九章算术 (四部丛刊本)/卷第一

九章算术　卷第一

魏 刘徽 注 唐 李淳风 等奉敕注释 宋 李籍 撰音义 景上海涵芬楼藏微波榭刊本

九章算术卷第一　　　　　　　　　〈算经十书之二〉

　　　　　　　　魏　刘　徽　注

　　　唐朝议大夫行太史令上轻车都尉臣李淳风等奉敕注释

方田〈以御田畴界域〉

今有田广十五步从十六步问为田几何

　　　　荅曰一亩

又有田广十二步从十四步问为田几何

　　　　荅曰一百六十八步〈图从十四广十二〉

　　方田

　　术曰广从步数相乘得积步〈此积谓田凡广从相乘〉

　　〈谓之　臣淳风等谨按经云广从相乘得积步注云广从相乘谓之观斯注意〉

　　〈积义同以理推之固当不尔何则是方单布之名积乃众数聚居之称循名〉

　　〈责实二者全殊虽欲同之窃恐不可今以凡言者据广从之一方其言积者举众〉

　　〈步之都数经云相乘得积步即是都数之明文注云谓之为全乖积步之本意此〉

　　〈注前云积谓田于理得通复云谓之为䌓而不当今者注释存善去非略为科〉

　　〈𥳑遗诸后学〉

　　以亩法二百四十步除之即亩数百亩为

　　一顷〈臣淳风等谨按此为篇端故特举顷亩二法馀术不复言者从此可知一〉

　　〈亩之田广十五步从而疏之令为十五行即每行广一步而从十六步又横而截之〉

　　〈令为十六行即毎行广一步而从十五步此即从疏横截之步各自为方凡有二百〉

　　〈四十步为一亩之地步数正同以此言之即广从相乘得积步验矣二百四十步者〉

　　〈亩法也百亩者顷法也故以除之即得〉

今有田广一里从一里问为田几何

　　　　荅曰三顷七十五亩

又有田广二里从三里问为田几何

　　　　荅曰二十二顷五十亩

　　里田

　　术曰广从里数相乘得积里以三百七十

　　五乘之即亩数〈按此术广从里数相乘得积里故方里之中有三顷〉

　　〈七十五亩故以乘之即得亩数也〉

今有十八分之十二问约之得几何

　　　　荅曰三分之二

又有九十一分之四十九问约之得几何

　　　　荅曰十三分之七

　　约分〈按约分者物之数量不可悉全必以分言之分之为数䌓则难用设有四〉

　　〈分之二者繁而言之亦可为八分之四约而言之则二分之一也虽则异辞至于为〉

　　〈数亦同归尔法实相推动有参差故为术者先治诸分〉

　　术曰可半者半之不可半者副置分母子

　　之数以少减多更相减损求其等也以等

　　数约之〈等数约之即除也其所以相减者皆等数之重叠故以等数约之〉

今有三分之一五分之二问合之得几何

　　　　荅曰十五分之十一

又有三分之二七分之四九分之五问合之得

几何

　　　　荅曰得一六十三分之五十

又有二分之一三分之二四分之三五分之四

问合之得几何

　　　　荅曰得二六十分之四十三

　　合分〈臣淳风等谨按合分者数非一端分无定凖诸分子杂互群母参差麄细〉

　　〈既殊理难从一故齐其众分同其群母令可相并故曰合分〉

　　术曰母互乘子并以为实母相乘为法〈母互〉

　　〈乘子约而言之者其分麄繁而言之者其分细虽则麄细有殊然其实一也众分错〉

　　〈杂非细不会乘而散之所以通之通之则可并也凡母互乘子谓之齐群母相乘谓〉

　　〈之同同者相与通同共一母也齐者子与母齐势不可失本数也方以类聚物以群〉

　　〈分数同类者无远数异类者无近远而通体者虽异位而相从也近而殊形者虽同〉

　　〈列而相违也然则齐同之术要矣错综度数动之则谐其犹佩觽解结无往而不理〉

　　〈焉乘以散之约以聚之齐同以通之此其算之纲纪乎其一术者可令母除为率率〉

　　〈乘子为齐〉实如法而一不满法者以法命之〈今欲〉

　　〈求其实故齐其子又同其母令如母而一其馀以等数约之即得所谓同法为母实〉

　　〈馀为子皆从此例〉其母同者相从之

今有九分之八减其五分之一问馀几何

　　　　荅曰四十五分之三十一

又有四分之三减其三分之一问馀几何

　　　　荅曰十二分之五

　　减分〈臣淳风等谨按诸分子母数各不同以少减多欲知馀几减馀为实故曰〉

　　〈减分〉

　　术曰母互乘子以少减多馀为实母相乘

　　为法实如法而一〈母互乘子者知以齐其子也以少减多者齐故〉

　　〈可相减也母相乘为法者同其母也母同子齐故如母而一即得〉

今有八分之五二十五分之十六问孰多多几

何

　　　　荅曰二十五分之十六多多二百分

　　　　之三

又有九分之八七分之六问孰多多几何

　　　　荅曰九分之八多多六十三分之二

又有二十一分之八五十分之十七问孰多多

几何

　　　　荅曰二十一分之八多多一千五十

　　　　分之四十三

　　课分〈臣淳风等谨按分各异名理不齐一校其相多之数故曰课分也〉

　　术曰母互乘子以少减多馀为实母相乘

　　为法实如法而一即相多也〈臣淳风等谨按此术母互〉

　　〈乘子以少分减多分多与减分义同唯相多之数意共减分有异减分知求其馀数〉

　　〈有几课分知以其馀数相多也〉

今有三分之一三分之二四分之三问减多益

少各几何而平

　　　　荅曰减四分之三者二三分之二者

　　　　一并以益三分之一而各平于十二

　　　　分之七

又有二分之一三分之二四分之三问减多益

少各几何而平

　　　　荅曰减三分之二者一四分之三者

　　　　四并以益二分之一而各平于三十

　　　　六分之二十三

　　平分〈臣淳风等谨按平分者诸分参差欲令齐等减彼之多增此之少故曰平〉

　　〈分也〉

　　术曰母互乘子〈齐其子也〉副并为平实〈臣淳风等谨按〉

　　〈母互乘子副并为平实者定此平实立限众子所当损益如限为平〉母相乘

　　为法〈母相乘为法者亦齐其子又同其母〉以列数乘未并者

　各自为列实亦以列数乘法〈此当副并列数为平实若〉

　　〈然则重有分故反以列数乘同齐　臣淳风等谨按问云所平之分多少不定或三〉

　〈或二列位无常平三知置位三重平二知置位二重凡此之例一凖平分不可预定〉

　　〈多少故云列数而已〉以平实减列实馀约之为所

　　减并所减以益于少以法命平实各得其

　　平

今有七人分八钱三分钱之一问人得几何

　　　　荅曰人得一钱二十一分钱之四

又有三人三分人之一分六钱三分钱之一四

分钱之三问人得几何

　　　　荅曰人得二钱八分钱之一

　　经分〈臣淳风等谨按经分者自合分已下皆与诸分相齐此乃求一人之分〉

　　〈以人数分所分故曰经分也〉

　术曰以人数为法钱数为实实如法而一

　　有分者通之〈母互乘子者齐其子母相乘者同其母以母通之者分母〉

　　〈乘全内子乘散全则为积分积分则与分子相通故可令相从凡数相与者谓之率〉

　　〈率者自相与通有分则可散分重叠则约也等除法实相与率也故散分者必令两〉

　　〈分母相乘法实也〉重有分者同而通之〈又以法分母乘实实〉

　　〈分母乘法此谓法实俱有分故令分母各乘全分内子又令分母互乘上下〉

今有田广七分步之四从五分步之三问为田

几何

　　　　荅曰三十五分步之十二

又有田广九分步之七从十一分步之九问为

田几何

　　　　荅曰十一分步之七

又有田广五分步之四从九分步之五问为田

几何

　　　　荅曰九分步之四

　　乘分〈臣淳风等谨按乘分者分母相乘为法子相乘为实故曰乘分〉

　　术曰母相乘为法子相乘为实实如法而

　　一〈凡实不满法者乃有母子之名若有分以乘其实而长之则亦满法乃为全耳〉

　　〈又以子有所乘故母当报除报除者实如法而一也今子相乘则母各当报除因令〉

　　〈分母相乘而连除也此田有广从难以广谕设有问者曰马二十匹金十二斤今〉

　　〈卖马二十匹三十五人分之人得几何荅曰三十五分斤之十二其为之也当如经〉

　　〈分术以十二斤金为实三十五人为法设更言马五匹金三斤今卖四匹七人分〉

　　〈之人得几何荅曰人得三十五分斤之十二其为之也当齐其金人之数皆合初问〉

　　〈入于经分矣然则分子相乘为实者犹齐其金也母相乘为法者犹齐其人也同其〉

　　〈母为二十马无事于同但欲求齐而已又马五匹金三斤完全之率分而言之则〉

　　〈为一匹金五分斤之三七人卖四马一人卖七分马之四分子与人交互相生所〉

　　〈从言之异而计数则三术同归也〉

今有田广三步三分步之一从五步五分步之

二问为田几何

　　　　荅曰十八步

又有田广七步四分步之三从十五步九分步

之五问为田几何

　　　　荅曰一百二十步九分步之五

又有田广十八步七分步之五从二十三步十

一分步之六问为田几何

　　　　荅曰一亩二百步十一分步之七

　　大广田〈臣淳风等谨按大广田者初术有全步而无馀分次术空有馀分〉

　　〈而无全步此术先见全步复有馀分可以广兼三术故曰大广〉

　　术曰分母各乘其全分子从之〈分母各乘其全分子〉

　　〈从之者通全步内分子如此则母子皆为实矣〉相乘为实分母相

　　乘为法〈犹乘分也〉实如法而一〈今为术广从俱有分当各自通〉

　　〈其分命母入者还须出之故令分母相乘为法而连除之〉

今有圭田广十二步正从二十一步问为田几

何

　　　　荅曰一百二十六步

又有圭田广五步二分步之一从八步三分步

之二问为田几何

　　　　荅曰二十三步六分步之五

　　术曰半广以乘正从〈半广者以盈补虚为田也亦可半正从〉

　　〈以乘广按半广乘从以取中平之数故广从相乘为积步亩法除之即得也〉

今有邪田一头广三十步一头广四十二步正

从六十四步问为田几何

　　　　荅曰九亩一百四十四步

又有邪田正广六十五步一畔从一百步一畔

从七十二步问为田几何

　　　　荅曰二十三亩七十步

　　术曰并两邪而半之以乘正从若广又可

　　半正从若广以乘并亩法而一〈并而半之者以盈补〉

　　〈虚也〉

今有箕田舌广二十步踵广五步正从三十步

问为田几何

　　　　荅曰一亩一百三十五步

又有箕田舌广一百一十七步踵广五十步正

从一百三十五步问为田几何

　　　　荅曰四十六亩二百三十二步半

　　术曰并踵舌而半之以乘正从亩法而一

　　〈中分箕田则为两邪田故其术相似又可并踵舌半正从以乘之〉

今有圆田周三十步径十步〈臣淳风等谨按术意以周三径一为〉

〈率周三十步合径十步今依密率合径九步十一分步之六〉问为田几何

　　　　荅曰七十五步〈此于徽术当为田七十一步一百五十七〉

　　　　〈分步之一百三　臣淳风等谨依密率为田七十一步二十二分步之一〉

　　　　〈十三〉

又有圆田周一百八十一步径六十步三分步

之一〈臣淳风等谨按周三径一周一百八十一步径六十步三分步之一依密率径五十〉

〈七步二十二分步之一十三〉问为田几何

　　　　荅曰十一亩九十步十二分步之一

　　　　〈此于徽术当为田十亩二百八步三百一十四分步之一百一十三　臣〉

　　　　〈淳风等谨依密率当为田十亩二百五步八十八分步之八十七〉

　　术曰半周半径相乘得积步〈按半周为从半径为广故〉

　　〈广从相乘为积步也假令圆径二尺圆中容六觚之一与圆径之半其数均等合〉

　　〈径率一而外周率三也又按为图以六觚之一乘半径二因而六之得十二觚之〉

　　〈若又割之次以十二觚之一乘一觚之半径四因而六之则得二十四觚之〉

　　〈割之弥细所失弥少割之又割以至于不可割则与圆周合体而无所失矣觚之〉

　　〈外又有馀径以乘径则出觚表若夫觚之细者与圆合体则表无馀径表无馀〉

　　〈径则不外出矣以一乘半径觚而裁之每辄自倍故以半周乘半径而为圆〉

　　〈此以周径谓至然之数非周三径一之率也周三者从其六觚之环耳以推圆规多〉

　　〈少之较乃弓之与弦也然世传此法莫肯精核学者踵古习其谬失不有明据辩之〉

　　〈斯难凡物类形象不圆则方方圆之率诚著于近则虽远可知也由此言之其用博〉

　　〈矣谨按圆验更造密率恐空设法数昧而难譬故置诸捡括谨详其记注焉割六觚〉

　　〈以为十二觚术曰置圆径二尺半之为一尺即圆里六觚之也令半径一尺为〉

　　〈半五寸为句为之求股以句二十五寸减馀七十五寸开方除之下至秒〉

　　〈忽又一退法求其微数微数无名者以为分子以下为分母约作五分忽之二故得〉

　　〈股八寸六分六釐二秒五忽五分忽之二以减半径馀一寸三分三釐九毫九秒四〉

　　〈忽五分忽之三谓之小句觚之半又谓之小股为之求其二千六百七十九〉

　　〈亿四千九百一十九万三千四百四十五忽馀分弃之开方除之即十二觚之一〉

　　〈也割十二觚以为二十四觚术曰亦令半径为半为句为之求股置上小〉

　　〈四而一得六百六十九亿八千七百二十九万八千三百六十一忽馀分弃之即句〉

　　〈也以减其馀开方除之得股九寸六分五釐九毫二秒五忽五分忽之四以〉

　　〈减半径馀三分四釐七秒四忽五分忽之一谓之小句觚之半又谓之小股为之〉

　　〈求小其六百八十一亿四千八百三十四万九千四百六十六忽馀分弃之开〉

　　〈方除之即二十四觚之一也割二十四觚以为四十八觚术曰亦令半径为半〉

　　〈为句为之求股置上小四而一得一百七十亿三千七百八万七千三百六〉

　　〈十六忽馀分弃之即句也以减其馀开方除之得股九寸九分一厘四毫四〉

　　〈秒四忽五分忽之四以减半径馀八釐五毫五秒五忽五分忽之一谓之小句觚之〉

　　〈半又谓之小股为之求小其一百七十一亿一十二十七万八千八百一十〉

　　〈三忽馀分弃之开方除之得小一寸三分八毫六忽馀分弃之即四十八觚之一〉

　　〈以半径一尺乘之又以二十四乘之得三万一千三百九十三亿四千四百万〉

　　〈忽以百亿除之得三百一十三寸六百二十五分寸之五百八十四即九十六觚〉

　　〈之也割四十八觚以为九十六觚术曰亦令半径为半为句为之求股置次〉

　　〈上四而一得四十二亿七千七百五十六万九千七百三忽馀分弃之则句〉

　　〈也以减其馀开方除之得股九寸九分七釐八毫五秒八忽十分忽之九以减〉

　　〈半径馀二釐一毫四秒一忽十分忽之一谓之小句觚之半又谓之小股为之求〉

　　〈小其四十二亿八千二百一十五万四千一十二忽馀分弃之开方除之得小〉

　　〈六分五釐四毫三秒八忽馀分弃之即九十六觚之一以半径一尺乘之又以〉

　　〈四十八乘之得三万一千四百一十亿二千四百万忽以百亿除之得三百一〉

　　〈十四寸六百二十五分寸之六十四即一百九十二觚之也以九十六觚之减〉

　　〈之馀六百二十五分寸之一百五谓之差倍之为分寸之二百一十即九十六觚〉

　　〈之外弧田九十六所谓以乘矢之凡也加此于九十六觚之得三百一十〉

　　〈四寸六百二十五分寸之一百六十九则出于圆之表矣故还就一百九十二觚之〉

　　〈全三百一十四寸以为圆之定率而弃其馀分以半径一尺除圆倍之得六〉

　　〈尺二寸八分即周数令径自乘为方四百寸与圆相折圆得一百五十七为〉

　　〈率方得二百为率方二百其中容圆一百五十七也圆率犹为微少按弧田〉

　　〈图令方中容圆圆中容方内方合外方之半然则圆一百五十七其中容方一〉

　　〈百也又令径二尺与周六尺二寸八分相约周得一百五十七径得五十则其相与〉

　　〈之率也周率犹为微少也晋武库中汉时王莽作铜斛其铭曰律嘉量斛内方尺而〉

　　〈圆其外庣旁九釐五毫一百六十二寸深一尺积一千六百二十寸容十斗以此〉

　　〈术求之得一百六十一寸有奇其数相近矣此术微少而斛差六百二十五分〉

　　〈寸之一百五以十二觚之为率消息当取此分寸之三十六以增于一百九十二〉

　　〈觚之以为圆三百一十四寸二十五分寸之四置径自乘之方四百寸令与〉

　　〈圆通相约圆三千九百二十七方得五千是为率方五千中容圆三千〉

　　〈九百二十七圆三千九百二十七中容方二千五百也以半径一尺除圆三〉

　　〈百一十四寸二十五分寸之四倍之得六尺二寸八分二十五分寸之八即周数也〉

　　〈全径二尺与周数通相约径得一千二百五十周得三千九百二十七即其相与之〉

　　〈率若此者盖尽其纤微矣举而用之上法仍约耳当求一千五百三十六觚之一〉

　　〈得三千七十二觚之而裁其微分数亦宜然重其验耳　臣淳风等谨按旧术求〉

　　〈圆皆以周三径一为率若用之求圆周之数则周少径多用之求其六觚之田乃与〉

　　〈此率合会耳何则假令六觚之田觚闲各一尺为自然从角至角其径二尺可知〉

　　〈此则周六径二与周三径一已合恐此犹以难晓今更引物为喻设令刻物作圭形〉

　　〈者六枚枚别三皆长一尺攒此六物悉使锐头向里则成六觚之周角径亦皆一〉

　　〈尺更从觚角外畔围绕为规则六觚之径尽达规矣当径短不至外规若以六觚〉

　　〈言之则为周六尺径二尺皆一尺径股不至外畔定无二尺可知故周三径一〉

　　〈之率于圆周乃是径多周少径一周三理非精密盖术从𥳑要举大纲略而言之刘〉

　　〈徽特以为疏遂乃改张其率但周径相乘数难契合徽虽出斯一法终不能究其纤〉

　　〈毫也祖冲之以其不精就中更推其数今者修撰攈摭诸家考其是非冲之为密故〉

　　〈显之于徽术之下冀学者之所裁焉〉

　　又术曰周径相乘四而一〈此周与上觚同耳周径相乘各〉

　　〈当以半而今周径两全故两母相乘为四以报除之于徽术以五十乘周一百五十〉

　　〈七而一即径也以一百五十七乘径五十而一即周也新术径率犹当微少据周以〉

　　〈求径则失之长据径以求周则失之短诸据见径以求者皆失之于微少据周以〉

　　〈求者皆失之于微多　臣淳风等谨依密率以七乘周二十二而一即径以二十〉

　　〈二乘径七而一即周依术求之即得〉

　　又术曰径自相乘三之四而一〈按圆径自乘为外方〉

　　〈三之四而一者是为圆居外方四分之三也若令六觚之一乘半径其即外方〉

　　〈四分之一也因而三之即亦居外方四分之三也是为圆里十二觚之耳取以为〉

　　〈圆失之于微少于徽新术当径自乘又以一百五十七乘之二百而一　臣淳风等〉

　　〈谨按密率令径自乘以十一乘之十四而一即圆也〉

　　又术曰周自相乘十二而一〈六觚之周其于圆径三与〉

　　〈一也故六觚之周自相乘为若圆径自乘者九方九方凡为十二觚者十有二故〉

　　〈曰十二而一即十二觚之也今此令周自乘非但若为圆径自乘者九方而已然〉

　　〈则十二而一所得又非十二觚之类也若欲以为圆失之于多矣以六觚之周十〉

　　〈二而一可也于徽新术令圆周自乘又以二十五乘之三百一十四而一得圆〉

　　〈其率三百一十四者周自乘之也置周数六尺二寸八分令自乘得三十九万〉

　　〈四千三百八十四分又置圆三万一千四百分皆以一千二百五十六约之得此〉

　　〈率　臣淳风等谨按方自乘即得其积圆周求其股率乃通但此术所求用三〉

　　〈一为率圆田正法半周及半径以相乘今乃用全周自乘故须以十二为母何者据〉

　　〈全周而求半周则须以二为法就全周而求半径复假六以除之是二六相乘除周〉

　　〈自乘之数依密率以七乘之八十八而一〉

今有宛田下周三十步径十六步问为田几何

　　　　荅曰一百二十步

又有宛田下周九十九步径五十一步问为田

几何

　　　　荅曰五亩六十二步四分步之一

　　术曰以径乘周四而一〈此术不验故推方锥以见其形假令〉

　　〈方锥下方六尺高四尺四尺为股下方之半三尺为句正邪为五尺也令句〉

　　〈相乘四因之得六十尺即方锥四见者之若令其中容圆锥圆锥见与方〉

　　〈锥见其率犹方之与圆也按方锥下六尺则方周二十四尺以五尺乘而〉

　〈半之则亦方锥之见故求圆锥之数折径以乘下周之半即圆锥之也今宛田〉

　　〈上径圆穹而与圆锥同术则失之于少矣然其术难用故略举大较施之大广田〉

　　〈也求圆锥之犹求圆田之也今用两全相乘故以四为法除之亦如圆田矣开〉

　　〈立圆术说圆方诸率甚备可以验此〉

今有弧田三十步矢十五步问为田几何

　　　　荅曰一亩九十七步半

又有弧田七十八步二分步之一矢十三步

九分步之七问为田几何

　　　　荅曰二亩一百五十五步八十一分

　　　　步之五十六

　　术曰以乘矢矢又自乘并之二而一〈方中〉

　　〈之圆圆里十二觚之合外方之四分之三也方中合外方之半则朱实合外方〉

　　〈四分之一也弧田半圆之也故依半圆之体而为之术以乘矢而半之则为黄〉

　　〈矢自乘而半之为二青青黄相连为弧体弧体法当应规令觚不至外畔失〉

　　〈之于少矣圆田旧术以周三径一为率俱得十二觚之亦失之于少也与此相似〉

　　〈指验半圆之弧耳若不满半圆者益复疏阔宜依句股锯圆材之术以弧为锯道〉

　　〈长以矢为句深而求其径既知圆径则弧可割分也割之者半弧田之以为股其〉

　　〈矢为句为之求即小弧之也以半小弧之为句半圆径为弧为之求股以减〉

　　〈半径其馀即小之矢也割之又割使至极细但举矢相乘之数则必近密率矣〉

　　〈然于算数差繁必欲有所㝷究也若但度田取其大数旧术为约耳〉

今有环田中周九十二步外周一百二十二步

径五步〈此欲令与周三径一之率相应故言径五步也据中外周以徽术言之当径四〉

〈步一百五十七分步之一百二十二也　臣淳风等谨按依密率合径四步二十二分步之十〉

〈七〉问为田几何

　　　　荅曰二亩五十五步〈于徽术当为田二亩三十一步〉

　　　　〈一百五十七分步之二十三　臣淳风等谨依密率为田二亩三十步二〉

　　　　〈十二分步之十五〉

又有环田中周六十二步四分步之三外周一

百一十三步二分步之一径十二步三分步之

二〈此田环而不通匝故径十二步三分步之二若据上周求径者此径失之于多过周三径〉

〈一之率盖为疏矣于徽术当径八步六百二十八分步之五十一　臣淳风等谨按依周三径〉

〈一考之合径八步二十四分步之一十一依密率合径八步一百七十六分步之一十三〉问

为田几何

　　　　荅曰四亩一百五十六步四分步之

　　　　一〈于徽术当为田二亩二百三十二步五千二十四分步之七百八十〉

　　　　〈七也依周三径一为田三亩二十五步六十四分步之二十五　臣淳风〉

　　　　〈等谨按密率为田二亩二百三十一步一千四百八分步之七百一十七〉

　　　　〈也〉

　　术曰并中外周而半之以径乘之为积步

　　〈此田截齐中外之周周则为长并而半之者亦以盈补虚也此可令中外周各自为〉

　　〈圆田以中圆减外圆馀则环实也按此术置中外周步数于上分母子于下母乘子〉

　　〈者为中外周俱有馀分故以互乘齐其子母相乘同其母子齐母同故通全步内分〉

　　〈子并而半之者以盈补虚得中平之周周则为从径则为广故广从相乘而得其积〉

　　〈既合分母还须分母出之故令周径分母相乘而连除之即得积步不尽以等数除〉

　　〈之而命分以亩法除积步得亩数也〉

　　密率术曰置中外周步数分母子各居其

　　下母互乘子分母相乘通全步内分子并

　　而半之又可以中周减外周馀半之以益

　　中周径亦通分内子以乘周为实分母相

　　乘为法除之为积步馀积步之分等数约

　　之以亩法除之即亩数也

九章算术卷一

九章算术卷一订讹补图　　　　〈算经十书之二〉

　　　　　　　休宁　戴　震　东原

臣淳风等谨按母互乘子副并为平实者定此

平实立限众子所当损益如限为平〈据首问第二数母三〉

〈第三数母四互乘第一数子一得十二第一数母三第三数母四互乘第二数子二得二十四〉

〈第一第二数母各三互乘第三数子三得二十七并之共六十三为平实母三三相乘又与四〉

〈乘得三十六为法列数凡三即以三乘十二得三十六乘二十四得七十二乘二十七得八十〉

〈一为列实亦以三乘法三十六得一百八平实六十三减列实三十六少二十七减七十二馀〉

〈九减八十一馀十八约之九为一则十八为二而二十七为三平实六十三为七法一百八为〉

〈十二命为十二分之七设以十二作三数三分之一则四也三分之二则八也四分之三则九〉

〈也定平实七立限八减一九减二皆七所减之一二益于四亦七损多益少适如其限故云定〉

〈此平实立限又云如限为平原本立讹作主如讹作知遂不可通〉

按半周为从半径为广故广从相乘为积步也

假令圆径二尺圆中容六觚之一面〈六觚原本讹作六弧〉

〈考六角形其平而亦有六八角形其平面亦有八古人谓之六觚八觚若截圆形为六古人谓〉

〈之弧背其弧即圆周不得云圆中容六弧之一面后或言弧或言觚义各不同原本觚皆讹作〉

〈弧遂𫎇混不可通〉

圆内容六觚之图

�����������������

�����������������

〈刘徽以圆田用周三径一之率周三者从其六觚之环耳以推圆规多少之较乃弓之与也〉

〈六觚之一面与圆径之半其数均等叠雨圆观之疏密显然矣〉

以九十六觚之幂减之馀六百二十五分寸之

以百五谓之差幂倍之为分寸之二百一十〈为分〉

〈寸者𫎇上省文谓六百二十五分寸之二百一十也〉

以此术求之得幂一百六十一寸有奇其数相

近矣此术微少而斛差幂六百二十五分寸之

一百五以十二觚之幂为率消息当取此分寸

之三十六〈取此分寸亦𫎇上省文谓六百二十五分寸之三十六也〉

臣淳风等谨按依密率以七乘周二十二而一

即径以二十二乘径七而一即周依术求之即

得〈径七周二十二乃祖氏之约率非密率也淳风等以为密率失其实矣徽率与祖氏之约〉

〈率率〉�〈较于〉�〈徽率〉�������������

������������������