数学九章 (四库全书本)/卷6下

数学九章　卷六下

　　钦定四库全书
　　数学九章卷六下　　　　宋　秦九韶　撰钱谷
　　僦直推原
　　问房廊数内一户日纳一百五十六文八分足为准指挥未曽经减者减三分已曽经减三分者减二分已曽经减二分者更减二分今本户累经减者欲知原额房钱几何
　　答曰原额三百五十文
　　术曰以衰分求之列一十分两行各三位列减分对减右行以馀者相乘为法以左行原列相乘得纳钱为实实如法而一得原额钱
　　草曰列一十三位于左行又列一十分三位于右行其右上减去初减三分右中减去次减二分右下减去更减二分右行馀七八八以相乘得四百四十八为法乃以左行三位一十分相乘得一千为乘率以乘见日纳钱一百五十六文八分得一百五十六贯八百文为实实如法而一得三百五十文为本户原额戸钱

















　　推求本息
　　问三库息例万贯以上一厘千贯以上二釐五毫百贯以上三釐甲库本四十九万三千八百贯乙库本三十七万三百贯丙库本二十四万六千八百贯今三库共约到息钱二万五千六百四十四贯二百文其典率甲反锥差乙方锥差丙蒺藜差欲知原典三例本息各几何
　　按此即衰分题也其差有反锥方锥蒺藜之名盖以一二三递减如立锥为反锥以一四九平方递加为方锥以一三六三数递加为蒺藜是必古有其名也至以各差求各本则因各本原依各差入之也
　　答曰甲库共纳息九千五十三贯文一厘息二千四百六十九贯文二釐半息四千一百一十五贯文三釐息二千四百六十九贯文乙库共纳息一万五十一贯文一厘息二百六十四贯五百文二釐半息二千六百四十五贯文三釐息七千一百四十一贯五百文丙库共纳息六千五百四十贯二百文一厘息二百四十六贯八百文二釐半息一千八百五十一贯文三釐息四千四百四十二贯四百文
　　术曰置诸库诸色之差照釐率为三行纵并之为约率横命之为乘率以约率各约自库之本各得以遍乘未并乘率然后各以釐率横乘之次以纵并之为各库共息
　　草曰置甲库反锥差自下置三二一于右行次置乙库方锥差自上置一四九于中行次置丙库蒺藜差自上置一三六于左行各为三库上中下三等乘率乃纵并甲差三二一得六为甲约率纵并乙差一四九得一十四为乙约率纵并丙差一三六得一十为丙约率直命九位数各为上中下乘率乃先以约率各约自库之本乃以甲约率六约甲本四十九万三千八百贯得八万二千三百贯为甲得次以乙约率一十四约乙本三十七万三百贯得二万六千四百五十贯为乙得次以丙约率一十约丙本二十四万六千八百贯得二万四千六百八十贯为丙得以各得乘未并乘率其甲所得八万二千三百贯乘反锥乘率三二一得二十四万六千九百贯为上率得一十六万四千六百贯为中率得八万二千三百贯为下率其乙所得二万六千四百五十贯以乘方锥差一四九得二万六千四百五十贯为上率得一十万五千八百贯为中率得二十三万八千五十贯为下率其丙所得二万四千六百八十贯以乘蒺藜差一三六得二万四千六百八十贯以乘蒺藜七万四千四十贯为中率得一十四万八千八十贯为下率然后各以息釐数乘各库三乘〈此是变文为库〉其甲以一厘乘上率二十四万六千九百贯得二千四百六十九贯为上息以二釐五毫乘中率一十六万四千六百贯得四千一百一十五贯为中息以三釐乘下率八万二千三百贯得二千四百六十九贯为下息并上中下三息得九千五十三贯文为甲库共息其乙库以一厘乘上率二万六千四百五十贯得二百六十四贯五百文为上息以二釐五毫乘中率一十万五千八百贯得二千六百四十五贯为中息以三釐乘下率二十三万八千五十贯得七千一百四十一贯五百为下息并上中下三息得一万五十一贯文为乙库共息其丙库以一厘乘上率二万四千六百八十贯得二百四十六贯八百为上息以二釐五毫乘中率七万四千四十贯得一千八百五十一贯为中息以三釐乘下率一十四万八千八十贯得四千四百四十二贯四百文为下息并上中下三息得六千五百四十贯二百文为丙库共息并三库共息得二万五千六百四十四贯二百文为总息













<子部,天文算法类,算书之属,数学九章,卷六下>
<子部,天文算法类,算书之属,数学九章,卷六下>
<子部,天文算法类,算书之属,数学九章,卷六下>








　　易牒知原〈按旧本此问无题今増入〉
　　问出度牒差人营运毎三道易盐一十三袋盐二袋易布八十四疋布一十五疋易绢三疋半绢六疋易银七两二钱今趁到银九千一百七十二两八钱欲知原关度牒道数几何
　　答曰度牒一百八十道
　　术曰以粟米互乘易法求之列各数以本色相对如雁翅以多一事者相乘为实以少一事者相乘为法除之







　　草曰先以度牒三道乘盐二袋得六以乘布一十五得九十文乘绢六疋得五百四十乃乘银九万一千七百二十八钱得四千九百五十三万三千一百二十钱为实次以盐一十三袋乘布八十四得一千九十二以乘绢三疋五分得三千八百二十二乃乘银七两二钱得二十七万五千一百八十四钱为法除实得一百八十道为原关度牒
　　粟米交易〈按旧本此问无题今増〉
　　问菽三升易小麦二升小麦一升五合易油麻八合油麻一升二合易粳米一升八合今将菽一十四石四斗欲易油麻又将小麦二十一石六斗欲易粳米问各几何
　　答曰油麻五石一斗二升　粳米一十七石二斗
　　八升
　　术曰以粟米换易求之置原易率本色对列如雁翅以多一事者相乘为实以少一事者相乘为法除之各得或问数不干其率者不置
　　草曰置四色六数列六位率如雁翅皆化为合先将菽一十四石四斗化作一万四千四百合乃对前二句率数四位如雁翅至欲易油麻止共五事为上图次将小麦二十一石六斗化为二万一千六百合乃对后两句率四位雁翅至欲粳米止共五事为下图下图其上图以菽一万四千四百合乘麦二十得二十八万八千又乘油麻八合得二百三十万四千合为油麻实次以菽三十合乘麦一十五合得四百五十合为法除之得五千一百二十合展为五石一斗二升为油麻其下图以小麦二万一千六百合乘油麻八合得一十七万二千八百合又乘粳米一十八合得三百一十一万四百合为粳米实以小麦一以五合乘油麻一十二合得一百八十合为法除之得一万七千二百八十展作一十七石二斗八升为粳米





　　计米易麹〈按旧本此问无题今增〉
　　问库率粳榖七石出米三石糯米一斗易小麦一斗七升小麦五升踏麹二斤四两麹一百一十斤酝糯米一石三斗今有糯谷一千七百五十九石三斗八升欲出谷做米易麦踏麹还自酝馀谷之米须令适足各合几何
　　答曰共谷一千七百五十九石三斗八升出谷九百二十四石得米三百九十六石易麦六百七十三石二斗踏麹三万二百九十四斤馀榖八百三十五石三斗八升酝米三百五十八石二升
　　术曰以粟米换易求之置诸率随本色对列如雁翅有分者通之异类者变之以头位者进乘之以下位退乘之得合数有对者相乘之无对者直命之为诸率并上下无对者为法率〈诸率可约者又约之〉以今有物遍乘诸率〈不乘法率〉各为实诸实并如法而一各得其已变者复互易乘除之即得所求
　　草曰置糯谷七出米三于右行上副两位次置糯米一斗麦一斗七升于副行副中两位次置小麦五升踏麦二斤四两于次行中次两位次置麦一百一十觔酝米一石三斗于左行次下两位随本色对列如雁翅讫乃验次行二斤四两是四分斤之一以母四通次行两位以子一内次行次位具中位得二次位得九又验左行下位是糯米是异类于糯米合变为糯谷乃以问中首句率谷七米三变之以七因米一石三斗得九石一斗于左下为谷却以米三因麹一百一十斤为三百三十斤麹于左行得变图数以左行三百三十乘次行二得六百六十次以六百六十乘副行一十得六千六百次以六千六百乘右上七得四万六千二百各于原位却以右行副位三因副行一斗七升得五斗一升又以五斗一升乘次行九得四百五十九又以四百五十九乘左下九十一得四万一千七百六十九列为合图数乃验合图四行其副中次三位有对以对相乘合之其右上左下无对者直命之皆为率列右行上得四万六千二百为出糯谷率副位得一万九千八百为得糯米率中得三万三千六百六十为易得麦率次得一万五千一百四十七为踏到麹率下得四万一千七百六十九为馀下糯榖率并上下率共得八万七千九百六十九为法率今六率共求等得一约之只得原率为率图始用今有谷一千七百五十九石三斗八升皆化为升遍乘五率不乘法率得八十一亿二千八百三十三万五千六百升为出谷实得三十四亿八千三百五十七万二千四百升为糯米实得五十九亿二千二百七万三千八十升为易麦实得二十六亿六千四百九十三万二千八百八十六为踏麹实得七十三亿四千八百七十五万四千三百二十二升为馀谷实其五实皆如法八万七千九百六十九而一得九百二十四石为出谷得三百九十六石为做到糯米得六百七十三石二斗为易到小麦得三万二百九十四斤为踏到麹得八百三十五石三斗八升为馀下谷今将馀下谷变为米乃以乘率三因馀谷八百三十五石三斗八升得二千五百六石一斗四升为实以糯谷率七为法除之得三百五十八石二升为酝米




















　　按术中互乘进乘退乘对乘皆通分法也张邱建云学者不患乘除之为难而患通分之为难此术曲尽其妙今各释于后
　　第一图互乘以右上谷七乘左下米一十三得九十一应以右下米三除之方得谷数今不除便如得谷数又以米三乘之矣故以米三乘麹一十一得三十三与谷数九十一相当仍同于麹一十一与米一十三相当也
　　第二图左进乘自下而上右退乘自上而下左四位连乘至谷应以右上三位连乘之数除之得踏麹三十三所用谷数今不除为寄右上三位连乘之数为分母右四位连乘至谷即如麹三十三所酝谷数同寄右上三位连乘之数为分母也并之即如踏麹用谷麹所酝谷总数同寄右上三位连乘之分也
　　第三图对乘左下一位麹数以前寄分母右上三位连乘之数乘之即同寄一分母也左下二位相乘应以右上第三位除之得踏麹所用麦数不除为寄右上第三位麹数又以右上二位相乘之数乘之是应用麦数内同寄右上三位连乘之分母也左下三位连乘应以右中二位相乘之数除之得易麦应用米数不除为寄右中二位相乘之数又以右上第一位米数乘之是应用米数内同寄右上三位连乘之分母也右总谷出谷馀谷易米易麦踏麹六数皆同寄一分母则用以乘除求得数即与本数无异故以题中总谷数乘寄分母各数以寄分母总数除之即得所求各数也
　　再此术不独法之巧即图式布置亦皆皆具精义熟玩之可以得其往来变通之故原第三合图仍斜排为上图第四率图即各寄寄母数直列为下图今合图改为正图列于右各得寄母数并列于左
　　𮅕囘运费
　　问有江西水运米一十二万三千四百石原系镇江交卸计水程二千一百三十里每石水脚钱一贯二百文今截上件米就池州安顿池州至镇江八百八十里欲收囘不该水脚钱几何
　　答曰收囘钱六万一千一百七十八贯五百九十一文
　　术曰以粟米互易求之置池州至镇江里数乘水脚钱得数又乘运米为实以原至镇江水程为法除实得收囘钱
　　草曰置池州至镇江八百八十里乘毎石水脚钱一贯二百得一千五十六贯文又乘运米一十二万三千四百石得一亿三千三十一万四百贯文为实以原至镇江水程二千一百三十里为法除实得六万一千一百七十八贯五百九十一文为收囘钱三合均价〈按旧本此问无题今増〉
　　问库有三色金共五千两内八分金一千二百五十两两价四百贯文七分五釐金一千六百两两价三百七十五贯文八分五釐金二千一百五十两两价四百二十五贯文并欲炼为足色每两工食药炭钱三贯文耗金九百七十二两五钱欲知色分及两价各几何答曰色十分
　　两价五百三贯七百二十四文五百三十七分文之二百一十二
　　术曰以方田及粟米求之置共数以耗减之馀为法以三色分数各乘两数并之为色分实以三色价数各乘两数为寄以工药价乘共金并寄共为价实二实皆如法而一即各得
　　草曰置共金五千两减耗九百七十二两五钱外馀四千二十七两五钱为法次置一千二百五十两乘八分得一万分于上置一千六百两以七分五釐乘之得一万二千分加上置二千一百五十两乘八分五釐得一万八千二百七十五分又加上共得四万二百七十五分为分实次置一千二百五十两乘四百贯得五十万贯为寄次置一千六百两乘价三百七十五贯得六十万贯加寄次置二千一百五十两乘价四百二十五贯得九十一万三千七百五十贯又加寄次置共金五千两乘工药钱三贯得一万五千贯又加寄共得二百二万八千七百五十贯为贯实二实并如法四千二十七两五钱而一得其色一十分其价每两得五百三贯七百二十四文不尽一贯五百九十与法求等得七十五俱约之为五百三十七文之二百一十二













<子部,天文算法类,算书之属,数学九章,卷六下>
<子部,天文算法类,算书之属,数学九章,卷六下>
　　其色实馀尽得一十分为金色其价除得五百三贯七百二十四文为十分金毎两价不尽一贯五百九十文与法求等得七半俱以约之为五百三十七分文之二百一十二











　　数学九章卷六下
<子部,天文算法类,算书之属,数学九章>