新法算书 (四库全书本)/卷028

新法算书　卷二十八

　　钦定四库全书
　　新法算书卷二十八　　　明　徐光启等　撰月离历指卷一
　　步七政次月离者何也曰其故有六月与日视体相若虽偕恒星五纬同借日光而独能继照古今以之配日称为二曜则尊于诸星一也太阳以定春夏秋冬而成岁太阴以定晦朔望而成月岁与月错综损益历法兴焉以知天时以授民事二也日食于定朔月食于定望恒用日躔月离诸行以求食分加时日食之繁倍于月食其三视差皆从月生三也太阳五纬恒星渐次高远差数渐微大小高下难可遽得惟月去人最近差数为大易见易测故测候诸曜皆用月差较量繇显入微悉能推见四也日与星不并见欲测太阳躔度距某星几何无法可得古法于昼时测日月之距至夜测月星之距并之得日星之距五也大圜之中百昌庶物生长之縁有二日以暄之月以润之诸风云雨露霜雪等皆系于月其在物也各有盈虚消息亦系月之亏复进退其与太阳经纬诸星或会或冲或三合四合六合各有顺逆承制之理测候推算之法医家借此以工治疗农家借此以爰稼穑商贾借此以行舟泛海六也〈上五则有关历学者书中略已论述后一则各有本学兹不备著〉有此诸端故推步之法宜求密合而欲求密合政复未易如日躔之行止有三种月离则有七种参错之中欲求齐一非明理无以立法非立法无以致用其曲折繁细十倍日躔矣乃胜国至今此学湮废星官家徒𫝊旧法若求其立法之原与乖违之故即无片言只字可资考证好学者偶一测验偶一致思便欲轻言改作不复究本来之条贯求目前之徴实计后世之变迁譬如勺水于河曷尝溯源于星海穷委于归墟者哉今据西法译该历指四卷阐理著数似觉井然历表四卷条画分明以步月离经纬度比于旧法可省工力三分之二以步交食可省四分之三其为密近似复胜之且令数百年后据兹义指得以改宪求合焉谨论列如左
　　月离各种行度第一
　　月离行度与日躔异日躔恒依黄道其行度三而已随宗动天西行一也自行二也最高行三也若月离则有七种行度如左
　　一曰随行随行者自东而西依宗动天一日一周七政恒星共繇之其起算之界为子正初点或午正初点与太阳同
　　二曰平行〈一名本行〉平行者月之本天自西而东日平行一十三度有奇二十七日有奇而行天一周其界有二一以太阳为界从合朔起算每日去离太阳若干度分以命太阴之本行度分累积之一以宫次节气为界〈宫次如降娄大梁等节气如春分秋分等〉从各初点起算每日去离若干以命太阴之本行度分累积之此行谓之交周满一周为交终其初交曰正交其次交曰中交其行各及半曰正半交曰中半交　其两界命两种行度分异名同理详下方
　　三曰自行〈一名本轮旧名小轮也因小轮非一故改名之〉自行者太阴之行不平不顺有时疾有时迟既尔纷纭无凭布度古历因想近月四周有一本轮太阴既随本天循交道〈即白道〉东行〈右旋〉又依此轮自东而西〈左旋〉一日行十三度有奇二十七日有奇而行轮一周此亦平行也而与交道平行参错不一所以下土视之时疾时迟矣因其疾迟以别于交道之行故彼名平行此名自行也既曰周行本轮则疾时与交行相合迟时与交行相背亦宜如五纬之法有逆行度分此独言迟不言逆者月行甚疾但见其迟不见其逆也此周谓之转周满一周为转终分四象限首限曰正转二限曰正半转亦曰本轮之最高三限曰中转四限曰中半转亦曰本轮之最庳曰最高冲〈或省日高冲〉行最高极迟行最庳极疾也〈最高最庳之一周又名不同心圏其与本轮异名同理详见下方〉
　　四曰次轮次轮者太阴之最高既依白道行则月离最高时其距地心之远近宜等迨测之则时时不等古历又想本轮之周复有一次轮循本轮左旋月在次轮之上循周右旋也此法古历所未有以意命之其行次轮一周名为次转终也四分之则为小四象第一名正初象第二名正半象第三名中初象第四名中半象也
　　五曰交行交行者从测候见太阴行白道〈古法月有九行殊谬元授时历废不用独言白道交周是也一名月道〉出入黄道约五度有奇不行黄道中线〈何名黄道中线七政恒星皆循黄道行而六曜皆有出入如太白最远出入约六度故黄道左右广十二度名为黄道带而太阳独行其最中故名中线也黄道一名躔道〉而两交于中线两交之点一名正交〈亦曰罗㬋〉一名中交〈亦曰计都〉两交之行自东而西与他行异亦名罗计行度也
　　六曰又次轮古来无有也万历间西史第谷测候极密得太阴行两小轮〈其一本轮其一次轮〉其各两半时〈两小轮各有正半中半〉之两均数与实测之度分往往未合故知次轮而外当有又次一轮此之为数微眇难分其于历法未关损益故无暇及也
　　七曰面轮面轮者太阴既依本轮又依次轮各周行即月面宜恒向次轮心下土所见时时旋转须当不一若之何终古恒如是故当复有本行使面恒下向也此亦未关疏密不复备著
　　测月平行度第二
　　测月之法于七政为最难其故有六
　　其一月天最小距地甚近即地球与其本天有小大之比例乃测器之心不居地心而居地面则所得月轨高乃地面之视高非地心之实高也〈此在日躔历指谓之地半径差〉
　　其二有地球与月天之比例乃可推地半径差既得地半径差乃以加所测之高定其实高不先得此无縁得彼
　　其三凡得各曜之高必减清𫎇之高以定实高各曜之𫎇差高下不等测月者未知距地若干即无差数可减所测高则非实高
　　其四月体恒亏缺不全若用太阳法令其光过窥表即虚淡难见光体不圆亦无从得其中心之光若目察窥表见月体不全无从测其心
　　其五若测以地平经纬仪或黄赤道经纬仪纵得其经纬度分又以三视差故测得之数无一合者〈三视差见交食历指〉
　　其六依测日星法以恒星测验推算而得其经纬度似可用亦因三视差故无一合者
　　然则何如按西历古今法则月离度分必于月食时简知之晋史姜岌亦以月食冲简知太阳所在不知考太阳之躔度易考太阴之离度难而姜倒用之两率皆疏矣今法于月食时推太阳之经度其对冲即太阴之经度〈考大阳经度法见日躔表一卷〉若日食则不可用何故日食时因于视差是生中食实食视食〈中食者两平行所得平朔也实食者加减平朔而得地月日三心参直定朔也视食者加减定朔而得其加时先后此地此时人目所见也〉随地随时都无定率故
　　右法任用一月食皆足简知行度若求月平行率则用前后两会食取中积平分之其法与日平行相似而难易迥别何者月或全食或不全食或食于南或食于北或于迟限食或于疾限食各各不等顾须求其相等一不等即所得非真率也然两食犹为未足宜精择所宜用之四会食参互稽求以定月历今详论其法如左
　　夫月不平行古今治历者之公言也欲求平行之率必用择食之法欲明择食之理先解不平行之理其征有二
　　其一初日测太阴过子午圏注定时刻〈定时法测星第一水漏自鸣钟等器次之〉次日测过子午定时刻如之第三第四日复测皆如之次取各日所注时刻较之必一一不等知其非平行若平行者宜一一等也如一周三百六十平度初日行一百刻次日亦行一周而得一百刻有奇或九十九刻有奇多寡不等其历时多者必行迟也历时寡者必行疾也
　　其二取月食三事各以其中积时相减必有多寡知其非平行　如西测食略所记天启三年癸亥九月望月食食甚在戌初初刻○五分〈日九十六刻刻十五分下仿此〉日躔夀星宫一十四度四十一分月离降娄宫度分同　又记天启四年甲子二月望月食食甚在丑初三刻○三分日躔降娄宫一十四度二十九分月离夀星同　又记本年八月望月食食甚在寅初二刻○四分三十九秒日躔夀星宫三度五十五分五十三秒月离降娄同　推得先两食中积时为一百七十八日二十六刻十三分太阳行一百八十度一十二分一十一秒太阴行满六交会置中积〈一百七十八日二十七刻○一分〉六为法而一得二十九日六十八刻○七分四十三秒五十○微为一会望策后两食中积时为一百七十六日○七刻一十二分三十九秒太阳行一百六十九度二十七分○四秒太阴行满六交会置中积六而一得二十九日三十一刻○二分一十三秒三十○微为一会望䇿　右前后两会望策不等差三十七刻馀前六会积分多必行迟后六会积分少必行疾又前两食间太阳行经度与后两食间不等其较一十度四十六分○七秒而积分之较仅二百二十○刻八十七分八十○秒经度积时多寡不等足征非平行也
　　右二则皆不平行之征也所以然者其縁又有三三縁者其二在月其一不在月不在月者日躔经度是也前论以月食简知月离经度谓食甚时二曜经度正相对也然日躔自有赢缩自非恒平何能定月离之平何者日躔有最高最庳其去地也时近时远是生地景〈一名暗虚〉时大时小时长时短若日躔最高其景则长则大月之过景加时则多日躔最庳其景则短则小月之过景加时则少此第一差之縁也二在月者一为月转迟疾也月行迟限则过景时多月行疾限则过景时少此第二差之縁也一为月转最高最庳也在最高月体小又入于小景则过时少在最庳月体大又入于大景则过时多此第三差之縁也
　　是故历家设择食之法择者导择也去其不齐之绿以求其齐也不齐之縁第一在日躔经度或在赢或在缩则择食之第一法宜择两食之日躔经度所在等既免此縁则馀二縁在月之本行本轮日无与也


　　如图甲为地球乙日体在最庳从乙发光地景则短丙日体在最高从丙发光地景则长月循戊丁本轮行如在丁近地过丁小景又在戊远地过戊小景而此二小景等则何从知月在其最高戊乎或者其最庳丁乎惟先知日躔所在在其最庳景宜短或不至戊或至戊宜更小所见小景者丁也而月离在其最庳也日在其最高景宜长过月之最庳宜作己庚大景而所见小景者戊也则月离在其最高也故两食之太阳高庳等则景大小等可免第一差之縁也夫景之末地之心太阳之心三者恒相对也地景之行度分即太阳之行度分太阳之高庳两食不等即行度之迟疾不等而景之行度迟疾亦不等若高庳等则两行之迟疾皆等
　　是故前后两会望皆全食又两食之黄道同度〈差自分秒以上至一二度无害〉即两景之大小等两过景之加时等又得其月

　　离之距地心等即其本轮之转分所至亦等〈转分之所至等者距地之远近等也然月在本轮之最高庳则其远其近一而已若在正转中转则距地之远近虽等而在左在右未定也法见下文　本论或用不同心圏其理则一〉
　　其择食之第二法即两食之月距地心等也若同在本轮之最高或最庳不论左右若欲定其左右则以恒星经度测之若两食之经度等加时等即其或在左或在右亦等　既得月转分之所在等即可测食前月体之径若径等即其距地必等〈测月体有本法本论见后篇〉可免第二三差之縁也
　　如上言欲求月平行率必用各率均齐之前后两食欲得此前后食必考于古之𫝊记今考二十一史各天文志大都有年月日而无时刻分秒经纬度数将于何取之不得已借西历会通用之又考古至百千年以上若用朝代年号纷纶不齐若用甲子细碎无纪故近古有虚立积年略如章蔀纪元法以十九年为一章二十八章为一袠十五袠为一总一总者四百二十○章七千九百八十○年也每年为三百六十五日四分日之一每四年加一日为三百六十六日〈说见历指一卷〉今用此推算通以历代纪年则为法超简仍不妨符合矣崇祯元年为总期六千三百四十一年
　　总期之四千二百八十六年为周考王十四年癸丑西史默冬推定十九年而太阴满自行本轮之周复与太阳同度〈每年三百六十五日四分日之一为月二百三十五〉是为章岁汉史所谓月行之终复会于端也西历谓之金数用以求月之日〈求月之日者于太阳月之某日求太阴之日数法以十九数及通闰数测之别有本论〉崇祯元年为章岁之第十四通闰得二十四日也〈西数〉虽然尚未能确见分齐如汉人以章月平分推太阴各日平行为十三度十九分度之七后世讥其疏漏因而代代改率然不于千数百年间详考天行得其决定均齐之数未免揣摩影响西史依巴谷用实法考验定为三百四十五平年又八十二日四刻〈平年者古法三百六十五日无馀分〉或一十二万六千○○七日四刻实两交食各率齐同之距也于时交会转终皆复其始〈交会者太阴距太阳之行或太阴距节气之行满一周为定望也转终者太阴之本轮自行度亦满周而复其故处也〉计其中积凡为交会者四千二百六十七为转终者四千五百七十三
　　以中积分〈一十二万六千○○七日四刻〉为实交会数〈四千二百六十七〉为法而一得会望䇿二十九日三十一分五十○秒○八微二十○纎〈古西法以六十分为一日〉或二十九日五十○刻一十四分○三秒〈今西法〉通率为二十九日六时〈日十二时〉三刻〈毎时八刻〉○五分九十○秒二十七微
　　求日平行分以天周〈三百六十度〉为实会望䇿为法而一得一十二度一十一分二十六秒四十一微二十○纎一十八芒为太阴一日平行距太阳之度也〈日有平日有用日见日躔历指〉倍之得二日三倍之得三日可列表〈如别卷　距太阳平行分以合太阳日平行分当加以合罗计日行分当减〉
　　求通闰以平年日为实日行平分为法而一得四千四百四十九度三十七分二十一秒二十八微二十九纎除满十二交会〈一年十二月〉外馀一百二十九度三十七分有奇为一平年〈三百六十五日〉之通闰约得为十日有奇也中通闰是岁实与十二朔之较西通闰是平年与十二朔之较〈年无小馀〉以平年通闰加小馀得中通闰
　　求刻平行分以日平行为实九十六刻为法而一得一刻平行分秒〈见本表〉
　　求交分〈即太阴黄道上之日行度满一周〉置太阴日平行分加太阳日平行五十九分○八秒一十七微一十三纎一十三芒三十一末〈古测之数〉得一十三度一十○分三十四秒五十八微三十三纎三十○芒三十一末用乘法得十日百日乃至一年得四千八百○九度二十三分○三秒一十九微用除法得一刻一分秒之平行率以满天周得二十七日三十○刻一十二分○五秒是为交中分
　　求转分〈即太阴本圏之最高行满一周〉置前中积〈一十二万六千○○七日四刻〉为实以转数〈四千五百七十三〉为法而一得二十七日五十二刻一十一分五十○秒为转终分又以天周〈三百六十度〉为实转终分为法而一得一日之转分一十三度○三分五十三秒五十六微一十七纎五十一芒五十九末用乘法得十日百日乃至一年得四千七百六十八度或约十三转外馀八十八度四十三分○七秒四十五微用除法得一刻一分秒之转率可立表
　　测月平行次论第三
　　法用太阴四会食其择法欲前两会之中积平行度中积日其比例与后两会之比例等又第一与第二月行本轮同势〈势者迟疾最高庳等同者俱在小轮一象限内〉第三与第四亦然又第一与第二之中积实行度等第三与第四亦然若是则前两会后两会两中积间月在本轮必各满自行之周〈如是均齐乃得实平行度分〉
　　解曰如图已为地心丙丁乙戊为小轮乙为最高丙为最高冲〈即最庳〉己丁己戊为两切线〈凡月在戊在丁其变行之势亦借名为留
　　段盖月行甚速留时绝少仅一瞬耳
　　然迟疾之间度分难测故借名为留
　　段也〉
　　从乙丙分小轮为四象限各象有变形之势〈如在最高乙为极迟最庳丙为极疾丁戊为留详见下方〉假令简得第一会时月在辛第二会在同象限〈同在乙丁象限内如同类之行〉如庚第三会在他象限如壬第四在同象限〈同在乙戊象限内为同类之行〉如癸即不可用何者上法言所求同行同类同时者必庚所至亦在辛癸所至亦在壬若如图庚与辛癸与壬各去离若干虽以同时故同行辛庚弧〈前两会之差〉与壬癸弧〈后两会之差〉必等然一弧之均数用加一弧之均数用减其时〈平行〉与行〈视行〉不得相等〈两弧等者其自行虽等而视行不等〉故法言庚会必仍在辛癸会必仍在壬而后为月满自行之全周
　　系凡简会食不当在戊与丁两切线之上盖目在己巳丁巳戊两视线切圏其所切之处难辨其高下之准分也〈视法曰凡斜望圆圏圏作一直线又曰视线切圆圏之两旁人目谬见曲线为直线其谬直线中间有上行下行者虽动而目视之若不动〉
　　此古法依巴谷等所共用其书不全所用四会食之行度时日等各率皆无𫝊故略举其正法如右方测正中交行度第四
　　正中交者黄白二道之两交也正交亦曰罗㬋亦曰天首亦曰阴历初阳历末西历谓之龙头中交亦曰计都亦曰天尾亦曰阳历初阴历末西历谓之龙尾月行及于黄道曰交月本圏之自行度曰转而转终分多于交终分故转满一周交终未及恒居其后交不及转之度即两交退行之度故谓两交为逆行也〈自东而西〉测法亦用交食而考古无𫝊不能得其真率西史依巴谷如前法用两月食择其前后各率均齐如太阴或同在阴历同在阳历太阳之自行同度去两交之两点或前或后同限食分等加时等即太阴之转分所至等因以定两交行天若干周而复于故处其原测之中积为交会五千四百五十八两交行天周为五千九百二十三
　　置中积会数〈五千四百五十八〉以会望䇿〈二十九日五十○刻一十四分○三秒〉乘之得一十六万一千一百七十七日五十八分〈西古六十分为一日〉五十八秒○三微二十五纎为中积日次以中积会数乘天周〈三百六十度〉得二百一十三万二千二百八十○度为实以中积日为法而一得一十三度一十三分四十五秒三十九微四十八纎五十六芒三十七末是太阴距交一日行度
　　次于两交日行度去减太阴黄道上行度〈即平行分日十三度一十分三十四秒五十九微〉得两交逆行日三分一十一秒毎年行一十九度○一十九秒四十三微用乘法得积年度用除法得时刻度列表〈如别卷〉
　　以上诸率皆依巴谷古测所定后多禄某歌白尼及第谷各加密测仍用试法数端推得合会之数每年不足为一十四分一十八秒一十○微一十九纎应加转终分毎年盈为五十四微一十二纎应减交行每年盈为一秒二微四十二纎应减
　　今新历表所用率
　　朔实二十九日五十○刻一十四分○三秒○九微通得二十九日五十三刻○六分九十二秒
　　转终二十七日五十三刻○五分二十五秒一十四微通得二十七日五十五刻五十八分四十七秒四十九微
　　交终二十七日二十○刻○五分三十三秒四十八微通得二十七日二十一刻二十一分九十六秒七十四微
　　依上三数本法可得大统所用别率及其异同之数通论七政本轮异名同理第五
　　日躔历指论太阳赢缩疾迟之理设太阳所行之道与地为不同心圏今论月行亦用不同心圏亦用小轮此二者异名同理盖藉以分布度数指记运行随人所立期于不爽而止若大象森罗其孰然孰不然或皆不然则非智计所能测也今略解如左
　　不同心者一圏之内别函一
　　圏两各异心也若圏周之上
　　任用一点为心别作小圏则
　　为小轮如图甲乙圏内别有丙丁圏戊巳不同心又庚辛壬圏周以辛为心作癸子圏是谓小轮
　　解曰日躔历既言不同心〈赢缩今古共知言不同心近而易明〉月离历又
　　言小轮〈回回历已著小轮之目因仍用之〉且诸历中或
　　复错出故宜诠释同异以绝疑端此法
　　七政所同今借太阳为解他可类推也
　　按日行夏迟冬疾春分过夏至迄秋分历时日多秋分过冬至迄春分历时日少何故若以不同心圏解之作甲乙丙丁外圏戊为心分黄道十二宫为天元宫次又以已为心作庚壬辛癸圏次从降娄夀星各初度相对作直线必过地心戊而任分庚辛壬癸圏为二必上为大半下为小半己心在戊心之上故也日平行一岁尽庚壬辛癸圏即夏半周〈夏至左右春分迄秋分〉庚壬辛为大分冬半周〈冬至左右秋分迄春分〉辛癸庚为小分大分历时多小分历时少日自恒平行人从地心戊视之则为赢缩迟疾矣若用小轮则如左图戊为地心甲乙丙丁大圏名负小轮圏〈或日带小轮〉其周上乙点为心作小轮如丁为心己庚为周也小轮从丁向甲乙丙行一年而复日体亦行小
　　轮周一年而复〈复者复于故处〉置日体
　　在最庳巳小轮心丁循大圏行
　　四十五度至壬日从己行小轮
　　四十五度至庚次丁心行大圏
　　九十度至甲日行小周亦九十
　　度至寅丁心至癸日至子心至乙日至丑心至午日至卯心至丙日至辰心至申日至未心回丁日回己日在小轮周上行成己庚寅子丑卯辰未圏即是不同心之圏其心为酉而酉戊两心相距之度即小圏之半径
　　又如上一图用不同心圏午为日从地
　　心戊本圏心酉各作线至午成戊酉午
　　三角形如二图用小轮子为日子癸为
　　小轮半径从地心戊作戊子线成戊子
　　癸三角形其戊酉午形与戊癸子等戊
　　酉与子癸等子丑弧与午乙等〈圈大小不等而
　　度分等〉即子癸丑角与乙酉午角等其馀
　　角午酉戊与子癸戊亦等戊午戊子两边等〈日距地心之度等故〉则戊酉午与子癸戊两形等形等则所求之日距地心若干太阳平行自行之差日体大小之类或用不同心圏或用小轮其得数同也
　　测定本轮之大小远近及其加减差第六
　　〈借西古史多禄某及近世歌白泥之论〉
　　法用三会食测算〈此多禄某所用〉
　　第一食总期之四千八百四十六年为汉顺帝阳嘉二年癸酉五月〈西历之月今三月〉初六日子正后〈顺天府时刻〉一十八刻○十分月全食日躔大梁宫一十三分一十四分其平行一十二度二十一分
　　第二食四千八百四十七年为阳嘉三年甲戌十月〈建戌之月〉二十四日子正后〈顺天府〉一十七刻○十分月食十二分之十在黄道南日躔夀星宫二十五度○十分其平行二十六度四十三分
　　第三食四千八百四十九年为永和元年丙子三月〈建寅之月或建卯〉初六日子正后三十七刻○五分〈顺天府为在昼不见〉月食十二分之六在黄道南日躔娵訾宫一十四度一十二分其平行为一十一度一十四分
　　前二会中积
　　太阳太阴两视行皆为一百六十一度五十五分〈各减全周〉是为黄道上两会相距之度
　　积日为五百三十一日九十三刻若平日为九十三刻○七分
　　于时月平行距日为一百六十九度三十七分
　　月自行为一百一十○度二十一分〈本轮行度〉
　　视平两行之较得七度四十二分以为加减率〈平行大视行小用减法为月自行过小轮或不同心圏之最高　在最高逆行故〉
　　后二会中积
　　太阳太阴两视行皆为一百三十八度五十五分是为黄道上两会相距之度
　　积日为五百○二日二十○刻若平日为二十二刻于时月平行距日为一百三十七度三十三分
　　月自行为八十一度三十六分
　　视平两行之较得一度二十一分以为加减率〈平行小视行大用加法为月未至最高〉
　　大图说　外大圏白道也小圈为太阴之本轮第一会月之视行在子平行〈小轮心在丁庚丑线〉在丑〈视行大必在前〉第二会月之
　　〈视行　　　　　　　　在午平行在丑第三会月视行在未平行大必在前小
　　轮上　　　　　　　　会一会月　在甲第二会在乙第〉
　　〈三在　丙甲乙丙三点以后〉















　　小图说〈即前大图中之小轮分图〉此借古史成法用二小轮〈一为本轮一为次轮〉以齐月行似为足矣别有诸家异同之说更仆难罄未能悉举
　　如图以地心
　　丁为心作午
　　未丑子黄道
　　弧〈大图言白道者度分相若互言之〉庚为小轮心依黄道自西而东〈右旋〉二十七日有奇而一周天此为交周日行十三度一十分有奇太阴日平行度也月体在小轮〈即本轮〉之上从甲向乙〈左旋〉二十七日有奇而一周本轮此转周也日行十三度三分有奇太阴日转自行度也〈小轮亦分三百六十度与周天等说见本篇第五　所谓月体在小轮之上者乃朔望之时也其外非在此见下文〉
　　依上法列平行立成表取小轮心行度推某日太阴在某宫某度分即丁庚丑线所指黄道度分也又用测法或会食时推算求太阴所躔宫度得丁乙午丁戊甲子等线定丑丁午丑丁子等角即两行之差也以为加减之率如大图三会食第一食月在甲去甲一百一十度〈两会自行相距之度〉而至乙乙者第二会食之月离度也〈甲乙之间平行多视行少则乙在小轮之右又乙行迟段故月在小轮之上弧〉推得两会中积视行平行
　　之差为七度
　　四十二分即
　　黄道上子午
　　也又去乙八十一度二十一分而至丙〈乙丙之间视行与平行差少故丙亦在小轮之右又丙行疾段则在小轮之下〉推得两会两行之差为一度二十一分即黄道上午未也次得丙甲弧一百六十八度○三分〈丙甲之间自行大平行小丙行疾段在小轮下〉月行丙甲弧两行之差为六度二十一分〈以前午子午未二差相减得未子较为此两行之较〉
　　又如上图乙丙丙甲两弧并即平行少视行多必在最庳之两旁〈行疾段故〉甲乙反之即平行多视行少必在最高之两旁〈行迟段故〉次定己为最高从甲从乙从丙作甲丁乙丁丙丁各线甲丁割小轮圏于戊次作乙丙丙戊戊乙三线成乙戊丙形乙戊丁等形
　　乙戊丁形有乙戊丁角〈甲戊乙角之馀甲戊乙者甲乙弧之在界乘圏角也半甲乙弧得五十五度一十分半为甲戊乙角后凡言乘圏角即所乘弧折半推算全圏分一百八十度〉一百二十四度四十九分半又有戊丁乙角〈其对弧为黄道弧之子午七度四十二分〉即戊乙丁角〈以满一百八十度〉必四十七度二十八分半依
　　三角形用法
　　以角求边之
　　比例〈三角形外作切〉
　　〈圏即乙角对戊丁弧其为戊丁线丁角对乙戊弧其为乙戊线戊角对乙丁弧其为乙丁线〉十万为全数〈全周之半径〉查表〈八线表中有法〉得乙戊为二六七九八戊丁为一四七三
　　九六〈半弧度查表求正倍正得通〉
　　戊丙丁形有戊角〈甲戊丙角之馀也甲乙乙丙二弧并为一百九十一度五十七分因乘圏半之为甲戊丙角度其馀为丙戊丁角度〉八十四度一分半有戊丁丙角〈戊丁丙角之弧为两行之差未子〉六度二十一分自得戊丙丁角依三角求边之比例得戊丁一九九九九六戊丙二二一二○
　　先得乙戊戊丁之比例次得戊丁戊丙之比例用变率法通之〈变率者变两戊丁为同数他率从之也用三率法次戊丁为第一率次戊丙为二率先戊丁为三率求四率得先戊丙即两比例之数俱同类〉得两戊丁俱一四七三九六戊丙
　　一六三○二戊乙二六七九八
　　又乙戊丙形有乙戊戊丙两边有乙戊丙角〈乙丙弧之半〉求乙丙得一七九六○乙丙线
　　者乙丙弧之
　　也乙丙弧
　　为八十一度
　　三十六分若设小轮全径为二十万分即乙丙为一二○六八四用变率法〈见前〉乙丙之先数得丙戊丙丁为某数〈云某数者先乙丙为一率先戊丙为二率相偕为比例也〉乙丙之次数得某数算得戊丙一一八六三七戊丁一○七二六八四既得戊丙求其弧得七十二度四十六分一十秒为戊壬丙有戊壬丙弧并入丙乙乙甲以减全周馀九十五度一十六分五十○秒为甲戊弧其一四七七八六为甲戊线甲戊弧于全周为小分则圏之心必在甲戊外置庚心作己庚壬丁线定己为最高壬为最庳
　　次依几何原本〈三卷三十六题〉甲丁戊丁两线内矩形与己丁壬丁两线内矩形等又己丁壬丁矩形及庚壬上方形并与庚丁上方形等则甲丁丁戊相乘加全数庚壬上方积以开方得庚丁为一一四八五五六次设庚丁全数为十万用变率法得庚己八七○六是为月天半径与小轮半径之比例
　　次从庚心作甲戊之垂线平分甲戊线于辛截甲戊弧于癸成庚辛丁直角形此形有辛丁〈先得丁戊戊甲今庚辛线平分甲戊以辛
　　戊加戊丁得〉一一四六五七七又有庚丁一
　　四八五五六求辛庚丁角得八十六度
　　三十八分半是在心之庚角所乘癸戊壬弧也以减半周馀九十三度二十一分半为癸己弧先得甲戊弧为九十五度一十六分五十○秒甲癸半之为四十七度三十八分三十○秒以减癸己馀四十五度四十三分为甲己是第一会食太阴未至最高之度也以减甲乙馀六十四度三十八分为己乙是第二会食太阴过最高之度以己乙并乙丙得一百四十六度一十四分是第三会食太阴距最高之度
　　依上算得辛丁庚角三度二十六分黄道子丑弧也为第一食两行之差〈小轮心指黄道上之丑点本行从丑向子则月在子居前平行在丑居后〉应于平行加丑子度分为视行又甲丁乙角七度四十二
　　分减去甲丁
　　丑角馀己丁
　　乙角四度二
　　十一分于黄道弧为午丑是第二食两行之差〈乙在最高之后月视行未至丑〉应于平行减午丑度分为视行又丙丁乙角先为一度二十一分以减午丁丑角馀丙丁丑角二度四十九分于黄道弧为未丑是第三食两行之差〈丙未至最高冲〉应于平行减未丑度分为视行
　　末第一食月视行离大火宫一十三度一十五分于黄道弧为子〈太阳躔其冲大梁宫度分同〉今得两行之差丑子三度二十二分减视行率得平行小轮心度丑为在大火宫九度五十三分第二食视行离降娄宫二十五度○六分于黄道为午两行差四度二十一分以加视行率得丑为在降娄宫二十九度三十分第三食视行离鹑尾宫一十四度一十二分于黄道为未两行差三度二十二分以加视行率得丑为在鹑尾宫一十七度○四分一系因上论可得小轮半径〈庚壬〉与月天半径〈庚丁〉之比例二系可得两行之极大差法从地心丁作丁卯线切小
　　轮于卯因几
　　何〈三卷三十六题〉丁
　　卯切线上方
　　形与己丁壬丁两线矩内形等今先有己丁壬丁两数以相乘开方得卯丁既卯丁庚形有三边以求卯丁庚角是为两行之极大差〈此差古今测法同得数小异别有图表见后卷〉五度一分上法用不同心圏得数无异
　　测本轮大小远近及加减差后法第七
　　法同上用三会食〈此近世歌白尼法今时通用〉
　　第一食总期之六千二百二十四年为正徳六年辛未十月〈西历之月今九月〉初七日子正后二十八刻〈顺天府时刻下同〉月全食太阳躔夀星宫二十二度二十五分平行为二十四度一十三分
　　第二食六千二百三十五年为嘉靖元年壬午九月初六日子正后三十一刻月全食太阳躔鹑尾宫二十二度一十二分平行为二十三度四十九分〈今作八月〉
　　第三食六千二百三十六年为嘉靖二年癸未八月二十六日子正后四十二刻一十分月食太阳躔鹑尾一十一度二十一分平行一十三度○二分〈今作八月〉
　　前两会食黄道上相距之中积视行度〈减全周〉为三百二十九度四十七分中积日为三千九百八十七日平时三刻一十分于时交周上中积平行度〈减全周〉为三百三十四度四十七分本轮自行〈减全周〉为二百五十○度三十六分因自行度是生平行视行之差五度以为加减率〈中积之视行大平行小故月在小轮之右〉
　　后两会食黄道上相距之中积视行度为三百四十九度○九分中积日为三百五十四日平时十二刻○九分于时交周上中积平行度为三百四十六度一十分本轮自行为三百一十六度四十三分因自行度是生两行之差二度五十九分以为加减率〈中积之平行大视行小因差少月仍在小轮之右〉
　　第一食月在甲从甲数前二会之自行中积二百五十度三十六分至乙即乙为小轮周上第二食月离所在而乙甲馀弧必一百○九度二十四分甲丁乙角之弧为午子五度是人目所见黄道上两行之差
　　又从乙〈第二会月离所在〉过戊申数三百一十六度四十三分至丙即第三会月离所在而丙乙弧必五十三度三十七分丙丁乙角之弧为午未二度五十九分是黄道上两行之差
　　又乙丁甲角去减丙丁乙角馀甲丁丙角为子未二度○一分为黄道上两行之差
　　次并甲乙乙丙弧得一百六十二度四十一分以减全周馀一百九十七度一十九分为丙己甲弧是周之大半即周之心在其内次作丁庚丑线定己为最高从甲从乙从丙作甲丁乙丁丙丁各线丙丁线割小轮圏于戊次作乙甲甲戊戊乙三线成甲乙戊形
　　乙戊丁形有戊丁乙角〈二度五十九分〉又有乙戊丁角〈丙戊乙角乘丙乙弧二十六度三十八分半其馀以满一百八十度为乙戊丁角一百五十三度二十一分半〉即戊乙丁
　　角〈第三为二〉十三
　　度三十九分
　　三十○秒以
　　求各腰〈倍角之数求其即对边之数〉得乙戊边为一○四二戊丁为八○二四
　　次甲戊丁形有甲丁戊角〈未子二度一分〉有甲戊丁角〈甲戊丙角乘甲己丙弧一百九十七度一十九分半之得八十八度三十九分半甲戊丙角也其馀为甲戊丁角九十一度二十○分半〉即有戊甲丁角有三角求其边若戊丁为八○二四则甲戊为七○二
　　次甲戊乙形有戊乙〈一○四二〉戊甲〈七○二〉两边有乙戊甲角〈乘甲己乙弧二百五十○度三十六分半之为一百二十五度一十八分〉求甲乙得一二二七
　　若小轮之半径庚壬为全数即因甲己乙弧之度推得甲乙又用变率法推乙戊戊甲戊丁各线与庚壬全数为同比例之数算得甲乙为一六三二三戊丁为一○六七五一戊乙为一三八五三有戊乙即得戊乙弧为八十七度四十一分以并乙丙弧得一百四十○度五十八分求其得一八八五○为丙戊以并戊丁得一二五六○二
　　次依几何原
　　本〈三卷三十六题〉丙
　　丁丁戊两线
　　内矩形与己丁丁壬两线内矩形等又己丁丁壬矩形及庚壬方并与庚丁方等则以丙丁丁戊矩形一三四○八一三九一○二庚壬方〈庚壬全数为一万〉一万万并为积开方得庚丁方之边为一一六二二六次设庚丁全数为十万变庚壬为八六○四是为月天半径与小轮半径之比例与前古法所得小异
　　次从庚心作丙戊之垂线平分丙戊线于辛截丙戊弧于癸成庚辛丁直角形此形有庚丁〈一一六二二六〉有辛丁〈先得戊丁一○六七五一又有丙戊一八八五二半之为辛戊九四二六以并戊丁为一一六一七七〉求庚丁辛角得一度三十九分为未丑又求辛庚丁角得八十八度二十一分为癸壬弧并丙癸〈先得戊乙丙弧一百四十度五十八分其半为丙癸七十度二十九分〉得一百五十八度五十○分其馀〈以满半周〉为丙己二十一度一十分是第三食月距小轮最高之自行度第二食月在乙乙己弧七十四度二十七分为其距最高之自行第一食月在甲甲乙己一百八十三
　　度五十一分
　　为其距最高
　　之自行
　　又己丁丙角为未丑一度三十九分月在平行之后则第三食平行内应减未丑丙丁乙角为午未二度五十九分月在平行之后则第二食平行内应减午未两角并得午丑四度三十八分为第一食应减之数而甲丁乙角先得五度因月在小轮下弧则为应减之数一加一减相准馀壬丁甲角为丑子弧○度二十二分则第一食平行内应加丑子
　　末第一食月视行经度离降娄宫二十二度二十五分减丑子弧二十五分〈视行内应减平行内应加〉得平行为在降娄宫二十二度○三分第二食月视行离娵訾宫二十二度一十二分加午丑弧四度三十八分得平行为在娵訾二十六度五十○分第三食日视行离娵訾宫一十一度二十一分加己丁丙角一度三十九分得平行为在娵訾宫一十三度皆食时之经度也
　　因上二论以推加减立成表如后卷







　　试旧推平行率各术疏密第八
　　依前法用太阴加减差表定前后两会食之中积时可得太阴之平行率又用上论求两食之本轮自行度若此两率之距本轮最高或最庳等则所定平行率为确合
　　如前本篇第六所用第二会食为总积之四千八百四十七年系汉顺帝阳嘉二年〈多禄某所用〉其各率见本章　又第七所用第二会食为总积之六千二百三十五年系正徳六年〈歌白尼所用〉其各率见本章其中积率为平年〈三百六十五日〉一千三百八十八年三百○二日一十四刻○四分其间交会满一万七千一百六十六周其自行本轮亦满全周则为确合今依上古法推〈依巴谷在周显王时〉减全周外馀三百五十九度四十八分○七秒〈转周不及交会一十一分五十三秒〉依中古法推〈多禄某在阳嘉年〉减周外馀三百五十九度三十七分四十九秒〈转不及会二十二分一十一秒〉依近世法推〈歌白尼在正徳年〉减周外馀四分则知近世之法视古为密盖测验推步一二千年积功力积智巧所定诸法渐次加精故也定太阴平行自行之历元第九
　　历元者于某地之某年月日时刻定某曜躔本天之某度分为推步之根本上溯既往下迄将来靡不准此或加或减以得随时所躔各度分也
　　今拟定崇祯元年戊辰天正冬至后子正初刻为历元其地则
　　京师顺天府定为历元之本所历元则上下推步略同古法论地则自唐至元有测验北极出地之法是为地之纬度若其东西经度从古未有也今立法以本府为根其南北北极出地三十九度五十五分有奇九服皆随地测验东西则以本府为初度初分九服依此为准或加或减推算各地本时本曜之各所求度分别有本法本论〈如后卷〉
　　右北极出地度通为四十○度四十九分有奇中西二率悉与古法不合盖前人未悟地半径差𫎇气差于两至所测之高应加应减故也说见日躔历指
　　用历元前一月食之岁月日时及历元之岁月日时取其中积日求太阴之平行若干度分减朔䇿〈一交会之全周〉馀度分为历元之平行度分则朔应也又考月食时得自行若干度分亦算中积时之自行若干度分两数并得为〈转应也新法算书卷二十八〉
















　　历元之自行度分则