实数表示法及其应用一题问
曾 烱
实数论为解析学之基础,吾人于开方,求对数,与及微分积分之讨论严密者,已知其重要之所在。近六十年来,若Weierstrass, Cantor及Dedekind诸家之讲义,无不以此为其研究高等解析之出发点。今则凡研究函数论者,其开端即以此也。
今冬季学期,受幂级数论于Landau氏,课中常有关于实数问题,令同学自索,兹篇乃课作之一,译为国语。
昔Cantor 关于实数之表示有一定理:
设
为一组正整数,
为任意整数,
自某定项以后,均为
能除尽,则任意一实数
可以下列级数
不二的表示之。其中
为整数,
等亦为整数满足下列诸关系:
若
为有理数,则自某定项后,一切
或全等于其最大之数,如
,
,
或全等于
,此为必须条件,否则
为无理数。
此定理之证明,见诸讨论实数诸专著中,吾人平常所习见者,有所谓
进位法。例如,
为
时,则所谓十进位法是也。例如圆周率
如上述定理中所表示之数,例如
兹假定
为同向增大,即
则
表示一常敛幂级数,其理甚明。故此实数
,乃
在
时表示之数值。如
本篇问题:乃求一常敛幂级数一切系数皆有理数,使
等于已知之数
时,而
等于已知之数
。其中
均可。
时即Cantor定理。故本问题解决后,Cantor定理亦可同样证明。
为简便起见,且无损于问题的一般性,可假定
,若
,则
无任
为何数均可。若
,则令
,先求得
之常数幂级数,为
,
则
之常敛幂级数为
,
。
又可假定
,若
时,则令
,先求得
关于
之幂级数为
再令
,
明矣。若
为常敛幂级数,则
亦为常敛幂级数,何则?因其系数之绝对值相同故也。
复可假定
,若
时,因
,必有一个正有理数
存在,
,则
。先求得
对应之常敛幂级数:
, 而
,
次令
,
,
,
为有理数, 故
亦为有理数。
故同为常敛幂级数。
最后可假定
其中
为有理数。若不然则令
,
而
。
由是本问题可令简单之如次:
设
为有理数,试求一常敛幂级数
,其各系数均为有理数,
。
若
,则必有一个有理数
,使
。兹令
,令
,则
。
因
,(若
时,同此讨此)由亚基末得公理,必有一个整数
,使
,故
。
试分
为
个等分。则
其中
为整数
。
若
,则本问题完成,令
,
,
。
若
则
,
。
如前理必有一整数
,
1,
。
2,
。
因之有一整数
满足
,其中
。
若
,则
,此乃不可能之事。
继续以求其次,设已求得
,且
。
令
,
其中
,
,
由是选定一整数
,
1.
。
2.
。
故必有一个整数
满足
,
故所有
皆可得之。由是得一群多项式〔
〕。
,
设有一
使
,
则所求之幂级数为
。
因
若不为此类,则〔
〕一样的向
收敛;换言之,对于既定之
,必有一个
存在,使
,只须
。
何则,因
由
之性质
只须
。
故所求之幂级数为
而
为〔
〕所定矣。
简言之
。
或
。
本问题既解决。由此定理可推论一代数问题:
设
之系数皆为有理数,若
为其一根,则
亦为一根,其理甚简。若为常敛幂级数则不然,换言之,
为其一根时
不一定为其一根也。何则,设
为正整数,由上定理,依适当的选择
可令
。
然
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