九章算术 (四部丛刊本)/卷第四

九章算术　卷第四

魏 刘徽 注 唐 李淳风 等奉敕注释 宋 李籍 撰音义 景上海涵芬楼藏微波榭刊本

九章算术卷四　　　　　　　　　　〈算经十书之二〉

　　　　　　　　　　魏　刘　徽　注

　　　唐朝议大夫行太史令上轻车都尉臣李淳风等奉敕注释

少广〈以御积方圆〉

　　少广〈臣淳风等谨按一亩之田广一步长二百四十步今欲截取其从少以益〉

　　〈其广故曰少广〉

　　术曰置全步及分母子以最下分母遍乘

　　诸分子及全步〈臣淳风等谨按以分母乘全步者通其分也以母乘〉

　　〈子者齐其子也〉各以其母除其子置之于左命通

　　分者又以分母遍乘诸分子及已通者皆

　　通而同之并之为法〈臣淳风等谨按诸子悉通故可并之为法〉

　　〈亦不宜用合分术列数尤多若用乘则算数至䌓故别制此术从省约〉置所

　　求步数以全步积分乘之为实〈此以田广为法以亩〉

　　〈积步为实法有分者当同其母齐其子以同乘法实而并齐于法今以分母乘全步〉

　　〈及子子如母而一并以并全法则法实俱长意亦等也故如法而一得从步数〉实

　　如法而一得从步

今有田广一步半求田一亩问从几何

　　　　荅曰一百六十步

　　术曰下有半是二分之一以一为二半为

　　一并之得三为法置田二百四十步亦以

　　一为二乘之为实实如法得从步

今有田广一步半三分步之一求田一亩问从

几何

　　　　荅曰一百三十步一十一分步之一

　　　　十

　　术曰下有三分以一为六半为三三分之

　　一为二并之得一十一为法置田二百四

　　十步亦以一为六乘之为实实如法得从

　　步

今有田广一步半三分步之一四分步之一求

田一亩问从几何

　　　　荅曰一百一十五步五分步之一

　　术曰下有四分以一为一十二半为六三

　　分之一为四四分之一为三并之得二十

　　五以为法置田二百四十步亦以一为一

　　十二乘之为实实如法而一得从步

今有田广一步半三分步之一四分步之一五

分步之一求田一亩问从几何

　　　　荅曰一百五步一百三十七分步之

　　　　一十五

　　术曰下有五分以一为六十半为三十三

　　分之一为二十四分之一为一十五五分

　　之一为一十二并之得一百三十七以为

　　法置田二百四十步亦以一为六十乘之

　　为实实如法得从步

今有田广一步半三分步之一四分步之一五

分步之一六分步之一求田一亩问从几何

　　　　荅曰九十七步四十九分步之四十

　　　　七

　　术曰下有六分以一为一百二十半为六

　　十三分之一为四十四分之一为三十五

　　分之一为二十四六分之一为二十并之

　　得二百九十四以为法置田二百四十步

　　亦以一为一百二十乘之为实实如法得

　　从步

今有田广一步半三分步之一四分步之一五

分步之一六分步之一七分步之一求田一亩

问从几何

　　　　荅曰九十二步一百二十一分步之

　　　　六十八

　　术曰下有七分以一为四百二十半为二

　　百一十三分之一为一百四十四分之一

　　为一百五五分之一为八十四六分之一

　　为七十七分之一为六十并之得一千八

　　十九以为法置田二百四十步亦以一为

　　四百二十乘之为实实如法得从步

今有田广一步半三分步之一四分步之一五

分步之一六分步之一七分步之一八分步之

一求田一亩问从几何

　　　　荅曰八十八步七百六十一分步之

　　　　二百三十二

　　术曰下有八分以一为八百四十半为四

　　百二十三分之一为二百八十四分之一

　　为二百一十五分之一为一百六十八六

　　分之一为一百四十七分之一为一百二

　　十八分之一为一百五并之得二千二百

　　八十三以为法置田二百四十步亦以一

　　为八百四十乘之为实实如法得从步

今有田广一步半三分步之一四分步之一五

分步之一六分步之一七分步之一八分步之

一九分步之一求田一亩问从几何

　　　　荅曰八十四步七千一百二十九分

　　　　步之五千九百六十四

　　术曰下有九分以一为二千五百二十半

　　为一千二百六十三分之一为八百四十

　　四分之一为六百三十五分之一为五百

　　四六分之一为四百二十七分之一为三

　　百六十八分之一为三百一十五九分之

　　一为二百八十并之得七千一百二十九

　　以为法置田二百四十步亦以一为二千

　　五百二十乘之为实实如法得从步

今有田广一步半三分步之一四分步之一五

分步之一六分步之一七分步之一八分步之

一九分步之一十分步之一求田一亩问从几

何

　　　　荅曰八十一步七千三百八十一分

　　　　步之六千九百三十九

　　术曰下有一十分以一为二千五百二十

　　半为一千二百六十三分之一为八百四

　　十四分之一为六百三十五分之一为五

　　百四六分之一为四百二十七分之一为

　　三百六十八分之一为三百一十五九分

　　之一为二百八十十分之一为二百五十

　　二并之得七千三百八十一以为法置田

　　二百四十步亦以一为二千五百二十乘

　　之为实实如法得从步

今有田广一步半三分步之一四分步之一五

分步之一六分步之一七分步之一八分步之

一九分步之一十分步之一十一分步之一求

田一亩问从几何

　　　　荅曰七十九步八万三千七百一十

　　　　一分步之三万九千六百三十一

　　术曰下有一十一分以一为二万七千七

　　百二十半为一万三千八百六十三分之

　　一为九千二百四十四分之一为六千九

　　百三十五分之一为五千五百四十四六

　　分之一为四千六百二十七分之一为三

　　千九百六十八分之一为三千四百六十

　　五九分之一为三千八十一十分之一为

　　二千七百七十二一十一分之一为二千

　　五百二十并之得八万三千七百一十一

　　以为法置田二百四十步亦以一为二万

　　七千七百二十乘之为实实如法得从步

今有田广一步半三分步之一四分步之一五

分步之一六分步之一七分步之一八分步之

一九分步之一十分步之一十一分步之一十

二分步之一求田一亩问从几何

　　　　荅曰七十七步八万六千二十一分

　　　　步之二万九千一百八十三

　　术曰下有一十二分以一为八万三千一

　百六十半为四万一千五百八十三分之

　　一为二万七千七百二十四分之一为二

　万七百九十五分之一为一万六千六百

　三十二六分之一为一万三千八百六十

　七分之一为一万一千八百八十八分之

　　一为一万三百九十五九分之一为九千

　　二百四十一十分之一为八千三百一十

　　六十一分之一为七千五百六十十二分

　　之一为六千九百三十并之得二十五万

　　八千六十三以为法置田二百四十步亦

　　以一为八万三千一百六十乘之为实实

　　如法得从步〈臣淳风等谨按凡为术之意约省为善宜云下有一十二〉

　　〈分以一为二万七千七百二十半为一万三千八百六十三分之一为九千二百四〉

　　〈十四分之一为六千九百三十五分之一为五千五百四十四六分之一为四千六〉

　　〈百二十七分之一为三千九百六十八分之一为三千四百六十五九分之一为三〉

　　〈千八十十分之一为二千七百七十二十一分之一为二千五百二十十二分之一〉

　　〈为二千三百一十并之得八万六千二十一以为法置田二百四十步亦以一为二〉

　　〈万七千七百二十乘之以为实实如法得从步其术亦得知不繁也〉

今有积五万五千二百二十五步问为方几何

　　　　荅曰二百三十五步

又有积二万五千二百八十一步问为方几何

　　　　荅曰一百五十九步

又有积七万一千八百二十四步问为方几何

　　　　荅曰二百六十八步

又有积五十六万四千七百五十二步四分步

之一问为方几何

　　　　荅曰七百五十一步半

又有积三十九亿七千二百一十五万六百二

十五步问为方几何

　　　　荅曰六万三千二十五步

　　开方〈求方之一面也〉

　　术曰置积为实借一算步之超一等〈言百之面〉

　　〈十也言万之面百也〉议所得以一乘所借一算为法

　　而以除〈先得黄甲之面上下相命是自乘而除也〉除已倍法为

　　定法〈倍之者豫张两面朱定袤以待复除故曰定法〉其复除折

　　法而下〈欲除朱者本当副置所得成方倍之为定法以折议乘而以除如〉

　　〈是当复步之而止乃得相命故使就上折下〉复置借算步之如

　　初以复议一乘之〈欲除朱之角黄乙之其意如初之所得也〉

　　所得副以加定法以除以所得副从定法

　　〈再以黄乙之面加定法者是则张两青之袤〉复除折下如前若

　　开之不尽者为不可开当以面命之〈术或有以〉

　　〈借算加定法而命分者虽麤相近不可用也凡开积为方方之自乘当还复其积分〉

　　〈令不加借算而命分则常微少其加借算而命分则又微多其数不可得而定故惟〉

　　〈以面命之为不失耳譬犹以三除十以其馀为三分之一而复其数可举不以面命〉

　　〈之加定法如前求其微数微数无名者以为分子其一退以十为母其再退以百为〉

　　〈母退之弥下其分弥细则朱虽有所乘之数不足言之也〉若实有分

　　者通分内子为定实乃开之讫开其母报

　　除〈臣淳风等谨按分母可开者并通之积先合二母既开之后一母尚存故开分〉

　　〈母求一母为法以报除也〉若母不可开者又以母再乘

　　定实乃开之讫令如母而一〈臣淳风等谨按分母不可〉

　　〈开者本一母也又以母乘之乃合二母既开之后亦一母存焉故令如母而一得全〉

　　〈面也又按此术开方者求方之一面也借一算者假借一算空有列位之名而无〉

　　〈除积之实方隅得面是故借算列之于下也步之超一等者方十自乘其积有百方〉

　　〈百自乘其积有万故超位至百而言十至万而言百也议所得以一乘所借一算为〉

　　〈法而以除者先得黄甲之面以方为积者两相乘故开方除之还令两面上下相命〉

　　〈是自乘而除之也除已倍法为定法者实积未尽当复更除故豫张两面朱定袤〉

　　〈以待复除故曰定除也其复除折法而下者欲除朱本当副置所得成方倍之为〉

　　〈定法以折议乘之而以除如是当复步之而止乃得相命故使就上折之而下也复〉

　　〈置借算步之如初以复议一乘之所得副以加定法以除者欲除朱之角黄乙之〉

　　〈以所得副从定法者再以黄乙之加定法是则张两青之袤故如前开之即〉

　　〈合所问〉

今有积一千五百一十八步四分步之三问为

圆周几何

　　　　荅曰一百三十五步〈于徽术当周一百三十八步一〉

　　　　〈十分步之一　臣淳风等谨按此依密率为周一百三十八步五十分步〉

　　　　〈之九〉

又有积三百步问为圆周几何

　　　　荅曰六十步〈于徽术当周六十一步五十分步之十九　臣〉

　　　　〈淳风等谨按依密率为周六十一步一百分步之四十一〉

　　开圆

　　术曰置积步数以十二乘之以开方除之

　　即得周〈此术以周三径一为率与旧圆田术相返覆也于徽术以三百一十〉

　　〈四乘积如二十五而一所得开方除之即周也开方除之即径是为据见以求周〉

　　〈犹失之于微少其以二百乘积一百五十七而一开方除之即径犹失之于微多〉

　　〈臣淳风等谨按此注于徽术求周之法其中不用开方除之即径六字今本有者衍〉

　　〈賸也依密率八十八乘之七而一按周三径一之率假令周六径二半周半径相乘〉

　　〈得三周六自乘得三十六俱以等数除得一周之数十二也其积本周自乘合〉

　　〈以一乘之十二而一得积三也术为一乘不长故以十二而一得此积今还原置此〉

　　〈积三以十二乘之复其本周自乘之数凡物自乘开方除之复其本数故开方除之〉

　　〈即周〉

今有积一百八十六万八百六十七尺〈此尺谓立方之〉

〈尺也凡物有高深而言积者曰立方〉问为立方几何

　　　　荅曰一百二十三尺

今有积一千九百五十三尺八分尺之一问为

立方几何

　　　　荅曰一十二尺半

今有积六万三千四百一尺五百一十二分尺

之四百四十七问为立方几何

　　　　荅曰三十九尺八分尺之七

又有积一百九十三万七千五百四十一尺二

十七分尺之一十七问为立方几何

　　　　荅曰一百二十四尺太半尺

　　开立方〈立方适等求其一面也〉

　　术曰置积为实借一算步之超二等〈言千之面〉

　　〈十言百万之面百〉议所得以再乘所借一算为法

　　而除之〈再乘者亦求为方以上议命而除之则立方等也〉除已三

　　之为定法〈为当复除故豫张三面以定方为定法也〉复除折

　　而下〈复除者三面方以皆自乘之数须得折议定其厚薄尔开平者方百〉

　　〈之面十开立者方千之面十据定法已有成方之故复除当以千为百折下一〉

　　〈等也〉以三乘所得数置中行〈设三廉之定长〉复借一

　　算置下行〈欲以为隅方立方等未有定数且置一算定其位〉步之

　　中超一下超二位〈上方法长自乘而一折中廉法但有长故降一〉

　　〈等下隅法无面长故又降一等也〉复置议以一乘中〈为三廉备〉

　　〈也〉再乘下〈令隅自乘为方也〉皆副以加定法以定

　　法除〈三面三廉一隅皆已有以上议命之而除去三袤之厚也〉除已

　　倍下并中从定法〈凡再以中三以下加定法者三廉各当以两面〉

　　〈之连于两方之面一隅连于三廉之端以待复除也言不尽意解此要当以棋乃〉

　　〈得明耳〉复除折下如前开之不尽者亦为不

　　可开〈术亦有以定法命分者不如故开方以微数为分也〉若积有

　　分者通分内子为定实定实乃开之讫开

　　其母以报除〈臣淳风等按分母可开者并通之积先合三母既开之后〉

　　〈一母尚存故开分母求一母为法以报除也〉若母不可开者又

　　以母再乘定实乃开之讫令如母而一〈臣淳〉

　　〈风等谨按分母不可开者本一母也又以母再乘之今合三母既开之后一母犹存〉

　　〈故令如母而一得全面也按开立方者立方适等求其一面之数也借一算步之超〉

　　〈二等者立方求积方再自乘就积开之故超二位言千之面十言百万之面百也议〉

　　〈所得以再乘所借一算为法而以除者求为方以议命之而除则立方等也除已〉

　　〈三之为定法者为积未尽当复更除故豫张三面已定方为定法也复除折而下〉

　　〈者三面方皆已有自乘之数须得折议定其厚薄据开平方百之面十其开立方〉

　　〈即千之面十而定法已有成方之故复除之当以千为百折卞一等也以三乘所〉

　　〈得数置中行者设三廉之定长也复借一算置下行者欲以为隅方立方等未有数〉

　　〈且置一算定其位也步之中超一下超二者上方法长自乘而一折中廉法但有长〉

　　〈故降一等下隅法无面长故又降一等也复置议以一乘中者为三廉借也再乘〉

　　〈下者当令隅自乘为方也皆副以加定法以定法除者三面三廉一隅皆已有〉

　　〈以上议命之而除去三袤之厚也除已倍下并中从定法者三廉各当以两面之〉

　　〈连于两方之面一隅连于三廉之端以待复除也其开之不尽者折下如前开方即〉

　　〈合所问有分者通分内子开之讫开其母以报除可开者并通之积先合三母既开〉

　　〈之后一母尚存故开分母者求一母为法以报除若母不可开者又以母再乘定实〉

　　〈乃开之讫令如母而一分母不可开者本一母又以母再乘今合三母既开之后亦〉

　　〈一母尚存故令如母而一得全面也〉

今有积四千五百尺〈亦谓立方之尺也〉问为立圆径几

何

　　　　荅曰二十尺〈依密率立圆径二十八尺计积四千一百九十〉

　　　　〈尺二十一分尺之一十〉

又有积一万六千四百四十八亿六千六百四

十三万七千五百尺问为立圆径几何

　　　　荅曰一万四千三百尺〈依密率为径一万四千六〉

　　　　〈百四十三尺四分尺之三〉

　　开立圆

　　术曰置积尺数以十六乘之九而一所得

　　开立方除之即丸径〈立圆即丸也为术者盖依周三径一之率〉

　　〈令圆居方四分之三圆囷居立方亦四分之三更令圆囷为方率十二为丸率〉

　　〈九丸居圆囷又四分之三也置四分自乘得十六三分自乘得九故丸居立方十六〉

　　〈分之九也故以十六乘积九而一得立方之积丸径与立方等故开立方而除得径〉

　　〈也然此意非也何以验之取立方棋八枚皆令立方一寸积之为立方二寸规之为〉

　　〈圆囷径二寸高二寸又复横规之则其形有似牟合方盖矣八棋皆似阳马圆然也〉

　　〈按合盖者方率也丸居其中即圆率也推此言之谓夫圆囷为方率岂不阙哉以周〉

　　〈三径一为圆率则圆伤少令圆囷为方率则丸积伤多互相通补是以丸与十六〉

　　〈之率偶与实相近而丸犹伤多耳观立方之内合盖之外虽衰杀有渐而多少不掩〉

　　〈判合总结方圆相浓纤诡互不可等正欲陋形措意惧失正理敢不阙疑以俟能〉

　　〈言者　黄金方寸重十六两金丸径寸重九两率生于此未曾验也周官考工记㮚〉

　　〈氏为量改煎金锡则不耗不耗然后权之权之然后凖之凖之然后量之言錬金使〉

　　〈极精而后分之则可以为率也令丸径自乘三而一开方除之即丸中之立方也假〉

　　〈令丸中立方五尺五尺为句句自乘二十五尺倍之得五十尺以为股谓平面〉

　　〈方五尺之也以此为股亦以五尺为句并句股得七十五尺是为大〉

　　〈开方除之则大可知也大则中立方之长邪邪即丸径也故中立方自乘之〉

　　〈于丸径自乘之三分之一也令大还乘其即丸外立方之积也大开之〉

　　〈不尽令其七十五再自乘之为面命得外立方积四十二万一千八百七十五尺〉

　　〈之面又令中立方五尺自乘又以方乘之得积一百二十五尺一百二十五尺自乘〉

　　〈为面命得积一万五千六百二十五尺之面皆以六百二十五约之外立方积六百〉

　　〈七十五尺之面中立方积二十五尺之面也　张衡算又谓立方为质立圆为浑衡〉

　　〈言质之与中外之浑六百七十五尺之面开方除之不足一谓外质积二十六也内〉

　　〈浑二十五之面谓积五尺也今徽令质言中浑浑又言质则二质相与之率犹衡二〉

　　〈浑相与之率也衡盖亦先二质之率推以言浑之率也衡又言质六十四之面浑二〉

　　〈十五之面质复言浑谓居质八分之五也又云方八之面圆六之面圆浑相推知其〉

　　〈复以圆囷为方率浑为圆率也失之远矣衡说之自然欲恊其阴阳奇耦之说而不〉

　　〈顾疏密矣虽有文辞斯乱道破义病也置外质积二十六以九乘之十六而一得积〉

　　〈一十四尺八分之五即质中之浑也以分母乘全内子得一百一十七又置内质积〉

　　〈五以分母乘之得四十是为质居浑一百一十七分之四十而浑率犹为伤多也假〉

　　〈令方二尺方四面并得八尺也谓之方周其中令圆径与方等亦二尺也丸半径以〉

　　〈乘圆周之半即圆也半方以乘方周之半即方也然则方周知方之率也圆〉

　　〈周知圆之率也按如衡术方周率八之面圆周率五之面也令方周六十四尺之〉

　　〈面即圆周四十尺之面也又令径一尺方周四尺自乘得十六尺之面是为圆周率〉

　　〈十二之面而径率一之面也衡亦以周三径一之率为非是故更著此法然增周太〉

　　〈多过其实矣　臣淳风等谨按祖暅之谓刘徽张衡二人皆以圆囷为方率丸为圆〉

　　〈率乃设新法祖暅之开立圆术日以二十一乘积十一而一开立方除之即立圆径〉

　　〈其意何也取立方棋一枚令立枢于左后之下隅从规去其右上之廉又合而横规〉

　　〈之去其前上之廉右前之廉于是立方之棋分而为四规内棋一谓之内棋规外棋〉

　　〈三谓之外棋规更合四棋复横断之以句股言之令馀高为句内棋断上方为股本〉

　　〈方之数其也句股之法以句减则馀为股若令馀高自乘减本方之〉

　　〈馀即内减棋断上方之也本方之即外四棋之断上然则馀高自乘即外三〉

　　〈棋之断上矣不问高卑势皆然也然固有所归同而涂殊者尔而乃控远以演类〉

　　〈借况以析微按阳马方高数参等者列而立之横截去上则高自乘与断上数亦〉

　　〈等焉夫叠棋成立积缘势既同则积不容异由此观之规之外三棋旁蹙为一即〉

　　〈一阳马也三分立方则阳马居一内棋居二可知矣合八小方成一大方合八内棋〉

　　〈成一合盖内棋居小方三分之二则合盖居立方亦三分之二较然验矣置三分之〉

　　〈二以圆率三乘之如方率四而一约而定之以为丸率故曰丸居立方三分之〉

　　〈一也等数既密心亦昭晰张衡放旧贻哂于后刘徽循故未暇校新夫岂难哉抑未〉

　　〈之思也依密率立此圆积本以圆径再自乘十一乘之二十一而一约此积今欲求〉

　　〈其本积故以二十一乘之十一而一凡物再自乘开立方除之复其本数故立方除〉

　　〈之即丸径也〉

九章算术卷四

九章算术卷四订讹补图　　　　　〈算经十书之二〉

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祖暅之开立圆术曰以二十一乘积十一而一

开立方除之即立圆径其意何也取立方棋一

枚令立枢于左后之下隅从规去其右上之廉

又合而横规之去其前上之廉右前之廉于是

立方之棋分而为四规内棋一谓之内棋规外

棋三谓之外棋更合四棋复横断之以句股言

之令馀高为句内棋断上方为股本方之数其

也句股之法以句幂减幂则馀为股幂若

令馀高自乘减本方之幂馀即内减棋断上方

之幂也本方之幂即外四棋之断上幂然则馀

高自乘即外三棋之断上幂矣不问高卑势皆

然也〈以上借立方棋以论立圆而所言仅及句股与平幂不足见圆术当有脱误〉

故曰丸居立方三分之一也〈此句舛误据上言置三分之二以三〉

〈乘之如四而一乃丸居立方二分之一非三分之一况以上眀祖氏圆术其率乃丸居立方二〉

〈十一分之十一下云圆径再自乘十一乘之如二十一而一是也若二分之一于祖氏术不恊〉

〈矣又祖氏方幂率十四圆幂率十一亦不得用方幂四圆幂三之疏率以解祖氏说自祖暅之〉

〈开立方圆术曰至此似因传写既讹后人妄加改遂不可通今考立方与圆囷犹之平方与〉

〈平圆也其率亦方积十四圆囷积十一而丸居圆囷三分之二与十四分之十一通之分母乘〉

〈分母得四十二分子乘分子得二十二是为九居立方四十二分之二十二即二十一分之十〉

〈一也祖氏求圆囷立圆平图三法本条贯为一〉