数学讨论（一）

数学讨论（一）
作者：曾炯
1933年1月

刊于《国立山东大学科学丛刊》第一卷第一期，民国二十二年一月，青岛国立山东大学编印。

姊妹计划: 数据项

数学讨论（一）

I.

\sum _{n=0}^{\infty }\cos nx

在何点为收敛何点为发散？

曾　烱

　　此问题为初等解析之例题自不能用 Cantor定理*

此处 $a_{n}=1,b_{n}=0,a_{n}>0$

$\therefore a_{n}\cos nx\to 0.$

而项之趋向 $0$ 为收敛必须条件无待赘言故吾人祗须证明 $\cos nx\to 0$ 对于一切 $x$ 下述解决方法乃 Diophantische Approximationen 应用之一例:

　　(a)令 $x=y\pi$ 　　 $\pi$ 为圆周率

设 $y$ 为有理数时即

　　 $y={\frac {h}{g}}$ , 　　 $h,g$ 为整数

　　 $m=ng,\cos mx=\pm 1\neq 0,$

如是之 $m$ 不知其几千万也故此时甚易.

　　(b)兹假定 $y$ 为无理数时则不若前此之简单欲达证明 $\cos mx\to 0$ 之目的祗须证明对于任何既定之 $\epsilon >0$ ,任何大之 $m_{0}$ 任何所与之 $x$ 必有一个 $m$ 存在 $m\geqq m_{0}$ 使

　　 $|\cos mx-1|<\epsilon$ 　或　 $|\cos mx+1|<\epsilon$

$\cos x$ 为 $x$ 之连续函数其周期为 $2\pi$ 由此性质而推知祗须证明对于如上既定之 $\epsilon ,m_{0},x$ 可得两种整数 $m\geqq m_{0},n$ 使

　　 $|mx-n\pi |<\delta =\delta (\epsilon )$

盖 $\cos n\pi =\pm 1$ 故. 本问题因是归解下列不定不等方程式

　（甲）　　 $|my-n|<{\frac {\delta }{\pi }}=\delta _{1}$ 　　而 $m\geq m_{0}$

解决手段即所谓抽箱结论法是.何谓抽箱结论法即置 $n+1$ 个物件于 $n$ 个抽箱内则其中最少有一个抽箱含有二个或二个以上者.语曰百性日用而逮Dirichlet其功用大著于数论中.

　　言归于正:吾人从实数性质中而知对于任何小之 $\delta >0$ 必有一个整数 $g$ 存在使 $g\delta >1$ （Archimedische Axiom）如 $A>0$ 令 $[A]$ 为在 $A$ 前最大之整数则令 $g=\left[{\frac {1}{\delta }}\right]+1$ 可也.因 $\left[{\frac {1}{\delta }}\right]+1>{\frac {1}{\delta }}$ , 故方程式（甲）可书之为

　　 $|my-n|<{\frac {1}{g}}<\delta _{1}$ 　　其中 $m,n$ 为未知数.

为简便起见先置 $m\geq m_{0}$ 之条件于不论.

　　将单位线段 $0$ —— $1$ 分为 $g$ 等分作两组 $g+1$ 个数

　　 $\alpha _{\nu }=\nu y,\ \nu =0,1,\cdots ,g;\ \beta _{\nu }=1+[\nu y],\ \nu =0,1,\cdots ,g.$

$[\;]$ 之意义如上.

令 $\gamma _{\nu }=\beta _{\nu }-\alpha _{\nu }$ 则 $0<\gamma _{\nu }\leq 1.\ \nu =0,1,\cdots ,g$ .

因 $\beta _{\nu }$ 刚为 $\alpha _{\nu }$ 后之第一整数故由抽箱结论法则知必有二个不同之 $\gamma _{\lambda },\gamma _{\mu },\lambda >\mu$ 在一个小线段中.故 $|\gamma _{\lambda }-\gamma _{\mu }|<{\frac {1}{g}}$ , 即 $|[\lambda y]-[\mu y]-y(\lambda -\mu )|<{\frac {1}{g}}$ . 无论如何 $[\lambda y]-[\mu y]$ 及 $\lambda -\mu$ 两整数而 $\lambda -\mu \neq 0$ . 令其各为 $\xi ,\eta$ 而得 $|\xi y-\eta |<{\frac {1}{g}}$ . 兹选 $g$ 如彼其大使 ${\frac {1}{g}}<{\frac {\delta }{\pi m_{0}}}$ 得