新法算書 (四庫全書本)/全覽3

新法算書　全覽3



　　欽定四庫全書
　　新法算書卷六十二　　　明　徐光啟等　撰恒星出沒表卷上
　　算近黄道四十五大星斜升斜入並在中各節氣時刻原法
　　先查本地各節氣太陽斜升斜入度及半晝弧並赤道經度〈各有本表〉次查各星經緯表中所載赤道經緯度分依三角形算各星所得各節氣斜升斜入並在中度如圖設辛癸壬圏線為子午圏己庚為赤道辛壬為地平各半
　　圏二赤極在癸今設一星在乙距赤
　　道北以甲乙弧當求甲丙為斜正差
　　度〈乙星于正球必與赤道甲㸃同出沒今于斜球不然乃同丙㸃出沒〉或星在戊距赤道南以丁戊弧應求
　　丁丙為斜正之差度〈因星正與丁今斜與丙同出故〉法依甲乙丙或依丁戊丙三角形推算葢形内有甲與丁皆直角其丙角為本地赤道髙度左右必等甲乙與丁戊皆為本星赤道緯度乃求甲丙或丁丙為斜正差度法全數與甲乙丁戊〈星赤緯度〉之切線若丙角〈赤道髙度如順天府五十度○五分是〉之餘切線與甲丙丁丙〈斜正差度〉之正查八線表所得度緯北于本星赤經内减之得斜升〈不及减星經内加全周减之後倣此〉加于赤經得斜入緯南加得升减得入
　　假如角宿南星赤經為一百九十六度二十六分在緯南九度○九分求甲丙斜正之差法全數與甲乙之切線一六一○七若丙角之餘切線八三六六二與甲丙之正一三四七五查八線表得七度四十五分為甲丙因星緯在南以本星赤經一百九十六度二十六分加甲丙七度四十五分共得二百○四度一十一分為斜升度復于星經内减甲丙餘一百八十八度四十一分為斜入度以此斜升斜入度為各節氣所用之公度任指太陽在某節氣依法可求本星出入及在中時刻設太陽躔鶉首初度為夏至依京師北極出地度查太陽本表鶉首初度得太陽斜升六十八度三十四分斜入一百一十一度二十六分其半晝弧為一百一十一度二十六分赤經為九十度○分〈如無太陽斜升入等表即依前圖推算法與前同但定半畫弧其斜正差度應加或减于一象限後乃得于甲己或丁庚弧是若正升度即設己庚為赤道辛壬為黄道則全數與二道最相距之餘攷若太陽躔㸃距二道交處之切線與正升度之切線或三角形内甲或丁直角與丙角之餘若丙乙與丙甲或丙戊與丙丁得丙甲丙丁皆正升度弧是也〉則以此公數求本星斜出時法以本星斜升度二百○四度一十一分内减太陽斜升度六十八度三十四分餘一百三十五度三十七分所餘度再减半晝弧一百一十一度二十六分實餘二十四度一十一分查赤道變時表應一時〈小時〉三十七分從午正起算得未正二刻○七分〈每十五分為一刻〉為角宿夏至出地之時刻若求本星在中時法以太陽赤經九十度内减本星赤經一百九十六度二十分因不及减于太陽赤經内加全周共得四百五十度内减星經度餘二百五十三度三十四分變時得一十六時五十四分從午正前逆數應戌初初刻○六分為角宿夏至在中之時刻若求本星斜入時法以本星斜入度一百八十八度四十一分内减太陽斜入一百一十一度二十六分餘七十七度一十五分再加半晝弧共得一百八十八度四十一分變時得一十二時三十五分從午正起算應子正二刻○五分為角宿夏至入地之時刻餘倣此
　　查表求二十四節氣昏旦中星法
　　欲考各節氣昏旦中星必先定太陽各節氣昏旦時刻〈有本表〉次簡恒星出沒表内本節氣各星之在中時刻有與太陽之昏旦時刻相合者即為本節氣昏旦中星時刻推之任何時刻可知某星在子午之中反之若某星在中亦可定為某時某刻例如左
　　假如京師春分節昏刻為戌初二刻五分查本恒星出沒表春分之在中者得戌初一刻八分為北河第三星即春分昏刻之中星旦刻為寅正一刻十分查表得寅正一刻八分為尾宿距星即春分旦刻之中星也餘倣此
　　北京各節氣昏旦時刻表〈北極髙四十度〉







<子部,天文算法類,推步之屬,新法算書,卷六十二>
<子部,天文算法類,推步之屬,新法算書,卷六十二>
<子部,天文算法類,推步之屬,新法算書,卷六十二>








　　春　分　　　　　　　清　明
　　星　　出　　中　　入　　　出　　中　　入














　　　雨　　　　　　　立　夏
　　星　　出　　中　　入　　　出　　中　　入






<子部,天文算法類,推步之屬,新法算書,卷六十二>








　　　雨　　　　　　　立　夏
　　星　　出　　中　　入　　　出　　中　　入














　　小　滿　　　　　　芒　種
　　星　　　出　　中　　入　　　出　　中　　入






<子部,天文算法類,推步之屬,新法算書,卷六十二>








　　小　滿　　　　　　　芒　種
　　星　　出　　中　　入　　　出　　中　　入














　　夏　至　　　　　　小　暑
　　星　　出　　中　　入　　　出　　中　　入






<子部,天文算法類,推步之屬,新法算書,卷六十二>








　　夏　至　　　　　　　小　暑
　　星　　　出　　中　　入　　出　　中　　入














　　大　暑　　　　　　　立　秋
　　星　　出　　中　　入　　　出　　中　　入






<子部,天文算法類,推步之屬,新法算書,卷六十二>








　　大　暑　　　　　　　立　秋
　　星　　　出　　中　　入　　　出　　中　入






<子部,天文算法類,推步之屬,新法算書,卷六十二>








　　處　暑　　　　　　白　露
　　星　　　出　　中　　入　　　出　　中　　入






<子部,天文算法類,推步之屬,新法算書,卷六十二>








　　秋　分　　　　　　　寒　露
　　星　　　出　　中　入　　出　中　入






<子部,天文算法類,推步之屬,新法算書,卷六十二>
<子部,天文算法類,推步之屬,新法算書,卷六十二>








　　霜　降　　　　　　　立　冬
　　星　　出　　中　　入　　　出　　中　　入






<子部,天文算法類,推步之屬,新法算書,卷六十二>








　　霜　降　　　　　　立　冬
　　星　　出　　中　　入　　　出　　中　　入














　　小　雪　　　　　　大　雪
　　星　　　出　　中　　入　　　出　　中　　入






<子部,天文算法類,推步之屬,新法算書,卷六十二>








　　小　雪　　　　　　大　雪
　　星　　出　　中　　入　　　出　　中　　入














　　冬　至　　　　　　小　寒
　　星　　出　　中　　入　　　出　　中　　入






<子部,天文算法類,推步之屬,新法算書,卷六十二>








　　冬　至　　　　　　小　寒
　　星　　出　　中　　入　　　出　　中　　入














　　大　寒　　　　　　　立　春
　　星　　　出　　中　　入　　　出　　中　　入






<子部,天文算法類,推步之屬,新法算書,卷六十二>
<子部,天文算法類,推步之屬,新法算書,卷六十二>
<子部,天文算法類,推步之屬,新法算書,卷六十二>








　　雨　水　　　　　　　驚　蟄
　　星　　出　　中　　入　　　出　　中　　入






<子部,天文算法類,推步之屬,新法算書,卷六十二>

















　　新法算書卷六十二
<子部,天文算法類,推步之屬,新法算書>



　　欽定四庫全書
　　新法算書卷六十三　　　　明　徐光啟等　撰
　　恒星出沒表卷下
　　列表不及他省者因逐處推求别有簡法〈如星球等器可考〉而依原法算止就一二可槩其餘故首舉京師次考南都彼此互證用法俱同
　　南京各節氣昏旦時刻表〈北極髙三十二度〉









<子部,天文算法類,推步之屬,新法算書,卷六十三 >








　　春　分　　　　　　清　明
　　星　　出　　中　　入　　　出　　中　　入






<子部,天文算法類,推步之屬,新法算書,卷六十三 >








　　春　分　　　　　　　清　明
　　星　　出　　中　　入　　　出　　中　　入














　　糓　雨　　　　　　　立　夏
　　星　　出　　中　　入　　　出　　中　　入






<子部,天文算法類,推步之屬,新法算書,卷六十三 >








　　糓　雨　　　　　　　立　夏
　　星　　出　　中　　入　　　出　　中　　入














　　小　滿　　　　　　芒　種
　　星　　出　　中　　入　　　出　　中　　入






<子部,天文算法類,推步之屬,新法算書,卷六十三 >








　　小　滿　　　　　　芒　種
　　星　　出　　中　　入　　　出　　中　　入














　　夏　至　　　　　　小　暑
　　星　　出　　中　　入　　　出　　中　　入






<子部,天文算法類,推步之屬,新法算書,卷六十三 >








　　夏　至　　　　　　　小　暑
　　星　　出　　中　　入　　　出　　中　　入














　　大　暑　　　　　　　立　秋
　　星　　出　　中　　入　　　出　　中　　入






<子部,天文算法類,推步之屬,新法算書,卷六十三 >








　　大　暑　　　　　　立　秋
　　星　　　出　　中　　入　　　出　　中　　入














　　處　暑　　　　　　　白　露
　　星　　出　　中　　入　　　出　　中　　入






<子部,天文算法類,推步之屬,新法算書,卷六十三 >








　　處　暑　　　　　　白　露
　　星　　　出　　中　　入　　　出　中　　入














　　秋　分　　　　　　　寒　露
　　星　　出　　中　　入　　　出　　中　　入






<子部,天文算法類,推步之屬,新法算書,卷六十三 >








　　秋　分　　　　　　　寒　露
　　星　　出　　中　　入　　　出　　中　　入














　　霜　降　　　　　　立　冬
　　星　　出　　中　　入　　　出　　中　　入






<子部,天文算法類,推步之屬,新法算書,卷六十三 >








　　霜　降　　　　　　立　冬
　　星　　出　　中　　入　　　出　　中　　入














　　小雪　　　　　　　大　雪
　　星　　　出　　中　　入　　　出　中　　入






<子部,天文算法類,推步之屬,新法算書,卷六十三 >








　　小　雪　　　　　大　雪
　　星　　出　　中　　入　　　出　　中　　入














　　冬　至　　　　　　　小　寒
　　星　　出　　中　　入　　　出　　中　　入






<子部,天文算法類,推步之屬,新法算書,卷六十三 >








　　冬　至　　　　　　　小　寒
　　星　　出　　中　　入　　　出　　中　　入














　　大　寒　　　　　　立　春
　　星　　出　　中　　入　　　出　　中　　入






<子部,天文算法類,推步之屬,新法算書,卷六十三 >








　　大　寒　　　　　　立　春
　　星　　出　　中　　入　　　出　　中　　入














　　雨　水　　　　　　　驚　蟄
　　星　　出　　中　　入　　　出　　中　　入














　　雨　水　　　　　　　驚　蟄
　　星　　出　　中　　入　　　出　　中　　入






<子部,天文算法類,推步之屬,新法算書,卷六十三 >

















　　新法算書卷六十三



　　欽定四庫全書
　　新法算書卷六十四　　　明　徐光啟等　撰交食厯指卷一
　　或問日月薄蝕是災變乎非災變乎若言是者則躔度有常上下百千萬年如視掌耳豈人世之吉凶亦可以籌算窮也若言否者則古聖賢戒懼脩省又復何説曰災與變不同災與災變與變又各不同如水旱蟲蝗之屬傷害民物者災也日月薄蝕無患害可指然以理揆之日為萬光之原是生暄燠月為夜光之首是生濕潤大圜之中惟是二曜相資相濟以生萬有若能施之體受其蔽虧即所施之物成其闕陷矣况一朔一望兩光盛長受損之勢將愈甚焉是謂無形之災不可謂非災也夫暈珥彗孛之屬非凡所有者異也交食雖躔度有常推步可致然光明下濟忽焉掩抑如月食入景深者乃至倍于月體日食既者乃至晝晦星見嘻其甚矣是則常中之變不可謂非變也既屬災變即宜視為譴告側身脩省是以有脩德正事之訓有無敢馳驅之戒兢業日慎猶懼不塈矣曰既稱災變凡厥事應可豫占乎可豫備乎曰從古厯家不言事應言事應者天文也天文之學牽合傅㑹儻過信其説非惟無益害乃滋大欲辨真偽總之能言其所以然者近是如日月薄蝕宜論其時論其地論時則正照者災深論地則食少者災减然月食天下皆同宜專計時日食九服各異宜并記地矣迨于五緯恒星其與二曜各有順逆乖違之性亢害承制之理方隅衝合之勢為其術者一一持之有故然以為必然不爽終不可得也惟豫備一法則所謂災害者不過水旱蟲蝗疾癘兵戎數事而已誠以欽若昭事之衷脩勤恤顧畏之實過求夙戒時至而救之者裕如則所謂天不能使之災又何必徵休咎于梓禆問祲祥于京翼乎然則星厯之家概求精密尤勤于交食者何也曰太隂去人最近饒有視差凡人目所見人器所測則視度而已其實行度分非人可見非器可測必以食甚時知為定望與日正相對從是知其實度從是知其本行自餘行度漸可推算也又因月食知地景為角體之形月體過之其距地同而入景之淺深不同可推日在其本天行與地為不同心也又因日食推月距地時時不等知其有本輪有次輪也又兼以日月食推日月體之小大及日月距地之逺近也别有度地之學因月食可推地在天之最中其四周皆以天為上人則環居地面也又因月食知地景為圓體而居東者漸逺漸後見食即非月食以地為先後特因各所見之時刻為先後也因以推地為圓體而水附于地合為一球也又以月食與子午線相距逺近知諸方之地經度也若泯薄蝕於二曜即造厯者雖神明黙成無所措其意矣是則交食者密術之所繇生故作者述者咸于此盡心焉今譔厯指有合論有分論月食術稍簡以附合論之末日食頗繁釐為别卷諸立成表以類從之謹列條目如左界説　七章
　　凡物體能隔他物之象使不至目則為暗體若以體之一面受光而光復透射出於彼面則為徹體〈如玻瓈水精是也〉目所司存惟光惟色而色又隨光發見故解徹體必以通光解暗體必以其能隔他象如月掩日而日全食晝為之晦恒星皆見爾時太陽在外體質明顯又堅密無比光力甚厚乃為月體所隔不能映見微光可證月乃全非徹體而全為暗體　徹體有二通明之極全無隔礙者為甚徹雖則透光而微雜昏𫎇者為次徹
　　光在本體為原光其出而顯他物之象為照光　日有原光地與月皆借之為光者照光也謂顯他物之象者因他物之勢隨施隨受有原先後無時先後也非如寒熱燥濕之類漸及于物力盡而止
　　原光以直徑發照為最光因而旁及者為次光　日光正照以直線至於物體則為最光有物隔之旁周映射則生次光如雲之上日體所照最光也雲之下不復見日而猶有光是次光也
　　滿光者原光之全體所發少光者原光之半體所發　日未全出地平上所生光為少光全昇在上則生滿光日食時未全食則存少光既以復圓即得滿光
　　景之四周有最光遶之即景為次光　以景為明者誤也以影為暗者亦誤也稱景為明暗之中庶幾近之葢全無光乃為暗今至夜子初人在地景至深之中去最光極逺而近目之物尚能别識即見景中猶存微光不失為次光也
　　最光所不及為初景次光所不及則為次景　　景與光并行光漸微景漸厚故次景與最光相反若初景即次光也
　　最光全不及之處則為滿景若受正照之微光即為缺景滿景與光正相反無景之極則為滿光無光之極則為滿景假如甲乙為施光之物丙為暗球從甲出正照之
　　光過丙球左右其切丙之界者得甲戊及
　　甲己從乙出光又得乙戊及乙丁其庚戊
　　辛為最光全不及之處則滿景也若庚戊
　　辛戊以外則甲乙光體之多分漸照之至乙丁甲己乃全光之界即自戊至丁至己丙球之景漸薄以趨于盡矣太陽光照月及地第一
　　日月地三球體大小不等地為靜體日月則有諸種行度則有髙庳内外其去地去人逺近不等法當以大小之比例及其相逺相近之比例推其施光受光之體勢乃得景之體勢因而得交食之體勢葢交食者生於景景生于光不尋其本而求其末無法可得其説五章
　　一曰有兩球于此一為暗體一為明體而小大等即明者以半面施光暗者以半面受光　如圖甲為明球乙為暗球小大等即其徑丙丁及戊己各與甲乙線為直角
　　而丙丁與戊己等即甲丙甲丁
　　乙戊乙己與甲庚乙辛皆以半
　　徑相等而丙庚丁半球與戊辛
　　己半球亦相等今于明球之旁從丙從丁出兩切線至暗球之旁戊己戊己與丙丁為平行線即丙戊與丁己亦平行線也〈見幾何一卷三十三題〉　又因丙戊乙及丁己乙俱為直角即戊丙甲及己丁甲亦俱直角〈見幾何一卷二十九題〉即丙戊丁己線不能割兩球而止切兩周于丙于戊于丁于己其所抱為丙庚丁為戊辛己是甲乙兩球之各半也若日月地三球相等而月與地皆以半面受太陽之光如上所説則定朔日食半地面宜皆見之安得復有南北不等食分望日太隂全食時纔食既即生光安得復有食甚時刻及既内分今皆不然可見三球無相等之球
　　二曰明體大暗體小則施光以小半受光以大半　如圖
　　甲為明球乙為暗球作兩
　　切線為丙己為戊庚從四
　　切㸃作横線為丙戊為己
　　庚甲既大球即己丙戊為
　　鋭角丙己庚角為鈍角如
　　曰不然或皆為直角即庚
　　戊丙戊庚己亦皆直角兩切線必平行而乙球與甲球等〈見幾何一卷二十八題〉必不然也或己丙戊反為鈍角而丙己庚反為鋭角即兩切線不能相交于癸又不然也今以兩切線相交于癸明己丙戊為鋭角丙己庚為鈍角即于丙丁戊弧内作負圏角必鈍角矣于己壬庚内作負圏角必鋭角矣〈見幾何三卷三十一三十二題〉故丙丁戊施光者不及半圏己壬庚受光者又不止半圏也因此推知太陽照地及太隂必各照其大半而暗體所隔之日光漸逺又漸歛漸進以趨于一處即景居暗球之背不得不為角體之形矣又因此推求望日先後人目所見太隂受日之光不長不消者久之而後生魄此為何故葢亦因月體以大半受光以小半入于人目光不輒轉而魄未遽見故未望時已見全光已望後猶未失全光矣
　　三曰明體小暗體大則施光以大半受光以小半　如前圖反論之可明太隂何以照地而地何反隔日之光也
　　四曰大施小受愈相近則施者之小半愈小受者之大半
　　愈大　如圖丙為小暗
　　球甲與乙皆大明球作
　　庚未直線過三球心以
　　交于左右切線其乙球之兩切線交于午甲球之兩切線交于未即庚未長于乙午而庚丁未與乙辛午兩角庚丁與乙辛兩線皆相等則庚未線與庚丁線之比例大于乙午與乙辛而丁庚未角大于辛乙午角也〈見幾何五卷八題〉又庚未線過三球之心必截丁己辛癸兩線為兩平分而庚甲丁乙子辛兩形内之甲與子皆為直角則其餘庚丁兩角并乙辛兩角并皆等一直角卽兩并率等〈幾何一卷三十二題〉兩并率之甲庚丁角大于子乙辛角各减之所存庚丁甲角必小于乙辛子角矣次以庚丁甲及乙辛子不等之兩角各减庚丁未及乙辛午相等之兩直角所存甲丁未角更大于子辛午角又丁戊己弧内作負圏角必等于甲丁未角辛壬癸弧内作負圏角必等于子辛午角辛壬癸弧之負圏角既小于丁戊己弧之負圏角則辛壬癸弧必大于丁戊己弧〈幾何三卷三十一三十二題〉夫辰寅已與辛壬癸相似之弧也丑寅卯與丁戊已亦相似之弧也〈大小圈左右各有切線其切㸃過分圈之線其所分大小圈分各相似其大小兩弧亦相似〉即辰寅已弧亦大于丑寅卯弧可見明球在近比在逺者尤能照小暗球之多分也　因此推知日全食而視為大者日體去月體逺故也日全食而視為小者日體去月體近故也何以分逺近日與月俱有自行圈與地不同心其行于自行圈之上下為最髙最庳則為距地之逺近因生景之大小也日既全食矣又何以分大小月掩日至既有時晝晦恒星皆見蟲飛鳥棲此為全食而大月在日内從中掩蔽雖至食既而其四周日光皆見厯家謂之金環此為全食而小矣若然者日與月與地相去或逺或近之所繇生也
　　五曰小施大受愈相逺則施者之大半加小受者之小半漸大　如圖甲乙皆為小明球丙為大暗球乙去丙逺
　　于甲作各切線過三球心
　　之直線皆如前次從暗球
　　心丙至各切作丙丁丙
　　已丙庚丙辛各半徑得丙丁為丁壬之垂線丙庚為庚癸之垂線而丁與庚皆為直角丙丁與丙庚兩線又等
　　則丙癸線與丙庚半徑之
　　比例大於丙壬與丙丁而
　　丙庚癸角又大于丙丁壬
　　角也〈幾何五卷八題〉依顯丙辛癸角亦大于丙巳壬角以并前率為庚丙辛合角亦大于丁丙巳合角而其弧庚戊辛必大于丁戊已可見小明球照大暗球愈遠愈照其多分也今依本圖設丙為地外切線〈癸辛也〉以内為地景〈日光過丙大球所出景〉甲乙兩小球為月體其兩小球之小大既等則同以外切線為外光之界或為内景之界惟因月體循本輪行時居上周如乙則去地逺時居下周如甲則去地近以是月食之分數有多有寡月居影厚處如甲左右則食多月居影薄處如乙左右則食寡故曰月食有多寡者亦相距或逺或近之所繇生也
　　景之處所第二
　　凡光以直線照物體其無光之處則有景之處也欲于交食時求影所在理不異此葢月與地能出景者不在其受光之面或其左右必于受光反對之面日光不照之地在日食則為月景之處在月食則為地景之處矣説二章
　　一曰景與光所居正相反　暗體得光于此面射影于彼面是景之中心與原光之心暗體之心㕘相對如一直線則暗體隔光于景使原光之心恒居一線之末界其正相反之彼界其景之心在焉如曰不然設原光在甲其照及乙乙為暗體隔光生景據云景不射丙〈丙者與甲正相
　　對之處〉為甲乙丙直線而斜射丁則乙
　　甲丁者角也有角則有幾何凡幾何
　　皆分之無窮能出直線至于無數而皆至乙丁邊夫甲既為原光之體其所照必以直線出之〈試諸儀器足以為證〉即乙丁皆在受光之地何自能為乙暗體之景乎因此明景與光正在相反之兩界論暗體者其受光之面必向光所出之原界其生景之面必向景所射之彼界亦正相反也論日與月獨至兩交之處而有食亦依此理
　　二曰明暗兩體任一運動景隨之移　試以暗體移動其所借之光隨處不一即所生之景亦隨處不一蓋景與光既如一直線即暗體所居定為景之末界如直線之首首移而線尚不移則是曲線非直線也又試以明體移動設甲為明體乙為暗體乙丙為影則甲乙丙如一
　　直線如曰明體甲移至丁丁仍
　　照乙而乙尚射景至丙則丁乙
　　丙猶直線也有是理乎
　　問太陽照室僅通隙光光照墻壁奕奕顫動太陽既自順行墻隙仍無遷變則此顫動為從何來或者光與景未必定為直線而能微作曲勢乎曰西古博物者亞利斯多言空中嘗有浮埃輕而不墜微而不顯莊周氏謂之野馬或亦稱為白駒幽室之内原光既微次光反厚即顯此物在于光中紛入沓出能亂光景之界使目視景絪緼浮動而寔非景動乃景之界線為浮埃所亂致使其然也更以氣為證今觀太陽出地地面以上多生𫎇氣氣在日體與人目之間即見日之光界亦如顫動非獨日也日中晴朗切視地面光耀閃爍如波浪然熾炭在罏炭之四周火光𤍞𤍞亦如顫動凡若此者一皆繇氣而生在日在地在炭固無顫動之理是以景必繫于暗體如輪必繫于樞軸光上景即下光東景即西必相對也無相就也故太陽照地其光繞地一周則景在其相衝之界亦繞天一周葢日光從其本天直射至於地面而景在地之彼面亦直射至于月天苐日體常依黄道中線則地景亦常依黄道中線而月行常出入黄道中線之内外是以月體與地景不得恒相遇合大都不合時多合時少故日月不食時多食時少以此景之形勢第三
　　求食分之幾何必先求景之幾何景幾何者以日月地之大得景之形勢以日月地相距之逺近分數得景之變易大小分數也此所論則景之形勢後考其變易之勢得景分以定食分焉凡二章
　　一曰二體相等其影平行而無窮明小暗大其景漸展而無窮　論相等者證以平行之切線也如圖甲乙兩球
　　等丙己丁戊為兩球之切線與
　　兩球之徑丙丁己戊遇于切㸃
　　皆為直角則互為平行線又球
　　等即徑之長短亦等以遇丙己
　　及丁戊無不為平行線也〈幾何一卷三十三題〉若兩球之周遭切線無數皆同此論則引之至庚辛以迨無窮終平行終不能相遇而其形為長圓柱之無窮體
　　論明球小于暗球則推以三角形相似之比例也如圖乙丙為小明球丁戊為大暗球兩球之切線丁乙及戊丙引長之過小球必相遇于甲成甲丁戊三角形又從丁戊底作己庚平行線在大球之外成庚甲己三角形
　　與甲丁戊相似則甲己庚角
　　與甲丁戊角相等其各邊各
　　角皆相似而甲丁與丁戊若
　　甲己與己庚也反而更之己庚與丁戊若甲己與甲丁也甲己長與甲丁則己庚亦長與丁戊愈逺愈長可見大球之影漸逺漸拓矣〈幾何六卷四題〉更論丁戊線之内外角則在内者為鋭角在外者為鈍角故引切線向内過小球必相遇引之向外愈逺愈拓終不相遇而其形為無限長無限廣之角體又因兩球所居逺近不同景之張翕隨而變易故兩球相近即乙丙底線為小其景愈狹而乙甲丙角形愈短兩球相逺即底線為大其景愈拓而角形愈長也
　　今驗諸日食有食分同而所厯時刻不同者月景之在地面廣狹不同也月與日㑹月在日與地之間或月近地而日在逺則目之見界過月周至日體其界廣日過遲其見食時刻多或月逺地而日反近則目之見界過月周至日體其界狹日過速其見食時刻少也姑以前圖明之目在甲乙丙為月體丁戊為日體切線甲丁及甲戊為目所見之界若日在近為丁戊即從丁過戊道近行速其食時寡若在逺為己庚從己過庚道逺行遲其食時多皆太陽有不同心圏而太隂又有小輪所繇生也
　　二曰日月地三體大小不同　凡暗體出角景者施光之體必大于暗體否者其光不能照暗體之大半而使其景漸小以趨于盡也試觀月食時月體近地則入大景逺地則入小景愈逺愈小必至于盡安得不信日體大于地體乎設謂日體與地體或等則景宜亦等或小則宜漸大又當皆為無窮之景遇望時月體必不能出大影之外不應有不食之望矣有不食者是地景之益逺益鋭也月食於地景之中又有全而且久者是月徑更小于景而景小于地也地景之逺而益鋭者是日大于地也此以景理推論三體之小大畧可明矣若又以日體之大推月地之景則更有法可考其大小之比例也昔人因太陽照地所生之景及其逺近其視徑時時不同又以較于他體得其實體之大説見月離厯指中此獨用視徑定食時刻分之數其論實體為景與食之原畧舉一二如左
　　幾何原本論三角形于一邊之兩界出兩線復作一三角形在其内則内形兩腰并之必小于相對兩腰而後兩線所作角必大于相對角如圖甲乙為太陽之徑丙為目從逺視之丁亦為目從近視之此所謂内外兩三角形也今先以線論因内形之甲丁乙丁兩腰小于相
　　對之甲丙乙丙兩腰則所
　　作丁角比相對之兩角亦
　　近于共用之甲乙底近則見大故丁目視甲乙日徑必見大于丙目所視之甲乙徑也次以角論因内兩線所作丁角大于相對丙角則此内角所對線亦似大于外角所對線而丁目所見之甲乙大于丙目所見之甲乙也此太陽視徑不同之縁也
　　求太陽實體之大第谷設最髙最庳之中處得其距地一千一百五十地半徑全數十萬其半徑一十五分三十秒得正四百五十一以三率算法推其全徑得地之全徑五又七十五之一十四如三百八十九與七十五也又以其徑與其周之比例得太陽體之立方五千八百八十六萬三千八百六十九地球之立方四十二萬一千八百七十五其終數得一百四十弱為太陽大于地之倍數也此其照月照地生角體鋭景之原也景之作用第四
　　月與地若各以其景相酧報然如月望則地景隔日光令月不受照有時失滿光有時全失光也至月朔則月體隔日光令地不受照有處射滿影有處留少光而已説三章
　　一曰月食于地景　月食在望縁日月相對其理明矣獨謂闇虛為地景者或致疑焉今解之月對日受光藉非日月之間有不通光之實體為其映蔽則何繇阻日光之直照若天體及空中之火空中之氣皆通明透徹不能作障使月失光也即金水二星亦是實體有時居日月之間然其景俱不及地况能過地及月乎則知能掩月者惟有地體一面受光一面射景而月體為借光之物入此景中無能不食半進而半食矣全進而全食矣
　　二曰日食者月掩之　恒言月在内去人近日在外去人逺故定朔時月體能掩日光是已苐金水二星亦皆時在日内又皆不通光之實體水星雖小金星則大于月也何獨月能食日乎曰二星雖有時在日内則去人甚逺逺則視徑見小不能掩日百分之一二而日光甚盛所虧百之一二非目力所及且二星比月去日更近所出鋭角之景更短不能及地面也若月體之大雖不及太白而去地甚近去日甚逺一指足蔽泰山又何疑乎由此言之求一實不通光之體全掩日體者惟月為能又自西而東不及三十日而周其行度較于諸天最為疾速故每望定朔皆同經度皆能有食其不食者繇距度不及交耳
　　三曰因景之徑生多變易　月以距度廣狹為食分多寡一因去交有逺有近去黄道中線有正有偏一因入地景有淺有深故也今論其全食者而大小遲疾猶多變易曽非一定葢日在自行本天月在小輪相距逺近往往不等日距月近較距逺時更照月體之多分從月體出景更短其景至地更小則日雖全食月體見小厯時亦速也日與地亦然以兩體相距之逺近為地景之大小使月食時入于地景在其近末之鋭分則闇虛之體見小食分少厯時速皆因三體之相距逺近以生大小遲疾地景月景皆無一定之徑致令隨時變易如此若月景地景二徑之小大又自不等故日食盡于食既而月則食既以後尚有既内餘分葢地景大于月景故兩食皆全其虧復遲疾無能不異矣又月食天下皆同日食則否日食則此地速彼地遲此地見多彼地見少此地見偏南彼地見偏北無不異也月食則凡居地面者目所共見其食分大小同虧復遲疾同經厯時刻同唯所居不同子午線者則見食之時刻先後不同耳葢月一入景失去借光更無處可見其光也又槩論天下日食應多于月食為二徑折半其近交時加以南北視差易相逮及故論一方則日食應少於月食為月食共見日食因地故〈見後卷詳之〉
　　月在景之光色第五
　　月既暗體當全食時一入地景遂應失其借光非復人目可見也葢可見之物悉無原光必借外光以顯其象無外光即無從見有此物安從更顯物色乎今月居厚影尚有微光可見更發色象或赤色或青黑色或襍色此何從生今畧解之凡三章
　　一曰月不獨食于地影　論通光者有二體一謂物象遇甚徹之體易于通射比于發象元處更加透明則形若開而散焉一謂物象遇次澈之體難于通射比于發象元處少襍昏暗則形若歛而聚焉其遇甚徹者如舟用篙艣半在水中發象上出出於水面所遇空明氣之光甚澈之體也則其象散而斜射視之若曲焉其遇次澈者如太陽入地平下其光照地旁本宜直上乃所遇清𫎇之氣次澈之體也則其象合聚而射于地面凡地平以上皆得其次光為朦朧焉〈即昧爽黄昏亦曰晨昏〉此兩者皆以一物經繇兩體其勢曲折皆謂之折照〈若一物在一體之中以一直線入目謂之直照〉夫同是日光也在地面之上能折入于地景之根際則自地面而上何獨不能折入於景之中際至月體經行之處乎如圖甲為太陽乙為地球藉非清𫎇氣能迎太陽之光而成折照則宜從子出光至丙從丑出光至丁切地面徑過而復合于庚為地景鋭角也今不其然因清𫎇氣周遶地球日光至丙至丁遇其次澈之


　　體難于透射則曲而内聚止于戊己地面矣而大圜中大氣無不受日之照光光在壬癸者遇于𫎇氣即内歛至于卯辰此為初折從卯辰切地而過若遂以直線引之即復合于辛成卯辰辛襍線三角形為地之滿影自此以外全景之中皆得太陽折照之光與朦朧次光相類而實為初景能食望月之滿光也欲求滿景之長姑先依初折之光引直線復出于𫎇氣之外〈姑先云者不宜遽引直線也葢初折之光至於卯辰既抵地面又復内歛謂之次折則兩線之交尚在辛㸃之内今云然者姑先明初折之理約定乙辛之數如太隂之言交泛言平朔言本輪也其次折之理次二章詳言之求辛㸃以内之定距率矣〉而借第谷所測清𫎇差與多禄某所定地景角之大得辛辰庚角三十四分〈近地平之氣差大率如此〉得卯庚辰全角二




　　十五分三十六秒半之為辛庚辰角一十二分四十八秒其相對之外角乙辛辰為四十六分四十八秒〈辛庚辰辛辰庚相對之兩内角并〉次乙辛辰三角形其乙辛辰角既得四十六分四十八秒乙辰辛為切線與垂線所作角必直角此直角與乙辛邊如乙辛辰角與乙辰地半徑即得乙辛短線長于地半徑七十三倍若論地之全景乙庚線尚長三四倍也夫月食於地景必依其景之體勢顯其食之貌象今全景之中既以地景兼𫎇氣之景則并有初景有滿景月入于中隨其所至變易光色無足異矣或曰從古論食月者全屬地景今云不止地景而更加之氣景此為全景方之地景不亦愈長愈廣乎則從上古以來以地徑度月體過景之數以地徑定日月之視徑以地徑較日月之兩髙以地徑求日月之去地逺近悉皆乖舛而當更定新率然乎抑否乎曰不然所論𫎇氣之景謂太陽之光因于此氣能令全景之中分别厚薄變易景中之色象非謂地之徑因景而加大也譬如眼鏡本無厚之體徒以變易物象顯其用耳且氣景之于地景亦何能加長加大乎計清𫎇出地之髙不能過極髙之山極髙之山測其垂線不能過千四百步大地之徑則三萬里以髙山之步數化為里數而較地徑則五千分之一耳此氣之厚何能加于地徑而云設此論者有妨於地徑測量之法乎
　　二曰月體當食而成赤色是氣景所生　月全食時其光色往往更迭變易其初食既與未生光當此二際則成赤色夫月入地景果必失光宜為純黒不應復顯他色今赤色者得無是其本光乎曰次光之物惟無光之處能顯其光一遇大光之體則次者之光泯矣今以地景言之月居其甚厚之際即甚逺于大光果有自體之光於此尤宜顯著乃今測之則在淺見盛在深見微可證食時所見非月體自有之光也故應論定月能食于氣景如上所説矣然食時亦能變易諸色何以獨言赤色試觀太陽下照地面受之論其本然皜明無色日地之間或發昬𫎇之氣即地面所見時轉為黄時轉為赤皆因所遇之氣如玻瓈映目色青見青色緑見緑也今日照地旁照光所過清𫎇之氣因於斜穿而成厚體月體所顯光色尤深成為赤色矣試論其所以
　　視學家有公論凡象斜射次澈之體以垂線為主曲折通之初入則聚折而向于垂線既出則散折而離于垂線也何謂垂線葢于澈體之面過受形之㸃作線下垂
　　則是折照所向所離之線如圖圓
　　體甲戊乙方體甲丁戊皆次澈也
　　當其面有斜照之光在丙至甲㸃
　　而入至乙㸃而出則甲丁與丁乙皆為垂線照光至甲㸃而入必聚而折向于甲丁垂線至乙㸃而出必又散而折離于乙丁或乙壬垂線若言光至乙㸃出或不照庚而更照己則是返照之光非折照之光也依此申言上章所推地球滿影之長如圖太陽之光遇于𫎇氣從壬癸折入作壬卯癸辰線為初折又從卯辰折出作卯
　　午辰未線為次折以復合于己别
　　生午己未雜線角形乃因乙己未
　　角生己未辛及己辛未為外兩角
　　并之得乙己未内角一度二十○分四十八秒今設從滿景之角己出切線至地球辰得乙己辰直三角形則因乙己辰角一度二十○分〈乙己辰角比乙己未角差數甚微畧得四十八秒故以算景之長不論為數〉如前比例得地滿景之心長于地半徑四十三倍比月最庳之入景處近地一十一地半徑也〈月最庳入景五十四最髙入景五十八〉今圖月在景之形勢地球為甲乙内圏其四周有氣為丙乙圏氣外切邊之光復合于卯是為全景透氣之光自丙至戊因戊以上所照必聚而止于地面無從透達也則光至丙為太陽之外邊所照光


　　至戊乃其近中體所照以丙較戊更斜從庚而來入氣處更曲從辛來之光己透氣而復出更直故令丙丁線割戊己線于壬為丁己壬角形是為次光又為初景其角形周遭為環體抱滿景而居全景之中也丁己壬角形既盡于壬而又展開至癸左右相交至丑寅愈逺愈拓復出乎影矣則丁己壬以内壬丑寅以内皆初景之

　　所居也因此設月體為子入景正初景展拓之處月食既正在其中將復光亦如之是故兩時皆顯赤色食甚離于次景入于滿景乃變青黒矣
　　三曰月體當食而成青黑色是借光所生　月居食甚之中時顯襍色時但青黒皆須因光而見若并無光當純黑色也前已言既入此界即無太陽入氣折照之光則所繇見色者意或月體自有微光乎曰凡襍色之映見皆不繇于純光純光自當無色也雜色所從著見者必因濕氣居其中間如虹霓是己若虹霓是濕雲所映無從可證試以玻瓈瓶滿貯清水别為宻室止穿一隙以達日光瓶水承隙則光透墻壁亦成虹霓大氣之體本是熱濕因於地氣時重時輕若太陽之光從地旁過而地景在濕氣之中則月體所至生種種色亦此理矣若青黑色月在滿景多見之則因去光最逺所得希微之光不足顯其本體故光色近于純黑果絶無光又不能顯此色矣苐所謂希微之光者實非本光如前言人在地景最厚處天光尚映照之近日之物畧能别識若月食時則受光之天去月體最為切近而諸星環遶四周皆有借光可照月體較人在地面尚為景之薄處豈得無微光可借聊顯色象乎何必假此疑為自有之本光問合朔以後月之下半未受日光而月體微光亦顯青黑之色若無本光此光又何從而生曰生明以後魄顯微光然能去離月體足知其非本光去離者未至上此光漸消漸不可見也若寔為本光則上下前後深夜視之比朔後之月尚近太陽者尤為窈黑其本光愈宜顯著今為不然深夜即無初昏即有其為此時地面反照之光甚易明矣〈此論月為暗體絶無本光與月離厯指四卷第二十六所論不同葢西土原有此二説不妨互存之〉
　　日月食有定時第六
　　日月交食皆有定時者在月則因地景在日則因月景景之推移既隨日躔所至終古不爽又月行本道所距黄道度分亦有定法是以一在定朔一在定望當食必食多寡先後上下千百世可知也説二章
　　一曰日食恒在定朔月食恒在定望者何也地球在天心故也驗諸日食必兩曜同居一線而月在地與日之間正隔日光于地又驗諸月食令日月不相望于一直線兩界之末則終古無食也設地不居天中或偏近于黄道之上下左右則食不在半周而月食之衝非太陽所在矣〈古法以月食衝簡知太陽所在〉　如圖甲為地從甲心作乙丁丙戊圏為宗動天之地平則甲必為天之心也何者從乙出直線至丙丁至戊亦如之乙為東並為鶉首初度丙為西亦為星紀初度丁
　　為鶉火戊為𤣥皆初度也則有視學之公論三其一曰目所視物必從直線乃見之使目在甲能徧見乙丁丙戊即甲乙甲丁甲丙甲戊皆直線也其二曰若光從一窺表出能射黄道正相對之兩㸃必為徑線此乙丙及丁戊能過甲亦如光過窺表甲能至黄道鶉首星紀等宫正相對之初度則乙丙及丁戊必為本圏之徑更試測日月定望時得並在地平此出彼没若距度同即日月畧居其一徑之兩末則乙丙及丁戊為圏徑無疑也其三曰凡圏中有多徑線交而相分其兩分線必等此兩徑乙丙及丁戊交而相分于甲即甲乙甲丙甲丁甲戊線皆相等又幾何一卷第十七三卷第三界説皆言圏中一㸃所出多直線至其界皆相等即此㸃定為圏之心今甲㸃出甲乙甲丙等直線至乙丁丙戊各界諸線皆相等即甲必為本圏之心因此推之地球在天之心甚易明矣
　　二曰食之大小疏宻因月距度昔人測日月食必在正中二交月體去交漸逺則食分漸少以至無食何也月以本體掩日而日為之食又以本體入于地景而自為食故恒言日月地居一直線之上則食偏則否三球之所以偏者有二一則日體恒行黄道中線地景恒在其正衝度分一則月行常出入黄道中線是故有時不入地景則食與不食皆因月行本道與日與景之距度多寡而已若其距度較日月景之二徑折半或大或等者必不食也小則必食也愈小則食愈大也但月與景之二徑折半大不大過一度日與月之二徑折半止三十餘分耳故兩交左右之距度或在陽厯或在隂厯各有食限不入食限者雖遇朔望無縁相及故一歲之中不能多有食矣即入于食限而去兩交有逺有近則其距度有廣有狹即食分有寡有多相因致然不能齊一也日月食合論第七
　　日食與月食不同勢食日謂之障食食月謂之藏食何謂障食日為諸光之宗月與星皆從受光焉月之食日非真食日也定朔則地與月與日自下而上為一線相㕘直月本暗體今在日與地之間以暗體之上半受光于日以下半射景於地如屏蔽然特能下揜人目而不能上侵日體日之原光自若也是故人見為食而實非食也何謂藏食定望則日月相對日光正照之月體正受之人目正視之若于此際經度相及適及兩交日與地與月亦為一線相㕘直而地在日與月之間地既暗體以其半體受光于日以其半體射景于月若月體全入于景中則純為晦魄必待出於景際然後蘇而生明如没而復出者然是則可謂真食也總之日月兩曜若同行一道之上則每朔每望無不食矣日月地三體若并不居一直線則永無食矣惟各行於一道時及於兩交故日與月皆隔五月而一食或六月而一食歲歲大率有之不食者半食於夜日食則此方所見他方所不見耳其食也日體恒居一直線之此界其彼界則月體地體叠居焉月居末界即月面之日光食于地景矣地居
　　末界即地面之日光食于月
　　景矣如上圖甲為地己為日
　　卯辰圏為黄道乙丙為白道
　　其大距〈兩距之最逺〉五度弱〈二分〉丁
　　戊為兩交〈即龍頭龍尾亦名羅㬋計都〉論
　　月食日照地球其光自庚辛
　　至地切兩旁過之而復合于
　　壬自甲至壬角體之形為地
　　景地景之心恒隨太陽而行黄道中線若躔處去兩交逺二徑折半小于兩道之距度分月行本道從旁相過不能建及則不食矣若正遇于兩交或交之左右二徑折半大于二道之距度分則兩相涉入月為之食其食分多寡在距度廣狹距度廣狹在去交逺近也論日食則人目所見恒在地面推得實㑹仍須推其視㑹若僅據實㑹則是地心之見食非地面之見食凡有無多寡加時先後悉皆乖失矣如圖丁為月或正居于兩交或在交之左右日月二徑之各半合之小于距度分則月能掩日日為之食不然則不食也所謂實㑹視㑹兼推則合者地面所見推食于地平以上至天頂之正中則獨推實㑹便為視㑹自此以外地面所見先後大小遲疾漸次不同如圖人在地面癸依丁月之徑適滿太陽之庚辛徑則見為全食若人在地面子依丁月之徑乃見兩切線所至為己寅則月掩太陽止于己庚半徑見為半食矣大凡日欲食時月不能離躔道一度强自此以上無縁相涉故定朔之日有食時少無食時多也









　　新法算書卷六十四

<子部,天文算法類,推步之屬,新法算書>



　　欽定四庫全書
　　新法算書卷六十五　　　明　徐光啟等　撰交食厯指二
　　日月本行圖第一
　　日居本圏月居本輪行度參差因而有交食因而毎食不同此略圖二曜本行以明交食之原月離圖獨言朔望者交食時必在其本輪内圏之周也
　　太陽本行圖
　　甲為地球在天心其大小之比例難可計算略言之則地之與天若尺土之與大地也如圖外大圈為黄道與地同心内圏為太陽本天其心在乙乙之離地心依第
　　谷算為全數十萬分之三千五百
　　八十四約之為百分之三有半也
　　其最高今時在鶉首宫六度為丙
　　太陽右行從辛過丙一周天而復
　　于辛為三百六十五日二十三刻
　　三分四十八秒是謂歲實任躔某宫某度分皆以地心甲為主而地心所出直線至戊黄道指為太陽之實行其平行則又以本圜之乙心為主故人在地所測之實行時速時遲而太陽因最高在北任分本圏則北為大半故北六宫之日數多於南六宫幾八日有竒也
　　依此見求太陽之躔度必用兩法一者定其平行如隨乙丁己直線窺之從乙心見黄道上之己㸃二者定其實行如隨甲丁戊窺之乃從地心見黄道上之戊㸃先得其平行又以加减求實行而平實之差為戊己弧以甲丁乙三角形求之即得也其自丙過秋分至庚兩行之差必减平行而得實行自庚過辛春分至丙則加于平行而得實行若用表則從丙最高起算或從庚最庳起算至日體之本度為引數以求加减之度
　　太隂朔望本行圖
　　月離之術依歌白泥論有本圜有本輪有次輪本輪之心依本圏之邊滿一轉即次輪之心依本輪之邊得兩轉故朔望時月體皆在次輪之最近最近者近於本輪之心也因是不用次輪但以最近處為界得圓圏月離厯指謂為本輪之内圏此可名朔望之小輪也
　　假如丙丁戊為太隂朔望時之本圏則與地同心〈因無差故設為同心〉本輪為乙丙丁其心在本圜之邊甲右距日得每日十二度一十一分其最高在乙最庳在己月體則又居次之邊
　　左行自乙至丙而己而丁謂之
　　引數最外有黄道為辛庚若從
　　地心出直線上至黄道而次輪
　　心正居此線之上則所指者為
　　太隂之平行度分也又從地心
　　出直線上至黄道而月體正居此線之上則所指者為太隂實行度分也凡月轉或在高或在庳正當一宫初度〈乙也〉或七宫初度〈己也〉則平行即是實行過此必有兩行之差則以差數加减于平行度分得其實行度分又月在乙丙己半轉則以减得之若在己丁乙半轉則以加得之以在朔望故平實行相距之極大差不過四度五十八分二十七秒〈甲丙甲丁是也〉過此為兩之差則更少與交食無與月離厯詳之若用不同心圏論則并不用此本輪其加减平行度分而得實行度分理則一也因日月以平實分本行故平朔平望時兩體未必正相合正相對凡實㑹之或先或後日月各以其平行直線相遇而合為一直線則是中㑹實㑹中㑹視㑹第二
　　測天約説言日月之行有隅照〈相距三之一〉有方照〈相距四之一〉有六合照〈相距六之一〉然悉無交食而獨相㑹〈朔也亦名合㑹〉相對〈望也亦名照㑹〉則能有食故本篇所論者止于相㑹相對也抑㑹者總名也細言之有實㑹有中㑹有視㑹三者皆為推歩之原故言交食之術必先言相㑹相對言相㑹相對之理必從實㑹中㑹始
　　實㑹中㑹以地心為主
　　實㑹者以地心所出直線上至黄道者為主而日月五星兩居此線之上則實㑹也即南北相距非同一㸃而總在此線正對之過黄極圏亦為實㑹葢過黄極圏者過黄道之兩極而交㑹于黄道分黄道為四直角者也則從旁視之雖地心各出一線南北異緯從黄極視之即見地心所出二線東西同經是南北正對如一線也是故謂之實㑹若月與五星各居其本輪之周地心所出線上至黄道而兩本輪之心俱當此線之上則為月與五星之中㑹日無本輪本行圏與地為不同心兩心所出則有兩線此兩線者若為平行線而月本輪之心正居地心線上則是日與月之中㑹也葢實㑹既以地心線射太隂之體為主則此地心線過小輪之心謂之中㑹矣若以不同心圏之平行線論之因日月各有本圏即本圏心皆與地心〈即黄道心〉有相距之度分即日月循各本圈之周右行所過黄道經度必時時有差〈與地不同心故也〉其從地心出直線過日月之體上至黄道此所指者為日月之實行度分也設從地心更出一平行直線與本圏心所出直線偕平行而上至黄道此所指者為日月之平行度分也葢太陽心線與地心一線平行太隂心線亦與地心一線平行恒時多不相遇至相遇時兩地心線合為一線則是日月之中相㑹若太陽實行之直線與太隂實行之直線合為一線則是日月之實相㑹合㑹望㑹皆有中有實其理不異
　　先依小輪法作圖甲為地心亦為黄道心亦為太隂本圏心〈太隂與地同心者為用本輪故葢本輪周即太隂圏心繞地心之周其理一也〉乙為太陽本圏心〈與地不同心〉太陽在丁太隂在戊甲戊丁線直至黄道圏得辛指日月實相㑹之度如太陽在丁太隂亦在甲辛直線上為庚而此線至黄道圏得丙即指日月實
　　相望之度若太隂在癸與太陽
　　不同一線之上乃過月本輪之
　　心己而至黄道壬此直線所指
　　則日月中相㑹之度也如月在
　　庚從地心出平行線甲子與甲
　　壬太陽平行為一線而至黄道
　　子亦指日月中相望之度矣
　　次依不同心圏法如後圖黄道與太陽之本圏皆同前獨太隂無本輪而易為本圏其心與地心不同在甲乃
　　在丙此亦以日月並居一直線
　　為實㑹如太陽在丁太隂在本
　　圏之邊戊地心所出甲戊丁線
　　至辛則所指為實㑹而正對月
　　體至黄道寅則所指為實望若
　　中㑹中望則以平行線為主葢
　　甲壬為地心所出直線既偕太陽本圏心所出過日體之直線乙丁為平行線又偕太隂本圏心所出過月體之直線丙庚為平行線則是兩偕行之直線合為一甲壬而至黄道故所指者為日月中相㑹之度也其至相對之黄道上為癸則所指者為日月中相望之度設過此交㑹之時太隂在丑則月圏心出者為丙丑線地心出者為甲己線兩線自偕為平行而甲壬與乙丁自偕為平行甲壬甲己不得合為一線矣故地心所出之兩偕行線能合為一甲壬者必指中交之度為日月相㑹之共界也
　　實㑹中㑹相距無定度
　　日月本圏各與地不同心故兩圏心所出直線各與地心所出直線雖恒為平行線而又與地心所出直線其相距廣狹恒無定數設日在本圏之最高月在本圏之最庳其實行所至即平行所至則中㑹即實㑹矣或太陽在最庳太隂在最高或兩最高兩最庳在黄道上同度則中㑹實㑹亦皆無距度也惟日月去本圏之最高及最庳右行漸逺則地心所出平行直線漸相去至半圏周則甚相逺而為實中兩㑹之相距最大差
　　假如甲為太陽之最高乙為太隂之最庳若太陽在甲太隂在乙即兩本圏心及地心所出直線上至黄道皆
　　合于甲乙線則實㑹無分于中
　　㑹也若太陽至丙太隂至丁去
　　最高各不甚逺則地心所出辛
　　平行線距本圏心所出直線亦
　　左右稍逺即中㑹亦稍遠于實
　　㑹矣又使太陽在戊太隂在己
　　則三直線相距更逺而實㑹中㑹相距亦更逺此則以太陽之引數九宫二度得戊辛弧二度三分一十五秒應减以太隂之引數八宫二十八度得辛庚弧四度五十八分二十七秒應加依法合之得戊庚弧七度○一分四十二秒為太陽太隂實㑹相距數
　　實㑹中㑹互相隨因有變易
　　實㑹與中㑹多不同時或中㑹在先實㑹在後或實㑹在先中㑹在後惟日月各居其本圏之最高或最庳或一居最高一居最庳則中㑹不分于實㑹〈因平行度乃正是寔行度〉即不用加减度分若彼此俱加于平行度或俱减于平行度而所加减之度分等則中㑹亦不分于實㑹也〈兩均數相减若俱等無所减故〉又依黄道右行論之使中㑹之時太陽之實行在前太隂之實行在後則實㑹在前中㑹必隨而在後〈月行速過中而得實㑹〉若中㑹時太隂在前太陽在後則實㑹必後于中㑹也〈實㑹之後月乃過中〉若太陽與太隂或皆在本輪中轉之半周〈從最高至最庳〉則兩曜所得加减度其一較狹者必在前也或皆在本輪正轉之半周〈從過庳至最高〉則兩加减度其一較廣者必在前也若其不同在最高庳之間而各居一半周則過最高者在前過最庳者反在後矣如圖太陽在本圏太隂在次輪外圏為黄道從地心出直線至黄道而過本輪心所指者為日月兩平行度之中㑹葢地心所出日月兩平行線合為一線也若地心線從中㑹線之左右過日月兩體而至黄道所指者為
　　日月之實行度而兩線
　　相距之廣即日月相距
　　之度法應化為時刻分
　　以加以减于中㑹乃得
　　實㑹也又日月平行同
　　在甲或在乙加减度不
　　同類〈一寔在前一寔在後〉則兩率
　　并之得日月相距之度若日月同在丙丁戊己加减度同類〈或都在前或都在後〉則兩率相减之餘為日月相距之度也依本圖論日月在甲則以太陽之加减度加于平行而得實行〈在前故也〉太隂則减之而得實行〈在後故〉其所差時刻則以加于中㑹得實㑹也〈月過中而逐及于日故〉日月在乙其加减度則太陽用减〈在後〉太隂用加〈在前〉其時刻則相减以得實㑹也〈既㑹之後月乃過中〉若在丙太隂之加减度大太陽小皆减之其時刻則加之以得實㑹〈月欲及日故〉若在丁太陽之加减度大太隂小亦皆减之其時刻亦减之而得實㑹〈月己過日故〉若在戊太隂之加减度大太陽小皆加之〈皆過中故〉其時刻則减之得實㑹〈月己過日故〉若在己太隂之加减度小太陽大皆加之其時亦加之得實㑹也〈月欲及日故〉總論之行度在中㑹前即當加〈甲日乙月戊己之日月〉在中㑹後即當减〈甲月乙日丙丁之日月〉時刻月實行在日後則當加〈甲丙己是〉月實行在日前則當减也〈乙丁戊是〉
　　推中㑹實㑹元法第三
　　日月同居黄道經度分秒不異是為正相㑹正相㑹者實朔也日月相距正得黄道半周分秒不異是為正相對正相對者實望也其推歩之法因二曜之實行度不同其實行之變易又時時不同故先以平行求得其中相㑹中相對而後漸得其實相㑹實相對焉苐中㑹之法以紀首〈甲子為紀首〉以每年每日每時之平行度分推歩易得耳實㑹法必用幾何術中三角形弧切割諸線非是則無從可得故今交食厯中所列諸表不過求中求實兩法而求實甚難不得不繁曲不得不詳密也
　　求中㑹
　　月行黄道視日行甚速其在後也能逐及于日其既及也又超于日前其在朔也有時隔日光于在下其在望也有時失光于地景求朔望法先定太陽之平行度分以求太隂距日之度分若同居黄道經無距度分秒則為朔若相距正得半周則為望外此則中㑹在先必减其己過之時刻而得中㑹若中㑹在後則加以不及之時刻而得中㑹
　　假如壬申年二月十六日癸丑日月相望求太陽平行其紀首為天啓四年甲子天正冬至後第一日子正時太陽在九宫○度五十一分四十五秒至本日癸丑午正時得中積時為八年一百三十五日六時用太陽平行度每年一十一宫二十九度四十五分四十一秒每日五十九分八秒二十微每小時二分二十七秒五十一微并得中積度為三千○一十一度三十八分四十七秒加紀首前宫度得總數滿平周〈三百六十度〉去之餘四十二度三十○分三十一秒為本日午正時太陽躔大梁宫之平行度分
　　次如前法求同時太隂中積度分一百二十九度三十七分二十二秒四十微每日一十二度一十一分二十六秒四十一微為太隂自太陽平行度分加紀首前十度一十七分三十六秒五十三微并得二千六百九十九度七分二十四秒滿平周去之餘五宫二十九度七分二十四秒為本日午正時月距太陽之經度分以减半用為不及者五十二分三十六秒未得正望求其時用不及度三十分二十八秒三十七微為一小時其餘得時四十三分三十三秒為正中望算外得未初二刻一十三分三十三秒
　　求引數
　　凡日月在最高或最庳其實行與平行無異外此則不同行而兩行相距又無定數故從最高右行指其平行所至黄道之弧為引數因之以求太陽太隂兩處所差加减度若太隂則從其本輪之最高起算左行為引數之弧也苐須先定日月在中㑹時之平行度如前太陽正午在大梁十二度三十分三十一秒一小時又行二分二十七秒五十一微尚未至中㑹須行四分一十五秒〈并小時〉得中㑹時刻以加前得數其中㑹平行度在本宫一十二度三十四分四十六秒其正相對為太隂平行度分則在大火宫矣若太陽平行度正合于最高則無引數亦無加减過之即相减不及則于平行度外加一平周〈三百六十度也〉而减最高餘為引數假如最高每年行四十五秒從甲子至壬申年三月得六分一十七秒以加于紀首之最高得三宫○五度五十六分五十八秒并得三宫○六度○三分一十五秒為太陽最高行度因太陽平行度在二宫不及加平周减之得十宫○六度三十一分三十一秒為太陽中㑹時引數同時依太隂每年之本行二宫二十八度四十三分八秒每日行一十三度三分五十四秒其中積得二千四百八十度五十九分五十三秒加入紀首前六宫一十七度四十六分二十三秒滿平周去之得五宫八度四十六分一十六秒為太隂壬申年三月中㑹時之引數也
　　求實㑹
　　法先求太陽加减度依前所得最高及平行作圖外圏
　　為黄道從春分向左計
　　其平行度從地心出直
　　線指之次從心又出一
　　直線至最高度線上任
　　取一㸃為太陽本圈心
　　從太陽圏心又出直線
　　與平行度之指線為平
　　行線至黄道更從黄道心〈即地心〉出直線過太陽體之心至黄道指其實行度也
　　如圖外圏為黄道其心甲出直線至丁即前所推太陽平行在大梁十二度又出直線至三宫六度為當㑹時之最高行度内圏為太陽本圏其心乙出直線過太陽至己更作甲丙直線引至戊指太陽之實行度即戊己弧爲加减度應推丙角用甲乙丙三角形如法求之如圖引數之餘弧為丁辛或己辛五十三度二十八分二十九秒〈止論角故異弧同度〉即丙乙辛外角也甲乙兩心之差為全數十萬分之三五八四今以線求加减度先依甲乙線作甲乙庚直角三邊形用句股開方求線其
　　比例為甲丙線與甲庚
　　丙角之正若甲庚線
　　與甲丙庚角之正得
　　一度三十六分五十五
　　秒為太陽加减度若用
　　切線則更省以全數加
　　兩心之差數得一○三
　　五八四恒為第一率又相减得九六四一六為第二率引數之角隨時不一半之而求切線為第三率如法求得第四率為切線查其本度分以减半引數餘為加减度若本圖則引數餘弧之角半之為二十六度四十四分一十四秒其切線五○三九○為三率如法得第四率四六九○三為二十五度九分四十一秒之切線以减半引數得一度三十六分三十三秒為太陽加减度也
　　次求太隂加减度按西厯近世名家先有歌白泥後有第谷從前所論㑹法兩家之説略同至論太隂則第谷之術更為精宻今先言舊法次言宻法
　　舊法曰如圖黄道内作同
　　心圏從太陽平行度越半
　　周而定太隂平行度之一
　　從心出直線至此㸃必
　　為本圏之過心線而指本
　　輪之心次從本輪最高左
　　旋查其引數又從黄道心
　　作一直線過太隂體兩線所至黄道間得一弧此弧為太隂之加减度也〈加减度即名均數〉
　　假如太隂平行度在大火宫正對太陽其引數自戊左行至丙未及半周月體在丙兩直線並出甲甲乙戊指平行度甲丙己指實行度戊己弧為所求加减度其求之者甲乙丙三角形也若用句股法則自丙至丁下垂線開方求得甲丙則甲丙線與甲丁丙角若丙丁線與丁甲丙角也如用切線則甲乙全數十萬本輪之半徑乙丙八六○○相加得一○八六○○相减得九一四○○又半引數求其切線如恒法即得均度之切線矣以此推歩交食未免微差第谷新法更為詳宻鮮不合者今諸列表悉用此術故應説其義指如下文
　　宻求實㑹〈第谷法〉
　　月離厯指論太隂
　　之本行故備晦朔
　　望此説交㑹故
　　圖説止于朔望也
　　太隂交㑹僅用三
　　圏一為本天一為
　　本輪一為次輪本
　　天即本圏也與地同心負本輪之心其半徑當十萬則本輪之半徑得五千八百從最高左旋負次輪之心如次輪心從最高丁行至己其自行度即表中所名引數用以求加减度加减度即均數也若本輪在子或寅則月體在庚自行在初宫初度或五宫末度則無引數可計亦無均度可求矣若本輪在丑則月體在丙自行得三宫初度為交㑹時之極大差欲得此數用甲乙丙三角形求之甲乙線為全數乙己與己丙相加得乙丙為八千七百甲乙丙角係自行之象限必為直角依前法
　　以切線求乙甲丙
　　均度角必得四度
　　五十八分有竒若
　　自輪在卯為十宫
　　月體在辛必用兩
　　三角形乃得均度
　　其一為甲卯辛形
　　所求均度為卯甲辛角形中特有全數無從得角宜先推卯己辛三角形形有本輪之半徑卯己有次輪之半徑己辛有引數餘弧之倍角卯己辛如法推得卯辛線及己卯辛角以减于引數得其餘弧之數為甲卯辛角因此可求卯甲辛角為均度也更論次輪之周月體循而右旋其半徑僅得本輪半徑之半以較全數得十萬之二千九百兩半徑并得八千七百為㑹時所用之數以推最大均度太隂在次輪從最近庚起算恒倍本〈輪行〉如丁己為本輪之一象限而太隂行小輪從庚至丙得半周是自行得半周太隂行全周故前言本輪在子在寅月體至庚悉無加减數也今依圖求太隂均度如前設得其自行五宫八度四十六分一十六秒距太陽半
　　周其經度在大火宫一十二度則
　　本輪在乙從地心引直線為甲乙
　　全數從乙出直線至自行之限丙
　　必與中最高線甲戊為平行線而
　　定引數為庚丙倍引數從最近右
　　旋得太隂在次輪丁從乙至丁引乙丁直線則得乙丙丁三角形其乙丙丙丁兩線為兩小輪之半徑乙丙丁角為倍引數〈辛壬丁是〉之餘角〈丁辛弧是〉即可求丙乙丁角與乙丁直線也又甲乙丁三角形欲求乙甲丁均度之角以切線算之宜先得己乙丁角以偕全數及乙丁線乃得其所包角矣法見下文
　　如圖求丙乙丁角倍引數〈辛壬丁也〉得三百一十七度三十二分三十二秒餘〈丁辛〉四十二度二十七分二十八秒為乙丙丁角其餘角〈乙丁兩角也〉總而半之得六十八度四十六分一十六秒其切線得二五七四三○為三率兩輪之半徑相加得八七○○為一率相减餘二九○○為二率算得第四率切線八五八一○其弧四十度三十八分以减前總餘角之半數得二十八度○八分一十六秒為丙乙丁角也次求乙丁線則丙乙丁角之正
　　〈四七一六○〉與丙丁〈二九○○〉若乙丙丁角之
　　正〈六七五○五〉與乙丁線算得四一二
　　九次以甲乙丁大三角形求均度先
　　得己乙丙角〈引數之餘未滿半周〉以加丙乙丁
　　角得己乙丁角四十九度二十二分其餘角〈甲丁兩角〉總而半之得六十五度一十九分查切線二一七五八二為三率以乙丁線加全數共一○四一二九為一率相减得九五八七一為二率算得第四率切線二○○三二○其弧六十三度二十八分一十七秒以减前六十五度一十九分餘一度五十分四十三秒為所求太隂均度與列表合
　　今以兩所得均度求實㑹時查圖視均度或以加于平行度或以减于平行度即見太隂距對處若干或過之或不及則以其相距之度分化為時刻依前法或加或减于中㑹時刻必近于實㑹時刻
　　如前推壬申三月月食其㑹時太陽之平行在實行後則以均度加于平行得實行太隂之平行在實行前則以均度减實行又以二實行相較見太隂視正相對不及者三度二十七分三十八秒化為二十七刻三分四十五秒以加前中㑹算外得實㑹在戌正二刻二分一十八秒
　　復求實㑹時
　　日月之兩實行變動不居非一圓形能盡其理幾何家欲徑測徑推無法可得故須先用平行以漸推其實行顧又非一推可遽合也蓋初用之引數其所指者中㑹之引數非實㑹之引數則其加减度所推實時特近于實時非正實時也法宜更求中實㑹之間日月自行度分依加减時法或加或减于前之平自行乃得次引數求其均度復查二曜實相距度化為時刻或加或减于中㑹時刻乃得正實時刻若三推之終所得時刻分秒不異于次得即合天無疑矣
　　假如前得差二十七刻三分四十五秒其間太陽復平行一十六分四十七秒以加初平行得一宫一十二度五十一分三十三秒减其最高〈最高不動即用前數〉得自行一十宫六度四十八分一十七秒餘弧〈至滿周〉五十三度一十一分四十二秒半之而求切線得五○○七○為三率以全數加不同心差為一率相减為二率算得四率四六六○五其弧一度三十六分三十四秒為太陽次均度也太隂中實㑹之距時間〈即前二十七刻有竒〉復平行三度二十七分二十八秒以加前經度總得經度七宫一十六度二分二十四秒為本輪居本圏之處而本輪此時間亦向右自行三度四十二分三十一秒以加前自行得次自行五宫一十二度二十八分四十七秒即次引數也為次輪心居本輪周之處倍之得太隂居次輪周之度也
　　借前圖則乙丙丁角今為三十五度
　　二分二十六秒餘角〈乙丁兩角〉總而半之
　　得七十二度二十八分四十七秒其
　　切線三一六七六八為三率一二率
　　如前算得一○五五八八其弧四十六度三十三分以减前半弧七十二度二十八分四十七秒得二十五度五十五分二十二秒為丙乙丁角次求乙丁線則此角之正四三七一六為一率丙丁半徑為二率乙丙丁角之正五七四一六為三率算得三八○八為乙丁直線也　今求均度以自行餘之甲乙丙角并丙乙丁角為己乙丁角四十三度二十六分三十五秒餘者〈甲丁兩角〉總而半之得六十八度一十六分四十二秒為三率第一及二為乙丁線一加一减于全數〈甲乙也〉算得二三二五九六求應减之度而得次均度一度三十二分三十三秒又以太隂次均度加于太陽次均度見太隂視正相對不及者三度○九分○七秒化為時刻得二十四刻一十二分一十七秒以加于中㑹算外得實㑹在戌初三刻一十分五十秒
　　推㑹時簡法第四
　　前依幾何法用日月行度推㑹時者論其所以然也若恒時推歩别用諸表諸表雖從圖出其用之甚易不煩故名簡法然以此便初學耳明理之家正須從難處入不宜恃此為足也
　　列表法
　　交㑹表從前圖出者止均度二表〈即加减度表〉一為太陽均度一為太隂均度論太陽如圖甲丙乙丙兩直線至黄道之相距弧為均度用三角形法求甲丙乙角則與求
　　丁戊弧不異葢丁戊能代丁己繇甲
　　丙乙角能代丁甲己角〈見幾何一卷二十九題〉但丁甲己非三角形無從可得均度
　　故用甲乙丙則恒有乙丙全數有甲乙兩心之相距〈三五八四〉又有自行之正或餘角如庚乙戊角即周圈之上任所至可以三角形推得均度也論太隂如上圖獨交㑹時
　　其本輪與地同心則有本輪之加减
　　度最大者為次輪之最逺在最高最
　　庳之間因月體至此去本輪心最逺
　　故其二輪之半徑必合為乙丙直線而指月體其數八七○○又有甲乙全數有本輪上自行度丁戊成甲乙丙三角形依前法可推乙甲丙角之均度外此則月居次輪最近或最逺之左右從地心出直線指實行即月體所居無兩半徑合并之數故所求均度非一三角形可得須用兩形求之如圖月居丙因在次輪之左必得
　　乙丙直線乃生乙丙丁及甲乙丙兩
　　三角形矣求中㑹時厯元後推首朔
　　至二百年每年可當厯元法先定崇
　　禎元年戊辰天正冬至後第一日子正時為根而恒减通閏一十日六十○刻一十一分一十二秒遇閏年多减一日不滿數加朔䇿二十九日一十二時四十四分三秒减之得次首朔若用加法則以太隂年〈十二朔䇿〉三百五十四日八時四十八分三十八秒加所得之數而减太陽年三百六十五日遇閏年則三百六十六日不滿亦加朔䇿减之
　　厯元前總甲子亦於每甲子年定首朔表自六十六甲子〈天啓四年〉逆遡而上每加六十太隂年滿朔䇿去之餘為三日七時一十三分○六秒依此遞加共為若干甲子而得若干總數滿朔䇿去之餘為本甲子年首朔也更有每年零用表與厯元後二百恒年同法亦歳减通閏每四年加閏一日則先一年减之為一十一日一十五時一十一分一十二秒得次上首朔
　　又有太陽引數太隂引數二表有交行度表有太陽經度表太陽引數者是太隂年本行减最高行即一十一宫一十九度一十六分八秒〈亦即三百五十四日八時四十八分三十八秒〉加朔䇿得一十八度二十二分二十九秒太陽經度者從最庳起算太隂年所行得一十一宫一十九度一十六分五十二秒加朔䇿得一十八度二十三分一十六秒太隂引數者太隂之自行也從本輪最高起算太隂年所行除正周外得十宫九度四十八分○一秒加朔䇿得十一宫五度三十七分○一秒交行度者太隂年所行除全周外得八度○二分四十七秒加朔䇿得一宫八度四十三分一秒四表皆同一法恒加太隂年行度若首朔表加朔䇿諸表亦加朔䇿但首朔表論閏日後四表不論閏日耳其通閏在零年順推則首朔用减下四表用加在甲子年逆推則首朔用加下四表用减
　　用表求中㑹
　　中㑹法若下推將來用厯元後五種行度表第一格簡得冬至後首朔次用朔實十三月表加之即得若上推既往用厯元前總甲子表得甲子年首朔而所求交㑹即在本年則於十三月表查朔䇿或望䇿加之即得所求交㑹不在本年先查六十零年表加相距之年後加相距之朔䇿或加望䇿即得
　　假如壬申年九月庚戌夜望有食用本年下首朔○日一十六時二十五分二十一秒紀日三十七從冬至至本月望相距十月又半故朔實十三月表内對十月得二百九十五日七時二十○分三十一秒加望䇿一十四日一十八時二十二分二秒總得三百四十七日一十八時七分五十四秒滿旬周〈六十日〉去之餘得中㑹在庚戌日時刻從子正起算得在酉初七分五十四秒又試用厯元前總甲子表於六十六甲子下得○日○三時四十四分○八秒紀日五十五至壬申積八年查零年表八年下得○日一十二時四十一分一十三秒紀日四十二朔䇿望䇿皆如前總得四百有三日滿旬周去之餘亦得庚戌日時分秒悉如前推㑹朔則不加望䇿餘法同若盡求一年之中㑹則于首朔或首望加朔䇿于總數以後累加之至十二次然後從首㑹加太隂年三百五十四日八時四十八秒得合于終㑹即所推十二㑹悉合矣
　　用表求實㑹
　　兩中㑹之間朔䇿也定為二十九日十二時四十四分○三秒○九微實㑹則二曜之自行所至有時過朔䇿有時不及朔䇿過不及之大差多禄某定為一十四時三十○分第谷去减二十分法用引數依均度表加减求之故推中㑹並列太陽太隂兩引數以求加减度又列太陽平行經度後來亦用太陽均度加减為實行度而以兩均度所推得之近實時約略改為目見器測之視時如下文表中太陽自行從最庳起算其經度從冬至起算前圖所説或從最高或從春分其理不異假如求崇禎五年壬申三月癸丑夜望時先定中時如圖總數一百七十○日去二旬周餘五十○乃所用為


　　㑹　〈一　○一一時六　二八三〉隂　〈一一一○度二三二八〉相合次以太陽引數時　〈二　五二四分五　六二三〉引　〈三一五四分五六四六〉對四宫六度查均度秒〈二　一○三一　三二六〉數　〈三○三○秒八○○八〉得一度三十七分三
　　太　〈一宫一〉一〈○○○三○四〉太　〈○○○○宫○三○四〉十六秒差度一分一陽　〈二　二一○度五　六四六〉陽　〈○二一一度一六四二〉十六秒偕引數之小引　〈三　二三三分二　五三○〉經　〈三二三三分五五三四〉餘用三率法〈六十分為一率〉數　〈一　二一四秒五　三○八〉度　〈一三一○一分一十六秒為二秒三七二二率小餘三十分四十八秒為三率〉求得本差三十九秒又因向後之均度漸少故以本差三十九秒减本均度止一度三十六分五十七秒次從表首行查號為加即書加又以太隂引數對五宫八度得一度五十五分○七秒差度四分五十八秒向後均度亦漸少亦以差度偕引數小餘所求本差分秒减本均度止得一度五十一分二十○秒其號為减即書减依前法兩均度一加一减宜相加即得日月實相望差度如上圖次用四行時表查月距日時得其差時分秒或加或减于中㑹則不逺于實㑹若均度皆號
　　為加而太隂所得小于太陽所得或
　　均度皆號為减而太隂所得反大于
　　太陽所得或太隂為减太陽為加則
　　所化時刻恒加于中㑹時刻否則恒
　　减于中㑹時刻以得實時刻今三度
　　二分五十二秒得六時又度餘二十五分二十五秒查得時餘五十分○二秒加于前一十三時四十三分三十六秒得實㑹在二十○時三十三分三十八秒為戌正也
　　密求實㑹
　　前以中㑹之引數求實㑹今云密者以前經加减故得次引數與實㑹相近復如前求得時刻復加或减于中㑹乃得正實㑹法依前所用四行時表以時刻反查度分因太陽自行一日不異其平行仍用其平行表以六時五十分得一十六分五十秒加于前引數得太陽總引數四宫六度四十七分三十七秒此距間於本表查得太隂行三度四十三分一十一秒以加于前引數總為五宫一十二度二十九分一十七秒又以此兩引數求得均度如上圖亦以一加一减故當相加而兩均度〈太陽太隂月距均度均度日度〉　之差較前更少變為時亦少即依本
　　表三度二分五十二秒得六時又度
　　餘六分六秒得時餘十二分度餘二
　　十八秒得時餘五十五秒總加于中
　　㑹復得十九時五十六分三十秒為
　　正實㑹在戌初三刻一十一分三十○秒更欲宻推則用次得之實時又求苐三引數以復求均度以較次得之太陽均度其二曜相距之弧亦變為時刻若同前即前得無疑若異者用後得為正實㑹也
　　依表算㑹時依圖算㑹時






















　　新法算書巻六十五



　　欽定四庫全書
　　新法算書卷六十六　　　明　徐光啟等　撰交食厯指三
　　求視會實會第一
　　前所得實會時刻雖則合天于人目所見儀器所測未盡合也所以然者太陽行度赤道交子午圏有升度差隨時變易日日不均〈詳見日躔厯指〉而今依厯元推步或用表查算無能不均須用加减時表以求本地可見可測之實時又推步者但依本地所定子午線其在地方不同子午線者難可通用故又用里差加减以求諸方所見所測之實時也
　　實時改視時
　　如前求太陽實度得中實兩會相距時刻查太陽平行時表得分數依前加减時刻亦加亦减于前得太陽經度乃得實度　假如前推壬申三月望會太陽平經度為四宫〈冬至起算〉一十二度三十四分○一秒中實兩會之差得六時一十二分五十五秒其距間又得太陽平行一十五分一十八秒以加于中會時之太陽平經度得其實會時平經度四宫一十二度四十九分一十九秒更加其次均度一度三十六分三十六秒則太陽實度四宫一十四度二十五分五十五秒今查加减時表得○九分五十五秒其號為加則以加于實會共得二十時○五分四十四秒算外得癸丑日戌正五分為順天府所見所測之食甚時
　　見食隨地異時
　　月食分數天下皆同第見食時刻隨地各異何也人各就所居之地目力所及者則見月食而各所居地皆以子午正線為主若其地同居一子午線者〈南北地緯雖異東西地經則同〉則所見月食之分數遲速皆同也若地易子午線易則時刻并易矣所以然者時刻早晚因太陽行度隨人所居各以見日出入為東西為卯酉即以日中為南為子午而平分時刻故月食時必本地之日未東升或己西沉乃得見之若在其晝時刻不可得見也天啟三年九月十五夜望月食順天府及南北同經之地則初虧在酉初一刻一十二分食甚在戌初初刻復圓在戌正二刻一十三分各算外高麗及其同經之地即初虧在酉末戌初而西洋意大里亞諸國日尚在天頂為午正則不見月食以里差推之西洋之初虧在己正三刻四分食甚在午正一刻○七分復圓在未初三刻一十分各算外雖月入景七分五十六秒所居宫度彼此逺近皆同而以里差故彼地彼時太陽在午正二十二分太隂反在子正二十二分食甚正在日中何從見之今壬申年九月十五日夜望月食初虧在卯初三刻則陜西四川等處得見南京山東等近海東境不可得見也秦蜀之子午異于東方之子午故
　　今以順天府推算本食因定各省直之食時宜先定各省直視順天子午線之里差幾何後以其所差度數化為所差時刻每一度應得時四分向東以加于順天推定時刻向西則减乃可得各省直見食時刻也若日食則其食分多寡加時早晚皆係視差東西南北悉無同者必須隨地考北極高下差其距度隨地測子午正線差其經度乃可定其目見器測之視時定子午術見西測食略中法于當身所居目見器測考定一月食之時刻與先所定他方之月食時刻較算或兩地兩人同測一月食彼此較算乃以所差時刻得所差度分也前順天府所推月食時刻并具各省直先後差數因未得諸方見食確數無從遽定地之經度但依廣輿圖計里畫方之法略率開載耳既而咨報多相合者然非甄明之輩躬至其地測極高下見食早晚終未敢以耳聞臆斷勒為成書也左方所記政所謂略率開載者欲求决定當竢異日故稱約加約减焉
　　南京應天府及福建福州府約加四分〈凡一十五分為一刻〉山東濟南府約加五分
　　山西太原府約减一刻○九分
　　湖廣武昌府河南開封府約减一刻
　　陜西西安府廣西桂林府約减二刻○四分
　　浙江杭州府約加十二分
　　江西南昌府約减一十分
　　廣東廣州府約减一刻○五分
　　四川成都府約减三刻○七分
　　貴州貴陽府約减二刻○八分
　　雲南雲南府約减四刻○八分
　　證子午差變易見時
　　萬厯元年癸酉十一月望依大統厯推月食初虧丑正一刻食甚寅初三刻本夜第谷在西國測得食甚在戌正○三分于時太陽近冬至所測時即定望時無加减大統所推稍踈大略東西差時三十餘刻為順天府所見後于西國也
　　萬厯五年丁丑三月十五日夜望依大統厯月食甚寅正一刻第谷測戌正三刻○五分先後差七小時一刻一十分為一彼一此子午異線變易加時也
　　萬厯二十年壬辰十一月望大統厯記食甚寅初二刻第谷測在戌初二刻○七分加時差二分總得差七小時三刻○二分則西國之夜望為順天府之曉望西國半夜後所測在順天為次晝不可得見也
　　萬厯四十年壬子四月十五日夜望厯官報月食初虧寅正一刻既實測得寅正四刻當時西國把沕辣有測戌正三刻○八分者更西多勒都測得戌正○三方同測不必加减時得順天府較極西差九小時正較中西差八小時○七分
　　〈闕〉



















　　天啟四年甲子八月十四日夜望厯官報月食一十三分六十五秒初虧丑正初刻既測得一十六分六十三秒初虧丑初二刻○六分小西洋北國測得子初三刻○八分泰西教主京都測得酉正三刻一十三分較得北印度視順天府偏西差七刻一十三分視泰西差六小時二刻○八分
　　天啟七年丁卯十二月望月食厯官報初虧寅正三刻復圓辰初三刻既實測得初虧寅初初刻○一分復圓卯正三刻○六分與西法合于時太陽在𤣥枵宫一度順天府出地平上為辰初一十一分依大統厯推復圓在辰初三刻則在日出後二刻不可得見而同時陜西西安府則見復圓在天測得大角星高四十七度其北極出地三十四度一十九分得月食初虧丑正二刻○三分将復圓測角南星高四十一度五十分得卯正一刻○二分視京師偏西差二刻○四分為八度半也
　　崇禎四年辛未四月十五日戊午夜望依大統厯月初虧丑初三刻依新厯初虧丑初○六分三十八秒實測得丑初○五分大角星髙四十九度四十分距午正三十九度加其距太陽一百五十七度二十七分得太陽過正午一十三小時○五分二十八秒去半日刻餘一時○五分為丑初○五分新厯初報各省較順天差數在四川成都府初虧子正一十四分三十八秒彼中實測正合是成都府視京師偏西差三刻○六分得一十二度四十五分為兩子午線之度差較各處實測食之時如此凡有兩處東西相距則所得時刻必差若相距愈逺則所得食之時刻差必愈多葢因子午不同證見食時故不同
　　推步交食本論第二
　　步交食之術有二一曰加時早晚一曰食分淺深加時者日食于朔月食于望當豫定其食甚在某時刻分秒也食分者月所借之日光食于地景地所受之日光食于月景當豫定其失光幾何分秒也加時早晚非在日月正相會相望之實時而在人目所見儀器所測之視時乃視時無均度可推故日月兩食皆先求其實時既得實時然後從視處密求日食之定時〈詳見後篇〉惟月食則實時即近視時也然日與月實相會之度分未定即欲求其實時無從可得故須先推中會時計其平行及自行而得均數然後以均數加减求得其實會因得其實時矣古法所謂躔離朓朒即自行均數之謂兹特深求原委以故倍加詳密耳若食甚之前為初虧食甚之後為復圓此兩限間亦應推定時刻分秒其法于前後數刻間推步日躔月離求其實行視行〈月有遲疾經時則生變易故宜近取〉以得起復之間時刻乆近也食分多寡謂日食時月體掩日體若干月食時月體入地景若干也其法以日月兩半徑較太陰距黄道度分得其大小次求二曜距交逺近與古法不異苐日月各有最高庳景徑因之小大黄白距度有廣狹食限為之多少至于日食三差尤多曲折此為異矣前論交食原及推交會時太陽太隂皆同一理次後論兩食之徵亦然更後即不復能為合論故先論太陰入景淺深與其食時乆近次以三視差論太陽之食分加時難易逈殊詳略亦異也
　　推月食有無
　　欲徵月之有食一論交之左右一論交之前後論左右者視太隂距黄道之緯度以方於月半徑地景半徑并而緯度為小則食若大者過而不相涉若等者過而相切皆不得食也論前後則食之處必在正交中交之或前或後而不甚逺甚逺則距度廣月與景亦過而不相渉也近則距度狹狹則必小于兩半徑并而無能不食矣是故徵食有兩法一略一詳略法者未定月食之實時先求中會時亦聊可測其距度也試用表查平望之宫度并註其同格相當之交周度若正得六宫或○宫初度則太隂在正交中交之二㸃〈即羅計即龍首龍尾〉無距度必食若過交或不及交而度分相近不出食限之外亦食也假如考壬申年三月會望用厯元後表查首朔相當之交周度得七宫一十八度四十二分一十一秒為當時正合經朔之平交度次用十三月交周度表查第四月又得四宫○二度四十○分五十六秒加望策六宫一十五度二十分○七秒得總數滿平周去之餘六宫○六度四十三分一十四秒是太隂過中交六度有奇入食限内己六七度即月體必半入地景而定為有食也


　　〈一一一一○時○○四八七〉　　　周度並列之次查其零年亦如〈五一一二四分七二二二三〉　　　之次加朔策或望策亦如之總〈一二○○五秒四九九二四〉　　　之即得中望及其相當之交周〈一○○○○宫一八三六六〉　　　度萬厯五年丁丑三月壬寅夜〈二一○一○度四七二五○〉　　　望大統厯紀月食一十二分五〈四五○二○分七七○○五〉　　　十秒本年在六十五甲子第十〈二二四○三秒三一二七三〉　　　三年列數如上得癸卯為本食


　　〈○一一一○時三五二八一〉　　　當時過交中止○五分三十三〈一二四二五分六七四二○〉　　　秒深入食限之内宜得全食不〈三三○○一秒五○三二○〉　　　止十二分五十秒也
　　〈一○○○○宫○○一六六〉　　　綱目紀唐肅宗乾元二年己亥〈一二○一○度八七○五一〉　　　春二月月食今上推其食分加〈四○四二四分一三○○五〉　　　時法查本表五十一甲子及零〈二二三○三秒六八二七三〉　　　年朔策等依前列數如上
　　依總數得太隂過中交止一度四十五分有奇宜全食食甚時在丁未日丑初三刻也
　　其詳法則更推太隂實望時之距黄緯度以較二徑折半若距緯度小者即月不能不入于地景因而有食如下文
　　求太隂實望時距度
　　中望時表中己得相當之交周度今更以加减之時更求交周度復加或復减于前所得即實望時之平交度也次又以均度或加或减乃得實望時之實交度矣假如壬申年三月中望時交周度過中交六度四十三分一十四秒時差〈實會與中㑹相距〉得六時一十二分五十五秒交周時表中查得三度二十五分三十四秒因時加度數亦加〈若减亦减〉總得一十度○八分四十八秒猶是平交度也更减前均度一度三十二分五十秒得實交度八度三十五分五十八秒今以交周度求距度用太陰距度表于六宫八度得四十一分二十九秒表中次度多五分○九秒故以交周度之餘三十六分得差三分五秒相加得太隂距黄道南四十四分三十四秒因交周度為太陰之右旋度相加于左旋之交行度〈即兩交行一名羅計行度〉故所用均度不異于自行之均度其平行一年得四宫二十八度四十二分四十五秒一日得一十三度一十三分四十六秒一時得三十三分○五秒以此求距度用甲子年為紀首于時太隂去正交八十三
　　度二十九分二十四秒依法算得總平
　　行數六宫一十度○九分○五秒次减
　　前均度所得數六宫○八度三十六分
　　一十五秒為實交度也次依三角形之
　　比例則全數與〈黄白〉全距度之正若交周度之正與距度之正葢黄白道之全距算交食無過五度交周度之弧又從近交所始也如圖甲丁為白道甲戊為黄道己丙乙為過黄極及交周度之弧各一象限丁戊為黄白之全距〈相去最逺〉太陰在丙近于中交甲求其距度丙乙則甲丁與丁戊若甲丙與丙乙算得四十四分三十三秒今依距度四十四分三十三秒考壬申年三月會望有食與否簡半徑表中用太陰引數○五宫一十二度得月半徑地半景并為一度四分三十五秒而距度止四十四分三十四秒距少徑多太隂之行無能不入景即無能不食矣
　　推日食有無
　　欲考會朔有食與否須定會朔時太隂之視距度以較于日月兩半徑并若視距度大于二徑折半或等者不食也小則食矣視距度者生于視差而本于高度故當先求高度法于會朔時以太陽本日距赤道度加于本方之赤道高度得本方之子午最高度又于赤道高度去减距赤道度得本方之子午最庳度次求兩數之正并而半之為三率以太陽距午正弧之正矢為二率全數為一率依法算得第四率以减子午最高或最庳餘者為二曜高弧之大約太陽距赤道北則所得之數與子午最高相减若太陽距赤道南則與最庳相减假如崇禎七年甲戌二月朔日順天府定朔在己正一十四分日月距午正線七刻○一分于赤道得二十六度半用其餘弧求正矢得一○五○七為二率因太陽在降婁宫八度三十分四十秒得其距度在赤道北三度二十二分以加赤道高得五十三度二十七分為子午最高相减餘四十六度四十三分為子午最庳次求其二正并而半之得七六五六五為三率算得四率為八○四四以减五十三度二十七分之正餘七二二九○查得四十六度一十八分太陽在地平上之正也今查日月高庳差表〈即地半徑差在日食表中〉于轉周度得太陰距地之逺其下依高度取其相當之視差得四十三分去减太陽之視差二分〈于高度左方取之〉餘四十一分以减太隂之距北實度四十八分五十五秒餘○七分五十五秒為太隂視距度以較二徑折半為甚小知月之掩日分數為多矣
　　凡人目所見太陰在天頂南則月之視所較其實所恒偏南偏庳故其距度多能變易太陽之食分又月在黄道南則當以視差加于距度人所居愈向北所得視差愈大其視月愈偏南而所見日食愈小若月在黄道北所得視差或小或等于距度當以减于距度則視處反近于黄道而北方所見日食大于南方矣苐視差之大若過于距度之大而去减距度即北方視月又偏居黄道之南比南方所見更逺而得日食又小
　　試如崇禎二年己巳五月己酉朔日食四年辛未十月辛丑朔日食今以相較己巳年太陰實所距南八分四十九秒〈陽厯〉順天府本時之地平高得七十三度一十八分其二曜高庳差一十七分四十秒以加距度八分四十九秒總得視距度二十六分二十九秒以减于二徑折半三十二分○四秒餘止五分三十五秒以推日食所見宜少矣若浙江杭州府高度八十三度一十四分推二曜高庳差得七分○九秒以加距度八分四十九秒得一十五分五十八秒視二徑折半為一倍小即月掩日宜得大半也辛未歳不然太隂距度在黄道北一度一十五分二十二秒順天府合朔時得日月高止三十五度四十一分二十○秒二曜高庳差四十八分以减距度餘二十七分二十二秒視二徑折半不及者五分一十六秒即見日食若杭州府高度四十三度四十八分得高庳差四十四分以减距度尚餘三十一分二十二秒是其視距度略等于二徑折半則月不能掩日也大約太隂實距度在黄道南〈論中國相等同緯之地〉其六十度以下之高庳差必大或等于二徑折半即使無距度猶未得食也若距在北則太隂之視差能偏南一度强〈最大者六十三分减日視差二分得六十一分〉必距度之大倍視差之大乃不食否則有食詳見後篇
　　累推厯元前後交食
　　交食之法上推往古下驗将来百千萬年當如指掌若悉用古法推步窮年累月不能得竟矣此交食諸表所為作也用表則遠遡唐虞下㳂萬䙫開卷瞭然不費功力如讀先秦古書見春秋前後一切日食皆不記月日今欲一一考定是何月日又如目前推得見食而欲累求向後若干年應得若干食是皆不用交食全法依交周〈世紀四紀四總五總一日十日月數月數〉度表便可得之法先求某年第
　　〈甲　二　　　　子　年　一　一〉　一中㑹〈即首朔也〉用表取相當之交〈二一一四一三四五日七○四○八○七七〉周度若入食限即第一食也求〈○　二　○○一一時二　一　二二五八〉次食加五月或六月亦必入食〈一　四　五五四三分○　七　六三○三〉限矣若初所求交周度未入食〈○　○　○○○○宫四　三　四○五五〉限則查交周度十三月表求某〈二　一　○一○二度六　八　二八三一〉數相加而入食限者用之〈四　四　四○二二分四　一　一五一六〉假如周考王六年乙巳史記年
　　表但云日月食不言某朔望今求其月日則是年八月一日食三月九月兩月食也依表本年在三十一甲子首朔為二十七日○二時一十○分二十九秒其相當之交周在四宫二十六度四十四分一十八秒紀日一十零年乙巳在表為第四十二年首朔得一十四日二十一時四十七分二十四秒相當之交周度為三宫一十八度四十分三十八秒紀日四十并兩交周度未入食限更加四月〈是春三月癸巳朔〉所得距正交不逺然定朔在二時五十四分則是丑正三刻有奇非此方所見古未有記夜食者亦非也更加五月得其交平行列數如上以一十八時三十三分知中會在酉正三刻此時用太陽引數得均度一度四十一分太隂引數得均度三度五十四分并之得日月相距五度三十五分化為時得一十一以减平朔得定朔在辰初三刻是為周考王六年八月辛酉朔本地所見地平上之日食矣
　　求本年月食則于前總甲子及零年乙巳數外總加望䇿得第一平望其交周度在兩交之間無食更加三月則丁丑夜望月過交中分數甚少必全食然定望在晝但見其初虧不見其食甚更加六月得交周度○宫○甲戌乙亥丙子丁丑戊寅己卯六度四十七分太〈一二○一二○一二○一一二宿四三四二一二二一二一九八〉隂入食限又時在
　　紀　〈二二一四四四三三三二五五日四一八六三○八五二九七四〉九月乙亥日用均時　〈一一二一一二○○一一○一時二七一三七二二七一五七一〉度得定望為戌初〈五二四二五一四○二五三五分九三七八二六一五九三四八〉三刻但見其復圓
　　交　〈○○○○一○○○○○一○宫○六○五一五○六○六一五〉不見其初虧也是周　〈○一一一二二○○○一一二度七一五八二六○四八三六○〉兩皆帶食故史官度　〈二二三五五五五五五○二二分九九○二三四六七九○一二〉紀焉又日一食月再食故統言之曰日月食也
　　甲戌乙亥丙子丁丑戊寅己卯欲下推累年之交〈二○一二○一二○一二○一宿七八八七八七五六五四六五〉食先如前求第一
　　紀　〈○○○○五五二二一一一○日九六四一八五三○七四二九〉食自此以後或越時　〈一二○○一一○一一二○○時八三三七二六八二七一一六〉五月而一食或越〈三○二五一三一四○三五二分七一五○四八九三七二六○〉六月而一食日月
　　交　〈○一○○○○○一○一○○宫五一六○六○五一五一六○〉皆然此其大凡也周　〈二二○○○一一一二二○○度二六○四八二五九三七一五〉法查交周度十三度　〈○一一一一一三三三四四四分九○一三九五七八九一二四〉月表用片楮别書五月六月之數向本表之各月下遞并而試之但合于食限以内者即有食之月也如崇禎七年甲戌第一日食在三月朔算本年及向後各年有食之朔如前圖每兩平朔皆入食限惟乙亥之兩朔間戊寅後己卯前之兩朔間各越五月餘皆越六月其食也太隂有晝有夜太陽有晝夜又分南北故非一方所見惟用此考其可見者推之求平望法同此如後圖圖中獨丙子後越五月餘皆越六月凡交食得某月入食限即次後一二三四月皆無食必至五至六或十一十二月則食欲更求本方所見則推實朔望以時刻定之
　　食分多寡之原第三
　　推日食分數則以太隂距黄道之視度日月兩視徑之半以及三視差此並有其本論後篇詳之此求月食分數則用太陰之實距黄道度及其視半徑地景半徑即可得之今先論日月景之各半徑次乃定食限及食分也視半徑所繇變易
　　凡圓球之去人逺則目視之為平面欲測其大小者不依其形依其徑也目之視徑雖以平行線受其像然相距有逺近即所測得之大小隨而變易近則見大逺則見小矣暗球生景其理準此故受光之體小于施光之體即其景亦隨相距逺近而有變易距逺者景鉅而長距近者景細而短也



　　如上日月食合作一圖甲為地球太陽在最高為丁在最庳為戊太隂日食時在其最高為己在其最庳為庚月食時在其最高為壬在其最庳為辛若從最逺之太陽周癸丑引直線切地周乙丙必相遇於卯從最近之太陽周子寅切地周者必遇于辰子寅辰在癸卯丑限内在内者細且短在外者鉅且長因太陽距地逺近不同故也論太隂其在最高己目依甲未甲午兩線視之若在最庳庚又依甲申甲酉兩線視之故兩所之小大不同若在壬在辛其理準此
　　上言日月地景三視徑能為變易則日月最高最庳相

　　距之逺近為其緣也自此而外更有二緣一為地所出之𫎇氣隨地不一一為人所禀之目力隨人不一𫎇氣居日月與目之間氣厚能散日月之光使易其本象如玻瓈水晶等體厚光徹以照他物之象能改易之是以人所見日食時太隂掩日之視徑實大于太陽之視徑或相等一遇厚𫎇之氣〈𫎇之厚薄或本地固然或因時増减〉即太陽之光體因而展拓比于依法推步之視徑每多不合故全食時四周亦顯有金環也若𫎇色微薄則月之視徑能掩日之視徑全食時晝晦星見矣其在月也遇𫎇氣亦饒有餘光其初虧復圓光曜展拓亦能侵入地景使食時先後稍損于推步之加時也欲明其理姑以數事徵之試用一平邊尺切目窺月體則白月之光能侵入于尺尺之暗體當月之處似有闕焉此其一也生明之月其有光之半周大于無光之半周光之兩端芒角犀鋭似欲包其魄體至日食時𩲸體入日日之光體不收光以讓月反舒光以拒月故其兩端不作鋭角而作鈍角也此在晴明時𫎇氣微薄猶不免爾况濃且厚乎此又其一也日輪西沒将及地平適遇雲氣全輪若為停軌累測不移少遷則忽焉而入又其一也况日食時月之𩲸體月食時地景之角體全居𫎇氣之中𫎇氣所受日光尤盛四周皆能消景則日食時太隂居日目之間其視徑豈能大于日之視徑而全掩日體月食時地景之角體豈不能稍殺于推步之實景而損其初末之加時乎若論目力亦能變日月景之各視徑者目力既衰大光損之每每易于見暗難于見明故月食時較少壮之目能先見月食侵周之景若日食時太陽光耀初虧不能遽見其闕也西史苐谷測月每夕用五六人皆利眼能手悉用大儀種種合法所測月徑趨求畫一乃經二十二測得其徑為三十一分者二三十二分者六三十三分者七三十四分者六三十六分者一何故大光射目當之者利鈍不齊徑之小大隨異也葢人目之難憑如此〈月無大光不能入于窺表通光之竅須人日測有此不齊若日光透表其有不齊繇器䟽密矣〉定視徑分秒之數
　　古多禄某限日月地景三徑之數定太陽為三十一分二十○秒不論最高最庳恒如是太陰最大者定為三十五分二十○秒最小者亦三十一分二十○秒地景小者四十○分四十○秒大者不過四十六分也然多禄某所當之時乃爾迨其後太陽本天之心與地之心漸次相就至于今最高之去地近于多禄某時其最庳乃去地稍逺而太陽視徑遂不得過三十一分太陽稍縮則地景稍贏亦不若曩時之細且短也以故第谷所立新法定太陽之視徑在最高為三十○分在最庳為三十二分若太隂則雖距地同所限朔望二時之視徑猶不同也葢合朔時月會太陽四周環受其光則此時全魄小于望日之全光幾及四分之一是以月在最高即望時得徑三十二分朔時止二十五分三十六秒在最庳望時得三十六分朔時二十八分四十八秒也又第谷測𠉀之地其北極出地五十六度清𫎇之氣甚厚故推步交食必依此徑乃可得合何者月望時明光甚盛𫎇以厚氣光乃加顯徑即似大月朔時遇日之大光自已失光而受光之𫎇氣環圍照映若或消减其魄徑即似小也然此第谷所當之地乃爾用之他方未能必合何者此所限大小之徑以步日食雖則食既猶顯金環月不能全掩日體若他方食既則有晝晦星見蟲飛鳥棲者故知一方所定未可槩諸㝢内以為公法也假如崇禎二年己巳五月朔日食依新厯先推食甚二分有竒至日實測得二分若以第谷所限徑用之此日即見食分數僅得一分一十○秒謬于實測逺矣崇禎四年辛未十月朔日食新厯先推食甚二分一十二秒至日實測不及二分若用小月徑推算即所得更少不及一分也視徑因乎𫎇氣而為小大如此豈可强執一率以槩諸方乎故欲定本地之日食分必先定本地之𫎇氣差以限本地之視徑又宜累驗本地之食分加時然後酌量消息𫎇差視徑可得而定也今所考求酌定者太陽最高得徑三十○分在最庳徑三十一分太陰不分朔望〈𫎇氣稍薄故也〉在最高視徑三十○分三十○秒在最庳視徑三十四分四十○秒地景最小者四十三分最大者四十七分日月行最高最庳處之間視徑亦漸次不一故列表左右並紀太陽及太隂自行宫度以考日月地景各相當之分數是為視半徑表
　　太陰視徑差
　　視半徑表計太陰從其最高至最庳漸次加大也若論𫎇氣則南北二方亦有差别西國之北地濱大海其氣更厚故月朔應减月望應加以改表中之半徑如北極高三十度其加减于半徑一十○秒高四十度其加减三十○秒過五十至七十極高度即所加减更多至六分以上也
　　中國北極出地雖止四十二度半亦近海故用加减數如前所列然亦須測驗數食審其果否乃可執為恒法耳地景視差
　　地景半徑之最小者為四十三分今本表中太隂自行○宫○度與相當者是也繼此漸大至太隂自行六宫初度其相當四十七分則為最大其求之有二法一以測候一以推步苐兩法所得却又不同則氣能變景故也以推步者用太陽在其最高時下照地球所生景長以為定率若太隂過景之處則依其逺近隨時算之如第谷當太陽在最高時測其距地之逺得一千一百八十二地半徑此所推全景之長得二百五十二地半徑又六十分之二十三恒如是若太隂在其最高距地之逺得五十八地半徑又八分欲求其所當地景者先于全景内减太隂距地之徑數餘者為過太隂以外之景角
　　〈景角者景為角體也〉得一百九
　　十四地半徑又一十
　　五分如上圖甲乙地
　　半徑定為六十萬甲丙為全景亦通為一五一四三分〈臨算末加五位〉丁丙為過月以外之景角一一六五五分〈臨算末加五位〉而求月食相當之處丁戊幾何廣則甲丙與甲乙若丁丙與丁戊也算得四五五一九三九又甲丁戊直角三角形内求丁甲戊角為所限目窺丁戊之大則甲丁為太隂距地逺通為分得三四八八分甲丁戊為直角丁戊依前算得四五五一九三九而甲丁與丁戊若全數與丁甲戊角之切線得一三○五查表得四十四分五十○秒為太隂在最高時所過地景之半徑也若太隂在最庳求其食時過景之半徑用全景長如前内减五十四地半徑五十二分餘一百九十七地半徑又三十一分為丁丙直線依前法算得四六四二八○四為丁戊線求角以太隂距地之分三二九二為一率丁戊線為二率直角為三率算切線為一四一○查得四十八分二十八秒為太隂在最庳時所過地景之半徑也今表中列地景半徑小者四十三大者四十七皆少于推得者為月過地景不論高庳皆受外光圍迫侵銷其景故也論其實則推歩所得為真然不可得見耳若太隂在高庳之間求其過景者依此法隨時求丁丙線推算也
　　以測𠉀者用前後兩月食擇食之法欲太陰去其最高最庳距度同則其入于地景之小大亦同但月距黄道不必同又不必全食因以兩距度及兩食分求得其所過之景徑也多禄某引周襄王三十一年庚子三月其地距順天府西八十一度卯初時得見食于是太隂交周得九度二十○分距黄道北四十八分三十○秒食全徑一十二分之三又引周景王二十二年戊寅六月里差同上順天府寅初時得見食于時太陰交周得○七度四十二分距黄道南四十○分四十○秒食十二分之六如圖己乙戊丙圏為地景兩食為太隂所過乙甲丙線為黄道
　　如前圖第一食太陰在丁次食在戊各依食分入景為
　　己辛為戊庚其太陰之距度為甲丁四
　　十八分三十○秒甲戊四十○分四十
　　○秒而甲戊與甲己必相等〈地景之兩半徑〉則
　　甲丁减甲戊餘己丁七分五十○秒〈兩距度之較〉又己丁為月徑四分之一而先得月徑三十一分二十○秒四分之為己丁今去减己丁所餘為甲己半景四十○分四十○秒或以距度與食分相較則食差三分與距度之差七分五十○秒若全食一十二分與全月徑三十一分二十○秒亦以距度之差推得其景也若後圖兩距
　　度一大于半景一小于半景亦用此比
　　例以求景假如初食三分得距度四十
　　七分五十四秒次食十分距度二十九
　　分三十七秒食分之差七分距度之差一十八分一十七秒則七分與一十八分一十七秒若全食一十二分與全月徑三十一分二十○秒今既食三分即全月徑四分之一為七分五十○秒以减距度餘四十○分○四秒為地半景又次食得一十分即月心至地景之周得四分亦全食三分之一也全以月全徑三分之其一為一十分二十七秒以加距度二十九分三十七秒亦得半景四十○分○四秒
　　地景實差
　　表中記地景差不及半分恒减于地景葢前所論之景實無差或因𫎇氣有差耳其有差者太隂以其自行高庳有距地之逺近入于最中時時不同也又太陽居其最
　　高所生之
　　景最大過
　　此漸向最
　　庳去地漸近即從地出景漸小漸短也故月食時先以太隂自行定地景之半徑又以太陽自行求此實景差而减之乃正得太隂過景之處矣推算之法設太陽先在最高推所生景又設在最庳推所生景得二景之最長最短又設太陽先後距地同而以先過景之徑比于後過景之徑其二徑差即表中之地景差
　　假如丁己
　　為太陽半
　　徑第谷所
　　測為甲庚地半徑五又四十一分依戊庚平行線减丁戊地半徑餘戊己得地半徑四又四十一分設戊庚為太陽在最高距地之逺一千一百八十二地半徑則戊己與戊庚若甲庚與甲辛得甲辛地景于太陽在最高時其長二百五十二地半徑又二十三分太隂在其最高最庳之間距地之逺得五十六地半徑又四十三分為甲乙以减甲辛餘乙辛一百九十五地半徑四十○分以推月食之半景乙丙則乙辛與乙丙若甲辛與甲庚得乙丙四六五一六五四〈算法以原數通為分又于每率後加五位乗除之〉又求乙甲丙角所限目窺乙丙之大以太隂距地之逺依前法算得切線一三六四查八線表得四十六分五十二秒又依此法以太陽在最庳距地之逺一一四一地半徑推算地景為二百四十三地半徑又三十八分去减太隂在高庳之間距地之徑餘一百八十六地半徑又四十五分依前算得四五九九一二四為乙丙線次以太隂距地之逺三四○三推得切線一三五一查得乙丙半景四十六分二十六秒比前所得差二十六秒為地景之最大實差其餘者以太陽自行距最高逺〈法算書卷六十六〉
















　　近依法次第求之新



　　欽定四庫全書
　　新法算書巻六十七　　　明　徐光啟等　撰交食厯指巻四
　　食限第一
　　食限者日月行兩道各推其經度距交若干為有食之始也而日與月不同月食則太隂與地景相遇兩周相切以其兩視半徑較白道距黄道度人以距度推交周度定食限若日食則太陽與太隂相遇雖兩周相切其兩視半徑未可定兩道之距度為有視差必以之相加而得距度故特論半徑則日食之二徑狹月食之二徑廣論日食之限反大於月食之限以視差也
　　太隂食限
　　表中地景半徑最大者先定四十七分太隂半徑最大者一十七分二十○秒并得一度○四分二十○秒日月兩道之距在此數以内可有月食〈可食者可不食也〉以此距度推其相值之交常得一十二度二十八分為月食限推法最大距度〈四度五十八分半〉與象限九十度若距度與交常之弧也其最小者地半徑定四十三分月半徑一十五分一十五秒并得五十八分一十五秒若距度與之等者依前法推交常度得一十一度一十六分此限以内月過景必有食〈必食者無不食也〉也抑此兩者皆論實望時之食限耳若論平望其限尤寛如圗甲乙為黄道甲丙當
　　白道乙為地景心丙為太陰心月切
　　景在丁其最大兩半徑為乙丙得一
　　度○四分二十○秒則相值之甲丙
　　得一十二度二十八分為定望食限
　　設平望尚在前為戊則戊平望距丙定望最逺者二度三十八分有奇為丙戊弧以加甲丙弧得甲戊一十五度○六分有奇為太陰切景之時以其心距兩交之度西古史多禄某定實望之食限一十二度一十二分中望之食限一十五度一十二分其所定視半徑最小之食限一十○度五十○分
　　何謂平望距定望最逺得二度三十八分曰太陽均度最大者二度○三分一十五秒太隂均度最大者四度五十八分二十七秒并得七度○一分四十二秒為兩交時日月以實度相距極逺之弧也從此太陰逐及于日行訖七度○二分此時間太陽又自行三十二分二十八秒太隂又須逐及更行三十二分此時間太陽又行三分弱共為三十五分以加太陽均度得二度三十八分為日月之實會望距其中望也如圗甲乙為地心所出
　　過本輪心直線至黄道乙指中會太隂
　　實行在丙太陽實行在丁總丙丁弧七
　　度○二分太隂行至丁太陽己過丁而
　　前又逐及之終合于己故丁己弧三十
　　五分加乙丁共得乙己中實兩會相距二度三十八分太陽食限
　　表中太陽之最大半徑一十五分三十○秒太隂之最大半徑一十七分二十○秒并得三十二分五十○秒所謂二徑折半也以此推相值之交常為六度四十○分是太陽不論視差不分南北正居實會之食限也苐日食不在天頂即有髙庳視差太隂每偏而在下交會時以此差故或就近于太陽或移逺隨地隨時各各不同安得以實度遽定日食之限乎測太隂交食時最大髙庳差得一度○四分〈因距逺五十四地半徑故〉減太陽之最大髙庳差三分餘一度○一分〈此為太隂偏南之極多者凡日食時必有一方能見其然是為大地公共之最大差〉以加二徑折半得總視距度一度三十三分五十○秒外此即無日食在其内則可食依前法求食限得兩交前後各一十八度五十○分為兩大視徑折半之限也若以小半徑求食限與前差度并得一度三十一分有竒推相值之交周度一十七度四十八分為小視徑折半之日食限若日月㑹入此限内者日必食但非總大地能見必有地能見耳若以中㑹論食限又須加入實㑹距中㑹之度其最大弧三度則中會有食之限二十餘度如圗甲乙為黄道甲戊為白道太隂以實度在己
　　以視度在丙太陽乙與太隂丙視相切
　　于丁則己丙為髙庳差己戊為東西差
　　而丙戊為南北差南北差之最大者一
　　度○一分以加乙丙為總距度乙戊若
　　乙丙為大折半〈二徑折半省曰折半〉推得甲戊食限一十八度五十○分或以小折半乙丙加丙戊得甲戊一十七度四十八分設中會更在前為辛得食限甲辛更多于甲戊求北中界日食限
　　北中界者地居赤道之北南不至赤道北不至北極也今依南方極出地十八度北方極出地四十二度定日食之限則最廣者太隂距南其交常度七度三十一分太隂距北其交常度一十七度三十五分為可食之限最狹者太隂距南交常七度距北交常一十六度五十三分為必食之限其所繇廣狹者因二徑折半有大有小即相會時所當距度不同故所限交周度亦異也太隂分南北而定最大日食之限有二義其一論地總本界中有一方焉距北之最大者以十七度為限又有一方焉距南之最大者以七度為限非謂一方所見距北可得十七距南又可得七也其一論黄道度謂本界中有地有時太隂或南或北距天頂最逺則其視距度最大以加于太隂實距度得其最大限在北可至十七度在南可得七度亦非謂諸宮交㑹皆可得七度十七度之限也今試于本界中論地先論其極髙四十度者又於本地論時先論其不甚逺於天頂者如日月交㑹在夏至鶉首宫初度設當時不㑹於正午其髙庳差變為南北差者必少而所增視距度亦少即所得者不為其最大限必設實㑹正午月距黄道北得其髙弧七十三度二十八分以推髙庳差一十八分○八秒全變為太隂南北差依法加於二徑折半得五十○分五十八秒為黄白兩道之視距度則所值交周度得一十○度為順天府北極同髙地黄道本度月距北日食之最大限可食也設月距南則二徑折半共三十二分五十○秒反減太隂南北差一十八分○八秒得兩道視距一十四分四十二秒所值交周止二度五十○分為本地本度月距南日食之大限可食也次論其甚逺于天頂者設日月在冬至星紀宫初度㑹亦正午其髙弧二十六度三十○分推得髙庳差即南北差五十六分二十四秒加二徑折半得黄北兩道總距一度二十九分一十四秒為月實距南所推最大日可食之限一十七度二十四分所以然者人目所見日月以兩心合會必在太隂所離視道交黄道之處距其兩道實交尚一十一度又本南北差減二徑折半得距度二十三分三十四秒相當者得四度三十二分為太隂尚不及實交未過黄道南而以視差故人目所見則已過交出日食限之外矣如圗丙為太隂丁為太陽甲為黄白兩道之實交論實距度則日月至甲宜相掩而食今冬至南北差甚大太隂之視行循丙乙視道尚在己距甲逺即己切太陽周入日食之限後太陽丁行黄道至乙與太隂視道相遇是為視交即二曜以兩心合㑹
　　能全食若更前至辛日月亦未及實交甲太隂實未過黄道南而視行則己過太陽之南即丙不能掩日亦不能切日不食矣可見太隂實距北在己為順天府同緯地最大食限得一十七度有竒至辛遂出食限之外况過甲而後實距南其視度距太陽甚逺安得尚有食乎再于本界中論地論其極髙一十八度者先設日月在冬至星紀宫初度實㑹在正午得髙弧四十八度三十○分髙庳差全變為南北差四十一分五十八秒加二徑折半總得兩道相距一度一十四分四十八秒外此無日食在其内可食相值之食限一十四度三十二分其食甚亦未至實交也若行至實交則太隂以視度過交而南四十一分五十八秒矣以較二徑折半則視距為大不已出兩食限之外乎安得有食設日月會于夏至鶉首宫初度此在天頂北五度三十○分得髙弧八十四度三十○分推南北差得六分○八秒以加二徑折半得三十八分五十八秒為太隂入陽厯兩道相距度二曜至此即以周相切推得日食限七度三十一分若月距北則兩半徑減南北差餘二十六分五十二秒僅得五度一十○分為日食限也如圗地居夏至之南目視丙月則偏北故太隂之實度在黄道南為
　　本道上之乙與太陽之實度丁甚相逺却以南北視差移而就近及以甲乙為食限二曜相掩必未至甲也若其過實交甲至己在黄道北則因南北差見月更在北與太陽相距更逺不復能相掩矣
　　太陽太隂越六月皆能再食
　　越六月者如寅月食申月得再食也如圗甲丙乙丁為太
　　隂離道交黄道于甲于乙甲丙乙為
　　其距北半圏餘乙丁甲為距南半圈
　　己庚戊辛皆為食限依多祿某隨迤
　　北諸方所定中會時甲己及乙戊入隂厯為日食限二十○度四十一分〈地愈向北食限愈大故也〉甲庚及乙辛入陽厯得一十一度二十二分則限外弧己丙戊得一百三十九度庚丁辛得一百五十七度一十六分越六月之中積交周一百八十四度有奇〈先去全周〉則大于己丙戊及庚丁辛兩弧故初月在食限内與正交相近者六月後則近中交亦在食限内而日能再食若月食不論隂陽厯其限皆一十五度一十二分則己丙戊弧庚丁辛弧皆一百四十九度三十六分皆小于中積交周度故初月交周度入己甲庚食限内後六月又在戊乙辛食限内而月能再食
　　太隂越五月能再食越七月不再食
　　以距月之中積交周度與初月食限外之弧相比若度贏者則此食限内能起彼食限内能止即兩皆有食若度縮者則一起一止或在兩食限之外不再食矣如五平月交周得一百五十三度二十一分〈去全周己〉月食于髙庳中處其實限一十一度三十○分南北同得限外無食之弧一百五十七度亦南北同是皆大于交周弧則五平月中不可得兩食矣亦有可兩食者則大月也太陽躔赤道南在其最庳左右必速行同時太隂去全周在其最髙遲行必得定朔策少月大交周弧亦大夫五月之平朔策去太隂全周得一百四十五度三十二分中分之左右并得太陽均度四度三十八分又太隂五月自行一百二十九度○五分中分之以最大加減得其并均度八度四十○分太陽均度應加〈實度距最庳左右比平度逺故〉太隂均度應減〈設月逐日實未追及故〉得日月以實行相距總弧一十三度一十八分為月逐日未及之弧如圗太陽從
　　秋向春行本天小半周以當黄道
　　正半周必速行以甲乙直線中分
　　其平行左右各得丙丁均度太隂
　　在本輪自戊過最髙辛至己遲行
　　以甲辛平分其遲行弧左右得壬
　　辛及庚辛均度日月兩均度不同類一加一減并之得一十三度一十八分為太陽以實行在前太隂以實行在後之弧而太隂逐太陽行一十三度此時間太陽更行一度○六分以并于太陽均度總得五度四十四分為五大月過五平月之度亦為實交周過平交周之度
　　以加平交周一百五十三度二十一
　　分得一百五十九度○五分較食限
　　外之弧羸二度○五分則月食于甲
　　乙限内為壬距乙甚近而限外交周度壬庚越五月復可食于庚然食之分數少矣
　　又證太隂越七月不能復食者則小月也月大或平即交周弧大于食限外之弧不可得食今太陽在其最髙左右遲行太隂在其本輪最庳左右速行因而成小月
　　夫七月之平朔策得二百○三度
　　四十五分同時太隂自行一百八
　　十○度四十三分如圗甲乙分日
　　月平行甲辛分太隂自行太陽左
　　右各得最大均度丙丁并為四度四十二分應減〈實度距最高左右此平度近故〉太隂均度壬辛及庚辛并為九度五十八分應加〈設月以實行過太陽故〉一加一減并兩均度得一十四度四十○分為太隂過太陽之弧此時間太陽亦行一度一十分以加其均度得五度五十五分是為七小月間實
　　行不及其平行之度又為七月間交周
　　平行之弧所減以成七小月實行之度
　　今以平行二百一十四度四十二分去
　　減五度五十五分得二百○八度四十七分以加于食限外之弧〈此第論太隂在其髙庳中處甲丙左右四食限〉為戊乙壬或己庚丁僅得二百○三度小于七小月之實交周二百○八度有奇則月初食在戊丁限内後七月不能于己壬限内再食也
　　太陽越五月或七月皆能再食
　　此越五月能再食者必大月也其間交周實行可得一百五十九度○五分設日月在髙庳中處得二徑折半三十二分二十○秒設太隂距度亦正得三十二分二十
　　○秒則以前法求得距交六度一十二
　　分當在乙或在丁而乙丙丁弧乃得一
　　百六十七度三十六分若太隂絶無視
　　差者即食限外之弧乙丙丁大于實交周弧八度三十一分日月合會先在甲乙弧内有食越五大月復㑹必不能及丁戊為再食矣然太隂既有南北視差則以交周度不及食限内之弧八度三十一分平分之兩加于食限得甲己及戊辛各一十○度二十八分而太隂在己或在辛皆距黄道五十四分三十○秒減二徑折半餘視差二十二分三十○秒倍之得己及辛兩視差共四十五分則諸方能得南北差及此分者所見太隂必偏南下掩太陽得有食也今所論五大月太陽速行先于太隂一十三度一十八分又于太隂逐及時間行一度○六分總得一十四度二十四分太隂行盡此度乃及日須一日○九刻是為五大月過五平月時刻則五大月得一百四十八日一十八小時故先定朔在酉正後必在午正若先在午則後在卯又太陽五大月行一百五十一度以最庳平分左右得先定朔在壽星宫二十一度次定朔在娵訾宫二十一度諸方地面得極髙
　　二十餘度見太隂離是二壤值是二時
　　南北視差并得四十五分則越五月得
　　再食此外極出地愈髙南北差愈大食
　　限愈寛凡交周在黄道北入甲己食限越五大月必入辛戊食限人居赤道北者可見兩食或交周在黄道南入戊壬食限越五大月必入庚甲食限入居赤道南者可見兩食
　　謂太陽越七月而再食則小月也否則交周度大于正交及中交之總食限而先在内後必在外不食矣若七小月間交周行依前得二百○八度四十七分而設無南北
　　差者則以日月兩半徑為食限得甲乙及戊丁各六度一十二分而總乙己丁弧一百九十二度二十四分小于交周一十六度二十三分即太陽先食于丁戊限内越七月後必己出甲乙限外亦不食也既常有南北視差則以較餘交周弧一十六度二十三分平分之以加于甲乙及戊丁得甲壬及戊癸二限各一十四度二十三分而壬己癸與交周弧相等又甲壬及戊癸一十四度二十三分得相值之距度一度一十三分三十八秒減二徑折半得四十一分一十八秒為各視差倍之得一度二十三分則諸方有此視差者得有食也今所論七小月太陽遲行後于太隂共一十四度四十○分為太隂一日五小時所行之弧是一日五小時者七小月不及七平月之時刻也總七小月得二百○五日一十二小時故越七月得再㑹先會在卯後㑹必在酉又太陽行七小月實得一百九十八度〈前已證〉從最髙平分之得先㑹太隂在陬訾宫二十七度後㑹在壽星宫一十五度則凡離是二壤值是二時所見太隂南北視差并得一度二十三分者必越七月得再見日食也此為極出地三十四度以上盖距赤道愈逺視差愈大所見食分愈多矣
　　食分第二
　　欲知此月内有無交食則以食限求之〈見上文〉欲知此食食分幾何則以距度求之距度者在月食為太隂心實距地景之心兩心愈相近月食分愈多在日食為日月兩心以視度相距其近其逺皆以目視為凖不依實推盖定朔為實交㑹天下所同而人見日食東西南北各異所以然者皆視度所為也日食詳說見後篇此先解月食分則論定望實㑹人所見者東西九服各異南北天下不殊也如左
　　太隂食甚分數
　　太隂在食限内過地景其兩心最相近時為食甚而食分必多欲知食甚之處用距度求之盖距度與地半景及月半徑相減得月入景之分〈此言分者天周度數之分非平分月徑之分也稱分有二類見下二文〉如兩半徑得一度距度四十○分相減餘二十分為所求月入景之分也但距度與半景或等或不等若過不及之分小于月半徑則月不全入景而止食其半或太半或少半而己若距度小于半景者為太隂之正半徑則雖全食隨復生光其食分即太隂之全徑以月自行推之若絶無距度即太隂遇景正在兩交則并其兩半徑可推月食之分也
　　假如甲乙為地景〈定望時月
　　入此則失光亦名闇虚〉之半徑乙
　　丙為太隂半徑總得甲
　　丙為月食限限者乙㸃為二周相切之處食從乙㸃起漸入漸大若兩周相分于乙㸃則不食也食有三等一曰不全食二曰全食三曰正食不全食者如一圗甲丁為黄道丁辛當白道月心在辛即入景者半是為半食
　　或月心在庚則如二圖入景者大半是
　　為大半食或在戊則入景者少半為少
　　半食皆不全食也求食分法以距度減
　　二徑折半如圖甲己與甲丙等為二徑折半甲戊為距度以甲戊減甲己餘戊己戊己與戊庚恒相等故于二半徑減距度即得其入景辛庚為此食之分也全食者
　　如三圗月心在戊距度
　　甲戊兩道如前而距度
　　入于半景者為太隂之
　　半徑戊己則己庚入景之分為全徑但全入以後太隂或向交行欲至丁或離交行欲至辛其周旋出景外則無既内分矣
　　以上二者皆有距度則皆不食于交㸃皆偏食也若如
　　第四圗太隂食甚時絶無距度則月心
　　與景心皆㑹于甲甲乙為半景徑甲戊
　　為平月徑兩半徑并為甲丙設甲乙丙
　　為黄道甲丁為白道太隂從丁行以戊邊至甲己全入于丁甲半景之内矣又行至邊及戊乃食甚故更得甲戊為既内分總得丁戊兩半徑并為此食之分此月食之最大食于交㸃者也正食也
　　食分二類
　　求食分之大幾何有二類其一為天周度數之分如上文所論者皆是也月食之最大者可得一度○四分有奇其一為太隂本徑之分則惟厯家所命如命月體之全徑為十二平分則最大食得二十二分五十四秒也如命為十平分則最大食得一十九分○五秒也又此二類者皆係太隂及地景之視徑雖距度同分而大小多寡猶多變易設距度恒為二十五分因太隂自行在最髙得月食度數之分為三十三分一十五秒太隂在最庳得食度數分為三十九分二十○秒其自行在一宫或在一十一宫〈俱近最髙〉得三十三分三十八秒在二或十宫得三十四分三十六秒在三或九宫得三十六分在四或八宫得三十七分三十○秒在五或七宫〈俱近最庳〉得三十八分四十五秒如前法以太隂半徑半景并每去減二十五分即得此食分之數他距度依此推之其所繇漸漸有差者則因太隂距其最髙愈逺則視徑愈大故也又平分本徑亦有多寡有大小盖太隂在最庳其全體之天度分為三十四分四十○秒得平徑一十○分設食甚正在交㸃無距度則二徑折半得天度一度○四分二十○秒推總食之平徑分得一十八分三十四秒而一平徑分當天度三分二十八秒又設太隂在髙庳之中食甚距度如前其平徑亦一十○分以兩半徑推總食得一十八分四十四秒而一平徑分當天度三分一十五秒與前不同則以視徑故更設太隂在最髙其視徑更小僅得天度三十○分三十○秒食甚在交皆如前亦得平徑一十○分而所推總食分更多于前為一十九分○五秒則一平徑分當天度三分○三秒可見距度同平分徑同而食分不同者月自行有髙庳其去地之逺近異視徑亦異故也
　　求月食徑分
　　太隂入景以本徑分明暗之限為人目所見之分若全食更加入景之餘分〈即既内分〉推得總食分則距度能翕張其二徑為食分多寡之緣也今或依第三巻所定太隂及地景視徑表用引數求之并而去減其距度則太隂視
　　徑與十平分若其二半徑減距度之餘
　　分與食分或依第二巻前所設求太隂
　　均度之圗用甲乙丁三角形求之盖乙
　　甲丁太隂均度角之正與乙丁直線
　　若甲乙丁總自行餘弧角之正與甲丁直線既得甲丁為太隂距地逺次求太隂視徑則其距地逺甲丙與
　　太隂實徑之正丁乙若
　　全數與丁丙乙角之切線
　　次以太隂半徑與地半景
　　大小之比例為一五○與四○三推地景視半徑盖一五○與四○三若太隂視半徑之正與景視半徑之正也既得視半徑用三率法如前推算食分欲用表則於引數查視半徑而以月視徑及兩半徑減距度之餘數查食分然表中列數從引數出其理一也求月食面積分
　　前論月食分皆目可見器可測之視徑分也若求其不全食之面入景之分則有别法設甲為地景之心乙為太隂之心以距度得其兩心相距為甲乙直線又先得甲
　　丙為地景視半徑得乙丙為太隂
　　視半徑則甲乙丙三角形内有其
　　三直線可求三角又甲乙丁三角
　　形與甲乙丙三角形等則以丙甲
　　丁總角得丙戊丁弧亦以丙乙丁總角得丙乙丁弧今欲以徑與圏之比例推丙戊丁及丙己丁兩弧與其本圏半徑同類之分若干〈弧曲線與直線異類以周徑法變曲線分為直線分故曰同類〉其法以甲丙及丙戊得景中丙甲丁兩半徑弧形〈兩半徑弧形者兩半徑為兩腰弧為底求得其容積也說見測量全義第三卷〉亦以乙丁及丁己得月上丙乙丁兩半徑弧形又丙丁直線為等腰兩三角形之公底線求其半得丙辛以乘甲辛得甲丙丁三角形之積以乘乙辛得乙丙丁三角形之積次以兩三角形之積各減其兩半徑弧形之積所餘丙戊丁己長圓形為太隂入景之面可得其餘不入景之面也假如崇禎五年壬申九月十四日夜望月食四分四十二秒食甚太隂距度四十四分其視半徑一十六分二
　　十五秒地半景四十三分二十
　　三秒設甲乙為距度乙丙為月
　　半徑甲丙為景半徑則最大線甲乙與餘兩腰線甲丙丙乙若兩腰線相減之餘線甲丁與大線之分也即算得大線之分甲戊以其餘平分之為戊辛辛乙
　　次從丙作丙辛必為甲乙
　　之垂線矣既得各線如圗
　　皆通為秒以求甲角及乙
　　角則甲辛與全數十萬若甲丙與丙甲辛角之割線算得甲角二十一度四十○分倍之得四十三度二十○分為丙戊丁地景之弧又辛乙與全數若乙丙與辛乙丙角之割線算得乙角七十七度○六分倍之得一百五十四度一十二分為丁己丙太隂周之弧次求其各與本圏半徑同類之分則月徑及地景徑各與其本周若七分與二十二分也推得地景周一六三六一月周六一九一因此用丙戊丁及丙己丁兩弧各求其本圏徑同類之分則全周一六三六
　　一與所截丙戊丁弧之分若全
　　周三百六十度與本截弧四十
　　三度二十○分算得一九六九
　　為丙戊丁弧其半九八四為丙戊半弧也又太隂全周之分六一九一與丙己丁弧之分亦若三百六十度與本截弧一百五十四度一十二分算得二六五一為丁己丙弧半之得一三二五為丙己半弧也次以甲戊乘丙戊得丙甲丁地景兩半徑弧形之積二五六一三五二以乙己乘丙己得丙乙丁太隂兩半
　　徑弧形之積又丙甲辛角之切
　　線〈乙丙也〉與丙辛若全數〈甲丙也〉與
　　甲辛得丙辛九六○則彼此求
　　兩等邊直線三角形之積與求兩半徑弧形之積通為一法得甲丙丁三角形之積二三二二二四○乙丙丁三角形之積二一一二○○各減其兩半徑弧形之積得丙辛丁戊分圏形之積二三九一一二丙己丁辛一○九三九二五并之得總數一三三三○三七即丙己丁戊全形之積也又以太隂半徑九八五乘其半周三○九得三○四八五七五與總數比得太隂入景之面與其未食之面若一十三分與三十○分也
　　食甚前後時刻第三
　　食甚前初虧也食甚後復圎也兩限間之時刻多寡其緣有三一在太隂本時距度因距度或多或寡每食不同即太隂入景淺深不同淺則時刻必少深則時刻必多其二在月及景兩視半徑半徑小太隂過之所須時刻少半徑大太隂過之所須時刻多其三在太隂自行自行有時速有時遲雖則距度同視徑同而自行遲疾不同即所須時刻不同矣推距度及視徑皆依前所設法此專求太隂實行以定食時刻分
　　月食起復行度
　　太隂入景自初虧至食甚之弧與其出景自食甚至復圓之弧兩者畧相等故求其一倍之得在景之總弧如圗
　　甲為景心躔甲乙黄道乙
　　丙為白道太隂心至丁為
　　初虧在丙為食甚復圎在
　　戊丁戊者周天之弧也而所截弧極小故作直線用之人甲乙丙三角形也而乙角極小乙丙與乙甲畧等故作平行線用之因而甲丙可為垂線因而丁丙與丙戊亦可為等今自甲出兩直線為甲丁為甲戊皆當太隂地景之兩半徑而甲丙為太隂距度故甲丁戊三角形以甲丁方減甲丙方得甲丁方其根為太隂初虧至食甚行過太陽之弧若不用開方則有别法以角求對邊線如甲丁線與丙直角若甲丙線與甲丁丙角既得丁角餘為丁甲丙角則丙直角與甲丁線若甲角與月行景之半線丙丁也雖食分不同或半月入景或全體在景求初虧至食甚之弧恒倣此次求食既至食甚亦倣此倍之得太隂全入景至生光及復圎之總弧如圗甲
　　乙為黄道乙丙為白道太
　　隂心行至丁則全入景既
　　至戊即生光得丙丁及丙
　　戊略相等故先得丙丁倍之即丁戊也此則以甲丙為距度甲丁為地半景減月半徑之餘于甲丙丁三角形用此兩線及甲丙丁直角推丙丁線與前同法若欲精求之不聽甲乙乙丙為平行仍作兩線斜交於乙太隂初虧在丁食甚在丙復圎在戊丙丁是太隂在景之半為距交一十二分之一即作丁庚線與甲乙平行取丙
　　庚亦丙甲距度一十二分
　　之一以減甲丙得甲庚是
　　太隂初虧之距度以加甲
　　丙得甲己是太隂復圎之距度次以甲丁甲庚兩線及庚直角求得庚丁線以庚丁庚丙兩線及庚直角求得丙丁線為初虧至食甚行度後以甲己甲戊兩線及己直角求得戊己線以戊己己丙兩線及己直角求得丙戊線為食甚至復圎行度也
　　食甚距度線與白道當為垂線
　　求食時刻設太隂食甚前行度與食甚後行度等即距度線必當為白道之垂線不然者必行度前後不等而時刻亦不等如圗甲乙為白道甲丙為黄道太隂在丁自
　　庚黄極出線過丁月為庚丁弧至戊黄
　　道指太隂實度在戊因太隂在丁得交
　　常分甲丁而庚丁與庚乙若甲丁與甲
　　戊〈皆用正算〉若得甲丁四十五度與甲戊
　　最差之限得六分〈甲戊少于甲丁在圗為己丁〉若甲丁在食限内其與甲戊差又不及三分矣因兩道之最大距不過五度故也設甲丁弧得二十○度而以甲乙與乙丙之比例推甲丁與丁戊得丁戊距度一度四十二分今作戊己與甲乙為垂線又以甲丙與丙乙之比例推甲戊與戊己亦得戊己相距一度二十四分可見丁與己見有差戊己與戊丁有微差不足見也今不用戊丁開方而用戊己又以戊己平分太隂入景與出景之弧其不得有差甚眀矣
　　太隂食在景時刻
　　前第二巻論月食以食甚時為主于食甚前之初虧至食甚後之復圓總推定時刻分秒其法以太隂在景中行度變為時刻如先得食甚前行度求所當初虧至食甚時刻倍之得其餘行度亦變時刻皆依先所定行度用比例法推算也如崇禎五年壬申三月望太隂初虧至食甚行四十○分一十六秒欲變時用三率法太隂行三十三分一十一秒得一小時今四十○分一十六秒應得一時一十二分四十三秒但太隂自行恒異平行食時間恒不居本輪之一處故所用一小時之行分以定食間行之時不得用平行必須考將食之實行查太隂實行時表法恒以自行宫度得一小時之實行每度所值各各不同如太隂平行一時得三十○分二十九秒以本時自行求均度或加或減于平行得實行若加減度表對自行初宫三十二分四十○秒得均度二分四十六秒以減三十○分二十九秒得二十七分四十三秒為表中相當引數初宫初度之率也加減度表對自行一宫三十二分四十○秒得均度二分二十五秒以減一小時之平行餘二十八分○四秒為相當引數一宫及一十一宫之率也其餘皆倣此第自行在本輪最髙左右必減均度得一時之實行在最庳左右必加均度得一時之實行耳
　　既以實行推定總時刻則以食既至食甚之時減先定食甚時刻分秒得食既時刻分秒以相加得生光時刻分秒又以減食甚前總時得初虧以相加得復圎又以初虧減復圎得總食之時刻分秒若初虧在子時前復圎在子時後則即以丑初為十三時〈午正起算用小時〉丑正為十四時如是接續減之
　　交食圗義第四
　　求日月失光之面向何方位則有兩緣其一從太隂距黄道度作大圏令過太隂太陽兩心〈此日食也〉或太隂與地景兩心〈此月食也〉下至地平周遭移指交食所向之方也其二黄道斜交于地平日月隨之行遇食必有時向東南西北有時向東北西南也欲繪交食圗必先察日月所向起復方位苐舊法祗以隂陽二厯分别南北殊粗率今法必可得其度分頗為繁細耳
　　距度變日月食所向方位
　　太隂食起復之間以本行屢遷其度分即作過兩心〈月心地景心也〉大圏至地平時刻各異所向方位亦時刻各異欲盡推之其多無數故當求其初虧食既食甚生光復圎五向而止如圖甲為地景心甲乙為黄道戊丙為白道兩道之大距不逺故作平行線論初虧太隂在丙食既在丁食甚在戊即甲丙甲丁甲戊皆過月地景兩心之弧因太隂漸近于地景心甲其距度逺近漸次不同而乙甲
　　丙角乙甲丁角乙甲戊角之小大亦不同則太隂所向地平之方位度分亦不同故恒以本距度推本角如甲丙初虧之距為半景月半徑并之甲丁食既之距為半景減半月徑之甲戊食甚則為太隂之正距度也甲戊丁角可當直角不論其甲戊線與甲丙戊對角若甲丙線與丁戊甲直角得甲丙戊角與乙甲丙角相等〈乙甲丙為所求〉又甲丁戊三角形依此法推甲丁戊角與乙角丁角〈此為所求〉相等而食甚乙甲戊為直角故在甲諸角其線不等即所向方位不等論日食則甲丙為日月兩半徑甲戊為太隂距太陽食甚之視度以求甲丙戊角向下皆同前法今更作圗甲為景心乙丙為黄道若太隂初虧
　　在乙其入景之面必正向東若復圎
　　在丙〈初虧在乙復圎必不在丙故曰若指他食也〉其出景
　　之面必正向西皆無距度故若其距
　　北在丁或在戊即入景之面向東南
　　或西南若其距南或在己或在庚即入景之面向東北或西北也論日食設甲為太陽心其理同此但出入之面所向與月食所向正相反此為異耳
　　黄道出没變日月食所向方位
　　黄赤兩道之兩交切地平若一在正卯一在正酉不偏南北即諸方俱無濶度矣外此或黄道距南或距北其距漸多其出没之濶度去離卯酉亦漸多又南北極愈髙其相離更逺如北極出地三十六度黄道度去離春秋分或南或北一宫其濶度左右各一十四度一十五分若去離二宫則更逺其濶度各二十五度一十三分最逺者得二十九度二十九分若北極出地四十度即一宫得濶度一十五度○四分二宫得二十六度四十五分最逺則三十一度一十九分也太隂既隨黄道行其食也亦必依其濶度則起復之所向方位太隂亦必依濶度之左右也今欲定其多寡如圗南西北東為地平
　　圏丁甲戊為黄道食時得濶度戊距正
　　東若干太隂心在丙景心在甲過兩心
　　之庚甲己大圈指己因戊黄道度距正
　　東逺己隨之距正東亦逺而丙月之初
　　入景所向為己也今求東己弧先設辛為天頂出髙庳弧過甲至壬為頂極圏又作一癸午弧與甲庚為直角次甲乙丙小三角形有乙丙距度有甲丙兩半徑有甲乙丙直角依比例推得甲角次以食時及甲景所躔黄道度得戊甲辛角即得其餘辛甲乙角又得辛甲乙所分之辛甲午角〈减乙甲丙小角〉次甲辛午三角形有甲角有午直角又以北極髙及黄道距赤度得甲辛弧可推得辛午線以加辛癸象限得午癸總弧為午己癸角其餘角為甲己壬也而己甲壬為辛甲午之對角甲壬為辛甲之餘弧因可推壬己弧又戊甲壬三角形有原推之甲戊有甲壬戊直角有乙甲辛相對之壬甲戊角因可推壬戊弧去減先得之壬己餘己戊為所求太隂初入景所向東南維之地平經度以加初所得東戊弧則得東己總弧
　　月食圗
　　西厯恒推日月食所向方位以其所虧及復圎距度作圖求距度食甚前與食甚後為一法以太隂自初虧至食甚之實行加入太陽同時所行分秒得太隂初虧至食甚在景之總分以加前所定食甚交常度得復圎交常度以減得初虧交常度次求初虧距度則全數與其交常度若黄白之大距度與其距度求復圎距度倣此假如崇禎五年壬申三月望太隂初虧至食甚景中行過太陽四十○分一十六秒為時四刻一十二分四十三秒同時太陽行二分五十七秒以加前行得四十三分一十三秒為太隂在景之總行其食甚交常度為過中交八度三十五分五十八秒以加太隂總行四十三分一十三秒得復圎交常度一十○度一十九分一十一秒其正一七九一四以減得初虧交常度七度五十二分四十五秒其正一三七一○算得太隂初虧距度四十一分復圓四十九分三十○秒若用表以時分查太陽本行以交常度查太隂距度更易得矣欲依本食作圗其外大圈之半徑為月半徑地半景并得一度○四分三十二秒〈量用比例規或先平分一直線〉内取食時所
　　得地半景〈此為四十六分三十五秒〉作内圈以
　　當景次查距度此食在南初虧四
　　十一分復圓四十九分得太隂初
　　在乙後在丁食甚亦依其距度在
　　丙為食之定分圗上下左右書四
　　方其起復所向方位必與天合也
　　新法算書巻六十七
<子部,天文算法類,推步之屬,新法算書>



　　欽定四庫全書
　　新法算書卷六十八　　　明　徐光啟等　撰交食厯指巻五
　　視差以人目為主第一　四章
　　前言實㑹中㑹視時食限等皆日月食之公法也是皆凖於地心今再論月食生於地景景生於日故天上之實食即人所見之視食無二食也日食不然有天上之實食有人所見之視食其食分之有無多寡加時之早晚先後各各不同推步日食難於太隂者以此其推算視食則依人目與地面為凖
　　視㑹
　　凡交㑹者必參相直不參直不相掩也日之有實食也地心與月與日參居一線之上也其有視食也人目與月與日參居一線之上也人目居地面之上與地心相距之差為大地之半徑則所見日食與實食恒偏左偏右分為兩直線各至於宗動天其所指不得同度分是生視差而人目所參對之線不得為實㑹而特為視㑹如圖甲為地心乙為地面丙為天頂若丁為日戊為月即在甲丙一直線上則實㑹即為視㑹因地心與人目無分線故也若日在辛必月在壬方與地面乙作一線
　　為視㑹矣若月至己與地心甲作一線
　　則實㑹也今言交食惟以目見為慿故
　　日食全論視㑹若所居地面不同即食
　　分多寡加時早晏亦随之異也又視㑹
　　實㑹在日月本天皆無度分可指而全依宗動天之黄道圏度分則此實㑹線所指謂之實度視㑹線所指謂之視度如圖甲辛線所指為黄道之庚則庚為太陽之實度若乙目視辛日至黄道癸視己月至黄道午則癸為太陽之視度午為太隂之視度也
　　日月目見之度非實度
　　譬之畫圖者作平圓形則一舉手一運規即得矣若欲為螺旋線先須依法作識又依法作線乃成形焉測天之法亦猶是耳今欲知日月纒離東西南北亦轉儀闚表一覽可知若欲定其本行所在則非聊一寓目遽能得之必先後累測度分展轉較勘乃可定也假令目居地之中心〈地之心即宗動天之心〉極目所見則有恒星以當彼界兩界中間有日月五星是名七曜七曜相視有逺有近無有同者即論一曜亦各時逺時近無時同者是則目所能見也然因目所見得其視度於彼界因以視度測其與某恒星相距若干度分因以是度推其實與地相距若干逺近則可謂即目所見遂得其實行能分别其去地逺近則不可何者七政諸本天雖居恒星天之内乃不見火木土等内天之星以本體能掩最外之恒星則何從辯其内外逺近乎又目所見者太隂太陽二體相若何從知其内外之相距絶遠二體之小大絶不相等乎内天之兩星參對於外天之兩經星目見之能知外者之兩相距甚逺内者之兩相距不甚逺乎是三者皆目力難慿之效也或曰是則然矣測量之法皆慿目所見也則可廢乎曰何可廢也惟測内天之星得彼界所指之㸃以為即在恒星之天聊可得之矣何者凡用在界之弧以測其輳心之角無弗真者目測恒星之天其在地面與其在地心也無以異〈地居恒星天中止當一㸃〉若測内天諸曜目雖不在地心相距亦不甚逺故測日月五星於彼界上得㸃即與實度相近〈曰聊可得之曰距不甚逺曰近其實度皆因有地半徑視差故〉但恒星有時不見或與内天諸曜不相值故厯家以地平代恒星更用逺視之噐以助目力得日月五星之視度分依法推步乃正得其實度分矣
　　人目差
　　兩目賅存不惟相助以為明相代以備患亦能彼此互用以察物之逺近葢各以其心〈目睛最中之一㸃為心〉受外物之象其過心之兩直線至物體則相遇為兩腰兩睛心自相距為底成三角形因以其比例之大小别物距目之逺近是謂目差縁此可推天上之視差以小喻大其理一也若物大逺於人目則底線極小兩腰極長是過睛心之兩徑線與平行無異正如地球比恒星天之高特以一㸃為底視差無所繇生矣
　　如圖兩目之心為甲為乙目所視之物為丙若甲乙線
　　可比於甲丙線〈可比者不甚逺則有比例〉則兩戊己徑線漸相就如己
　　而相遇於丙若物更相近為
　　丁則兩徑速相就為辛庚〈甲乙丙及甲乙丁兩三角形皆等邊又同一底線則丁角大於丙角而丁甲乙角必小於丙甲乙角〉而兩目之光線皆從己歛向於庚自覺所視之物變逺為近矣若物與目相去甚逺則無比例者因兩徑絶難相就絶難相遇故也今借此理明視差之公理如本圖設丁物之前有横堵為壬癸令甲目獨視丁物則所見若在壬令乙目獨視丁則所見反在癸而丁前丁後兩交角形必相似即丁物亦不逺於壬不逺於癸葢視之目分兩線為交角即能分本物之逺近也若不能分兩線即不能分逺近
　　地半徑差
　　目視星欲辨六曜〈月五星也〉在恒星之内勢不能也則當借地體之大補目力之不及法用地半徑為底以推測量所指之界即可得七政逺近上下各居本天之實處如圖甲乙兩目相距為底則二寸耳今以兩地相距數千里或數里當之以為底如甲為順天府乙為廣州府丁為太隂兩人同測之一在甲一在乙因此大底之逺近比於各距太隂之兩腰得大小之比例則甲丁及乙丁兩
　　直線必覺彼此相就以趨於丁
　　矣再使壬癸為列宿天之兩恒
　　星〈或壬癸為太陽之全體壬當其南周癸當其北周〉測
　　者一從甲見太隂丁若在壬以夲體合於一星之體〈或太隂之南周齊太陽之南周〉一從乙測太隂反在癸轉就北以合於他星〈或太陽之北周〉若甲乙兩測之距愈相逺即所見丁月兩指之極高亦愈相逺〈一偏南一偏北東西亦同〉而人在甲能見太隂掩日為日食人在乙即不可得見矣以此壬癸當宗動天上之弧正所謂視差與前言目見之小視差其理一也第兩人相距千里萬里同時並測太隂其勢甚難故立别法代之〈詳見本書第六卷下文畧言之〉假令人正居地心推其所得太隂距天頂應若干度分又同時居地面者實測太隂距天頂得若干度分兩度之差即所謂視差也如圖甲乙丙為地球丁為天頂甲戊丁直線所至也若太隂在
　　此線左右為己從甲地心測月見之
　　當在庚自地面乙測之乃在辛則先
　　推定丁甲庚角或所當之丁庚弧後
　　推丁乙辛角或所當之丁辛弧〈乙距甲與乙距丁無比例甲乙至小故〉以兩角或兩弧相減得視差之弧庚辛
　　問一星距天頂測其宗動天上所指度分在地心測之則距近在地面測之則距逺若論角則地面之乙角大於地心之甲角何以證之其故何也曰因其一逺一近如圖太隂在本天其距頂之弧為己戊己戊之距地心甲與其距地面乙逺近之差則目所能識也所能分也
　　〈因地之半徑與月本天之半徑有比例故〉則目之在甲與
　　在乙所受己戊弧之象實不能無大
　　小為己戊弧等而兩角之大小不等
　　〈目受物象皆以角形見交食第一卷〉相近者必大逺者必小也角既有大有小所相當之弧不得不有大小則辛之距天頂視庚之距天頂不得不逺矣又論辛庚視差實為辛甲庚角所定何用辛己庚或甲己乙角乎曰甲乙線與甲庚線無比例〈小大絶逺故〉而甲乙與甲己則有比例即甲己與甲庚亦無比例也既甲乙與甲己同為微末不以入算則
　　用辛己庚角代辛甲庚角無以異矣若
　　論角則丁乙辛角與丁辛弧相當〈因甲乙與
　　乙丁無大小之比例〉又丁乙己角與乙甲己及甲
　　己乙兩角并等〈見幾何第一卷十六題〉則兩角并亦與丁辛弧相當矣今丁庚弧既與丁甲庚角相當則餘弧庚辛必與餘角甲己乙或辛己庚相當也
　　視差以天頂為限第二　六章
　　人目在地面或在地心仰視天所得日月道相參直者止有一不同者無數過兩目之垂線止一至頂之線此外分離處處各異
　　三視差
　　視㑹與實㑹無異者惟有正當天頂之一㸃過此以地半徑以日月距地之逺測太陽及太隂實有三等視差其法以地半徑為一邊以太陽太隂各距地之逺為一邊以二曜高度為一邊成三角形用以得高庳差一也又偏南而變緯度得南北差二也以黄道九十度限偏左偏右而變緯度得東西差三也因東西視差故太陽與太隂㑹有先後遲速之變二曜之㑹在黄平象限度東即未得實㑹而先得視㑹若在黄平象限西則先得實㑹而後得視㑹所謂中前宜減中後宜加者也因南北視差故太隂距度有廣狹食分有大小之變如人在夏至之北測太隂得南北視差即以加於太隂實距南度以減於實距北度又東西南北兩視差皆以黄平象限為主葢正當九十度限絶無東西差而反得最大南北差距九十度漸逺南北差漸小東西差漸大至最逺乃全與高庳差為一也〈三差恒合為句股形高庳其南北其股東西其句至極南則與股合至極東極西則與句合也〉
　　論日月視高差
　　太陽出地平上漸升至天頂得九十度在夏至則離赤道北二十三度半為丁辛如北極出地四十度即赤道離地平五十度加丁辛二十三度半得七十三度半此日在午正之高也今太陽未至子午圏别作一高弧從甲過
　　太陽垂至地平上為甲乙丙弧其乙丙既太陽未及午正之圏即其高不至七十三度也兩曜去天頂有高庳與恒星有逺近時時處處不同故其視差大小亦各不同惟曜在天頂則無差若下幾度則少差愈庳愈差庳至於地平則得其極大差矣今先論太隂如圖甲為地
　　心乙為地面丙為天頂丁己為太隂
　　本天丙戊為恒星天若人在地心甲
　　視太隂正在地平己直至戊在參宿
　　第三星下人在地面乙視太隂己直
　　至壬在參宿第一星下是壬戊不同度至一度○六分為太隂之極大視高差若太隂高至庚至辛視差漸減如在丁直視至丙人在甲與在乙悉無交角無差分矣太隂距地心最近者為乙地面至其本體得為地半徑者五十六个〈後言一个者皆一地半徑省文也〉若太陽甚逺於地自地
　　面至日輪得一千餘个其差更小日
　　出地平之最大差止三分漸高漸小
　　矣凡推日食恒以太陽之視差減太
　　隂之視差得兩曜之視差假如甲乙
　　為地球丙丁為日月本天皆如前於最上之天〈或指宗動或指恒星其理同也〉得戊庚為太隂視差得己庚為太陽視差相減得戊己為兩曜之高庳視差
　　求太陽高庳差
　　凡地半徑與星距地心之逺此兩直線若能為大小之比例者即人在地面所測與星所在之實度分不一是為視差若星距地甚逺其距逺之線極大地半徑極小兩線絶不能為比例即人所測與地心所出兩直線所指之度不能分即不能為視差故求星之距地逺近恒以視差為證以視差之多寡不等推其距地逺近亦不等如測恒星無視差可證其距地最逺測填星㣲有之僅得數秒而測太隂所得過一度因知七政之最逺者為填星最近者為太隂而太陽得視差三分當在其中央矣太陽太隂之距地逺近如前以月食求之其法更易今以其逺近及地半徑反推其視差定為高庳差表如圖甲乙為地半徑甲戊為太陽距地心之逺任在本天最高或最庳或高庳之間皆有小異今設在高庳之間者如日初出在丙則甲乙丙三角形内乙甲丙為直角
　　甲角直線為甲乙者一千一百四十
　　二个〈此中數也〉推得甲丙乙角三分為太
　　陽之最大高庳差若太陽在丁其丙
　　丁高弧三十度則以餘弧之乙甲丁
　　角推得高庳差二分三十六秒為甲丁乙角若丙丁高弧六十度則甲丁乙為一分三十秒依高度推高差皆凖此至天頂戊即無差
　　求太隂高庳差
　　太隂之距地既近視差既大即其在本輪之最高最庳次輪之最逺最近視差大小亦皆變易其在本輪最高次輪最逺〈一限〉則距地依歌白泥算六十八个二十一分以六十度高弧推之得視差二十五分二十八秒若在本輪最高次輪最近〈二限〉距地六十五个三十○分以同前高度推視差二十六分三十八秒若在本輪最庳次輪最近〈三限〉其距地五十五个○八分以同高弧推得視差三十一分四十二秒若本輪最庳次輪最逺〈四限〉距地五十二个一十七分以同高度推得三十三分二十八秒是為同六十度弧之最大視差若他高度其法同此所推視差各異矣又太隂在小輪高庳逺近時時變易視差随之無能不變欲考其幾何如圖甲為太隂本輪之心從地心壬出直線過甲至辛指最高於乙最庳於丙
　　是為次輪心一在最高
　　一在最庳而己丁及庚
　　戊兩弧皆設六十度引
　　乙丁及丙戊直線得甲乙丁及甲丙戊兩三角形今先求次輪在本輪最高逺近之間各度生何視差借太隂厯指所定以地半徑量諸輪之半徑得甲己為五个一十一分甲壬為六十个一十八分而己辛止得二个五十一分則甲乙丁三角形内得乙丁為一个二十五分〈地半徑為个个六十分〉甲乙為六个三十六分丁乙甲角六十度推得甲丁線六个○七分以并壬甲總得六十六个二十五分大於壬己線五十五徑分有竒是名剰分今更設比例分論之如壬己為六十比分即己辛得二比分三十七秒而剰徑分五十五當化為四十六比秒又己辛當六十比分依法推得一十八分正〈六十與一十八若二分三十七秒與四十六秒〉為次輪上六十度己丁所求高差應減於最近己高差也次論甲丙戊三角形其兩線甲丙戊角及剰分同前但壬庚線得五十五个○八分亦以當六十比分即庚癸得三比分○七秒而剰徑為五十五比秒又庚癸當六十比分亦推得一十八分〈六十與一十八若三分○七秒與五十五秒〉是為次輪上六十度庚戊所求高差應加於最近庚高差也葢依前所定四限丁六十度在一辛二己逺近之間高於己得視差少於己故剰分推視差以減於己得太隂在己正高庳差戊六十度在三庚四癸逺近之間庳於庚得視差多於庚故剰分所推視差以加於庚得太隂在戊正高庳差也其餘次輪之逺近度求視差皆凖此
　　太隂在朔高庳視差
　　本書二卷論太隂交㑹時恒居次輪之最近所謂第二第三限在前圖為己為庚也因太隂食日加時恒不在本輪之最高最庳而月行次輪周恒倍於本輪周故朔望時太隂恒在次輪之最近最近所行之周名本輪之内圏是大於次輪小於本輪以己庚相距之線為徑今欲求内圏之上下左右各度得何高庳視差如圖己丙庚内圏己為高最逺庚為庳最近乙距地心甲為地半徑
　　六十个一十八分〈設歌白泥之數以為
　　法〉己丙弧六十度乙丙得五
　　个一十一分與甲乙六十个
　　十八分同類之徑分也以甲乙丙三角形推太隂在丙距二限已六十度得甲丙線六十三个○四分因得甲己六十五个三十○分剰得二个二十八分今設己庚為六十○比分即推得一十四比分〈六十與一十四若己庚十个二十二分與剰徑二个二十八分〉為剰分以推太隂在丙之視差加於在己之視差得太隂之真視差
　　假如太隂距天頂四十二度在本輪七十二度在次輪六十○度總論其變視差以距頂倍之度查本表得太隂在逺近之第二限有高庳差三十五分三十一秒以較第一限贏一分二十九秒今距第二限六十○度依前法推得一十八分而六十分與一分二十九秒若一十八分與二十七秒則於二限高庳差減二十七秒餘三十五分○四秒是一二限間次輪行六十度之高庳差也又第三限較第四限之視差不及者二分一十九秒而六十與二分一十九秒若一十八分與四十二秒
　　以四十二秒加於第三
　　限之四十二分一十九
　　秒為四十三分○一秒
　　是三四限間六十度之高庳視差今太隂行本輪七十二度又在二三限之間法以丁戊上兩視差相減餘七分五十七秒於時太隂自行得二十比例分則六十與七分五十七秒若二十與二分三十九秒以二分三十九秒加於前推一二限間次輪六十度之視差三十五分○四秒得太隂居高庳逺近之間本輪七十二度距天頂四十二度次輪六十○度之真視差三十七分四十三秒凡以距天頂餘度求四限間之視差法皆凖此其在二三限日食所用有立成視差表依諸高度及距地逺近簡之
　　測日月求高庳視差
　　借月食推太陽太隂距地心逺近而求視差以三角形推算為常法欲從天行求之則測日月高度以比其實緯度兩度之較為高庳差也隆慶六年壬申有客星見王良北西史第谷以視差求其距地之逺立數法試之其一𠉀其至子午圏同恒星在極高度測其相距逺俟行半周在極庳度復測之得逺近之差以推定其高庳差其一用北極出地度考之從極上極下測一恒星得其高庳差度半之以加於下測之度或減於上測之度若未得北極出地之高度即有視差其一南北相距兩地同測一星以較於北極或於恒星彼此得度有差則有視差其一測星之高度依法以加以減不正得其赤道上之本緯度則視差所移易也今測日月其距極甚逺又有出有入非如北極恒星常見不隠二曜亦不能同時並測即諸法不可盡用備述此者明測𠉀之理且以需他用耳
　　假如萬厯十一年秋八月太隂黄經度從冬至起得一十五度四十○分黄道緯距北二度四十二分第谷測其子午高得上周一十三度三十八分其半徑一十五分蒙氣八分皆以減於高度餘實高度一十三度一十五分因太隂在赤道南以減本地赤道高度得太隂赤道緯度二十○度五十○分第以前黄道經緯推本方之實赤道緯僅一十九度五十七分則以相減得五十四分為太隂一十三度一十五分之高庳視差也又萬厯十五年六月太隂黄經度從冬至起得七度五十○分黄緯五度有竒推其赤道實緯度一十八度○五分測其上周高一十五度二十○分下周一十四度四十六分得徑三十四分太隂心高一十五度○三分内減蒙氣六分餘與赤道高相減得一十九度○八分為太隂赤道距度較實推贏一度○三分是為本方之高庳視差也從兩視徑觀之可見徑大者近於最庳小者近於最高故所測高度畧同所推視差大相逺矣又萬厯十四年九月測太隂高四十五度其視徑三十四分於時離鶉火宫十一度一十○分而本度距地平正當黄道九十度限不必用赤道緯度以求視差祗以黄道實緯度四度四十五分減視緯度距南五度三十○分得四十五分為太隂高四十五度之高庳視差也










　　以四方分視差第三　五章
　　視高差無定方惟日躔月離所在從天頂下垂線過曜至地平為直角其過曜處分視實之高庳而已至黄道經緯度亦依視高而有變易則因日月視度從黄道偏南北或偏東西或正或斜随所在得其横直視差為南北東西差
　　三視差總圖
　　前論視高差為過天頂大圏之弧止向地平随方取之今論南北差是過黄極大圏之弧為黄道兩平行圏所限也其一過實度其一過視度東西差則黄道之弧為過黄極兩大圏所限也亦一過實度一過視度三視差弧
　　獨黄道正南北或正東西則合為
　　一弧外此必成三角形以法推每
　　邊之度分也如圖甲乙為地半徑
　　丙為太隂丙丁為月本天戊己庚
　　為黄道壬己癸為過天頂象限從
　　地心出直線過太隂為甲丙至宗
　　動天指其實度為辛若從地面出乙丙線指其視度為午則辛午弧為太隂高庳視差午申弧與黄道平行過太隂視度於午未辛酉弧亦與黄道平行過太隂實度於辛則兩平行弧間午未或辛亥為太隂南北視差又亥辛及午未為過黄道極大圏之弧則亥午在其中為太隂東西視差合三視差得午未辛或亥辛午三角形今依本圖設日食在黄平象限西太隂以實行在子正對太陽在己人在乙尚未見食必太隂過東至丙乙丙己參相直則見食是為視㑹是實㑹在先視㑹在後也若食在黄平象限東即反是如次圖更易見設乙甲丁
　　為地平戊為天頂甲辛己為黄道丙為
　　其極太陽或太隂在己為實度但人不
　　在地心在地面如庚視太隂在壬則己
　　壬為高差從丙至己至壬作丙己丙壬
　　兩弧線即得甲己線交黄道於辛而辛
　　己為東西差辛壬為南北差
　　高弧正交黄道南北東西差
　　以高弧與黄道相交之角分南北東西差可得其㡬何葢兩弧相交以直角則高弧正為距度弧不偏東西即絶無東西差而高庳差徑為南北差若黄道自為高弧而太隂在交處無距度則高差徑為東西差而絶無南北差若太隂有距度則黄道不同於高弧太隂不免有東
　　西差亦並有南北差如圖甲戊為黄
　　道即為高弧與地平為直角甲為天
　　頂太隂在丁則其高差丁戊即為東
　　西差若太隂距南或北作大圏過黄道之兩極為乙丙其距度為丁乙丁丙得甲乙甲丙弧與甲丁弧必不等又不交於乙丙弧之極故甲乙丁甲丙丁不能為直角而並得南北東西差且太隂愈近天頂乙丙兩角愈鋭南北差愈多太隂愈逺於天頂兩角漸大殆如直角而南北差漸少
　　高弧斜交黄道南北東西差
　　太隂有距度求視差甚難其理甚繁其在交無距度者稍易稍簡故先之設黄道為甲乙丙其斜交之高弧為丁乙戊太隂無距度在乙其視高差為乙戊得南北差為丙戊東西差為乙丙成乙丙戊三角形其形有丙戊為過黄道兩極之弧則乙丙戊為直角有丙乙戊角其相
　　當弧甲丁過高下圏及黄道極之弧也
　　有乙戊視高差法以曲線三角形之理
　　推乙丙丙戊兩視差之弧但此三角形
　　小其三邊皆為大圏之弧可用直線法推之再設太隂不正在交有距度或南或北如圖丁乙為過地平兩極之高弧甲乙丙為黄道太隂距南在戊距北在己其黄
　　經度在乙從天頂得丁戊為太隂距
　　南高弧丁己為太隂距北髙弧因實
　　度在戊在己視度在庚在壬得戊庚
　　及己壬為太隂視高差又得庚癸壬辛弧其至癸至辛指太隂視經度與黄道為直角今以實經緯及北極出地度算南北東西差
　　假如以北極高得乙丁過頂弧又有乙戊為太隂距度弧有甲乙丁為高弧交黄道之角加甲乙戊直角得丁乙戊角可推丁戊弧及丁戊乙角若太隂距北有丁乙己為高弧交黄道角之餘角亦可推丁己弧及丁己乙角又查丁戊丁己視高差表得戊庚及己壬而太隂距南乙子戊三角形内有子乙戊直角有乙子戊高弧交黄道之角有戊乙距度弧可推子乙及子戊弧則子癸庚三角形内有子庚弧有庚子癸角有子癸庚為直角可推庚癸視距度去減乙戊實距度得南北差亦可推子癸黄道弧減子乙得乙癸東西差其太隂距北則乙
　　癸己三角形内有距度乙己有乙己
　　癸角有乙直角可推乙癸及己癸弧
　　及乙癸己角去減己壬視高差得壬
　　癸弧又壬辛癸為直角可推辛癸及壬辛於乙己距度去減壬辛視距度餘為南北差乙癸減辛癸餘乙辛為東西差
　　如上説細論視差於理為盡若恒時推步别有㨗法力省大半盖丁乙己角可當丁戊乙角甲乙丁角可當乙癸己角丁乙弧亦可當丁戊及丁己弧故也若本地距黄道逺依此算即不得有差惟黄道在天頂太隂之大距五度又在本天最庳則差至六分不得用此若太陽将食即太隂居食限之内距度不過一度半依省法算所差者不過一分四十五秒欲并無差仍用原法太隂無距度以視高差求南北東西差
　　依圖乙壬戊為子午圏乙甲丙為地平壬為天頂丁甲戊為黄道壬己為高弧太隂在辛則辛己為視高差自黄
　　極癸出癸辛癸己兩大圏弧限辛庚
　　為東西差庚己為南北差此三角形
　　有己庚辛為直角辛己為高差更得
　　高弧交黄道之角庚辛己則視高差
　　辛己之正與南北差庚己之正
　　若全數與庚辛己角之正
　　假如高弧交黄道之角庚辛己得六十四度三十五分
　　一十五秒其正九○三二四視高
　　差辛己得五十八分三十六秒正
　　一七○四算得正一五三九查
　　其弧得五十二分五十四秒為太隂
　　南北差庚己此用正法也或用加減算求南北差則以辛己高差減庚辛己角餘六十三度三十六分三十九秒得餘四四四四六又相加得六十五度三十三分五十一秒其餘四一三六八兩餘相減餘三○七八半之得一五三九為南北差之正也或用線求東西差則全數與庚己南北差之割線若辛己高差之餘與庚辛東西差之餘或用角求東西差則庚辛己曲線三角形甚小可用直線三角形法其高差之正與東西差之正若全數與高弧交黄道角之餘假如用線推南北差五十二分五十四秒得割線一○○○一一八五視高差五十八分三十六秒其餘九九九八五四七推得九九九九七三一為餘得二十五分一十秒為庚辛東西差再以角求東西差則庚辛己角之餘四二九一三高差之正一七○四算得七三一為正弧亦查得二十五分○八秒為東西差或用加減算則高弧交黄道角之餘二十五度二十四分四十五秒減高差餘二十四度二十六分○九秒其餘九二○四二加高差得二十六度二十三分二十一秒其餘八九五八○兩餘相減餘二四六二半之得正七三一查得二十五分○八秒為庚辛東西差太隂有距度以高差求南北東西差
　　前題算有距視差法簡矣又有簡於此者但依太隂時距南時距北分兩圖解之如圖甲己丙為子午圏甲乙丙
　　為地平乙丁為黄道天頂在己太隂
　　在子則己癸為高弧子癸為高差又
　　辛當北極北極圏為戊庚負黄道極
　　戊自戊出大圏之弧戊壬過丑指太
　　隂實經度而丑子為實距度又出一
　　大圏弧戊癸至太隂視度癸從癸作垂線至壬得壬子癸三角形而子壬為南北差壬癸為東西差〈丑壬寅癸兩弧小故壬癸可當丑寅〉欲求其幾何先依第一法從天頂己連赤道極黄道極為己戊辛三角形形有兩極相距之弧辛戊有
　　北極出地之餘弧己辛有極至交圏
　　交於子午圏之己辛戊角可推黄極
　　距天頂之線己戊次己戊子三角形
　　有黄極距天頂之弧己戊有太隂出
　　地高之餘弧己子又有戊子在第一
　　圖為象限戊丑加太隂實距度丑子之總弧在第二圖為太隂實距度丑子之餘弧可推己子戊角次子癸壬三角形有高差弧子癸有壬子癸角有子壬癸直角可推子壬弧是為太隂南北視差又本三角形以子癸高差子壬南此差推壬癸東西差
　　假如第谷測太隂在𤣥枵宫初度五十六分距南四度三十八分日在申正五十○分得太隂高弧九度二十○分得高差五十四分二十○秒其夲方北極出地五十五度五十四分三十○秒即升度為三百一十二度四十三分去減鶉首初之升度餘為極至圏交於子午圏之己辛戊角而己辛及辛戊兩弧皆不及九十度則己辛戊為鋭角法全數與第一弧之正若第二弧之正與他數〈名先得之數〉又全數與先得之數若兩弧所包角之正矢與他數〈名後得之數〉而後得之數恒加於兩弧較
　　差之正矢得第三弧之正矢如前圖
　　依第谷測己辛戊三角形求己戊弧
　　則兩道大距弧辛戊〈第一弧〉之正三
　　九九一五其夲方極高餘己辛弧〈第二
　　弧之正〉五六○五二求先得之數
　　為二二三七三又己辛戊角〈兩弧所包角〉四十二度四十三分得正矢二六五二八求後得之數為五九三五以加兩弧較差之正矢一六九六得七六三一為己戊弧〈第三弧〉之正矢查得二十二度三十一分四十一秒以求己子戊角則己戊子三角形内全數與第一旁線之餘割線若夲角旁次線之餘割線與他數〈名先得之數〉又兩旁線較差之正矢與對夲角線之正矢相減餘為他數〈名後得之數〉而全數與先得之數若後得之數與本角之正矢如前圖己子〈角旁次線〉為太隂距天頂弧八十○度四十○分餘割線一○一三四二戊子〈第一旁線〉為太隂距南加象限共九十四度三十八分餘割線一○○三二八算得一○一六七四為先得之數其較弧較差一十三度五十八分得正矢二九五六減己戊弧之正矢七六三一得四六七四為後得之數依法算得四七五四為己子戊角之正矢查得一十七度四十四分一十五秒以求子壬弧則全數與子癸高差弧之切線若壬子癸角之餘〈壬子癸與己子戊兩交角等〉與子壬弧之切線而子癸弧之切線一五九四壬子癸角之餘九五二四八算得壬子弧之切線一五一八查得五十二分一十○秒為太隂南北差之子壬弧以求東西差則全數與子癸弧之餘九九九八七五一若子壬弧之正割線一○○○一一五一與壬癸弧之正割線算得九九九九九○二為壬癸弧之正切線查得一十五分一十○秒為太隂東西視差壬癸或寅丑
　　又次法甲乙地平甲丙黄道戊癸高弧丁黄道極皆同
　　前此圖加戊辛為太隂實經度出地
　　平高之餘弧而戊辛己三角形内又
　　有太隂實高度之餘弧戊己有太隂
　　實距度己辛以此三邊徑推戊己辛
　　角為高弧交太隂緯弧之角其餘角
　　〈前圖〉或交角〈後圖〉為壬己庚角
　　假如依前算戊己八十○度四十○分得餘割線一○
　　一三四二太隂距南辛己四度三十八
　　分餘割線一二三七九四七算得一二
　　五四五六○為先得之數以本兩弧之
　　較差七十六度○二分得正矢七五八
　　六四戊辛弧七十六度一十五分三十○秒得正矢七六二四五以相減得二八一為後得之數又算得四七六○為戊己辛角之正矢查得一十七度四十五分日食掩地面幾何
　　太陽有全食或周邊無光而晝晦星見者有全食而周顯金環者又有食不全而此地見食之分多彼地見食之分寡者今欲求見全食之地幾何廣見金環幾何逺自見全食之地至盡不見食之地幾何更求相距幾何地即見食漸差一分此四者大概依視差推算種種具有法焉
　　全食不見光之地面
　　依第谷測定𫎇氣之高距地面上約有九里欲求全食時得人所共見里數若干即以𫎇氣高與太隂視徑及太陽光氣内曲之角定之葢交㑹時太隂當日目之中掩太陽光其視徑必大於太陽視徑而人目所周之地平自無光矣但日光從最通明處射地而来一遇次通明之蒙氣即曲而斜照〈見本厯指第一卷〉必依氣之高低漸漸聚合廣狹不等如氣太高則光不至地面而聚合可無滿景氣太低則光一曲即至地月景反覺開展不止恒測之界今設氣高九里以絶日光必月景近地占千餘里必太隂視徑大於太陽視徑四分有餘乃可論食在天頂也若食在下度則月徑可小景或反大圖中𫎇氣高
　　為甲丁求甲乙丙以定甲丙不受光氣
　　之拓界乙丁乙丙皆地半徑約一萬二
　　千里則乙丁與全數若甲乙與甲乙丙
　　角之割線算得一○○○六○查本表得一度五十九分為甲乙丙角又全數與本角之切線若丙乙線與甲丙線得里數為五百一十九即太隂在頂滿景之半徑也而全徑則一千○三十八里葢食距地平高三十度即太隂視徑大於太陽視徑止一分必滿景徑得千餘里視徑加大里數亦多然䝉氣差表未譯故止以地半徑差别求之
　　法日月兩半徑相減以差數加太陽視差即於表中本高度前後查太隂高下視差與得數等即以高度差前後各得滿景半徑若視差與得數不等即以中比例法求相應之高弧加於高度差如太陽行最高得視半徑一十五分太隂行最庳得視半徑一十七分二十○秒差數為二分二十○秒試以食在天頂〈廣東廣西等處夏至時是〉下二度為八十八以本度查太陽視差表得六秒加兩半徑差數得二分二十六秒於太隂視差表中以八十八度查二分一十四秒所不及者為一十二秒依比例算得一十一分宜加於二度即更下去頂愈逺也故天頂正下為滿景之心前下二度一十一分景缺即初見光其界限約五百四十六里後下高弧等得里數亦等共得一千○九十二即同食甚時同見食掩地面之廣也欲論先後時刻自初見滿景至復見生光則日月並随宗動天行之度化為里數所得見滿景必不止數千里矣若太陽行最高太隂在高庳之正中其差數加太陽視差共一分二十○秒算食甚時得滿景二度二十八分為里數六百一十七又太陽及太隂皆在最庳得總差數一分五十三秒算食甚時得八百四十二里為滿景至於兩徑相等或太隂不甚大於太陽即無滿景因𫎇氣曲光内射故也
　　試食甚在下度距地平七十○度太隂在最庳得視差二十一分四十六秒更下二度得視差二十三分四十九秒差二分○三秒至兩半徑差數餘一十七秒加太陽在最高從七十至下二度強所變視差度○七秒總得二十四秒即以比例算應高弧二十四分總得二度二十四分化為里得六百即地平上自中往後見滿景之地也若往前設地平高七十二太隂視差一十九分四十○秒較於太隂高七十度之視差差二分○六秒至兩半徑差餘一十四秒加太陽變視差七秒〈上下加求太隂從太陽視差故〉總得二十一秒因以比例算得二十分加於七十二度化為里得五百八十三即往前之滿景前後相加總得一千一百八十三里乃食甚同見滿景之地也依本法推算食甚距天頂愈逺得滿景愈大而自其中心論前後兩半徑必随高下度不等如食甚距地平高四十○度在前得三度二十三分為八百四十六里〈景之前應高度多查表求後景之後應高度少查表求前〉在後得三度三十八分為九百○八里總七度○一分為一千七百五十四里若食高二十○度必前行一千四百八十三里即五度五十六分後行二千二百○八里即八度五十○分總三千六百九十一里為滿景因視差近地平變少必度多即得變數與兩徑差數等徑差少〈或太陽在最庳或太隂距最庳畧逺〉即高度進退亦少里數亦減矣
　　見金環之地面
　　太陽在最高其視徑較太隂在最高之視徑畧小較在中或最庳愈小無比故全食之食甚不顯餘光而周無金環明矣其在中距與太隂在最高之視徑等雖因𫎇氣可顯金環然以大小之故不能畢露且𫎇氣所生大小随時随處不一則亦無從可定耳自中距以下太陽視徑漸大較太隂在最高至最庳即大三十○秒矣設食甚在天頂因周大一十五秒得四圍去中心逺四分度之一而可見金環者約有六十二里乃全徑則一百二十五里為此時所同見至先後可見之地者又不止此若食甚距天頂愈逺得金環愈大假如距四十度〈高弧五十度〉依前一十五秒應得二十分全徑則四十餘分以三十度高弧應得全徑一度二十度高弧應得一度半一十○度應得四度化為里約一千里何也因視差近地平變少得度多故也若論𫎇氣愈加得金環愈大因此第谷居北方設月朔半徑大於望半徑亦此意也總見食之地面
　　求滿景及金環俱以日月視徑為主如太隂大於太陽則生滿景太陽反大即為金環此一定之理也今欲得滿與缺之景㡬何或從見滿景地面〈食既是〉至漸不見景地面〈復圎是〉即以兩曜最高最庳之行求之葢日月皆在最高見食地面少皆在最庳見食地面反多〈因正在高庳故倘相距漸逺其食景大小亦漸變易〉一在高一在庳則見食多寡均矣論天頂全食法加日月兩半徑以總數查表所得數或等或小加此兩數之差更加太陽視差復得總數復查表其旁所得高度即自景中心至不見食之界也〈總數不正合髙度用中比例法求之〉假如日月皆在最高加其半徑總得三十○分一十五秒查表太隂距地最逺之方所對六十高度得三十○分○六秒較兩半徑總數差九秒太陽視差○一分二十七秒三數併加共得三十一分四十二秒在高度五十九及五十八間〈自頂往下故〉以中比例推得四十六分乃自天頂至周界得三十一度四十六分為總見食地面之半徑而全徑則六十三度三十二分化為里共得一萬五千八百八十三使日月皆在最庫兩半徑數并得三十二分五十○秒查表本方内得相對高度五十九依前法推得不止五十八度即見食之界距頂三十二度五十○分共六十五度四十分為里一萬六千四百一十七若太陽在最高太隂在最庳總得六十四度一十八分即一萬六千零七十五里使太隂在最高太陽在最庳算得六十四度五十二分為里一萬六千二百一十七
　　若論全食在下度食愈低其景愈大但地面不全受景則人目在地面同見食之廣不全依高低度何云食愈低其景愈大視日月兩輪大小約等以中心與目正對皆居一直線上雖相距實逺目視之若同為一輪同在一度今欲見其兩心相離不正在一線則自此地至彼地勢若横行然葢高度全食前後左右皆於日月為横行愈高愈横得景亦少若全食在下度或前或後〈以髙弧及同見為主前後非東西南北可定必随日月所居方併過目圏為是〉多為對行而非横行愈下愈對必行之多始得其體之離惟多行故遲出景外所以食在下度愈低得景愈廣矣何云不全受景見日食即因日月目併居一直線上〈此論以體相對雖心不正在一直線㑹合亦無妨〉今全食在高度或前或後行凡日月目直線可對者自正以心相對惟去離漸逺至以邊相對則以見食至復圓為止若全食在下度目少進即見食漸高至兩曜以邊居直線上亦能盡見其復圓使目退行少許見食漸低兩曜先至地平不及以邊居線上因而體雖尚對而所餘食分為目所不見矣縱使更退亦不得見復圓故地面所受之景乃地景〈日巳沒故〉非日食之景耳推下度全食之景法日月兩半徑并與食甚高度太隂之視差順表相減餘數加太陽視差總數復查表得數等其旁所遇高度即為前行見食之界若不等以中比例求相應之高度與表兩半徑并加太隂視差更加太陽自食甚高度至夲總數相應高度所變視差而末所得總數必應高度即後行見食之界如日月皆在最高兩半徑并得三十○分一十五秒設食甚高八十○度太隂視差在此為一十○分二十九秒兩分數相減餘一十九分四十六秒約應高度七十一得太陽視差五十六秒以加總得二十○分四十二秒乃又應高弧六十九度五十五分即前行至日月過頂二十○度○五分而見食地面共為三十○度○五分若後行兩分數宜加得四十○分四十四秒約應高弧四十七度太陽視差自八十至此變一分二十九秒以加總得四十二分一十三秒應四十五度一十六分即日月高相離之界共為三十四度四十四分乃後行見食地面之徑也設食甚高為六十○度依本法算得前行見界距三十○度○九分過天頂較前徑畧長後行則景長無比必行六十度始見下地平其未見復圎者八十餘秒而前後地面見景為九十餘度設食甚高四十度必前行三十四度一十四分後行四十度乃下地平尚見食五分八十餘秒總見景者七十四度設高二十度往前得四十三度二十分往後行二十度止得見復光約一分總度六十三度有餘愈下愈見少即此可知同見食之廣不全依高低度因地面不全受景故也
　　若日月皆在最庳得半徑并最大數為三十二分五十○秒設高八十度必前行三十一度後行三十六度共六十七度所同見食較前畧廣設高六十○度即前行三十一度後行六十度未可見復圓葢所少為一分二十秒耳大概依餘日月半徑及餘高度求同見食之地面皆倣此算而以度數更求里數論先後見食則以總食之時及時氣兩視差細求之可也
　　見食進退一分應地面幾何
　　太陽任在本輪高庳距天頂逺近及在四方偏正俱分一十平分而見食地面則依高弧取前後以定其徑葢徑之大小依高度前後不能為同即前所云較食在下度與食在高度自得更大乃論滿景之公公論也今又設為全食如前行即太陽從下生光漸至上復圓若後行即從上生光至下復圓總進退間止在一十分内欲算法於度數之分所應任取之徑分加太陽視差及日月各半徑不等之分秒總數查表其旁所對高度即本徑分之景界化為里得見本食之地面矣假如日月皆在最高食甚在天頂設生光為一徑分〈食退是〉求所應之度即十徑分與三十○分〈太陽全徑度數之分〉若一徑分與三度數之分以本三分入表查太陽視差九秒更有日月兩半徑不等之一十五秒總得三分二十四秒應三度一十三分即去頂生光之界共八百零四里若生光得太陽半徑即五徑分當一十五度數之分加太陽視差四十五秒及兩半徑不等之一十五秒共得一十六分應一十五度二十四分距頂之界試以復圓即三十○分查太陽視差一分二十七秒加半徑不等之秒總得三十一分四十二秒應三十一度四十六分乃與前求總景之數正合若食若在下度如高六十○度求一徑分相應之高弧即以三度數之分如本六十高度太隂視差得三十三分○六秒約對五十七高度因至此太陽變視差八秒宜加且更加兩半徑不等之秒總得三十三分二十九秒應五十六度一十○分即自食甚至一徑分生光得三度五十分較前算自頂退一徑分多得三十七分為一百五十餘里若求五徑分應幾何即於六十度太隂視差加一十五分得四十五分○六秒對四十一度查太陽變視差四十四秒加兩半徑不等之秒總得四十六分○五秒應四十○度四十五秒自食甚至半徑生光得一十九度一十五分較前多三度五十一分若日月在本圏别度得視徑大小較最高不同必先求徑分所應度數之分幾何然後依本法算而進食之分與生光之分亦同一理也
　　日食掩地面總圖





　　甲為太陽乙為太隂丙為目三者於食甚時皆居一直線上以心相正對也設太陽視徑小於太隂視徑為丁戊即地面得滿景為壬辛必自中心丙至壬至辛乃可見丁戊日輪之邊耳設太陽視徑大於太隂視徑為庚癸而目在中心丙以丙巳丙子直線見太陽庚癸邊必周得金環倘退至壬或進至辛即不見之矣論滿景總為丑卯自中心丙進前至卯即以卯丁直線見日輪復圓退後至丑即以丑戊直線亦見復圓徑之大小在高度低度其理一也


　　新法算書卷六十八



　　欽定四庫全書
　　新法算書卷六十九　　　明　徐光啟等　撰交食厯指卷六
　　外三差
　　前論交食法有東西南北髙庳三差皆生於地徑蓋以地為太圜之心為此界以宗動天為彼界日月在兩界之間因地徑之小於日大於月生彼界之視三差也今言外三差者於三差之外復有三差不生於日月地之三徑而生於氣氣有輕重有厚薄各因地因時而三光之視度為之變易三者一曰清𫎇髙差是近於地平為地面所出清𫎇之氣變易髙下也二曰清𫎇徑差亦因地上清𫎇之氣而人目所見太陽本徑之大小為所變易也三曰本氣徑差本氣者四行之一即内經素問所謂大氣地面以上月天以下充塞太空者是也此比於地上清𫎇更為精微無形質而亦能變易太陽之光照使目所見之視度隨地隨時小大不一也外三差之義振古不聞西史第谷於萬厯年間殫精推測鈎深索隱厯家推重以為冠絶古今而此秘未睹至其暮年方行萬里乃始洞徹原委尚未及著書其門人述遵遺指撰集論次然後交食之法於理為盡則近今十餘年事耳盖厯學之難言如此
　　清𫎇髙差
　　厯家測騐日月及經緯諸星積累所得其光入人目徃徃不依直線而至夫太隂太陽有地徑視差無怪其然也恒星無地徑差人測之在地面與在地心不異宜所見者必依直線若之何不然且兩星相距近於地平與其相距近於天頂絶不同其各體之大小亦不同又太陽太隂固有地徑差其視體偏下視髙度宜少而所得者忽復多定望時二曜正居天地徑之兩端以理論見一不得見二或並見則半體而已今有時全見之何也古度數家見直物入水中折成曲象空水之交則有鈍角以此鈍角喻諸星射目之折線於理為允則近地面之氣可比於水天體至清可比水晶光在有氣無氣之交必成折角而能令諸曜之象升卑為髙也若星距頂愈遠所射光之折線角愈減其鈍而視髙之去實髙也愈多蓋近地則濕氣愈厚故受𫎇為甚而又實非雲霧等有質之物且在地濁之上〈厯言入濁言濁中近濁入則不見視此為異也〉謂之清𫎇也因此凡測𠉀兩星若距度線與地平平行者其氣所升視之巳在赤道上迨太陽近午出𫎇氣之外復測之始以實行交於赤道為真春分秋分反是先以近午之實行在赤道上為真秋分迨昬測之日巳入過赤道而北矣視度乃復在赤道上自朝至中不能有兩春分自中至夕不能有兩秋分則朝夕所見皆視度非實度也則皆清𫎇之高差也
　　問清𫎇之氣能變易太陽太隂之實度是已其言隨地隨時又各不同者何謂也曰第谷測定清𫎇諸差太陽與太隂大約相等而與諸星則不等其五星所得之差又與恒星不等因此推知致差之因不在距地遠近其差大小皆氣之所為也氣厚薄時之所為也距地遠近地之所為也凡考七曜之𫎇差皆𠉀其高弧至於無𫎇之處得其實度而以較於有𫎇之處得其視差幾何如第谷所居北極髙五十五度冬至日夏至夜皆甚短其測候太陽之𫎇差必於夏月太陽出𫎇氣之上乃可得之測恒星之𫎇差又於冬月若夏測星冬測日則盡日盡夜皆在𫎇氣中無法可得而氣之厚薄冬與夏必有分矣故所定氣差隨之異也若論地則山阜之上𫎇氣為在髙之距與在庳之距必小有異若不與地平平行而兩高弧各異者不論或正〈與地平為直角〉或斜〈與地平為斜角〉其在髙之距與在庳之距亦小有異總之星愈近於地兩距之實度愈少遠則愈多矣第谷之本地北極高五十五度有竒測定太陽太隂之𫎇氣差大約相等自地平以上至四十餘度髙差漸少更高則無有而近地之最大差得三十四分故太陽極近地平以地徑視差之偏庳三分𫎇氣差之視髙三十四分相減得太陽高弧之視差三十一分則目視太陽將入以下周至地平見謂在上而其實體已全入於地太隂以最大之地徑視差六十三分𫎇氣差之視高三十三分相減餘三十○分目視之見謂全没而其實體猶全在地平上也多祿某以渾天儀測太陽行春秋分積年所得皆以本日兩交於赤道遂為千古不决之疑不知者意其差在儀器儀器果差安得百無一合又安得悉在地平之上竟無差而在下者乎至近世而後知為清𫎇之差也第谷用器甚多甚精諸器畢合不可謂有器差而其所得亦復如是所以然者太陽臨春分論實度尚在赤道南晨測之為蒙少平地乃多澤國尤多海濱更多葢此氣周生於大地之靣外規之界距地心悉等而地靣有高庳其距氣界各各不等此為淺深厚薄之緣正如海底有坳突之勢因有淺深若海水之靣恒平而已然論其恒勢淺氣所生之視差少深氣為多論其變淺氣或忽然増加少易而多深氣乃鮮有變時也萬厯十八年庚寅夏六月西厯記月食太陽以半體出地其太隂正相對尚高二度入景中已多分及太隂半没而太陽已高二度出地平之上若以恒理論之則太陽心方出地平景心宜同時而入太隂之西周實入於地又當在景心入地之前今太陽心出矣而景心尚高二度非蒙氣所為安得此乎然此視高差可謂甚大則以本地近於大山之下大河之濱其𫎇氣為厚遇夜清氣上騰凌晨更甚故也若他地他時未必盡同此數故治厯者當先定本地之諸曜蒙差叅以時令乃能立表推歩其法須累測交食之多寡早晏斟酌定之勿謂精於本法便可隨地隨時必無舛戾也若立差旣定而臨食時氣候忽更此則難可豫料然所失無幾矣此髙差惟月食累遇之若日食則二曜之𫎇氣差大畧相等髙弧旣同鮮有變易徑可勿論也
　　清𫎇徑差
　　太陽全食晝晦星見恒事耳中史及西史皆數記之若太隂全在日與人目之間而不能盡掩日體四周皆有餘光厯家謂之金環或有闕如鈎或云依日月周徑本法則不應有此何者凡此一視徑或大或等于彼一視徑則以此體寘之人目與彼體之間無不全受掩蔽者今止論太陽在其最庳全視徑為大得三十一分太隂在其最高全視徑為小得三十○分三十○秒其較三十○秒為全徑六十分之一耳卽定朔果在此時日月以兩心正㑹何因四周能見太陽之邊乎〈或有時可見詳下文〉此説是也然而古今所記實見實測乃復多有之如隆慶元年丁夘三月朔日太陽近於最高得全徑三十分太隂在高庳之正中得全徑三十二分三十四秒則全掩太陽之外尚餘二分三十四秒乃西土實侯至食甚時二曜以心正㑹見有金環又萬厯二十六年戊戌二月朔日太隂在最庳掩太陽復如是論地則此測在西國之内地前測在海濱論北極則此測髙五十度前測正髙四十二度論臨食時此測有雲前測無雲也〈雲氣雖不掩日月亦能變易光曜損益分秒〉而第谷專精𠉀騐多在北海之濱北極高五十六度累年宻測終不見太隂盡掩太陽晝晦星見是則日光恒贏月魄恒縮又將疑掩之不盡為恒事矣迨萬厯二十八年庚子六月朔於内地北極高五十度測得日食五分有半依本地原推正應四分較多一分有半則又日光縮月魄贏也又萬厯二十九年辛丑十一月朔日全食第谷門人於本地北極高六十餘度測得食甚時見金環四周皆廣一分有半〈太陽徑十二分〉萬厯三十六年戊申七月朔日食西土内地北極高五十一度測食甚時得二分正同時向北更四度論高視差宜減一分猶宜見食一分而第谷門人宻測乃不見食此兩
　　測者皆日先居贏且贏甚也而皆無雲綜其大都極出地甚髙近海或大澤食時多雲氣則日光贏測數少於推數極出地迤庳居地平髙去水澤遠食時無雲氣則月魄贏推數少於測數展轉推求即清𫎇之氣隨地隨時有無厚薄不等能淺深受光於日而變易其照耀之勢使人目所見或增或減迄無定限也再騐之海中有小島其視體甚小於太陽之視徑日初出時正當其中平分太陽之體則石之兩旁皆顯大光若不當其中而石居太陽之左右則不能映蔽日光如兩相退讓而露太陽之全體此為何故石之蔽日隱顯之間雖以一線為界乃海中𫎇氣極厚日之施光𫎇氣受之故人目所見日光能侵軼於本界之外也喻月魄於石體其理正同故𫎇氣盛者全食時如石當日之正中少食時如石當日之左右即髙弧至於午正人目見日無横斜之線不能升卑為高乃地以上之𫎇氣猶能承受日光使溢界外而展小為大月不蔽日職是故矣如圖地心為甲
　　日心為丙太隂正當日目
　　之中為乙月景之最中人
　　目所在為己設太陽之邊
　　實為丁為戊其光下照所限月景之界宜為丁甲戊甲兩線此限外之氣皆得最光也然因乙太隂隔太陽原光於已目目所能正見者非丁戊乃是庚辛而作己辛直線則目宜全不見日周之微光矣苐太陽正照之最光下及於月景四周之外而外氣之近地者為次徹之體則太陽之光借此體以侵入於月景本界之内别作一界線曲而向内即人目所正見為癸而癸既切景較遠景之處加有光焉〈光愈正照愈明切景之光甚似垂線若正照然故比距遠之處加明焉〉故景之四周從癸至壬目所見皆成日光是為癸壬金環癸壬所在實於空中非太陽之光果外溢至辛也從下視之若在月之四周與太陽同天而太陽之原光若丁戊以外更餘辛庚一環矣但癸壬之廣狹依氣厚薄隨地隨時一一不同耳曽有人試以銅薄規為小圓形依直角線寘長竿之末退後一丈又寘一規正對前規與為平行後規之心開細孔以目切孔正覷前規之心其前規之全徑較兩規相距之遠得一千分之十以掩天上之弧得三十四分二十○秒與本時太隂光滿近最庳之全徑等則目視兩規與目視二曜大小遠近之比例亦等次從後規視前規理宜全掩太隂之體乃所見者四周皆顯大光更移後規向前二尺有竒以遠近之比例論則前規可掩弧度四十一分然而尚有微光也可見日月近地平固因蒙氣有視度之高庳差即去地平遠猶有視徑之大小差矣
　　本氣徑差
　　金環又有二種一為虛環人目所見其内規〈如上圖之癸〉為最光向外漸微至外規〈如上圖之壬〉則似次光此為地上清蒙之氣所生上文所說是也一為實環若内若外悉是最光此所見者必為太陽原光矣所以然者太隂在最高太陽在最卑則太隂之視徑畧小於太陽之視徑上文所云六十分之一者是也但實環旣為原光在太陽之周非復向之虛環從蒙氣中隱映而得者則人居月景之中何自得見之即在景之偏際亦宜見左失右何自得全見之曰此亦因太陽出光折照至於人目雖正在景中猶得見之折照之繇即非地上清蒙之氣而在空中之本氣前交食第一卷論月體當食顯赤色是氣景所生此論地靣當食而見光色是空中本氣所射其理一也設甲為太陽其實邊乙丙太隂在癸其實邊丁戊人居地靣在己辛之間不能以直線見太陽所以得見者太陽全輪旣受掩於月體為壬庚所餘庚乙實環皆為原光而以庚壬内規之光正照丁戊月邊過丁戊則
　　折而内向以至於地面
　　己辛其所繇内折者欲
　　就於甲癸垂線也〈詳本篇一〉
　　〈卷第五〉己辛以内皆為月景得界丁辛及戊己成三角形〈戊丁為底圖未盡景末〉又太陽乙丙外規之光正照太隂近處為子丑過子丑又折入景中而相遇於寅〈此折甚於前折者愈遠於垂線愈欲急就之也〉得寅己辛角形形以内為折入景中之重光人目在重光之中從卯辰兩交得見光環意疑在丁丑旋遶月輪其實則太陽之原光庚己也
　　問本篇首卷言凡象射次澈之體則成折線故本章言日光過地靣則折入於景為蒙氣故也空中本氣則甚澈之體何能受光而折入於人目乎曰空中本氣為甚澈之體此恒理也然亦有時而變如彗孛攙搶乃及客星等皆在列宿天中非理所宜有難究其所生之縁而實則恒有之今言日食有金環者大抵皆虛環也其實環甚為希有萬一有之不得不究所從來故作此論蓋虛環旣𫎇氣所為無可疑者則實環之緣不得不在𫎇氣之上旣在其上不得不歸之空中本氣舍是别無可推之理耳兹有𫎇氣以上變易之徵聊足解此萬厯三十三年乙己八月西國北極高四十度測太隂在最庳日全食亦全掩原光而其四方尚餘赤光如火廣數度依此地論必言𫎇氣所生不足疑亦無待辯矣從此向西北一國北極高五十餘度同時測日不全食未盡一分三十餘秒日周以外太隂餘分甚多而此地尚見是大光豈兩地相遠如此尚當言蒙氣相同之故乎縱使相同而蒙氣距地靣極髙無過二百里此不全食之地其交景之頂尚在二百里以上全出𫎇氣本界之外則安
　　得有本地靣
　　之蒙氣受照
　　為光且四周
　　皆見乎彼所見滿景四周之光旣不為𫎇氣所生必為空氣所生矣假如甲為太陽乙為太隂丙為地丁戊為𫎇氣界若全食則所生金環在丁戊之四周也今不全食之地在己其交景之頂為子亦見光〈此光非金環因在日周故其理不二〉而光中甚黒則非丁戊氣所能生矣蓋目從己視太隂之下周庚必以己子庚線視其上周必從己壬至太陽辛則太陽之辛癸原光正照己目及蒙氣之界面丁壬丁壬之中絶無月景而丁壬等高之景全在己子庚直線之下安所得生光之原乎可見日四周之光必生於𫎇氣以上必為空氣所生或近於月輪在庚子兩線之中或在月輪之下不遠矣
　　日食晝晦星見
　　凡前史記日食晝晦必因全食若星則不全食而見者有之如晨昏分中日己出己入矣明昧之交正似太陽未全食之光也而大星已見也又或不全食而見者有之故厯家下推將來雖得全食其見星與否未可豫定蓋見星不見星之縁不盡在於食分多因𫎇氣與隂晴耳若食時遇氣甚清人目先見最光而習之忽爾失光雖日不全食亦似向晦星乃可見如從大光中暫焉入室見為甚闇也若食時遇氣甚厚或多雲霧則目先習是次光後見失光不以為異又醲厚之氣受返照之光光亦不能甚失日雖全食未及甚晦正如浮雲在天雖太陽已没曚曨宜盡而尚有餘明星不可見矣自此之外更有太陽正照斜照之緣如太陽當晨昬時斜照於地上氣得其正照之光則能返照地面若此時以日食絶正照於氣中則地無返照之光又本無正照之光安得不為甚晦乎故午前日食初虧至食甚時加晦生光至復圓時稍明午後食則反是蓋太陽愈庳愈能正照氣中而地得其返照之光太陽愈高愈正照於地靣而以有食絶其正光惟四外反有從旁斜入之次光耳又或太隂近最高其視徑不甚大於日之視徑則太陽四周光曜散溢雖則全食地面之次光乃大於少食者亦多有之又使日食切近地平太隂㣲高於日則地靣所見日下周之原光雖不盡如鈎而上氣乃與日月叅相對絶其正照即地面絶無返照之光此時亦變為甚晦也推視㑹
　　交食第三卷求定望改實時為視時所以然者為有升度差也今日食以地心之實㑹改為地面之視㑹所以然者為有地半徑差也以地半徑差論實㑹視㑹不同上章已詳之矣此求視㑹則依視差推算法先求日月高弧以得高差又求高弧與黄道之交角因以得南北東西差次求視㑹與實㑹之時差以加以減於實㑹之時刻而得日月正視㑹之時刻其加減則以黄道九十度為限〈即黄平象限〉
　　日月距地平高弧
　　視差有多有寡必依太陽出地平所得高度多寡〈日月㑹合若同高度或差一度以下其視差甚㣲故得太陽高度不必復求太隂高度必求細率則以太陽高度查太隂高差先加於太陽高弧得太隂高真度也〉欲求高度幾何則用定㑹〈即定朔也〉之實時及本時之太陽躔度先以躔度推太陽距赤道之緯度次以定㑹實時推其距子午圏若干〈詳見下文用法中〉得二角形形有北極出地之餘弧有太陽距赤道之餘弧有兩弧間角為太陽距子午圏弧之相當角算得本形之第三弧為太陽出地高弧之餘弧也如圖甲乙丙為子午圏甲丁丙為地平丁戊為黄道太陽在庚則乙庚己為高弧壬庚為太陽距赤道之餘弧因得乙壬〈本地極高之餘弧〉及壬庚〈太陽距赤〉
　　〈道之餘弧〉兩弧及乙壬庚角〈太陽距子午之相當角〉以推第三乙庚弧得其餘弧庚己太陽出地平上之弧也次推高弧交黄道之角先以升度求庚丁弧次以庚己髙弧以庚丁黄道弧以庚己丁直角推得庚丁己交角因以對角求南北東西差法如次圖設庚癸為高差辛為黄道極則辛癸大圏之弧以直角交黄道於壬為庚壬癸三角形先己得壬庚癸角而庚癸壬為餘角則全數與高差若壬庚癸角與壬癸南北差又全數與高差若壬癸庚角與壬庚東西差或
　　用簡平儀求高弧可免算第其圖愈大所取太陽高度分愈眞乃足推算視差如圖己戊辛為子午圏甲乙為赤道北極在丙太陽距赤道北依丁戊線行與行壬戊弧其理一也至戊為正午至丁如復至壬午前與午後同所以然者戊丁直線不可得度分數必用戊壬弧量度
　　為凖〈戊壬與戊丁皆距等小圏兩弧皆小圏之弧即等試想戊壬圏置戊丁線上與戊丙圏縱横為直角則得其理〉如彼面之丁為己時至戊為午行至此面之丁為未與壬為己至戊為午復轉至壬為未其理一也次作丁庚直線與地平甲己線平行則得己庚弧為太陽在己時或在未時出地平上之高弧也别有表以日食之實時及太陽距赤道緯度查其出地平度而推兩曜高差又有髙弧交黄道角表以此三角形〈前圖之己庚丁〉推算法用太陽髙度於太陽距黄道九十度限表中查角〈即庚角〉詳本表又有南北東西差表以太隂高差及髙弧交黄道角依直線三角形推算〈因三差線小雖在天實為大圏之弧亦可以直線句股法求之與三角形圎線法所求不異〉
　　黄道九十度為東西差之中限
　　地半徑三差恒垂向下但高庳差線以天頂為宗下至地平為直角南北差者變太隂距黄道之度以黄道極為宗下至黄道為直角東西差則黄道上弧也故論天頂則髙庳差為正下南北差為斜下而東西差獨中限之一線為正下一線以外或左或右皆斜下論黄道則南
　　北差恒為股東西差恒為句高庳差恒為至中限則股為一線無句矣所謂中限者黄道出地平東西各九十度之限也〈黄平象限省曰度限〉法以子午圏為中限新厯以黄道出地之最髙度為中限〈東西各九十度則是最高〉兩法皆於中前減時差使視食先於實食皆於中後加時差使視食後於實食第所主中限不同則有宜多而少宜少而多或宜加反減宜減反加凡加時不得合天多縁於此此限在正球之地距午不遠若北極漸高即有時去午漸遠時在午東時在午西大都北極高二十三度三十一分以上者〈若高二十三度三十一分以下者則日月有時在天頂南有時在北三視差隨之今未及論此〉獨冬夏二至度限與子午圏相合為一從冬至迄夏至半周恒在東居午前從夏至迄冬至半周恒在西居午後
　　問日月諸星東出漸高至午為極髙乃西下漸卑而沒則午前午後之視差豈不分左分右漸次高庳以正午為中限乎曰南北差東西差皆以視度與實度相較得之而日月之實度皆依黄道視度因焉安得不并在黄道從黄道論其初末以求中限乎推太隂之食分以其實距黄道度為主推太陽之食分則以太隂之實距度先改為視距度所改者亦黄道之距度也論實望實㑹欲求其實時以黄道經度為主今求視㑹其所差度必不離黄道經度而因度差多寡求其相當之時差以得正視㑹理甚明矣若子午圏者赤道之中限也度限為東西差有無多寡之限猶冬夏至為晝夜永短之限午正時為日軌高庳之限也惟嵗惟時自宗赤極不借黄道之度中為限東西視差自宗黄極何乃借赤道之午中為限耶昔之治厯者未能悉究三差之所從生徒見午前食恒失於後天午後食恒失於先天故後者欲移而前前者欲移而後又見所移者漸向日中漸以加少遂疑極高至午中則無差不知黄道兩象限之自有其髙也亦自有其中也必如彼説以午正為東西差之中限設太陽實食午正遂以為無時差遂以為定朔為食甚倘此時之度限尚在西愈西則愈有西向之差法曰中以東則宜減安得不見食於午前乎儻此時之度限尚在東愈東則愈有東向之差法曰中以西則宜加安得不見食於午後乎如萬厯二十四年丙申八月朔日食依大綂法推得初虧己正三刻食甚與定朔無異皆在午正初刻至期測得初虧己正一刻後天二刻此所謂中東宜減見食於前者也今試依新法減時則推定朔在午正初刻内四分四十九秒於時日月躔度在鶉尾宫二十九度八分四十七秒黄道中限在本宫一十三度○一分距正午西一十八度五十九分距太陽躔度一十六度○八分太陽定朔之高尚有五十○度查得太隂髙差三十八分先求髙弧交黄道角為日距度限弧之切線與本角若全數與髙弧之切線得視差小三角形内正對東西差邊之角二十○度一十一分再推本角之正與東西差若全數與髙庳差得一十三分○四秒為此時之東西差因此求時差得太隂行一十三分應為時二十四分二十六秒於法宜減故得食甚在午初二刻一十○分三十七秒在定朔之前也更求初虧約用前四刻依法復求視差其時黄道度限在鶉尾宫初度二十○分即午後一十四度四十○分距太陽二十八度四十六分太陽高四十八度得太隂高差四十○分東西差二十四分求其視行度得四刻行二十一分又以開方法得太陽自初虧至食甚行三十一分今視行二十一分得四刻則三十一分應得五刻一十三分五十四秒以減食甚時得初虧在己正一刻内一十一分四十三秒與實測時刻宻合
　　凡九十度限去子午圏不遠新兩厯所推之定朔不遠則兩所得之時差亦不遠若相距遠而度限在東則食在午前或在午後新厯所得時刻皆多於厯度限在西食在午前午後新厯所得時刻皆少於厯如萬厯三十八年庚戌十一月朔大綂厯推食甚在申初一刻至期實測得申初四刻先天三刻於時度限距子午圏二十一度○四分在東距太陽五十九度四十七分日月並高一十六度得太隂高差五十四分一十五秒從是算得東西差二十八分三十一秒應時差四刻○一分三十五秒依法與實時相加而實時與大統厯算小異在未正三刻○四分得視時乃大異是繇度限在東加數宜多而午正為限者加數則少安得不先天也又萬厯三十一年癸卯四月朔日食九分二十○秒大綂厯推食甚在辰正初刻新厯推得在辰正三刻内此時度限亦在東距午正一十五度四十二分較太陽距正午為更近所得東西差止一十九分二十四秒應時差四十七分四十六秒依法宜減則實時己初一刻○六分改視時為辰正二刻○三分此兩食者皆所謂度限在東則食在午前午後新厯所得時刻皆多於厯者也又其甚者若日食在正午及度限之間則宜加者反減之宜減者反加之所失更多如崇禎四年辛未十月朔日食大綂推初虧未初一刻較新厯遲三刻有竒食甚未正初刻新厯推未初一刻内至期實測果在本刻内所以然者新厯以黄道九十度限為中所得時差與實時相減則食甚後退故合大綂以午正為中所得時差反加而前進去之逾遠矣蓋本日食甚實時日月並已過午正一十七度二十九分○一秒未至黄平象限六度二十二分三十九秒則度限在午西二十三度五十一分○四秒算得東西差三分三十四秒應時差○五分為減而先推實㑹在未初八分四十○秒因時差退減為未初一刻内三分四十○秒如是止矣若以子午圏為中限則本時日月過午己十七度有竒在西東西差既宜少而多時差又反減為加即多得時刻若此者就用西法算兩曜髙三十五度四十八分及其距午正之度能生東西差一十一分一十三秒應得差二十二分定朔在未初二刻○五分相加亦不得不為未正可見中限異同實為加時離合之根也
　　算視㑹必求黄道九十度限
　　交食以黄道出地之最高度為中限固矣但限内所應加減者則有時差〈日食在九十度西時差宜加在東宜減〉此實食視食之所繇以先後〈詳見上篇〉故算視㑹者必先求九十度限所向何方乃可然求之之方不一或依常法定其宫度分或依簡法止推兩曜當食之時居九十度東西何方而不必問其宫度先以常法論設甲乙丁斜三角形甲為天頂
　　乙為黄道交子午圏日月俱在丁以
　　升度得乙丁弧以太陽距度得甲乙
　　弧查本表得其兩弧間之角以甲乙
　　丙三角形内因九十度限在丙必求甲丙為垂線指九十度距甲頂若干更求乙丙為九十度限與子午相距若干則丁丙乃日月距九十度○所自有者而以先得甲乙弧與乙丁弧及兩弧間之角因求得時差此本九十度限表所繇起乃常法也第以此求之必先算日月高弧及高弧交黄道角等未免太煩乃簡法則惟算黄道何度分當九十度即此斜角三角形内徑求甲丁弧為日月高弧之餘弧又求甲丁乙角即高弧交黄道之角則視差小三角形内〈見前五卷三題〉以高弧得高差以本角得交角及餘角而推所對之弧為南北東西差固已㨗若指掌矣再欲察日食在九十度限東若西亦得兩法一以黄道在正午度推九十度距午左右何若則以定朔所得太陽躔度較先所得在正午黄道度即得太陽在九十度限東西何方如依甲乙丁斜三角形以升度求乙丁弧必得何度在乙〈子午圏交黄道之處〉使星紀宫初度或
　　鶉首初度在乙乃為正九十度此外
　　則以食時按極出地度求之蓋北極
　　髙過二十三度三十一分凡自星紀
　　初度至鶉首初度黄道度在午者必九十度偏東自鶉首至星紀黄道度在午者反為九十度偏西而距午最遠者則在大火宫或𤣥枵宫隨極髙低不一亦隨宫度各處不一也試以極髙二十四度則九十度限距午最遠特一十五度耳極髙四十度則九十度限能距午二十四度餘宫度在九十度限亦距午漸近因而推日食在九十度之或東或西較較不爽也又一法以黄道交髙弧角求之更凖蓋本角向子午圏者在午前為鋭角午後為鈍角則食必在九十度之東若本角午前為鈍角午後為銳角則食必在九十度之西如此可免再求矣
　　求視㑹復算視差之故第三
　　日食與九十度相近則太隂之偏東西不多所得時差於本食之實時不甚相遠可免復求東西差倘所食遠距九十度之限則太隂偏左偏右〈左右即東西〉者必多而能變其實行以為視行使不再三考求何從而知故必先算太隂之視差化之為時差次求其視行與太陽實相距若干則用以推東西差可得食甚至若初虧復圓總不外太隂之視行而得之此推歩日食者所以復算視差求太隂視行
　　定太隂東西差須得其與太陽相㑹之實度應先〈如在九十度東〉應後〈在九十度西〉乃使太隂實行即從自行可得則或二十八分一小時或三十○分或三十三分有竒〈因最髙最庳中距不等故〉以三率法推其度差則相應幾何時刻因與定朔加減之其所得時亦可於真視㑹不遠但先後㑹之度差必以太隂實行為主然因視差故每每移其本實行故以實行求時差多謬而以視行求之乃凖矣法曰日食在九十度東則較定朔前一小時食在九十度西則較定朔後一小時復求東西差以兩差不等之分秒或加或減於太隂一小時因以實行得其視行若次得之東西差大於先得之東西差其兩差不等之數為減若次得之差數小於先得數則兩差不等之數為加乃得太隂一小時視行也或不用一小時先於定朔算東西差而以實行化為時差或加或減於本時得視㑹又以視㑹與定朔相去不拘若干惟於此時再求東西差兩差不等之數依前法加減之必得太隂視行時差因以復算真時差
　　假如崇禎四年辛未十月定朔在辛丑日未初八分四十○秒此時順天府得東西差三分五十○秒太隂一小時實行為三十三分二十○秒以此算得六分五十四秒為時差因食在九十度東故減得未初○一分四十六秒即相近視㑹時也次升度先在正午自春分起為二百二十六度二十五分四十○秒因時差宜減一度四十三分則以餘升度查本表得躔度在正午者為大火宫一十七度一十二分算得九十度在午西離二十三度三十五分比日月距午更遠七度四十四分三十八秒又以太陽髙三十六度一十四分算得髙弧交黄道角八十四度一十七分則以餘角復得東西差四分五十○秒兩差不等之數為○一分因後得之差大故先得差内減一分實得○二分五十○秒為太隂過太陽之視行也前時差○六分五十四秒今以三率法依本視行得前東西差○三分五十○秒應九分一十九秒為真時差因減故算得視㑹在午正三刻一十四分二十一秒〈一十五分為一刻〉
　　考真時差
　　眞時差者為太隂視行反覆推求再三加減脗與視㑹相合者也欲更考其實須算太隂實距太陽幾何若所得分數與太隂所當視㑹之東西差等則所得視㑹亦凖若㣲有不等則以不等之分數化為時依兩曜實相距之分數較之視差或大或小依法加減於前視㑹如距度大日食在九十度東則時差為加食在九十度西則時差為減如距度小則九十度東宜減九十度西宜加分秒内可得其凖也因此再求東西差而以本視㑹時復求九十度限與其距天頂及距太陽度因以本高弧及高弧交黄道角復算視差如前假如得真時差九分一十九秒何以知其然也因減時九十度略在前即夀星宫二十三度○六分距天頂五十三度四十○分距午二十三度三十一分較太陽復西去○八度二十一分算得高弧三十六度三十四分交角八十三度四十五分推東西差○五分一十三秒故以三率法用太隂實行三十三分二十○秒一小時以真時差得五分一十○秒為太隂實距太陽分數見其與纔得之東西差相等則前時之時差亦凖若未等則求所差分數如前東西差三分五十○秒得九分一十九秒為時差此不等之三秒亦得七秒依前法視㑹内應減實得午正三刻一十四分一十四秒乃真視㑹也
　　求初虧復圓俱依視差算
　　凡算月食推初虧復圓先以開方求其自初虧至食甚所行之度分若干又自食甚至復圓所行之度分亦若干故所推食甚前後時刻大約相等算日食則不然雖太隂在食甚前後所行度數相等而所應之時刻鮮有不參差者蓋視差能變實行為視行有前得之時較後得為多亦有後得之時較前得為多此中種種不一如圖甲為太陽乙丙丁皆為太隂甲乙或甲丙為兩曜視半
　　徑甲丁為太隂食甚視距度則甲乙
　　線之方數減甲丁線之方數其餘數
　　開方得乙丁線為太隂自初虧至食
　　甚所行之度與丁丙至復圓數畧相
　　等但太隂行過乙丙線時〈除食甚正在九十度〉
　　前後未嘗相等故求之之法必於前時以東西差求其視行則得初虧距食甚之時又於後時復以東西差求其視行乃得復圓與食甚相距之時然初虧與食甚或皆在九十度東則因初時之東西差大于後時之東西差其兩差不等之數減於太隂實行則得視行若初時之東西差反小於後時之東西差其兩差不等之數則加于太隂實行而得其視行或初虧與食甚皆在九十度西而初時之東西差大後時之東西差小其兩差不等之數用加如初時之東西差小後時之東西差大其兩差不等之數用減與前法相反此較初虧與食甚若較食甚與復圓皆為一理第其兩相比量俱以先東西差與次東西為主故求初虧則食甚為後時而求復圓則食甚又為前時也或前後兩時不同在九十度之一邊如初虧在東食甚在西則求東西差必不止食甚前後之兩次因九十度而中分之則一視行求其時之多半又一視行求其時之餘乃合之為初時至後時太隂視㑹所行度分矣
　　假如視㑹在鶉首宫初度午後正二刻距九十度西得東西差○五分設得視行二十二分則太隂自九十度至本視㑹之度兩刻間視東行一十一分如前圖乙丁線為二十八分減一十一分所餘一十七分為太隂在九十度東自初虧至食甚時所行即因九十度前一小時以東西差得太隂視行二十一分故其行一十七分必須時三刻○四分乃自初食至正午〈此正午與九十度同故〉為太隂所行之時并午前後時總得五刻○四分為太隂自初虧至食甚過乙丁線所行時也
　　算日食復求太隂視距度之故第四
　　前以實㑹而不得其視㑹則所求者在東西差乃今視㑹真矣然何以知其所食大小之分數及以月掩日所向之方位乎曰此皆由於太隂視距度也故推歩者必先於食甚求視距度則得日應食幾何分又於初虧復圓求視距度則得月掩日之光在何方
　　日食分數
　　凡推月食以太隂實距度較其半徑及地景半徑即得月食之分今算日食法雖同然因視度為主則必以太隂視距度與日月兩輪之半徑相較乃得日食分矣依法於視徑本表查日月半徑并之減視距度為太隂掩日之分〈天度數之分〉次以三率法求食之分〈日徑分十分之分〉因先於食甚求太隂實距度則太隂視㑹及實㑹間之本行或加或減于其交周度依時差加減得視㑹時太隂交周度用算或查表即得距度
　　假如時差為三十五分二十一秒宜加此間太隂過太陽行一十七分五十六秒太陽本行○一分二十七秒相加共得一十九分二十三秒為太隂本行今設交周實度為五宫二十九度因時差應加則交周多得一十九分二十三秒終得太隂食甚時實距北○一分四十一秒次以南北視差本實距度改為視距度故凡於三差小三角形内考時差并求南北差乃所得為正視㑹若太隂距黄道北人居夏至北則實距度恒減視差為視距度若太陽距黄道南則視差反加於實距度為視距度
　　假如萬厯二十四年丙申歲八月朔日食厯官報應食九分八十六秒實測得八分强弱之間依新法算當食甚時太陽高五十○度○五分得太隂高差三十八分因九十度距太陽西一十六度○八分算得高弧交黄道角六十八度四十八分為南北差線其對角為南北差得三十五分因當時太隂近交中在黄道北二十八分五十○秒與南北差相減得○六分一十○秒乃太隂視距在黄道南矣又日月兩輪半徑并得三十二分○五秒減視距度得二十五分五十五秒以此求食分數得○八分二十九秒乃與所測適合也
　　日食圖說
　　新法以圖顯本食所向之方故上下書南北左右書東西其繪圖則以太隂距度為主但食時先後太隂距度常有變易或初虧距度多而復圓距度少或初虧距度少而復圓距度多此其故蓋因食在交處前後之不一也若前後離交相等則雖距度同而所向南北未免有不同矣故日食前後求太隂視距度必以交周所應食甚視距度減其自初虧至食甚所行徑度則得太隂初虧視距度又以加於自食甚至復圓所行徑度則得其復圓視距度也復求交周所應太隂食甚視距度惟查距度表内上下左右則得交周度及其在交前後分數○
　　假如前萬厯二十四年食甚得視距度○六分一十○秒即交中後查本表右得○一度一十二分其本表上則得六宫乃所應視距度交周也又當時自初虧至食甚太隂所行徑度三十一分○七秒與交周相減得六宫○度四十一分五十一秒相加得六宫○一度四十三分○五秒即初虧及復圓交周也依此交周復查表得初虧視距度○三分三十三秒而復圓得八分五十三秒因此畵本食圖如乙丁及丙戊兩直線以直角在甲相交指南北東西方乙丁為黄道甲心為太陽居其中依前食論其太陽半徑得一十五分一十五秒較太隂
　　半徑畧小甲戊線則并兩輪半徑為
　　三十二分○五秒因太隂食甚在辛
　　甲辛乃當時視距度○六分一十○
　　秒初虧在壬即乙壬與甲己相等只
　　三分三十三秒復圓在庚得丁庚與
　　甲癸相等共八分五十三秒而壬辛
　　庚皆視距南也










　　新法算書卷六十九
<子部,天文算法類,推步之屬,新法算書>



　　欽定四庫全書
　　新法算書卷七十　　　　明　徐光啟等　撰交食歴指卷七
　　測食分
　　算食而不測食将何以攷其法非强天即自欺故必隨測隨算了了於目了了於手則視差視徑時分俱凖而法乃得矣
　　測太隂食分
　　常法全頼目力因分太陽徑為一十分太隂徑亦如之食甚時則以所見不食之徑約略不能見之餘分設并見失光之體庶㡬所食有半者依此以測猶可此外則多有謬焉何也太隂未食以前欲用器測全徑食甚時又測光所存之餘徑此際甚難〈其光微又無從定中線故〉且不正合于法今補此闕用太隂地景兩徑之比例及太隂見缺之邊如圖地景心在丙得乙戊辛弧為邊太隂心在甲以
　　其乙丁辛邊弧入景中為所缺自乙
　　至辛作直線更一直線聯其兩心及
　　兩邊交切之界于乙或辛為甲乙乙
　　丙及甲丙而甲丙及乙辛以直角相交于己使太隂入景之邊乙丁辛為六十度因半之于丁得乙丁對乙甲己角為三十度必餘角甲乙己為六十度〈甲己乙直角故〉甲乙割線二萬乙己止一萬則以甲乙與乙丙之比例〈一與三是〉乙丙得六萬為丙乙己角之割線查八十度二十四分本角之切線五九一二三六為丙己而甲己為甲乙己角之切線一七三二○五兩切線為甲丁及丙戊所减〈甲丁與甲乙丙戊與丙乙自相等〉餘丁己二六七九五戊己八七六四并之得三五五五九為甲乙二萬分比例之分因以推太隂之食分盖設太隂半徑得一十六分與之相乘用二萬除得食二分五十一秒〈度數之分〉即徑分止有五十三秒以此測雖微有差所推徑分終近矣
　　測太陽食分
　　宻室中對太陽開小圓孔以受其光因孔小出光之體大則所正照之光必為角形其底在太陽其角在孔之中夫光一入内又復展開為角形以致底所對之牆轉其原形以上為下以左為右使牆與光直角相遇則底為圓形不則為圓長形使孔不圓且小則光底在牆或彷彿孔形而所像太陽之形大都不眞何也太陽孔牆三者皆有逺近大小之比例盖孔距牆得其本徑數與太陽所距本徑數等則光底在牆必像太陽圓形及孔之多邊形各等為雜形若兩徑數不等而太陽距牆得徑數多則光底失去原形轉隨孔形得徑數少則光底必因之愈少故測食者恒設孔小而圓乃可逺近無差因以牆上所缺之形徵太陽所食之分法以規器于紙上先畫大小不等數圓圏各以徑分之其徑以十或更宻平分之臨測室中以圏受光不拘逺近任用大小圏全以脗合于光為凖既合便轉紙使其圏徑横過餘光形中平分兩角則光缺之界即所食分數方光與圏合時遂以筆于光景間微識三四小㸃求心因之作圏略得太隂掩太陽大小之比例如圖甲乙丙丁為太陽食外
　　之餘光正與甲乙丙圏界相合其心在
　　戊其徑與丁以直角交景而平分甲及
　　丙兩光角則得太陽食七分有竒更取
　　三㸃為甲丁丙以己為心〈㡬何三卷二十四題〉以甲丁丙辛為太隂乃以己丁較戊乙亦得日月兩徑大小之比例日食射光之容
　　測日食以最微之孔對照之西土用綠色玻瓈僅見日周俱掩去餘耀反照則用水盤欲細則以平面鏡所接之光反射牆上可略得分明苐對照水中反照皆非實測之法惟射光于牆略近然因尚容次光亂其景猶未足故前以宻室測食之分為本法今再全觧之欲光從外入室内以其形正彷原形盡乎大小之比例倘孔非最小〈㡬何稱無分㸃之小〉而圓則太陽食照必畧變其餘光之角形為不彷原之一又太隂掩太陽其徑略小即失天上視徑之比例為不彷原之二因徑小所食之分較天上之眞分亦少為不彷原之三三者皆歸一緣盖接光之孔稍廣則從中心攝太陽之形全顯于牆或紙亦併周孔邊之每㸃全進焉乃每㸃所進射之形雖圓其出外與
　　孔之圓不平行而每㸃射形之公界
　　復與之平行且内抱中心所射之形
　　亦與之平行如圖乙丙丁界内為光
　　即太陽總形也其内圏壬庚癸為孔
　　之廣因圓故其受光至平面亦圓苐
　　太陽大不可比其光一入復寛為戊己辛形與内圏平行以其中心甲與太陽正對故以逺近之比例可推本形甲戊半徑與太陽視半徑大小之比例然庚内圏之㸃射太陽形為丙己辛較于中圏更以戊丙徑線出外〈戊丙與甲庚孔之半徑等〉而壬癸及餘㸃皆射圓形則外得乙丙丁總圏其甲丙與太陽半徑無大小之比例以逺近可推也又因原形入室内必借孔形以兩形合别為雜形今測太陽設圓孔原形無從可變〈除上為下左為右〉而食之時其自變形露角射于宻室内又與孔之圓形不合因而損其角似圓矣如圖太陽食之餘光實為甲乙丙丁乃從甲孔之心射入以丙丁乙弧不異于孔形而丁甲乙角
　　形則異矣故本界四周以孔半徑展
　　開〈甲戊丙己乙辛丁壬皆半徑〉外得戊辛己壬為
　　總界與前圖所觧同則以辛己壬弧
　　元合于孔形而壬戊辛亦必彷之其
　　彷之之規必依孔半徑故丁乙各為心得壬癸及辛庚弧皆變為圓角耳
　　室中測食日月兩徑有定差
　　依本食圖丁甲乙弧為太隂掩太陽之邊其心在癸從癸心出直線至丁至甲至乙又乙丙丁中原形使之過庚為圏而從其甲心引直線至壬至辛至己因甲乙丙丁為日食餘光之真形實合于原則癸甲與甲丙或癸乙與甲乙癸丁與甲丁〈甲丙甲乙甲丁皆太陽半徑癸甲癸乙癸丁皆太隂半徑〉得真大小之比例亦與原視半徑全合今宻室之中辛己壬戊光形實以甲戊孔之半徑周展其界則太陽
　　亦展半徑自甲致之于壬于辛于己而甲辛與甲癸太陽半徑之比例必過甲乙與本甲癸之比例太隂半徑亦然移癸甲為癸戊其癸丁癸乙皆曲而小故甲乙與癸戊之比例又大于甲乙與癸甲之比例而甲辛愈大〈因甲辛大于甲乙故〉可徴兩徑在光形宻室之中比于兩徑實在食時必依孔之廣狹變其大小未嘗正合焉室内測食食之分有定差
　　依前圖總光界辛己壬弧以加壬丁辛弧作全圏則甲乙
　　元為食分與丙乙太陽全徑實得比例
　　今總光形之徑己丁較之丙乙長兩孔
　　之半徑〈即己丙及乙丁〉故本徑與食分變比例
　　因而甲乙比于己丁線不如比于丙乙
　　線得大小之理若丁戊〈光形食之分〉則既乙丁與甲戊等亦自與甲乙相等可徴其大小之比例在光形有失矣
　　或問測食與算食分數不合而每每所測分數恒不及必因食形假耳今欲改為真形從何法得曰以太隂半徑加孔半徑于太陽餘光之内反减之各依本心光形内作弧得甲庚丙癸原正形即從甲太陽形心及丁太隂形心推定也
　　定食分及兩徑比例必係真光形
　　推算食分以定多寡法以兩曜視徑較于距度求之今欲于所測對騐亦以日月兩徑以其兩心相距㡬何即可得矣但測時因太陽行速依前法于形中㸃號以求徑並距孔時逺時近就景于先所畫圏亦不易故紙距孔須定度〈用窺管前開小孔後置白牌彼此以平行相照〉可免多圏多量之煩受景之底大小依逺近如圖外有己壬辛大圏為定周分
　　度數共作四象限〈用以取食方向見下文〉中有乙
　　戊丙丁小圈以甲為軸能轉動此乃受
　　光形之圈故以丁戊指太陽全徑以甲
　　心及孔之中心與太陽中心正對本圏
　　上安量尺即戊丁中空以兩旁與圏徑平行其尖鋭直至大圏以能指度為用量尺上仍有方尺為乙丙中開一小陷道以合于下前後可任進退將用渾器對太陽時便轉中圏令其徑平分餘光之角隨以方尺就之其交徑之㸃必用號以識之有光無光之邊交徑㸃亦然
　　即以此定乙甲丙弧分食與不食之
　　形不須别㸃如二圖設乙丙丁戊為
　　太陽食形得心在甲丙戊為徑以方
　　尺〈乙己丁〉切光之鈍角〈乙丁〉交徑于己景
　　邊交于戊今依孔半徑得己庚作壬庚辛直線與方尺平行而更作辛癸壬子即日食之真形何也使壬丁辛乙各于方尺為垂線必自為平行線因而庚己亦于方尺為垂線〈因作法盖庚己為丙己徑之分〉則庚己壬丁辛乙三線皆等既等而庚己為孔之半徑則餘兩線亦各半徑可知壬辛兩㸃當孔中心為真形之鋭角則日月兩邊實于此㸃相交而壬癸辛為太陽壬子辛即太隂兩弧中必食分外則為所存光之真形也
　　或問真原形既定何以依之推兩徑之比例及太陽食之分數曰孔與形相距之度與甲癸真形之半徑若全數與原視半徑之切線查表得太陽視半徑試以全形為一百分孔徑一十分相距萬分一百减一十餘癸丑為
　　九十半之得甲癸四十五以算終得一
　　十五分二十八秒〈度數之分〉論太隂半徑此
　　以庚辛中比例線求之蓋先以庚癸太
　　陽徑分求庚辛〈見㡬何三卷三十五題〉次以庚子
　　與庚辛若庚辛復與庚寅得全子寅論食分則癸丑與一十平分若子丑與食之分或若癸子與未食之分于十分相减餘則為所食之
　　測日食細法
　　用方尺量食之形或景淡而景符無處可用欲以所測推太隂視徑未免微差今更用一器愈凖愈易前所云受
　　光形之表中有軸能令小
　　輪轉動輪上定量尺隨以
　　同轉則因以載方尺而外
　　指度數矣此則兩尺俱不
　　用本小輪改為方形如圖甲為表中之軸亦為太陽景心〈先依太陽在本圏某宫度取視徑作圏〉乙丙丁戊則大方形也轉以甲軸以辛為表鋭用鋭以指外圏之度左右〈大方形〉開兩小陷道能受小方形為己庚癸壬此中亦有小圏即掩太陽之太隂也周圏先去孔半徑形〈得圏大小不等預以引數取定或備數面以待臨期更換亦可〉其四圍〈小方形〉開空止存六小條與方相連以支圏將測用大方置衡上〈長方尺為衡其圖在下前所言窺管亦可〉與孔以定度相距小方貫入其前令中圏以邊合于景食甚時見本圏上方餘光先至而左右尚未及必圏小宜換大若左右先與光齊而上方未及則圏大宜换小總以正合為凖萬厯二十九年辛丑冬至後兩日苐谷門人在西土測日食用本器大方中圏設一百一十分小方圏七十五分兩數總而半之得九十二分三十秒即初虧時太隂與太陽以中心相距之分〈任取無度數之分〉故至食甚時所見食之分〈略得八分〉此中必减去餘分乃兩心相距之分苐先定太隂視徑因小方圏正食于景而設徑有七十五分二十八秒以加孔徑一十六分三十○秒總得九十二分以此求度數之分得太隂在最髙本徑三十分三十秒若求食之分因當時形中得食八分〈徑平一二分之十分〉以比例法算得七十四分〈任取分之分〉與兩心初虧相距之分相减餘一十八分三十秒化為度數之分得六分○八秒〈光形一百一十分减孔全徑一十六分三十秒餘分為法數太陽在最痺徑三十一分為實數
　　算得六分○八秒〉如圖甲丙太隂半徑减甲
　　乙兩心之距餘乙丙為九分○七秒
　　加乙丁太陽半徑〈一十五分三十秒〉得丙丁
　　為二十四分三十七秒〈度數之分〉即月體
　　掩日之分故以三十一〈全徑〉為法以十二平分為實算得九分三十二秒即太陽實食之分較于形中所見食多一分三十二秒矣
　　或問測食常法因難分食與未食之徑不待言矣今室中測食雖能明分之而所見食分非真食分所測徑非真徑則古測又奚足用曰因分得日月兩徑大小之比例及明暗之界即推真食分及真徑之根蓋古之定日月兩徑多依此測不能無差今從而改之此外尚有測其徑之多法〈見月離厯指〉
　　以真視徑比例推食之實分
　　測食者于室中任用器之長短孔之大小不必拘逺近之比例而惟以先列視徑表定食分為止法以所測之光形作圏以光景之界弧求心〈㡬何三卷二十五題〉即太隂心亦作圏必量兩圏徑〈用比例尺或預分定數百平分之線〉得各分數若干總而半之即于兩曜視半徑并分數等何為分數等也日食形内光與景各失其本然止以邊論則猶是若兩心相距則非矣盖兩心相距與原形恒有比例因彼所張此反損各半徑與原半徑不合而兩并與原并數則有合焉故以此總〈兩半徑量之分〉與彼總〈兩半徑度數之分〉之比例各本分〈或日或月〉推相應之半徑〈形中非真半徑〉與真半徑比較得差數因以復推食分加于測食分即得所食之實分矣
　　假如萬厯十八年庚寅七月朔苐谷門人在西土測日食見食六分正〈依十二徑分大統亦能見推食五分有竒依十徑分〉光景各半徑并得四十七分太陽近最髙得半徑一十五分○二秒太隂距最髙四十餘度得半徑一十五分二十五秒兩半徑并為三十○分二十七秒即與前四十七分等故一為法一為實求二十三分〈太隂或景任取之分〉相應度數之分若干算得一十四分五十四秒比太隂視半徑差三十一秒而差數或加或减于太陽半徑則以真半徑為法〈當差數加也〉推得六分一十三秒〈孔小故受景正而測之分比推算之分略近〉為真食之分
　　又一法用逺鏡或于宻室或在室外但在外者必以紙殻圍窺筩以掩餘耀若絶無次光者然而形始顯矣葢玻瓈原體厚能聚光使明分于周次光又以本形能易光以小為大可用以細測〈以小為大非前所云光形周散也因鏡後玻瓈得缺形光以斜透其元形無不易之使大見逺鏡本論〉然距鏡逺近無論止以平面與鏡面平行開闔長短俱取乎正〈光中現昏白若雲氣則長邊有藍色則短進管時須開闔得正〉餘法與前同崇禎四年辛未十月朔在于厯局測日食用鏡二具一在室中一在露臺兩處所測食分俱得一分半〈徑分十分〉先依順天府算以太陽引數三宫二十七度取視半徑一十五分四十二秒以太隂引數五宫一十九度取半徑一十七分五十八秒半徑俱悞用大故并而减太隂當時視距度二十七分二十二秒餘六分一十八秒因算得食二分試依新列表改之則太陽得一十五分二十一秒太隂得一十七分一十七秒并而復减視距度餘五分一十六秒算得一分四十三秒為真食分必如鏡所測也夫鏡所測形為丁乙丙戊即太陽食邊之下映者與實在天所食之形相反〈大光過小孔之
　　故〉依丁乙丙弧求己心即太隂
　　心設其半徑己乙為五十分甲
　　戊四十八分兩半徑并得九十
　　八分〈皆比例之分〉為法數兩半徑又
　　并作三十二分三十八秒〈度數之分〉為實數則以太隂五十分推得一十六分三十九秒為己乙度數之分必較于己壬真視半徑得差三十八秒為乙壬今論徑分〈以十分分之〉以三十八秒算得一十二秒宜加所測之辛乙一分三十秒總得辛壬為一分四十二秒正合于所算食分矣
　　或問逺鏡前後有玻瓈在前者聚光漸小至一㸃乃在後者受其光而復散于外則後玻瓈可當一㸃之孔何所射之光形不真乎曰後玻瓈不正居聚光之㸃必略進焉以接未全聚之光乃復開展可耳〈見逺鏡本論〉故謂此當甚微之孔則可謂當無分㸃之孔則不可所以用鏡測者縱或不真然較之不用鏡者不但能使所測之形大而顯亦庶㡬于真形不逺矣
　　測食方位
　　古多祿某以交食占驗欲定何州郡則以本食方位求法近世以本方位立法因推太隂距太陽視經緯而以所測定其視行也
　　測日食方位
　　太陽本食或正向南北東西則目力所及一見能决惟不盡出於正而偏有所距則因以分别所偏若干定分數多寡此必實見之測乃可得耳前論食分設兩輪盤并在一平面上與太陽正對亦與外耳進光者平行其下大盤不動分以過圈徑從徑左右邊分全度數用以測食方向上小盤則能運轉載量尺與下輪邊以對度數為主将測全器對太陽下盤之徑線對髙弧以光形之角較本線或正或偏因推所向方位設兩輪底方以直角安表衡上為甲乙與外耳戊正對太陽毫不偏于左右則乙戊衡正居過天頂及太陽圈之平面〈前所云髙弧也〉而甲乙直線自上至下亦當天上本圏徑之分外
　　有木矩架為丙丁己〈全形見月離三卷〉以丁己柱正立取地平柱端作運軸使衡能上下轉以入架腰定丙乙太陽出地平髙度而全架則又周轉如轆轤也用法日食時表衡對太陽以甲乙方之面正受其景則上下輪環轉而方尺與餘光兩角或積或平行其量尺所指輪邊度分即太陽本食所偏向髙弧度分也又本衡末于架腰自指太陽髙度則得時分因得太陽及髙弧距正東西以加或减于日食之角偏去髙弧度分終得食景偏去正東西度分設衡下無架可分太陽髙度則以别法求時刻而于衡之末以直角加横平方其甲乙直線及渾衡亦合于髙弧圏之面若不用量方兩尺依前第二法用兩方形有圏者以上方進入下方之中圏直至形前掩景周圍與光齊而左右小條當方尺與兩餘光之角或相積或平行其外鋭亦指本景所向之方與前同如太陽初虧測方向得偏髙弧距三十度太陽出東地平髙四十一度三十四分躔降婁宫初度因得己時髙弧距正東四十八度○四分〈或查表或以三角形算〉减食方向距髙弧度餘一十八度○四分即初虧向西北度若太陽復圓其方向髙度時分皆如前則一十八度○四分為復圓向東南度又設方向距髙弧過象限三十度〈角上左旋〉髙度時刻俱同前則與髙弧距正東相加得七十八度○四分即初虧向東南復圓向西北度〈初虧向東南復圓必不在西北此盖指前後兩食論也〉
　　或問所測方向距髙弧線之度何以知其宜加與减于本髙弧距正東以得其自距正東之度曰日食時設有大圏徑過日月兩曜中心左右至地平此即太陽失光及未失光之面所向度分今本圏以直角交髙弧則向位距正東或正西之度與髙弧距子午圏之度等〈地平圏上算〉本圏合于髙弧通為一圏則髙弧至地平所指度亦為本食所向度若夲圏斜交髙弧則以下輪盤外圏因知兩距度宜加與否〈兩距度者過心圏距髙弧髙弧距子午圏者〉盖午前過日月兩心之線測得在右上象限或左下象限宜加餘象限冝减午後則反是〈不拘初虧復圓〉或見日食餘光之上角在髙弧及子午圏線中則過心線之距加于髙弧子午兩線之距此在午前後共法設甲乙丙丁為下輪盤之外圏分四象限各象限分九十度甲為天頂甲丙線當髙弧甲己甲戊皆子午線中小圏即太隂掩太陽者或食
　　甚或初虧復圓時在其東西南北及中
　　央皆一類〈天上向位在西圖中反在東諸方皆如此〉設庚為
　　太陽過兩心之線為庚乙因以直角交
　　甲丙線其至地平必兩相距正九十度
　　故丙距己〈地平上算〉乙距正東之度皆等又設辛為太陽則過兩心線與甲丙同為一線故甲丙所至地平度亦為太陽辛食所向之度也又設壬為太陽則以壬癸過兩心線者得壬癸乙角加于丙甲己角减于丙甲戊角〈因太陽壬之上角在丙甲己内即午前在丙甲戊外即午後故〉得總或餘角以定日食向盖過兩心之圏恒指向位又恒隨髙弧設髙弧與子午圏全合為一必過心圏以直角交者所指向位在正東〈食復圓時〉或正西〈食初虧時〉若斜交則因角大小不等食形所向度距東西逺近亦不等其髙弧不正與子午圏合而相距在其左右則過兩心圏雖以直角交猶隨髙弧距正東西左右若斜交則本圏更距東西不等盖以此兩故求其距度直至與髙弧合則惟髙弧定距度也以長圓形求日食方位
　　前論宻室測日食分法以平靣之方受景盖孔小而方又正對太陽其景必圓今以斜對之平面亦在宻室中受景孔仍如前小則所得形必長圓〈凡地平距黄道内者對太陽宜斜〉其
　　長徑線可當髙弧法用白紙置地平
　　上〈任置何處宜與地平等〉令受日景必自為長
　　圓形次于本形兩端各識數㸃又于
　　兩光缺角亦各識一㸃以便用規器
　　取食偏距髙弧度設乙丙為長圓形
　　之大徑當髙弧線求丁戊景缺偏距乙丙線若干則平分徑于甲以甲為心丙為界作圏次與甲丙作垂線過丁戊兩角至己至壬此己壬弧半之于辛作甲辛直線則得丙甲辛角即日食偏距甲丙髙弧之角設丙辛乙半圏分一百八十度以規取丙辛弧定度分若干試依先測之横徑〈若未測以太陽髙度求之〉以甲為心作中小圏從兩光缺角引直線與長徑平行至本圏之邊得庚癸弧其出中心至外大圏甲辛直線者交于小圏之弧為兩平分則知先所取丙辛食方向距髙弧之度無謬也
　　因長圓形之心不正居光角形之樞線而横徑較光角形之正底亦微過焉故欲求其正設角形中線至子以太陽髙度之餘推子乙子丙則于本髙餘度加一十五分〈太陽半徑依引數取〉又减一十五分得三不等度查各度切線以相較得乙丙長徑之正度也如甲乙丙為光角形至地平乙戊因斜遇為長圓形其長徑為乙丙太陽在甲當髙三十七度餘五十三度角形樞線甲子則戊子為五十三度之切線减一十五分餘五十二度四十五分其切
　　線戊丙反加一十五分得五十三度一十五分切線為戊乙今戊乙减戊丙餘二四○九為丙乙即形中長徑也求横小徑則全數與太陽距天頂之割線若太陽半徑之切線與横小徑算得一四八六〈兩徑自較得一十與一十七之比例欲各較于全數設全數為十萬〉因此依前圖算設乙丙為大圏之徑則以本比例得小圏作長圓形引丁己及戊壬垂線如法半之終得辛甲丙角為二十二度三十分宜加或减于髙弧距子午圏以求其自距子午圏與前法同測月食方位
　　治銅為一匾圏約寛二三寸許周分三百六十度其圏内俱開空止留四線如十字交羅中心交羅處安量尺方尺其尺徑較圏徑略長皆能旋動與前測食分器同将測時從初度取上下正對太隂以垂線取凖地平轉其方尺令對兩餘光角則量尺抵邊所指度分即本食向方距髙弧度也盖宻室月景不顯必室外測乃可若用地平經緯儀上置前圏以象限載之轉中線對髙弧須凖與地平合可免算髙弧距正午度
　　又簡法以界尺對兩角令其或取恒星或五星同居一直線上加太隂髙差〈以髙度于本表取〉得其向恒星若干免以髙弧復求别距度何也因切兩角之線其過景邊交月邊處必俱以直角交過月景兩心之線故得角與星居一直線則從此相距九十度逺者必為本食所向之方矣太陽初虧能向東復圓能向西否太隂初虧能向西復圓亦能向東否
　　從來論日食者俱以初虧向正西或西南或西北復圓即向正東或東南或東北月食初虧向東復圓即向西或偏東偏西此定法也今細考之殊多不然盖初虧復圓兩向相反者此非一食可有之事必兩食而日月體不全食或有之先以月食論如圖以甲為心即地景之中心以其半徑為界作圏從上至下引乙丙直線可當髙弧横作丁戊當黄道斜入西地平下得乙甲丁為其兩
　　圏之交角又作己辛直線與黄道線
　　以直角交于甲心設太隂本心在己
　　或在辛此為定望故甲己甲辛各為
　　月景各半徑并與距度等又己為隂
　　厯漸小必己庚〈白道〉距黄道漸近辛為
　　陽厯漸大必辛壬〈白道〉距黄道漸逺此太隂未及辛先與甲近彼太隂過己後漸與甲近兩者未免微有食〈距度比甲己甲辛兩半徑并較少故〉其所食大則從甲心出直線至白道以直角所交之㸃下為癸上為子是也試以甲癸或甲子當五十八分較甲辛甲己略少〈兩半徑并共六十分〉則五度〈最大距度〉之割線與全數若五十八分與兩心之距〈月心地景心〉得五十七分四十七秒餘二分一十三秒變為食分即四十四秒故依圖一食之初虧在己他食之復圓在辛而復圓向東初虧向西者此耳可遂守為一定不易之成説哉
　　若東地平黄道斜升其上亦與前同設癸子為黄道乙甲子為黄道交髙弧之角則丁戊線以直角交黄道者上有丁為隂厯漸小而壬丁白道與黄道漸近下有戊為
　　陽厯漸大而戊庚白道距黄道漸逺必
　　辛一食之初虧向西丙他食之復圓向
　　東萬厯四十一年癸卯十月十六夜大
　　統厯官報月食四分四十八秒初虧子
　　正三刻復圓丑正三刻西土第谷門人
　　測三分强總時得八刻弱與大統略合但先後兩處不能不異盖此〈中土〉太隂初虧略過子午圈彼〈西土〉出東地平髙未及二十度因行陽厯而距正東去北其初虧向正西復圓偏西南
　　論日食其方向之變不但以黄道斜升故即視差亦有之盖降婁東出必黄道交地平角漸大至鶉首出則愈大故太隂在地平上不論何宫度其隨宗動徃北甚多以本行去南反少氣差亦少而太陽夲食距赤道南午後其初虧可向東距赤道北午前復圓可向西又壽星出則至降婁為半周本角漸小太隂去南較其本行回北己多必氣差更大而太陽距赤道北午前初虧可向東距赤道南復圓反可向西今試以黄道斜升之故設太陽在降婁一十五度出東地平髙一十○度北極髙四
　　十度當此有食則太隂在陽厯距南二
　　十○分〈視距度分〉雖不全食約有三分之一
　　如圖丁壬為地平丁庚為黄道兩圏斜
　　交于丁則戊為正東壬為正午庚癸過
　　九十度限之弧髙有三十度太陽在甲
　　髙一十○度太隂在乙初虧距黄道二十分得甲乙丙直角三角形甲乙兩心之距當三十一分〈日月各半徑并〉求甲角以定甲乙過兩心之線至地平何度即本食之向位盖甲乙線與乙丙線若全數與甲角之正得甲角為四十一度四十八分餘對角乙甲丁一百三十八度一十一分今甲戊丁三角形内戊為直角庚丁癸角三十度必餘丁甲戊角六十度而戊甲乙七十八度一十二分故甲戊己三角形内求戊己地平限定本食向何度則全數與甲戊髙弧之正若甲角之切線與戊己弧之切線〈圖中設為直線天上實為弧〉得戊己為三十九度四十四分因髙弧于此至正東則戊壬為九十度减戊己弧餘五十度一十六分即所向偏東南過子午圏東之度若設隂厯太陽復圓皆同度則太隂在辛而己辛弧又北過子午圏向西北亦距北之西五十餘度
　　若氣差變向之故則如萬厯二十七年己亥七月朔苐谷測太陽東北出地平〈日躔鶉火初度故〉其本體之頂有缺則必西南為所食向方又太隂雖行中交因黄道交地平角甚大本行已近北必得氣差少則復圓尚居太陽西而本食方位已不可轉而東矣又萬厯十六年戊子正月朔太陽躔娵訾七度有食初虧在午後六刻第谷測其過日月兩心之圏距髙弧偏西七十二度有竒復圓在未正三刻半又測得本交角尚有一十二度〈兩弧相距〉可徵尚未向東而初虧食甚復圓皆以西為方向矣如圖甲乙當髙弧丙丁為黄道太陽在己太隂在戊過兩心之
　　弧己戊求其距甲己若干以太陽食
　　時躔度及北極髙度〈五十五度五十五分〉先定
　　甲己丙髙弧交黄道角為五十四度
　　二十四分則餘對角一百二十五度
　　因太陽半徑一十五分二十秒太隂半徑一十五分五十八秒并得三十一分一十八秒為己戊線太隂距北一度○八分减氣差四十三分○五秒餘二十四分五十五秒為丁戊線因而丁為直角故丁己戊三角形内求己角得五十二度四十五分與甲己丁角相减餘七十二度五十一分為初虧距髙弧向西北度論復圓則
　　甲己丙交角有四十四度四十四分
　　太隂距度一度○五分减氣差三十
　　八分四十四秒餘二十六分一十六
　　秒為丁戊線其己戊同前推得丁己
　　戊角五十七度○三分减甲己丁角餘一十二度一十九分為戊己距甲己髙弧即復圓向西之度當時太陽初虧鶉火宫二度復圓本宫一十五度出東地平故黄道髙太陽近北氣差漸少令太隂距太陽不能復過東矣假使北極更低必得黄道愈髙太隂徃北减氣差愈多因知復圓距東更逺萬厯二十三年乙未八月朔第谷門人在東西兩處測驗或得食二分半或得食三分蓋在西者測太陽初虧微過正午故髙弧與子午圏略同而向位距本圏偏東尚有九度在東者測太陽後一刻有竒得其初虧正向天頂則地平北子午圏之東是其向位也從是知初虧向西即復圓向東非定論也且初虧不盡向西復圓不盡向東又已彰明較著有如是也成法悞人可勝浩歎
　　以方位算太隂視經緯
　　萬厯二十六年戊戌二月朔西土己正二十七分初虧後測食約有一分〈十五分一刻十二分一徑〉太陽徑線三十○分三十五秒太隂三十二分四十四秒各依本引數所定其本食所向過兩心線交髙弧者測得九十度正為直角如圖甲乙丙為子午圏丁為赤極髙依本地四十七度○二分丙為天頂太陽在己以丙己為髙弧丁己定距度弧太隂在壬因日月各半徑并得三十一分四十○秒减二分三十三秒〈即所食一分化為度數分〉餘二十九分○七秒為己
　　壬日月兩心相距之分又丙己壬角測九十度因推壬辛即太隂距甲辛黄道視緯度辛己即太隂距太陽視經度先求九十度限距天頂即甲丙庚三角形内丙庚邊也盖太陽躔娵訾一十六度四十三分得升度三百四十七度四十七分减測時距午所應升二十三度一十五分餘升度三百二十四度三十二分應黄道居天之中𤣥枵宫二十二度一十○分乃距赤道一十四度
　　一十一分為甲乙弧加乙丙赤道距天
　　頂與北極依本地出地平髙等得甲丙
　　為六十一度一十三分此時出地平黄
　　道度為實沈宫二十二度三十一分則
　　娵訾宫二十二度三十一分當九十度限為庚而甲庚弧三十○度二十一分因而甲庚丙角恒為直角則本三角形内以甲庚及甲丙兩邊求庚丙第三邊〈于甲丙弧割線加五空位以甲庚弧割線除之〉得五十六度○四分即九十度限距天頂之弧欲免算則以太陽躔度及測時刻依法查本表即得九十度距天頂也以己庚丙直角三角形因得庚丙邊〈五十六度○四分〉庚己邊〈太陽在己即娵訾宫一十六度四十三分九十度限在庚即本宫二十二度三十
　　一分相减餘五度四十八分為庚己也〉于庚丙弧切線加
　　五空位以庚己正除之餘庚己丙交
　　角為八十六度○七分對甲己丙角必
　　為九十三度五十三分〈此太隂初虧在太陽之西比子〉
　　〈午圏略近所居〉第測壬己丙角正為九十度餘壬己辛角止三度五十三分因求太隂視經緯度則于壬己辛小三角形内〈因小可當直線三角形〉以壬己邊〈日月兩心之距〉及先所得諸角〈辛為直角因算己角得三度五十三分壬即餘角〉算得壬辛視緯度距北一分五十七秒己辛視經度距太陽前二十九分○二秒即此可見測食方位之用有如此
　　測交食變形之時
　　交食形者乃日月食起復之間光為景所損而變遷其態以相示者也但受損之光初少漸多多而復少今欲逐時逐刻以宻求之其形無數且可不必大都初虧食甚復圓為太陽太隂所共而食既生光則太隂所獨此五限測法須先求時對食分及食所向方位與距恒星度分乃可一一得矣
　　測太隂食之時
　　常法測恒星髙度若未見星先測太隂自髙度乃以升度求時〈見髙弧用法〉苐谷用自鳴鐘或刻漏将渾天紀限等儀屢測太隂餘光邊距恒星若干或太隂恒星至正午俱以刻漏識之若太隂正在黄道九十度限則從恒星之近者起算為易得其本心及地景心升度可知恒星距太陽度因以取凖時刻有用界尺測太隂兩角或對地平圏平行或對恒星居一直線上或尺線過兩角之中對月景兩心皆以求太隂視處定其經緯以推時刻萬厯三十一年癸卯四月西土月食苐谷門人測之預備刻漏取其能細指時至分秒者試以數日令遲速脗與天合于太隂未食之前測大角星在正午考時得亥初三刻八分三十秒刻漏指亥初一十二分三十秒亥正一十○分〈即亥正三刻四分〉木星居正午髙二十四度三十二分〈極髙五十度〉亥正一十八分〈亥正三刻一十四分〉初虧向位在東南距髙弧自徑線下起算四十五度三十分亥正二十三分〈子初○四分〉向位距四十二度前此太隂未食約四刻時與心宿大星同髙弧此已離去距西蓋因視差故亥正二十九分半〈子初一十○分〉向位距三十九度三十分從土星對月景兩心得一直線過亥正四十二分〈子初一刻九分〉周星〈天市垣者〉至正午向位三十三度三十分食四分一十○秒先所過土星今反距其下矣亥正五十一分〈子初二刻二分〉向位距二十八度稍遲得食五分子初二分半〈子初二刻○七分〉土星在正午髙二十一度四十七分子初九分〈子初三刻○四分〉缺太隂圏之半周子初一十九分〈子正○一分〉太隂心至正午其餘光邊髙一十九度○七分子初二十四分〈子正○六分〉向位距一十五度子初四十三分〈子正一刻一十分〉餘光兩角正垂下距地平等食六分三十秒子正二分〈子正二刻一十四分〉兩角與木星皆居一直線其一角略髙向西因知食甚已過子正二十三分〈丑初○五分〉向位偏西距髙弧下一十八度三十分子正四十七分〈丑初二刻〉向位距三十度丑初三分〈丑初三刻〉距西三十二度丑初一十四分〈丑初三刻一十一分〉尚距三十二度将復圓其邊有次景因用土星測向位然必定土星之經緯乃無遺漏當測時其本星距氐宿北星一十七度二十二分距天江北第六星一十三度二十○分因是知其過子午髙得躔柝木宫初度四十五分三十秒距北二度一十○分三十秒
　　萬厯四十四年丙辰八月去順天西一百○度四十五分〈西邏瑪京都〉親測月食以星髙度及自鳴鐘推得時刻初虧河鼓中星過西髙二十一度得一十三時四十四分三十秒〈時為小時從午正起算即丑初三刻十五分作一刻後倣此〉左肩在東髙一十一度得一十三時四十四分二十秒畢宿大星髙三十一度得一十三時四十一分一十二秒當時鐘有一時○九分〈從子正起算後同此〉盖鐘所指時分每後太陽三十四分先後兩日試驗俱如一即一十三時四十三分食既織女大星距子午圏西髙一十五度得時一十五時○三分一十二秒右肩二十六度推得一十五時○五分乃鐘指二時三十七分即一十五時一十一分生光織女髙一十一度得一十五時三十一分四十五秒右肩髙三十一度推得一十五時三十三分四十五秒鐘得三時三十五分復圓測天津第四星西髙一十九度得一十七時○四分一十二秒乃鐘有四時二十二分即一十六時五十六分又同都一人另居一地測有四十六次所得時刻初虧復圓與前測同惟食既少得五分生光少二分耳今以新法推算復圓全與此合其餘限雖微有參差然亦不逺三四分矣
　　測太陽食之時
　　太陽出東地平左旋漸髙至午正則最髙過午復漸低至西則没此太陽自行一晝之時刻也故得其髙度即可求時其初虧食甚復圓等限惟以此為常測法苐非宻室中不可故又仍用前器架上之衡及矩架俱如前而方架之式之用見月離三卷各細分度數下方為地平從正東正西至子午圏諸弧之切線衡為太陽距天頂之割線矩架之股又為太陽距頂之切線此三度所以全本器之用也測時将方架置几上以中線對南北一手轉矩架隨太陽行並動其衡使之上下以受光一手對輪盤上之尺纔一對景即于衡矩架下方架各識以號〈號宜同如一二等數是〉而以號所對各器之度加輪盤所測之景因推太陽食時及向位食分諸用萬厯庚子嵗六月朔刻白爾距順天府西九十九度一十五分用本器在宻室中測本食共測一十五次作號一二等如左
　　號　　一二　三四五六　七八九〈一一一一　一一○一二三　四五〉


　　其下方架東西邊所分各當二千分自後至中左右各當一千二百分先安置與子午圏對〈以太陽距正午左右相等之髙度或先一日或測後攷對得架偏必差度或加或减于推測之度得地平正弧〉然後測得地平弧以推時刻今依一十五號列所測分及相應之地平弧
　　號一二三四五六七八九十〈一一一一一一二三四五〉如左
　　測　〈一一一一一一　　　　　　　　七一八六三○○八八七六六五四四〉首一及二號所分〈五七三一七七○七二四七三二七三一一○三四五三四八五八七四四一〉對測分在方架度〈二三三三四四五五五五六六六六七○○三六一八○三五八○二六八○〉北自中起數至分〈三二一三○○○五二一三○二二一五一五九八九七六四○二二五七五〉東餘轉東北角徃南其度分則架上平分所推即目正午漸去西太陽所對地平弧也以測分推度分法二千與測分若全數與地平弧之切線假如甲乙丙丁為下方甲丁乙丙每邊分二千戊丁戊丙各一千二百分戊壬正對子午圏
　　亦二千當測得戊己即七五一
　　平分求戊辛弧則壬戊與戊己
　　線若壬辛全數與戊辛弧之切
　　線算得三七五五○查表得二
　　十○度三十五分若景過丁角在甲丁邊上遇庚則甲庚為戊庚弧之餘切線故壬甲與甲庚線若全數與戊庚弧之餘切線〈壬甲與戊丁等〉刻白爾轉矩架時下架悞隨之動使地平弧略有差故以矩架求髙弧以髙弧攷正地號一二三四五六七八九十〈一一一一一一二三四五〉平弧因推時〈五五五五五五六六六六六六六六六六六七七八九○一一二三四六八九〉刻如左
　　〈○七○四一五一一六六六四九五六四九六○三七二六○六九四二○四〉矩架之立柱〈二二二二二三三三三三三四四四四四六六七八一二四五七八○三六七〉當句其數宜
　　股〈五一七五九七六六三二九一九三九○五七○六三五八七三三四三五七〉作五○四○句〈五五五五五五五五五五五五五五五○○○○○○○○○○○○○○○〉今則少異欲
　　依之算亦無
　　謬而矩架之
　　底為股上衡
　　為其長短
　　隨太陽髙低
　　時時不等故
　　數亦不等此
　　求太陽距天
　　頂或以股或以皆同法而句與與股若全數與太陽距天頂之切線次以髙度〈日距天頂之餘〉求地平弧則全數與極出地髙之割線若太陽髙度之割線與先得之數〈為待用之數〉次北極太陽兩髙差度之餘與太陽距赤道度之正相减餘次得數則兩數〈先得與次得〉為實全數又為法算得地平餘弧之矢依測本食之地極髙四十七度○二分其割線一四六七一九太陽距天頂之餘六七四度○四分其割線二二八六六三算得三三五四九一為先得數兩髙度差一十七度○二分查餘九五六一三為减太陽當時距度〈二十二度一十六分〉之正三七八九二餘五七七二一即次得數算得一九三六四八為矢故减首位以所餘查八線表得六十九度二十八分即從正西起地平弧餘二十度三十二分即對太陽過正午地平之弧以此求時則乙丙丁斜角三角形内得乙丁為極髙之餘得乙丙為太陽距赤道之餘得乙丁丙角為對地平〈此二十度一十八分〉至半周餘弧之角求丁乙丙即對赤道弧之角以定相應之時欲依直角三角形必丙丁引至
　　甲得甲直角則先求甲乙丁角〈可用十設算見測量全義七卷本角得七十四度五十一分一十八秒〉次求甲乙線甲乙丙三角形内因得甲乙乙丙兩線以甲直角推甲乙丙角〈此八十四度一十九分一十八秒〉則乙總角减甲乙丁角餘丁乙丙角為所求〈此餘九度二十七分四十六秒化為時得三十七分五十○秒過正午〉測本食之復圓上衡微有阻碍不及受太陽全景故以髙弧推時較地平所推差四分宜半之借此補彼則得二時五十七分三十○秒為正時

　　新法算書卷七十



　　欽定四庫全書
　　新法算書卷七十一　　　明　徐光啟等　撰古今交食考
　　日食
　　書經
　　𦙍征　惟仲康肇位四海乃季秋月朔辰弗集于房按唐大衍厯作仲康五年癸巳嵗九月庚戌朔日食在房二度元授時厯亦稱仲康五年癸巳九月庚戌朔交泛二十六日五千四百二十一分依此得太隂尚距交前約九度新法亦推得九度二十三分然皆中㑹時平行若視㑹時實行則交常度為五宫一十八度一十七分因得實距一度餘在陰厯本食距加減時限〈即黄平象限東〉甚逺必得時差多氣差反少因氣差止一十六分為實距分所減餘視距四十四分乃并日月兩半徑得三十一分三十三秒以較視距分尚不及則月不能掩日而癸巳年九月庚戌朔絶無食又以厯年考之仲康五年無癸巳乃丙寅也癸巳去丙寅後二十七年就使九月朔日有食亦非書所載之食况本不食乎新法推得仲康時僅四年與五年正交與秋分近兩曜已入食限其餘年交距秋遠雖兩曜㑹合入食限内應食者有之不在季秋月朔與書所載無與惟四年乙丑九月壬辰朔太陽躔壽星一十度三十分實交周一十一宫二十七度二十分得太陽實距黄道南一十七分二十秒即入食限與秋分近但加氣差五十分三十餘秒較兩半徑并距度太大必不食况此乃定朔之距度而定朔在酉正一刻外〈依今加減表算〉日入巳二刻矣若視㑹必須加時即二曜絶無視距因得食甚尚在酉正後六刻餘併無帶食試更西去四刻或少加時〈不依今加減表〉存定朔於地平上且依北極出地一十八度算〈雲南交趾等處因與二曜益近故〉其定朔則在酉初一刻得視㑹與日入不甚逺應見帶食苐氣差為三十八分以加實距總得四十六分與二曜半徑并相較亦無食蓋繇氣差加以實距使太隂偏南不能掩日非獨加減時故也若五年丙寅季秋月丙戌朔太陽平行躔壽星初度五十一分與書所載之房宿合寔交周為○宫五度二十四分查表得實距北二十八分而以氣差一十三分相減餘一十五分為二曜半徑并所減餘一十六分三十八秒推得見食五分三十餘秒但依古安邑及北極出地三十六度用今加減表算定朔應在次日丁亥太陽出之前時差應減因得食甚不可見試東去一二時必能見食何也蓋太陰實距北得氣差使之掩日九州内有處可見如以二十八分查太隂視差表中行得上横行髙度應六十三度餘二十七度為二曜距天頂度因以太陽實躔查黄道九十度表所得側對二十七度者乃北極出地二十五度即全見食地也〈因設二曜在正九十度上絶無時差而氣差全變為髙下差即所減去前二十八分故〉距此南北内外亦應見食惟分數多寡不一耳設東來一時依北極出地二十五度算得氣差二分四十五秒為寔距所減餘二十五分四十秒即視距分與二曜半徑并相較餘六分應推見食二分論定朔此時二曜髙尚有一十七度在辰初二刻〈日出卯正前約二分〉雖時差復有所減能使視㑹在卯前不見食甚然可多見𢃄食至復圓而曚氣差亦畧補地半徑差使日月可早出總之論中土之西不能見食非太隂不甚掩太陽乃時差無從得算蓋時差必先求定朔定朔即依加減所得而加減復歸太陽本圜心去離地心故但二心相距古今不等〈見日躔厯指〉即加減亦異新法為求均度止立二百恒年表者亦以見此後數未免畧變至求所變幾何止可及中古未能及上古乃書僅云仲康五年辰弗集于房此外不紀食于何時測于何方見食若干分儻因之退求二心之距依法立表自可得其食之必然况與年月宿度俱符者乎再帝堯時大槩春在昴秋在房仲康去堯未逺俱依此為定故得日在季秋月朔遂謂辰弗集于房其寔房漸移東是日尚居氐宿末度非真至于房也或因不凖得時刻誤以他年且晦朔不明及謂太隂距逺不能掩日之光亦滋惑矣
　　詩
　　小雅　十月之交朔日辛卯日有食之亦孔之醜〈大夫刺幽王也〉案周正建子十月乃夏之八月是在周幽王六年乙丑歲十月辛卯朔授時推是日辰正四刻合朔交泛一十四日五十七刻入食限梁太史令虞鄺唐僧一行亦步得是日日食今以法依本地去順天府西約減二刻考之是日定朔己初三刻内一十分太陽寔躔鶉尾宫○四度三十九分算以時差得減一時三十六分乃得食甚在辰正初刻○四分授時得辰正四刻未推地經加減故于視㑹時得實交周○宫八度五十九分查表得實距四十六分三十六秒減氣差一十五分一十六秒餘太陰視距在黄道北三十一分二十秒與兩曜半徑并相減餘三十一秒則得食分止三十秒耳授時推交泛一十四日等數欲以正交起算則與日月不合若從中交起算則得平交周與新法所得去正交北畧逺雖能入食限亦不過此食分矣
　　春秋
　　襄公　二十有四年秋七月甲子朔日有食之既案魯春秋仍用周正七月乃夏正建寅之五月也今以法考之是月甲子日未正二刻定朔申初初刻○八分食甚實交周○宫○三度二十二分二十秒實距度一十七分三十二秒因在黄道北減氣差一十六分一十二秒得視距一分二十秒應見全食且本月徑大于日徑掩太陽邉周有竒經稱日既政與法宻合
　　襄公　二十有七年冬十有二月乙亥朔日有食之傳曰十有一月乙亥朔日有食之
　　案周十二月即夏十月依法推步本月不入食限且無乙亥朔惟十一月則夏之九月也是月新法推得定朔在巳初一刻一十分食甚在辰初四刻内一十二分實交周度五宫二十八度二十三分在隂厯實距分八分三十四秒與氣差一十六分五十三秒相減餘視距八分一十九秒減兩半徑并數查表得食分七分六十三秒月朔則以傳所載為是
　　漢景帝中三年甲午嵗九月戊戌晦日食幾盡
　　今以法考之是日定朔依本地算在午初一刻○分四十六秒日實引一十一宫○一度三十七分三十八秒月實引四宫一十四度四十九分四十八秒太陽寔躔大火宮一十四度二十四分二十一秒黄平限在壽星宫一十三度○七分初東西差二十二分四十二秒次東西差三十○分四十八秒應減一時○五分一十四秒為巳正初刻一十○分三十二秒食甚因得實交周○宫○九度○八分五十八秒太隂實距黄道北四十七分二十四秒改視距九分二十四秒應食七分四十餘秒則是十月戊戌日日食而漢厯誤推為晦何也
　　漢成帝河平元年癸巳嵗四月己亥晦日食不盡如鈎劉向云日蚤食時從西北虧起
　　今以法考之是日乃五月己亥朔非四月晦也日實引六宮○九度一十九分二十一秒月實引六宫二十二度一十七分三十八秒本地定朔在巳正二刻○九分四十四秒太陽實躔實沈宫二十四度一十八分四十七秒因得初東西差一十六分五十四秒次東西差二十二分四十三秒為巳初三刻○四分二十一秒食甚太陰實距黄道北一十六分四十七秒内減氣差一十四分二十六秒為視距二分二十一秒應九分半有竒所云日食不盡如鈎脗與法合及先一時查表得東西差三十五分二十一秒月行分三十二分一十六秒視行一十九分三十八秒應辰正初刻一十一分初虧正劉向所謂蚤食時也夫上下千百年而分數時刻一一不爽如此則此日之推步為何如哉
　　漢安帝延光四年乙丑嵗三月戊午朔日食隴西酒泉朔方各以狀上史官不覺
　　今以法考之是日定朔依本地算未正二刻○三分日實引四宫一十度三十六分月實引三宫○五度二十七分太陽實躔降婁宫二十九度○九分初東西差五十二分一十二秒次東西差五十六分四十一秒因得加時一時五十三分食甚在申正一刻一十分此時實交周○宫○六度二十三分即太陰實距北三十二分五十秒氣差一十二分五十二秒因實距改為視距度一十九分五十八秒應得食分三分八十四秒夫時在申正已非夜食可比食及三分亦不得藉口不救三方各以狀上而史官不覺漢之厯法可知矣毎讀兩漢前後史誤朔為晦至差一二日當食失推郡縣以聞者屢屢漢人又安得為知厯哉
　　陳宣帝太建八年即周建徳五年齊後主武平七年丙申嵗周書六月戊申朔日食齊載六月戊申朔太陽初虧劉孝孫言食于卯時張孟賔言食于申時鄭元偉董峻言食于辰時宋景業言食于巳時至日食乃于卯申之間陳無
　　今以法考之是日日實引六宫二十九度一十二分三十三秒月實引五宫二十一度二十二分二十四秒太陽實躔鶉首宫二十一度○五分案陳都金陵〈今應天府〉定朔在辰初二刻○八分三十三秒次黄平象限在大梁宫三度○九分次東西差五十四分二十七秒應減一時三十六分○九秒為卯正初刻○二分二十四秒食甚實交周五宫二十三度五十三分一十八秒太隂實距三十一分四十四秒内減南北差二十一分一十二秒為視距分十分三十二秒應食七分一十六秒夫食及七分而不載食陳厯之踈可知甚于卯正應虧于卯初之先齊人之言卯者為近而言辰者逺言巳者則愈逺矣
　　隋文帝開皇十四年甲寅嵗七月朔日食
　　案劉暉駁張胄𤣥大業厯曰是日依厯時加巳上食食十五分之十二半強𠉀至未後三刻日乃食虧起西北食半許入雲不見食頃暫見猶未復生因即雲障今以法依西安府考之是日癸巳朔申初二刻一十二分食甚未正三刻内一十三分初虧查實交周五宫二十四度四十五分實距分二十七分四十五秒與氣差三十二分○六秒相減餘視距四分二十一秒得并徑減距餘數二十八分應見食九分三十五秒與劉暉未後三刻日乃食少頃猶未復生之語最相符合
　　唐開元十三年乙丑嵗天正南至東封禮畢〈是年封㤗山〉還次梁宋史官言十二月庚戌朔日當食帝乃徹膳素服以俟卒不食大衍推是月入交二度弱當食十五分之十三而陽光自若纎毫無變雖術乖謬當不至此今以法考之是日定朔申正初刻○三分太陽在星紀宫二十一度三十八分二十八秒宻求食甚時刻距黄平限九十八度則太陽已西入地平下矣雖實交周度約在○宫○七度二十九分應得有食但求初虧度限又與升度相距八十六度地平已近且日光閃爍毎毎先食而後見謂之纎毫無變宜也惜當日厯官見不及此徒留徹膳素服一案以來後世之指𢳣耳
　　宋太祖乾德三年乙丑嵗二月壬寅朔日食騐天不食議者俱指為當食不食日度失行
　　今以法考之是日定朔巳正三刻一十二分二十九秒本地真時差五分五十四秒視距分二十二分四十二秒并徑減距得八分四十秒食止二分五十四秒想當日厯官或推時太蚤至期不騐遂謂不食一當食時又或片雲掩蔽而所食無幾倐忽已過誤而不覺耳且食不及三分不救與不食同是未可知特一拈破
　　宋真宗大中祥符七年甲寅嵗十二月癸丑朔日食驗天不食綱目書司天監奏日食不應羣臣表賀
　　是日壬子推得平望一十七時四十一分二十六秒月實距日三度三十九分四十九秒其時為加應加七時一十二分四十五秒因太陽躔星紀宫八度三十八分一十九秒復減三分○五秒共得二十四時五十一分○六秒進一日為癸丑定朔在子正三刻○六分○六秒則食在夜誤推在晝司天氏之過也乃不罪推步者而輙紛紛稱賀宋人之欺罔也甚矣
　　宋仁宗景佑三年丙子歲四月己酉朔日食殿中丞王立言是日日食二分半𠉀之不食綱目無
　　依法推得是日定朔辰初一刻○三分三十八秒太陽實躔大梁宫一十四度○四分一十二秒宻求九十度限在娵訾五度五十三分距天頂四十七度○三分交角餘度四十度五十一分得南北差四十二分一十二秒雖實交周在○宫一度五分三十八秒太陰實距五分四十二秒但氣差數大改視距分為三十六分三十秒兩半徑并實無此數又安得有食分可見乎日食二分半之説誤矣𠉀之不食是
　　宋慶厯四年甲申嵗十一月戊申朔日當食不食綱目無依法推得是月戊午朔誤推戊申朔其日定朔酉正一刻○三分三十七秒太陽實躔析木六度二十三分四十七秒九十度限在娵訾二十五度五十五分相距一百○九度三十一分其為夜食無疑矣綱目刪之是也又安所得當食不食哉
　　宋神宗元豐元年戊午嵗六月癸卯朔太史言日當食驗之不食議者云是日卯時日食史云驗之不食而綱目載食想當時原食也
　　今以法考之是日在辰初初刻一十一分四十一秒太陽實躔鶉首二十四度三十一分五十秒因宻求視㑹黄平限在大梁二度二十六分相距八十二度○六分得氣差二十二分○六秒雖食甚應卯初三刻一十二分二十五秒而實交周五宫一十六度四十九分二十七秒距分減去氣差尚餘視距四十四分五十二秒其驗之不食宜矣又安所謂當時原食哉
　　宋哲宗紹聖二年乙亥歲二月丁卯朔太史言日當食驗之不食
　　今以法考之是日定朔寅正二刻一十二分○六秒太陽實躔娵訾二十四度○一分二十七秒查黄平限在大火宫二十三度一十六分與太陽相距甚逺其為夜食無疑矣誤推在晝司厯過也
　　宋徽宗崇寧五年丙戌嵗七月朔日當食不虧
　　今以法考之是日定朔在午正初刻○三分二十秒太陽實躔度在鶉火宫一十四度○四分四十六秒次度限在本宫七度五十一分距天頂一十六度一十五分交角餘度一十九度二十七分氣差一十六分五十一秒實交周○宫○九度三十三分五十一秒距分四十九分三十一秒減氣差一十六分五十一秒餘視距三十一分四十秒減兩半徑并數實餘二十八秒應不見食其不虧宜也有謂是日史不載而綱目有之想當時日官誤推不食既而見其食則諱而削之未可知也亦獨何哉至本年十二月戊午朔原不入食限應不食
　　南宋髙宗紹興三十一年即金正隆六年辛巳嵗正月甲戌朔日食太史言日當食而不食帝不受朝金無以法考之是日定朔辰初一刻○一分五十秒太陽躔娵訾一十五度一十二分三十六秒黄平限在析木一十三度五十五分地平上無髙弧已非在晝且實交周六宫一十九度不入食限不應食金人無之是也帝不受朝厯官當受過矣
　　宋孝宗乾道三年即金大定七年丁亥嵗金書四月戊辰朔日食宋無金主避正殿減膳伐皷應天門内百官各于本司庭立明復乃止
　　依法推得是日定朔未初一刻○五分太陽實躔大梁○七度○四分四十一秒交角餘度三十九度三十分氣差二十分三十秒求得時差四十四分三十八秒為未正初刻○四分三十九秒食甚實交周○宫○七度三十分五十七秒太陰實距三十八分五十八秒因在黄道北改為視距一十八分二十八秒得食分四分四十秒夫食在日中已非夜食不書者比見食四分四十秒又非三分以下不救之類而乃當食失推致令河北獨專其美何哉富弼曰萬一契丹行之豈不為朝廷羞其即此日之謂也
　　宋寧宗嘉泰二年即金太和二年壬戌嵗五月甲辰朔日食太史言午正食甚草澤趙大猷言午初三刻日食三分驗之午初一刻起未初刻復如大猷言
　　今以法考之是日定朔午初二刻○七分三十五秒太陽躔度在實沈宫八度○二分東西差四分一十五秒氣差八分應午初二刻食甚實交周一十一宫二十六度四十九分共得視距二十四分四十八秒應見食二分三十秒與大猷所推較親
　　明隆慶六年六月乙卯朔日食䑓官𠉀得初虧卯正三刻復圓巳初三刻約食有八分大統推得見食八分二十一秒初虧卯初二刻食甚辰初初刻復圎辰正二刻今以法考之是日定朔巳初一刻一十四分太陽實躔鶉首二十七度○四分三十九秒黄平限在實沈九度二十一分距天頂一十八度一十九分太陽髙差四十五分五十三秒交角餘度六十五度○八分得東西差三十九分二十一秒食在東應減時差一時二十七分為辰正初刻○一分五十八秒食甚實交周○宫○四度一十一秒太隂實距二十分四十七秒内減氣差一十八分一十八秒餘視距度二分二十九秒減兩半徑并數得二十八分約食九分餘復求得太陽距黄平限六十三度一十二分日食月行分三十分四十一秒視行二十三分○八秒應減一時一十九分三十三秒為卯正三刻内初虧脗與測合再求九十度限在實沈一十七度三十八分視行二十三分二十○秒應加一時一十七分四十四秒為巳初二刻内復圎與所測較親若大統則初虧先天五刻復圎亦先天五刻矣
　　萬厯三年乙亥歲四月初一日己巳朔日食䑓官𠉀得初虧未初二刻復圎申初三刻約食有六分餘大統報初虧未初一刻食甚未正一刻復圎申初二刻見食六分六十秒
　　今以法考之是日太陽實引四宫二十一度四十九分一十八秒太隂實引五宫○四度五十四分三十二秒定朔未初一刻○四分四十三秒太陽實躔大梁二十八度二十二分一十四秒黄平限在實沈二十五度五十一分距天頂一十六度三十三分髙下差三十一分五十三秒東西差二十六分四十八秒氣差一十七分二十四秒應未正一刻○一分二十四秒食甚實交周○宫○一度二十七分一十一秒視距分九分五十秒應食七分二十八秒減一時得黄平限在實沈一十八度一十六分東西差一十九分一十八秒應未初一刻一十分一十九秒初虧實與測合惟復圎則在申初一刻○分二十五秒乃臺官謂𠉀得申初三刻恐食甚既在未正一刻而虧復間當不懸逺至此
　　萬厯十一年癸未嵗十一月初一日己卯朔日食䑓官𠉀得初虧午初三刻食甚未初二刻復圎未正二刻約食九分餘大統推得初虧午初二刻食甚未初初刻復圓未正二刻食九分六十七秒
　　今以法考之是日太陽實引一十一宫一十六度四十四分二十七秒太隂實引○宫○七度三十八分一十七秒定朔午正二刻○九分四十秒太陽寔躔析木二十一度四十二分○七秒度限在星紀四度四十分距天頂六十三度二十八分髙差五十三分五十五秒東西差六分○一秒氣差五十三分三十四秒食在限西應加二十一分三十五秒為未初初刻○一分一十五秒食甚實交周○宫一十度○九分四十五秒得視距度一分應食九分三十一秒脗與測合其初虧則在午初二刻○七分○七秒與測較親復圎為未正三刻○一分似與測逺矣
　　萬厯二十二年甲午嵗四月初一日己酉朔日食臺官𠉀得初虧巳初四刻食甚巳正四刻復圎午初四刻約食三分餘大統推得初虧巳初三刻食甚巳正三刻復圎午初三刻食三分九十一秒
　　今以法考之是日太陽實引四宫二十一度五十二分一十五秒太隂實引三宫一十四度二十八分○八秒定朔午初初刻○八分三十七秒太陽實躔大梁二十八度四十分二十四秒次度限在本宫二十一度○八分距天頂二十二度五十二分得髙差二十三分四十七秒東西差七分氣差二十二分三十四秒應巳正四刻内食甚與所測合實交周○宫○八度三十六分○一秒太隂視距度二十一分四十秒應食三分一十八秒與測宻合再減一時度限在大梁八度一十二分髙差三十三分二十四秒東西差一十九分三十秒應巳初三刻内初虧加一時度限在寔沈一度四十三分髙差二十分一十九秒東西差二分四十二秒其復圎時刻似與所測較遠
　　萬厯二十四年丙申嵗閠八月初一日乙丑朔日食臺官𠉀得初虧巳正二刻食甚午初四刻復圓午正四刻約食八分餘大統推得初虧巳正三刻食甚午正初刻復圎未初一刻食九分八十六秒
　　今以法考之是日太陽實引八宫二十五度三十六分○四秒太隂實引四宫○八度四十一分五十四秒定朔午正初刻○四分三十三秒太陽實躔鶉尾二十九度○九分三十三秒次黄平限在本宫六度二十六分距天頂三十三度四十四分高差三十八分二十六秒交角餘度二十九度二十分東西差一十八分一十八秒氣差三十三分一十二秒應午初二刻内食甚實交周五宫二十四度○八分○三秒改視距度二分四十四秒應食九分四十六秒與大統算合減一時得度限在鶉尾七度○分東西差一十六分三十九秒應午正三刻内初虧加之度限在壽星二度五十五分東西差二分四十九秒求得視行一十分四十七秒應午正四刻復圎與測宻合
　　萬厯三十一年癸卯嵗四月初一日丁亥朔日食臺官𠉀得見食八分餘初虧辰初二刻食甚辰正三刻復圎巳初三刻依大統算初虧食甚皆先天三刻復圎先天一刻餘
　　今以法考之是日太陽實引四宫一十二度三十七分太隂實引二宫二十五度二十四分定朔巳初一刻外○六分實日躔大梁宫九度四十七分以次時差得減時四十七分應辰正三刻内○四分食甚查表得日食月行分三十一分二十五秒以食甚前視行推得一時一刻○二分應辰初二刻内○二分初虧又以食甚後視行推得一時一十分應巳初三刻内一十四分復圎俱與測合再查實交周五宫二十二度五十五分實距分三十六分五十秒内減氣差三十四分二十八秒餘二分二十二秒為兩半徑所減餘數查表得食八分八十秒大統推九分六十二秒似未合天
　　萬厯三十五年丁未嵗二月初一日甲午朔日食厯官推得初虧酉初三刻𠉀至日入未見虧食
　　今以法考之是日太陽實躔娵訾宫七度三十二分順天府晝長四十四刻日入酉初二刻末雖定朔應申正二刻○七分然時差近地平最大以加時得食甚酉正一刻○九分初虧酉初一刻一十分此時日雖未入相去無幾而陽光閃爍微秒難窺謂之不見虧食宜也
　　萬厯三十八年庚戌嵗十一月初一日壬寅朔日食大統推得初虧未正一刻食甚申初三刻復圎酉初初刻臺官實測得初虧未正三刻食甚申正初刻至申正四刻日巳入未見復圎
　　今以法考之是日太陽實引一十一宫一十七度五十六分太隂實引一十一宫一十九度四十一分定朔在未正三刻○四分實日躔析木宫二十三度一十六分求時差得一時二十分應加在申正初刻○九分食甚因以太隂一時視行求得一時一十三分應未正三刻一十一分初虧俱與所測親其復圎距分與初虧同應酉初一刻○九分查應天府是日日入申正四刻若順天則在申正二刻○五分是復圎時日巳入三刻有竒不見復圎是也
　　萬厯四十五年七月初一日癸亥朔日食大統推酉正二刻日未入見食八十九秒候至其時日體全明不虧今以法考之是日太陽實引七宫○四度一十六分太隂實引一十宫○五度四十分定朔在戌初初刻○四分即日入後○一分矣實日躔鶉火宫○九度○分半晝為二十八刻○三分求時差得太陽距黄平限九十度三十分則最大時差二十九分四十一秒氣差至滿一度依時差得加一時○二分應戌正初刻○六分日入蓋已久矣求初虧則先一時算得時差三十二分一十二秒以太隂視行三十一分二十三秒推得五十分與食甚相減應戌初一刻○一分則日入巳一十三分何能見食八十餘秒哉
　　天啟元年辛酉嵗四月初一日壬申朔日食大統推得見食四分初虧申正三刻食甚酉正初刻復圎戌初初刻日已入未見復八十秒臺官實測得初虧酉初一刻復圓在天欽天監罰俸三月
　　今以法考之是日太陽實引四宫二十三度一十一分太隂實引二宫二十二度一十三分定朔在申正一刻一十四分實日躔實沈宫○度一十七分算得次加時一時二刻○九分應酉正初刻○八分食甚酉初初刻○八分有竒初虧俱宻與天合復于食甚後一時求得太陽距黄平限八十九度一十八分近于地平推得時差一時○二分應戌初初刻一十分復圎查表得是日日入戌初初刻一十二分即復圎後已二分因無帯食分
　　月食
　　宋仁宗嘉祐八年癸卯嵗十月癸未望月食𠉀得卯七刻食甚授時推辰初刻食甚大明亦然
　　今以法考之是日太陽實引一十宫二十四度二十一分四十五秒太隂實引二宫二十五度三十四分四十九秒實交周六宫○一度一十九分四十五秒實望六時四十九分○五秒加視分九分四十三秒汴京距順天西一千里應減一刻在卯正三刻食甚謂卯七刻者政與法宻合若授時大明所推則又後天二刻矣至是日得食一十七分二十五秒寅正二刻一十二分初虧卯初三刻○二分四十一秒食旣辰初二刻○九分五十五秒生光辰正三刻○分三十四秒復圎俱可不論
　　明天順四年庚辰嵗閏十一月戊午望月食卯正二刻見食四分強弱之間厯官不報食
　　今依新法考之是日太陽實引○宫一十一度三十二分一十二秒太隂實引五宫二十四度一十九分○三秒實交周一十一宫二十六度二十二分五十五秒月食一十二分四十五秒實望七時四十九分四十八秒内減視分五分二十五秒應辰初二刻一十四分二十三秒食甚得初虧距分一時五十二分四十秒應卯初三刻○六分四十三秒初虧查髙弧表得本日日出辰初一刻○七分則日未出月已入地平下其見食僅四分強弱之間是也若大統謂是日初虧辰初一刻日出卯正四刻誤推在晝故不報厯法踈宻于此可見一斑矣
　　萬厯五年丁丑嵗閏八月十六日庚子曉望月食厯官推得卯初四刻初虧𠉀至其時月體全明未見虧食今以法考之是日太陽實引九宫一十度○四分三十八秒太隂實引○宫一十一度二十七分一十一秒實交周○宫○三度五十四分五十六秒應食一十二分四十○秒實望八時○一分四十二秒加視分四分一十九秒應辰正初刻○六分○一秒食甚得初虧距分一時五十七分四十六秒應卯正初刻○八分一十五秒初虧查髙弧表是日日出卯正一刻則初虧時政日將出時安有分秒可見哉其報見食一分三十三秒者誤矣
　　萬厯十七年己丑歲十二月十五日戊子夜望月食厯官報子初二刻食甚𠉀至其時月體全明未見虧食今以法考之是日太陽實引○宫二十四度○七分四十三秒太隂實引一十一宫○五度三十分一十六秒實交周一十一宫一十六度四十八分三十三秒距黄道南一度○八分○三秒太陰地景兩半徑并五十八分○三秒其不及距分者尚有十分又安所得食分哉謂之月體全明政與法宻合
　　萬厯二十六年戊戌嵗七月戊戌夜望月食厯官報食九分一十二秒至期臺官實測得十分餘為食既今以法考之是日得實交周一十一宫二十五度二十一分查表實距南二十四分并兩半徑減之餘四十分三十二秒此時太隂自行過最庳一十一度其全徑為三十四分四十秒入景最深應食一十一分五十秒大統以兩半徑恒如一不知其變大是以不推食既也
　　萬厯二十九年辛丑嵗五月壬子夜望月食臺官實測得見食四分餘食甚丑初一刻復圎丑正三刻而初虧止前食甚三刻
　　今以法考之是夜得平望亥初一刻○二分加時一十五刻○二分為實望太陽躔實沈宫二十四度更加升度時差四分應丑初一刻内○八分食甚脗與測合此時太隂與最髙相近實交周一十一宫二十一度○六分實距南四十六分與兩半徑并相減餘一十三分查表得食四分○七秒凖與天合其初虧距分推得五刻○六分與食甚相減應子初四刻内○二分初虧加之應丑正三刻内○九分復圎總計食分食甚復圎新法俱與測合惟初虧不合者此乃漏刻科誤報之罪何也蓋月食太隂入景自初虧至食甚與出景自食甚至復圎兩時俱相等未有後距六刻而前僅三刻之理考右明前後月食不下數百條而時刻自相矛盾者居多甚矣臺官之溺職也
　　萬厯二十九年辛丑嵗十一月己酉夜望月食厯官報食七分八十一秒至期實測得八分餘
　　今以法考之是日太隂自行五宫二十一度○三分得其半徑為一十七分一十八秒地景半徑四十六分一十九秒并之減距度三十二分三十三秒餘數查表得食八分八十三秒與所測合其報七分餘者蓋此日太隂近最庳入景深分數應多而大統依恒定之景徑推算故分數少耳至測初虧為食甚前六刻復圎為食甚後九刻者詎臺官政在醉夢中耶
　　萬厯三十年壬寅嵗四月丙午夜望月食臺官測得初虧子正一刻食既丑初一刻大統俱先天二刻測食甚丑正一刻大統先天三刻其餘俱測不精以前食甚者為八刻後食甚者為十二刻非也又識復圎為卯初一刻計總食共二十刻亦非也
　　今以法考之是日太陽實躔實沈宫一十三度四十分算得順天府日出寅正三刻内○九分舊法依南京日出分故見復圎在日將出時遂誤為卯初一刻而不知實後三刻也此時平望在卯正初刻○六分減時一十六刻○四分餘數復加升度之時差六分得食甚丑正一刻内○八分以太隂實引一十一宫實距分四分查表得初虧子正一刻内○二分食既丑初一刻内一十分皆與測數合因而生光復圎可知矣又何得若是懸絶哉
　　萬厯三十年壬寅嵗十月甲辰夜望月食寔測得月已出見食十分餘生光酉初三刻復圎酉正二刻大統後天二刻識月出時為酉初二刻此乃應天府日入分非順天府日入分也且依之算食旣前宜見月
　　今以法考之是日太陽實躔析木宫六度五十八分順天見入地平為申正二刻一十二分大統推食旣申正三刻不合天也依法算得平望在本日巳正二刻加時六時一十四分更加升度時差八分應申正三刻○七分食甚日入後已十餘分矣以太隂實引四宫實距分一十分查表得加五十九分為生光應酉初三刻○六分總加一時五十五分得復圎應酉正三刻○二分皆親于測數
　　萬厯三十四年丙午嵗二月乙卯夜望月食臺官實測得酉正一刻月已出見食一十餘分戌初一刻生光戌正一刻復圎
　　今以法考之是日太陽實躔降婁宫四度入酉正初刻○五分南北地畧同謂酉正一刻日出是但大統推食甚後天二刻依法算得平望寅正二刻○七分加時一十三時○一刻一十三分更加升度時差二分應酉正一刻内○七分食甚以太隂實引三宫實距一十五分查表得食甚時加五十五分為生光應戌初一刻内○二分總加一時五十七分為復圎應戌正一刻内○四分俱與天宻合
　　天啓六年丙寅嵗十二月十五日癸丑望月食厯官報一更一㸃初虧測候初虧在晝
　　今以法考之是日太陽實引一宫○四度二十分四十秒太隂實引九宫○六度四十五分五十一秒實交周一十一宫二十四度○分四十一秒月食九分一十一秒實望一十八時三十九分五十秒内減視分九分四十八秒應酉正二刻○分○二秒食甚求得初虧距分一時四十三分○五秒應申正三刻○一分五十七分初虧查表得本日日入申正三刻一十三分是初虧在日未入之前已一十一分○三秒測得在晝是也一更一㸃之説誤矣
　　天啓七年丁卯嵗十二月十四日丁未望月食厯官報復圎辰初三刻不見復光八分四十六秒測𠉀復圎在天今以法考之是日太陽實引○宫二十三度三十九分四十四秒太隂實引七宫一十七度一十二分五十二秒實交周○宫○一度四十七分二十○秒月食一十六分一十二秒實望得五時一十分二十五秒内減視分八分三十五秒應卯初初刻○一分五十秒食甚初虧寅初初刻○七分五十四秒食既寅正初刻○一分一十九秒生光卯正初刻○二分二十一秒其復圎應在卯正三刻一十分四十六秒查髙弧表得本日日出辰初初刻一十四分則見復圎巳一刻有竒又安有所為不見復光八分四十六秒哉
　　凡十五分為一刻四刻為一小時二十四小時為一日











　　新法算書卷七十一
<子部,天文算法類,推步之屬,新法算書>



　　欽定四庫全書
　　新法算書卷七十二　　　　　徐光啟等　撰交食表卷一
　　算交食諸表法
　　交食有本表有借用表大都算交㑹交食分數及視徑視差食既復圓諸用者為本表葢原為㑹食設數列表則止以算食鮮及他用也若算日躔月離及渾天儀等項諸表亦可用以算交食此為借用之表也今所論列表獨交食所用餘通用者各見本厯指無不詳明其法厯元後二百恒年五行表〈算法〉
　　二百恒年五行表者太陽及太隂當此時或為自相較所行或與定處較所行宫度分也何謂自相較乃首朔為每年厯元後第一平朔而餘行皆以隨合之為準〈厯元為冬至後第一子時昔朔即本時之後第一朔〉何謂與定處較乃日月引數彼為太陽當時從最庳自行此為太隂當時從最髙亦自行及太陽經度乃其從冬至平行而交周度即太隂當時所過羅㬋宫度也欲算首朔則恒于原根或加太隂年或減通閏法〈見交食厯指二卷新厯平歳三百六十五日減十二朔實餘數為通閏因與大統畧異〉
　　假如崇禎元年戊辰首朔為一十四日加太隂年即十二朔實得日數三百六十九于太陽平歳相減只餘四日若復加太隂年日數少太陽平歳無可減故與己巳之根四日等數加一十三朔實而總數乃能減之至壬申年為閏則總數三百六十六日皆全減去是以其根無日止得十六時等數也用減法則戊辰年通閏可減而次己巳年不可復減因根數少故必先加一朔實而後減也至壬申年因閏一日故前數宜減一十一日而無餘日也
　　算太陽太隂引數及交周與太陽經度表法皆相同或以加則用其十二朔實之行〈見交食厯指二卷〉或以減則全周三百六十度減太陽十二朔實之自行餘數〈一十○度四十三分五十二秒〉為本年之根所減得次年之根但首朔有加朔實之處此必用全周減十三朔實自行之餘數〈為一十一宫一十一度三十七分三十一秒〉與前根相減乃得次年之根耳假如戊辰年有根為九度二十一分二十二秒因首朔加太隂年十二朔實此依加法亦加是年間太陽及太隂之自行交周及太陽之平行其太陽自行總數為一十一宫二十八度三十七分三十○秒即己巳次年之根也又本年首朔因加十三月此亦加十三月間太陽自行得一十六度五十九分五十九秒為庚午之根至壬申宜閏雖首朔多減一日此不須論也依減法戊辰年論太陽引數減一十○度等數而次年減一十一宫等數是因本己巳年首朔根借一朔實故餘皆倣此
　　用法
　　表首行書首朔者天正冬至後第一子正後之首平朔也以求日月平㑹次太陽太隂引數者平朔日所當日月之自行度也以求均度而推定朔次交周度者以求距度次太陽經度者以求視時此四行皆平行皆與首平朔日時相當列表每年最上書紀年向下五行所列時日宫度分秒皆從本年天正冬至後第一子正起算最下書宿書紀日皆用數為本年天正冬至後第一日所得宿及干支也推交食上得年中得首平朔及同時四種平行下得宿滿二十八去之餘為所用又得日滿六〈十去之餘為所用〉

















<子部,天文算法類,推步之屬,新法算書,卷七十二>
<子部,天文算法類,推步之屬,新法算書,卷七十二>
<子部,天文算法類,推步之屬,新法算書,卷七十二>
<子部,天文算法類,推步之屬,新法算書,卷七十二>
<子部,天文算法類,推步之屬,新法算書,卷七十二>
<子部,天文算法類,推步之屬,新法算書,卷七十二>
<子部,天文算法類,推步之屬,新法算書,卷七十二>
<子部,天文算法類,推步之屬,新法算書,卷七十二>
<子部,天文算法類,推步之屬,新法算書,卷七十二>
<子部,天文算法類,推步之屬,新法算書,卷七十二>
<子部,天文算法類,推步之屬,新法算書,卷七十二>
<子部,天文算法類,推步之屬,新法算書,卷七十二>








　　厯元前總甲子表〈算法〉
　　前表紀首朔即厯元後第一經朔此則不然乃用以冬至相近者為首朔不拘在先與後也試以太陽經度對六十六甲子首朔得在冬至及厯元之中盖太陽經行只○一分○五秒化為時得其過冬至止二十六分首朔減二十六分餘三時一十八分為冬至在本戊午日之時與首朔先後差二十六分矣算表先求六十年五行之總數葢首朔以通閏為第一年之根恒以加通閏得次年及後年之諸根滿朔實減之每四年閏一日餘四行用太隂年間本行

　　為首根而復加之恒如此得諸年之根遇首朔減一朔實之處此加一朔實間之行而不論閏日六十年總行已有定法〈兩甲子相隨之數相减餘數即六十年之行數表中查之以此為恒法〉則上推首朔恒用加推餘行恒用減滿一朔實彼此共去之〈俱交食厯指二卷〉用法
　　總甲子者第一甲子為唐堯八十一年第六十六甲子則天啟四年也凡欲上推往古則用此表先查所求年在第幾甲子次查本年為本紀中第幾零年餘法與厯元後二百恒年表同









<子部,天文算法類,推步之屬,新法算書,卷七十二>
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<子部,天文算法類,推步之屬,新法算書,卷七十二>
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　　六十零年散用五行表　〈算法〉
　　朔實減通閏餘數〈一十八日二十一時三十二分四十一秒〉為太隂一太陽平歳所欠以滿十三朔實者或十三朔實減太陽平歳所餘與上同故本數能定次年之首朔即表中起首之數也第太陽平歳必餘有數時漸滿一日為閏日乃朔實内所先減去得一十七日等時為首數以後凡隔四年多減一日若餘數少于通閏無可減必借加一朔實然後可減矣太陽引數等行恒以加十二朔實之行為表其首數必應合與日數即十三朔實先除全周之行也日數凡加朔實而減者亦加當時之行以更加十二朔實之行滿周恒除之故不用閏日也
　　用法與厯元後二百恒年表同






<子部,天文算法類,推步之屬,新法算書,卷七十二>
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　　十三月表用法
　　十三月表不論首朔以朔實為主每以一朔實加首朔即得次朔如是逓加可求本年諸平朔也凡五表第一上紀日時分秒右首行紀月數次各行為朔實每加一朔實則加一月如三月則朔實八十八日有奇也後四表上紀宫度分秒右首行皆紀月次各行皆本行之宫度分與所求各月相當之數下紀望策以加首朔則得首平望次依本月數先加朔實次加一望策得本年諸平望餘四表下皆列本望策加法同









<子部,天文算法類,推步之屬,新法算書,卷七十二>
　　加減度表　〈算法〉
　　加減度表有太陽均度從最庳起為初宫初度有太隂均度從其本輪最高而起最高或最庳左右之數雖皆同〈盈初與縮末盈末與縮初〉上下相對之數反異〈縮初與盈初縮末與盈末〉故表中以兩曜本輪之初度對末度從初宫起順數從六宫起逆數則表中于上下所應數無不合矣欲算表先求自行為引數則太陽以本圏半徑及兩心之差〈夫本圏心與地中心〉太隂以兩輪〈小輪及次輪〉及本輪之半徑皆依三角形可得第本表及次四行時表皆為借用之表必查本厯指乃得其詳法而算之
　　用法
　　加減度表以太陽太隂之引數查均度以均度或相加或相減于平行得二曜實經度其首行所書太陽太隂各加減者順加逆則減順減逆則加故各項下俱有加減而上則總以順逆各貫下也次行是其各度分秒上下各一横行上為順數下為逆數所記宫度者乃太陽太隂公用之引數湏照各宫順逆字號順逆查也各直行所當太陽太隂或加或減者均度也兩引數相較有
　　〈分秒兩均度相較則有較分以其較分〉
　　〈依中比例法可得〉
　　〈細引數之細均度〉















<子部,天文算法類,推步之屬,新法算書,卷七十二>
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<子部,天文算法類,推步之屬,新法算書,卷七十二>








　　四行時表用法
　　平朔望或在定朔望之前或在其後若在前則以所差不及時刻加于平而得定若在後則以所差過時刻減于平而得定也四行表者皆所用以加減前後時刻也上書時自一至六十亦可當分亦可當秒其法先查時次查分查秒依表得數總計之為所求若無時止有分秒其法同也四行第一數為月距日度分秒第二為太隂引數第三為交周度第四數為太陽平行亦為其自行一日之間二行所差甚少故也表右行度數亦當分

　　亦當秒以時查得度以分得分以秒得秒惟太陽行遲數時間無過分秒故不列度數














<子部,天文算法類,推步之屬,新法算書,卷七十二>
<子部,天文算法類,推步之屬,新法算書,卷七十二>
<子部,天文算法類,推步之屬,新法算書,卷七十二>
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　　加減時表　〈算法〉
　　算加減時表必較太陽所躔宫度與赤道升度〈可以用升度表〉兩度惟在二分二至則相同此外漸有差數自二分右行黄道度多升度少自二至亦右行升度反多躔度為少其最差之數在分至折中略得二度二十九分法以兩道升度之差化為時分所得最差逺之處止九分假如降婁一十度對赤道升有九度一十一分○二秒差四十八分五十八秒化為時得三分一十六秒因在春分後夏至前躔度大過升度故用加若在夏至後躔度不及升度時分則用減如鶉首宫三十度對升度一百二十二度一十一分五十三秒所過躔度得二度等零數化時為八分四十七秒表中號為減以平時求定時必依表上下所書加減之號若以定時反求平時則易加為減易減為加如測太陽在降婁宫十度為正午時乃躔升兩度差五時三分一十六秒應減得太陽在本宫度之平時
　　用法
　　求視時以太陽之實度本表查分秒得太陽所躔宫在上順數用所求分秒依號加于實時得視時若太陽所躔宫在下逆數用所求分秒依號減于實時得視時左右書太陽所躔實度横入表至太陽所躔宫下相值者即所求數




　　加減時表上半







　　〈加減時表下半〉

















　　十二宫距宿鈐
　　此出恒星厯指定各宿距星躔度皆于崇禎元年應合故去數年相逺求食在何宿何度以得其在分秒之内必先或加或減是中積年恒星之本行則可得也〈每年五十一秒以後推算宜加以前反減〉
　　用法
　　以太隂當食時所躔之度減前少宿度者餘度為日月食在本宿黄經度如太隂在大火宫二十四度三十三分二十四秒因氐宿距星躔本宫九度五十四分此乃前少數為太隂躔度所減餘一十四度三十九分二十四秒即氐宿太隂食時所躔之度再設太隂食時在大火宫正二度則前少數為壽星宫二十九度一十四分亢宿距星所居故大火宫二度借前一宫而減二十九度一十四分餘二度四十六分乃本亢宿太隂食時所躔之度也



　　十二宫距宿鈐〈依黄道〉
　　宫次宿距星在其度　分　宫次宿距星在其度　分星紀斗　　　○五○三　鶉首井　　　○○○八牛　　　二八五四　鶉火鬼　　　○○三三
　　𤣥枵女　　　○六三五　　　柳　　　○五○九虛　　　一八一四　　　星　　　二二○九危　　　二八一三　鶉尾張　　　○○三二
　　娵訾室　　　一八二○　　　翼　　　一八三六降婁壁　　　○四○一　壽星軫　　　○五三六宫次宿距星在其度　分　宫次宿距星在其度　分降婁奎　　　一七一七　壽星角　　　一八三九婁　　　二八四六　　　亢　　　二九一四
　　大梁胃　　　一一四六　大火氐　　　○九五四昴　　　二四四七　　　房　　　二七四八
　　實沈畢　　　○三一六　析木心　　　○二三四參　　　一七一四　　　尾　　　一○○七觜　　　一八三五　　　箕　　　二五四三

　　十二宫距宿鈐〈依赤道〉
　　宫次宿距星在其度　分　宫次宿距星在其度　分星紀斗　　　○五三九　鶉首井　　　○○○七𤣥枵牛　　　○○○三　鶉火鬼　　　○二五六女　　　○六五三　　　柳　　　○五一七虛　　　一八○○　　　星　　　一七二一危　　　二六四一　　　張　　　二三○九
　　娵訾室　　　一一三四　鶉尾翼　　　一○二八壁　　　二八三四　　　軫　　　二九○六
　　宫次宿距星在其度　分　宫次宿距星在其度　分降婁奎　　　○九二五　壽星角　　　一六二六婁　　　二三三二　　　亢　　　二八一○
　　大梁胃　　　○五三六　大火氐　　　○七二九昴　　　二一二一　　　房　　　二四一○
　　實沈畢　　　○一四五　　　心　　　二九三八參　　　一八一九　析木尾　　　○五四七觜　　　一八四三　　　箕　　　二五○五

　　升度表用法
　　日月皆依黄道行故止以當食所躔度徑求相應宿黄經度依前表用法則可若欲以日月黄道度求相應宿赤經度必先定黄赤二道相望同升之度分令日月與星皆同歸一道後依前表用法以日月赤經求宿赤經則可矣用表必日食時以太陽實度月食時以太隂實度查初行本宫下方内所對度分乃為日月當食時赤經度分即以之查前表距宿赤道度焉推算表法具在測量全義中









<子部,天文算法類,推步之屬,新法算書,卷七十二>

















　　新法算書卷七十二










　　按右係太陰距度表底本前闕一頁





　　視半徑表　〈算法〉
　　太陽及太隂距地最逺或最近得何視徑生何地景前已詳之厯指無庸贅兹特就逺近中依各引數求所當視徑以列表法本輪全徑與其髙庳差〈髙庳謂遠近〉若每度之矢與相當之差所得數半之加于小減于大乃所得即其視半徑也假如太陽行最髙距地逺其視徑為三十分行最庳距地近得視徑有三十一分差止一分細算一分當化為六十秒欲求太陽距最髙或最庳各六十度應作何視徑因六十度之矢為五○○○○以乗六十秒得三○○○○○○除二萬〈全徑也〉餘一十五秒半之得七秒以加七秒于太陽最小視半徑作一十五分○七秒查表中所列引數得二宫○度〈此距最髙六十度〉以減于太陽最大視半徑餘一十五分二十一秒查表得八宫○度〈此距最庳六十度〉餘算皆如是至若太隂距地不用表則惟推其均數時本三角形多設一三率法算第三邉即太隂距地線也
　　用法
　　求交食分必以日月地景之各半徑而太陽行最髙最庳其距地逺近不等故地景之大小亦不等表中先得地景向下查差數為地景所減月距地數則推步日食求視差所用也表上下書日月引數上順數下逆數以日引數查太陽半徑及地景差數以月引數查太隂地景各半徑及月距地數











<子部,天文算法類,推步之屬,新法算書,卷七十三>
<子部,天文算法類,推步之屬,新法算書,卷七十三>
<子部,天文算法類,推步之屬,新法算書,卷七十三>
<子部,天文算法類,推步之屬,新法算書,卷七十三>
　　太隂實行表　〈算法〉
　　太隂一小時有自行有均度有距日行必以自行之均度或加或減于距日行乃始得太隂自最髙起在某宫某度一小時實行也蓋太隂自行一小時得三十二分四十○秒而均度則因所距髙庳逺近恒不一故以三十二分四十○秒随引數求而加減之何也自最髙均度漸長至髙庳折中又漸消必以自行分所得數于均度長處與距日行相減消處相加即得太隂某宫某度實行矣假如以○宫初度表得太隂均度○五分○四秒以比例算三十二分四十秒得○二分四十六秒于太隂距日一小時行度相減餘二十七分四十三秒即太隂在○宫初度實行自一宫初度得○二分二十五秒猶減餘二十八分○四秒至二宫只四秒亦減餘三十分二十五秒過此至四宫均度漸少故所得○一分二十四秒應加于太隂距日行得三十一分五十二秒餘宫度算法俱同此
　　用法
　　求太隂初食至食甚各時刻必以其本時行度變為時刻但太隂自行或疾或遲時時不同故表中查與食甚相近一小時之實行用三率法推總行時左右書宫上下書度皆太隂自行宫度以宫横行以度直行得相遇分數為當時一小時之實行




　　太隂實行表







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　　食分表　〈算法〉
　　查前表得太隂及地景各視半徑并之總數減太隂距度餘為實數以一十相乗〈一十太隂全徑平分也〉而太隂視徑即法數也故依本表設最大視徑為三十四分四十○秒最小者為三十○分自大至小〈表中每隔一十秒〉各為法數餘數自○一至六十四〈兩半徑并最大數也〉各為實數亦以一十乗以徑數除乃列表苐日食則以日月兩半徑并減太隂視距度餘數為實而太陽本視徑為法算亦與前同用法
　　表上横行自三十四分四十○秒漸減至三十○分者乃太隂全徑最大最小之限直下入表第二右行者乃太隂地景兩半徑内減距度所餘數也横至兩數相值即為所求之月食分秒若日食則上横行分秒者當太陽全徑而右行則太陽太隂兩半徑内減距度所餘之數查表法同前











　　兩半徑并減距度餘數







<子部,天文算法類,推步之屬,新法算書,卷七十三>








　　兩半徑并減距度餘數







<子部,天文算法類,推步之屬,新法算書,卷七十三>








　　兩半徑并減距度餘數







<子部,天文算法類,推步之屬,新法算書,卷七十三>








　　兩半徑并減距度餘數







<子部,天文算法類,推步之屬,新法算書,卷七十三>








　　兩半徑并減距度餘數







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　　月食時分表　〈算法〉
　　月食時分者自初虧至食甚又自食既至食甚總之以食甚為主各以倍得先後時分法于太隂距度每分之方數減太隂引數所應得月景各半徑并之之方數開方得根為太隂自初虧至食甚行度依本引數用其實行求相當之時刻即初虧至食甚時也求食既之時分亦然蓋月景各半徑相減所餘數之方數減太隂距度毎分之方數求其根即太隂自甚既所行度而以本實行所化為時假如設太隂距度一十三分〈凡大數化為秒〉其方數六○八四○○依引數○宫初度其半徑及景之半徑并為五十八分一十五秒〈查徑有本視徑表〉得方數一二二一五○二五以兩方數相減所餘數開方得其根三四○六即五十六分四十六秒乃太隂自初虧至食甚行度又以本引數初度查本表得其實行二十七分四十三秒因推得八刻○二分五十三秒乃其入景至食甚之時今求食既以後之時則仍以前引數用兩半徑相減餘二十七分四十五秒其方數為二七七二二二五減前十三距度分之方數以求根得一四七一為太隂所行度復以太隂亦于前實行推應得時數為五十三分○四秒此止以十三分距度推第一行對引數初宫食甚及食既時若餘宫尚有六行皆以十三分距度算須用每宫視半徑及太隂一時實行因不能相同故所推食甚食既時亦有異至以餘距度分推算食時俱同此法第此特設太陽行最髙引數所顯地半景者若太陽去最髙則地景略有變必先考定差數然後如前法算又太陽離最髙其景之變不過數十秒棄之無甚大謬可不必逐宫度宻求故本表止用太陽三處所生地景之異一為最髙法具前一為最庳乃于每行對太隂引數所得景半徑宜減二十八秒一為中距則地半景宜減一十七秒後亦如前法算所以分為上中下三表
　　或問算食既時須地半景求餘方數與距度之方數相減而算今至何距度分可無食既與否曰太隂視半徑加距度分得總數大于地半景則無食既時分若小則太隂全體入景必應食既矣假如本表以上二十七分加于太隂半徑一十五分一十五秒〈應第一行引數半徑也〉總數四十二分一十五秒尚未及此處地半景四十三分則太隂全體仍入景中又試以二十八分得總數四十三分一十五秒則知月不全入景乃如第一行無食既若第三行太隂半徑一十五分四十七秒地半景四十三分四十九秒月半徑加距度分二十八分總數亦四十三分四十七秒則此數以上雖無食既以下微有之又未可執一論也
　　用法
　　查表必須太陽太隂各引數及太隂距黄道度〈此三行前表已取定〉以太陽引數知其距最髙或最庳若干因而用上中下表若引數不正合于表首所書三限可取相近者用以太隂引數查表側十二宫亦取相近者乃横進則知所用時分之在何行〈欲細算必依比例法求兩引數中之時差〉復以太隂距度上下差表遇本食之横行即食甚食既時分





　　〈太陽最髙限〉

















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　　〈太陽在中距〉

















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　　〈太陽最髙限〉

















<子部,天文算法類,推步之屬,新法算書,卷七十三>
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<子部,天文算法類,推步之屬,新法算書,卷七十三>
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　　新法算書卷七十三
<子部,天文算法類,推步之屬,新法算書>



　　欽定四庫全書
　　新法筭書卷七十四　　　明　徐光啟等　撰交食表卷五
　　黄道九十度表〈筭法〉
　　總分表為五方其第一方從白羊宫起順書十二宫二方書時分卽以十二宫度之升度取時分盖距春分漸遠時數漸多不必論北極出地度至第三方則為九十度限第四方為距子午圏第五方為距天頂各項因北極出地逐處不同欲以定度齊之必不可得故極之髙度異其數亦異今算以黄赤距度及黄道與子午圏交角因三角形内得一角一邉〈見本厯指六卷〉則全數與交角之餘若黄道度距天頂之切線與九十度距正午之切線盖以黄經于本表查交角又于本表查其距度若經度在赤道内則以北極出地度減距度得黄經距天頂度若黄經在赤道外則其距度反加于北極出地度得其距天頂度始推得九十度限距正午卽表中第四方所列數次于本九十度距子午度加第一方所對宫度得九十度限在某宫某度分卽第三方所列數又全數與黄道度距天頂之正若交角正與九十度距天頂之正算得表中第五方所列數假如北極髙三十四度求白羊宫五度得九十度在何方〈設五度當天之中在正午諸如此𩔗〉夫白羊五度距赤道北有二度與極髙度相減餘三十二度其正五二九九二切線六二四八七以本五度查交角表得六十六度三十四分其正九一七五二餘三九七六八先求距子午度則依法算得切線二四八四八查八線表得十三度五十七分為第四方應白羊五度數以加本五度作十八度五十七分為第三方相應數又以正依法算得正四八五二○查表得二十九度○三分卽五方所應得數也若簡法則冬夏兩至各左右九十度距子午圏距天頂皆等故表中數亦等如金牛初度與獅子末度春分與秋分赤道内外皆如此然論九十度限則以距至節前後等兩數并得三十度如雙兄二十七度對限二十七度一十三分在夏至前正三度夏至後亦三度〈巨三度〉得對限二度四十七分前後兩數相加得三十度故于兩至前之數減三十卽得兩至後之數可省算全周之半交
　　用法
　　以太陽實行查表第一方所列横對時分加于原得時分〈論日食此為定朔〉次查總時數其横對則有九十度限有距子午圏距天頂等度分皆應本時所得數如太陽在金牛宫一十○度其時為二時三十○分設原時為卯正卽一十八時〈從正午起皆小時也〉因加前時總得二十小時三十○秒復查表卽得卯正九十度諸度分



<子部,天文算法類,推步之屬,新法算書,卷七十四>
<子部,天文算法類,推步之屬,新法算書,卷七十四>
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　　新法算書卷七十四



　　欽定四庫全書
　　新法算書卷七十五　　　　明　徐光啟等　撰交食表卷四
　　算黄道九十度表所以然
　　設渾天儀為甲丙丁戊其戊庚丁已圏當地平以丙為極即天頂甲庚已圏為黄道交地平於庚於巳半圏在地平上半在下戊丙丁圏過黄極及天頂而交黄道于甲為九十度限則甲庚甲己各為象限也乙丙辛為子午圏交黄道于乙而黄道又交赤道于壬赤道亦交子午
　　圏于癸則依本儀論九十度限所
　　距何度皆于甲乙丙三角形内求
　　算本形為直角三角形以甲為直
　　角〈黄道過天頂圏此處交故〉而甲乙丙角因黄
　　道在此交子午圏于本表以黄經
　　宜查乙丙邊因赤道距天頂依極髙恒有定故查距度表得交子午圏之黄道度距赤道若干本距度以加或減于赤道距天頂度必得黄道交度距天頂之弧即三角形内乙丙邊也〈依本儀黄道交度距赤道之弧為乙癸在　赤道内故丙癸赤道距天頂減乙癸餘乙丙〉宜求甲乙邊即九十度限距正午弧〈表中第四方〉及甲丙邊即本限距天頂〈表中第五方〉又設壬黄赤兩道相交之節為春分則壬乙為降屢初度過子午圏之弧即表中第一方以加于甲乙得甲壬總弧即九十度限距春分弧故法云于九十度距子午度加第一方所對宫度作第三方即本九十度宫度分也　用法云原時加于太陽躔度所對時分然後以總時分查表得所求九十度限設太陽至子午圏為正午時依前圖乙為太陽因在午無時可加而表中所對時即乙丁弧以升度求得者〈乙丁弧之升度
　　在赤道上算為癸丁三度四十分得一刻三十○度得一時〉餘
　　所對數徑為甲㸃及甲乙甲丙弧
　　也設太陽過正午至丁為未時或
　　不及午止巳為巳時則或加〈過者加〉或減〈不及者減〉一時于表中升度先定
　　之時何也當躔度為金牛初度在乙得乙丁弧為三十度以癸丁升度得時為七刻○七分此更無時可加躔度在丁則丁壬為三十度其升度得時為八刻加躔度之時分總得一十五刻○七分若躔度在巳以戊乙得八刻減七刻七分餘八分至午則黄赤兩道未及午相交而在正午者必為雙魚二十八度夫九十度限依此或進或退距午逺近不一故距頂多寡皆不等也













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　　欽定四庫全書
　　新法算書卷七十六　　　明　徐光啟等　撰交食表卷五
　　南北髙弧表説
　　南北髙弧表者太陽于某地入某宫度加某時刻各地平上之髙弧度分也云某地者諸方之極出地髙下不等即同日同時而太陽出地平上之髙下不等故列表用表皆于本地先定極出地之髙次依法推之云某宫度者太陽距赤道逺近日日不等故求赤道南北緯度當先定其經度次查南北距度表得南北各緯度云時刻者太陽東昇漸髙至午正而極髙後乃漸降以至西入中間各時各刻分一一不等也有極髙有緯度有時刻設此三率而得第四則太陽地平上之髙弧度分今算表隨地推之難可通用其可通用者相距一度以下日髙差甚微故間度作表亦可　太陽南北緯度日行多寡不同其在春秋分時日行二十四分在冬夏二至時日行止一二分故表中不用黄道經度而用緯度〈距赤道之緯〉即每方首行所列赤道緯若干度是也緯度又分南北北在上南在下每方上列時刻上下各列度分則本方本時太陽出地平上之髙弧也又午正前後其距午之刻等則地平上之髙必等故一行中並列午前午後時刻
　　算法
　　推算髙弧詳見測量全義兹更立一便法以列表葢午正太陽在赤道上無距度則赤道髙即太陽髙而午前午後相距之時刻必等其全數與赤道髙之正若太陽距午正之餘與其在本時髙度之正設太陽去赤道内外有距度在午正距北度宜加距南度宜減此外則須另算法以太陽距赤道度于本地髙度一加一減得總數及餘數兩數之正並而半之将本半數于前總數或餘數之正相減餘為卯酉之正以查太陽距北至卯酉之髙度也次以半數之正乗太陽距午正之餘〈時刻化為度〉總數以全數除所餘數加于卯酉之正得太陽距北某時髙弧之正減于卯酉之正即得太陽距南某時髙弧之正如卯酉正大于餘數則餘數不能減而太陽距南某時無髙度必入地平矣若卯前酉後其正足以減除餘數得其正查所值時刻即為太陽之髙弧使卯酉正較餘數小無可減則太陽卯前酉後之某刻亦未有髙度也
　　假如赤道髙五十二度〈北極髙三十八度〉設距二十度以加于赤道髙得七十二度減於赤道髙得三十二度則兩度正并而半之得七四○四九以減于前正得卯酉之正為二一○五七試以辰或申時距午度因本時正得六十以餘五○○○○乘七四○四九而以全數除之餘三七○二四加卯酉正二一○五七得五八○八一查三十五度三十○分為太陽本時距北二十度地平髙弧減卯酉正二一○五七餘一五九六七查九度一十一分即太陽距南二十度地平髙弧又試於辰初酉初因太陽距午七十五度餘二五八八二與七四○四九〈前兩正并半數〉相乗以全數除餘一九一六四較卯酉為少因不能減且反為正所減餘一八九三查一度○五分是其所得髙弧凡極髙三十八度太陽距南二十度則日未出日巳入兩時絶無髙度如距北二十度不但辰酉初太陽在地平上即卯初戌初亦在地平上有一度○五分矣算時須先簡本時刻求太陽距午度〈東與西等〉查其餘為表〈待用之表〉更依赤道髙以黄道在其内外之距度先求正葢于每一距度求每刻之髙弧又於每刻太陽距午之度求凡距赤道之髙度一一得其正則巳瞭若指掌矣
　　用法
　　一以時求太陽出地平髙因推地半徑差及太隂之三視差法先于黄赤距表查太陽所躔宫度或南或北距赤道若干得本時太陽緯度于本地本緯度表中求本時刻〈若刻前後有若干分則用中比例法〉因緯度南北得其同行中或上或下度分即太陽地平上髙弧度分假如考宋仁宗天聖二年甲子五月朔日食所得實食時為巳初二刻其地則汴京北極出地三十五度有竒其時則太陽距北緯度二十三度二十○分〈日躔實沈二十三度〉查表得髙弧五十二度四十分
　　二以髙求時〈測對食時必用此法日恒星皆同所得時皆為距子午圏時〉法于本方本緯度表依南北號或上或下求測髙度分〈如無同數用中比例法求差以加于近小之率〉即中行中所得午前後時刻〈一大時三十度一刻三度四十五分〉假如崇禎四年十月辛丑朔日食初𧇾測日午正髙三十八度比時日躔大火宫一度二十分得距南一十二度用本度表中〈北極出地四十度〉查三十八度于本行中得時為午正一刻是本食日初𧇾時刻　論月食如天啓七年丁卯嵗十二月丁未望夜西安府〈極髙三十四度二十分〉月初𧇾測得大角星出東地平髙四十七度其緯在北二十一度一十三分查表因無極出地數欲細算宜用中比例法則依極出地三十六度以本星髙度查表得距午一十一刻一十三分依極髙三十四度正得星距午十二刻○七分所差九分即兩極髙度之時差因極髙多二十分〈依西安府算〉得一分三十秒為十二刻○七分所減則于本極出地三十四度二十分以大角髙得其距午一十二刻○五分三十秒〈依此算太煩終得小差當取近數免比例或求兩髙度差可免復求兩極髙差總以數相近者為主〉今求實時〈實時即太陽本行度〉則太陽昇度三百○二度四十二分〈因在𤣥枵宫初度三十二分従春分起算〉減大角昇度二百○九度三十二分餘九十三度一十○分化為時得六小時一十二分四十秒加星距午三時○五分三十秒得太陽距午九時一十八分一十○秒即本夜丑正三刻初𧇾脗與時合
　　太陽距赤道表
　　黄赤二道相距南北度分是為距度即赤道之緯度也春秋二分則為二道之交太陽行此無距度冬夏二至乃二道相去最逺者得二十三度三十一分三十秒日躔二分以後漸距多二至以後漸距少故表上六宫始于二分止于二至下六宫反是查表用上宫度必求於右下宫度則求於左而中方所對度分即本宫本度距赤道度分也










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　　新法算書卷七十六



　　欽定四庫全書
　　新法算書卷七十七　　明　徐光啟等　撰交食表卷六
　　算髙弧所以然
　　算髙弧有法法有原必出于天上所設圏非可意為揣度也如圖以甲為心作乙丙丁為子午圏乙丁為地平甲壬為赤道從地平取北極髙〈設為四十度〉得丁戊則餘戊丙〈為五十度〉與壬乙赤道髙等今太陽在赤道行必從甲出地平上為卯正漸髙距甲三十度為辰距六十度為已距
　　九十度至壬為午又漸低距壬三
　　十度六十度為未為申至九十度
　　復在甲為酉正此春秋兩分晝夜
　　所以等也此時求太陽每時刻得
　　何髙度法以甲壬為全數較于壬
　　庚即壬乙弧之正若較甲巳即
　　壬巳赤道弧之餘〈設壬巳戊圈竪立與壬已甲赤道同〉與巳辛即乙癸弧之正得太陽在已時髙若干為乙癸弧所量也
　　如太陽不在春秋二分距赤道或内或外多寡恒不等則其髙度較赤道髙亦不等故距内離赤道漸逺亦漸髙若距外愈逺愈不及其髙以此時求髙幾何更有一法如次圖赤道左右有平行線太陽距度在内者為乙丙在外者為戊巳内則交地平於丁得晝線丁乙大夜線丁丙小外則交地平於壬得壬戊為晝線小壬巳為夜線反大而丁乙與巳壬丙丁與戊壬即夏晝與冬夜冬晝與夏夜葢太陽南北距同度則皆等法于癸庚赤道髙加庚乙太陽距内度得癸乙弧其正乙壬線又與癸庚赤道髙減等太陽距外度為庚戊餘癸戊弧其正
　　戊子線與丙丑線等〈因冬晝夏夜同距度
　　故算恒設内外距度等圏中替戊子恒用相等之丙丑〉又法
　　云兩正并而半之即丙丑加于
　　乙壬作乙寅半之於卯得乙卯或
　　卯寅各半正又云本半正于
　　總或餘數之正相減餘卯酉時
　　之正即乙壬減乙卯餘卯壬或卯寅減壬寅亦餘卯壬而卯壬與甲辰等甲辰即太陽在卯正或酉正出地平髙故卯壬為本時髙弧之正以查其度分
　　若太陽在午正則以其距南北度或加或減于夲赤道髙得太陽午時正髙若午前或後則如第三圖以甲為心作乙辛丙半圏當竪立分十二時〈小時〉乙為午辛為卯為酉與在乙甲丙線等以此算髙弧無論太陽在午前後及南北距俱不異法祗取時刻為準法以半數之乘太陽距午之餘以全數除得餘數為南北通用數也設太陽距午三十度〈已及未時〉則圗中在赤道内得乙戊正弧餘弧戊辛而餘甲巳在赤道外得丙癸為正癸辛為餘而甲庚即餘與甲巳等又全數甲乙與甲丙亦等乙丁半數之與丙
　　丑線等所算得己壬與卯庚亦等
　　故在北一得巳壬在南不必算求
　　卯庚葢巳壬線者彼此通用何也
　　法以加卯酉之正得太陽距北
　　在本時髙弧正反減之即得太
　　陽距南亦本時髙弧正如圖壬
　　子及卯寅各與甲辰等則巳壬加壬子得巳子即太陽在己〈巳即戊距午三十度〉距赤道北出地平髙度也卯庚減卯寅餘寅庚即太陽在庚〈庚即癸距午亦三十度〉距赤道南出地平髙度也
　　求食在晝否簡本表日食必先以太陽經度查其距赤道表得在南或北若干次以本距度及食之時依本地查表遇空行則以無髙度知太陽在地平下雖食本地不得見矣論月食亦以太隂經度查赤道距度表與前同苐其不正在兩交則自未免有距度以之或加或減于赤道距終得正距葢太隂距内入兩道間則以距赤道度減其距黄度若太隂距外出黄道更距赤道逺則以加其距黄度得正距赤道度而查本表亦依極出地以距度以食時查與日食同









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　　欽定四庫全書
　　新法算書卷七十八　　　　明　徐光啟等　撰交食表卷七
　　天頂黄道兩圏交角表〈算法〉
　　以太陽地平高及其距黄平象限度求交角法全數與太陽距天頂之餘切線〈卽太陽交角㸃所居〉若太陽距黄平象限之切線與交角之餘查八線表得交角若干度〈見本厯指五卷〉卽以每高度與太陽距黄平象限度依法推算列全表〈中外共用謂之全表〉上横行書一至八十九爲太陽距黄平象限度右直行書二十七至八十九爲地平高度此表處處可用第中土九十度最低止二十六度而太陽之距限與地平高亦相近於二十六度故表中祗取相近之二十七度起算而此數以下不與焉今算表以地平高度爲法則全數與太陽距黄平象限之正若地平高度之切線與本角之餘切線以太陽距限之度自一至八十九與地平高自二十七至八十九逐度如法推之卽得黄道與高弧相交之各角㸃
　　假如地平高三十度查切線爲五七七三五與太陽距黄平象限一度之正一七四五相乗以全數除之得一○○六為餘切線查八線表得八十九度二十五分為交角餘角為三十五分又設地平高四十度其切線八三九一○太陽距黄平象限一十○度得正一七三六五算得餘切線一四五七○查交角得八十一度四十二分餘角八度一十分而所得之正角為氣差餘角即為時差今表中所載皆餘角也若求正角即以餘角之餘簡本表之相當數即得正角餘俱倣此
　　用法
　　表右直行從二十七起至八十九止分三段為地平高度〈地平高度即距天頂之餘〉上横行從一至八十九為太陽距黄平象限之度算日食必以黄平象限表求太陽距本限若干又求本限距天頂若干度查本表横直兩數所值之數即得所求交角餘度












　　天頂黄道兩圏交角表








<子部,天文算法類,推步之屬,新法算書,卷七十八>
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　　新法算書卷七十八



　　欽定四庫全書
　　新法算書卷七十九　　　明　徐光啟等　撰交食表卷八
　　太陽太隂視差表〈算法〉
　　視差者乃太陽太隂髙下視差皆以距天頂度及距地心地半徑數所求得者蓋太陽距地逺近以最髙最庳為限兩限中逺近之數依中比例法可算但差數甚微止用髙庳折中于諸距頂度較定視差即自無謬而太隂則不然太隂有小輪有次輪其次輪之心在小輪之最髙而月居次輪之邊最逺此為太隂距地心初限使居次輪邊之近處即其次限又次輪心在小輪最庳月居其邊與小輪心近即三限逺即四限諸限俱以互相距之逺近與其距地心之逺近各有比例因各推視差所得自不同矣如太隂從次輪近處行或至逺處必減次限之視差〈設心在小輪最髙因距地漸逺故〉或加三限之視差〈設心在小輪最庳因距地漸近故〉此求在中視差多寡比例之一縁又太隂次輪心不恒在小輪髙庳兩處而每環轉于左右上下時時不一亦為視差多寡不同之一縁故以本心在髙庳中比例復加逺近度于前算定以太隂體旋次輪邊之逺近度得正距地度與距天頂度因推得太隂髙下正視差以此列表對地平髙度書兩中限〈次限及三限〉之視差左右書兩末限之差數〈初限及四限〉更紀月體逺近次輪心上下比例差成太隂視差公表〈月食外亦可用故謂之公表見本厯指五卷〉今因太隂朔望時無次輪且于次輪最近處旋繞亦别為小輪〈見本厯指二卷〉而其體卒不能出兩中限之外〈次限三限〉以距地故算表可免求比例之煩特就其在次限三限間距地逺近〈約為五十四至五十八地半徑〉每隔一地半經與其距頂每一度較算列本表
　　假如太隂在朔望小輪最髙距地心五十八半徑○八分總化為分數得三四八八則本數與一地半徑〈六十分也〉若全數〈十萬〉與太隂在地平之正得一七二三查表〈八線表〉得五十九分一十六秒為太隂距地五十八半徑○八分極大之視差也設使髙有數度〈多寡俱一法〉則地半徑一加一減于其距地之逺得總數及餘數各化為分數又太隂髙度加一象限總而半之查切線則前總數與餘數若本切線與他切線得度于前半者宜減餘度即本太隂髙度視差如地半徑為一太隂距地五十八半徑○八分總得五十九半徑○八分減之餘五十七半徑○八分髙度加象限一一○半之五五查切線得一四二八一五算得一三七九五八查弧五十四度○四分于五十五相減餘五十六分即太隂髙二十度距地逺之視差若距地五十四半徑依二十髙度算得他切線一三七六二二查五十三度五十九分四十八秒于五十五相減餘一度○分一十二秒即本表所書數餘算法同此
　　用法
　　表上書髙弧度即太陽太隂所共用度得太陽髙度隨查度下視差大者不過三分論太隂則以視徑表中太隂引數查其距地逺于本表旁數相對取近者横查本髙度下數即為太隂視差分秒如表無本髙度則以中比例法算












　　〈太陽太陰視〉
　　〈差表距地半〉















　　距地半徑數







<子部,天文算法類,推步之屬,新法算書,卷七十九>








　　距地半徑數







<子部,天文算法類,推步之屬,新法算書,卷七十九>








　　距地半徑數







<子部,天文算法類,推步之屬,新法算書,卷七十九>
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　　時氣差表〈算法〉
　　時氣差非髙差及交角度無從可列〈見本厯指本卷〉葢三差并以三小弧為直角三角形其中髙差對直角交角對氣差而餘角則對時差因弧小能當直線故全數與髙差若交角正與氣差或餘角正與時差交角大則餘角小而氣差多者時差反少若兩角等兩差亦等彼所加必此所減所以右書順左書逆亦此故也
　　用法
　　表上先查髙差既對即以交角横查表左右〈因交角有在順數者有在逆數者〉如交角四十五度以下得時差在右行氣差在左行四十五度以上者反是故上有時差下必書氣差或上氣差下必書時差恒與交角互相隨













　　時氣差表








<子部,天文算法類,推步之屬,新法算書,卷七十九>
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　　日食月行表〈算法〉
　　日食月行者為日食自初虧至食甚而太陰此時所行度分也葢日食毎以視行求時分乃視行食甚先後不等未若月食能以倍數即得其復圓必須再以太陰視行推算其此時所行度分乃可法太陽及太陰各半徑并化分為秒以所化數求其方數隨以太陰視距度方數相減求其根即得太陰自日初虧至食甚所行度分第距度逐分求其方數而兩半徑則隔一宫以求之其列表如前月食時分將最高中距最庳三處分上中下用法亦與之同








　　〈日在最髙〉

















<子部,天文算法類,推步之屬,新法算書,卷七十九>
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　　〈日在中距〉

















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　　〈日在最低〉

















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　　新法算書卷七十九



　　欽定四庫全書
　　新法算書卷八十　　　　　明　徐光啟等　撰交食表卷九
　　算時氣差簡法
　　治厯一書交食為最乃交食中諸法所難者尤在視差西史從天儀圖以三角形算此常法也間有用表者亦云簡矣然就中所列非一表所求非一端終不得為簡也刻白爾〈第谷友也〉反覆三差之原總其理而撮其要依之作表力省功倍故名曰簡法太陰距目等得極出地髙黄道交地平限則氣差周亦皆等
　　云太陰則太陽五星同一理云極出地髙因極髙低不等則天頂之距黄道人目之距日月五星本體逺近不一視差無不因之有變云黄道交地平因黄道未定隨天左旋時距頂逺時距頂近而日月五星從之雖距地心同距目微有異亦得視差之變故以定黄道定極髙求
　　七曜逺近則視差可得而
　　論矣如圖甲為地心以乙
　　丙丁為地靣以丙為人目
　　所居故甲丙線上至戊為
　　天頂設丁正居黄極下則
　　乙丁為黄軸與己壬作垂線而己壬乃黄道也今使太陰距天頂最近視度在己為丙目以丙己直線所望者則因戊己為髙弧而庚己髙下視差以丙己辛角或己丙庚角量之〈兩角為平行線内相對角故等〉故凡從丙出直線居己戊癸過頂圏之平靣與丙己相等者至己壬黄道周邊所作角周亦等何也丙辛既為己壬之垂線則己壬黄道
　　于過頂圈相交之公界兩圈以直角交必丙辛線與諸黄道平靣上之線等為垂線其得丙辛己丙辛壬及諸
　　黄道靣上線凡為丙辛所至之角安得不等為直角夫使丙己周至黄道皆等〈因太陰距目等故〉則丙辛底同餘丙己辛角之所周必等〈幾何一卷八題〉蓋本角原以戊己當髙弧能量髙下視差今復以之當出黄極經圏于黄道上定氣差則同一角也同一量也角周等得氣差無不等太陰距地心等雖距目不等其氣差周略等
　　人目正居黄道下則月隨黄道圏行絶無氣差可求惟目或居黄極下則以黄軸去地心太陰周距地心等必距目亦等而氣差自等故目在黄圏黄極之中周視太陰之行雖時近時逺而逺近之最差在正中處其距黄圏黄極皆等彼此約有四十五度如圖太陰距地心以甲己線一周等則距目以己乙線正前所謂居黄道下絶無氣差者也然或以己丁線則目在黄極下矣得丁己
　　丁壬周距太陰線者皆等
　　而其不等之距必在丁乙
　　兩限之間最不等者在丙
　　即丁乙限之正中氣差之
　　有變易者此也今目在丙
　　欲求太陰將出地平與其至正午兩處差異同若干設太陰距地心最近得地半徑五十四在黄道己或壬則甲己較甲丁有五十四與一之比例〈細算甲己作五四○○○○○甲丁即一○○○○〉　故丙乙四十五度查正七○七一一為丙辛必與丙癸等因而甲辛亦等甲己减甲辛餘五三二九二八九為辛己甲壬加甲辛得五四七○七一一為辛壬先求丙己辛角〈氣差角也〉則辛己與辛丙若全數與本角之切線算得四十五分三十八秒次求丙壬辛角則辛壬與辛丙若全數與本角之切線算得四十四分二十六秒兩角差止一分一十二秒第前設己角在正午而壬實與之對則壬角必在子矣此不須論差惟以丙辛為底其上立辛戊與甲丙辛平靣為垂線自甲出甲戊與甲己等以定其短長自丙出丙戊與甲戊等得丙戊辛甲戊辛兩角亦等〈甲辛與辛丙等甲辛戊及丙辛戊皆直角而辛戊又同故見幾何一卷八題〉葢因己辛戊為直角設太陰在戊必去己正九十度出地平上而丙戊辛角則能量氣差矣欲算之與前同丙戊與丙辛若全數與本角得四十五分○一秒較己角差三十七秒可見
　　太陰距地心等雖距目差地半徑所得氣差亦庶幾等太陰距地心等雖距目不等而目視之若在視黄道下得氣差實等
　　何云視黄道如圖甲丙為地半徑較真黄道天之逺絶無比例故目在丙與在己壬線同而戊乙平行線亦可當
　　己壬線則己壬為真黄道而戊
　　乙其視黄道也今以丙目設太
　　陰居戊居乙其目必以丙戊丙
　　乙不等之線始能視之則因此在視黄道距地心以甲戊甲乙兩直線皆等即本線至視黄道周所作角亦等何也甲乙戊三角形因得兩腰等則戊乙底線兩端之兩角亦無不等〈幾何一卷五題〉而周兩腰所作角自等則本角因丙在黄極所出圏之平靣皆當氣差可見氣差周等時差變必以太陰距九十度限為主
　　如前圖甲乙丁過天頂圏之平靣上立戊丙垂線得戊丙甲戊丙己皆為直角又本靣上于癸立戊癸直線則因戊在己戊壬圏而己戊壬圏與本平靣以直角相交〈當竪立之圏〉必甲癸戊角為直角與甲癸己甲等太陰居戊甲戊甲己相等而甲癸同則兩三角形内餘相當之腰及
　　餘角皆等必全甲癸戊三
　　角形能當全甲癸己三角
　　形因以本形顯氣差為甲
　　癸線所對而甲癸丙亦直
　　角則丙戊癸三角形内亦
　　顯氣差為戊角所量丙癸線所對也〈甲癸以直角横黄道行丙癸順黄道行故〉苐前設戊丙甲為直角則戊庚相距九十度〈此庚戊當髙弧〉太陰居戊正在地平以丙戊癸形所顯即其最大時差〈癸丙為黄極距頂之正使其距度不變則其弧不異而時差亦同又使黄極距天頂或逺或近時差亦必依之為大為小而大小皆太陰在地平是其最大時差也〉今太陰或去地平逺所得時差漸變又無髙弧可測則不必以戊丙庚角而惟以戊丙己角量其多寡可也葢己癸壬視黄道圏以直角交丁乙出黄極經圏〈與庚己戊外圏同靣此當倒圏〉得九十度限在己故太陰在戊就己愈近得戊丙己角愈小因而戊丙癸三角形中餘丙角大則對角亦小雖丙癸線不異其時差為戊角所量無不異矣〈丙戊癸三角形以丙癸底線合己壬黄經上又以兩腰在黄道圏同靣上〉至太陰正居限中則丙戊丙己及癸戊三線者皆歸一直線絶無戊角亦絶無時差也
　　或問丙戊癸三角形全在視黄道平靣上代辛戊甲在實
　　黄道靣上三角形故甲戊線
　　較之癸戊線微長未免癸戊
　　丙角較之甲戊辛角略異即
　　時差何能真乎曰試以丙丁弧得半象為四十五度此即差之極逺處〈若丙目在乙則兩底線及兩角形全合為一若丙目在丁則兩腰歸一全無時差可論〉欲求兩差同異設太陰距地五十四地半徑為甲己算〈法同前〉得甲己癸角為四十五分○一秒因而癸己線〈與癸戊線同〉五三九九五三二與丙癸底線〈四十五度之正〉合算得丙戊癸角為四十五分若甲戊合甲辛同算得甲戊辛角亦四十五分弱半秒又不待言矣
　　合論三差列表
　　因太陰距頂九十度在戊以戊丙甲為直角以甲戊丙得其最大髙下視差為甲丙則太陰距地與地半徑若全
　　數與本髙視差又因甲癸
　　戊為直角而甲戊癸當氣
　　差必癸戊丙為時差欲求
　　戊氣差則太陰距地與九
　　十度限距頂之正若全數與本角之正欲求戊時差則先求癸戊腰線全數與甲角之正若太陰距地與本線乃癸戊線與丙餘角若丙癸底線與本戊角苐最大時差為太陰近地平所得者則以甲丙癸三角形求之全數與黄極距頂之正若最大髙差與最大時差今列表其上横兩行一地半徑數即從諸曜至太陰止為七政距地數也一最大髙下視差即諸曜近地平為本圖甲戊丙角所推得也表右行書九十度即黄道九十度限距天頂以查氣差者或本限距地平〈限距地平與黄極距天頂同〉以查時差者故算表任用何距度大端都歸于一假如九十度限距天頂五十度或限髙五十度所推分秒皆同試以太陰距地五十四地半徑得髙下視差六十三分則全數與六十三分若五十度之正與四十八分一十六秒此分秒時當氣差時當時差因度限距頂為五十度或反距地平亦五十度故也
　　或問本表既别求九十度限定其髙度及距天頂若干然後查求視差較諸法不甚大異今獨别之曰簡法此簡之玅可得言乎曰常法或依三角形算或依表查若三角形除九十度限及髙度外須更算距子午圏日月髙弧黄道過髙弧交角諸法乃敢求髙氣時三視差查表則須太陽距赤道表髙弧表交角表又須各視差本表種種推求亦綦繁𤨏顧有一開卷而三差俱備如是尚不謂簡乎雖然算交食者因其當然求其所以然必多方磨勘而其故始明其理始得尤不當以簡為定法用法
　　未算視差先求定朔以兩曜實經及本食實時查黄道九十度限表求本限距天頂若干餘度即為距地平髙也次求氣差則以限距天頂本度查右行以太陰距地心查上第一横行〈用視徑表内太陰距地數〉其下得本距地太陰所應最大髙視差减太陽最大髙視差〈大陽行最髙或近應一分行最庳應三分在髙庳之中應二分俱因此改〉以餘數入表兩數相遇即得氣差次求時差必兩次查表亦以限距頂之餘度從右以本髙視差從上至中得最大為本太陰距地之時差〈近地平所生為最大〉又以太陰實經較限所躔宫度得其相距度則以最大時差從上以限曜兩相距度從右查表至中格得所正應時差若成數有竒零先以度查表得分秒又以分查表得秒微或求氣差或求時差俱如此
　　假如崇禎七年甲戌歲三月朔日食定朔在巳正○七分四十九秒日月實㑹在降婁宫八度三十分以本度查九十度限表得應時三十一分加巳正八分總得二十二時三十九分〈俱小時從午正起算〉以此時復查九十度限表得限距頂四十四度○四分餘四十五度五十六分即限距地平髙度以太陰引數〈七宫一十四度〉查表得太陰距地五十五地半徑又查本表得最大髙視差六十二分减太陽在中距最大髙差二分餘六十○分求氣差上以六十○分右以四十四度入表中得四十一分四十一秒即食時所應得太陰氣差也〈較以三角形所得止差一十七秒〉上行又以六十分右以四十五度查表得四十二分二十五秒因而限距地平髙度外尚有五十六分故又上行以六十○分右以五十六分查表得四十九秒四十四微與前相加總最大時差四十三分一十五秒今太陰在降婁宫八度三十○分九十度限在降婁宫初度五十九分〈查本表得〉相距七度三十一分則復查表以四十三分〈最大時差〉從上以七度從右得五分一十五秒又以三十一分〈相距之零數〉從右本四十三分以下得二十二秒次一十五秒從上〈最大時差之零數〉七度從右得一秒五十○微總為時差五分三十九秒較三角形所算止差一十五秒他算俱凖此
　　列表之法上兩横行一以地半徑從多數逓至少數一以髙下差從一逓至六十六每數各列五次旁以黄道九十度距天頂及距地平數從九十逆書至一分五段焉因上每一數通關旁之九十等數一二行不能盡書故分為五段旁數既分五段上方自不得不各列五次而
　　〈中方之時氣差亦以五段列出用表時須㑹此意查之〉

















<子部,天文算法類,推步之屬,新法算書,卷八十>
<子部,天文算法類,推步之屬,新法算書,卷八十>
<子部,天文算法類,推步之屬,新法算書,卷八十>
<子部,天文算法類,推步之屬,新法算書,卷八十>
<子部,天文算法類,推步之屬,新法算書,卷八十>
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<子部,天文算法類,推步之屬,新法算書,卷八十>
<子部,天文算法類,推步之屬,新法算書,卷八十>
<子部,天文算法類,推步之屬,新法算書,卷八十>
<子部,天文算法類,推步之屬,新法算書,卷八十>
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<子部,天文算法類,推步之屬,新法算書,卷八十>
<子部,天文算法類,推步之屬,新法算書,卷八十>
<子部,天文算法類,推步之屬,新法算書,卷八十>
<子部,天文算法類,推步之屬,新法算書,卷八十>

















　　新法算書卷八十
<子部,天文算法類,推步之屬,新法算書>



　　欽定四庫全書
　　新法算書卷八十一　　　明　徐光啟等　撰八線表卷上
　　割圓八線表用法
　　割圓八線表即大測表也其數之多其用之廣於測量百法中皆為第一故名大測分言之則有正數切線數割線數矢數餘數餘切線數餘割線數餘矢數皆于割圓之一分以其相當之直線與其曲線相求而為測量推算之用故名割圓八線也其義與法畧見大測二卷中今此刻與他本小異故先述其列表法次述用法一二如左
　　列表法二條
　　一既稱八線刻中何以無矢矢者之互餘相減即得也〈法見後條〉今所列者以一弧之正切線割線彚為一方又以其相反相對弧〈如初度之相反相對則八十九〉之三線彚為一方兩方平列并為同面一覽可得故于初右方為弧初度順列至四十四度皆在右方也于初左方為弧之八十九度逆列至四十五度皆在左方也初右方之上下各一横行上行順書正弧某度下行逆書餘弧〈正弧反對〉某度其中直列第一格為本弧之分自上而下書初〈作○〉至三十第二格為本弧之正三十率各與其本分横相直也第二格書切線第三格書割線亦如之初左方之上下亦各一横行上行順書餘弧某度〈度與右方之上行同〉下行逆書正弧某度〈度與右方之下行同〉其中直列之末一格為本弧之分自下而上書三○至六○其順列三線與右方同也次右方中第一直行為本弧之分順書三一至六○次左方中末行逆書○至三○餘同前合二面為正餘各一度其六十分之各三線咸在目矣次三左右方書次度俱如前法
　　二大表之全數或八位或九位十位今小表止全數六位以便推算
　　表中用線相求法九條
　　一設弧背上圓線之度分秒求其相當之各正線法先查取所設度於本度各直行查所設正分於本行中横查所求某號〈正切線之數是也〉其相對數即所求正數若度分外有設秒表中所無也而求各正線則用中比例法取設秒上下之兩正分相減餘為差以差數乘設秒數為實以全秒六十為法而一得數以加于設分下所得數并為所設度分秒數
　　假設三五度四十分之弧求其正如法求本度分本號得五八三○七即是
　　又假設二十三度三十一分三十秒求其割線用中比例法則所設秒在三十一分三十二分之間也查本度分本號得三十一分之割線為一○九○五八三十二分之割線為一○九○七二相減餘一四以三十秒乘之得四二九為實以六十為法而一得七以加三十一分之割線為一○九○六五所為求數〈其比例則六十與一四若三十與七也〉
　　二設弧之度分秒求其相當之各餘線
　　假設二十三度三十一分之正弧求其餘查二十三度三十一分之他方同行本號下取數得九一六九四若設秒用中比列如前
　　三設正等直線數求其弧之度分秒
　　法於本號横取所設數相合者即其相當之本度分也不合則取表中一數與設數相近而較少者以相減得差以乘六十得數為實以表中較多一近數與初近數相減得差為法而一得數以加初近數之弧度分為設數之弧度分
　　假設八八六八八為正求其弧查得六十二度二十九分正為適足
　　又假設七六五四二為正求弧查近且少者遇四十九度五十六分之正七六五二九相減餘一三以六十乘之得七八○為實以多少兩近數相減之較一八為法而一得四十三并得四十九度五十六分四十三秒二十㣲〈其比例則一八與六十若一三與四三三也〉
　　四設某直線數為某弧之餘某線求其弧於設數本方本號求得本線數查他方本横行得弧度分
　　五若圏半徑為不全數〈滿十為全數餘皆為不全數〉而求某弧之各直線法以設弧先求本表本線之數〈第二率〉乘不全之半徑〈第三率〉以全數〈第一率〉而一得所求設弧之某直線〈第四率其比例則第一與二若第三與四也〉
　　如測天句股説謂用天徑一百二十一度七十五分今設二十三度三十一分之弧求其正先于本表查本弧之正得三九九○一〈第二率〉以周天半徑〈第三率〉乘之減末五位得二四二九○○○〈第四率不用而一者第一率為全數故乘訖即是也〉
　　六求矢法求設弧之餘以減全數得正矢如設二十三度三十一分求正矢查其餘得九一六九四以減全數得○八三○六為二十三度三十一分之正矢若求餘矢則以正減全數得餘矢
　　七有不全徑之數設矢求其弧
　　法以全數〈第三率〉乘設矢以不全徑〈第率〉一而一得數〈第四率〉以減全數為餘求其弧
　　如半徑六十萬〈古法〉為不全數設四四一為正矢求其弧法以全數乘設數得四四一○○○○○以不全徑六十萬而一得七三五查得七十四度三十九分為設矢之弧
　　八有弧求其通以設弧之半求其正倍之即設弧之通
　　九求通之弧以設之半為正查度倍之得通之弧
　　表外用法八條
　　一有天度〈三百六十五度四分之一〉弧求其各直線
　　先以天度通為平度〈三百六十度用通率表〉次依前法求之如舊法問半弧背二十四度黄道矢若干先以二十四度通為平度得二十三度二十九分一十秒求矢得八四○一〈第三率〉以不全半徑六○八七五〈第三率〉乘之得數減後位得五度一十一分四十一秒
　　二造簡平儀定時線節氣線用正數倍省工力三造平渾儀等器定經緯度圏之心用切線數甚便甚凖
　　四造日晷用切線割線可減多圏多線倍省工力五測天量地俱以割圓八線為本〈見本説〉
　　六圓線與直線異類也亘古迄今未有相通之比例此割圓八種本是直線其原出于圓線其用之也可令異類之線相比相似所差極㣲故厯家推算以為津梁無能舍置也
　　七球面上大小圏最難得其比例因此諸線可相比相凖不失分秒
　　八地平上用此諸線可定諸方相距之里差可定太陽出入時刻可定晝夜長短時刻可定日月交食真㑹視㑹相距時刻〈各有本論〉
　　右用法畧舉一二他用甚廣各見本法中〈其造法見大測諸篇〉











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　　新法算書卷八十一



　　欽定四庫全書
　　新法算書卷八十二　　明　徐光啟等　撰八線表卷下













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　　增　凡所設之弧過象限而求其正等線者即以半周
　　内減之用其較查表即得所求如設一百
　　三十度之弧求其正即以一百八十度
　　減之餘五十度查五十度之正切割等
　　線圖説見前
　　論乙丁為一百三十度之弧其正為丁
　　己其餘丁庚則丁己線為乙丙丁弧及丁
　　戊兩弧之正他線類如此則查表用五十度之弧亦得一百三十度之等線數

　　八線表代句股開方法
　　一設股求句　用正餘代　〈直角傍兩腰各能當句股兩名互用之同理〉
　　法以〈外數〉為一率　全數〈十萬〉為二率股〈外數〉為三率　如法求得第四率〈即正内數〉查八線表正相近而略少者取〈其餘以設〉
　　乗之得數右减五位即所求勾數
　　如為五十八股為二十五以全乗股得二五○○○○○以五十八除之得正四三一○三查表正弦與此數相近而略少之餘九○二三三以設五十八乗之得五二又三三五一四為所求句外數
　　一　五十八〈外數設數〉　　　一　十萬〈内數　即全〉
　　二　十萬〈全數〉　　　　　　　二　五十八〈外數〉三　二五○○○○○〈股外數〉　三　九○二三三〈勾内數即餘〉四　四三一○三〈正内數〉　　四　五二又三三五一四〈勾外數〉
　　二設勾求股〈亦用正餘代〉
　　法以外數為一率　全數十萬為二率勾外數為三率　如法求得第四率〈即勾内數正〉查八線表正相近而略少者取其餘以
　　設乗之得數即所求股數
　　如為一萬二千九百四十五勾為七千七百六十七以全乗勾得七七六七○○○○○以一萬二千九百五十四除之得正六○○○○查表正與此數相近而略少之餘八○○○三〈去三作○〉以設一萬二千九百四十五乗之得一○三五六為所求股外數
　　一　一二九四五〈外數〉　一　十萬〈全數外數〉
　　二　十萬〈全數〉　　　　二　一二九四五〈外數〉三　七七六七○○○○○　　三　八○○○○
　　四　六○○○○　　　　四　一○三五六
　　三設勾股求用割切線代
　　法以勾外數為一率全數為二率股外數為三率如法求得第四率〈即切線内數〉查八線表切線與此數相近者取其割線以句外數乗之
　　得數右减五位即所求數
　　如句設一百五十六股設四十七以全乗股得四七○○○○○以句一百五十六而一得三○一二八〈即切線内數〉查表切線與此數相近者之割線得一○四四四○以句一百五十六乗之得一六二九二六四〈即所求○〉一　一百五十六〈句外數〉　　　一　十萬〈全數〉
　　二　十萬〈全數〉　　　　　　　二　一百五十六〈設句〉
　　三　四七○○○○○　　　　三　一○四四四○〈割線内數〉
　　四　三○一二八　　　　　　四　一六二九二六四○










　　新法算書卷八十二
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　　欽定四庫全書
　　新法算書卷八十三　　明　徐光啟等　撰㡬何要法
　　㡬何總論
　　㡬何家者脫物體而空窮度數數其截者度其完者度有三曰線曰面曰體線以度長短面以度廣狹體以度厚薄線自始引為線線展為面面運為體者無長線者無廣面者無厚為線之界線為面之界面為體之界體不可為界線面體㡬何之論起焉
　　界說章第一〈十六則〉
　　界者一物之始終解篇中所用名目作界說
　　第一界
　　㡬何者度與數之府也
　　第二界
　　者無分無長短廣狹厚薄故無分如上圖甲真圓□一真平相遇處止一㸃畢世積㸃不能結線〈凡圖十干為識干盡用十二支等字〉
　　第三界
　　線止有長無廣厚如一平面光照之有光無光之間不容一物是線也如上甲乙圖畢世積線不能結面
　　第四界
　　面者有長有廣無厚一體所見為面凡體之影極似於面無厚之極也如上甲乙丙丁圖畢世積面不能結體

　　第五界
　　體有長有廣有厚如上甲乙丙丁戊己庚圖

　　第六界
　　分者㡬何之㡬何也小能度大而盡之無贏不足者以小為大之分若小不能盡度大當稱㡬分㡬何之㡬如上甲乙四與丙丁八戊己十二等數皆能盡分者則甲乙四為丙丁八戊己十二之分
　　若庚辛四與壬癸六一即贏二即不足不能盡度者不得正名為分則稱之為三分六之二〈他數倣此〉
　　第七界
　　者非㡬何故不能為線及諸㡬何之分
　　第八界
　　線非廣狹之㡬何故不能為面之分
　　第九界
　　面非厚薄之㡬何故不能為體之分
　　第十界
　　線有曲直線之一能遮兩界是直線如上圖甲乙不遮則不直如下圖丙丁
　　第十一界
　　面之中間線能遮兩界不礙不空是平面如上圖甲乙
　　丙丁不遮則不平如下圖戊己庚

　　第十二界
　　直線垂於横線之上為横線之垂線如上圖丁乙為甲
　　丙之垂線

　　第十三界
　　兩直線於同面行至無窮不相離亦不相逺終不得相
　　遇者為平行線如上甲乙丙丁兩線
　　第十四界
　　兩㡬何以㡬何相比之理為比例兩㡬何者或兩數或兩線或兩面或兩體各以同類大小相比謂之比例若線與面或數與線此異類不為比例若同類相比而不以㡬何亦不為比例也如白線與黑線或有窮之線與無窮之線雖則同類實無比例有窮之線畢世倍之不能及無窮之線故也
　　凡比例有三種有數之比例有量法之比例有樂律之比例本卷論量法之比例
　　第十五界
　　比例相續不斷為連比例其中率與前後兩率遞相為比例而中率既為前率之後又為後率之前如上圖甲二與乙四比乙四又與丙八比是也第十六界
　　中率一取不再用為斷比例如上圖甲四自與乙八比丙六自與丁十二比是也
　　備噐章第二
　　㡬何在厯家則多用圖畫圖必先備噐噐有三曰尺曰規曰矩尺以畫線而貴直規以畫圜而貴調矩以畫方而貴凖噐凖矣不識用法則茫無措手今以用法著於篇
　　審尺章第三
　　畫圖首畫線線貴直線界於尺故先求尺直
　　如甲乙為尺面丙丁為尺側一稜先以丙丁畫一戊己線丙合戊丁合己次轉丙丁稜畫一己
　　戊線丙合己丁合戊不出不入則尺直矣不直再當琢削畫線章第四
　　尺既直矣線可無曲然畫時又有法須以鐡或銅鑄筆上長其柄令可把手下截濶出復漸窄而下其正面削
　　極平背令稍圓去末寸許作一小
　　窩窩下漸細至末用時以墨汁入
　　小窩以平面𦂳倚尺作線則墨汁自就下或恐墨汙其地將尺削去丙丁側一稜則墨線瑩細如絲即作於規末亦得
　　審平面章第五
　　平面者諸方皆作直線
　　法曰如甲乙丙丁為面欲審其平即用直尺施於甲角繞面運轉不礙不空全合直尺是平面也

　　引線章第六
　　有一短直線求平引長之
　　法曰如有甲乙線欲平引長之先以甲為心以乙為界畫小半圜以乙為心任取一度於小半圜上下各作規界線為丙為丁次以丙丁為心任取一度向前作短界線相交為戊末引甲乙線至戊則得所求若欲
　　更引長仍依此法
　　平分直線章第七〈法有二〉
　　有有界之線求兩平分之
　　第一法
　　如有甲乙線求兩平分先以甲為心任用一度但須長於甲乙線之半愈長愈凖向上向下各作一短界線次用元度以乙為心亦如之兩界線交處即丙丁末用尺作丙丁直線即甲乙有
　　界之線兩平分於戊矣
　　第二法
　　若所分之線下面無地可作短界線即於甲乙線上先畫兩短界線於丙次或開或收規度仍前從甲從乙向上又作兩短界線於丁規度愈相逺畫線愈凖末以丙丁二交用尺
　　如前畫線則得所求
　　作垂線章第八〈法有四〉
　　有一直線任於一上求作垂線
　　第一法
　　甲乙直線任指一㸃於丙求丙上作垂線先於丙左右任用一度愈逺愈凖各截一界為丁為戊次以丁為心任用一度但須長於
　　丙丁線向丙上方作短界線次用元度以戊為心亦如之兩界線交處為己從己至丙以尺畫線則得所求
　　第二法
　　於丙左右如上法截取丁與戊即任用一度以丁為心於丙上下方各作短界線次用元度以戊為心亦如之則上交為己下交為庚末作己庚直線視直線交於丙㸃即得所求若丙㸃在
　　甲乙端上則當暗引長甲乙線後如前作亦得
　　第三法
　　若直線甲端上求立垂線又甲㸃外無地可暗引線則先以甲乙原線上方任取一㸃為
　　丙以丙為心甲為界作大半圜圜界與甲乙線相遇為丁次自丁至丙依前法作直線引長之至戊為戊丁線戊丁與圜界相遇為己末自己至甲作直線即所求
　　第四法
　　若甲乙線所欲立垂線之㸃乃在線末甲界上甲外無餘線可截則於甲乙線上任取一㸃為丙如前一二法於丙上立丁丙垂線次
　　以甲丙丁角兩平分之〈分法在後三卷第四章〉為己丙線次以甲丙為度於丁丙垂線上截戊丙線又用元度以戊為心向己作短界線為庚末自庚至甲作直線得所求立垂線章第九〈法有四〉
　　有無界直線線外有一求自彼作垂線至直線上
　　第一法
　　如有甲乙無界直線直線外有丙㸃求自丙㸃作垂線至甲乙線先以丙為心向直線兩處各作小半圜或兩短界線為甲為乙次仍用一度以甲為心向丙㸃相望處作短界線
　　又以乙為心亦如之兩線相交處為丁末自丙至丁作直線截甲乙線於戊則丙戊為垂線
　　第二法
　　於甲乙線上近甲或乙任取一㸃為心以丙為界作一圜界於丙㸃及相望處各稍引長之次於甲乙線上視前心或相望如前圖或進或退如後圖任移一為心以丙為界作一圜界與前圜交處得丁末自丙至丁作直線得丙戊垂線

　　第三法
　　若丙㸃垂於甲乙線之界不能於丙左右畫圜如前二圖又或不能暗引長甲乙線則當以甲為心於丙及相望處各作短界線於丙於丁又進以乙為心以丙為界仍相望作兩短界線末從丙丁二交處作直線則得
　　所求
　　第四法
　　若甲乙線在面之邉且下無地可措規如前四圖則當用前章第三法或以丙為心任指甲乙線上兩為丁為戊次任取一度以丁為心向丙上作短界線次用元度以戊為心仍向丙上作短界線交於己末自己至丙作直線引長之至庚得所求又有便法在後平行線中
　　作平行線章第十〈法有三〉
　　一求作直線與原設直線平行
　　第一法
　　於甲求作直線與乙丙線平行先任作甲丁線與乙丙斜交次以丁為心任作戊己圜界次用元度以甲為心作庚辛圜界稍長於戊己次取戊己圜線為度於庚辛圜界截取庚辛末自甲至辛作直線即所求
　　第二法
　　先以甲為心於乙丙線近乙處任指一作短界線為丁次任用一度以丁為心向丙截取一分作短界線為戊又用丁戊元度以甲為心對甲平行作短界線為己次用甲丁
　　元度以戊為心對甲平行作短界線於己末自甲至己作直線即所求
　　註曰凡有不等度須一度用一規始元度不爽如一規而數易其度則元度永不復矣此丁先生秘法
　　註曰以上二法以甲㸃定逺近若無甲㸃任指所欲逺近為界可當甲㸃
　　第三法
　　此法比前法更簡易即西本㡬何亦未載乃敝師伯先生所授如有甲乙線任逺近求作平行線近甲取心向上以所求逺近為度作小半圜次用元度近乙取心向上復作小半圜末以尺依半圜為界作直線即所求
　　註曰以上平行數法可推用作沿邉直線之垂線如有甲乙線求乙線界上作一垂線先以乙為心向甲任取一㸃為丙又用元度以丙為心向甲指一㸃為丁又以乙為心任取一度向上方作一短界線愈逺愈凖又以丁為心用元
　　度仍向上方作一短界線與前界線相交於戊次自戊至丙作垂線末以前作平行線法隨用一法以丙乙為度作平行線正垂在乙㸃上即得所求
　　求分一直線任為若干平分章第十一〈法有四〉
　　凡造厯象數欲分直線為不等分不諳其法大費手力抑且不凖宜熟後法以便用
　　第一法
　　如甲乙線求五平分先從甲任作甲丙線為丙甲乙角次從甲向丙任作五平度為甲丁丁戊戊己己庚庚辛次作辛乙直線末用平行線法作丁壬戊癸己子庚丑四線皆與辛乙平行即壬癸子丑與甲乙為五平分

　　第二法
　　如甲乙線求五平分即從乙任作乙丙線為丙乙甲角次於乙丙任取一㸃為丁作丁戊線與甲乙平行次從丁向戊任作五平分為丁己己庚庚辛辛壬壬癸而丁癸線令小於
　　甲乙次從甲過癸作甲子線遇乙丙於子末從子作子壬子辛子庚子己四線各引長之而分甲乙於丑於寅於卯於辰為五平分
　　第三法
　　如甲乙線求五平分即從甲從乙作甲丁乙丙兩平行線次從乙任作戊己庚辛四平分次用元度從甲作壬癸子丑四平分末作戊丑己子庚癸辛壬四線相聨即分甲乙於己於辰於卯於寅為五平分
　　第四法
　　此法極簡極神可分百千不等之線與百千不等之分
　　先作一噐如丙丁戊己為平
　　行線任平分為若干格噐愈
　　大格愈宻其用愈廣格毎分
　　作平行線相聨今欲分甲乙
　　為五平分即規取甲乙之度以一規髀任抵戊丙線上一規髀抵第五庚辛線上如不在庚辛者即漸移之至線界而止既至壬即戊壬之分為甲乙之分
　　又如有甲乙線求十七平分先以規取甲乙之度以一
　　規髀抵戊丙
　　線一處以一
　　規髀抵此噐
　　庚辛第十七
　　格為壬次從
　　戊至壬畫一直線次取所過兩格相距之度以此為凖分甲乙直線則得十七分矣或圖小而所分者大欲廣其用則逓倍之如圖一尺欲分一丈為十九分須取一丈十分之一為一尺用前法為十九分後以尺逓十倍之則一丈己分為一百九十分矣毎十分作識如所求餘以此推之
　　一直線求截所取之分章第十二〈法有二〉
　　第一法
　　如有甲乙直線求截取三分之一先從甲任作一甲丙線為丙甲乙角次從甲向丙任作所命三分之平度如甲丁丁戊戊己為三分也次作乙己直線末作丁庚線與己乙平行即
　　甲庚為甲乙三分之一也
　　第二法
　　如甲乙直線求截取七分之三先以前章法分甲乙線為七分後取其三於庚則得所求如欲截取十分之七十四分之九等不均之數亦如之
　　有一直線求截各分如所設之分章第十三〈一法〉
　　法曰甲乙線求截各分如所設甲丙任分之丁戊者謂甲乙所分各分之比例若甲丁丁戊戊丙也先以甲乙甲丙兩線相聨於甲任作丙甲乙角次作丙乙線相聨末從丁從戊作丁己戊庚兩線皆與丙乙平行即分甲乙線於己於庚若甲丙分於丁戊焉
　　有直線求兩分之而兩分之比例若所設兩線之比例章第十四〈一法〉
　　法曰如甲乙線求兩分之而兩分之比例若所設丙與丁先從甲任作甲庚線為庚甲乙角次截取甲己與丙等己庚與丁等次作庚
　　乙線聨之末作己辛線與庚乙平行即分甲乙於辛而甲辛與辛乙之比例若丙與丁
　　有兩直線求别作一線相與為連比例章第十五〈法有二〉
　　第一法
　　有甲乙甲丙兩線求别作一線相與為連比例者任合兩甲乙甲丙為甲角而甲乙與甲丙之比例若甲丙與所求他線也先於甲乙引長之為乙丁與甲丙等次作乙丙線相聨次從丁作
　　丁戊線與丙乙平行末於甲丙引長之遇於戊即丙戊為所求線〈若以甲丙為前率倣此〉
　　第二法
　　以甲乙乙丙兩線聨作甲乙丙直角次以甲丙線聨之而甲乙引長之末從丙作丙丁為甲丙之垂線遇引長線於丁即乙丁為所求
　　線
　　三直線求别作一線相與為斷比例章第十六
　　法曰甲乙乙丙甲丁三直線求别作一線相與為斷比例者謂甲丁與他線之比例若甲乙與乙丙也先以甲乙乙丙作直線為甲丙次以甲丁線合甲丙任作甲角次作丁乙線相聨次從丙作丙戊線與丁乙平行末自甲丁引長之遇丙戊於戊即丁戊為所求線
　　兩直線求别作一線為連比例之中率章第十七法曰甲乙乙丙兩直線求别作一線為中率者謂甲乙與他線之比例若他線與乙丙也先以兩線作一直線為甲丙次以甲丙兩平
　　分於戊次以戊為心甲丙為界作甲丁丙半圜末從乙至圜界作乙丁垂線即乙丁為甲乙乙丙之中率













　　新法筭書卷八十三



　　欽定四庫全書
　　新法筭書卷八十四　　明　徐光啟等　撰㡬何要法
　　總説
　　圜成於線線有二種為曲為直直線或單或衆前卷已詳之衆線或三而成三角形或四而成方形或多而成諸不等形曲線或半或全半線有不等之用全線或成圜形或成卯形等角形及方形卯形詳見後卷今先論圜形
　　界說章第一〈十二則〉
　　第一界
　　圓形於平地居一界之間為圜
　　第二界
　　外圓線為圜之界
　　第三界
　　圜之中處為圜心
　　第四界
　　自圜之界作一直線過中心至他界為圜徑如上圖甲
　　丁乙戊為圜界丙為心甲乙為徑

　　第五界
　　凡直線切圜界過之而不與界交者為切線如上圖甲乙丙線是也若先切圜界而引之入圜内則謂之交線如丁戊是也
　　第六界
　　凡兩圜相切而不相交者為切圜相切而相入者為交圜加上圖
　　第七界
　　凡直線形居他直線形内而此形之各角切他形之各邉為形内切形如上圖丁戊己為甲乙丙形内切形
　　第八界
　　凡直線形居他直線形外而此形之各邉切他形之各角為形外切形如前圖甲乙丙為丁戊己形外切形其餘各形倣此二例
　　第九界
　　直線形之各角切圜之界為圜内切形如上圖甲乙丙形之三角各切圜界於甲於乙於丙是也圜之界切直線形之各角為形外切
　　圜同上圖
　　第十界
　　直線形之各邉切圜之界為圜外切形如上甲乙丙形之三邉切圜於丁於己於戊是也

　　第十一界
　　一圜之界切直線形之各邉為形内切圜如前圖
　　第十二界
　　一直線之兩界各抵圜界為合圜線如上圖之甲乙線
　　造規章第二〈法有四〉
　　圜形以至圓為凖至圓必出於規規必欲極凖極順其用甚活乃堪造厯凡造規之法有四詳列於後
　　第一法
　　先以銅或鐡範成二股上濶下窄至末而鋭近頭小半截作凹凸狀令可相合次以釘釘其圓頭貴寛𦂳得宜任意可開收規下半截為規髀一規髀作墨池如首卷第三章法以適用凡欲造厯象必須備規其造式見後規圖



　　第二法
　　凡規有三用一畫虚線則須鉛條當先以銅葉為管虚其中横開小路上套小銅圜可上下鬆𦂳以出入鉛條末畧奓出以留小圜如下甲圖一畫墨線則當作墨路如前章法如下乙圖一畫銅板線須以純鋼為末如下丙圖右三髀俱另作不相連本規其本規如前法造但截去一髀臨截處長半寸許作一小箱狀虚其中亦令方可受規髀柄如下圖丁處箱面作旋螺用時任入一規髀以銅消息如旋螺者貫定之如下戊圖則任意可畫線而一規可具三用矣此為第二法如下圖




　　第三法
　　造厯恒用規依比例法分線分圜或以大形移變小形或以小度移變大度其分法稍難今作一四髀規或銅或鐡畧如剪形上下作四規髀上短下長令上凖下度或半或三之一或十之一及種種不等則作線圜時或欲以大變小先以下髀取度次以上髀移度或欲以小變大先以上髀取度次以下髀移度則得所求其或半或三之一或十之一俱從髀之長短而分下愈長則度愈大上愈短則度愈促



　　第四法
　　前三種規長不踰尺止堪小用如欲造璣衡大噐則當

　　更變其式如下圖其規以銅範為極方條上下如一任作㡬尺於條左末作錐垂下二三寸以純鋼為之更造一錐與前錐等上方寸許仍鑿方孔令透可受方條任逺近可推移方孔旁更鑿圓孔仍前法作旋螺貫定方條使兩錐堅定不爽分毫可畫大圜如下圖


　　有圜求兩平分之章第三〈一法〉
　　如有甲乙丙圜求兩平分用尺任以圜一處為界正過心畫一直線則圜體兩平分矣

　　有圜之分求兩平分之章第四〈一法〉
　　如有甲乙丙圜分求兩平分之先於圜分兩界作甲乙線次兩平分之於丁從丁作丙丁為甲乙之垂線〈一卷第八章〉即丙丁分甲乙圜分
　　為兩平分若有圜不露其心又求兩平分之亦如此法有圜求四平分之章第五〈一法〉

　　凡立天象多用四分圜為周天四象限故造法不可不凖如有甲乙丙圜求四平分先以前法作甲乙線過戊心兩平分之次依作垂線法於戊心上自丙至丁作垂線得所求
　　有圜求六平分之章第六〈一法〉
　　凡厯家分周天度多用六數或十二或二十四今詳其法如有一圜求作六分不用他法惟以畫圜之元規周圜界六歩則自然分為
　　甲乙丙丁戊己六平分矣
　　有圜求十二平分之章第七〈一法〉
　　先以本卷五章法四平分於甲乙丙丁次以畫圜元規從甲從乙上下各指一㸃又從丙從丁左右各指一則得所求若欲二十四分毎分為兩則得所求矣
　　有圜求三百六十平分之章第八〈一法〉
　　凡厯家所用細分周天度以三百六十為率今詳其法
　　如有甲乙丙圜先依前法四平分之為四象限次以規
　　元度依前法十二平分為十二宫
　　就以所分十二宫各三分之各包
　　十度次毎十兩平分之各包五次
　　毎宫又五平分之各包六今用六
　　度之規至終不改從子宫初一度歩
　　起完一周又次從初五度初十度
　　十五度二十度二十五度各歩完一周則平分三百六十分矣
　　有圜之分任截㡬度章第九〈一法〉
　　如有甲乙圜之一分欲取三十五度如用常法必須先求圜分之心依後十一章法成圜後均分三百六十乃取三百六十之三十五分其法頗繁今有簡妙法先備一銅板分一子丑寅象限為九十分合極凖設有甲乙圜之界自甲起欲取三十五度之分先從甲至圜心作甲丙半徑線如與子丑寅象限半徑合
　　則移彼度子卯至甲乙線上至庚即得所求如大小不合則以規取子丑寅半徑以丙為心或甲乙内或外作一圜分若丁戊圜在外則當引長甲丙線至丁取子丑寅限三十五度以丁為始移於丁戊圜上至己從丙心過己作一直線截甲乙於庚則甲庚為甲乙圜上三百六十分之三十五也若所範銅板欲其用廣當從寅心重重作圜與子丑平行又自子丑外圜逐度引直線至寅心後所欲取圜分之度若其半徑與子寅不等或同於他子丑内圜之半徑則可徑移其度於所分圜上不爾仍用前法
　　有圜求㝷其心章第十〈一法〉
　　如有甲乙丙丁圜欲求其心先於圜之兩界任作一戊己直線次以平分線法作丙丁垂線兩平分之於庚則庚為圜心
　　有圜之分求成圜章第十一〈一法〉
　　如有甲乙丙圜分求成圜先於圜分任取三於甲於乙於丙從甲至丙丙至乙各作一直線各兩平分於丁於戊次於丁戊上各作垂線相交處為己末以己為心以圜為界旋轉即得所
　　求
　　任設三㸃不在一直線求作一過三之圜章第十二〈法有二〉
　　第一法
　　如有甲乙丙三㸃求作一圜貫之先以甲為心任取一度向乙上下各作小圜分又以乙為心向甲仍用元度上下各作小圜分相交處為丁為戊次又以甲為心向丙上下作小圜分如前
　　次以丙為心亦如之相交處為己為庚次從丁至戊從己至庚各作直線相交處為辛末以辛為心任取一㸃為界旋規成圜即得所求
　　第二法
　　先以三㸃作三直線相聨成甲乙丙三角形次平分兩線於丁於戊次於丁戊上各作垂線合相遇於己末以己為心甲為界作圜即得所求

　　有圜求作合圜線與所設線等此設線不大於圜之徑線章第十三〈一法〉
　　如有甲乙丙圜求作合線與所設丁線等其丁線不大於圜之徑線徑為圜内之最大線更大不可合先作甲乙圜徑為乙丙若乙丙與丁等者即是合線若丁小於徑者即於乙丙上截取
　　乙戊與丁等次以乙為心戊為界作甲戊圜交甲乙丙圜於甲末作甲乙合線即與丁等何者甲乙與乙戊等則與丁等
　　三角形求作形外切圜章第十四〈一法〉
　　甲乙丙角形求作形外切圜先平分兩邉於丁於戊次於丁戊上各作垂線為己丁己戊而相遇於己末以己為心甲為界作圜必切甲乙丙而為三角形之形外切圜
　　三角形求作形内切圜章第十五〈一法〉
　　甲乙丙角形求作形内切圜先以甲乙丙角甲丙乙角各兩平分之作乙丁丙丁兩直線相遇於丁次自丁至角形之三邉各作垂線為丁己丁庚丁戊末以丁為心戊為界作圜即過庚己
　　為戊庚己圜而切角形之甲乙乙丙丙甲三邉於戊於己於庚此為形内切圜
　　有圜求作圜内三角切形與所設三角形等角章第十六
　　甲乙丙圜求作圜内三角切形其三角與所設丁戊己形之三角各等先作庚辛線切圜於甲次作庚甲乙角與設形之己角等次作辛甲丙角與設形之戊角等末作乙丙線即圜内三角切形與所設丁戊己形等角

　　有圜求作圜外三角切形與所設三角形等角章第十七
　　甲乙丙圜求作圜外三角切形其三角與所設丁戊己形之三角各等先於戊己邉各引長之為庚辛次於圜界抵心作甲壬線次作甲壬乙角與丁戊庚等次作乙壬丙角與丁己辛等末於甲乙丙上作癸子子丑丑癸三垂線此三線各切圜於甲於乙於丙而相遇於子於丑於癸〈若作甲丙線即癸甲丙癸丙甲兩角小於兩直角而子癸丑癸兩線必相遇餘倣此〉此癸子
　　丑三角與所設丁戊己三角各等
　　有圜求作内切圜直角方形章第十八
　　有甲乙丙丁圜求作内切圜直角方形先作甲丙乙丁兩徑線以直角相交於戊次作甲乙乙丙丙丁丁甲四線即甲乙丙丁為内切圜直角方形
　　有圜求作外切圜直角方形章第十九〈法有二〉第一法
　　甲乙丙丁圜其心戊求外切圜直角方形先作甲丙乙丁兩徑線以直角相交於戊次於甲乙丙丁作庚己己辛辛壬壬庚四線為兩徑末界之垂線而相遇於己於辛於壬於庚即己庚壬
　　辛為外形
　　第二法
　　以戊甲為度依平行線法作己庚辛壬上下兩線與乙丁平行次用元度作己辛庚壬左右兩線與甲丙平行即得所求同前圖
　　有直角方形求作形内切圜章第二十
　　甲乙丙丁直角方形求作形内切圜先以四邉各兩平分於戊於己於庚於辛而作辛己戊庚兩線相交於壬末以壬為心戊為界作圜必過戊己庚辛而切甲丁丁丙丙乙乙甲四邉是為
　　形内切圜
　　有直角方形求作形外切圜章第二十一
　　甲乙丙丁直角方形求作外切圜先作對角兩線為甲丙乙丁而交於戊末以戊為心甲為界作圜必過乙丙丁甲而為形外切圜
　　有圜求作圜内五邉切形其形等邉等角章第二十二
　　如有甲乙丙丁戊圜求作五邉内切圜形等邉等角先作己庚辛兩邉等角形而庚辛兩角各倍大於己角次於圜内作甲丙丁角形與己庚辛角形各等角次以甲丙丁甲丁丙兩角各兩平分作丙戊丁乙兩線末作甲乙
　　乙丙丙丁丁戊戊甲五線相聨即甲乙丙丁戊為五邉内切圜形而五邉五角俱自相等
　　有一圜求作内切圜五邉及十邉形章二十三
　　如有甲乙丙圜心為丁先作甲丙過心線次作乙丁垂線次平分丁丙線於戊作乙戊線次取戊乙度移於徑線為戊己次作乙己直線盖乙己為甲乙丙圜五分之一以此為度可作内切
　　圜五邉形丁己度可作内切圜十邉形
　　有圜求作圜外五邉切形其形等邉等角章第二十四
　　甲乙丙丁戊圜求作五邉外切圜形等邉等角先依前章法作圜内甲乙丙丁戊五邉等邉等角切形次乃從己心作己甲己乙己丙己丁己戊五線次從此五線作庚辛辛壬壬癸癸子子
　　庚五垂線相遇於庚於辛於壬於癸於子五垂線既切圜即成外切圜五邉形而等邉等角
　　五邉等邉等角形求作形内切圜章第二十五甲乙丙丁戊五邉等邉等角形求作内切圜先分乙甲戊甲乙丙兩角各兩平分其線為己甲己乙而相遇於己自己作己丙己丁己
　　戊三線次從己向各邉作己庚己辛己壬己癸己子五垂線末作圜以己為心庚為界必過辛壬癸子庚而為甲乙丙丁戊五邉形之内切圜
　　五邉等邉等角形求作形外切圜章第二十六
　　甲乙丙丁戊五邉等邉等角形求作外切圜先分乙甲戊甲乙丙兩角各兩平分其線為己甲己乙而相遇於己次從己作己丙己丁己戊三線與己甲己乙俱等末以己為心甲為界作圜
　　必過乙丙丁戊甲即得所求
　　求作圜内六邉切形其形等邉等角章二十七
　　如有甲乙丙丁戊己圜其心庚求作六邉内切圜形等邉等角先作甲丁徑線次以丁為心庚為界作圜兩圜相交於丙於戊次從庚心作丙庚戊庚兩線各引長之為丙己戊乙末作甲乙
　　乙丙丙丁丁戊戊己己甲六線相聯即得所求
　　求作圜内十五邉切形其形等邉等角章第二十八
　　如有甲乙丙圜求作十五邉内切圜形等邉等角先作甲乙丙内切圜平邉三角形即各邉當圜十五分之五次從甲作甲戊己庚辛内切圜五邉形等角各邉當圜十五分之三而戊乙得
　　十五分之二次以戊乙圜分取乙己度兩平分於壬則壬乙得十五分之一次作壬乙線依壬乙共作十五合圜線即得所求〈以此為例推用逓分可作無量數形〉
　　圜内有同心圜求作一多邉形切大圜不至小圜其多邉為偶數而等章第二十九
　　如有甲乙丙丁戊兩圜同以己為心求於甲乙丙大圜内作多邊切形不至戊丁小圜其多邉為偶數而等先從己心作甲丙徑線截丁戊圜於戊也次從戊作庚辛為甲戊之垂線即庚辛線切丁戊圜於戊也次以甲丙兩平分於乙
　　乙丙兩平分於壬以壬丙兩平分於癸則丙癸圜分必小於丙庚而作丙癸合圜線即丙癸為所求切圜形之一邉也次以癸丙為度遞分一圜各作合圜線得所求形
　　新法算書卷八十四



　　欽定四庫全書
　　新法算書卷八十五　　明　徐光啟等　撰幾何要法
　　界説章第一〈凡十則〉
　　第一界
　　角者兩線縱横相遇所作線有曲直兩
　　直相遇為直線角兩曲相遇為曲線角
　　一直一曲相遇為雜線角曲雜兩線角
　　更有别論今先明直線角
　　第二界
　　凡直線正垂於横直線之上必成兩直
　　角相等如上圖甲乙為垂線丙丁為横
　　線而乙之左右兩角相等為兩直角若
　　反以甲乙為横線則丙丁為甲乙垂線也〈如今用短尺一縱一横互相為直線互相為垂線〉
　　第三界
　　垂線斜交於横直線之上必成兩不等角兩不等角一大

　　于直角一小于直角大為鈍角小為鋭角如上圖戊己庚為鈍角戊己辛為鋭角故直角惟一而鋭鈍兩角其大小不
　　等乃至無數
　　第四界
　　凡二直線不能為有界之形故直線之形有界者至少有三角有三直線為邊名曰三邊形亦曰三角形如上圖三邊
　　形止有三種
　　第五界
　　三邊線相等為等邊三角形亦為平邊三角形如上甲乙丙圖
　　第六界
　　兩邊線相等為一不等三角形如上丁戊己圖
　　第七界
　　三邊線俱不等為不等邊三角形如上庚辛壬圖
　　第八界
　　三邊形有一直角為三邊直角形有一鈍角為三邊鈍角形有三鋭角為三邊各鋭角形如上三圖
　　第九界
　　凡三邊形恒以在下者為底在上邊為腰如上圖甲乙甲丙為腰乙丙為底
　　第十界
　　凡言角者俱用三字為識其第二字即所指角也如甲乙
　　丙角其乙字指角

　　三髀規章第二
　　規以二髀為常法或倍之於兩端為四髀前卷己詳之矣兹有三髀規新式造法兩髀如常如前二卷中所設是也旁一髀即附於二髀之樞稍引長之出頭其頭端上有眼銜旁一髀令其圓活可上下左右如下圖用法見後




　　於有界直線上求立等邊三角形章第三
　　如甲乙直線上求立等邊三角形先以甲為心乙為界或上或下作一短界線次以乙為心甲為界亦如之兩短界線
　　交處為丙末自甲至丙丙至乙各作直線即所求於有界直線上求立一不等三角形章第四
　　如甲乙直線以甲為心任取一度或長或短於甲乙線上用前法作一短界線次以乙為心用前度亦如之兩短界線
　　交處為丙從丙至甲至乙各作直線即所求
　　於有界直線上求立三不等角形章第五
　　如甲乙直線以甲為心或長或短用一度如前作短界線次以乙為心甲度長今用短度甲度短今用長度于甲乙不
　　等作短界線交處為丙從丙至甲至乙作兩直線即所求
　　有直線角求兩平分之章第六
　　如乙甲丙角求兩平分之先於甲乙線
　　任截一分為甲丁次于甲丙線截甲戊
　　與甲丁等次或用元度或任取一度以
　　丁為心向乙丙間作一短界線次以戊
　　為心亦如之兩線交處為己從甲至己
　　作直線即所求若向乙丙無地可作短
　　界線則宜仍以丁以戊為心向甲上作短界線為己從己至甲作直線即所求〈如上圖〉
　　有直角求三平分之章第七
　　如甲乙丙直角求三平分之先任于一
　　邊立平邊角形為甲乙丁次分對直角
　　一邊為兩平分丁戊從此邊對角作垂
　　線至乙即所求
　　有角任分為若干分章第八
　　如乙甲丙角欲分為四為八為十六等分則先分兩分又各兩分之得四又各兩分之得八又各兩分之得十六愈分愈倍如任欲分為幾分如三五七九之類則先以甲為心向乙作一圜分次以規分圜分任作幾何分末從所分度
　　至甲作直線即所求如上圖
　　有三直線求作三角形其三邊如所設三直線等章第九
　　如甲乙丙三線毎兩線并大于一線任以一線為底以底之甲為心第〈二三〉線為度向上作短界線兩界線交處為丙次
　　向下作丙甲丙乙兩腰即所求
　　設一三角形求别作一形與之等章第十
　　以所設三角形之三邊當甲乙丙三線以前法作之即所求或又用前所備三髀規以規形所設三角形度移于别處
　　即所求
　　一直線任于一㸃上求作一角如所設角等章第十一
　　如甲乙線上有丙㸃求作一角如所設丁戊己角等先於戊丁線任取一㸃為庚於戊己線任取一㸃為辛
　　自庚至辛作直線次以前法於甲乙線
　　上作丙壬癸角形與戊庚辛角等即所
　　求
　　有三角形求兩平分之章第十二
　　如有甲乙丙三角形求兩平分之任于
　　一邊兩平分之于丁向角作直線即所
　　求
　　凡角形任于一邊任作一㸃求從分兩形為兩平分章第十三
　　有甲乙丙角形從丁㸃求兩平分之先自丁至相對甲角
　　作甲丁直線次平分乙丙線于戊作戊
　　己線與甲丁平行末作己丁直線即分
　　本形為兩平分
　　有三邊直角形以兩邊求第三邊長短之數章第十四
　　如甲乙丙三角形甲邊直角先得甲乙甲丙兩邊長短之數如甲乙六甲丙八求乙丙邊長短之數其甲乙甲丙上
　　所作兩直角方形并旣與乙丙上所作
　　直角方形等〈原本卷四十七〉則甲乙之羃〈自乗之數
　　曰羃〉得三十六甲丙之羃得六十四并之
　　得百而乙丙之羃亦百百開方得十即
　　乙丙數十也又設先得甲乙乙丙如甲
　　乙六乙丙十而求甲丙之數其甲乙甲
　　丙上兩直角方形并旣與乙丙上直角方形等則甲乙之羃得三十六乙丙之羃得百百減三十六得甲丙之羃六十四六十四開方得八即甲丙八也求甲乙倣此








　　新法算書卷八十五



　　欽定四庫全書
　　新法算書卷八十六　　明　徐光啟等　撰幾何要法
　　界説章第一〈凡八則〉
　　第一界
　　方形者四直線兩縱兩横相遇所成亦謂之四邊形如上甲圖
　　第二界
　　四邊形之四線等而四直角者為直角方形如上甲圖
　　第三界
　　四邊兩兩相等而俱直角者為長直方形如上乙圖
　　第四界
　　四邊等但非直角者為斜方形如上丙圖
　　第五界
　　四邊兩兩相等但非直角者為長斜方形

　　如上丁圖
　　第六界
　　已上方形四種謂之有法四邊形四種之外他方形皆謂之無法四邊形如上
　　戊圖等本卷多以直方形為論為其多有用也
　　第七界
　　凡形毎兩邊有平行線為平行線方形如上已圖
　　第八界
　　凡平行線方形若于兩對角作一直線其直線為對角線又于兩邊縱横各作一平行線其兩平行線與對角線交羅相遇即此形分為四平行線方形其兩形有對角線者為角線方形其兩形無對角線者為餘方形如甲乙丙丁方形于丙乙兩角作一線為對角線又依乙丁平行作戊巳線依甲乙平行作庚辛線其對角線與戊巳庚辛兩線交羅相遇于壬即作大小四平行線方形矣則庚壬巳丙及戊壬辛
　　乙謂之角線方形而甲庚壬戊及壬己丁辛謂之餘方形
　　審矩章第二
　　凡作方形必欲用矩故先論審矩法後論棄矩求方之法矩以兩尺縱横而成然必成直角方準若稍出入必為鋭鈍兩角而不成矩今欲審直角先審兩尺之稜如首卷第
　　一法後于他堅體上作半圜中畫徑線次以矩角倚半圜之界視二尺稜正切徑線與圜相交處則矩準而可用矣若有出入則當更改或于堅體上作一直線更作一垂線四邊作直角以一矩準四直角不爽則至準矣
　　一直線上求立直角方形章第三
　　如甲乙線上求立直角方形先于甲乙兩界各立垂線為丁甲為丙乙皆與甲乙線等次作丁丙線相聯即得所求
　　有直線形求作直角方形與之等章第四
　　甲直線無法四邊形求作直角方形與之等先作乙丁形與甲等〈本卷第五第六章〉而直角次任用一邊引長之如丁丙引之至己而丙己與乙丙等次以丁己兩平分于庚其庚㸃或在丙㸃或在丙㸃之外若在丙即乙丁是直角方形與甲等矣若庚在丙外即以庚為
　　心丁己為界作丁辛己半圜末從乙丙線引長之遇圜界于辛即丙辛上直角方形與甲等如上圖丙辛壬癸
　　有三角形求作平行方形與之等而方形角又與所設角等章第五
　　設甲乙丙角形丁角求作平行方形與甲乙丙角形等而有丁角先分一邊為兩平分如乙丙邊平分于戊次作丙戊己角與丁角等次自甲作直線與乙丙平行而與戊己線遇于己末自丙作直線與戊己平行為
　　丙庚而與甲己線遇于庚則得己戊丙庚平行方形與甲乙丙角形等而有丁角
　　有多邊直線形求作一平行方形與之等而方形角又與所設角等章第六
　　設甲乙丙五邊形丁角求作平行方形與五邊形等而有丁角先分五邊形為甲乙丙三〈三角〉形次依前章法作戊己庚辛平行方形與甲等而有丁角次于戊辛己庚兩平行線引長之作庚辛壬癸平行方形與
　　乙等而有丁角末復引前線作壬癸子丑平行方形與丙等而有丁角即此三形并為一平行方形與甲乙丙併形等而有丁角自五邊以上可至無竆俱倣此法
　　有多直角方形求并作一直角方形與之等章第七
　　如五直角方形以甲乙丙丁戊為邊任等不等求作一直角方形與五形等先作己庚辛直角而己庚線與甲等庚辛線與乙等次作己辛線旋作己辛壬直角而辛壬與丙等次作己壬線旋作己壬癸直角而壬癸與丁等次作己癸線
　　旋作己癸子直角而癸子與戊等末作己子線而己子線上所作直角方形即所求
　　有平行方形求作三角形與之等而三角形角如所設角等章第八
　　如有甲乙丙丁平行方形戊角先作丁乙己角與戊等遇甲丙線于己次以乙丁線引長之為庚取丁庚度與乙丁等
　　末作己庚直線乙丙庚三角形與甲乙丙丁平行方形等而有戊角即所求
　　一直線上求作平行方形與所設三角形等而方形角又與所設角等章第九
　　設甲線乙角形丙角求于甲線上作平行方形與乙角形等而有丙角先依本卷第五章法作丁戊己庚
　　平行方形與乙角形等而戊己庚角與
　　丙角等次于庚己線引長之作己辛線
　　次作辛壬線與戊己平行次于丁戊引
　　長之與辛壬線遇于壬次自壬至己作
　　對角線引出之又自丁庚引長之與對
　　角線遇于癸次自癸作直線與庚辛平行又于壬辛引長之與癸線遇于子末于戊己引長之至癸子線得丑即己丑子辛平行方形如所求如欲即于甲線立形則先依本章法作己辛子丑方形次于甲線一界作寅角如辛己丑角等次取寅卯如己丑等末成平行方形即得所求
　　設不等兩直角方形如一以甲為邊一以乙為邊求别作兩直角方形自相等而并之又與元設兩形并等章第十
　　先作丙戊線與甲等次作戊丙丁直角
　　而丙丁線與乙等次作戊丁線相聯末
　　于丙丁戊角丙戊丁角各作一角皆半
　　于直角己戊己丁兩腰相遇于己而等
　　即己戊己丁兩線上所作兩直角方形自相等而并之又與丙戊丙丁上所作兩直角方形等
　　兩直線形不等求相等之較幾何章第十一
　　甲與乙兩直線形甲大于乙以乙減甲求較幾何先任作丁丙己戊平行方形與甲等次于丙丁線上依丁角作丁
　　丙辛庚平行方形與乙等即得辛庚戊
　　己為相減之較矣

　　有圜求作一直角方形與之等章第十二
　　方圓圓方之法自古名賢究折而未準
　　吾師丁先生幾何六卷之末設此神法
　　其法之用甚廣今撮其要以推作方圓
　　圓方之法先設甲乙丙丁直角方形次
　　以乙為心以甲為界作甲丁限象任分
　　為若干度今姑分為九十度又分甲乙丙丁兩線如前數為九十次自乙心至象限逐度皆作虛線次從甲乙丙丁兩線對望作平行線其與限象線交處俱作次從甲作曲線貫諸㸃貫諸㸃之線則甲戊線為方圓圓方之根線而乙甲為邊乙丁為底次自甲至戊作一直線若乙戊直線與所設欲方之圜半徑等則甲乙線為所設圜限象之界線若圜半徑長則于乙丁線上截乙己與半徑等引長甲乙線作己庚與戊甲線平行庚至乙即長徑圜限象之界線若圜半徑短則于乙丁線上截乙辛與半徑等作辛壬線與戊甲平行則壬至乙即短徑圜限象之界線今有
　　子丑圜或大或小其半徑與乙辛等先
　　作一寅卯直線立一辰己垂線次從己
　　起取己午午未各與乙壬等次取己申
　　與乙辛等次兩平分申未于酉以酉為
　　心以申或未為界作半圜切垂線于辰
　　末取己辰作直角方形之一邊則此方
　　形與所設圜等以此可推不特一方與一圜即方之一邊線與圜一限象等方之半邊線與圜半限象等
　　有直角方形求作一圜與之等章第十三
　　如有甲線為方之邊先取一圜依前法
　　求其作方之線如前度得申己次作辰
　　申直線次截戊己如所設甲線等次自
　　戊作戊卯線與辰申平行末以己卯為
　　半徑之度作一圜即得所求
　　推用一法
　　依兩章方圓圓方之法可推任有直線形可作一圜與之等又任設一圜可作直線形與之等須先依前章法求多邊直線形作一方形與之等次依本章法作一圜形與直角方形等則得一圜與所設直線形等若又有圜求作一三角形先依本章法作一方與所設圜等次依前法作三角形如所設方形等則所作三角形如原設圜等











　　新法算書卷八十六



　　欽定四庫全書
　　新法算書卷八十七　　明　徐光啟等　撰測量全義叙目
　　測量全義十卷前九卷屬法原後一卷屬法器法原者法之所以然也凡事不明於所以然則其已然者茫茫不知所来其當然者昧昧不知所徃即使沿其流齊其末窮智極慮求法之確然不易弗可得已况天之髙星辰之逺厯數之𧷤且隠也而不究其原可乎旋觀徃代如二十一史所載漢以後諸家之厯詳矣大都專求法數罕言名理即才士間出亦各窺一二莫覩大全雜以易卦樂律益增迷瞀何恠乎千八百年而未有定法也夫厯法之原有二其一則象緯之原也天事也其一則推測之原也人事也象緯之原如測天約說所論百中之一二耳其他散見於七政本論㑹而通之聊足著明矣此書所論則推測之原也古今言推測者又有二其可以形察可以度審者謂之叀術不可以形察不可以度審者謂之綴術此所論者又綴術也綴術之用又有二其一總物以為度論其幾何大曰量法也其一截物以為數論其幾何衆曰算法也厯象之家兼用二法如鳥之傅兩翼也則無所不可之矣凡幾何之屬有四曰㸃曰線曰靣曰體引為線線展為靣靣積為體究此四者諸有形有質之物細若纎芥鉅若大圜悉可極其數而盡其變所以能範圍不過曲成不遺也不可為度線不可為形必三線交始成三角形焉凡度與數不用此形即巧厯無從布算故三角者雖形體之始基實測量之綱要諸卷中當首論者此也凡言度數必通大小通近逺者也三角形繇兩視線一徑線徑線者所測物之廣也徑之兩端出兩直線入交於目睛之最中而成形如分寸咫尺為近小之形乃至大圜七政為逺大之形形絶不等然其為三角等則比例必等因而用小推大用近推逺亡不合者故曰通大小通逺近也夫學難者必自近也學微者必自顯也最難且微莫如天之三光最易且顯莫如地之百物次卷所測測地與物以此故也然而測一物之髙一山之髙與測日月星辰去地之髙也無以異則亦通大小通逺近者也其次進而測靣靣者平方平圓之類其變不可勝窮也然而測物之靣與測地景之靣測日月星之靣其理一也又進而測體體者立方立圓之類其變不可勝窮也然而測物之容與測地之容日月星之容其理一也是皆逺近大小通焉者也既曰通焉而不言逺大先言近小者則所以習之也習之奈何習手與目以求其貫也習心與意以求其信也不習不貫未有能信者也習且貫未有不信者也故習小習近言逺大者之所求也夫論度數至於測體深矣微矣然而皆平靣直線也天則圓體其靣圓靣其線曲線也測圓靣之難十倍平靣測曲線之難十倍直線蓋圓與曲謂之弧而測弧無法於無法中求有法其勢不得不難世有傳弧矢算術測圓術者皆非術也其本術稍見於大測其為數則割圓八線表而此書第七至第九則言其理與法也蓋以弧背求矢用測曲線三角形展轉推求展轉變易凡周天衆規相交相距所以經緯七政運行四時推遷運㑹者上下百千萬年可知也諸天諸曜種種運行悉無一定之法其為紛𧷤莫可勝原此弧諸法則何以能追求至盡乎蓋所論者非諸曜自行之度數而宗動天之度數也宗動者不依七政而能為七政之凖則厯家謂之天元道天元極天元分至終古無變易也因此推歩是以有恒御無恒厯家之立法最難在此其用法最易亦在此矣終之以法器何也曰器之用大矣智者非器不作明者非器不述差者非器不改合者非器不驗教者非器無以措其辭學者非器莫能領其意巧者非器未繇見其長拙者非器有所匿其短是以唐虞欽若首在璣衡厯代以還屢更其制據今所有則渾天儀簡儀立運儀渾天象四器也而年逾數百久闕繕治地址傾墊樞軸鏽蝕渾天一儀不復運動簡儀立運猶似堪用復少黄道規環且測𠉀多端止慿一器架柱森列多成映蔽均賦辰度尚未精宻刻定宿度則又元時所測非今測也此卷中分列諸器擇其最急畧有五種曰測髙儀曰距度儀曰地平經緯儀曰赤道經緯儀曰黄道經緯儀有此諸儀相襲並用彼礙則此通可以無求不得矣更求宻測責以分秒無差則一式又湏三器三器俱列用相參較三測並合則製器精工安置如式測驗得法灼然具見矣有不合者可以推究病源更求釐正釐正之後測復參差則擇其同者用之若止據一器有得即真烏從知其然不然可不可乎且舊儀大環徑止五尺二寸度止十分今擬新式用半徑者六尺則三倍大也度得百分則十倍細也用全徑亦六尺度可六十分亦六倍細也夫今之改憲欲求倍勝於古非倍勝之器諒無從得之矣或疑法器重大取數復多即用物必奢是又不然今之舊儀不能揣知輕重大都唐宋以来考諸史志約畧相等宋史言東都渾儀四座每座約銅二萬餘斤今擬諸式槩從輕省若得宋元一儀之費足以盡造諸器有餘矣且每式三器誠不可少若宛轉相就則經緯儀可以得距地平儀可以得髙一倍本數亦能通用或五大既全稍從狹小以為副貳兼用精鐵以省銅材固無不可則所計一儀之費尚可損其半也惟是舊儀欲將脩改則一器止堪一用其脩改之費恐過於造作計不當為之耳惟渾天象止以測到度分量度經緯在於施用未為闗切今體製完美無煩再造矣
　　界說二十三則
　　第一界
　　正弧全圏四分之一或大焉或小焉
　　如圖甲乙丁為全圈之半乙丙丁為四分之一是名一象限九十度正弧之大無過於此若甲乙丙則大於象限丙丁則小於象限但
　　小者皆名正弧而大者則名過弧
　　第二界
　　餘弧正弧之剰分
　　如庚己正弧庚乙為餘弧是正小於己
　　乙也如庚丁過弧則大於丁乙而庚乙
　　為過弧之餘弧也
　　第三界
　　通者通弧之相當線分圏為兩分〈相當線亦名對線〉
　　如庚丙線與庚乙丙弧相當又與庚己子丙弧相當第四界
　　圏内線極大過心者為圏徑
　　如己戊丁是
　　第五界
　　正之半
　　如丙甲庚半之為丙甲正當丙乙弧又丙辛子半之為丙辛正當丙丁弧或曰正者從圏上一㸃作垂線至己丁徑上則丙辛為丙丁弧相當之正第六界
　　餘餘弧之正
　　如丁丙正弧則丙乙其餘弧丙甲為丙乙之正丙丁之餘
　　第七界
　　倒者餘與半徑之較亦名矢
　　如丙甲餘與辛戊線等以辛戊减丁
　　戊半徑存辛丁為丙丁弧之倒亦為
　　丙丁弧之矢
　　第八界
　　全徑之半象限弧之正
　　第九界
　　直線角在圏心或大或小皆居對弧兩腰間〈相當弧亦曰對弧〉如丙戊丁角在戊心向丙丁正弧則角生於丙戊丁戊兩腰間

　　第十界
　　餘角者餘弧之正角〈對角亦名正角亦名相當角〉
　　如丙戊乙角為丙丁正弧之餘角即丙乙餘弧之正角第十一界
　　切線者圏徑界之垂線亦名切圈線在圏外〈如下界之丙甲線〉第十二界
　　割線者直角之對線亦名交線亦名截線在圏之内外如甲戊丙形甲直角〈凡言甲角當九十度弧之直角〉戊為心丙戊交圏於乙割線也此線限心上角
　　限甲乙弧則角與弧胥生於甲戊戊丙兩腰間又曰正割線者正弧之割線如甲乙正弧則戊丙正割線也第十三界
　　餘切線者餘弧之切線
　　第十四界
　　餘割線者餘弧之割線
　　如戊丁餘弧乙己為割線是甲戊弧之餘割線
　　第十五界
　　全圏三百六十度半徑之全數十萬平分〈或用一萬或用百萬千萬皆可〉第十六界
　　設弧者任取全圏之一分〈凡言設者先有定數也或稱有或稱得〉
　　如甲戊丙角形戊為心甲乙丁其象限弧也取甲乙一分四十度則甲乙為設弧也
　　第十七界
　　設角者設弧之角
　　如戊心甲戊戊乙兩腰弧甲乙則因弧而稱甲戊乙角言角之度分即對弧之度分
　　第十八界
　　設正
　　如丁戊半徑十萬分先言丙辛若干分則所設丙丁弧之正

　　第十九界
　　設切線
　　如甲乙全數先言甲丙若干數則所設切線
　　第二十界
　　設割線
　　如甲乙全數先言乙丙若干數則所設割線
　　第二十一界
　　設邉線
　　如甲乙丙角形先言甲乙四丈或乙丙五丈或甲丙三丈俱所設邉線
　　第二十二界
　　方數者方形邉自乗之數
　　如正方邉四自之得一十六方之各邉俱等
　　方形根者開方所得方形一邉之數
　　第二十三界
　　平形有方有矩〈方者直角方形矩者矩内直角形〉
　　矩形邉兩兩自相等有一邉有實用算得所求他邉開方法有本論本書今别撮為圖欲求根一簡即得省布算焉簡法見籌算
　　測量全義卷一
　　第一題
　　通與通弧正與正弧比例等〈比例等後省曰若〉
　　解曰有己庚乙丙丁圏其通徑己戊丁戊上作乙戊垂線别作庚甲丙線與己丁平行則庚甲丙為庚乙丙通弧之對題言
　　庚甲丙通與庚乙丙通弧之比例若丙甲正與乙丙正弧
　　論曰戊心上垂線作直角平分庚乙丙弧則庚甲戊丙甲戊兩角形等何者庚戊丙戊從心至界等甲兩旁直角等甲戊同邉則兩形必等兩角之對弧亦等〈幾何三卷二十六〉故庚甲丙偕庚乙丙兩全與丙甲偕丙乙兩半比例等
　　第二題
　　圏内正弧等正亦等反之正等正弧亦等
　　解曰有全圏丁丙乙寅己丁寅為徑設丁丙乙寅兩正弧等從丙從乙作丙戊乙己兩垂線截徑於辛於壬作直角平分兩
　　〈三卷第三〉亦平分丙丁戊乙寅己兩弧〈三卷三十〉是丙丁丁戊偕乙寅寅己之各兩半與丙丁戊偕乙寅己之兩全比例等則其丙辛戊乙壬己之兩全與丙辛辛戊偕乙壬壬己之各兩半比例亦等題言丁丙乙寅兩正弧既等則丙辛乙壬兩正必等
　　論曰丙丁與乙寅兩弧既等則作丙庚乙庚自心至界之兩等線得丙庚丁角與乙庚寅角等〈三卷二十七〉丙辛庚與乙壬庚兩直角亦等而丙辛庚乙壬庚兩三角形必等故丙辛乙壬兩正必等反之丙辛與乙壬丙庚與乙庚各等丙辛庚乙壬庚兩直角等則丙庚辛乙庚壬兩角亦等〈一卷第八〉而丙丁乙寅兩對弧必等〈三卷第二十六〉
　　第三題
　　圏之内大弧大小弧小反之大大弧小小弧各相對
　　解曰甲乙丙丁圏甲己大弧丙庚小弧題言己卯大於庚寅
　　論曰試取甲辛弧與丙庚弧等從庚乙己辛各
　　作垂線過甲丙徑至於丑於丁於癸於子其庚寅辛壬兩半等〈本卷二〉即庚丑辛子兩全亦等〈三卷第三〉己癸近心大於辛子〈三卷十五〉是全大於其全也〈五卷十五〉己卯視辛壬半不大於其半乎次論曰試截卯己於午與庚寅等午上作垂線至辛與丙甲徑平行午卯庚寅既等自與辛壬等〈皆在兩平行線内〉甲辛丙庚兩弧亦等己甲全弧大於辛甲分弧己卯大必大於辛壬小是大對大弧小對小弧也第四題
　　圏徑截亦截弧任分之兩分與兩弧之正各相似解曰有圏徑乙辛截丙丁通於己截丙乙丁通弧於乙其丙乙乙丁兩分弧之各正為丙甲戊丁題言丙己己丁兩分
　　與甲丙戊丁兩正比例等
　　論曰丙甲己丁戊己兩角形相似何者兩形有相等之己交角有相等之兩直角即丁角與丙角必等〈一卷三十二〉是形與形邉與邉俱相似而丙己己丁兩分之比例與丙甲丁戊兩正自相似
　　第五題〈三支〉
　　三不等角形作垂線任分底為二其大分依大邉大邉上方大於小邉上方其較為底全線偕分餘線矩内形先解曰丁乙丙角形三邉不等丁乙小丁丙次之乙丙大為底〈凡邉大者為底〉從丁角作垂線至底題言分底為二者謂垂線之甲在形内蓋乙丙邉大即對角之乙丁丙角
　　亦大乙丙兩角必小如謂在形外即以乙丙邉引長於己而令己作直角將丁己乙三角形内有丁乙己鈍角〈甲乙丁為銳角故也〉又有己直角是兩角大於兩直角也可乎次解曰丁甲垂線任分乙丙底題言甲丙大分依丁丙大邉
　　論曰丁丙邉既大於丁乙邉即其上方形亦大而丁丙上方與甲丁甲丙上兩方幷等〈一卷四十七〉則甲丁甲丙兩邉幷亦大於甲丁甲乙兩邉幷試减同用之甲丁則所存
　　甲丙亦大於甲乙是甲丙大分依丁丙大邉也三解曰丁丙方大於丁乙方其較乙丙偕戊丙矩内形論曰試截甲戊與甲乙等其乙戊線平分於甲有引增戊丙線則乙丙偕戊丙矩内形及甲戊上方形幷與甲丙上方形等〈二卷第六〉次各加一甲丁上方形則乙丙偕戊丙矩内形及乙甲〈即甲戊也〉甲丁上兩方形或丁乙上方形〈乙甲甲丁兩方幷與丁乙方等一卷四七〉與甲丙甲丁上兩方幷或丁丙上方形俱等夫丁乙上方形内有甲乙甲丁上兩方形獨少乙丙偕戊丙矩内形則丁丙上方大於丁乙上方形之較為乙丙偕戊丙矩内形
　　第六題〈四支〉
　　三不等角形從角作垂線任分底為二知其邉數即知各分數
　　解曰同前圖乙甲甲戊等戊丙為任分之較法曰丁乙丁丙上兩方之實相减餘者以底數而一得戊丙以减底數餘者半之得乙甲
　　小分如丁丙十五丁乙十乙丙底十八丁丙自之得二百二十五丁乙自之得一百相减存一百二十五以底十八為法而一得六又十八之十七戊丙也以减十八存十一又十八之一乙戊也半之得五又三十六之十九乙甲也次解曰依二卷十三題乙丙為兩銳角則丁丙上方小於丁乙乙丙上兩方其較為乙丙偕乙甲矩内形二法曰用前數乙丁一百乙丙三百二十四兩方形幷為四百二十四减去丁丙方形之數二百二十五存一百九十九為實底數一十八為法而一得乙甲之數約之為五又三十六之十九者二
　　三解曰以丁大角為心丁乙小邉為界作全圏截丁丙於己乙丙於戊丁丙引長於辛丁乙丁辛兩半徑等則辛丙偕己丙與乙丙偕戊丙兩矩内形等〈三卷三十六〉乙甲甲戊又等〈三卷三〉丙乙大邉有戊丙分在圏外
　　法曰用前數丁丙十五加丁乙十或丁辛得辛丙二十五丁己與丁乙等則辛己徑為二十以己丙五乗辛丙得一百二十五為實乙丙十八為法而一得六又十八之
　　十七為戊丙有戊丙得乙戊平分乙戊得乙甲四解曰以丁大角為心丁丙大邉為界作全圈乙丙底引長於戊丁乙邉引長於庚於己即庚乙乙己矩内形與丙乙乙戊矩内形等〈三卷三十五〉丙甲甲戊既等庚丁丁丙亦等庚乙邉二十五丁丙丁乙兩邉幷亦二十五丁己丁丙各十五减丁乙十存乙己五
　　與庚乙相乗得一百二十五為實乙丙十八為法而一得六有竒為戊乙以加乙丙十八得戊丙平分得丙甲第七題
　　斷比例之四率以三推一名三率法
　　解曰四幾何為兩比例等先有三推得第四或同類或異類其前其後不得更易用反理亦用轉理列第一第二第三率即可推第四率依七卷十九題中率相乗與首尾兩率相乗得數等故二三相乗為實第一為法而一得四率也昔人因其用大算家必需稱為全法焉〈同類異類反理轉理俱見幾何四卷〉
　　第八題
　　三邉直角形銳角為心底為界作象限圏半徑為全數在心角對邉為其弧之正其旁為正弧之餘餘弧之正解曰如前圖甲乙丙直角形乙銳角為心乙丙底為界作丁己象限圏引乙甲邉於丁從心作乙己垂線題言甲直角乙丙為對邉作全數〈本界說八〉丙甲邉為在心角之對邉即丁丙弧
　　之正〈本界說五〉而甲乙邉為丁丙正弧之餘為丙己餘弧之正所以然者試從丙作丙戊與甲乙平行甲直角丙戊乙亦直角則丙戊甲乙兩線等〈一卷三十四〉丙己弧為丁丙正弧之餘弧丙戊為丙己餘弧之正為丁丙正弧之餘〈甲乙同〉
　　又如後圖用銳角丙為心乙為界則乙甲
　　為丙角之對邉為乙丁正弧之正甲丙其餘〈乙戊同〉第九題
　　三角形邉與邉之比例若各對角之正
　　解曰題一言直角形依前論各邉為對角之正在心角與正弧與正俱同理則弧與弧與角與角其比例俱等二言三邉等即三角俱等〈一卷五〉角之正亦等則邉與邉皆若角與角三言己乙丙雜角
　　形三邉形不等則以己乙小邉引長於丁為乙丁與己丙等丙為心己為界作己庚弧又乙為心丁為界作丁戊弧末作丁辛甲己兩垂線至乙丙底
　　論曰丁辛乙甲己乙兩直角形之丁辛甲己平行同用乙角即各邉俱相似〈六卷四〉則乙丁與乙辛若乙己與乙甲又先設乙丁己丙等是丙己邉與丁辛若己乙邉與甲己也夫丁辛為乙角之正甲己為丙角之正更之則丙己邉與己乙邉若乙角正之丁辛與丙角正之甲己也
　　第十題
　　有三角即有三邉之比例
　　解曰直角形設一銳角自有其二〈一卷三十二〉三邉等形設一邉自有其三兩邉等形有腰間角以减兩直角平分其較自得底上角雜角形有兩角幷以减兩直角其較為第三角〈雜角者總直鈍銳也下文以直角為例〉如乙角四十二度查正得六六九一三丙角四十八度得七四三一四則丙甲邉與乙甲邉若六六九一三與七四三一四約之為三十三與三十
　　七有竒也其乙丙與丙甲若全數與乙角之正六六九一三也鈍角同理
　　第十一題
　　三角形有設角之比例即有各角之幾何
　　解曰乙丙丁角形丁角與乙角若三與四乙角與丙角若四與六題言可得各角之幾何
　　論曰三幾何分之有比例幷之亦有比例〈五卷十八〉乙丙丁三角幷得十三其與丙若十三與六與丁若十三與三與乙若十三與
　　四
　　如求每角幾度則用三率法三角幷為第一兩直角幷一百八十為第二每角之分數為第三推之得第四


　　或用四卷八題之法三與四四與六四數横列之以第一第三相乗所得為第一率以第二第三相乗所得為第二以第三第四相乗所得為第三〈再用前法〉又如乙與丙若三與四丙與丁若五與六列數如圖



　　第十二題　論直角三邉　〈四支〉
　　三角形有銳角及直角之對邉求餘邉
　　一法曰置〈三角形之直角之對邉也〉如乙丙二丈五尺乙角三十六度五十二分丙角必五十三度○八分求丙甲邉以乙角為心作
　　丁丙戊象限弧則乙丙全數也丙甲邉乙角之正也一率甲直角之全數十萬
　　二率丙乙邉外數二十五尺〈言内者八線表數言外者今所求得數如丈尺等〉三率乙角〈三十六〉一度五十二分　　或用丙角五十三度
　　正内數五九九九五　　　　其正内數八○○○三
　　四率得一四九九約得一丈四尺　　四率得二丈
　　為甲丙邉外數　　　　　為甲乙邉外數
　　用加减法
　　凡全數為第一率如置十萬即第二第三率之數進為萬加○若過萬則退位兩率各當正向各表上取其弧兩弧幷而相减求總存兩弧之各餘若總數過九十者兩餘相加其半為第四率總數不過九十者兩餘相减所存半之為第四率
　　如全數與二十五若五九九九五與所求數法二十五作二萬五千正表取其弧得十四度二十九分查第三率得三十六度五十二分兩弧幷得五十度二十分其餘為六三八三三相减存二十二度二十四分其餘九二四五五兩餘之較二八六二三半之得一四三一為第四率與三率乗除所得同
　　用切割兩線
　　二法曰丙乙角為心甲為界作甲戊己
　　弧截乙丙於戊則乙甲邉全數也甲丙
　　乙角之切線也乙丙乙角之割線也有
　　乙設角即有其切線與割線而求甲乙邉則乙角之割線與乙丙〈外〉若乙甲全數與乙甲〈外〉又求甲丙邉則乙角之割線與乙角之切線若乙丙〈外〉與丙甲〈外〉
　　一乙角三十六度五十二分之割線三四九九五二乙丙外邉二十五　　或二乙角之切線七四九九一
　　三全數十萬　　　　　○三乙丙外邉二十五四得二十為外甲乙邉　　四得十五為外甲丙邉
　　三法曰設直角傍之一邉如乙丙甲角
　　五十三度八分用正則乙丙為全數
　　其法為丙角之正與乙甲外數若甲
　　直角之全數與乙丙底外數
　　丙角五十三度八分之正八○○○三
　　乙甲邉外數二十
　　乙丙全數十萬　　　　乙角之正五九九九五得二十五强即乙丙底外數　　得一十五强乃甲丙邉外數
　　用割切二線
　　四法曰設乙甲邉與乙角則甲乙全〈内數〉與其外數若乙丙割線〈内數〉與其外數或
　　若甲丙切線〈内數〉與其外數底與邉俱得
　　乙甲全數十萬
　　乙甲邉數二十
　　乙角割線内數一二四九九五　　乙角切線内數七四九九一得二十五强即乙丙外數　　得一十五强即甲丙外數
　　第十三題〈三支〉
　　有兩邉求餘邉又求其角
　　一支兩邉在直角之傍
　　一法曰先求邉用勾股法兩邉數自之幷
　　而開方得直角之對邉〈一卷四十七〉次以邉求其角因角與角之比例若邉與邉用正數為丙乙邉之外數與甲角之全數若丙甲邉外數與乙角之正亦若甲乙邉外數與丙角之正
　　丙乙外數五
　　全十萬
　　甲乙外數三　　　　甲丙邉外數四

　　用剖切線
　　二法曰丙銳角為心丙甲為全數甲乙其切線丙乙割線也先求角則甲丙邉
　　外數與全數若甲乙邉外數與丙角之切線丙甲外數四
　　全十萬
　　甲乙邉外數三
　　得七五○○○為丙角之切線查得三十六度五十二分
　　有丙角自有乙角而求丙乙邉則全數與甲丙外數若丙角之交線與丙乙外數
　　全十萬
　　甲丙外數四
　　丙角交線一二五○二二
　　得五為丙乙邉外數
　　二支一邉為直角之對一邉在直角之傍
　　三法曰先用勾股法兩設邉各自之相减餘開方得所求邉有邉求角則角與角之比例若邉與邉
　　四法曰不用開方用第一支求角法有二邉即有對角之數次求邉則丙乙全數與丙乙外數若乙角之正與丙甲外數
　　全數十萬
　　乙丙外數五
　　乙角之正八○○○三
　　得四為甲丙邉外數
　　用割切兩線
　　五法曰求角用乙角之割線則乙甲外
　　數與全數若乙丙外數與乙丙内數内
　　乙丙者乙角之割線也
　　乙甲邉外數三
　　全數十萬
　　乙丙外數五
　　得一六六六六六為乙角之割線查得五十三度五十二分〈丙角三十六度○八分〉
　　六法曰求邉用乙角之切線則乙甲内全數與乙甲外數若乙角之切線與甲丙外數
　　乙甲内全數十萬　　或乙角之割線一六六六七九
　　甲乙外數三　　　　　乙角之切線一三三三四九乙角之切線一三三三四九　　　乙丙邉外數五得四為甲丙邉外數　　得四為甲丙邉外數
　　又問有一邉及兩邉之比例餘邉幾何
　　法曰設一邉與第二邉有比例或大或小則以大比例為前數為第一率設邉數為二率
　　比例之後數為三率用三率法得四率為第三邉之數次用勾股法求第三邉如乙甲一丈乙甲與甲丙若二十與二十五得甲丙一丈二尺五寸次用開方求之又問設兩邉總之較問各邉若干此測量不常用見勾股索隠
　　又增題　三邉直角形設兩腰以求角法曰設甲乙七十五甲丙百則以乙丙底平分於丁作丁戊垂線交丙甲腰於戊從戊至乙角作戊乙線是與戊丙等〈一卷十〉次以戊為心乙為界作丙乙己半圏丙甲腰引長至己即乙甲為丙甲甲己之中比例線〈六卷十三〉是乙甲上方形與丙甲甲己矩内形等次以乙甲邉自之以丙甲邉而一得甲己知丙己徑之
　　數即知丙戊及戊乙半徑之數用三率法外戊乙與全數若外乙甲與乙戊甲角之正夫乙戊甲在心角也丙在弧角也弧角半於心角則因乙〈戊甲〉角得丙角〈三卷二十題〉
　　甲乙七十五自之五千六百二十五甲丙百而一得五十六又四之一與丙甲幷得一百五十六又四之一即丙己半之得七十八又八之一即丙戊半徑
　　戊丙七八又八之一
　　全十萬
　　甲乙七五
　　乙己弧正九六○○○
　　查得七十三度二十二分半之得三十六度四十一分用切線甲丙全數也丙甲為丙乙甲角之切線則甲丙一率也全數二率也甲乙三率也所得丙角之切線也
　　第十四題〈論雜角三邉形〉
　　有三角及一邉求第二第三邉
　　解曰依前論邉與邉若角與角如設乙角六十○度丁角三十六度丙角八十四度乙丙邉一十○歩
　　法曰所有邉其對角之正為第一率邉數
　　為二率所求邉對角之正為三率得四率即所求邉數
　　丁角之正五八七七九
　　乙丙邉數一十
　　丙角之正九九四五二　　乙角之正八六六○○一得十七為丁乙邉　　得十五為丙丁邉
　　若三角形有鈍角當借用其餘角之正
　　第十五題〈三支〉
　　有角及其旁兩腰求餘邉餘角
　　一支不論角之體勢　如丁乙丙角形乙丁邉一十二歩丁丙一十五歩丁角二十四度三十七分而求乙丙邉乙角丙角先以丙丁邉引長之丁為心乙為界作乙壬辛戊弧截引長邉於戊次作戊乙通從丁作丁庚辛線與丙乙平行末平分戊乙作丁甲壬線
　　解曰乙丁丙角二十四度半强則乙丁戊角
　　必一百五十五度半弱庚丁戊角與丙角等〈在平行線内〉庚丁乙角亦與丁乙丙角等蓋丁乙線交兩平行線故其相對兩内角等則乙丁邉與丙角之正或庚丁戊角之正若丁丙與乙角之正或庚丁乙角之正依顯戊庚與庚乙若庚丁戊角之正與乙丁庚角之正亦若乙丁〈一十二〉與丁丙〈一十五〉也〈本卷四題〉次以乙丁丁丙同比例之戊庚庚乙幷得戊乙二十七半之得甲戊一十三又半為外一率甲丁戊角之切線為内二率甲戊内减比例之小數戊庚存甲庚一有半為外三率求得甲丁庚角之切線為内四率查得本角之度知甲丁戊角則亦知甲戊切線知甲庚庚戊之比例則亦知甲丁庚角之切線甲庚也甲丁庚為乙丙兩角之較以加减得各角之數
　　乙丁邉十二丁丙邉十五總二十七代以乙戊也半之得十三半甲戊也减比例小數即十二餘一半甲庚也丁角二十四度三十七分乙丙兩角幷得一百五十五度二十三分即戊丁乙也其半七十七度四十一分甲丁戊也
　　法曰乙丁丁丙兩邉數幷半之為第一率乙丁戊角之數半之為甲丁戊其切線為二率甲戊内减去比例之小數十二所存甲庚為三率得甲丁庚角之切線查度以减甲丁戊外角所存為庚丁戊角之度即丙角之度既得角則用前法求邉〈或兩腰總數作第一率兩腰較作第三率〉
　　甲戊十三有半
　　甲丁戊角之切線四五八○○一
　　甲庚有一半
　　得五○八一五為甲丁庚角之切線查得二十六度五十六分
　　甲丁乙角七十七度四十一分加甲丁庚角二十六度五十六分共一百○四度三十七分即丁乙丙角也又甲戊丁角七十七度四十一分减甲丁庚角二十六度五十六分餘五十度四十五分為丙角則乙丁邉與丁丙邉若丙角與乙角
　　二支所設為鈍角解曰如丁乙丙角形丙鈍角一百三十度丁丙邉一十二歩丙乙邉一十五歩用設邉如乙丙引長之從丁作垂線至引長邉得甲在形外何者甲乙丁角形有甲直角丁丙乙角形有丙鈍
　　角則丙丁乙丙乙丁兩角小於甲丁乙丁乙甲兩角蓋每角形之三角幷等兩直角鈍大於直則所餘兩角幷必小於直角之兩餘幷矣故丁甲線在丙丁之外丁丙乙角既一百三十度甲丙丁其餘角也必五十度丙丁甲角必四十度一法用正用開方丁角為心丁乙邉為界作戊乙辛圏分又丁丙為界作午丙子象限圈即甲丁丙直角形有丁丙邉十二歩甲丙丁角五十度丙丁甲角必四十度而求甲丁甲丙兩邉其法全數與丁丙若甲丙丁角之正與甲丁甲丙亦如之既得兩邉開方求丁乙邉〈甲丙丙乙幷之得勾丁甲為股故也〉
　　全數十萬
　　丁丙邉外數十二
　　甲丙丁五十度角之正七六六○四　甲丁丙四十度角之正六四二七九得九又一百之十九為甲丁邉外數　得七又一百之七十一為甲丙邉外數〈甲乙二十二又一百之七十一甲丁九又一百之十〉自之幷得一萬之六○○二四三五開方得一百之二四四九即丁乙邉約之得二十五不足有三邉以求角則丁乙邉與全數若丁丙邉與乙角之正查得二十二度有竒
　　用割切兩線丁為心作甲己象限圏即丙丁為丙丁甲角之割線甲丙其切線也乙丁為乙丁甲角之割線甲乙其切線也甲丙丁角有五十度其形内有丁丙兩銳角有丁丙邉十二歩而求甲丁甲丙兩腰得甲丁九歩又一百之一十九甲丙七歩又一百之七十一以丙乙丙甲幷為甲乙邉二十二歩有竒則甲丁乙三角形有甲丁甲乙兩邉開方求丁乙底得二十四歩
　　半有竒
　　甲丁丙角割線一三○五四
　　丁丙邉外數十二
　　全數十萬　　　　　　甲丁邉角切線八三九一○得九又一百之十九為甲丁邉外數
　　有三邉以求角則甲丁邉外數與全數若甲乙邉外數與乙丁甲角之切線
　　甲丁邉數九歩一十九分
　　全數十萬
　　甲乙邉之數二十二歩七十一分
　　得二四七一一六為乙甲丁角之切線查得六十度五十分
　　三支所設為銳角解曰如丁乙丙角形乙銳角二十四度二十七分丁乙邉三十六歩乙丙邉五十二歩十五之十一一法用正數亦用開方從乙丙底之對角丁作垂線分元形為甲乙丁甲丙丁兩形次以丁為心丙為界作寅丙壬弧又以乙為界作辛乙庚弧夫甲乙丁角形丁乙為全數設乙角則甲丁為正甲乙又丁角之正用法求甲丁為一十五歩求甲乙為二十二歩又一十五之一十一則以甲乙减丙乙存甲
　　丙線二十歩依顯丁甲丙角形有丁甲一十五歩甲丙二十歩用開方法求丁丙得五歩末以三邉求甲丙丁角得三十六度五十○分
　　全數十萬
　　丁乙邉外數三十六
　　乙角之正四六六七　乙角之餘九○九○六得十五為丁甲邉外數　得二十三又十五之十一為乙甲邉外數丁丙邉二十五
　　甲丁邉十五
　　全十萬
　　得六○○○○為丙角之正查得三十六度五十五分
　　用割切兩線丁為心丁甲垂線為界作己甲午半圏丁
　　甲乙角形丁甲為全數丁乙邉為乙丁
　　甲角之割線甲乙其切線也又丁甲丙
　　角形丁甲為全數丁丙邉為丙丁甲角
　　之割線甲丙其切線也丁乙甲角形有
　　丁乙邉三十六歩有丁角為乙之餘角
　　六十五度二十二分用法求丁甲甲乙兩邉於丙乙减甲乙存二十為甲丙邉又丁甲丙角形有丁甲甲丙兩邉用法求丙角亦求丁丙邉
　　乙丁甲角之割線二三九九九九
　　丁乙外邉三十六
　　全數十萬　　　　　乙丁甲角之切線二一八一七三得十五為所求外丁甲　得三十二又十五之十一為外甲乙求角甲丁邉十五
　　全數十萬
　　甲丙邉二十
　　得一三三三三三為甲乙丙角之切線查得五十三度○七分求邉全數十萬
　　甲丁丙角之割線一六六六六五
　　丁丙邉十五
　　得二十五弱為丁丙邉
　　甲丙甲丁兩邉之正方實幷而開方得丁丙二十五弱第十六題〈四支〉
　　雜角形設兩邉及一邉之對角求餘邉餘角
　　一支不論角之體勢依邉與邉若角與角比例之法
　　先求乙角則丁乙為外一率其對角〈即丙角〉之
　　正為二率丁丙為外三率所得為乙角之正以丁二十五歩弱丁丙十二歩丙角百三十度列數得之丁乙邉二十五歩弱
　　丙一百三十度用五十度角之正七六六○四〈為一當大小兩弧〉
　　丁丙邉十二
　　得三七五○○為乙角之正查得二十二度○二分
　　幷乙丙兩角之度以减一百八十餘二十七度五十八分得丁角
　　次有角求丙乙邉則乙角之正與外丁丙若丁角之正與外丙乙
　　乙角之正三七五○○
　　丁丙邉十二
　　丁角之正四七○○○
　　得十五為丙乙邉
　　二支所設為鈍角〈數如前〉用所設兩腰間之丁角為心以丙以乙為界各作弧用正數如十四題第一圖丁丙乙鈍角一百三十度則甲丙丁角必五十度丙丁甲角必四十度〈甲直角故〉求甲丁邉用前法〈如一圖〉又甲丁乙角形有甲丁邉九歩又百分之一十九分丁乙邉二十四歩求甲乙丁角〈如二圖〉　又丁丙乙角形有乙角有丁丙乙
　　角依前法求丙乙邉〈如三圖〉
　　全數十萬
　　丁丙邉十二
　　甲丙丁五十度角之正七六六○四
　　得九又一百之十九為甲丁邉數
　　丁乙邉二十四歩半　乙角之正三七五○
　　全十萬　　　　　　丁丙邉十二
　　甲丁邉九歩又一百之十九　丙甲乙角之正四六八九六得三七五一為甲乙丁角之正　得十五為乙丙邉
　　用割切兩線甲丁為全數丁丙為甲丁丙角之割線甲
　　丙其切線也丁乙為甲丁乙角之割線
　　甲乙其切線也今有丁丙乙角一百三
　　十度餘角甲丙丁必五十度則甲丁丙
　　直角形有兩角有丁丙對直角之邉而
　　求甲丁邉
　　一圖
　　甲丁丙四十度之割線一三○五四一
　　丁丙邉十二
　　全數十萬
　　得九又一百之十九為甲丁邉外數
　　二圖
　　或甲丁丙角之切線八三九一○為三率
　　得七又半不盡為甲丙邉外數
　　三圖
　　甲丁邉九有竒
　　丁乙二四半
　　全數
　　得二六六五九四為甲丁乙割線查得六十七度二十三分〈乙角之度二十二度○十○分〉四圖
　　全數
　　甲丁邉九有竒
　　丙切線之較一六一三五
　　得十五為丙乙邉
　　又甲乙為甲丁乙角之切線甲丙為甲丁丙角之切線丙乙為兩切線之較則全數與甲丁邉若切線之較與丙乙〈如四圖〉
　　三支三角形有兩邉及銳角其二亦銳角如丁乙丙形有丁乙邉三十六歩丁丙邉二十五歩丁乙丙銳角二十四度三十七分丁丙為其對邉法用所設兩腰間之丁角作甲丁垂線至丙乙邉用正數丁為心丙為界作
　　戊丙弧乙為界作己乙弧即甲丁乙角形有丁乙邉有乙角可求甲〈丁甲乙兩〉邉〈如一二圖〉甲丁丙角形有甲丁丁丙兩邉可求丙角〈如三圖〉可求丙甲邉〈如四圖〉
　　一圖
　　全數十萬
　　丁乙邉三十六
　　乙角之正四六六七
　　得十五為甲丁邉外數
　　二圖
　　或乙丁甲角之正九○九○六為三率
　　得三十二又十五之十一為甲乙邉外數
　　三圖
　　丁丙邉二十五
　　全數十萬
　　甲丁邉十五
　　得六○○○○為甲丙丁角之正查得三十六度五十○分四圖
　　全數十萬
　　丁丙邉二十五○○○○
　　甲丁丙角正八○○○○
　　得十五為甲丙邉外數
　　用割切兩線丁乙為乙丁甲角之割線甲乙其切線也即甲丁乙角形有丁乙六十三歩乙角二十四度三十七分可求丁甲甲乙兩邉〈如一二圖〉又甲丙丁角形有甲丁丁丙兩邉可求
　　甲丁丙角甲丙邉〈如三四圖〉
　　一圖
　　乙丁甲角之割線二三九九九九
　　全數十萬
　　丁乙邉三十六
　　得十五為甲丁邉外數
　　二圖
　　或乙丁甲角之切線二一八二五一
　　得三十二又十五之十一為乙甲邉外數
　　三圖
　　甲丁邉十五
　　全數十萬
　　丙丁邉二十五
　　得一六六六七九為甲丁丙角之割線查得五十三度八分四圖
　　全數十萬
　　甲丁丙角之切線一三三四九
　　甲丁邉十五
　　得二十七又十五之四為甲丙邉外數
　　四支所設為銳角有兩邉其旁為鈍角
　　一法用正數如丁乙邉二十四歩半丁丙邉一十二歩乙銳角二十二度○二分丙為鈍角用第二支圖作丁甲垂線即甲丁乙直角形丁乙二十四歩可求甲丁甲
　　乙兩邉〈如一二圖〉甲丁丙直角形有甲丁丁丙兩邉可求甲丁丙角〈如三圖〉甲丙邉〈如四圖〉
　　一圖
　　全數十萬
　　乙丁邉二十四歩半
　　乙角之正三七五一五
　　得九歩又一百之十九為甲丁邉
　　二圖
　　或甲丁乙角之正九二六九七為三率
　　得二十二又一百之七十一為甲乙邉
　　三圖
　　丁丙邉十二
　　全數
　　甲丁邉九又一百之十九
　　得七六六○一為甲丁丙角之正查得五十度四圖
　　全數
　　丙丁甲角之正六四三○一
　　丁丙邉十二
　　得七又一百之七十五為甲丙邉外數
　　用割切兩線法與前同
　　第十七題
　　三角形有三邉求三角
　　三邉等則三角亦等各角皆六十度於一百八十度為三分之一或兩邉等如丁乙丁丙法從丁作丁甲垂線至乙丙底分本
　　形為甲丁乙甲丁丙兩角形而等何者丁乙丁丙兩腰等乙甲甲丙又等丁甲同腰則兩形必等〈一卷八〉即甲乙丁角形有丁乙腰乙甲半底依角與角若邉與邉用三率法求之先置各腰五歩乙丙六半之為乙甲三推得乙丁甲角倍之得乙丁丙角以减兩直角餘為乙丙兩角幷之數半之得兩角數為兩角等故
　　丁乙邉五
　　全數
　　乙丙邉三
　　得六○○○○為乙丁甲之正查得三十六度五十二分
　　甲丁乙三十六度五十二分即所倍乙丁丙為七十三度四十四分以减一百八十存一百○六度一十六分為乙丙兩角之幷數半之得五十三度○八分為乙丙兩角之各本數
　　或各邉不等如丁乙丙角形丁乙一十歩丁丙一十五歩丙乙一十八歩用丁角為心〈此角在兩小腰間〉丁乙為界作戊乙己辛圈而以丙丁邉引長至戊依五題求甲乙得五歩半甲丙得一十二歩半即甲丙丁直角形有丁丙甲
　　丙兩邉求得丙丁甲角〈如一圖〉因得甲丙丁角又甲丁乙直角形有丁乙甲乙求得甲丁乙角〈如二圖〉因得甲乙角又幷兩角得丙丁乙角亦得丙乙兩角為是丁上兩角之餘故
　　一圖
　　丁丙邉十五
　　甲丙邉十二半
　　全數
　　得八三三三三為丙丁甲角之正查得五十六度二十六分二圖
　　丁乙邉十
　　乙甲五半
　　全數
　　得五五○○○為甲丁乙角之正查得三十三度二十二分即丙角







　　新法算書卷八十七
<子部,天文算法類,推步之屬,新法算書>



　　欽定四庫全書
　　新法算書卷八十八　　　明　徐光啟等　撰測量全義二
　　第一題
　　平靣測遠〈三支〉
　　一支測兩物之能到者　一法曰甲乙
　　為地平靣上江河之廣或土田道里之
　　遠欲從甲測去乙幾何於甲角上平安
　　象限儀之心〈後言象限或言儀平安言安省文〉兩邊向
　　乙向丙作直角次從甲向丙行任取一十二步為丙㸃丙上再安象限邊向甲窺衡望乙交象限之周線于丁定丙角為四十八度成甲乙丙直角形此形有甲丙邊丙角而求甲乙邊法為全數與甲丙邊外數若丙角之切線與甲乙邊外數也算得一十三步又三之一為甲與乙平靣相距之遠〈象限儀法見本篇第三卷窺衡或作指尺義同〉二法曰丁乙為兩所不能作直角或不欲或地非平靣〈山水林木屋舍所隔〉則丁安象限邊向乙窺衡向丙定丁角為六十二度向丙行
　　任取一十二歩丙上再加象限邊向丁窺衡望乙定丙角爲八十度成丁乙丙角形此形有丁丙邊丁丙兩角自有乙角而求乙丁邊法乙角之正與丁丙邊外數若丙角
　　之正與丁乙邊外數算得一十九
　　歩又五之一爲乙與丁相距之逺丁
　　爲鈍角亦如之　三法曰或從丁向
　　丙線持象限前却取得甲直角是乙
　　丁為直角之對邊也法全數與外甲
　　丁若丁角之交線與外乙丁
　　四法曰若丁爲鈍角上安象限面移丁丙線外邊向乙衡向任取之丙表定戊丁丙角爲五十度以并戊丁乙直角得鈍角一百四十度末定丙角二十四度成丁乙丙角形此形有丙丁邊一丈二尺丙角二十四度法乙
　　角之正與外丁丙若丙角之正
　　與外乙丁得一丈七尺七寸
　　五法曰丁安象限邊向乙衡向任取
　　之丙表得二丈從丁直視過丙至己
　　任定丙己爲一丈以上安象限邊向
　　戊衡向丙令己角與丁角等末前却令戊過丙至乙作直線則丙己與己戊若丙丁與丁乙
　　論曰丁乙丙丙己戊兩角形相似何者
　　己丁兩角等丙上兩交角又等是形與
　　形相似〈六卷四題〉即相當邊之比例必等用
　　三率法丙己一丈為一率己戊三丈為次
　　率丁丙二丈為三率算得六丈為乙丁
　　六法曰甲乙為兩所從乙引長任取二
　　十步為丙又任作丙丁戊直線任取丙
　　丁二十五步丁安象限邊向乙衡向丙定乙丁丙角次持象限前却取戊令戊角與丁角等量丁戊得六十一步法丙丁與丁戊若丙乙與乙甲〈六卷二〉算得十二步又
　　一十五之四
　　不用布算法
　　七法曰乙丁為兩所乙安象限邊向任取之丙衡向丁得丁乙丙外角七十度次從丙乙直線上求戊令戊角半於丁乙丙角則戊乙與乙丁等
　　論曰丁乙丙外角與相對之兩内角等〈一卷三十二〉戊角半丁角亦半兩角等兩腰亦等
　　八法曰乙上安象限作六十度角次于乙丙直線上求丙亦作六十度角則乙丙與乙丁等
　　論曰乙丙兩角各六十度則丁角
　　亦六十度而乙丁丙為三邊等形
　　九法曰若乙丙短則向乙向丁求
　　甲直角得甲乙為乙丁之半
　　論曰丁乙甲直角形乙角既六十
　　度則丁角三十度因角與角之正若邊與邊是三十度之正全數之半也故乙甲為乙丁之半也十法曰任設乙角為四十度次以半周上餘度平分為七十度于乙丙線上前却令丙角亦七十度則乙丙與乙丁等論曰丙角為外角之半丁角亦半乙丙與乙丁兩線必等
　　用矩度法　用矩度者以器上小形當所測大形也如所測為甲乙則矩度之邊壬丙或己辛與甲乙平行其相當數為比例必等所設兩在邊為甲丙則矩度之邊壬辛或丙己與甲丙平行其相當數為比例必等〈一卷
　　二十九三十二題〉置法同前甲恒為直角
　　十一法曰一解窺衡交線〈後省曰交或曰視交〉在對角則丙甲與甲乙等
　　論曰丙己辛丙甲乙兩角形相似何
　　者兩形有己甲各直角同用丙角則
　　兩相似〈六卷四題〉而矩形丙己與己辛等
　　則丙甲與甲乙亦等二解視交在兩
　　所平行邊如戊則丙己與己戊若丙甲與甲乙論曰丙己戊丙甲乙兩角形相似何者兩形有己甲各直角同用丙角則兩形相似〈六卷四題〉而矩形之丙己與己
　　戊若甲丙與甲乙
　　三率法丙己一百分為首率己戊七十
　　分為二率丙甲一十五步為三率算得
　　甲乙十一步半〈兩所平行邊後省曰平邊〉
　　三解視交在兩測平行邊如丁則丁壬
　　與壬丙若丙甲與甲乙〈兩測平行邊後省曰立邊〉
　　論曰丁壬丙丙甲乙兩角形相似何者兩形有直角有相等之壬丁丙乙丙甲兩角在平行線内則相當線之比例必等　三率法丁壬六十分為一率壬丙百分為次率丙甲一十二步為三率算得二十步為甲乙
　　省算法　十二法曰交戊甲丙六十
　　步即于丙己邊自己至未取六十分
　　與甲丙比例等自未至視線作未子
　　為丙己之垂線從子作子午為辛己
　　之垂線得子午戊形戊午之若干分
　　為甲乙之若干步
　　論曰子午戊丙甲乙兩角形相似何者兩形各有直角
　　有相等之戊角與乙角則各邊之比
　　例等先作未己或子午與甲丙比例
　　等則戊午甲乙比例亦等　若交在
　　丁從壬至午取六十分作午子垂線
　　二支測兩所之不能到者
　　一法曰乙丙為兩所俱不能到獨甲
　　可到即於甲上立表令甲乙丙為直
　　線安象限邊向乙向丁行至丁得若干步安象限于丁邊向甲衡以次向乙向丙成甲丁丙甲乙丁兩直角形甲乙丁角形有甲丁邊丁角可求甲乙邊〈本書首卷十二題二解〉甲丁丙角形有甲丁邊丁角可求甲丙邊末以甲乙减甲丙所餘乙丙用切線可求乙丙邊如甲丁二十四步乙丁甲角三十四度丙丁甲角四十八度則甲丁為全數而甲乙為甲丁乙角之切線甲丙為甲丁丙角之切線兩切線之較為乙丙用三率法全數一甲丁二十四步二切線較三算得一十步一十五之七為乙丙
　　二法曰乙丙為兩所直線上更
　　任取兩所如丁如庚次作庚壬
　　線任取壬㸃安象限邊向丙窺
　　庚定壬角之度次辛㸃上安象限向乙向庚游移令辛角與壬角等次戊安象限向丁〈乙丙直線上〉向庚游移令戊角與壬角亦等未量壬辛戊庚及庚丁各幾何用三率法與戊庚與辛壬若庚丁與乙丙
　　三法曰乙丙直線上任至一處如庚庚上安象限邊向乙丙窺丁定丁庚乙角之度又從庚丁直線上至戊戊
　　上安象限作庚戊己角與丁庚〈乙角〉等即
　　戊己線與丙庚平行次于巳上窺過丁
　　到丙戊己之間游移窺過丁到乙得辛
　　則戊丁與辛己若丁庚與乙丙
　　論曰丙乙丁辛己丁兩角形相似戊辛
　　丁乙庚丁兩角形亦相似則各邊之比
　　例自等
　　省算　四法曰乙庚為兩所直線上取甲安象限作乙甲丁直角行至丁安象限邊向甲窺乙窺庚作甲丁乙甲
　　丁庚兩角次甲乙直線上尋戊作
　　甲戊丁為乙丁甲之餘角尋巳作
　　甲己丁為甲丁庚之餘角則得戊
　　己與乙庚等
　　論曰甲乙丁甲戊丁兩形等何者
　　戊為甲丁乙之餘角則與乙角等
　　同用甲丁邊故兩形等依顯甲庚丁甲丁己兩直角形亦等夫庚甲甲己既等减相等之甲乙甲戊所存戊己乙庚亦等
　　五法曰甲丁直線上取戊安象限窺乙
　　作戊角為四十五度丁上窺庚亦令丁
　　角為四十五則戊丁與乙庚等〈戊甲乙為直角〉論曰丁戊各半直角則庚與乙亦如之
　　甲丁甲庚必等又甲戊甲乙亦然減相等之甲乙甲戊
　　則所存亦等
　　六法曰若庚乙丁戊兩線上所得角未
　　眞則于乙庚線上取丙安象限作六十
　　度角丙丁線上尋戊尋丁望乙望庚作
　　戊丁二角各六十度則戊丁與乙庚等
　　論曰丁丙庚角形之三角同為六十度乙戊丙亦如之減相等之戊丙乙丙所存丁戊乙庚自等
　　七法曰置丙角六十度令戊丁為
　　兩直角則戊丁為庚乙之半
　　論曰庚丙丁乙丙戊兩直角形有
　　丙角六十度乙角必三十度因邊與邊若角與角之正則三十度之正戊丙為全數乙丙之半又庚丙為全數丁丙為庚角之正視全數亦半庚丁乙戊既平行則庚丙與丁丙若乙丙與戊丙分之乙丙與戊丙若庚乙與戊丁戊丙為乙丙之半則戊丁亦乙庚之半八法曰若丙為鈍角則以丙角之餘度平分之次于丙丁線上尋戊尋丁各作丙角餘之半則戊丁與乙庚等
　　論曰乙丙戊庚丙丁兩角形相似乙戊庚丁四角等則邊亦等減相等之戊丙乙丙所存
　　之戊丁乙庚亦等
　　用矩度
　　九法曰庚向乙直線上行取甲
　　甲上安矩度作甲丁垂線行至
　　丁得若干步安矩度邊向甲窺
　　乙與庚各交矩度邊　一解交
　　乙庚平行邊于己于戊則丁壬
　　與戊己若丁甲與乙庚〈戊己與乙庚平行故曰平行邊〉
　　論曰己丁壬庚丁甲兩直角形同用丁角則相似是丁壬與壬己若丁甲與甲庚又丁壬戊丁甲乙兩直角形同用丁角亦相似是丁壬與壬戊若丁甲與甲乙更之丁壬與丁甲若壬戊與甲乙夫壬戊甲乙乃壬己庚甲兩全内所取之分也〈五卷十一〉則所餘戊己與乙庚若壬己與甲庚亦若丁壬與丁甲矣
　　三率法丁壬一百分為首率戊己四十分為次率甲丁六步為三率算得二步又十分之四為乙庚
　　二解交立邊于午于子
　　論曰午丁辛丁庚甲兩直角
　　形相似以求甲庚邊子辛丁
　　丁甲乙兩直角形相似以求
　　甲乙邊庚甲内減甲乙較為乙庚
　　省算于丁壬邊取丁寅之分數如丁甲之步數〈每步取一分或二或三俱得〉寅上作垂線交兩視線于酉于卯則卯酉之分數為乙庚之步數
　　論曰卯寅丁庚甲丁兩形相似酉寅丁乙甲丁兩形亦相似卯寅内減酉寅庚甲内减甲乙則丁寅與卯酉若丁甲與庚乙
　　三解互交兩邊于己于戊先求甲庚次求甲乙甲庚内減甲乙餘為乙庚邊其求甲庚為丙己與丙丁若甲丁
　　與甲庚求甲乙為丁壬與壬戊
　　若甲丁與甲乙　省算丁壬邊
　　上取丁寅之分數如甲丁之步
　　數寅上立垂線交兩視線于午
　　于子則午子之分數如乙庚之步數
　　三支物莫能到復不能作線與㕘直
　　一法曰乙己兩物不能到復不能向
　　乙己作直線則于甲上安象限邊向
　　乙窺己成甲乙己角〈形向丁次〉行至丁得
　　若干步上安象限邊向甲窺乙成甲
　　丁乙角形復窺己成丁乙己角形若
　　乙甲丁形有丁角為三十八度丁甲
　　十步而求甲乙邊法為全數與外甲丁邊若丁角之切線與外甲乙邊算得七步又六十之四十九〈若甲非直角則定其角之度〉次己甲丁形有丁甲十步丁角七十七度甲角六十五度而求甲己邊法為己角之正與外甲丁邊若丁角之正與外甲己邊算得一十五步又六十之四十九次甲乙己角形有甲角甲乙邊七步又六十之四十九甲己邊一十五又六十之四十九而求乙己邊即從乙到戊作垂線分本形為兩直角形其甲乙戊角形有甲角二十五度甲乙七步有竒而求甲戊邊法為全數與外甲乙邊若乙角之正與外甲戊邊算得七步又六十之五次求乙戊邊法為全數與外甲乙邊若甲角之正與外乙戊邊算得三步又六十之一十八末于甲己内減甲戊餘八步又六十之四十四為戊己其乙戊己角形有乙戊戊己兩邊以句股法求之得乙己九步有竒
　　二法曰任内丙表安象限邊向乙窺巳
　　定己丙〈乙角〉之度丙乙直線上取丁安象
　　限邊向己窺過丙到乙定己丁丙角為
　　己丙乙角之半又於己丙直線上取戊
　　安象限邊向乙窺丙到己令乙戊丙之角為丙角之半則得丁戊與乙己等
　　論曰丙丁己角為乙丙己外角之半則己角亦半夫角等者腰亦等則己丙與丁丙等乙戊丙角為乙丙己外角之半則乙角亦半而乙丙與丙戊等夫乙丙己丁丙戊兩形之兩腰等兩腰間角等則乙己與戊丁兩底亦等
　　第二題
　　斜靣測遠〈三支〉
　　一支不論根之能到與否
　　一法曰乙甲為山之髙其坡乙丙欲測坡若于于丙或左或右置象限作直角一邊向丁至丁上置象限邊向丙窺乙令丁為四十五度角則得丙丁與乙丙等
　　論曰乙丁丙直角形丁角四十五度則乙角亦四十五度丁丙乙丙各等角之對邊也必等
　　二支根之能到者　二法曰置丙
　　象限邊向甲根窺乙定丙角之度
　　此形有甲丙邊丙角而求乙丙邊
　　法為全數與外甲丙若丙角之割
　　線與外乙丙　三法曰丙甲直線上求丁置象限令其角為乙丙甲角之半則丙丁與乙丙等
　　四法用矩度
　　一解曰表在丁窺交平邊于辛為
　　辛庚與辛丁若甲丁與乙丁
　　二解曰表在丙窺交為對角線依
　　句股法丙甲自之倍之開方得
　　三解曰表在戊窺交立邊于己為
　　戊寅與戊己若甲戊與戊乙
　　五法省算矩邊從丁到午取分數
　　如丁甲之歩數立午子垂線成午
　　丁子角形與甲丁乙形相似則丁子之分數為乙丁之步數從戊亦如之
　　三支根之不能到者　六法曰丙
　　丁直線上用象限兩次于丙于丁
　　成乙丙丁形此形有丁丙邊丁丙
　　兩角用正法得乙丙邊
　　七法曰以意置乙甲垂線用丁乙
　　甲丙乙甲兩角之切線較為一率
　　外丁丙為次率丙乙甲之割線為
　　三率所得為外率乙丙〈或丁乙甲交線為三〉
　　〈率所得四率乙丁〉
　　用矩度〈八法〉一解交平邊法曰在丙交辛於甲丙直線上退至丁得若干步而交己則己辛與辛丁〈即辛丙〉若丁丙與丙乙
　　論曰壬辛丙角形與甲丙乙角形相似丁己壬角形與乙丁甲角形相似于壬己減壬辛甲丁減甲丙則丁丙與己辛相似
　　二解交立邊法曰在丙交辛退丁交己則于矩靣上作子午線與丁戊平行截辛丁線〈即辛丙〉于子遇己丁線于
　　午成子午丁角形與丁丙乙角形相
　　似則子午與子丁若丁丙與丙乙或
　　矩靣外作辛庚線與丁戊平行則庚
　　辛丁形與乙丁丙形相似是庚辛與
　　辛丁若丁丙與丙乙次求辛丁線法
　　以辛戊戊丁各自之并而開方得所
　　求次求辛庚線法己戊與戊丁若辛
　　己與辛庚為丁己戊辛己庚兩直角
　　形有庚丁兩角在平行線内即相似故
　　論曰丁午子丁丙乙兩形相似葢子午丁午丁戊為平行線内相對之兩角等辛子午辛丙壬兩角等〈在平行線内〉則乙丙丁辛子卯兩餘角自等辛子卯午子丁兩交角
　　亦等既兩形之各角俱等即各邊自
　　相似　省算取子午之分數為丁丙
　　之步數
　　三解互交法曰在丙交辛在丁交己
　　以平邊引長之遇于庚成庚辛丁角
　　形則庚辛與辛丁若丁丙與丙乙
　　論曰庚辛丁乙丙丁兩角形相似葢辛庚丁丙丁乙相對之兩内角等壬辛丁角與甲丙乙角等其餘角庚辛丁乙丙丁自等故庚辛與辛丁若丁丙與丙乙第三題
　　望高測遠
　　一支平靣上有餘地　一法曰甲乙為
　　山或樓臺而直線不能至甲欲借乙頂
　　測丙與甲相距之遠則於丙上置象限
　　定角度却從丙到丁得若干步置象限
　　定角度乙丙丁角形有丁丙邊丁丙兩角可求乙丙邊有乙丙邊而求甲丙邊法為全數與乙丙邊若乙角之正與甲丙邊
　　二法用切線乙為心甲為界作甲己戊弧而得甲乙丙甲乙丁兩角切線之較則丙丁切線較與外丙丁步數
　　若甲丙切線與外甲丙步數
　　三法曰丙外不能作直線則或左或右
　　作丁丙乙直角行至丁置象限求作四
　　十五度角即丙丁得三十一步又三十
　　之二十三以乙丙為全數丙丁為丁乙丙角之切線丙甲為甲乙丙角之正是丁丙切線與外丁丙之步數
　　若丙甲正與外甲丙之步數
　　四法省算丙上置象限定乙丙甲角六十四度退至丁定其角三十二度為丙角之半却于地平靣之丙丁線上作丙丁戊角
　　與甲乙丙角等為二十六度丁戊線上求戊作直角則丙戊之步數即甲丙之步數
　　論曰丁戊丙甲丙乙兩直角形有丁乙兩角等乙丁丙為乙丙甲外角之半即丁乙丙角亦半而丁丙乙丙兩
　　腰必等丙丁戊形與甲乙丙形有
　　等角有同邊即丁戊與甲丙必等
　　用矩度　五交平邊法曰丙上立
　　矩度成午壬丙形與甲乙丙形相
　　似丁上立矩度成午己丁形與丙
　　丁乙形相似則己午與壬午若丁
　　丙與甲丙
　　六交立邊法曰在丙交午在丁交
　　己則午己與己壬若丁丙與丙甲
　　論曰試從己作己戊線與午丁平行即午壬丁形〈即午壬丙〉
　　與甲乙丙形相似而午壬丁己壬戊
　　兩形亦相似己壬丁甲乙丁兩形亦
　　相似夫戊己壬形之壬戊為小甲丙
　　己丁壬形之丁壬為小丁甲丁壬之
　　内減戊壬丁甲之内減甲丙則戊丁
　　小丁丙也午己與己壬既若丁戊與
　　戊壬必若丁丙與丙甲矣
　　七互交法曰在丙交戊在丁交午即以壬戊邊引長之遇丁午線于子成子戊丁角形與乙丙丁相似則子戊與戊壬若丁丙與丙甲
　　論曰甲乙丁午己丁兩形相似午己丁丁壬子兩形亦相似則丁壬子甲丁乙兩形亦相似夫壬戊丙形〈即壬戊丁〉與甲乙丙形原相似是壬子當甲丁壬戊當甲丙即戊子當丁丙矣戊子與戊壬不若丁丙與甲丙乎矩靣加庚午衡線同上論
　　二支平靣上無餘地　一法曰甲不可到丙外復無餘
　　地則立表柱于内權線取直上丁下丙
　　各置象限定丁丙兩角成乙丙丁形此
　　形有丁丙邊有角則乙角之正與外
　　丁丙若丁角之正與外乙丙〈如丁為鈍角無〉
　　〈正則以餘角之正〉次甲乙丙形有乙丙邊有角則全數與外
　　乙丙之步數若乙角之正與外甲丙
　　之步數
　　用矩度　二法一解交立邊在丙交己
　　成己壬丙形與甲乙丙形相似在丁交
　　辛成己辛丁形與乙丙丁形相似則己辛與丁壬若丙丁與甲丙
　　論曰丁壬邊引至庚得庚丁與甲丙平行夫己壬當乙甲辛壬當乙庚則辛己丁丙皆當甲庚
　　二解交平邊在丙交
　　己在丁交辛則以丁
　　己戊庚兩邊各引長
　　之遇于寅截丁乙視
　　線于子而成寅子丁形與乙丁丙形等角又成寅庚己形與甲乙丙形等角則各相似而寅戊丁形亦與寅庚己形相似則寅子與戊丁若丁丙與丙甲
　　三解互交平邊交己立邊交未則以丁己戊庚兩邊各引之遇于寅因前論寅未與戊丁全邊若丁丙與丙甲五法曰省算于矩面上兩視線内加一直線與丁丙平行其分數等如申酉則丁酉之分數為丙甲之步數第四題
　　對坡測遠
　　法曰有高為甲乙于對坡丙上見乙戊欲測甲丙相距
　　幾何於丙置象限向戊向乙向
　　丁定戊丙乙乙丙丁兩角之直
　　次步於丁置象限向乙向戊向
　　丙定乙丁戊戊丁丙兩角之度
　　末引長丁丙線遇乙戊線于甲
　　而成角形四曰乙丙丁曰戊丙丁曰乙丙戊曰甲乙丙其乙丙丁形有丙丁邊丁丙兩角可求乙丙邊戊丙丁形有丙丁邊丁丙兩角可求戊丙邊乙丙戊形有乙丙戊丙兩邊有丙角可求丙乙戊角末甲乙丙形有乙丙邊乙丙兩角即得甲丙邊
　　如在丙作甲丙乙角四十八度甲丙戊角三十六度在丁作甲丁乙角三十八度甲丁戊角二十八度丁丙為一十步即乙丙丁形有丁角三十八度丙角一百三十二度〈甲丙乙四十八度之餘角〉乙角一十度而求乙丙邊則乙角之正與外丙丁之步數若丁角之正與外乙丙得三十五步又四五四○戊丙丁形有丁角二十八度丙角一百四十四度戊角○八度而求戊丙邊則戊角之正與外丁丙之步數若丁角之正與外戊丙得三十三步又九千七百九十○戊丙乙形有乙丙戊丙兩邊丙角一十二度而求乙角則作戊辛垂線至乙丙邊其全數與外戊丙三十三步又九七九○若戊丙乙角之正與戊辛〈七又○六三〉亦若戊丙乙角之餘與辛丙〈三三一四〉于乙丙三十五又四五四○内減辛丙三十二餘二又三一四○為乙辛夫乙戊辛直角形有乙辛戊辛兩邊而求乙角為乙辛與全數若戊辛與乙角之切線得二八六三九五查角之度為七十度四十五分末甲乙丙形有乙丙三十五又四五四○有乙角丙角則甲角必五十八度五十八分而求甲丙則甲角之正與乙
　　丙邊若乙角之正與甲丙邊得
　　四十一步又三七六一〈一萬分為步〉值丙在坡下法與前同

　　第五題
　　登髙測遠
　　一支測根與他物之遠
　　一法曰登乙山欲測甲根與丙相距之遠乙置象限向
　　丙成甲乙丙直角形先得甲乙若干有
　　角可得甲丙邊
　　二法曰用矩度交立邊為壬辛與全邊
　　若乙甲與甲丙交平邊為全邊與壬
　　辛若乙甲與甲丙
　　二支測兩他物之遠　三法曰乙山
　　上欲測丙與丁相距之遠乙置象限
　　作甲乙丙甲乙丁兩直角形用正
　　法求甲丙復求甲丁以甲丙减甲丁
　　所餘為丁丙邊若用切線為全
　　數與外甲乙若丁乙甲丙乙甲
　　兩切線之較與外丙丁
　　四法曰用矩度交平邊則乙壬
　　與己辛若乙甲與丙丁〈一圖〉交立邊則壬辛與壬乙若乙甲與甲丁〈二三圖〉又壬己與壬乙若乙甲與甲丙〈三圖〉次以
　　甲丙减甲丁餘丁丙為兩邊之較若先
　　求甲丙則乙壬與壬己若乙甲與甲丙
　　〈三圖〉又壬辛與壬乙若乙甲與甲丁〈三圖〉
　　三支不知高欲測根與他物之遠　五法曰不知甲乙高欲測根與丁相距之遠于戊于乙兩置象限各向丁成甲乙丁甲戊丁兩形以乙丁甲戊丁甲兩角切線之較為一率外乙戊為二率全數為三率所得四率為外
　　甲丁相距之遠
　　六法曰兩交平邊于
　　己于辛〈一二圖〉引長壬
　　庚邊遇乙丙戊丙兩
　　視線于寅于癸則乙壬當甲丙乙癸當丙戊乙寅當乙丙又壬癸當甲戊壬寅當甲乙則癸寅與乙壬若乙戊與甲丙
　　兩交立邊于辛于己〈三四圖〉則己辛當戊乙己壬當戊甲餘如前　互交兩邊于己于辛〈二三圖〉引長壬庚邊遇乙丙視線于癸則辛癸當乙戊辛壬當戊甲餘如前
　　四支　七法曰乙戊上兩置象限
　　各向丙向丁成乙丙戊乙丁戊丁
　　乙丙三形乙丙戊形有乙戊邊乙
　　戊兩角可求乙丙邊乙丁戊形有
　　乙戊邊乙戊兩角可求乙丁邊末丁乙丙形有丁乙乙丙兩邊乙角可求丁丙邊
　　八法曰在髙處其對山有二坡欲測
　　其相距之遠法以丙丁變乙戊反用
　　之〈查四題一圖〉義同前但甲角或鈍或鋭
　　異耳
　　第六題
　　測髙之廣
　　法曰有室欲量其簷廣如丁乙先于丙求丙丁乙丙兩
　　斜線次向丁向乙定丁丙乙角而成丙
　　丁乙形此形有丙角丙丁乙丙兩邊可
　　得丁乙邊


　　第七題
　　測髙三支
　　解曰凡測高以架承測器距地面若干所得高器以上之高也加距地度得全高或手持測器加目至地之度
　　一支其底之能到者　一法曰人立
　　丙欲測甲乙山之髙其底能到目在
　　丁測立象限望乙成戊丁乙直角形
　　此形有丁戊步數有丁角為全數與外丁戊若丁角之切線與外乙戊加甲戊得甲乙全高用正法亦如之
　　二法曰於甲丙底線上從丙向甲
　　或前或却側立象限令丙為四十
　　五度角得甲丙與甲乙等
　　三法曰任得丙角後於地面丙上
　　立象限作甲丙戊直角于戊平置象限令戊角與乙角等〈丙餘角即乙角〉則甲乙丙甲戊丙為兩相等形而丙戊之遠即甲乙之高〈側置後省曰立〉
　　用矩度立矩度以測高立邊當高平
　　邊當遠用三率法視交在立邊則全
　　邊與交邊若遠與高在平邊則交邊
　　與全邊若遠與高
　　四法曰在丙交平邊于己己壬得五
　　十分甲丙五步則己壬五十與全邊百若五與甲乙之十在丁交立邊于戊戊庚得八十分則丁庚全邊與戊庚之八十分若甲丁一十二步與甲乙之九步○六分依在丙法或前或却以定其分如五十半也二十五四分之一也五二十之一也欲測高而平邊得五十則高倍遠得四之一則高四倍于遠反之則髙一遠四二支其底之不能到者
　　五法曰甲不可到丙外又無直線
　　丙上立象限定乙丙甲角次轉器
　　向乙向丁命作丙左右兩等角次
　　丙丁上進退求丁安象限向乙向丁命作丁直角則乙丙丁乙丙甲兩形等丙丁當丙甲乙丁當甲乙
　　六法曰丙外無餘地上立象限作甲
　　丙乙角從丙至丁任若干步加象限
　　定甲丁乙角正切線任用之
　　用矩度以所測高為底法與測遠同
　　七法曰截髙如乙甲求若干以測遠
　　法反用之底不能至亦如之
　　三支非平行非高之底
　　八法曰甲乙高人在丁更高測法立
　　象限作丙丁乙丙丁甲兩角其甲丙
　　丁直角形有丁丙邊丁角可求甲丁
　　邊次丁乙甲角形有甲丁邊丁甲兩
　　角可得甲乙邊或先得甲丙以丁為心作丁戊線與甲
　　丙平行戊為界作弧丁戊為全數以
　　乙丁戊甲丁戊兩角之切線較求之
　　九法曰甲乙高人在戊次高求測之
　　先求甲丙因成戊乙甲形依地平作
　　戊丁線與甲丙等分乙戊甲為乙丁戊甲丁戊兩直角形各有戊丁邊有乙戊丁丁戊甲角以求乙丁甲丁并之得乙甲象限矩度任用
　　第八題
　　因遠測高
　　一法曰知甲丙之遠乙上立象限作甲
　　乙丙形測之
　　二法曰不知甲丁之遠山上求樹求屋
　　作乙丙垂線各向丁立象限成乙丙丁
　　形意置甲丁地平平行線引乙丙垂線至甲正切線任用測之〈亦重表法〉
　　三法曰在山上知丙丁之遠測乙甲高
　　乙立象限成乙丙丁形意置乙甲垂線
　　及甲丙地平平行線正切線任用
　　測之
　　四法曰丁高之上欲測乙戊先求甲
　　丙次作丁戊乙形測之
　　五法曰次高戊上測最高乙甲于丁
　　戊上各立象限成戊甲丁丁甲乙兩形測之
　　第九題
　　測井之深
　　深者立遠也去人而近地心測深與測高通人在物底為量高在物頂為量深
　　一法曰測井從口一邊垂線至底或
　　視口廣狹從口邊投之以石至底作
　　旋渦定其處如甲戊丙丁井甲戊口
　　丁丙底投石作旋渦得乙為視線之界戊立象限向乙
　　成甲戊乙直角形有甲戊邊戊角得
　　甲乙之深
　　二法曰不知井口于口邊立表表端
　　加象限作甲丁乙形測之
　　第十題
　　登山測谷之深
　　一法曰丁乙丙谷在於欲測甲乙之深于丙于丁各立象限成甲丙乙甲丁乙兩形測之
　　二法曰丙可到丁于丁于丙立象限
　　成丁丙乙角形有丁丙兩角有丁丙
　　邊用切線較得之





　　新法算書卷八十八



　　欽定四庫全書
　　新法算書卷八十九　　　明　徐光啟等　撰測量全義卷三
　　取地平線法　増題一
　　凡測髙深廣逺必用直角者以小句股求大句股也地平為句所測髙為股股者垂線也垂線之末加權焉以定地平有本器本論今用象限與矩度則於器心施權線平直相切於象限之邊其表邊所向之處别立他表則他表與器之心為平行線如
　　一圖甲乙為物髙丙上加器表邊在上旁以
　　權線凖之從丙直視至甲定甲為他表則
　　甲丙線為地靣上平行線何者垂線從天
　　頂向地心與地靣上平線為直角故也
　　若道里相距太逺難定其髙下之較何
　　者地靣為地球之一分分也逺則目
　　與物為背所隔不相及矣法以相距
　　之逺分為若干分每兩分定其髙下之
　　較末以各較加減之得總髙下之較如
　　二圖甲乙相距四里許乙上加器别
　　立丙表令乙與丙等髙丙上加器别
　　立丁表令丙與丁等髙丁上加器望
　　甲令甲與丁等髙次量各表距地各
　　幾何加減之得甲乙之較
　　值兩地之間為山城所隔如三圖量
　　乙距丙幾何令乙與丙平丙之表端
　　為丁距戊幾何令丁與戊平戊下取
　　己與丙平戊己距庚辛表幾何定己
　　與庚平戊與辛平庚辛距壬癸表幾何令辛庚與壬癸平從壬癸望甲令癸與甲平次以丁丙己戊并庚辛壬癸并兩數相減餘為兩地髙下之較如近乙之丁丙與己戊并多於近甲之庚辛與壬癸并則乙下而甲髙深淺反之
　　若山城中窮于用器則于山腰用之又别有簡法曰山頂戊用器求甲與乙之深兩數之較則髙下之較〈四圖〉
　　如在乙欲測甲髙乙上用器令乙與丁平則量丁乙之逺而求甲丁之深〈五圖〉
　　矩尺測量法　増題二
　　法曰如一圖欲於丁測甲乙之髙丁上立表表端為山
　　口矩尺之直角加焉以己戊
　　尺向髙際乙稍移就之令己
　　戊乙為直線次從戊己尺上
　　依直線向地平得丙成丁戊
　　丙甲乙丙相似兩形則丙丁與丁戊若丙甲與乙甲以髙求逺則戊丁與丁丙若乙甲與甲丙
　　若據髙求逺如二圖丁丙與戊丁若戊
　　丁與丁乙若因逺求髙則戊丁與丁丙
　　若乙丁與戊丁　論曰戊丁乙戊丁丙
　　兩形有丁直角丁丙戊丙戊丁并為一
　　直角丙戊乙亦為直角兩角内減丁戊
　　丙角餘戊丙丁丁戊乙兩角等夫直角形有兩角等即形相似則丙角之對邊戊丁也乙戊丁角之對邊丁乙也其比例必等
　　求井之深則於井口邊甲上
　　立表向井底乙向地平之丁
　　成甲丁丙丙戊乙兩形相似
　　是丙甲當廣甲丁當深也
　　測極逺别法　増題三
　　兩郡邑相距太逺以髙求逺表法為
　　窮則用四表遇地靣不平四表法又
　　窮别法每邑取一髙若山巔若樓䑓
　　若林木俱可或并為諸物又地平為
　　他物所礙則又窮當於氣清日朗風恬時燒狼烟直上作兩處之表次于近山之頂取甲取乙甲山上加象限
　　向所測之丁與丙又向乙山定丙甲
　　丁乙甲丁兩角乙山上加象限向甲
　　向丁向丙定丁乙丙甲乙丙兩角夫
　　甲乙丙形有甲乙邊乙甲兩角可求
　　甲丙邊甲乙丁形有甲乙邊甲乙兩
　　角可求甲丁邊未甲丁丙形有甲丙
　　甲丁兩邊可求丁丙相距之逺若一次不能測則分測之如以甲乙測丁丙以乙辛測丙戊以辛庚測戊己
　　量髙逺深　増題四
　　用方木表承以鼎足之跗垂權取直表端以下一尺或五寸用一十或一百平分之下作方孔長寸許廣三分貫以横表游移無定亦以十或百平分之縱横作直角
　　解曰如一圖欲測甲乙之髙丙上立
　　表横表游移令丁戊乙為直線成丁
　　戊己丁乙庚兩相似形即丁己若干
　　分與己戊一百分若丁庚與乙庚加甲庚得全髙
　　以髙求逺則戊己一百分與丁己若
　　干分若乙庚與庚丁減丁己得甲丙
　　逺物在下目在上如二圖令戊丁丙
　　作直線則戊己與己丁若戊甲與甲
　　丙
　　若無髙求逺則用重表如三圖以丑
　　壬兩測之較當庚癸相距之逺
　　髙上測髙用重表再測但須定表横
　　用游表直用在丙得己丙在丁得丁
　　戊其較庚己以當丙丁横表己辛
　　以當甲乙
　　在一髙測兩下在丁向乙向丙定
　　横表之兩數則丁戊當丁甲戊辛
　　當甲丙己辛當乙丙己戊當甲乙
　　用五圖以逺求髙其理亦同以逺
　　求深或井口上立柱用四圖以井
　　口之度求深用二圖
　　造象限儀法〈篇中或省曰象限或曰儀〉
　　用銅或木板作圏四分之一去板邊三分作甲乙直線平靣中任取丙為心甲為界作甲丁虚圏交甲乙線于戊從戊過丙作直線交甲丁圏于丁從甲至丁作直線
　　成丁甲乙直角〈幾何用法〉次以甲為心去
　　版邊一二分取乙為界作乙庚圏即
　　四分全圏之一象限也圏限外餘版
　　剡去之次離乙庚弧以内約二分作
　　相似弧兩弧間平分各度分又同前作相似弧兩弧間識其十度或五度從庚從乙皆可起算互用之庚後作小孔貫以權線至甲〈若作兩指尺可不用權線〉
　　窺衡一名指尺銅為之首為小圜徑
　　三四分從心出直線名指線以定度
　　分所至也廣三分厚一分長與象限
　　之半徑等上設二表一近心一近秒秒以鉤鉤象限邊令游移而不脫表形方髙廣約四三分中作直線鑢通之下為小孔表之下端為半枘入尺中令兩表之前後兩縫兩孔皆相對不爽毫髮于指線為垂線象限邊上亦設二表如上法葢測量法每用兩指線以定兩測所
　　在也或作兩指尺同心同線可定可
　　移尤便
　　如圖以木為架上為半圏兩端開山
　　口深三四寸以受象限
　　用象限法
　　架口受象限之甲乙邊以庚甲線取
　　平焉儀靣正對所測物從窺衡覷物
　　與指線相參直得指線如弧所當度
　　分則從乙至指線者地平上之髙也從指線至庚距天
　　頂之髙也
　　次法以架口受象限之弧
　　甲心上别用權線下垂過
　　弧甲庚邊上立表游移覷
　　表與物參直審權線之度
　　定物之髙從乙角起者地
　　平上之髙也從庚角起者
　　距天頂之髙也
　　三法若地或平或欹則别作圓轉之架上端為球空大半作實球與空球等入空中鐡枘指外徑二分長寸許
　　旋轉廻斡不出大球之口空球旁加螺
　　旋三具俟實球之體定而固之　儀後
　　靣中心作孔受實球之枘用時以枘入
　　孔轉儀得其靣與所測物為直線以螺
　　旋固之
　　象限之用有二一定儀如首圖其一邊與地平為平行線以窺衡定地平上之度一游儀如二圖用權線其理同也何者游表邊與定衡同向一物作平行線定儀之立邊與游儀之權線作平行線則窺衡與立邊所作角表邊與權線所作角等弧亦等
　　造矩度法
　　用銅木板作正方直角形如象限法任用一角為心兩
　　旁作直角兩線如甲乙甲丙次用元
　　度乙丙各為心各作小弧交于丁次
　　作丙丁乙丁兩線成甲乙丙丁正方
　　形各邊作一百分毎對邊分以直線
　　相聮成網目形器小每五分十分作
　　直線器大更細分之
　　角止作心加窺衡加權線任用架具於前
　　定儀于立邊書髙深平邊書逺游儀于表旁邊書逺對
　　邊書髙深以便别識
　　約法象限弧之内空作矩度其窺衡
　　指線上分即矩度邊之分是指線當
　　權線也為用殊大若欲取最小之分
　　則加兩窺衡兩指線相合為一線用時分指焉安衡法管端之小圜心開圓孔象限心則方孔為螺柱當圓為圓當方為方末圓而加螺旋焉仍以螺旋固之分象限法先三分之用元度庚乙兩角各為心取庚辛乙寅得庚寅寅辛辛乙為三分而等各又三分之為九分又各半之為十八大分取四大分又五分之用元度毎大分之界為心左右參差定㸃毎大分中各有五小分得九十平分度也或取六大分作五分亦同〈論見幾何用法〉分矩度法先平分之又平分之又各五分之為二十大分取四大分五分之或取六大分五分之共得百平分
　　造小象限法
　　正方版一角為心作象限之弧弧外
　　兩邊二平分之又三平分之至四至
　　五六七八九十各平分用界尺從心
　　至各分為界弧上作踈宻線線以内
　　書各分其弧外餘板去之加權線與矩度同用
　　用法　以表向物如前遇權線截弧表之旁則髙多逺少截表之對邊則髙少逺多如截表旁為二分則逺一髙二截五分則逺一髙五反之則髙一逺二逺一髙五說見二卷矩度法中
　　又法以甲乙邊當一百依前法分乙戊弧為一百不平分若權線至己則股一百句五十也至辛則股一百句一十也轉用之權線至庚則甲丁股一百句五十也













<子部,天文算法類,推步之屬,新法算書,卷八十九>
<子部,天文算法類,推步之屬,新法算書,卷八十九>
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　　法用平版如几案置儀其一端儀之心以當兩測之初所定儀用㳺表左右遷移令二表與次所相叅直即于兩表間作一線名曰主線主線之左右視所繪之物令與兩表相叅直即如前作線虚記本物之名號次用指南針定其方向又各兩線中間書其度分之數畫訖至次所置儀於版之他端以儀心加主線之上主線與初所相叅直令初測之儀心在兩所之間也定儀如前用兩表視所繪之物各作線審方注度即每物各有兩線在圖版之上必相遇相遇之㸃乃實註本物之名號末去各線成所求作圖
　　若欲知此物之距測所遠近多寡先定兩測之所相距若干為主線之里數或歩數或丈尺數依三角形法主線為底向一物之兩線為兩腰是有底及底上之兩角求兩腰為本物距兩測䖏若干
　　又兩物之兩交作一線相聮與一測䖏成三角形從測所至兩㸃之線為兩腰聮線為底如前先得腰再用其角可得底為兩物相距之數
　　如一圖甲為兩測之初所加儀向次所乙先作主線次向午己戊癸等物作各線後至乙亦如之即得各兩線之交為午己戊癸各物之定所
　　若物在中不可得至欲繪其形即用儀幾次周遭測之如二圖











　　新法算書卷八十九



　　欽定四庫全書
　　新法算書卷九十　　　　明　徐光啟等　撰測量全義
　　界説
　　第一界
　　面者有長有廣
　　第二界
　　平面者一面平
　　第三界
　　曲面者一面曲
　　無界者如球卵之面有界者如窑橋之面
　　第四界
　　一界之面
　　一曲線内之形如圓形在圏界之内凡有三一平圓從心
　　至界各線俱等一撱圓如
　　圓柱而斜剡之得兩面焉
　　一無法曲線如桃棃之面
　　第五界
　　二界之面
　　如兩弧或無法之曲線或一直
　　線一曲線而形之有法與否則
　　視曲線
　　第六界
　　三界之面
　　三邊或直或曲以曲線為邊者先定曲線之有法與否面因之量與二界同法以直線為本
　　如丙丁戊曲邊形從丙角至丁作丙丁直線成丙乙丁兩角襍形從丙至戊從戊至丁亦如之細分元形各依法量之用所得或加或减以得其容凡三邊形或俱等或
　　俱不等或兩邊等或有直角或無直角皆有法之形也第七界
　　四界之面
　　方面有五邊角俱等者正方也角等邊不等者長方也邊等角不等者斜方也各對角對邊等者長斜方也邊角俱不等者無法之方也首兩種之外皆屬無法葢有設邊
　　無設角或大或小容積
　　因之異焉欲求其容須
　　定角之度或中長線也
　　第八界
　　五以上多界之面
　　邉角俱等者有法之形也或邉或
　　角不等者皆無法之形也

　　第九界
　　定度者求兩物之比例
　　凡量度萬形先定一有幾何之度如三丈之物以一丈之度量之謂之某物與定度為三倍大則一丈之度名曰公度因其能量之勢定各所量之物也凡量髙長廣逺皆屬線類則以線為公度葢比例之兩率為同類也故量線者先具一定線或一丈或一尺以為公度量面者先具一定面或方歩或方丈邉等角直以為公度量線用直線以直線在萬線中為最短故量面用平面用正方以平面在萬面中為最短正方之理視萬形之理為最凖故〈量體亦定一度如一石斗為六面體各面等各角及邉等〉第十界
　　量算
　　丈尺寸分滿十進位畆法歩法則否二百四十方歩為畆二十五方尺為歩一百方寸復為尺也凡若干歩之積歩約為畆以二百四十方歩而一若干尺之積約為歩以二十五方尺而一若干寸之積約為尺以一百方寸而一約歩約畆則逓以歩法畆法除之
　　第十一界
　　中垂線
　　從形心至邉作直角者為中垂線有法形之各中垂線必等無法形各邉不等中垂線亦不等
　　第十二界
　　中長線
　　從形之一邉或一角至對邊作垂線是各邉上極逺之線以得本形中之直角三邊形
　　第十三界
　　直線為有法形之徑
　　直線形本無徑聊借圓形之徑名之然有法之形周内周外可作全圏在外者形之各邉切圏周在内者各用切圏周故圏之徑亦可謂容形之徑
　　第一題
　　量四邉形〈其法有三〉
　　形之類有二有直線有曲線兹先解直線形若曲線形
　　後方詳之
　　公量為方有法之方形二有正方四邉四
　　角俱等〈直角也〉以所設一邉自之得面之容
　　如正方田一叚各邉四歩自之其容為十六方歩有長方以所設兩邉相乗得面之容如長方田一叚縱五横六相乗其容為三十方歩若斜方具邉無角亦無法之類也有中長線之數則以底數乘之得斜方之容若無中長線之數而知一角之數則先以角求中長線如乙丁斜方形有長濶若干有丁角之數即從丙鈍角作丙甲垂線〈即中長線〉則丙丁甲直角形有丙丁邊丁角依法求甲得數以乗乙丙得元形之容若等邊斜方形作兩對角線分元形為四
　　句股形兩對角線之交為直
　　法法以兩對角線相乗二而
　　一

　　四邉形有上下不等而在平行線内者名梯田舊法并兩廣半之以中長線乗之　論曰戊己丁丙形從上廣之兩界己戊作己甲戊乙兩垂線〈即中長線〉中成長方形旁有兩句股形次引戊己廣至庚得庚己與乙丙等成己庚丁句股形與丙乙戊形等則庚乙方形與梯田形等丙乙甲丁為兩廣之較半之者損下廣以益上廣也兹舊法所自出也

　　凡斜田箕田諸法俱同前兩腰之等與不等角之等與不等俱以平行線為本若不知中長線而知斜邊或一角者如下文
　　知斜邉如丁己先分形成甲丁己直角形有甲丁為兩廣之半較有己丁法以兩
　　數自之相减開方得己甲中長線
　　知角者如己甲丁形有甲丁邉有丁角或己角求己甲即全數與丁角之切線若丁甲邊與己甲邊
　　舊法曰一面長乗中濶得形之容駁曰中廣必垂線乃
　　准垂線而外皆斜線必長于
　　中長線况斜邉乎今設兩形
　　之同邊異積如上圖其理易
　　見

　　二不等田東長三十六西長三十北廣二十五無南廣
　　問田舊法并兩長折半乗北廣
　　駁曰若北兩皆直角者即梯田之類也否則從何定南廣之度乎
　　舊法四不等田北四十二南五十六東六十四西五十八并東西兩邉半之并南北兩邉亦半之兩半相乗得二九八九歩為其容駁曰若甲為直角試作乙丁對直角線成甲乙丁句股形有句股以求為七十六
　　又一五三之九四其積為一三四四又以乙丙丁形之三邉求其容得一五三七〈此法見後第三題〉并兩形積得二八七一知法為未合也
　　論曰兩廣或兩長在平行線内者并而折半損有餘補不足改為方形也以中長線乗之則得其容若四不等無法形也損此益彼一不能為方一不能為中長線何縁得合乎
　　第二題
　　量三邉形
　　乙丙丁三邊形有邉數無角數求實其法并三邉數半之為實以每邊之數為法各减之三較連乗得數以半總數乗之為實
　　平方開之得實
　　如三邊為七為十二為九并得二十八半之為一十四减七較七减十二較二减九較五三較連乗得七十以半總十四乘之得九百八十○開方得三十一又六十二之一十九不盡
　　又如三邊為十三十八二十一并得五十二半之為二十六减十三較十三减十八較八减二十一較五三較連乘得五百二十○以半總數二十六乘之得一萬三千六百二十○
　　開方得一百一十六又二三
　　二七之一六四不盡
　　解曰如圖乙丙丁斜角形先
　　平分丙丁二角作丙戊丁戊
　　二線遇于戊從戊向各邊作
　　垂線為戊壬戊己戊庚三線
　　皆等〈戊壬丙戊己丙兩直角形同用戊丙邉兩丙角
　　亦等形必等則戊己戊壬亦等又壬戊丁丁戊庚兩直角
　　形同用戊丁邊兩丁角亦等形必等則壬戊戊庚亦等〉次從乙作乙戊平分乙角乙
　　戊己乙戊庚兩直角形有己
　　戊戊庚兩邉等同用乙戊邉
　　形必等則兩乙角亦等依三角形推壬丙與丙己己乙與乙庚庚丁與丁壬各等共六線三等次于三相等邉各取一邉如乙己己丙壬丁合之為元形三邉并之半〈或丁庚庚乙壬丙或每相等兩形邉减一邊得三較亦元形三邉并之半〉次乙丙邊引長之取丙辛與丁壬等乙丁邊引長之取丁癸與己丙等則乙辛乙癸皆元形三邊并之半亦三較之總數也次從辛從癸作兩垂線遇于子乙戊引長之亦與辛子癸子遇于子〈乙癸子乙辛子兩直角形之乙癸乙辛兩邉等兩乙角亦等即乙子必等而辛子子癸亦等〉次截丙午與壬丁等作午子線又截辛丑與壬丙等作丑子線即丑子與丁子必等〈癸丁子辛丑子兩直角形之丁癸與辛丑等癸子與辛子等則其丁子丑子必等〉又午丁子辛丑子兩形亦等〈丁子與丑子等丁午與辛丑等則午子與辛子必等〉則午為直角〈相似之辛角先已為直角〉而丙辛子丙
　　午子兩直角形亦等又此兩
　　形并成一斜方形而丙辛子
　　午四角内减午辛兩直角餘
　　子丙兩角并為兩直角〈凡四邉形
　　之四角并為四直角〉又□　丙壬壬丙辛
　　兩角并亦等兩直角而减共
　　用之壬丙辛餘午子辛壬丙己兩角等其各半角亦等〈即丙子辛己丙戊兩角〉即己丙戊辛子丙兩直角形相似〈己辛等為直角己丙戊辛子丙兩角又等即其對邉相似〉而戊己〈小句一率〉與己丙〈小股二率〉若丙辛〈大句三率〉與辛子〈大股四率〉次以線變為數〈乙丙三十五乙丁五十丁丙五十乙己十七强己丙十八弱丙壬十八弱壬丁三十二强辛子四十八各有竒今約用成數令直截易算也〉則戊己十二與己丙十八若丙辛三十二與辛子四十八也
　　又以第一率乘第四以
　　第二率乘第三得數必
　　等則戊己辛子之矩内
　　實己丙丙辛之矩内實
　　〈各五七六〉通用可也又戊己
　　〈小句一率〉與辛子〈大句二率〉若乙
　　己〈小股三率〉與乙辛〈大股四率〉而以第一自乘又以
　　乘第二其兩方之比
　　例亦若第三與第四
　　〈見幾何七卷十七題〉則戊己方
　　〈一四四〉與戊己〈十二〉辛子
　　〈四八〉矩〈五七六〉若戊己〈十二〉
　　與辛子〈四八其比例皆四之一〉亦若乙己〈十七〉與乙辛〈六八何者乙己戊乙辛子兩直角形同用己乙戊角則相似則乙己與己戊若乙辛與辛子〉反之則乙己〈十七一率〉與乙辛〈六八二率〉若戊己方〈一四四三率〉與戊己辛子矩〈五七六四率〉或與己丙丙辛矩〈又四率亦五七六也一二與三四異類而為比例者根與根若積與積也四與四異形而為同比例者論積不論形也故先定戊己辛子矩己丙丙辛矩可通用也〉
　　又四率法既云一乘四二乘三
　　兩矩積等今依法乘之即得乙
　　己根〈十七一率〉乗己丙丙辛矩〈五七六第
　　四率所得數〉〈九七九二〉與乙辛根〈六八二率〉乗戊己方〈一四四第三率〉所得數〈九七九二〉等次再以乙辛乗之即得乙辛
　　根〈第一率六十八二邉總之半〉乗乙辛根
　　〈六八〉偕戊己〈元形中垂線〉方〈一四四〉之
　　矩實〈共九七九二為第二率〉所得數〈六六
　　五八五六與乙辛根〉〈第三率六十八三邉總之
　　半乘乙己根〉〈十七〉偕己丙辛丙
　　矩〈五七六乙己己丙辛丙者三差之各數也〉之矩
　　實〈共九七九二為第四率〉所得數〈六六五八五六〉等依此用三較連相乘又以半總乘之得數為實開平方得元形之積此用前所得數本法也或用元形中垂線自乘以乘半總又以
　　半總乘之得數為實
　　開平方亦得元形之
　　積此用後所得數證
　　法也
　　何謂中垂線自乘以
　　乘半總又再乘而得
　　積以句股法解之如
　　戊己丙句股形若以戊己句乘己丙股得戊己丙形之倍積即己戊壬丙兩形并之
　　積〈兩形等故〉又乙戊己句股形以戊己句
　　乘乙己股得倍積即乙庚戊己兩形
　　并之積又以戊壬句乘壬丁股〈或戊己乘
　　丙辛〉得倍積即庚戊壬丁兩形并之積
　　故戊己乘乙辛得元形之積如此即
　　一乘可得何待他法然元法中無戊己也特以戊己自乘又再乘乙辛而得積與三較連乘以乘半總之元法所得大積等故以開方而得元形之積亦等則知元法之不謬故謂垂線三乘為證法也又論二法之相合者
　　算術中兩方相乘開方得兩根相乘之
　　數如圖戊己〈一二〉自乘為戊子方〈一四四〉以
　　乘乙辛〈六八即戊寅〉為戊丑長方〈九七九二〉又以
　　乘乙辛為戊寅大方〈六六五八五六〉此前證法所得數也若以乙辛〈六八〉自之得〈四六二四〉以戊己方〈一四四〉乘之所謂兩方相乘也〈得六六五八五六〉開方各得八一六即戊己根〈一二〉乙辛根〈六八〉相乘之數也若三較連乘又以乘乙辛雖不成方形而連乘所得亦九七九二以乘乙辛亦六六五八五六以開方亦得八一六故三較連乘之元法無證以垂線三乘法為證也
　　若直角三邉形以句股數相乘得數半
　　之為形之容葢方形與三角形同底同
　　在平行線内則方形之容倍于三邉形
　　之容或用半
　　若三邉等形則有中長線者法與句股
　　同為本線分元形為兩直角形也無中
　　長線者以法求之如乙丙丁三邉等形
　　從丁角作垂線至乙丙邉平分元形為
　　二〈一卷二十六〉用句股法以乙丁乙甲兩方相减餘為甲丁方其根則甲丁中長線也如設乙丙線一即乙甲線為二之一各自之乙丙之方一乙甲之方四之一相减餘四之三甲丁上方也開方得四之三之方根〈何謂四之三之方根葢四之三為方之實可明而其根不可明算家謂之不發之根若方實百開其根為十則能發之根也既不能發即有别法以求之故摽之以號曰四之三之方根四之三方實也四之三之方根根號也法見下文〉次以四之三乘甲乙四之一〈甲乙四之一與乙丙一皆有能發之根為同類故可以相乘若能發之根與不發之根為異類不可相乗故别求同類者乘之同類者則兩方數也算法根乘根得方開方得方之根方乘方得方方開方得根之方今于兩率各减其根號獨用兩方相乘得數以分法𨳩之得異類兩根相乘之容方積也詳見句股索隱〉得方方根〈即根之方〉十六之三為元形之容次用分法開之得九十之三十九約之為三十之十三元形之容也然不能畢合以開方不盡故
　　系三十為元形乙丙邉上方形十三
　　為乙丙丁三邉形之容葢兩形同底
　　則其比例為三十與十三求分之母
　　為全數全數者一也則一邉之方數亦一其根亦一
　　法曰三角形邊上方形與三邉形之容若三十與十三則用一邊之方數乘十三以三十除之得三邊形之容如各邊設十自之得一百以十三乘之得一三○○以三十除之得四十三又三之一元形之容也
　　又如各邊為十其半五五自之得二十
　　五以减全邉方之一百餘七十五開方
　　得八又一百之六十六以五乘之得四
　　十三又十之三較前少差以開不盡故
　　公法先求形之中垂線以形之半周乘
　　之得形之容凡有法之形通用此
　　解曰設三邊等形從心向各邊作垂線
　　又向各角作線必分元形為六直角形
　　而等夫甲皆直角甲乙邊俱等則其為
　　句股形亦各相等半句〈即甲乙之半〉乘股〈即甲〉
　　〈丙中垂線〉得甲乙丙之容六倍之得元形之容凡用甲乙三次〈為半句者六也〉乘甲丙故法曰形周之半乘中垂線得形之容如設各邊十則甲乙為五乙全角六十度則甲乙丙角必三十度今甲乙丙角形有角有一邊用法求甲丙邊則全數與甲乙五若乙角三十度之切線五七七二五與甲丙邊之數二八八六八五有竒為中垂線也各邊十共三十半之得十五以甲丙中垂線二八八六八五乘之得四三三○二七五若所設各邊十為一尺約之得其面四十二方尺又三十方寸有竒如前法試用本題第一法邊之總數為三十半之為十五减邊之較各五五連自乘得一二五又以半總十五乘之得一八七五開方得四三同前法
　　一系若三邊等形之邊為全數如十百千等其中長線及其容積皆不發之數〈十四卷十二〉
　　二系二邊等形先求中長線如三邉等形之法如兩
　　腰各五底六半之三自之得九以减腰
　　五上方二十五得十六開方得四中長
　　線也餘與前等
　　三系三邊不等形有一明角而求中長線則從一隱
　　角向對邊作垂線成句股形有角有
　　以求句如乙丙丁形乙丙二十四半丙
　　丁十二丁乙十五乙角二度二分從丁
　　作丁甲垂線成兩句股形其甲丁乙形
　　有丁乙邊乙角而求丁甲邊為全數〈内〉
　　與丁乙邊十五〈外〉若乙角之正三七五一五〈内〉與甲丁邉五六二七二五〈外〉約得五尺有竒以所得與底之十二又四之一相乘得六八九三四約之得六十八方尺有竒元形之容也〈凡先設先得者為明所求為隱邉角同下文倣此〉
　　若俱隱角則用本書一卷六題法從大
　　角至底作垂線求兩任分底之各分若
　　干既分元形為兩句股各有又求得
　　句以求股若干即元形之中長線
　　法曰丁乙丁丙兩小邉相并為總相减
　　得存存總相乘為實底數為法而一數
　　與底相减所餘半之得相小邉之小半
　　底甲丙用句股法乙丁乙甲各自之相
　　减開方得丁甲如乙丙二十四丁丙十五丁乙十七兩小邉并得三十二總也相减得二存也相乘得六十四以底二十四除之得二又三之二以减底得二十一又三之一半之得十又三之二甲丙也自之得一○七又九之一乙丁邉自之得二八九相减餘一八一又九之八開方得十三又三十七之十三不盡中長線丁甲也乘半㡳十二得一六二弱元形之積也試用本題一法三邉并得五十六半之二十八各邉之减較為四為十三為十一連乘得五七二以半總乘之得一六○一六開方得一二六有竒不盡若有角求一邉或有二角求二邊亦先求邉〈本書一卷十五十六題〉
　　若形之邉為斷幾何如圓果平積
　　之邉其法以邉數自之又加邉數
　　半之為形之積假如各邉有三自
　　之得九加邊得十二半之得六形
　　積也又如設邉五自之得二十五
　　加邉三十半之得十五積也見算
　　章逓加法
　　第三題
　　量多邉形
　　一解曰有法多邉形求其容必先分元形皆為兩邉等三角形故不論㡬何邉俱同法
　　法曰多邉形從心至各作線悉分為兩邉等三角形各形有邊數有角數求其中長線得各三角形之容并之得元形之容
　　如八邊邉設十歩從心至角作線輳心成八角皆等凡
　　輳心必四直角分三百六十度八而
　　一每角得四十五度乙丙丁角形二
　　邉等有丁丙底有丁乙丙角則丁丙
　　兩角并得一百三十五度半之得六
　　十七度又二之一為乙丁丙角又甲乙丁角形有丁甲〈半元邉為五〉求甲乙垂線即全數〈内〉與丁甲〈五外〉若丁角之切
　　線〈二四一四二一内〉與甲乙邉〈一二○七一○五外〉約
　　之得十二歩有竒以乘甲丁五歩得
　　六二三五五二五約六十歩有竒八
　　之得四八八四二四○○約得四百
　　八十八歩有竒為元形之容
　　若有中長線如甲戊以其半乘半周所得與前等又如十二邉有法形邉設十歩以十二除三百六十度得三十度為丙乙丁角即乙丁丙角必七十五度從心作乙甲線至丁丙邉又甲乙丁角形有甲丁五歩有丁角七十五度求甲乙線即全數〈内〉與甲乙〈五外〉若丁角之切線〈三七三二○五内〉與甲乙〈八一八六六○二五外〉約得十八歩有竒甲乙中垂線也次如前
　　或用正數法曰各邉為本弧之
　　即半邉為半弧之正而中垂線為
　　半弧之餘以邊數除三百六十得
　　設邊之弧邉數及弧度各半之次用
　　半弧度求其正及餘末用三率法以半弧之正為第一半邉數為第二餘數為第三得第四為正垂線即乙甲
　　如五邉等形邉設十二以五除三百
　　六十得七十二半之得三十六其正
　　五八七七九為一率〈内〉其餘八
　　○九○二為三率〈内〉半邉六為二率
　　〈外〉得九又九之一為四率〈外〉即一邉上之垂線次以形周乘四率得數半之為形之積五邉形之周為六十乘得五四六又九之四為五邉形之并積
　　多邉有法形之比例　多邊有法形之具三曰邉曰周曰積形大小不等其比例等故有一形某具之比例可得他形某具之比例
　　每形之邊為一〈一虚數也丈尺寸分唯所設之〉
　　三邊形之周三積為三十之十三
　　四邉形之周四積為一
　　五邊之周五積為一又一一七七五七○六之八四六九七一九約為十一之八不盡
　　六邉形之周六積為二又五百萬之二九九○三八一約為五之三不足
　　七邉形之周七積為三又八六七七六七四之五五○七二二一約為八之一而盈
　　八邉形之周八積為四又一九一三四一七之一五八五一二七約為十九之十六不足
　　九邉形之周九積為六又六八四○四○二之一二四三七五五約為十七之三不盡
　　十邊形之周十積為七又一二三六○六八之八五八○八九約為三之二不足
　　用法設他形之邊求積以其邊數自之以上所列同類形之積數乘之若設他形之積求邊則上所列同類形之積數除之所得之根設形之邊也
　　舊法三角形每面十四以六乘面得八十四以七而一得十二為實半面七為法乘之得八四積也試用前法
　　分元形作兩句股形各形有有句以
　　求股而求積得八四又三十之二十八
　　幾為八五非八四
　　論曰所以然者古法正六面七謂丙乙十四則丙甲十二故七六相乘得四十二為丙乙丁之實八十四矣不
　　知丙乙十四乙甲七各自之相减開方
　　乃十二有竒非十二也且七除又七乘
　　安用之
　　舊法六角形每面十五以面數自之得二二五以三乘之得六七五今用幾何四卷十五之系六邉等形内有
　　三角等邊形六用古法得各形之積為
　　九十六又七之六六因之得五九一又
　　七之一非六七五
　　論曰所以然者十五自之為二二五彼以為此乙丙邉乘得乙丙丁戊形之實也不知二二五者乙丙上正方形之實此乙丙丁戊則斜方斜方與正方同邉而異積也斜方之積必少于正方之積故實少而誤以為多古法八角田每面十四以面五乘得七十七而一得十倍之得二十求一面得三十四自之得一一五六為實面數自之得一九六為法减之餘九六○八角形積也
　　正法作圖每兩邉引長之遇于甲成正
　　方形其内有元八邉形又有甲乙丙四
　　句股形以丙乙元形邉十四為求丙
　　甲而句股等法以十四自之得一九
　　六半之得九八開方為九又十九之十
　　七甲乙也甲乙甲丁等合之加于乙丁
　　元形之邉得三十二又十九之十七為甲甲正方之邉自之得一一四又三六一之二二五正方之積也次求句股四形之積得一九六弱以减正方積餘九四四有竒元八角形之積也古法曰九六○謬矣
　　論曰所以然者古法方五斜七不知方五則斜七有竒不發之根也彼以甲乙等各句各股俱為十則乙丙邉與乙丙俱十四不知各率皆是而獨乙丙非十四也故八角形之積實少而誤以為多













　　新法算書卷九十
<子部,天文算法類,推步之屬,新法算書>



　　欽定四庫全書
　　新法筭書卷九十一　　　　明　徐光啟等　撰測量全義卷五
　　圓靣求積
　　凡圓面積與其半經線偕半周線作矩内直角形之積等依此法則量圓形者以半徑乘半周而已古髙士亞竒黙徳作圜書内三題洞燭圎形之理今表而出之為元本焉第一題
　　圓形之半徑偕其周作句股形其容與圓形之積等解曰丙丁戊己圓形其心乙其半徑乙丙即以為股形之周為句成午申酉句股形題言两形之容等
　　論曰設有言不等必云或大或小云圓形為大句股形小者索其較為亥形即于圏内作丙丁己戊正方形又作丙庚丁辛戊壬己癸八角直線形從心至八角形之各邊作甲乙等中垂線試於圓形内減其大半所餘又減其大半末所餘以比較形亥必能為小矣〈十卷首題〉如先減丁丙己戊方形次減丙癸己等三角形八末餘丙庚丙癸等二角雜形八必小于亥形也次作午未戌三邊形與丙庚丁八角
　　形等必小于午申酉三邊形何者
　　未午乙甲也小于圏半徑乙庚先
　　設午申酉三邊形及亥較形始與
　　圏等今午未戌三邊形及八兩角
　　雜形適與圏等夫午申酉三角形
　　大于午未戌三角形亥形又大于
　　八兩角雜形是合兩大形〈即午申酉及亥
　　較形〉與圏等者復謂合兩小形〈即午未戌
　　及八兩角雜形〉與圏等有是理乎
　　次論曰若言圏形為小句股形大
　　者索其較為亥形即于圏外作子
　　寅丑己正方形又作卯辰八角形
　　夫寅己方形大于午申酉三角形
　　者方形之周線大于圎形之周線
　　也内减其大半〈即元圈〉又减其大半
　　〈即卯辰子等四三角形也〉末餘丙卯庚庚辰丁
　　等三角雜形八必小于較形亥又
　　作午申亢三角形與丙卯辰八角
　　形等兹形為圏之外切必大于元圏而午亢為外形之周必大于午酉内圏之周先設圏及亥形與午申酉三角形等今并圏及三角襍形八〈即丙卯庚等八雜形也〉反大于午申酉三角形是圜偕八雜小形而為大者又偕亥大形而為小可乎
　　第二題
　　凡圏周三倍圏徑有竒〈二支〉
　　此有二法其一云三倍又七十之十則朒其二云三倍又七十一之十則盈先解其一曰甲乙戊丁圏戊為心甲戊乙戊為两徑輳心作直角從甲作午子切線從乙從丁作乙己丁壬線與乙戊等乙戊己角六十度己戊甲角必三十度為六邊形之半角也末從心過己過壬作戊午戊子線成戊午子等角形己戊壬既六十度則午子為等形之邊設甲午股一百五十三〈任設此數以便推算〉午子或午戊必三百○六各自之股方得二萬三千四百○九方得九萬三千六百三十六相减餘七萬○二百二十七為句方開得二百六十五有竒為戊甲句半徑也則戊甲與甲午之比例為二六五有竒與一五
　　三次平分午戊甲角作戊庚
　　線任分午甲于庚則午戊與
　　戊甲若午庚與甲庚〈六卷三題〉合
　　之戊午偕戊甲而與戊甲若
　　午庚偕甲庚而與甲庚更之戊午并戊甲而與午甲〈即午庚偕甲庚〉若戊甲與甲庚先定戊午戊甲并得五七一有竒午甲為一五三則戊午并戊甲與甲午之比例若五七一與一五三若設甲庚一五三則戊甲與甲庚之比例為五七一與一五三矣即以兩數自之并而開方得五
　　九一又八之一不盡為庚戊
　　線〈戊甲甲庚之〉則庚戊與甲庚之
　　比例若五九一又八之一不
　　盡與一五三次平分庚戊甲
　　角作戊辛線則戊庚并戊甲一一六二又八之一與庚甲一五三若戊甲與甲辛若設甲辛一五三則戊甲為一　一六二又八之一有竒兩數各自之并而開方得二七二又八之一為辛戊線〈甲戊甲辛之〉則辛戊與辛甲之比例若二七二又八之一與一五三次平分辛戊甲角作戊寅線則辛戊并戊甲二三三四又四之一與辛甲一五三若戊甲與甲寅若設甲寅為一五三則戊甲為二三三四又四之一有竒兩數各自之并而開方得二三三九又四之一有竒為寅戊線〈戊甲甲寅之〉則寅戊與寅甲之比例若二三三九又四之一有竒與一五三次平分寅戊甲角作未戊線則寅戊并戊甲四六七三半有竒與寅甲一五三若戊甲與甲未若設甲未為一五三則戊甲為四六七三半有竒
　　論曰午戊子元角為三等角形之一即一直角三之二
　　午戊甲其半則三之一庚戊
　　甲其半則六之一辛戊甲其
　　半則十二之一寅戊甲其半
　　則二十四之一未戊甲其半
　　則四十八之一復作甲戊申角與甲戊未角等成未戊申角形其戊角為直角二十四之一而未申為象限二十四之一于全周為九十六之一未甲申其切線也為九十六邊形之一邊此邊與圈全徑之比例若戊甲四六七三半與甲未一五三末置九十六邊形之一邊為一五三因周為一四六八八徑為四六七三半有竒則九十六邊圈外形之周與圏徑之比例為一四六八八與四六七三半約之為三又七之一不足則徑為一九十六邊圏外周為三又七之一不足夫形在周之外尚不及三又七之一况圏周乎
　　二解三倍又七十一之十而盈者曰圏内作乙丙徑從丙作六邊形之一邊丙甲與半徑戊丙等〈四卷十五〉從乙作乙甲成乙甲丙形在半圏之内則甲為直角〈三卷三十一題〉設甲丙句七百八十○乙丙一千五百六十○兩數自
　　之相减開方得一千三百五十
　　一不足為乙甲股則乙甲與甲
　　丙之比例為一三五一與七八
　　○次平分甲乙丙角作乙丁線
　　又作丁丙線成乙丁丙丙丁己
　　兩直角形相似盖同用丁直角
　　在半圏内甲丁丁丙兩所乘之
　　等則丁丙己丁乙丙兩之
　　角必等〈三卷二十一〉夫兩形有兩角
　　等者各腰俱相似則乙丁〈大形之股〉與丁丙〈大形之句〉若丁丙〈小形之股〉與丁己〈小形之句〉又乙丙〈大形之〉與丁丙〈大形之句〉若己丙〈小形之〉與丁己〈小形之句〉更之乙丙與己丙〈兩〉若丁丙與丁己〈兩句〉是乙丁與丁丙〈兩股〉丁丙與丁己〈兩句〉乙丙與己丙〈兩〉三比例皆等又乙丙與己丙〈兩〉若乙丙并乙甲〈兩腰〉與甲丙底之兩分〈見前解〉則乙丁與丁丙亦若乙丙并乙甲與甲丙先定乙甲一三五一弱乙丙一五六○是乙甲乙丙并為二九一一弱甲丙先設七八○則乙丁與丁丙亦為二九一一弱與七八○各自之并而開方得三○一二又
　　四之一弱為乙丙〈乙丁丁丙之〉則乙
　　丙與丁丙之比例為三○一三
　　又四之一弱與七八○次平分
　　丁乙丙角作辛乙線因前比例
　　論得乙辛與辛丙比例之數盖
　　丁乙并乙丙與丙丁若乙辛與
　　辛丙先定乙丙三○一三又四
　　之一乙丁二九一一弱并為五
　　九二四又四之一弱今丙丁為
　　七八○則乙辛與辛丙為五九二四又四之一弱與七八○欲省數改設辛丙二四○依三率法辛丙七八○乙辛為五九二四有竒今辛丙二四○即乙辛為一八二三弱兩數自之并而開方得一八三八又十一之九弱為乙丙線〈乙辛辛丙之〉則二四○與一八三八又十一之九為丙辛乙辛之比例次平分辛乙丙角作乙壬壬丙兩線辛乙乙丙兩數并為三六六一又十一之九弱與辛丙二四○為乙壬與壬丙之比例又改設壬丙六六依三率法乙壬為一○○七弱兩數自之并而開方得
　　一○○九弱則六六與一○○
　　九為壬丙與乙丙兩線之比例
　　末平分壬乙丙角作乙庚庚丙
　　兩線乙庚與庚丙若壬乙并乙
　　丙二○一六又六之一與丙壬
　　六六兩數自之開方得二○一
　　七又四之一弱為乙丙〈乙庚庚丙之〉則庚丙與乙丙兩線之比例為
　　六六與二○一七又四之一弱
　　論曰丙甲為全圏六之一丙丁十二之一丙辛二十四之一丙壬四十八之一丙庚九十六之一是丙庚為九十六邊内切圏形之一邊也以九六乗六六得六三三六為九六邊内切形之周乙丙徑為二○一七又四之一弱兩數約之一得三又七一之十強形之周也一得一圏之徑也夫圜周在多邊形之外即大則謂三倍徑又七十一之十不又盈乎
　　第三題
　　圜容積與徑上方形之比例
　　解曰一為十一與十四而朒一為二
　　百二十三與二百八十四而盈先解
　　朒者乙戊辛圈甲丙戊方引長甲丙
　　邊為甲丁其大于甲丙為三倍又七
　　之一則與周等為句甲乙邊圈之半
　　徑也為股成甲乙丁角形其積與圈
　　積畧等〈不甚差故〉又乙甲丙直角形因丙
　　甲與甲丁若七與二十二則甲乙丙
　　與甲乙丁兩形之積亦若七與二十
　　二〈六卷一題〉甲乙丁與圏等則甲乙丙形與圈積亦若七與二十二夫甲乙丙為方形四之一四之得二十八即兩形積之比例為二十八與二十二約之為十四與十一也次解盈者甲丙設七十一甲丁二百二十三與圏周等則甲乙丙與甲乙丁兩形之積為七一與二二三四倍七一得二八四全方之積與甲乙丙形之比例為二二三與二八四
　　一題之系　半徑全周成三邊形與圏積等依句股法半徑偕半周矩内方形與圏積等若全徑偕全周矩内方形則四倍圏積幾何〈六卷二題〉曰相似形之比例為兩相似邊再加之比例故邊倍則實四之二題之一系　設圏徑求周求容　凡設徑求周用盈法七為一率二十二為二率所設徑為三率得四率為所求周　用朒法為七十一與二二三若徑與周古士論圏大小大都准此二論反之以周求徑亦然
　　二系　圈之徑與徑若周與周子之徑與徑亦若母之周與周假如一圏之徑為七周為二十二他圏大于元圏四倍其徑二十八則其周八十八亦四倍大于元圏之周
　　三系　周線上方形與圏之積若八九二與七十一則盈若八八與七則朒周與他周若徑與他徑　周線上方與他周上方若徑上方與他徑上方〈十二卷二題〉徑方與他徑方若圏與圏則周方與他周方亦若圏與圏更之周之方與本圏之積若他周之方與其圏之積如設周一用一系之法則八九二一率也七十一二率也所設一三率也所得之徑為二二三之七十一其容積為八九二之七十一周之方一全數也通之為八九二圏之積零數也為七十一是謂周方與圏為八九二與七十一而盈或二十二與七其徑二十二之七其積為八八之七周之方一全數也通之為八八圏積為零數則周方與圏為八八與七也三題之系　設徑求圏積則比例之母十四為一率子十一為二率徑之方數為三率所得為圏之積而盈或三八三為一率二二三為二率徑之方數為三率所得為圏之積而朒假如設徑十用盈法得七八又七之四圏之容也用朒法得七八又二八三之二五七圏之容也反之設圈容求徑則十一與十四若圜容與某數其方根為徑
　　又設周求圏之容因一系之法八九二與七十一若周之方數與圏之容而盈或一八八與七若周之方數與圏之容而朒反之設圏求周則七與八八若圏容與某數其方根為周
　　徑與周之比例古士之法如此今士别立一法其差甚微然子母之數積至二十一字為萬億億難可施用○徑一○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○
　　〈大周〉三一四一五九二六五三五八九七九三二三八四七
　　〈小周〉三一四一五九二六五三五八九七九三二三八四六
　　約之首取三字為一百之三百一十四則三倍又百之十四
　　再約得七之一又朒如前
　　論曰總之不論若干位但加一即贏减一即縮贏即外切線縮即内也皆非周也
　　古設周問積法曰周自之十二而一此猶是徑一圍三較之徑七圍二十二者尤疎也故不合
　　古設徑問積法以徑自乗三之四而一如設徑一自之得一三之得三四而一則四之三為圏之積全數〈即母數〉為徑上之方形則知徑上之方與圏之積為四與三然前論為一四與一一而合今之四與三則所謂虛隅二五也如圖甲乙設十自之為一百平分之為乙丙丁五十又平分之為丁戊乙丙三角雜形丁戊乙二角雜形各二十五二角雜形必小于三角雜形安得合乎
　　量撱圓法　撱圓形者斜截圓柱所成兩面形也形有長短二徑古士黙徳本論曰兩徑之中比例線為徑作圏
　　與撱圓等則兩
　　徑為第一第三
　　率相乗所得方
　　數為第二率又同線上之正方與圏容為一四與一一今兩率相乗者即中率正方之數〈此比例法見幾何六卷三十三題之第十增〉故以兩徑相乗得數以一一乗之以一四除之得撱圓之積也
　　量圈之一分
　　第一圖〈名兩半徑形〉
　　設半徑及用全與全若分與分之比例　法曰以半徑乗得積半之為本形積盖全周與全圈積若周之分與圈積之分如半徑六十二相乗得七十
　　二半之三十六為本形積
　　第二圖〈名兩内形〉
　　設兩兩丙戊為徑從心作甲乙甲丁線成甲乙丙甲丁戊各兩半徑形依前法各求積又甲乙丁直線形兩腰
　　等有丁乙求其積三形積并為乙丙戊丁設形之積第三圖
　　即第二圖之半同理

　　第四圖〈名形〉
　　有本圈徑設求其積法先求半圈積次求兩形之積兩數相减餘為設形之積如丙乙巳戊圈其徑丙戊設乙丁求乙已丁之積置乙巳丁一一又七之六
　　圈徑十二先求本全圈之周得三十七又七之五半之為十八又七之六内减設形之一一又七之六餘七為丁戊乙丙兩之數半之為三半丁戊也作丁甲乙甲兩線因前法求丁戊乙丙兩形之積得二十八又九之八又求半圈之積得五七又七之四内减兩形之積二十八又九之八得二十七又六十三之四十二為設形之積若不知因丁甲乙形有丁甲乙甲兩邊有丁甲乙
　　角得丁乙邊為設形之
　　若形大于半圈者以兩之積加於半圈之積
　　若不知本圈之徑則先求徑其法丁乙半之作巳辛垂線量其度得數為法之半數自之為實而一得本圏之徑〈㡬何三卷五十五〉如量己辛得一又九之五法也丁辛為四自之十六實也除之得十又九之二加己辛得十二全徑也若辛己不可得量是屬無法之形
　　第五圖
　　設小半形如甲乙丙則以甲丙句甲
　　乙股各自之并而開方得乙丙成乙
　　丙小形有乙丙依前法求積次求
　　甲乙丙句股形之積并之即得〈一圖〉若止設一直線為徑之一分〈甲丙也〉而知
　　本圏之徑法先求丁戊丙象限積次求
　　丁乙甲戊兩形之積相减餘為甲乙
　　丙形之積〈二圖〉
　　若所設乙甲丙非直角而知本圏之徑
　　法先求戊丁丙象限積次求甲乙辛句
　　股積盖形有甲辛兩角甲乙邊可得餘
　　邊即得其積末用前法求乙辛丙半
　　形之積内减甲乙辛句股積餘為設形
　　之積〈三圖〉
　　若乙甲丙為銳角乙辛股線在設形之内則以甲乙辛形之積加于半形積〈四圖〉
　　或設本圏之徑作戊乙線法以半徑乗得數半之得戊乙丙形次求甲乙戊直線形之積則乙戊半徑也乙甲設形之邊也戊甲為丙甲與半徑之較依法得積以减戊乙丙兩半徑形之積餘為設形積〈五圖〉
　　或依三角形法作乙丙線成甲乙丙三角形有甲乙甲丙兩邊有甲角以求乙丙餘如前〈六圖〉
　　若半形之邊如甲乙甲丙大于半徑即作乙戊線先求乙戊丙兩半徑形之積次求甲戊乙三邊形之積并之如前若不知本圏之徑則屬無法形之法〈七圖〉或依三角形法以甲乙甲丙兩線及甲
　　角求乙丙邊求積次求乙丙形之積如前法〈八圖〉第六圖〈名兩之形〉
　　若知各之徑者法與一形等
　　若設兩亦設中長線則分元形為兩
　　形　若不知本圏之徑亦不知中長
　　線屬無法之形
　　第七圖
　　以分之成直線形者一成形
　　者三四以上各以前法量之
　　若為球體撱圓體圓角體之外面法見量體法中〈第六卷〉古法設長濶問積見長方又設長闊總數長濶較等問見句股義
　　量面用法
　　以木造矩錐平
　　者為盤直者為
　　幹盤徑五六寸
　　厚二寸面畫兩徑輳心成直角刻成渠深五分廣一分下作鑿以受幹也幹徑一寸以上長四五尺令平立者目切其盤之面幹之末施鐡鍤焉别具望竿數事略與幹等器成先試之法于平地卓錐從一徑之渠向左向右各距若干丈尺卓兩竿與徑為直線又從他徑之渠向前向後各距若干丈尺卓兩竿與徑為直線次轉器易徑以望先立諸竿仍作直線則為如法之器第一題
　　直線内一㸃上求作垂線〈㡬何一卷十一〉
　　法曰設㸃上卓錐轉器令一徑合于設線次從他徑卓數竿題言諸竿所作直線與元線為直角與盤上直角
　　等



　　第二題
　　直線外一㸃上求作垂線
　　法曰設㸃上卓一竿持器循設線上㳺移遷就令一徑合于元線一徑與望竿為直線次從㸃至錐下作線則元線之垂線也
　　凡設田形量其歩畆前法足矣然未知直線形之是否直角曲線形之是否中且高下之數非目營可得欲求其度立公法如下文總之以句股為本凡圖中斷線所作線也聨線元形線也邊上有○卓錐之處也
　　三邊田法從大邊用器㳺移遷就向對
　　角立垂線分元形為兩句股形〈一圖〉


　　四邊田先用器試各角是否直角直者用正方量之不
　　直依圖
　　分句股
　　形令分
　　餘者各
　　兩對邊為平行線用正方長方法量之〈二三四圖〉
　　多邊形田從大邊如甲上作
　　甲乙垂線從大邊兩界如丙
　　如丁作丙戊丁己兩垂線丁
　　己線上立乙辛垂線又立庚
　　寅己午兩垂線丙戊線上立酉乙垂線是元形内有二方形七句股形量時依元設丈尺步數化大為小作圖亦用元度作新立諸線各如數𥮅之并之得元形之積〈五圖〉
　　若田形以曲線為邊宜先
　　求直線形法取一線為徑
　　徑上宻宻卓錐作諸平行
　　線末各直角上加器成諸
　　長方形亦成諸三邊形曲
　　線為邊者大圏之也即依直線法量之所差甚微〈六七圖〉
　　或田中為房舍林木等物所隔難作
　　中長線法于田外依一邊作大方形
　　形邊上向田之各角作線是元形之
　　外方形之内有若干句股形并諸句
　　股積以减方形積餘為元形之積〈八圖〉
　　增題　多無法形量法從田心如癸加象限邉向乙角窺丙角定乙癸丙角之度次向丁向戊向己向庚向
　　辛各定其癸角之度次以公量法量癸
　　乙癸丙等線元形内有三邊形七每形
　　有一角兩邉因法求餘邉求毎形之積
　　并而得元形之積
　　中空田法先求大形之積次求空形
　　之積如方田一叚各邊十丈中為圓
　　池徑七丈則方形之積一百丈池之
　　積三十八丈半减餘六十一丈半為
　　設形之積
　　求環田積用兩圏之徑或周以次求
　　大小圓積相减餘為環田之積如設
　　環之外周為四十四内周為二十二
　　則大圓積一百五十四小圓積三十
　　八半减餘一百一十五半環田之積也
　　變形法
　　其一設三角形求變為等底等積方形
　　凡設形求變者皆截元形之實補求形之虛也如上一圖甲乙丙元形求變為丙丁戊方形其元形之大邊為底法平分兩腰作中線與底平行次以中線為底作對角垂線成甲乙兩形從元底兩端向中線各作垂線成戊丁兩形則截甲實形移補交角之丁截乙實形移補交角之戊成
　　丁丙戊方形與元形等底等積
　　如二圖小邊為底亦平分兩腰作平行中線次從上角從鈍角各向中線作垂線成甲乙兩句股形及丙斜角形次截甲實形移為交角之乙并丙乙實形移為交角之丁成丁戊方形如所求
　　如三圖鈍角上垂線截中線出元形之外甲戊丁己兩線為等作己垂線成甲小形則截交角之乙實形移為甲并甲兩實形移為交
　　角之丁并丁己成四邊實形移為相似之戊〈形并戊庚如所求〉




　　如四圖兩腰甚長亦如前作中線于中線上截取庚丁壬己各形之邊皆與底等而成各直角四邊形又從兩交截取癸形與夘等即甲與乙夘癸與夘各交角之兩形各等先截取癸實形移補交角之虛夘次并夘乙作三邊實形移補交角之虛甲次并甲丙作四邊實形移補相似之虛壬次并壬丑作四邊實形移補相似之虛丁次并丁戊作四邊實形移補相似之虛己次并己寅作四邊實形移補相似之虛庚次并庚辛即所求其二設一方形一線求變為他方形其邊與設線等如上一圖設丁戊方形求變他形其邊與甲等法從乙丁邊取乙丙與甲等從戊角作戊丙迤線〈丙非角故不名對角〉引長之與己丁之引長線遇于辛成丁辛丙三角虛形次于己戊邊取
　　己庚與甲等次從庚作垂線成壬庚戊三角實形以此實形移補丁丙辛虛形又以戊丙迤線上形移置壬辛迤線上即成庚辛方形如所求如二圖設形為斜角與上同法
　　若所設線甚小幾倍之得為元形邊則平分
　　元形為幾形如前法變得各小形并之為一大形如所
　　求
　　如三圖所設線大于元形邊則引長己戊邊為己庚與甲等作庚丁對角線成戊庚壬三
　　角虛形次取丁丙與壬庚等成丁辛丙實形移補壬戊庚虛形又乙壬丁實形之壬角移為庚角成庚辛角形即所求
　　其三設矩内形變為正方形
　　如圖以設形之兩邊連為一直線求心作半圏次從兩線之界㸃作垂線為兩率之中比例線即用為設線依前法變設形為他形其邊為設線

　　其四設多邊形變為正方形
　　先以直線分元形為若干三邊形
　　次依第一法變各三邊形為矩内形
　　三任取一線為設線依上法變各矩形皆為等邊形
　　四并各等邊形成一大矩形
　　五依第三法求大矩形兩邊之中比例線成正方形
　　以上四法若反求之則亦反作之如一矩形求作三角形一正方形求作有比例之
　　矩内形是也
　　其五兩正方形變為一正方〈㡬何原本一卷四十七題備論其理此則用法〉置兩正方形以角相切令其邊為直線角之外為直角即成甲句股虛形其聨兩元形之各一角即以為底作正方形其積與兩元形并積等其變法作丙戊庚己丁
　　矩形及乙寅線又截壬形與子形庚形
　　等次截取癸實形移補丙丁虛形次取
　　丙子實形移補甲虛形次取壬實形移
　　補庚虛形次取庚丑實形移補戊〈己庚〉虛
　　形次取戊實形移補辛虛形
　　成夘辰午未正方形
　　其六設矩形求變為他矩形
　　其邊各有比例如設一形欲
　　作他形等積而兩邊之比例
　　若五與四法分大邊為五小邊為四作平行分線如甲乙形次依丙丁罄折線截訖移就成戊己形
　　第四題
　　截形法
　　借題云設多邊形截為多三角形求作多線以當各形
　　之比例如圖甲乙丙丁戊多邊形從甲
　　角作甲戊甲丁甲丙各對角線分元形
　　為四三角形求其比例法曰從各角向
　　各對線為垂線如己向庚戊向辛丁向
　　壬又向子丙向癸乙向丑丁壬丙癸因對角線短故垂線在形之外盖三角形論底論高不論垂線内外因幾何六卷第一題增同底之形其比例若其高之比例今甲戊己甲戊丁兩形同用甲戊為底即己庚壬丁兩垂
　　線為兩形之比例又甲戊丁甲丁丙
　　兩形同用甲丁為底即戊辛丙癸兩
　　垂線為兩形之比例甲丁丙甲乙丙
　　兩形同用甲丙線為底即丁子乙丑
　　兩垂線為兩形之比例也今欲作四線之比例與此四形之比例等依幾何原本六卷第十九題三直線為連比例則一線上形與二線上形若一線與三線今以一垂線當一形以第二第三率通為一比例而求末率〈即第三線〉則一形與二形若一線與三線也如上圖壬丁之形與戊辛之形同底而壬丁為一率戊辛為二率己庚之形與某線之形同底而己庚為三率某線為四率則以戊辛之數通為己庚之數而求其線即壬丁與戊辛若己庚〈元數〉與某線而某線之數為己庚之次數又丁子與丙癸若乙丑〈元數〉與某線而某線之數為乙丑之次數今一設三角形從一角命截幾分之幾法于角之對邊平分如命數從角作線截取一分為得數如甲乙丙形從甲命分四之三即四平分丙乙線為丁戊己次從甲作甲丁分元形為二其比例如丙丁與丁乙
　　又命分四之一而其截線求與命角之對邊〈如丙乙〉平行法四平分甲乙腰四乗三〈命分數内减得分以其餘乗命分〉得十二開方得三又百之四十八即得甲向乙取四分之三有半至
　　丁作丁戊線與乙丙平行截元形為二其積如三與一而丁丙為四之一甲乙戊為四之三
　　二設多邊形從一角命截幾分之幾法依前借題分本
　　形為若干三邊形又如前次第求各形
　　之比例線〈因形求線〉合之成一直線如圖為
　　乙丙丁戊己若命分為四之一即四平
　　分之若第一分在乙丙線内則分甲乙
　　丙形之乙丙邊如乙丙比例線其一分
　　所至為乙壬作甲壬線截甲乙壬形為元形四之一若欲截分在甲己之旁則分甲己戊形之己戊邊如戊己比例線其一分所至為己辛作甲辛線截甲己辛形為
　　元形四之一若命分之界不在元形之
　　角如甲乙邊内取庚㸃為界法從庚向
　　各角作線求各形之比例線如前
　　上二法俱從甲或庚為截分之總界其他形若能為對角線在形之内者任用各邊各角皆可為截分之界若作對角線而切本形邊或出形之外則不能為截界如圖
　　甲戊丁乙四角己庚三角其截分或出形外甲庚甲乙戊己戊丁諸線各切本邊但可從丙截之
　　三設方形命截幾分之幾法任分一邊
　　如命分數取得數作平行線或正方或
　　斜方或矩形皆同理若以角為截界則
　　與上文多邊形同法
　　四設梯田命截幾分之幾如四分
　　之一法上下兩〈邊各四平分而取其一作直線聨之〉
　　或用角為截界則與前多邊形同法
　　若命截線與底平行則用三率法依設形成三角形得其腰求兩形之比例得全三角之積若干小三角形之積若干以小减大得梯形積若干因算梯形之㡬分得全形之幾分隨用前第
　　一設截三角形之法得所求
　　假如大底為十上邊為六斜邊得四上下邊之較四半之得二為第一率大底半數五為二率斜邊四為三率算得全形之腰為十此全形有兩腰有底求其積得四十三又三之一其小形有兩腰各六有底六求其積得十五又五之三以減全積得二十七又三之二弱為元梯形之積今欲截取四之一以四而一得六又五之四弱以除全積得六有五之二弱為元形四之一亦為全形六分五之二分用平行截三角形之法六有竒為母五有竒〈减一得子〉為子相乗開方得五○○即從全形上角分全腰為六分有五之二弱内取五又五之四強作平行線分元形如所求〈或取三十二而取二十九〉
　　若近小底命作截線其理同上但母子數不同上得元形四之一分為六又六十之四十六畧約五之四今所求者四之三則三倍之得二十又三十之九以倍數與全數相乗得數開方得二十九半即從上角如法取作平行線分元形如所求〈或分全腰為四十三又三之一從上角取二十九半作線〉凡梯田在平行線内但底等即其積等
　　不論角大小
　　若兩梯田截法先求各形之積次算此
　　形所截之分為彼形之㡬分其用法如
　　前

　　〈有本法本論於法算諸書中詳之此不及備著〉
　　〈新法算書〉
　　〈卷九十一〉














　　此外别形尚多各



　　欽定四庫全書
　　新法算書卷九十二　　　明　徐光啟等　撰測量全義卷六
　　論體
　　厯家所重全在測量所當測者略有三事一曰線測其長短二曰面測其長短廣狹三曰體測其長短廣狹厚薄所以測體者何也即如交食一法日與月各有不同心本天各有最髙度最髙衝度其去人逺近也恒不等其自相去之逺近恒不等人目所見二曜之體大小恒不等若此者必于地體推之故有日與月與地三大之比例〈别有本書〉不用此比例何繇知交食之歳月日時地影〈即闇虛〉比于月體小大之數幾何乎不因地月之比例何從推日輪之視體幾何大去人幾何逺乎則何繇知日食旣之有無金環乎何繇知月食過分之闇虛幾何大乎何繇定食限之幾何時刻乎不知地球之大何繇定東西相去幾何里即交食前後相去幾何時刻南北相去幾何里即日食應有應無有則幾何分秒乎則安得不講于量體之法乎然則測線測面者何也曰體者諸面之積也未能測面安能測體面者又諸線之積也未能測線安能測面又測候七政行度皆以句股弧諸法諸法則皆線也諸線之積為面不知面理則亦不能晰線之體勢故三測為並重也雖然測天皆曲線曲面也直線與平面何為乎曰曲線法從直線出也曲面法從平面出也猶圓體法從方體出也故繇線而面而體繇直線而曲線平面而曲面方體而圓體譬之跬步前步未行後步不可得進也是測量之全義也
　　體者面之積或實如金木土石等或空如盤池陶穹等俱同理同法
　　其界為面面居體之周〈面截面生稜如線遇線生角也又稜為兩面之共界〉一面之體如球如卵



　　二面之體如半球半卵圓角圓堆



　　三面之體如剖球卵之一分



　　四面之體如三面角體而四面等
　　即三面角體第因各面俱等故屬四面


　　五面之體如四面角體〈因角體之面無定數故左方不列其名〉六面之體如立方正立方斜立方
　　八面之體八面俱等
　　十二面之體十二面俱等
　　二十面之體二十面俱等〈自四六八十二二十面之外不能為等面胥無法之體也〉公量如斗如升皆足為體之量總之以立方為本如用尺寸分為度而一尺之體其長其廣其袤各一尺八俱直稜八俱直角乘法一千實寸為一實尺一千實分為一實寸則以立方之體再自之耳此為物數均齊推算簡易者也
　　幾何原本一十一卷詳解其理今略引一二如左有法之體二其上者各面俱等盖設一邊即知其面其容也其次則對面為平行面或同類之體有公法如角體者是也球亦有法之體盖其徑其周其外面其容之比例恒相等第以比例無盡分之數亦屬次焉
　　第一體名立面體如正立方斜立方多邊立體正立圓體扁圓體〈因其上下為平行面亦屬等面〉公法以高乘底之積得其容〈高深兩名互用〉其高之度則垂線也
　　幾何原本十二卷七增題曰兩平行面内之體或同高兩體其比例為體與體若底與底但取同類相求以正高為據不論體勢直與不直





　　又本卷三十二題曰同類之體與體〈凡比體者皆以其容積相比〉為

　　其邊與邊三加之比例　解曰三加之比例者四幾何為同理之連比例則一與二為一加與三為再加與四為三加也〈五卷十界〉此云三加者謂體之一與二若其邊之一與四也如二　四　八　十六為四幾何同理之連比例其首二尾十六為三加之比例則小體之邊二大體之邊四其小體之容與大體之容若小邊之二與大邊之十六也
　　系凡同類數體測定一體之容即其容與他體之容為其邊與邊三加之比例設有立方體其邊八其容五一二又設次體其邊十二即八與十二再加之得十八三加之得二七〈其超法為一身有半〉則初體與次體若八與二十七或用三率法八與二十七若五一二與一七二六或以四率連比例之第二率再自之得數同
　　第二體名角體底廣上銳如堆垜錐亭峰之類其法同也幾何十二卷七題之系曰同底同高之角體與平行面體〈即同高體〉之比例若一與三法曰如方錐之底邊設九則底積八十一設髙十八以乘底積得一四五八以三為法而一得四八六方錐之容也又如圓堆之底周設十二尺設高五尺則先求周之徑得三又十一之九相乗得四五又十一之九以四為法而一得十一又十一之五底積也以高乗之得五七實尺又十一之三以三為法而一得十九又十一之一為圓堆之容〈系凡委粟及𠋣垣等角體皆求立體之容三除之為角體之容〉



　　若不知其正高但知其底及稜則先求其正高
　　法曰若稜為偶數如上圖得四甲乙
　　丙丁為底之四邊各八又半甲丙對
　　角線十二弱戊為角頂戊甲戊乙戊
　　丁戊丙為四稜各十而求次圖之中
　　長線戊己〈次圖何物如上圖戊甲丁丙乙為全體若從戊頂向
　　甲丙對角線平分之為二即所截之兩面各成戊甲丙三角形甲丙底十〉
　　〈二弱戊甲戊丙各十以此三邊求中長線戊已即角體之高〉
　　法以半底甲已自之得三十六〈句方〉以減腰方一百〈方〉餘六十四〈股方〉開方得甲已八為角體之正高餘如前若稜為竒數如五底之各邊為十二稜之度為二十則先求一面之中長線〈各體有底有面有稜底之邊隨體無定數面則恒各為三邊形形之底線即底之一邊兩腰即稜也〉依句股法半底邊得六〈為句〉自之得三十六〈句方〉稜度自之得四百〈方〉相減得三百六十四
　　〈股方〉開方得一十九又一十三之一〈即股即面形之中長線〉次求底形之中長線用正法以五〈底之邊數〉為法三百六十〈全圈之周〉為實〈幾何論凡有法之形形外可作圈切形之各角形内可作圈切形之各邊〉而一得七十二度為一邊之弧半弧之正〈即底之半邊〉為五八七七九第一率也〈内〉半邊之數六為二率〈外〉半弧之餘八○九○二為三率〈内〉算得八又四之一不盡〈外〉為五邊底形從心所出之中垂線又正〈内〉與半邊〈外〉若全數〈内〉與半徑〈外〉得一十又五之一强〈形外圈之半徑〉兩數并得一十八又二十之九强為五邊形之中長線次以面形之中長線底形之中長線及一稜之度三線相遇成一三角形〈平分全體所分之兩面〉有三邊之數求中長線得一十六又半不盡為所求元體之正高
　　底之周六十半之得三十以中垂線乗之得五七二又十三之四為底積以正高乗之得九四三八三而一為元體之容得三一四六也
　　若稜之度長短不等則用最長之稜及其對面之中長線求體之正高
　　論曰角體為立面體三之一者何也如正立方體自上而下對角平分之為兩塹堵毎一塹堵得正立方二之一又于塹堵之兩方面自上而下對角平分之成大小二分大者為陽馬得塹堵三之二小者為鼈臑得塹堵三之一則一正立方分之為塹堵得二陽馬則三鼈臑則六角體者陽馬也故得立面體三之一也〈說見九章算〉


　　又外切圈之半徑為句稜數為用句股法求股即元體之正高〈此法甚簡易但須各稜俱等乃可非公法也〉
　　截圓角體法有五從其軸平分直截之所截兩平面為三角形一也横截之與底平行截面為平圓形二也斜截之與邊平行截面為圭竇形〈頂不銳近底之兩腰稍平行〉三也直

　　截之與軸平行截面為陶邱形〈頂曲漸下漸直底兩旁為銳角〉四也無平行任斜截之截面為撱圓形五也内第一第二第五
　　〈有本〉論第三第四其面皆為一直線一曲
　　線兩界之面所截體之一分皆為兩平
　　面一曲面三界之體亞竒黙徳備論其
　　量法然非測量所必須又各截面皆有
　　底有軸〈即中長線〉有曲線若轉軸環行即徑
　　線為平底界曲線為曲面界生二界之
　　體其邊名曰平曲之邊平曲者從曲頂
　　而下漸趨平也若以此體為空體則皆造作燧鑒之法以其淺深為光心之逺近亦非測天所用未及詳焉
　　第三名斗體古名方窖圓窖等其上下兩面不等而相似盖角體之截分也引長其稜即相遇而成全角之體〈凡置斗體大面居下本角體之截分角體欲自立底必在下也其置截分亦然〉
　　法曰若知本角體之高即先求本
　　角體之容後求所闕截分之容相
　　減餘為元體之容假如斗體之底
　　長方一邊得八一邊得九則其積
　　七十二以全高二十四乗之得一七二八以三為法而一得五七六全角體之容也次置斗體上面之一邊四一邊四又半其積十八〈即闕分之底〉以闕分之高十二乗之得二一六以三為法而一得七二闕分之容也以減全角體其較五○四斗體之容也
　　若不知全角體之高則截體分求之
　　法曰如甲乙丙丁斗體之大面也邊
　　各二十四戊已庚辛小面也邊各一
　　十八用垂線截斗體從戊已邊向下
　　至午未底分元體為二從辛庚邊向下至申酉底從庚已至戍亥從辛戊至子丑皆如之分元體為九一居中成立面體四邊四體為塹堵〈正二面一立一斜側二面為句股〉四隅四體為陽馬〈即角體亦名方錐〉各以本法求其容并為斗體之容〈塹堵以高乗底積二而一陽馬以高乗底積三而一〉
　　立面體上下兩面等各邊十八其積為三二四以高十五乗之得四八六○塹堵〈一名句股體〉其底長方辛子三〈兩面之較六折半得〉
　　〈三〉辛庚為十八乗得五十四為底積以正高乗之得八
　　一二為法而一得四○五四倍之得一
　　六二○〈四邊四體故〉陽馬其底各三其積九
　　以正高乗之得一三五以三為法而一
　　得五四四倍之得一八○



　　若斗面為多邊形而無法或其稜不等亦用次法從上
　　邊向下截成衆體如圖甲皆為塹堵
　　乙皆為陽馬其中間無法之形則以
　　形為底分之中作一立面體餘為四
　　三邊形各形有稜有高可知其容又
　　公法〈上二法遇圓體而窮〉設上下面之邊與正高與兩面之積法曰上下兩面積各開方兩根相乗得數并入兩面積以正高乗之得數三而一為斗體之容如斗體各率同前下面各邊二四其積為五七六上面之各邊一八其積為三二四兩根相乗得四三二與前兩積并以高一五

　　乗之得一九九八○以三除之得六六六○斗體之容也
　　又便法〈小差而不逺〉并兩面之邊半之自乗得數以高乗之得斗之容如前數上面邊一八下面邊二四并得四二半之得二一自之得四四一以高一五乗之得六六一五比前少四五其差為一四七之一耳
　　凡有法之體五其面其稜皆等其大小相容相抱與球相似〈幾何十一十二十二十四卷極論此理今稍引用為比例之法〉
　　一曰四面體各面為三邊等形用堅楮依圖裁而合之
　　成一全體有六稜四隅
　　設各邊一百因前法求
　　其容為一一七四七二
　　半　此下五則皆名法體求容凡同類之體皆依此為例以顯推隱故下文稱例體例邊
　　二曰六面體立方也各面各稜等有十二稜八隅其面
　　為正方形設各邊一百
　　因前法求其容為十萬

　　三曰八面等之體各面為三邊等形有十二稜六隅各
　　邊設一百因幾何求其
　　容為四七一四二五有
　　竒
　　四曰十二面等之體各面為五邊等形有三十稜二十
　　隅邊設一百其容為七
　　六八六三八九

　　五曰二十面等之體各面為三邊等形有三十稜十二
　　隅邊設一百其
　　容為五二三八
　　○九
　　依幾何之説得一體之容可推同類〈同類者同若干面數也〉萬體之容盖同類兩體之容之比例與兩體邊上立方之比例等
　　假如置四面兩體大者邊設一百小者邊設五十兩數各再自之得一百萬與一二五○○○此兩數為兩體之容之比例而以大不等為一百萬之一二五○○○約為八之一用三率法則命分數為一率得分數為三率前所立例體之容為二率得四率為所求他體之容
　　如前數欲知五十邊上小體之容以例體大邊上立方一百萬為一率以所求小體邊上立方為二率以大體之容為三率用法得一四六八四又四之一為小體之容〈第三率大體之容於前法體求容五例内簡其同類者即用之〉
　　一率　一百萬
　　二率　　一二五○○
　　三率　一七七四七二半為前例所立大體之容四率得一四六八四又四之一為所求小體之容
　　又欲知十二面體之容各邊二五法以同類之例體邊再自之得一百萬所設體之邊亦再自之得一五六二五如前推之
　　一率　　一百萬
　　二率　　一五六二五
　　三率　　七六八六三八九為前例所立十二面體之容四率　　得一二○○九九為所求十二面體之容
　　又設一體之容欲知其邊若干因此容與他容若此邊上立方與他邊上立方其法以例體之容為一率設體之容為二率例體邊上之立方數為三率得設體邊上之立方為四率開方得根即所求邊也如有一四六八四又四之一為今設四面等之容求其邊若干查前例其同類之體邊一百其容一一七四七二又半依三率法得立方根為五十即所求設體邊數
　　一率　一一七四七二半〈例容〉
　　二率　一四六八四又四之一〈設容〉
　　三率　一百萬〈例邊〉
　　四率得一二五○○○為所求邊上立方開得五十為所求設體之邊
　　量圓球之容
　　圓球之全體見亞竒黙徳圓球圓柱書併見幾何一十四卷兹借數題明之
　　第一題
　　球上大平圜之積為本球圜面積四之一〈此亞竒黙徳之一卷三十一題也大平圜者從大圏過心剖球體為二所分兩平面是也圜面積者全球大曲面之平積也〉系　凡周乗徑生球圓面之積亦生大平圜積之四倍大圜周線上方形與球圓面之比例若大圜之周線與其徑　解曰如圖甲乙丙丁球上之大平圜也甲丙其徑〈與球徑等〉己辛與圜之周線等上成己壬方形形之庚辛與甲丙徑等而己壬方形外復成庚戊方形題言己庚
　　矩形為大平圜之四倍壬戊矩形與
　　庚己矩形等盖壬辛己辛同為矩方
　　形之一邊戊辛辛庚亦同為矩方形
　　之一邊則兩矩方形必等夫己壬周
　　線上之方形也壬戊為大平圜之四倍而與球之圓面等則其比例如己辛與辛戊矣〈五卷二周與徑比例之數為二二三之七一或二十二之七〉又大圜徑上方形與球之圓面若圜之徑與其周盖己庚矩方形與球之圓面等庚戊為徑上之方形則兩形之比例必若己辛周與辛戊徑矣
　　二系　球徑上方形與球之圓面為一與三又七一之十或一與三又七之一
　　第二題
　　徑三之二乗大平圜之積生球容之數〈亞竒黙徳之一卷三十二題〉解曰設大平圜之周一〈凡大測當以全數為母則易推故設周為一自之再自之恒為一〉其大徑為二二三之七一其半為四四六之七一以半周二之一乗之得八九二之七一此大平圜之盈積也又以六六九之一四二〈此大徑三分之二〉乗之約之為二九八三七四之五○四一得球容之數
　　又大平圜之周再自之恒為一知大圜周上立方與球容之比例何者全數為母〈即一幾何謂之命分數〉是周上之立方也子數〈幾何之得分數〉為球容則球容與大圜周上立方之比例若五○四一與二九八三七四而盈用小徑之數得四九與二九○四
　　又球徑上立方與球容之比例若二十一與一十一而盈若四二六與二二三而朒法置球徑一大平圜之大積為十四分徑上方之十一以徑三之二乗之得四十二之二十二約之得二十一之十一為球之容又球徑上立方為一則其與球容之比例為二十一與十一而盈或用朒法則大平圜之小積得四二六與二二三亦徑上立方與球容之比例也〈右徑上立方與球容之比例〉因前論置球之徑　一求球之圜面以二十二乗徑數以七除之以所得之徑乗之得圓面之積〈用二十二與七而盈用二二三與七十一則朒〉　一求球之容以二十二乗徑以七除之得數以徑三之二乘之得球之容〈右以徑求圜面積及球之容〉又徑上立方與球之容若二一與一一而盈若四二六與二二三則朒　置大圜之周大圜周上之立方與球容若二九八三七四與五○四一而盈若二九四與四九則朒　置徑置球之圓面相乗六而一
　　置徑〈四之一乗圓面三之二三之一乘圓面二之一〉　乗大圜之積三而二或徑乗積三分之二　或徑三分之二乗積俱得球之容
　　或半徑乗大圜積三分之二所得為球容之半　或大圜半積乘徑三分之二所得亦半
　　量球一分之曲面
　　凡截球面過心其一分為全球之若干量法與全球無
　　異〈或半球或四之一或五之一俱同法〉　若截球面不
　　過心為直面而曲面界為球上之圏
　　則借天球之界以明之
　　解曰甲丁己辛為子午圏甲比己南
　　丁辛為夏至之圏從夏至圏截之甲至丁作直線用此線為半徑作甲丁别圏亞竒黙徳之一卷四十題曰甲丁别圏之積與丁甲辛球分之曲面等又從巳至丁作直線為他圏之半徑其圏之積亦與丁己辛球分之曲面等若曲面非全球之若干
　　分則為無法之形
　　量球一分之容
　　取球之一分截面過心其曲面之界為圏亞竒黙德曰想圓角體其底之圏幾何與所截凸面之一分等其高為球之半徑此體之容與今所解之球分等
　　如甲丁己辛球丁甲辛庚為截分丁甲辛為凸面丁庚辛庚截面過心則先求丁甲半徑倍之以二二乗之以七除之所得之
　　半以半徑乗之為凸面之積次以甲庚半徑乗之三而一為丁甲辛庚球分之容
　　若截為直面不過心如甲丁辛之一分而求其容則先求甲丁辛凸面之積以徑乗之六而一為丁甲辛庚體之容次丁辛截面至心則想丁辛庚圓角體求其容以減丁甲辛庚體之容餘為丁甲辛球分之容
　　量撱圓體之容
　　撱圓亦有法之體也又次於圓球其為體則長圓形之長徑為軸旋轉所生如一㸃直行生線一線横行生面一面上行生體平圓面以徑為軸轉軸環行是生圓球長圓面則有二徑一長一短以長徑為軸轉軸環行是生撱圓之體以短徑為軸轉軸環行是生扁圓之體撱圓之體或名為卵體非也凡烏卵一端大一端小是為無法之體撱圓體則兩端等亞竒黙徳之第一卷備解此體及分角體之理今略述之
　　凡截圓球生兩圓面成兩圏若平分之即過心過心之截分恒相等若撱圓體從小徑横截之生兩平圓面因小徑過心故若從其長徑直截之生兩長圓面即元體之長圓也若横截與小徑平行亦成平圓面若斜截之則其面皆不等皆成長圓形
　　凡圓角體其底之徑為撱圓體之小徑其高半長徑則其體之容為撱圓體四之一
　　如甲乙為長徑丙丁為小徑
　　即丙戊丁甲半撱圓體倍大
　　于甲丙丁角體
　　解曰小徑以二十二乗之七而一小徑之周也得數以乗小徑四而一小徑之平圓面積也得數以乗半長徑圓柱之容也三而一角體之容也得數四之撱圓半體
　　之容也
　　若截面與小徑平行如庚己
　　壬求撱圓分體如庚甲壬之
　　容黙徳法曰先求庚壬甲角體之容次用三率法己乙〈大分之軸線〉與戊乙〈半長徑線〉甲己〈小分之軸線〉并若角體甲庚壬之容與撱圓小分庚己壬甲之容
　　若求大分之容先求角體庚
　　壬乙之容次用三率法甲己
　　〈小分之軸線〉與甲乙〈長徑〉戊乙〈半長徑〉
　　并若角體庚壬乙之容與撱圓大分庚己壬乙之容
　　量無法之體
　　解曰以錫為正方櫝各邊一尺或五寸若用木則以三
　　和灰塗其罅令不漏實之以水投所
　　量物其中則水溢取出物量水減幾
　　何得物之容如減一寸而櫝邊設一
　　尺則得一百寸為物之容盖各邊一
　　尺上面積為一百寸水減一寸則為
　　一百寸若水減不及寸或過焉則量若干分以面積乘之得物之容










　　新法算書卷九十二