御制历象考成后编 (四库全书本)/卷01
| 御制历象考成后编 卷一 |
钦定四库全书
御制历象考成后编卷一
日躔数理
日躔总论
岁实
黄赤距纬
清𫎇气差
地半径差
用撱圆面积为平行
求两心差及撱圆与平圆之比例
求撱圆大小径之中率
撱圆角度与面积相求
求均数
日躔总论
钦若授时以日躔为首务盖日出而为昼入而为夜与月会而为朔行天一周而为岁岁月日皆于是乎纪故尧典以宾饯永短定治历之大经万世莫能易也其推𡵯之法三代以上不可考汉晋诸家皆以日行一度三百六十五日四分日之一而一周天自北齐张子信始觉有入气之差而立损益之率隋刘焯立盈缩躔度与四序为升降厥法加详至元郭守敬乃分盈缩初末四限较前代为密西法自多禄亩以至第谷则立为本天高卑本轮均轮诸说用三角形推算其术尤精上编言之备矣近世西人刻白尔噶西尼等更相推考又以本天为撱圆均分其面积为平行度与旧法迥殊然以求盈缩之数则界乎本轮均轮所得数之间盖其法之巧合虽若与第谷不同而其理则犹是本天高卑之说也至若岁实之转増距纬与两心差之渐近地半径差𫎇气差之互为大小则亦由于积候损益旧数以成一家之言今用其法并释其义云
岁实
日行天一周为岁周岁之日分为岁实古法日行一度故周天为三百六十五度四分度之一岁实为三百六十五日四分日之一〈周日为一万分四分之一为二千五百分〉尧典曰期三百有六旬有六日杜预谓举全数而言则有六日其实五日四分日之一是也汉末刘洪始觉冬至后天以为岁实太强减岁馀分二千五百为二千四百六十二晋虞喜宋何承天祖冲之谓岁当有差乃损岁馀以益天周岁差之法由斯而立元郭守敬取刘宋大明戊寅以来相距之积日时刻求得岁实为三百六十五日二千四百二十五分比四分日之一减七十五分而天周即为三百六十五度二千五百七十五分矣西法周天三百六十度第谷定岁实为三百六十五日五时三刻三分四十五秒以周日一万分通之得三百六十五日二四二一八七五较之郭守敬又减万分之三有奇以除周天三百六十度得每日平行五十九分零八秒一十九微四十九纤五十一忽三十九芒〈即十分度之九分八五六四七三六五八〉岁差则谓恒星每年东行五十一秒不特天自为天岁自为岁而星又自为星其理甚明其用尤便上编仍之厥后西人奈端等屡测岁实又谓第谷所减太过酌定岁实为三百六十五日五时三刻三分五十七秒四十一微三十八纤二忽二十六芒五十六尘以周日一万分通之得三百六十五日二四二三三四四二○一四一五比第谷所定多万分之一有奇以除周天三百六十度得每日平行五十九分零八秒一十九微四十四纤四十三忽二十二芒零三尘〈即十分度之九分八五六四六九六九三五一二八二二五〉比第谷所定少五纤有奇每年少三十微有奇盖岁实之分数増则日行之分数减据今表推雍正元年癸卯天正冬至比第谷旧表迟二刻日躔平行根比旧表少一分一十四秒〈见推日躔用数〉而第谷去今一百四十馀年以数计之其差恰合是亦取前后两冬至相距之积日时刻而均分之非意为増损也至于岁实消长统天授时用之新法算书虽为之说而实未用其数兹不具论
黄赤距纬
黄赤距纬古今所测不同自汉以来皆谓黄道出入赤道南北二十四度元郭守敬所测为二十三度九十分三十秒以周天三百六十度每度六十分约之得三十三度三十三分三十二秒新法算书用西人第谷所测为二十三度三十一分三十秒康熙五十二年
皇祖圣祖仁皇帝命和硕荘亲王等率同儒臣于畅春园𫎇养斋开局测太阳高度得黄赤大距为二十三度二十九分三十秒今监臣戴进贤等历考西史第谷所测盖在明隆万时而汉时多禄亩所测为二十三度五十一分三十秒较第谷为多我朝顺治年间刻白尔改为二十三度三十分后利酌理噶西尼又改为二十三度二十九分俱较第谷为少其前后多少之故或谓诸家所用𫎇气差地半径差之数各有不同故所定距纬亦异然合中西考之第谷以前未知有𫎇气差而多禄亩与古为近至郭守敬则与第谷相若而去多禄亩则有十
数分之多康熙年间所用𫎇气差地半径差俱仍第谷之旧与刻白尔噶西尼等所用之数不同而所测大距又相去不远由此观之则黄赤距度古今实有不同而非由于所用差数之异所当随时考测以合天也近日西法并宗噶西尼故黄赤大距为二十三度二十九分至于测量之术推算之理上编阐奥发微千古不易故不复载
清𫎇气差
清𫎇气差西人第谷始发其义谓地中游气上腾能升卑为高映小为大而𫎇气之厚薄升像之高下又随地不同其所作𫎇气差表谓其国北极出地五十五度测得地平上最大𫎇气差三十四分自地平以上其差渐少至距地高四十五度犹差五秒更高则无𫎇气矣厥后西人又言北极高四十八度太阳高四十五度时𫎇气差尚有一分馀自地平至天顶皆有𫎇气差上编具载其说而表则仍新法算书第谷之旧也今监臣戴进贤等历考西史第谷所定地平上𫎇气差其门人刻白尔即谓失之稍大而犹未定有确数至噶西尼始从而改正焉其说谓𫎇气绕乎地球之周日月星照乎𫎇气之外人在地面为𫎇气所映必能视之使高而日月星之光线入乎𫎇气之中必反折之使下故光线与视线在𫎇气之内则合而为一𫎇气之外则岐而为二此二线所交之角即为𫎇气差角第谷己悟其理然犹未有算术噶西尼反复精求谓视线与光线所岐虽有不同而相合则有定处自地心过所合处作线抵圜周则此线即为𫎇气之割线视线与割线成一角光线与割线亦成一角二角相减即得𫎇气差角爰在北极出地高四十四度处屡加精测得地平上最大差为三十二分一十九秒𫎇气之厚为地半径千万分之六千零九十五视线角与光线角正
之比例常如一千万与一千万零二千八百四十一用是以推逐度之𫎇气差至八十九度尚有一秒验诸实测较第谷为密近日西法并宗之具详图法于左
如图甲为地心乙为地面
乙甲为地半径一千万丙
乙为𫎇气之厚六千零九
十五丁为太阳〈月星仿此〉照于
𫎇气之戊人自地面乙视
之则见日于戊者当本天
之巳巳戊乙为视线丁戊
乙为光线是视线常高光
线常卑视线常直光线常
折在戊
𫎇气之内则光
线与视线合同为戊乙出
乎戊之外则视线己戊
光线丁戊岐而为二故己
戊丁角为𫎇气差角试自
地心甲出线过戊至庚
则庚甲即为地平上𫎇气
之割线己戊庚角为视线
与割线所成之角丁戊庚
角为光线与割线所成之
角而己戊丁𫎇气差角即
为两角之较今既测得地
平上𫎇气差为三十二分
一十九秒又测定𫎇气之
厚为六千零九十五则己
戊庚视线角与丁戊庚光
线角可以得其比例其术
用甲乙戊直角三角形以
甲戊一○○○六○九五
与甲乙一千万之比同于
乙直角正一千万与戊
角正九九九三九○八
〈小馀七一〉之比而得戊角为八
十八度〈小馀百分秒之四二〉即己戊
庚角又以己戊丁𫎇气差
角三十二分一十九秒与
之相加得八十八度三十
二分一十九秒〈小馀四二〉即丁
戊庚角其正为九九九
六七四八〈小馀二五〉夫视线角
之正己辛为九九九三
九○八〈小馀七一〉则光线角之
正丁壬为九九九六七
四八〈小馀二五〉若设己辛为一
千万则丁壬必为一○○
○二八四一此两角正
之比例也既得两之比
例而𫎇气差之戊角与视
线交𫎇气割线之戊角同
以在地平为最大渐近天
顶则渐小则是二者常相
因而逐度之𫎇气差皆可
以两比例而推如求地
平上高二十度癸己弧之
𫎇气差则癸戊乙为视线
子戊乙为光线丑戊甲为
地平上二十度𫎇气之割
线戊乙丙角为七十度癸
戊丑角为视线与割线所
成之角其正为癸寅子
戊丑角为光线与割线所
成之角其正为子卯先
用甲戊乙三角形求得戊
角六十九度五十四分一
十五秒〈小馀五五〉即癸戊丑角
又以一千万与一○○○
二八四一之比同于癸寅
与子卯之比而得子戊丑
角为六十九度五十六分
五十五秒〈小馀九二〉两角相减
馀癸戊子角二分四十秒
〈小馀三七〉即地平上二十度之
𫎇气差也馀仿此
地半径差
地半径差者视高与实高之差也太阳距地平近则差角大渐高则渐小又太阳在最卑距地心近则差角大在最高距地心远则差角小在中距为适中新法算书用歌白尼所定地半径与中距日天半径之比例为一与一千一百四十二地平上最大差为三分上编仍之其测量推算之法言之详矣自后噶西尼等谓日天半径甚远无地半径差而测量所系只在秒微又有𫎇气杂乎其内最为难定因思日月星之在天惟恒星无地半径差若以日与恒星相较可得其准而日星不能两见是测日不如测五星也土木二星在日上去地尤远地半径差愈微金水二星虽有时在日下而其行绕日逼近日光均为难测惟火星绕日而亦绕地能与太阳冲故夜半时火星正当子午线于南北两处测之同与一恒星相较其距恒星若相等则是无地半径差若相距不等即为有地半径差其不等之数即两处地半径差之较且火星冲太阳时其距地较太阳为近则太阳地半径差必更小于火星地半径差也噶西尼用此法推得火星在地平上最大地半径差为二十五秒比例得太阳在中距时地平上最大地半径差为一十秒验之交食果为吻合近日西法并宗其说今用所定地半径差求地半径与日天半径之比例中距为一与二万零六百二十六最高为一与二万零九百七十五最卑为一与二万零二百七十七以求地平上最大之地半径差最高为九秒五十微最卑为一十秒一十微测算之法并述于左
康熙十一年壬子秋分前
十四日火星与太阳冲西
人噶西尼于富郎济亚国
测得火星距天顶五十九
度四十分一十五秒利实
尔于噶耶那岛测得火星
距天顶一十五度四十七
分五秒同时用有千里镜
能测秒微之仪器与子午
线上最近一恒星测其相
距噶西尼所测火星较低
一十五秒〈如噶西尼测得火星距恒星下
四十分一十五秒利实尔测得火星距恒星下四十
分又逐日细测恒星距天顶噶西尼测得为五十九
度利实尔测得为一十五度七分五秒各与所测火
星距恒星之数相加即各得火星距天顶之度〉以
之立法甲为地心乙为富
郎济亚国地面丙为天顶
丁为噶耶那岛地面戊为
天顶己为火星丙戊己庚
为子午线〈如两地面不同在一子午线则
须按东西里差求其同一子午线之高度见上编日
躔历理〉己乙丙角为乙处火
星视距天顶五十九度四
十分一十五秒己丁戊角
为丁处火星视距天顶一
十五度四十七分五秒〈地面
为视距地心为实距〉辛为恒星辛甲
丙角为乙处恒星距天顶
之度辛甲戊角为丁处恒
星距天顶之度因恒星距
地甚远地面所视与地心
无异故无地半径差假若
火星亦无地半径差则乙
处火星实距天顶当为己
甲丙角丁处火星实距天
顶当为己甲戊角而火星
与恒星之相距即同为己
甲辛角无高低之异乃乙
处所测火星距天顶为己
乙丙角较之实距天顶之
己甲丙角低一乙己甲角
是即乙处之地半径差也
丁处所测火星距天顶为
己丁戊角较之实距天顶
之己甲戊角低一丁己甲
角是即丁处之地半径差
也夫火星之距恒星一也
因乙处所测火星距天顶
远故乙己甲差角大丁处
所测火星距天顶近故丁
己甲差角小则乙处所测
火星距恒星较丁处
一
十五秒即两差角相减所
馀之丁己乙角乃两处地
半径差之较也既得地半
径差较丁己乙角而欲求
地平上最大差甲壬乙角
则以两处所测火星距天
顶之正相减与地半径
差较秒数之比即同于半
径一千万与地平上最大
差秒数之比盖将己乙线
引长至癸自甲作甲癸垂
线成甲癸乙直角形癸为
直角乙角与己乙丙为对
角即乙处火星距天顶之
度甲癸为地半径差乙己
甲角之正〈甲己为半径故〉甲乙
为地半径即最大差甲壬
乙角之正〈甲壬为半径故〉其法
为乙角正与甲癸之比
同于癸直角正一千万
与甲乙之比检表而得壬
角也又将己丁线引长至
子自甲作甲子垂线成甲
子丁直角形子为直角丁
角与己丁戊为对角即丁
处火星距天顶之度甲子
为地半径差丁己甲角之
正甲丁与甲乙等亦为
最大差甲壬乙角之正
其法为丁角正与甲子
之比同于子直角正一
千万与甲丁之比亦检表
而得壬角也夫两视距天
顶之正与两地半径差
正之比既皆同于一千
万与最大差正之比则
两视距天顶正相减之
较与两地半径差正相
减之较之比亦必同于一
千万与最大差正之比
又地半径差角甚小其两
正之较与两角度之较
可以相为比例则两视距
天顶正相减之较与两
地半径差相减所馀秒数
之比亦必同于一千万与
最大差秒数之比矣故以
己乙丙角五十九度四十
分一十五秒之正八六
三一三八六与己丁戊角
一十五度四十七分五秒
之正二七二○二三六
相减馀五九一一一五○
为一率乙己丁角一十五
秒为二率一千万为三率
求得四率二十五秒〈小馀三七〉即甲壬乙角为火星在地
平上最大之地半径差也
既得火星地半径差甲壬
乙角而欲求太阳地半径
差甲丑乙角据歌白尼第
谷测得火星距地甲壬与
太阳距地甲丑之比如一
百与二百六十六其法当
先用甲乙壬形以乙角正
为一率甲壬为二率壬
角正为三率甲乙为四
率此第一比例也次用甲
乙丑形以甲丑为一率乙
角正为二率甲乙为三
率丑角正为四率此第
二比例也然第二比例之
二率三率即第一比例之
一率四率而一率四率相
乘原与二率三率相乘之
数等故即以甲丑二六六
为一率甲壬一○○为二
率壬角二十五秒〈小馀三七〉为
三率求得四率九秒〈小馀五三〉进为一十秒为丑角度〈因壬
丑二角甚小正与角度可以相为比例故壬角用
秒丑角亦得秒〉即太阳在地平上
最大之地半径差也
又按上编日躔求地半径
差法以两处恒星距天顶
相减馀四十三度五十二
分五十五秒为戊丙弧即
戊甲丙角先用乙甲丁三
角形甲乙甲丁二边俱命
为一千万以甲角折半之
正倍之得七四七三○
二三为乙丁边又以甲角
与半周相减馀数半之得
六十八度三分三十二秒
三十微为乙角亦即丁角
次用乙己丁三角形此形
有乙丁边有己乙丁角五
十二度一十六分一十二
秒三十微〈半周内减去甲乙丁角又减去
己乙丙角馀即己乙丁角〉有己丁乙角
一百二十七度四十三分
三十二秒三十微〈半周内减去甲
丁乙角加己丁戊角即己丁乙角〉有乙己
丁角一十五秒〈乙丁二角相并与半
周相减馀即己角与前地半径差较合〉求得
己丁边八一二七五一二
五一五四〈小馀二九〉次用己丁
甲三角形此形有甲丁边
有丁己边有丁外角一十
五度四十七分五秒〈即丁处火
星距天顶〉将己丁线引长至子
成甲子丁直角形丁角正
二七二○二三六〈小馀五〉即甲子边丁角馀九六
二二九○六即丁子边以
丁子与己丁相加得己子
八一二八四七四八○六
○〈小馀二九〉为股甲子为勾求
得八一二八四七四八
一一二为甲己边与甲壬
等即火星距地心数以地
半径较之其比例为一与
八千一百二十八又以甲
壬为一率甲乙为二率一
千万为三率求得四率一
二三○〈小馀二四〉为壬角之正
检表得二十五秒〈小馀三七〉为火星在地平上最大差
与前法所得数同〈上编求日纒地
半径差亦可用前法算但两处所测太阳一在天顶
南一在天顶北其差角为地半径差总当以两距天
顶之正相加与地半径差总秒数之比同于一千
万与地平上最大差秒数之比耳〉
用撱圆面积为平行
太阳之行有盈缩由于本天有高卑春分至秋分行最高半周故行缩而历日多秋分至春分行最卑半周故行盈而历日少其说一为不同心天一为本轮而不同心天之两心差即本轮之半径故二者名虽异而理则同也第谷用本轮以推盈缩差惟中距与实测合最高前后则失之小最卑前后则失之大又最高之高于本天半径最卑之卑于本天半径者非两心差之全数而止及其半故又用均轮以消息乎其间而后高卑之数盈缩之行与当时实测相合上编言之详矣然天行不能无差元郭守敬定盈缩之最大差为二度四○一四以周天三百六十度每度六十分约之得二度二十二分新法算书第谷所定之最大差为二度零三分一十一秒刻白尔以来屡加精测盈缩之最大差止有一度五十六分一十二秒又以推逐度之盈缩差最高前后本轮固失之小矣均轮又失之大最卑前后本轮固失之大矣均轮又失之小乃设本天为撱圆均分撱圆面积为逐日平行之度则高卑之理既与旧说无异而高卑前后盈缩之行乃俱与今测相符具详图说如左
如图甲为地心乙丙丁戊
为黄道己为不同心天之
心庚辛壬癸为不同心天
乙庚为本轮半径与甲己
两心差等以本轮之法论
之最卑时本轮心在乙太
阳在庚中距时本轮心在
丙太阳在辛乙丙为平行
九十度辛甲丙角为平行
实行之最大差以不同心
天之法论之太阳自最卑
庚行至辛亦九十度己辛
甲角为平行实行之最大
差与辛甲丙角等故本轮
之法与不同心天之法相
同以均轮之法论之最卑
时本轮心在乙均轮心在
子太阳在丑中距时本轮
心在丙均轮心在卯太阳
在辛最高时本轮心在丁
均轮心在辰太阳在巳辛
甲丙角最大差仍当甲己
之全而丑乙之卑于本天
半径巳丁之高于本天半
径者止及甲己之半与甲
寅等故以推盈缩差惟中
距与本轮同最高半周比
之本轮则大〈距地近故角大〉最卑
半周比之本轮则小〈距地远故
角小〉此其所以消息乎本轮
之行度者当时必有所据
而自刻白尔以来则谓高
卑之数均轮所定诚是但
其数渐减耳至以推盈缩
差则均轮之所消息者又
属太过惟以寅为不同心
天之心作撱圆形自地心
甲瓜分之计太阳在撱圆
周右旋其所行之分撱圆
面积日日皆相等而用以
推黄道实行之盈缩则在
本轮均轮所得数之间而
与实测吻合试以寅为心
与己丑作十字线又取寅
丑之度从甲截横线于午
使午甲午己皆与寅丑半
径等乃以甲己两各为
心午为界各用一针钉之
围以丝线末以铅笔代午
针引而旋转即成丑午己
未撱圆形寅丑寅己为撱
圆大半径寅午寅未为撱
圆小半径则撱圆不以甲
己为心而以寅为心丑乙
之卑于黄道巳丁之高于
黄道者止及甲己之半与
寅甲等是高卑之理与均
轮合矣又将撱圆面积以
甲为心均分为三百六十
分每分之积皆为一度每
一度积为六十分太阳每
日右旋当每一度积之五
十九分有奇是为平行在
最卑半周甲心至撱圆界
之线短则角度必宽是为
行盈在最高半周甲心至
撱圆界之线长则角度必
狭是为行缩故太阳循撱
圆周行惟所当之面积相
等而角不等其角度与积
度之较即平行实行之差
中距平行至申甲申丑积
为撱圆四分之一为平行
九十度与寅午丑积等〈申午
酉积微大于酉寅甲积然所差无多故为相等〉亦
与申己甲角等而自地心
甲计之己当黄道之戌戌
甲丑角为实行己申甲角
为平行实行之差是中距
之盈缩差与本轮均轮皆
合矣用是以推逐度之盈
缩差在最高半周比之本
轮固大比之均轮又微小
最卑半周比之本轮固小
比之均轮又微大验诸实
测庶为近之推算之法具
详后篇
求两心差及撱圆与平圆之比例
新法算书日躔中距之盈缩差为二度零三分零九秒四十微检其正切得两心差为三五八四一六上编仍之今测中距之盈缩差得一度五十六分一十二秒折半得五十八分零六秒检其正得一六九○○○为两心差倍之得三三八○○○比旧数少千分之二有奇乃以两心差一六九○○○为勾平圆半径一千万为求得股九九九八五七一〈小馀八四八○一九一〉即撱圆之小半径而凡撱圆之正角度面积与平圆之比例皆同于撱圆之小半径与平圆半径之比例焉
如图甲为地心乙为本天
心甲乙为两心差甲丙为
倍差丁戊己庚撱圆为本
天乙丁为大半径一午万
乙戊为小半径丙戊甲戊
皆与乙丁等太阳行至戊
甲戊丁分撱圆面积八十
九度一分五十四秒为平
行其小于九十度之五十
八分六秒即甲乙戊勾股
积〈乙戊丁积为撱圆四分之一必九十度故甲戊
丁积小于九十度之积即甲乙戊勾股积〉亦即
乙戊甲角〈甲乙戊勾股积甲戊边即大径
乙戊边即小径其积介乎大小径之间与分平圆面
相似故积度即角度若近甲丁则边短而角大近甲
己则边长而角小详后篇〉戊甲丁角九
十度五十八分零六秒为
实行其大于九十度者亦
五十八分六秒即戊甲辛
角与乙戊甲角等亦与丙
戊乙角等平行实行之差
一度五十六分一十二秒
即甲戊丙角折半得五十
八分零六秒即乙戊甲角
甲戊既为一千万则甲乙
即乙戊甲角之正故检
表得一六九○○○即甲
乙两心差以甲乙为勾甲
戊为求得乙戊股九九
九八五七一〈小馀八四八○一九一〉即撱圆小半径也既得撱
圆小径则凡撱圆之面线
及角度皆可以得其比例
以正之比例言之试以
乙为心乙丁为半径作丁
壬己癸平圆则撱圆乙丁
大半径与平圆乙壬半径
相等戊乙小半径之小于
平圆半径者即壬戊撱圆
差若逐度割之则撱圆之
馀必与平圆之馀相
等而撱圆之正必小于
平圆之正然平圆正
与撱圆正之比例必同
于平圆半径与撱圆小半
径之比例也如丁为初
度无正丁乙为初度之
馀平圆与撱圆等丁壬
弧为九十度无馀壬乙
为平圆九十度之正即
大半径戊乙为撱圆九十
度之正即小半径壬戊
即九十度之撱圆差丁子
弧为三十度丑乙为三十
度之馀平圆与撱圆等
子丑为平圆三十度之正
寅丑为撱圆三十度之
正子寅为三十度之撱
圆差丁卯弧为六十度辰
乙为六十度之馀平圆
与撱圆等卯辰为平圆六
十度之正巳辰为撱圆
六十度之正卯巳为六
十度之撱圆差则子丑与
寅丑之比卯辰与巳辰之
比皆同于壬乙与戊乙之
比而子丑与子寅之比卯
辰与卯巳之比皆同于壬
乙与壬戊之比也奚以明
其然也盖撱圆之与平圆
处处皆有一小半径藏乎
其内试取壬戊之分于乙
心作圜则午乙未乙申乙
酉乙皆与壬戊等壬午卯
未子申丁酉皆与戊乙等
是推而抵于平圆之界各
有一小半径在也又自甲
丙二出线合于戊则小
径之端在戊而末在乙自
甲丙二出线合于丁则
小径之端在丁而末在酉
若自甲丙出二线合于寅
则小径必端在寅而末在
戌合于巳则小径必端在
巳而末在亥是引而归于
平圆之径又各有一小半
径在也夫寅戌巳亥既皆
为小径而申戌未亥又与
子丑卯辰为平行则寅戌
与子申巳亥与卯未亦必
为平行而申戌与子寅未
亥与卯巳必各相等故乙
子丑与戌寅丑及乙申戌
为同式形乙卯辰与亥巳
辰及乙未亥亦为同式形
而子丑与寅丑之比同于
子乙〈即壬乙〉与寅戌〈即戊乙〉之
比卯辰与巳辰之比同于
卯乙〈即壬乙〉与巳亥〈即戊乙〉之
比又子丑与申戌〈即子寅〉之
比同于子乙〈即壬乙〉与申乙
〈即壬戊〉之比卯辰与未亥〈即卯
巳之比同于卯乙〉〈即壬乙〉与
未乙〈即壬戊〉之比是平圆与
撱圆正之比例同于大
径与小径之比例也以角
度之比例言之设卯乙辰
角为平圆六十度〈即丁卯弧〉求
撱圆之巳乙辰角试以乙
辰为半径作弧则卯辰为
卯乙辰角之正切巳辰为
巳乙辰角之正切夫卯辰
与巳辰之比既同于壬乙
与戊乙之比则卯乙辰角
之正切与巳乙辰角正切
之比亦必同于壬乙与戊
乙之比故以壬乙一千万
为一率戊乙九九九八五
七一〈小馀八五〉为二率卯乙辰
角六十度之正切一七三
二○五○八为三率求得
四率一七三一八○三四
为巳乙辰角之正切检表
得五十九度五十九分四
十七秒即巳乙辰角而卯
乙巳角一十三秒为撱圆
差角〈卯乙辰角内减巳乙辰角馀即卯乙巳角〉又设巳甲辰角六十度五
十分三十二秒求卯甲辰
角试以甲辰为半径作弧
则巳辰为巳甲辰角之正
切卯辰为卯甲辰角之正
切夫卯辰与巳辰之比既
同于壬乙与戊乙之比则
巳辰与卯辰之比必同于
戊乙与壬乙之比而巳甲
辰角之正切与卯甲辰角
正切之比亦必同于戊乙
与壬乙之比故以戊乙九
九九八五七一〈小馀八五〉为一
率壬乙一千万为二率巳
甲辰角之正切一七九二
三八九七为三率求得四
率一七九二六四五七为
卯甲辰角之正切检表得
六十度五十分四十五秒
即卯甲辰角而卯甲巳角
一十三秒为撱圆差角是
平圆与撱圆角度之比例
亦同于大径与小径之比
例也再以面积之比例言
之凡平圆面积与撱圆面
积之比例同于平圆外切
正方面积与撱圆外切长
方面积之比例亦即同于
撱圆大径与小径之比例
〈撱圆大径即平圆径见几何原本八卷第十二节〉如求撱圆六十度之面积
则先设丁卯弧六十度求
乙卯丁六十度之平圆面
积以比之法以半周率三
一四一五九二六五〈定率圆径
一千万则圆周为三一四一五九二六五今一千万
为半径故周率为半周〉用三分之得
一○四七一九七五五为
卯丁弧线〈因卯丁弧六十度为半周三分
之一故三分半周率而得卯丁弧线若有奇零则须
用比例法〉与乙卯半径一千万
相乘折半得五二三五九
八七七五○○○○○即
乙卯丁分平圆六十度之
面积而为丁壬己癸平圆
全积六分之一又以壬乙
大半径一千万为一率戊
乙小半径九九九八五七
一〈小馀八五〉为二率乙卯丁积
为三率求得四率五二三
五二三九九七二四○九
五即乙己丁分撱圆六十
度之面积而为丁戊己庚
撱圆全积六分之一也〈此所
得六十度积较之全积六分之一尾数稍大因小径
之小馀为八四八进为八五之故然于圆度只差纎
忽可不计也〉盖将平圆撱圆二
面积依壬癸横径缕析之
则皆成线矣其线与线之
比既同于大径与小径之
比则面与面之比亦同于
大径与小径之比故分之
丁卯辰弧矢积与丁巳辰
弧矢积之比卯辰乙勾股
积与巳辰乙勾股积之比
皆同于大径与小径之比
而合之乙卯丁分平圆面
积与乙巳丁分撱圆面积
之比亦必同于大径与小
径之比也既得撱圆与平
圆之各比例则面线角度
皆可得而求至于撱圆正
以平圆命度而角度不
同分撱圆面积与全积相
当而角不相应则撱圆差
之所生而与平圆之所以
别也
求撱圆大小径之中率
凡平圆面积自中心分之其所分面积之度即其心角之度以圜界为心角之规而半径俱相等也若撱圆有大小径角与积巳不相应矣〈见前篇〉况实行之角平行之积皆不以本天心为心而以地心为心太阳距地心线自最卑以渐而长逐度俱不等又何以知积之为度而与角相较乎然以大小径之中率作平圆其面积与撱圆等将平圆面积逐度递析之则度分秒皆可按积而稽撱圆之全积既与平圆全积等则其递析之面积亦必相等故分撱圆面积虽非度亦可以度命之而度分秒亦可按积而稽也
如图甲为地心乙为本天
心乙甲为两心差丙甲为
倍差丁戊己庚撱圆为本
天乙丁为大半径一千万
乙戊为小半径九九九八
五七一〈小馀八四八○一九一〉试以
乙丁大半径作丁辛己壬
平圆则平圆与撱圆二面
积之比例同于平圆外切
癸子丑寅正方积与撱圆
外切卯辰巳午长方积之
比例又试以乙丁大半径
为首率乙戊小半径为末
率求得乙申中率九九九
九二八五〈小馀八九〉作平圆则
大半径所作丁辛己壬平
圆与中率所作申酉戌亥
平圆二面积之比例亦同
于大径平圆外切癸子丑
寅正方积与中率平圆外
切干坎艮震正方积之比
例此二比例既同而干坎
艮震正方积原与卯辰巳
午长方积等〈首率末率相乘与中率自
乘等〉则申酉戌亥平圆积亦
必与丁戊己庚撱圆积相
等矣乃以己丁大径二千
万与戊庚小径一九九九
七一四三〈小馀六九六○三八二〉相
乘得卯辰巳午长方积与
干坎艮震正方积等以方
与圆之比例定率七八五
三九八一六二五通之得
三一四一一四三九八二
八二三三七为申酉戌亥
平圆面积与丁戊己庚撱
圆面积等将申酉戌亥平
圆面积以三百六十度除
之得八七二五三九九九
五二二九为一度之面积
其形为分平圆面其两腰
皆为中率半径与乙申等
其弧其角皆为一度若将
丁戊己庚撱圆面积自甲
心亦平分为三百六十分
则其形为分撱圆面其两
腰自甲丁极短以渐而长
逐度俱不等其弧其角亦
不等然其每分之面积则
皆与一度之面积等故凡
分一段撱圆面积以一度
之面积为法而一则面积
即可以度分命之然后以
面积之度与角度相较而
平行实行之差出焉如以
甲为心以中率为半径作
平圆则甲巽丁分撱圆面
积为太阳距最卑后之平
行度与甲离申分平圆面
积等亦即与离甲申角等
巽甲离角为平行实行之
差其实行在平行前甲坤
己分撱圆面积为太阳距
最高后之平行度与甲兑
戌分平圆面积等亦即与
兑甲戌角等兑甲坤角为
平行实行之差其实行在
平行后也
撱圆角度与面积相求
前篇言以面积之度与角度相较而平行实行之差以出盖太阳距最卑后平行之度必与太阳距地心线所分之撱圆面积等故可以平行度为面积而求实行也然实行固角度也以实测言之则先得实行后求平行以角而求积也易以推步言之则先设平行后求实行以积而求角也难故先设以角求积之法可以知数理之实次设以积求角之法可以知比例之术次设借积求积借角求角之法可以知巧合补凑之方反复参稽而数之离合乃纤悉毕呈焉图说详著于左
先设以角求积法如图甲
为地心乙为本天心甲乙
为两心差丙甲为倍差丁
戊己庚为本天丁为最卑
己为最高设太阳在辛辛
甲丁角为实行距最卑后
六十度求甲辛丁分撱圆
面积平行若干度分先将
甲辛线引长至壬作丙壬
垂线成甲丙壬辛丙壬两
勾股形乃以半径一千万
为一率甲角六十度之正
八六六○二五四为二
率〈丙甲壬角与辛甲丁角为对角其度相等〉丙
甲倍两心差三三八○○
○为三率求得四率二九
二七一六〈小馀五九〉为丙壬边
又以半径一千万为一率
甲角六十度之馀五○
○○○○○为二率丙甲
边为三率求得四率一六
九○○○为甲壬边次以
丙壬为勾自乘以甲壬与
甲辛丙辛两边和二千万
相加得二○一六九○○
○为股和除之得四二
四八〈小馀二五〉为股较与股
和相加折半得一○○
八六六二四〈小馀一三〉为丙辛
边与二千万相减馀九九
一三三七五〈小馀八七〉为甲辛
边即太阳距地心线次以
半径一千万为一率甲角
六十度之正八六六○
二五四为二率甲辛边为
三率求得四率八五八五
二三五〈小馀三○〉即辛癸边次
以撱圆小径九九九八五
七一〈小馀八五〉为一率大径一
千万为二率辛癸边为三
率求得四率八五八六四
六一〈小馀五八〉即子癸边检正
得五十九度九分五十
三秒〈小馀六九〉即乙角度亦即
子丁弧度次以半周天一
百八十度化作六十四万
八千秒为一率半圆周定
率三一四一五九二六〈小馀
五为二率乙角度分化作〉
二十一万二千九百九十
三秒〈小馀六九〉为三率求得四
率一○三二六二二五〈小馀
四七八四○○九〉为子丁弧线与
乙丁半径一千万相乘折
半得五一六三一一二七
三九二○○五为乙子丁
分平圆面积次以撱圆大
径一千万为一率小径九
九九八五七一〈小馀八五〉为二
率乙子丁积为三率求得
四率五一六二三七五三
六九二五四六为乙辛丁
分撱圆面积次以乙甲一
六九○○○与辛癸八五
八五二三五〈小馀三○〉相乘折
半得七二五四五二八八
二八五○为辛乙甲三角
积〈辛乙甲三角积以乙甲为底辛癸为高故与同
底同高折半之积等〉与乙辛丁积相
减馀五○八九八三○○
八○九六九六即甲辛丁
分撱圆面积以一度之面
积定率八七二五三九九
九五二二九除之得五十
八度三三三四〈小馀八七〉收作
五十八度二十分○秒三
十三微即实行距最卑后
六十度时之平行度也
又法求甲辛太阳距地心
线将甲辛线引长至壬使辛
壬与丙辛等又自丙至壬作
丙壬线成甲丙壬三角形此
形知丙甲倍两心差三三八
○○○知甲壬二千万知甲
外角六〈甲辛丙辛共二千万辛壬既与丙辛
等故甲壬亦二千万〉十度用切线分
外角法求得壬角四十九分
五十三秒又求得丙壬边二
〈小馀三六〉○一七一○八○次
将丙壬边折半〈小馀二九〉于癸
作辛癸垂线成壬癸辛直角
形以半径一千万为一率壬
角正割线一○○○一○五
三为二率癸壬边一○○八
五〈小馀三五〉五四○为三率求
得四率一○○甲辛〈小馀一四五〉丙辛共二千万辛壬既与丙
八六六○二〈小馀六一〉为辛壬
边与甲壬二千万相减馀
九九一三三九七〈小馀三九〉即
甲辛太阳距地心线也此
法所得甲辛线较前法多
二十二盖因壬角甚小比
例易差耳然其角度自不
爽故后借角求角之法则
用之且以甲为心以二千
万为半径作圜〈如甲壬〉又取
两心差之倍度截直径于
丙自丙出线至圜周〈如丙壬〉折半作垂线〈如癸辛〉所抵圜
径之即撱圆界〈如辛〉依
法逐度作连之即成撱
圆周以此发明撱圆之理
最为精巧故附于此
又设太阳在壬壬甲己角
为实行距最高后六十度
求甲壬己分撱圆面积平
行若干度分则以半径一
千万为一率甲角六十度
之正八六六○二五四
为二率丙甲三三八○○
○为三率求得四率二九
二七一六〈小馀五九〉为丙癸垂
线又以半径一千万为一
率甲角六十度之馀五
○○○○○○为二率丙
甲边为三率求得四率一
六九○○○为甲癸分边
次以丙癸为勾自乘以甲
癸与甲壬丙壬两边和二
千万相减馀一九八三一
○○○为股和除之得
四三二○〈小馀六六〉为股较
与股和相加折半得九
九一七六六○〈小馀三三〉为丙
壬边与二千万相减馀一
○○八二三三九〈小馀六七〉为
甲壬边即太阳距地心线
次以半径一千万为一率
甲角六十度之正八六
六○二五四为二率甲壬
边为三率求得四率八七
三一五六二〈小馀二五〉即壬子
边次以撱圆小径九九九
八五七一〈小馀八五〉为一率大
径一千万为二率壬子边
为三率求得四率八七三
二八○九〈小馀四二〉即丑子边
检正得六十度五十分
三十一秒〈小馀八三〉即乙角度
亦即己丑弧度次以半周
天一百八十度化作六十
四万八千秒为一率半周
率三一四一五九二六〈小馀
五为二率乙角度分化作〉
二十一万九千零三十一
秒〈小馀八三〉为三率求得四率
一○六一八九六二〈小馀七六
六一一一九〉为已丑弧线与已
乙半径一千万相乘折半
得五三○九四八一三八
三○五五九为乙丑已分
平圆面积次以撱圆大径
一千万为一率小径九九
九八五七一〈小馀八五〉为二率
乙丑己积为三率求得四
率五三○八七二三一○
九四七二二为乙壬已分
撱圆面积次以甲乙一六
九○○○与壬子八七三
一五六二〈小馀二五〉相乘折半
得七三七八一七○一○
一二五为壬乙甲三角积
与乙壬己积相加得五三
八二五○四八一○四八
四七即甲壬己分撱圆面
积以一度之面积定率八
七二五三九九九五二二
九除之得六十一度六八
七七〈小馀七二〉收作六十一度
四十一分一十五秒五十
八微即实行距最高后六
十度时之平行度也若设
平行求实行亦可以所得
之平行转相比例然必累
求累较方得恰合〈一率两设平行
较二率两设实行较三率今设平行较四率今求实
行较法属繁难故兹不载〉
次设以积求角之法如太
阳在辛甲辛丁分撱圆面
积为平行距最卑后一度
求甲角实行若干度分法
以甲丁最卑距地心九八
三一○○○〈乙丁一千万减甲乙两心
差一六九○○○馀甲丁〉自乘得九六
六四八五六一○○○○
○○为一率中率半径九
九九九二八六自乘得九
九九八五七一八四八○
一九一〈即大径与小径相乘之数〉为二
率甲辛丁一度之面积八
七二五三九九九五二二
九为三率求得四率九○
二六六七七四二○○三
以一度之面积八七二五
三九九九五二二九除之
得一度二分四秒〈小馀三○〉为
甲角度即平行距最卑后
一度时之实行度也盖以
甲为心以中率为半径作
弧将甲丁线引长至壬甲
辛线引长至癸则甲壬甲
癸皆为中率甲壬癸分平
圆面积与一度之面积为
比例即得甲角而甲辛丁
分撱圆面与甲壬癸分平
圆面为同式形〈甲辛长于甲丁然为
数无多故为同式形〉以甲丁自乘正
方积与甲壬自乘正方积
之比即同于甲辛丁积与
甲壬癸积之比〈凡同式形两面积之
比同于相当界所作正方形之比见几何原本八卷
第九节〉故先比例得甲壬癸
积以一度之面积除之而
得甲角也〈捷法以甲丁自乘方积除甲壬
自乘方积即得甲角盖以一度面积为三率与二率
相乘又以一度面积除今省一乘则并省一除也〉又如太阳在子甲子丁分
撱圆面积为平行距最卑
后二度求子甲丁角实行
若干度分则先求平行距
最卑后一度时日距地心
之甲辛线将甲辛线引长
至丑自丙作丙丑垂线成
甲丑丙辛丑丙两勾股形
以半径一千万为一率甲
角一度二分四秒〈小馀三○〉之
正一八○五四九〈小馀五五〉为二率甲丙边三三八○
○○为三率求得四率六
一○二〈小馀五七〉为丙丑边又
以半径一千万为一率甲
角一度二分四秒〈小馀三○〉之
馀九九九八三七○〈小馀
一三〉为二率甲丙边为三率
求得四率三三七九四四
〈小馀九一〉为甲丑边乃以丙丑
为勾自乘以甲丑与丙辛
甲辛两边和二千万相加
得二○三三七九四四〈小馀
九一为股〉和除之得一〈小馀
八三为股〉较与股和相
加折半得一○一六八九
七三〈小馀三七〉为辛丙与丙
辛甲辛两边和二千万相
减馀九八三一○二六〈小馀
六三〉为甲辛日距地心线次
以甲辛子形与甲癸寅形
为比例以甲辛边自乘得
九六六四九○八四五九
九七六九为一率甲癸中
率自乘得九九九八五七
一八四八○一九一为二
率甲子辛一度之面积八
七二五三九九九五二二
九为三率求得四率九○
二六六二八五一七六九
为甲癸寅分平圆面积以
一度之面积除之得一度
二分四秒〈小馀二八〉即癸甲寅
角与先得之癸甲壬角一
度二分四秒〈小馀三○〉相加得
二度四分八秒〈小馀五八〉为子
甲丁角即平行距最卑后
二度时之实行度也此所
求之实行用求积法反求
之少半秒强因日距地心
线自最卑丁以渐而长中
距戊为适中至最高巳而
止今所用一率微小故所
得四率微大若每分递算
自得密合然须逐一先求
日距地心线若积度多者
则须合前法而兼用之故
又设后法
次设借积求积之法如平
行距最卑后四十五度求
实行若干度分先从本天
心设辛乙丁角为四十五
度则乙壬丁积即为分撱
圆四十五度之面积三九
二六四二九九七八五二
九二〈将撱圆全积八分之得乙壬丁积数〉求
得壬乙丁角为四十四度
五十九分四十五秒〈小馀二七
法见前〉次与乙壬平行作丙
癸线使丙角与壬乙丁角
等自甲至癸作甲癸线此
甲癸线所截甲癸丁分撱
圆面积若与乙壬丁积等
则癸甲丁角即为平行距
最卑后四十五度之实行
度乃用甲丙癸三角形求
癸甲丁角以半径一千万
为一率丙角正七○七
○五六二〈小馀七六〉为二率甲
丙三三八○○○为三率
求得四率二三八九八五
〈小馀○二〉为甲子垂线又以半
径一千万为一率丙角馀
七○七一五七二〈小馀七七〉为二率甲丙边为三率求
得四率二三九○一九〈小馀
一六〉为丙子分边次以甲子
为勾自乘以丙子与丙癸
甲癸两边和二千万相减
馀一九七六○九八○〈小馀
八四为股〉和除之得二八
九○〈小馀二三〉为股较与股
和相加得一九七六三
八七一〈小馀○七〉折半得九八
八一九三五〈小馀五四〉为甲癸
边次以甲癸边为一率甲
子垂线为二率半径一千
万为三率求得四率二四
一八四○〈小馀二九〉检正得
一度二十三分八秒〈小馀七九〉即癸角度与丙角相加得
四十六度二十二分五十
四秒〈小馀○六〉即癸甲丁角度
〈用切线分外角法得数较捷因癸角度小比例得甲
癸线难得确凖故用垂线法〉然甲癸线
所截甲癸丁分撱圆面积
比所设乙壬丁四十五度
之面积小一甲乙丑积与
寅壬癸积等〈甲癸丁积比乙壬丁积多
一卯壬癸积少一甲乙卯积而甲乙与寅癸等甲卯
与卯癸等乙卯与卯寅等卯壬与卯丑等故甲乙卯
积与寅癸卯积等卯壬癸积与卯甲丑积等以多补
少尚少一甲乙丑积与寅壬癸积相等也〉乃用
前角求积法以半径一千
万为一率甲角四十六度
二十二分五十四秒〈小馀○六〉之正七二三九五一三
〈小馀六○〉为二率甲癸边为三
率求得四率七一五四○
四○〈小馀六七〉即癸辰边次以
撱圆小半径九九九八五
七一〈小馀八五〉为一率大半径
一千万为二率癸辰边为
三率求得四率七一五五
○六二〈小馀五二〉即己辰边检
正得四十五度四十一
分四秒〈小馀九四〉即巳乙丁角
度亦即巳丁弧度次以半
周天一百八十度化作六
十四万八千秒为一率半
周率三一四一五九二六
〈小馀五〉为二率巳丁弧度分
化作一十六万四千四百
六十四秒〈小馀九四〉为三率求
得四率七九七三四八五
〈小馀二八八三七四八〉为巳丁弧线
与半径一千万相乘折半
得三九八六七四二六四
四一八七四为乙巳丁分
平圆面积次以撱圆大半
径一千万为一率小半径
九九九八五七一〈小馀八五〉为
二率乙巳丁分平圆面积
为三率求得四率三九八
六一七三二七七五三六
七为乙癸丁分撱圆面积
内减所设乙壬丁分撱圆
四十五度之面积馀五九
七四三二九九○○七五
为乙癸壬积次以癸辰边
七一五四○四○〈小馀六七〉与
癸寅边一六九○○○相
乘折半得六○四五一六
四三六六一五为乙癸寅
积内减乙癸壬积馀七○
八三四四六五四○为寅
壬癸积与甲乙丑积等即
甲癸丁积小于乙壬丁积
之较〈或于乙癸丁积内先减甲乙癸积得甲癸
丁积再与乙壬丁积相减得数亦同〉夫甲癸
丁积既小于乙壬丁积则
是甲癸丁积不足四十五
度而平行距最卑后四十
五度时太阳必仍在癸
之前如午则甲癸午积与
寅壬癸积等甲午丁为分
撱圆四十五度之面积与
乙壬丁积等实行午甲丁
角比癸甲丁角尚大一午
甲癸角乃用前积求角法
将甲癸线引长至未甲午
线引长至申甲未甲申皆
为中率半径成甲未申分
平圆面与甲癸午为同式
形以甲癸自乘得九七六
五二六五○○一六七一
五为一率甲未中率自乘
得九九九八五七一八四
八○一九一为二率甲癸
午积七○八三四四六五
四○为三率求得四率七
二五二六八○七一六为
甲未申积以撱圆一秒之
面积二四二三七二二二
一除之得二十九秒〈小馀九二〉为未甲申角〈即癸甲午角〉与癸
甲丁角四十六度二十二
分五十四秒〈小馀○六〉相加得
四十六度二十三分二十
三秒〈小馀九八〉为午甲丁角即
平行距最卑后四十五度
时之实行度也此法乃合
前二法而兼用之而午甲
癸角止三十秒甲癸甲午
二线相差无多得数为密
其所以先设辛乙丁角为
四十五度乙壬丁积为四
十五度而求壬乙丁角以
为丙角者第借积以比其
大小耳究之撱圆面积逐
度皆有成数原不待求且
先求壬乙丁角为丙角而
求甲癸丁积又与所设之
乙壬丁积相差不远则并
先求壬乙丁角亦属可省
详后法
又法迳设丙角为四十五
度依前法求得甲癸线九
八八一九四四〈小馀二八〉癸甲
丁角四十六度二十三分
九秒〈小馀一四〉甲癸丁积三九
二六○七九四六七九三
四八与四十五度撱圆积
三九二六四二九九七八
五二九二相减馀三五○
五一○五九四四为甲癸
丁积小于四十五度平行
积之较即知平行四十五
度时太阳在癸之前如
午乃以甲癸自乘得九七
六五二八二二七五三○
二五为一率中率自乘方
九九九八五七一八四八
○一九一为二率积较为
三率〈即甲癸午积〉求得四率三
五八八八四一八四一为
甲未申分平圆面积以一
秒之面积二四二三七二
二二一除之得一十四秒
〈小馀八一〉为未甲申角〈即癸甲午角〉与癸甲丁角四十六度二
十三分九秒〈小馀一四〉相加得
午甲丁角为四十六度二
十三分二十三秒〈小馀九五〉即
平行距最卑后四十五度
时之实行度此法得数与
前同而即以平行积度为
丙角较前法为省便也
又如平行距最卑后九十
度求实行若干度分则先
设丙角为九十度作丙丑
甲丑二线成甲丙丑勾股
形依法求得甲丑线一○
○○二八五六〈小馀一〉丑甲
丁角九十一度五十六分
一十一秒〈小馀○九〉甲丑丁积
七八五二八七六○一八
三六九五与九十度撱圆
积七八五二八五九九五
七○五八四相减馀一六
○六一三一一一为甲丑
丁积大于九十度平行积
之较即知平行九十度时
太阳在丑之后如卯乃
依中率半径截甲卯线于
辰截甲丑线于巳成甲辰
巳分平圆面与甲卯丑为
同式形以甲丑自乘得一
○○○五七一三○一五
七三○七为一率中率自
乘方九九九八五七一八
四八○一九一为二率积
较为三率〈即丑甲卯积〉求得四
率一六○四九八四八○
为甲辰巳分平圆面积以
一秒之面积二四二三七
二二二一除之得百分秒
之六六为辰甲已角〈即丑甲卯
角与丑甲丁角九十一度〉
五十六分一十一秒〈小馀○九〉相减馀九十一度五十六
分一十秒〈小馀四三〉为卯甲丁
角即平行距最卑后九十
度时之实行度也
又如平行距最卑后一百
二十度求实行若干度分
则先设丙角为一百二十
度作丙寅甲寅二线成甲
丙寅三角形依法求得甲
寅线一○○八六六二四
〈小馀一三〉寅甲丁角一百二十
一度三十九分四十六秒
〈小馀六九〉甲寅丁积一○四七
○七九九○六四九五○
六与一百二十度之撱圆
积一○四七○四七九九
四二七四四六相减馀三
一九一二二二○六○为
甲寅丁积大于一百二十
度平行积之较即知平行
一百二十度时太阳在寅
之后如辰乃依中率半
径截甲寅线于巳截甲辰
线于午成甲巳午分平圆
面与甲寅辰为同式形以
甲寅边自乘得一○一七
三九九八六三三九八九
八为一率中率自乘方九
九九八五七一八四八○
一九一为二率积较为三
率〈即甲寅辰积〉求得四率三一
三六一九七八九一为甲
已午积以一秒之面积二
四二三七二二二一除之
得一十二秒〈小馀九四〉为巳甲
午角〈即寅甲辰角〉与寅甲丁角
一百二十一度三十九分
四十六秒〈小馀六九〉相减馀一
百二十一度三十九分三
十三秒〈小馀七五〉为辰甲丁角
即平行距最卑后一百二
十度时之实行度也右借
积求积之法最为精密而
理亦易晓然须乘除比例
十数次推算则属繁难故
又设后法
次设借角求角之法如太
阳平行距最卑后四十五
度求实行若干度分先从
本天心设丁乙辛角为四
十五度则乙壬丁分撱圆
面积亦为四十五度次将
丁乙辛角加癸乙子撱圆
差角〈九十度以内大一撱圆差角九十度以外
小一撱圆差角解见后〉以撱圆小半
径九九九八五七一〈小馀八五〉为一率大半径一千万为
二率所设丁乙辛角四十
五度之正切一千万为三
率求得四率一○○○一
四二八〈小馀三五〉为丁乙癸角
之正切检表得四十五度
○分一十四秒〈小馀七三〉即丁
乙癸角度次与乙癸平行
作丙丑线自甲作甲丑线
则丙角与丁乙癸角等而
甲丑丁积为分撱圆四十
五度之面积与乙壬丁积
等是为平行丑甲丁角即
为实行乃将丙丑线引长
至寅使丑寅与甲丑等则
丙寅为二千万〈甲丑丙丑共二千万
丑寅既与甲丑等故丙寅亦二千万〉又自甲
至寅作甲寅线成甲寅丙
三角形用切线分外角法
求得寅角四十一分三十
四秒〈小馀七四〉倍之得一度二
十三分九秒〈小馀四九〉即甲丙
丑形之丑角度〈甲丑寅形之丑角以
甲丑丙角为外角与甲寅二内角等丑寅既与甲丑
等则甲角必与寅角等故倍寅角即得甲丑丙角〉与丙角四十五度○分一
十四秒〈小馀七三〉相加得四十
六度二十三分二十四秒
〈小馀二二〉为丑甲丁角度〈丑甲丁角
为丑甲丙角之外角与丙丑二内角等故以丑角与
丙角相加得丑甲丁角〉即平行距最
卑后四十五度时之实行
度也然则何以设丙角比
平行积度大一撱圆差角
而甲丑丁积即与平行积
度相等也盖与丙丑平行
之乙癸线截本天于卯所
截之乙卯丁积比甲丑丁
积多一甲乙巳形〈乙卯丁积比甲
丑丁积少一辰丑卯形多一甲乙辰形辰丑与甲辰
等辰卯与己辰等辰丑卯积与辰甲巳积等以多补
少尚多一甲乙巳积也〉此甲乙巳形
之积与癸午倍撱圆差乘
乙未馀折半之乙癸午
三角形积等〈癸子辛壬皆撱圆差而辛
壬微小于癸子子午又微小于辛壬然为数无多故
谓癸午为倍差〉亦即与乙卯壬积
等〈以卯癸子补子壬午弧内弧外所差无多故谓
相等〉夫乙卯丁积比乙壬丁
积多一乙卯壬形比甲丑
丁积多一甲乙巳形甲乙
已积既与乙卯壬积等则
甲丑丁积必与乙壬丁积
等而乙壬丁为分撱圆四
十五度之面积辛乙丁角
为四十五度之角癸乙丁
角比辛乙丁角原大一撱
圆差角丑丙丁角又原与
癸乙丁角等故设丙角比
平行积大一撱圆差角而
甲丑线所截撱圆积即与
平行积相等也然则又何
以知甲乙巳积与乙癸午
积相等也试以乙丁大半
径作乙丁申酉正方形又
以乙戊小半径作乙戊戌
亥正方形两积相减馀酉
申丁亥戌戊磬折形积与
两心差自乘之甲乙干坎
正方积等〈乙丁与甲戊等为乙戊为股
甲乙为勾股两方相减与勾方等〉斜分而
半之则乙甲坎勾股积即
与酉申戌戊斜尖长方积
等而申艮倍撱圆差与酉
申相乘折半之乙申艮三
角积原与酉申震戊长方
积等〈乙申艮三角形与酉申震戊长方形同以
酉申为高而申艮为申震之一倍以申艮与酉申相
乘折半得乙申艮三角积故与酉申震戊长方积等〉比酉申戌戊斜尖长方积
仅多申震戌一小勾股积
则借乙申艮三角积为与
乙甲坎勾股积相等可也
又以方为斜截丁辛弧为
四十五度乙辛与乙丁等
辛巽为四十五度之正
辛离为四十五度之馀
依乙戊小径截乙辛线于
坤依乙甲两心差截乙辛
线于兑与辛巽平行作坤
亢兑氐二线与辛离平行
作坤房兑尾二线所成正
方各为前图正方积之一
半则于离辛巽乙正方形
内减房坤亢乙正方形馀
离辛巽亢坤房磬折形积
亦与乙尾兑氐正方积等
乙兑氐勾股积亦与离辛
坤房斜尖长方积等而辛
箕倍撱圆差乘辛离馀
折半之乙辛箕三角积原
与离辛壬房长方积等〈辛壬
为四十五度之撱圆差辛箕为倍差与辛离馀相
乘折半得乙辛箕积故与离辛壬房长方积等〉比
离辛坤房斜尖长方积仅
多辛壬坤一小勾股积则
借乙辛箕三角积为与乙
兑氐勾股积相等亦可也
由此推之逐度之正馀
所成之勾股虽非正方
而斜不改则各数比例
皆同试自与丙丑平行之
乙癸线所截之癸作癸
未正癸斗馀又依乙
戊小径截乙癸线于牛作
牛女牛虚二线又依甲乙
两心差截乙癸线于水作
水火水金二线皆相平行
则于斗癸未乙长方形内
减去女牛虚乙长方形馀
斗癸未虚牛女磬折形积
亦与金水火乙长方积等
乙水火勾股积亦与斗癸
牛女斜尖长方积等而癸
午倍撱圆差乘癸斗馀
〈与乙未等〉折半之乙癸午三角
积原与斗癸子女长方积
等〈癸子为撱圆差癸午为倍差与癸斗馀相乘
折半得乙癸午积故与斗癸子女长方积等〉比
斗癸牛女斜尖长方积仅
多癸牛子一小勾股积则
借乙癸午积为亦与乙水
火勾股积等而甲乙土勾
股与乙水火勾股为相等
形〈同用一乙角土角与火角同为直角而甲乙与
乙水等故三边及面积皆相等〉比甲乙巳
积仅多甲巳土一小弧矢
积其差只在微纎之间故
谓甲乙巳积与乙癸午积
相等也此法所得实行较
前法多百分秒之二十四
盖乙卯丁积比乙壬丁积
多乙卯壬积实与甲乙土
积等而比甲丑丁积仅多
甲乙巳积则是甲丑丁积
比乙壬丁四十五度积为
稍大故所得实行丑甲丁
角亦稍大计其所大之数
适与甲巳土弧矢积度相
去不远至于以乙癸午三
角积为与斗癸牛女斜尖
长方积等其数微多〈多癸牛子
勾股积〉以癸午为倍撱圆差
其数微少然其多少之差
约足相抵可不计也
又如太阳平行距最卑后
九十度求实行若干度分
先从本天心设丁乙戊角
九十度则乙戊丁分撱圆
面积亦为九十度次与乙
戊平行作丙癸线自甲至
癸作甲癸线则丙角与戊
乙丁角等而甲癸丁分撱
圆面积即为九十度与乙
戊丁积等〈九十度无撱圆差觧见后〉是
为平行癸甲丁角即为实
行乃将丙癸线引长至子
使癸子与甲癸等则丙子
为二千万又自甲至子作
甲子线成甲丙子三角形
求得子角五十八分五秒
〈小馀五五〉倍之得一度五十六
分一十一秒〈小馀一○〉即甲丙
癸形之癸角度与丙角九
十度相加得九十一度五
十六分一十一秒〈小馀一○〉为
癸甲丁角度即平行距最
卑后九十度时之实行度
也盖乙戊丁为撱圆四分
之一其积为九十度戊乙
丁角亦九十度〈积度与角度同为一
线故无撱圆差〉丙角既与乙角等
甲癸丁积又与乙戊丁积
等〈甲癸丁积比乙戊丁积多一丑癸戊形少一甲
乙丑形而甲乙丑积与丑癸寅积等是丑癸戊形比
甲乙丑形仅多癸戊寅一小弧矢积故谓丑癸戊积
与甲乙丑积等而甲癸丁积亦谓与乙戊丁积等〉故即以平行积度为丙角
而求甲角为实行度也此
法所得实行较前法多百
分秒之六十七盖甲癸丁
积比乙戊丁积多癸戊寅
弧矢积九十度稍大故实
行亦稍大又丙角至九十
度则弧矢之癸寅半与
甲乙两心差相等是为最
长积亦最大故所差最多
过此则所差又渐少矣
又如太阳平行距最卑后
一百二十度求实行若干
度分先从本天心设丁乙
癸角一百二十度则乙子
丁分撱圆面积亦为一百
二十度次将丁乙癸角减
丑乙寅撱圆差角〈九十度以外小
一撱圆差角故减〉则癸乙已外角
大一撱圆差角以撱圆小
半径九九九八五七一〈小馀
八五〉为一率大半径一千万
为二率所设癸乙已外角
六十度之正切一七三二
○五○八为三率求得四
率一七三二二九八一〈小馀
九八〉为己乙寅外角之正切
检表得六十度○分一十
二秒〈小馀七六〉即己乙寅外角
度与一百八十度相减馀
一百一十九度五十九分
四十七秒〈小馀二四〉即寅乙丁
内角度次与乙寅平行作
丙卯线自甲作甲卯线则
丙角与寅乙丁角等甲卯
丁积为分撱圆一百二十
度之面积与乙子丁积等
是为平行卯甲丁角即为
实行乃将丙卯线引长至
辰使卯辰与甲卯等则丙
辰为二千万又自甲至辰
作甲辰线成甲丙辰三角
形求得辰角四十九分五
十三秒〈小馀四六〉倍之得一度
三十九分四十六秒〈小馀九二〉即甲丙卯形之卯角度与
丙内角一百一十九度五
十九分四十七秒〈小馀二四〉相
加得一百二十一度三十
九分三十四秒〈小馀一六〉为卯
甲丁角度即平行距最卑
后一百二十度时之实行
度也盖与丙卯平行之乙
寅线截本天于巳所截之
乙巳丁积比甲卯丁积小
一卯己午形与甲乙未形
等〈乙巳丁积比甲卯丁积少一卯己酉形多一甲
乙酉形而甲乙酉形与卯午酉形等以多补少仍少
一卯巳午形又将乙己线引长至未使酉未与酉巳
等而酉甲原与酉卯等卯午原与甲乙等故作甲未
弧则卯巳午积即与甲乙未积等〉此甲乙
未形之积与寅申倍撱圆
差乘乙戌馀折半之乙
寅申三角形积等〈寅丑癸子皆撱
圆差而癸子微小于寅丑丑申又微小于癸子然为
数无多故谓寅申为倍差与乙戌馀相乘折半得
积与甲乙亥勾股积等比甲乙未积仅小甲未亥一
小弧矢积故借甲乙未积为与乙寅申积等〉亦
即与乙子巳积等〈与前法同〉夫
乙巳丁积比乙子丁小一
乙子巳积比甲卯丁积小
一甲乙未积甲乙未积既
与乙子巳积等则甲卯丁
积必与乙子丁积等而乙
子丁为分撱圆一百二十
度之面积癸乙丁角为一
百二十度之角寅乙丁角
比癸乙丁角原小一撱圆
差角卯丙丁角又原与寅
乙丁角等故于平行一百
二十度内减一撱圆差角
为丙角其甲卯线所截撱
圆积即与平行度相等而
求得甲角为实行度也此
法所得实行较之前法多
百分秒之四十一盖乙巳
丁积比乙子丁积少乙子
己积仅与甲乙亥积等而
比甲卯丁积则少甲乙未
积是甲卯丁积比乙子丁
一百二十度积为稍大故
所得实行卯甲丁角亦稍
大然所差最大者不过半
秒有奇不为不密而法最
为简便故日躔求实行用
此法也
求均数
均数者盈缩差也最卑前后两象限为行盈最高前后两象限为行缩然盈缩差自最卑最高起算最高前一象限虽行缩而实行仍大于平行故最卑后半周皆为加差最卑前一象限虽行盈而实行仍小于平行故最高后半周皆为减差上编言之详矣今求盈缩差用前借角求角之法与不同心天之法略同但多一撱圆差耳故先以平行求得对倍两心差之角又以平行求得撱圆差角与对倍两心差之角相加减而得均数加减之法具详于左
如图甲为地心乙为本天
心甲乙为两心差甲丙为
倍差丁戊己庚为本天辛
壬癸子为黄道以行度言
之太阳在最卑前后当子
辛辛壬两象限其本天平
行丑甲寅丁面积未及半
周而以黄道度计之巳见
自子行至壬故为行盈太
阳在最高前后当壬癸癸
子两象限其本天平行寅
甲丑已面积巳过半周而
以黄道度计之止见自壬
行至子故为行缩以盈缩
差言之太阳在最卑丁是
为初宫初度当黄道之辛
甲丁辛成一直线无盈缩
差太阳在最高已是为六
宫初度当黄道之癸甲癸
己成一直线亦无盈缩差
而自最卑后行丁寅戊巳
半周实行皆大于平行如
平行至寅所截甲寅丁平
行积度略与寅丙丁角度
等〈争一撱圆差角故谓略等〉自地心甲
视之巳当黄道之壬壬甲
辛角必大于寅丙丁角又
如平行至戊所截之甲戊
丁平行积度略与戊丙丁
角度等自地心甲视之己
当黄道之卯卯甲辛角必
大于戊丙丁角故皆为加
差自最高后行已庚丑丁
半周实行皆小于平行如
平行至庚所截甲庚已平
行积度略与庚丙己角度
等自地心甲视之方当黄
道之辰辰甲癸角必小于
庚丙己角又如平行至丑
所截甲丑巳平行积度略
与丑丙巳角度等自地心
甲视之方当黄道之子子
甲癸角必小于丑丙已角
故皆为减差此盈缩之理
与不同心天之理同至求
盈缩差之法当先以平行
积度加减撱圆差角〈九十度以
内大一撱圆差角则加九十度以外小一撱圆差角
则减正九十度无差角解见前〉为所设之
丙角而求对倍差之角与
所设之丙角相加得实行
以平行与实行相减乃为
均数〈解见前借角求角法〉然其数奇
零不便立算故先以平行
求得对倍差之角而后加
减撱圆差角为尤便也如
设太阳在己甲己丁分撱
圆面积为平行距最卑后
六十度知己丙甲角度比
所设之甲己丁平行积度
大一撱圆差角则于己丙
甲角内减未丙午撱圆差
角馀午丙甲角必为六十
度而与甲巳丁平行积度
相等故先设午丙甲角为
六十度用甲丙午三角形
求得对甲丙倍差之午角
一度四十一分二十九秒
与平行午丙甲角相加则
得午甲丁角然太阳原在
已当黄道之申实行申甲
辛角〈即辛申弧〉比午甲丁角尚
大一巳甲午角故又求得
未丙午撱圆差角一十三
秒与巳甲午角等〈巳甲午角与未
丙午角同当巳午弧而甲午线短于丙午则角略大
然所差甚微故为相等〉与午角相加
〈九十度以内大一撱圆差角故加〉得一度
四十一分四十二秒是为
均数为加差以加于平行
而得实行也若太阳在酉
当黄道之戌甲酉巳分撱
圆面积为平行距最高后
一百二十度而距最卑前
六十度则对甲丙倍差之
亥角与午角等干丙亥撱
圆差角亦与未丙午角等
但其均数为减差以减于
平行而得实行也
如设太阳在亢甲亢丁分
撱圆面积为平行距最卑
后一百二十度知亢丙甲
角度比所设之甲亢丁平
行积度小一撱圆差角则
于亢丙甲角加房丙氐撱
圆差角得氐丙甲角必为
一百二十度而与甲亢丁
平行积度相等故先设氐
丙甲角为一百二十度用
甲丙氐三角形求得对甲
丙倍差之氐角一度三十
九分四十七秒与平行氐
丙甲角相加则得氐甲丁
角然太阳原在亢当黄道
之尾实行尾甲辛角〈即辛尾弧〉比氐甲丁角尚小一氐甲
亢角故又求得房丙氐撱
圆差角一十三秒与氐甲
亢角等〈氐甲亢角与房丙氐角同当亢氐弧
而甲氐线长于丙氐则角略小然所差甚微故为相
等与氐角相减〉〈九十度以外小一撱
圆差角故减〉馀一度三十九分
三十四秒是为均数为加
差以加于平行而得实行
也若太阳在斗当黄道之
牛甲斗己分撱圆面积为
平行距最高后六十度则
对甲丙倍差之女角与氐
角等女丙虚撱圆差角亦
与房丙氐角等但其均数
为减差以减于平行而得
实行也用此法求得最卑
后半周之加差即得最高
后半周之减差列为表此
法与以丙为心作不同心
天之法略同但多一撱圆
差又平圆之半径为一千
万撱圆则自甲丙两心出
线合于圆界共为二千万
耳而太阳距地高卑之差
止及两心差之半与均轮
之法不谋而合故撱圆之
法正所以合不同心天与
本轮均轮而一之也
御制历象考成后编卷一
<子部,天文算法类,推步之属,御制历象考成后编>
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