九章算术 (四部丛刊本)/卷第七

九章算术　卷第七

魏 刘徽 注 唐 李淳风 等奉敕注释 宋 李籍 撰音义 景上海涵芬楼藏微波榭刊本

九章算术卷七　　　　　　　　　　〈算经十书之二〉

　　　　　　　　　　　　魏　刘　徽　注

　　　唐朝议大夫行太史令上轻车都尉臣李淳风等奉敕注释

盈不足〈以御隐杂互见〉

今有共买物人出八盈三人出七不足四问人

数物价各几何

　　　　　荅曰七人

　　　　　物价五十三

今有共买鸡人出九盈十一人出六不足十六

问人数鸡价各几何

　　　　苔曰九人

　　　　鸡价七十

今有共买琎人出半盈四人出少半不足三问

人数琎价各几何

　　　　荅曰四十二人

　　　　琎价十七

今有共买牛七家共出一百九十不足三百三

十九家共出二百七十盈三十问家数牛价各

几何

　　　　荅曰一百二十六家

　　　　牛价三千七百五十〈按此术并盈不足者为众家之〉

　　　　〈差故以为实置所出率各以家数除之各得一家所出率以少减多者得〉

　　　　〈一家之差以除即家数以出率乘之减盈故得牛价也〉

　　盈不足〈按盈者谓之朓不足者谓之朒所出率谓之假令盈朒维乘两设者〉

　　〈欲为齐同之意〉

　　术曰盈不足相与同共买物者置所出率

　　盈不足各居其下令维乘所出率并以为

　　实并盈不足为法〈据共买物人出八盈三人出七不足四齐其假〉

　　〈令同其盈朒盈朒俱十二通计齐则不盈不朒之正数故可并以为实并盈不足为〉

　　〈法齐之三十二者是四假令有盈十二齐之二十一者是三假令亦朒十二并七假〉

　　〈令合为一实故并三四为法〉有分者通之〈若两设有分者齐其子同〉

　　〈其母此问两设俱见零分故齐其子同其母〉副置所出率以少

　　减多馀以约法实实为物价法为人数〈令下〉

　　〈维乘上讫以同约之不可约故以乘同之所出率以少减多者馀谓之设差以为少〉

　　〈设则并盈朒是为定实故以少设约法则为人数约实则为物价盈朒当与少设相〉

　　〈通不可遍约亦当分母乘设差为约法实〉

　　其一术曰并盈不足为实以所出率以少

　　减多馀为法实如法得一人以所出率乘

　　之减盈增不足即物价〈此术意谓盈不足为众人之差以所〉

　　〈出率以少减多馀为一人之差以一人之差约众人之差故得人数也〉

今有共买金人出四百盈三千四百人出三百

盈一百问人数金价各几何

　　　　荅曰三十三人

　　　　金价九千八百

今有共买羊人出五不足四十五人出七不足

三问人数羊价各几何

　　　　荅曰二十一人

　　　　羊价一百五十

　　两盈两不足

　　术曰两盈两不足相与同共买物者置所

　　出率盈不足各居其下令维乘所出率以

　　少减多馀为实两盈两不足以少减多馀

　　为法有分者通之副置所出率以少减多

　　馀以约法实实为物价法为人数〈按此术两盈者〉

　　〈两设皆逾于正数两不足者两设皆不足于正数其所以变化则两不足亦犹两盈〉

　　〈而或有势同而情违者当其为实俱令不足其相乘减则遗其所不足焉故其馀所〉

　　〈以为实者无朒数以损焉盖出而有馀两盈两设皆逾于正数假令与共买物人出〉

　　〈八盈三人出九盈十齐其假令同其两盈两盈俱三十举齐则兼去其馀所以为实〉

　　〈者无盈数两盈以少减多馀为法齐之八十者是十假令而凡盈三十是三以十齐〉

　　〈之齐之二十七者是三假令而凡盈三十是十以三齐之两盈共十三以三减十馀〉

　　〈七假令为一实故令以三减十馀七为法所出率以少减多馀谓之设差因设差为〉

　　〈少设则两盈之差是为定实故以少设约法则为人数约实则得物价〉

　　其一术曰置所出率以少减多馀为法两

　　盈两不足以少减多馀为实实如法而一

　　得人数以所出率乘之减盈増不足即物

　　价〈置所出率以少减多得一人之差两盈两不足相减馀为众人之差故以一人〉

　　〈之差除之得人数以所出率乘之减盈增不足即物价〉

今有共买豕人出一百盈一百人出九十适足

问人数豕价各几何

　　　　荅曰一十人

　　　　豕价九百

今有共买犬人出五不足九十人出五十适足

问人数犬价各几何

　　　　荅曰二人

　　　　犬价一百

　　盈适足不足适足

　　术曰以盈及不足之数为实置所出率以

　　少减多馀为法实如法得一人其求物价

　　者以适足乘人数得物价〈盈不足数为实者数单见即众〉

　　〈人差故以为实所出率以少减多者馀即一人差故以为法以除众人差得人数以〉

　　〈适足乘人数即得物价也　此术意谓所出率以少减多者馀是一人不足之差不〉

　　〈足数为众人之差以一人差约之故得人之数也〉

今有米在十斗桶中不知其数满中添粟而舂

之得米七斗问故米几何

　　　　荅曰二斗五升

　　术曰以盈不足术求之假令故米二斗不

　　足二升令之三斗有馀二升〈按桶受一斛若使故米二〉

　　〈斗须添粟八斗以满之八斗得粝米四斗八升课于七斗是为不足二升若使故米〉

　　〈三斗须添粟七斗以满之七斗得粝米四斗二升课于七斗是为有馀二升以盈不〉

　　〈足维乘假令之数者欲为齐同之意实如法即得故米斗数乃不盈不朒之正数也〉

今有垣高九尺瓜生其上蔓日长七寸瓠生其

下蔓日长一尺问几何日相逢瓜瓠各长几何

　　　　荅曰五日十七分日之五

　　　　瓜长三尺七寸十七分寸之一

　　　　瓠长五尺二寸十七分寸之十六

　　术曰假令五日不足五寸令之六日有馀

　　一尺二寸〈按假令五日不足五寸者瓜生五日下垂蔓三尺五寸生五〉

　　〈日上延蔓五尺课于九尺之垣是为不足五寸令之六日有馀一尺二寸者若使瓜〉

　　〈生六日下垂蔓四尺二寸生六日上延蔓六尺课于九尺之垣是为有馀一尺二〉

　　〈寸以盈不足维乘假令之数者欲为齐同之意实如法而一即设差不盈不朒之正〉

　　〈数即得日数以瓜瓠一日之长乘之故各得其长之数也〉

今有蒲生一日长三尺莞生一日长一尺蒲生

日自半莞生日自倍问几何日而长等

　　　　荅曰二日十三分日之六

　　　　各长四尺八寸十三分寸之六

　　术曰假令二日不足一尺五寸令之三日

　　有馀一尺七寸半〈按假令二日不足一尺五寸者蒲生二日长四〉

　　〈尺五寸莞生二日长三尺是为未相及一尺五寸故曰不足令之三日有馀一尺七〉

　　〈寸半者蒲增前七寸半莞增前四尺是为过一尺七寸半故日有馀以盈不足乘除〉

　　〈之又以后一日所长各乘日分子如日分母而一者各得日分子之长也故各增二〉

　　〈长即得其数〉

今有垣厚五尺两鼠对穿大鼠日一尺小鼠亦

日一尺大鼠日自倍小鼠日自半问几何日相

逢各穿几何

　　　　荅曰二日十七分日之二

　　　　大鼠穿三尺四寸十七分寸之十二

　　　　小鼠穿一尺五寸十七分寸之五

　　术曰假令二日不足五寸令之三日有馀

　　三尺七寸半大鼠日倍二日合穿三尺小

　　鼠日自半合穿一尺五寸并大鼠所穿合

　　尺五寸课于垣厚五尺是为不足五寸令

　　之三日大鼠穿得七尺小鼠穿得一尺七

　　寸半并之以减垣厚五尺有馀三尺七寸

　　半以盈不足术求之即得以后一日所穿

　　乘日分子如日分母而一即各得日分子

　　之中所穿故各増二日定穿即合所问也

今有醇酒一斗钱五十行酒一斗钱一十

今将钱三十得酒二斗问醇行酒各得几何

　　　　荅曰醇酒二升半

　　　　行酒一斗七升半

　　术曰假令醇酒五升行酒一斗五升有馀

　　一十令之醇酒二升行酒一斗八升不足

　　二〈据醇酒五升钱二十五行酒一斗五升钱十五课于三十是为有馀十据〉

　　〈醇酒二升钱一十行酒一斗八升钱一十八课于三十是为不足二以盈不足〉

　　〈术求之此问已有重说及其齐同之意也〉

今有大器五小器一容三斛大器一小器五容

二斛问大小器各容几何

　　　　荅曰大器容二十四分斛之十三

　　　　小器二十四分斛之七

　　术曰假令大器五斗小器亦五斗盈十斗

　　令之大器五斗五升小器二斗五升不足

　　二斗〈按大器容五斗大器五容二斛五斗以减三斛馀五斗即小器一所容故〉

　　〈曰小器亦五斗小器五容二斛五斗大器一合为三斛课于两斛乃多十斗令之大〉

　　〈器五斗五升大器五合容二斛七斗五升以减三斛馀二斗五升即小器一所容故〉

　　〈曰小器二斗五升大器一容五斗五升小器五合容一斛二斗五升合为一斛八斗〉

　　〈课于二斛少二斗故曰不足二斗以盈不足维乘之各并为实并盈不足为法除之〉

今有漆三得油四油四和漆五今有漆三斗欲

令分以易油还自和馀漆问出漆得油和漆各

几何

　　　　荅曰出漆一斗一升四分升之一

　　　　得油一斗五升

　　　　和漆一斗八升四分升之三

　　术曰假令出漆九升不足六升令之出漆

　　一斗二升有馀二升〈按此术三斗之漆出九升得油一斗二升〉

　　〈可和漆一斗五升馀有二斗一升则六升无油可和故曰不足六升令之出漆一斗〉

　　〈二升则易得油一斗六升可和漆二斗于三斗之中已出一斗二升馀有一斗八升〉

　　〈见在油合和得漆二斗则是有馀二升以盈不足维乘之为实并盈不足为法实如〉

　　〈法而一得出漆升数求油及和漆者四五各为所求率四三各为所有率而今有之〉

　　〈即得也〉

今有玉方一寸重七两石方一寸重六两今有

石立方三寸中有玉并重十一斤问玉石重各

几何

　　　　荅曰玉十四寸重六斤二两

　　　　石十三寸重四斤十四两

　　术曰假令皆玉多十三两令之皆石不足

　　十四两不足为玉多为石各以一寸之重

　　乘之得玉石之积重〈立方三寸是一之方计积二十七寸玉〉

　　〈方一寸重七两石方一寸重六两是为玉石重差一两假令皆玉合有一百八十九〉

　　〈两课于十一斤有馀十三两玉重而石轻故有此多即二十七寸之中有十三寸寸〉

　　〈损一两则以为石重故言多为石言多之数出于石以为玉假令皆石合有一百六〉

　　〈十二两课于十一斤少十四两故曰不足此不足即以重为轻故令减少数于石重〉

　　〈即二十七寸之中有十四寸寸增一两则以为玉重也〉

今有善田一亩价三百恶田七亩价五百今并

买一顷价钱一万问善恶田各几何

　　　　荅曰善田十二亩半

　　　　恶田八十七亩半

　　术曰假令善田二十亩恶田八十亩多一

　　千七百一十四钱七分钱之二令之善田

　　十亩恶田九十亩不足五百七十一钱七

　　分钱之三〈按善田二十亩钱六千恶田八十亩钱五千七百一十四〉

　　〈七分钱之二谓于一万是多一千七百一十四钱七分钱之二令之善田十亩钱〉

　　〈三千恶田九十亩钱六千四百二十八七分钱之四课于一万是为不足五百七〉

　　〈十一钱七分钱之三以盈不足术求之也〉

今有黄金九枚白银十一枚称之重适等交易

其一金轻十三两问金银一枚各重几何

　　　　荅曰金重二斤三两十八铢

　　　　银重一斤十三两六铢

　　术曰假令黄金三斤白银二斤十一分斤

　　之五不足四十九于右行令之黄金二斤

　　白银一斤十一分斤之七多十五于左行

　　以分母各乘其行内之数以盈不足维乘

　　所出率并以为实并盈不足为法实如法

　　得黄金重分母乘法以除得银重约之得

　　分也〈按此术假令黄金九白银十一俱重二十七斤金九约之得三斤银十一〉

　　〈约之得二斤十一分斤之五各为金银一枚重数就金重二十七斤之中减一金之〉

　　〈重以益银银重二十七斤之中减一银之重以益金则金重二十六斤十一分斤之〉

　　〈五银重二十七斤十一分斤之六以少减多则金轻十七两十一分两之五课于十〉

　　〈三两多四两十一分两之五通分内子言之是为不足四十九又令之黄金九一枚〉

　　〈重二斤九枚重十八斤白银十一亦合重十八斤也乃以十一除之得一枚一斤十〉

　　〈一分斤之七为银一枚之重数今就金重十八斤之中减一枚金以益银复减一枚〉

　　〈银以益金则金重十七斤十一分斤之七银重十八斤十一分斤之四以少减多即〉

　　〈金轻十一分斤之八课于十三两少一两十一分两之四通分内子言之是为多十〉

　　〈五以盈不足术求之实如法得金重分母乘法以除者谓银两分母同须通法而后〉

　　〈乃除得银重馀皆约之者术省故也〉

今有良马与驽马发长安至齐齐去长安三千

里良马初日行一百九十三里日增十三里驽

马初日行九十七里日减半里良马先至齐复

还迎驽马问几何日相逢及各行几何

　　　　荅曰十五日一百九十一分日之一

　　　　百三十五而相逢

　　　　良马行四千五百三十四里一百九

　　　　十一分里之四十六

　　　　驽马行一千四百六十五里一百九

　　　　十一分里之一百四十五

　　术曰假令十五日不足三百三十七里半

　　令之十六日多一百四十里以盈不足维

　　乘假令之数并而为实并盈不足为法实

　　如法而一得日数不尽者以等数除之而

　　命分〈求良马行者十四乘益疾里数而半之加良马初日之行里数以乘日分〉

　　〈子如日分母而一所得及其不尽而命分加于前良马凡行里数即得求驽马行者〉

　　〈以十四乘半里以减驽马初日之行里数馀以并初日之行又半之乘十五日得驽〉

　　〈马十五日之凡行又以十五日乘半里以减驽马初日之行馀以乘日分子如日分〉

　　〈母而一所得加前里即驽马定行里数其奇半里者为半法以半法增残分即得其〉

　　〈不尽者而命分按令十五日不足三百三十七里半者据良马十五日凡行四千二〉

　　〈百六十里除先去齐三千里定还迎驽马一千二百六十里驽马凡十五日凡行一〉

　　〈千四百二里半并良驽二马所行得二千六百六十二里半课于三千里少三百三〉

　　〈十七里半故曰不足令之十六日多一百四十里者据良马十六日凡行四千六百〉

　　〈四十八里先除去齐三千里定还迎驽马一千六百四十八里驽马十六日凡行一〉

　　〈千四百九十二里并良驽二马所行得三千一百四十里课于三千里馀有一百四〉

　　〈十里故谓之多也以盈不足维乘假令之数并而为实并盈不足为法实如法而一〉

　　〈得日数者即设差不盈不朒之正数以二马初日所行里乘十五日为十五日平行〉

　　〈数求初末益疾减迟之数者并一与十四以十四乘而半之为中平之积又令益疾〉

　　〈减迟里数乘之各为减益之中平里故各减益平行数得十五日定行里若求后一〉

　　〈日以十六日之定行里数乘日分子如日分母而一各得日分子之定行里数故各〉

　　〈并十五日定行里即得其驽马奇半里者法为全里之分故破半里为半法以增残〉

　　〈分即合所问也〉

今有人持钱之蜀贾利十三初返归一万四千

次返归一万三千次返归一万二千次返归一

万一千后返归一万凡五返归钱本利俱尽问

本持钱及利各几何

　　　　荅曰本三万四百六十八钱三十七

　　　　万一千二百九十三分钱之八万四

　　　　千八百七十六

　　　　利二万九千五百三十一钱三十七

　　　　万一千二百九十三分钱之二十八

　　　　万六千四百一十七

　　术曰假令本钱三万不足一千七百三十

　　八钱半令之四万多三万五千三百九十

　　钱八分〈按假令本钱三万并利为三万九千除初返归留馀加利为三万二〉

　　〈千五百除二返归留馀又加利为二万五千三百五十除第三返归留馀又加利为〉

　　〈一万七千三百五十五除第四返归留馀又加利为八千二百六十一钱半除第五〉

　　〈返归留合一万钱不足一千七百三十八钱半若使本钱四万并利为五万二千除〉

　　〈初返归留馀加利为四万九千四百除第二返归留馀又加利为四万七千三百二〉

　　〈十除第三返归留馀又加利为四万五千九百一十六除第四返归留馀又加利为〉

　　〈四万五千三百九十钱八分除第五返归留合一万馀三万五千三百九十钱八分〉

　　〈故曰多又术置后返归一万以十乘之十三而一即后所持之本加一万一千又以〉

　　〈十乘之十三而一即第四返之本加一万二千又以十乘之十三而一即第三返之〉

　　〈本加一万三千又以十乘之十三而一即第二返之本加一万四千又以十乘之十〉

　　〈三而一即初持之本并五返之钱以减之即利也〉

九章算术卷七终

九章算术卷七订讹　　　　　　〈算经十书之二〉

　　　　　　　休宁　戴　震　东原

副置所出率以少减多馀以约法实实为物价

法为人数〈此术前列四问本通为一徽注辞不达意据第二问人出九盈十一人出〉

〈六不足十六以十六互乘九得一百四十四以十一互乘六得六十六并之二百一十为实所〉

〈谓相与同共买物者置所出率盈不足各居其下令维乘所出率并以为实也盈十一及不足〉

〈十六并之二十七为法所谓幷盈不足为法也于出九减出六馀三以三约实二百一十得价〉

〈七十以三约法二十七得九人所谓副置所出率以少减多馀以约法实实为物价法为人数〉

〈也其第一问所出率相减馀一则法实无庸约故维乘并之径得物价并盈不足径得人数偶〉

〈省一算耳第三问人出半盈四人出少半不足三半即二分之一少半即三分之一也又即为〉

〈二人共出一盈四三人共出一不足三以二分通三之一得二以三分通二之一得三是齐其〉

〈子也二分三分相乘得六是同其母也以盈四互乘二得八以不足三互乘三得九并之十七〉

〈为实是盈不足维乘所出率并以为实也盈四及不足三并而为七以分母相乘所得六通而〉

〈齐之得四十二为法是并盈不足为法也二三相减馀一以约法实亦无庸约故径得物价人〉

〈数第四问七家共出一百九十不足三百三十九家共出二百七十盈三十以九家互乘一百〉

〈九十得一千七百一十以七家互乘二百七十得一千八百九十犹之齐其子也七家九家相〉

〈乘得六十三犹之同其母也以盈三十互乘一千七百一十得五万一千三百以不足三百三〉

〈十互乘一千八百九十得六十二万三千七百并之六十七万五千为实是盈不足维乘所出〉

〈率并以为实也盈三十及不足三百三十并而为三百六十以六十三通而齐之得二万二千〉

〈六百八十为法是并盈不足为法也于一千八百九十减一千七百一十馀一百八十以一百〉

〈八十约实六十七万五千得价三千七百五十以一百八十约法二万二千六百八十得一百〉

〈二十六家是副置所出率以少减多馀以约法实也三四两问皆所谓有分者通之也〉

按此术两盈者两设皆逾于正数两不足者两

设皆不足于正数其所以变化则两不足亦犹

两盈而或有势同而情违者当其为实俱令不

足其相乘减则遗其所不足焉故其馀所以为

实者无朒数以损焉盖出而有馀两盈两设皆

逾于正数〈以上讹舛不可通〉

术曰以盈不足术求之假令故米二斗不足二

升令之三斗有馀二升〈此下有脱文当云以盈不足维乘假令之数并〉

〈为实并盈不足为法实如法而一得故米斗数〉

术曰假令五日不足五寸令之六日有馀一尺

二寸〈此下有脱文当云以盈不足维乘假令之数并为实并盈不足为法实如法而一得〉

〈日数〉

术曰假令二日不足一尺五寸令之三日有馀

一尺七寸半〈此下有脱文当云以盈不足维乘假令之数并为实并盈不足为法〉

〈实如法而一得日数不尽者等数约之而命分以后一日所长乘日分子如日分母而一各增〉

〈二长为二物共长齐等之数〉

术曰假令醇酒五升行酒一斗五升有馀一十

令之醇酒二升行酒一斗八升不足二〈此下有脱文当〉

〈云各以盈不足维乘之并为实并盈不足为法实如法而一得二酒之数〉

术曰假令一十五日不足三百三十七里半令

之一十六日多一百四十里以盈不足维乘假

令之数并而为实并盈不足为法实如法而一

得日数不尽者以等数除之而命分〈此下有脱文当云求〉

〈二马各行里数以一十五日初末之行并而半之一十五乘之又以后一日之定行乘日分子〉

〈日分母为法而一各加于前破半里为半法以入残分〉

求良马行者一十四乘益疾里数而半之加良

马初日之行里数〈此下有脱文当云以乘一十五日得一十五日之凡行又〉

〈以一十五日乘益疾里数加良马初日之行〉