数学钥 (四库全书本)/卷01

数学钥　卷一

　　钦定四库全书
　　数学钥卷一
　　柘城杜知耕撰
　　方田上〈直线类〉
　　一则
　　实积求亩
　　设田积二万九千五百二十步求亩法曰置积为实以亩法二四除之得一百二十三亩即所求
　　解曰五尺为步二百四十步为亩如自甲至乙阔一
　　步〈即五尺〉馀三边各与甲乙等则甲丙
　　方形为积一步二百四十倍之则为
　　一亩故亩法用二四也本卷及二卷
　　皆言求积之法得积以此法求之即
　　得亩数
　　二则
　　直形求积
　　设直田长十步阔八步求积法曰置长为实以阔乘之得八十步即所求
　　解曰直田长阔不等求积之法任取
　　一边为此一边之倍数〈或以阔乘长或以长乘阔〉如甲戊形之戊乙己甲各二步则二
　　倍甲乙边八步之数而甲戊形得积
　　一十六步今丙乙丁甲各十步是十倍甲乙边八步之数故得积八十步也
　　三则
　　方形求积
　　设方田方八步求积法曰置八步自乘得六十四步
　　即所求
　　解曰方田四边皆等以此边为此边
　　之倍数与以他边为此边之倍数同
　　故法用自乘也
　　四则
　　勾股求积
　　设勾股田股长十二步勾阔八步求积法曰置股为实以勾乘之〈得九十六步〉折半得四十八步即所求解曰勾股形当等高等阔直形之半如甲乙丙勾股
　　形另作丁己直形
　　与之等高〈谓丁庚与甲丙
　　等等阔〉〈谓丁戊与甲乙等〉以庚戊线分之则
　　成丁戊庚庚己戊两勾股形皆与甲乙丙勾股形等夫丁己一直形当甲乙丙勾股形二而甲乙丙勾股形不当丁己直形之半乎法以勾乘股所得者丁己直形积也故半之得勾股积又法置股为实以半勾〈四步〉乘之所得同前〈半股为实以勾乘之亦得〉
　　解曰丁己直形再以壬辛线中分之成丁壬辛己两分形法以半勾乘股所得即分形积也勾股既为丁己直形之半而分形亦为丁己直形之半故分形积即勾股积也
　　五则
　　三角形求积
　　设三角田中长一十二步底阔八步求积法同勾股田
　　解曰甲乙丙三角形依底线作甲丁直形从角以丙
　　己线分之则三角
　　形内成甲己丙乙
　　己丙两勾股形直
　　形内成甲丙己丁
　　两分形从前解推
　　之甲己丙勾股形
　　当甲丙分形之半
　　乙己丙勾股形当
　　己丁直形之半两勾股形既当两分形之半而三角全形不为甲丁全形之半乎故求积之法与勾股同也　或两边等〈如第一图〉或三边等〈如第二图〉或三边俱不等〈如第三图〉法皆同
　　六则
　　斜方形求积
　　设斜方田长一十
　　五步上阔六步下
　　阔十步求积法曰
　　置长为实以两阔
　　相并〈共一十六步〉折半〈得八步〉为法乘之得一百二十步即所求
　　解曰甲乙丁庚斜方形减去辛丁直形所馀必甲庚辛勾股形勾股形既为等高等阔直形之半〈本卷四则〉则己庚直形必与甲庚辛勾股形等又己庚直形与辛丁直形并亦必与甲庚辛勾股形与辛丁直形并等法并两阔折半者乙己之度也以乙己乘丁乙所得乃己丁直形也而己丁直形即己庚辛丁两形并也安得不与甲乙丁庚斜方形等乎
　　七则
　　梯形求积
　　设梯田长一十五步上阔六步下阔十步求积法同斜方田
　　解曰甲乙丙丁梯形减去戊丁直形馀甲丙戊乙丁
　　己两勾股形必与
　　辛丙己庚两分形
　　等今戊丁直形与
　　两分形并则与全
　　梯形等矣故并两阔折半乘长得积也
　　八则
　　象目形求积
　　设象目田阔八步正长一十二步求积法曰置正长
　　为实以阔乘之得
　　九十六步即所求
　　解曰几何原本云
　　甲乙丙丁象目形
　　甲戊为正长自乙
　　作乙己线与甲戊平行次于丁丙线引长之至戊成甲乙己戊甲乙丁丙两形在平行线内〈等高即在平行线内〉而同底〈等阔即同底〉则两形必相等何也甲戊乙己两线既平行则戊己必与甲乙等而丙丁元等于甲乙则丙丁与戊己必亦等丙丁既与甲乙等则甲丙乙丁两线必平行而亦相等因显甲丙戊乙丁己两三角形亦等于两形内每减一己丙庚三角形所馀甲庚己戊庚乙丙丁两无法四边形亦等次于两无法形每加一甲庚乙三角形则成甲乙丙丁甲乙戊己两形安得不等法以阔乘正长得甲己直形之积即甲乙丙丁象目形之积
　　又法甲乙丙丁象目田自甲量至丁得一十六步自丙量至戊得六步两数相乘亦得九十六步与前同
　　解曰象目田以甲丁线分之则成相
　　等之两三角形甲丁即底丙戊即中
　　长也故以底乘长得全积也〈三角法以底乘
　　长折半得积今不折故得两形之共积〉

　　九则
　　诸直线形求积
　　第一图
　　可作三
　　三角形
　　第二图
　　可作一
　　斜方形
　　一三角
　　形第三图可作一三角形而减一小三角形第四图可作一方形而减一勾股形第五图可作一直形一勾股形第六图可作两三角形其馀千形万状凡属直线边者皆依方直三角勾股裁之
　　十则
　　积求方边〈即开平方〉
　　设方田积三万六千一百步求方边法曰置积于中为实初商一百步于实左亦置一百步于实右为方法左右对呼除实一万步〈馀二万六千一百步〉倍方法〈得二百步〉为
　　廉法次商九十步于左初商
　　之次〈共一百九十步〉亦置九十步于
　　右廉法之次为隅法〈共二百九十步〉以左次商与廉法对呼除实
　　一万八千步〈馀八千一百步〉又以左
　　次商与隅法对呼除实八千
　　一百步恰尽于左得一百九十步即所求方边之数解曰初商与方法对呼所除者己辛方形也〈即大方积〉次商与廉法对呼所除者甲壬壬丁两直形也〈即两廉〉必倍方法为廉法者以廉有二也次商与隅法对呼所除者庚戊方形也〈即隅方〉四形恰尽实积则初次两商
　　之数为方田边无疑矣
　　又设方田积七万一千八百
　　二十四步求方边法曰置积
　　于中为实初商二百步于左
　　亦置二百步于右为方法左
　　右对呼除实四万步〈馀三万一千八
　　百二十四步倍方法〉〈得四百步〉为廉法
　　次商六十步于左初商之次亦置六十步于廉法之次为隅法先以次商与廉法对呼除实二万四千步再以次商与隅法对呼除实三千六百步〈馀实四千二百二十四步〉又倍次商〈得一百二十步〉并右廉法〈共五百二十步〉复为廉法三商八步于左初商次商之次〈共二百六十八步〉亦置八步于右廉法之次复为隅法先以三商与廉法对呼除实四千一百六十步再以三商与隅法对呼除实六十四步恰尽于左初次三三商共得二百六十八步即所求方边之数
　　解曰此与前条无异但前二位此三位耳初商次商不能尽故三商之如三商又不尽则四商五商仿此十一则
　　方边求斜
　　设方田方五十步求法曰置方数自乘〈得二千五百步〉倍
　　之〈得五千步〉平方开之〈本卷十则〉得七十步零
　　七分有奇即所求
　　解曰甲乙丙丁方形作甲丁丙乙
　　线次作己庚辛壬方形令方边与甲
　　丁方形之线等则庚壬方形必倍大于甲丁方形何也甲丁形内丁戊丙丙戊甲甲戊乙乙戊丁三角形四是四三角形当一甲丁方形也形外丁丙己乙丁壬甲乙辛丙甲庚三角形亦四各与甲丁形内四三角形等是形外四三角形又当一甲丁方形矣因知斜自乘之方形〈即庚壬方形〉倍大于方边自乘之方形〈即甲丁方形〉法置方边自乘即甲丁方积也倍之即庚壬方积也平方开之得庚壬方形之边即得甲丁方形之也
　　十二则
　　斜求方边
　　设方田长七十步零七分有奇求方边法曰置自乘〈得五千步〉折半〈得二千五百步〉平方开之得五十步即所求解曰置自乘求庚壬方积也〈图同上则〉折半即甲丁方积也故平方开之得甲乙
　　十三则
　　直积求长与阔〈即带纵开平方〉
　　设直田积九百七十二步长阔差九步求长与阔法
　　曰置积四因之〈得三千八百八十八步〉又长阔
　　差自乘〈得八十一步〉两数并〈共三千九百六十九步〉平方开之得六十三步加长阔差〈共七
　　十二步〉折半得三十六步即长以长阔
　　差减长馀二十七步即阔
　　解曰一线任两分之两分线矩内形四及两分线之较线上方形一并与元线上方形等如图甲乙线两分于丙丙子庚癸己壬辛丑四线各与乙丙等庚子己癸辛壬丙丑四线各与甲丙等则丙庚庚己己辛辛丙四形必两分线矩内形也辛丑既等于丙乙壬辛又等于甲丙则丑壬必两分线之较线壬癸癸子子丑又各等于丑壬则癸丑形必较线上方形矣甲乙元线上方形不与五形并等乎直田积即两分线矩内形也四因之者矩内形四也长阔差自乘即较线上方形也五形并等于元线上方形故平方开之得甲乙元线即长阔相和之度也〈开方所得之六十三步〉长阔和增一长阔差即两长两长折半非一长而何以长阔差减长非阔而何
　　十四则
　　直形以长求阔
　　设直田积九百七十二步长三十六
　　步求阔法曰置积为实以长除之得
　　二十七步即所求
　　解曰阔为长之倍数故以长除积得
　　阔〈本卷二则〉
　　十五则
　　直形以阔求长
　　设直田积九百七十二步阔二十七步求长法曰置积为实以阔除之得三十六步即所求
　　解曰长亦为阔之倍数故以阔除实得长〈本卷二则〉十六则
　　直形长阔求
　　设直田阔二十七步长三十六步求
　　法曰长阔各自乘〈长得一千二百九十六步阔得
　　七百二十九步两数并〉〈共二千零二十五步〉平方开之
　　得四十五步即所求
　　解曰此即勾股求〈六卷一则〉
　　十七则
　　直形阔求长
　　设直田阔二十七步四十五步求长法曰阔各自乘〈得二千零二十五步阔得七百二十九步〉两数相减〈馀一千二百九十六〉平方开之得三十六步即所求
　　解曰此即勾求股〈六卷二则〉
　　十八则
　　直形长求阔
　　设直田长三十六步四十五步求阔法曰长各自乘〈得二千零二十五步长得一千二百九十六步〉两数相减〈馀七百二十九步〉平方开之得二十七步即所求
　　解曰此即股求勾〈六卷三则〉
　　十九则
　　直形长及阔差求阔
　　设直田长三十六步阔差一十八步求阔法曰长与阔差各自乘〈长得一千二百九十六步阔差得三百二十四步〉两数相减〈馀九百七十二步〉折半〈得四百八十六步〉以阔差为法除之得二十七步即所求
　　解曰此即股与勾较求勾〈六卷十四则〉
　　二十则
　　直形阔及长差求长
　　设直田阔二十七步长差九步求长法曰置阔自乘〈得七百二十九步〉以长差为法除之〈得八十一步〉减长差〈馀七十二步〉折半得三十六步即所求
　　解曰此即勾与股较求股〈六卷十五则〉
　　二十一则
　　直形及长阔和求长阔差
　　设直田长阔和六十三步四十五步求长阔差法曰置自乘〈得二千零二十五步〉倍之〈得四千零五十步〉另置长阔和自乘〈得三千九百六十九步〉两数相减〈馀八十一步〉平方开之得九步即长阔差以减长阔和〈馀五十四步〉折半得二十七步即阔加长阔差得三十六步即长
　　解曰此即与勾股和求勾股较〈六卷七则〉
　　二十二则
　　直形长及阔和求阔
　　设直田阔和七十二步长三十六步求阔法曰置长自乘〈得一千二百九十六步〉以阔和为法除之得一十八步即阔差以减阔和〈馀五十四步〉折半得二十七步即所求
　　解曰此即股与勾和求勾较〈六卷十八则〉
　　二十三则
　　直形阔及长和求长
　　设直田长和八十一步阔二十七步求长法曰置阔自乘〈得七百二十九步〉以长和为法除之得九步即长差以减长和〈馀七十二步〉折半得三十六步即所求解曰此即勾与股和求股较〈六卷十九则〉
　　二十四则
　　直形及长阔差求长与阔
　　设直田长阔差九步四十五步求长与阔法曰置自乘〈得二千零二十五步〉倍之〈得四千零五十步〉另置长阔差自乘〈得八十一步〉两数相减〈馀三千九百六十九步〉平方开之得六十三步即长阔和加长阔差〈共七十二步〉折半得三十六步即长减长阔差馀二十七步即阔
　　解曰此即与勾股较求勾股和〈六卷十则〉
　　二十五则
　　直形长和及阔和求长与阔
　　设直田长和八十一步阔和七十二步求长与阔法曰置长和以阔和乘之〈得五千八百三十二步〉倍之〈得一万一千六百六十四步〉平方开之得一百零八步与长和相减馀二十七步即阔与阔和相减馀三十六步即长
　　解曰此即勾和股和求勾与股〈六卷十三则〉
　　二十六则
　　直形长差及阔差求长与阔
　　设直田长差九步阔差一十八步求长与阔法曰置长差以阔差乘之〈得一百六十二步〉倍之〈得三百二十四步〉平方开之得一十八步加阔差得三十六步即长加长差得二十七步即阔
　　解曰此勾较股较求勾与股〈六卷二十则〉
　　二十七则
　　直形积及长阔和求长阔差
　　设直田长阔和六十三步积九百七十二步求长阔差法曰置长阔和自乘〈得三千九百六十九步〉另置积四因之〈得三千八百八十八步〉两数相减〈馀八十一步〉平方开之得九步即所求
　　解曰长阔和自乘之方积当直田积四长阔差自乘之方积一故以长阔和自乘减去四直田积馀以平方开之得长阔差也〈本卷十三则〉
　　二十八则
　　直形积及长阔和求
　　设直田积九百七十二步长阔和六十三步求法曰置长阔和自乘〈得三千九百六十九步〉另置积倍之〈得一千九百四十四步〉两数相减〈馀二千零二十五步〉平方开之得四十五步即所求
　　解曰甲戊形长阔和自乘之方也庚
　　辛形自乘之方也甲戊形内勾股
　　八及长阔差自乘之方一庚辛形内
　　勾股四及长阔差自乘之方一每二
　　勾股当一直形〈如一丙乙丑辛直形内有乙丙辛丑辛丙〉
　　〈两勾股形〉是长阔和上方形大于上方形之较为二直田积也故法以长阔和自乘减去二直田积平方开之即得度也
　　二十九则
　　两边等之三角形求对角之垂线
　　设三角田底阔六步两馀边各五步
　　求中长法曰置底折半〈得三自步〉乘〈得九
　　步馀边亦自乘〉〈得二十五步〉两数相减〈馀一
　　十六步〉平方开之得四步即所求
　　解曰丙乙作乙丁作勾以所求之丙丁作股此即勾求股法也〈六卷二则〉甲乙边折半即得勾者以乙丙丙甲两边等也设两边不等此法不行矣则有下法在
　　三十则
　　有一方角之三角形求对角之垂线
　　设不等边三角田有一方角〈丙为方角即勾股田〉底阔十步乙丙边六步甲丙边八步求中长法曰置乙丙边自乘〈得三十六步〉以底除之〈得三步六分○此即丁乙之度以下仍勾求股法〉又自乘
　　〈得一十二步九分六釐〉与丙乙边自乘之数相
　　减〈馀二十三步零四釐〉平方开之得四步八分
　　即所求
　　解曰此勾股求对角垂线法也〈六卷二十
　　五则〉因有方角故用之若无方角此法
　　又穷矣更有一法不问等边方角与否皆可求如下则
　　三十一则
　　不等边而无方角之三角形求对角之垂线
　　设三角田底阔一十五步乙丙边八
　　步甲丙边十步求中长法曰置乙丙
　　甲丙两边各自乘〈乙丙得六十四步甲丙得一百步〉两数相减〈馀三十六步〉为实以底除之〈得二
　　步四分以减底〉〈馀一十二步六分〉折半〈得六步三分〉
　　〈即乙丁之度以下勾求股法〉又自乘〈得三十九步六分九釐〉另置乙丙自乘〈得六十四步〉两数相减〈馀二十四步三分一厘〉平方开之得四步九分三釐有奇即所求
　　解曰甲乙丙三角形丁为对角点另作庚辛为乙丙
　　边上方壬癸为甲
　　丙边上方壬癸大
　　于庚辛之较为卯
　　子丑磬折形若移
　　丑于寅则成卯子
　　寅直形又作辰巳
　　为丁乙上方午未
　　为甲丁上方午未
　　大于辰巳之较为申酉戌磬折形若移戌于亥则成申酉亥直形申酉亥与卯子寅两直形必相等何也甲乙丙三角形以丙丁线分之则成丁乙丙丁甲丙两勾股形既皆勾股形则丙乙上方形必与丙丁股乙丁勾上两方形并等甲丙上方形必与丙丁股甲丁勾上两方形并等〈六卷一则〉从此推之则甲丙上方形大于丙乙上方形之容必与丙丁甲丁上两方形大于丙丁乙丁上两方形之容等试减去同用之丙丁上方形则甲丙上方形大于乙丙上方形之卯子寅直形与甲丁上方形大于乙丁上方形之申酉亥直形必相等矣法以乙丙甲丙上两方形相减馀即卯子寅直形之容亦即申酉亥直形之容也夫申酉亥直形以甲乙底为长〈以甲丁乙丁两线并为长即以甲乙全线为长〉以甲丁乙丁之较线甲己为阔者也故以甲乙底除之得甲己甲己既为甲丁乙丁之较线于甲乙线减去甲己则己丁乙丁两线等矣故折半得乙丁馀仍勾求股法〈六卷二则〉同前则
　　三十二则
　　方周求积
　　设方田周二百步求积法曰置周自乘〈得四万步〉以方法十六除之得二千五百步即所求
　　解曰假如一步以
　　四面计之则周四
　　步四步自乘得一
　　十六步是周自乘
　　之十六步止得实积一步故以十六为方法也然此法止可施于方田至于直田则不可用如下图直田长六十步阔四十步周亦得二百步实积止得二千四百步如以前法求之则多积百步矣
　　三十三则
　　方环以周求积
　　设方环田外周二百八十步内周一百二十步求积法曰二周各自乘〈外周得七万八千四百步内周得一万四千四百步〉两数相
　　减〈馀六万四千步〉以方法十六除之得四千
　　步即所求
　　解曰此方内减方法也○如知环阔
　　则用梯田法置两周相并折半以阔
　　乘之即得环积
　　三十四则
　　方环以积及阔求边
　　设方环田积四千步阔二十步求内外边法曰置阔自乘〈得四百步〉以四因之〈得一千六百步〉以减环积〈馀二千四百步〉馀积
　　以四归之〈得六百步〉以阔除之得三十步
　　即内边倍阔〈得四十步〉加之得七十步即
　　外边
　　解曰法以环阔自乘者求环之隅方
　　也〈即甲等〉以四因之者环之隅有四也〈即甲乙丙丁四方形〉以减环积所馀必四直形也〈即戊己庚辛四直形〉四归之者取四直形之一也以阔除之即得内边者其直形以环之阔为阔以内边之度为长也加两阔即得外边者外边大于内边之较为两阔也○或四因环阔除积得五十步〈即直方两形并之共长〉加阔得外边减阔得内边
　　三十五则
　　直形依长截阔
　　设直田长八十五步依元长截积二千七百二十步
　　求截阔法曰置积为实以元长除之
　　得三十二步即所求
　　解曰即以长求阔法〈本卷十四则〉

　　三十六则
　　直形依阔截长
　　设直田阔六十四步依元阔截积二千七百二十步求截长法曰置积为实以元阔除之得四十二步五分即所求
　　解曰即以阔求长法〈本卷十五则〉



　　三十七则
　　直形截勾股
　　设直田长八十五步依元长截积一千三百六十步成勾股形法曰置积倍之〈得二千七百二十步〉以元长除之得三十二步即所求
　　解曰勾股形当等高等阔直形之半
　　法倍勾股积即乙丙直形积也乙丙
　　直形既倍勾股积则必与勾股等高
　　等阔矣故求乙丙直形之阔即勾股
　　之阔也
　　三十八则
　　直形截三角
　　设直田阔六十四步依元阔截积一千三百六十步成三角形求长法曰置积倍之〈得二千七百二十步〉以元阔除
　　之得四十二步五分即所求
　　解曰三角形亦当等高等阔直形之
　　半法倍三角积即甲乙直形积也甲
　　乙直形既倍三角积则必与三角形
　　等高等阔矣故求甲乙直形之长即三角形之长也三十九则
　　直形截斜方
　　设直田长八十五步依元长截积二千七百二十步成斜方形两阔相差五步求两阔法曰置积为实以
　　元长除之〈得三十二步〉另置相差五步折
　　半〈得二步五分〉并三十二步得三十四步
　　五分即大边减三十二步得二十九
　　步五分即小边
　　解曰以元长除积者求甲乙直形之阔也甲乙直形之阔为斜方两阔之中度〈谓小于大边二步五分大于小边亦二步五分〉故置差折半增减之即得两阔
　　四十则
　　直形截梯形
　　设直田阔六十步依元阔截积三千七百八十步成梯形两阔相差一十二步求长法曰置积为实倍元阔〈得一百二十步〉减相差一十二步〈馀一百零八步〉折半〈得五十四步〉为
　　法除之得七十步即所求
　　解曰倍阔减差折半者求甲乙直形
　　之阔也甲乙直形阔为梯形两边之
　　中度〈谓小于大边六步大于小边亦六步〉则直形之容
　　必与梯形等故求直形之长即得梯形之长
　　四十一则
　　三角形以截积截阔求截长〈勾股截积同〉
　　设三角田依角截积一千三百六十
　　步截阔六十四步求截长法曰置积
　　倍之〈得二千七百二十步〉以阔除之得四十二
　　步五分即所求
　　解曰此与直田截三角同〈本卷三十八则〉
　　四十二则
　　三角形以截积截长求截阔
　　设三角田依角截积一千三百六十步截长四十二步五分求截阔法曰置积倍之〈得二千七百二十步〉以长除之得六十四步即所求
　　解曰此与直田截勾股同〈本卷三十七则〉
　　四十三则
　　三角形以截长求截阔
　　设三角田元长二百步阔一百五十步自角截长一百五十步求截阔法曰置截长为实以元阔乘之〈得二万二千五百步〉以元长除之得一百一十二步五分即所求解曰凡三角形任以一线分之分线若与底线平行则分形之比例必各与全形等谓丙丁与丁戊若丙甲与甲乙丁戊与丙庚若甲乙与丙己又丁戊与甲乙若丙丁与甲丙丙庚与丙己也〈泰西几何原本〉甲乙丙即元形丁戊丙即截形也则截长与截阔之比例必若元长与元阔矣截阔与元阔之比例亦必若截长与
　　元长矣〈谓截长大于截阔几
　　分之几则元长亦大于元阔几分之
　　几截阔小于元阔几分之几则截长
　　亦小于元长几分之几〉法以
　　元阔乘截长以元长除之者借元长及元阔之比例因截长以求截阔也〈求比例用异乘同除法详三卷五则〉
　　四十四则
　　三角形以截阔求截长
　　设三角田元长二百步阔一百五十步截阔一百一十二步五分求截长法曰置截阔为实以元长乘之〈得二万二千五百步〉以元阔除之得一百五十步即所求解曰此借元阔元长之比例因截阔以求截长也四十五则
　　三角形以截积求截长
　　设三角田元长二百步阔一百五十步自角截积八千四百三十七步五分求截长法曰置积倍之〈得一万六千八百七十五步〉为实以元长乘之〈得三百三十七万五千步〉以元阔除之〈得二万二千五百步〉平方开之得一百五十步即所求
　　解曰甲乙丙即元
　　形丁戊丙即截形
　　丁壬为截形等高
　　等阔之直形辛壬
　　为截长丙庚线上方形丁壬辛壬两形之高必相等两形既等高则其比例必若丁戊与辛戊〈几何原本云凡两形等高形与形之比例若线与线〉辛戊与截长丙庚等而丁戊即截阔是丁壬与辛壬之比例若截阔与截长也分形之比例元与全形等〈本卷四十三则〉则丁壬与辛壬之比例又若元阔与元长矣法倍截积者求丁壬直形也以元长乘元阔除之者借元长元阔之比例因丁壬直形以求辛壬方形也辛壬为截长丙庚上方形故平方开之得截长也
　　四十六则
　　三角形以截积求截阔
　　设三角田元长二百步阔一百五十步自角截积八千四百三十七步五分求截阔法曰置截积倍之〈得一万六千八百七十五步〉为实以元阔乘之〈得二百五十三万一千二百五十步〉以
　　元长除之〈得一万二千六
　　百五十六步二分五釐〉平方
　　开之得一百一十
　　二步五分即所求
　　解曰甲乙丙即元形丁戊丙即截形丁壬为截形等高等阔之直形丁辛为截阔丁戊上方形丁壬丁辛两形之阔必相等两形既等阔则其比例必若戊壬与戊辛戊辛与截阔等戊壬与截长等是丁壬与丁辛之比例若截长与截阔亦若元长与元阔矣法倍截积者求丁壬直形也以元阔乘元长除之者借元长元阔之比例因丁壬直形以求丁辛方形也丁辛为截阔丁戊上方形故平方开之得截阔也○以上皆自角截积法若自底截积则以截积减元积馀积亦以上法求之得阔即截阔得长减元长馀为截长四十七则
　　斜方形以截积截长求截阔〈梯形截积同〉
　　设斜方田元长九十步大边
　　阔三十八步小边阔二十步
　　依小边截积八百二十二步
　　五分截长三十五步求截阔
　　法曰置积为实以截长除之
　　〈得二十三步五分〉倍之〈得四十七步〉减小
　　边元阔馀二十七步即所求
　　解曰以截长除积者求甲丙直形之阔甲乙也甲乙为小边及截阔之中度倍之则与小边及截阔并等矣故减小边即得截阔也
　　四十八则
　　斜方形以截积截阔求截长
　　设斜方田元长九十步大边阔三十八步小边阔二十步依小边截积八百二十二步五分截阔二十七步求截长法曰置积为实以截阔与小边元阔并〈得四十七步〉折半〈得二十三步五分〉为法除之得三十五步即所求解曰以截阔与小边相并折半者求两阔之中度甲乙也〈同前图〉故以除积得截长
　　四十九则
　　斜方形以截阔求截长
　　设斜方田元长九十步大边
　　阔三十八步小边阔二十步
　　截阔二十七步求截长法曰
　　置小边元阔与截阔相减〈馀七〉
　　〈步〉为实以元长乘之〈得六百三十步〉另以两元阔相减〈馀一十八步〉除之得三十五步即所求
　　解曰小边与截阔相减所馀必庚己两元阔相减所馀必甲戊庚己与截长之比例若甲戊与元长也与三角形同〈本卷四十三则〉
　　五十则
　　斜方形以截长求截阔
　　设斜方田元长九十步大边阔三十八步小边阔二十步自小边截长三十五步求截阔法曰置截长为实以两元阔相减〈馀一十八步〉乘之〈得六百三十步〉以元长除之〈得七步〉并小边元阔得二十七步即所求
　　解曰七步即己庚之度也〈图同前〉故加小边元阔得截阔馀同前解
　　五十一则
　　斜方形依小边截积求截阔
　　设斜方田元长九十步大边阔三十八步小边阔二十步自小边截积八百二十二步五分求截阔法曰置积为实以两元阔相减〈馀一十八步〉乘之〈得一万四千八百零五步〉以元长除之〈得一百六十四步五分〉倍之〈得三百二十九步〉另以小边元阔自乘〈得四百步〉两数并〈共七百二十九步〉平方开之得二十七步即所求
　　解曰甲乙丙丁全形己辛丙丁截形丙丁与甲乙为两元阔辛己为截阔丙戊为元长丙庚为截长庚己
　　为小边与截阔之较线甲戊
　　为两元阔之较线癸辛为截
　　阔上方形子辛为小边上方
　　形〈庚辛与丙丁等〉癸辛之大于子辛
　　者为丑寅两廉与卯一隅卯隅即较线庚己上方形也截形以丙庚线分之必成庚丁一直形己丙庚一勾股形若以截长丙庚除直形必得辛庚线再以较线己庚乘之必成一廉〈两廉俱以小边为长以较线为阔〉若以截长丙庚除勾股必得庚壬线庚壬者庚己之半也再以庚己乘之必成半隅然直形与勾股两形实一截形之分也若以己庚乘截积以丙庚除之亦必得一廉半隅也又全形之比例与截形等〈本卷四十九则〉丙戊之与甲戊必若丙庚之与己庚故置截积以元长丙戊除之以两边较线甲戊乘之亦得一廉半隅与前同倍之则成两廉一隅夫小边上方形之小于截阔上方形者此两廉一隅也并之则成截阔上方形矣故平方开之得截阔
　　五十二则
　　斜方形依大边截积求截阔
　　设斜方田元长九十步大边阔三十八步小边阔二十步自大边截积一千七百八十七步五分求截阔法曰置积为实以两元阔相减〈馀一十八步〉乘之〈得三万二千一百七十五步〉以元长除之〈得三百五十七步五分〉倍之〈得七百一十五步〉另以大边元阔自乘〈得一千四百四十四步〉两数相减〈馀七百二十九步〉平方开之得二十七步即所求
　　解曰既自大边截积则
　　元形之大边亦即截形
　　之大边而截阔为小边
　　小边上方形之小于大
　　边上方形者两廉一隅也故于大边上方形内减去两廉一隅平方开之即得截阔○若并求长得阔用本卷四十八则法求之
　　五十三则
　　梯形截勾股
　　设梯田元长一百二十步大边阔八十步小边阔二十步自一角截勾股积三百四十八步四分八釐求
　　截阔法曰置积倍之〈得六百九十六
　　步九分六釐〉以两元阔相减〈馀六十步〉折半〈得三十步〉乘之〈得二万零九百零八步八
　　分以元长除之〉〈得一百七十四步二分四〉
　　〈釐〉平方开之得一十三步二分即所求
　　解曰甲乙丙丁梯形减去甲戊丙丁斜方所馀必戊丁乙勾股形截积亦勾股形则是勾股截勾股也故法同勾股〈本卷四十六则〉○若求长则倍截积以截阔除之即得〈本卷三十八则〉
　　五十四则
　　梯形截斜方
　　设梯田元长一百二十步大边阔八十步小边阔二十步截斜方积三千六百步求截阔法曰置积为实
　　以元长除之〈得三十步〉另以两元
　　阔相减〈馀六十步〉四归之〈得一十五步〉两数并得四十五步即所求
　　解曰元长除截积得己戊甲
　　庚为大边大于小边之半甲己又为甲庚之半则甲己为大边大于小边四分之一矣故四归两阔之较并己戊得截阔
　　五十五则
　　梯形截无法五边形
　　设梯田元长一百二十步大边阔八十步小边阔二十步截五边形〈即甲戊己丁丙〉积五千六百五十一步五分二釐求截阔法曰先求梯田全积〈本卷七则〉减去截积〈馀三
　　百四十八步四分八釐〉以梯田截勾股
　　法求之〈本卷五十三则〉得阔〈一十三步二分〉以减大边元阔馀六十六步
　　八分即所求
　　解曰一十三步二分者乙己戊馀形之阔乙戊也大边元阔甲乙减去乙戊馀甲戊即截阔
　　五十六则
　　方环截外周
　　设方环田外方七十步自外截积二千四百步求截
　　环内方法曰置元方自乘〈得四千九百步〉减
　　去截积〈馀二千五百步〉平方开之得五十步
　　即所求
　　解曰馀环外方即截环内方
　　五十七则
　　方环截内周
　　设方环田内方三十步自内截积一千六百步求截环外方法曰置内方自乘〈得九百步〉与截积并〈得二千五百步〉平方开之得五十步即所求
　　解曰内方自乘者补环内虚形以便开方也











　　数学钥卷一
<子部,天文算法类,算书之属,数学钥>