緝古算經

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緝古算經
作者:王孝通 唐

唐王孝通撰。其結銜稱通直郎太史丞。其始末未詳。惟《舊唐書·律歷誌》“戊寅歷”條下有武德九年校歷人算歷博士臣王孝通,題蓋即其人也。是書一名《緝古算術》,《唐書·藝文誌》、《崇文總目》俱稱李淳風註。今案此本卷首實題孝通撰並註,則《唐誌》及《總目》為誤。又《宋誌》作一卷,《唐誌》、鄭樵《藝文略》俱作四卷,王應麟《玉海》謂今亡其三。案《孝通原表》稱二十術,檢勘書內條目相同,並無闕佚,不知應麟何所據而雲然也。書中大旨,以《九章·商功篇》有平地役功受袤之術,其於上寬下狹窄,前高後卑,闕而不論,世人多不達其理。因於平地之余,續狹斜之法。凡推朔夜半時月之所離者一術,推仰觀臺及羨道高廣袤者一術,推築堤授工上下廣及高袤不同者一術,推築龍尾堤者一術,推穿河授工斜正袤上廣及深並漘上廣不同者一術,推四郡輸粟窖上下廣袤餘郡別出入及窖深廣者一術,推亭倉上下方高者一術,推芻薨圓囤者各一術,推方倉圓窖對待者五術,推勾股邊積互求者六術,共合二十術之數。中間每以人戶道裏,大小遠近,及材物之輕重,工作之時日,乘除進退,參伍以得其法。頗不以深淺為次第,故讀者或不能驟通。而卒篇以後,由源竟委,端緒足尋,洵為思極毫芒,曲盡事理。唐代明算立學,習此書者以三年為限,亦知其術之精妙,非旦夕所克竟其義矣。其書世罕流播,此乃宋元豐七年秘書監趙彥若等校定刊行舊本,常熟毛扆得之章邱李氏,而影抄傳之者。今詳加勘正,其文間有脫闕,不敢妄補。謹撮取其義,別加圖說,附諸本文之左,以便觀覽雲。

上輯古算經表

臣孝通言:臣聞九疇載敘,紀法著於彜倫;六藝成功,數術參於造化。夫為君上者,司牧黔首,布神道而設教,采能事而經綸,盡性窮源,莫重於算。昔周公制禮,有九數之名。竊尋九數,即《九章》是也。其理幽而微,其形秘而約,重句聊用測海,寸木可以量天,非宇宙之至精,其孰能與於此者?漢代張蒼刪補殘缺,校其條目,頗與古術不同。魏朝劉徽篤好斯言,博綜纖隱,更為之註。徽思極毫芒,觸類增長,乃造重差之法,列於終篇。雖即未為司南,然亦一時獨步。自茲厥後,不斷前蹤。賀循、徐嶽之徒,王彪、甄鸞之輩,會通之數無聞焉耳。但舊經殘駁,尚有闕漏,自劉已下,更不足言。其祖恒之《綴術》,時人稱之精妙,曾不覺方邑進行之術,全錯不通;芻亭方亭之問,於理未盡。臣今更作新術,於此附伸。臣長自閭閻,少小學算。鐫磨愚鈍,迄將皓首。鉆尋秘奧,曲盡無遺。代乏知音,終成寡和。伏蒙聖朝收拾,用臣為太史丞,比年已來,奉敕校勘傅仁均歷,凡駁正術錯三十余道,即付太史施行。伏尋《九章·商功篇》有平地役功受袤之術,至於上寬下狹、前高後卑,正經之內,闕而不論,致使今代之人不達深理,就平正之門,同欹邪之用。斯乃圓孔方柄,如何可安?臣晝思夜想,臨書浩嘆,恐一旦瞑目,將來莫睹,遂於平地之余,續狹斜之法,凡二十術,名曰《緝古》。輕用陳聞,伏深戰悚。謹言。

緝古算經

假今天正十一月朔夜半,日在鬥十度七百分度之四百八十。以章歲為母,朔月行定分九千,朔日定小余一萬,日法二萬,章歲七百,亦名行分法。今不取加時日度。問:天正朔夜半之時月在何處?(推朔夜半月度,舊術要須加時日度。自古先儒雖復修撰改制,意見甚眾,並未得算妙,有理不盡,考校尤難。臣每日夜思量,常以此理屈滯,恐後代無人知者。今奉敕造歷,因即改制,為此新術。舊推日度之術,巳得朔夜半日度,仍須更求加時日度,然知月處。臣今作新術,但得朔夜半日度,不須加時日度,即知月處。此新術比於舊術,一年之中十二倍省功,使學者易知)

答曰:在鬥四度七百分度之五百三十。

術曰(推朔夜半月度,新術不復加時日度,有定小余乃可用之):以章歲減朔月行定分,余以乘朔日定小余,滿日法而一,為先行分。不盡者,半法已上收成一,已下者棄之。若先行分滿日行分而一,為度分,以減朔日夜半日所在度分,若度分不足減,加往宿度;其分不足減者,退一度為行分而減之,余即朔日夜半月行所在度及分也(凡入歷當月行定分,即是月一日之行分。但此定分滿章歲而一,為度。凡日一日行一度。然則章歲者,即是日之一日行分也。今按:《九章·均輸篇》有犬追兔術,與此術相似。彼問:犬走一百走,兔走七十步,令免先走七十五步,犬始追之,問幾何步追及?答曰:二百五十步追及。彼術曰:以兔走減犬走,余者為法。又以犬走乘兔先走,為實。實如法而一,即得追及步數。此術亦然。何者?假令月行定分九千,章歲七百,即是日行七百分,月行九千分。令日月行數相減,余八千三百分者,是日先行之數。然月始追之,必用一日而相及也。令定小余者,亦是日月相及之日分。假令定小余一萬,即相及定分,此乃無對為數。其日法者,亦是相及之分。此又同數,為有八千三百,是先行分也。斯則異矣。但用日法除之,即四千一百五十,即先行分。故以夜半之時日在月前、月在日後,以日月相去之數四千一百五十減日行所在度分,即月夜半所在度分也)。

假令太史造仰觀臺,上廣袤少,下廣袤多。上下廣差二丈,上下袤差四丈,上廣袤差三丈,高多上廣一十一丈,甲縣差一千四百一十八人,乙縣差三千二百二十二人,夏程人功常積七十五尺,限五日役臺畢。羨道從臺南面起,上廣多下廣一丈二尺,少袤一百四尺,高多袤四丈。甲縣一十三鄉,乙縣四十三鄉,每鄉別均賦常積六千三百尺,限一日役羨道畢。二縣差到人共造仰觀臺,二縣鄉人共造羨道,皆從先給甲縣,以次與乙縣。臺自下基給高,道自初登給袤。問:臺道廣、高、袤及縣別給高、廣、袤各幾何?

答曰:

臺高一十八丈

上廣七丈,

下廣九丈,

上袤一十丈,

下袤一十四丈;

甲縣給高四丈五尺,

上廣八丈五尺,

下廣九丈,

上袤一十三丈,

下袤一十四丈;

乙縣給高一十三丈五尺,

上廣七丈,

下廣八丈五尺,

上袤一十丈,

下袤一十三丈;

羨道高一十八丈,

上廣三丈六尺,

下廣二丈四尺,

袤一十四丈;

甲縣鄉人給高九丈,

上廣三丈,

下廣二丈四尺,

袤七丈;

乙縣鄉人給高九丈,

上廣三丈六尺,

下廣三丈,

袤七丈。

術曰:以程功尺數乘二縣人,又以限日乘之,為臺積。又以上下袤差乘上下廣差,三而一,為隅陽冪。以乘截高,為隅陽截積。又半上下廣差,乘斬上袤,為隅頭冪。以乘截高,為隅頭截積。並二積,以減臺積,余為實。以上下廣差並上下袤差,半之,為正數,加截上袤,以乘截高,所得增隅陽冪加隅頭冪,為方法。又並截高及截上袤與正數,為廉法,從。開立方除之,即得上廣。各加差,得臺下廣及上下袤、高。

求均給積尺受廣袤,術曰:以程功尺數乘乙縣人,又以限日乘之,為乙積。三因之,又以高冪乘之,以上下廣差乘袤差而一,為實。又以臺高乘上廣,廣差而一,為上廣之高。又以臺高乘上袤,袤差而一,為上袤之高。又以上廣之高乘上袤之高,三之,為方法。又並兩高,三之,二而一,為廉法,從。開立方除之,即乙高。以減本高,余即甲高。此是從下給臺甲高。又以廣差乘乙高,以本高而一,所得加上廣,即甲上廣。又以袤差乘乙高,如本高而一,所得加上袤,即甲上袤。其上廣、袤即乙下廣、袤,臺上廣、袤即乙上廣、袤。其後求廣、袤,有增損者,皆放此(此應六因乙積,臺高再乘,上下廣差乘袤差而一。又以臺高乘上廣,廣差而一,為上廣之高。又以臺高乘上袤,袤差而一,為上袤之高。以上廣之高乘上袤之高,為小冪二。因下袤之高,為中冪一。凡下袤、下廣之高,即是截高與上袤與上廣之高相連並數。然此有中冪定有小冪一。又有上廣之高乘截高,為冪一。又下廣之高乘下袤之高,為大冪二。乘上袤之高為中冪一。其大冪之中又小冪一,復有上廣、上袤之高各乘截高,為中冪各一。又截高自乘,為冪一。其中冪之內有小冪一。又上袤之高乘截高,為冪一。然則截高自相乘,為冪二,小冪六。又上廣、上袤之高各三,以乘截高,為冪六。令皆半之,故以三乘小冪。又上廣、上袤之高各三,令但半之,各得一又二分之一,故三之,二而一,諸冪乘截高為積尺)。

求羨道廣、袤、高,術曰:以均賦常積乘二縣五十六鄉,又六因,為積。又以道上廣多下廣數加上廣少袤,為下廣少袤。又以高多袤加下廣少袤,為下廣少高。以乘下廣少袤,為隅陽冪。又以下廣少上廣乘之,為鱉隅積。以減積,余三而一,為實。並下廣少袤與下廣少高,以下廣少上廣乘之,鱉從橫廉冪。三而一,加隅冪,為方法。又以三除上廣多下廣,以下廣少袤、下廣少高加之,為廉法,從。開立方除之,即下廣。加廣差,即上廣。加袤多上廣於上廣,即袤。加高多袤,即道高。

求羨道均給積尺甲縣受廣、袤,術曰:以均賦常積乘甲縣上十三鄉,又六因,為積。以袤再乘之,以道上下廣差乘臺高為法而一,為實。又三因下廣,以袤乘之,如上下廣差而一,為都廉,從。開立方除之,即甲袤。以廣差乘甲袤,本袤而一,以下廣加之,即甲上廣。又以臺高乘甲袤,本袤除之,即甲高。

假令築堤,西頭上、下廣差六丈八尺二寸,東頭上、下廣差六尺二寸。東頭高少於西頭高三丈一尺,上廣多東頭高四尺九寸,正袤多於東頭高四百七十六尺九寸。甲縣六千七百二十四人,乙縣一萬六千六百七十七人,丙縣一萬九千四百四十八人,丁縣一萬二千七百八十一人。四縣每人一日穿土九石九斗二升。每人一日築常積一十一尺四寸十三分寸之六。穿方一尺得土八斗。古人負土二斗四升八合,平道行一百九十二步,一日六十二到。今隔山渡水取土,其平道只有一十一步,山斜高三十步,水寬一十二步,上山三當四,下山六當五,水行一當二,平道踟躕十加一,載輸一十四步。減計一人作功為均積。四縣共造,一日役華。今從東頭與甲,其次與乙、丙、丁。問:給斜、正袤與高,及下廣,並每人一日自穿、運、築程功,及堤上、下高、廣各幾何?

答曰:

一人一日自穿、運、築程功四尺九寸六分;

西頭高三丈四尺一寸,

上廣八尺,

下廣七丈六尺二寸,

東頭高三尺一寸,

上廣八尺,

下廣一丈四尺二寸,

正袤四十八丈,

斜袤四十八丈一尺;

甲縣正袤一十九丈二尺,

斜袤一十九丈二尺四寸,

下廣三丈九尺,

高一丈五尺五寸;

乙縣正袤一十四丈四尺;

斜袤一十四丈四尺三寸,

下廣五丈七尺六寸,

高二丈四尺八寸;

丙縣正袤九丈六尺,

斜袤九丈六尺二寸,

下廣七尺,

高三丈一尺;

丁縣正袤四丈八尺,

斜袤四丈八尺一寸,

下廣七丈六尺二寸,

高三丈四尺一寸。

求人到程功運築積尺,術曰:置上山四十步,下山二十五步,渡水二十四步,平道一十一步,踟躕之間十加一,載輸一十四步,一返計一百二十四步。以古人負土二斗四升八合,平道行一百九十二步,以乘一日六十二到,為實。卻以一返步為法。除,得自運土到數也。又以一到負土數乘之,卻以穿方一尺土數除之,得一人一日運動積。又以一人穿土九石九斗二升,以穿方一尺土數除之,為法。除之,得穿用人數。復置運功積,以每人一日常積除之,得築用人數。並之,得六人。共成二十九尺七寸六分,以六人除之,即一人程功也。

求堤上、下廣及高、袤,術曰:一人一日程功乘總人,為堤積。以高差乘下廣差,六而一,為鱉冪。又以高差乘小頭廣差,二而一,為大臥塹頭冪。又半高差,乘上廣多東頭高之數,為小臥塹頭冪。並三冪,為大小塹鱉率。乘正袤多小高之數,以減堤積,余為實。又置半高差及半小頭廣差與上廣多小頭高之數,並三差,以乘正袤多小頭高之數。以加率為方法。又並正袤多小頭高、上廣多小高及半高差,兼半小頭廣差加之,為廉法,從。開方立除之,即小高。加差,即各得廣、袤、高。又正袤自乘,高差自乘,並,而開方除之,即斜袤。

求甲縣高、廣、正、斜袤,術曰:以程功乘甲縣人,以六因取積,又乘袤冪。以下廣差乘高差為法除之,為實。又並小頭上下廣,以乘小高,三因之,為垣頭冪。又乘袤冪,如法而一,為垣方。又三因小頭下廣,以乘正袤,以廣差除之,為都廉,從。開立方除之,得小頭袤,即甲袤。又以下廣差乘之,所得以正袤除之,所得加東頭下廣,即甲廣。又以兩頭高差乘甲袤,以正袤除之,以加東頭高,即甲高。又以甲袤自乘;以堤東頭高減甲高,余自乘,並二位,以開方除之,即得斜袤。若求乙、丙、丁,各以本縣人功積尺,每以前大高、廣為後小高、主廉母自乘,為方母。廉母乘方母,為實母(此平堤在上,羨除在下。兩高之差即除高。其除兩邊各一鱉腝,中一塹堵。今以袤再乘六因積,廣差乘袤差而一,得截鱉腝袤,再自乘,為立方一。又塹堵袤自乘,為冪一。又三因小頭下廣,大袤乘之,廣差而一,與冪為高,故為廉法。又並小頭上下廣,又三之,以乘小頭高為頭冪,意同六除。然此頭冪,本乘截袤。又袤乘之,差相乘而一。今還依數乘除一頭冪,為從。開立方除之,得截袤)。

求堤都積,術曰:置西頭高,倍之,加東頭高,又並西頭上下廣,半而乘之。又置東頭高,倍之,加西頭高,又並東頭上下廣,半而乘之。並二位積,以正袤乘之,六而一,得堤積也。

假令築龍尾堤,其堤從頭高、上闊以次低狹至尾。上廣多,下廣少,堤頭上下廣差六尺,下廣少高一丈二尺,少袤四丈八尺。甲縣二千三百七十五人,乙縣二千三百七十八人,丙縣五千二百四十七人。各人程功常積一尺九寸八分,一日役畢,三縣共築。今從堤尾與甲縣,以次與乙、丙。問:龍尾堤從頭至尾高、袤、廣及各縣別給高、袤、廣各多少。

答曰:

高三丈,

上廣三丈四尺,

下廣一丈八尺,

袤六丈六尺;

甲縣高一丈五尺,

袤三丈三尺,

上廣二丈一尺;

乙縣高二丈一尺,

袤一丈三尺二寸,

上廣二丈二尺二寸;

丙縣高三丈,袤一丈九尺八寸,

上廣二丈四尺。

求龍尾堤廣、袤、高,術曰:以程功乘總人,為堤積。又六因之,為虛積。以少高乘少袤,為隅冪。以少上廣乘之,為鱉隅積。以減虛積,余,三約之,所得為實。並少高、袤,以少上廣乘之,為鱉從橫廉冪。三而一,加隅冪,為方法。又三除少上廣,以少袤、少高加之,為廉法,從。開立方除之,得下廣。加差,即高、廣、袤。

求逐縣均給積尺受廣、袤,術曰:以程功乘當縣人,當積尺。各六因積尺。又乘袤冪。廣差乘高,為法。除之,為實。又三因末廣,以袤乘之,廣差而一,為都廉,從。開立方除之,即甲袤。以本高乘之,以本袤除之,即甲高。又以廣差乘甲袤,以本袤除之,所得加末廣,即甲上廣。其甲上廣即乙末廣,其甲高即垣高。求實與都廉,如前。又並甲上下廣,三之,乘甲高,又乘袤冪,以法除之,得垣方,從。開立方除之,即乙袤。余放此(此龍尾猶羨除也。其塹堵一,鱉腝一,並而相連。今以袤再乘積,廣差乘高而一,所得截鱉腝袤再自乘,為立方一。又塹堵袤自乘,為冪一。又三因末廣,以袤乘之,廣差而一,與冪為高,故為廉法)。

假令穿河,袤一裏二百七十六步,下廣六步一尺二寸;北頭深一丈八尺六寸,上廣十二步二尺四寸;南頭深二百四十一尺八寸;上廣八十六步四尺八寸。運土於河西岸造漘,北頭高二百二十三尺二寸,南頭無高,下廣四百六尺七寸五厘,袤與河同。甲郡二萬二千三百二十人,乙郡六萬八千七十六人,丙郡五萬九千九百八十五人,丁郡三萬七千九百四十四人。自穿、負、築,各人程功常積三尺七寸二分。限九十六日役,河漘俱了。四郡分共造漘,其河自北頭先給甲郡,以次與乙,合均賦積尺。問:逐郡各給斜、正袤,上廣及深,並漘上廣各多少?

答曰:

漘上廣五丈八尺二寸一分;

甲郡正袤一百四十四丈,

斜袤一百四十四丈三尺,

上廣二十六丈四寸,

深一十一丈一尺六寸;

乙郡正袤一百一十五丈二尺,

斜袤一百一十五丈四尺四寸,

上廣四十丈九尺二寸,

深一十八丈六尺;

丙郡正袤五十七丈六尺,

斜袤五十七丈七尺二寸,

上廣四十八丈三尺六寸,

深二十二丈三尺二寸,

丁郡正袤二十八丈八尺,

斜袤二十八丈八尺六寸,

上廣五十二丈八寸,

深二十四丈一尺八寸。

術曰:如築堤術入之(覆堤為河,彼註甚明,高深稍殊,程功是同,意可知也)。以程功乘甲郡人,又以限日乘之,四之,三而一,為積。又六因,以乘袤冪。以上廣差乘深差,為法。除之,為實。又並小頭上、下廣,以乘小頭深,三之,為垣頭冪。又乘袤冪,以法除之,為垣方。三因小頭上廣,以乘正袤,以廣差除之,為都廉,從。開立方除之,即得小頭袤,為甲袤。求深、廣,以本袤及深廣差求之。以兩頭上廣差乘甲袤,以本袤除之,所得加小頭上廣,即甲上廣。以小頭深減南頭深,余以乘甲袤,以本袤除之,所得加小頭深,即甲深。又正袤自乘,深差自乘,並,而開方除之,即斜袤。若求乙、丙、丁,每以前大深、廣為後小深、廣,準甲求之,即得。

求漘上廣,術曰:以程功乘總人,又以限日乘之,為積。六因之,為實。以正袤除之,又以高除之,所得以下廣減之,余又半之,即漘上廣。

假令四郡輸粟,斛法二尺五寸,一人作功為均。自上給甲,以次與乙。其甲郡輸粟三萬八千七百四十五石六斗,乙郡輸粟三萬四千九百五石六斗,丙郡輸粟,二萬六千二百七十石四斗,丁郡輸粟一萬四千七十八石四斗。四郡共穿窖,上袤多於上廣一丈,少於下袤三丈,多於深六丈,少於下廣一丈。各計粟多少,均出丁夫。自穿、負、築,冬程人功常積一十二尺,一日役。問:窖上下廣、袤、深,郡別出人及窖深、廣各多少?

答曰:

窖上廣八丈,

上袤九丈,

下廣一十丈,

下袤一十二丈,

深三丈;

甲郡八千七十二人,

深一十二尺,

下袤一十丈二尺,

廣八丈八尺;

乙郡七千二百七十二人,

深九尺,

下袤一十一丈一尺,

廣九丈四尺;

丙郡五千四百七十三人,

深六尺,下袤一十一丈七尺,

廣九丈八尺;

丁郡二千九百三十三人,

深三尺,

下袤一十二丈,

廣一十丈。

求窖深、廣、袤,術曰:以斛法乘總粟,為積尺。又廣差乘袤差,三而一,為隅陽冪。乃置塹上廣,半廣差加之,以乘塹上袤,為隅頭冪。又半袤差,乘塹上廣,以隅陽冪及隅頭冪加之,為方法。又置塹上袤及塹上廣,並之,為大廣。又並廣差及袤差,半之,以加大廣,為廉法,從。開立方除之,即深。各加差,即合所問。

求均給積尺受廣、袤、深,術曰:如築臺術入之。以斛法乘甲郡輸粟,為積尺。又三因,以深冪乘之,以廣差乘袤差而一,為實。深乘上廣,廣差而一,為上廣之高。深乘上袤,袤差而一,為上袤之高。上廣之高乘上袤之高,三之,為方法。又並兩高,三之,二而一,為廉法,從。開立方除之,即甲深。以袤差乘之,以本深除之,所加上袤,即甲下袤。以廣差乘之,本深除之,所得加上廣,即甲下廣。若求乙、丙、丁,每以前下廣、袤為後上廣、袤,以次皆準此求之,即得。若求人數,各以程功約當郡積尺。

假令亭倉上小下大,上下方差六尺,高多上方九尺,容粟一百八十七石二斗。今已運出五十石四斗。問:倉上下方、高及余粟深、上方各多少?

答曰:

上方三尺,

下方九尺,

高一丈二尺;

余粟深、上方俱六尺。

求倉方、高,術曰:以斛法乘容粟,為積尺。又方差自乘,三而一,為隅陽冪。以乘截高,以減積,余為實。又方差乘截高,加隅陽冪,為方法。又置方差,加截高,為廉法,從。開立方除之,即上方。加差,即合所問。

求余粟高及上方,術曰:以斛法乘出粟,三之,以乘高冪,令方差冪而一,為實(此是大、小高各自乘,各乘取高。是大高者,即是取高與小高並)。高乘上方,方差而一,為小高。令自乘,三之,為方法。三因小高,為廉法,從。開立方除之,得取出高。以減本高,余即殘粟高。置出粟高,又以方差乘之,以本高除之,所得加上方,即余粟上方(此本術曰:上下方相乘,又各自乘,並以高乘之,三而一。今還元,三之,又高冪乘之,差冪而一,得大小高相乘,又各自乘之數。何者?若高乘下方,方差而一,得大高也。若高乘上方,方差而一,得小高也。然則斯本下方自乘,故須高自乘乘之,差自乘而一,即得大高自乘之數。小高亦然。凡大高者,即是取高與小高並相連。今大高自乘為大方。大方之內即有取高自乘冪一,隅頭小高自乘冪一。又其兩邊各有以取高乘小高,為冪二。又大小高相乘,為中方。中方之內即有小高乘取高冪一。又小高自乘,即是小方之冪又一。則小高乘大高,又各自乘三等冪,皆以乘取高為立積。故三因小冪為方,及三小高為廉也)。

假令芻甍上袤三丈,下袤九丈,廣六丈,高一十二丈。有甲縣六百三十二人,乙縣二百四十三人。夏程人功當積三十六尺,限八日役。自穿築,二縣共造。今甲縣先到。問:自下給高、廣、袤、各多少?

答曰:

高四丈八尺,

上廣三丈六尺,

袤六丈六尺。

求甲縣均給積尺受廣、袤,術曰:以程功乘乙縣人數,又以限日乘之,為積尺。以六因之,又高冪乘之,又袤差乘廣而一,所得又半之,為實。高乘上袤,袤差而一,為上袤之高。三因上袤之高,半之,為廉法,從。開立方除之,得乙高。以減甍高,余即甲高。求廣、袤,依率求之(此乙積本倍下袤,上袤從之。以下廣及高乘之,六而一,為一甍積。今還元須六因之,以高冪乘之,為實。袤差乘廣而一,得取高自乘以乘三上袤之高,則三小高為廉法,各以取高為方。仍有取高為立方者二,故半之,為立方一。又須半廉法)。

假令圓囤上小下大,斛法二尺五寸,以率徑一周三。上下周差一丈二尺,高多上周一丈八尺,容粟七百五斛六斗。今已運出二百六十六石四斗。問:殘粟去口、上下周、高各多少?

答曰:

一周一丈八尺,

下周三丈,

高三丈六尺,

去口一丈八尺,

粟周二丈四尺。

求圓囤上下周及高,術曰:以斛法乘容粟,又三十六乘之,三而一,為方亭之積。又以周差自乘,三而一,為隅陽冪。以乘截高,以減亭積,余為實。又周差乘截高,加隅陽冪,為方法。又以周差加截高,為廉法,從。開立方除之,得上周。加差,而合所問。

求粟去口,術曰:以斛法乘出斛,三十六乘之,以乘高冪,如周差冪而一,為實。高乘上周,周差而一,為小高。令自乘,三之,為方法。三因小高,為廉法,從。開立方除之,即去口(三十六乘訖,即是截方亭,與前方窖不別)。置去口,以周差乘之,以本高除之,所得加上周,即粟周。

假令有粟二萬三千一百二十斛七斗三升,欲作方倉一,圓窖一,盛各滿中而粟適盡。令高、深等,使方面少於圓徑九寸,多於高二丈九尺八寸,率徑七,周二十二。問:方、徑、深多少?

答曰:

倉方四丈五尺三寸(容粟一萬二千七百二十二斛九斗五升八合),

窖徑四丈六尺二寸(容粟一萬三百九十七石七斗七升二合),

高與深各一丈五尺五寸。

求方、徑高深,術曰:十四乘斛法,以乘粟數,二十五而一,為實。又倍多加少,以乘少數,又十一乘之,二十五而一,多自乘加之,為方法。又倍少數,十一乘之,二十五而一,又倍多加之,為廉法,從。開立方除之,即高、深。各加差,即方徑(一十四乘斛法,以乘粟為積尺。前一十四餘,今還元,一十四乘。為徑自乘者,是一十一;方自乘者,是一十四。故並之為二十五。凡此方、圓二徑長短不同,二徑各自乘為方,大小各別。然則此塹方二丈九尺八寸,塹徑三丈七寸,皆成方面。此應塹方自乘,一十四乘之;塹徑自乘,一十一乘之,二十五而一,為隅冪,即方法也。但二隅冪皆以塹數為方面。今此術就省,倍小隅方,加差為矩袤,以差乘之為矩冪。一十一乘之,二十五而一。又差自乘之數,即是方圓之隅同有此數,若二十五乘之,還須二十五除。直以差自乘加之,故不復乘除。又須倍二廉之差,一十一乘之,二十五而一,倍差加之,為廉法,不復二十五乘除之也)。

還元,術曰:倉方自乘,以高乘之,為實。圓徑自乘,以深乘之,一十一乘,一十四而一,為實。皆為斛法除之,即得容粟(斛法二尺五寸)。

假令有粟一萬六千三百四十八石八斗,欲作方倉四、圓窖三,令高、深等,方面少於圓徑一丈,多於高五尺,斛法二尺五寸,率徑七,周二十二。問:方、高、徑多少?

答曰:

方一丈八尺,

高深一丈三尺,

圓徑二丈八尺。

術曰:以一十四乘斛法,以乘粟數,如八十九而一,為實。倍多加少,以乘少數,三十三乘之,八十九而一,多自乘加之,為方法。又倍少數,以三十三乘之,八十九而一,倍多加之,為廉法,從。開立方除之,即高、深。各加差,即方徑(一十四乘斛法,以乘粟,為徑自乘及方自乘數與前同。今方倉四,即四因十四。圓窖三,即三因十一。並之,為八十九,而一。此塹徑一丈五尺,塹方五尺,以高為立方。自外意同前)。

假令有粟三千七十二石,欲作方倉一、圓窖一,令徑與方等,方於窖深二尺,少於倉高三尺,盛各滿中而粟適盡(圓率、斛法並與前同)。問:方、徑、高、深各多少?

答曰:

方、徑各一丈六尺,

高一丈九尺,

深一丈四尺。

術曰:三十五乘粟,二十五而一,為率。多自乘,以並多少乘之,以乘一十四,如二十五而一,所得以減率,余為實。並多少,以乘多,倍之,乘一十四,如二十五而一,多自乘加之,為方法。又並多少,以乘一十四,如二十五而一,加多加之,為廉法,從。開立方除之,即窖深。各加差,即方、徑、高(截高五尺,塹徑及方二尺,以深為立方。十四乘斛法,故三十五乘粟。多自乘並多少乘之,為截高隅積,即二廉,方各二尺,長五尺。自外意旨皆與前同)。

假令有粟五千一百四十石,欲作方窖、圓窖各一,令口小底大,方面於圓徑等,兩深亦同,其深少於下方七尺,多於上方一丈四尺,盛各滿中而粟適盡(圓率、斛法並與前同)。問:方、徑、深各多少?

答曰:

上方、徑各七尺,

下方、徑各二丈八尺,

深各二丈一尺。

術曰:以四十二乘斛法,以乘粟,七十五而一,為方亭積。令方差自乘,三而一,為隅陽冪,以截多乘之,減積,余為實。以多乘差,加冪,為方法。多加差,為廉法,從。開立方除之,即上方。加差,即合所問(凡方亭,上下方相乘,又各自乘,並以乘高,為虛。命三而一,為方亭積。若圓亭上下徑相乘,又各自乘,並以乘高,為虛。又十一乘之,四十二而一,為圓亭積。今方、圓二積並在一處,故以四十二復乘之,即得圓虛十一,方虛十四,凡二十五,而一,得一虛之積。又三除虛積,為方亭實。乃依方亭復問法,見上下方差及高差與積求上下方高術入之,故三乘,二十五而一)。

假令有粟二萬六千三百四十二石四斗,欲作方窖六、圓窖四,令口小底大,方面與圓徑等,其深亦同,令深少於下方七尺,多於上方一丈四尺,盛各滿中而粟適盡(圓率、斛法並與前同)。問上下方、深數各多少?

答曰:

方窖上方七尺,

下方二丈八尺,

深二丈一尺,

圓窖上下徑、深與方窖同。

術曰:以四十二乘斛法,以乘粟,三百八十四而一,為方亭積尺。令方差自乘,三而一,為隅陽冪。以多乘之,以減積,余為實。以多乘差,加冪,為方法。又以多加差,為廉法,從。開立方除之,即上方。加差,即合所問(今以四十二乘。圓虛十一者四,方虛十四者六,合一百二十八虛,除之,為一虛之積。得者仍三而一,為方亭實積。乃依方亭見差復問求之,故三乘,一百二十八除之)。

假令有句股相乘冪七百六十五分之一,弦多於句三十六十分之九。問:三事各多少?

答曰:

句十四二十分之七,

股四十九五分之一,

弦五十一四分之一。

術曰:冪自乘,倍多數而一,為實。半多數,為廉法,從。開立方除之,即句。以弦多句加之,即弦。以句除冪,即股(句股相乘冪自乘,與句冪乘股冪積等。故以倍句弦差而一,得一句與半差之共乘句冪,為方。故半差為廉法,從,開立方除之。按:此術原本不全,今依句股義擬補十三字)。

假令有句股相乘冪四千三十六五分之□,股少於弦六五分之一。問:弦多少?(按:此問原本缺二字,今依文補一股字,其股字上之□系所設分數,未便懸擬,今姑闕之)。

答曰:弦一百一十四十分之七。

術曰:冪自乘,倍少數而一,為實。半少,為廉法,從。開立方除之,即股。加差,即弦。

假令有句弦相乘冪一千三百三十七二十分之一,弦多股一、十分之一。問:股多少?

答曰:九十二五分之二。

術曰:冪自乘,倍多而一,為立冪。又多再自乘,半之,減立冪,余為實。又多數自乘,倍之,為方法。又置多數,五之,二而一,為廉法,從。開立方除之,即股(句弦相乘冪自乘,即句冪乘弦冪之積。故以倍股弦差而一,得一股與半差□□□□□為方令多再自乘半之為隅□□□□□橫虛二立廉□□□□□□□□□□□倍之為從隅□□□□□□□□□□□多為上廣即二多□□□□□□□□□法故五之二而一)。

案:此術脫簡既多,法亦煩擾,宜雲冪自乘,多數而一,所得四之,為實。多為廉法,從。立方開之,得減差,半之,即股(冪自乘,與勾冪弦冪相乘積等。令勾冪變為股弦並乘股弦差,故差而一,所得乃股弦並乘弦冪)。

假令有股弦相乘冪四千七百三十九五分之三,句少於弦五十四五分之二。問:股多少?

答曰:六十八。

術曰:冪自乘,倍少數而一,為立冪。又少數再自乘,半之,以減立冪,余為實。又少數自乘,倍之,為方法。又置少數,五之,二而一,為廉法,從。開立方除之,即句。加差,即弦。弦除冪,即股。

假令有股弦相乘冪七百二十六,句七、十分之七。問:股多少?

答曰:股二十六五分之二。

術曰:冪自乘,為實。句自乘,為方法,從。開方除之,所得又開方,即股(□□□□□□□□□□□□□□數亦是股□□□□□□□□□□□□為長以股□□□□□□□□□□□□得股冪又開□□□□□□□□□□□股北分母常……)

假令有股十六二分之一,句弦相乘冪一百六十四二十五分之十四。問:句多少?

答曰:句八、五分之四。

術曰:冪自乘,為實。股自乘,為方法,從。開方除之,所得又開方,即句。

緝古算經跋

按《唐書·選舉誌》制科之目,明算居一,其定制雲:凡算學,孫子、五曹共限一歲,九章、海島共三歲,張邱建、夏侯陽各一歲,周髀、五經算共一歲,綴術四歲,緝古三歲,記遺三等數皆兼習之。竊惟數學為六藝之一,唐以取士共十經。周髀家塾曾刊行之,余則世有不能舉其名者。扆半生求之,從太倉王氏得孫子、五曹、張邱建、夏侯陽四種,從章邱李氏得周髀、緝古二種,後從黃俞邰又得九章。皆元豐七年秘書省刊板,字書端楷,雕鏤精工,真世之寶也。每卷後有秘書省官銜姓名一幅,又一幅宰輔大臣,自司馬相公而下俱列名於後,用見當時鄭重若此。因求善書者刻畫影摹,不爽毫末,什襲而藏之。但焉得海島、五經、綴術三種,竟成完璧,並得好事者刊刻流布,俾數學不絕於世,所深願也。

康熙甲子仲秋汲古後人毛扆謹識


PD-icon.svg 本作品在全世界都属于公有领域,因为作者逝世已经超过100年,并且于1923年1月1日之前出版。