勾股引蒙 (四库全书本)/卷01

勾股引蒙　卷一

　　钦定四库全书
　　句股引𫎇卷一
　　海宁　陈𬣙　撰
　　笔算
　　〈古用珠算今资毫颖凡写法俱左为大右为小其法不外加减乘除其用视筹格〉
　　加
　　如先有几百几十尺〈举尺以例其馀〉又几百几十几尺又几十几尺俱平写写完用横画为界并之从末小位起每留零数写于本位每满十数即于前位加一点其前位仝先所写数又所加一点直下并之留零数进十数如前法一路并向左去凡满十者不论或百或千或万总之左位比本位多十倍俱称为十也假如一百三十四尺　又九十六尺　又一百七十八尺
　　四六八八　〈从末位并起如四六八为一十八进一点于前左位留八零数写本位〉三九七○　〈此三九七同所进一点并之得二十进两点于前左位而本位无零置○〉一　一四　〈此首位有一一又连两点并之得四竟写四字于下〉右共四百○八尺〈从左首位至末小位〉
　　减
　　先从左大位减至右末小位
　　假如四百○八尺先减一百七十八尺〈存二百三十尺〉
　　八　　　四
　　○　三四三
　　四三二一
　　又减九十六尺〈存一百三十四尺如右〉
　　如再减若干亦同此法
　　乘
　　有自乘如以一百七十八乘一百七十八有相乘如以一百七十八乘九十六之类依位数画或方或长格各管所乘之位为纵横式俱左为大右为小又每格斜界从末小位界起为斜式亦左为大右为小斜界之末格为最小之位无可并进其馀斜界一路并去留零数于本位而以满一十者进一点于前满二十者进二点如前加法倒并至左写完看末位应是尺是寸逆推而上即得所乘之万千百十
　　假如自乘以一百七十八乘一百七十八
　　先写一七八于上〈平写〉再写一七八于侧〈直写〉依平位侧位画纵横格〈或平位多画长方格或侧位多画直方格〉再画斜格〈末小位起〉
　　先从右边末位乘起以末位之八乘平写之末位八得六十四写六字于末位斜格之左写四字于右
　　再以右边之八乘平写中位之七得五十六写五字于下格斜界之左写六字于右
　　再以右边之八乘平写首位之一得八写八字于下格斜界之右〈以上右边之八乘完〉
　　次以右边中位之七乘平写末位之八得五十六写五字于中位斜格之左写六字于右次以右边之七乘平写中位之七得四十九写四字于中格斜界之左写九字于右
　　次以右边中位之七乘平写之一得一七如七写七字于中格斜界之右〈以上右边之七乘完〉又以右边之一乘平写末位之八得八写八字于上位斜格之右
　　次以右边之一乘平写中位之七得七写七字于上位斜格之右





　　次以右边之一乘平写首位之一得一写一字于上位斜格之右〈以上右边之一乘完〉
　　各位俱乘毕将斜界各数并之图具右方右末位是尺乘尺即知四字是尺从尺逆推而上至三字是万位得三万一千六百八十四尺〈若以尺乘寸则末位之四是四寸凡两钱斤之类俱同此〉
　　假如相乘图算俱同自乘
　　除
　　除与减相似而不同犹加与乘亦相似而不同盖加减止用小九数如二与三为五而乘与除则两字合呼如二三得六也除即九归法列筹除实西法始创先列筹式如左
　　筹算〈附筹式〉
　　〈筹每副九根每根九格左为大数右为小数以第一格右边字为某号筹如一字即为一号筹二字即为二号筹算时照为法之数列筹从左而右看列实数近少除之其每筹之背俱合九数面一背必八面二背必七第九号筹之背则虚界斜格无字为法数之○用其除法用法另详〉








　　右每筹九格每格已备所乘之数如一号筹一
　　一如一　一二如二如第二号筹则第一格即一二如二第二格即二二如四第三格即二三如六第四格即二四如八第五格即二五得一十此一十之一字写在斜格之左为大数第六格即二六得一十二以一字写斜格之左二字写斜格之右凡筹俱左为大数右为小数也其列筹亦分左大右小如法数或系一十九则一号筹列左九号筹列右也凡两筹相并成斜方格其斜方格内之数须合并算满十即进于左位而留零数于本位其在斜方外者不可合也
　　除取近少
　　除即珠算之归法如以物求价物为法照物之数列筹价为实共若干价横写数目〈亦左边起写至右边〉视列筹某格近少除之〈如在第一格除即写一字如在第二格除即写二字为商除之数〉所以取近少者盖以法除实必非一除可尽故留馀实以便再除
　　假如做工三百八十四丈用银三千五百七十一两二钱求每丈该银若干以做工为法列三八四筹以银为实横写三五七一二取格之近少除之




　　右列三八四号筹除实视每格自一格至八格
　　俱少惟九格之　　　　　　　　　三四五六与实近少除之因在第九格为初商九馀实一一五二视列筹第三格之
　　〈为十一进一点于前〉一一五二除实尽为次商三按初商之九写于实首位者因在三号筹左边之字除起〈左边是大数即是十位〉遇十在本身故第一次除写实之第一位所谓在本身也
　　右工每丈该银九两三钱
　　按定位〈详后〉凡法小实大者从实首顺寻法首而法前得令如工三百较之银三千是为法小实大应实上顺寻法首今实之第二位是百即为法之首位而法前得令则实之第一位是法前而第一位上之初商九乃是九两盖令者两斤尺石之所由起也九既为两则三为钱无疑故贵定位也详后法
　　置○〈开方置○不用此法〉
　　逢单须进位　　遇十在本身
　　退位单仍十　　两一位还升
　　各筹俱右为单位左为十位其左边无字而两筹斜格相并如五与六并为一十一之类则进于十位亦谓之十也此进位之位与本身之身俱指所商之数应写实数上之第几位如初商在第一位次商在二位之类为一定之位而进位则从本位而进于左位也依此写法有不相连接中间空一位者是商数大小相悬应置○也
　　退位单仍十句即补首句逢单须进位之所未尽盖如同是筹上之单位除实而所除之实位或有用退位除者则虽在筹右格之单位除仍作遇十在本身其所写商数初商在首位次商在次位也
　　假如实一十一两七钱二分　法二十三石〈列筹〉列三号三号筹视五格至九格俱浮于实惟退位除则第四格　之九二是零数与一之大数相近故从实首除筹之一十为九除十而于次位还一则所除乃在第二位而书商数于实首位是为单仍十耳然次位除起而实首书商数则依然逢单进位也
　　两一位还升句承上退位句以申明逢单须进位也谓惟退位除者虽单亦同十耳若实首是一法首亦是一而恰用第一格除实则逢单应书商数于实首一之前位上盖总以筹之左大右小为逢单遇十故前句是退位除者虽在单格亦作十论而在本身置商此句两一是虽或一十一百而在筹格之单位除者亦作单论而在本身前一位置商也
　　假如实一百五十七两　　法一百二十六石列一二六筹在第一格右小位除实则应置商于实本位之前一位
　　若法实俱是一在左大格除者不宜进位置商假如实一七八二　法一八
　　列一八筹初次商俱在九格除实俱筹上并进左大位是十位是遇十在本身其商数不宜进位也
　　右依前法写商数而中间空缺不接连者即○位也
　　定位
　　法小实大顺寻法首而于法前得令
　　假如人参三十五两用价共二百二十七两五钱
　　求每参一两价若干〈以银为实　以参为法〉
　　五　　列三号五号筹〈此即参为法〉除实
　　七　　筹第六格除二十一是遇十在本身写
　　五　二　　六字于实之第一位上馀实一七五除第六　二　　五格亦遇十在本身写五字于实之第
　　二位上〈除尽〉
　　顺寻法首者如上所列实二百二十七两五钱人参为法是三十五两则十为法首而实之第二位是十为法首位直上所写商数之五即法首位而法前得令令者两也实首直上之六为法前法前得令为六两六既为两则五为钱矣答曰每参一两价银六两五钱
　　法大实小逆寻法首而于法前得令
　　假如堤工三百五十用银二十二两七钱五分求每一工该银若干〈以银为实以工为法〉
　　列三号五号筹除实同前
　　法之首是百实之首乃是十是为法大实小当实首十逆推法首百则实之前位即法首位而实前第二位是法前位以之得令为两而顺逓推下则初商之六乃是分位次商之五乃是釐矣答曰每人一工该银六分五釐
　　又如法愈大实愈小则实前逆寻法首或二○三四○法前得令仝前
　　假如堤三千四百工共银一十五两三钱求每工该银若干〈以银为实以工为法〉
　　实　　列三号四号筹除实
　　三　　初商四次商五俱筹上左边除实商数各依遇十在本身写法数千银数十为法大实小从实首十数逆寻法首则实前二位为法首而又于法前得令起两退右挨数则实首上之四为四釐挨右之五为五毫矣
　　答曰每工四釐五毫
　　法实等者实首即为法首而于法前得令
　　法实相等如同是千同是百之类
　　命分
　　凡除至单位而止故曰实如法而一所谓一者即单也其除之至单位仍有不尽之馀实则以分命之其一除之至尽如钱分厘毫丝忽以次求之其一以法数为分母不尽者为分子命为几分之几
　　假如十九人分银二百五十四两依商除法已各该一十七两矣不尽七两命之曰十九分两之七〈盖以不尽之七剖为七个十九分得一百三十三分以十九人分之各得七分并整数零数为每人分得十七两○十九分两之七〉
　　附约法〈历法用之便于积算馀可不必〉
　　凡命分可约者约之古法曰可半者半之不可半者以少减多更相减损求其有等者以等约之西法谓之纽数以等数约母子数则皆除尽〈如八十一人分银二十七两不能各得一两并不能各得五钱依命分法命为八十一分两之二十七今以法约之为三之一盖八十一是三个二十七若剖两为八十一分即各得二十七分是三之一也〉
　　〈均分法曰置分母八十一用逓减法以分子二十七减之馀五十四复以二十七减之馀仍二十七两数相同是有等也即用此二十七转除分母得三除分子得一如此不用细分但以每两均剖为三而各得其一分即三人共一两也〉
　　〈若分子是五十四则用转减法以子五十四转减母八十一馀二十七又以母馀二十七转减子五十四亦馀二十七是相等也即以此等数为法除母得三除子五四得二是为约得三之二又捷法八十一乃九九相乘之数二十七乃三九相乘之数皆九也即可为纽数约之为九分两之三〉
　　当位
　　筹算求两斤尺石之类竟除近少或即除尽不用当位法惟开方每商后应取两廉约数故如馀实一百先取长廉时虽或筹之第一格是一百宁可取第九格除九十以便取长廉也今开方依西法用筹故先附此
　　右各法俱筹算入门之始从此开方句股三角握算推步无虑紊悮矣〈惟开方置○与此不同〉
　　句股引𫎇卷一