数学九章 (四库全书本)/卷1上

数学九章　卷一上

　　钦定四库全书
　　数学九章卷一上　　　　宋　秦九韶　撰大衍
　　按大衍术以各分数之竒零求各分数之总数大而天行小而物数皆可御之其法有求元求定求术求竒求乘求用之目大约以数之竒偶为根而以诸数相度之尽不尽为用有求彼此不能度尽之诸数者元数定数是也有求诸数皆能度尽之一数者衍母数是也有求诸数皆能度尽而一数不能度尽之数者各衍数是也其不尽之数即竒数也有求二数相度馀一之数者乘数是也有求二数相度馀一而诸数又能度尽之数者用数是也求元数定数初与约分法相似终变二数务使其等数为一盖以一为等数始能度尽二数是他数俱不能度尽二数而二数相度益不能尽也以定数竒数求乘数之法名曰大衍求一中有立天元一于左上之语下载立天元一算式按立天元一法见于元郭守敬之历源李冶之测圆海镜及四海之借根方者皆虚设所求之数为一与所有实数反复推求归于少广诸乘方得其积数与边数或正负廉隅数而止次用除法或开方法得所求数此数命定数为一与竒数反复商较至馀一实数而止其竒数所积即为乘数盖其用不同而法则无二也然其极和较之用穷竒偶之情则有为元法西法所未及者但原本法解烦杂图式讹舛今详加改定并释其义俾学者易见焉
　　大衍数术
　　大衍总数术曰置诸问数〈类名有四〉一曰元数〈谓尾位见单零者本门揲蓍酒息斛粜砌砖失米之类是也〉二曰牧数〈谓尾位见分釐者假令冬至三百六十五日二十五刻欲与甲子六十日为一会而求积日之类〉三曰通数〈谓诸数各有分子母者本门问一会积年是也〉四曰复数〈谓尾位见十或百及千以上者本门筑堤并急足之类是也〉
　　按此言问题有是四类
　　元数者先以两连环求等约竒弗约偶〈或约得五而彼有十乃约偶而弗约竒〉或元数俱偶约毕可存一位见偶或皆约而犹有类数存姑置之俟与其他约遍而后乃与姑置者求等约之或诸数皆不可尽类则以诸元数命曰复〈按复应作定〉数以复〈按同上〉数格入之
　　按此以元数求定数法也连环求等者于诸数中逐次取二数相度得一数可以度尽者为等数为法只约一数约竒弗约偶专为等数为偶者言之若等数为竒者则约偶弗约竒而等数为五与十者又有或约竒或约偶者矣皆约而犹有类俟约遍求等约之者逐条两两取约毕犹有二数可约者求得等数为续等〈见后〉续等约一数必复乘一数盖等数为二数之较〈或二数展转之较〉可约续等乃已约之较不可再约不可约而两数又不可使有等故约一数乘一数犹之不约也术内未详
　　收数者乃命尾位分釐作单零以进所问之数定位讫用元数格入之或如意立数为母收进分厘以从所问用通数格入之
　　按收数者单位下有竒零之数也进位者以竒零之末位为单位也若立分母通之反不如用原数为简
　　通数者置问数通分内子互乘之皆曰通数求总等不约一位约众位得各原法数用元数格入之或诸母数繁就分从省通之者皆不用元各母仍求总等存一位约众位亦各得原法数亦用元法数格入之
　　按通数与收数相似但单数有分母竒零为分子耳通分纳子即进尾数为单位之义因加互乘一次故加总等一约然后为元数也
　　又按求总等不拘通数复数但题中有三数可以一等数度尽者即可用总等法存一数约众数然后为元数凡度之后等数仍可约者此数必当存之
　　复数者问数尾位见十以上者以诸数求总等存一位约众位始得元数两两连环求等约竒弗约偶复乘偶或约偶或约竒复乘竒〈按此四语有误应作约竒弗约偶复乘偶或约偶弗约竒弗乘竒然皆续等下用之此处可省〉或彼此可约而犹有类数存者又相减以求续等以续等约彼则必复乘此乃得定数所有元数收数通数三格皆有复乘求定之理悉可入之按复数者诸问数皆至十或百或千而止也右各叚皆云以某格入之此又云三格悉可入之大约古算必有其程式也
　　求定数勿使两位见偶勿使见一太多见一多则借用繁不欲借则任得一
　　按勿使两位见偶者盖众数连乘中有两偶数则所得总数以一偶数除之必仍得偶数不能求馀一之乘数也勿使见一太多见一多则借数繁者盖见一多因数本如此且见一即不必推乃云勿使太多又云借数皆涂人之耳目也故曰不欲借则任得一
　　以定相乘为衍母以各定约衍母得各衍数〈或列各定数于右行各立天元一为子于左行以母互乘子亦得衍数〉诸衍数各满定母去之不满曰竒以竒与定用大衍求一入之以求乘率〈或竒得一即为乘率〉按诸定数连乘为衍母即为诸定数皆能度尽之数亦为总数最大之限凡总数在限内者各定数之差皆不等若过限外则各定数之差有与限内相等者其两总数之差必为衍母之倍数各衍母者即诸数度尽一数度不尽之数也竒数者定数度衍数不尽之数也定数原为彼此不能度尽之数衍数为他定数连乘之数以此一定数度之必不能尽也
　　大衍求一数云置竒右上定居右下立天元一于左上先以右上除右下所得商数与左上一相生入左下然后乃以右行上下以少除多递互除之所得商数随即递互累乘归左行上下须使右上末后竒一而止乃验左上所得以为乘率或竒数已见单一者便为乘率〈按此二语重上〉
　　按此以定数竒数求乘数也其法必使以定数度竒数仅馀一数而竒数之倍数即乘数也置竒右上定右下者初次以定为实竒为法也立天元一于左上者以一为竒之倍数也得商数与左上相生入左下者以竒商定得商数即竒之倍数以乘天元一而书于下也随以竒数与商数相乘以减定数为馀实次以竒为实减馀为法置前左下于左上以法约实得商乘左上又并前之左上为左下随以法乘商减实又为馀实次又以前馀为实次馀为法置前左下于左上得商数乘左上又倂前左上为左下随以法乘商减实如此展转相求合两次为一算至馀实一乃视左下天元数即乘数也若未至两次馀实一者仍以一为法上馀数为实实二则商一实三则商二如上求之复得馀一其天元数方为乘数原文递互乘除之语未详
　　置各乘率对乘衍数得泛用并泛课衍母多一者为正用或泛多衍母倍数者验元数竒偶同者损其半倍〈或三处同类以三约衍母于三处损之〉同衍母者为无用当验元数同类者而正用至多处借之以元数两位求等以等约衍母为借数以借数损有以益其无为正用或数处无者如意立数为母约衍母所得以如意子乘之均借补之或欲从省勿借任之为空可也
　　按此求各用数法也其各乘率乘各衍数得用数者即一数馀一诸数度尽之数也其云并泛用过衍母倍数验元数同类损之此语似有误当云验问数同偶而用数相并过衍母者损之盖取用皆问数非元数也凡偶数减偶仍馀偶减竒仍馀竒其数有定竒数减竒则馀偶又或馀竒减偶则馀竒又或馀偶其数无定故惟偶数可验也定数一者即无用数必虚为借数未免徒滋烦扰
　　然后以其馀各乘正用为各总并总满衍母去之不满为所求率数
　　按此既得各用数以题中所问之竒零求总数也以各馀数乘各用数者盖用数为诸数度尽一数馀一之数以几数乘之必为诸数度尽一数馀几数之数也并各条而以各数度之必各数仍馀几数也馀数悉合则总数必合矣然衍母为诸数度尽之数累加一衍母众馀数皆不变故满衍母去之得在衍母内者其数最小为第一数若大于此数者递加一衍母数无不合者
　　按右大衍本法也原书入于蓍䇿发微题问荅之后殊失其序今修冠于卷首
　　蓍卦发微
　　问易曰大衍之数五十其用四十有九又曰分而为二以象两卦一以象三揲之以四以象四时三变而成爻十有八变而成卦欲知所衍之术及其数各几何按揲蓍之法载于易传启𫎇言之甚明算术以竒偶相生取名大衍可也竟欲以此易古法则过矣
　　荅曰衍母十二衍法三
　　一元衍数二十四二元衍数一十二三元衍数八四元衍数六　已上四位衍数计五十一楪用数一十二二楪用数二十四三楪用数四四揲用数九　已上四位用数四十九
　　按此附会五十四十九之数与本衍已牵强不合观后可知
　　水　　火　　木　　金　〈始此四数以揲〉
　　阴阳象数图
　　老阳　少阴　　少阳　老阴〈终此四者为爻〉
　　按此条与数无取义可删
　　本题术曰置诸元数两两连环求等约竒弗约偶遍约毕乃变元数皆曰定母列右行各立天元一为子列左行以诸定母互乘左行之子各得名曰衍数次以各定母满去衍数各馀名曰竒数以竒数与定母用大衍术求一〈大衍求一术云以竒于右上定母于右下立天元一于左上先以右行上下两位以少除多所得商数乃递互乘归左行使右上得一而止左上为乘率〉得各乘率以乘衍数各得用数验次所揲馀几何以其馀数乘诸用数并之名曰总数满衍母去之不满为所求数以为实易以三才为衍法以法除实所得为象数如实有馀或一或二皆命作一同为象数其象数得一为老阳得二为少阴得三为少阳得四为老阴得老阳画重爻得少阴画拆爻得少阳画单爻得老阴画交爻凡六画乃成卦
　　按此即前大衍法末以三归取爻象亦属附会
　　草曰一二三四列右行立天元一列左行
　　元数右行
　　天元左行
　　以右行一二三四互乘左行异子一弗乘对位本子各得衍数
　　元数右行
　　上　副　次　　下
　　衍数左行　并之得五十
　　乃并左行衍数四位共计五十故易曰大衍之数五十算理不可以此五十为用盖分之为二则左右手之数竒偶不同见阴阳之伏数必须复求用数先名此曰衍数以为限率遂乃复以一二三四之元数求等数约定按前术以两两相连环求等约之先以一与二求等一与三求等一与四求等皆得一各约竒弗约偶数不变次以二与三求等亦得一约竒弗约偶数亦不变及以二与四求等乃得二此二只约副数二变为一而弗约四次以三与四求等亦得一约竒亦不变所得一一三四各为定数母列右行仍各立天元一为子列左行
　　定母右行
　　天行左行
　　以右行定母一一三四互乘左行各子一惟不对乘本子毕左上得一十二左副得一十二左次得四次下得三皆曰衍数
　　定母右行　以右定母满去左
　　衍数左行　衍衍馀各为竒数
　　次以各母去衍数其一母去衍一十二竒一其副母一亦去副子一十二亦各竒一其次母三去次衍四亦竒一其下母四欲去下子三则不满便以三为左下竒数
　　定母右行
　　竒数左行
　　凡竒数得一者便为乘率今左下衍是三乃与本母四用大衍求一术入之列衍竒三于右上定母于右下立天元一于左上空其左下
　　〈衍　定　商竒　母〉
　　〈天元〉
　　先以右上少数三除右下多数四得一为商以商一乘左上天元一只得一归左下其右下馀一
　　〈商　衍　定母竒　馀〉○
　　〈天　归元　数〉
　　次以右下少数一除右上多数三须使右上必竒一算乃止遂于右行最上商二以除右衍必竒一乃以上商命右下定馀一除之右衍馀一
　　〈商　衍竒　定母馀　　馀〉
　　〈天　　归元　　数〉
　　次以商二与左下归数相乘得二加入左上天元一内共得三



　　今验右上衍馀得一当止乃以左上三为乘率与前三者乘率各一与衍定图衍数对列之通计三行
　　定母
　　衍数
　　乘率
　　以乘率对乘左行毕左上得一十二左副得一十二左次得四左下得九皆曰泛用数
　　定母　　衍母
　　泛用
　　次以右行一二三四相乘得一十二名曰衍母复推元用等数二约副母二为一今乃复归之为二遂用衍母一十二益于左副一十二内共为二十四
　　元数
　　定用
　　今验用数图右行之一二三四即是所揲之数左行一十二并二十四及四与九并之得四十九名曰用数用为蓍草数故易曰其用四十有九是也
　　假今用蓍四十九信手分之为二则左手竒右手必偶左手偶右手必竒欲使蓍数近大衍五十非四十九或五十一不可二数信手分之必有一竒一偶故所以用四十九取七七之数始有左副二十四内益十二就其三十七泛为用数但三十七无意义兼蓍少太露是以用四十有九凡揲蓍求一爻之数欲得一二三四岀于无馀必令揲者不得知故以四十九蓍分之为二只用左手之数假令左手分得三十三自一一楪之必竒一故不繁楪乃径挂一故易曰分而为二以象两挂一以象三次后又令筮人以二二揲之其三十三亦竒一故归奇于㧅又令之以三三揲之其三十三必奇三故归奇于㧅又令之以四四揲之又奇一亦归奇于㧅与前挂一并三度揲通有四㧅乃得一一三一其挂一者乘用数图左上用数一十二其二揲㧅一者乘左副用数二十四其三揲㧅三者乘左次用数四得一十二其四揲一者乘左下用数九
　　用数
　　左行三㧅谓之三变
　　挂一得一十二㧅一得二十四㧅三得一十二又㧅一得九并为总数

　　并此四总得五十七不问所握几何乃满衍母一十二去之得不满者九〈或使知其所握五十七亦满衍母去之亦只得九数〉以为实用三才衍法约之得三乃画少阳单爻〈或不满得八得七为实皆命为三〉他皆仿此　术意谓揲二楪三楪四者凡三度复以三十三从头数揲之故曰三变而成爻既卦有六爻必有十八变故曰十有八变而成卦
　　按此条强援蓍卦牵附衍数致本法反晦今以本法列于前则其弊自见矣
　　古历会积
　　问古历冬至以三百六十五日四分日之一朔䇿以二十九日九百四十分日之四百九十九甲子以六十日各为一周假令至淳祐丙午十一月丙辰朔初五日庚申冬至初九日甲子欲求古历气朔甲子一会积年积月积日及历过未至年数各几何
　　按此题岁实朔䇿皆古法用数淳祐丙午岁合朔冬至干支乃宋开禧法所步题数已不相𫎇即推算无误亦未合况不能无误耶
　　荅曰一会积一万八千二百四十年二十二万五千六百月六百六十六万二千一百六十日　历过九千一百六十三年未至九千七十七年按荅数皆不合
　　术曰同前置问数〈有分者通之互乘之得通数〉求总等不约一位约众位各得元法连环求等约竒弗约偶各得定母〈本题欲求一会不复乘偶〉以定相乘为衍母定除母得衍数满定去衍得竒以大衍入之得乘率以乘衍数得泛用数并诸泛以课衍母如泛内多倍数者损之乃验元数竒偶同类处各损半倍〈或三位同类者三约衍母损泛〉各得正用然后推气朔不及或所遇甲子日数乘正用加减之为总满衍去之馀为所求历过率实如纪元法而一为历过以气元法除衍母得一会积年以气周日刻乘一会年得一会积日以朔元法除衍母得一会积月数
　　按如纪元法而一以气元法除衍母二语皆误故得数不合皆当以气分为法盖气分即岁实分也
　　右本题问气朔甲子相距日数系开禧历推倒或甲子日在气朔之间及非十一月前后者其总数必满母赘去之所得历过年数尾位虽伦首位必异今设问以明大衍之理初不计其前多后少之历过
　　按此数语盖因得数不合而自解之然算家终以得数为凖得数不合则无以取信于人矣
　　草曰置问数冬至三百六十五日四分日之一朔
　　䇿二十九日九百四十分日之四百九十九甲子六十日各通分内子互乘之列三等位具图如后



　　冬至得一千四百六十一朔实得二万七千七百五十九甲子无母只是六十列三行互乘之具图如后
　　〈气通　母　　　　　　　　总等不约纪分〉








　　以三行互乘右得一百三十七万三千三百四十为气分中得一十一万一千三十六为朔分左得二十二万五千六百为纪分先求总等得一十二〈按十二乃朔分纪分所求等数亦可为气分等数故为总等〉乃存纪分一位不约只以等一十二约气分得一十一万四千四百四十五又约朔分得九千二百五十三皆为元法乃以连环求等次以纪元二十二万五千六百与朔元九千二百五十三求等得一不约又以纪元与气元一十一万四千四百四十五求等得二百三十五只约气元得四百八十七次以气元四百八十七与朔元九千二百五十三求等得四百八十七只约朔元九千二百五十三得一十九约偏毕得四百八十七为气定得一十九为气定得二十二万五千六百为纪定以三定相乘得二十亿八千七百四十七万六千八百为衍母具图如后







　　各以定数约衍母各得衍数气得四百二十八万六千四百朔得一亿九百八十六万七千二百纪得九千二百五十三寄左行各满定数去之各得竒数





　　气竒得三百一十三朔竒得四纪竒得九千二百五十三各与定数用大衍求一各得乘数列右行对寄左行衍数具图如后




　　各以大数入之气乘率得四百七十三朔乘率得五纪乘率得一十七万二千七百一十七对左行衍数以右行乘率对乘左行衍数气泛得二十亿二千七百四十六万七千二百朔泛得五亿四千九百三十三万六千纪泛得一十五亿九千八百一十五万四百一十具图如后









　　右列用数并之共得四十一亿七千四百九十五万三千六百一为泛用数与衍母二十亿八千七百四十七万六千八百验之在衍母以上就以衍母除泛得二乃知泛内多一倍母数当于各用内损去所多一倍按术验法元图内诸元数奇偶同类者各损其半今验法元图气元尾数是五纪元尾数是六百为俱五同类乃以术母二十亿八千七百四十七万六千八百折半得一十亿四千三百七十三万八千四百以损泛用图内气泛纪泛毕其朔泛不损各得气朔纪正用数其气正用得九亿八千三百七十二万八千八百朔正用五亿四千九百三十三万六千纪正用五亿五千四百四十一万二千一列为正用图在前
　　既得正用数次验问题十一月朔日丙辰冬至初五日庚申初九日甲子乃以初一减初九甲子馀八日为朔不及次以初五亦减初九甲子馀四日为气不及以二不及各乘正用得数具图如后



　　先以气不及甲子四日以乘气正用数九亿八千三百七十二万八千八百得三十九亿三千四百九十一万五千二百为气总次以朔不及甲子八日数以乘其朔正用数五亿五千九百三十三万六千得四十三亿九千四百六十八万八千为朔总并之得八十三亿二千九百六十万三千二百为总数满母二十亿八千七百四十七万六千八百去之不满二十亿六千七百一十七万二千八百为所求率实具图如后






　　按求积岁应以甲子距冬至前之日分乘纪用数为纪总以合朔距冬至前之日分乘朔用数为朔总并纪总朔总满衍母去之以岁实分除之即已过积年草内以冬至距甲子前之日分乘气用数合朔距甲子前之日分乘朔用数并之乃求纪周法非求岁周法也故不合
　　置所得率实二十亿六千七百一十七万二千八百如法元图纪元法二十二万五千六百而一得九千一百六十三年为历过年数次置衍母二十亿八千七百四十七万六千八百为实如法元图气元一十一万四千四百四十五为法而一得一万八千二百四十年为气朔甲子一会积年内减历过九千一百六十三年馀九千七十七年为未至年数次以冬至周日三百六十五日二十五刻乘积一会年一万八千二百四十得六百六十六万二千一百六十日为一会积日又以术母为实如法元图朔元法九千二百五十二而一得二十二万五千六百月为一会积月合问
　　按此纪元即纪分以纪分除率实乃纪周数非已过年数也求一会积年当以气分为法以气元为法亦误此二数既误馀数无是者矣然题已不合既法合数亦不能合也今改设一题于后以明其法焉
　　设古法岁实三百六十五日四分日之一朔䇿二十九日九百四十分日之四百九十九甲子六十日假令十一月平朔辛巳日四百七十分日之一百一十三冬至癸卯日子正初刻问距前后甲子日子正初刻合朔冬至之年数各几何
　　荅曰距前八百七十六年距后六百四十四年
　　法按前法求至正用乃以冬至癸卯距甲子后三十九日为纪馀以日法〈即气分母朔分母相乘之数〉三千七百六十分通之得十四万六千六百四十为纪馀分以乘纪正用得纪总八十一兆二千九百八十九亿七千五百八十二万六千六百四十次以平朔辛巳距甲子十七日又四百七十分之一百一十三与冬至距甲子三十九日相减得二十一日又四百七十分日之三百五十七以日法三千七百六十通之得八万一千八百一十六为朔馀分以乘朔正用得朔总四十四兆九千四百四十四亿七千四百一十七万六千并二总数满衍母去之得率实十二亿零三百零四万五千八百四十为实以岁实一百三十七万三千三百四十为法除之得八百七十六年为距前气朔甲子会积之年数又以衍母为实以岁实分为法除之得一千五百二十年为前会积距后会积之年数减去距前会积之年数馀六百四十四年为距后会积之年数既得积年若欲还原求题中干支时刻则以前会之积年与岁实相乘得三十一万九千九百五十九为积日满纪法六十去之馀三十九日自初日起甲子得冬至为癸卯日子正初刻又置积日以朔䇿日分九百四十通之为实以朔䇿通分纳子为法除之得一万零八百三十四为积朔馀二万零四百五十四又为实以朔䇿日分九百四十为法除之得二十一日又九百四十分之七百一十四约之为四百七十分日之三百五十七为距冬至前日数与甲子距冬至前三十九日相减得一十七日又四百七十分日之一百一十三为距甲子后日数自初日起甲子得辛巳为平朔干支悉与题合
　　推库额钱
　　问有外邑七库日纳息足钱适等递年成贯整纳近縁见钱稀少听各库照当处市陌凖解旧会其甲库有零钱一十文丁庚二库各零四文戊库零六文馀库无零钱甲库所在市陌一十二文递减一文至庚库而止欲求诸库日息原纳足钱展省及今纳旧会并大小月分各几何
　　按题意系七邑日纳共钱同数以各邑市陌数计之或适足或有馀多寡不同甲陌十二则馀十乙陌十一丙陌十则无馀丁陌九则馀四戊陌八则馀六己陌七则无馀庚陌六则馀四以求共钱同数此本术也又问展省旧会按草中展省乃官省陌以七十七为一百所展日息共钱之数旧会乃以各陌数为一百所升日息共钱之数二者在本术中已赘且不明言展省旧会用数求法皆故为溟涬也
　　荅曰诸库纳日息足钱二十贯九百五十文
　　展省三十五贯文
　　甲库日息旧会二百二十四贯五百一十文〈按应作五百文又六分文之五〉大月旧会六千七百三十七贯五百文〈按少二十五文〉小月旧会六千五百一十二贯九百二文〈按应作六千五百一十贯五百又六分文之一〉乙库日息旧会二百四十五贯文　大月旧会七千三百五十贯文　小月旧会七千五百贯文〈按应作七千一百五贯〉
　　丙库日息旧会二百六十九贯五百文　大月旧会八千八十五贯文　小月旧会七千八百一十五贯五百文
　　丁库日息旧会二百九十九贯四百四文〈按应作四百四十四文又九分文之四〉大月旧会八千九百八十三贯三百三文〈按少三十文又三分文之一〉　小月旧会八千六百八十三贯八百八文〈按少八十文又九分文之八〉戊库日息旧会三百三十六贯八百六文〈按应作七十五文〉　大月旧会一万一百六贯二百四文〈按应作二百五十文〉　小月旧会九千七百六十九贯三百六文〈按应作七十五文〉
　　己库日息旧会三百八十五贯文　大月旧会一万一千五百五十贯文　小月旧会一万一千一百六十贯文〈按少五贯〉
　　庚库日息旧会四百四十九贯一百四文〈按应作一百六十六文又分三文之二〉　大月旧会一万三千四百七十五贯文　小月旧会一万三千二十四贯八百二文〈按应作二万三千二十五贯八百三十三文又三分文之一〉
　　术曰以大衍求之置甲库市陌以库减库减之各得诸库原陌连环求等约竒弗约偶〈按此特为等数为偶者言之若等数为竒者则约偶弗约竒〉得定母诸定相乘为衍母以定约衍母得衍数衍数同衍母者去之为无〈无者借之同类〉其各满定母去馀为竒数以竒定用大衍求乘率乘衍数为用数无者则以原数同类者求等约衍母得数为借数次置有零文库零钱数乘本用数并为总数满衍母去之不满为诸库日息足钱各大小月日数乘之各为实各以原陌约为旧会
　　草曰置甲库市陌一十二递减一得一十一为乙库陌十一为丙库陌九为丁库陌八为戊库陌七为己库陌六为庚库陌得诸库原陌
　　甲　乙　丙　丁　戊　己　庚


　　以连环求等约讫甲得一乙得十一丙得五丁得九戊得八己得七庚得一各为定母立各一为子按此法之要在于求定而术中独略之今详其式于后
　　法列七库陌数于前先以甲与
　　乙相约无等数与丙数相约得
　　等数二〈偶〉约丙十得五〈竒〉与丁
　　数相约得等数三〈奇〉约甲十二
　　得四〈偶〉与戊数相约得等数四
　　〈偶〉约甲四得一〈奇〉甲数既为一
　　不能再约即为与诸数遍约毕
　　次以乙与下五数相约俱无等
　　次以丙与下四数相约亦俱无
　　等次以丁与戊己二数相约俱
　　无等与庚数相约得等数三〈奇〉约庚六得二〈偶〉次以戊与己相
　　约无等与庚相约得等数二〈偶〉约庚二得一〈奇〉庚既为一己亦
　　不能与之相约乃为连环求等毕得定数为甲一乙十一丙五丁九戊八己七庚一也后凡求定数仿此
　　〈定母〉


　　先以诸定相乘得二万七千七百二十为衍母次以诸定互乘诸子甲得二万七千七百二十乙得二千五百二十丙得五千五百四十四丁得三千八百戊得三千四百六十五己得三千九百六十庚得二万七千七百二十各为衍数
　　定母右行





　　次验诸衍数有同衍母者皆去之为无衍数次各满定母去各本衍各得奇数甲无乙得一丙得四丁得二戊得一己得五庚无各为竒数



　　次验有奇数者得一便以一为乘率或得二数以上者各以奇数于右上定母于右下立天元一于左上用大衍求一之数入之验乘除至右上馀一而止皆以左上所得为乘率甲无乙得一丙得四丁得五戊得一己得四庚无各为乘率列右行以对寄左衍数





　　以两行对乘之为用数甲无乙得二千五百二十丙得二万二千一百七十六丁得一万五千四百戊得三千四百六十五巳得一万一千八百八十庚无




　　次推无用数者惟甲庚合于同类处借之其同类谓原陌列而视之


　　今视甲一十二庚六皆与丙一十戊八俱偶为同类其戊用数三千四百六十五其数少不可借惟丙一十之用数系二万二千一百七十六为最多当以借之乃以甲一十二丙一十庚六求等得二以等数二约衍母二万七千七百二十得一万三千八百六十为借数乃减丙用二万二千一百七十六馀八千三百一十六为丙用数乃以所借岀之数一万三千八百六十为实以原等二为法除之得六千九百三十为甲用数以甲用数减借岀数馀亦得六千九百三十为庚用数今不欲甲庚之借数同乃验得岀数一万三千八百六十可用几约如意乃立三取三分之一得四千六百二十为甲用取三分之二得九千二百四十为庚用列右行



　　一　　○　○　　　　　　○　　〈零数〉　左行乃视诸库有无零钱数验得乙丙己三库无先去其用数乃以甲子戊庚四库零钱列左行对乘本用甲得四万六千二百丁得六万一千六百戊得二万七百九十庚得三万六千九百六十合为总



　　并此四总得一十六万五千五百五十满衍母二万七千七百二十去之不满二万六千九百五十为所求率以贯约为二十六贯九千五十文为诸库日息等数以官省七十七陌展得三十五贯文〈按官省陌以七十七为一百故二十六贯馀展为三十五贯〉各以其库陌纽计〈按库陌纽计即以各陌数为一百〉各得旧会零钱各以三十日乘为大月息以日息减大月息馀为小月息合问
　　分粜推原
　　问有上农三人力田所收之米系用足斗均分各往他处岀粜甲粜本郡官场馀三斗二升乙粜与吉安乡民馀七斗丙粜与平江𭣄戸馀三斗欲知共米及三人所分各粜石几何
　　荅曰共米七百三十八石　三人各分米二百四
　　十六石
　　甲粜官斛二百九十六石　乙粜安吉斛二百二十三石　丙粜平江斛一百八十二石
　　术曰以大衍求之置官场斛率安吉乡斛率平江市斛率〈官私共知者官斛八斗三升安吉乡斛一斗一升平江市斛一石三斗五升〉为原数求总等不约一位约众位连环求等约竒不约偶或犹有类数存者有求等约彼为复乘此各等定母相乘为衍母互乘为衍数满定去之得竒大衍求一得乘率乘衍数为用数以各馀米乘用并之为总满衍母去之不满为所分以原人数乘之为共米
　　草曰置文思院官斛八十三升吉安州乡一百一十升平江府市斛一百三十升各为其斛原率




　　先以三率求总等得一不约〈按此题只一数见十不必用复数求总等〉次以连环求等其安吉率一百一十与平江率一百三十五求等得五以约平江率得二十七〈按五为中数或约偶或约奇皆可但不约可以再约者〉馀皆求等得一不约各得原数


　　以定相乘得二十四万六千五百一十为衍母各以原率约之得二千九百七十为官斛衍数得二千二百四十一为安吉州衍数得九千一百三十为平江斛衍数
　　官斛　　安吉　　平江　　　　　衍母



　　次以定母满法去衍数得不满六十五为官斛奇不满四十一为安吉奇不满四为平江奇数



　　定母奇数各以大衍入之求得乘数得二十三为官斛乘率得五十一为安吉乘率得七为平江乘率



　　以乘率各乘寄左行衍数得六万八千三百一十为官斛用数得一十一万四千二百九十一为安吉用数得六万三千九百一十为平江用数





　　次以甲馀三十二升乘官斛用数六万八千三百一十得二百一十八万五千九百二十升于上次以乙馀七十升乘安吉用数一十一万四千二百九十一得八百万三百七十升于中次以丙馀三十升乘平江用数六万三千九百一十得一百一十九万七千三百于下各为总并之得一千二百一十万三千五百九十升为总数满衍母二十四万六千五百一十升去之不满二万四千六百升为所求率展为二百四十六石为三人各分米以兄弟三人因之得七百三十八石为共米置分米二百四十六石各以官斛八斗三升安吉斛一石一斗平江斛一石三斗五升约之甲得二百九十六石馀三斗二升乙得二百二十三石馀七斗丙得一百八十二石馀三斗各为粜过及馀米合问












　　数学九章卷一上
<子部,天文算法类,算书之属,数学九章>