御制历象考成后编 (四库全书本)/卷03
| 御制历象考成后编 卷三 |
钦定四库全书
御制历象考成后编卷三
交食数理
交食总论
用日躔月离求实朔望
用两经斜距求日月食甚时刻及两心实相距求月食初亏复圆时刻〈食既生光附〉
求日月实径与地径之比例〈视径附〉
求影半径及影差
求黄道高弧交角
求月食初亏复圆并径黄道交角〈即纬差角〉求白经高弧交角
求高下差
求日食食甚真时及两心视相距
求日食初亏复圆时刻〈方位附〉
求日食带食
交食总论
日月相会为朔相对为望朔而同度同道则月掩日而日为之食望而同度同道则月亢日而月为之食〈朔望日月皆东西同度而南北不皆同道同道则食〉顾推步之法月食犹易而日食最难以月在日下人在地面随时随处所见常不同也自大衍以至授时其法寖备我朝用西法推验尤请上编言之详矣近日西人噶西尼等益复精求立为新表其理不越乎昔人之范围而其用意细密又有出于昔人所未及者如求实朔实望用前后二时日月实行为比例昔之用平朔平望实距弧者未之及也日月两心相距最近为食甚两周初切为初亏初离为复圆皆用两经斜距为比例昔之用月距日实行者未之及也日食用图算月之视行不与白道平行带食日在地平视差即圆之半径月之视距即见食之浅深昔之言视差者亦未之及也虽其数所差无多而其法实属可取其他或因屡测而小有变更或因屡算而益求简捷则又考验之常规而推步所当从也各为之说如左
用日躔月离求实朔望
从来求实朔望有二法一用本日次日两子正日月黄道实行度比例其相会之时刻为实朔相对之时刻为实望推逐月朔望用之〈见下编推合朔
望法〉以巳有本年逐日之日躔月离故也一用本年首朔先求本月平朔望之时刻然后求其平行实行之差比例加减而得实朔望之时刻推交食用之〈见上编朔望有平实之殊篇及下编推日食月食法〉因上考往古下推将来不必逐日悉推其躔离而即可迳求其朔望故也斯二法诚不可偏废但从前交食求平行实行之差太阴惟用初均故甚整齐简易今求太阴初均又有诸平均之加减既属繁难而黄白大距又时时不同非推月离不得其凖故今交食推实朔望合二法而兼用之先推平朔望以求其入交之月次推本日次日两子正之日躔月离以求其实朔望之时又推本时次时两日躔月离以比例其时刻较之旧法似为纡远然太阴之行甚速因迟疾差之故一日之内行度时时不同且平行实行之差大者至八九度则平朔望与实朔望之相距即至十有馀时今以前后两时相比例较之止用两子正实行度相比例者固为精密即较之以距时为比例者亦又加详矣
用两经斜距求日月食甚时刻及两心实相距
新法算书以实朔用时即为日食食甚用时以实望用时即为月食食甚时刻皆黄白同经〈太阴自道度与太阳黄道度相等为黄白同经〉上编以此时两心斜距犹远惟自白极过太阳作经圏与白道成直角太阴临此直角之点两心相距最近始为食甚故以白道升度差为食甚距弧以一小时月距日实行比例得时分与实朔望用时相加减方为食甚时刻〈月食即食甚时刻日食为食甚用时〉其法较前为加密矣〈见月食五限时刻日食三限时刻篇〉近日西法用日躔月离比例求实朔望是为黄道同经较之新法算书去食甚为尤远而其求食甚之法则亦以两心相距最近为食甚实纬以实朔望太阴距最近点之度为食甚距弧又以黄白二道原非平行而日月两经常相斜距若以太阳为不动则太阴如由斜距线行故求两心相距最近之线不与白道成直角而与斜距线成直角其距弧变时亦不以月距日实行度为比例而以斜距度为比例较之上编为尤近焉虽度分时刻所差无多而其理更为细密图说详著于左如图甲乙为黄道丙乙为白道乙角为中交新法算书以日心在甲月心在丙为实朔影心在甲月心在丙为实望甲乙与丙乙等是为黄白同经无另求食甚之法上编以月行至丁为食甚甲丁距纬与白道成直角较甲丙为近故丙丁为食甚距弧以月距日实行比例得时分加于丙点实朔望之时刻方为食甚时刻今用日躔月离黄道度算则以日心在甲月心在戊为实朔影心在甲月心在戊为实望甲戊距纬与黄道成直角是为黄道同经戊之去丁较丙丁为尤远按上编之法当以甲乙黄道度求丁乙白道升度与戊乙太阴距交白道度相减馀戊丁为食甚距弧而仍以甲丁距纬为食甚两心实相距夫日月各有行分日在甲月既在戊逮月由戊行至丁则日亦不在甲而顾谓甲丁为食甚两心实相距戊丁为食甚距弧者盖月由戊行至己则日由甲行至庚庚己与甲丁平行甲庚与辛已等庚己与甲辛等丁己与辛己甲丁与庚己皆相差无多故借甲丁为与庚己等为两心实相距借丁己为与辛己等为日行〈月食为影心行与日行等〉而戊己原为月行则戊丁即为月距日之行故即以戊丁为距弧以一小时月距日实行为比例即得食甚距时也今求食甚之法以戊乙与甲乙原非平行日月两经常相斜距己点固为直角相对之时而其相距尤近必犹在己点之后试与甲乙平行作戊壬线为黄道距等圏取一小时日实行甲癸之分截之于子取一小时月实行截白道于丑则子丑为一小时两经斜距又与戊子平行作丑寅线与子丑平行作戊寅线则寅丑与戊子等亦为一小时日实行戊寅与子丑等亦为一小时两经斜距戊寅丑与戊辛己为同式形月行为戊丑则日行为寅丑〈与甲癸等〉斜距为戊寅月行为戊己则日行为辛己〈与甲庚等〉斜距为戊辛是日月二道原非平行而两经斜距则常为一线若以日心为不动将庚点合于甲则月心己点必合于辛将癸点合于甲则月心丑点必合于寅是月在戊丑白道上行即如在戊寅斜距线上行矣乃自甲点与戊寅斜距成直角作甲卯线与丑寅平行作卯辰线与甲卯平行作辰巳线则甲己与卯辰等为实朔至食甚之日实行戊辰为实朔至食甚之月实行辰巳与甲卯等即食甚两心实相距甲卯相距之近尤近于甲辛〈甲卯为股甲辛为股必短于也〉是月心临于辰点方为食甚其实行在己点后也若以日心为不动将己点合于甲则月心辰点必合于卯故戊卯为食甚距弧求之之法先用戊丑寅三角形寅丑边为一小时日实行戊丑边为一小时月实行丑角与乙角等即本时黄白交角用切线分外角法求得戊角为斜距交角差〈斜距交角差者乃斜距黄道交角与黄白交角之差此本系弧线三角形因其形甚小故作直线算以从简易〉并求得戊寅边为一小时两经斜距次用甲戊卯三角形以丑戊寅角与丑戊壬黄白交角相加〈戊壬寅丑二线皆与甲乙线平行故丑角戊角皆与乙角等〉得寅戊壬角为斜距黄道交角即与卯甲戊角等〈甲戊午与甲卯戊及戊卯午皆为同式三角形故寅戊壬角与卯甲戊角等〉乃以半径与甲角馀之比同于甲戊与甲卯之比〈此亦作直线算〉而得甲卯为食甚两心实相距又以半径与甲角正之比同于甲戊与戊卯之比而得戊卯为食甚距弧然后以戊寅一小时两经斜距为一率一小时为二率戊卯食甚距弧为三率求得四率为食甚距时盖月行为戊辰日行为卯辰斜距为戊卯戊卯辰三角形与戊寅丑三角形为同式比例也今设乙角为四度五十八分三十秒〈丁甲戊角戊丑寅角丑戊壬角皆与乙角等〉甲乙为实朔太阴黄道距中交前十度戊甲为太阴距黄道北五十一分五十七秒六五寅丑为一小时日实行二分二十七秒八五戊丑为一小时月实行三十二分五十六秒四六旧法用甲乙戊三角形求得甲丁两心实相距为五十一分四十五秒九○戊丁距弧为四分三十秒三五以日月二实行相减得一小时月距日实行为三十分二十八秒六一此例食甚距时得八分五十二秒二四今法先用戊丑寅三角形求得丑戊寅角二十四分五秒八二与丑戊壬角相加得五度二十二分三十五秒八二为斜距黄道交角与卯甲戊角等又求得戊寅边三十分二十九秒一九为一小时两经斜距次用甲卯戊三角形求得甲卯两心实相距为五十一分四十三秒九三比甲丁近二秒戊卯距弧为四分五十二秒一三以戊寅两经斜距比例食甚距时得九分三十四秒九四比戊丁距时迟四十三秒是为两心相距最近之时若实朔望在交后则日由乙向甲月由乙向戊两心以渐而远食甚在实朔望前距时比旧为早其〈法并同〉
求月食初亏复圆时刻〈食既生光附〉
月食求初亏复圆时刻以食甚实纬为一边并径为一边以实纬交白道之角为直角用正弧三角形法求得初亏复圆距食甚之弧以一小时月距日实行比例得时分与食甚时刻相加减即得初亏复圆时刻〈初亏减复圆加〉上编言之详矣〈见月食五限时刻篇〉今以弧线可作直线算故用勾求股之法即得距弧至以距弧变时则以一小时两经斜距为比例盖食甚两心实相距既与斜距成直角则初亏复圆之并径亦与斜距成勾股故仍以斜距比例时分也图说并著于左如图甲乙为黄道丙乙为白道乙角为黄白交角实望时地影心在甲月心在丙食甚时地影心在丁月心在戊戊丁为食甚两心实相距与甲己等丙己为食甚距弧初亏时地影心在庚月心在辛辛戊为初亏至食甚之月实行庚丁为初亏至食甚之日实行与壬戊等辛壬为初亏至食甚日月两行之斜距与癸巳等即初亏距弧〈理与食甚同〉庚壬即食甚两心实相距与甲己等庚辛为并径与甲癸等复圆时地影心在子月心在丑戊丑为食甚至复圆之月实行丁子为食甚至复圆之日实行与戊寅等寅丑为食甚至复圆日月两行之斜距与巳卯等即复圆距弧子寅即食甚两心实相距与甲己等子丑为并径与甲卯等辛壬庚癸己甲丑寅子卯巳甲为相等四股勾形若以地影心为不动以食甚影心丁点合于甲则月心戊点合于巳以初亏影心庚点合于甲则壬点合于巳而月心辛点合于癸以复圆影心子点合于甲则寅点合于巳而月心丑点合于卯初亏复圆距弧即与癸卯斜距合为一线矣故今求初亏复圆距弧即用癸己甲勾股形以己甲为勾癸甲为求得癸己股与巳卯等为初亏复圆距弧夫癸己与己卯二弧既皆为两经斜距则以二弧变时亦当与斜距为比例故以一小时两经斜距与一小时之比同于癸己或己卯初亏复圆距弧与初亏复圆距时之比也若食既生光则甲癸甲卯二线为月半径与影半径相减之较其法并与初亏复圆同
求日月实径与地径之比例〈八十四〉
从来算家谓日月之在天其实径原为一定之数而视径之大小则因距地有远近而时时不同然所谓实径者仍以视径之大小距地之远近比例而得今日月本天心之距地心数皆与旧不同则日月距地之远近亦因之而各异且视径之大小古今所测相差惟在分秒之间在器只争毫厘而在数已差千百则实径究亦未有一定之数也新法算书载日实径为地径之五倍有馀中距日天半径与地半径之比例为一与一千一百四十二月实径为地径百分之二十七强中距朔望时月天半径与地半径之比例为一与五十六又百分之七十二上编仍之以推最高日天半径与地半径之比例为一与一千一百六十二最卑日天半径与地半径之比例为一与一千一百二十一〈今监臣戴进视径附〉最高朔望时月天半径与地半径之比例为一与五十八又百分之一十六最卑
朔望时月天半径 〈见日躔地半径差篇〉与地半径之比例为一与五十〈见交食日月距地与地半径之比例篇〉四又百分之贤等据西人近年所测日天半径与地半径之比例最高为一与二万零九百七十五中距为一与二万零六百二十六最卑为一与二万零二百七十七月天半径与地半径之比例最高为一与六十三又百分之七十七中距为一与五十九又百分之七十八最卑为一与五十五又百分之七十九〈详本编曰躔月离地半径差篇〉又用远镜仪〈西人默爵所制以远镜加衡为窥管〉测得日视径最高为三十一分四十秒中距为三十二分一十二秒最卑为三十二分四十五秒月视径最高为二十九分二十三秒中距为三十一分二十一秒最卑为三十三分三十六秒用此数推算日实径为地径之九十六倍又十分之六月实径为地径百分之二十七小馀二六强夫月实径与旧大致相符而日实径差至十九倍者盖今所测日距地数比旧原大十八倍馀则日实径比旧大十九倍止为大十八分之一故今之日视径亦比旧大十八分之一是则视径之大小固各得之实测要亦合诸推算以成一家之言至于日体纯阳其光恒溢于常径之外新法算书谓周围皆大一分今说谓大一十五秒故推日食之法必于并径内减去太阳光分一十五秒馀与视纬相较方为受食之分而日之本径则仍带光分算其理固应尔也测算之法并见上编
求影半径及影差
地影半径之大小由于太阳距地有远近及太阴距地有高卑故先以太阳在最高所生之大影为率求得太阴从高及卑所当地影之阔为影半径又以太阳从高及卑所生各影小于大影之较为影差与影半径相减乃为实影半径上编言之详矣〈见地影半径篇〉今以三角形之理考之日月两地半径差相并即与日半径影半径相并之数等而日月地半径差及日半径皆推交食所必用之数且又皆由距地之高卑远近而生故近日西法皆不用另求影半径惟以日月两地半径差相加内减去日半径馀即为实影半径以影差已在其中也此外又有视影之说盖以地上有𫎇气差能映小为大则太阳实径必小于视径实径小则影大矣又月食时日在地下𫎇气转蔽日光则地影视径必尤大于实径计其所大之分约为太阴地半径差六十九分之一故又以此为影差与实影半径相加为视影半径则所谓影差者名虽同而义实异也总之算家立说古今不必相同然测验皆期于合天而推步必归于有据旧说谓太阳有光分能侵地影使小今说谓地周有𫎇气能障地影使大此亦极不同之致矣然最大影半径旧为四十六分四十八秒今为四十六分五十一秒相差不过三秒最小影半径旧为四十二分三十八秒今为三十八分二十八秒相差四分有馀盖地影之大小固由于太阳距地之远近及太阴距地之高卑而太阴所关为尤重查最卑太阴距地今昔相差不过百分地半径之九十五最高太阴距地则相差至百分地半径之五百六十一夫月之距地既因两心差而不同则月径与影径遂亦因之而各异要皆据一时之所测设法推步以求合而非为臆说也图说详著于左如图甲乙为地半径甲丙为日天半
径丙丁为日半径从丁切乙作光线与丙甲线交于戊甲戊为地影之长
甲己为月天半径庚己辛为月行所当地影之阔己甲辛角为影半径分〈详上编地影半径篇〉试观甲丁辛三角形丁辛
二内角与壬甲辛一外角等而丁角即太阳地半径差辛角即太阴地半径差〈甲丁线略与甲丙日天半径等甲辛线略与甲巳月天半径等而其角皆与甲乙地半径相当故其角即为地半径差角〉壬甲巳角与丙甲丁角为对角即日半径故以丁角太阳地半径差与辛角太阴
地半径差相加即得壬甲辛角内减日半径壬甲己角馀己甲辛角即实影半径盖日月地半径差及日半径
既因日月距地之高卑远近而时时不同故所得影半径即为本时之实影半径不复有影差也又𫎇气映小
为大丙丁为太阳视半径丙癸为太阳实半径从癸切乙作光线与丙甲线交于子则月行所当地影半径为己丑而己丑之分必大于己辛且地球外𫎇气之厚如乙寅从丁切寅作光线与丙甲线交于卯则月行所当
地影半径为己辰而己辰之分必尤大于己辛矣此辛辰之分当辛甲辰角约为甲辛乙角六十九分之一故又以此为影差与实影半径己甲辛角相加得己甲辰角为视影半径也
求黄道高弧交角
求交食方位及日食三差皆用黄道高弧交角上编月食方位求交角之法与日食三差之求交角者微有不同而略为简易盖各圏相交皆成弧线三角形转换相求法可相通而理实一致彼此互相发也近日西法又以黄道赤经交角与赤经高弧交角相加减而得黄道高弧交角用以求月食方位繁简大槪相同而用以求日食三差则甚为省便盖黄道随天西转其象时时不同而黄道赤经交角无异不须逐时推算也因著其法于左
如图甲为天顶甲乙丙为
子午圏乙丙为地平丁为
赤极戊己庚为赤道辛为
黄极壬癸子丑为黄道己
为春分丑为黄道交西地
平之点壬为黄平象限距
丑九十度癸为正午壬癸
为黄平象限距正午之度
壬寅为黄平象限距地平
之度即丑角度子为太阴
实行经度〈日食即为太阳经度月食为太
阳对冲地影之经度〉子已为太阴距
春分后之经度子壬为太
阴距黄平象限之度甲子
卯为高弧丁子辰为赤道
经圈辰巳为赤道同升度
戊辰为太阴距正午赤道
度〈日食即太阳距午正赤道度月食为太阳距子
正赤道度〉丑子卯角为黄道高
弧交角求之之法先用戊
己弧求癸己癸戊二弧及
癸角次求癸丑弧及丑角
以求子角者日食三差之
法也先用己庚弧求己丑
弧及丑角以求子角者月
食方位之法也今按己子
辰角即黄道赤经交角甲子
丁角与辰子卯角为对角即
赤经高弧交角两角相减即
得丑子卯黄道高弧交角夫
黄道交地平之丑角时时不
同而己子辰黄道赤经交角
则初亏与复圆无异然则先
求得黄道赤经交角至求黄
道高弧交角则惟求一赤经
高弧交角与之加减而己其
加减之法以太阴在夏至前
后各六宫与距正午之东西
为定试以甲为天顶作乙庚
丙己地平圏乙甲丙为子午
经圏庚甲己为东西经圏庚
戊己为赤道丑己未为黄道
己为春分
当黄平象限丑为冬至当西
地平未为夏至当东地平是
为夏至前六宫在地平上癸
为黄道当正午之度己癸为
黄平象限距午东之度设太
阴子点在正午之西甲子卯
为高弧丁辰子为过赤极经
圏己子辰角为黄道赤经交
角甲子丁角为赤经高弧交
角丑子卯角为黄道高弧交
角与甲子癸角等是以甲子
丁赤经高弧交角与己子辰
黄道赤经交角相减馀甲子
癸角即黄道高弧交角也设
太阴申点在正午之东甲申
酉为高弧丁申戌为过赤极
经圏巳申
戌角为黄道赤经交角与丁
申未角等甲申丁角为赤经
高弧交角酉申未角为黄道
高弧交角乃甲申未角之外
角是以甲申丁赤经高弧交
角与丁申未黄道赤经交角
相加得甲申未角与半周相
减馀酉申未角即黄道高弧
交角也若己为秋分当黄平
象限未为夏至当西地平丑
为冬至当东地平是为夏至
后六宫在地平上癸为黄道
当正午之度己癸为黄平象
限距午西之度设太阴子点
在正午之西甲子卯为高弧
丁子辰为过赤极经圏己子
辰角为黄
道赤经交角与丁子未角等
甲子丁角为赤经高弧交角
卯子未角为黄道高弧交角
乃甲子未角之外角是以甲
子丁赤经高弧交角与丁子
未黄道赤经交角相加得甲
子未角与半周相减馀卯子
未角即黄道高弧交角也设
太阴申点在正午之东甲申
酉为高弧丁戌申为过赤极
经圏己申戌角为黄道赤经
交角甲申丁角为赤经高弧
交角丑申酉角为黄道高弧
交角与甲申癸角等是以甲
申丁赤经高弧交角与己申
戌黄道赤经交角相减馀甲
申癸角即
黄道高弧交角也此太阴在
午东而亦在限东太阴在午
西而亦在限西之常法也若
太阴在夏至前六宫而在正
午之东如干以己干亥黄道
赤经交角与甲干丁赤经高
弧交角相加得己干甲角不
足九十度与酉干丑角等则
不与半周相减即以酉干丑
角为黄道高弧交角乃知太
阴干点在黄平象限巳点之
西也盖惟正当黄平象限高
弧与黄道成直角在限西者
则高弧与限西之黄道成锐
角在限东者则高弧与限东
之黄道成锐角今己干甲角
既不及九
十度故知干点在黄平象
限己点之西而干酉高弧
乃与限西之干丑黄道相
交成锐角也太阴在午西
而在限东者仿此〈左图以二至当
地平乃黄平象限偏午东午西之极大者如二分当
地平则黄平象限当正午加减之法并同〉至求
赤经高弧交角之法则以
北极距天顶为一边影距
北极为一边影距正午赤
道度〈日食则为日距正午赤道度〉为所
夹之角用弧三角法算之
如太阴在申甲申丁三角
形申角为赤经高弧交角
甲丁为北极距天顶申丁
为影距北极丁角当戊戌
弧为影距正午赤道度因
丁角为锐角则自天顶甲
作甲坎垂弧于形内使坎角
成直角求得甲坎丁坎二边
以丁坎与丁申相减即得坎
申边用之与甲坎边求申角
也如太阴在艮甲丁艮角当
戊己弧适足九十度成直角
则甲丁即为垂弧即用甲丁
艮正弧三角形以求艮角也
如太阴在震甲丁震角当戊
巽弧过于九十度成钝角则
自天顶甲作甲离垂弧于形
外使离角成直角求得甲离
离丁二边以离丁与丁震相
加即得离震边用之与甲离
边求震角也又如黄道在天
顶北太阴在坤甲坤丁赤经
高弧交角
大于九十度则自天顶甲作
垂弧至兊而所求之丁兊距
极分边反大于丁坤影距北
极则以坤兑甲兑二边求坤
角之外角即知甲坤丁角为
钝角也若所求距极分边与
影距北极等即知赤经高弧
交角为直角不待求也至于
赤经高弧交角有与黄道赤
经交角相等者亦有与黄道
赤经交角共为一百八十度
者有反大于黄道赤经交角
而不足减者亦有与黄道赤
经交角相加大于半周而又
减去半周者如北极出地二
十三度二十九分以下夏至
前后黄道
正当天顶太阴子点在夏至
未点之前而在正午之西当
以赤经高弧交角与黄道赤
经交角相减为黄道高弧交
角今甲子丁赤经高弧交角
与己子辰黄道赤经交角相
等两角相减无馀即知黄道
与高弧合无交角也又如太
阴申点在夏至未点之前而
在正午之东当以赤经高弧
交角与黄道赤经交角相加
为黄道高弧交角今甲申丁
赤经高弧交角与巳申戌黄
道赤经交角相加共一百八
十度亦如黄道与高弧合无
交角也又如北极出地在二
十三度以
下夏至前后黄道在天顶北
太阴子点在夏至未点之前
而在正午之西当于黄道赤
经交角内减赤经高弧交角
为黄道高弧交角今甲子丁
赤经高弧交角与辰子卯角
等反大于巳子辰黄道赤经
交角则于辰子卯赤经高弧
交角内反减巳子辰黄道赤
经交角馀巳子卯角为黄道
高弧交角即知黄平象限在
天顶北也又如太阴申点在
夏至未点之前而在正午之
东当以赤经高弧交角与黄
道赤经交角相加为黄道高
弧交角今甲申丁赤经高弧
交角与戌
申酉角等与巳申戌黄道赤
经交角相加大于一百八十
度则减去巳申戌角及戌申
未角共一百八十度馀未申
酉角为黄道高弧交角亦如
黄平象限在天顶北也总之
黄道出入于赤道之内外随
天左旋其高低斜正既随时
不同又以人所居之南北异
地改观益多变换然定之以
数自无遁形或从地平立算
或从子午圈立算或从赤道
经圈立算法虽不同理实一
致合而观之益见弧线三角
之用至通变矣
求月食初亏复圆并径黄道交角〈即纬差角〉
定月食方位月当黄道无距纬即用黄道高弧交角为定交角若月在交前后有距纬则又求纬差角与黄道高弧交角相加减为定交角上编言之详矣〈见月食方位篇〉然求纬差角之法必先用初亏复圆交周各求距纬今初亏复圆距弧皆斜距之度须复以斜距与白道为比例方得交周颇为费算且前已有斜距黄道交角与九十度相加减即黄道交实纬角则求得并径交实纬角与之相减馀并径交黄道之角即纬差角甚为简便故质名之曰并径黄道交角至其与黄道高弧交角相加减之法并同上编兹不复载如图甲乙为黄道丙乙为白道丙丁为黄道距等圏戊己为日月两经斜距甲为地影心食甚时月心在庚初亏时月心在戊复圆时月心在己戊甲辛角为初亏并径黄道交角即初亏纬差角己甲乙角为复圆并径黄道交角即复圆纬差角求之之法先以丙甲庚斜距黄道交角〈丙甲庚角与庚丙丁角等〉与九十度相加得庚甲辛角为初亏黄道交食甚实纬角〈甲庚为食甚两心相距不系经圏以其为南北之度故借名实纬〉以丙甲庚斜距黄道交角与九十度相减馀庚甲乙角为复圆黄道交食甚实纬角〈此论在交前地影由甲向乙月由丙向乙故戊为初亏己为复圆若在交后地影由乙向甲月由乙向丙则己为初亏其角与九十度相减戊为复圆其角与九十度相加〉次求得庚甲戊角与庚甲己角等为并径交食甚实纬角初亏则与庚甲辛角相减馀戊甲辛角即初亏并径黄道交角复圆则与庚甲乙角相减馀己甲乙角即复圆并径黄道交角也乃视并径交实纬角小于黄道交实纬角则初亏复圆在黄道之南北与食甚同若并径交实纬角转大于黄道交实纬角则南北与食甚相反盖太阴近交初亏复圆一在交前一在交后则距纬之南北必变如乙为中交食甚地影心在甲月心在庚甲庚为食甚实纬在黄道北初亏庚甲壬并径交实纬角小于庚甲辛黄道交实纬角则初亏亦为纬北与食甚同复圆庚甲癸并径交实纬角大于庚甲乙黄道交实纬角则复圆变为纬南与食甚相反也食甚实纬在黄道南及食甚在交后者皆仿此既知初亏复圆并径黄道交角及其在黄道之南北则与黄道高弧交角相加减为定交角其理并与上编同
求白经高弧交角
日食三差之法以黄白二道交角与黄道高弧交角相加减得白道高弧交角白道与高弧及白道经圏相交成正弧三角形直角对高下差交角对南北差馀角对东西差上编言之详矣今以黄赤二经交角加减黄白二经交角得赤白二经交角与赤经高弧交角相加减得白经高弧交角对东西差馀角对南北差盖白道与白道经圏相交其角必九十度白经高弧交角即白道高弧交角之馀〈凡弧角与九十度相减所馀为馀馀角〉是用白经高弧交角与用白道高弧交角等且以赤经高弧交角与黄道赤经交角相加减得黄道高弧交角〈见前篇〉又加减黄白二道交角为白道高弧交角须加减二次而黄赤二经交角即黄道赤经交角之馀交食时日必近交黄白二经交角又即与黄白二道交角等故以黄赤二经交角与黄白二经交角相加减得赤白二经交角则为初亏食甚复圆同用之数至求三限白经高弧交角止与赤经高弧交角一加减而得之其法尤为省便也二经交角加减之法以黄道之二至白道之二交为定盖惟冬夏二至黄经与赤经合无交角冬至后黄道自南而北黄经必在赤经西夏至后黄道自北而南黄经必在赤经东交周初宫十一宫在正交前后白道自南而北白经必在黄经西〈犹黄道冬至后〉交周五宫六宫在中交前后白道自北而南白经必在黄经东〈犹黄道夏至后〉乃视黄经在赤经西白经又在黄经西或黄经在赤经东白经又在黄经东则相加得赤白二经交角东仍为东西仍为西若黄经在赤经西而白经在黄经东或黄经在赤经东而白经在黄经西则相减得赤白二经交角黄赤二经交角大则从黄经之向黄白二经交角大则从白经之向若两角相等而减尽无馀则白经与赤经合无交角也其与赤经高弧交角加减之法则以日距正午之东西为定盖惟日当正午则赤经与高弧合无交角午前赤经必在高弧东午后赤经必在高弧西乃视赤经在高弧西白经又在赤经西或赤经在高弧东白经又在赤经东则相加得白经高弧交角午东亦为限东午西亦为限西若赤经在高弧东而白经在赤经西或赤经在高弧西而白经在赤经东则相减为白经高弧交角赤白交角小则午东仍为限东午西仍为限西赤白交角大则午东变为限西午西变为限东若两角相等而减尽无馀则白经与高弧合无交角即知太阳正当白平象限上若两角相加适足九十度则白道在天顶与高弧合若两角相加过九十度则与半周相减用其馀即知白平象限在天顶北也是法也不用求黄道高弧交角而迳求白经高弧交角入算甚简而理亦无遗新法用简平仪绘图尤为明显列图如左
如图甲为天顶乙丙丁戊
为地平圏丙己戊为赤道
庚己辛为黄道己为春分
庚为冬至辛为夏至癸为
赤极〈即北极〉壬为黄极庚壬
癸辛为过二至经圏即过
二极经圏冬至日行在庚
黄赤二经合为一线无交
角冬至后日行自南而北黄
经必在赤经西渐远则角渐
大至春分而止如日行在子
壬子黄经在癸子赤经西壬
子癸角为黄赤二经交角即
癸子己黄道赤经交角之馀
春分日行在己〈己子壬角九十度〉壬己黄经在癸己赤经西壬
己癸角为黄赤二经交角与
戊己辛二道交角等是为最
大过此又渐小〈壬己辛角戊己癸角
皆九十度〉夏至日行在辛则黄
赤二经又合为一线无交角
夏至后日行自北而南黄经
必在赤经东渐远则角又渐
大至秋分而止如日行在丑
壬丑黄经在癸丑己子壬角
九十度壬己辛角戊己癸角
赤经东壬丑癸角为黄赤
二经交角即癸丑辛黄道
赤经交角之馀〈癸丑辛角与寅丑卯
角等〉秋分日行在寅壬寅黄
经在癸寅赤经东壬寅癸
角为黄赤二经交角与丙
寅辛二道交角等过此又
渐小至冬至乃复合为一
线也至白道之交于黄道
亦如黄道之交于赤道但
其行度自正交起算交食
时日月又必近交故其南
北东西及两经交角惟以
两交为定设白极在辰正
交在午白道自南而北〈犹黄
道之春分〉日行在正交点如午
或正交前如子正交后如
巳白经皆在黄经西黄白
二经交角皆与黄白二道
交角为相等〈惟日在正交午点其壬午
辰黄白二经交角与庚午未黄白二道交角等若在
交前如子交后如巳其壬子辰与壬巳辰黄白二经
交角皆微小于二道交角然所差无多故为相等与
上编捷法同〉此黄经在赤经西
白经又在黄经西则以黄
白二经交角与黄赤二经
交角相加为赤白二经交
角也设白极在申中交在
酉白道自北而南〈犹黄道之秋分〉日行在中交点如酉或中
交前如子中交后如已白
经皆在黄经东黄白二经
交角亦与黄白二道交角
为相等此黄经在赤经西
而白经在黄经东则以黄
白二经交角与黄赤二经
交角相减为赤白二经交
角黄赤二经交角大则从
黄经之向白经亦在赤经
西也设黄经在赤经西而
中交近二至经圏如戌亥
戌白经在壬戌黄经东壬
戌亥黄白二经交角反大
于壬戌癸黄赤二经交角
相减馀癸戌亥角为赤白
二经交角则从白经之向
白经转在赤经东也既得
赤白二经交角是为初亏
食甚复圆同用之数〈初亏至复
圆太阳行度无几故二经交角不改〉随时求
得赤经高弧交角与之加
减即得各时白经高弧交
角如日行在子是为午后
甲子癸角为赤经高弧交
角辰子癸角为赤白二经交
角此赤经在高弧西白经又
在赤经西则相加得辰子甲
角为白经高弧交角白经更
在高弧西是知太阳在白平
象限西也又如日行在己是
为午前甲己癸角为赤经高
弧交角辰己癸角为赤白二
经交角此赤经在高弧东白
经在赤经西则相减馀甲己
辰角为白经高弧交角赤白
二经交角大白经为在高弧
西是知太阳虽在午东而却
在白平象限西也盖惟太阳
正当白平象限则白道经圏
过天顶与高弧合为一线限
东者白经
必在高弧东限西者白经必
在高弧西是定白经之东西
与白平象限一理也又与白
道平行作干坎线则辰子坎
角为九十度甲子坎角为白
道高弧交角与干子艮角等
甲子辰白经高弧交角即甲
子坎角之馀是用白经高弧
交角与用白道高弧交角一
理也又如癸丁北极出地二
十八度赤道距天顶之甲震
弧亦二十八度春分巳点在
午西夏至前巽点当正午震
巽距赤道北二十三度馀正
交在离巽甲距黄道北又四
度馀则白道在天顶与高弧
合日行在
离甲离癸赤经高弧交角与
癸离坤赤白二经交角相加
得甲离坤白经高弧交角适
足九十度盖白经与白道相
交其角必九十度白道既与
高弧合故白经高弧交角亦
九十度也过此以往北极愈
低则白道极北入地平下南
出地平上白道即在天顶北
白经高弧交角即大于九十
度而成钝角则与半周相减
馀为白道南之经圏与高弧
相交之角是不求限距地高
而白平象限在天顶之南北
俱以白经高弧交角为定也
白经在赤经东者仿此
求高下差
高下差者日月高下之视差也日食食甚用时乃从地心立算人在地面视之则有地半径差而太阳地半径差恒小太阴地半径差恒大故于太阴地半径差内减去太阳地半径差始为高下差焉〈见上编日食三差及日月地半径差篇〉如日月实高本系同度而太阳以地半径差之故视高比实高低五秒太阴以地半径差之故视高比实高低三十分则人之视太阴必比太阳低二十九分五十五秒也然求两地半径差而后相减其法甚繁今按半径一千万与日月距天顶正之比既皆同于地平地半径差与本时地半径差之比〈见本编日躔地半径差篇〉而全与全之比又原同于较与较之比则以半径一千万与日距天顶之正之比〈交食时日月高弧略相等故即以日高弧为月高弧〉必亦同于地平高下差与本时高下差之比矣故今求高下差唯以本时太阴距地数求得太阴地平地半径差内减太阳地平地半径差十秒馀为地平高下差初亏食甚复圆各以其时日距天顶之正为比例其法甚为省便也
如图甲为地心乙为地面丙
丁为日天戊己为月天假如
日在庚实距天顶为丙甲庚
角视距天顶为丙乙庚角与
丙甲丁角等其差庚甲丁角
即地平太阳地半径差与甲
庚乙角等甲乙地半径即其
角之正与庚辛等又如日
在壬实高为壬甲丁角视高
为壬乙庚角与癸甲丁角等
其差壬甲癸角即本时太阳
地半径差与甲壬乙角等将
壬乙线引长作甲子垂线即
其角之正与壬丑等甲乙
子勾股形子角为直角乙角
与丙乙壬角为对角即太阳
视距天顶
之度甲乙即地平太阳地半
径差之正甲子即本时太
阳地半径差之正因其边
度甚小正与弧线可以相
为比例则甲乙即为地平太
阳地半径差与庚丁弧等甲
子即为本时太阳地半径差
与壬癸弧等故以子直角正
与乙角正之比即同于
地平太阳地半径差甲乙与
本时太阳地半径差甲子之
比也假如太阴在寅实距天
顶为寅甲戊角视距天顶为
寅乙戊角与已甲戊角等其
差寅甲巳角即地平太阴地
半径差与甲寅乙角等甲乙
地半径亦
其角之正〈甲乙同为地半径甲庚日
天半径大故角小甲寅月天半径小故角大〉与
寅卯等又如月在辰实高为
辰甲己角视高为辰乙寅角
与巳甲己角等其差辰甲巳
角即本时太阴地半径差与
甲辰子角等甲子亦其角之
正与辰午等因以正作
弧度则甲乙即地平太阴地
半径差与寅己等甲子即
本时太阴地半径差与辰巳
弧等故以子直角正与乙
角太阴视距天顶正之比
亦同于地平太阴地半径差
甲乙与本时太阴地半径差
甲子之比也试以日天半径
与月天半径为甲乙同为地
半径甲庚日天半径大故角
相等而比较之〈日天月天半径不等
故地半径虽等而差角不等今以日天半径与月天
为相等则差角之不等者其正亦不等乃可相较
也自地平太阳实高线割〉
月天之未点与乙庚视高
线平行作未申线则甲未
申角与甲庚乙角等甲申
即地平太阳地半径差〈甲申
本系甲未申角之正因以正作弧度则甲申正
与未已弧等而月天之未已弧与日天之庚丁弧
同当庚甲丁角其度相等故甲申即为地平太阳地
半径差〉与甲乙地平太阴地
半径差相减馀申乙即地
平高下差〈甲乙当寅已弧甲申当未巳弧
乙申当寅未弧〉自本时太阳实高
线割月天之酉点与乙壬
视高线平行作酉申线引
长至戌则甲酉戌角与甲
壬乙角等甲戌即本时太
阳地半径差与甲子本时
太阴地半径差相减馀戌
子即本时高下差与申亥
等〈甲子当辰巳弧甲戌当酉巳弧子戌当辰酉弧〉申乙亥与甲乙子为同式
形故以亥直角正与乙
角日距天顶正之比亦
即同于地平高下差申乙
与本时高下差申亥之比
也
右求高下差以半径与太
阳视距天顶之正为比
例今日食所推太阳高弧
乃实距天顶之度而即以
其正比例高下差者盖
实高与视高所差无多故
借用之自来实高视高相
求皆同一地半径差加减互
用不列二表也如细辨之地
平太阳实高在丁太阴实高
在已丁乙庚角为地平太阳
地半径差与甲丁乙角等甲
乙地半径为其角之切线当
庚丁弧巳乙辛角为地平太
阴地半径差与甲己乙角等
亦以甲乙地半径为其角之
切线当辛巳弧前以地半径
为其角之正此以地半径
为其角之切线其角度虽有
微差然最大者不过半秒愈
高则愈小故亦以弧度为比
例而甲乙即为地平太阳地
半径差亦即为地平太阴地
半径差也
本时太阳实高在壬太阴在
癸壬乙子角为本时太阳地
半径差与甲壬乙角等乙丑
为其角之垂线当子壬弧癸
乙寅角为本时太阴地半径
差与甲癸乙角等亦以乙丑
为其角之垂线当寅癸弧丑
壬之长小于甲壬丑癸之长
小于甲癸则角度必较弧度
为稍大盖视高低于实高其
大固宜然所差甚微故亦以
弧度为比例而乙丑即为本
时太阳地半径差亦即为本
时太阴地半径差也试自地
平太阳视高线割月天之卯
点与甲丁实高线平行作卯
辰线则乙
卯辰角与甲丁乙角等乙辰
当辛卯弧即地平太阳地半
径差以乙辰与地平太阴地
半径差甲乙相减馀甲辰当
卯已弧即地平高下差自本
时太阳视高线割月天之巳
点与甲壬实高线平行作巳
辰线则乙巳辰角与甲壬乙
角等乙午当寅巳弧即本时
太阳地半径差以乙午与本
时太阴地半径差乙丑相减
馀午丑与辰未等当巳癸弧
即本时高下差甲乙丑与甲
辰未为同式形丑未二角为
直角甲角为日月实距天顶
之度故以直角正与实距
天顶正
之比同于地平地半径差甲
乙与本时地半径差乙丑之
比亦同于地平高下差甲辰
与本时高下差辰未之比也
今日食用简平仪法求地面
日影心之所在皆用实高比
例高下差设日实高在丁则
正射地心照至地面酉点之
影当月天巳点之度照至地
面乙点之影当月天卯点之
度是酉乙地面上应日天实
距天顶之丙丁弧而其当月
天之度则为卯巳高下差也
设日实高在壬则正射地心
照至地面申点之影当月天
癸点之度照至地面乙点之
影当月天
巳点之度是乙申地面上
应日天实距天顶之丙壬
弧而其当月天之度则为
巳癸高下差也若以地平
高下差为半径作地面平
圆则甲乙即卯巳之度为
地平 〈等〉高下差当乙酉地
〈以地球为平面则地面之弧与正等甲乙为乙酉
弧之正故甲乙当乙酉弧〉面与日天
之丙丁弧等乙丑即巳癸
之度为本时高下差当乙
申地〈乙丑为乙申弧之正故乙丑当乙申弧〉面与日天之丙壬弧等由
此推之时时实距天顶之
度在地面皆与本时高下
差〈实距天顶之度原与地面之弧度等简平仪以
地球为平面则地面之弧又与地面之正等今地
面之正既为高下差故实距天顶之度即与高下
差等〉故随高弧之所向以高下
差之度自圆心取之即日影
心之所在随白经之所向以
实纬之度自圆心取之即月
影心之所在此所以用实高
为比例于视差之理尤为显
而易明也差等
求日食食甚真时及两心视相距
日食求食甚真时及食甚视纬新法算书用浑天仪法以食甚用时之东西差与食甚近时之东西差相较得视行以用时之东西差比例得时分与食甚用时相加减〈限西加限东减〉而得食甚真时以真时之南北差与食甚实纬相加减〈白平象限在天顶南纬南则加纬北则减白平象限在天顶北纬南则减纬北则加〉而得食甚视纬上编言之详矣〈见日食三限时刻及求食甚真时食甚视纬篇〉然其求真时也必求太阴视行正当实纬之度乃以视行之道与白道为平行故与实纬成直角而视纬与实纬必合为一线也夫近时之东西差与用时之东西差既不等〈因白道高弧交角及高下差不同之故〉则南北差亦不等而视行即不与白道平行视行既不与白道平行则实纬即不与视行成直角而日月两心相距最近之线亦不与实纬合为一线矣近日西法用简平仪绘图算〈浑仪从上视如观平面是为简平仪〉以本日地平高下差〈本日地平日月两地半径差相减馀为本日地平高下差〉为半径作平圆〈即地径当月天之度〉即地受日照之半面上应浑天半周圆心即日射地面至地心之点以人视日则人所处之地面即日影心以日照月则月所当之地面即月影心假令人所处之地面正在圆心则必见日当天顶又正当子午圏而月之实纬即日月两心视相距外此则日影心之所在随时随地不同若日影心与月影心同点则必见日全食若日影心与月影心之相距大于并径则不见食故先以食甚用时求其两心视相距复设一时〈限西向后设限东向前设〉亦求其两心视相距以此两视距线及所夹之角求其对边为视行自日影心至视行作垂线与视行成直角是为两心相距最近之处月影心临此直角之点即为食甚真时因垂线不与实纬合故不曰视纬而曰两心视相距然后以所得真时复考其两心视相距果与所求垂线合则食甚真时即为定真时不然则又作垂线求之盖太阴视差时时不同其视行之道既不与白道平行又不能自成直线其两心视相距最近之线不与白道成直角而与视行成直角〈两心实相距不与白道成直角而与斜距成直角两心视相距又不与斜距成直角而与视行成直角今法与旧法之不同在此〉故反复推求务得太阴正当视行直角之点斯为两心最近之处而食甚乃为确凖也是法也可以图代算可以一图而知各地见食之不同新奇精巧与旧法迥殊然其理无不可以相通盖旧法以浑测浑可实指其东西南北之差而视行之法甚简新法写浑于平可实稽其实距视距之异而视差之理尤精今以新法合旧名义参观而详觧之则理之确者以并观而并明法之奇者因相较而益显庶观者由旧径以适新途不致有捍格之势而算者取新规以合旧范更坐収密合之方矣
如雍正八年庚戌六月戊
戌朔日食太阴实引初宫
八度四十七分三十一秒
四○地平地半径差五十
三分五十九秒九○内减
太阳地平地半径差十秒
馀五十三分四十九秒九
○为本日地平高下差以
此为干坎半径作坎艮震
巽平圆〈以五十三分作五寸三分以四十九
秒九○通作八釐三毫绘图用四分之一后仿此〉即地球受日照之半面上
应浑天半周而其当月天
之度则为五十三分五十
秒〈四十九秒九○进为五十秒入算仍用小馀他
仿此〉故以地球上应浑天之
度而论则干为日照地面
之正中距圆界各九十度
〈以地球为平面则地面之弧与正等半径为九十
度之正故半径即九十度〉假令人在
圆心干则见日当天顶又
当正午坎震赤道径圏即
其地之子午圈艮巽即其
地之卯酉圏坎为北震为
南艮为东巽为西若人在
圆界则见日当地平在坎
震线之西者见日为午前
在坎震线之东者见日为午
后自是以外则见日之高下
随地不同要以人所处之地
面为日影心上应本处天顶
人距日照地面正中之度即
日距天顶之度而以地面所
当月天之度而论则地之半
径与地平高下差等人距日
照地面正中之度与本时高
下差等故随高弧之所向以
本时〈见前高下差篇〉高下差之度
自圆心取之即人所处之地
面亦即本时之日影心随白
经之所向以月实纬之度自
圆心取之即本时之月影心
夫月影心当月天之度即太
阴之实纬度见前高下差篇
而日影心当月天之度不
为太阳之实高度而为太
阳之视高度则地面日月
两影心之相距因高下差
而殊而食甚之早晚食分
之浅深所以因视差而变
者皆可按图而稽矣乃以
本时日距赤道北二十一
度三十八分一十二秒○
二取艮离巽坤之分〈即离干艮
角与坤乾巽角等〉作离坤线截赤
道经圏于兑作艮兑巽弧
为赤道则兑干即日距赤
道北之纬度又作甲干乙
弧为赤道距等圈即太阳
随天西转之轨又以坎艮
九十度之分自离截圆界
于丁自坤截圆界于丙作
丙丁线截子午圈于戊则
戊点为北极戊兑为九十
度戊干为日距北极六十
八度二十一分四十七秒
九八又以本时黄赤二经
交角九度二十一分二十
秒五七取坎干己角〈本时日在
夏至后黄经在赤经东故向东取〉作己庚
线为黄道经圏自干与己
庚线取直角作辛干线为
黄道辛为秋分干辛为日
距秋分前六十七度四十
二分五十四秒四三是时
京师食甚用时为午正二
刻九分五十八秒九五日
距午西赤道度为九度五
十九分四十四秒二五则
京师地面必在坎震线之
东故以用时赤经高弧交
角二十二度四十三分八
秒三九取戊干壬角以用
时日距天顶二十度九分
四十八秒二七之高下差
一十八分三十三秒三四
取壬干之分作壬干线自
戊向壬作戊壬癸弧则壬
点为京师之地面即用时
之日影心上应京师天顶
壬干为用时日距天顶之
高弧在地则与用时高下
差等戊壬癸为京师子午
圏戊壬为京师北极距天
顶五十度五分戊角为用
时日距午西赤道度〈戊干壬角
及干壬弧俱用戊干壬三角形求之而得〉又以
斜距黄道交角五度四十
四分五十五秒二九取已干
子角作〈白二经交角本时月在中交前白经
在黄经〉丑寅线为白道经圏
以〈东故向东取〉月实纬距黄道
北二十三分二十八秒四五
自干向北截之于子与丑寅
线取直角作卯辰线为白道
则子点为〈即斜距经圏〉用时月
影心壬子即用时日月两影
心视相距乃用干壬子三角
形干子为食甚用时日月两
心实相距干壬为用时高下
差以己干丑黄白二经交角
与坎干己黄赤二经交角相
加得坎干丑角一十五度六
分一十五秒八六为赤白二
经交角本时〈即两经斜距〉月在中交前〈黄经在赤经东白经又在〉
〈未初初刻为设〉与坎干壬赤经高
弧交角相减馀丑干壬角
七度三十六分五十二秒
五三为用时白经高弧交
角即用时对两心视相距
角〈时黄经东故相加赤经在高弧西白经在赤经
东故相减赤白交角小〉用切线分外
角法求得壬角一百四十
六度三十四分二秒○七
为用时对两心实相距角
又求得壬子边五分三十
八秒七四为用时日月两
影心视相距此时白经实
距在高弧西月影心必在
日影心之西则食甚用时
尚在食甚前也次向后取
〈白经仍在高弧西白经在高弧西
月影心差而西用时尚在食甚前故向后设若白经
在高弧东月影心差而东用时已过食甚后则向前
设以设时赤经高弧交角〉
三十一度三十三分一秒
七三取戊干己角以设时
日距天顶二十二度一十
七分四十二秒二六之高
下差二十分二十五秒三
五取干己之分作干己线
自戊向已作戊己弧则己
点为设时日影心干己为
设时日距天顶之高弧在
地则与设时高下差等戊
己即京师北极距天顶五
十度五分与戊壬等〈太阳本随
距等圏西转今以太阳为不动则影向东移亦与赤
道成距等圏其距北极皆相等〉己戊干角
即设时日距午西一十五
度〈戊干己角及干巳弧俱用戊干巳三角形求之
而得〉次以设时距用时二十分
一秒○五与一小时两经斜
距二十七分一十六秒五六
为比例得用时至设时之月
实行为九分六秒自子向东
截之于午则午点为设时月
影心午子为设时距弧午干
子角为设时〈月由白道东行设时在用
时后故距弧向东取〉对距弧角二十
一度一十一分二十秒九九
午干为设时两心实相距二
十五分一十秒五八己午为
设时日月两影心视〈午干子角及午
干弧俱用午干子三角形求之而得〉相距乃
用己干午三角形以坎干己
设时赤经高弧交角与坎干
丑赤白二经交角而得月由
白道东行设时在用时后故
相减馀丑干己角一十六
度二十六分四十五秒八
七为设时白经高弧交角
〈加减之理与用时白经高弧交角同〉与午干
子对距弧角相减馀巳干
午角四度四十四度三十
五秒一二即设时对两心
视相距角〈月在黄道北白经在高弧西对
距弧角大则实距在高弧东对距弧角小则实距在
高弧西白经在高弧东者仿此〉用切线分
外角法求得巳角一百五
十五度五十七分四十六
秒四○为设时对两心实
相距角又求得己午边五
分六秒六五为设时两心
视相距此时实距在高弧
东月影心必在日影心之
东则设时巳过食甚后而
食甚真时之月实行必在子
午二
之间矣于是与巳午
线平行作壬未线与巳午等
为设时两心视相距又与巳
干平行作壬申线为设时高
弧则未壬申角与午巳干角
等以丑干壬用时白经高弧
交角与丑干巳设时白径高
弧交角相减馀壬干巳角八
度四十九分五十三秒三四
为两白经高弧交角较与干
壬申角等与干壬子用时对
两心实相距角相减馀申壬
子角一百三十七度四十四
分八秒七三为设时高弧交
用时视距角与未壬申角相
加未壬申角与午〈角相加〉〈未壬申角与午〉
〈巳干角等即对设时两心实相距角〉得二百
九十三度四十一分五十
五秒一三与三百六十度
相减馀未壬子角六十六
度一十八分四秒八七为
对设时视行角〈用时实距在高弧西
设时实距在高弧东两角与高弧相背故相加若同
在高弧之一边则相减又用时设时两月影心俱在
日影心之北两角与两视距相背俱为钝角故相加
即过一百八十度与全周相减方为两视距所夹之
角乃用未壬子三角形壬〉
子为用时两心视相距壬
未为设时两心视相距未
壬子角为所夹之角用切
线分外角法求得子角五
十二度二十九分四十五
秒六九为对设时视距角
又求得子未边五分五十
三秒九五为设时视行次
自壬作壬酉垂线与子未
视行成直角则壬酉相距
为最近故用壬子酉直角
形求得子酉分边三分二
十六秒二三为真时视行
以子未设时视行与设时
距分二十分一秒○五之
比即同于子酉真时视行
与真时距分一十一分三
十九秒八○之比与食甚
用时相加得午正三刻六
分三十九秒为食甚真时
〈食甚用时白经在高弧西月影视在西真时在用时
后故加若白经在高孤东月影视在东真时在用时
前则减〉又求得壬酉垂线四
分二十九秒即食甚真时
两心视相距也夫京师之
地面一也既以人所处之地
面为日影心而用时日影心
在壬设时日影心在已其故
何也盖人之〈此图用三分之一〉所
处原有定在而太阳随天西
转其所照之地面时时不同
设时太阳既转而西人在壬
视之则干点亦移而西矣今
仍就原干点立算则人之视
日如在己视干是非人所处
之地面改也日之所照者改
也若就一壬点立算则设时
日照地面正中之点随距等
圏西转至申白道经圏西转
至戌戊申为太阳距北极与
戊干等申戌为距纬与子干
等戊申戌角此图用三分之
一
为赤白二经交角与戊干丑
角等戊壬为京师北极距天
顶与戊巳等申戊壬角为设
时日距午西赤道度与干戊
巳角等戊申壬角为设时赤
经高弧交角与戊干巳角等
申壬为设时太阳距天顶即
设时高下差与干已等戌申
壬角为设时白经高弧交角
与子干巳角等戌未为设时
距弧与子午等未申戌角为
设时对距弧角与午干子角
等壬申未角为设时对两心
视相距角与巳干午角等人
在壬视之则日影心总在壬
而用时则见月影心在子设
时则见月
影心在未是自用时至设时
见月影心循子未线行故子
未为设时视行夫子未视行
线既不与白道平行则壬酉
两心相距最近之线即不与
白道成直角而与视行成直
角故以月影心临于酉点为
食甚真时以壬酉垂线为食
甚两心视相距也然则与旧
法之可以相通者何也盖旧
法从太阴取高下差今从日
影心当月天之度取高下差
形象虽殊理数则一试与白
道平行作壬亥水线与白经
平行作壬火木线及未土线
则壬亥即用时东西差干亥
即用时南
北差与干子相减馀亥子
用壬亥子勾股形亦可求
壬子边壬水即设时东西
差申水即设时南北差以
申水与申戌相减馀壬火
〈壬火与水戌等〉以壬水与戌未距
弧相减馀火未用壬火未
勾股形亦可求壬未边壬
亥与火未相加得子土〈壬亥
与子木等火未与木土等〉壬火与亥子
相减馀未土〈亥子与壬木等火木与未
土等〉用子未土勾股形亦可
求子未边既得三边则用
壬子未三角形亦可求中
垂线矣是则与旧法之可
以相通者然也然则与旧
法之所以异者何也按旧
法当以壬水设时东西差
与戌未设时距弧相减〈旧法
以用时东西差为距弧故即以两东西差相减〉馀
火未与子木用时东西差
相加〈火未与木土等子木与壬亥等〉得子
土为设时视行乃以白道
度算故以太阴视行经度
临于白道木点为食甚真
时壬木线与白道成直角
今以子未为设时视行不
以白道度算故以月影心
临于酉点为食甚真时壬
酉线不与白道成直角而
与子未视行成直角是则
与旧法之所以异者然也
然则设时与近时之不同
何也盖旧法以木点为白
道当太阳之度故先求实
行至木点之时刻为近时
而近时视行又不正当木点
故又以近时视行与近时距
分为比例而得食甚真时今
以实行至未点之时刻为设
时故以设时视行与设时距
分为比例而得食甚真时其
所不同者惟在视行与白道
平行不平行之殊若均以视
行为不与白道平行立算则
或用设时或用近时其所得
真时正自相同也然则简平
与浑天之同异何也盖浑天
以仰观立算故以太阴当日
天之度为视差简平以俯视
立算故以太阳当月天之度
为视差今干申二点之影自
日心正射
地心乃太阳实高当月天
之度壬点之影自日心照
至地面乃太阳视高当月
天之度〈见前高下差篇〉故壬干壬
申皆为高下差夫太阳视
高既当月天壬点而用时
月心原在月天子点设时
月心原在月天未点故壬
子壬未即皆为日月两心
视相距是以日天当月天
之度算也若以月天当日
天之度而论则用时月天
壬点之度当日天之干而
太阴子点即当日天之亢
故子亢为用时高下差与
干壬等干亢为用时两心
视相距与壬子等设时月
天己点之度当日天之干
而太阴午点即当日天之
氐故午氐为设时高下差
与干己等干氐为设时两
心视相距与己午等亦与
壬未等而亢氐亦与子未
等是简平与浑天本属一
理但自圆外观耳如以圆
内仰观立算则上为北下
为南东西犹旧〈此以白平象限在天
顶南而论如白平象限在天顶北则上为南下为北
东西相反〉用时日心在干月心
实高在子视高在亢子亢
为用时高下差一十八分
三十三秒三四〈此图用全分〉干
子亢角为用时白经高弧
交角七度三十六分五十
二秒五三与子亢房角等
子房为用时东西差二分
二十七秒五三与亢斗等
房亢为用时南北差一十
八分二十三秒五二与子
斗等以子斗与子干二十
三分二十八秒四五相减
馀斗干五分四秒九三用
干斗亢勾股形求得干亢
五分三十八秒七四为
用时两心视相距设时日
心仍在干月心实高在午
视高在氐午氐为设时高
下差二十分二十五秒三
五午氐牛角为设时白经
高弧交角一十六度二十
六分四十五秒八七牛午
为设时东西差五分四十
六秒九一牛氐为设时南
北差一十九分三十五秒
二二与子女等以牛午与
子午设时实距弧九分六
秒相减馀子牛三分一十
九秒○九为设时视距弧
与女氐等以子女与子干
相减馀女干三分五十三
秒二三用干女氐勾股形
求得干氐五分六秒六
五为设时两心视相距次
以女氐设时视距弧与亢
斗用时东西差相加〈女氐与斗
虚等〉得亢虚五分四十六秒
六二为用设二时视距和
以房亢用时南北差与牛
氐设时南北差相减馀虚
氐一分一十一秒七○为
用设二时纬差较用亢氐
虚勾股形求得亢氐五
分五十三秒九六为设时
视行次用干亢氐三角形
求中垂线分为两勾股法
求得亢危分边三分二十
六秒二四为真时视行干
危垂线四分二十九秒为
真时两心视相距〈干亢干氐两腰
各自乘相减以亢氐勾和除之得勾较与勾和相加
折半得亢危大勾勾求股得干危垂线〉其数
皆与前同是东西南北差
与实距视距一理也如用
近时之法算之先以子房
用时东西差二分二十七
秒五三取子甲之分为近
时实距弧以一小时两经
斜距二十七分一十六秒
五六为比例而得近时距
分五分二十四秒五二为
太阴行子甲弧之时分〈即近
时距用时之时分〉与食甚用时午
正二刻九分五十八秒九
五相加〈用时月在白平象限西视经度差而
西近时在用时后故加若月在白平象限东视经度
差而东近时在用时前则减〉得午正三
刻零二十三秒四七为食
甚近时即太阴行至甲点
之时刻惟时太阴实高在
甲视高在乙甲乙为近时
高下差一十九分零百分
秒之三十七按法求得甲
乙丙角一十度一十二分
一秒九二为近时白经高
弧交角甲丙为近时东西
差三分二十一秒九五丙
乙为近时南北差一十八
分四十二秒三五与子丁
等以子甲近时实距弧与
甲丙近时东西差相减馀
子丙五十四秒四二为近
时视距弧在实纬西〈即近时视
行距实纬之弧月在白平象限西视经度差而西而
东西差大于实距弧故为纬西若小于实距弧则为
纬东月在限东反是〉与乙丁等以子
丁近时南北差与子干实
纬二十三分二十八秒四
五相减与丁干四分四十
六秒一○用干丁乙勾股
形求得干乙四分五十
一秒二三为近时两心视
相距次以子丙近时视距
弧与子房用时东西差相
减馀丙房一分三十三秒
一一与亢戊等为用近二
时视距较〈用时东西差与近时视距弧同
在纬西故相减为视距较若一东一西则相加为视
距和〉以房亢用时南北差与
丙乙近时南北差相减〈房亢
与丙戊等〉馀戊乙一十八秒八
三为用近二时纬差较用
亢戊乙勾股形求得亢乙
一分三十四秒九九为
近时视行〈即近时距用时之视行〉次
用干亢乙三角形求形外
垂线补成两勾股法求得
亢已分边三分二十五秒
○三为真时视行〈即真时距用时
之视行〉以亢乙近时视行与
近时距分五分二十四秒
五二之比同于亢已真时
视行与真时距分一十一
分四十秒四六之比〈即真时距
用时之时分〉与食甚用时相加
〈限西故加限东则减与近时同〉得午正三
刻六分三十九秒为食甚
真时又求得干己垂线四
分二十九秒为真时两心
视相距〈干亢干乙两腰各自乘相减以亢乙
为法除之得数大于亢乙则所得为两勾和而亢乙
为两勾较故知垂线在形外若有得之数小于除之
之数则所得之数为两勾较而除之之数为两勾和
即知垂线在形内若除得之数与除之之数等则知
小腰即系垂线成直角也〉其数与用设
时所得同是用近时与用
设时一理也乃以真时午
正三刻六分三十九秒按
前法求其实高在庚视高
在辛干辛两心视相距果
为四分二十九秒与前所
求垂线合而辛角犹未为
直角故又求得乙辛边一
分五十秒四九为考真时
视行乙壬边五十一秒○
二为定真时视行干壬垂
线仍为四分二十九秒为
定真时两心视相距以乙
辛与考真时距分六分一
十五秒五三之比〈即真时距近时
之时分〉同于乙壬与定真时
距分六分一十七秒三二
之比与近时相加得午正
三刻六分四十秒七九〈进为
四十一秒〉始为食甚定真时焉
盖食甚时两心视相距之
线与视行成直角故前后
数秒之间其相距皆相等
若秒下加小馀细考之则
午正三刻六分四十一秒
之时相距为四分二十九
秒二三八九其三十九秒
之时则相距犹为四分二
十九秒二三九九至四十
三秒之时则相距又为四
分二十九秒二三九一故
以四十一秒之时为相距
尤近然测候之际至分巳
密故推算之法总以三十
秒进一分秒下之小馀原
可不计今考之又考者第
以求其确凖耳若用新数
而以视行与白道为平行
算之则早三分有奇故今
推视行之法尤为精密至
求近时则犹求设时之法
也求视差则犹求视距之
法也理无殊涂法归一致
庶几质诸往昔而无疑用
〈之推步而不忒矣〉
求日食初亏复圆时刻〈一时为〉
日食求初亏复圆时刻先以食甚视纬为一边并径为一边以视纬交白道之角为直角用正弧三角形法求得初亏复圆距食甚之弧以一小时月距日实行比例得时分与食甚真时相加减为初亏复圆用时次以初亏复圆用时各求其东西差与食甚真时之东西差相较得初亏复圆视行与初亏复圆距弧比例得时分与食甚真时相加减为初亏复圆真时上编言之详矣〈前设时求其两心视相距方位附见食食三限〉今食甚真时两心视相距与视行成直角初亏复圆距食甚之弧亦即视行之度则求初亏复圆用时以食甚视行为比例较之以月距日实行为比例者必为近之且初亏复圆用时之东西差既不与食甚真时等则南北差亦不等虽以初亏复圆视行比例得时分而其时之两心视相距亦未必与并径等然则即以视行比例之时分与食甚真时相加减犹未必即为初亏复圆真时也近日西〈时刻及求初亏复圆用时真时篇〉法初亏复圆各设〈太阴在限西食甚真时在用时后如食甚用时两心视相距与并径相去不远则以食甚用时为初亏前设时小则向前设大则向后设太阴在限东食甚真时在用时前如食甚用时两心视相距与并径相去不远则以食甚用时为复圆前设时小则向后设大则向前设〉又设一时为后设时亦各求其两心视相距〈前设时两心视相距小于并径初亏向前设复圆向后设大于并径初亏向后设复圆向前设〉乃以两视距之较为一率两设时之较为二率后设时两心视相距与并径之较为三率求得四率为初亏复圆真时距分与初亏复圆后设时相加减得初亏复圆真时〈前设时两心视相距小于并径初亏减复圆加大于并径初亏加复圆减〉然后又以真时各考其两心视相距果与并径等方为定真时焉盖初亏两周初切复圆两周初离日月两心视相距必与并径等故务求其恰合而初亏复圆乃为确准也虽其数比旧法所差无多而其理甚为细密至于设时之法则亦犹食甚用时近时之义耳今亦如食甚之次第先求初亏复圆用时〈即前设时〉次求初亏复圆近时〈即后设时〉俾学者知设时之准而其求两心视相距与以两视距比例时分则犹是设时之法也既得初亏复圆两心视相距与并径等则求得并径与高弧相交之角即为方位角图说并详于左
如雍正八年六月戊戌朔
日食日月实并径三十分
一十八秒六五食甚用时
午正二刻九分五十八秒
九五干甲两心实相距在
黄道北二十三分二十八
秒四五甲乙两心视相距
五分三十八秒七四小于
并径远甚故向前取午初
初刻四分为初亏前设时
与食甚用时相减馀一时
三十五分五十八秒九五
与一小时两经斜距二十
七分一十六秒五六为比
例得四十三分三十八秒
○一自甲向前截之于丙
则丙点为初亏前设时月
影心甲丙为初亏前设时
距弧求得甲干丙角六十
一度四十三分一十三秒
四七为对距弧角干丙边
四十九分三十二秒八三
为初亏前设时两心实相
距又以初亏前设时赤经
高弧交角二十九度五十
六分五十一秒○一取坎
干丁角〈午前赤经在高弧东故从赤经向西
取高角〉以本时日距天顶二
十一度四十九分一十一
秒○八之高下差二十分
零百分秒之五十一取干
丁之分则丁点为初亏前
设时日影心求得甲干丁
白经高弧交角四十五度
三分六秒八七与甲干丙
对距弧角相减馀丁干丙
角一十六度四十分六秒
六○为对两心视相距角
用干丁丙三角形求得丁
角一百五十二度三十八
分零百分秒之八十三为
对两心实相距角丁丙边
三十分五十五秒○一为
初亏前设时两心视相距
比并径大三十六秒三六
则初亏真时必在前设时
之后故又向后取午初初
刻八分为初亏后设时依
法求得甲戊距弧四十一
分四十八秒九一甲干戊
对距弧角六十度四十一
分二十七秒六三干戊两
心实相距四十七分五十
七秒二一甲干己白经高
弧交角四十三度二十二
分六秒七一巳干戊对两
心视相距角一十七度一
十九分二十秒九二戊己
干对两心实相距角一百
五十一度二十二分四十
四秒一一戊己两心视相
距二十九分四十八秒四
四比并径小三十秒二一
夫丙丁既大于并径戊己
既小于并径则并径必在
二线之间如庚辛乃自丁
至己作丁己线又取戊己
之分截丙丁线于癸作戊
癸线则癸丙为两视距之
较一分六秒五七丙戊为
两设时之较四分壬庚为
后设时视距小于并径之
较三十秒二一以丙癸与
丙戊之比同于壬庚与庚
戊一分四十八秒九一之
比为初亏真时距分与初
亏后设时相减〈后设时两心视相距
小于并径故减〉得午初初刻六分
一十一秒○九为初亏真
时再以初亏真时考其两
心视相距果得三十分一
十八秒六三与并径合则
初亏真时即为初亏定真
时其对考真时两心实相
距角一百五十一度五十
七分二十秒即初亏方位
角复圆仿此
又法先求初亏用时干甲
为食甚实纬〈即食甚用时两心实相距〉乙为食甚真时日影心丙
为食甚真时月影心乙丙
为食甚真时两心视相距
四分二十九秒二四与乙
丙取直角作线以日月并
径三十分一十八秒六五
取乙丁乙戊之分合成乙
丙丁乙丙戊两勾股形求
得丙丁股二十九分五十
八秒六一与戊丙等为初
亏复圆平距〈初亏复圆距食甚用时之
度名距弧故此名平距以别之〉次以食甚
定真时视行一分五十一
秒○二为一率〈即食甚定真时距食
甚近时之视行〉定真时距分六分
一十七秒三二为二率〈即食
甚定真时距食甚近时之时分俱见前篇〉初亏
复圆平距为三率求得四
率一时四十一分五十二
秒六六为初亏复圆用时
距分与食甚定真时相减
得午初初刻九分四十八
秒一三为初亏用时以用
时距分与食甚定真时相
加得未正二刻三分三十
三秒四五为复圆用时
初亏用时月影心在己甲
己为初亏用时距弧四十
分五十九秒七五〈以初亏用时与
食甚用时相减馀一时三十分一十秒八二与一小
时两经斜距二十七分一十六秒五六为比例得初
亏用时距弧〉日影心在庚辛庚
为京师北极距天顶五十
度五分干辛为日距北极
六十八度二十一分四十
七秒九八庚辛干角为日
距午东一十二度三十二
分五十八秒○五干庚为
日距天顶二十一度一十
分一十八秒二二在地则
为初亏用时高下差一十
九分二十六秒五三庚干
辛角为初亏用时赤经高
弧交角二十七度二十八
分四十五秒一○与辛干
甲赤白二经交角一十五
度六分一十五秒八六相
加得庚干甲角四十二度
三十五分零百分秒之九
十六为初亏用时白经高
弧交角〈赤经在高弧东白经又在赤经东故
加庚壬为初亏用时东西〉
差一十三分九秒三五与
甲癸等干壬为初亏用时
南北差一十四分一十八
秒九○以甲癸与甲己距
弧相减馀己癸二十七分
五十秒四○以干壬与干
甲相减馀壬甲九分九秒
五五与庚癸等用庚癸巳
勾股形求得庚巳二十
九分一十八秒四八为初
亏用时两心视相距比并
径小一分零百分秒之一
十七则初亏真时必犹在
用时前也乃以初亏用时
两心视相距为一率初亏
用时距分为二率初亏用
时两心视相距小于并径
之较为三率求得四率三
分二十九秒一六为初亏
近时距分与初亏用时相
减〈初亏用时两心视相距小于并径故减〉得
午初初刻六分一十八秒
九七为初亏近时盖就食
甚真时乙点立算与庚巳
平行作乙子线与庚巳等
即初亏用时两心视相距
自丙至子作丙子线即初
亏用时视行〈即初亏用时距食甚定真
时之视行〉以时刻而论即初亏
用时距分〈即初亏用时距食甚定真时之
时分〉试将乙子线以并径之
分引长至丑则子丑即初
亏用时两心视相距小于
并径之较又将丙子线引
长至寅使子丑寅与子乙
丙成同式形则乙子与行
丙子弧时分之比即同于
子丑与行子寅弧时分之
比以子寅与丙子时分相
加〈初亏在食甚前时刻减而早则距食甚前之视
行愈多故视行为加〉得丙寅与丙丑
等故以丑点为初亏近时
之月影心丙丑为初亏近
时距食甚之视行其乙丑
两心视相距乃与并径等
也〈子丑寅与子乙丙为同式形则丙丑必长于丙
寅然所差无多故以太阴视行临于丑点为初亏近
时〉
初亏近时月影心在卯甲
卯为初亏近时距弧四十
二分三十四秒八四〈以初亏近
时与食甚用时相减馀一时三十三分三十九秒九
八与一小时两经斜距为比例得初亏近时距弧〉日影心在辰辛辰为京师
北极距天顶五十度五分
辰辛干角为日距午东一
十三度二十五分一十五
秒四五辰干为日距天顶
二十一度三十三分一十
七秒九四在地为初亏近
时高下差一十九分四十
六秒六五辰干辛角为初
亏近时赤经高弧交角二
十八度五十八分五十七
秒四二与辛干甲赤白二
经交角相加得辰干甲角
四十四度五分一十三秒
二八为初亏近时白经高
弧交角辰已为初亏近时
东西差一十三分四十五
秒六一与甲午等干巳为
初亏近时南北差一十四
分一十二秒三五以甲午
与甲卯距弧相减馀午卯
二十八分四十九秒二三
以干巳与干甲相减馀巳甲
九分一十六秒一○与辰午
等用卯辰午勾股形求得辰
卯三十分一十六秒四五
为初亏近时两心视相距比
初亏用时两心视相距大五
十七秒九七而比并径仍小
二秒二○则初亏真时必犹
在近时前也乃以用近二时
两心视相距之较五十七秒
九七为一率近时距分三分
二十九秒一六为二率用时
两心视相距小于并径之较
一分零百分秒之二十七为
三率求得四率三分三十七
秒一一与初亏用时相减得
午初初刻
六分一十一秒○二为初
亏真时盖仍就乙点立算
与辰卯平行作乙未线与
辰卯等即初亏近时两心
视相距自丙至未作丙未
线即初亏近时视行试依
乙未之分将初亏用时两
心视相距之乙子线引长
至土则子土即初亏用近
二时两心视相距之较依
丙未之分将初亏用时视
行之丙子线引长至木则
子木即初亏用近二时两
视行之较又依并径之分
将乙子线引长至火与土
木平行作火金线将丙木
线引长合之于金则子火
即初亏用真二时两心视
相距之较子金即初亏用真
二时两视行之较故子土与
行子木弧时分之比即同于
子火与行子金弧时分之比
以子金与丙子相加得丙金
与丙水等故以水点为初亏
真时之月影心丙水为初亏
真时距食甚之视行其乙水
两心视相距乃与并径相等
也于是以初亏真时依法求
其两心视相距果得三十分
一十八秒六五与并径合则
初亏真时即为初亏定真时
又以辰午与卯午之比同于
半径与〈如或大或小则又用比例求之〉卯
辰午角正切线之比而卯辰
午角即并径如或大或小则
又用比例求之
白经交角与申辰午白经
高弧交角相减〈辰午与干甲平行即
日影所当白道经圏故申辰午角与辰干甲角等申
干高弧在卯辰午角之内故减在外则加〉馀卯
辰申角为并径高弧交角
日在辰月在卯卯辰为并
径申干为高弧申为上干
为下初亏方位为上偏右
〈边角俱用初亏定真时立算因与初亏近时相去不
远故借近时之图以明之〉因即以并径
立算故质名之曰并径高
弧交角不必又求纬差角
与黄道高弧交角相加减
而后为定交角也复圆仿
此
求日食带食
推日食带食法旧以初亏复圆距时之视行〈带食在食甚前用初亏视行带食在食甚后用复圆视行〉与日出入距食甚之时分〈即帯食距时〉为比例得日出入距食甚之视行〈即带食距弧〉而后与食甚视纬求其两心视相距下编仍之今推食甚先求两心视相距而后求视行初亏复圆止求两心视相距更不求视行则带食亦可迳求两心视相距不待先求视行矣且旧法推视行虽不见初亏食甚或不见食甚复圆皆犹多此一算今迳求两心视相距则以地平为断凡己初亏而带出者止求带出时之相距不用求初亏视行未复圆而带入者止求带入时之相距不用求复圆视行若己过食甚而带出者即以帯食视纬求复圆用时未及食甚而带入者即以帯食视纬求初亏用时固不用求视行亦不用求食甚其法甚为省便况视行不与白道平行带食之视纬必不与食甚等则迳求带食两心视相距而不用视行者其理尤为确凖也
如雍正九年辛亥十二月
庚寅朔日食帯食食甚用
时辰正二刻一分五十一
秒一六日出辰初一刻九
分二十九秒二三在用时
前四刻七分二十一秒九
三以一小时两经斜距三
十三分一十秒二三为比
例得甲乙三十七分一十
四秒五四为带食距弧甲
为用时月影心乙为帯食
月影心干甲为用时两心
实相距四十三分三十七
秒八○甲干乙角为帯食
对距弧角四十度二十九
分二秒二八干乙为帯食
两心实相距五十七分二
十一秒八一坎干甲角为
赤白二经交角八度四十
分五十秒六八〈本时日在冬至后黄
经在赤经西月在正交后白经又在黄经西故白经
更在赤经西〉坎干丙角为日出
时赤经高弧交角四十五
度四十分四十八秒三八
〈赤经在高弧东〉内减坎干甲角馀
甲干丙角三十六度五十
九分五十七秒七○为日
出时白经高弧交角〈赤经在高
弧东白经在赤经西故以赤白二经交角与赤经高
弧交角相减馀为白经高弧交角〉与甲干
乙对距弧角相减馀乙干
丙角三度二十九分四秒
五八为帯食对两心视相
距角丙为带食日影心丙
干为地平高下差五十九
分二十秒二一用干乙丙
三角形求得丙角五十九
度一十一分一十七秒四
七为帯食对两心实相距
角即帯食方位角与半周
相减馀乙丙丁角一百二
十度四十九分为帯食视
距高弧交角〈方位角止用度分故不计
秒丁为上干为下帯食方〉
位为右偏下又求得乙丙
边四分三秒五七为帯食
两心视相距与日月实并
径三十二分二十一秒四
四相减馀二十八分一十
七秒八七以日全径三十
二分四十六秒作十分为
比例得八分三十八秒一
七即帯食分秒也
又法以甲干丙白经高弧
交角及丙干高下差求得
戊丙东西差三十五分四
十二秒五六与甲己等干
戊南北差四十七分二十
三秒三三以干甲实纬与
干戊南北差相减馀戊甲
三分四十五秒五三与丙
己等为带食视纬以甲己
东西差与甲乙带食距弧
相减馀乙己一分三十一
秒九八为带食视距弧用
乙丙己勾股形求得乙丙
四分三秒五七为带食
两心视相距与前所得数
同又以丙己与乙己之比
同于半径一千万与丙角
正切线之比而得丙角二
十二度一十一分一十五
秒与干丙己白经高弧交
角相加〈干丙己角与甲干丙角等〉得乙
丙干角五十九度一十一
分与半周相减馀乙丙丁
角一百二十度四十九分
为带食视距高弧交角亦
与前所得数同此乙丙视
距未与视行成直角〈甲乙虽非
视行然相去不远〉带食在食甚前
必按求食甚真时之法求
得真时两心视相距再求
复圆用时如带食在食甚
后者则不用求食甚即以
丙己带食视纬为勾丙庚
并径为求得己庚股与
乙己带食视距弧相加得
乙庚为复圆距弧〈甲乙带食距弧
大于东西差乙庚大于己庚故加若甲乙带食距弧
小于东西差而乙庚小于己庚则减〉以一小
时两经斜距为比例即得
复圆距时与日出时刻相
加即得复圆用时也〈带食出地
复圆在日出后故加若带食入地初亏在日入前则
减带食入地者仿此〉
御制历象考成后编卷三
<子部,天文算法类,推步之属,御制历象考成后编>
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