡例
欽定四庫全書
數學鑰卷六目録
柘城杜知耕撰
勾股
一則勾股求
二則勾求股
三則股求勾
四則勾股積及勾股較求
五則及勾股較求勾股積
六則及勾股積求勾股較
七則及勾股和求勾股較
八則勾股和及勾股積求
九則勾股和及勾股積求勾股較
十則及勾股較求勾股和
十一則勾股積及勾股較求勾股和
十二則及勾股積求勾股和
十三則勾和股和求勾股
十四則股及勾較求勾與
十五則勾及股較求股與
十六則股羃及勾較求勾和
十七則勾羃及股較求股和
十八則股羃及勾和求勾較
十九則勾羃及股和求股較
二十則勾較股較求勾股
二十一則相連之勾股求
二十二則相連之股求勾
二十三則相連之勾求股
〈増〉二十四則勾股形求對角之垂線
二十五則勾股形于上求自兩角至垂線之度二十六則勾股形求容方一法
〈西法〉二十七則勾股形求容方二法
二十八則勾股形求容圓
〈西法〉二十九則勾股形求外切圓
三十則容方之勾股形以餘勾餘股求方邊及全勾全股
三十一則容方之勾股形以餘股及方邊求餘勾三十二則容方之勾股形以餘勾及方邊求餘股三十三則日晷測髙
三十四則一表測髙
三十五則一表測逺
三十六則一表測廣
三十七則一表測深
三十八則重表測髙逺
三十九則重表測廣深
四十則測逺之逺
數學鑰巻六目録
欽定四庫全書
數學鑰卷六
柘城杜知耕撰
勾股
一則
勾股求
設勾六尺股八尺求法曰置勾股各自乗〈勾得三十六尺股得六十四尺〉兩數並〈共一百尺〉平方開之得十尺即所求解曰不論勾股相等與否勾上方形及股上方形並
必與上方形等如甲乙丙
勾股形甲乙勾與丙乙股等
試作乙丁等髙同底方形其
邊與甲乙等必為勾上方又
與丙乙等亦必為股上方再
作戊巳外切方形其邊與甲丙等即為上方若于形内減去乙丁方形餘甲乙戊等四三角形並之復等一乙丁方形〈一卷十一則〉以乙丁為勾方以等乙丁之四三角形為股方並之不等于戊巳方乎又如庚
辛壬勾股形庚辛短辛壬長
勾與股不相等者於庚辛勾
辛壬股庚壬上各作方形
為庚癸辛子辛丑次作辛寅
辛癸辛辰壬丑庚子五線幾
何原本云庚辛壬與庚辛午既皆方角即午辛辛壬是一直線依顯庚辛辛巳亦一直線又壬庚辰與辛庚丑既皆方角而每加一辛庚壬角即辛庚辰與壬庚丑兩角亦等依顯辛壬癸庚壬子兩角亦等又庚
辛辰三角形之辛庚庚
辰兩邊與庚壬丑三角
形之丑庚庚壬兩邊等
辛庚辰與壬庚丑兩角
復等則對等角之辛辰
與壬丑兩邊亦等而此
兩三角形亦等矣夫辛
丑方形倍大于同庚丑底同在平行線内之庚壬丑三角形〈一卷八則既謂直形等于平行線内同底之象目形則必能倍大于平行線内同底之三角形〉而辰卯直形亦倍大于同庚辰底同在平行線内之庚辛辰三角形則辛丑方形不與辰卯直形等乎依顯辛子方形與癸卯直形等則癸庚一形與辛子辛丑兩形並等矣法以勾股各自乗求勾股上兩方形也兩形並則為上之方積故平方開之得也二則
勾求股
設勾六尺十尺求股法曰置勾各自乗〈勾得三十六尺得一百尺〉兩數相減〈餘六十四尺〉平方開之得八尺即所求解曰上方積當一勾一股上方積于積内減去勾積所餘非股積而何故平方開之得股
三則
股求勾
設股八尺十尺求勾法曰置股各自乗〈股得六十四尺得一百尺〉兩數相減〈餘三十六尺〉平方開之得六尺即所求解曰積内減去股積所餘必勾積故平方開之得勾
四則
勾股積及勾股較求
設勾股積二十四尺勾股較二尺求法曰置勾股積四因之〈得九十六尺〉另置勾股較自乗〈得四尺〉兩數並〈共一百尺〉平方開之得十尺即所求
解曰甲乙丙
勾股形與戊
巳甲丁庚戊
乙辛丁三勾
股形等甲丙
為甲乙丙形之股甲巳為戊巳甲形之勾于甲丙截甲巳餘己丙則勾股較也丙辛辛庚庚巳各與己丙等是己辛為勾股較上方形又甲乙為甲乙丙形之而丁乙戊丁甲戊各與甲乙等是甲丁為上方形今並五形成一甲丁方形則是一上方形與四
勾股積一勾股較上方積並等矣
故四因勾股積並入勾股較自乗
之積平方開之得也又如壬子
癸勾股形壬子勾與子癸股等四
形並即成一壬丑上方形而無餘凡遇勾股相等之勾股形四因積平方開之即得度
五則
及勾股較求勾股積
設十尺勾股較二尺求勾股積法曰置與勾股較各自乗〈得一百尺勾股較得四尺〉兩數相減〈餘九十六尺〉以四歸之得二十四尺即所求
解曰上方積減去勾股較上方積必餘四勾股積故四歸之得一勾股積
六則
及勾股積求勾股較
設十尺勾股積二十四尺求勾股較法曰置自乗〈得一百尺〉另置勾股積四因之〈得九十六尺〉兩數相減〈餘四尺〉平方開之得二尺即所求
解曰上方積減去四勾股積所餘必勾股較上方積故平方開之得勾股較
七則
及勾股和求勾股較
設十尺勾股和一十四尺求勾股較法曰置自乗
〈得一百尺〉倍之〈得二百尺〉另置勾股和
自乗〈得一百九十六尺〉兩數相減〈餘四尺〉平方開之得二尺即所求
解曰甲巳方形内凡八勾股
形而皆等乙戊為戊丁乙形
之股甲乙為乙丙甲形之勾甲乙乙戊並得甲戊乃勾股和也餘三邊皆等于甲戊是甲己為勾股和上方形又丙丁為上方形辛壬為勾股較上方形〈本卷
四則夫〉上方形内得勾股形
四及勾股較上方形一勾股
和上方形内得勾股形八及
勾股較上方形一是一勾股
和上方形當上方形二而
少一勾股較上方形也故倍
羃減勾股和自乗之積平方開之得勾股較八則
勾股和及勾股積求
設勾股和一十四尺勾股積二十四尺求法曰置勾股和自乗〈得一百九十六尺〉另置勾股積四因之〈得九十六尺〉兩數相減〈餘一百尺〉平方開之得十尺即所求
解曰勾股和上方大于上方者四勾股積也故相減開方得
九則
勾股和及勾股積求勾股較
設勾股和一十四尺勾股積二十四尺求勾股較法曰置勾股和自乗〈得一百九十六尺〉另置勾股積八因之〈得一百九十二尺〉兩數相減〈餘四尺〉平方開之得二尺即所求解曰勾股和上方大于勾股較上方者八勾股積也故相減開方得勾股較
十則
及勾股較求勾股和
設十尺勾股較二尺求勾股和法曰置自乗〈得一百尺〉倍之〈得二百尺〉另置勾股較自乗〈得四尺〉兩數相減〈餘一百九十六尺〉平方開之得一十四尺即所求
解曰倍上方積大于勾股和上方積者勾股較上方積也故相減開方得勾股和
十一則
勾股積及勾股較求勾股和
設勾股積二十四尺勾股較二尺求勾股和法曰置勾股積八因之〈得一百九十二尺〉另置勾股較自乗〈得四尺〉兩數並〈共一百九十六尺〉平方開之得一十四尺即所求解曰即九則法反用之
十二則
及勾股積求勾股和
設十尺勾股積二十四尺求勾股和法曰置自乗〈得一百尺〉另置勾股積四因之〈得九十六尺〉兩數並〈共一百九十六尺〉平方開之得一十四尺即所求
解曰即八則法反用之
十三則
勾和股和求勾股
設勾和一十六尺股和一十八尺求勾股法曰置勾和股和相乗〈得二百八十八尺〉倍之〈得五百七十六尺〉平方開之得二十四尺為勾股和與勾和相減
餘八尺即股與股和相減
餘六尺即勾與二勾一股相
減餘十尺即
解曰甲乙直形為勾和股
和矩内形乙丁乙丙皆與
等丁戊與勾等丙庚與股等則己乙必為方巳戊必勾矩内形己庚必股矩内形甲巳必勾股矩内形辛壬方形為勾股和上方形壬癸壬子皆與等癸丑子寅皆與股等丑卯寅辰皆與勾等則
巳壬必為
方午巳必為
股方辛午必
為勾方未癸
申子必皆股
矩内形酉
丑戌寅必皆勾矩内形午酉午戌必皆勾股矩内形今以辛壬方形與甲乙直形較則未癸申子並倍于己庚酉丑戌寅並倍于巳戊午酉午戌並倍于甲巳又午巳股方與辛午勾方並與己壬方等是己壬午巳辛午三形並復倍于己乙分形既倍大于分形全形亦必倍大于全形是勾股和上方形一與勾和股和矩内形二並等矣故以勾和乗股和倍而開方得勾股和也于勾股和内減去一一股所餘必勾減去一一勾所餘必股減去一勾一股所餘必也
十四則
股及勾較求勾與
設股八尺勾較四尺求勾法曰置股自乗〈得六十四
尺另置勾〉
較自乗〈得一十六
尺兩數相減〉
〈餘四十八尺〉折半
〈得二十四尺〉以勾
較除之得
六尺即勾加勾較得十尺即
解曰甲乙為上方形丙丁為勾上方形戊巳為勾較上方形于甲乙方内減去丙丁勾方所餘必股上方積成一辛壬癸磬折形再減去勾較上方形所餘必甲庚庚乙二直形而以甲丙乙丁為濶丙庚庚丁為長甲丙乙丁即勾較也丙庚庚丁為勾上方形之邊即勾也法以兩數相減所餘者即二直形也折半者取二直形之一也以勾較除之得勾者即以濶除積得長也○或以兩數相減之四十八尺為實倍勾較除之亦得勾○或以股自乗為實以勾較除之得數減勾較折半亦得勾
十五則
勾及股較求股與
設勾六尺股較二尺求股法曰置勾自乗〈得三十六
尺另置股〉較自乗〈得四尺〉兩
數相減〈餘三十二尺〉折半〈得一十六尺〉以股較除之得八尺即股
加股較共十尺即
解曰甲乙方内減去丙丁
股方戊巳股較方所餘必甲
庚庚乙兩直形折半則得一直形故以股較除之得股十六則
股羃及勾較求勾和
設股羃六十四尺勾較四尺求勾和法曰置股
羃為實以勾較除之
得一十六尺即所求
解曰十四則辛壬癸磬
折形其甲乙元與等
丙丁元與勾等若移癸
于戊則成辛壬戊直形以勾較為濶勾和為長矣故以勾較除股羃得勾和
十七則
勾羃及股較求股和
設勾羃三十六尺股
較二尺求股和法曰
置勾羃為實以股較
除之得一十八尺即所
求
解曰十五則辛壬癸磬折形其甲乙元與等丁丙元與股等若移癸于戊亦成辛壬戊直形以股較為濶股和為長矣故以股較除勾羃得股和十八則
股羃及勾和求勾較
設股羃六十四尺勾和一十六尺求勾較法曰置股羃為實以勾和除之得四尺即所求
解曰即十六則法反用之
十九則
勾羃及股和求股較
設勾羃三十六尺股和一十八尺求股較法曰置勾羃為實以股和除之得二尺即所求
解曰即十七則法反用之
二十則
勾較股較求勾股
設勾較四尺股較二尺求勾股法曰置勾較股較相乗〈得八尺〉倍之〈得一十六尺〉平方開之〈得四尺〉加股較得六尺即勾加勾較得八尺即股加勾
較股較得十尺即
解曰甲乙為方丁乙為勾
方甲丙為股方以丁乙勾方
甲丙股方錯綜加于甲乙
方之上必缺戊巳庚辛二直
形而重一丁丙方形然丁丙
方形必能補二直形之缺而與之等何也丁乙勾方甲丙股方並等于甲乙方若丁丙方形或大或小于二直形則是勾方股方並不與方等矣夫勾方股方並既與方等則二直形並亦必與丁丙方形等法以兩較相乗而倍之者求二直形也〈二直形以戊壬癸辛勾較為長以壬巳癸庚股較為濶〉平方開之者求丁丙方形之一邊也以一邊加股較之癸庚得癸丁即勾加勾較之戊壬得丙壬即股加一勾較之戊壬一股較之癸庚得癸丁及戊壬即
二十一則
相連之勾股求
設圓柱髙二十尺周三尺以索繞柱七周與柱適齊
求索長法曰置柱周
三尺以索繞七周因
之〈得二十一尺〉自乗〈得四百四
十一尺另置柱髙自乗〉
〈得四百尺〉兩數並〈共八百四十一
尺平方開之得二十〉
九尺即所求
解曰索繞柱七周即
七叚勾股也柱髙二十尺為七股七周二十一尺為七勾索長為七也此條元當七歸柱髙取七股之一用勾股求法得數七因之為長然七歸二十尺乃畸零不盡之數不得不七因勾以就股也以柱髙為股即並丁戊等七小股成一丙乙大股以七周為勾即並甲戊等七小勾成一甲乙大勾夫七小勾小股並既同于大勾大股而總求一甲丙大有不同于甲丁等七小並乎故求甲丙大為索長也二十二則
相連之股求勾
設圓柱髙二十尺索長二十九尺繞柱七周索與柱齊求柱周法曰置柱索各自乗〈柱得四百尺索得八百四十一尺〉兩數相減〈餘四百四十一尺〉平方開之〈得二十一尺〉以索繞七周歸之得三尺即所求
解同前
二十三則
相連之勾求股
設圓柱周三尺索長二十九尺繞柱七周索與柱齊求柱髙法曰置柱周七因之〈得二十一尺〉自乗〈得四百四十一尺〉另置索自乗〈得八百四十一尺〉兩數相減〈餘四百尺〉平方開之得二十尺即所求
解同二十一則
二十四則
勾股形求對角之垂線
設勾六尺股八尺十尺求對角垂線法曰置勾股相乗〈得四十八尺〉以除之得四尺八寸即所求解曰勾股相乗必得丁丙直形與甲戊直形等何也丁丙直形倍大于甲乙丙勾股形甲戊直形
亦倍大于甲
乙丙勾股形
故等也以
除積得垂線
即以長除積
得濶也
二十五則
勾股形于上求自角至垂線之度
設勾三尺股四尺五尺求自角至垂線之度法曰
置勾自
乗〈得九尺〉以除
之得一
尺八寸
即乙角
至垂線之度與相減得三尺二寸即甲角至垂線之度
解曰甲乙上方形以對角戊丁線分之必成二直形而丁乙其一也丁乙直形與勾上方形等〈本卷一則〉以乙巳除之必得戊乙之度法以除者葢甲乙與乙巳等也○若欲先得甲戊則以除股羃
又法曰置為實以勾羃九尺乗之〈得四十五尺〉並勾股羃二十五尺除之亦得一尺八寸
解曰凡兩形等髙形與形之比例若線與線〈一卷四十五則〉甲丁戊巳兩形既等髙〈圖同前〉則其比例必若甲戊與戊乙又甲丁與股羃等戊巳與勾羃等則股羃與勾羃之比例亦若甲戊與戊乙矣此借兩羃之比例因全以求戊乙也○若欲先得甲戊則以股羃乗並兩羃除之
又法曰並勾股〈共七尺〉以勾股較乗之〈仍得七尺〉以除之〈得一尺四寸〉與相減〈餘三尺六寸〉折半亦得一尺八寸解曰此三角形求對角垂線法也〈一卷三十一則〉○若欲先得甲戊以一尺四寸與相並折半即得
二十六則
勾股求容方一法
設勾六尺股一十二尺求容以角切之方形法曰置勾股相乗〈得七十二尺〉以勾股相並〈共一十八尺〉除之得四
尺即容方之邊
解曰甲乙丙勾股形
分甲丙于丁令丁
甲與丁丙之比例若
勾與股自丁作丁乙
線必分勾股形為甲丁乙乙丁丙兩三角形一以勾為底一以股為底又兩分形之比例亦若勾與股〈㡬何原本云凡兩形等髙者形與形之比例若底與底反之凡形與形之比例若底與底者兩形之高必相等〉令兩分形各倍積求對角之垂線〈本卷二十四則〉一得丁戊一得丁巳兩線必相等何也兩垂線即兩形之正髙兩形之髙既等故兩垂線必等也兩線既等而又為為勾及股之垂線復切于丁則己戊形必為勾股所容之方而丁戊丁巳即容方之邊也然分求之如是合求之亦必如是若並兩形之倍積為實並兩底除之亦得容方之邊與丁戊〈或丁已〉等夫兩形之倍積即勾與股相乗之積也兩分形之底即勾與股也故置勾股相乗並勾股除之即得容方之度也
二十七則
勾股求容方二法
設一十五尺對角垂線五尺求容以角切勾與股之方形法曰置垂線為實以乗之〈得七十五尺〉以垂線
並除之得三尺七
寸五分即容方之邊
解曰甲乙丙勾股形
丙丁為對角垂線分
垂線于戊令丙戊與
戊丁之比例若丙丁與甲乙則戊丁即所求之方邊㡬何原本云作庚戊己線與甲乙平行次作庚壬己辛兩線各與丙丁平行己庚既與甲乙平行即甲丁與丁乙若己戊與戊庚也合之即甲乙與丁乙若己庚與戊庚也又丁乙與丙丁若戊庚與丙戊平之即甲乙與丙丁若己庚與丙戊也又丙丁與甲乙若丙戊與戊丁平之即甲乙與甲乙若己庚與戊丁也甲乙與甲乙同線必等即己庚與戊丁必等而己庚與辛壬又等戊丁與己辛庚壬亦等則辛庚形必勾股所容之方形而戊丁即方邊之度法以乗垂線而並與垂線除之者借甲乙與丙丁之比例因丙丁以求戊丁也
二十八則
勾股求容圓
設勾二十七尺股三十六尺四十五尺求容圓法曰置勾股相乗〈得九百七十二尺〉為實並勾股〈共一百零八尺〉除之得九尺即容圓之半徑倍之得一十八尺即全徑解曰甲乙丙勾股形自三角各出一線平分各角相
遇于丁即分勾股形為甲丁
乙乙丁丙丙丁甲三三角形
一以全形之勾為底一以股
為底一以為底各角既平
分而復有一邊同線則三形
必等髙令三形各倍積求對角之垂線〈本卷二十四則〉一得丁戊一得丁已一得丁庚三垂線必等何也三垂線即三形之正髙三形既等髙故垂線必等也三線既等其相遇處必容圓之心〈幾何原本云凡圓内出三線至界而皆等者其㸃必是圓心〉而三線皆半徑也然分求之如是合求之亦必如是若並三形之倍積為實並三底除之亦得容圓之半徑與丁戊〈或丁已或丁庚〉等夫三分形之倍積即勾與股相乗之積也三分形之底即勾股也故置勾股相乗並勾股除之得容圓之半徑也
二十九則
勾股求外切圓
設勾股長二十八尺求外切圓周法曰置二十二乗七除得八十八尺即所求
解曰此圓徑求周法也〈二卷一則〉今以之求勾股外切圓
形何也凡圓内以徑為底任
作三角形皆成勾股如甲乙
丙形丙為方角甲乙丁形丁
為方角甲乙戊形戊為方角
反之以為徑作圓必外切
勾股形之方角
三十則
容方之勾股以餘勾餘股求方邊及全勾全股
設容方之餘勾二尺餘股八尺求方邊及全勾股法曰置餘勾餘股相乗〈得一十六尺〉平方開之得四尺即方
邊以四尺加餘勾得六
尺即全勾以四尺加餘
股得一十二尺即全股
解曰甲乙丙勾股形容
壬巳方形自甲作甲丁
線以丙丁線聯之成乙
丁直形復于己庚壬庚
兩線引之至戊至辛必分乙丁直形為四形其甲庚庚丙同依甲丙對角線為兩角線形其乙庚庚丁為兩餘形兩餘形之容必相等㡬何原本云甲丙對角線必分乙丁全形為丁甲丙乙丙甲相等兩勾股形亦分庚丙角線形為辛庚丙巳丙庚相等兩勾股形亦分甲庚角線形為戊甲庚壬庚甲相等兩勾股形試于乙丙甲形内減去己丙庚形于丁甲丙形内減去辛庚丙形乙丙甲丁甲丙兩形既等減去之己丙庚辛庚丙兩形復等則所餘之甲乙庚巳甲丁庚辛兩斜方形必相等再于甲乙庚己形内減去甲庚壬形于甲丁庚辛形内減去戊甲庚形兩斜方既等減去之甲庚壬戊甲庚兩形復等所餘戊辛直形與壬巳方形安得不等夫甲乙丙勾股形之甲乙勾減去壬巳方形之壬乙邊餘甲壬即餘勾丙乙股減去己乙邊餘丙巳即餘股辛庚與餘股等戊庚與餘勾等則戊辛直形之容必即餘勾餘股相乗之積而戊辛直形又與壬巳方形等則壬巳方形之容亦必餘勾餘股相乗之積也故置餘勾股相乗平方開之得容方邊也
三十一則
容方之勾股以餘股及方邊求餘勾
設容方之餘股八尺方邊四尺求餘勾法曰置方邊自乗〈得 十六尺〉以餘股除之得二尺即所求
解曰壬己方形既等于戊辛直形〈圖同前〉而直形以餘股為長以餘勾為濶故以餘股除積得餘勾
三十二則
容方之勾股以餘勾及方邊求餘股
設容方之餘勾二尺方邊四尺求餘股法曰置方邊自乗〈得一十六尺〉以餘勾除之得八尺即所求
解同前
三十三則
日晷測高
設物不知髙止得物景一十二尺立表八尺表景二尺四寸求物髙法曰置物景為實以表髙乗之〈得九十六尺〉以表景除之得四十尺即所求
解曰物髙與物景表高與表景各以日光聯之必皆
成勾股形而
體勢等凡兩
形體勢等者
其比例必等
物髙與物景
之比例必若表髙之與表影也又表影與物景之比例必若表髙之與物髙也今物景既五倍于表景因知物高亦必五倍于表髙矣法以表髙乗物景而以表景除之者借表景與物景之比例因表髙以求物髙也
三十四則
一表測髙
設物不知髙距物二十五尺立表十尺又退行五尺立窺表四尺自窺表望之物末與表末相齊成一直線求物髙法曰置表距髙物二十五尺為實以窺表減表〈餘六尺〉乗之〈得一百五十尺〉以退行五尺除之得三十尺為表外之髙加表髙共四十尺即物髙
解曰癸丁為物髙壬子為表髙乙丑為窺表乙丁對
角線為視線戊壬為表距髙
物之二十五尺壬辛為窺表
減表所餘之六尺乙辛為退
行之五尺也甲丙一形分為
四形其辛巳戊庚為兩角線
形其甲壬壬丙為兩餘形兩
餘形之容必相等〈本卷三十則〉法
以窺表減表以乗距髙物之
度必得甲壬餘形之積甲壬
既等于壬丙則甲壬餘形之積亦即壬丙餘形之積矣故以退行五尺除之得庚壬庚壬與丁戊等丁戊則物髙于表之度也是以加表得物之全髙
三十五則
一表測逺
設物不知逺立表四尺退二尺五寸立窺表四尺五寸自窺表望之物脚與表末相齊成一直線求物逺法曰置表髙為實以退二尺五寸乗之〈得十尺〉以表減
窺表〈餘五寸〉除之得二十尺
即表距逺物之度
觧曰以退二尺五寸乗表
髙必得辛巳餘形之積然
辛己與戊庚等則辛己餘
形之積亦即戊庚餘形之
積矣故以表減窺表所餘
之五寸除之得壬戊壬戊與辛甲等辛甲則表距逺物之度也
三十六則
一表測廣
設邑不知廣立窺表于甲甲距邑丁角五百尺立表于壬自甲視邑之丙角與表相齊成一直線次移前表于戊令戊壬與邑平行自甲視邑之丁角亦與表相齊成一直線自甲至戊二尺戊至壬六尺求邑廣法曰置窺表距丁角五百尺為實以戊至壬六尺乗之〈得三千尺〉以甲至戊二尺除之得一千五百尺即邑廣解曰戊庚辛己兩餘形既等每加一辛戊角線形成
甲庚甲己兩直形兩
形之容必亦等何也
兩餘形既等所加者
復等故也法以戊壬
乗甲丁必得甲庚直
形之積甲庚直形之
積即甲己直形之積
也故以甲戊除之得
戊巳戊巳與丁丙等丁丙則邑廣也
三十七則
一表測深
設井不知深
井面濶八尺
自井邊退二
尺立表六尺
自表末視水
面甲角與壬
邊相齊成一
直線求井邊至水面之深法曰置面濶八尺為實以表髙乗之〈得四十八尺〉以表至井邊二尺除之得二十四尺即所求
解曰以表髙乗井濶即以丙己乗戊壬所得必戊庚餘形之積戊庚餘形之積即辛己餘形之積故以表距井邊之壬己除之得壬辛壬辛即井深也
三十八則
重表測髙遠
設物不知髙及逺立表十尺退行五尺立窺表四尺自窺表望之物末與表末相齊成一直線自表退行一十五尺復立表十尺又退行八尺復立窺表四尺自窺表望之物末亦與表末相齊成一直線求髙及逺法曰置窺表減表餘六尺為實以兩表相距一十五尺乗之〈得九十尺〉以前窺表距前表五尺減後窺表距後表八尺餘三尺除之得三十尺即表外之髙加表高共四十尺即物髙又置前窺表距前表五尺為實以兩表相距一十五尺乗之〈得七十五尺〉亦以兩窺表距兩表之度相減餘三尺除之得二十五尺即物逺解曰自窺表末及表末作丙丁甲乙兩平行線以戊
乙戊己兩視線聯之必
成六勾股形其丙庚戊
形為甲己戊之截形兩
形之比例必等辛己庚
形亦甲己戊之截形兩
形之比例必亦等丙庚
戊與辛巳庚兩形之比
例既皆等于甲巳戊是
辛己庚丙庚戊兩形之
比例亦等矣壬乙丁形
與丙丁戊形亦同此論
夫辛己庚形之比例既
同于丙庚戊壬乙丁形
之比例既同于丙丁戊
則丙庚與辛己必若丙
丁與壬乙又丙丁與丙
庚必若壬乙與辛己也今丙丁與丙庚之較為庚丁壬乙與辛己之較為癸乙癸乙與庚丁兩較之比例必俱等于相當各線之比例若是則丙庚與辛己戊丙與辛庚皆若庚丁與癸乙矣法置餘表六尺為實以十五尺乗之三尺除之是借癸乙與庚丁之比例因辛庚以求丙戊也置窺表距表之五尺為實以十五尺乗之三尺除之是借癸乙與庚丁之比例因辛己以求丙庚也丙戊為表外之髙丙庚則物逺也三十九則
重表測廣深
設谷不知深及廣自谷
邊退行六尺立窺表五
尺從窺表望之底角與
邊角相齊成一直線復
于谷邊立表一十五尺
將前窺表接髙一十八
尺共二十三尺從窺表
望之底角與表末相齊
成一直線求深及廣法
曰置前窺表五尺為實以表髙一十五尺乗之〈得七十五尺〉以表〈一十五尺〉並前窺表〈五尺○共二十尺〉減後窺表〈二十三尺〉餘三尺除之得二十五尺即谷深又置退行六尺為實以表髙一十五尺乗之〈得九十尺〉亦以三尺除之得三十尺即谷廣
解曰與測髙逺同但有縱衡之殊耳
四十則
測逺之逺
設甲至乙八百步甲至丙七百步今自甲向乙行七
十二步立表于丁從
甲望之乙與表齊自
甲向丙行六十三步
立表于戊從甲望之
丙與表齊俱成直線
丁至戊五十四步求
乙至丙之逺法曰置
甲至丙七百步為實以丁至戊五十四步乗之〈得三萬七千八百步〉以甲至戊六十三步除之得六百步即所求解曰六十三步之與七百步七十二步之與八百步其比例等因知丁戊與乙丙兩線必平行凡三角形以與底平行線分之其分形之比例必等于全形甲丁戊既為甲乙丙之分形而丁戊乙丙又平行則甲戊與戊丁必若甲丙與丙乙也又乙丙與戊丁必若甲丙與甲戊也法置七百步為實以五十四步乗之六十三步除之者借甲戊與丁戊之比例因甲丙以求丙乙也○又截法如甲丙七百步則取七步為庚甲乙八百步則取八步為己巳庚六步乙丙必六百〈步與乙步之比例也數學鑰卷六〉
步何也皆百
<子部,天文算法類,算書之屬,數度衍>
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