数学九章 (四库全书本)/卷4上

数学九章　卷四上

　　钦定四库全书
　　数学九章卷四上　　　　宋　秦九韶　撰测望
　　按测望之法见于晋刘徽海岛算经原名重差其书一卷九题法简数密此卷本其法而扩充之于古人之意实多所发明然其中讹舛之处较他卷尤甚今悉为正之至术有未合者更设法以附其后焉
　　望山高远
　　问名山去城不知高远城外平地有木一株高二丈三尺假为前表乃立后表与木齐高相去一百六十四步先退前表三丈九寸次退后表三丈一尺三寸斜望山峯各与其表之端参合人目高五尺里法三百六十步步法五尺欲知山高及远各㡬何
　　答曰高二十里半零三步五分步之三　远二十七里三百二十八步五百七十五分步之六十七
　　按术数误后入目距山系三十五里二百三十九步一尺三寸其故详后
　　术曰以勾股求之重差入之置二退表相减馀为高法通表间并法于上以目高减表高馀乘上为寔寔如法而一得山高以法乘表高为远法〈按此条法误应以法乘表高与人目去地之较〉以退后表乘高寔为远寔寔如法而一得山远
　　望山高远图〈按旧图画山木在术前今山改移于此〉
　　草曰置后退表三丈一尺三
　　寸减前退表三丈九寸馀
　　四寸为高法置表去木一百
　　六十四步以步法五十寸
　　通得八千二百寸为表间
　　并法四寸得八千二百四
　　寸于上以目高五尺
　　减表高二丈三尺馀通之为一百八十寸乘上得一百四十七万六千七百二十寸为高实实如高法四寸而一得三十六万九千一百八十寸为积寸次以步法五十寸约之得七千三百八十三寸五分步之三次以里法三百六十步约之得二十里一百八十三步五分步之三为山高〈按此所得系人目上之山高若加人目高则多一步〉次以法四寸乘表高二丈三尺得九百二十为远法〈按误同前〉以退后表三丈一尺三寸乘高实一百四十七万六千七百二十寸得四亿六千二百二十一万三千三百六十寸为远实实如远法九百二十寸而一得五十万二千四百五寸二十三分寸之一十九为积寸乃以步法五十寸乘远法九百二十得四万六千寸为法亦除远实得一万四十八步不尽五千三百六十与法求等得八十俱以约之得五百七十五分步之六十七又以里法三百六十步约得二十七里三百二十八步五百七十五分步之六十七为山去后表入立望处等图如后
　　按术中求山高法合其求远以表高乘高法为远法则误盖本法应即以高法为远法以退后表乘表问并法为寔即得后人目距山之远今以退后表乘高寔为寔而高寔乃目高减表高乘表减并法之数则远法亦当以目高减表高乘高法今即以表高乘之则法数大故得数小也






　　乃以头位八千二百四寸乘中一百八十寸得一百四十七万六千七百二十寸为高寔
<子部,天文算法类,算书之属,数学九章,卷四上>
　　乃以步法五十寸乘中位远法九百二十寸得下位四万六千寸为后图中位步寸法






　　乃以中除上得下位里数及零步其不尽寸与法求得八十俱约之为步分母子之数
　　临台测水
　　问临水城台立高三丈其上架楼其下址侧脚阔二尺謢岸排沙下桥去址一丈二尺外椿露土高五尺与址下平遇水涨时浸至址今水退不知多少人从楼上栏杆腰中驾一竿出外斜望水际得四尺一寸五分乃与竿端参合人目高五尺欲知水退立深涸岸斜长自台址至水际各几何
　　按算题固不厌其难然必简而不漏繁而不赘始为合作如此题本意谓竿端与台址上下悬直则侧脚阔二尺句已赘又不明言人目距台边远近皆故为黯黮也
　　术曰以勾股变法兼少广求之求涸岸斜长置出竿乘台高为叚以去基乘叚为阔泛以岸高乘叚为浅泛以目高乘去基为约泛三泛可约者约之为定率不可约径为率以阔率自乘为阔幂以浅率自乘为浅幂并阔浅二幂共为竣幂复乘阔幂于上以台高幂乘上为竣实次以阔率乘浅率为寄以台高数乘阔率又乘约率得数内减寄馀自乘为竣隅验峻实峻隅两者可约求等约之为峻定实峻定隅开同休连枝平方得峻岸斜长〈同休格先以隅开平方得数名同隅以同隅乘定实开之得数为寔以同隅为法除之得竣斜　按此条误草中乃即以定实开平方得数以同隅除之为竣斜也〉求水退深基岸高幂乘竣定实为深实以去岸幂并岸为幂乘竣定为深隅〈其深实深□可约约之仍以同休格入之〉开连枝平方得水退深
　　临䑓测水图〈按旧图画楼䑓不画正高在术前今改正移于此〉
　　草曰以出竿四
　　十一寸五分乘
　　䑓高三十尺得
　　一百二十四尺
　　五寸为段以去
　　址一十二尺乘叚得一千四百九十四以为阔泛以䕶岸高五尺乘段一百二十四尺五寸得六百二十二尺五寸为浅泛以目高五尺乘去址一十二尺得六十尺为约泛以阔泛浅约泛三者求等等得一尺五寸皆以约其阔泛得九百九十六尺为阔率其浅泛得四百一十五尺为浅率其约泛得四十尺为约率以阔率九百九十六自乘得九十九万二千一十六尺为阔幂以浅率四百一十五自乘得一十七万二千二百二十五尺为浅幂倂阔浅二幂得一百一十六万四千二百四十一为竣幂以阔幂九十九万二千一十六尺乘竣幂得一万一千五百四十九亿四千五百六十九万九千八百五十六尺于上又以台高三十尺自乘得九百尺为台高幂乘上得一千三十九万四千五百一十一亿二千九百八十七万四百尺为竣实次以阔率九百九十六乘浅率四百一十五得四十一万三千三百四十为寄以台高三十乘阔率九百九十六得二万九千八百八十文乘约率四十得一百一十九万五千二百内减寄馀七十八万一千八百六十尺自乘得六千一百一十三亿五百五万九千六百尺为隅以隅与竣实求等得二千四百八十万四百俱以约之得四千一百九十一万二千六百七十六尺为竣定实得二万四千六百四十九为竣定隅开同休连枝平方得竣岸至水际斜长验同休格乃以定隅二万四千六百四十九万为实先以一为隅开平方得一百五十七为同休法次以竣定实四千一百九十一万二千六百七十六尺为实亦以一为隅开平方得六千四百七十四尺为同休实实如同休法一百五十七而一求等得一俱以一各约之其法与馀只得此数乃直命之得四丈一尺一百五十七分尺之三十七为涸岸斜长至水际求退水深置岸高五尺自乘得二十五为岸高幂乘竣定实四千一百九十一万二千六百七十六尺得一十亿四千七百八十一万六千九百为深泛以去岸一十二尺自乘得一百四十四尺为去岸幂并岸高幕二十五尺得一百六十九尺以乘竣定隅二万四千六百四十九得四百一十六万五千六百八十一为隅泛置二泛求等得一百六十九俱约二泛得六百二十万一百为定实得二万四千六百四十九为深定隅开连枝平方得水退立深验同休格乃以深定隅二万四千六百四十九为实先以一为隅开平方得一百五十七为同休法次以深实实六百二十万一百为实亦以一为隅开平方得二千四百九十为同休实实如法一百五十七而一得一十五尺不尽一百三十五与法求等得一俱以一各约法与只得此数乃直命之得一丈五尺一百五十七分尺之一百三十五为水退立深数也
　　按此条术虽甚繁理数皆极精密非兼通于勾股通分之法者不能立也但累乘累除错综变换皆未尝明言其不能无金鍼不度之疑今绘图以之并条拆其乘除各数于后
　　如图甲乙为䑓正高乙丙为桩去
　　䑓址丙丁为岸高乙戊为台址至
　　水际即为峻斜己庚为人目高甲
　　庚为出竿戊癸为水面正深题有
　　甲乙䑓高乙丙桩去址丙丁去桩
　　甲庚出竿己入庚
　　目高求乙辛竣斜自丁点与丙丁平行相等作丁辛线自乙点与丙丁并行作丁作乙辛线自丁点与戊甲平行作丁壬点得壬丁辛勾股形内有乙丁辛勾股形一与乙丙丁辛等有乙丁壬三角形一与甲乙戊形同式法当以己庚小股乘庚辛大勾以甲庚小勾除之得壬辛大股次以乙丁三小角形下斜边乘甲乙戊形直边以乙辛减壬辛馀壬乙为乙丁壬形直边为法除之得乙戊为甲乙戊形下斜边即所求䑓址至水际之峻斜其法只用丨除两次甚属易简即遇数不尽者以通分御之再加一二次乘除可以乃必增至十馀次多者始欲穷数之变就一题以为诸法之例非徒为繁难也试依术内逓次乘除之数逐条细论之
　　出竿〈甲庚〉乘高䑓〈甲乙〉为段去址〈乙丙〉乘段为阔率〈原名阔泛约之为阔率今即为阔率〉为去址乘䑓高出竿长幂之数阔率自乘为阔幂即如去址幂乘䑓高出竿长幂自乘之数又即如去址幂乘䑓高幂又乘出竿幂之数
　　岸高〈丙丁〉乘段为浅率〈原名浅泛约之为浅令即浅浅率〉为岸高乘䑓高出竿长幂之数浅率自乘为浅幂即如岸高幂乘台高出竿长幂自乘之数又即如岸高幂乘䑓高幂又乘出竿幂之数
　　并阔幂浅幂为浅幂为竣幂　〈乙丁〉幂乘台高出竿长幂自乘之数又即如小斜幂乘䑓幂又乘出竿竿幂之数
　　阔幂峻幂相乘为上数即如小斜幂乘去址幂又乘台高幂自乘又乘出竿幂自乘之数
　　阔率浅率相乘为寄数即土去址岸高相乘又乘䑓高幂又乘出竿幂之数
　　去址目高〈己庚〉相乘为约率即如出竿乘壬辛
　　台高乘阔率即如去址乘台高幂又乘出竿之数又以约率乘之即如去址壬辛相乘幂又乘台高幂又乘出竿幂之数内减寄数馀去址壬乙相乘幂又乘台高幂又乘出竿幂之再自乘之隅数即如壬乙幂乘去址幂又乘台高幂自乘又乘出竿幂自乘之数
　　上数隅数内去址幂台高幂自乘出竿幂自乘各数皆同则用上数乘隅数除即如用小斜幂乘壬乙幂除矣以䑓高幂乘上数若以隅数除之即得竣斜〈乙戊〉幂但数不能尽故约之带隅数开平方所谓连枝同休法也至阔泛浅用于乘数约泛用于除数故可两边同约又为省算也求水立深同此






<子部,天文算法类,算书之属,数学九章,卷四上>
<子部,天文算法类,算书之属,数学九章,卷四上>
<子部,天文算法类,算书之属,数学九章,卷四上>
<子部,天文算法类,算书之属,数学九章,卷四上>
<子部,天文算法类,算书之属,数学九章,卷四上>
　　陟岸测水
　　问行师遇水须计篾䌫搭造浮桥今垂绳量陟岸高山丈人立其上欲测水面六阔以六尺为矩平持去目下五今矩本抵颐遥望水彼岸与矩端岸相合又望水此岸沙际入矩端三尺四寸人目高五尺其水面阔几何
　　答曰水阔二十三丈四尺六寸〈按应二十三丈八尺〉
　　术曰以勾股重差求之置短去目下寸为法以人目并岸高减去法〈按减法误〉馀乘人矩端为实如法而一得水阔陡岸测水图〈按旧图画岸水视绿不能在术前令改正移于此〉
　　草曰置矩本去目下五寸
　　为法以入目高五尺并岸
　　高三丈得三丈五尺通为
　　寸得三百五十寸减去五
　　寸馀三百四十五寸乘沙
　　际入矩端三十四寸得
　　一万一千七百三十寸为实实如法五寸而一得二千三百四十六寸展为二十三丈四尺六寸为水阔合问
　　按测望诸线皆合于人目之一点其高正当自人目计之今减去人目距矩自矩下计之不得其理矣
　　表望方城
　　问敌城不知广远傍城南山原林间房之林际有木二株南北相去一百六十步遥与城东方面参相直乃于二水之东相对立两表表间与木四方平人目以绳维之人自东后表向西行一十步望城东北隅入东前表一十五步又望城东南隅入东前表四十八步强半步里法三百六十欲知其方广及相去几何答曰城东广各一十二里三百二十步城去木
　　九里三百二十步
　　按答数皆误今推得城方广各一十一里二百二十步又三十一分步之二十城东南隅至北木一里九十九步又三十一分步之一十二
　　术曰以勾股重差求之置城东南隅景入表减表间馀乘表间为城去木寔以西方步减城东北隅景入表馀为法〈按此句法误〉得城去木数以城东北隅景入表减表间馀乘表间为广实实如前法而一得城广〈按此所得乃城东北隅至前木之远以为城广数误也〉
　　表望方城图〈按旧图画城南二木与城东面不城一直线在术前今改正移于此〉
　　草曰以西行一十步减东
　　北隅入表一十五步馀五
　　步为法以城东南隅景入
　　表四十八步七分半减表
　　间一百六十步馀一百一
　　十一步二分半乘表间一
　　表六十步得一万七千八百为城去木寔以法五步除之〈按误同上〉得三千五百六十步以里
　　法三百六十约之得九里三百二十步为城去木里及步数　次置城东北隅京十表一十五步减表间一百六十馀一百四十五步乘表间一百六十得二万三千二百为减实以以前法五步除之得四千六百四十步以里法三百六十约之为一十二里三百二十步即城方广里及步数〈按误亦同上〉合问
　　按此题之要在二本与城东面成一直面方城与表木方形各边俱平西行减城东南隅入表之较与表间成小勾股形城东南隅入表间表间之表与城东南隅至前木成大勾股形此二形同式可以相比故术草中第二求以城东北隅入表减表间之馀乘表间为实以西行步减城东北隅入表之馀为法除实是也但所得为城东北隅至前木之远以为城广则误矣又西行步减城东南隅入表之较与表间成小勾股形城东南隅入表减表间之较与城东南隅至前木成大勾股形此二形亦同式可以相比以城东南隅入表减表间之馀乘表间为实应以西行步减城东南隅入表之为法除之即得城东南隅之前木之远术草中以西行步减城东北隅入表之馀为法故得数大七倍馀既得城东面南北二隅距前木之远则相减为城广可知矣
　　遥度城
　　问有圆城不知周径四门中开北外三里有乔木出南门便折东门九里乃见木欲知城周径各几何〈圆用故法〉答曰径九里　周二十七里
　　术曰以勾股夕桀求之一为从隅五因北外里为从七廉置北里幂八因为从五廉以北里幂为正率以东行幂为负率二率差四乘北里为益从从三廉倍负率成五廉为益上廉以北里乘上廉为实开玲珑九乘方得数自乘为径以三因径得周
　　遥度圆城〈图旧图画城挂在术前今删改移于此〉
　　草曰以一为从隅以五因
　　北三里得一十五里为从
　　七廉以北三里自乘得九
　　里为正率以八因率得七
　　十二为从五廉以西行见
　　里自乘得八十一为负率以正率九减负率馀七十二位负差以四因之得二百八十八以乘北三里得八百六十四系负差所乘者为益三廉倍负率八十一得一百六十二乘五廉七十二得一万一千六百六十四为益上廉以北三里乘上廉得三万四千九百九十二为实置实廉隅玲珑空隅位方廉以约实众法不可超进乃于实上定商三里其隅与商相生得三为从下廉又与商相生入从七廉共得二十四为星廉又与商相生得七十二为从六廉又与商相生入五　内共得二百八十八又与商相生得八百六十四为从四廉又与商相生得二千五百九十二为正三廉内消益三廉八百六十四讫馀一千七百二十八为从三廉又与商相生得五千一百八十四为从二廉又与商相生得一万五千五百八十二为从上廉内消益上廉一万一千六百六十四讫馀三千八百八十八为正上廉又与商相生得一万一千六百六十四为从方乃命上商三里除实适尽得三里以自乘之得九里为城圆径之里数又以故法圆率三因之得二十七为城周












　　以上求率图以后开方图实与益皆负画黑商与从皆正画朱
　　按商实负字旁书已明今皆用黒








<子部,天文算法类,算书之属,数学九章,卷四上>






　　按凡勾股难题用立天元一法取之多至三乘方而至元李冶测圆海镜一百七十问仅一题取至五乘方犹自以为烦此题非甚难者乃取至九乘方盖未得其要也细校术草中廉隅积实之数与立天元一法自然相生者回殊且凡立天元一法开方后未有不得所求之数者今得数自乘始为所之数尤于古人立法之意不合爰另立取法并步算之式于后
　　法立天元一为圆城径加三里得三里多一元为大股自之得九里多六元多一平方为大股幂九里为大勾自得之八十一里为大勾幂相并得九十里多六元多一年方为大幂又以大股为小勾和三里为小勾较和较相乘得九里多三元为小股幂二分天元之一为小勾加小勾三里得三里多二分元之一为小自得之九里多三元多四分平方之一为小幂乃以小幂与大股幂相乘得八十一里多八十一元多二十九平方又四分平方之一多四立方又二分之一多四分三乘方之一寄之又以大幂与小股幂相乘得八百一十里多三百二十四元二十七平方三立方与寄数等両边各减八十一里三百二十四元二十七平方三立方得四分三乘方之一多一立方二平方又四分平方之一少二百四十三元与七百二十九里等各以四乘之得一三乘方多六立方九平方九百七十二元与二千九百一十六里等乃以里数为实以元数为益方平方数为从上廉立方数为从下廉三乘方数为隅开帯纵三乘方得九里为城径开方式附后
　　法列寔及方廉隅数约商九
　　里乃以隅生商得九入下廉
　　得一十五又以下廉生商得
　　一百三十五入上廉得一百
　　四十四又以商生上廉得一
　　千二百九十六以消益方得二百二十四为从方以商生从方得二千九百一十六减实恰尽为开得三乘方为九里即城径也




　　数学九章卷四上
<子部,天文算法类,算书之属,数学九章>