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实数表示法及其应用一题问

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实数表示法及其应用一题问
作者:曾炯
1930年2月5日
刊于《留德学志》第一期,民国十九年六月留德学志社出版。
实数表示法及其应用一题问
曾 烱

  实数论为解析学之基础,吾人于开方,求对数,与及微分积分之讨论严密者,已知其重要之所在。近六十年来,若Weierstrass, Cantor及Dedekind诸家之讲义,无不以此为其研究高等解析之出发点。今则凡研究函数论者,其开端即以此也。

  今冬季学期,受幂级数论于Landau氏,课中常有关于实数问题,令同学自索,兹篇乃课作之一,译为国语。

  昔Cantor 关于实数之表示有一定理:

为一组正整数,为任意整数,自某定项以后,均为能除尽,则任意一实数可以下列级数

   

不二的表示之。其中为整数,等亦为整数满足下列诸关系:

   

为有理数,则自某定项后,一切或全等于其最大之数,如,,

或全等于,此为必须条件,否则为无理数。

  此定理之证明,见诸讨论实数诸专著中,吾人平常所习见者,有所谓进位法。例如,

时,则所谓十进位法是也。例如圆周率

   

  如上述定理中所表示之数,例如

   

  兹假定为同向增大,即

则  

  表示一常敛幂级数,其理甚明。故此实数,乃时表示之数值。如

   

  本篇问题:乃求一常敛幂级数一切系数皆有理数,使等于已知之数时,而等于已知之数。其中均可。

  时即Cantor定理。故本问题解决后,Cantor定理亦可同样证明。

  为简便起见,且无损于问题的一般性,可假定,若,则无任为何数均可。若,则令,先求得之常数幂级数,为之常敛幂级数为,

  又可假定,若时,则令,先求得关于之幂级数为

      

再令 ,

明矣。若为常敛幂级数,则亦为常敛幂级数,何则?因其系数之绝对值相同故也。

  复可假定,若时,因,必有一个正有理数存在,,则。先求得对应之常敛幂级数:

   ,   而,

次令 ,

   ,

   ,

   为有理数,  故亦为有理数。

  故同为常敛幂级数。

  最后可假定其中为有理数。若不然则令,

  而 

由是本问题可令简单之如次:

  设为有理数,试求一常敛幂级数,其各系数均为有理数,

  若,则必有一个有理数,使。兹令,令,则

   

  因,(若时,同此讨此)由亚基末得公理,必有一个整数,使,故

   

  试分个等分。则

   其中为整数

若 ,则本问题完成,令

   ,

   

若  

   

  如前理必有一整数

   1,

   2,

因之有一整数满足

   ,其中

,则,此乃不可能之事。

继续以求其次,设已求得,且

令  ,

其中 

   

由是选定一整数,

   1.

   2.

故必有一个整数满足

   ,

故所有皆可得之。由是得一群多项式〔〕。

   ,

设有一使 ,

则所求之幂级数为

   

   

  若不为此类,则〔〕一样的向收敛;换言之,对于既定之,必有一个存在,使

   ,只须

何则,因

   

   

   

之性质

      只须

故所求之幂级数为

   

为〔〕所定矣。

简言之

   

或  

  本问题既解决。由此定理可推论一代数问题:

  设之系数皆为有理数,若为其一根,则亦为一根,其理甚简。若为常敛幂级数则不然,换言之,为其一根时 不一定为其一根也。何则,设为正整数,由上定理,依适当的选择可令

   

   

   

   

十九年二月五号于Göttingen.

1996年1月1日,这部作品在原著作国家或地区属于公有领域,之前在美国从未出版,其作者1940年逝世,在美国以及版权期限是作者终身加80年以下的国家以及地区,属于公有领域


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