御制历象考成 (四库全书本)/上编卷04
| 御制历象考成 上编卷四 |
钦定四库全书
御制历象考成上编卷四
日躔历理
南北真线
北极高度
地半径差
黄赤距纬
清𫎇气差
测岁实以定平行
本天高卑为盈缩之原
求两心差及最高
最高行及本轮均轮半径
求盈缩差
时差〈原名日差〉
曚影刻分
昼夜永短
节气时刻
南北真线
辨方定位历象首务盖必先定南北然后可以候中星步日躔然南北之大势虽若昜知而立线定向必豪釐不失乃得其真即用指南针亦有所偏向不可为准其所偏向又随地不同故欲得南北之真线者必以测量星日为主
法于春秋分日植表于案
令极平取日影自午前至
午后视表末影所至随作
点为识次联诸点成一直
线即东西线取东西线之
正中作垂线即南北线也
或不拘何日植表取影自
午前至午后视表末影所
至随作点为识次取与表
心最近之一点为午正表
影乃太阳出地平最高之
度依此点向表心作直线
即南北线也
又法用方案令极平作圜
数层植表于圜心以取日
影凡影圜上者皆作点识
之乃视午前午后两点同
在一圜上者作直线联
之即东西线取东西线之
正中向圜心作垂线即南
北线也
又法植表取日影别用仪
噐测得午前日轨高度作
点于影末又测得午后日
轨高度与午前等亦作点
于影末乃以两点作直线
联之即东西线取东西线
之正中向表作垂线即南
北线也
又法于冬至日前后用仪
噐测勾陈第五星初昏时
此星在北极之西候其渐
转而西至不复西而止至
五更后此星在北极之东
候其渐转而东至不复东
而止两表视线之正中即
南北线也盖勾陈第五星
冬至日酉时在极西卯时
在极东他星则离极右远
故止取此星可以得东西
之准他时非不可测但或
日永夜短卯酉二时星不
可见故必于冬至日前后
测之也
又法取恒星之大者用两
仪噐测之一测其高度一
测其地平经度视此星在
东时测其高度若干随测
其地平经度俟此星转而
西测其高度与在东时等
者复测其地平经度此两
经度之正中即南北线此
法与前同然不拘冬至他
日皆可用较前法为简便
也
北极高度
北极为天之枢纽居其所而不移其出地有高下者因人所居之地南北之不同也是故寒暑之进退昼夜之永短因之而各异焉盖历法以日躔出入赤道之度定诸节气而北极出地之度即赤道距天顶之度倘推测不精高度差至一分则春秋分必差一时而冬夏至必差一二日日躔既差则月离五星之经纬无不谬矣故测北极出地之高下最宜精密不容或略也授时历测得京师北极出地四十度七十五分以周天三百六十度每度六十分约之为四十度零九分五十一秒新法算书京师北极出地三十九度五十五分今测得畅春园北极出地三十九度五十九分三十秒
法于冬至日前后用仪器
测勾陈大星出地之度酉
时此星在北极之上候其
渐转而高至不复高而止
为最高之度卯时此星在
北极之下候其渐转而低
至不复低而止为最低之
度乃以所测最高最低之
度折中取之即北极出地
之度也盖北极无星其高
低不可得而见故取星之
环绕北极上下者测之惟
勾陈大星冬至酉时在最
高卯时在最低可以得高
低之准也
又法取恒星之大者测其
最高为若干度若此星为
赤道以南之星则以其距
赤道之纬与其高相加得
若干即赤道之高度若此
星为赤道以北之星则以
其距赤道之纬与其高相
减得若干即赤道之高度
既得赤道之高与一象限
九十度相减馀若干即北
极出地之度也此法较之
前法为少烦盖因赤道南
北之星距赤道之纬俱系
测得北极之高度而后可
得而恒星有岁差其纬度
亦有増损然存此法与前
法参互考验可也
地半径差
凡求七曜出地之高度必用测量乃测量所得之数与推步所得之数往往不合盖推步所得者七曜距地心之高度而测量所得者七曜距地面之高度也距地心之高度为真高距地面之高度为视高人在地面不在地心故视高必小于真高以有地半径之差也〈或有大于真高者则清蒙气所为也〉盖七曜恒星虽皆丽于天而其高下又各不等惟恒星天为最高其距地最远地半径甚微故无视高真高之差若夫七曜诸天则皆有地半径差今欲求太阳之真高必先得地半径差欲求地半径差必先得地半径与日天半径之比例今随时测太阳之高度求得地半径与日天半径之比例最高为一与一千一百六十二最卑为一与一千一百二十一比旧定地半径与日天半径之比例最高少二十二最卑多二十一盖太阳高卑之故由于两心差然最高之高于本天半径最卑之卑于本天半径者非两心差之全数而止及其半〈详见本轮均轮半径篇〉旧表日天半径乃依两心差全数所定故最高较实测则多最卑较实测必少也
如图甲为地心乙为地面
甲乙为地半径乙丙为地
平丁戊己为太阳天庚辛
壬癸为恒星天戊为太阳
人从地面乙测之对恒星
天于壬其视高为壬乙丙
角若从地心甲计之则见
太阳于戊者对恒星天于
辛其真高为辛甲癸角此
两高之差为乙戊甲角即
地半径之差然又时时不
同者其故有二一太阳距
地平近其差角大渐高则
渐小一太阳在本天上又
有高卑高则距地心远其
差角小卑则距地心近其
差角大〈如戊甲线其长短时时不同其所以
远近之故详见于后〉今约为最高与
中距及最卑三限〈太阳本天高卑
细推之每日不同然用以求差角所差甚微故止用
三限〉于夏至春秋分冬至时
各以所测地面上太阳之
高度求太阳距地心之戊
甲线〈太阳夏至前后行最高限春秋分前后行
中距限冬至前后行最卑限故于三时测之〉康熙五十四年乙未五月
二十九日甲子午正〈夏至后八
日也以本日太阳躔本天之最高为距地心之最远〉在畅春园测得太阳高七
十三度一十六分零二十
三微同时于广东广州府
测得太阳高九十度零六
分二十一秒四十八微以
之立法甲为地心乙为畅
春园地面庚为天顶子为
广州府地面丑为天顶戊
为太阳寅为赤道寅庚弧
三十九度五十九分三十
秒为畅春园赤道距天顶
之度寅丑弧二十三度一
十分为广州府赤道距天
顶之度〈赤道距天顶数俱系实测所得〉以
两处赤道距天顶度相减
馀一十六度四十九分三
十秒为庚丑弧即庚甲丑
角以畅春园高度与一象
限相减馀一十六度四十
三分五十九秒三十七微
为庚乙戊角于广州府高
度内减去一象限馀六分
二十一秒四十八微即戊
子丑角〈戊在天顶丑北〉先用乙甲
子三角形此形有甲角一
十六度四十九分三十秒
又有乙甲及子甲边俱地
半径命为一千万乃以甲
角折半之正
倍之得二
九二五九七七为乙子边
又以甲角与半周相减馀
数半之得八十一度三十
五分一十五秒为乙角亦
即子角次用乙戊子三角
形此形有乙子边二九二
五九七七有戊乙子角八
十一度四十分四十五秒
二十三秒〈半周内减去甲乙子角又减去
庚乙戊角馀即戊乙子角〉有戊子乙角
九十八度一十八分二十
三秒一十二微〈半周内减去甲子乙
角又减去戊子丑角馀即戊子乙角〉即有乙
戊子角五十一秒二十五
微求得戊子边一一六一
三二二三八三九次用戊
子甲三角形此形有戊子
边有子甲边〈地平径一千万〉有戊
子甲之外角六分二十一
秒四十八微〈即戊子丑角〉求得
戊甲边一一六二二六四
二五一二为太阳在本天
最高时距地心之远以地
半径较之其比例如一与
一千一百六十二也〈乙甲一千
万与一一六二二六四二五一二之比同于一与一
千一百六十二有馀之比〉末用乙戊甲
三角形乙甲边为一戊甲
边为一一六二戊乙甲之
外角一十六度四十三分
五十九秒三十七微〈即庚乙戊
角求得乙戊甲角五十一〉
秒零五微为最高限太阳
高七十三度一十六分之
地半径差以加畅春园视
高七十三度一十六分零
二十三微得七十三度一
十六分五十一秒二十八
微为畅春园太阳之真高
也于乙戊子角五十一秒
二十五微内减去乙戊甲
角五十一秒零五微馀二
十微为甲戊子角乃最高
限太阳高九十度零六分
二十一秒之地半径差〈即八
十九度五十三分三十九秒之地半径差〉以减
广州府视高九十度零六
分二十一秒四十八微〈视高
过九十度故减〉得九十度零六分
二十一秒二十八微为广
州府太阳之真高也
又康熙五十五年丙申三
月初五日丙申午正〈春分后八
日也以本日太阳躔本天之中距为距地心之适中〉在畅春园测得太阳高五
十三度零三分三十八秒
一十微同时于广东广州
府测得太阳高六十九度
五十四分零八秒三十八
微减去纬差一十四秒馀
六十九度五十三分五十
四秒三十八微〈测得广州府子午线
在京师之西三度三十三分其午正时乃京师午正
初刻十四分也夫太阳距纬度夏至时每日止差四
十馀秒其一刻所差甚微可不论若春分时每日差
至二十四分则十四分时可差一十四秒又春分后
太阳自卑而高纬度既差一十四秒则午正之高度
亦多一十四秒故必于所测之度减去纬差始为与
京师子午相当地面之高度也此即东西里差详后
节气时刻篇〉以之立法庚为畅
春园天顶丑为广州府天
顶戊为太阳寅为赤道乙
甲子三角形之三边三角
俱与前图等以畅春园高
度与一象限相减馀三十
六度五十六分二十一秒
五十微为庚乙戊角以广
州府高度与一象限相减
馀二十度零六分零五秒
二十二微为戊子丑角先
用乙戊子三角形此形有
乙子边二九二五九七七
有戊乙子角六十一度二
十八分二十三秒一十微
〈半周内减去甲乙子角又减去庚乙戊角馀即戊乙
子角〉有戊子乙角一百一十
八度三十分五十秒二十
二微〈半周内减去甲子乙角加入戊子丑角即
戊子乙角〉即有乙戊子角四十
六秒二十八微求得戊子
边一一四一○三一○二
九九次用戊子甲三角形
此形有戊子边有子甲边
〈地半径一千万〉有戊子甲之外角
二十度零六分零五秒二
十二微〈即戊子丑角〉求得戊甲
边一一四二一八六七七
三○为太阳在本天中距
时距地心之远以地半径
较之其比例如一与一千
一百四十二也末用乙戊
甲三角形乙甲边为一戊
甲边为一一四二戊乙甲
之外角三十六度五十六
分二十一秒五十微〈即庚乙戊
角求得乙戊甲角一分四〉
十八秒三十二微为中距
限太阳高五十三度零三
分三十八秒之地半径差
以加畅春园视高五十三
度零三分三十八秒一十
微得五十三度零五分二
十六秒四十二微为畅春
园太阳之真高也于乙戊
甲角一分四十八秒三十
二微内减去乙戊子角四
十六秒二十八微馀一分
零二秒零四微为子戊甲
角乃中距限太阳高六十
九度五十四分零八秒之
地半径差以加广州府视
高六十九度五十四分零
八秒三十八微得六十九
度五十五分一十秒四十
二微为广州府太阳之真
高也
今若以最高太阳距地心
一一六二与中距太阳距
地心一一四二相减馀二
○为两限距地心之较则
最卑限太阳距地心之远
为一一二二然中距太阳
距地心如本天半径如
股〈图见后求盈缩差篇〉其距最高之
差应少距最卑之差应多
故最卑限太阳距地心当
不足一一二二欲以实测
求之奈冬至后太阳躔本
天最卑时高弧仅二十六
度馀蒙气差甚大难得其
真今以太阳最高与本天
半径比例数一○一七九
二○八〈见交食历理求日月距地与地半径
之比例篇〉与地半径比例数一
一六二之比即同于太阳
最卑与本天半径比例数
九八二○七九二与地半
径比例数一一二一之比
是为最卑限太阳距地心
之远也既得三限距地心
之远即各用为一边〈即戊甲〉地半径为一边〈即乙甲为一〉太
阳出地逐度之高〈即戊点〉与
象限相加为一角〈即甲乙戊角〉成戊乙甲三角形求得乙
戊甲角为三限太阳自地
平至天顶逐度之地半径
差以列表
黄赤距纬
黄道斜交赤道而出其内外其相距最远之度即二至太阳距赤道之纬度古今所测不同授时历测得二十三度九十分三十秒以周天三百六十度每度六十分约之为二十三度三十三分三十二秒新法历书用西人第谷所测为二十三度三十一分三十秒今自康熙五十三年以来于畅春园累测夏至午正太阳高度得视高七十三度二十九分十馀秒加地半径差五十秒得实高七十三度三十分减去本处之赤道高五十度零三十秒馀二十三度二十九分三十秒为黄道赤道相距最远之率因用正弧三角形法推得日躔黄道每度每分之距纬以立表
如图甲乙为黄道一象限
甲丙为赤道一象限甲为
春分乙为夏至乙丙为大
距二十三度二十九分三
十秒即甲角之度设丁点
为立夏距甲春分四十五
度求丁戊距纬若干则用
甲丁戊正弧三角形此形
有甲角乙丙大距度二十
三度二十九分三十秒有
甲丁黄道四十五度有戊
直角九十度今以戊直角
九十度之正一千万与
甲角乙丙大距度二十三
度二十九分三十秒之正
三九八六一五七之比
即同于甲丁黄道四十五
度之正七○七一○六
八与丁戊距纬一十六度
二十二分一十七秒之正
二八一八六三九之比
也既得立夏之距纬度则
立春立秋立冬之距纬度
亦同按法于甲乙一象限
内逐度逐分求其距纬则
其馀三象限之距纬度亦
得矣
清蒙气差
清𫎇气差从古未闻明万历间西人第谷始发之其言曰清𫎇气者地中游气时时上腾其质轻微不能隔碍人目却能映小为大升卑为高故日月在地平上比于中天则大星座在地平上比于中天则广此映小为大也定望时地在日月之间人在地面无两见之理而恒得两见或日未西没而已见月食于东日已东出而尚见月食于西此升卑为高也又曰清𫎇之气有厚薄有高下气盛则厚而高气微则薄而下而升像之高下亦因之而殊其所以有厚薄有高下者地势殊也若海或江湖水气多则清𫎇气必厚且高也故欲定七政之纬宜先定本地之清𫎇差第谷言其国北极出地五十五度有竒测得地平上最大之差三十四分自地平以上其差渐少至四十五度其差五秒更高则无差矣此即新法历书所用之表也近日西人又言于北极出地四十八度地方测得太阳高四十五度时𫎇气差尚有一分馀自地平至天顶皆有𫎇气差即此观之益见𫎇气差之随地不同而第谷之言为不妄矣今述其测量推算之法于左使观者知𫎇气差表之所自立云
假如太阳高一十度三十
四分四十二秒距正午八
十三度〈地平经度〉于时日躔降
娄宫三度三十六分距赤
道北一度二十六分如图
甲为地心乙为天顶丙为
太阳丁为北极乙戊为子
午规乙丙己为高弧丙己
为太阳实高弧庚己为视
高弧今用丁乙丙斜弧三
角形此形有北极距天顶
之丁乙弧五十度零三十
秒有太阳距北极之丁丙
弧八十八度三十四分〈以距
纬一度二十六分减象限九十度得之〉有丁
乙丙角九十七度〈己乙戊角八十
三度为太阳距正午之度与半周相减即得丁乙丙
角求太阳实距天顶之乙〉
丙弧法以乙丙弧引长从
丁作丁辛垂弧两弧相交
于心为直角遂成丁辛乙
丁辛丙两正弧三角形先
用丁辛乙正弧三角形以
半径一千万与乙角八十
三度之正九九二五四
六二之比同于乙丁弧五
十度零三十秒之正七
六六一三七九与丁辛弧
之正七六○四二七三
之比得丁辛弧四十九度
三十分零七秒又以半径
一千万与乙角八十三度
之馀一二一八六九三
之比同于乙丁弧五十度
零三十秒之正切一一九
二一○五六与乙辛弧之
正切一四五二八一一之
比得乙辛弧八度一十五
分五十八秒次用丁辛丙
正弧三角形以丁丙弧八
十八度三十四分之正
九九九六八七一与丁辛
弧四十九度三十分零七
秒之正七六○四二七
三之比同于半径一千万
与丙角正七六○六六
五三之比得丙角四十九
度三十一分二十二秒又
以丙角四十九度三十一
分二十二秒之正切一一
七一七九二七与半径一
千万之比同于丁辛弧四
十九度三十分零七秒之
正切一一七○九三○二
与辛丙弧之正九九九
二六三九之比得辛丙弧
八十七度四十八分零五
秒于辛丙弧内减去乙辛
弧八度一十五分五十八
秒馀乙丙弧七十九度三
十二分零七秒为太阳实
距天顶之度以乙丙弧与
乙己弧九十度相减馀丙
己弧一十度二十七分五
十三秒为太阳之实高乃
以实高与视高一十度三
十四分四十二秒相减馀
六分四十九秒加地半径
差二分五十七秒得九分
四十六秒为地平上一十
度三十五分之𫎇气差按
法求得逐度之差数以立
表
测岁实以定平行
太阳之实行每日不同步日躔者必以平行为根而求平行之法则在于定岁实岁实者太阳循黄道右旋一周而复于原界之日时也〈或自今年冬至至明年冬至或自今年春分至明年春分〉古历定太阳每日所行为一度故周天为三百六十五度四分度之一其后渐觉后天以为岁实太强自汉以来每次修历必有所减以合当时实测故每日之平行虽定为一度而天周与岁实讫无定率也今法定天周为三百六十度故太阳每日之行不及一度其分秒之进退视岁实之消长得岁实即得毎日之平行矣数岁以来于二分二至遣人各省分测得岁实为三百六十五日五时三刻三分四十五秒〈即三百六十五日十分日之二分四二一八七五〉乃置天周三百六十度为实以岁实三百六十五日五时三刻三分四十五秒为法实如法而一得太阳每日平行五十九分零八秒一十九微四十九纎五十九忽三十九芒〈即十分度之九分八五六四七三六五八〉既得太阳每日之平行递加之得十日百日之平行递析之得每时每分之平行以立表〈毎日二十四时毎时六十分〉
测岁实之法古人皆测冬至然冬至之时刻难定不如用春秋分时得数为真盖冬至时黄道与赤道平行其纬度一日所差不过数十秒仪噐无从分别春秋分黄道与赤道斜交其纬度一日差二十四分其差易见且求平行须用平行岁实而测量止能得视行惟二分时去中距不远其平行实行之差甚微可以不计况冬至时太阳之地平纬度少清𫎇之气甚大古来岁实难得确准此其故也
康熙五十四年乙未二月
十六日癸未午正于畅春
园测得太阳高五十度零
三十二秒三十五微加地
半径差一分五十六秒零
五微得实高五十度零二
分二十八秒四十微与赤
道高五十度零三十秒相
减馀一分五十八秒四十
微为太阳在赤道北之纬
度即知春分时刻在午正
前也如图甲为春分乙为
太阳丙为赤道乙丁为午
正太阳实高丙丁为赤道
高乙丙为太阳距赤道北
纬度用甲乙丙正弧三角
形此形有甲角大距度二
十三度二十九分三十秒
有丙直角有乙丙纬度一
分五十八秒四十微求甲
乙弧为太阳过春分之经
度法用甲角正三九八
六一五七与丙直角正
一千万之比同于乙丙弧
正五七五三与甲乙弧
正一四四三三之比得
甲乙弧四分五十七秒四
十三微用变时法以一日
之平行五十九分零八秒
二十微为一率〈二分时太阳之实行
与平行相近故即用平行为一率若他节气须用本
日之实行为一率〉二十四时化为
一千四百四十分为二率
甲乙弧四分五十七秒四
十三微为三率得四率一
百二十分四十九秒一十
二微以每时六十分収之
得二时零四十九秒一十
二微为春分距午正前之
时即已初三刻一十四分
一十秒四十八微春分也
康熙五十五年丙申二月
二十七日戊子午正于畅
春园测得太阳高四十九
度五十四分四十九秒五
十一微加地半径差一分
五十六秒一十七微得实
高四十九度五十六分四
十六秒零八微与赤道高
五十度零三十秒相减馀
三分四十三秒五十二微
为太阳在赤道南之纬度
即知春分时刻在午正后
也依法用甲乙丙正弧三
角形求得乙甲弧九分二
十一秒三十九微为太阳
未到春分之经度变时得
三时四十七分五十五秒
四十八微为春分距午正
后之时即申初三刻二分
五十五秒四十八微春分
也乃总计两春分相距得
三百六十五日五时三刻
三分四十五秒即为岁实
本天高卑为盈缩之原
太阳行天每岁一周万古不忒宜其每日平行而无有盈缩乃征之目下实测则春分至秋分行天半周而历日多秋分至春分行天半周而历日少其在本天所行之度原均而人居地上所见时日不同今即其不平行之数求其所以然之故则惟有本天高卑之说能尽之本天高卑之法有二一为不同心天一为本轮立名虽异而理则同故高卑之距盈缩之度皆不谋而合焉
不同心天之法盖以天包
地外以地为心太阳本天
亦包乎地外而不以地为
心因其有两心之差而高
卑判焉如图甲为地心乙
丙丁戊为黄道己为太阳
本天心庚辛壬癸为太阳
本天其癸庚辛大半周远
于地为高辛壬癸小半周
近于地为卑戊为春分丙
为秋分乙为夏至丁为冬
至自春分历夏至以至秋
分太阳自癸历庚以至辛
行本天之大半周故历日
多而自地心甲立算其自
戊历乙以至丙止行黄道
之半周故为行缩自秋分
历冬至以至春分太阳自
辛历壬以至癸行本天之
小半周故历日少而自地
心甲立算其自丙历丁以
至戊亦行黄道之半周故
为行盈夫日在本天原自
平行因自地心甲立算而
不以太阳本天心已立算
遂有高卑盈缩之异故高
卑为盈缩之原而两心之
差又高卑之所由生也
本轮之法盖以本天与地
同心而本天之周又有一
本轮本轮心循本天周向
东而行日在本轮之周向
西而行两行之度相等〈轮心
东行太阳西行二者亦有微差然积至周岁才差一
分虽谓相等可也〉太阳在本轮之
下半周去地近为卑则顺
轮心行故见其速于平行
在本轮之上半周去地远
为高则背轮心行故见其
迟于平行在本轮之左右
去地不远不近为高卑适
中故名中距其行与平行
等如图甲为地心即本天
心乙丙丁戊为本天其本
轮循本天东行由丁向戊
而乙而丙而复于丁为平
行度〈即经度〉太阳循本轮西
行由下而左而上而右而
复于下〈本轮以近地心为下远地心为上〉为自行度〈名引数〉如本轮心
在丁则太阳在本轮之下
如辛去地心甲最近是为
最卑本轮心在乙则太阳
在本轮之上如己去地心
甲最远是为最高最高最
卑之点皆对本轮心与地
心成一直线其平行实行
同度故为盈缩起算之端
如本轮心由丁向戊太阳
由本轮下向左顺轮心行
能益东行之度故较平行
度为盈至半象限后所益
渐少迨轮心行一象限至
戊太阳亦行轮周一象限
至壬即无所益而复于平
行是为中距然而积盈之
多正在中距盖平行至戊
而太阳在壬从地心甲立
算则太阳当本天之子子
戊弧以本轮之半径为正
切为盈差之极大也从中
距而后太阳行本轮之上
半周背轮心行故实行渐
缩然因有积盈之度方以
次渐消其实行仍在平行
前迨行满一象限至最高
为极缩而积盈之度始消
尽无馀其实行与平行乃
合为一线故自最卑至最
高半周俱为盈历也如本
轮心由乙向丙太阳由本
轮上向右背轮心行能损
东行之度故较平行度为
缩至半象限后所损渐少
迨轮心行一象限至丙太
阳亦行轮周一象限至庚
即无所损而复于平行是
为中距然而积缩之多亦
在中距盖平行至丙而太
阳在庚从地心甲立算则
太阳当本天之丑丑丙弧
亦以本轮之半径为正切
为缩差之极大也从中距
而后太阳行本轮之下半
周顺轮心行故实行渐盈
然因有积缩之度方以次
相补其实行仍在平行后
迨行满一象限至最卑为
极盈而积缩之度始补足
无缺其实行与平行乃合
为一线故自最高至最卑
半周俱为缩历也此本轮
之法于盈缩之理最为显
著然谓与不同心天之理
同何也试于本轮上己庚
辛壬诸点聨为一圜此圜
必不以甲为心而以癸为
心遂成不同心天之形其
癸甲两心之差即本轮之
半径故求得两心之差而
本轮之径自见明于本轮
之故而盈缩之理益彰然
则其理相通其用相辅并
存其说实可以参稽而互
证也
求两心差及最高
新法历书用春分秋分立夏三节气相距日时推得两心差为三五八四一六最高在夏至后五度三十分然而未详何年月日永年表载康熙丁酉年最卑在冬至后七度四十三分四十九秒今以丁酉年实测节气时刻依法推算得两心差为三五八九七七最卑在冬至后八度三十八分二十五秒五十五微皆与原数不合盖今之春分秋分立夏皆不正当最高最卑中距之度用两心差以推其时刻与实测不合则用实测之时刻以推两心差亦必与原数不合而最高最卑所在亦必不合矣因思太阳在最高最卑二点平行与实行合为一线本天与黄道皆平分为两半周太阳历半周岁而适行半周天其度分即高卑所在自最卑历周岁四分之一至中距应行九十度其实行之过于九十度者即积盈之度自最高历周岁四分之一至中距亦应行九十度其实行之不及九十度者即积缩之度检其正切即两心差之数也今以丁酉年逐日实测日躔度分求得最高过夏至最卑过冬至各七度四十四分三十六秒四十八微又自太阳过最高之日分加周岁四分之一求其时刻之实行不及中距二度零三分零九秒四十微检其正切得三五八四一六皆与历书所载相合是故用两心差之全数以推盈缩维中距与实测合最高前后两象限则失之小最卑前后两象限则失之大所以又用均轮以消息其数方与实测相符今于其相合者得最高及两心差所自来于其不相合者得本轮均轮所由设推算之法并述于左
用实测最高最卑中距求
两心差及最高所在如康
熙五十六年丁酉二至后
畅春园逐日测午正太阳
高度求其经度用实行推
得五月二十一日甲戌辰
正一刻零四十秒四十五
微交未宫七度五月二十
二日乙亥已初一刻一十
四分五十七秒二十七微
交未宫八度十一月二十
七日丁丑子正一刻一十
二分五十七秒四十一微
交丑宫七度本日夜子初
三刻一十二分二十七秒
四十七微交丑宫八度夫
未宫七度至丑宫七度历
一百八十二日一十六时
一十二分一十六秒五十
六微大于半周岁一时一
十七分五十四秒二十六
微而未宫八度至丑宫八
度历一百八十二日一十
四时二十七分三十秒二
十微小于半周岁二十六
分五十二秒一十微乃以
此两数立法以求最高所
在如图甲为地心即宗动
天心乙丙丁戊为黄道与
宗动天相应〈同以甲为心也〉乙为
夏至丙为秋分丁为冬至
戊为春分又设己点为心
作庚辛壬癸圈为不同心
天庚为最高当黄道之子
壬为最卑当黄道之丑则
寅卯为其中距〈距最高子最卑丑各
九十度〉过巳甲两心作庚丑
线则平分本天与黄道各
为两半周故历半周岁一
百八十二日一十四时五
十四分二十二秒三十微
适行半周天一百八十度
若夫夏至乙则在最高前
有加差时刻早冬至丁则
在最卑前有减差时刻迟
故夏至至冬至大于半周
岁而秋分丙在最高后有
减差时刻迟春分戊在最
卑后有加差时刻早故秋
分至春分小于半周岁今
未宫七度至丑宫七度大
于半周岁未宫八度至丑
宫八度小于半周岁即知
未宫七度在最高前如辰
未宫八度在最高后如巳
丑宫七度在最卑前如午
丑宫八度在最卑后如未
今以大于半周岁之一时
一十七分五十四秒二十
六微与小于半周岁之二
十六分五十二秒一十微
相并得一时四十四分四
十六秒三十六微与辰巳
或午未一度之比同于大
于半周岁之一时一十七
分五十四秒二十六微与
辰子或午丑四十四分三
十六秒四十八微之比而
得辰子或午丑与乙辰或
丁午之七度相加得乙子
或丁丑七度四十四分三
十六秒四十八微即最高
过夏至最卑过冬至之度
亦即中距过春秋分之度
也〈丙寅弧卯戊弧皆与乙子弧相等〉此所
得之数比永年表丁酉年
前冬至最卑度多四十七
秒比戊戌年前冬至最卑
度少一十五秒盖最高每
岁行六十一秒今合最高
最卑取数立算则其所得
为中距过秋分之度较之
丁酉年前冬至固应差四
分之三较之戊戌年前冬
至固应差四分之一是所
测与永年表合矣又用比
例法求得本年五月二十
二日乙亥寅初初刻一分
三十七秒四十五微过最
高加周岁四分之一九十
一日七时二十七分一十
一秒一十五微得秋分后
丙午日巳正一刻一十三
分四十九秒过中距在黄
道应从最高子行九十度
至寅为辰宫七度四十四
分三十六秒四十八微而
在本天则从最高庚行九
十度至辛当黄道之申今
以实测求其经度在辰宫
五度四十一分二十七秒
零八微〈即申点之度〉不及中距
二度零三分零九秒四十
微即申寅弧当辛甲寅角
与甲辛巳角等检其正切
得三五八四一六为已甲
两心差〈亦即本轮半径〉与历书所
载同
用实测春分秋分立夏求
两心差及最高所在如康
熙五十六年丁酉畅春园
测得春分为二月初八日
癸巳亥初二刻六分四十
七秒立夏为三月二十四
日己卯亥正二刻一分三
十六秒秋分为八月十九
日庚子申初二刻四分零
三秒则春分距立夏得四
十六日三刻九分四十九
秒以毎日平行五十九分
零八秒二十微乘之得平
行度四十五度二十二分
三十八秒一十六微春分
距秋分得一百八十六日
七十一刻一十二分一十
六秒以每日平行五十九
分零八秒二十微乘之得
平行度一百八十四度零
四分零三秒五十八微如
图甲为地心乙丙丁戊为
黄道戊为春分己为夏至
丙为秋分庚为冬至辛为
立夏戊辛弧四十五度又
以壬点为心作子丑寅卯
圈为不同心天春分时太
阳在子实度在戊立夏时
太阳在癸实度在辛子癸
弧四十五度二十二分三
十八秒一十六微为平行
度秋分时太阳在寅实度
在丙子癸丑寅弧一百八
十四度零四分零三秒五
十八微为平行度于是过
壬甲两心作丑丁线则丑
为最高当黄道之乙卯为
最卑当黄道之丁今命丑
壬半径为一千万求壬甲
两心差得丑壬半径之若
干分并求辛甲乙角为最
高距立夏之度乃以子癸
丑寅弧一百八十四度零
四分零三秒五十八微与
全周相减馀一百七十五
度五十五分五十六秒零
二微为寅辰卯子弧又甲
辰子三角形其子甲辛外
角为四十五度〈当辛弧也〉戊则
子甲辰角必一百三十五
度而辰角为癸子弧相对
界角必为癸子弧之一半
得二十二度四十一分一
十九秒零八微则子角必
为二十二度一十八分四
十秒五十二微倍之得四
十四度三十七分二十一
秒四十四微为寅辰弧〈因与
子界角相当故〉与寅辰卯子弧相
减馀一百三十一度一十
八分三十四秒一十八微
为子卯辰弧检其通得
一八二二一五六二为子
辰边用三角形边角相求
法求得甲辰边九七八二
九九八又以癸子弧与子
卯辰弧相加得一百七十
六度四十一分一十二秒
三十四微为癸子卯辰弧
半之得八十八度二十分
三十六秒一十七微检其
馀得二八九○八九即
壬巳其正得九九九五
八二○即辰巳内减甲辰
馀二一二八二二即巳甲
乃用壬巳甲勾股形求得
壬甲三五八九七七为
两心差比历书所载多一
千万分之五百六十一又
用边角相求法求得甲角
五十三度三十八分二十
五秒五十五微为最高乙
距立夏辛之度内减立夏
距夏至四十五度得最高
过夏至后八度三十八分
二十五秒五十五微比永
年表多五十四分三十六
秒五十五微盖目今春分
秋分立夏皆不正当最高
最卑中距之度故太阳之
自最卑至中距自中距至
最高其行度必有不同所
以用实测节气推两心差
及最高所在皆不相合是
故历家于本轮半径〈即两心差〉分设一均轮以消息四象
限之行分而后与实测相
符此均轮之法所由立也
最高行及本轮均轮半径
太阳之行因去地有高卑遂生盈缩故最高最卑之点即极盈极缩之度而为起算之端但此高卑之点不定在冬夏至而有行分且最高之高于本天半径最卑之卑于本天半径者非两心差之全数而止及其半历家殚精推测因悟太阳本天之周有本轮而本轮之周又有均轮乃以两心差三十五万八千四百一十六四分之取其三分得二十六万八千八百一十二为本轮半径取其一分得八万九千六百零四为均轮半径而后高卑之数盈缩之行始与实测相符焉然高卑之所以有行分者何也盖縁本轮心之行微速于均轮心之行本轮心循本天东行已满一周而均轮心循本轮西转尚未满一周其本轮心与均轮心两行之差即最高之行分也但其行分甚微积久始著康熙永年表戊午年测得最高在夏至后七度零四分零四秒至丁酉年则最高在夏至后
七度 〈秒约毎年东行一分一秒一十微〉四十三分四十九〈即本轮心毎岁之行速于均轮心每岁之行一分一秒一十微也〉
如图甲为地心即本天心
乙丙丁戊为本天本天之
周载本轮心本轮之周又
载均轮心本轮心循本天
东行由丁而戊而乙而丙
而复于丁为经度〈每日平行五十
九分零八秒二十微〉均轮心循本轮
西行由下而左而上而右
而复于下其行度微不及
于本轮名曰引数〈每日行五十九
分零八秒零九微有馀〉太阳则循均
轮周东行由最近而最远
〈远近皆以距本轮心言〉而复于最近
其行倍于均轮心〈均轮心行一度
太阳在轮周行二度〉癸甲为两心差
本轮半径为癸甲四分之
三均轮半径为癸甲四分
之一最卑时本轮心在本
天之丁均轮心在本轮之
辛〈本轮下点〉太阳则在均轮之
辰〈均轮近点〉居两轮心之间从
地心甲计之成一直线故
无平行实行之差辰丁为
两心差之半辰甲为太阳
距地心之远其卑于甲丁
本天半径者即辰丁两心
差之半也本轮心由丁行
九十度至戊为中距均轮
心由本轮之下点行九十
度至壬〈本轮左点〉太阳则由均
轮之近点行一百八十度
至已〈均轮远点〉从地心甲立算
则太阳当本天之子子戊
弧为积盈之度〈即子甲戊角〉其
正切已戊为本轮与均轮
两半径相并之数与癸甲
两心差等最高时本轮
心在本天之乙〈由戊行九十度至乙〉均
轮心在本轮之已〈由本轮左点行
九十度至上点〉太阳则在均轮之
寅〈由均轮之远点行一百八十度至近点〉居
两轮心之间从地心甲计
之成一直线故亦无平行
实行之差〈中距时所积之盈度至此消尽
而合于平行〉寅乙为两心差之
半寅甲为太阳距地心之
远其高于乙甲本天半径
者即寅乙两心差之半也
本轮心由乙行九十度至
丙为中距均轮心由本轮
之上点行九十度至庚〈本轮
右点〉太阳则由均轮之近点
行一百八十度至卯〈均轮远点〉从地心甲立算则太阳当
本天之丑丑丙弧为积缩
之度〈即丑甲丙角〉其正切卯丙
为本轮与均轮两半径相
并之数与癸甲两心差等
夫子戊弧与丑丙弧既皆
以两心差为正切故其度
等但子戊为积盈之度〈在最
卑至最高之半周故也〉其平行戊在
后实行子在前故子戊弧
为加差以加于平行而得
实行也〈由最卑至最高之半周皆平行在后
实行在前故皆为加差也〉丑丙弧为积
缩之度〈在最高至最卑之半周故也〉其
平行丙在前实行丑在后
故丑丙弧为减差以减于
平行而得实行也〈由最高至最卑
之半周皆平行在前实行在后故皆为减差也〉本
轮心复由丙行九十度至
丁则均轮心复至辛太阳
复至辰其积缩之度俱已
补足而平行实行复合为
一线矣然使两轮心之行
度皆等而无秒忽之不同
则最高卑必常与冬夏至
同度〈据今最高所在而上溯之得元世祖至元
初年最高卑正与冬夏至同度其前此则在至前也〉因两轮心之行每年相差
一分馀积久至今已差七
度四十馀分而最高即在
夏至后七度四十馀分矣
如图未为冬至午为夏至
本轮心由冬至未行一百
七十九度馀将至午而均
轮心才至本轮之申未至
上点七度有馀〈均轮行每年不及本
轮行一分馀积之遂差七度馀也〉而太阳
必尚在均轮近点之东十
四度馀然从地心甲计之
则太阳已当本天之午为
夏至矣迨均轮心行至上
点时本轮心复行七度馀
至乙而两轮心始与地心
参直太阳亦至寅点在两
轮心之间其距地最远是
为最高而以日躔计之已
在夏至后七度馀最卑之
在冬至后理亦如之故曰
两轮心行度之差即最高
卑之行分也
求盈缩差
盈缩差即今所用之均数自最卑至最高六宫为盈历为加差自最高至最卑六宫为缩历为减差最卑前三宫与后三宫相当最高前三宫亦与后三宫相当其差数皆相等故止求得最卑后六宫之差数而最高后六宫之差数视此但加减不同耳〈如最卑前三十度与最卑后三十度其差数必等但在最卑前者为减差在最卑后者为加差也〉授时历最大之盈缩差为二度四○一四以周天三百六十度每度六十分约之得二度二十二分今推得最大之差为二度零三分一十一秒〈即二度零百分度之五分三一〉
如图甲为地心即本天心乙丙为本天之一弧今命乙甲半径为一千万丁戊已为本轮则丁乙半径为二十六万八
千八百一十二丁为上点已为下点〈距地心近为下点距地心远为上点〉庚辛壬为均轮而庚己半径为八万九千六百零四庚为最近壬为最远〈远近皆以距本轮心言〉假如本轮心乙在本天之最卑则均轮心在本轮之下点已而太阳在均轮之近点庚是为初宫初度从地心甲计之太阳在两轮心之间成一直线无平行实行之差无均
数也如本轮心乙在本天之最高则均轮心在本轮之上点丁而太阳在均轮之近点庚是为六宫初度从地心甲计之太阳亦在两轮心之间成一直线无平行实行之差亦无均数也
如本轮心乙距最卑后一象限为三宫初度则均轮心从本轮下点已行一象限至癸而太阳则从均轮近点庚行半
周至远点壬从地心甲计之太阳当本天之子乙子弧为实行盈于平行之度乃用乙甲壬直角三角形乙为直角乙壬为两轮半径相并之数三十五万八千四百一十六乙甲为本天半径一千万则乙子弧即甲角之度而乙壬为其正切检表得二度零三分零九秒四十
微为甲角即乙子弧乃太阳中距时之均数是为加差以加于平行而得实行〈实行者太阳实在之行度〉若本轮心乙距最卑前一象限为九宫初度则均轮心从本轮下点已行三象限至丑而太阳从均轮近点庚行一周复自庚行半周至远点壬从地心甲计之太阳当本天之寅寅乙
弧与乙子弧等亦为太阳中距时之均数但为实行缩于平行之度是为减差以减于平行而得实行也
如本轮心乙距最卑后三十度为一宫初度则均轮心从本轮下点已行三十度至卯而太阳则从均轮近点庚行六十度至辰从地心甲计之太阳当本天
之巳乙巳弧为实行盈于平行之度乃先用乙午庚直角三角形此形有午直角有乙角三十度〈即己卯弧〉则庚角必六十度有乙庚边一七九二○八〈即乙卯半径之三分之二〉求得午庚边八九六○四乙午边一五五一九九乃置乙甲本天半径一千万减去乙午一五五一九九得午甲九
八四四八○一又倍午庚得午辰一七九二○八〈庚辰壬三角形与乙午庚三角形之边角俱相等盖庚为交角辰角立于圜界之一半为直角与午角等则壬角必与乙角等是三角俱等也庚壬为均轮全径与乙庚等则辰庚必与午庚等故倍午庚即得午辰也〉于是用午甲辰直角三角形求得甲角一度零二分三十四秒一十八微即乙巳弧是为加差以加于平行而得实行
若本轮心乙在最卑前三十度是为十一宫初度则均轮心从本轮下点已行三百三十度至未而太阳则从均轮近点庚行一周复行三百度至申从地心甲计之太阳当本天之酉酉乙弧与乙巳弧等但为实行缩于平行之度是为减差以减于平行而得实行也用此法
求得最卑后一象限之加差即得最卑前一象限之减差
如本轮心乙距最高前四十度为四宫二十度则均轮心从本轮下点已行一百四十度至戌而太阳则从均轮近点庚行二百八十度至亥从地心甲计之太阳当本天之子乙子弧为实行盈于
平行之度乃先用乙丑庚直角三角形此行形丑直角有乙角四十度〈即丁戌弧〉则庚角必五十度有乙庚边一七九二○八〈即乙戌半径之三分之二〉求得丑庚边一一五一九三丑乙边一三七二八一乃置乙甲本天半径一千万加丑乙一三七二八一得丑甲一○一三七二八一又倍丑
庚得丑亥二三○三八六于是用丑甲亥直角三角形求得甲角一度一十八分零六秒五十三微即乙子弧是为加差以加于平行而得实行若本轮心乙距最高后四十度是为七宫一十度则均轮心从本轮下点已行二百二十度至寅而太阳则从均轮近点庚行一周
复行八十度至卯从地心甲计之太阳当本天之辰辰乙弧与乙子弧等但为实行缩于平行之度是为减差以减于平行而得实行也用此法求得最高前一象限之加差即得最高后一象限之减差
时差〈原名日差〉
时差者平时与用时相较之时分也推步所得者为平时测量所得者为用时〈用时即视时也〉二者常不相合其故有二一因太阳之实行而时刻为之进退盖以高卑为加减之限也一因赤道之升度而时刻为之消长盖以分至为加减之限也新法历书合二者以立表名曰日差然高卑每年有行分则宫度引数必不能相同若合立一表岁久即不可用今仍分作二表加减两次庶于法为密也
如图甲为地心乙为本轮
心冬至后本轮心平行一
百一十八度馀至乙太阳
从本轮最卑自行一百一
十一度馀至丙从地心甲
作实行线至丙割黄道于
丁丁乙弧即平行实行之
差设推得某日申正太阳
平行乙未到酉宫尚一度
馀因行盈历实行大于平
行故平行乙虽未至酉宫
而实行丁巳交酉宫若以
平行乙所临之时刻为交
宫之时刻则为申正太阳
入酉宫是为平时然平行
乙虽临于申正而太阳丙
实在其东一度馀〈即丁乙弧〉故
必以此一度馀变时约得
五分为时差以减申正得
申初三刻十分大阳入酉
宫是为用时也又如夏至
后本轮心平行六十一度
馀至乙太阳从本轮最高
自行五十四度馀至丙从
地心甲作实行线至丙割
黄道于丁丁乙弧为平行
实行之差设推得某日辰
正太阳平行乙巳入巳宫
一度馀因行缩历实行小
于平行故平行乙虽入巳
宫一度馀而实行丁方交
巳宫初度若以平行乙所
临之时刻为交宫之时刻
则为辰正太阳入巳宫是
为平时然平行乙虽临于
辰正而太阳丙实在其西
一度馀故必以此一度馀
变时约得五分为时差以
加辰正得辰正初刻五分
太阳入巳宫是为用时也
准此论之凡最卑后半周
实行皆大于平行则用时
在平时东其时差宜减最
高后半周实行皆小于平
行则用时在平时西其时
差宜加此以最高卑为时
差加减之限黄道上事也
然时刻以赤道为主黄道
上之用时犹非赤道上之
用时何也黄道与赤道斜
交二分之后黄道如赤
道如股〈从赤极出线至赤道成直角勾股形〉故黄道一度赤道一度不
足赤道度少则时刻増矣
〈右旋度少则左旋度多故时刻増〉二至之
后黄道以腰围大圈之度
当赤道距等小圈之度故
黄道一度赤道一度有馀
赤道度多则时刻减矣〈右旋
度多则左旋度少故时刻减〉如图甲为
北极乙戊丙为赤道乙丁
丙为黄道乙为春分丙为
秋分丁为夏至春分后太
阳实行四十五度至已赤
道上与已相等之度为庚
庚距乙亦四十五度与已
相当之度为辛辛庚弧为
赤道少于黄道之度得二
度二十九分是为升度差
如推得太阳本日实行距
春分四十五度而即以四
十五度之点当某位为某
时者是以赤道之庚点命
时也〈如庚点当午位即为午时〉而实度
之辛点实在其西故必以
辛庚升度差变时为时差
以加于平时得用时〈如庚点当
午正末即午正末为平时以时差加之得辛点在未
初为用时秋分后与春分后同〉又如夏至
后太阳实行四十五度至
已赤道上与已相等之度
为庚庚距戊为四十五度
与巳相当之度为辛庚辛
弧为赤道多于黄道之度
得二度二十九分是为升
度差如推得太阳本日实
行距夏至四十五度而即
以四十五度之点当某位
为某时者是以赤道之庚
点命时也〈如庚点当午位即为午时〉而
实度之辛点实在其东故
必以庚辛升度差变时为
时差以减于平时得用时
〈如庚点当午初即午初为平时以时差减之得辛点
在已正为用时冬至后与夏至后同〉准此论
之凡分后两象限用时皆
在平时西其时差宜加至
后两象限用时皆在平时
东其时差宜减此以分至
为时差加减之限赤道上
事也是二者一以高卑为
加减之限一以分至为加
减之限若以太阳实行宫
度求得赤道同升度与平
行宫度相减馀度变时为
时差逐度立表以加减平
时而得用时是合两次加
减为一次加减然而宫度
引数又因逐年最高卑有
行分不能相同合立一表
虑岁久不可用故仍分作
二表一以太阳均数变时
用引数查之一以升度差
变时用实行查之依法加
减两次庶平时与用时相
较之分可得其真数也
曚影刻分
曚影者古所谓晨昏分也太阳未出之先已入之后距地平一十八度皆有光故以一十八度为曚影限然北极出地有高下太阳距赤道有南北故曚影刻分随时随地不同其随时不同者二分之刻分少二至之刻分多也随地不同者愈北则刻分愈多愈南则刻分愈少也若夫北极出地五十度则夏至之夜半犹有光愈高则渐不夜矣南至赤道下则二分之刻分极少而二至之刻分相等赤道以南反是
如图甲为天顶乙丙为地
平丁戊为地平下一十八
度曚影限〈乙丁及丙戊皆一十八度〉已
为北极庚为南极辛壬为
赤道癸子为夏至距等圈
丑寅为冬至距等圈二分
时日行辛壬赤道出入于
卯交曚影限于辰则日在
卯辰弧地平上皆有光故
以卯辰为曚引之刻分也
若冬至时日行丑寅距等
圈出入于已交曚历限于
午则日在巳午弧地平上
皆有光故以巳午为曚影
之刻分而巳午与赤道相
当之弧为未申其度多于
卯辰故冬至之刻分多于
二分也夏至时日行癸子
距等圈出入于酉交曚影
限于戌则日在酉戌弧地
平上皆有光故以酉戌为
曚影之刻分而酉戌与赤
道相当之弧为亥干其度
更多于未申故夏至之刻
分不惟多于二分而更多
于冬至也夫冬至相当之
未申弧度多于二分相当
之卯辰弧度其故易知若
夏至相当之亥干弧度多
于冬至相当之未申弧度
其故则难知盖未申亥干
二分皆系与赤道相当之
正非弧度也正之数
近圜心则疏疏则所当之
度少近圜周则密密则所
当之度多试于赤道上之
未申亥干四点各作垂线
引至圜周其割圜周之点
为坎艮震巽而坎艮弧为
未申弧相当之度〈未卯为坎己弧
之正卯申为已艮弧之正以未卯与卯申相加
成未申以坎已与巳艮相加成坎艮故坎艮弧为未
申相当之度〉震巽弧为亥干弧
相当之度〈卯干为巳巽弧之正卯亥为
巳震弧之正以卯干与卯亥相减馀亥干以已巽
与已震相减馀震巽故震巽弧为亥干相当之度〉以震巽弧与坎艮弧相较
则度之多少自见矣如求
二分之曚影刻分则用甲
巳辰斜弧三角形求巳角
为赤道之辛卯辰弧此形
有甲巳边五十度零五分
为北极距天顶之度〈以京师北
极出地三十九度五十五分立法〉有已辰
边九十度有甲辰边一百
零八度用三边求角法求
得巳角一百一十三度四
十五分三十六秒即辛卯
辰弧变时得六时六刻五
分〈每度变时之四分〉内减去半昼
分辛卯六时〈即日出卯至午正辛或午
正辛至日入卯之时刻也〉馀卯辰六刻
五分为二分时之曚影刻
分也如求冬至之曚影刻
分则用甲巳午斜弧三角
形求巳角为赤道之辛未
申弧此形有甲巳边五十
度零五分为北极距天顶
之度有巳午边一百一十
三度二十九分三十秒〈巳申
象限九十度加申午距纬二十三度二十九分三十
秒有甲午边一百零八度〉
用三边求角法求得已角
九十四度二十分零六秒
即辛未申弧变时得六时
一刻二分内减去半昼分
辛未四时二刻五分〈即日出巳
至午正丑或午正丑至日入巳之时刻也〉馀未
申六刻一十二分为冬至
时之曚影刻分也如求夏
至之曚影刻分则用甲巳
戌斜弧三角形求巳角为
赤道之辛亥干弧此形有
甲巳边五十度零五分为
北极距天顶之度有巳戌
边六十六度三十分三十
秒〈已乾象限九十度内减去戌干距纬二十三度
二十九分三十秒〉有甲戌弧一百
零八度用三边求角法求
得巳角一百四十三度二
十三分零五秒即辛亥干
弧变时得九时二刻五分
内减去半昼分辛亥七时
一刻一十分〈即日出酉至午正癸或午
正癸至日入酉之时刻也〉馀亥干八刻
九分为夏至时之曚影刻
分也其馀各节气皆仿
此推之
昼夜永短
昼夜由于日之出入因人所居有南北故见日之出入早晚随时各异而昼夜之永短生焉中土居赤道之北赤道斜倚于天顶之南南极入地北极出地故惟春秋分见日出入于卯酉而昼夜平分若秋分以后则出入于卯酉之南随天左旋之度地平上者少地平下者多故昼短夜永春分以后则出入于卯酉之北随天左旋之度地平上者多地平下者少故昼永夜短所居之地愈北则永短之差愈多〈广州府北极出地二十三度一十分夏昼冬夜各五十三刻一十一分夏夜冬昼各四十二刻零四分其较一十一刻零七分京师北极出地三十九度五十五分夏昼冬夜各五十九刻零五分夏夜冬昼各三十六刻一十分其较二十二刻一十分北极愈高其较愈多〉及至北极之下则赤道当地平夏则有昼而无夜冬则有夜而无昼盖以半年为昼半年为夜矣所居之地愈南则永短之差渐少以至于赤道之下则两极当地平而昼夜常均并无永短盖一岁中为四时者各二矣〈以日当天顶为夏日去天顶远为冬赤道既当天顶而太阳一岁必两躔赤道是两夏也一躔天顶南二十三度馀一躔天顶北二十三度馀是两冬也春秋亦如之〉
昼夜永短以南北而异若
东西虽相去千万里苟南
北极之高度同则昼夜之
永短亦同故谓之南北里
差亦名地平纬差其推步
之法以本地北极出地高
度为主求得各节气日出
入时刻即得昼夜时刻也
如图甲乙丙为子午䂓甲
丙为地平丁为北极丁丙
三十九度五十五分为京
师北极之高戊为卯正酉
正之位巳戊庚为赤道春
秋分太阳正当赤道日出
于戊为卯正中于巳为午
正复入于戊为酉正地平
上戊巳之度与地平下戊
庚之度等故昼夜平分各
四十八刻辛为夏至辛壬
癸为赤道距等圈〈古名昼长规〉即夏至太阳随天西转一
周之轨壬当卯正酉正之
位子为冬至子丑寅为赤
道距等圈〈古名昼短规〉即冬至
太阳随天西转一周之轨
丑当卯正酉正之位夏至
日出于辰在卯正前壬辰
为日出距卯正之弧与赤
道之戊巳度等中于辛为
午正复入于辰在酉正后
地平上辰辛之度多于地
平下辰癸之度故昼永夜
短冬至日出于未在卯正
后未丑为日出距卯正之
弧与赤道之申戊度等亦
即与夏至日出距卯正之
戊己度等中于子为午正
复入于未在酉正前地平
上未子之度少于地平下
未寅之度故昼短夜永冬
至时地平上未子之度与
夏至时地平下辰癸之度
等冬至时地平下未寅之
度与夏至时地平上辰辛
之度等故冬之夜同于夏
之昼冬之昼同于夏之夜
也今求戊巳之度以丁戊
半径一千万与丁丙北极
高三十九度五十五分之
正切丁戌八三六六二四
二之比即同于辰巳距纬
弧二十三度二十九分三
十秒之正切巳亥四三四
六三九五与戊巳弧之正
三六三六二九九之比
〈浑圆从外视之则弧与正俱合为一线〉得戊
巳二十一度一十九分二
十四秒〈戌丁戊三角形与亥巳戊三角形为
同式形其巳角与丁角同为直角戌角与戊角为平
行线上交错之角必等故相当之边皆可为比例〉变时得五刻一十分在夏
至时为卯前酉后分以减
卯正得日出寅正二刻五
分以加酉正得日入戌初
一刻一十分复倍卯前分
得一十一刻五分与四十
八刻相加得五十九刻五
分为昼刻与四十八刻相
减得三十六刻一十分为
夜刻也在冬至时为卯后
酉前分以加卯正得日出
辰初一刻一十分以减酉
正得日入申正二刻五分
复倍卯后分得一十一刻
五分与四十八刻相减得
三十六刻一十分为昼刻
与四十八刻相加得五十
九刻五分为夜刻也其馀
节气各用其距纬之正切
为比例即得日出入距卯
酉之弧但自春分至秋分
半岁日出皆在卯前日入
皆在酉后其变时加减并
与夏至同自秋分至春分
半岁日出皆在卯后日入
皆在酉前其变时加减并
与冬至同各省各国并依
此法推之
节气时刻
古历节气之日时有二其一取周岁之日〈三百六十五日有竒〉二十四分之得一十五日有馀为节为气其日相等以之颁历授时置闰成岁〈置闰之法以无中气者为闰月〉名为恒气言其各节气之日皆一定而不易且岁岁有常也其一取周天之度〈古三百六十五度四分度之一〉二十四分之得一十五度有馀为节为气其度相等以步躔离推朓朒名为定气言以日躔之度为定而不问日时之多寡也〈因日行有盈缩故各节气度数虽等而日时不等〉今颁历亦用定气〈以日躔右旋一十五度为一气〉故冬至至小寒止一十四日有馀夏至至小暑则一十六日不足且每年不同盖有加减可推务求密合于天行也然一岁之中同一节气而京师各省时刻不同者此则东西之里差亦名地平经差而非天行之故盖地体浑圎与天相应而人居地面各以所见日中为午正今以京师为主在京师东者见日出入皆早其日中必在京师午正之前在京师西者见日出入皆迟其日中必在京师午正之后故东方节气迟者非日躔之缩乃其见日早也西方节气早者非日躔之盈乃其见日迟也其时刻之差视偏度之多寡每偏一度得时之四分偏东者加偏西者减要以京师西之节气时刻加减之即得各省之节气时刻
御制历象考成上编卷四
<子部,天文算法类,推步之属,御制历象考成>
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