數學 (四庫全書本)/卷8

數學　卷八

　　欽定四庫全書
　　數學卷八
　　婺源江永撰
　　算賸
　　〈勿菴先生論算極詳觀玩之餘有得輒筆之此為賸義云爾〉
　　正弧三角㑹通
　　弧三角以正者為宗舉要第二卷論正弧其法散出有見於求餘角法者有見於第四卷次形法者又有現於塹堵測量環中黍尺二書者今為薈萃總計求角求邊凡若干正法别法附之臚列分明學者庶易㑹焉
　　甲為正角乙酉春分角丙為交角乙
　　甲猶赤道乙丙猶黄道丙甲猶距緯
　　正弧隨處有之不止黄赤道而以黄
　　赤為喻諸法皆以甲乙丙為鈐記
　　求丙甲邊法
　　半徑與乙角正若乙丙正與丙甲正〈中二率相乘為實首率為法除實得四率〉
　　半徑與乙角正切若乙甲正與丙甲正切
　　丙角正切與半徑若乙甲正切與丙甲正
　　若欲用半徑為首率以省除則為半徑與丙角餘切若乙甲正切與丙甲正
　　半徑與丙角餘若乙丙正切與丙甲正切
　　又法丙角餘與半徑若乙丙餘切與丙甲餘切
　　乙甲餘與半徑若乙丙餘與丙甲餘
　　若欲用半徑為首率以省除則為半徑與乙甲正割若乙丙餘與丙甲餘
　　又法半徑與乙甲餘若乙丙正割與丙甲正割又法乙丙餘與半徑若乙甲餘與丙甲正割又法乙丙正割與半徑若乙甲正割與丙甲餘
　　丙角正與半徑若乙角餘與丙甲餘
　　半徑與丙角餘割若乙角餘與丙甲餘
　　又法不用四率但以加減法取初數即得丙甲正法為乙角度與乙丙邊度相併為總弧相減為存弧各取餘如法相加減〈總弧過象限則兩餘相加不過象限則相減〉折半為初數即為丙甲正
　　求乙丙邊法
　　乙角正與半徑若丙甲正與乙丙正
　　若欲用半徑為首率以省除則為半徑與乙角餘割若丙甲正與乙丙正
　　乙角餘與半徑若乙甲正切與乙丙正切
　　若欲用半徑為首率以省除則為半徑與乙角正割若乙甲正切與乙丙正切
　　丙角正與半徑若乙甲正與乙丙正
　　若欲用半徑為首率以省除則為半徑與兩角餘割若乙甲正與乙丙正
　　丙角餘與半徑若丙甲正切與乙丙正切
　　若欲用半徑為首率以省除則為半徑與丙角正割若丙甲正切與乙丙正切
　　半徑與丙甲餘若乙甲餘與乙丙餘
　　又法乙甲餘與半徑若丙甲正割與乙丙正割又法丙甲正割與半徑若乙甲餘與乙丙餘又法半徑與乙甲正割若丙甲正割與乙丙正割又法乙甲正割與半徑若丙甲餘與乙丙餘又法丙甲餘與半徑若乙甲正割與乙丙正割
　　乙角正切與半徑若丙角餘切與乙丙餘
　　半徑與乙角餘切若丙角餘切與乙丙餘
　　求乙甲邊法
　　乙角正切與半徑若丙甲正切與乙甲正
　　若欲用半徑為首率以省除則為半徑與乙角餘切若丙甲正切與乙甲正
　　又法乙角正與乙角餘若丙甲正切與乙甲正
　　半徑與乙角餘若乙丙正切與乙甲正切
　　又法乙角正割與半徑若乙丙正切與乙甲正切
　　半徑與丙角正若乙丙正與乙甲正
　　半徑與丙角正切若丙甲正與乙甲正切
　　甲丙餘與半徑若乙丙餘與乙甲餘
　　又法乙丙正割與半徑若丙甲正割與乙甲餘又法半徑與丙甲正割若乙丙餘與乙甲餘又法乙丙餘與半徑若丙甲餘與乙甲正割又法半徑與乙丙正割若丙甲餘與乙甲正割又法丙甲正割與半徑若乙丙正割與乙甲正割
　　乙角正與半徑若丙角餘與乙甲餘
　　半徑與乙角餘割若丙角餘與乙甲餘
　　求乙角法
　　乙丙正與半徑若丙甲正與乙角正
　　若欲用半徑為首率以省除則為半徑與乙丙餘割若丙甲正與乙角正
　　又法丙甲正與半徑若乙丙正與乙角正割又法半徑與丙甲餘割若乙丙正與乙角正割又法乙丙正與丙甲正若乙角正割與乙角正切
　　乙甲正與半徑若丙甲正切與乙角正切
　　若欲用半徑為首率以省除則為半徑與乙甲餘割若丙甲正切與乙角正切
　　又法丙甲正切與半徑若乙甲正與乙角餘切
　　乙丙正切與半徑若乙甲正切與乙角餘
　　若欲用半徑為首率以省除則為半徑與乙丙餘切若乙甲正切與乙角餘
　　又法乙甲正切與半徑若乙丙正切與乙角正割又法半徑與乙甲餘切若乙丙正切與乙角正割
　　半徑與丙甲餘若丙角正與乙角餘〈永補〉
　　乙甲餘與半徑若丙角餘與乙角正〈永補〉
　　半徑與乙甲正割若丙角餘與乙角正〈永補〉
　　乙丙餘與半徑若丙角餘切與乙角正切〈永補〉
　　半徑與乙丙正割若丙角餘切與乙角正切
　　求丙角法
　　乙丙正與半徑若乙甲正與丙角正
　　若欲用半徑為首率以省除則為半徑與乙丙餘割若乙甲正與丙角正
　　又法半徑與乙丙正割若乙角餘切與丙角正切又法乙甲正與半徑若乙丙正與丙角餘割〈永補〉
　　丙甲正與半徑若乙甲正切與丙角正切
　　若欲用半徑為首率以省除則為半徑與丙甲餘割若乙甲正切與丙角正切
　　又法乙甲正切與半徑若丙甲正與丙角餘切〈永補〉
　　乙丙正切與半徑若丙甲正切與丙角餘
　　若欲用半徑為首率以省除則為半徑與乙丙餘切若丙甲正切與丙角餘
　　又法丙甲正切與半徑若乙丙正切與丙角正割〈永補〉
　　丙甲餘與半徑若乙角餘與丙角正〈永補〉
　　半徑與丙甲正割若乙角餘與丙角正
　　半徑與乙角正若乙甲餘與丙角餘〈永補〉
　　半徑與乙角正切若乙丙餘與丙角餘切〈永補〉
　　已上求邊求角諸法具足有未備者永為補之一種有數法擇用一焉可也〈永所補者亦因他法隅反非臆測也用之可勿疑〉垂弧法趨㨗
　　舉要第三卷論垂弧但言可求某邊某角不詳其求之之法以有正弧三角法可攷也然算以㨗為貴有可省者徑省之諸形中各求㨗法以趨簡易
　　形内垂弧第一支
　　〈甲乙丙形有丙鋭角有角旁相連之乙丙甲丙二邊求對邊及餘兩角〉
　　作垂弧乙丁丁為正角○按兩邊夾
　　一角求對角之邊有環中黍尺專書
　　備論可不作垂弧欲以垂弧算之第
　　四卷有㨗法但求丁丙邊〈半徑與丙角餘若〉
　　〈乙丙正切與丁丙正切〉分甲丁邊〈丙丁之餘為甲丁〉即用兩分之兩邊以徑得乙甲〈丁丙餘與乙丙餘若丁甲餘與乙甲餘〉甚㨗也得乙甲則二角〈乙甲〉可求矣若按次求之先求丁丙次求乙丁次求丁乙丙分角次求乙甲次求甲角及丁乙甲分角末以兩乙角并之成乙角較為煩曲
　　形内垂弧第二支〈甲乙丙形有丙鋭角有角旁相連之乙丙邊及與各相對之乙甲邊求餘兩角一邊〉
　　此當先求甲角〈乙甲正與丙角正若乙丙正與甲
　　角正〉次求丁丙〈半徑與丙角餘若乙丙正切與丁丙正切〉甲丁〈半徑與甲角餘若乙甲正切與甲丁正切〉分邊併
　　得甲丙則乙角可得不必求垂弧與
　　分角
　　形内垂弧第三支〈甲乙丙形有乙丙二角有乙丙邊求甲角及餘邊〉
　　邊在兩角之間斜弧三角之難求者
　　也若以垂弧法求之當求乙丁邊〈半徑
　　與丙角正若乙丙正與乙丁正〉丁乙丙分角〈乙丙
　　餘與半徑若丙角餘切與乙角正切〉原設乙角内減
　　丁乙丙得丁乙甲分角次求甲角〈半徑與乙分角正若乙丁餘與甲角餘〉乙甲邊〈甲角正與半徑若乙丁正與乙甲正〉甲丙邊〈甲角正與乙丙正若原設乙角正與甲丙正〉此不得不求垂弧與分角者也按次形法三角求邊以角易為邊邊易為角此形雖止兩角亦可弧角相易以次形求之葢在本形為兩角夾一邊次形即為兩邊夾一角在本形為求對邊之角在次形即為求對角之邊徑用環中黍尺加減㨗法以求之一求而甲角可得矣此理隱於次形篇中永於三角求邊悟得之
　　形内垂弧第四支〈甲乙丙形有丙甲二角有乙甲邊求乙角及餘二邊〉
　　此當先求乙丙邊〈丙角正與甲角正若乙甲正
　　與乙丙正〉次求丙丁〈半徑與丙角餘若乙丙正切與丙
　　丁正切丁甲〉〈半徑與甲角餘若乙甲正切與丁甲正切〉分
　　邊併得丙甲而乙角可得
　　形内垂弧第五支〈係二邊相同求三角此形易求畧之〉
　　形外垂弧第一支〈甲乙丙形有丙鋭角有夾角之兩邊求乙甲邊及餘兩角〉
　　自乙角作垂弧於形外補成正角〈丁角〉本法須求丙乙丁角〈乙丙餘與半徑若丙角餘切與乙角正切〉乙丁邊〈半徑與乙丙正若丙角正與乙丁正
　　〉丁丙邊〈半徑與乙丙正若乙角正與丁丙正〉乃
　　可求乙甲邊〈丁丙内減丙甲得甲丁半徑與甲丁餘若乙
　　丁餘與乙甲餘〉甲角〈乙甲正與半徑若乙丁正與甲角正
　　〉及甲乙丁虚角〈乙甲正與半徑若甲丁正與虚〉
　　〈乙角正○末以甲角減半周得原設甲角以甲乙丁虚角減丙乙丁角得原設丙乙甲角〉若用環中黍尺加減㨗法則不用作垂弧一求可得乙甲邊而甲乙兩角皆可求矣
　　形外垂弧第二支〈甲乙丙形有甲鈍角有角旁之二邊求乙丙邊及餘二角〉
　　本法亦作垂弧於形外補成正角先
　　求虚邊虚角而後可求形内之邊角
　　今按此亦可用環中黍尺法角求對
　　邊〈鈍角用大矢〉徑得乙丙因以求二角則
　　不必作垂弧
　　形外垂弧第三支〈甲乙丙形有丙鋭角有角旁之乙丙邊有對角之乙甲邊求丙甲邊及餘二角〉
　　本法先求虚邊虚角今按此可求甲
　　角〈乙甲正與乙丙正若丙角正與甲角正〉乃求丁
　　丙邊〈半徑與丙角餘若乙丙正切與丁丙正切〉與甲丁
　　邊〈半徑與甲外角餘若乙甲正切與甲丁正切〉於丁丙内
　　減甲丁得丙甲而乙角可求
　　形外垂弧第四支〈乙甲丙形有甲鈍角有角旁之甲丙邊及對角之乙丙邊求乙甲邊及餘二角〉
　　本法亦先算虚形今按此亦可倣第
　　三支先求乙角次求乙戊邊與甲戊
　　邊於乙戊内減甲戊得乙甲因以求
　　丙角
　　形外垂弧第五支〈乙甲丙形有丙甲二角一鋭一鈍有丙甲邊在兩角之中求一角〉
　　本法作垂弧先算虚邊虚角今按兩
　　角夾一邊求對邊之角猶之兩邊夾
　　一角求對角之邊徑易角為邊易邊
　　為角用加減㨗法可得對丙甲邊之
　　乙角
　　形外垂弧第六支〈乙甲丙形有乙甲二角乙鋭甲鈍有丙甲邊與乙鋭角相對鈍角相連〉
　　此當先求乙丙邊〈有本形弧角比例〉次求乙
　　戊虚邊〈半徑與乙角餘若乙丙正切與乙戊正切〉次求
　　甲戊虚邊〈半徑與甲外角餘若丙甲正切與甲戊正切〉於
　　乙戊内減甲戊得乙甲〈因以求丙角〉
　　形外垂弧第七支〈乙甲丙形有乙鋭角甲鈍角有丙乙邊與甲鈍角相對鋭角相連〉
　　此當先求丙甲邊餘如六支之法


　　垂弧又法第一支〈乙甲丙形有乙丙邊在兩角之間而兩角並鈍求餘二邊及甲角〉
　　法引丙甲至己引乙甲至戊各滿半
　　周作戊己邊與乙丙等而己與戊並
　　乙丙之外角成甲戊己次形依法作
　　垂弧於次形之内〈如己丁〉分為兩形本
　　法求乙甲邊以己丁戊分形求到丁戊〈半徑與戊角餘若己戊正切與丁戊正切〉以己丁甲形求到甲丁〈先於己丁戊形求得己角以減原有之巳角餘為丁己甲分角又求得己丁垂弧乃求甲丁法為半徑與己分角正切若己丁正與甲丁正切〉合之成甲戊以減半周得乙甲求丙甲邊以己丁甲分形求到己甲〈丁己甲角餘與半徑若己丁正切與己甲正切〉以減半周得丙甲乃以己丁甲分形求到甲交角〈己甲正與半徑若己丁正與甲角正〉按此殊多曲折徑易角為邊易邊為角〈或用本形之乙丙兩鈍角易為邊以乙丙邊為角取矢或用次形之己戊兩鋭角易為邊取己戊矢皆可〉用加減㨗法求之即可得甲角〈因以求二邊〉
　　垂弧又法第二支〈乙甲丙形有丙甲二角有乙甲邊與丙角相對而兩角俱鈍求乙角及餘邊〉
　　如法引甲乙丙乙俱滿半周㑹於己
　　成丙甲己次形作己丁垂弧於次形
　　内分次形為兩本法求乙角惟求分
　　形兩己角合之為次形己角與乙對
　　角等又求分形甲丁丁丙并之為甲丙以求到次形己丙減半周為乙丙今按此形當先求乙丙邊〈丙角正與乙甲正若甲角正與乙丙正〉減半周餘為己丙虚邊次求甲丁〈乙甲減半周得甲己半徑與甲外角餘若甲己正切與甲丁正切〉丁丙〈半徑與丙外角餘若己丙正切與丁丙正切〉并得甲丙因以求乙角〈有弧角比例〉稍為直㨗若欲先知乙角如本法可矣〈乙甲餘弧與半徑若甲外角餘切與甲己丁分角正切又半徑與甲己正若甲外角正與丁己正又丁己餘與半徑若丙外角餘與丁己丙角正合兩分形己角為次形己角即為本形乙角〉
　　垂弧又法第三支〈乙甲丙形有乙丙乙甲兩邊有乙角在兩邊之中〉
　　本法用甲乙戊次形算之今按此亦可用加減㨗法徑得丙甲


　　垂弧又法第四支〈乙甲丙形有丙角有甲丙邊與角連有乙甲邊與角對〉
　　法用甲己戊次形〈甲己為甲乙減半周之餘甲戊為甲
　　丙減半周之餘戊角為丙之外角〉作垂弧於内求乙
　　丙邊及餘兩角按此形當先求乙角
　　〈乙甲正與丙角正若甲丙正與乙角正〉因知己虚
　　角〈己為乙之外角〉次求丁己〈半徑與己角餘若甲己正切與丁己正切〉戊丁〈半徑與戊角正切若甲戊正與戊丁正切〉併得己戊即丙乙因以求甲角若欲先知甲角即於丁戊甲分形求之〈半徑與戊角正切若甲戊餘與甲角餘切〉因以求乙丙邊〈丙角正與乙甲正若甲角正與乙丙正〉
　　垂弧又法第五支〈乙甲丙形有三邊内有乙甲丙甲二邊相同而皆為過弧求三角〉
　　本法用次形作垂弧求之今按此亦
　　可用加減㨗法用甲角角旁兩弧同
　　度則加減有變例檢環中黍尺五卷
　　補遺用
　　垂弧又法第六支〈乙甲丙形有丙甲二鈍角有甲丙邊在兩角間〉
　　本法引乙丙乙甲滿半周㑹于戊成
　　甲戊丙次形作垂弧於次形外以求
　　之今按此亦可易角為邊易邊為角
　　依加減㨗法求之徑得乙角〈因以求二邊〉
　　垂弧又法第七支〈乙甲丙形有乙甲二鈍角有甲丙邊與角對〉
　　法引設邊成丙戊甲次形〈戊為乙對角與乙角等〉作垂弧於次形外此或先求乙丙〈乙角正與甲丙正若甲角正與乙丙正〉減半周得
　　丙戊或先求丙戊〈戊角正與丙甲正若甲外角正
　　與丙戊正〉減半周得乙丙次求丁甲〈甲外
　　角餘與半徑若甲丙正切與甲丁正切〉丁戊〈戊外角正割與半徑
　　若丙戊正切與丁戊正切〉以丁戊減丁甲餘為
　　戊甲以戊甲減半周餘為乙甲因以求丙角〈若欲先知丙角先求甲丁對邊即可求得丙角〉
　　垂弧又法第八支〈乙甲丙形有丙鈍角有角旁之兩邊丙乙丙甲〉
　　本法用甲戊丙次形作甲丁垂弧引
　　丙戊㑹于丁可求乙甲邊及甲乙二
　　角今按此亦可用加減㨗法徑求乙
　　甲對邊以求二角
　　垂弧又法第九支〈乙甲丙形有甲鈍角有乙丙邊與角對丙甲邊與角連〉
　　法用丙戊甲次形自丙角作垂弧與
　　甲戊引長邊㑹于丁此當先求乙角
　　〈本形有甲丙對邊比例〉即戊角〈對角等〉次求丁甲
　　與丁戊〈與第七支求法同〉於丁甲内減丁戊
　　為甲戊即得乙甲〈法同七支〉因以求丙角
　　次形
　　斜弧三角求邊必弧角互易用次形求之圖與算例皆詳明矣然易角為邊有用本角度有用外角度恐易混淆今為釐定開例如左庶用之無誤
　　凡三角俱鋭者在圓周之兩角用本角度其交角用外角度〈凡三邊必有一邊就圓周凡三角必有兩角在圓周餘一角為交角〉
　　凡三角俱鈍者皆用外角度
　　凡兩鈍一鋭鈍在圓周鋭在交角者亦猶三角俱鈍皆用外角度
　　凡兩鈍一鋭鋭在圓周者用本角度其兩鈍一在圓周者用外角度一在交角者用本角度
　　凡兩鋭一鈍鋭在圓周者用本角度鈍在交角者用外角度
　　凡兩鋭一鈍鋭在圓周者用本角度在交角者用外角度鈍在圓周者亦用外角度
　　方圓冪積比例補
　　勿菴先生有方圓冪積一卷凡方圓周徑面體比例詳矣愚思之尚有方分圓分比例一法從來算家只言冪積不言圓分而范蜀公論律云古者以竹為律竹形本圓今以方分置算此律非是算法圓分謂之徑圍方分謂之方斜今圓分而以方法算之此算數非是圓分始見於此圓體用圓分置算亦有至理平圓有平圓分立圓有立圓分得其方分圓分之比例則有大小不等之渾圓欲得倍數之差但借立方算之其得數甚真亦甚㨗故為補此一法
　　先論圓方
　　算家命平方如棋局之罫者謂之冪合計之謂之積夫有平冪亦當有平員之分合衆小員之分亦可謂平員之積由是而為立員亦可謂立員分立員積矣夫所謂員分者非若句股容員虚其四隅也非若方體圓體中容得幾個圓球球間尚有空隙也大小相容全無隙罅但有圓之數而無圓之形是所謂員分員積也〈如以分作九復碎丸成粉入大圓中謂此大員能容幾個粉丸〉
　　平方平員
　　方徑一十　　冪積一百
　　員徑一十　　冪積七十八又五三九八一六
　　員積一百
　　方員有相應之理方員同徑員者刓其四角故冪積七十八有竒若員中復容員必與同徑之方等積大員與小員猶之大方與小方也此為渾員立方比例之根
　　立方立員
　　立方徑一十　　立方面冪六百
　　立員徑一十　　立員面冪三百一十四又一五九二
　　六五
　　立員面員分六百
　　立員即渾員渾圓面冪與員徑上平冪若四與一故四倍平員面冪〈七八五三九八一六〉而得三一四一五九二六五立方有六面則有六百與渾員面冪若六與三一四一五九二六五而渾員面上之員分則又與立方面冪等
　　立方徑一十　　立方積一千
　　立員徑一十　　立員積五百二十三又五九八七七五
　　立員員分積一千
　　立方立員同徑又刓去立方之八角則其積之比例若六與三一四一五九二六五故立方積一立員積五二三五九八七七五猶之立方面冪六而立員面冪三一四一五九二六五也積與冪既同比例矣則立員員分積亦必與立方積等猶之立員面員分與立方面冪等也然則平冪面冪體積方與方員與員其數皆等借立方可算立員而大小員球之差數睹矣
　　借立方算立員
　　立方徑自乘又以徑乘之得積○立員亦徑自乘又以徑乘之得立員員分積
　　求大小員差幾倍數
　　大小員各算得積以積相較得差數若干倍
　　假如
　　今有大員徑三十六小員徑六徑之差六倍實體差若干倍
　　答曰大員比小員差二百一十六倍
　　法以大員徑自乘再乘得積四萬六千六百五十六小員徑自乘再乘得積二百一十六其差亦二百一十六倍〈小員徑自乘即大員徑故差數與積數等二百一十六自乘亦即四萬六千六百五十六〉
　　又法以兩徑差倍數自乘又以倍數乘之所得亦同
　　今有大員徑一十五萬小員徑八千徑之差十九倍弱實體差若干倍
　　答曰大員比小員差六千五百九十倍竒
　　法以十五萬自乘再乘大數三三七五以八千自乘再乘小數五一二大數為實小數為法除實得六千五百九十餘實三三七四○八幾盡故差六千五百九十倍竒〈大小數相差甚逺借十九倍數自乘再乘得六千有竒故知首位是六千不用十九倍數算者不正得十九倍也〉
　　此日月實體約畧差數也利西泰云日大於月六千五百三十八倍竒亦相近
　　今有大員徑十五萬小員徑二萬八千二百七十四徑之差五倍有竒實體差若干倍
　　答曰大員比小員差一百四十九倍竒
　　法以小員自乘再乘得二二六○二七七五為小數大員大數如前以大數為實小數為法除實得一百四十九幾盡故差一百四十九倍有竒
　　此日與地實體約畧差數也利西泰云日大于地球一百六十五倍竒盖利算日徑不啻十五萬里
　　今有大員徑二萬八千二百七十四小員徑八千徑之差三倍半有竒實體差若干倍
　　答曰大員比小員差四十四倍竒
　　法以大員積二二六○二七七五為實小員積五一二為法除之得四十四除實二二五二八不盡故差四十四倍竒
　　此地與月實體約畧差數也利西泰云地大于月三十八倍竒盖利算月徑不啻八千里
　　右法算渾圓大小相較之差徑㨗如此是亦少廣之一法不可缺也西人言日大于地五倍有竒又云一百六十五倍有竒兩數甚相懸今為補此一法則日大于地實體與圓徑迥殊不足詫異矣
　　授時弧矢割員論
　　勿菴先生員容方直簡法附授時厯弧矢割員圖又附求黄赤内外度及黄赤道差法論之云割員之算始于魏劉徽至劉宋祖冲之父子尤精其術唐宋以算學設科古書猶未盡亡邢臺盖有所本又云郭法用員容方直起算冬至西法用三角起算春分郭用三乘方以先得矢西用八綫故先得又西專用角而郭只用弧西兼用割切而郭只用種種各别而不害其同有所以同者在耳且夫數者所以合理也厯者所以順天也法有可采何論中西理所當明何分新舊在善學者知其所以異又知其所以同去中西之見以平心觀理則弧三角之詳明郭圖之簡括皆足以資探索而啟深思務集衆長以觀其㑹通母拘名相而取其精粹
　　永按員者徑一圍三古人之恒言算家之麤率精於算者覺其未密因有割員之術劉祖二家各有其率盖欲細求周徑之數以究平員之理未甞剖之為度析之為分一一紀其縱横之線以為測天之用也而算家相承仍用粗疎之率立弧矢之法或欲以曲承直則用三乘方法求矢或欲以直求曲則因矢以求半背差夫弧背為曲線矢為直線亘古無相通之率不相通而强求之其所求得之數必非真數也甞讀唐荆川先生弧矢論攷其求背差之法所得者猶是徑一圍三六邊之周耳〈古法求背差以矢自乘為實以徑為法除實得半背差倍之得全背差假令半徑五自乘二十五徑十除之得二五倍之得五加於徑則半周十五又如徑十而矢一者通六餘通八餘矢二以矢一自乘以徑除之得小數一倍之得二為背差又以餘矢二自乘以徑除之得小數四倍之得八為背差合兩通十四加兩差一半周亦得十五皆徑一圍三之半周〉又攷邢氏律厯考衍三乘方求矢法迂曲煩難究其所得仍是圍三徑一耳此繇八線表未傳不得不如此立算其得數之非真雖前人亦未甞覺也郭太史之求黄赤内外度也先用帶從三乘方求各度矢則得矢不真矣其既得黄赤内外半弧也又以矢度求半背差加入半弧得内外半弧背則弧度亦非真其求黄赤差法以黄道矢求半背差減黄道度得黄道半弧則得不真矣其既得赤道半弧也又求半背差以加半弧得赤道則赤道度亦非真夫表端者景正源潔者流清徑一圍三其本先失而欲數之不謬也得乎八線之法至矣剖析大員細至分秒無非真數以此測天絲毫莫能遁勿菴先生與郭法相提而論謂種種各别不害其同有所以同者在愚謂郭圖之矢猶八線之矢也其句股皆八線所有之句股也究之郭法西法終莫能同有所以不同者在耳先生謂當去中西之見平心以觀理夫理有真亦有似使其似是而未真則與真者相提而論雖欲比而同之不可得矣
　　先生於郭法各添註求黄道矢與則註云本法如此原法如此〈見前〉求内外半弧背及赤道則註云原法如此〈見前〉今省夫存其本法而不論其法之是與非豈不欲苛求古人與原法所有而今省豈微覺其法之未善與愚豈敢苛論古人哉亦謂理數精微不能兩是寧割愛於古人耳
　　授時平立定三差辯
　　勿菴先生云授時厯於日躔盈縮月離遲疾並云以算術垜積〈一作叠〉招差立算而今所傳九章諸書無此術也豈古有而今逸耶載攷厯草並以盈縮日數離為六段並以段目除其段之積度得數乃相減為一差一差又相減為二差則其數齊同乃縁此以生定差及平差立差定差者盈縮初日最大之差也於是以平差立差減之則為每日之定差矣若其布立成法則直以立差六因之以為每日平立合差之差此兩法者若不相𫎇而其術巧㑹從未有能言其故者余因李世德孝亷之疑而試為思之其中原委亦自厯然爰命孫㲄成衍為垜積之圖得書一卷
　　又云平立定差之法古無其術乃郭太史所創為以求七政盈縮之度所以造立成之根本也據云依立招差又云依垜疊立招差則似古算術中原有其法而今採用之然不可攷矣愚因李問為之衍算頗覺其用法之巧焉
　　永按郭太史時八線表未傳中土以三差法求七政盈縮固巧矣愚竊謂其數之不真凡圓體參差截為數段前後相較其畸零之數無時而盡今以段目除積度相較至再而即齊同無是理也凡相差之尾數前後疎密必不均用時有収有棄未有能截然齊一者今恒六因立差以為每日平立合差之差則其差有常尾數不變〈如太陽盈初縮未限平立合差之尾數恒為八四○六二其較以六縮初盈末限平立合差之尾數恒為二四六八○其較以二則盈縮加分盈縮積度之尾數皆有定率太陽如此其他可知〉平圓中亦必無此差率也以至圓之體而欲以平方立方之差求之圓鑿方枘豈能相入哉或曰郭氏於七政各分段目測之其數盖得之積候未可謂其無憑也曰凡以儀器測天雖極精密亦及度分而止必不能得其秒微各段相較至二差而齊同皆秒微之數則其積度畸零之小數必有遷就於其間者矣觀太隂遲疾立成其損益積度至於五度四二九三有竒較西法加減均數為贏而又不知有二三均加減則其日逐測到之度豈盡與天密合哉平圓中自然之差數八線表盡之矣使平立定三差之法果符天運則八線亦可不立既有八線之精算為一切測圓之凖繩則此外更無岐途别徑亦無取乎三差之巧矣於古人之法深究其根存而勿用可也














　　數學卷八