數度衍 (四庫全書本)/卷15

數度衍　卷十五

　　欽定四庫全書
　　數度衍卷十五
　　桐城　方中通　撰
　　丈量〈方田之一〉
　　定畝
　　通曰弓步丈尺雖二法一理也横一步縱二百四十步横一丈縱六十丈皆畝也方五尺為步是為一弓五寸為分五分為釐二十五尺為弓羃四其弓羃則方面一丈故知二百四
　　十其弓羃即六十其方面一丈也每一弓得畝四毫一絲六忽六微六無盡畝至百則曰頃
　　積步求畝法
　　長弓幾何廣弓幾何相乗為積步二廣者并數用二折三廣用三折四廣用四折長亦若是折為一長一廣然後相乗非折而少之折而方之也既得積步用除法求畝詳後式〈按三折四折語有誤〉
　　用二十四除式　術直田一坵長四十弓廣十四弓四分相乗得五百七十六步用二十四除之得二畝四分折廣式　術長四十弓四廣一曰十三弓一曰十九弓四尺一曰十二弓一尺一曰十二弓三尺先并諸廣得五十六弓八尺每尺作二分歸整得五十七弓六分四廣當用四除折之折得十四弓四分始與長弓相乗得五百七十六步用二十四除見畝
　　珠算飛歸法
　　訣曰一加三隔四　　　　二加六隔八
　　進一除二四　一曰二十四子一方歸
　　進二除四八　一曰四十八子進二枚
　　進三除七二　一曰七十二子進三枚
　　進四除九六　一曰九十六子進四枚
　　獨三進一位二五〈下位無子曰獨〉　獨九進三位七五
　　一二身作五　一曰見一作五下除二
　　六退一進二　一曰六十進二五　一曰六除留五上
　　添二　　　　　　　　　一四四作六
　　一六八作七　　　　　　一九二作八
　　一八作七五　　　　　　三六進一五
　　二一六作九
　　通曰飛歸者二十四除之捷法也進在左位作加皆在本位隔在右位之下位也
　　式　術直廣皆六百六十六弓相乗得四十四萬三千五百五十六步用飛歸丑寅二位作四十四曰進一除二四進一在子位丑除二十存二寅除四空曰二加六隔八丑存二加六為八卯三加八寅得一卯存一曰一加三隔四寅一加三為四辰五加四為九曰一二身作五卯一竟改作五辰九内去二存七曰進三除七二卯五加三為八
　　辰去七空巳除二存三曰進一除二四進一在辰位巳除二存一午除四存二曰一二身作五巳一改作五午除二實盡而止得一千八百四十八畝一分五釐原積千位為畝也
　　用三除八除式　術積二百四十步先用三除得八後用八除得一乃一畝也先用八除後用三除亦可用四除六除式　術積二百四十步先用四除得六後用六除得一畝先用六除後用四除亦可
　　用兩次五因又六除式　術積二百四十步用五因得一百二十再用五因得六十又用六除見畝
　　通曰用二十四除者二百四十步為一畝也三八乗得二十四四六亦乗得二十四故皆可用五因即二除折半法也兩次五因即四除也猶如先用四除後用六除耳
　　積尺求畝法
　　用六除式　術直八十尺廣七十五尺相乗得六千尺用六除之得一畝
　　通曰廣一弓直二百四十弓即廣五尺直一千二百尺也以五乗一千二百得六千尺故用六除
　　用倍尺又二十四除式　術直八十尺倍為一百六十尺廣七十五尺倍為一百五十尺然後相乗得二萬四千尺再用二十四除見畝
　　通曰此通尺為步也五尺為步宜用五除然二因即五除倍即二因也尺之一百即步之一十此倍虚尺而求實積也
　　合積求畝法
　　或直步廣尺或直尺廣步其積步法則化尺為步其積尺法則化步為尺凡步下有零尺寸者皆化之
　　化尺式　術直十六步廣七十五尺以二因廣尺得一百五十尺作十五弓然後相乗得二百四十為積步如法見畝
　　化步式　術直十六步廣七十五尺以五因直步得八十尺然後相乗得六千尺為積尺如法見畝
　　不積求畝法
　　直廣不須相乗積步隨意以直為主以廣為主而算其不主之弓數也主直則算廣主廣則算直
　　諸率
　　二弓折半六而一〈而一者歸也〉　三弓用八歸
　　四弓用六歸
　　五弓用六八歸〈或先六後八或先八後六皆可〉
　　六弓用四歸　　　　　　八弓用三歸
　　九弓用五因又四歸　　　十二弓用折半
　　十五弓用二八歸　　　　十六弓用三歸又加倍十八弓折半又五因
　　二十四弓十為畝〈見十弓為一畝也〉
　　二十五弓折半又六八歸　三十二弓四因又三歸三十六弓用五因
　　三十七弓半用八八歸〈兩次八歸也〉
　　四十八弓加一倍　　　　六十四弓三歸又八因七十二弓加倍又五因　　七十五弓用四八歸九十六弓用四因
　　主直式　術如以直為主者直或二弓或二十弓或二百弓則以廣弓之數在位折半餘用六歸見畝
　　主廣式　術如以廣為主者廣或十五弓或一百五十弓則以直弓之數在位先用二歸後用八歸見畝
　　步帶竒零法
　　單分母子式　術直十五步廣三步五分步之四置三步以分母五通之為十五加分子四共十九又置直十五步以分母五通之為七十五乃以七十五與十九相乗得一千四百二十五為實另以分母五自乗得二十五為法除實得積步
　　雙分母子式　術直九十七步四十九分步之四十七廣二步二十分步之九置廣二步以分母二十乗之〈乗即通也〉得四十加分子九共四十九又置直九十七步以分母四十九乗之得四千七百五十三加分子四十七共四千八百乃以兩共數相乗得二十三萬五千二百為實另以分母二十與四十九相乗得九百八十為法除實得積步
　　又式　術圓田徑六步十三分步之十二周二十步四十一分步之三十二以徑求積者置徑六步以母十三通為七十八加子十二共九十自乗得八千一百又以母十三減子十二餘一以乗子十二得十二并自乗數共八千一百一十二先三乗後四除得六千○八十四為實另以母十三自乗得一百六十九為法除實得積步以周求積者置周二十步以母四十一通為八百二十加子三十二共八百五十二自乗得七十二萬五千九百○四又以母四十一減子三十二餘九以乗子三十二得二百八十八并自乗數共七十二萬六千一百九十二以十二除之得六萬○五百一十六為實另以母四十一自乗得一千六百八十一為法除實得積步
　　還原法
　　反畝為步式　術田七畝五分求積以二十四乗七畝五分得一千八百是為積步
　　反步為直廣式　術積步一千八百求直廣其法定以二十四弓為廣以畝數為直今係七畝五分即以七十五弓為直也須知一畝作一十弓十畝作一百弓倍直半廣式　術如七分五釐積一百八十步以二十四弓為廣以七弓五分為直太少乃半廣為一十二弓倍直為一十五弓或廣直相易以二十四弓為直以七弓五分為廣
　　半直倍廣式　術如七十五畝積一萬八千步以二十四弓為廣以七百五十弓為直太多乃倍廣為四十八弓半直為三百七十五弓如云尚多又倍廣半直亦可直田積反求直廣式　術積步一千八百云直增廣一倍求直廣以積步折半得九百為實平方開之得三十步為廣倍得六十步為直
　　飛歸還原
　　訣曰退一加二四　退二加四八　退三加七二退四加九六　　　五留一二　　六留一四四七留一六八　　　八留一九二　九留二一六通曰飛歸自左向右還原自右向左退在本位加在下位留亦在本位起也
　　九則折畝率
　　上上則三畝折一畝三分乃二畝三分三釐零折一畝也毛畝上定身三因三歸上中則三畝折一畝二分五釐乃二畝四分折一畝也毛畝上用飛歸上下則三畝折一畝二分乃二畝五分折一畝也毛畝上用四因或積步上用六歸中上則三畝折一畝一分乃二畝七分二釐零折一畝也毛畝上定身一因三歸中中則三畝折一畝毛畝上用三歸中下則二畝折九分乃三畝三分三釐零折一畝也毛畝上用三因下上則三畝折八分乃三畝七分五釐折一畝也毛畝上八因三歸或積步上用九歸下中則三畝折七分五釐乃四畝折一畝也毛畝上用四歸下下則三畝折七分乃四畝二分八釐零折一畝也毛畝上七因三歸　塘或六畝一分四釐折一畝
　　通曰積步除得之畝乃毛畝也不折之處甚多或用九則折實率亦不一大㮣如此附録訣曰毛田上上定三因因後三歸實即真只有上中飛又用若逢上下四因成定身中上先加一得數三歸即便清獨是中中來折實三歸一徧即分明毛當中下三因得下上三歸又八因若遇下中歸用四三歸下下七先因或從積步來求實九則中間兩則行上下六歸下上九不須毛畝快如神
　　田形〈方田之二〉
　　諸形量法
　　方形術以十二步自乗得一百四十四為積步如法見畝
　　長形術以直廣相乗得一百一十二為積步

　　圓形術以周折半為三十徑折半為一十相乗得三百為積步　少廣諸法皆可用通曰周自乗四八九各除一徧見畝徑自乗
　　四八各除一徧見畝不必積步矣凡田非四方渾圓不可量周
　　環形術以外周折半為三十六内周折半為一十八相并得五十四與徑六步相乗得三百二十四為積步　凡田中有池有堆者用此弧矢形術以并矢得四十八折半為二十四與矢十二相乗得二百八十八為積步通曰已上五形皆用少廣法
　　四不等形術東西并為五十六此二廣也二折得二十八步南北并為七十八亦二直也二折得三十九步相乗得一千○九十二為
　　積步〈按此術内直廣不取直角非法以下求楓葉等形亦多未合〉
　　五不等形術并南北二西得二十四步以四折之得六步與東大角十步相乗得六十為積步〈按誤同上〉
　　大角一邊為長也
　　勾股形術以廣折半為四步　　　圭形同勾
　　與長相乗得八十為積步　　　　股形術楓葉形術以口徑四折得十步上周折半得四十九相并得五十九與中直折半十五相
　　乗得八百八十五為積步
　　梳形術以齒廣三折得二十上周折半得四十五相并得六十五與中十相乗得六百五十
　　邱形術周徑相乗得二十四萬三千二百以四折之得六萬○八百為積步
　　尖錠形術以長四十八用四折得十二步即於四十八内減十二餘三十六三廣并得四十二三折得十四與三十六相乗得五百○
　　四為積步
　　半環形術并内外灣得六十八折半得三十四與徑八相乗得二百七十二為積步　新月形同此
　　碗形術以口徑折半得十步外周折半得三十二相乗得三十二為積步
　　菱形術并内外灣得五十折半得二十五以徑折半得五相乗得一百二十五為積步
　　長圓形術以外周折半得二十八徑折半得一十相乗得二百八十為積步
　　扇形術并内外灣得三十四折半得十七并兩横得二十折半得一十相乘得一百七十為積步矩形同扇形術内外曲即内外灣也睂形術以下二十三并兩徑共三十三折半為一百六十五〈此即五因〉再以下并虚徑四為二十七折半為一十三五又乗虚徑四得五十四乃於一百六十五内減之餘一百一十一為積步
　　梯形術并二廣為三十八折半得十九與長相乗得一千○二十六為積步
　　不正形術以中長折半為二十東北與西南并為三十相乗得六百為積步
　　梭形術以長折半為十八與濶相乗得三百○六為積步半梭形同此
　　牛角形術以廣與長乗得六千八百三十二半之得三千四百一十六為積步







　　通曰先增虚形以求後減虚形以得此亦變法也若形内可分為數形者則有并法在








　　通曰田形無窮大約絶長補短以取其形可量耳惟是下弓之處務中其節始得無差不然則可任意大之小之也至或有計種數者或有計稅米之數者隨其則例求之可耳他如北方之地南方之洲可用捆丈者則又計繩而整量之凡縱横皆七十七丈五尺為一頃也









　　數度衍卷十五