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数学讨论(一)

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数学讨论(一)
作者:曾炯
1933年1月
刊于《国立山东大学科学丛刊》第一卷第一期,民国二十二年一月,青岛国立山东大学编印。
数学讨论(一)
I.在何点为收敛何点为发散?
曾 烱

  此问题为初等解析之例题自不能用 Cantor定理*

此处

而项之趋向为收敛必须条件无待赘言故吾人祗须证明 对于一切 下述解决方法乃 Diophantische Approximationen 应用之一例:

  (a)令   为圆周率

为有理数时即

  ,    为整数

  

如是之不知其几千万也故此时甚易.

  (b)兹假定为无理数时则不若前此之简单欲达证明之目的祗须证明对于任何既定之,任何大之任何所与之必有一个存在使

   或 

之连续函数其周期为由此性质而推知祗须证明对于如上既定之可得两种整数使


  

故. 本问题因是归解下列不定不等方程式

 (甲)     而

解决手段即所谓抽箱结论法是.何谓抽箱结论法即置个物件于个抽箱内则其中最少有一个抽箱含有二个或二个以上者.语曰百性日用而逮Dirichlet其功用大著于数论中.

  言归于正:吾人从实数性质中而知对于任何小之必有一个整数存在使(Archimedische Axiom)如为在前最大之整数则令可也.因, 故方程式(甲)可书之为

    其中为未知数.

为简便起见先置之条件于不论.

  将单位线段——分为等分作两组个数

  

之意义如上.

.

刚为后之第一整数故由抽箱结论法则知必有二个不同之在一个小线段中.故, 即. 无论如何两整数而. 令其各为而得 . 兹选如彼其大使

  

即所求之目的也.

  上述之方法可施之于下例问题即

设有个实数为既定. 为整数为实数皆既定.常可求一个个整数使

  

证明方法不难照上推演之. (待续)


* Cantor 定理曰:

祗须而必须 .

1996年1月1日,这部作品在原著作国家或地区属于公有领域,之前在美国从未出版,其作者1940年逝世,在美国以及版权期限是作者终身加80年以下的国家以及地区,属于公有领域


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