九章算术 (四部丛刊本)/卷第二
| 九章算术 卷第二 魏 刘徽 注 唐 李淳风 等奉敕注释 宋 李籍 撰音义 景上海涵芬楼藏微波榭刊本
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九章算术卷第二 〈算经十书之二〉
魏 刘 徽 注
唐朝议大夫行太史令上轻车都尉臣李淳风等奉敕注释
粟米〈以御交质变易〉
粟米之法〈凡此诸率相与大通其特相求各如本率可约者约之别术然也〉
粟率五十 粝米三十
粺米二十七 糳米二十四
御米二十一 小䵂十三半
大䵂五十四 粝饭七十五
粺饭五十四 糳饭四十八
御饭四十二 菽荅麻麦各四十五
稻六十 䜴六十三
飧九十 熟菽一百三半
糵一百七十五
今有〈此都术也凡九数以为篇名可以广施诸率所谓告往而知来举一隅而〉
〈三隅反者也诚能分诡数之纷杂通彼此之否塞因物成率审辨名分平其偏颇齐〉
〈其参差则终无不归于此术也〉
术曰以所有数乘所求率为实以所有率
为法〈少者多之始一者数之母故为率者必等之于一据粟率五粝率三是粟〉
〈五而为一粝米三而为一也欲化粟为米者粝当先本是一一者谓以五约之令五〉
〈而为一也讫乃以三乘之令一而为三如是则率等于一以五为三矣然先除后乘〉
〈或有馀分故术反之又究言之知粟五升为粝米三升分言之知粟一斗为粝米五〉
〈分斗之三以五为母三为子以粟求粝米者以子乘其母报除也然则所求之率常〉
〈为母也 臣淳风等谨按宜云所求之率常为子所有之率常为母今乃云所求之〉
〈率常为母知脱错也〉实如法而一
今有粟一斗欲为粝米问得几何
荅曰为粝米六升
术曰以粟求粝米三之五而一〈臣淳风等谨按都术〉
〈以所求率乘有所数以所有率为法此术以粟求米故粟为所有数三是米率故三〉
〈为所求率五是粟率故五为所有率粟率五十米率三十退位求之故唯云三五也〉
今有粟二斗一升欲为粺米问得几何
荅曰为粺米一斗一升五十分升之
十七
术曰以粟求粺米二十七之五十而一〈臣淳〉
〈风等谨按粺米之率二十有七故
以二十七之五十而一也〉
今有粟四斗五升欲为糳米问得几何
荅曰为糳米二斗一升五分升之三
术曰以粟求糳米十二之二十五而一〈臣淳〉
〈风等谨按糳米之率二十有四以为率太䌓故因而半之半所求之率以乘所有之〉
〈数所求之率既减半所有之率亦减半是故十二乘之二十五而一也〉
今有粟七斗九升欲为御米问得几何
荅曰为御米三斗三升五十分升之
九
术曰以粟求御米二十一之五十而一
今有粟一斗欲为小䵂问得几何
荅曰为小䵂二升一十分升之七
术曰以粟求小䵂二十七之百而一〈臣淳风等〉
〈谨按小䵂之率十三有半半者二为母以二通之得二十七为所求率又以母二通〉
〈其粟率得一百为所有率凡本率有分者须即乘除也他皆仿此〉
今有粟九斗八升欲为大䵂问得几何
荅曰为大䵂一十斗五升二十五分
升之二十一
术曰以粟求大䵂二十七之二十五而一
〈臣淳风等谨按大䵂之率五十有四因其可半故二十七之亦如粟求糳米半其二〉
〈率〉
今有粟二斗三升欲为粝饭问得几何
荅曰为粝饭三斗四升半
术曰以粟求粝饭三之二而一〈臣淳风等谨按粝饭〉
〈之率七十有五粟求粝饭合以此数乘之今以等数二十有五约其二率所求之率〉
〈得三所有之率得二故以三乘二除〉
今有粟三斗六升欲为粺饭问得几何
荅曰为粺饭三斗八升二十五分升
之二十二
术曰以粟求粺饭二十七之二十五而一
〈臣淳风等谨按此术与大䵂多同〉
今有粟八斗六升欲为糳饭问得几何
荅曰为糳饭八斗二升二十五分升
之一十四
术曰以粟求糳饭二十四之二十五而一
〈臣淳风等谨按糳饭率四十八此亦半二率而乘除〉
今有粟九斗八升欲为御饭问得几何
荅曰为御饭八斗二升二十五分升
之八
术曰以粟求御饭二十一之二十五而一
〈臣淳风等谨按此术半率亦与糳饭多同〉
今有粟三斗少半升欲为菽问得几何
荅曰为菽二斗七升一十分升之三
今有粟四斗一升太半升欲为荅问得几何
荅曰为荅三斗七升半
今有粟五斗太半升欲为麻问得几何
荅曰为麻四斗五升五分升之三
今有粟一十斗八升五分升之二欲为麦问得
几何
荅曰为麦九斗七升二十五分升之
一十四
术曰以粟求菽荅麻麦皆九之十而一〈臣淳〉
〈风等谨按四术率并四十五皆是为粟所求俱合以此率乘其本粟术欲从省先以〉
〈等数五约之所求之率得九所有之率得十故九乘十除义由于此〉
今有粟七斗五升七分升之四欲为稻问得几
何
荅曰为稻九斗三十五分升之二十
四
术曰以粟求稻六之五而一〈臣淳风等谨按稻率六十〉
〈亦约二率而乘除〉
今有粟七斗八升欲为䜴问得几何
荅曰为䜴九斗八升二十五分升之
七
术曰以粟求䜴六十三之五十而一
今有粟五斗五升欲为飧问得几何
荅曰为飧九斗九升
术曰以粟求飧九之五而一〈臣淳风等谨按飧率九十〉
〈退位与求稻多同〉
今有粟四斗欲为熟菽问得几何
荅曰为熟菽八斗二升五分升之四
术曰以粟求熟菽二百七之百而一〈臣淳风等〉
〈谨按熟菽之率一百三半半者其母二故以母二通之所求之率既被二乘所有之〉
〈率随而俱长故以二百七之百而一〉
今有粟二斗欲为糵问得几何
荅曰为糵七斗
术曰以粟求糵七之二而一〈臣淳风等谨按糵率一百〉
〈七十有五合以此数乘其本粟术欲从省先以等数二十五约之所求之率得七所〉
〈有之率得二故七乘二除〉
今有粝米十五斗五升五分升之二欲为粟问
得几何
荅曰为粟二十五斗九升
术曰以粝米求粟五之三而一〈臣淳风等谨按上术〉
〈以粟求米故粟为所有数三为所求率五为所有率今此以米求粟故米为所有数〉
〈五为所求率三为所有率准都术求之各合其数以下所有反求多同皆准此〉
今有粺米二斗欲为粟问得几何
荅曰为粟三斗七升二十七分升之
一
术曰以粺米求粟五十之二十七而一
今有糳米三斗少半升欲为粟问得几何
荅曰为粟六斗三升三十六分升之
七
术日以糳米求粟二十五之十三而一
今有御米十四斗欲为粟问得几何
荅曰为粟三十三斗三升少半升
术曰以御米求粟五十之二十一而一
今有稻一十二斗六升一十五分升之一十四
欲为粟问得几何
荅曰为粟一十斗五升九分升之七
术曰以稻求粟五之六而一
今有粝米一十九斗二升七分升之一欲为粺
米问得几何
荅曰为粺米一十七斗二升一十四
分升之一十三
术曰以粝米求粺米九之十而一〈臣淳风等谨按〉
〈粺率二十七合以此数乘粝米术欲从省先以等数三约之所求之率得九所有之〉
〈率得十故九乘而十除〉
今有粝米六斗四升五分升之三欲为粝饭问
得几何
荅曰为粝饭一十六斗一升半
术曰以粝米求粝饭五之二而一〈臣淳风等谨按〉
〈粝饭之率七十有五宜以本粝米乘此率术欲从省先以等数十五约之所求之率〉
〈得五所有之率得二故五乘二除义由于此〉
今有粝饭七斗六升七分升之四欲为飧问得
几何
荅曰为飧九斗一升三十五分升之
三十一
术曰以粝饭求飧六之五而一〈臣淳风等谨按飧率〉
〈九十为粝饭所求宜以粝饭乘此率术欲从省先以等数十五约之所求之率得六〉
〈所有之率得五以此故六乘五除也〉
今有菽一斗欲为熟菽问得几何
荅曰为熟菽二斗三升
术曰以菽求熟菽二十三之十而一〈臣淳风等〉
〈谨按熟菽之率一百三半因其有半各以母二通之宜以熟菽数乘此率术欲从者〉
〈先以等数九约之所求之率得一十一半所有之率得五也〉
今有菽二斗欲为䜴问得几何
荅曰为䜴二斗八升
术曰以菽求䜴七之五而一〈臣淳风等谨按䜴率六十〉
〈三为菽所求宜以菽乘此率术欲从省先以等数九约之所求之率得七而所有之〉
〈率得五也〉
今有麦八斗六升七分升之三欲为小䵂问得
几何
荅曰为小䵂二斗五升一十四分升
之一十三
术曰以麦求小䵂三之十而一〈臣淳风等谨按小䵂〉
〈之率十三半宜以母二通之以乘本麦之数术欲从省先以等数九约之所求之率〉
〈得三所有之率得十也〉
今有麦一斗欲为大䵂问得几何
荅曰为大䵂一斗二升
术曰以麦求大䵂六之五而一〈臣淳风等谨按大䵂〉
〈之率五十有四合以大䵂数乘此率术欲从省先以等数九约之所求之率得六所〉
〈有之率得五也〉
今有出钱一百六十买瓴甓十八枚〈瓴甓砖也〉问枚
几何
荅曰一枚八钱九分钱之八
今有出钱一万三千五百买竹二千三百五十
个问个几何
荅曰一个五钱四十七分钱之三十
五
经率〈臣淳风等谨按今有之义以所求率乘所有数合以瓴甓一枚乘钱一百〉
〈六十为实但以一乘不长故不复乘是以径将所买之率与所出之钱为法实也又〉
〈按此今有之义出钱为所有数一枚为所求率所买为所有率而今有之即得所求〉
〈数一乘不长故不复乘是以径将所买之率为法以所出之钱为实实如法得一枚〉
〈钱不尽者等数而命分〉
术曰以所买率为法所出钱数为实实如
法得一
今有出钱五千七百八十五买漆一斛六斗七
升太半升欲斗率之问斗几何
荅曰一斗三百四十五钱五百三分
钱之一十五
今有出钱七百二十买缣一匹二丈一尺欲丈
率之问丈几何
荅曰一丈一百一十八钱六十一分
钱之二
今有出钱二千三百七十买布九匹二丈七尺
欲匹率之问匹几何
荅曰一匹二百四十四钱一百二十
九分钱之一百二十四
今有出钱一万三千六百七十买丝一石二钧
一十七斤欲石率之问石几何
荅曰一石八千三百二十六钱一百
九十七分钱之一百七十八
经率〈此术犹经分 臣淳风等谨按今有之义一斗为所求率出钱为所有数〉
〈故以一斗乘钱数有分者通之又以分母乘之为实所买通分内子为所有率故以〉
〈为法实如法而一得钱数不尽而命分者因法为母实馀为子实见不满故以命之〉
术曰以所求率乘钱数为实以所买率为
法实如法得一
今有出钱五百七十六买竹七十八个欲其大
小率之问各几何
荅曰
其四十八个个七钱
其三十个个八钱
今有出钱一千一百二十买丝一石二钧十八
斤欲其贵贱斤率之问各几何
荅曰
其二钧八斤斤五钱
其一石一十斤斤六钱
今有出钱一万三千九百七十买丝一石二钧
二十八斤三两五铢欲其贵贱石率之问各几
何
荅曰
其一钧九两一十二铢石八千五十
一钱
其一石一钧二十七斤九两一十七
铢石八千五十二钱
今有出钱一万三千九百七十买丝一石二钧
二十八斤三两五铢欲其贵贱钧率之问各几
何
荅曰
其七斤一十两九铢钧二千一十二
钱
其一石二钧二十斤八两二十铢钧
二千一十三钱
今有出钱一万三千九百七十买丝一石二钧
二十八斤三两五铢欲其贵贱斤率之问各几
何
荅曰
其一石二钧七斤十两四铢斤六十
七钱
其二十斤九两一铢斤六十八钱
今有出钱一万三千九百七十买丝一石二钧
二十八斤三两五铢欲其贵贱两率之问各几
何
荅曰
其一石一钧一十七斤一十四两一
铢两四钱
其一钧一十斤五两四铢两五钱
其率〈如欲令差分按出钱五百七十六买竹七十八个以除钱得七实馀三十〉
〈是为三十个复可増一钱然则实馀之数即是贵者之数故曰实贵也本以七十八〉
〈个为法今以贵者减之则其馀悉是贱者之数故曰法贱也其求石钧斤两以积铢〉
〈各除法实各得其积数馀各为铢者谓石钧斤两积铢除实又以石钧斤两积铢除〉
〈法馀各为铢即合所问〉
术曰各置所买石钧斤两以为法以所率
乘钱数为实实如法而一不满法者反以
实减法法贱实贵
今有出钱一万三千九百七十买丝一石二钧
二十八斤三两五铢欲其贵贱铢率之问各几
何
荅曰
其一钧二十斤六两十一铢五铢一
钱
其一石一钧七斤一十二两一十八
铢六铢一钱
今有出钱六百二十买羽二千一百翭〈翭羽本也数羽〉
〈称其本犹数草木称其根株〉欲其贵贱率之问各几何
荅曰
其一千一百四十翭三翭一钱
其九百六十翭四翭一钱
今有出钱九百八十买矢簳五千八百二十枚
欲其贵贱率之问各几何
荅曰
其三百枚五枚一钱
其五千五百二十枚六枚一钱
反其率〈臣淳风等谨按其率者钱多物少反其率者钱少物多多少相反故〉
〈曰反其率也其率者以物数为法钱数为实反之者以钱数为法物数为实不满法〉
〈知实馀也当以馀物化为钱矣法为凡钱而今以化钱减之故以实减法法少知经〉
〈分之所得故曰法少实多者馀分之所益故曰实多乘实宜以多乘法宜以少故曰〉
〈各以其所得多少之数乘法实即物数其求石钧斤两以积铢各除法实各得其数〉
〈馀各为铢者谓之石钧斤两积铢除实石钧斤两积铢除法馀各为铢即合所问〉
术曰以钱数为法所率为实实如法而一
不满法者反以实减法法少实多二物各
以所得多少之数乘法实即物数〈按其率出钱六〉
〈百二十买羽二千一百翭反之当二百四十钱一钱四翭其三百八十钱一钱三翭〉
〈是钱有二价物有贵贱故以羽乘钱反二率也 臣淳风等谨按其率者以物数为〉
〈法钱为实反之者以钱数为法物为实不满法者实馀也当以馀物化为钱矣法为〉
〈凡钱而今以化钱减之故曰反以实减法也法少者知经分之所得故曰法少实多〉
〈者知馀分之所益故曰实多宜以多乘法少乘实故曰各以所得多少数乘法实即〉
〈物数也〉
九章算术卷二终