翻译:论只使用符号0和1的二进制算术

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论只使用符号0和1的二进制算术
作者:莱布尼茨
譯者:LFZ
二进制数表

本文论述了只使用0和1的二进制算术,兼论其用途及它赋予伏羲所使用的古老图形的意义

通常的算术方法是基于逢十进位的法则。我们使用十个符号,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,来表示零一及随后的数,一直到九的数字。然后当到达十后,再次从一开始循环。十由“10”来表示;十乘十,也就是一百,用“100”表示;十乘一百,也就是一千,用“1000”表示;十乘一千为一万,用“10000”表示;以此类推。

7和13的二进制表示

然而多年来,我不使用十进制,而是用最简单的进制方式——逢二进位,并发现它对于优化数学科学有重要作用。我只需要用0和1两个符号,并逢二进位。在这个系统下,二用“10”表示;二乘二,也就是四,用“100”表示;二乘四为八,用“1000”表示;二乘八为十六,用“10000”表示;以此类推。左图为使用这种方法制成的数字表,这个表可以无限延伸下去。

在此,我们很容易观察出,每个整数的会有以二为公比的几何级数的著名性质:如果级数中各个不同次数的方幂系数都是1,那么小于最高次方幂两倍的整数都可以由它们表示(译者注:二进制表达都可以通过它与二的等比数列关系来算出。如果一个数是数列中某几个的项之和,那么它的二进制表示就是由这几项的二进制表示的复合)例如,7是4,2与1的和,用111表示;13是8,4与1的和,用1101表示。这个属性使得试金官能用几个不同秤砣就称出各种重量,并用几个不同金币就代表各种价值。

二进制四则运算

使用这种数字表达方式,我们能够很容易地进行各种运算。比如右图所示的四则运算:

这些运算都十分简便。与通常的除法运算不同,二进制运算除法是不需要猜测和尝试的。我们也不需要记忆通常运算时需要大量记忆的部分,比如6加7等于13,3乘5等于15等乘法表,而是可以直接从源头出发,找到并证明结果。正如☽和⊙符号处给出的示例那样。

但是,我这里并不是在推荐用二进制取代通常的十进制,因为我们已经熟识并掌握了十进制,不需要更多的学习。十进制运算较为简便,位数也比较少,相比于十二进制或十六进制更显优势。然而使用二进制,也就是使用0和1计数,尽管位数很长,却是最基础的科学计数方法。二进制得用处极广,能促成新的发现,在计算数学、几何学上都有很多应用。由于数字被的表示被简化为了最简单的0和1,很多奇妙的规律自然显现了出来。比如在二进制数字表中,很明显每一列都是周期性出现的循环:第一列是01,第二列是0011第三列是00001111,第四列是0000000011111111,以此类推。表中的空位被填充上了小0,以更好的展现出这种周期循环。同时,表格中的分割线显示出了,每一个部分都会在下方重复出现。而且平方数、立方数、其他幂级数;三角数、金字塔数和其他图形数,都有相似的周期性,因此它们的数表可以不用计算直接写出。开始时会有些麻烦,但找到生成规律后,可以无限地快速生成下去,这样的优势是极大的。

八卦图及其二进制解释

令人惊叹的是,这种二进制计数方法中解释了伏羲八卦的秘密。伏羲是一位4000年前的帝王和哲学家,被中国人奉为他们国家和科学的开创者。人们把八卦符号的创造归功于他,而这个符号系统与二进制有关。解释它十分方便,只需要给出右侧的表。其中连续的线 — 代表1,间断的线 -- 代表0

约一千年来,中国人都忘却了八卦,或者说伏羲线条符号的真正含义。他们对其撰写了大量的注疏,而我认为这些解释偏离了它的真正含义,因此如今只能由欧洲人来进行深刻解释。过程是这样的:大约两年前,我将我的0和1计算方法写信告诉了Bouvet神父,一位住在北京的著名的法国传教士。他在我的计算中发现了解开伏羲八卦图的钥匙。在他1701年11月14日写给我的信件中,附上了这张这位帝王哲学家的先天图。在这张图上的64个符号,说明我们的解释是不容置疑的。可以说,神父在我的发现的帮助下,解开了伏羲之谜。这些符号应该是世界上最早出现的科学文献,而时隔如此之久,重新发现其含义,更是一个不同凡响的成果。

先天图

这张图片显示出了伏羲符号和我的数字表之间显著的相似性:数字首位都用0填充。这些0看似多余,却有助于显示出数字表中的循环规律。我用小圆圈来表示这些前导0,来把它们与真正的0分开。这个相似处让我对于伏羲思想的深度更加赞佩,因为这个现在看似简单的事情在当时是很困难的。如今二进制运算易于理解,很大程度上依赖于我们对于当前计数方式的掌握,而二进制只是去掉了一些多余的数。然而常用的十进制运算并不是很古老,至少希腊人和罗马人都不了解它,没有利用上它的优点。欧洲使用的这一方法很可能由Gerbert引进,也就是教皇Sylvester二世。而他又是从西班牙的摩尔人那里学来的。

另外,中国人还认为伏羲是汉字的发明者。他们认为伏羲在创造汉字时运用了数学的思想,那么尽管汉字在历史的进程中不断演化,但只要找到了汉字的真正起源,便可以从中得到一些启发,来理解伏羲的算术和思想。Bouvet神父正在这个研究方向上努力,也很可能会产生成果。然而我并不清楚中国的文字是否会有我的方法中的固有优势,也就是每个可推导概念,都可以从它们的语法以某种演算系统方法推出。这也是协助人类思考的重要方法之一。


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原文
PD-icon.svg 本作品在全世界都属于公有领域,因为作者逝世已经超过100年,并且于1923年1月1日之前出版。
译文
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