数学九章 (四库全书本)/卷4下

数学九章　卷四下

　　钦定四库全书
　　数学九章卷四下　　　宋　秦九韶　撰
　　测望
　　望敌圆营
　　问敌临河为圎营不知大小自河南岸至其地七里于其地立两表相去二步其西表与敌营南北相直人退西表一十二步遥望东表适与敌营圆边参合圆法用密率里法三百六十欲知其营周及径各㡬何答曰营周六里一百二步七分步之六　径二里按答数有误营周系六里七十六步又一万一千九百二十一分步之四千九百四十八径系一里三百五十一步又一千七百零三分步之九百九十九
　　术曰以勾股夕桀求之置表间自乘为勾幂以退表自乘为股幂并二幂为幂置里通步自之乘勾幂为率自乘为泛实〈按此数当即为实开带从方今不开平方乃以　此数自乘并以此数升他数开带从三乘方不合〉半幂乘率为泛从上廉〈按半幂即半自乘又倍之之数〉以勾幂减股幂馀四约之〈按此即半勾半股各自乘相减之数〉自乘为泛益隅〈三泛可约之为定〉开连枝三乘玲珑方得营径以密率二千二乘七除为周
　　草曰置表间二步自乘得四为
　　勾幂以退表一十二步自乘得
　　一百四十四为股幂以勾股二
　　幂并之得一百四十八为幂
　　置七里以里法三百六十步
　　通之得二千五百二十步自乘
　　得六百三十五万四百乘勾幂四得二千五百四十万一千六百为率以率自乘得六百四十五万二千四百一十二亿八千一百五十六万为之实乃半幂得七十四乘率二千五百四十万一千六百得一十八亿七千九百七十一万八千四百为泛从上廉以勾幂四减股幂一百四十四馀一百四十以四约之得三十五以自乘得一千二百二十五为泛益隅置三泛求等得一千二百二十五〈按即泛益隅〉俱以约之得五千二百六十七亿二千七百五十七万七千六百为定实一百五十三万四千四百六十四为从上廉一为定益隅开玲珑三乘方乃以廉隅超二度约啇置七百上廉为一百五十三亿四千四百六十四益隅为一亿乃以上啇生隅得七亿为益下廉又以上啇生益廉减从廉馀一百四亿四千四百六十四万为从上廉又以上啇生从廉得七百三十一亿一千二百四十八万为从方乃命上啇除实实馀一百四十九亿四千二十一万七千六百又以上啇生益隅入下廉得一十四亿为益下廉又以上啇生益廉得益上廉减从廉馀六亿四千四百六十四万为上廉又以上啇生上廉入方得七百七十六亿二千四百九十六万为方又以上啇生益隅入下廉得二十一亿又以上啇生下廉为益上廉减从廉馀一百四十亿五千五百三十六万为益上廉又以上啇生益隅入下廉得二十八亿诸法皆退方一退为七十七亿六千二百四十九万六千益上廉再退为一亿四千五十五万三千六百益下廉三退为二百八十万益隅四退为一万乃于上啇之次续啇置二十步以续啇生隅入下廉为二百八十二万又以续啇生下廉入上廉为一亿四千六百一十九万三千六百又以续啇生上廉减从方馀七十四亿七千一十万八十八百乃命续啇除实适尽所得七百二十步以里法约之得二万为营径次以密率二十二乘七百二十得一万五千八百四十为实以七除之得二千二百六十二步七分步之六以里法约之得六里一百二步七分步之六为营周





<子部,天文算法类,算书之属,数学九章,卷四下>
<子部,天文算法类,算书之属,数学九章,卷四下>
<子部,天文算法类,算书之属,数学九章,卷四下>
<子部,天文算法类,算书之属,数学九章,卷四下>
<子部,天文算法类,算书之属,数学九章,卷四下>












　　按此题用平方可矣术中所谓率者即平方实也乃复加自乘开三乘方徒为繁冗耳且乘从廉用半自乘之倍数乘隅数应用半股自乘之数今用勾股幂较四分之一即用半股幂半勾幂之较比半股自乘数小一半勾自乘数故得数较大若转求表间及退步必与原数不合试以相去七里为大勾和营径三里为倍大勾相减得五里为大勾较和相乘得较三十五为大股幂大勾里自之仍得一为大勾幂置小勾幂四步以大股幂乘之得百百四十步以大勾幂除之仍得一百四十步为小股幂比原小股幂少四步其术之疏可知矣设用平方法如左
　　法立天元一为营径相去七里通为二千五百二十步为大勾和相减得二千五百二十步少一元为大勾较和较相乘得六百三十五万零四百步二千五百二十元为大少股幂天元一半之以减相去步得二千五百二十步少二分天元之一为大自之得六百三十五万零四百步少二千五百二十元多四分平方之一为大幂退步十二为小股自之得一百四十四步为小股幂表间二步为小勾自之得四步为小勾幂相并得一百四十八步为小幂以小幂乘大股幂得九亿三千九百八十五万九千二百步少三十七万二千九百六十元寄之又以小股幂乘大幂得九亿一千四百四十五万七千六百步少三十六万二千八百八十元多三十六平方与寄数为相等两边各减九亿一千四百四十五万七千六百步各加三十七万二千九百六十元得二千五百四十万零一千六百步〈即术中率数〉与三十六平方多一万零八十元等三数求总等得三十六约步数得七十万零五千六百为长方积为实约元数得二百八十为从方为长阔较约平方数得一为隅用带从平方法开得阔七百一十一步又一千七百零三分步之九百九十九为营径步以密率用二十二乘之径七除之得二千二百三十六步又一万一千九百二十一分步之四千九百四十八为营周步各以里率収之得营周六里七十六步又一万一千九百二十一分步之四千九百四十八营径一里三百五十一步又一千七百零三分步之九百九十九还原之法置营径步数通分纳子得一二一一八三二分为倍大勾分数又以分母通相去步得四二九一五六　分为大勾和分数二数相减馀三　七九七二八分为大勾较分数和较分数相乘得一三二一六八三七四五九六八分为大股幂分倍大勾分折半得六　五九一六自之得三六七一三四一九九　五六分为大勾幂分及以小勾幂四步乘大股幂分得五二八六七三四九九八二七二　分以大勾幂分除之得一百四十四步为小股幂与原数合此犹用西表相去步也若细较之当用人目相去步则营周当多十二步馀营径当多四步不足也
　　望知敌众
　　问敌为圆营在水北平沙不知人数谍称彼营布卒占地方八尺我军在水南山原于下立表高八丈与原山腰等平自表端引䋲虚量平至人足三十步人立其处望彼营北陵与表端参合又望营南陵入表端八尺人目高四尺八寸以圆密率入重差求敌众合得㡬何
　　答曰敌众八百四十九人
　　按数不合应二百七十三人其故详草后
　　术曰以勾股乘之置人退表步〈按此条误法应置表高〉乘入表为实以人目高为法除之得径以密周率乘径得数为实以密径率因人立为法约之得外周人数馀収为一副置加六以乘副得数为实如一十二而一馀亦収为全
　　望知敌众图〈按旧图画山水在术前今删改移于此〉
　　草曰置人立退表三十步以步
　　法五尺展为五十寸通之得一
　　千五百寸乘入表八尺得一十
　　二万寸为实



　　以人目高四十八寸为法除之


　　以密率周法二十二乘径二千五百得五万五千寸为实


　　以密率径法七因谍称人立八尺得五百六十为法



　　以法五百六十寸约实五万五千寸得九十八人为外周人数不尽一百二十寸弃之


　　副置外周九十八人加六得一百四人乘副为实













　　按此术应置表高加人目高以入表弃之误置退步以入表乘之故人数差多二倍盖思省偶未至耳至求人数先用密率次用束箭法亦未尽合题问今依其数各步于后
　　求营径置表高八丈加人目高四尺八寸得八丈四尺八寸以入表八尺乘之得六万七千八百四十寸以人目高除之得一十四丈一尺三寸又三分寸之一为营径盖以表高加人目高为大股营径为大勾较人目高为小股入表为小勾较置大股以小勾较乘之以小股除之即得大勾较也
　　求人数用密率置径为实倍每人占地八尺得一十六尺为法除实得八为外层数加最内一层得九为共层数馀一十三尺三寸又三分寸之一为最内径以最内径与最外径〈即营陉〉相加以九层乘之折半得六百九十六尺为九层共径数以密周率二十二乘之得一万五千三百一十二尺为实以密率七乘每人占地八尺得五十六尺为法除之得二百七十三人馀三尺又七分尺之三弃之此法应先求得内外圆周再求九层共周数今先求九层共径数然后变为圆周其理一也
　　望敌远近
　　问敌军处北山下原不知相去远近乃于平地立一表高四尺人退表九百步〈步法五尺〉遥望山原适与表端参合人目高四尺八欲之敌军相去㡬何
　　答曰一十二里半
　　术曰以勾股求之重差入之置人目高以表高减之馀为法置退表乘表高为实实如法而一
　　草曰置人目高四尺八寸减表
　　高四尺馀八寸为法置退表九
　　百步以步五十寸通之得四万
　　五千寸乘表高四十寸得一百
　　八十万寸为实如法八寸而一
　　得二十二万五千寸以步法五十寸约之得四千五百步为相去步以里法三百六十步约之得一十二里半为敌去表所合问
　　表望浮图
　　问有浮图欹侧欲换塔心木不知其高去塔六丈有刹竿亦不知其高竿本去地九尺二寸始钉锔〈按锔原本作钩今改正〉锔一十四枚枚长五寸每锔下股相去二尺五寸就竿为表人退竿三丈遥望浮图尖适与竿端斜合又望相轮之本影锔第七枚上股人目入去地四尺八寸心木放三尺为㔼〈按㔼原本作□今改正〉卯剪截欲求塔高轮高合用塔心木长各㡬何
　　答曰塔高一十一丈七尺　相轮高三丈　塔身高八丈七尺　竿高四丈二尺二寸　塔心木九丈内三尺为剪截穿凿㔼卯
　　按塔高竿高二数合相轮高塔身高塔心木长三数俱误相轮高四丈五尺塔身高七丈二尺塔心木长七丈五尺说详草后
　　术曰以勾股求之重差入之置锔数减一馀乘锔相去数并一枚长数加竿本共为表竿高以退表为法以人目高减表竿高馀乘竿去塔为实实如法而一得数加表竿高共为塔高置相轮入本锔数减一馀乘锔相去又乘竿去塔为实实如法而一得相轮高〈按未加入锔人数法误〉以减塔高馀为塔身高以益㔼卯尺数为塔心木长
　　草曰置锔一十
　　四枚减一馀一
　　十三以乘锔相
　　去二尺五寸得
　　三百二十五寸并
　　最上锔一枚长
　　五寸得三百三十寸又加竿本九尺二寸共得四百二十二尺为表竿高以人退表三丈通为三百寸为法次以人目高四尺八寸减表竿高四百二十二寸馀三百七千四寸以乘竿去塔六丈得二十二万四千四百寸为实实如法三百两一得七百四十八寸加表竿高四百二十二寸得一千一百七十寸以十约之为一十一丈七尺为塔高置相轮本入第七锔减一馀六以乘锔相去二尺五寸得一百五十寸又乘竿去塔六丈得九万寸为实实如前法三百寸而一得三百寸约为三丈得相轮高〈按不加入锔即为相轮高误〉以相轮高三丈减塔高一十一丈七尺馀八丈七尺为塔身高〈按此数及塔心木数皆因上数而误〉益三尺为剪截㔼卯共得九丈为塔心木长合前问
　　按此皆大小形同式相求法也人目去塔为总勾人目上塔尖高塔身皆为总股高相轮高为总股较人目去竿为分小勾人目上竿高及相轮本入竿高俱为分小股相轮本入竿为小股较竿去塔为分大勾术以竿去塔分大勾与小勾股乘除得大股数加小股为总股故塔尖高数合以大勾与小勾小股较乘除得大股较数即为总股较故相轮高数少一小股较一丈五尺也塔身高塔心木长皆本此数加减而得故误数相等


　　数学九章卷四下