新法算書 (四庫全書本)/卷018

新法算書　卷十八

　　欽定四庫全書
　　新法算書卷十八　　　　明　徐光啟等　撰渾天儀説卷三
　　立象
　　立象者何任所得時刻應何宫度依之以推定十二舍也而各舍所當居之度分並經緯諸曜皆從本度起算則此因時之變得天之容乃占驗所繇以生苐此中𦂳要在定每舍之初界〈即初度〉舉所應得分數繪以方圖或圓形隨㸃入星曜即渾天之象成矣法依本北極高安球以本日躔度與時盤午正較對始轉球與盤將先所得時刻居子午圏下而本球宛然一當時之天象次于西地平識同居之赤道度並得相應之黄道度即苐七舍初界次起半圏至赤道上距三十度之限所得黄道度乃苐八舍初界遞起遞加盡得地平上各舍初界而地平下諸舍則以黄道相對處可定如一與七二與八三與九四與十五與十一六與十二之類是也假如崇禎九年正月十五日辛酉曉望月食順天府食甚在卯正一刻二分日躔在娵訾宫一度五十三分因此時求各舍躔度先以日躔對時盤午正依法轉儀得西地平交赤道一百五十度交黄道鶉火宫一十三度此即七舍初界正對東地平得𤣥枵宫一十三度為苐一舍初界〈即命宫是〉上居天中得析木宫二度為苐十舍初界正下得實沈宫二度為苐四舍初界半圏交赤道一百八十度〈距前數三十度〉得黄道壽星宫初度為苐八舍初界正對之降婁初度起苐二舍又以半圏交赤道二百一十度得大火宫九度為苐九舍正對之大梁九度即苐三舍後移半圏至子午圏之東得析木宫二十度為苐十一舍星紀一十度為苐十二舍而正對處即實沈鶉首相等之處為苐五及苐六舍因而上下左右四角〈四角占驗最得力處〉定矣復求緯星所居之舍或依表預算或徑用推定七政細行則以本北極高及本時刻取各曜相應度分入其舍若星近舍初界有距度或可入前舍中必先以黄經緯安球上隨以本曜所居之處求于本舍而以前所立象定球漸移半圏如法起舍乃星入前後界内者即得本舍是也若地平下各舍之星法起南極于架上與北極等高移前苐一舍之初界至西地平而天容在地平下者反居地平上即得諸曜本舍之界如以鶉火十三度交西地平至壽星初度總弧内得前月食惟木星與太隂畧近查丙子年七政細行食甚時木星躔鶉火二十九度五十七分而火星則躔大火三度三十分應入八舍土星躔星紀一十一度三十分緯北三十四分必在十二舍之初界太陽金水二星皆在娵訾宫因同入命舍其土星依本經度惟緯北三十四分故得在十二舍之初界若距黄道北或一度半或二度試以舍圏限之必其已入十一舍因近頂緯多故也求恒星法同此盖此象一立則凡各曜性情勢力强弱可考而知窮理之家借以觀變于未然鮮有不騐者〈其法詳天文卷中〉
　　求兩星于立象圏上相合之時
　　凡兩星本各無力一合即増力此實足為所立象損益之原也故以初得某星某宫度主人生命等事者安東地平〈依本地北極高〉即應查其與某星相合否盖轉立象圏于球面上下得二星在通徑上即命星在地平時其星必合否則令球與立象圏各自那轉後求其當合時法必得二星能如此合遂識赤道交子午圏度次移本日躔度合子午圏併識其同居赤道度乃以前赤道交度減後赤道交度餘度化為時刻即得二星應合之時如極高四十度一星在鶉尾宫二度距緯南三度又一星在本宫四度距緯北一度本日躔鶉首宫七度試轉儀併半圏見子午圏西未合必過東近地平方可得合而合時赤道則以七十五度交子午圏便移日躔至子午圏下得同居赤道九十七度為前度所減〈先借全周後減〉餘三百三十八度化為時得二十二時二刻四分即二星去午時後合圏下之限
　　求經緯星相照度
　　凡兩星相照増力或阻力多以向黄道為凖大約有五等如㑹合即同度同分為宻而同度不同分者則謂之疎六照以六十度為界四照止于一象限三照以四宫相距而云然望照則以正相對而得半圏之距乃此數照又各有親或逺者盖星體居正照之界即親而力强若體未正居其界而苐以光居之即逺而力弱至若光之前後雖同而各星所定之限有異如土得十度〈前十後十〉木十二度火八度太陽十七度金水皆七度太隂復十二度經星凡苐一等有七度三十分二等五度三十分三等三度三十分四等一度三十分五六等最微力弱不入其數總之除㑹望二照餘皆以順十二宫為左照逆十二宫為右照試于儀上考之法用規器量黄道上任取一照之界〈六十九十等度〉以星為心于黄道左右分順與逆照之限假如求大角四照以九十度為限將規一銳居本星體一銳指左界九十度必至星紀十七度為順照指右界九十度必至鶉首十七度為逆照若七政必先依各經緯度安其本位餘法同前又一法用立象半圏先依北極出地安球任取本時升度居地平乃移半圏徑過其星依之于赤道上作識後轉球從前所識赤道度相距三四等照界仍移半圏其上所指黄道度即星照所至界也假如升度在夀星十六度求軒轅大星六照限必移升度于東地平立象圏過星指赤道一百三十八度復加六十度應一百九十八度居立象圏即併得壽星宫十六度居本圏為軒轅大星六照之左限其右限則以反減六十度為法
　　求嵗旋
　　凡從前所取時刻至太陽復躔元度分其中相去總數謂之嵗旋盖依後時所立象較前象所得七政等星居舍内應増或阻前星之力即效驗所繇變也法令球依前立象之時定住視赤道交子午圏若干度為前象天中升度今越若干年復求後象天中之升度必每去一嵗加八十八度四十九分滿全周則去之餘數即後象赤道交子午圏度使之于本圏正合可得天容依嵗旋之時因以定各舍宫度而各星安舍法亦同前假如崇禎元年正月酉正時立前象因太陽躔𤣥枵一十六度一十九分依法轉球令時盤酉正交子午圏得赤道交本圏之升度為五十度設相去八年復立象為崇禎八年十二月二十九日〈太陽躔元度是〉則以八乗八十八度四十九分去全周餘四十度三十三分為後象之升度移居子午圏得本圏指酉初二刻為嵗旋之時如用立成表細求即後嵗中先查太陽躔元度分之日為嵗旋終之日次以後象升度減太陽是日之升度〈不足減借全周減之〉餘數化為時刻分即得當日立象之時刻焉假如因十二月二十九日太陽躔元度為嵗旋終之日其升度三百一十八度四十八分後象升度四十度三十三分不足減借全周共得四百度三十三分減去前數餘八十一度四十五分化為五小時一刻一十二分〈從午正起算〉
　　加升度表





　　引照元與増力元相合
　　凡初得某星某宫居某舍因之以占所效是謂照元設更有一星或一宫所居舍能増力或阻前效即謂為増力元二元必各依定時著力乃就中求以前者至後之位或反以後者至前之位俱依赤道弧相應二元之距為限轉球查其弧之大小為引則一度應一年度數旣定應在何時亦可限矣故引後至前以順宗動為正而引前至後則因五緯逆行時用之遂名曰反引皆于球上

　　可得正引者何轉球先依天象安定令黄道應苐一舍初界之度正居東地平次查照元移象圏徑過其上併識赤道合子午圏度又轉球右行以増力元至半圏復識赤道交子午圏度則先後所識之間弧乃指正引限而總數可推年時也欲反引安球令之轉同前惟立象圏宜先徑過増力元復識轉球時赤道過子午圏弧因以定其中相去之年假如北極髙四十度設大梁十度在苐一舍初界太隂離黄道娵訾二十度距北二度為照元火星近東地平躔大梁六度距南三度為増力元必先依各經緯度帶二曜于球上然後令象圏過太隂處所交赤道㸃約為三百五十二度〈用本圏與用子午圏同〉次定住象圏移火星與本圏正對約得赤道交圏㸃為二十八度以所得前後度相減餘中弧為三十六度即正引之限求反引法亦同但引限在地平下必先起南極依北極出地度令黄道苐一舍初界之度正居西地平餘法同前〈見前苐二卷〉
　　求引二元應止黄道何度
　　因照元漸離初得之象圏乃更有黄道相應故任至某年亦可求其相應度法先安球依本象令象圏與照元合隨查赤道交子午圏度因之順或逆取本度與年數所止限移至子午圏必此時交象圏黄道度即其年所引照元止限也如北極髙四十度設壽星十六度東出太陽躔𤣥枵六度為照元依去四十二年之數復求躔度因安壽星十六度于本地平安象圏于鶉火六度〈與𤣥枵對度因後在地平下故〉得子午圏交赤道一百一十度以加四十二度依之應一百五十二度交子午圏得象圏交鶉尾一十六度即娵訾一十六度〈正對宫度是〉為照元去四十二年所至限若照元自居四角不必用象圈依所取年數轉球復居本角黄道度即照元所止度設壽星十六度為照元而出地平者亦即此度則得地平交赤道二百零一度令球右轉以赤道四十三度至地平則所并居之大火十九度即為照元任取之年後止限又設増力元亦居地平等角即以同居赤道度減年數之度所止限復移至地平等角亦即得黄道交地平等角為其當年所至之限或増力元不正居角仍用象圏與之交并識其所過赤道度減總年數餘度限移至本象圏復得并交黄道度為増力元當年之限也
　　依渾儀解圓線三角形
　　圓線三角形者何乃過球心大圏相交三弧之形而各弧不及圏之半周所成也盖形内每兩弧共抱一角在間者謂之腰弧而與角相對之弧即底弧或又謂直角三角形内以所抱直角弧為底弧及垂弧即與勾股不異而以所正對直角者為弧論角其大小以對弧之大小為則盖用規器以本角為心以九十度為界則兩腰間之弧〈腰先引長〉必量其角得本弧為一象限即對角為直角過象限為鈍角不及象限乃為鋭角凡弧或角不及滿象限之度名之為餘又凡兩腰引長至合一㸃則得抱角之對三角形以底弧為公底以對角為等角而餘弧餘角皆前三角形所不及滿一百八十度之餘弧餘角者也因止一直角三角形得餘皆鈍角者則與直角正對之形内腰間角必直餘反皆銳也如止一直角三角形得餘一鈍一鋭者則與鋭角正對之形内惟前形直角相連之角為直角餘皆銳角也如圖乙戊丙形内設戊為直角乙丙皆鈍角即其對形乙甲丙内得甲為直角乙丙皆銳角也又丁丙戊形内設丙為銳角戊直角丁鈍角即其對形為丁巳戊而戊角獨直丁巳皆銳角論斜角形如三角總為鋭角必對形獨存一鋭角餘皆鈍角也設乙甲丙形内甲為鋭角即得對形乙戊丙内
　　戊亦為銳角乙丙皆鈍角如三角總為鈍角乃對形反存一鈍角餘皆銳角也設乙戊丙形内戊為鈍角即乙甲丙内甲亦鈍角今解三角形法多論不及一象限之弧即鋭角之底是也因以斜鈍角形先變為鋭角形以直角形有一或二鈍角者亦先改為對形則就中推求之法與解原形不異即餘弧餘角之理所繇出也今用渾天儀解之亦倣此但先解直角形盡之于三比法有以先得一鋭角并與各弧者又餘鋭角復并與各弧者又以其底同各腰或并得二腰者各列法如左
　　任取一弧一鋭角求餘弧及餘角
　　設甲乙丙三角形内甲為直角其底乙丙餘弧即腰則乙與丙皆鋭角也先設得乙丙直角之底弧及乙角欲求餘盡解本三角形法架内北起子午圏令赤道前髙依本角之度然後或東或西自赤道交地平處與本地平查底多寡之度以為限移過極圏至此限上即三角形儀上定矣如乙角為二
　　十三度半以前子午圏弧為則使赤道依之其左右交地平角即得對弧以定大小今甲為直角必于赤道交過極圏處求之則地平上得底若設乙丙底弧為六十度而移過極圏至本度〈從乙角算起〉因大腰在赤道弧約為五十八度小腰在過極圏弧為二十度有半自過極圏交地平查各圏滿一象限即以其限安髙弧得二圏間之弧為丙銳角之對弧約七十八度又設以小腰及本角求餘弧及餘角即先定角等法同前而以所先得甲丙弧〈如二十度半〉與過極圏上為㸃移之至交地平必自得腰與底弧合前度即丙角亦在髙弧同矣或以大腰查求其餘亦先定乙角而轉儀以漸進赤道弧入地平令自其二圏相交之處獨餘五十八度至過極圏交赤道之角必餘法餘度亦合前也今試以三弧各與丙角為先得如底為六十度求餘弧餘角法移過極圏至地平距子午東或西三十度〈六十度餘是〉定住球使髙弧距二圏相交之處各滿一象限得間弧為七十八度即所設之形凖否則宜前或後起子午圏必令髙弧對丙角如其度為止即子午圏自地平以上得對乙角之弧而直角兩腰皆明矣或設先得大腰與丙角必進或退赤道圏定其腰之大小〈如五十八度〉即安髙弧而起子午圏依前法求餘弧及餘角也或以小腰及丙角求餘即先于過極圏查腰弧大小之度使之交地平以試髙弧得全形盖對角弧不及其度即球宜北起過極圏宜南下若對弧已過其度則球反宜南起隨移過極圏東西得正然後餘角餘弧皆依前法凖得矣任取一腰一底或二腰求餘弧及諸角先設得小腰與底弧皆依前度法令球轉東或西以過極圏限底弧之度〈如六十度〉視本過極圏自赤道至交地平弧若正合其度〈如二十度半〉即三角形已定否則前後起儀求小腰務合于地平乃所對大腰亦復得五十八度而查乙角丙角必同前又設得大腰與底弧亦先定底弧度漸起球或下令之左右轉以并對大腰度即小腰亦自合而求角必依前法也或復設得二腰求底與角即先定大腰令球下或起即得餘腰與底而求角亦不異前也
　　解斜角三角形總為六題
　　其一曰以二腰及間角求底弧及餘角如甲乙丙三角形内丙為鈍角甲乙皆鋭角設先知甲角〈即間角〉則乙丙為底餘弧皆腰也如甲角為三十度大腰六十度小腰止五十度法于子午圏查距極〈南北不拘〉六十度之弧移其限于天頂次用過極圏令
　　距子午圏左或右而以赤道三十度為限末安髙弧東西必依極圏所居方位令之交極圏距極限五十度即三角全形定矣大都子午圏為大腰極圏為小腰髙弧為底因而如前圖得乙丙底為二十六度有半乙角以地平為對弧在子午圏及髙弧之間得五十九度有半所餘丙鈍角欲求其對弧未免再移球故先依髙弧于球面上界線後轉極圏令交髙弧之㸃正居子午圏下而并其子午圏起之以當天頂乃復依先界之線安髙弧而以至地平為限則此限及子午圏之中弧即丙餘角之對弧為一百八十度所減存得丙角一百零三度若用渾儀求之線宜界于黄道上或髙弧本位不與黄道遇即于未轉極圏之先移髙弧于正對地平度所遇多寡度界線其上餘法同前而所得弧即正丙鈍角之對弧也其二曰以二弧及先所得一弧之對角求餘弧餘角如前圖設先得甲乙弧六十度乙丙二十六度半及丙角一百零三度法起子午圏以二十六度半為距極之限令之居天頂則自極至頂得乙丙弧將秋分經圏西距子午圏十三度
　　〈依赤道為則〉或將春分經圏東距十三度則自二至經圏至子午圏其中得赤道弧為一百零三度乃丙角之對弧也又安髙弧使之以六十度〈自頂下數〉交過至經圏即以髙弧得甲乙以經圏得甲丙而甲乙丙形全矣今查甲丙必為五十度乙角則自髙弧至子午圏在地平上必五十九度半所餘甲角因依髙弧于黄道上界線然後移經圏交髙弧之㸃以正居天頂而依界線復安髙弧得交地平至子午圏之中弧為三十度或不移球止安髙弧于地平正對之處用規器于前交經圏及髙弧一象限之界量二圏所距亦必得三十度為甲角之度也設反得甲丙五十度乙丙二十六度半及甲角三十度以求餘弧餘角法起子午圏令距極五十度之限在天頂次轉儀使過極圏距子午圏之東或西依赤道上三十度為則即于髙弧自頂而下數至二十六度半以之交經圏即得餘弧于本圏為六十度而髙弧在地平上其距子午圏一百零三度乃為丙角之對弧仍依髙弧在黄道上作線令前交之經圏六十度居頂用髙弧順線下至地平必得五十九度半即形内乙角也其三曰以二角及先所得一角之對弧求餘角餘弧設甲乙丙形先得乙角為十度半丙角為一百五十四度半又得甲丙弧對乙角為二十三度半宜求甲角與甲乙及乙丙弧但既先得甲丙對乙角之弧亦應知甲乙對丙角之弧過象限否今使過象限法查經圏左右赤道上之十度半令之正居子午圏
　　隨于地平上從北去南查一百五十四度半以之安髙弧因而起或下子午圏必視其所交經圏之㸃距北極出象限外乃并視經圏所交髙弧之㸃必距天頂二十三度半一得距度凖即本形定矣盖乙角在極中經圏及子午圏之間與正對赤道得其若干〈十度半〉丙角于地平〈一百五十四度半〉甲乙弧于經圏上約得一百零六度乙丙于子午圏上得八十四度半止餘甲角必起髙弧與經圏所交之㸃至頂而求其角于地平依前法得其為二十七度其四曰以二角及角間之弧求餘角餘弧如前形内設甲角為三十度丙角一百零三度甲丙弧為五十度法自極中查子午圏上五十度令之居天頂為甲丙弧查地平去子午圏北一百零三度以安髙弧為丙角末以赤道上距經圏三十度之限移居子午圏乃得甲角而餘弧自明矣因而髙弧上得乙丙為三十六度半經圏上得甲乙為六十度若求餘角必起髙弧所交經圏之㸃至天頂依前法查之乃得其五曰以三弧求諸角設甲乙弧為六十度乙丙為五十度甲丙為二十六度半法使甲乙弧在子午圈出極中至天頂即以之安髙弧令以二十六度半〈從頂算〉交經圏距極五十度之限必得乙角于赤道圏
　　甲角于地平而丙角則起經圏五十度至頂依前法求也或使乙丙五十度在子午圏而以髙弧安經圏之六十度即乙角可在赤道上得丙角則反在地平甲角則起球求之法同前其六曰以三角求諸弧設甲角為五十九度半乙角為三十度丙角為一百零三度法轉經圏于子午圏之東或西任取相距三十度或五十九度半或一百零三度皆以赤道弧為則必得相應之角在經圏過極之處安髙弧亦同法蓋其交地平距北或三十度或五十九度半或一百零三度必皆在地平上算而相應之角則在天頂但安髙弧必先于地平取凖乃于天頂未定之時漸起或下儀試二弧逺近相交之處以對餘角其法或識髙弧交經圏之㸃于頂而地平上試所求角正對之弧或用規器從髙弧與經圏相交之各㸃距一象限量其二弧所距〈必先轉髙弧于地平正對度〉得合餘角即初起之球必凖否即更移之總以試定三角後而其弧自明矣
　　依比例原法復解圓線三角形
　　圓線三角形中之比例總歸四原因生四公論以盡解或直或斜三角形之理一論曰凢多直角三角形得銳角同近底線者以較其及埀線之正必皆互得比例設後圖于儀上甲乙丙丁為地平戊為天頂從戊過甲
　　戊丙與庚戊巳皆以直角交
　　地平彼為子午圏此為髙弧
　　乙辛丁當赤道圏以直角交
　　子午于辛以斜角交地平于
　　乙于丁盖多三角形中取二
　　形即丁辛丙及丁壬巳乃二
　　形中有丁辛與丁壬為線辛丙與壬巳為埀線丁丙丁巳皆底線銳角在丁依常法以辛癸及壬寅兩線之正與辛子及壬丑兩埀線之正互相較先得三線其餘線俱可得矣今用渾儀顯之試以二線及大形中之垂線求小形中之垂線因而設丁辛得九十度為赤道一象限丁壬為赤道四十二度之弧辛丙則其地平髙得四十八度二十五分法移髙弧在壬下至地平得壬巳弧為三十度二分或安髙弧以三十餘度交赤道圏即自限小形之可并得兩線欲求大形中之垂線則辛丙必為子午圏上之弧自地平至赤道髙四十八度二十分或以二垂線及大形中之線求小形中之線各依前所定度則自壬髙弧交赤道處至本赤道交地平丁必得四十二度二論曰凢多直角三角形得銳角同近底線者以較其底線之正與弧之切線必皆互得比例如前圖三角形同而大形底弧之正癸丙其切線即卯丙小形底弧之正己巳其切線為辰巳皆可反復相解或求垂線或底線必以算
　　乃得今于渾儀上查之設赤道
　　髙同前髙弧交處亦同前度必
　　所得垂線亦不異前若求丁巳
　　底線即自赤道交地平至髙弧
　　切地平之處得其弧為三十度五十餘分因依常法凡弧之正與垂線之正得比例可互求而底線之正較垂線之正則否何也盖垂底兩弧之正各圓線形内不能合成一直線三角形故〈見前苐一圖〉用渾儀可免直線形止須以圏相交處即得各弧之長短大小焉三論曰凡圓線三角形其線之正必與對角之正得正比例如後圖設甲乙丙為直角三角形直角在丙餘皆鋭角各邊引長為一象限至壬至戊至丁自丁復引象限至子至庚因得乙丁巳斜角三角形今依常
　　法直角形内求甲丙邊即因先比之
　　丙角與甲乙或甲角與乙丙推乙角
　　與甲丙之比例求乙角即因甲乙反
　　比之丙角或乙丙與甲角亦算得甲
　　丙與乙角又求乙丙應以甲角較推如丙比甲乙同而反求甲角應以乙丙邊推如甲乙比丙同此反復用八線表推求法也若用渾儀即本圖内子甲壬自當地平必得天頂在丁而子丁壬為子午圏設辛乙戊為赤道丁乙丙為黄道或當髙弧則直角形中之三邊各顯于本圖各有定度可取盖論角則丙角自顯為直角以丁子弧可徴餘角皆以對弧得則甲角以戊壬乙角以辛癸是也試于斜角三角形内先求乙巳邊必以丁對角推之用乙與丁巳或巳與丁乙之比例求乙巳等角亦以對邊求之法必同前但查表或疑其所求角應鋭與否〈如查正九二七一八應六十八度并應一百一十二度〉必以取凖圖形為正或用天球尤易明盖設丁庚為髙弧得丁角于丙庚地平弧乙角在兩道相交之處必對則在過二至之圏弧巳角旣為鈍角乃左右之邊無以定其象限必球上自頂順髙弧界線而線交乙巳弧之㸃移至頂則球一面依先界線安髙弧必盡于地平一面赤道亦自至地平彼此間地平弧即能量定巳角矣四論曰凡圓線三角形兩邊各小于象限先以兩邊弧自并後又以小邊并大邊之餘弧而即以此後總弧之正或減先并總弧之餘或加其過象限弧之正所得線半而用之乃以求第三邊即前兩邊間角之矢與他線如全數與前半線所復得線為後并弧之正所減必餘第三邊之餘或為後并弧之正所加亦餘第三邊過象限弧之正若反求角則他線與角之矢如前半線與全數而他線亦為後并弧之正以内減第三邊之餘或加其過象限弧之正所生因此三角形中之兩邊并較象限或等或小或大而各依之以推第三邊設角時直時斜皆同但推角設邊反異盖兩邊并較象限相等或小則設第三邊必小于象限獨兩邊并大于象限所設第三邊亦能大于象限故法雖同臨推種種畧異此等三角形歴家無所不用雖加減法若省然亦未免于煩欲查渾儀則捷若指掌何也以二邊及間角求餘邊先設兩邊并與象限等其一為四十七度其一為四十三度間角為五十度試于儀上極髙四十度即安髙弧令地平上依間角自南去東距子午圏五十度自頂于髙弧上查四十三度亦自頂于子午圏餘四十七度得其中黄道弧從娵訾宫一十四度至降婁宫一十七度共為三十三度即形内餘邊也復設兩邊并小于象限如各為三十五度間角與極髙同前得三邊在中黄道弧則自降婁宫九度至大梁宫六度共為二十七度又設兩邊并大于象限如各為六十度餘皆同前得第三邊在黄道弧自𤣥枵宫二度至娵訾宫十五度共為四十三度若求角即以先所得三邊反查髙弧及子午圏之間角則所得三弧必生五十度之角苐原法凡得三邊小于象限者用其餘與後并弧之正相減大即以其大弧之正相加乃儀上亦無二法如黄道自𤣥枵宫一十八度至實沈宫初度共一百零二度為苐三邊其對角當在髙弧及子午圏相距之地平上得一百一十度此則抱角之二弧并必大于象限也今試以公論用儀解日食内所算三角形則凡直角形歸一種斜角形又歸一種其列二等如左
　　求時圏與地平交角
　　時圏與赤道經圏及過赤極圏皆一而獨以其所用有分别焉設太陽居正午其過時圏至地平正交必為直角若午前後因斜交地平得角亦斜且大小不一復設太陽在正東距正子午圏共六小時則過時圏至北極得九十度其交角大小與極髙度同使交角在正午及正東西間即以髙弧求其大小法從交㸃各圏上正去九十度安髙弧〈地平上算〉必本弧上從地平至交時圏間度為時圏交地平角也假如太陽躔降婁宫初度設時為辰正二刻先將午正與本躔度并居子午圏下後轉儀令辰正二刻正切子午圏乃本時圏交地平從正東起南去四十度以之安髙弧又距本度滿一象限則又在正北之四十度以此度復安髙弧從地平上數起得交時圏五十三度為時圏交地平角也
　　求地平與黄道交角
　　法用髙弧過黄平象限下至地平即因髙弧為大圏以所正對交角之弧能量其大小則必自地平至其交黄道㸃乃得黄道交地平角也假如北極髙四十度設實沈宫初度居地平東出得平象限偏子午圏之東以髙弧從此㸃過至地平約得三十四度一十分為地平及黄道二圏之交角盖黄道因半周恒在地平上而平分左右各得九十度獨冬夏二至此限正合子午圏外此則限每偏東或西所以查交角用髙弧不能用子午圏也
　　求黄平象限距子午圏為三形之弧
　　黄道隨宗動左旋其交子午圏也時髙時庳因而兩象限之中㸃距天頂亦時近時逺且以斜升斜入故則九十度限大半偏東或西乃從冬至迄夏至限常在東從夏至迄冬至限常在西即從而得限及子午圏中之弧也今依法加髙弧使之過其限必以直角相交其角左右之弧一在髙弧一在黄道而相對之底弧在子午圏則三弧共為直角三角形也明矣本形内各弧亦能自顯度分乃限距天頂又距子午圏等度皆見于弧若更求髙弧距子午圏中黄道之對角必應查于地平即以髙弧距子午圏之中弧量之乃得且本弧大小正與黄道出没之廣弧等如北極髙四十度設大梁宫初度為平象限因偏東十四度以安髙弧得其至地平切子午圏東二十七度即象限偏子午圏對角之弧與黄道自正東去北之出正西去南之人等而髙弧自頂至交限㸃則三十度也
　　求子午圏及黄道交角
　　凡黄道以冬夏二至交子午圏成角者必為四直角因子午圏當過黄極並二至圏此間必正相交故也使以春秋二分交即為斜角得對弧正與兩道最相距之餘弧等從此距分漸逺交角亦漸易必自冬至至夏至交得鋭角向東北或西南自夏至至冬至亦交得鋭角向西北或東南法以黄道度正合子午圏定住移交㸃至天頂從此至地平兩圏各成象限則其間地平弧能量交角之度如大梁宫初度交合子午圏七十九度〈從北極算〉必移其七十九度在頂與本宫初度相交其二弧至地平間必抱七十度東北與西南皆等又設鶉火宫以十五度相交因在子午圏七十四度移本度居頂得二圏至地平中弧必為七十二度西北與東南皆等
　　求髙弧與黄道各度之交角
　　先依黄道距午正前後度以赤經圏交黄道角或加或減于高弧交經圏之角乃得高弧與黄道或正或餘〈形内外是〉之交角此原法也今用渾儀可免加減徑安高弧交黄道于其距正午度即依前法界線隨移本度至頂復依線安高弧必得角于對地平弧矣如北極高四十度設大梁宫初度距午正六十四度〈東西無異〉使髙弧交其躔度因得界線後起大梁初度居頂依線復安高弧即得所指地平五十八度為髙弧交黄道角也或不必轉儀而獨移髙弧于地平對度用規噐于髙弧及黄道弧距前交㸃九十度之界量其二弧相距則地平上亦得五十八度如後圖甲為天頂丙戊黄道弧甲丁為子午圏平象限距其東設在乙日食在戊或丙依前第三及第四題公論以二曜躔度丙及定朔時先得丙丁黄道弧必
　　使丁居正午以髙弧過丙為甲丙
　　丁斜角三角形内求甲丙弧〈二曜地平
　　髙之餘弧〉及丙交角盖以甲丙查得太
　　隂高庳差〈丙巳是〉丙角與小形内交
　　角等因并得所餘巳角〈壬自為直角〉而以之推丙壬時差及壬已氣差故也或依第一及第二題公論以先得黄道交子午圏丁㸃于儀上并得平象限相距之乙丁弧即安髙弧過乙限先得甲丁乙直角三角形内查甲乙本限距頂之弧而更使髙弧過丙躔度乃復得甲乙丙直角三角形内求甲丙弧及丙角皆依前法因解丙巳壬小形以求視差其法尤省











　　新法算書巻十八