数学九章 (四库全书本)/卷7上

数学九章　卷七上

　　钦定四库全书
　　数学九章卷七上　　　宋　秦九韶　撰营建
　　计作清台
　　问创筑清台一所正高一十二丈上广五丈袤七丈下广一十五丈袤一十七丈其袤当东西广当南北秋程人日行六十里里法三百六十步䦆土锹土每工各二百尺筑土每工九十尺每担土壤一尺三寸往来一百六十步内四十步上下棚道筑高至少半其棚道三当平道五至中半三当七至太半二当五踟蹰之间十加一载输之间二十步定一返今甲乙丙三县差夫甲县附郭税力一十三万三千八百六十六乙县去台所一百二十里税力二十三万七千九百八十四丙县去台所一百八十里税力三十一万二千三百五十四俱以道里远近税力多少均科之台下铺石脚七层先用砖砌台身次用砖叠砌转道周围五带并阔六尺须令南北二平道东西三峻道相间始自台之艮隅于东外道向南顺升由巽隅以西左转周回历北复东再升东里道至巽隅乃登台顶其东里道艮隅与北平道两隅及西道干隅之高皆以强半其西道坤隅与南道两隅东外道异隅之高皆以五分之二峻道毎级履高六寸其东里道级数取弱半东外道级数取五分之二西道级数取强半石长五尺阔二尺厚五寸砖长一尺二寸阔六寸厚二寸五分欲知土积定一返步毎工人到土及总用功各县起夫砖石峻平道高长级数踏踪各几何
　　答曰土积一百五十四万尺　定一返二百步一十八分步之五〈按此条起共十一条数皆误〉毎工人到土一百四十尺七百二十一分尺之一百四十八　总用工四万五千六百八十六工　甲县差一万七千一百三十二工乙县差一万五千二百二十九工　丙县差一万三千三百二十五工　石四千三百一十七片　砖一百一十四万二千二十四片　东里道峻艮隅高九丈巽隅高一十一丈九尺四寸级五十踏踏踪二尺
　　二寸九分　东外道峻艮隅高六寸巽隅高四丈八尺级八十踏踏踪二尺一寸五分　西峻道坤隅高四丈八尺干隅高九丈级七十踏踏踪二尺一寸四分寸之九南平道高四丈八尺　北平道九丈
　　按右答数中惟第一条土积未二条南北平道高三数无误馀数俱有误处其所以不合之故具详草后
　　术曰以啇功求之均输入之倍台上袤加下袤乘上广为寄倍下袤加上袤乘下广并寄乘高为土率如六而一得坚积以筑工尺为法除坚积得筑工以穿率乘坚积为实以坚率乘䦆锹工尺半之为锹法除实得䦆锹共工以壤率因坚积如坚率而一为壤积求负土者先列全分及等至高诸母子以母互乘诸子为寄左行以诸母相乘为寄母次列棚道全分及所当鲜母衍子以鲜母互乘衍子为左行以鲜母相乘以乘寄得数又以列位乘之为总母以左右两行诸子对乘之并之为总子其总母求等约之为定母子以定子乘棚道为次以定母乘平道加次义以踟蹰之数身下加之又以载输步乘定母并次为统数以定母除统得定一返步亦为列土法〈有分复通为法〉置程里通步乘担土尺有步母则又以步母乘之为到实实如法而一得每工人到土亦为壤法以除壤积得负土工并前锹筑二工为总用工以各县日程数约税力各得力率副并为科法以共用工乘未并者各为科实实如法而一各得县夫求砖者倍转道阔遍加台上下广袤变名上下阔长以砖厚加台高为台直次列砖石长阔厚各相乘为砖石积法通广袤如法乃倍上长加下长乘上阔为寄次倍下长加上长乘阔并寄共乘直得数减土率除如六而一为泛置南北道高子各乘台高为实如各母而一得五道诸隅高以北道高减台馀为上停高以南道高减北道高馀为中停高命南道高为下停高以履寸除诸高得级数以上长减下长馀半之为勾以勾乘南道高为实如台高而一得底率以底率减下长馀为底股以外道级数约底股得外道踏踪又以底率减底股馀为中股以勾乘中停高为实如台高而一得中率以中率减中股馀为上股以西道级除上股得西道踏踪以勾乘上停高为实如台高而一得中率以中率减中股馀为上股以西道级除上股得西道踏级以勾乘上停高为实如台高而一得上率以上率并中率共减上股馀为实如里道级而一得里道踏踪次以道阔并下长为补以南北道高并台高乘补为需次上广减下广馀为址以址乘南道高为实以台高除之得数减下广馀为南道长以南长并下广乘南道高加需又以址乘北道高为实以台高除之得数减下广馀为北道长以北道长并下广乘北道高又加需共乘半道阔得数并泛为共率以基脚层数乘石版厚为基高次倍道阔并下阔乘下长为基率次以下广乘下袤减基率馀乘基高为石率以石率减共率馀为砖率以砖积法除砖率得砖数以石级积法除石率得石版数








　　草曰倍上袤七丈得一十四加下袤一十七丈得三十四丈加上袤七丈得四十一乘下广一十五丈得六百一十五并寄得七百七十乘高一十二丈得九千二百四十丈为土率以六除率一千五百四十丈以千尺通之〈按旧本误为十八通之今改正〉为一百五十四万尺坚积以筑工九十尺除之得一万七千一百一十一工九分工之一为筑工次以穿率四因坚积得六百一十六万尺为实以坚率三因䦆锹工二百尺得六百尺为法除实得一万二百六十六工三分工之二为穿工次以壤率五因坚积得七百七十万尺为壤积以三为母具图如后


















　　乃以右行母互乘左行子左上得一十二副位得九次得六下得一十八乃变右行名为寄子以诸母相乘得一十八为寄母具图如后






　　次以棚道全分及所当鲜母衍子三当五及三当七并二当五





　　乃以右行鲜母互乘左行衍子上得四十五副得四十二次得三十下得一十八为右行以鲜母相乘得一十八乃对寄左图列之




　　乃以左右两行母子对乘之上得五百四十副得三百七十八次得一百八十下得三百二十四母得三百二十四






　　今以平分术入之并四子得一千四百二十二为总子以列位四乘乘母三百二十四得一千二百九十六为总母




　　乃以总母子求等得一十八俱约之总子得七十九为定子总母得七十二为定母以定子七十九乘棚道四十步得三千一百六十于次以棚道一四十步减往来一百六十步馀一百二十为平道以乘定七十二得八千六百四十加次共得一万一千八百又以踟蹰十加一放身下加一得一万二千九百八十仍于次又以载二十步乘定母七十二得一千四百四十并次得一万四千四百二十为统数以定母七十二除统数得二百步不尽约为一十八分步之五为定一返步乃复通分内子得三千六百五为到法乃置程里六十以三百六十通之得二万一千六百步乘担上一尺三寸得二万八千八十尺以到母一十八乘之得五十万五千四百四十尺为到实实如法除得一百四十尺不尽七百四十与法求等得五约之为七百二十一分尺之一百四十八为到土复通分内子得一十万一千八十八又以壤母三因得三十万二千二百六十四尺为壤法次以到土母七百二十一乘壤积七百七十万尺得五十五亿五千一百七十万尺为壤实实如法而一得一万八千三百六工不尽一十四万九千二百一十六与法求等得三十二俱约之为一万八千三百六工九千四百七十七分工之四千六百六十三为担土工








　　次列前土工图筑一万七千一百一十一工九分工之一及穿工一万二百六十六工三分工之二各通分内子筑率得一十五万四千穿率得三万八百担率一亿七千三百四十九万六百二十五按术当以通率图诸母互乘诸率令验担母九千四百七十七可用筑母九约亦可用穿母三约故从省以筑母九约担母九千四百七十七得一千五十三为筑率乘数又以穿母三约担母九千四百七十七得三千一百五十九为穿率乘数各以乘数乘本率名曰就母图乃以九千四百七十七变名曰就母先以筑率一十五万四千乘乘数一千五十三得一亿六千二百一十六万二千为筑分次以穿率三万八百乘乘率三千一百五十九得九千七百二十九万七千二百为穿分就以担率一亿七千三百四十九万六百二十五为担分并三分共得四亿三千二百九十四万九千八百二十五为总工分实以就母九千四百七十七除之得四万九千六百八十五工九千四百七十七分工之三千八十为总用功具图如后




　　置各县日程约税力得力率副并为科法工置甲县力一十三万三千八百六十六以一日程为之只得此为甲率又置乙县力二十三万七千九百八十四以二日约得一十一万八千九百九十二为乙率又置丙县力三十一万二千三百五十四以三日约得一十万四千一百一十八为内率






　　列三求等得一万四千八百七十四俱约之甲得九乙得八丙得七各为定率副并得二十四具图如后






　　乃以总分四亿三千二百九十四万九千八百二十五遍乘三县定率为各实以就母九千四百七十七乘并率二十四为科法甲得三十八亿九千六百五十四万八千四百二十五乙得三十四亿六千三百五十九万八千六百丙得三十亿三千六十四万八千七百七十五各为实法得二十二万七千四百四十八为科法除各实具图如后







　　乃以科法除各实甲得一万七千一百三十一工不尽一十三万六千七百三十七为甲县工乙得一万五千二百二十八不尽二万四百五十六为乙县工丙得一万三千三百二十四不尽一十三万一千六百二十三为丙县工诸县不尽皆辈为一工甲合科一万七千一百三十二工乙合科一万五千二百二十九工丙合科一万三千三百二十五工
　　按此以上所求担土定一返数误其到土工数及总用工数三县合科工数皆误盖题言筑台至少半至中半至太半当自平地至三分之一三分之一至二分之一二分之一至三分之二三分之二至台顶共四段其分数自下而上逐层数应取两分数之较草中所列诸分子下设一数上即列三分数其段数既不确又即用各分子全数故求得棚道七十二仅当平道七十九与题中所言二当五三当七当五之数显然不合矣今推步改正于后
　　法先求分子较以三之一为第一段分数以三之一与二之一分母对乘得六分母互乘分子三之一得六之二二之一得六之三相减馀六之一得第二段分数以二之一与三之二分母对乘得六分母互乘分子二之一得三三之二得四相减馀六之一为第三段分数以三分之二与全台三分之三相减馀三之一为第四段分数然后列四段母数于右子数于左以各分母连乘又互乘分子得
　　三百二十四为总分母第一段一
　　百零八第二段五十四第三段五
　　十四第四段一百零八为各分子求等数得五十四遍约之总母得六分子第一段得二第二段得一第三段得一第四段得二为各段分母子
　　次列棚道一当平道一为下第一段三当五为第二段三当七为第三段二当五为第四段以棚道数为分母以平道数为分子分母连乘又互乘分子得一十八为总分母第一段得一十八第
　　二段得三十第三段得四十二第四段得四十五为各分子求等数得三遍约之总母得六分子第一段得六第二段得十第三段得一十四第四段得一十五次列前后两分母分子〈已约之数〉各对乘得总母三十六分子第一段得一十二第二段得一十第三段得一十四第四段得三十并诸子得六十六为总子又求等得六各约之得定母六为棚道数定子一十一为平道数此即合全台数总计凡棚道六当平道一十一也乃以定子一十一乘棚道四十步得四百四十步为次以棚道四十步减一百六十步馀一百二十步为平道以定母六乘之得七百二十步加次共得一千一百六十步以踟蹰加一于身得一千二百七十六步又以载输二十步乘定母六得一百二十步义加次共得一千三百九十六步为统数以定母六除之得二百三十二步又三分步之二为定一返步乃复通分内子得六百九十八为到法乃置程里六十以三百六十步通之得二万一千六百步乘上一尺三寸得二万八千零八十尺以到法分母三乘之得八万四千二百四十尺为到实以到法除之得一百二十尺不尽四百八十约之为三百四十九分尺之二百四十旧名到土复到土复者一工每日所担之坚土数也通分内子得四万二千一百二十以壤母三因之得一十二万六千　百六十尺为壤法次以到土复母乘壤积七百七十万尺得二十六亿八千七百三十万尺为壤实实如法而一得二万一千二百六十七工不尽一千八百八十约之得三千一百五十九分工之四十七为担土工次列筑工穿工担工三数及分母分子互乘以齐之











　　列三工数各通分内子得筑率一十五万四千穿率三万零八百担率六千七百一十八万二千五百验担母数筑穿二母数皆可度尽用就母法以筑母除担母得三百五十一为筑东率以穿母除担母得一千零五十三为穿乘率各以乘率乘本率得筑分五千四百零五万四千穿分三千二百四十三万二千四百担率六千七百一十万二千五百即为担分同以担分母为总分母乃并三分数得一亿五千三百六十六万八千九百分为实以总分母为法除之得四万八千六百四十四工不尽二千五百零四约之不变即命为三千一百五十九分二之二千五百零四为总用工数次置三县力役以里数远近通之先以乙丙二里数求等得六十各约之乙得二丙得三以乙二遍乘甲丙以丙三遍乘甲乙得甲率八十万零三千一百六十九乙率七十一万三千九百五十二丙率六十二万四千七百零八三率求等得八万九千二百四十四遍约之甲得乙得八丙得七各为率并率得二十四乃以工总分一亿五千三百六十六万八千九百分乘三县各率得甲实一十三亿八千三百零二万零一百乙实一十二亿二千九百三十五万一千二百丙实一十亿零七千五百六十八万二千三百以就母三千一百五十九乘并率二十四得七万五千八百一十六为科法除各实不尽者各进一工得甲县合科一万八千二百四十二工乙县合科一万六千二百一十五工丙县合科一万四千一百八十九工
　　求砖者倍转道并阔六尺得一丈二尺遍加台上下广袤变各为上下阔长以砖厚六寸加台高






　　先以砖长一尺二寸阔六寸厚二寸五分相乘之得一百八十寸为砖积法次列石版长五尺阔二尺厚五寸相乘得五千寸为石积法具图如后




　　验得诸法皆寸乃以变各图上下长阔直按术求率倍上长八百二十寸得一千六百四十寸加下长一千八百二十寸得三千四百六十乘上阔六百二十得二百一十四万五千二百为寄次倍下长一千八百二十得三千六百四十加上长八百二十得四千四百六十乘下阔一千六百二十得七百二十二万五千二百并寄得九百三十七万四百乘台直一千二百六寸得一百一十三亿七十万二千四百寸仍为寄乃验土积图土率九千二百四十丈以一百万寸通之得九十二亿四千万寸以减寄馀二十亿六千七十万二千四百寸如六而一得三亿四千三百四十五万四百寸为泛
　　次置南道高五分之二北道高强半系四分之三及台原高一千二百寸具图如后




　　乃以南道高子二乘原台高得二千四百寸为南寔以南道高子三乘原台高得三千六百寸为北寔各如本母而一得四百八十寸约为四丈八尺为南道两隅又为东外道巽隅高又为西道坤隅高所得九百寸约为九丈为北道两隅高又为西道干隅高又为东里道艮隅高具图如后




　　以北道高九丈减台高一十二丈馀三丈为上停高以南道高四丈八尺减北道高九丈馀四丈二尺为中停高命南道高四丈八尺为下停高





　　三停高皆如履级寸而一得五十为东里道级数得七十为西道级数得八十为东外道级数次以上长八百二十寸减下长一千八百二十寸馀一千寸以半之得五百寸为勾以乘南道高四百八十寸得二十四万寸为实如台高一千二百寸而一半之〈按上下长较已半得数又半之误〉得一百寸为底率以率减下长一千八百二十馀一千七百二十寸为底股以外道级八十约之得二尺一寸五分为外道踏踪又以底率一百寸减底股一千七百二十寸馀一千六百二十寸为中股乃以勾五百寸乘中停高四丈二尺得二十一万寸为实如台高一千二百寸而一得一百七十五寸为中率以中率减中股一千六百二十寸馀一千四百四十五寸为上股以西道级七十除上股一千四百四十五寸得二尺一寸四分寸之九为西道踏踪又以勾五百寸乘上停高三百寸得一十五万寸为实如台高一千二百寸而一得一百二十五寸为上率并中率一百七十五寸得三百减上股一千四百四十五寸馀一千一百四十五寸为实如里道级五十而一得二尺二寸九分为里道踏踪各得具图以见如后




　　次以道阔六尺并下长一千八百二十寸得一千八百八十寸为补以南北道高并台高共得二千五百八十寸乘补得四百八十五万四百寸为需〈按此二数不合其法太疏故也〉次以上广五百寸减下广一千五百寸馀一千寸为址乘南道高四百八十寸得四十八万寸为实以台高一千二百寸除之得四百寸为减率以减下广一千五百寸馀一千一百寸为南道长并下广一千五百寸得二千六百乘南道高四百八十寸得一百二十四万八千寸加需又以址一千寸乘北道高九百寸得九十万寸为实亦如台高一千二百而一得七百五十以减下广一千五百寸馀七百五十寸为北道长并下广一千五百得二千二百五十寸乘北道九百寸得二百二万五千寸又加需共得八百一十二万三千四百以半道阔三尺乘之得二亿四千三百七十万二千寸并泛三亿四千三百四十五万四百得五亿八千七百一十五万二千四百寸为共率次以基脚七层乘石版厚五寸得三十五寸为基高次倍道阔得一百二十并下阔一千六百二十寸得一千七百四十乘下长一千八百二十得二百一十六万六千八百为基率次以下广一千五百寸乘下袤一千七百寸得二百五十五万减基率馀六十一万六千八百寸乘基高三十五寸得二千一百五十八万八千寸为石率以石率减共率馀五亿六千五百五十六万四千四百寸为砖率以砖积法一百八十寸除之得一〈按三讹一〉百一十四万二千二十四片九分片之四乃以石积法五千寸除石率二千一百五十八万八千寸得四千三百一十七片为石版不尽三十寸弃之不辈合问
　　按右草自求砖砌台身积至级数皆无误求踏踪数有误至求补数需数其法更多未合如题内云先用砖砌台身次用砖砌转道周围五带并阔六尺南北二平道东西三峻道如自台下艮隅南升至巽西折行至坤北升至乾东折行至艮复南升至巽乃登台顶是南北二平道至台址皆如一面平堆形西峻道至台址东里峻道至台址皆上如一面三角斜堆下如一面平堆形东外峻道至台址如一面三角斜堆形法当按各形取积草中取二平道皆如法至取峻道乃以道阔并下长为补以南北道高台高三数并乘之为需然后以半道阔乘之为积其意殊不可解然以数考之有差至三之一者又台身外四面砖砌各加六尺转道东面加二层三面各加一层是台基长一十九丈四尺阔一十八丈草中以下阔为一千七百四十寸差少六尺下长仍用一千八百二十寸差少一丈二尺皆疏漏之误今自求踏踪至末皆另步之法以台上长减下长馀一千寸半之得五百寸为勾率以乘南道高四百八十寸得二十四万寸为实如台高一千二百寸而一得二百寸为底率以减下长得一千六百二十寸为底股以外道级八十约之得二尺零二分半为东外道踏踪又以底率减底股馀一千四百二十寸为中底以勾率五百乘中停高四百二十寸得二十一万寸如台高寸而一得一百七十五寸为中率以减中底馀一千二百四十五寸为中股以西道级七十约之得一尺七寸七分又七分分之六为西道踏踪以中率减中股馀一千零七十寸为上底以勾率五百乘上停高三百寸得一十五万寸如台高而一得一百二十五寸为上率以减上底馀九百四十五寸为上股以里道五十约之得一尺八寸九分为里道踏踪次以道阔加下长与下停高相乘得九十万二千四百寸为倍东外峻道三角形立面中底与中停高相乘得五十九万六千四百寸为倍上下外阔相减馀一千寸以北道高乘之得九十万以台高寸数除之得七百五十寸以减北下外阔得九百九十寸为北道上阔与北下外阔相加以北道乘之得二百四十五万七千寸为倍北道至台址平堆形立面并倍二面数得三百九十九万三千寸又并前五数之共数得九百九十六万九千寸以半道阔三十寸乘之得二亿九千九百零七万寸为共道峻道积又并前砌台身积三亿四千三百四十五万零四百寸得总积六亿四千二百五十二万零四百寸为共率次二因道阔与下长相加得一千九百四十寸与南道下外阔一千八百寸相乘得三百四十九万二千寸又以原下广一千五百寸下袤一千七百寸相乘得二百五十五万寸以减外长阔相乘馀九十四万二千寸以石基三十五寸乘之得三千二百九十七万寸为西峻道上三角形立面中底下底并与下停高相乘得一百五十五万五千二百寸为倍西峻道下平堆形立面上底上停高相乘得三十二万一千寸为倍东里道上三角形立面上底下底并与中停高下停高并相乘得二百六十万零一千寸为倍东里道下平堆形立面倂五数共得五百九十七万六千寸比旧草所用需数大一百一十二万五千六百寸次求南北平道立面先以上下阔俱加三道阔得上外阔八百寸下外阔一千八百寸上下外阔相减馀一千寸以南道高乘之得四十八万寸以台高寸除之得四百寸为减率以减下外阔得一千四百寸为南道上阔与下外阔相并以南道高乘之得一百五十三万六千寸为倍南道至台址平堆形立面又以上下阔各加倍道阔得北上外阔七百四十寸北下外阔一千七百四十寸北石率以石率减共率馀六亿零九百五十五万零四百寸为砖率以砖长阔厚连乘得一百八十寸为砖法以石长阔厚连乘得五千寸为石法以砖法除砖率得三百三十八万六千三百九十一片九分片之一为共用砖数以石法除石率得六千五百九十四片为共用石数
　　堂隍程筑
　　问有营造地基长二十一丈阔一十七丈先令七人筑坚三丈计功二日今涓吉立木有日欲限三日筑了每日合收杵手几何
　　答曰日收五百五十五工三分工之一
　　术曰以长乘阔又乘原日原人为实以限日乘筑丈数为法除之得人夫
　　草曰以长二十一丈乘阔一十七丈得三百五十七丈又乘原二日得七百一十四又乘原七人得四千九百九十八为工实以限三日乘原筑三丈得九为法除实得五百五十五工不尽三与法俱三约之为三分工之一为日收五百五十五工三分工之一合问
　　砌砖计积
　　问有交到六门砖一十五垛每垛高五尺阔八尺长一丈其砖毎片长八寸阔四寸厚一寸欲砌地面使用堂屋三间各深三丈共阔五丈二尺书院六间各深一丈五尺各阔一丈二尺后阁四间各深一丈三尺内二间阔一丈次二间阔一丈五尺亭子地面之长阔几何
　　答曰见有一十八万七千五百片今用一万六千四百六片四分片之一外馀一十七万一千九十三片四分片之三
　　术曰以少广求之置各地面深阔相乘以间数若所数乘之共为实砖长阔相乘为砖平法除得今用砖数次以砖垛高长阔相乘为实却以砖法乘厚得数为砖积法除之得毎垛砖数次以垛数乘之得见有砖以减今用砖得馀砖
　　草曰置堂阔五丈二尺乘深三丈得一十五万六千寸于上又置书院深一丈五尺乘阔一丈二尺得一万八千寸又以六间乘之得一十万八千寸加上共得二十六万四千寸并上又置后阁阔一丈并阔一丈五尺得二丈五尺又以各二间乘之得五百寸以乘各深一丈三尺得六万五千寸加上得三十二万九千寸并上次置亭基一丈四尺自乘得一万九千六百寸以一十所乘之得一十九万六千寸又并上共得五十二万五千寸为实以砖长八寸乘阔四寸得三十二寸为砖平法除之得一万六千四百六片四分片之一为共用砖次置毎垛高五尺乘阔八尺得四千寸又乘长一丈得四十万寸为毎垛实却以砖平法三十二寸乘厚一寸只得三十二寸为砖积法除之得一万二千五百片又以十五垛乘之得一十八万七千五百片为见有砖内减今用砖馀有一十七万一千九十三片四分片之三为外馀瓦数合问












　　数学九章卷七上
<子部,天文算法类,算书之属,数学九章>