九章录要 (四库全书本)/卷06

九章录要　卷六

　　钦定四库全书
　　九章录要卷六
　　松江屠文漪撰
　　少广法
　　古九章四曰少广以御积幂方员
　　开平方法　平方开除先列实视实有几位〈凡实之大数从千起者四位从万起者五位盖实尾虽止于十而无以下小数亦存一虚位止于百而无以下小数亦存两虚位一定不可易也〉即知须几开而尽〈凡经再开者开得平方大数从十起三开者百四开者千或实尾一开虚拟而未经开者即开得数终于十而无以下小数也〉率实两位而一开逆从实尾向左数之〈尾在右也〉至实首则一位亦一开也其开之法有三曰方曰廉曰隅〈方法亦谓之商意中商量而定之也隅即次商三商而又自有隅法〉初开视实首位以起方法实首一位开者〈一位之实多不过九〉取三及以下数自乘两位开者〈两位之实少不下十一〉取三及以上数自乘所取以自乘之数初商也列实首之左〈亦有不列于左而即借实首位列之者说详于后〉自乘所得数用以减实是为初开馀实须再开则用廉法廉法者倍前方法以之除实得次商相随列初商之右即以次商为隅法自乘得数用减实讫〈于廉法下一位减之观后假例自明〉是为再开自三开以后俱仿此
　　〈或问廉隅之义曰初开已成平方形矣再开欲增广其前方则不必四边俱加而但于两边各加一廉其长如前方之数廉有二故倍之也此未及廉之广以除实得次商次商乃廉之广数而所加二廉其长各如前方之数则二廉相会之一角犹缺一小平方其四边皆与廉之广等故又以次商为隅法而自乘以足之也〉
　　假如实一万五千一百二十九列甲乙丙丁戊五位此须三度开而实首只甲一位开也甲数一则取一为初商列甲之左而以一自乘仍得一即于甲位去一此初开也再开倍前方一得二〈前方是一百倍之为二百而此且勿论也但谓之一谓之二可耳〉为廉法以二除乙之五〈乙丙两位为再开之位而廉法当于乙位除隅法当于丙位除也〉则于乙减四存一于甲空位列二为次商而以隅二自乘得四于丙位减之则去乙之一加丙一为七此再开也三开倍前方一十二得二十四〈前方一下复有二则且谓之一十二矣不计其为一百二十也虽更多亦然〉为廉法先以二除丙之七〈丁戊两位为三开之位则廉法当于丁位除而廉法有二十四即二当于丙位除四乃于丁位除也〉则于丙减六存一于乙空位列三为三商次以四与三相乘得一十二于丙丁两位减之〈廉之四当于丁位除而与商乘得一十二即一又当于丙位除矣隅法亦然〉则并去丙之一丁之二又以隅三自乘得九于戊位减之适尽得方一百二十三
　　又如实四十五万九千六百八十四列甲乙丙丁戊己六位此亦须三度开而实首乃甲乙两位开也甲乙数四十五〈甲四乙五并而计之则曰四十五而不必问其为四十五万也〉且取六为初商列甲之左而以六自乘得三十六于甲乙两位减之则去甲之四加乙五为九此初开也再开倍六得一十二为廉法先以一除乙之九则于乙减七存二于甲空位列七为次商〈不用　者以八开之则实不足也〉次以二与七相乘得一十四于乙丙两位减之则减乙二为一丙九为五又以隅七自乘得四十九于丙丁两位减之则去丙之五加丁六为七此再开也三开倍六十七得一百三十四为廉法先以一除乙之一〈戊己两位为三开之位则廉法之一当于丙位除而乙位当列三商矣今乙位有实则亦以除丙之法除之盖乙丙同除犹实首之两位并开也除同而所以除不同假使乙位空而丙位有一则以廉一除丙当去丙之一而列一于乙为三商今以除乙之一则为见一无除改作九而下添一也三商在乙位自不可易耳〉则改乙一为九加丙空为一而其下实不足除即又减乙九为八为三商而加丙一为二〈乙之一丙之十也试列十于丙而以廉一除之与此同则除乙犹之除丙耳〉次以三与八相乘得二十四于丙丁两位减之则去丙之二减丁七为三次以四与八相乘得三十二于丁戊两位减之则去丁之三减戊八为六又以隅八自乘得六十四于戊己两位减之适尽得方六百七十八
　　又如实六百七十六列甲乙丙三位此只须两度开而实首系甲一位开也甲数六且取二为初商列甲左而以二自乘得四即于甲减四存二此初开也再开倍二得四为廉法以四除甲之二则改甲二为五又以四除乙之七则于乙减四存三于甲加一为六为次商〈此甲乙同除如前第二例第三开之乙丙同除也前例只是以廉一除丙之十此例只是以廉四除乙之二十七合观二例其义益明〉乃以隅六自乘得三十六减乙丙实并尽得方二十六
　　开方得数审空位例假如实六十五万四千四百八十一列甲乙丙丁戊己六位此须三度开而实首系甲乙两位开也甲乙数六十五且取八为初商列甲左而以八自乘得六十四于甲乙两位减之则去甲之六减乙五为一此初开也再开倍八得一十六为廉法先以一除乙之一而其下实不足除知再开值空位矣〈丙丁为再开之位则廉之六当于丙位除一当于乙位除而除得次商当在甲位今若去乙之一而列一于甲为次商即丙位无六可除此当为见一无除改作九而下添一然则商乃在乙位而甲位空矣可知无次商宜便接三开也〉三开倍八十得一百六十〈前方八下有空位则谓之八十也若更有空位亦递进之〉为廉法仍先以一除乙之一〈戊己为三开之位则廉法当于戊位除而廉法有一百六十即六当于丁位除一当于丙位除今乙位有实又须以除丙之法除之盖除乙犹之除丙其说已详前二例矣　三商自当在乙位也〉则改乙一为九为三商而加丙四为五次以六与九相乘得五十四于丙丁两位减之则并去丙之五丁之四又以隅九自乘得八十一于戊己两位减之适尽得方八百零九
　　开方初商列位法　凡初商列于实首位之左者为多而不尽然也须知实首两位开而初商数不满五者必当借实首甲位列之何也实首甲一位开则乙丙为次开之位而乙属廉丙属隅也廉法于乙位除即除得次商当在甲位而初商不得不列甲之左矣实首两位开则丙丁为次开之位而丙属廉丁属隅也廉法于丙位除而初商系五倍之为十遇十进位乃当于乙位除即除得次商亦当在甲位而初商不得不列甲之左矣〈五以上更不必言〉若实首既以两位开而初商系四倍之为八只当于丙位除然则除得次商当在乙位而初商当列甲位又何疑乎〈四以下更不必言〉且如实二千四百零一列甲乙丙丁四位当取四为初商而减甲乙实一十六则先去甲之二加乙四为八乃以初商四列甲位再开倍四得八为廉法以除乙之八则改乙八为九为次商加丙空为八而以隅九自乘得八十一减丙丁实并尽得方四十九倘以初商四列甲左竟似四百零九其误甚矣盖开得商数中间应有空位与否信手布算即自然而见本不烦拟议也但审定初商位置则无空者不致误而成空而以后俱任其自然之数可耳
　　又按右例若以初商列甲左次以廉八除乙之八或去乙之八列一于甲为次商而以隅一自乘减丁之一亦尽乃得方四十一岂非误之尤甚者乎盖丙丁为次开之位而廉法止有八则当于丙位除除得次商当在乙位虽乙位有实而以除丙之法除乙然次商毕竟仍在乙位断无进到甲位之理不辨于此且致大误故详论之而初商若便列在甲位亦自无此弊矣
　　开方馀实命分法　开方馀实仅及所开方数一倍以下则命分命分者倍方加一数以命之〈倍方者廉法加一数者隅法〉假如实五十五开得方七而馀实六即倍七又加一数得一十五以为母而以六为子命之曰一十五分之六并整为七零一十五分之六也
　　开方求零分密法　开方馀实欲除令尽即所得方数必带零分而若以所命之分为方数试以自乘见积颇朒于原实则法犹疏也且如实二十开得方四而馀实四依命分法为九之四并整为四又九之四乃化整俱为零曰九之四十母子各自乘以见方积母得八十一〈此原实一之方积也盖一实而纵横俱分为九则其中应有方积八十一矣〉子得一千六百〈此总方积也〉以母积除子积归整得实一十九又八十一之六十一则朒于原实八十一之二十当更有法以开之其法倍九之四十〈倍之为廉法也〉为九之八十以除朒八十一之二十得七百二十之二十约为三十六之一与前方九之四十相并得三百二十四之一千四百四十九约为三十六之一百六十一以母除子归整得方四又三十六之一十七仍化整俱为零母子各自乘以见方积母得一千二百九十六子得二万五千九百二十一以母积除子积归整得实二十又一千二百九十六之一虽盈于原实一千二百九十六之一然比之朒于原实八十一之二十则其法已密矣
　　又法如实二十开得方四而馀实四但倍方为分母不复加隅而以馀实为子曰八之四约为二之一并整为四又二之一乃化整俱为零曰二之九母子各自乘以见方积母得四子得八十一以母积除子积归整得实二十又四之一则盈于原实四之一亦更有法以开之其法倍二之九为一之九〈本欲倍其子而半其母则子自倍矣不须更用约法〉以除盈四之一得三十六之一与前方二之九相减〈此与前法正同而盈朒并减有辨盖前方朒于原实则以廉法除所朒之数而与之相并前方盈于原实则以廉法除所盈之数而与之相减也〉得七十二之三百二十二约为三十六之一百六十一以下各数并与前法同〈按二法所得数其归正同盖偶同耳他处则往往小异也〉
　　右二法开方自乘得积并盈于原实一千二百九十六之一必欲除尽依法再开之以四又三十六之一十七复化为三十六之一百六十一倍之为一十八之一百六十一以除盈一千二百九十六之一得一万一千五百九十二之一与前方三十六之一百六十一相减得四十一万七千三百一十二之一百八十六万六千二百七十六约为一万一千五百九十二之五万一千八百四十一以母除子归整得方四又一万一千五百九十二之五千四百七十三仍化整俱为零母子各自乘以见方积母得一亿三千四百三十七万四千四百六十四子得二十六亿八千七百四十八万九千二百八十一以母积除子积归整得实二十又一亿三千四百三十七万四千四百六十四之一此则盈于原实为数甚微矣欲除尽依法再开
　　又法开方不尽实则增开数以求之凡增一开者化实之一为百而开得方数当十而一增二开者化实之一为万而开得方数当百而一假如实二十四化为二千四百开之得四十九是为一十之四十九以母除子归整得方四又一十之九仍化整俱为零自乘以见方积得一百之二千四百零一以母积除子积归整得实二十四又一百之一乃盈于原实一百之一也或增二开三开者仿此
　　零分开方法　原实系整数而开之带零分者前法已详矣若原实先系零分而欲开方者法以母自开得数为母子自开得数为子其大端也如实九之四开得方三之二是已更有开得数复成零分乃须分别算之如实九之二十母开得三子开得四又九之四化为九之四十〈此只依命分之数聊示其法耳未及密率也〉此当用整除零分法以三乘九为母以四十为子得方二十七之四十也如实二十之九母开得九之四十子开得三此当用零分除整法以四十为母以九乘三为子得方四十之二十七也又如实七之二十母开得二又五之三化为五之一十三子开得九之四十此当用零分除零分法以一十三乘九为母以五乘四十为子得方一百一十七之二百也盖原实之母本法也原实之子则实也故右三例用法分别如此前零分篇中于开方法未详兹乃尽其变云
　　长方以积与长广较求长广　法以四乘积并较实开方得长广和和较相并半之得长相减半之得广
　　长方以积与长广和求长广　法以四乘积减和实开方得长广较　按四乘积者以四长方两纵两横列四隅合为大平方则四边各兼长广之数而中央不满者正较自乘之小平方故知和实中有四积一较实也〈二法亦见句股章彼以八乘积者句股之积半长方积也〉右二法可该下文纵方七法而七法更不可不讲者盖变化无穷之用出焉固非右二法所能及矣具详于左
　　带纵并方廉开平方法长方以积与较求广者其长之积多于广当加法以带除其长积名带纵并方廉开平方依常列实定开位以较为带纵初开稍朒其商以带纵并之为方法〈常法以方与商为一此以方与商为二〉乃以乘商减实再开倍前商亦以带纵并之为廉法以除实得次商其隅法如常
　　假如长方积八百六十四列甲乙丙三位其长广较一十二求广者初商得二列甲左而以纵并商得三十二〈须知初商之二是二十故并纵得三十二也凡商与纵并者以十随十以百随百并之相减亦然〉为方法乃以方法乘商以三乘二得六〈此处只作二与三且勿论其为二十与三十可也〉于甲位减之〈依常法商二自乘当于甲位减今与方法三相乘亦同也〉则减甲八为二次以二乘二得四于乙位减之〈六于甲位减则四当于乙位减故初开而减及次开之廉位也〉则减乙六为二此初开也再开倍前商二得四并纵得五十二〈倍商是四十也　倍商不倍纵〉为廉法先以五除甲之二〈倍商之四当于乙位除因带纵首之一而成五亦同除得次商当在甲位今甲位有实故以除乙之法除甲而次商仍在甲位非因五十而进一位也此五只作五若倍商四纵首六并成一十乃当进一位耳〉则改甲二为四为次商次以二乘四得八于丙位减之〈五于乙位除则二当于丙位除故廉法而减及隅位也〉则减乙二为一加丙四为六又以隅四自乘得一十六减乙丙两位实尽得广二十四〈并较得长三十六〉
　　又如实二十三万零四百列甲乙丙丁戊己六位〈戊己为虚位〉带纵七百二十初商得二〈若商三则并纵首之七为一十又与商乘得三十而实首只二十三不足除故用二〉列甲左〈不列甲位者带纵故也〉而以纵并商得九百二十为方法乃以方法乘商以九乘二得一十八于甲乙两位减之则去甲之二加乙三为五次以二乘二得四于丙位减之则减乙五为四加丙空为六此初开也再开倍前商二得四并纵得一千一百二十为廉法先以一除乙之四〈倍商之四当于丙位除因并纵首之七而成一十一则此一当进而于乙位除除得次商当在甲位矣初商不列甲位正为此也〉则去乙之四于甲空位列四为次商次以一乘四得四于丙位减之则减丙六为二次以二乘四得八于丁位减之则减丙二为一加丁四为六又以隅四自乘得一十六减丙丁实并尽得广二百四十〈并较得长九百六十〉又如实一万九千四百四十列甲乙丙丁戊五位带纵七十二初商得一列甲左而以纵并商得一百七十二为方法乃以方法乘商以一乘一仍得一于甲位减之则去甲之一次七仍得七于乙位减之则减乙九为二次二仍得二于丙位减之则减丙四为二此初开也再开倍前商一得二并纵得二百七十二为廉法先以二除乙之二而其下实不足除知再开值空位矣〈倍商之二当于乙位除除得次商当在甲位今若去乙之二而列一于甲为次商即丙丁两位无七与二可除当为见二无除改作九而下添二然则商乃在乙位矣既退一位知是三商非次商也〉三开倍前商一十得二十〈此一与二皆百也谓之十者依常法〉并纵得二百七十二为廉法仍先以二除乙之二〈倍商之二十当于丙位除乙位有实故以除丙之法除乙也〉则改乙二为九加丙二为四而其下实又不足除即又减乙九为八为三商而加丙四为六次以七乘八得五十六于丙丁两位减之则去丙之六加丁四为八次以二乘八得一十六于丁戊两位减之则减丁八为六加戊空为四又以隅八自乘得六十四减丁戊实并尽得广一百零八〈并较得长一百八十〉
　　又如实一万六千一百二十八列甲乙丙丁戊五位带纵七十二此当减一开而实首取三位并开之〈若初商一则并纵得一百七十二而乙丙两位无七与二可除也〉初商得九〈此当借列实首甲位〉而以纵并商得一百六十二为方法乃以方法乘商以一乘九得九于乙位减之〈初商之九当于丙位减因并纵首之七而成一十六则此一当进而于乙位减〉则去甲之一加乙六为七次以六乘九得五十四于乙丙两位减之则减乙七为一加丙一为七次以二乘九得一十八于丙丁两位减之则减丙七为五加丁二为四此初开也再开倍前商九得一十八并纵得二百五十二为廉法先以二除乙之一〈倍商之一十八当于丙丁两位减并纵首七而成二十五其位亦同今乙位有实故以除丙之法除乙也〉则改乙一为五又以二除丙之五则于丙减二存三于乙加一为六为次商次以五乘六得三十于丙位减之则去丙之三次以二乘六得一十二于丁戊两位减之则减丁四为三戊八为六又以隅六自乘得三十六减丁戊实并尽得广九十六〈并较得长一百六十八〉
　　又如实一十六万六千四百六十四列甲乙丙丁戊己六位带纵一千零八十八初商得一〈初商是百而纵乃至千故只可用一〉列甲左而以纵并商得一千一百八十八为方法乃以方法乘商以一乘一仍得一于甲位减之〈方一百之一当于乙位减此是纵首一千之一故进一位〉则去甲之一次一仍得一于乙位减之则减乙六为五次八仍得八于丙位减之则减乙五为四加丙六为八次八仍得八于丁位减之则减丙八为七加丁四为六此初开也再开倍前商一得二并纵得一千二百八十八为廉法先以一除乙之四〈倍商之二当于丙位减此是纵首之一故进一位也下三开仿此〉则于乙减三存一于甲空位列三为次商次以二乘三得六于丙位减之则减丙七为一次以八乘三得二十四于丙丁两位减之则去乙之一加丙一为九减丁六为二次以八乘三得二十四于丁戊两位减之则去丁之二减戊六为二又以隅三自乘得九于丁位减之则减丙九为八加丁空为一此再开也三开倍前商一十三得二十六并纵得一千三百四十八为廉法先以一除丙之八则于丙减六存二于乙空位列六为三商次以三乘六得一十八于丙丁两位减之则去丙之二加丁一为三次以四乘六得二十四于丁戊两位减之则去丁之三加戊二为八次以八乘六得四十八于戊己两位减之则减戊八为三加己四为六又以隅六自乘得三十六减戊己实并尽得广一百三十六〈并较得长一千二百二十四〉
　　带纵减积开平方法　长方积较求广或于实内减长积以就其方名带纵减积开平方列实定位以较为带纵初开亦稍朒其商先以带纵乘商减实乃以商自乘减实再开倍前商为廉法约计当得次商若干亦先以带纵乘商减实乃以廉法除实合次商其隅法如常
　　假如长方积八百六十四列甲乙丙三位较一十二初商得二列甲左而先以纵乘商以一乘二得二于甲位减之〈此纵之一商之二皆十也依常法商二自乘于甲位减今以纵一乘商二亦同盖凡十与十百与百相乘皆于本位减必相乘又得十乃进一位若商系十而乘纵之百则当进一位商系百而乘纵之十则当退一位次商三商其理不殊各以所商应除之位为本位而进退之也负纵益积仿此〉则减甲八为六次以二乘二得四于乙位减之则减乙六为二乃以商二自乘得四于甲位减之则又减甲六为二此初开也再开倍前商二得四为廉法约计次商当得四〈约计减积之馀尚有商廉相乘及隅自乘之数也〉亦先以纵乘商以一乘四得四于乙位减之〈次商即再开之隅隅本位在丙然隅四只是四数而所与乘之纵一则是一十故进一位也若以比初开所除之位则为退一位至三开即比再开又退一位矣〉则减甲二为一加乙二为八次以二乘四得八于丙位减之则减乙八为七加丙四为六乃以廉四除甲之一则改甲一为二加乙七为九又以四除乙之九则于乙减八存一于甲加二为四为次商又以隅四自乘得一十六减乙丙实并尽得广二十四
　　又如实一万九千四百四十列甲乙丙丁戊五位带纵七十二初商得一列甲左而先以纵乘商以七乘一仍得七于乙位减之则减乙九为二次二仍得二于丙位减之则减丙四为二乃以商一自乘得一于甲位减之则去甲之一此初开也再开倍前商一得二为廉法约计次商不足除知再开值空位〈乙位实二试拟一为次商而以纵首之七相乘当比初开退一位于丙位减之则丙实只有二必减及于乙而廉已不足除未暇论其他矣故知再开值空位也〉三开倍前商一十得二十为廉法约计三商当得八亦先以纵乘商以七乘八得五十六于丙丁两位减之则减乙二为一加丙二为六丁四为八次以二乘八得一十六于丁戊两位减之则减丁八为六加戊空为四乃以廉二除乙之一则改乙一为五又以二除丙之六则去丙之六于乙加三为八为三商又以隅八自乘得六十四减丁戊实并尽得广一百零八　按积较求广虽有二法只如一法耳前法并纵于方廉以除实此法分纵与方廉先后减实异而不异也分作两度减固不如并作一度除之便然必备识诸法而后可以尽其变化之用不容废云
　　负纵减方廉开平方法　长方以积与较求长者其广之积少于长当损其法之长名负纵减方廉开平方列实定开位以较为负纵初开稍盈其商以负纵减之为方法乃以乘商减实再开倍前商亦以负纵减之为廉法以除实得次商其隅法如常　假如长方积八百六十四列甲乙丙三位较一十二求长者初商得三列甲左而以负纵减商得一十八为方法乃以方法乘商以一乘三得三于甲位减之则减甲八为五次以八乘三得二十四于甲乙两位减之则减甲五为三乙六为二此初开也再开倍前商三得六减负纵得四十八为廉法先以四除甲之三则改甲三为七于乙加二为四而其下实不足除即又于甲减一存六为次商而于乙加四为八次以八乘六得四十八于乙丙两位减之则减乙八为三加丙四为六又以隅六自乘得三十六减乙丙实并尽得长三十六〈减较得广二十四〉
　　又如实一万九千四百四十列甲乙丙丁戊五位负纵七十二初商得一列甲左而以负纵减商得二十八为方法乃以方法乘商以二乘一仍得二于乙位减之〈商系百而乘方之十故退一位也〉则减乙九为七次八仍得八于丙位减之则减乙七为六加丙四为六此初开也再开倍前商一得二减负纵得一百二十八为廉法先以一除甲之一则改甲一为九于乙加一为七而其下实不足除即又于甲减一存八为次商而于乙加一为八次以二乘八得一十六于乙丙两位减之则减乙八为七去丙之六次以八乘八得六十四于丙丁两位减之则减乙七为六加丙空为四去丁之四又以隅八自乘得六十四减乙丙实并尽得长一百八十〈减较得广一百零八〉
　　负纵益积开平方法长方积较求长或益积以补广而就其方名负纵益积开平方列实定位以较为负纵初开亦稍盈其商先以负纵乘商益实乃以商自乘减实再开倍前商为廉法约计当得次商若干亦先以负纵乘商益实乃以廉法除实合次商其隅法如常
　　假如长方积八百六十四列甲乙丙三位较一十二初商得三〈此当列甲左第二位因有益积故也初开毕不妨从甲左第二位移入甲左凡纵方诸例其商位每不可拘善算者自了然于心手之间耳〉而先以负纵乘商以一乘三得三于甲位加之则于甲左空位列一而减甲八为一次以二乘三得六于乙位加之则加甲一为二减乙六为二乃以商三自乘得九于甲位减之则去甲左之一加甲二为三此初开也再开倍前商三得六为廉法约计次商当得六亦先以负纵乘商以一乘六得六于乙位加之则加乙二为八次以二乘六得一十二于乙丙两位加之则加乙八为九丙四为六乃以廉六除甲之三则改甲三为五又以六除乙之九则于乙减六存三于甲加一为六为次商又以隅六自乘得三十六减乙丙实并尽得长三十六又如实一十六万六千四百六十四列甲乙丙丁戊己六位负纵一千零八十八此当增一开〈负纵至千而依实位初商只是百数无是理也〉初商得一列甲左第二位而先以负纵乘商以一乘一仍得一于甲左空位加之〈甲左空位是商千应除之本位也商千乘纵千当于本位加〉则列一于甲左次八仍得八于乙位加之则加甲一为二减乙六为四次八仍得八于丙位加之则加乙四为五减丙六为四乃以商一自乘得一于甲左空位减之则去甲左之一此初开也再开倍前商一得二为廉法约计次商当得二亦先以负纵乘商以一乘二得二于甲位加之则加甲二为四次以八乘二得一十六于乙丙两位加之则加乙五为七去丙之四次以八乘二得一十六于丙丁两位加之则加丙空为二去丁之四乃以廉二除甲之四则去甲之四于甲左空位列二为次商又以隅二自乘得四于乙位减之则减乙七为三此再开也三开倍前商一十二得二十四为廉法约计三商当得二亦先以负纵乘商以一乘二得二于乙位加之则加乙三为五次以八乘二得一十六于丙丁两位加之则加丙二为三丁空为六次以八乘二得一十六于丁戊两位加之则加丁六为八减戊六为二乃以廉二除乙之五则于乙减四存一于甲空位列二为三商次以四乘二得八于丙位减之则去乙之一加丙三为五又以隅二自乘得四于丁位减之则减丁八为四此三开也四开倍前商一百二十二得二百四十四为廉法约计四商当得四亦先以负纵乘商以一乘四得四于丙位加之则加丙五为九次以八乘四得三十二于丁戊两位加之则加丁四为七戊二为四次以八乘四得三十二于戊己两位加之则加戊四为七己四为六乃以廉二除丙之九则于丙减八存一于乙空位列四为四商次以四乘四得一十六于丙丁两位减之则去丙之一减丁七为一次以四乘四得一十六于丁戊两位减之则去丁之一减戊七为一又以隅四自乘得一十六减戊己实并尽得长一千二百二十四　按积较求长二法不同论负纵以并方廉为便而使负纵多初商少乃宜用益积也别拟取捷之术凡负纵减商而商不足则以所负商数为负方〈亦可称馀负纵也〉以负方乘商益积即初开毕矣自再开以后减廉固无碍耳
　　带纵负隅益积开平方法　长方以积与和求广者用和为带纵〈此与用较为带纵又别用较为带纵者以纵并方廉而乘商减实用和为带纵者直以纵乘商减实耳然且患纵多积少而须益积及减纵二法矣〉则已兼长广而积有长广相乘无广自乘故置负隅法以益积而以带纵开之名带纵负隅益积开平方列实定开位以和为带纵别置一算为负隅初开稍朒其商以乘负隅〈一为负隅则可不必置算亦不必乘而必言置算言乘者此法施之他处即负隅或不止于一也观后各例自见〉为方法先以方法乘商益实乃以带纵乘商减实再开倍前商以乘负隅为廉法约计当得次商若干以乘负隅为隅法先以廉法乘商益实又以隅法乘商〈隅乘商云者因有负隅之乘故又分隅与商为二也然负隅若止于一则直云商自乘或隅自乘亦可耳〉益实乃以带纵除实合次商
　　假如长方积八百六十四列甲乙丙三位其长广和六十求广者初商得二〈此当列甲左第二位〉而以乘负隅仍得二为方法先以方二乘商二得四于甲位加之则于甲左空位列一而减甲八为二乃以纵六乘商二得一十二于甲左及甲两位减之则去甲左之一甲之二此初开也再开倍前商二得四以乘负隅仍得四为廉法约计次商当得四以乘负隅仍得四为隅法先以廉四乘商四得一十六于甲乙两位加之则加甲空为二减乙六为二又以隅四乘商四得一十六于乙丙两位加之则加乙二为四去丙之四乃以纵六除甲之二〈以纵除与以廉除其位同此纵之六与廉之四皆十也以十随十当于廉本位乙位除之除得次商当在甲位今甲位有实则甲乙同除也　至此宜将初商仍移入甲左矣〉则改甲二为三于乙加二为六又以六除乙之六则去乙之六于甲加一为四为次商得广二十四
　　带纵负隅减纵开平方法　长方积和求广或减负隅于纵而以馀纵开之名带纵负隅减纵开平方列实定位以和为带纵别置一算为负隅初开亦稍朒其商以乘负隅为方法以方法减纵乃以馀纵乘商减实再开倍前商以乘负隅为廉法约计当得次商若干以乘负隅为隅法以廉法减纵又以隅法减纵乃以馀纵除实合次商
　　假如长方积八百六十四列甲乙丙三位和六十初商得二列甲左而以乘负隅仍得二为方法以方法减纵馀四十乃以纵四乘商二得八于甲位减之则去甲之八此初开也再开倍前商二得四以乘负隅仍得四为廉法约计次商当得四以乘负隅仍得四为隅法以廉法减纵馀二十又以隅法减纵馀一十六乃以纵一除乙之六则于乙减四存二于甲空位列四为次商次以六乘四得二十四减乙丙实并尽得广二十四
　　又如实一十六万六千四百六十四列甲乙丙丁戊己六位带纵一千三百六十初商得一列甲左而以乘负隅仍得一为方法以方法减纵馀一千二百六十乃以纵乘商以一乘一仍得一于甲位减之则去甲之一次二仍得二于乙位减之则减乙六为四次六仍得六于丙位减之则去丙之六此初开也再开倍前商一得二以乘负隅仍得二为廉法约计次商当得三以乘负隅仍得三为隅法以廉法减纵馀一千一百六十又以隅法减纵馀一千一百三十乃以纵一除乙之四则于乙减三存一于甲空位列三为次商次以一乘三得三于丙位减之则去乙之一加丙空为七次以三乘三得九于丁位减之则减丙七为六加丁四为五此再开也三开倍前商一十三得二十六以乘负隅仍得二十六为廉法约计三商当得六以乘负隅仍得六为隅法以廉法减纵馀一千一百又以隅法减纵馀一千零九十四乃以纵一除丙之六则去丙之六于乙空位列六为三商次以九乘六得五十四于丁戊两位减之则去丁之五减戊六为二又以四乘六得二十四减戊己实并尽得广一百三十六　按积和求广二法以减纵法为优盖初开以后欲约得续商之数比益积为差易但先以廉减纵而以馀纵求之如第一例馀实六十四且作四与十六相乘之数而馀纵二十析之亦得四与十六两数即四为次商为隅法以再减馀纵得一十六而以纵除实正得次商矣如第二例直以廉减馀之纵约馀实得次商三商虽得商后须再以隅减纵而纵多商少隅减之馀与廉减之馀当不至大相悬也然此特谓积和求广之本法止以一为负隅者若施之他处负隅不止于一则因续商有负隅之乘理当小异不得仅如右二说且开除往往遇负积更须参用下文翻法耳
　　带纵负隅减纵翻法开平方法　长方以积与和求长者积有长广相乘无长自乘法当损广以益长故以和为带纵别置一算为负隅初开稍盈其商以乘负隅为方法以方法减纵以馀纵乘商减积而积常不足则翻以所负积数为积再开倍前商以乘负隅为廉法以廉法减纵而纵又常不足亦翻以所负纵数为纵既隅积纵三者俱负乃以负纵除负积得次商又以次商乘负隅为隅法以乘商减负积名带纵负隅减纵翻法开平方
　　假如长方积三千四百五十六列甲乙丙丁四位和一百二十求长者初商得七〈此虽列甲左而除得次商乃在乙位则又当借列甲位也〉而以乘负隅仍得七为方法以方法减纵馀五十乃以纵五乘商七得三十五于甲乙两位减之而积不足四十四则去甲之三乙之四丙之五丁之六而列四于丙列四于丁为负积此初开也再开倍前商七得一十四以乘负隅仍得一十四为廉法以廉法减纵而纵不足二十即以负纵二除丙之四则去丙之四于乙空位列二为次商又以次商乘负隅仍得二为隅法以乘商二得四减丁位负积适尽得长七十二
　　又如实一十六万六千四百六十四列甲乙丙丁戊己六位带纵一千三百六十此当增一开初商得一〈若初商九百或八百商愈少则负积且愈多故知当为一千也〉列甲左第二位而以乘负隅仍得一为方法以方法减纵馀三百六十乃以纵乘商以三乘一仍得三于甲位减之〈商千之位在甲左商千乘纵百则退一位故当于甲位减〉以六乘一仍得六于乙位减之而积不足一十九万三千五百三十六则去甲之一乙之六丙之六丁之四戊之六己之四而列一于甲列九于乙列三于丙列五于丁列三于戊列六于己为负积此初开也再开倍前商一得二以乘负隅仍得二为廉法以廉法减纵而纵不足六百四十即以负纵六除甲之一〈倍商之二是千也依常法当于甲位除除得次商当在甲左此负纵之六是百也则当于乙位除而甲位有负积故甲乙同除除得次商乃在甲位盖非次商应列之位特因负纵数朒故耳〉则于乙加四为十三又以六除乙之十三则于乙减六存七于甲加一为二为次商〈此当于再开毕后移列甲左盖三开则负纵亦盈至千与常法倍商数等矣〉次以四乘二得八于丙位减之则减乙七为六加丙三为五又以次商乘负隅仍得二为隅法以乘商二得四于乙位减之则减乙六为二此再开也三开倍前商一十二得二十四以乘负隅仍得二十四为廉法以廉法减纵而纵不足一千零四十即以负纵一除乙之二则去乙之二于甲空位列二为三商次以四乘二得八于丁位减之则减丙五为四加丁五为七又以三商乘负隅仍得二为隅法以乘商二得四于丁位减之则减丁七为三此三开也四开倍前商一百二十二得二百四十四以乘负隅仍得二百四十四为廉法以廉法减纵而纵不足一千零八十即以负纵一除丙之四则去丙之四于乙空位列四为四商次以八乘四得三十二于丁戊两位减之则去丁之三减戊三为一又以四商乘负隅仍得四为隅法以乘商四得一十六减戊己负积并尽得长一千二百二十四　按积和求广初开后必有馀积〈若遇负积即初商是长非广也此亦指一为负隅者而言〉求长则初开常负积其大凡也若求长用益积法则初开所负之积不妨于再开所益积内减之〈再开所负于三开所益减〉但欲约次商患其茫然无绪可寻故只仿减纵法盖减纵则纵常不足因即以负纵除负积而得商此翻法所以为良也其间更有变例不可不知者别详于左
　　一求长而初开后乃有馀积此其初商必与求广相同者也既有馀积则以廉减纵亦必有馀纵〈若积馀纵负乃是商数过盈非所求之长当改商就朒〉且如实一万九千四百四十和二百八十八初商得一百〈求广求长同〉而馀积六百四十再开以廉减纵馀八十八约馀积为八与八十相乘之数而馀纵析之亦得八与八十两数此若求广即再开为空位以八为三商以再减馀纵得八十而以除积正得三商为广一百零八若求长即以八十为次商以再减馀纵得八而以除积正得次商为长一百八十盖只用减纵法而广长皆得可不须翻法也又如实二万零九百四十四和二百九十初商得一百而馀积一千九百四十四再开以廉减纵馀九十约馀积一千九百〈其下小数且置不算也〉为四十与五十相乘之数则朒为三十与六十相乘之数则盈而馀纵析之亦得四十与五十两数及三十与六十两数此若求广则取盈数〈宜有馀积也〉以三十为次商〈广不合有一百六十故不用六〉以再减馀纵得六十而以除积一千八百得次商仍馀积一百四十四三开以廉减纵馀三十约馀积为六与二十四相乘之数而馀纵析之亦得六与二十四两数即以六为三商以再减馀纵得二十四而以除积正得三商为广一百三十六若求长则取朒数〈宜负积也〉以五十为次商〈长不合止一百四十故不用四〉以再减馀纵得四十而以除积二千合次商积负五十六三开以廉减纵纵负一十以负纵除负积四十得四为三商而以隅四自乘得一十六减负积尽为长一百五十四盖始终用减纵法以得广始于减纵终于翻法以得长非可执一云〈右一条及下四条所举假例皆以一为负隅故例中不言负隅之乘取省文便览也又自此以下凡积纵商廉诸数百则曰百千则曰千而不复著甲乙之位非前后互异正取参观以相发明耳〉
　　一负积当以负纵除而以廉减纵适尽者约负积得次商以乘负隅为隅法以乘商减负积〈既无负纵则独用隅法减负积也或以负隅除负积以常法平方开之亦可〉如实八百六十四初商三十而负积三十六再开以廉减纵适尽即约负积得次商六为隅法自乘得三十六减负积尽为长三十六又如实九千三百七十五和二百初商一百而负积六百二十五再开以廉减纵适尽即约负积得次商二十为隅法自乘得四百减负积三开以廉减纵纵负四十乃以负纵除负积二百得五为三商而以隅五自乘得二十五减负积尽为长一百二十五〈负积六百二十五常法开平方亦得二十五平方再开廉法之四十犹翻法三开负纵之四十也盖纵廉相减负纵即是馀廉而在负隅法中方廉隅皆负也纵乃正也以相减则负纵固是馀负廉也〉
　　一以廉减纵有馀纵不可以除负积者约计当得次商若干以乘负隅为隅法再减馀纵纵负则以负纵除负积合次商〈负纵与隅法皆所用以除负积者也无负纵则独用隅法有馀纵则以隅法相减〉如实一千六百六十六和八十三初商四十而负积五十四再开以廉减纵馀三即约九为次商以再减馀纵纵负六乃以负纵除负积合次商为长四十九也
　　一以廉减纵有馀纵不可以除负积再以隅减纵适尽者此为有商无除〈隅与纵相减并尽既无负纵即无馀隅矣无可用以除负积者也〉而其负积则续商以除之如实五万五千五百七十五和四百八十初商二百而负积四百二十五再开以廉减纵馀八十即以八十为次商〈若以九十为次商则减纵而纵负一十矣然以一十除负积欲合次商之九十当有负积九百乃足除耳今只四百二十五是负积又负于法不得行也〉以再减馀纵适尽无可除三开以廉减纵纵负八十乃以负纵除负积四百得五为三商而以隅五自乘得二十五减负积尽为长二百八十五一以廉减纵有馀纵再以隅减纵仍有馀纵者以馀纵乘商益负积〈馀纵以减积负纵以减负积然则馀纵当以益负积矣〉而续商以除之如实一万六千一百二十八和二百六十四初商一百而负积二百七十二再开以廉减纵馀六十四即以六十为次商〈不以七十为次商者犹前例不可以九十为次商也〉以再减馀纵仍馀四则以馀纵乘商得二百四十以益负积得五百一十二三开以廉减纵纵负五十六乃以负纵除负积四百四十八得八为三商而以隅八自乘得六十四减负积尽为长一百六十八
　　右自带纵并方廉开平方至此凡有纵方七法六法所以御平方之变而翻法又所以通纵方之穷也此外更有隅算开平方一法其以商廉相乘与负隅同而负隅则以益积及减带纵隅算则以除积而并带纵盖隅有正负犹纵有正负也〈若以一为隅算则与无隅算同商廉固即是隅算之一也〉以此八法为纲领而错综变化其用不穷矣隅算法前未有例于后见之云
　　平方以斜径求方　法以斜径自乘为实以二为隅算开方　假如方田斜径七十步求方者以斜径自乘得四千九百为实以二为隅算初商四十以乘隅算得八十为方法以方法乘商得三千二百减实再开倍前商得八十以乘隅算得一百六十为廉法以廉法除实一千四百四十得九为次商又以次商乘隅算得一十八为隅法以隅法乘商得一百六十二减实不尽九十八倍商加隅仍乘隅算以命分为一百九十八之九十八约为九十九之四十九得方四十九零九十九之四十九也　按斜径自乘之实倍方积故以二为隅算开之〈或不用隅算以斜径实半之开方亦得〉旧说率方五斜径七然方五则斜七而强斜七则方五而弱未可为密率不若方斜积率方一斜二无黍丝差也
　　平方以方求斜径　法倍方积开方
　　大小两方以共积及两方互乘数求大小方　法倍两方互乘数减共积开方得两方较乃以两方互乘数为实以较为带纵用带纵并方廉开之〈言并方廉而或用减积可知不待言也他仿此〉得小方或以较为负纵用负纵减方廉开之得大方
　　又法倍两方互乘数并共积开方得两方和乃以两方互乘数为实以和为带纵一为负隅用带纵负隅减纵开之得小方或用翻法开之得大方〈按此盖以句股法通之大方股也小方句也共积实也两方互乘数句股相乘长方积也故倍互乘数则与共积相并减而开方可得和与较也或和或较但得其一即以互乘数为实用纵方开之自见大小方矣若兼求和与较以见大小方不用纵方之法亦可耳〉
　　大小两方以共积及两方较求大小方　法以较实减共积馀为实以二为隅算倍较为带纵用隅算带纵并方廉开之得小方或倍较为负纵用隅算负纵减方廉开之得大方　假如大小两方田共积七千五百九十二步两方较二十八步求大方者以较自乘得七百八十四以减共积得六千八百零八为实以二为隅算倍较得五十六为负纵初商七十以乘隅算得一百四十为方法先以负纵乘商得三千九百二十益实乃以方法乘商得九千八百减实再开倍前商得一百四十以乘隅算得二百八十为廉法约计次商当得四以乘隅算得八为隅法先以负纵乘商得二百二十四益实乃以廉法除实一千一百二十合次商又以隅法乘商得三十二减实尽得大方七十四〈此以隅算负纵益积法为例馀可类推〉
　　大小两方以共积及两方和求大小方　法以和实减共积馀为实以二为负隅倍和为带纵用带纵负隅减纵开之得小方或用翻法开之得大方〈按右二条但倍共积以减较实开方得两方和以减和实开方得两方较兼和较以见大小方最为便易然欲仿此意而推之三方以上则格而难通矣若以较和实减共积为实倍较和为带纵负纵则推之三方以上总用此法不过递增其隅算负隅之数及中方以较较为纵微不同耳合下二条观之乃知法之妙也〉
　　大小三方以共积及三方之两较求各方　法以两较实减共积馀为实以三为隅算而视其较若系大与小中与小之两较则倍两较为带纵用隅算带纵并方廉开之得小方系大与中大与小之两较则倍两较为负纵用隅算负纵减方廉开之得大方或系大与中中与小之两较而大与中之较盈于中与小之较〈可知中方近小方也〉则倍两较之较为带纵用隅算带纵并方廉开之大与中之较朒于中与小之较〈中方近大方也〉则倍较较为负纵用隅算负纵减方廉开之大与中之较中与小之较等则直用隅算开之得中方
　　大小三方以共积及三方之两和求各方　法以两和实减共积馀为实以三为负隅倍两和为带纵用带纵负隅减纵开之得中方及小方或用翻法开之得大方〈按并两和实其数自多虽以共积减之犹多也以此为实则除之常有馀实矣并两和又倍之其数亦复不少以此为纵则减之常有馀纵矣故举大与中与小之两和往往只用负隅减纵法即得大方不须翻法也惟大方与中小二方盈朒迥殊者乃间用翻法耳〉
　　右四条以较求方以和求方其法两两相对由二方以推之三方更推之多方皆可以一理贯也但较有带纵负纵之分和则惟有带纵而已又中方以较较为纵与大小方固殊而以和和为纵则与大小方不异故以较求者其绪繁以和求者其术简也且如甲乙丙丁戊五方举甲与戊乙与戊丙与戊丁与戊之四较即先求戊方以四较实减共积馀为实以五为隅算倍四较为带纵用隅算带纵并方廉开之求甲方者用负纵〈若四较皆以甲方为主即先求甲方也　甲大戊小〉并如右法至于求乙丙丁三方者当倍较较为纵而欲得较较固自有说假使求乙方即并乙与丙与丁与戊之三较而以甲与乙之较减之馀则较较也盖以大于乙之较与小于乙之较相减既得较较且可知乙方为近大方为近小方而较较为带纵为负纵矣〈乙下于甲一等似近大方而较较当为负纵然使并乙与丙丁戊之三较不及甲与乙一较之数即乙近小方而当为带纵也并三较与一较之数等者但用隅算开之〉丙丁仿此其以和求者只如
　　右法云
　　三广田以积与三广之两较及长广较求长广　法以中广与长之较为带纵〈必以中广为主此算三广之定法　既称长广则中广必朒于长故直称带纵而下文立法皆就带纵言之也然亦或有中广反盈于长者自当为负纵耳〉以中广与南北广之两较并而四除之为旁纵〈长既有纵广不当又称纵而广之有较亦纵也故谓之旁纵〉而中广朒则为旁带纵中广盈则为旁负纵又有不同旁带纵者用双带纵并方廉兼减积开之〈带纵法以并方廉为便而两纵分属长广两边则初开未可皆并入方故兼用减积法至再开或减积或并廉者廉固统长广两边不妨并两纵也〉旁负纵者用带纵并方廉兼负纵益积减廉开之〈带纵既用并方廉法而两纵分属长廉两边则初方不可一并一减故负纵必用益积法至再开或益积或减廉者廉统长广两边不妨且并且减也〉得中广　假如三广田积二千四百六十五步中广朒于南广八步朒于北广三十六步朒于长六十七步求三广及长者以长广较六十七为带纵以两广较并而四除之得一十一为旁带纵初商一十并带纵得七十七为方法先以方法乘旁带纵得八百四十七减积乃以方法乘商得七百七十减积再开倍前商得二十并带纵得八十七为廉法约计次商当得八为隅法先以隅法乘旁带纵得八十八减积乃以廉法除积六百九十六合次商又以隅八自乘得六十四减积尽得中广一十八〈各加较得南广二十六北广五十四长八十五〉或再开以旁带纵并入廉法得九十八以除积七百八十四得八为次商而以隅法减积尽尤简捷
　　又如三广田积二千四百六十五步中广盈于南广一十五步盈于北广九步朒于长五十步求长广者以长广较五十为带纵以两广较并而四除之得六为旁负纵初商三十并带纵得八十为方法先以方法乘旁负纵得四百八十益积乃以方法乘商得二千四百减积再开倍前商得六十并带纵得一百一十为廉法约计次商当得五为隅法先以隅法乘旁负纵得三十益积乃以廉法除积五百五十合次商又以隅五自乘得二十五减积尽得中广三十五〈各加减较得南广二十北广二十六长八十五〉或再开以旁负纵减廉法得一百零四以除积五百二十得五为次商而以隅法减积尽尤便〈按右条之法亦可以纵为旁纵以旁纵为纵也虽纵有带负之分而带纵兼旁负纵者易为负纵兼旁带纵于算亦通然长广之较自当为纵广与广之较自当为旁纵理固如此耳且如下文各条例中其法更加隅算及负隅者纵与旁纵断不可移易也〉
　　方长带偏斜田以积及四边之三较求长广　法以一边为主若主东一边即以东长与南北广之两较俱盈俱朒者并而半之一盈一朒者相减而以所馀盈朒之数半之为纵以东西之较半之为旁纵其为带纵负纵并以东一边之盈朒分之先求东长如前三广田法　假如偏斜田积四千一百四十八步东长盈于南广十步朒于北广四步朒于西长八步求各长广者以东与南北两较相减得盈六半之得三为负纵以东西较半之得四为旁带纵初商六十减负纵得五十七为方法先以方法乘旁带纵得二百二十八减积乃以方法乘商得三千四百二十减积再开倍前商得一百二十减负纵得一百一十七并旁带纵得一百二十一为廉法以廉法除积四百八十四得四为次商而以隅四自乘得一十六减积尽得东长六十四〈各加减较得南广五十四北广六十八西长七十二〉
　　又如偏斜田积一万一千四百步东长盈于南广一百三十步盈于北广一百一十步朒于西长二十步求长广者以东与南北两较相并半之得一百二十为负纵以东西较半之得一十为旁带纵初商一百〈此因负纵多而初商少兼用益积法〉先以负纵乘旁带纵得一千二百益积〈凡带纵皆用之减积也此旁带纵何以益积盖以方法相乘则减积耳方法之中有商有带纵方也商也带纵也皆正也两正相乘宜减积一正一负相乘宜益积也〉次以商乘旁带纵得一千减积又以负纵乘商得一万二千益积乃以商自乘得一万减积再开倍前商得二百减负纵得八十并旁带纵得九十为廉法以廉法除积七千二百得八十为次商而以隅八十自乘得六千四百减积尽得东长一百八十〈南广五十北广七十西长二百〉
　　又如偏斜田积八千一百步东长盈于南广一百二十五步盈于北广一百一十五步盈于西长一十六步求长广者以东与南北两较相并半之得一百二十为负纵以东西较半之得八为旁负纵初商一百先以负纵乘旁负纵得九百六十减积〈凡负纵皆用之益积此旁负纵何以减积盖一正一负相乘宜益积则两负相乘又宜减积也两负如无负也〉次以商乘旁负纵得八百益积又以负纵乘商得一万二千益积乃以商自乘得一万减积再开倍前商得二百减负纵得八十又减旁负纵得七十二为廉法以廉法除积五千零四十得七十为次商而以隅七十自乘得四千九百减积尽得东长一百七十〈南广四十五北广五十五西长一百五十四〉　按右三例第一例以负纵减方廉兼带纵减积并廉也其第二例第三例亦是负纵兼旁纵而初开以负纵减商商皆不足当以所负商数各二十为负方第二例以负方乘旁带纵得二百益积又以负方乘商得二千益积第三例以负方乘旁负纵得一百六十减积又以负方乘商得二千益积即初开各毕矣前著例颇详者欲使其中条理显然而捷径自出也
　　三广田以积与三广和两广较及长广较求长广　法以四乘积为实以和为带纵一为隅算〈凡三广必倍中广并边两广而四除之以为广今四乘积则可以当四除矣乃以三广和为带纵而犹少一中广即以一隅算并纵隅算固所求之中广也〉以中广与长之较为旁带纵〈如中广反盈于长则为负也〉用隅算双带纵并方廉兼减积开之得中广〈以加长广较得长以减三广和得南北二广和欲知南北各广数以两广较推之其较非必南北之较而皆可以次第推也　按此以长广较为旁纵者和不得为旁纵也凡和为带纵必加隅算及负隅而隅算负隅势不得在旁也此隅算只一犹与无隅算同纵与旁纵可以互换非负隅之比负隅虽只一其纵亦不可移耳〉
　　方长带偏斜田以积与三边和及长较广较求长广法以二乘积为实以和为带纵一为负隅〈以三边和为带纵非有二长即有二广故以二乘积而有二长者一为负隅以求广因以减纵中之广有二广者一为负隅以求长因以减纵中之长〉以长较或广较半之为旁纵〈求长则取长较求广则取广较〉其为带纵负纵以所求一边之盈朒分之乃用带纵负隅减纵兼旁纵开之得一边长广　假如偏斜田积四千一百四十八步东南北三边和一百八十六步东长朒于西八步南广朒于北一十四步求各长广者以二乘积得八千二百九十六为实以一为负隅以和一百八十六为带纵以东西较半之得四为旁带纵初商六十以乘负隅仍得六十为方法以方法减纵馀一百二十六先以馀纵乘旁带纵得五百零四减实乃以馀纵乘商得七千五百六十减实再开倍前商得一百二十以乘负隅仍得一百二十为廉法约计次商当得四以乘负隅仍得四为隅法以廉法减纵馀六十六又以隅法减纵馀六十二乃先以隅法乘旁带纵得一十六益实〈在负隅法中方廉隅皆负也旁带纵以正而与负乘故宜益实也〉而以馀纵减实二百四十八合次商得东长六十四〈以减和更以广较推之得南广五十四北广六十八以长较见西长七十二〉或再开以旁带纵乘负隅仍得四〈凡纵不与隅算及负隅二者相乘而旁纵自再开以后欲与廉纵相并减则必与二者相乘也前以隅法乘之而益积隅法固已先乘负隅矣〉以减纵馀五十八〈带纵而乘负隅故以减纵〉而以除实二百三十二合次商亦便
　　又如偏斜田积三千二百五十步东南北三边和一百七十四步东长朒于西一十二步南广朒于北六步此须用带纵负隅减纵翻法〈倍积为实则除实宜有馀实一长二广为纵则减纵宜有馀纵而或须用翻法者必其田狭长之甚也〉而兼旁纵开之以二乘积得六千五百为实以一为负隅以和一百七十四为带纵以东西较半之得六为旁带纵初商一百〈若商八十或九十则负积愈多而八十且有馀纵无以置之九十虽有负纵其数甚少不能除尽负积故定商一百〉以乘负隅仍得一百为方法以方法减纵馀七十四先以馀纵乘旁带纵得四百四十四减实乃以馀纵乘商得七千四百减实实负一千三百四十四再开倍前商得二百以乘负隅仍得二百为廉法以廉法减纵纵负二十六约计次商当得二十以乘负隅仍得二十为隅法先以隅法乘旁带纵得一百二十减负实乃以负纵除负实五百二十合次商又以隅法乘商得四百减负实三开倍前商得二百四十以乘负隅仍得二百四十为廉法以廉法减纵纵负六十六约计三商当得四以乘负隅仍得四为隅法先以隅法乘旁带纵得二十四减负实乃以负纵除负实二百六十四合三商又以隅法乘商得一十六减负实尽得东长一百二十四〈南广二十二北广二十八西长一百三十六〉或再开以旁带纵乘负隅仍得六以并负纵得三十二以除负实六百四十得二十为次商而以隅法减负实四百三开以旁带纵乘负隅仍得六以并负纵得七十二以除负实二百八十八得四为三商而以隅法减负实尽尤便　按算术固不能尽言即如偏斜田设举积及东南和东北和东西较则并两和为带纵以二为负隅而依前半较为旁纵倍积为实开之得东长或举积及东南和东北和东西和则以四乘积为实以东西和除之得南北和而并东南和东北和以南北和减之半其馀得东长如三广田举积与三广之两较及长广和则以和为带纵一为负隅并两较而四除之为旁纵以开积得中广神而明之法随问变岂可限也兹因偏斜田而引伸其说凡诸条例莫不皆然请以俟通人之自悟焉
　　长方以重长重广共步及积求长广　法以共步为带纵而求长则以长数〈重几长则为几数也下广数同〉为负隅以广数乘积为实求广则以广数为负隅以长数乘积为实用带纵负隅减纵及翻法开之〈不论求长求广但负隅数少乘积数多者积与纵常有馀往往用带纵负隅减纵法负隅数多乘积数少者积与纵常不足往往用翻法惟田形狭长之甚者则不然临算当自知之不可预定耳〉　假如长方积八百六十四步二长五广共一百九十二步为带纵以五乘积得四千三百二十为实〈五乘积则得长乘广之数五而可以五广为带纵也〉以二为负隅〈实中无长自乘之数而带纵有二长故以二为负隅不益实即减纵也〉用带纵负隅减纵开之得长三十六或以二乘积得一千七百二十八为实以五为负隅用翻法开之得广二十四　更有重长重广重和重较共步及积求长广者如积八百六十四步一和二较三长四广共二百八十八步法先约一和得一长一广并三长四广得四长五广又以二较益广为长共得六长三广乃如前求之若重较数多既益广尽为长而尚有馀较者此则不可求长但可求广〈原积无长乘较之数故不可求长原积有广自乘及广乘较之数各一故可求广〉且如积八百六十四步一和六较三长四广共三百三十六步约一和三长四广得四长五广又以六较之五益广为长共得九长而馀一较则以九长减较为广乃得九广十较而以十乘积得八千六百四十为实以一为隅算〈十乘积则得广自乘及广乘较之数各十而带纵少一广故以一为隅算并纵也〉以共步为带纵用隅算带纵并方廉开之得广二十四
　　长方以长广母子分数之共步及积求长广　法以长母乘广子为广率为广数以广母乘长子为长率为长数以两母相乘为总率以乘共步为带纵乃如前重长重广例求之　假如长方积八百四十步五分长之二四分广之一共二十步求长广者以五乘一得五为广率为五广以四乘二得八为长率为八长以五与四乘得二十为总率以乘共步得四百为带纵而此带纵之数凡有八长五广也乃以八乘积得六千七百二十为实以五为负隅用带纵负隅减纵开之得广二十四或以五乘积得四千二百为实以八为负隅用翻法开之得长三十五
　　长方匿原积以长乘重长重广积步及较或以广乘重长重广积步及较求长广　法以乘积为实并长广数为隅算而长乘求长则以广数乘较为负纵用隅算负纵减方廉开之广乘求广则以长数乘较为带纵用隅算带纵并方廉开之若广乘求长则以广数乘较为负纵又以较为旁负纵用隅算双负纵减方廉兼益积开之长乘求广则以长数乘较为带纵又以较为旁带纵用隅算双带纵并方廉兼减积开之假如长方匿其原积而以广乘六长三广得六千
　　九百一十二步其长广较一十二步求长者以乘积六千九百一十二为实以九为隅算以三乘较得三十六为负纵又以较一十二为旁负纵初商三十以乘隅算得二百七十减负纵得二百三十四为方法先以方法乘旁负纵得二千八百零八益实乃以方法乘商得七千零二十减实再开倍前商得六十以乘隅算得五百四十减负纵得五百零四为廉法约计次商当得六以乘隅算得五十四为隅法先以隅法乘旁负纵得六百四十八益实乃以廉法除实三千零二十四合次商又以隅法乘商得三百二十四减实尽得长三十六或再开以旁负纵乘隅算得一百零八以减廉法得三百九十六以除实二千三百七十六得六为次商而以隅法减实尽尤捷　右法更有以长乘重长重广重和重较或以广乘之而以其积步及较求长广者并先约和较为长广不待言矣若以较益广尽为长而尚有馀较如前九长一较之比者别自有法且如九长一较法以九为隅算而长乘求长则以一乘较为带纵广乘求广则以十乘较为带纵〈九广十较也〉广乘求长则以一乘较为带纵又以较为旁负纵长乘求广则以十乘较为带纵又以较为旁带纵依例开之
　　长方匿原积以长乘重长重广积步及和或以广乘重长重广积步及和求长广　此与前一条相似而不同以长乘者但可求长以广乘者但可求广〈隅算及负隅无旁加者势不能也故长乘不便于求广广乘不便于求长矣〉法亦以乘积为实而长乘求长则以广数乘和为带纵广乘求广则以长数乘和为带纵又以长广数相减馀数为隅算不足数为负隅求长取长求广取广为之乃用隅算带纵并方廉或用带纵负隅减纵及翻法开之如六长三广长乘求长则以三乘和为带纵以三为隅算〈六长三广相减长馀三以为隅算之数盖并三长于带纵得六长三广也〉广乘求广则以六乘和为带纵以三为负隅〈六长三广相减广不足三以为负隅之数盖减三广于带纵亦得六长三广也〉开之是也　右法长广所乘若更兼重和重较者先约和较为长广而约得馀较如前九长一较之比亦别有法且如九长一较长乘求长则以一乘和为负纵以十一为隅算〈减一长一广于隅算得九长一较也〉广乘求广则以十乘和为带纵以十一为负隅〈减十一广于带纵亦得九长一较也〉依例开之

　　九章录要卷六
<子部,天文算法类,算书之属,九章录要>