数度衍 (四库全书本)/卷13

数度衍　卷十三

　　钦定四库全书
　　数度衍卷十三
　　桐城　方中通　撰
　　开立方〈少广之九〉
　　珠算开立方法
　　式积一百九十五万三千一百二十五问立方一面几何曰一百二十五术置积盘中约初商一百别立下法亦置一百以初商自乘再乘得一百万以减实馀九十五万三千一百二十五以三乘下法一百得三百为方
　　法列右次商二十
　　置下法一百之次
　　共一百二十又以
　　次商乘之得二千
　　四百为廉法再以
　　方法三百乘廉法
　　得七十二万以减
　　馀实尚馀二十三
　　万三千一百二十五又以次商自乘再乘得八千为隅法以减馀实尚馀二十二万五千一百二十五以三乘下法一百二十得三百六十为方法列右三商五置下法一百二十之次共一百二十五又以三商乘之得六百二十五为廉法又以方法三百六十乘廉法得二十二万五千以减馀实尚馀一百二十五又以三商自乘再乘得一百二十五为隅法以减馀实实尽得面一百二十五
　　归除开立方式积一亿○二百五十万○三千二百三十二问立方一面几何曰四百六十八术置积为实初商四百于左亦置四百于右自乘得一十六万乃与左四百相呼一四除实四千万四六除实二千四百万馀实三千八百五十万○三千二百三十二以三乘右下一十六万得四十八万为方法归除之曰四三七馀二实不足除曰起一还四则次商不可用七止可用六也乃呼六八除实四百八十万馀实九百七十万○三千二百三十二另以次商六十乘初商四百得二万四千以三乘之得七万二千为廉法次商自乘得三千六百为隅法廉隅并得七万五千六百却以次商呼除之六七除实四百二十万五六除实三十万六六除实三万六千馀实五百一十六万七千二百三十二以方法四十八万并入两回廉法十四万四千三回隅法一万○八百共得六十三万四千八百为方法归除之曰六五八馀二则三商为八也乃呼三八除实二十四万四八除实三万三千八八除实六千四百馀实八万八千八百三十二再置初次两商共四百六十以三商八乘之得三千六百八十以三乘之得一万一千○四十并入三商自乘得六十四共一万一千一百○四却以三商呼除之一八除实八万一八除实八千一八除实八百四八除实三十二实尽得靣四百六十八
　　笔算开立方法
　　式捌十叁亿陆千伍百肆十贰万㭍千问立方一面几何曰二千○三十术自末位○下作点隔二位一点共四点分为四叚知商有四位也寻原初商得二乃以二自乘再乘得八减首位实捌完首叚次叚实叁陆伍除点上之伍未用且作叁十陆开之乃三倍初商二为六作廉法另置右上以初商二加○作二十以乘六得一百二十当以此数商除二叚之实而叁十陆反小一百二十反大遇此则商有○矣竟于格右纪○当作次商完二叚三叚实叁陆伍肆贰㭍除点上之㭍未用且作叁万陆千伍百肆十贰开之亦三倍初次两商之二十为六十置右上亦以二○加○作二百以乘六十得一万二千用此数于实内商之三商当
　　是三〈实内有三回一万二千也〉以廉六十乘三得一百八十并一万二千共一万二千一百八十又以三乘之得三万六千五百四十为廉另以三商三自乘再乘得二十七为隅将廉隅减实实尽隅必注点下故七在㭍下二在贰下也完三叚尚馀四叚未开于右加○作四商得靣二千○三十
　　用命分式　术通曰实未尽者欲再开之须尾加三圏则开一商加六圏増二商他命分术无用矣
　　筹算开立方法〈见筹算〉
　　立方不等开法
　　通曰立方有三面三面俱等者用前法开之三面内有一靣不等及三靣俱不等者用纵方廉开之三靣者高阔长也
　　一长阔相等高不等法
　　式积一千二百九十六长阔数等惟高不及三问高与长阔各几何曰高九长阔皆十二术列实以高不及三自乘得九为纵方又以不及三倍作六为纵廉有二点应约初
　　商一十因有纵方只商九自乘得八十一并纵方九得九十又以所商九乘纵廉六得五十四九十者方法也五十四者廉法也相并得一百四十四列实下呼所商九除实一九除九百四九除三百六十四九除三十六实尽得高九加不及三得十二为长阔数
　　减积式积一千七百八十七万五千高阔相等惟长多三十六问长高阔各几何曰长二百八十六高阔皆二百五十术列实初商二百自乘再乘得八百万次商五十两商共二百五十自乘再乘得一千五百六十二万五千以减积馀二百二十五万为实另以所商二百五十乘长多三十六得九千又乘二百五十得二百二十五万以减积实尽所商之二百五十乃高阔数也加长多三十六得二百八十六乃长也
　　二长阔高三不等法
　　式积一百二十阔多于高二长又多于阔三问长阔高各几何曰高三阔五长八术通曰阔多于高二高阔较也长多于阔三长阔较也列实两较各自乘二自之得四三自之得九相并得
　　十三为纵方两较相乘得六为纵廉约商当是四因此有纵方只商三以三自乘得九并纵方十三得二十二为方法又以商三乘纵廉六得一十八为廉法二法相并得四十列实下呼商三四除一百二十实尽得高三加二得阔五又加三得长八
　　立方带纵诸变
　　一带纵负隅开立方法
　　式实一千三百八十二万四千纵方八万六千四百二为隅法问方几何曰一百二十术列实初商一百自之得一万以隅二乘之得二万并纵得十万○六千四百为下法与初商一百相乘得一千○六十四万列实下
　　减实馀实三百一十八万四千以三
　　乘隅法二万得六万为方法以三乘
　　初商得三百又以隅二乘之得六百
　　为廉次商二十乘廉得一万二千为
　　廉法以次商自之得四百以隅二乘
　　得八百为隅法乃并六万〈方法〉一万二千〈廉法〉八百〈隅法〉八万六千四百〈纵方〉共得一十五万九千二百为下法与次商二十相乘得三百一十八万四千列实下减实尽得方一百二十末点未开故知初商为百也
　　通曰下法乘商即呼商也竟列下法则呼商除实若列下法乘商之数则减实也
　　二带纵廉开立方法
　　式实二千一百六十万纵廉一百三十五问方几何曰二百四十术列实初商二百乘纵廉得二万七千初商自之得四万为隅法相并得六万七千为下法乘初商二百得一千三百四十万列下减实馀实八百二十万倍纵廉乘数得五万四千三乘隅法得十二
　　万相并得一十七万四千为方法三乘初商得六百又并纵廉得七百三十五为廉次商四十乘廉得二万九千四百为廉法又以次商自之得一千六百为隅法乃并十七万四千〈方法〉二万九千四百〈廉法〉一千六百〈隅法〉共得二十万○五千为下法乘次商四十得八百二十万列下减实尽末点未开得方二百四十
　　三带纵减益廉开立方法
　　式实五百三十七万六千纵方一万七千六百益廉六百四十问方几何曰一百二十术列实初商一百乘益
　　廉得六万四千初商自乘得一万为
　　隅法以隅法并纵方得二万七千六
　　百以减益廉乘数馀三万六千四百
　　为下法乘初商得三百六十四万列
　　下减实馀实一百七十三万六千倍
　　益廉乘数得十二万八千三乘隅法得三万并纵方得四万七千六百为方法三乘初商得三百为廉法次商二十乘益廉得一万二千八百加入倍廉十二万八千得十四万○八百又以次商乘廉法三百得六千又以初商自乘得四百为隅法乃并四万七千六百〈方法〉六千〈廉乘〉四百〈隅法〉共得五万四千以减十四万○八百馀八万六千八百为下法乘次商得一百七十三万六千列下减实尽得方一百二十
　　四纵廉减纵方翻法开立方法
　　式实一千○八万纵方二十一万三千六百纵廉一千二百问方几何曰一百二十术列实初商一百乘纵廉得十二万以减纵方馀九万三千六百为方法初商自乘得一万为隅法以并方法得十万○三千六百为下法乘初商得一千○三十六万当以此数减实而实止一千○八万不足减遇此则反以一千○三十六万列上为实而以一千○八万减之馀二十八万为负积倍纵廉乘数得二十四万三乘隅
　　法得三万为方法三乘初商得三百为廉法次商二十乘纵廉一千二百得二万四千并入倍廉二十四万得二十六万四千以减纵方而纵方止二十一万三千六百不足减遇此则反以二十六万四千为纵方而以二十一万三千六百减之馀五万○四百为负纵又以次商乘廉法三百得六千又以次商自乘得四百为隅法乃并得三万〈方法〉六千〈廉乘〉四百〈隅法〉以减负纵五万○四百馀一万四千为下法乘次商得二十八万减实尽得方一百二十
　　五廉减纵开立方法
　　式实一千三百○五万六千纵方一十三万二千八百纵廉三百二十问方几何曰一百二十术列实初商一百乘纵廉得三万二千以减纵方馀十万○八百初商
　　自乘得一万为隅法并馀纵得十一
　　万○八百为下法乘初商得一千一
　　百○八万列下减实馀实一百九十
　　七万六千倍纵廉乘数得六万四千
　　三乘隅法得三万为方法三乘初商
　　得三百为廉法次商二十乘纵廉三百二十得六千四百并入倍廉六万四千共七万○四百以减纵方馀六万二千四百又以次商乘廉法三百得六千又以次商自乘得四百为隅法乃并得三万〈方法〉六千〈廉乘〉四百〈隅法〉又并馀纵六万二千四百共九万八千八百为下法乘次商得一百九十七万六千减实尽得方一百二十
　　六带纵以廉益积开立方法
　　式实二千五百八十万○四千八百纵方一十九万三
　　千九百二十纵廉四百八
　　十半为隅算问方几何曰
　　二百四十术列实初商二
　　百乘纵廉得九万六千以
　　乘初商得一千九百二十
　　万为益实加入原实共得实四千五百万○四千八百又以初商自乘得四万以隅算乘之得二万为隅法以并纵方得二十一万三千九百二十为下法乘初商得四千二百七十八万四千列下减实馀实二百二十二万○八百倍纵廉乘数得十九万二千三乘隅法得六万为方法三乘初商得六百以隅算半乘之得三百为廉法次商四十乘纵廉四百八十得一万九千二百并入倍廉十九万二千得二十一万一千二百以乘次商得八百四十四万八千为益实加入馀实共实一千○六十六万八千八百以次商乘廉法三百得一万二千又以次商自乘得一千六百以隅算半乘之得八百为隅法乃并六万〈方法〉一万二千〈廉乘〉八百〈隅法〉及纵方十九万三千九百二十共得二十六万六千七百二十为下法乘次商得一千○六十六万八千八百减实尽得方二百四十
　　七负隅减纵以廉益纵开立方法
　　式实一亿○五百八十四万纵方五十三万六千四百纵廉三千六百隅算六问方几何曰一百二十术列实初商一百乘纵廉得三十六万初商自乘得一万以隅算六乘之得六万为隅法以减纵方馀四十七万六千四百并纵廉乘数得八十三万六千四百为下法乘初商得八千三百六十四万减实馀实二千二百二十万倍纵廉乘数得
　　七十二万三乘隅法得十八万为方法三乘初商得三百以隅算六乘之得一千八百为廉法次商二十乘纵廉三千六百得七万二千加入倍廉七十二万得七十九万二千为纵廉以次商乘廉法一千六百得三万六千又以次商自乘得四百以隅算六乘之得二千四百为隅法乃并十八万〈方法〉三万六千〈廉乘〉二千四百〈隅法〉共二十一万八千四百以减纵方馀三十一万八千又并纵廉七十九万二千共一百一十一万为下法乘次商得二千二百二十万减实尽得方一百二十
　　八带纵负隅以廉减纵开立方法
　　式实七千三百四十四万纵方八十四万二千四百纵廉二千四百隅算四问方几何曰一百二十术通曰列
　　实初商一百乘纵廉得二十四万减
　　纵方馀六十万○二千四百初商自
　　乘得一万以隅四乘之得四万为隅
　　法并馀纵共六十四万二千四百为
　　下法乘初商得六千四百二十四万
　　减实馀实九百二十万倍纵廉乘数得四十八万以三乘隅法得十二万为方法三乘初商得三百以隅算四乘之得一千二百为廉法次商二十乘纵廉二千四百得四万八千并入倍廉四十八万得五十二万八千以减纵方馀三十一万四千四百又以次商乘廉法一千二百得二万四千又以次商自乘得四百以隅算四乘之得一千六百为隅法乃并十二万〈方法〉二万四千〈廉乘〉一千六百〈隅法〉及馀纵三十一万四千四百共四十六万为下法乘次商得九百二十万减实尽得方一百二十九带纵负隅以廉减纵翻法开立方法
　　式实二千○八十八万九千六百纵方二十七万○八十纵廉一千二百八十隅算四问方几何曰一百二十术通曰列实初商一百乘纵廉得十二万八千减纵方馀十四万二千○八十初商自乘得一万乘隅算四得四万为隅法并馀纵得十八万二千○八十为下法乘初商得一千八百二十万○八千减实馀实二百六十八万一千六百倍纵廉乘数得
　　二十五万六千以三乘隅法得十二万为方法三乘初商得三百乘隅算四得一千二百为廉法次商二十乘纵廉得二万五千六百并入倍廉得二十八万一千六百以减纵方不足减反以纵方二十七万○八十减之馀一万一千五百二十为负纵又以次商乘廉法一千二百得二万四千又以次商自乘得四百乘隅算四得一千六百为隅法乃并十二万〈方法〉二万四千〈廉乘〉一千六百〈隅法〉共十四万五千六百以减负纵馀十三万四千○八十为下法乘次商得二百六十八万一千六百减实尽得方一百二十
　　十带纵方廉开立方法
　　式实一千○二十万纵方四万纵廉二百五十五问方几何曰一百二十术列实初商一百乘纵廉得二万五
　　千五百初商自乘得一万为隅法并
　　纵廉乘数得三万五千五百又并纵
　　方得七万五千五百为下法乘初商
　　得七百五十五万减实馀实二百六
　　十五万倍纵廉乘数得五万一千三
　　乘隅法得三万相并得八万一千为方法三乘初商得三百并纵廉得五百五十五为廉法次商二十乘廉法得一万一千一百又以次商自乘得四百为隅法乃并八万一千〈方法〉一万一千一百〈廉乘〉四百〈隅法〉及纵方共十三万二千五百为下法乘次商得二百六十五万减实尽得方一百二十
　　通曰诸式皆三点因末点皆○未开故初商皆为百也开立圆〈少广之十〉
　　积求外周法
　　式积六万二千二百○八问立圆外周几何曰一百四十四术置积以四十八乘之得二百九十八万五千九百八十四用立方开之得方面一百四十四即立圆周也
　　积求内径法
　　式积六万二千二百○八问立圆内径几何曰四十八术置积以十六乘之得九十九万五千三百二十八以九除之得十一万○五百九十二用立方开之得方面四十八即立圆径也



　　数度衍卷十三