数度衍 (四库全书本)/卷12

数度衍　卷十二

　　钦定四库全书
　　数度衍卷十二
　　桐城　方中通　撰
　　开平方〈少广之七〉
　　珠算开平方法
　　通曰四算中惟尺算不便于开方而珠笔筹法亦不同故分衍之
　　式横叁百贰十肆问平方一靣几何曰十八术列实于卯辰己下约初商一十置子位亦置未位为方法左右相呼曰一一如一除实一百卯位叁变二馀实二百二十四以方法一十倍为二十为廉法变未位一为二约次商八置丑位亦置申位为隅法先左右二八相呼曰二八一十六除实一百六十卯位实尽辰位贰变六馀实六十四次左右八八相呼曰八八六十四
　　除实六十四辰己二位实尽则所商之一十八即方靣也
　　通曰次商与初商不同须视实内除廉外尚有隅之自乘否如次商八除二八一百六十之外馀实尚有六十四可除隅八之自乘故用八若止馀六十三则不用八而用七矣
　　归除开平方式积五万四千七百五十六问平方一靣几何曰二百三十四术置实盘中初商二百置实首左位另置二百于右左右相呼曰二二如四除实四万馀实一万四千七百五十六以右二百倍作四百为法归除之呼曰四一二馀二逢四进一十得三十为次商置右四百之下呼曰三三如九除实九百馀实一千八百五十六又以右下三十倍作六十共四百六十为法归除之呼曰四一二馀二逢八进二十得四为三商置右六十之下呼曰四六二十四除实二百四十呼曰四四一十六除实十六实尽变为二百三十四即方面也
　　笔算开平方法
　　式积贰千壹百壹十㭍万捌千肆百○肆问平方一靣几何曰四千六百○二术列实八位从末位肆下作点隔位一点共四知有四回商数也实首点在次位以贰壹相连作二十一者然也应用自乘有几十几数者为商今初商用四注初点下亦纪格右相呼四四一十
　　六于实贰千壹百内除一千六百
　　抹去贰壹变伍完首叚矣馀实伍
　　百壹十㭍万捌千肆百○肆第二
　　叚实至次止曰伍壹㭍先立廉
　　法倍初商四为八注实壹下空次
　　点一位以待隅法乃商伍十壹内
　　〈作五十一〉有六回八即用六为次商纪初商四右亦注六于次点下为隅法如八十六者然也乃与次商相呼先呼六八除实四百八十抹去伍壹变叁又呼六六除实三十六万抹去叁㭍变壹完第二叚矣馀实壹万捌千肆百○肆第三叚实至三点止曰壹捌肆其格右四六倍作九十二为廉法注九于实壹下二于实捌下空三点一位以待隅法壹内不可除九遇此则知商有○位竟作○于商数四六之右以作第三商完第三叚矣馀实如故第四叚实至四点止曰壹捌肆○肆其格右四六○作四百六十倍作九百二十为廉法注九于实捌下二于实肆下○于实○下空四一位以待隅法乃商壹十捌内〈作一十八〉有二回九即用二为四商纪商数四六○之右亦注二于四点下为隅法如九千二百○二者然也乃与四商相呼先呼二九除实一万八千抹去壹捌又呼二二除实四百抹去肆又呼二二除实四数抹去肆实尽完四叚矣则格右之四六○二即方面四千六百○二也
　　通曰初商点在实首者三以前用一八以前用二九则当用三点在实首次位者十五以前用三二十四以前用四三十五以前用五四十八以前用六六十三以前用七八十以前用八九十九以前用九满百则点又在实首矣
　　用命分式　术倍前商数加一为母馀实为子依法命之如设积六十开方初商七除实四十九馀实十一今倍前商七作十四加一得十五为母以馀实十一为子命曰七又一十五之一十一而缩试并初商及分数自之用奇零整带零与整带零乘法〈详笔算下〉得二二五之一三四五六以一三四五六为实以二二五为法除去四十九回二二五馀二四三一得四十九又二二五之二四三一也其二四三一之内尚有十回二二五如亦归整并四十九为五十九又二二五之一八一则不及原积六十矣故曰缩若倍初商不加一为母命为十四之十一试自之得六十又一九六之一四一则又过原积而盈矣举成数可也又术如开方不尽实又欲得其小分则通为小数须于馀积之右加两○化一为百也如法开之得根数当命为一十分之几分也或加四○化一为万开得根数命为一千分之几分也如设积六十巳商七不尽实十一欲得其细分于右加六○是十一化为一千一百万也如法开之又得商七四当命为一千分之七十四也
　　奇零开平方式　术凡开方不尽实用命分第一术又不尽者用盈不足对稽可也如实二十者初商四除实十六馀实四依命分法立子母化初商用整带零与整带零乘法得八十一之一千六百以小除大当以八十一除一千六百也除得一十九零八十一之六十一〈一千六百内有十九回八十一馀六十一〉又不尽者八十一之二十必须另立一法〈满八十一则归整一数止得六十一尚馀二十〉用盈不足对稽如前用四自乘盈四用五自乘又不足五也以不足五对前四又九九之四〈前四者初商也九之四者倍初商加一为母九馀实为子曰九之四〉而以少减多〈以五为原数以四又九之四为减数〉用奇零整内减整及零法馀九乏五乃以前四零九之四倍之为八零九之八并入减馀九之五除去整八在外
　　以九之五与九之八相并用奇零同母加法归整得一
　　零九之四乃以在外之整八并
　　入一为九得九零九之四也又
　　以此九零九之四为除数以前馀未尽八十一之二十〈馀实也〉为原数用奇零整带零除零法除得六千八百八十五之一百八十也又
　　以此除得数与前九之四十相并〈九之四十者倍初商四加一共九为母馀
　　实四为子曰九之四又用化法以初商四乘母九得三十六再
　　并子四得四十是以四零九之四化为九之四十也〉用奇
　　零异母加法子母互乘并母并
　　子得六万一千九百六十五之二十七万七千○二十也归整以少除多母数少为法除二十七万七干○二十得四尚馀二万九千一百六十是为四零六一九六五之二九一六○也约之得十七分之八乃知实二十者开方得四零十七分一之八也
　　通曰以开方得四化之每一数作十七共化为六十八
　　又并入八得七十六为平方一面
　　之数也自乘得五千七百七十六
　　为方积实二十亦化之每一数作
　　十七之自乘共化为五千七百八十较之方积则多四也即以初商四后之馀实四化为一千一百五十六以二廉及隅较之先并八与十七相乘之数八得一千○八十八又并八自乘共得一千一百五十二又少四也则馀实有终不能尽者矣
　　又术以四开二十不尽今用四零二之一以求之倍初商四得八为母以不尽实四为子曰四零八之四约之
　　得四零二之一化之得二之九
　　〈以四乘母二得八加子一共九故化为二之九〉母子各
　　自乘得四之八十一归整以母四除子八十一得二十零四之一则实不足矣另置
　　四之一为实将前四零二之一倍数得九为法除之以九立一为母曰一之九倒位曰九之一与四之一相乘母乘母子乘子得三十
　　六之一又将三十六之一与前二之九相并两母相乘得共母七十二母子互乘得各子一曰七十二之二一曰七十二之三百二十四又相减于三百二十四内减二馀三百二十二是七十二之三百二十二也再以七十二为法除三百二十二归整得四零七十二之三十四约为四零三十六之一十七
　　筹算开平方法〈见前筹算〉
　　平方积较和开法
　　平方长阔不等者以长阔相乘为实积以长阔相减为较以长阔相并为和
　　积和求较式积八百六十四长阔和六十问长多阔几何曰十二术以和六十自乘得三千六百四因积得三千四百五十六相减馀一百四十四平方开之得一十二为长多于阔之较
　　通曰积者勾股相乘之直积也此乃积与勾股和求勾股较之法
　　积较求和式积八百六十四阔不及长十二问长阔和共几何曰六十术四因积得三千四百五十六不及十二自乘得一百四十四相并得三千六百平方开之得六十为长阔和
　　通曰此乃积与勾股较求勾股和之法衍此二式以起后法
　　平方积较求阔
　　积与较求阔者其长之积多于阔若非加法以带除其长当于实积内抽减其长之积故其法有二一以较为纵方并纵入方曰带纵开平方一以较为减积以方乘减曰减积开平方
　　一带纵开平方法
　　式直积捌百陆十肆阔不及长壹十贰问阔几何曰二
　　十四术列实定点以带纵壹十贰随
　　实首列之初商二纪格右亦列首点
　　下并纵首壹为三抹二壹而注三相
　　呼二三除实六首位实捌变二又呼
　　二贰除实四次位实陆变二完首馀实二百二十肆倍初商二为四作廉法列次位实下此退位列也亦退位列带纵以廉四并纵壹为五抹四壹而注五次商四纪格右亦注末点下为隅法以隅四并纵贰为六抹四贰而注六相呼五四除实二十抹首位馀实二又呼四六除实二十四次位馀实二三位实肆皆抹去实尽所商二四即阔二十四也
　　又式　术如实贰十叁万○肆百纵㭍百贰十初商可用四但纵首㭍并四为十一实首贰叁无四十四可除
　　遇此须减商作二〈三亦多故用二〉纪格右亦注
　　首点下并纵㭍为九抹二七而注九
　　相呼二九除实一十八抹贰叁变五
　　又呼二贰除实四五变四○变六完
　　首叚馀实四万六千肆百倍初商二作四为廉法列实○下又列纵于廉下次商四纪格右亦注次点下为隅法以廉四并纵㭍为十一抹四㭍而注一左位又注一〈此十也〉以隅四并纵贰为六抹四贰而注六乃以次商四呼首一曰一四除实四抹四又呼次一曰一四除实四六变二又呼四六除实二十四二肆皆抹去实尽尚有末点未开当于格右纪○以作三商则知直方阔二百四十长九百六十也
　　通曰以阔并纵得长也
　　又式　术若实数首位寡而带纵数多不能开者虽点在首位亦退一位列商纵而减一商也如实壹万陆千壹百贰十捌带纵㭍十贰数多即减一商〈三点止两商也〉退列纵于次点下起初商九纪格右亦注次点下并纵㭍为十六抹九㭍而注六左位注一相呼一九除实九抹
　　首壹陆变七又呼六九除实五十
　　四七变一壹变七又呼贰九除实
　　一十八七变五贰变四完首倍
　　九得一十八为廉法列之退列纵
　　次商六纪格右亦注末点下为隅法以廉八并纵㭍为十五抹八㭍而注五左位进一并廉一为二以隅六并纵贰为八如法呼除实尽得阔九十六长一百六十八又式　术其实首数多带纵数少可以开除者仍照所点叚位开之如实叁万捌千肆百带纵贰百首位叁自为一叚初商一纪格右注首位下并纵贰为三呼一三除实叁完首倍一作二为廉注次位并纵贰为四次商二纪右注次点下为隅呼除实尽尚剩一点未开商后加一○得阔
　　一百二十长三百二十
　　又式　术若点开位少而带纵位反多〈加三点该百而带纵至千之类〉以初商置首点下以带纵大数进左列之〈必首叚系二位者方有此例〉如实壹十玖万捌千带纵壹千伍百叁十遇此则列纵亦须以百随百而进千矣初商一纪右注首点下
　　次纵伍当随一下列之〈初商一百也次纵伍亦百
　　也〉首纵壹进列首位下以初商一并
　　纵伍为六先与纵壹呼一壹除实壹
　　再呼一六除实六再呼一三除实三
　　完首倍初商一作二为廉注三位实下带纵壹退从次位起列伍于廉二下并为七次商二纪右注次点下并纵叁为五依法与次商呼除又加一○得阔一百二十长一千六百五十
　　又式　术带纵并商数有共一十者进位再并可也如
　　实㭍万贰千纵肆百捌十点在
　　首位初商一纪右注首点下纵
　　首随列以一并纵肆为五呼除
　　毕馀实一万四千倍初商作二为廉注次位纵亦次列并二肆为六次商二纪右注次点下先呼二六除十二首位馀实一抹去次位馀四变二然后以商二为隅者并纵八为一十进位注一本位注○乃呼一二除二实尽又加一○得阔一百二十长六百
　　通曰既列次商带纵先以廉二并纵肆为六又以隅二并纵捌为一十进一于所并六下以一六并为七然后以次商二与七相呼二七除一十四抺首位馀实一次位馀实四亦便
　　又式　术若实数纵数商数俱多者杂糅易淆务须先将带并之数逐一归并各注本位之下乃以呼除始不
　　紊乱如实壹十陆万
　　陆千肆百陆十肆纵
　　壹千○捌十捌初商
　　一纪右注初点下三
　　点知初商系百位以纵百位○随列初商下列纵壹千于进位初商一与纵○无并仍是一先以右一与纵壹呼一壹除一又以右一与商一呼一一除一又以右一与纵捌呼一捌除八又以右一与纵尾捌呼一捌除八完首馀实四万七千六百陆十肆倍初商得二为廉注三位实下退列纵数以相并廉二与纵○无并仍是二次商三纪右注次点下并纵捌为一十一改三捌为一进位○下注一又改二○一为三并毕须以最下横列之壹三一捌为主皆与右三相呼除实也除毕完次叚馀实八千一百二十肆倍前商一三作二十六为廉空末点位以待隅注而以六注第五位实下二注第四位实下退列纵数以相并先以廉六并纵捌得一十四注四于捌下进位注一又以廉首二并所进一得三改二○一为三三商六纪右注末点下并纵末捌得一十四改六捌为四进位四加一改作五并毕以最下横列之壹三五四为主皆与右六相呼除实也除毕实尽得阔一百三十六长一千二百二十四
　　通曰凡图最上为馀实最下为并纵并纵者并廉隅纵为开方之法数也右七式用前积较求和之法得和减纵半之即阔然其变不可不知耳求长亦然
　　二减积开平方法
　　减积者于实内减股之积以就其方也〈股即长也〉式直积捌百陆十肆阔不及长壹十贰问阔几何曰二
　　十四术列实点位另将不及壹
　　十贰为减积以商数乘之而列
　　乘数初商二纪右注首点下乘
　　减积得贰十肆随位列之相对减原积首位实捌减贰馀六次位实陆减肆馀二馀实六百二十肆然后以初商呼除二二除四首位馀实六变二完首叚馀实二百二十肆倍初商二得四为廉注次位实下次商四纪右注末点下为隅以隅乘减积得肆十捌亦随位列之相对减馀实首次两位馀实二十二减肆首位二变一次位二变八次三両位馀实八十肆减捌次位八变七三位肆变六共馀实一百七十六然后以次商与廉隅呼除四四除一十六抺首位馀实一次位七变一又呼四四除一十六抺次位一三位六实尽得阔二十四通曰凡定商数须减积后馀实视有商数之自乘否勿以原实定商也初商列初点下初乘首数亦随初点下列之二叚廉退初商一位则次乘亦退一位也
　　平方积较求长
　　积与较求长者其阔之积少于长若非益积以补阔则当损其法之长也求法有二以较为负纵乘上商以添积曰负纵益积开平方以较为减纵而以负纵减方法曰带减纵开平方
　　一负纵益积开平方法
　　式直积捌百陆十肆阔不及长壹十贰问长几何曰三
　　十六术列实点位另列不及壹
　　十二为负纵而初商则约所増
　　负纵之乘商之如首位捌开法
　　宜用二因有负纵之乘乃商三
　　纪右注首位下为方法而以乘负纵得叁十陆注叁于首位陆于次位以并原积捌陆〈作八十六〉得一二二〈作一百二十二〉次位陆变二首位捌变二进位置一〈实首左位〉益积得一千二百二十肆乃以方法呼除三三除九完首叚馀实三百二十肆倍三作六为廉注次位次商六纪右以乘负纵得㭍十贰退位列之〈退初乘位〉以并馀积三二肆〈作三百二十四〉得三百九十六末位肆变六次位二变九另置一算为负隅以次商六乘之仍得六为隅法乃以次商呼除六六除三十六又呼六六除三十六实尽得长三十六
　　通曰甲戊己丁形原积八
　　百六十四也戊乙丙己形
　　益积四百三十二也甲戊
　　阔二十四甲乙长三十六
　　戊乙乃长阔之较十二合成甲乙丙丁形乃股羃也股
　　即长也初商三十自乘得九百
　　二廉阔六长三十又各相乘得
　　一百八十隅六自乘得三十六
　　又式　术直积贰十叁万○肆
　　百长阔较㭍百贰十列实点位
　　列较为负纵初商九〈九百〉纪右注
　　首点下为方法以乘负纵得陆
　　肆捌〈六万四千八百〉以益积随首列之共加得实为八七八肆○○以方法呼九九除八十一完首叚馀实六八肆○○倍九得一十八为廉注八于次点之进位注一于首点下次商六〈六十〉亦乘负纵得肆叁贰〈四千三百二十〉以益馀积退位列之共加得馀实为一一一六○○又以次商六乘负隅一仍得六注本叚点下为隅法乃呼一六除六六八除四十八六六除三十六实尽尚馀一点作○得长九百六十
　　二带减纵开平方法
　　式直积捌百陆十肆阔不及长壹十贰问长几何曰三十六术列实另列不及壹十贰为负纵初商三〈三十〉纪右以负纵减之馀一十八挨注首点下为方法先呼三八除二十四八上陆变二进位捌变六后呼一三
　　除三一上六变三〈先呼一三亦可〉馀实三百二十肆乃于另列初商三右加○〈作三十〉以并方法得四十八为廉注次位次商六纪右注末点下为隅而并入廉内得五十四六八并改四进位四改五乃呼次商五六除三十四六除二十四实尽得长三十六　若商数减后首位多于实首亦照例退位
　　通曰初商三十减纵得十八相乘除积五百四十次商六并方法为廉四十八〈二廉共长四十八也〉相乘除积二百八十八隅六自乘除
　　积三十六
　　又式有两方共积若干第云以小方之一靣乘大方之一面共若干问两方面各几何者如大小二方共积六千五百二十九以小方大方各一边相乘得叁千壹百贰十先倍两方乘积得六千二百四十以减共积馀二百八十九平方开之得较壹十㭍乃列二方乘数为实以较为负纵初商六〈六十〉纪右以负纵减之馀四十三注初点下为方法呼初商四六除二十四三六除
　　一十八馀实五百四十又于初商六右加○〈作六十〉以并方法得一百○三为廉注下〈以末三齐次点止〉次商五纪右注尾点为隅并入廉内共一百○八乃呼次商一五除五五八除四十实尽得大方面六十五以较一十七减之得小方面四十八
　　通曰甲乙丙丁大方形也丁壬戊癸小方形也以丙丁边乘丁癸边得丙丁癸己形倍之得庚辛己癸形以减共积乙壬戊癸甲磬折形则以丙壬戊己形补甲子丑庚形而
　　后减之馀乙子丑辛形为较羃也甲乙六十五减甲子四十八馀乙子一十七
　　平方积和求阔
　　积与和求阔者以和为纵方一为负隅和并一长一阔积得一长而少一阔故用一为负隅其法有二或益隅于积乘负隅为方法又乘方法以益积曰带纵益隅开平方或减隅于积乘负隅以减纵命馀纵以除实曰带纵负隅减纵开平方
　　一带纵益隅开平方法
　　式直积捌百陆十肆长阔和陆十问阔几何曰二十四
　　术列实以和为带纵初商二〈二十〉纪右
　　注首点下自乘得四百为负隅以益
　　积共加得实一千二百陆十肆乃以
　　初商呼带纵曰二陆除实一千二百
　　馀实陆十肆倍方得四为廉注次位次商四纪右注尾点为隅以次商乘廉四十得一百六十又以次商乘隅四得一十六皆并入馀实共加得馀实二百四十乃以次商呼带纵曰四陆除实二百四十实尽得阔二十四
　　通曰甲乙丙丁形原积也丁丙
　　己戊形益隅方积也子方初商
　　二十自乘得四百丑寅二廉各
　　长二十与次商四相乘各得八十共为一百六十卯隅四自乘得十六共益积五百七十六也戊庚二十庚己四戊至己共二十四为阔乙丙三十六为长乙至己共六十为和
　　又式　术又如直积贰万壹千陆百肆十捌长阔和贰
　　百玖十陆列实点位置和为
　　带纵初商一〈一百〉列右为初方
　　法注首点下自乘得一万以
　　益积首位贰变三乃以初方
　　法呼带纵除实一贰除二首位三变一一玖除九次位壹变二进抺一一陆除六三位陆变○馀实二千○肆十捌倍方得二为廉注退位次商三纪右为次方法注次点下为隅廉隅共二百三十以乘次方法三十得六千九百益入馀积三上○变九二上二变八共加得馀实八千九百肆十捌乃以次方法呼带纵贰三除六二上八变二三玖除二十七三上九变二进抺二三陆除一十八四位肆变六进抺二馀实六十捌又倍次方法得六为次廉注退位〈第四位也〉并入前廉二百得二百六十三商二纪右为三方法注尾点下为隅次廉隅共二百六十二以乘三方法二得五百二十四益入馀积尾捌变一进位六变九又进位加五共加得馀实五百九十二乃以三方法呼带纵二贰除四二上五变一二玖除一十八六上九变一进抺一二陆除一十二实尽得阔一百三十二
　　二带纵负隅减纵开平方法
　　式直积捌百陆十肆长阔和陆十问阔几何曰二十四
　　术列实点位置和为纵方初商二纪
　　右注首点下以乘负隅一仍得二为
　　方法以减纵陆○馀四○随首位注
　　之呼初商二四除八抺捌馀实陆十肆倍方二得四为廉注退位亦乘负隅一仍得四〈四十〉以减纵陆○馀二○注下次商四纪右注末点下为隅又以隅四减馀纵二十馀一十六附注乃与次商相呼一四除四四六除二十四实尽得阔二十四　或初商除实讫即以初商再减馀纵以所馀为纵方以次商再减为下法亦可盖倍初商为廉以减原纵与以初商减馀纵之馀数相同即可不立廉矣
　　通曰甲乙癸子全形乃和与阔相乘之形也内甲乙丙
　　己戊丁磬折形为原积此外
　　皆负积也初叚减壬癸纵二
　　十次叚减丙辛纵二十又减
　　辛壬纵四馀乙丙纵十六乃原积形内之数故不减今以原积形内之干形补原积形外之坤形而成甲乙辛寅形得阔二十四长三十六
　　又式　术列实陆万玖千叁百陆十长阔和㭍百捌十贰为纵初商一〈一百〉乘负隅一仍得一以减纵㭍馀六随首列馀纵六捌贰与初商相呼一六除六一捌除八一
　　贰除二馀实一千一百陆十倍方得
　　二为廉〈二百〉注退位以减纵馀五捌贰
　　退位附列而纵馀五多于实馀一遇
　　此纪○于右作次商倍方一○得二
　　为廉〈二百〉注次点下以减纵馀五捌贰退位附列三商二注尾点为隅以馀纵与次商相呼二五除一十二捌除一十陆实尽得阔一百二十
　　通曰纵尾贰须先以隅二减之纵馀止五捌○也又式　术若以积与虚长阔共若干而欲求其阔及长者如直积捌百陆十肆三长五阔共二百二十八求阔者以三乘直积得贰千伍百玖十贰为实〈三长原有三积故以三乘〉五为负
　　隅〈暗添五阔之积〉以共贰百贰十捌为带纵列实点位初商二乘负隅五得一十〈一百〉以减纵首贰馀一随首列馀纵一贰捌与初商相呼一二除贰二贰除四二捌除一十六馀实三十贰又以初商二乘负隅五得一十〈一百〉减馀纵首一止馀纵贰捌〈即倍方为廉也〉次商四乘负隅五得二十再减馀纵贰十止馀捌注末点下以呼次商四捌除三十贰实尽得阔二十四
　　如右式求长者以五乘直
　　积得肆千叁百贰十为实
　　以三为负隅以共贰百贰
　　十捌为带纵初商三以乘负隅三得九〈九十〉以减纵馀纵一百三十捌挨注首位下与初商相呼一三除三三三除九三捌除二十四馀实一百八十复以初商三乘负隅三得九〈九十〉以减馀纵止馀四十捌次商六亦乘负隅三得一十八以减馀纵止馀三十注馀实下与次商相呼三六除一百八十实尽得长三十六
　　又式　术又有以积与虚长阔和较共若干求阔及长者如直积八百六十四一长二阔三和四较共叁百壹
　　十贰数乃约三和自具三长
　　三阔以并一长二阔共四长
　　五阔又以四较益阔为四长
　　共得八长而馀一阔求阔者以八长乘直积得陆千玖百壹十贰为实以一阔为负隅以共数为带纵初商二以乘负隅一仍得二〈十也〉以减纵馀纵二百九十贰列实下以呼初商二二除四二九除一十八二贰除四馀实一○七贰又以初商二乘负隅一得二十以减馀纵止馀二百七十贰次商四又乘负隅一得四以减馀纵止馀二百六十八列馀实下与次商相呼除实尽得阔二十四　求长者以一阔乘直积为实以八长为负隅也当用翻法详后
　　又式　术又有以虚长虚阔约其子母共若干与积若干求长阔者如直积二千三百五十二只云长取八之五阔取三之二并得六十三以两母互乘三八得二十
　　四以乘并得之六十三得壹千
　　伍百壹十贰为带纵而以长母
　　八乘阔子二得十六为阔率以
　　阔母三乘长子五得十五为长
　　率则知此带纵数内具有长十五阔十六也求阔者以长一十五乘直积得叁万伍千贰百捌十为实以阔一十六为负隅初商四〈十也〉乘负隅得六百四十以减纵馀纵八百七十贰注实下与初商相呼四八除三十二四七除二十八贰四除八馀实四百又以初商所乘隅算之六百四十减馀纵止馀二百三十贰次商二乘负隅得三十二亦减馀纵止馀二百列馀实下与次商相呼二二除四实尽得阔四十二以除直积二千三百五十二得长五十六
　　通曰以长十五乘积为实有三点而直积之二三五二止两点仍以直积定商位故知初商为十也馀纵列位常随实首今纵八多于实首三故照例退位
　　平方积和求长
　　积与和求长者原积有长阔相乘而无长自乘宜损阔以益长故以和为纵方而置一算为负隅稍赢其商以减其纵用减馀者以除积而积常不足则翻以积减纵而馀为负积或再商命隅以减纵而纵反不足亦翻以纵减商而馀纵三者俱负乃以负纵约馀负积商命负隅开之是为带纵负隅减纵翻法开平方也
　　带纵负隅减纵翻法开平方法
　　式直积捌百陆十肆长阔和陆十问长几何曰三十六术列实以和为纵方一为负隅初商三乘负隅仍得三十以减纵馀三十列实下与初商相呼三三应除九百
　　〈三十其三十也〉而实数不足遇此则翻列九
　　百于原积之上而以原积捌百陆十
　　肆减之馀负积三十六即为馀实再
　　以初商乘负隅之三十减馀纵减尽乃约馀实得次商六以乘负隅一仍得六注尾点呼次商六六除三十六
　　实尽得长三十六
　　通曰己丙丁戊形初商馀纵相乘之
　　九百也内减去己壬庚辛丁戊磬折
　　形原积八百六十四馀壬丙辛庚形
　　三十六在原积之外也以子形移至丑形成甲乙癸戊形得阔二十四长三十六
　　又式　术如直积叁千肆百伍十陆长阔和壹百贰十
　　求长者列实以和为纵一为负隅
　　初商七乘负隅仍得七十减纵馀
　　五十与初商相呼五七应除三千
　　五百而原积不足乃翻以三千五
　　百列上而以原积减之馀四十四为馀实又以初商所乘之七十减馀纵而馀纵亦不足乃翻以馀纵五十减初商乘数七十馀二十为廉注三位下而纵又为负次商二注尾点为隅廉隅共二十二呼次商除之实尽得长七十二
　　又式　术有虚立长阔和较求长者如直积捌百陆十肆一长二阔三和四较共叁百壹十贰依前法衍得八
　　长一阔以一阔乘直积为实
　　捌长为负隅共数为纵方列
　　实初商三乘隅捌得二百四
　　十以减纵馀七十贰列实下呼初商三七应除二千一百六十而积不足乃翻以二一六列上〈二乃千数故进位〉而以积减之馀负积一千二百九十六即为馀实又以初商所乘之二百四十减馀纵而馀纵亦不足亦翻以馀纵七十贰减之馀负纵一百六十八次商六乘负隅捌得四十八又并入负纵一百六十八得二百一十六列实下以呼次商除之实尽得长三十六
　　通曰凡减法原以小减大故宜用翻法也
　　平方带纵诸变
　　纵方之术所以通平方之变而翻法一术又所以通纵方之穷此外有积与二阔较及长阔较求阔者皆以错综为用以取其条理也衍之于左
　　一带纵减积开平方法
　　式三广田积贰千肆百陆十伍步云中广不及南广八
　　步亦不及北广三十六步又不及
　　正长六十七步问三广各几何长
　　几何曰中广十八步南广二十六
　　步北广五十四步正长八十五步
　　术列积为实并不及二广共四十四以四除之得壹十壹为带纵以不及长陆十㭍为减积初商一〈十也〉并带纵得二十壹随首点列之为方法以乘减积得一千四百○七依千百位列实下先以此呼初商一一除一一四除四一七除七馀实一○五八次以方法二壹呼初商一二除二一壹除一完首叚馀实八四八倍初商一作二为廉并带纵壹十壹及减积陆十㭍共九十八为方法注退位次商八注末点并方法得一百○六列下呼次商一八除八六八除四十八实尽得中广一十八各加不及合问
　　通曰初叚以乘减积数依列位并方法为一六一七呼除亦便
　　二减积带纵负隅并纵开平方法
　　式大小二方共积七千五百九十二大方面较小方面
　　多二十八问大小方面各几何
　　曰大方面七十四小方靣四十
　　六术较自乘得七百八十四以
　　减积馀陆千捌百○捌为实倍较得伍十六为带纵二为负隅初商四乘负隅二得八十并纵共一百三十六为方法注积下呼初商一四除四三四除一十二四六除二十四馀实一三六捌倍初商作八十并初方一三六共二百一十六为廉注退位次商六亦乘负隅二得一十二为隅并入廉内共二百二十八呼次商除之实尽得小方靣四十六加较得大方靣七十四
　　又式　术如大小三方共积四千七百八十八大方面
　　多小方靣三十中方面多小
　　方面十二〈大方面多中方面十八也〉求各
　　面者以较三十自乘得九百
　　以较十二自乘得一百四十四相并得一千○四十四以减共积馀叁千㭍百肆十肆为实并二较得四十二倍得捌十肆为纵以三为负隅初商二乘负隅三得六十并纵共一百四十四为方法列实下呼初商一二除二二四除八又二四除八馀实八百六十肆倍初乘隅六十得一百二十为廉并纵得二百○四注退位为方法次商四乘负隅三得一十二为隅并方法共二百一十六呼次商除实尽得小方靣二十四加较十二得中方面三十六又加较十八得大方面五十四
　　通曰负隅用二者二方故也用三者三方故也
　　三隅算开平方法
　　凡圆者之四可当方者之三并方圆之率为七用七为隅算以求之
　　式方圆共积二千二百六十八方面圆径相等问靣径
　　俱几何曰方面圆径俱三十六
　　术四乘原积得玖千○㭍十贰
　　为实列七为隅算初商三乘隅
　　算七得二百一十为方法呼初商二三除六一三除三馀实二七㭍贰倍初商得六十为廉次商六乘隅算七得四十二为隅又以次商六乘廉六十得三百六十并隅得四百○二又并入廉六十共四百六十二呼次商除实尽得方面圆径俱三十六又术以四乘原积得九千○七十二并方四圆三得七为法除之得一千二百九十六为实平方开之得三十六更捷
　　四带纵隅益积开平方法
　　式方不知积但以长乘一长二阔三和四较之共数得肆万肆千玖百贰十捌长阔较贰十肆问长几何曰七
　　十二术列所乘共数
　　为实置较为益纵约
　　三和得三长三阔以
　　并一长二阔得四长
　　五阔又并四较取四阔为长总得八长一阔共九叚以九为负隅初商七乘负隅九得六百三十为隅法又以初商七乘益纵二十四得一千六百八十注实下以益积共加得实肆万六千六百○捌却以隅法六百三十注实退位与初商相呼六七除四十二三七除二十一馀实二五○捌乃倍隅法六百三十得一千二百六十为方法注实退位次商二又乘负隅九得一十八为隅法另以次商二乘益纵二十四得四十八并入馀实共加得馀实二五五六却以方隅并得一千二百七十八与次商相呼除实尽得长七十二
　　五带纵负隅减纵开平方法
　　同右法或损长以就之则用此也
　　式一长二阔三和四较以长乘之得肆万㭍千贰百壹十贰长阔较二十八问长几何曰七十四术列实较为
　　纵如右式推得九为负隅初商
　　七乘负隅九得六百三十为方
　　法内减带纵二十八馀六百○
　　二退位注呼初商六七除四十
　　二二七除一十四馀实五○七贰倍方法六百三十得一千二百六十内减带纵二十八馀一千二百三十二为廉列馀实下次商四乘负隅九得三十六为隅法并廉共一二六八呼次商除实尽得长七十四
　　六减积带纵隅益积开平方法
　　又有同前不知积知较而以阔乘其一长二阔三和四较之共数得若干求长者用此
　　式设有一长二阔三和四较之共数以阔乘之得二万
　　九千九百五十二其较二十
　　四问长几何曰七十二术以
　　较自乘得五百七十六以减
　　原乘积馀贰万玖千叁百㭍
　　十陆为实较为益纵六为隅算初商七乘隅算六得四百二十为隅法注实下又以初商七十乘益纵二十四得一千六百八十以益原实得三万一千○五十陆乃以隅法呼初商四七除二万八千二七除一千四百馀实一千六百五十陆倍隅法四百二十得八百四十为廉次商二乘隅算六得一十二为隅法另以次商二乘益纵得四十八以益馀实得一千七百○四乃并廉隅二法共八百五十二注馀实下呼次商除实尽得长七十二
　　七带纵负隅减纵益积开平方法
　　通曰右式亦可以此法求之
　　式设有一长二阔三和四较之共数以阔乘得贰万玖
　　千叁百肆十捌长阔较二十
　　八问长几何曰七十四术列
　　实较为纵九为负隅〈如前法〉初
　　商七乘负隅得六百三十为
　　方法内减纵二十八馀六百
　　○二注实下又以乘纵得一万六千八百五十六以益原实得四万六千二百○四为实乃以初商与馀方法六百○二相呼六七除四万二千二七除一百四十馀实四千○六十四倍方法六百三十得一千二百六十减纵馀一千二百三十二为廉次商四乘负隅得三十六为隅法以乘纵得一千○八以益馀实得五千○七十二为馀实并廉隅二法共一千二百六十八与次商相呼除实尽得长七十四
　　八带纵廉开平方法
　　式一长二阔三和四较以阔乘得贰万玖千玖百伍十贰长阔较二十四问阔几何曰四十八术列实减较之半得一十二为纵廉而以初商乘之初商四十为方法以乘纵廉得四百八十又并初商得五百二十退位注实下呼初商五四除贰万二四除八百馀实玖千一百伍十贰倍所乘纵廉四百八十为九百六十倍方法四十
　　为八十相并得一千○四十为方法次商八为隅以乘纵廉十二得九十六再并入方隅共一千一百四十四注实下呼次商除实尽得阔四十八
　　九带纵廉负隅开平方法
　　通曰右式亦可以此法求之
　　式一长二阔三和四较以阔乘得贰万玖千叁百肆十
　　捌长阔较二十八问阔几何曰
　　四十六术列实推得共八较九
　　阔用九为负隅以八乘较得二
　　百二十四为纵廉初商四乘负
　　隅九得三百六十为方法并纵廉共五百八十四注实下呼初商五四除贰万四八除三千二百四四除一十六馀实五千九百八十捌倍方法三百六十为七百二十为廉并纵廉共九百四十四次商六乘负隅九得五十四为隅再并入廉并纵廉之九百四十四得九百九十八注实下呼次商除实尽得阔四十六
　　十带纵方廉开平方法
　　式一长二阔三和四较以长乘得肆万肆千玖百贰十
　　捌长阔较二十四问阔几何
　　曰四十八术列实以较为纵
　　方推得八长一阔共九倍
　　九为一十八作纵廉初商四
　　十为方法乘纵廉十八得七百二十并入方法四十共七百六十又并入纵方二十四共七百八十四注实下呼初商四七除二万八千四八除三千二百四四除一百六十馀实一万三千五百六十捌倍纵廉乘并之七百六十为一千五百二十并入纵方二十四共一千五百四十四为廉次商八乘纵廉十八得一百四十四为隅乃将次商八廉一千五百四十四隅一百四十四共并得一千六百九十六注实下呼次商除实尽得阔四十八
　　十一带纵廉负隅乘纵减实开平方法
　　式一长二阔三和四较以长乘得肆万㭍千贰百壹十
　　贰长阔较二十八问阔几
　　何曰四十六术列实推得
　　八长九用八乘较得二
　　百二十四为纵廉用九为
　　负隅又以较二十八为减纵方初商四十乘负隅九得三百六十为方法并入纵廉共五百八十四为下法以乘减纵二十八得一万六千三百五十二以减实馀三万○八百六十为实乃以下法五百八十四列下呼初商五四除二万四八除三千二百四四除一百六十馀实七千五百倍方法三百六十得七百二十并纵廉二百二十四共九百四十四为廉次商六乘负隅九得五十四为隅又以乘减纵二十八得一千五百一十二以减馀实馀五千九百八十八为馀实乃将廉九百四十四隅五十四共并得九百九十八列下呼次商除实尽得阔四十六
　　通曰正积可以点定位乘积亦可以点定位故列乘积三点而商止二位耳盖乘积虚増而非实有也
　　开平圆〈少广之八〉
　　积求外周法
　　式圆积二千三百五十二问外周几何曰一百六十八术置积以十二乘之得二万八千二百二十四为实平方开之得一百六十八为外周也
　　积求内径法
　　式圆积二千三百五十二问内径几何曰五十六术置积以四乘之得九千四百○八以三除之得三千一百三十六为实平方开之得五十六为内径也








　　数度衍卷十二
<子部,天文算法类,算书之属,数度衍>