九章算术 (四部丛刊本)/卷第六

九章算术　卷第六

魏 刘徽 注 唐 李淳风 等奉敕注释 宋 李籍 撰音义 景上海涵芬楼藏微波榭刊本

九章算术卷第六　　　　　　　　〈算经十书之二〉

　　　　　　　　　　　魏　刘　徽　注

　　　唐朝议大夫行太史令上轻车都尉臣李淳风等奉敕注释

均输〈以御远近劳费〉

今有均输粟甲县一万戸行道八日乙县九千

五百戸行道十日丙县一万二千三百五十戸

行道十三日丁县一万二千二百戸行道二十

日各到输所凡四县赋当输二十五万斛用车

一万乘欲以道里远近戸数多少衰出之问粟

车各几何

　　　　荅曰

　　　　甲县粟八万三千一百斛车三千三

　　　　百二十四乘

　　　　乙县粟六万三千一百七十五斛车

　　　　二千五百二十七乘

　　　　丙县粟六万三千一百七十五斛车

　　　　二千五百二十七乘

　　　　丁县粟四万五百五十斛车一千六

　　　　百二十二乘

　　均输〈按此均输犹均运也令戸率出车以行道日数为均发粟为输〉

　　术曰令县戸数各如其本行道日数而一

　　以为衰〈据甲行道八日因使八戸共出一车乙行道十日因使十戸共出一〉

　　〈车计其在道则皆戸一日出一车故可为均平之率也〉甲衰一百二

　　十五乙丙衰各九十五丁衰六十一副并

　　为法以赋粟车数乘未并者各自为实〈衰分〉

　　〈科率〉实如法得一车〈各置所当出车以其行道日数乘之如戸数而〉

　　〈一得率戸用车二百四十七分日之三十一故谓之均求此率以戸当各计车之衰〉

　　〈分也　臣淳风等谨按县戸有多少之差行道有远近之异欲其均等故各令行道〉

　　〈日数约戸为衰行道多者少其戸行道少者多其戸故各令约戸为衰以八日约除〉

　　〈甲县得一百二十五乙丙各九十五丁六十一于今有术副并为所有率未并者各〉

　　〈为所求率以赋粟车数为所有数而今有之各得车数一旬除乙十三除丙各得九〉

　　〈十五二旬除丁得六十一也〉有分者上下軰之〈軰配也车牛人〉

　　〈之数不可分裂推少就多均赋之宜今按甲分既少宜从于乙满法除之有馀从丙〉

　　〈丁分又少亦宜就丙除之适尽加乙丙各一上下軰益以少从多也〉以二十

　　五斛乘车数即粟数

今有均输卒甲县一千二百人薄塞乙县一千

五百五十人行道一日丙县一千二百八十人

行道二日丁县九百九十人行道三日戊县一

千七百五十人行道五日凡五县赋输卒一月

一千二百人欲以远近戸率多少衰出之问县

各几何

　　　　荅曰

　　　　甲县二百二十九人

　　　　乙县二百八十六人

　　　　丙县二百二十八人

　　　　丁县一百七十一人

　　　　戊县二百八十六人

　　术曰令县卒各如其居所及行道日数而

　　一以为衰〈按此亦以日数为均居所为输甲无行道日但以居所三十日〉

　　〈为率言欲为均平之率者当使甲三十人而出一人乙三十一人而出一人出一人〉

　　〈者计役则皆一人一日是以可为均平之率〉甲衰四乙衰五丙

　　衰四丁衰三戊衰五副并为法以人数乘

　　未并者各自为实实如法而一〈各置所当出人数以〉

　　〈其居所及行道日数乘之如县人数而一得戸率人役五日七分日之五　臣淳风〉

　　〈等谨按为衰于今有术副并为所有率未并者各为所求率以赋卒人数为所有数〉

　　〈此术以别考则意同以广异闻故存之也〉有分者上下軰之〈軰配〉

　　〈也今按丁分最少宜就戊除不从乙者丁近戊故也满法除之有馀从乙丙分又少〉

　　〈亦就乙除有馀从甲除之适尽从甲丙二分其数正等二者于乙远近皆同不以甲〉

　　〈从乙者方以下从上也〉

今有均赋粟甲县二万五百二十戸粟一斛二

十钱自输其县乙县一万二千三百一十二戸

粟一斛十钱至输所二百里丙县七千一百八

十二戸粟一斛十二钱至输所一百五十里丁

县一万三千三百三十八戸粟一斛十七钱至

输所二百五十里戊县五千一百三十戸粟一

斛十三钱至输所一百五十里凡五县赋输粟

一万斛一车载二十五斛与僦一里一钱欲以

县戸赋粟令费劳等问县各粟几何

　　　　荅曰

　　　　甲县三千五百七十一斛二千八百

　　　　七十三分斛之五百一十七

　　　　乙县二千三百八十斛二千八百七

　　　　十三分斛之二千二百六十

　　　　丙县一千三百八十八斛二千八百

　　　　七十三分斛之二千二百七十六

　　　　丁县一千七百一十九斛二千八百

　　　　七十三分斛之一千三百一十三

　　　　戊县九百三十九斛二千八百七十

　　　　三分斛之二千二百五十三

　　术曰以一里僦价乘至输所里〈此以出钱为均也问〉

　　〈者曰一车载二十五斛与僦一里一钱一钱即一里僦价也以乘里数者欲知僦一〉

　　〈车到输所所用钱也甲自输其县则无取僦价也〉以一车二十五

　　斛除之〈欲知僦一斛所用钱〉加一斛粟价则致一斛

　　之费〈加一斛之价于一斛僦即凡馀粟取僦钱也甲一斛之费二十乙丙各〉

　　〈十八丁二十七戊十九也〉各以约其戸数为衰〈言使甲二十戸〉

　　〈共出一斛乙丙十八戸共出一斛计其所费则皆戸一钱故可为均赋之率也〉甲

　　衰一千二十六乙衰六百八十四丙衰三

　　百九十九丁衰四百九十四戊衰二百七

　　十副并为法所赋粟乘未并者各自为实

　　实如法而一〈各置所当出粟以其十斛之费乘之如戸数而一得率戸〉

　　〈出三钱二千八百七十三分钱之一千三百八十一　臣淳风等谨按此以出钱为〉

　　〈均问者曰一车载二十五斛与僦一里一钱一钱即一里僦价也以乘里数者欲知〉

　　〈僦一车到输所用钱甲自出其县则无取僦之价以一车二十五斛除之者欲知僦〉

　　〈一斛所用钱加一斛之价于一斛僦即凡馀粟取僦钱甲一斛之费二十乙丙各〉

　　〈十八丁二十七戊十九各以约其戸为衰甲衰一千二十六乙衰六百八十四丙衰〉

　　〈三百九十九丁衰四百九十四戊衰二百七十言使甲二十戸共出一斛乙丙十八〉

　　〈戸共出一斛计其所费则皆戸一钱故可为均赋之率也于今有术副并为所有率〉

　　〈未并者各为所求率赋粟一万斛为所有数此今有衰分之义也计经赋之率既有〉

　　〈戸算之率亦有远近贵贱之率此二率者各自相与通通则甲二十乙十二丙七丁〉

　　〈十三戊五一斛之费为之钱率钱率约戸率者则钱为母戸为子子不齐令母互乘〉

　　〈为齐即衰也若其不然以一斛之费约戸数取衰并有分当通分内子约之于算甚〉

　　〈䌓此一章皆相与通功共率略相依似以上二率下一率亦可放此从其简易而已〉

　　〈又以分言之使甲一戸出二十分斛之一乙一戸出十八分斛之一各以戸数乘之〉

　　〈亦可得一县凡所当输俱为衰也乘之者乘其子母报除之以此观之则以一斛之〉

　　〈费约戸数者其意不异矣然则可置一斛之费而反衰之约戸以乘戸率为衰也合〉

　　〈分注曰母除为率率乘子为齐反衰注曰先同其母各以分母约其子为反衰以施〉

　　〈其率为算既约且不妨处下也〉

今有均赋粟甲县四万二千算粟一斛二十佣

价一日一钱自输其县乙县三万四千二百七

十二算粟一斛十八佣价一日十钱到输所七

十里丙县一万九千三百二十八算粟一斛十

六佣价一日五钱到输所一百四十里丁县一

万七千七百算粟一斛十四佣价一日五钱到

输所一百七十五里戊县二万三千四十算粟

一斛十二佣价一日五钱到输所二百一十里

已县一万九千一百三十六算粟一斛一十佣

价一日五钱到输所二百八十里凡六县赋粟

六万斛皆输甲县六人共车车载二十五斛重

车日行五十里空车日行七十里载输之间各

一日粟有贵贱佣各别价以算出钱令费劳等

问县各粟几何

　　　　荅曰

　　　　甲县一万八千九百四十七斛一百

　　　　三十三分斛之四十九

　　　　乙县一万八百二十七斛一百三十

　　　　三分斛之九

　　　　丙县七千二百一十八斛一百三十

　　　　三分斛之六

　　　　丁县六千七百六十六斛一百三十

　　　　三分斛之一百二十二

　　　　戊县九千二十二斛一百三十三分

　　　　斛之七十四

　　　　己县七千二百一十八斛一百三十

　　　　三分斛之六

　　术曰以车程行空重相乘为法并空重以

　　乘道里各自为实实如法得一日〈臣淳风等谨按〉

　　〈此术重往空还一输再行道也置空行一里用七十分日之一重行一里用五十分〉

　　〈日之一齐而同之空重行一里之路往返用一百七十五分日之六定言之者一百〉

　　〈七十五里之路往返用六日也故并空重者齐其子也空重相乘者同其母也于今〉

　　〈有术至输所里为所有数六为所求率齐一百七十五为所有率而今有之即各得〉

　　〈输所用日也〉加载输各一日〈欲得几日也〉而以六人

　　乘之〈欲知致一车用人也〉又以佣价乘之〈欲知致车人佣几〉

　　〈钱〉以二十五斛除之〈欲知致一斛之佣也〉加一斛

　　粟价即致一斛之费〈加一斛之价于致一斛之佣即凡输一〉

　　〈斛馀粟取佣所用钱〉各以约其算数为衰〈今按甲衰四十二乙〉

　　〈衰二十四丙衰十六丁衰十五戊衰二十已衰十六于今有术副并为所有率未并〉

　　〈者各自为所求率所赋粟为所有数此今有衰分之义也〉副并为法以

　　所赋粟乘未并者各自为实实如法得一

　　斛〈各置所当出粟以其一斛之费乘之如算数而一得率算出九钱一百三十三〉

　　〈分钱之三又载输之间各一日者即二日也〉

今有粟七斗三人分春之一人为粝米一人为

粺米一人为糳米令米数等问取粟为米各几

何

　　　　荅曰

　　　　粝米取粟二斗一百二十一分斗之

　　　　一十

　　　　粺米取粟二斗一百二十一分斗之

　　　　三十八

　　　　糳米取粟二斗一百二十一分斗之

　　　　七十三

　　　　为米各一斗六百五分斗之一百五

　　　　十一

　　术曰列置粝米三十粺米二十七糳米二

　　十四而反衰之〈此先约三率粝为十粺为九糳为八欲令米等者其〉

　　〈取粟粝率十分之一粺率九分之一糳率八分之一当齐其子故曰反衰也　臣淳〉

　　〈风等谨按米有精麤之异有多少之差据率粺糳少而粝多用粟则粺糳多而粝少〉

　　〈米若依本率之分粟当倍率故今反衰之使精取多而麤得少〉副并为法

　　以七斗乘未并者各自为取粟实实如法

　　得一斗〈于今有术副并为所有率未并者各为所求率粟七斗为所有数而〉

　　〈今有之故各得取粟也〉若求米等者以本率各乘定

　　所取粟为实以粟率五十为法实如法得

　　一斗〈若径求为米等数者置粝米三用粟五粺米二十七用粟五十糳米十二〉

　　〈用粟二十五齐其粟同其米并齐为法以七斗乘同为实所得即为米斗数〉

今有人当禀粟二斛仓无粟欲与米一菽二以

当所禀粟问各几何

　　　　荅曰

　　　　米五斗一升七分升之三

　　　　菽一斛二升七分升之六

　　术曰置米一菽二求为粟之数并之得三

　　九分之八以为法亦置米一菽二而以粟

　　二斛乘之各自为实实如法得一斛〈臣淳风等〉

　　〈谨按置粟率五乘米一米率三除之得一三分之二即是米一之粟也粟率十以乘〉

　　〈菽二菽率九除之得二九分之二即是菽二之粟也并全得三齐子并之得二十四〉

　　〈同母得二十七约之得九分之八故云并之得三九分之八米一菽二当粟三九分〉

　　〈之八此其粟率也于今有术米一菽二皆为所求率当粟三九分之八为所有率粟〉

　　〈二斛为所有数凡言率者当相与通之则为米九菽十八当粟三十五也亦有置米〉

　　〈一菽二求其为粟之率以为列衰副并为法以粟乘列衰为实所得即米一菽二所〉

　　〈求粟也以米菽本率而今有之即合所问〉

今有取佣负盐二斛行一百里与钱四十今负

盐一斛七斗三升少半升行八十里问与钱几

何

　　　　荅曰二十七钱十五分钱之十一

　　术曰置盐二斛升数以一百里乘之为法

　　〈按此术以负盐二斛升数乘所行一百里得二万里是为负盐一升行二万里得钱〉

　　〈四十于今有术为所有率升数乘所行里为法于今有术为所有数也〉以四

　　十钱乘今负盐升数又以八十里乘之为

　　实实如法得一钱〈以今负盐升数乘所行里今负盐一升凡所行〉

　　〈里也于今有术以所有四十钱为所求率也衰分章贷人千钱与此同〉

今有负笼重一石一十七斤行七十六步五十

返今负笼重一石行百步问返几何

　　　　荅曰五十七返二千六百三分返之

　　　　一千六百二十九

　　术曰以故所行步数乘故笼重斤数为法

　　〈此法谓负一斤一返所行之积步也〉今笼重斤数乘今步又

　　以返数乘之为实实如法得一返〈按此法负一斤〉

　　〈一返所行之积步此实者一斤一日所行之积步故以一返之课除终日之程即是〉

　　〈返数也　臣淳风等谨按此术所行步多者得返少所行步少者得返多然则所行〉

　　〈者今返率也故令所得返乘今返之率为实而以故返之率为法今有术也按此负〉

　　〈笼又有轻重于是为术者因令重者得返少轻者得返多故又因其率以乘法实者〉

　　〈重今有之义也然此意非也按此笼虽轻而行有限笼过重则人力遗力有遗而术〉

　　〈无穷人行有限而笼轻重不等使其有限之力随彼无穷之变故知此术率乖理也〉

　　〈若故所行有空行返数设以问者当因其所负以为返率则今返之数可得而知也〉

　　〈假令空行一日六十里负重一斛行四十里减重一斗进二里半负重三斗以下与〉

　　〈空行同今负笼重六斗往还行一百步问返几何荅曰一百五十返术曰置重行率〉

　　〈加十里以里法通之为实以一返之步为法实如法而一即得也〉

今有程传委输空车日行七十里重车日行五

十里今载太仓粟输上林五日三返问太仓去

上林几何

　　　　荅曰四十八里十八分里之十一

　　术曰并空重里数以三返乘之为法令空

　　重相乘又以五日乘之为实实如法得一

　　里〈此亦如上术率一百七十五里之路往返用六日也于今有术则五日为所有〉

　〈数一百七十五里为所求率六日为所有率以此所得则三返之路今求一返当以〉

　　〈三约之因令乘法而并除也为术亦可各置空重行一里用日之率以为列衰副并〉

　　〈为法以五日乘列衰为实实如法所得即各空重行日数也各以一日所行以乘为〉

　　〈凡日所行三返约之为上林去太仓之数　臣淳风等谨按此术重往空还一输再〉

　　〈还道置空行一里用七十分日之一重行一里用五十分日之一齐而同之空重行〉

　　〈一里之路往返用一百七十五分日之六定言之者一百七十五里之路往返用六〉

　　〈日故并空重者并齐也空重相乘者同其母也于今有术五日为所有数一百七十〉

　　〈五为所求率六为所有率以此所得则三返之路今求一返者当以三约之故令乘〉

　　〈法而并除亦当约之也〉

今有络丝一斤为练丝十二两练丝一斤为青

丝一斤十二铢今有青丝一斤问本络丝几何

　　　　荅曰一斤四两十六铢三十三分铢

　　　　之十六

　　术曰以练丝十二两乘青丝一斤十二铢

　　为法以青丝一斤铢数乘练丝一斤两数

　　又以络丝一斤乘之为实实如法得一斤

　　〈按练丝一斤为青丝一斤十二铢此练率三百八十四青率三百九十六也又络丝〉

　　〈一斤为练丝十二两此络率十六练率十二也置今有青丝一斤以练率三百八十〉

　　〈四乘之为实实如青丝率三百九十六而一所得青丝一斤练丝之数也又以络率〉

　　〈十六乘之所得为实以练率十二为法所得即练丝用络丝之数也是谓重今有也〉

　　〈虽各有率不用中间故令后实乘前实后法乘前法而并除也故以练丝两数为实〉

　　〈青丝铢数为法一曰又置络丝一斤两数与练丝十二两约之络得四练得三此其〉

　　〈相与之率又置练丝一斤铢数与青丝一斤十二铢约之练得三十二青得三十三〉

　　〈亦其相与之率齐其青丝络丝同其二练络得一百二十八青得九十九练得九十〉

　　〈六即三率悉通矣今有练丝一斤为所有数络丝一百二十八为所求率青丝九十〉

　　〈九为所有率为率之意犹此但不先约诸率耳凡率错互不通者皆积齐同用之放〉

　　〈此虽四五转不异也言同其二练者以明三率之相与通耳于术无以异也又一术〉

　　〈今有青丝一斤铢数乘练丝一斤两数为实以青丝一斤十二铢为法所得即用练〉

　　〈丝两数以络丝一斤乘所得为实以练丝十二两为法所得即用络丝斤数也〉

今有恶粟二十斗春之得粝米九斗今欲求粺

米十斗问恶粟几何

　　　　荅曰二十四斗六升八十一分升之

　　　　七十四

　　术曰置粝米九斗以九乘之为法亦置粺

　　米十斗以十乘之又以恶粟二十斗乘之

　　为实实如法得一斗〈按此术置今有求粺米十斗以粝米率十〉

　　〈乘之如粝率九而一即粝亦化为恶粟矣此亦重今有之义为术之意犹络丝也虽〉

　　〈各有率不问中间故令后实乘前实后法乘前法而并除之也〉

今有善行者行一百步不善行者行六十步今

不善行者先行一百步善行者追之问几何步

及之

　　　　荅曰二百五十步

　　术曰置善行者一百步减不善行者六十

　　步馀四十步以为法以善行者之一百步

　　乘不善行者先行一百步为实实如法得

　　一步〈按此术以六十步减一百步馀四十步即不善行者先行率也善行者行〉

　　〈一百步追及率约之追及率得五先行率得二于今有术不善行者先行一百步为〉

　　〈所有数五为所求率二为所有率而今有之得追及步也〉

今有不善行者先行十里善行者追之一百里

先至不善行者二十里问善行者几何里及之

　　　　荅曰三十三里少半里

　　术曰置不善行者先行十里以善行者先

　　至二十里增之以为法以不善行者先行

　　十里乘善行者一百里为实实如法得一

　　里〈按此术不善行者既先行十里后不及二十里并之得三十里也谓之先行率〉

　　〈善行者一百里为追及率约之先行率得三三为所有率而今有之即得也其意如〉

　　〈上术〉

今有先走一百步犬追之二百五十步不及

三十步而止问犬不止复行几何步及之

　　　　荅曰一百七步七分步之一

　　术曰置先走一百步以犬走不及三十

　　步减之馀为法以不及三十步乘犬追步

　　数为实实如法得一步〈按此术以不及三十步减先走一百〉

　　〈步馀七十步为先走率犬行二百五十步为追及率约之先走率得七追及率得〉

　　〈二十五于今有术不及三十步为所有数二十五为所求率七为所有率而今有之〉

　　〈即得也〉

今有人持金十二斤出关关税之十分而取一

今关取金二斤偿钱五千问金一斤值钱几何

　　　　荅曰六千二百五十

　　术曰以十乘二斤以十二斤减之馀为法

　　以十乘五千为实实如法得一〈按此术置十二斤以〉

　　〈一乘之十而一得一斤五分斤之一即所当税者也减二斤馀即关取盈金以盈除〉

　　〈所偿钱即金值也今术既以十二斤为所税则是以十为母故以十乘二斤及所偿〉

　　〈钱通其率于今有术五千钱为所有数十为所求率八为所有率而今有之即得也〉

今有客马日行三百里客去忘持衣日已三分

之一主人乃觉持衣追及与之而还至家视日

四分之三问主人马不休日行几何

　　　　荅曰七百八十里

　　术曰置四分日之三除三分日之一〈按此术置〉

　　〈四分日之三除三分日之一者除即减也减之馀有十二分之五即是主人追客还〉

　　〈用日率也〉半其馀以为法〈去其还存其往率之者子不可半故倍母〉

　　〈二十四分之五是为主人与客均行用日之率也〉副置法增三分

　　日之一〈法二十四分之五者主人往追用日之分也三分之一者客去主人〉

　　〈未觉之前独行用日之分也并连此数得二十四分日之十三则主人追及前用日〉

　　〈之分也是为客用日率也然则主人用日率者客马行率也客用日率者主人马行〉

　　〈率也母同则子齐是为客马行率五主人马行率十三于今有术三百里为所有数〉

　　〈十三为所求率五为所有率而今有之即得也〉以三百里乘之为

　　实实如法得主人马一日行〈欲知主人追客所行里者〉

　　〈以三百里乘主人均行日分子十三以母二十四而一得一百六十二里半以此乘〉

　　〈主人均行日分母二十四如客马与主人均行用日分子五而一亦得主人马一日〉

　　〈行七百八十里也〉

今有金棰长五尺斩本一尺重四斤斩末一尺

重二斤问次一尺各重几何

　　　　荅曰末一尺重二斤

　　　　次一尺重二斤八两

　　　　次一尺重三斤

　　　　次一尺重三斤八两

　　　　次一尺重四斤

　　术曰令末重减本重馀即差率也又置本

　　重以四间乘之为下第一衰副置以差率

　　减之每尺各自为衰〈按此术五尺有四间者有四差也令本末〉

　　〈相减馀即四差之凡数也以四约之即得每尺之差以差数减本重馀即次尺之重〉

　　〈也为术所置如是而已今此率以四为母故令母乘本为衰通其率也亦可置末重〉

　　〈以四问乘之为上第一衰以差重率加之为次下衰也〉副置下第一

　　衰以为法以本重四斤遍乘列衰各自为

　　实实如法得一斤〈以下第一衰为法以本重乘其分母之数而又〉

　　〈反此率乘本重为实一乘一除势无损益故惟本存焉众衰相推为率则其馀可知〉

　　〈也亦可副置末衰为法而以末重二斤乘列衰为实此虽迂廽然是其旧故就新而〉

　　〈言之也〉

今有五人分五钱令上二人所得与下三人等

问各得几何

　　　　荅曰

　　　　甲得一钱六分钱之二

　　　　乙得一钱六分钱之一

　　　　丙得一钱

　　　　丁得六分钱之五

　　　　戊得六分钱之四

　　术曰置钱锥行衰〈按此术锥行者谓如立锥初一次二次三次四〉

　　〈次五各均为一例者也〉并上二人为九并下三人为

　　六六少于九三〈数不得等但以五四三二一为率也〉以三均

　　加焉副并为法以所分钱乘未并者各自

　　为实实如法得一钱〈此问者令上二人与下三人等上下部差〉

　　〈一人其差三均加上部则得二三均加下部则得三三下部犹差一人差得一以通〉

　　〈于本率即上下部等也于今有术副并为所有率未并者各为所求率五钱为所有〉

　　〈数而今有之即得等耳假令七人分七钱欲令上二人与下五人等则上下部差三〉

　　〈人并上部为十三下部为十五下多上少下不足减上当似上下部列差而后均减〉

　　〈乃合所问耳此可仿下术令上二人分二钱半为上率令下三人分二钱半为下率〉

　　〈上下二率以少减多馀为实置二人三人各半之减五人馀为法实如法得一钱即〉

　　〈衰相去也下衰率六分之五者丁所得钱数也〉

今有竹九节下三节容四升上四节容三升问

中间二节欲均容各多少

　　　　荅曰

　　　　下初一升六十六分升之二十九

　　　　次一升六十六分升之二十二

　　　　次一升六十六分升之一十五

　　　　次一升六十六分升之八

　　　　次一升六十六分升之一

　　　　次六十六分升之六十

　　　　次六十六分升之五十三

　　　　次六十六分升之四十六

　　　　次六十六分升之三十九

　　术曰以下三节分四升为下率以上四节

　　分三升为上率〈此二率者各其平率也〉上下率以少

　　减多馀为实〈按此上下节各分所容为率者各其平率上下以少减多〉

　　〈者馀为中间五节半之凡差故以为实也〉置四节三节各半之

　　以减九节馀为法实如法得一升即衰相

　　去也〈按此术上下节所容已定之节中间相去节数也实者中间五节半之凡〉

　　〈差也故实如法而一则每节之差也〉下率一升少半升者下

　　第二节容也〈一升少半升者下三节通分四升之平率平率即为中分〉

　　〈节之容也〉

今有凫起南海七日至北海雁起北海九日至

南海今凫雁俱起问何日相逢

　　　　荅曰三日十六分日之十五

　　术曰并日数为法日数相乘为实实如法

　　得一日〈按此术置凫七日一至雁九日一至齐其至同其日定六十三日凫〉

　　〈九至雁七至令凫雁俱起而问相逢者是为共至并齐以除同即得相逢日故并日〉

　　〈数为法者并齐之意日数相乘为实者犹以同为实也一日凫飞七分至之一雁飞〉

　　〈九分至之一齐而同之凫飞定日行六十三分至之九雁飞定日行六十三分至之〉

　　〈七是为南北海相去六十三分凫日行九分雁日行七分也并凫雁一日所行以除〉

　　〈南北相去而得相逢日也〉

今有甲发长安五日至齐乙发齐七日至长安

今乙发已先二日甲乃发长安问几何日相逢

　　　　荅曰二日十二分日之一

　　术曰并五日七日以为法〈按此术并五日七日为法者犹〉

　　〈并齐为法置甲五日一至乙七日一至齐而同之定三十五日甲七至乙五至并之〉

　　〈为十二至者用三十五日也谓甲乙与发之率耳然则日化为至当除日故以为法〉

　　〈也〉以乙先发二日减七日〈减七日者言甲乙俱发今以发〉

　　〈为始发之端于本道里则馀分也〉馀以乘甲日数为实〈七者〉

　　〈长安去齐之率也五者后发相去之率也今问后发故舍七用五以乘甲五日为二〉

　　〈十五日言甲七至乙五至更相去用此二十五日也〉实如法得一日

　　〈一日甲行五分至之一乙行七分至之一齐而同之甲定日行三十五分至之七乙〉

　　〈定日行三十五分至之五是为齐去长安三十五分甲日行七分乙日行五分也今〉

　　〈乙先行发二日巳行十分馀相去二十五分故减乙二日馀令相乘为二十五分〉

今有一人三日为牡瓦三十八枚一人二日为

牝瓦七十六枚今令一人一日作瓦牝牡相半

问成瓦几何

　　　　荅曰二十五枚少半枚

　　术曰并牝牡为法牝牡相乘为实实如法

　　得一枚〈此术亦与凫雁术同牝牡瓦相并犹如凫雁日飞相并也　臣淳风〉

　　〈等谨按此术并牝牡为法者并齐之意牝牡相乘为实者犹以同为实也故实如法〉

　　〈即得也〉

今有一人一日矫矢五十一人一日羽矢三十

一人一日筈矢十五今令一人一日自矫羽筈

问成矢几何

　　　　荅曰八矢少半矢

　　术曰矫矢五十用徒一人羽矢五十用徒

　　一人太半人筈矢五十用徒三人少半人

　　并之得六人以为法以五十矢为实实如

　　法得一矢〈按此术言成矢五十用徒六人一日工也此同功共作犹凫雁〉

　　〈共至之类亦以同为实并齐为法可令矢互乘一人为齐矢相乘为同今先令同于〉

　　〈五十矢矢同则徒齐其归一也以此术为凫雁者当雁飞九日而一至凫飞七日而〉

　　〈一至七分至之二并之得二至七分至之二以为法以九日为实实如法而一得一〉

　　〈人日矫矢之数也〉

今有假田初假之岁三亩一钱明年四亩一钱

后年五亩一钱凡三岁得一百问田几何

　　　　荅曰一顷二十七亩四十七分亩之

　　　　三十一

　　术曰置亩数及钱数令亩数互乘钱数并

　　以为法亩数相乘又以百钱乘之为实实

　　如法得一亩〈按此术令亩互乘钱者齐其钱亩数相乘者同其亩同于〉

　　〈六十则初假之岁得钱二十明年得钱十五后年得钱十二也凡三岁得钱一百为〉

　　〈所有数同亩为所求率四十七钱为所有率今有之即得也齐其钱同其亩亦如凫〉

　　〈雁术于今有术百钱为所有数同亩为所求率并齐为所有率　臣淳风等谨按假〉

　　〈田六十亩初岁得钱二十明年得钱十五后年得钱十二并之得钱四十七是为得〉

　　〈田六十亩三岁所治于今有术百钱为所有数六十亩为所求率四十七为所有率〉

　　〈而今有之即合问也〉

今有程耕一人一日发七亩一人一日耕三亩

一人一日耰种五亩今令一人一日自发耕耰

种之问治田几何

　　　　荅曰一亩一百一十四步七十一分

　　　　步之六十六

　　术曰置发耕耰亩数令互乘人数并以为

　　法亩数相乘为实实如法得一亩〈此犹凫雁术也〉

　　〈　臣淳风等谨按此术亦发耕耰种亩数互乘人者齐其人亩数相乘者同其亩故〉

　　〈并齐为法以同为实计田一百五亩发用十五人耕用三十五人种用二十一人并〉

　　〈之得七十一工治得一百五亩故以为实而一人一日所治故以人数为法除之即〉

　　〈得也〉

今有池五渠注之其一渠开之少半日一满次

一日一满次二日半一满次三日一满次五日

　一满今皆决之问几何日满池

　　　　荅曰七十四分日之十五

　　术曰各置渠一日满池之数并以为法〈按此〉

　　〈术其一渠少半日满者是一日三满也次一日一满次二日半满者是一日五分满〉

　　〈之二也次三日满者是一日三分满之一也次五日满者是一日五分满之一也并〉

　　〈之得四满十五分满之十四也〉以一日为实实如法得一

　　日〈此犹矫矢之术也先令同于一日日同则满齐自凫雁至此其为同齐有二术〉

　　〈焉可随率宜也〉其一术列置日数及满数〈其一渠少半日〉

　　〈满者是一日三满也次一日一满次二日半满者是五日二满次三日一满次五日〉

　　〈一满此谓之列置日数及满数也〉令日互相乘满并以为

　　法日数相乘为实实如法得一日〈亦如凫雁术也〉

　　〈　臣淳风等谨按此其一渠少半日满池者是一日三满池也次一日一满次二日〉

　　〈半满者是五日再满次三日一满次五日一满此谓列置日数于右行及满数于左〉

　　〈行以日互乘满者齐其满日数相乘者同其日满齐而日同故并齐以除同即得也〉

今有人持米出三关外关三而取一中关五而

取一内关七而取一馀米五斗问本持米几何

　　　　荅曰十斗九升八分升之三

　　术曰置米五斗以所税者三之五之七之

　　为实以馀不税者二四六互相乘为法实

　　如法得一斗〈此亦重今有术也所税者谓今所当税之定三五七皆为〉

　　〈所求率二四六皆为所有率置今有馀米五斗以七乘之六而一即内关未税之本〉

　　〈米也又以三乘之二而一即外关未税之本米也今从末求本不问中间故令中率〉

　　〈转相乘而同之亦如络丝术〉

　　〈又一术外关三而取一则其馀本米三分之二也求外关所税之馀则当置三分乘〉

　　〈之二而一欲知中关以四乘之五而一欲知内关以六乘之七而一凡馀分者乘其〉

　　〈母而以三五七相乘得一百五为分母二四六相乘得四十八为分子约而言之则〉

　　〈是馀米于本所持三十五分之十六也于今有术馀米五斗为所有数分母三十五〉

　　〈为所求率分子十六为所有率也〉

今有人持金出五关前关二而税一次关三而

税一次关四而税一次关五而税一次关六而

税一并五关所税适重一斤问本持金几何

　　　　荅曰一斤三两四铢五分铢之四

　　术曰置一斤通所税者以乘之为实亦通

　　其不税者以减所通馀为法实如法得一

　　斤〈此意犹上术也置一斤通所税者谓令二三四五六相乘为分母七百二十也〉

　　〈通其所不税者谓令所税之馀一二三四五相乘为分子一百二十也约而言之是〉

　　〈为馀金于本所持六分之一也以子减母凡五关所税六分之五也于今有术所税〉

　　〈一斤为所有数分母六为所求率分子五为所有率此亦重今有之义又虽各有率〉

　　〈不问中间故令中率转相乘而连除之即得也置一以为持金之本率以税率乘之〉

　　〈除之则其率亦成积分也〉

九章算术卷第六终

九章算术卷六订讹　　　　　　〈算经十书之二〉

　　　　　　　休宁　戴　震　东原

臣淳风等谨按为衰于今有术副并为所有率

未并者各为所求率以赋卒人数为所有数此

术以别考则意同以广异闻故存之也〈为衰二字上有〉

〈脱文当云各令居所及行道曰数约县卒为衰〉

计经赋之率既有戸算之率亦有远近贵贱之

率此二率者各自相与通通则甲二十乙十二

丙七丁十三戊五一斛之费谓之钱率钱率约

戸率者则钱为母戸为子子不齐令母互乘为

齐即衰也若其不然以一斛之费约戸数取衰

并有分当通分内子约之于算甚繁此一章皆

相与通功共率略相依似以上二率下一率亦

可放此从其简易而巳又以分言之使甲一戸

出二十分斛之一乙一戸出十八分斛之一各

以戸数乘之亦可得一县凡所当输俱未衰也

乘之者乘其子母报除之以此观之则以一斛

之费约戸数者其意不异矣然则可置一斛之

费而反衰之约戸以乘戸数为衰也合分注曰

母除为率率乘子为齐反衰法曰先同其母各

以分母约其子为反衰施其率为算既约且不

妨处下也〈计经赋之率至此多舛误不可通〉

术曰以下三节分四升为下率以上四节分三

升为上率〈谓之率者以四节三节为分母三升四升为分子母互乘子得上率九下〉

〈率十六母相乘得十二〉

上下率以少减多馀为实〈十六减九馀七〉

置四节三节各半之以减九节馀为法实如法

得一升即衰相去也〈以十二通五节半得六十六为一升之率〉