數學 (四庫全書本)/卷1

數學　卷一

　　欽定四庫全書
　　數學卷一
　　婺源江永撰
　　厯學補論
　　〈勿菴先生厯學疑問三卷五十二章又補二卷二十四章已為厯法疏通源流指示窔奥永熟味其書别有觸悟隨筆識之或贅説於本書之外或衍繹於本書之中泰山河海無俟一卷一勺聊自道其管蠡窺測云爾〉
　　論天地開闢
　　問天地固當有始如陳星川壤天地人三元之説一元有二千四百一十九萬二千年今當人元四百五十六萬六千餘年者固為荒唐矣邵子皇極經世書謂一元有十二萬九千六百年分十二㑹一㑹一萬八百年天開於子地闢於丑人生於寅禹即位後八年而入未㑹則自天開至今七萬餘年生人至今亦五萬餘年世以邵子精於數學也而信之自西士之書出則自開闢以来只五六千年何若是其不侔耶果孰非而孰是耶曰以理斷之疑西説近是也中國有載籍始於唐虞堯至今四千餘年堯以前略有傳聞而難徴信度有人物之初距唐虞之世其年當不甚逺豈有遙遙五六萬年晦冥如夜竟無紀載可稽耶又大西洋載其國古老所記亦似不過四千年夫中國相去數萬里而年數符同若斯則四千年以前徧天地有人物者不過一二千年如今日之視秦漢已耳當不以萬計也顧天地之開闢雖有最初之年而其醖釀於未開闢之先者必需積漸之久如人獸之胎蟲鳥之卵草木之果實根荄皆含生於未生之前此則不知㡬何年耳曰西士之言固可信矣其紀年亦自不同天地儀書謂自開闢至崇禎庚辰五千六百三十餘年聖經直解則云六千八百三十六年依稽古定儀推之則五千七百三十年月離厯指則謂崇禎戊辰為總期之六千三百四十一年諸説孰為是耶曰予嘗推之矣其言五千餘年是開闢之始太陽最高在春分也此則稽古定儀之年為近〈元至元辛巳髙衝在冬至最髙在夏至開闢以来行一象限九十度以今厯一年行一分一秒一十微推之九十度有五千三百餘年稽古定儀開闢至至元辛巳五千三百七十年〉其言六千餘年是開闢之始冬至日躔壁宿為亥末戌初也此則聖經直解之年為近〈崇禎庚辰冬至日在箕四度溯前六千八百三十餘年約退九十八度日在壁〉二者皆有理不知果孰為確耳曰然則古厯家謂上元必是甲子歲前十一月甲子朔旦夜半冬至日月如合璧五星如連珠其説信然乎曰未必然也天地開闢如人之初生已屬後天其始尚有胚胎之歲月則甲子日月五星不必皆從始處始也以為始於甲子歲安知其不始於他年乎〈西書諸説皆非甲子〉以為始於十一月朔安知其不始於十一月望乎〈冬至為中氣望為月半〉以為始於冬至安知其不始於春分乎〈天文實用云開闢初時適當春分又云中西皆以角為宿首因開闢首日昏時角為中星也〉以為始於甲子夜半則時刻隨方有里差西方見早東方見晩西以為子東以為丑東以為子西以為亥徧大地當以何處為正位而定其為夜半冬至乎日月果合璧則開闢之始必日食乎五星僅連珠不猶有未齊同者乎且日月五星各有性情以為始於聚安知其不始於散乎〈如人身胚胎之始則聚及其成形臟腑官骸各有部位〉達理者黙而觀之毋泥前人之説可也以今歲周計之一歲小餘一百二十八分日之三十一積一百二十八年四萬六千七百五十一日無餘分以六十乗一百二十八凡七千六百八十年積二百八十零萬五千零六十日天正冬至得甲子年甲子日無餘分使開闢之年果在甲子其冬至當自平者始以今日平冬至逆推終不能得甲子朔旦冬至在中國之夜半也而况五星又皆齊同乎以是知厯元不可推也開闢之年約略可知而不可定也
　　論地圓
　　問地為圓形周圍九萬里南北則以二極之低昻而知之〈南北行二百五十里極高下差一度〉東西則以月食之蚤晩而知之〈地赤道經東西相距七千五百里則月食先後差一時〉此惟知厯者能信又必如西人浮海數萬里見南極出地數十度而後可騐若拘儒之見不出户牖囿於方隅終疑人不可側立水不可倒懸告以地圓謂其言猶河漢也柰何曰地之緜亘甚廣其圓也以漸人雖繞地行一周恒以足履地首戴天必無倒立之時水之附地而流亦猶是也今試泛舟於江湖登舟之高處望之水之来不見其端水之去不見其尾但覺微有灣環之形惟舟所到即是髙處此何也人目能望數十里此數十里即以漸而圓故也而地圓之最可見者如月食於地景月之虧必作灣形由地景圓故也使地不圓何以有此圓景乎曰地上山髙而海深形有凹凸安得圓曰地之厚二萬八千餘里山海雖極髙深如胡桃核之皺略有起伏終不礙為圓也或又設一難曰地誠圓矣地之下誠有人居之矣設使地有孔穴上下穿通人投石於穴中此地見石墜而下彼地之人不見石騰而上直至於天乎石惟能下豈能上乎曰此説不足以難地圓也萬一有穿通之穴投石其中此石必至地心而止心者四面之極處氣之所輳必不令此石得過也以地球之大尚為大氣舉之處於天心而况石乎
　　梅先生謂周髀中即有地圓之理又謂周髀所傳之説必在唐虞以前此皆篤論自古籍散亡中土厯家既失其説而又雜以臆度之見無理之譚如云地有八柱又云地是水載又云地有四㳺種種謬論塗人耳目即如王蕃言北極出地三十六度此不過就中土地中洛陽北一𢃄所見極髙言之非可以此㮣大地也唐一行嘗四方測景未悟地圓郭若思測景尤廣南至南海北盡北海凡二十七所各紀其方北極出地晝夜永短似已悟地圓之理而亦未能明白著論意其猶在疑信之間今地圓之説大顯是數千年来失者復得厯家據以為測算之根而儒家亦藉為窮理之要可不謂厚幸乎〈戰國時鄒衍談天謂九州之外有大瀛海環之亦似本之於周髀〉
　　梅先生引大戴禮曾子答單離居之問以證地圓之論古已有之極確愚謂易大傳曰坤至靜而徳方中庸曰振河海而不洩皆地圓之證也方言其徳則形體非方可知矣水附於地而流地振之而不洩則地面四方有水非是水載可知矣
　　梅先生又謂地實圓體而有背面中土篤生神聖繼天建極垂世立教如人有面為一身精神所聚此真至之理非徒為尊中國之言昔有問於愚者謂列宿分野大地所共中國之地有限何得據之以為占愚思之梅先生此説亦可參悟葢五臟之精開竅於五官則天光下臨其精氣與中華相屬者必尤切是以普天星宿皆有相闗之理也
　　論天大地小
　　問地球周九萬里不為小矣而西儒謂天極大地在天中只一㸃其言果可信與仰而望之日月星辰皆在目天豈若是其寥廓與曰此不可以臆揣也唯精於三角八線割圓之術因七政之行度比次其髙下而各種之天去地之數可得即恒星以上無法可算者亦可想而知矣姑以太陽與土里兩重天言之西史第谷後出最精厯算者測太陽行度得其高卑之中處距地一千一百五十地半徑〈此數仍未確今算一千一百四十二地半徑弱〉夫地半徑一萬四千一百三十餘里〈以周徑密率算〉以一一四二乗之則日去地有一千六百餘萬里有竒又地周九萬里亦以一一四二乗之則日天之周一萬零二百七十八萬餘里可謂大矣而猶未也火木土三星之天皆在日天之上而各星所行之歲輪〈遲疾輪〉皆與日天等大因其行歲輪一象限九十度視黄道上得㡬何度因以測其本輪均輪次輪之半徑而知此星之天去地視日天得若干倍火星不及約半倍木星不及約五倍土星行歲輪九十度其視度五度半有竒其切線一萬零四百有竒夫輪之半徑十萬而五度半有竒之切線一萬零四百有竒則不止十之一其視日天之高十倍有竒矣又設土星行最髙而當合伏其距地心一十二萬六千一百一十七有竒以太陽本天比例為十一倍又一三七三二四地半徑有一萬二千八百零八弱則土星最高而合伏距地盖一萬八千零九十七萬餘里矣此以星行度實算得之非荒唐之比也土星之髙已如此矣而恒星之天又在土星之上雖無歲輪可測算而以右旋之遲速約略計之日一歲而一周火星二年弱一周髙於日天半倍弱木星十二年一周髙於日天不及五倍土星二十九年半一周髙於日天不啻十倍恒星右旋二萬五千餘年一周則髙於日天甚逺可知矣况宗動天又在恒星之上常靜天又在宗動之上其髙不可思議其視地不猶一微塵乎或曰地小於天如此則日入地下其光當從四旁射上地上可不夜矣而深夜黑暗何也曰地為實體日光不照則成黑影人處地面正當黒影最深最濶之處〈地徑二萬八千餘里則影徑亦如之漸高乃漸減〉安得不夜且氣無質不能受日光能受日光者唯月與星有月則能透日光返照而夜明有星則微明月星皆隱則地上之氣全黒而夜甚暗矣故地雖小而自能成晝夜也
　　問各星歳輪與日天等大土木火三星本天固可以日天半徑略計倍數矣若日天半徑倍於地半徑者一千一百四十二何從得之曰太陽本輪均輪之半徑既可以盈縮極差推而知則最髙時在均輪之底最卑時在均輪之頂亦可得其相距之數矣而最髙最卑太陽則有視徑差又射地景至月天則有景徑差又太陽近地平則有地面地心髙下差合兹數差參互推算而日天距地可得而知矣豈若舊説言天去地若干萬里荒唐無稽者哉
　　論日月地三體大小
　　問人視日月其大似無㡬而西人言日大於地月小於地日之大於地與月者其相去懸絶得毋無徴不信乎何以知其然也曰此亦以三角八線割圓之術測其本天去地之髙下因以視徑而知其實徑與實體也日月之行因其盈縮遲疾而知小輪之徑因小輪而知大輪之徑故日去地一千一百四十二地半徑月去地約五十八地半徑凡去地半徑一倍者其度亦濶一倍地一度二百五十里以一千一百四十二乗之則日天之度計二十八萬五千餘里日之視徑半度有竒〈約六十分度之三十一〉約得一十五萬里地之全徑二萬八千餘里故西人言日徑得地徑者五又七十五之十四此日之實徑也以五十八乗二百五十里則月天之度一萬四千五百里月之視徑比日視徑稍大約六十分度之三十二分竒其徑約八千里地徑大於月徑三倍半有竒此月之實徑也若以日視月則日徑大於月徑約一十九倍凡此皆以實測實算得之非虚言也曰此有實據可考騐乎曰有月之食也食於地景景徑約一度半〈日月行度有高卑則景徑有大小此以其中者言之〉則日月地三者之大小可參考而知凡光體等於實體則其景等大而無窮光體小於實體則其景漸逺漸大而無窮唯光體大於實體則其景漸逺漸小而有盡地景能食月不能食星月天卑星天髙故也〈張衡靈憲謂闇虚星值之則星亡者非是〉觀月所處之天地景一度有半約二萬二千餘里則日之大於地㡬何月之小於地㡬何皆可用法推算矣曰日徑大於地徑五倍有竒而西人又言日大於地球一百六十五倍竒日大於月徑約十九倍而西人又言大於月六千五百三十八倍竒地徑大於月三倍半有竒而西人又言大於月三十八倍竒何若是之不倫耶曰前以徑相較者平圓也此以實體相較者渾圓也算渾圓實體之法以徑自乗又以徑乗之而得實體之圓分積兩圓相較可得其差〈借立方算渾圓詳見算賸〉今用法推算則日之實體大於地者一百四十九倍竒大於月者六千五百九十倍竒地之實體大於月者四十倍竒與西人之算或多或少葢利西泰測算里數小有不同耳〈利氏説見天學初函〉梅先生似以日大於地一百六十五倍者為徑也故謂兩數相懸不啻霄壤若以實體較論則了然矣〈方宻之通雅不信日大扵地百餘倍謂日光甚烈人在地上必死亦考之未詳耳〉
　　論日月星皆有質
　　問日月星皆氣為之乎抑實有其質乎曰實有其質也其質非金非玉非石葢自有其質非人世所有者也若但有氣無質豈能終古不改變乎西士以逺鏡窺日月亦不正圓而月中之黒處古人妄謂蟾蜍顧兔宋人誤以為山河大地之影者西人則名之為月駁謂由月體自生如地有巖洞日光照不到處則現黒影此非實有質而何日月如此星可知矣曰三光唯有氣也故能浮空若實有質何以不墜曰日月星各有其本天其本天皆以地為心地即其所著之根而日月星又各著於小輪之上其根甚固安得墜如地球極重終古亦不墜素問所謂大氣舉之是也曰地球正當天心四面皆氣輳之故能空懸於天中若日月星之重體在天上何以不墜曰物各有其性情三光之性情麗天者也天猶水也水不能浮沙石而能載大木木之性情自不沈也又何疑焉曰星有隕為石者豈非有質即不能浮空與曰隕石之星非天星也由地上火土之氣上衝火際偶然融結而隕也豈有恒星天之星而或隕者哉〈微茫之恒星亦大於地〉
　　論青𫎇氣
　　問西人謂近地平有青𫎇氣其髙約九里澤國彌厚彌髙日月在𫎇氣内小可為大卑可為髙其説信然與曰信也凡徹體之物如氣如水如玻璃水晶皆能變物之形逺可使近小可使大直可使曲深可使淺卑可使髙逺鏡其顯者也揷篙於水置錢於盂無不可驗是以日月出地與將入地視徑加大𫎇氣映之故也不唯加大而已更能升之使髙實未出地而已出地也雖已入地而猶未入也故西人論日食於髙卑南北東西三差之外更有青𫎇氣差青𫎇徑差此為𢃄食言之也有此二差則旦暮日食以東西差加減之而當食者𫎇氣或升之而不食矣其不當食者或升之而見食矣視徑加大則能變食限與加時早晩食分多少矣此非臺官所能預定必隨方測𠉀而後可知前史有書當食不食不當食而食者其故或由此與梅先生未嘗言及青𫎇氣謂湯羅諸公已言之耳學者固不可不知○列子載兩小兒辨日一謂日初出時如車蓋日中如盤盂為近大而逺小此未知𫎇氣之故耳日何嘗有逺近若論逺近之微者則日近地平時與近天頂時差一地半徑初出較逺日中較近正與此小兒之説反又非近者熱逺者凉之謂也
　　論左旋右旋
　　問天左旋日月五星右轉厯家之説也謂日月五星亦左旋其説始於横渠張子與曰非也張子云天左旋處其中者順之少遲則反右矣張子之意謂地亦是動物處於天中隨天而左旋但少遲故覺地右而天左觀其前兩章云日月五星逆天而行并包乎地者也地在氣中雖順天左旋其所繋辰象隨之稍遲則反移徙而右又云古今謂天左旋此直至粗之論爾恒星所行為晝夜者直以地氣乗機左旋於中云云則張子之意可知矣朱子謂横渠説天左旋日月亦左旋其説極是是以處其中者為日月恐非張子之本意曰然則朱子謂天行過一度又謂厯家截其退數便於算又有大輪在外小輪載日月在内之喻若何曰愚向亦疑之謂日月果因行少遲而覺其右轉則當循赤道而退無南北斜行之勢何為日自行黄道斜交於赤道月五星各有道又斜交於黄道乎何為恒星亦循黄道而右行乎後見勿菴先生説乃始豁然先生以鈞盤飛輪為喻謂如有小盤小輪附於大盤大輪之上而别為之樞則必相差而成動移以生逆度又必與本樞相應而成斜轉之象焉夫其退逆而右也因其兩輪相疊其退轉而斜行也因於各有本樞而其所以能退逆而斜轉者則以其隨大輪之行而生此動移也此説極當朱子兩輪之喻未及不同樞必得此論始為精密盡善耳
　　左旋右旋之説愚前後有三見始也信朱子取正𫎇之説後因細讀正𫎇覺張子之意不如是又見西人有隨動自動之説謂七政自有性情力雖隨天動却能自動而右旋深信之乃别為之説謂凡物之理有順必有逆在天有氣者皆左旋有形者皆右轉一順一逆所以能成造化若使皆順而無逆則如水之無灣山之無轉不能鍾地脉而居人物矣古人有蟻行磨之喻然蟻雖隨磨左旋而蟻之頭足自向東而右行若使蟻亦向西則蟻之行不反速於磨乎後讀梅先生書乃仍從左旋之説與始者所見却又不同此可驗愚學識之進退消長而所得益於先生之書此尤其大者矣
　　然則後之所見與順逆之説不相妨乎曰無妨也造化之理即以順而成逆如五行皆順生而自有逆克也如山水皆順行而自有逆轉也天以層數生遲速以遲速成順逆正造化之妙也然則磨蟻之説若相妨奈何曰日月在天非若蟻之行磨也輪載日月輪動而日月隨之日月未嘗動也此如别有輪附于磨與磨同轉而不同樞因生退度蟻則定於輪上未嘗行也
　　大氣之運如水逝風行恒星七政如有數舟同汎於江河得風多者行速得風少者行遲彼此相較遲者若退而上矣舟各斜迆不與岸平行〈舟之斜迆猶行黄道岸猶赤道〉斜迆又不同勢則各舟捩柁定向不同也〈如各曜自有道〉
　　右粗譬之如此細論之舟猶非七曜也本天載本輪本輪載均輪均輪載日而月五星更有次輪星體在次輪上月體在次均輪上然則水猶本天舟猶本輪均輪次輪等猶舟上復有轉輪而日與六曜猶有球附於舟之輪上也
　　論天極
　　問自古只言北極西士始言有黄極而月與五星之道皆斜出入於黄道則月道又自有極五星道又各有極然則七政七極并北極而八并南方相對之極而十六何若是其紛錯與曰七政各行一道即各有所宗之極北極為心黄極環繞而成一圈月與五星之極皆以黄極為心各環之而成小圈水星圈最大月次之金次之土次之火次之木次之皆載於黄極圏之上各有條理未嘗紛錯也〈小圏自内而外由近而逺木火土金水似順五行相生之序月亦水類在金水之間〉曰天之有北極也如磨之臍如輪之轂太陽曷不宗之乃自為極以成斜出之道與赤道度齟齬不相當何也曰太陽若宗北極則恒行赤道無寒暑進退何以能生萬物有北極赤道又有黄極黄道所以能成變化也葢北極體也黄極用也北極為心黄極繞之而成圏則又未嘗不宗北極也曰月與五星之道何為斜絡黄道曰日君也月與五星臣也不敢正行黄道而又不敢與之逺離君臣之義也
　　問古人以恒星之天為天西士則謂恒星亦隨黄道而東行夫恒星在七曜之上宗北極循赤道可矣何為亦宗黄極循黄道曰北極唯宗動天宗之恒星自為一重天則不得宗北極矣曰月五星各有道有極恒星天既自為一重宜亦自有其道與極何為皆宗黄極而循黄道〈恒星距黄極有定距〉曰六曜專而恒星散也六曜不惟自有道而已道之上且有數小輪以載曜體焉恒星不能逐星生小輪故普天星宿同宗黄極而循黄道也
　　論七政小輪
　　梅先生論小輪數章綦詳因其言而推測之太陽小輪有二一為本輪一為均輪本輪之心在本天均輪之心在本輪而太陽之體實在均輪之上其大小則本輪半徑三均輪半徑一其行度則本輪之心右旋於本天而均輪之心左旋於本輪均輪雖左旋於本輪而太陽在均輪周實右旋均輪心左旋一度則均輪周左旋兩度故最髙最卑兩㸃雖常在本輪之頂與底而太陽之在最髙也不在均輪之頂而在均輪之底其在最卑也不在均輪之底而在均輪之頂葢不同心圏上所切之小輪非本輪也乃合本輪均輪兩半徑而為小輪之半徑也又均輪實為太陽之體所居欲算太陽距地心得其徑差景差必須以均輪行度算之葢本天載本輪本輪載均輪均輪載太陽此天上實象若并本輪均輪兩半徑以為不同心差規一大圏為不同心圏此則假借虚象耳〈聨兩半徑邊上虚迹而成圏〉雖算加減均度與用本輪均輪立算者不殊〈均輪上太陽所到與兩半徑併之小輪邊上所切髙下不同而從地心出線穿太陽其角則同故所得之均度必無不同〉而不可以此算視徑之大小〈太陽實體不在不同心圏上故也〉觀厯書太陽視半徑表本以本輪均輪算得之若以不同心立算則其數不如此矣梅先生謂不同心之法生於小輪而小輪為本法此誠不易之論也太陰小輪遞相負乗與太陽五星特異本天載本輪本輪載均輪猶之太陽而月之體不在均輪之上又五星次輪在均輪上者其心也若月次輪則以輪邊與均輪相切而别有負圏合均輪全徑次輪半徑以為半徑則負圏心在均輪上而次輪心在負圏上與五星異矣五星之體即在次輪之上而月則又有次均輪在次輪上月之實體則在次均輪上與五星又異矣細讀厯象考成始知其故
　　回回厯七政皆有中心行度似本輪行於本天而梅先生云小輪心非能自動小輪之動本天之動也七政亦非自動七政之動小輪之動也又云小輪心者小輪之樞也樞連於本天不動故輪能動而七政者又相連於小輪之周者也小輪動則七政動矣此皆發前人所未發若小輪之動有左旋有右旋有不動其起㸃有在輪底有在輪頂其行度有平有倍有再倍又七政雖連於小輪之周而七政之體上下却有定位不隨輪而顛倒愚於七政衍詳言之七政各有本天本天上各有小輪小輪又互有同異視之若無測之實有紛綸交錯條貫秩然雖有大巧莫能摹肖是大圜中之至巧
　　論日差
　　問厯書日躔有日差表月離又有日差表交食有加減時表月離之日差表與加減時同但加減倒用〈加減用時為平時〉若日躔日差其數絶異何也曰梅先生嘗疑日躔表説支離𫎇混此事當究其源而論之凡云時者有二一為十二時之數太陽一日東升西沒徧厯太虚常靜之天均剖之為十二段所以紀出沒永短節氣朔望之節度者也一為十二時之位人所居之方必有正南正北之子午圏視太陽正當午位為午正其對衝為子正從此分十二宫者所以為測候七政之用者也此二者皆以赤道為宗平剖赤道一宫得三十度一時應之數與位其根本同所以有日差者一由太陽有平行視行而有均度之差一由赤道黄道正升斜升而又有升度之差是以厯家所算之時刻與太陽所到之方位略有不同所算者實時平時所到者視時用時也日躔日差表説亦明言日差之故有二一由太陽平視兩行差一由兩道正球升度差及其解説作表之法却不分明而所定各節氣加減分數亦絶不可解〈後詳言之〉宜勿菴先生譏之然月離交食二表只説黄赤升度差立算而不論太陽之加減差疑其法之未確先生始疑日差有二根當立二表後又自謂不確而别為之説謂西厯之傳各有師授不同日躔表之兼用二根或是初説其平時定時乃測騐之實用必是後来之説宜只用月離交食二表為是愚向者亦未敢斷其是非後考之厯象考成所以求用時者兼用均度升度二差而日躔日差表棄而不用則二根兼用者為是先生始謂當立二表者亦是而日躔之日差表立算未真解説支離洵不可承用也太陽平視兩行差當從最卑最高起算至春分則積二度有竒減時當八分有竒而表以春分起算謂春分平視兩行略等此時無加減分夫春分既無加減則秋分宜亦無加減表於秋分則加十六分時差十六分當天之四度此四度之差從何得之其不可解一也高卑加減之極在三宫九宫升度加減之極在四立節四立節之加減最大者不過九分五十六秒謂升度差最大者二度半稍弱也以此為限再以平視兩行差加減之相去不甚逺表於立春減八分立夏加十一分立秋加三分立冬加二十四分何若是不均其不可解二也二根加減其數常均合之當亦必均表於初宫十九度後始有減分減至春分而極春分後則恒用加計一歲加減之數減者一而加者四其不可解三也合二根加減不過十八分有竒兩大之限不同時又不能及此數而表之加分大者二十四分當天六度此數又從何得之其不可解四也升度差有定時而太陽髙卑有行度其兩行之差不恒繫於節氣表乃合之為一若可恒用者然其不可解五也此表監中承用數十年近始遵用厯象考成豈久之始覺其未確乎
　　厯象考成求用時之法云以本日太陽均數變時得均數時差〈本註云均數為加者時差為減均數減者時差為加〉又以本日太陽黄赤經度相減餘數變時得升度時差〈註云二分後為加二至後為減〉乃以兩時差相加減為時差總〈註云兩時差同為加者則相併為總其號仍為加同為減者亦相併為總其號為減兩時差一加一減者則相減為總加數大為加號減數大為減號〉若算太陰平行則以時差總化秒與一小時太陰平行相乗為實以一小時化秒為法除之得數為秒以分收之得時差行以加減太陰平行〈時差總為加者則減為減者則加〉為用時太陰平行若算交食求實朔實望用時則以時差總加減實朔實望為實朔實望用時按此求時差之法甚分明觀此可知日躔表之誤而月離交食二表僅得其半於理亦未盡矣究之亦不必立兩表惟以交食加減時表為主而以均度變時差加減之盖變時之法甚易一度變時之四分十五分變時之一分一分變時之四秒可約而知不必須表也〈加減時表當正其名曰黄赤升度時差表〉
　　黄赤升度之時差易見太陽均度之時差難知均度所以有時差者何也太陽在天終古平行厯家步算一切以平行為本一年之根起於冬至次日子正時此平時之平度也而有髙卑之輪太陽行其上則黄道上有視行加減之度而平行之度在本輪之心與人目所見太陽異處則時差生於此矣夫常靜天之析為十二宫均剖者也一日之分為十二宫亦均剖者也以均剖者算行度則時刻之能應天者太陽本輪心所到之平度耳若本輪上有加減之度逐日所算太陽加時必與太陽所加之時位有微差〈一度為時之四分〉何也輪心與輪邊所當不同也設平春分在丙寅日午正而定春分在甲子日午正相差約兩度則甲子日欲測太陽正交赤道必於所算午正時減八分為午初三刻七分於正南之位偏東二度測之此時正當交㸃則所算甲子日午正初刻春分者真矣何也甲子日本為平行二宫二十八度之日距三宫初度有二度當未至午正二度之時而入交則本輪心豈不正當午位乎若再加時八分太陽正當午位則本輪心又移過午正西二度矣此均度所以有時差之理也論太陽右旋一晝夜行一度弱論太陽左旋一晝夜行三百六十度太陽既有加減差則右旋者差在日其極差二日有奇左旋者差在時其極差八分有奇本輪上九宫至三宫太陽行下半周右旋盈則左旋縮十二時行三百六十度而不足不足則時差當減矣三宫至九宫太陽行上半周右旋縮則左旋盈十二時行三百六十度而有餘有餘則時差當加矣然加時之始不於三宫而於六宫減時之始不於九宫而於初宫葢三九宫為縮與盈之極三宫至六宫盈其所縮九宫至初宫縮其所盈也總之輪心所到為平時太陽所到為視時故以本日均數變時而反其加減於理為盡〈梅先生有日差原理一卷未刻愚以意推測如此〉
　　唯四正日但有均度時差過此則兼有升度時差故當合兩時差相併相減以為時差總其法至今日始定
　　論太陽倍離
　　天以太陽為尊能攝月與五星西史第谷謂如磁石之引鍼確喻也月五星離日有逺近而生次輪之行五星次輪一度即為一度獨太陰離日一度次輪上即有兩度五星合伏至合伏次輪一周太陰朔至望望至朔次輪再周回厯謂之倍離其故何與此由月次輪與五星不同故也五星次輪心在均輪上而月次輪心在負圏上次輪與均輪以邊相切其相切之㸃即初均割線所到謂之次輪最近㸃最近者最近於均輪之心也定朔定望起於此㸃由此左旋至上而最逺至望復於起㸃又至下而最逺至朔再復於起㸃㸃在輪周則度亦起於輪周凡割圓之理從輪心出線論度者一度為一度從輪周出線論度者兩度為一度此月所以倍離也試從次輪最近㸃出一直線分次輪為兩半又從㸃出一横線與直線十字相交夾次輪半周於中間夫十字相交者直角也直角所夾之度必九十度而次輪則已半周豈不兩度當一度乎
　　論太陰遲疾
　　問授時分太陰為一百六十八限算其遲疾似密於古以今法較之授時猶未能與天密合也按月離加減表三宫九宫初度減均加均積度四度五十八分二十秒變為日度五度○四四五有奇耳而遲疾立成八十四限所益所損之積度五度四二九有奇則其數大於加減均度矣朔望後行次輪更有二三均加減大者二度四十八分併初均加減七度有奇而授時無此損益分則其積差有至二度有奇者矣安能與天密合曰授時之分限算遲疾葢由積𠉀而得豈積差至一度有奇猶不之覺者乎曰月行最難測算者也三均之數甚糾紛地面地心視差又最大人所見在天之度往往非真度當時雖屢測亦只得其大㮣既不知有次輪之行又未得視差之真率是以不得不以近似者立法然則西法算太陰有二三均加減實勝中法之一大端也
　　凡月近入轉則疾近月孛則遲此本輪均輪上之遲疾也近朔望則疾近兩則遲此次輪次均輪上之遲疾也朔望又近入轉兩又近月孛則疾者愈疾一日不啻十五度遲者愈遲一日行十一度有奇
　　然則授時之遲疾法算定朔定望交食何以不甚差曰朔望無次均加減故也
　　授時分太陰一轉三百三十六限之表今載之明史其實為無用之法也
　　論交食
　　梅先生交食𫎇求交㑹管見二書備論算交食之理無餘藴其以黄道交角變白道交角為定交角以定交角算日月光體之上下左右指其初虧復圓而不以東西南北為方位尤發前人所未發
　　交食𫎇求註云若用弧三角法求白道限度所在及其距地之高並可得交角細數然所差不多蓋算交食必在朔望又必在交前交後故也按用弧三角求白道限即交㑹管見新立算白道九十度限髙法是也竊疑交前交後白道斜穿黄道而過不能與黄道平行則變黄道交角為白道交角似有微差然甚微可不論故今法徑借黄道交角以朔望黄白交角加減之而白道交角不必立表舊法定日食限陰厯初宫十七度四十分以内五宫十二度二十分以外陽厯六宫八度二十分以内十一宫二十一度四十分以外實交周入此限者並有食今法定食限陰厯稍寛陽厯稍狹實交周自五宫十一度四十五分至六宫六度十四分又自十一宫二十三度四十六分至初宫十八度十五分為的食不入限者不必算亦有入限而不食者則因三差故〈西法羅㬋為正交交道自外而入内計都為中交交道自内而出外中厯反之名易而實不易〉
　　康熈四十三年五月十七日乙夘望月食監頒圖梅先生謂圖中所注食既至食甚時刻多食甚至生光時刻少相差十分謂其不應改法愚疑此頒圖時字有脱誤也〈葢生光丑正二刻十一分脱十字誤作一分〉否則誠難解
　　論中西法異者多端
　　問梅先生謂中西二法本同新厯但兼用其長以補舊法之未備惟五星有交㸃有緯行是中厯缺陷之大端然則西法之異於中法止此一事與曰先生舉其大者耳其他若中厯太陽盈縮常定於冬夏二至西法則最高最卑有行度中厯太陰遲疾但知有轉終而不知更有二三均加減中厯交食時差但知以午正為加減之限而不知有黄平象限中厯太陽太陰之徑闇虚之徑恒為一定而不知有髙下大小之差法之異者固多端若三角立算中法只知有直角句股而不知有鈍角鋭角與弧三角弧矢割圓中法未盡其用而西法則有八線表預定無數句股以為一切測算之凖䋲此皆有補於中厯者也
　　補論十二宫
　　問梅先生論周天十二宫有直有衡有斜有百游不甚紛紜錯雜歟曰是皆各有所宗各有所取用非雜也愚謂在天猶有不變之十二宫葢列宿之天分為四維析為十二次星紀鶉首等名西國則有磨羯巨蟹等名皆以星象定之古今不變者也此與黄道之十二宫同歸而殊塗恒星天亦宗黄極是同歸也列宿自布十二宫恒以虚六度為元枵之半斗四度為磨羯之初歲歲推移不與中氣節氣相直是殊塗也梅先生厯學疑問補中極論此理但未言其不變之十二宫耳
　　又按七政小輪無論大小皆分十二宫此自厯家虚立之以便算故梅先生不數
　　論西法六十分為度
　　問囘囘厯雖以三百六十度為周天而一度用百分或萬分與授時同〈見袁氏厯法新書〉歐邏巴獨以六十分為度秒微以下皆用六十遞析八線表亦分一度為六十何也曰其源葢由於時刻也中法一日百刻不便於分布西法以九十六刻齊之一時均得八刻又分一時為二時謂之小時分一刻為十五分凡加時與日出入皆有分數可紀〈中法萬分日雖甚細而發斂加時及日出入皆紀刻不紀分猶為粗疎西法則紀刻分分下之秒未過半棄之已過半收之〉今四刻六十分為一小時此六十分所由来也而秒微以下皆用六十則作表甚便〈第一格為時第二格為分第三格為秒第四格為微所列之數皆同〉又如以度變時以時變度則以四分當一度一小時當半宫亦甚便日法如此度法亦因之八線表亦因之則各率通為一法此歐邏巴立法斟酌盡善者也彼百刻不便分布刻下不能紀分似不可謂無𡚁薛儀甫著天學㑹通改六十分為百分則當先改八線表而餘諸表皆不可用亦覺更張多事謹案
　　聖祖仁皇帝御製厯象考成度法用六十日法一千四百四十别以一萬為日周通法其布算也以萬分計餘分而仍以日法通之如法收為時刻兼用授時而不用百刻之法此則萬世可遵行者也
　　論授時厯周天歲周
　　自大衍厯分天自為天歲自為歲以著歲差之理厯代遵用至郭氏别出新意以萬分為度即以萬分為日周天三百六十五萬二千五百七十五分歲周三百六十五萬二千四百二十五分自當時觀之立法若盡善矣由今日論之二者皆非至極之理也夫黄道與列宿天同為大圜雖髙下懸殊度之廣狭迥異而度數則同非周天之度分多於周歲之度分也歲已周則黄道周矣而不能踵其星之故處非歲有不滿之度分也星自移而東耳譬之太陰二十七日有奇即周天其不能逐及於日者日自行二十餘度耳乃以三百六十五度二千五百七十五分為周天是并其移動之一百五十分亦算在周天之内則二十八宿之度不溢出一百五十分乎又歲實有平有汎論平歲實只有三百六十五萬二千四百二十一分八十七秒五十微而當時以汎歲實定為歲周則又多出三分一十二秒五十微矣論正法當即以歲周為周天以三百六十五度二千四百二十一分八十七秒五十微分隸之於二十八宿别以今率恒星每歳東行五十一秒變為日度之分秒微以為歲差始盡善無𡚁當時最卑行與恒星行兩竅未啓是以立法甚難此不可不原其情亦不可不知其有未當處也
　　論厯法隨時修改
　　厯取象於革久之不能不改非久亦不能改各平行率有積之數十年微覺其差而即改者〈如最卑行〉有通前後數百年或千餘年測準之度分用以相距定為平行其尾數或有未真必甚久而後可改者〈如七政平行〉有前人立法未精改之而加密者〈如日食加時東西差昔以午正為限後改用黄平象限近又以白道算定交角〉有前人用法稍煩改之而徑㨗者〈如六曜求初均昔用平三角今直角算〉若夫黄赤相距之緯古闊而今漸狹太陽本輪均輪之半徑古大而今漸小此二差出於常理之外前不知若何而始後不知若何而極非法之所能馭惟隨時密測改表以合天行耳
　　黄赤相距西史第谷測得二十三度三十一分半今測得二十三度二十九分三十秒〈康熈五十三年臺官密測立表今又當稍減矣〉太陽本輪均輪兩半徑併昔用十萬分之三千五百八十四或以一千萬為本天半徑則為三十五萬八千四百一十六日躔加減差表三宫九宫初度其均度二度三分一十秒平春分與定春分相距二日一小時有竒而今平春分與定春分相距一日二十二小時弱則最大之均度一度五十五分〈比舊約少八分〉本輪均輪兩半徑合得三十三萬五千四百有竒耳
　　黄道為諸道之宗太陽為衆曜之君有此二差則六曜之出入於黄道離合於太陽者亦因之而小有改變
　　兩半徑雖改算太陽均度舊表亦可借用〈以三五八四為一率舊表均數化秒為二率今改三三五四有竒為三率求得四率為秒以度分收之為今時加減均數〉
　　數學卷一