新法算书 (四库全书本)/卷068

新法算书　卷六十八

　　钦定四库全书
　　新法算书卷六十八　　　明　徐光启等　撰交食历指卷五
　　视差以人目为主第一　四章
　　前言实会中会视时食限等皆日月食之公法也是皆凖于地心今再论月食生于地景景生于日故天上之实食即人所见之视食无二食也日食不然有天上之实食有人所见之视食其食分之有无多寡加时之早晚先后各各不同推步日食难于太阴者以此其推算视食则依人目与地面为凖
　　视会
　　凡交会者必参相直不参直不相掩也日之有实食也地心与月与日参居一线之上也其有视食也人目与月与日参居一线之上也人目居地面之上与地心相距之差为大地之半径则所见日食与实食恒偏左偏右分为两直线各至于宗动天其所指不得同度分是生视差而人目所参对之线不得为实会而特为视会如图甲为地心乙为地面丙为天顶若丁为日戊为月即在甲丙一直线上则实会即为视会因地心与人目无分线故也若日在辛必月在壬方与地面乙作一线
　　为视会矣若月至己与地心甲作一线
　　则实会也今言交食惟以目见为凭故
　　日食全论视会若所居地面不同即食
　　分多寡加时早晏亦随之异也又视会
　　实会在日月本天皆无度分可指而全依宗动天之黄道圏度分则此实会线所指谓之实度视会线所指谓之视度如图甲辛线所指为黄道之庚则庚为太阳之实度若乙目视辛日至黄道癸视己月至黄道午则癸为太阳之视度午为太阴之视度也
　　日月目见之度非实度
　　譬之画图者作平圆形则一举手一运规即得矣若欲为螺旋线先须依法作识又依法作线乃成形焉测天之法亦犹是耳今欲知日月纒离东西南北亦转仪窥表一览可知若欲定其本行所在则非聊一寓目遽能得之必先后累测度分展转较勘乃可定也假令目居地之中心〈地之心即宗动天之心〉极目所见则有恒星以当彼界两界中间有日月五星是名七曜七曜相视有远有近无有同者即论一曜亦各时远时近无时同者是则目所能见也然因目所见得其视度于彼界因以视度测其与某恒星相距若干度分因以是度推其实与地相距若干远近则可谓即目所见遂得其实行能分别其去地远近则不可何者七政诸本天虽居恒星天之内乃不见火木土等内天之星以本体能掩最外之恒星则何从辩其内外远近乎又目所见者太阴太阳二体相若何从知其内外之相距绝远二体之小大绝不相等乎内天之两星参对于外天之两经星目见之能知外者之两相距甚远内者之两相距不甚远乎是三者皆目力难凭之效也或曰是则然矣测量之法皆凭目所见也则可废乎曰何可废也惟测内天之星得彼界所指之点以为即在恒星之天聊可得之矣何者凡用在界之弧以测其辏心之角无弗真者目测恒星之天其在地面与其在地心也无以异〈地居恒星天中止当一点〉若测内天诸曜目虽不在地心相距亦不甚远故测日月五星于彼界上得点即与实度相近〈曰聊可得之曰距不甚远曰近其实度皆因有地半径视差故〉但恒星有时不见或与内天诸曜不相值故历家以地平代恒星更用远视之噐以助目力得日月五星之视度分依法推步乃正得其实度分矣
　　人目差
　　两目赅存不惟相助以为明相代以备患亦能彼此互用以察物之远近盖各以其心〈目睛最中之一点为心〉受外物之象其过心之两直线至物体则相遇为两腰两睛心自相距为底成三角形因以其比例之大小别物距目之远近是谓目差縁此可推天上之视差以小喻大其理一也若物大远于人目则底线极小两腰极长是过睛心之两径线与平行无异正如地球比恒星天之高特以一点为底视差无所繇生矣
　　如图两目之心为甲为乙目所视之物为丙若甲乙线
　　可比于甲丙线〈可比者不甚远则有比例〉则两戊己径线渐相就如己
　　而相遇于丙若物更相近为
　　丁则两径速相就为辛庚〈甲乙丙及甲乙丁两三角形皆等边又同一底线则丁角大于丙角而丁甲乙角必小于丙甲乙角〉而两目之光线皆从己敛向于庚自觉所视之物变远为近矣若物与目相去甚远则无比例者因两径绝难相就绝难相遇故也今借此理明视差之公理如本图设丁物之前有横堵为壬癸令甲目独视丁物则所见若在壬令乙目独视丁则所见反在癸而丁前丁后两交角形必相似即丁物亦不远于壬不远于癸盖视之目分两线为交角即能分本物之远近也若不能分两线即不能分远近
　　地半径差
　　目视星欲辨六曜〈月五星也〉在恒星之内势不能也则当借地体之大补目力之不及法用地半径为底以推测量所指之界即可得七政远近上下各居本天之实处如图甲乙两目相距为底则二寸耳今以两地相距数千里或数里当之以为底如甲为顺天府乙为广州府丁为太阴两人同测之一在甲一在乙因此大底之远近比于各距太阴之两腰得大小之比例则甲丁及乙丁两
　　直线必觉彼此相就以趋于丁
　　矣再使壬癸为列宿天之两恒
　　星〈或壬癸为太阳之全体壬当其南周癸当其北周〉测
　　者一从甲见太阴丁若在壬以夲体合于一星之体〈或太阴之南周齐太阳之南周〉一从乙测太阴反在癸转就北以合于他星〈或太阳之北周〉若甲乙两测之距愈相远即所见丁月两指之极高亦愈相远〈一偏南一偏北东西亦同〉而人在甲能见太阴掩日为日食人在乙即不可得见矣以此壬癸当宗动天上之弧正所谓视差与前言目见之小视差其理一也第两人相距千里万里同时并测太阴其势甚难故立别法代之〈详见本书第六卷下文略言之〉假令人正居地心推其所得太阴距天顶应若干度分又同时居地面者实测太阴距天顶得若干度分两度之差即所谓视差也如图甲乙丙为地球丁为天顶甲戊丁直线所至也若太阴在
　　此线左右为己从甲地心测月见之
　　当在庚自地面乙测之乃在辛则先
　　推定丁甲庚角或所当之丁庚弧后
　　推丁乙辛角或所当之丁辛弧〈乙距甲与乙距丁无比例甲乙至小故〉以两角或两弧相减得视差之弧庚辛
　　问一星距天顶测其宗动天上所指度分在地心测之则距近在地面测之则距远若论角则地面之乙角大于地心之甲角何以证之其故何也曰因其一远一近如图太阴在本天其距顶之弧为己戊己戊之距地心甲与其距地面乙远近之差则目所能识也所能分也
　　〈因地之半径与月本天之半径有比例故〉则目之在甲与
　　在乙所受己戊弧之象实不能无大
　　小为己戊弧等而两角之大小不等
　　〈目受物象皆以角形见交食第一卷〉相近者必大远者必小也角既有大有小所相当之弧不得不有大小则辛之距天顶视庚之距天顶不得不远矣又论辛庚视差实为辛甲庚角所定何用辛己庚或甲己乙角乎曰甲乙线与甲庚线无比例〈小大绝远故〉而甲乙与甲己则有比例即甲己与甲庚亦无比例也既甲乙与甲己同为微末不以入算则
　　用辛己庚角代辛甲庚角无以异矣若
　　论角则丁乙辛角与丁辛弧相当〈因甲乙与
　　乙丁无大小之比例〉又丁乙己角与乙甲己及甲
　　己乙两角并等〈见几何第一卷十六题〉则两角并亦与丁辛弧相当矣今丁庚弧既与丁甲庚角相当则馀弧庚辛必与馀角甲己乙或辛己庚相当也
　　视差以天顶为限第二　六章
　　人目在地面或在地心仰视天所得日月道相参直者止有一不同者无数过两目之垂线止一至顶之线此外分离处处各异
　　三视差
　　视会与实会无异者惟有正当天顶之一点过此以地半径以日月距地之远测太阳及太阴实有三等视差其法以地半径为一边以太阳太阴各距地之远为一边以二曜高度为一边成三角形用以得高庳差一也又偏南而变纬度得南北差二也以黄道九十度限偏左偏右而变纬度得东西差三也因东西视差故太阳与太阴会有先后迟速之变二曜之会在黄平象限度东即未得实会而先得视会若在黄平象限西则先得实会而后得视会所谓中前宜减中后宜加者也因南北视差故太阴距度有广狭食分有大小之变如人在夏至之北测太阴得南北视差即以加于太阴实距南度以减于实距北度又东西南北两视差皆以黄平象限为主盖正当九十度限绝无东西差而反得最大南北差距九十度渐远南北差渐小东西差渐大至最远乃全与高庳差为一也〈三差恒合为句股形高庳其南北其股东西其句至极南则与股合至极东极西则与句合也〉
　　论日月视高差
　　太阳出地平上渐升至天顶得九十度在夏至则离赤道北二十三度半为丁辛如北极出地四十度即赤道离地平五十度加丁辛二十三度半得七十三度半此日在午正之高也今太阳未至子午圏别作一高弧从甲过
　　太阳垂至地平上为甲乙丙弧其乙丙既太阳未及午正之圏即其高不至七十三度也两曜去天顶有高庳与恒星有远近时时处处不同故其视差大小亦各不同惟曜在天顶则无差若下几度则少差愈庳愈差庳至于地平则得其极大差矣今先论太阴如图甲为地
　　心乙为地面丙为天顶丁己为太阴
　　本天丙戊为恒星天若人在地心甲
　　视太阴正在地平己直至戊在参宿
　　第三星下人在地面乙视太阴己直
　　至壬在参宿第一星下是壬戊不同度至一度○六分为太阴之极大视高差若太阴高至庚至辛视差渐减如在丁直视至丙人在甲与在乙悉无交角无差分矣太阴距地心最近者为乙地面至其本体得为地半径者五十六个〈后言一个者皆一地半径省文也〉若太阳甚远于地自地
　　面至日轮得一千馀个其差更小日
　　出地平之最大差止三分渐高渐小
　　矣凡推日食恒以太阳之视差减太
　　阴之视差得两曜之视差假如甲乙
　　为地球丙丁为日月本天皆如前于最上之天〈或指宗动或指恒星其理同也〉得戊庚为太阴视差得己庚为太阳视差相减得戊己为两曜之高庳视差
　　求太阳高庳差
　　凡地半径与星距地心之远此两直线若能为大小之比例者即人在地面所测与星所在之实度分不一是为视差若星距地甚远其距远之线极大地半径极小两线绝不能为比例即人所测与地心所出两直线所指之度不能分即不能为视差故求星之距地远近恒以视差为证以视差之多寡不等推其距地远近亦不等如测恒星无视差可证其距地最远测填星微有之仅得数秒而测太阴所得过一度因知七政之最远者为填星最近者为太阴而太阳得视差三分当在其中央矣太阳太阴之距地远近如前以月食求之其法更易今以其远近及地半径反推其视差定为高庳差表如图甲乙为地半径甲戊为太阳距地心之远任在本天最高或最庳或高庳之间皆有小异今设在高庳之间者如日初出在丙则甲乙丙三角形内乙甲丙为直角
　　甲角直线为甲乙者一千一百四十
　　二个〈此中数也〉推得甲丙乙角三分为太
　　阳之最大高庳差若太阳在丁其丙
　　丁高弧三十度则以馀弧之乙甲丁
　　角推得高庳差二分三十六秒为甲丁乙角若丙丁高弧六十度则甲丁乙为一分三十秒依高度推高差皆凖此至天顶戊即无差
　　求太阴高庳差
　　太阴之距地既近视差既大即其在本轮之最高最庳次轮之最远最近视差大小亦皆变易其在本轮最高次轮最远〈一限〉则距地依歌白泥算六十八个二十一分以六十度高弧推之得视差二十五分二十八秒若在本轮最高次轮最近〈二限〉距地六十五个三十○分以同前高度推视差二十六分三十八秒若在本轮最庳次轮最近〈三限〉其距地五十五个○八分以同高弧推得视差三十一分四十二秒若本轮最庳次轮最远〈四限〉距地五十二个一十七分以同高度推得三十三分二十八秒是为同六十度弧之最大视差若他高度其法同此所推视差各异矣又太阴在小轮高庳远近时时变易视差随之无能不变欲考其几何如图甲为太阴本轮之心从地心壬出直线过甲至辛指最高于乙最庳于丙
　　是为次轮心一在最高
　　一在最庳而己丁及庚
　　戊两弧皆设六十度引
　　乙丁及丙戊直线得甲乙丁及甲丙戊两三角形今先求次轮在本轮最高远近之间各度生何视差借太阴历指所定以地半径量诸轮之半径得甲己为五个一十一分甲壬为六十个一十八分而己辛止得二个五十一分则甲乙丁三角形内得乙丁为一个二十五分〈地半径为个个六十分〉甲乙为六个三十六分丁乙甲角六十度推得甲丁线六个○七分以并壬甲总得六十六个二十五分大于壬己线五十五径分有奇是名剰分今更设比例分论之如壬己为六十比分即己辛得二比分三十七秒而剰径分五十五当化为四十六比秒又己辛当六十比分依法推得一十八分正〈六十与一十八若二分三十七秒与四十六秒〉为次轮上六十度己丁所求高差应减于最近己高差也次论甲丙戊三角形其两线甲丙戊角及剰分同前但壬庚线得五十五个○八分亦以当六十比分即庚癸得三比分○七秒而剰径为五十五比秒又庚癸当六十比分亦推得一十八分〈六十与一十八若三分○七秒与五十五秒〉是为次轮上六十度庚戊所求高差应加于最近庚高差也盖依前所定四限丁六十度在一辛二己远近之间高于己得视差少于己故剰分推视差以减于己得太阴在己正高庳差戊六十度在三庚四癸远近之间庳于庚得视差多于庚故剰分所推视差以加于庚得太阴在戊正高庳差也其馀次轮之远近度求视差皆凖此
　　太阴在朔高庳视差
　　本书二卷论太阴交会时恒居次轮之最近所谓第二第三限在前图为己为庚也因太阴食日加时恒不在本轮之最高最庳而月行次轮周恒倍于本轮周故朔望时太阴恒在次轮之最近最近所行之周名本轮之内圏是大于次轮小于本轮以己庚相距之线为径今欲求内圏之上下左右各度得何高庳视差如图己丙庚内圏己为高最远庚为庳最近乙距地心甲为地半径
　　六十个一十八分〈设歌白泥之数以为
　　法〉己丙弧六十度乙丙得五
　　个一十一分与甲乙六十个
　　十八分同类之径分也以甲乙丙三角形推太阴在丙距二限已六十度得甲丙线六十三个○四分因得甲己六十五个三十○分剰得二个二十八分今设己庚为六十○比分即推得一十四比分〈六十与一十四若己庚十个二十二分与剰径二个二十八分〉为剰分以推太阴在丙之视差加于在己之视差得太阴之真视差
　　假如太阴距天顶四十二度在本轮七十二度在次轮六十○度总论其变视差以距顶倍之度查本表得太阴在远近之第二限有高庳差三十五分三十一秒以较第一限赢一分二十九秒今距第二限六十○度依前法推得一十八分而六十分与一分二十九秒若一十八分与二十七秒则于二限高庳差减二十七秒馀三十五分○四秒是一二限间次轮行六十度之高庳差也又第三限较第四限之视差不及者二分一十九秒而六十与二分一十九秒若一十八分与四十二秒
　　以四十二秒加于第三
　　限之四十二分一十九
　　秒为四十三分○一秒
　　是三四限间六十度之高庳视差今太阴行本轮七十二度又在二三限之间法以丁戊上两视差相减馀七分五十七秒于时太阴自行得二十比例分则六十与七分五十七秒若二十与二分三十九秒以二分三十九秒加于前推一二限间次轮六十度之视差三十五分○四秒得太阴居高庳远近之间本轮七十二度距天顶四十二度次轮六十○度之真视差三十七分四十三秒凡以距天顶馀度求四限间之视差法皆凖此其在二三限日食所用有立成视差表依诸高度及距地远近简之
　　测日月求高庳视差
　　借月食推太阳太阴距地心远近而求视差以三角形推算为常法欲从天行求之则测日月高度以比其实纬度两度之较为高庳差也隆庆六年壬申有客星见王良北西史第谷以视差求其距地之远立数法试之其一候其至子午圏同恒星在极高度测其相距远俟行半周在极庳度复测之得远近之差以推定其高庳差其一用北极出地度考之从极上极下测一恒星得其高庳差度半之以加于下测之度或减于上测之度若未得北极出地之高度即有视差其一南北相距两地同测一星以较于北极或于恒星彼此得度有差则有视差其一测星之高度依法以加以减不正得其赤道上之本纬度则视差所移易也今测日月其距极甚远又有出有入非如北极恒星常见不隐二曜亦不能同时并测即诸法不可尽用备述此者明测候之理且以需他用耳
　　假如万历十一年秋八月太阴黄经度从冬至起得一十五度四十○分黄道纬距北二度四十二分第谷测其子午高得上周一十三度三十八分其半径一十五分蒙气八分皆以减于高度馀实高度一十三度一十五分因太阴在赤道南以减本地赤道高度得太阴赤道纬度二十○度五十○分第以前黄道经纬推本方之实赤道纬仅一十九度五十七分则以相减得五十四分为太阴一十三度一十五分之高庳视差也又万历十五年六月太阴黄经度从冬至起得七度五十○分黄纬五度有奇推其赤道实纬度一十八度○五分测其上周高一十五度二十○分下周一十四度四十六分得径三十四分太阴心高一十五度○三分内减蒙气六分馀与赤道高相减得一十九度○八分为太阴赤道距度较实推赢一度○三分是为本方之高庳视差也从两视径观之可见径大者近于最庳小者近于最高故所测高度略同所推视差大相远矣又万历十四年九月测太阴高四十五度其视径三十四分于时离鹑火宫十一度一十○分而本度距地平正当黄道九十度限不必用赤道纬度以求视差祗以黄道实纬度四度四十五分减视纬度距南五度三十○分得四十五分为太阴高四十五度之高庳视差也










　　以四方分视差第三　五章
　　视高差无定方惟日躔月离所在从天顶下垂线过曜至地平为直角其过曜处分视实之高庳而已至黄道经纬度亦依视高而有变易则因日月视度从黄道偏南北或偏东西或正或斜随所在得其横直视差为南北东西差
　　三视差总图
　　前论视高差为过天顶大圏之弧止向地平随方取之今论南北差是过黄极大圏之弧为黄道两平行圏所限也其一过实度其一过视度东西差则黄道之弧为过黄极两大圏所限也亦一过实度一过视度三视差弧
　　独黄道正南北或正东西则合为
　　一弧外此必成三角形以法推每
　　边之度分也如图甲乙为地半径
　　丙为太阴丙丁为月本天戊己庚
　　为黄道壬己癸为过天顶象限从
　　地心出直线过太阴为甲丙至宗
　　动天指其实度为辛若从地面出乙丙线指其视度为午则辛午弧为太阴高庳视差午申弧与黄道平行过太阴视度于午未辛酉弧亦与黄道平行过太阴实度于辛则两平行弧间午未或辛亥为太阴南北视差又亥辛及午未为过黄道极大圏之弧则亥午在其中为太阴东西视差合三视差得午未辛或亥辛午三角形今依本图设日食在黄平象限西太阴以实行在子正对太阳在己人在乙尚未见食必太阴过东至丙乙丙己参相直则见食是为视会是实会在先视会在后也若食在黄平象限东即反是如次图更易见设乙甲丁
　　为地平戊为天顶甲辛己为黄道丙为
　　其极太阳或太阴在己为实度但人不
　　在地心在地面如庚视太阴在壬则己
　　壬为高差从丙至己至壬作丙己丙壬
　　两弧线即得甲己线交黄道于辛而辛
　　己为东西差辛壬为南北差
　　高弧正交黄道南北东西差
　　以高弧与黄道相交之角分南北东西差可得其㡬何盖两弧相交以直角则高弧正为距度弧不偏东西即绝无东西差而高庳差径为南北差若黄道自为高弧而太阴在交处无距度则高差径为东西差而绝无南北差若太阴有距度则黄道不同于高弧太阴不免有东
　　西差亦并有南北差如图甲戊为黄
　　道即为高弧与地平为直角甲为天
　　顶太阴在丁则其高差丁戊即为东
　　西差若太阴距南或北作大圏过黄道之两极为乙丙其距度为丁乙丁丙得甲乙甲丙弧与甲丁弧必不等又不交于乙丙弧之极故甲乙丁甲丙丁不能为直角而并得南北东西差且太阴愈近天顶乙丙两角愈锐南北差愈多太阴愈远于天顶两角渐大殆如直角而南北差渐少
　　高弧斜交黄道南北东西差
　　太阴有距度求视差甚难其理甚繁其在交无距度者稍易稍简故先之设黄道为甲乙丙其斜交之高弧为丁乙戊太阴无距度在乙其视高差为乙戊得南北差为丙戊东西差为乙丙成乙丙戊三角形其形有丙戊为过黄道两极之弧则乙丙戊为直角有丙乙戊角其相
　　当弧甲丁过高下圏及黄道极之弧也
　　有乙戊视高差法以曲线三角形之理
　　推乙丙丙戊两视差之弧但此三角形
　　小其三边皆为大圏之弧可用直线法推之再设太阴不正在交有距度或南或北如图丁乙为过地平两极之高弧甲乙丙为黄道太阴距南在戊距北在己其黄
　　经度在乙从天顶得丁戊为太阴距
　　南高弧丁己为太阴距北高弧因实
　　度在戊在己视度在庚在壬得戊庚
　　及己壬为太阴视高差又得庚癸壬辛弧其至癸至辛指太阴视经度与黄道为直角今以实经纬及北极出地度算南北东西差
　　假如以北极高得乙丁过顶弧又有乙戊为太阴距度弧有甲乙丁为高弧交黄道之角加甲乙戊直角得丁乙戊角可推丁戊弧及丁戊乙角若太阴距北有丁乙己为高弧交黄道角之馀角亦可推丁己弧及丁己乙角又查丁戊丁己视高差表得戊庚及己壬而太阴距南乙子戊三角形内有子乙戊直角有乙子戊高弧交黄道之角有戊乙距度弧可推子乙及子戊弧则子癸庚三角形内有子庚弧有庚子癸角有子癸庚为直角可推庚癸视距度去减乙戊实距度得南北差亦可推子癸黄道弧减子乙得乙癸东西差其太阴距北则乙
　　癸己三角形内有距度乙己有乙己
　　癸角有乙直角可推乙癸及己癸弧
　　及乙癸己角去减己壬视高差得壬
　　癸弧又壬辛癸为直角可推辛癸及壬辛于乙己距度去减壬辛视距度馀为南北差乙癸减辛癸馀乙辛为东西差
　　如上说细论视差于理为尽若恒时推步别有捷法力省大半盖丁乙己角可当丁戊乙角甲乙丁角可当乙癸己角丁乙弧亦可当丁戊及丁己弧故也若本地距黄道远依此算即不得有差惟黄道在天顶太阴之大距五度又在本天最庳则差至六分不得用此若太阳将食即太阴居食限之内距度不过一度半依省法算所差者不过一分四十五秒欲并无差仍用原法太阴无距度以视高差求南北东西差
　　依图乙壬戊为子午圏乙甲丙为地平壬为天顶丁甲戊为黄道壬己为高弧太阴在辛则辛己为视高差自黄
　　极癸出癸辛癸己两大圏弧限辛庚
　　为东西差庚己为南北差此三角形
　　有己庚辛为直角辛己为高差更得
　　高弧交黄道之角庚辛己则视高差
　　辛己之正与南北差庚己之正
　　若全数与庚辛己角之正
　　假如高弧交黄道之角庚辛己得六十四度三十五分
　　一十五秒其正九○三二四视高
　　差辛己得五十八分三十六秒正
　　一七○四算得正一五三九查
　　其弧得五十二分五十四秒为太阴
　　南北差庚己此用正法也或用加减算求南北差则以辛己高差减庚辛己角馀六十三度三十六分三十九秒得馀四四四四六又相加得六十五度三十三分五十一秒其馀四一三六八两馀相减馀三○七八半之得一五三九为南北差之正也或用线求东西差则全数与庚己南北差之割线若辛己高差之馀与庚辛东西差之馀或用角求东西差则庚辛己曲线三角形甚小可用直线三角形法其高差之正与东西差之正若全数与高弧交黄道角之馀假如用线推南北差五十二分五十四秒得割线一○○○一一八五视高差五十八分三十六秒其馀九九九八五四七推得九九九九七三一为馀得二十五分一十秒为庚辛东西差再以角求东西差则庚辛己角之馀四二九一三高差之正一七○四算得七三一为正弧亦查得二十五分○八秒为东西差或用加减算则高弧交黄道角之馀二十五度二十四分四十五秒减高差馀二十四度二十六分○九秒其馀九二○四二加高差得二十六度二十三分二十一秒其馀八九五八○两馀相减馀二四六二半之得正七三一查得二十五分○八秒为庚辛东西差太阴有距度以高差求南北东西差
　　前题算有距视差法简矣又有简于此者但依太阴时距南时距北分两图解之如图甲己丙为子午圏甲乙丙
　　为地平乙丁为黄道天顶在己太阴
　　在子则己癸为高弧子癸为高差又
　　辛当北极北极圏为戊庚负黄道极
　　戊自戊出大圏之弧戊壬过丑指太
　　阴实经度而丑子为实距度又出一
　　大圏弧戊癸至太阴视度癸从癸作垂线至壬得壬子癸三角形而子壬为南北差壬癸为东西差〈丑壬寅癸两弧小故壬癸可当丑寅〉欲求其几何先依第一法从天顶己连赤道极黄道极为己戊辛三角形形有两极相距之弧辛戊有
　　北极出地之馀弧己辛有极至交圏
　　交于子午圏之己辛戊角可推黄极
　　距天顶之线己戊次己戊子三角形
　　有黄极距天顶之弧己戊有太阴出
　　地高之馀弧己子又有戊子在第一
　　图为象限戊丑加太阴实距度丑子之总弧在第二图为太阴实距度丑子之馀弧可推己子戊角次子癸壬三角形有高差弧子癸有壬子癸角有子壬癸直角可推子壬弧是为太阴南北视差又本三角形以子癸高差子壬南此差推壬癸东西差
　　假如第谷测太阴在玄枵宫初度五十六分距南四度三十八分日在申正五十○分得太阴高弧九度二十○分得高差五十四分二十○秒其夲方北极出地五十五度五十四分三十○秒即升度为三百一十二度四十三分去减鹑首初之升度馀为极至圏交于子午圏之己辛戊角而己辛及辛戊两弧皆不及九十度则己辛戊为锐角法全数与第一弧之正若第二弧之正与他数〈名先得之数〉又全数与先得之数若两弧所包角之正矢与他数〈名后得之数〉而后得之数恒加于两弧较
　　差之正矢得第三弧之正矢如前图
　　依第谷测己辛戊三角形求己戊弧
　　则两道大距弧辛戊〈第一弧〉之正三
　　九九一五其夲方极高馀己辛弧〈第二
　　弧之正〉五六○五二求先得之数
　　为二二三七三又己辛戊角〈两弧所包角〉四十二度四十三分得正矢二六五二八求后得之数为五九三五以加两弧较差之正矢一六九六得七六三一为己戊弧〈第三弧〉之正矢查得二十二度三十一分四十一秒以求己子戊角则己戊子三角形内全数与第一旁线之馀割线若夲角旁次线之馀割线与他数〈名先得之数〉又两旁线较差之正矢与对夲角线之正矢相减馀为他数〈名后得之数〉而全数与先得之数若后得之数与本角之正矢如前图己子〈角旁次线〉为太阴距天顶弧八十○度四十○分馀割线一○一三四二戊子〈第一旁线〉为太阴距南加象限共九十四度三十八分馀割线一○○三二八算得一○一六七四为先得之数其较弧较差一十三度五十八分得正矢二九五六减己戊弧之正矢七六三一得四六七四为后得之数依法算得四七五四为己子戊角之正矢查得一十七度四十四分一十五秒以求子壬弧则全数与子癸高差弧之切线若壬子癸角之馀〈壬子癸与己子戊两交角等〉与子壬弧之切线而子癸弧之切线一五九四壬子癸角之馀九五二四八算得壬子弧之切线一五一八查得五十二分一十○秒为太阴南北差之子壬弧以求东西差则全数与子癸弧之馀九九九八七五一若子壬弧之正割线一○○○一一五一与壬癸弧之正割线算得九九九九九○二为壬癸弧之正切线查得一十五分一十○秒为太阴东西视差壬癸或寅丑
　　又次法甲乙地平甲丙黄道戊癸高弧丁黄道极皆同
　　前此图加戊辛为太阴实经度出地
　　平高之馀弧而戊辛己三角形内又
　　有太阴实高度之馀弧戊己有太阴
　　实距度己辛以此三边径推戊己辛
　　角为高弧交太阴纬弧之角其馀角
　　〈前图〉或交角〈后图〉为壬己庚角
　　假如依前算戊己八十○度四十○分得馀割线一○
　　一三四二太阴距南辛己四度三十八
　　分馀割线一二三七九四七算得一二
　　五四五六○为先得之数以本两弧之
　　较差七十六度○二分得正矢七五八
　　六四戊辛弧七十六度一十五分三十○秒得正矢七六二四五以相减得二八一为后得之数又算得四七六○为戊己辛角之正矢查得一十七度四十五分日食掩地面几何
　　太阳有全食或周边无光而昼晦星见者有全食而周显金环者又有食不全而此地见食之分多彼地见食之分寡者今欲求见全食之地几何广见金环几何远自见全食之地至尽不见食之地几何更求相距几何地即见食渐差一分此四者大概依视差推算种种具有法焉
　　全食不见光之地面
　　依第谷测定𫎇气之高距地面上约有九里欲求全食时得人所共见里数若干即以𫎇气高与太阴视径及太阳光气内曲之角定之盖交会时太阴当日目之中掩太阳光其视径必大于太阳视径而人目所周之地平自无光矣但日光从最通明处射地而来一遇次通明之蒙气即曲而斜照〈见本历指第一卷〉必依气之高低渐渐聚合广狭不等如气太高则光不至地面而聚合可无满景气太低则光一曲即至地月景反觉开展不止恒测之界今设气高九里以绝日光必月景近地占千馀里必太阴视径大于太阳视径四分有馀乃可论食在天顶也若食在下度则月径可小景或反大图中𫎇气高
　　为甲丁求甲乙丙以定甲丙不受光气
　　之拓界乙丁乙丙皆地半径约一万二
　　千里则乙丁与全数若甲乙与甲乙丙
　　角之割线算得一○○○六○查本表得一度五十九分为甲乙丙角又全数与本角之切线若丙乙线与甲丙线得里数为五百一十九即太阴在顶满景之半径也而全径则一千○三十八里盖食距地平高三十度即太阴视径大于太阳视径止一分必满景径得千馀里视径加大里数亦多然蒙气差表未译故止以地半径差别求之
　　法日月两半径相减以差数加太阳视差即于表中本高度前后查太阴高下视差与得数等即以高度差前后各得满景半径若视差与得数不等即以中比例法求相应之高弧加于高度差如太阳行最高得视半径一十五分太阴行最庳得视半径一十七分二十○秒差数为二分二十○秒试以食在天顶〈广东广西等处夏至时是〉下二度为八十八以本度查太阳视差表得六秒加两半径差数得二分二十六秒于太阴视差表中以八十八度查二分一十四秒所不及者为一十二秒依比例算得一十一分宜加于二度即更下去顶愈远也故天顶正下为满景之心前下二度一十一分景缺即初见光其界限约五百四十六里后下高弧等得里数亦等共得一千○九十二即同食甚时同见食掩地面之广也欲论先后时刻自初见满景至复见生光则日月并随宗动天行之度化为里数所得见满景必不止数千里矣若太阳行最高太阴在高庳之正中其差数加太阳视差共一分二十○秒算食甚时得满景二度二十八分为里数六百一十七又太阳及太阴皆在最庳得总差数一分五十三秒算食甚时得八百四十二里为满景至于两径相等或太阴不甚大于太阳即无满景因𫎇气曲光内射故也
　　试食甚在下度距地平七十○度太阴在最庳得视差二十一分四十六秒更下二度得视差二十三分四十九秒差二分○三秒至两半径差数馀一十七秒加太阳在最高从七十至下二度强所变视差度○七秒总得二十四秒即以比例算应高弧二十四分总得二度二十四分化为里得六百即地平上自中往后见满景之地也若往前设地平高七十二太阴视差一十九分四十○秒较于太阴高七十度之视差差二分○六秒至两半径差馀一十四秒加太阳变视差七秒〈上下加求太阴从太阳视差故〉总得二十一秒因以比例算得二十分加于七十二度化为里得五百八十三即往前之满景前后相加总得一千一百八十三里乃食甚同见满景之地也依本法推算食甚距天顶愈远得满景愈大而自其中心论前后两半径必随高下度不等如食甚距地平高四十○度在前得三度二十三分为八百四十六里〈景之前应高度多查表求后景之后应高度少查表求前〉在后得三度三十八分为九百○八里总七度○一分为一千七百五十四里若食高二十○度必前行一千四百八十三里即五度五十六分后行二千二百○八里即八度五十○分总三千六百九十一里为满景因视差近地平变少必度多即得变数与两径差数等径差少〈或太阳在最庳或太阴距最庳略远〉即高度进退亦少里数亦减矣
　　见金环之地面
　　太阳在最高其视径较太阴在最高之视径略小较在中或最庳愈小无比故全食之食甚不显馀光而周无金环明矣其在中距与太阴在最高之视径等虽因𫎇气可显金环然以大小之故不能毕露且𫎇气所生大小随时随处不一则亦无从可定耳自中距以下太阳视径渐大较太阴在最高至最庳即大三十○秒矣设食甚在天顶因周大一十五秒得四围去中心远四分度之一而可见金环者约有六十二里乃全径则一百二十五里为此时所同见至先后可见之地者又不止此若食甚距天顶愈远得金环愈大假如距四十度〈高弧五十度〉依前一十五秒应得二十分全径则四十馀分以三十度高弧应得全径一度二十度高弧应得一度半一十○度应得四度化为里约一千里何也因视差近地平变少得度多故也若论𫎇气愈加得金环愈大因此第谷居北方设月朔半径大于望半径亦此意也总见食之地面
　　求满景及金环俱以日月视径为主如太阴大于太阳则生满景太阳反大即为金环此一定之理也今欲得满与缺之景㡬何或从见满景地面〈食既是〉至渐不见景地面〈复圎是〉即以两曜最高最庳之行求之盖日月皆在最高见食地面少皆在最庳见食地面反多〈因正在高庳故倘相距渐远其食景大小亦渐变易〉一在高一在庳则见食多寡均矣论天顶全食法加日月两半径以总数查表所得数或等或小加此两数之差更加太阳视差复得总数复查表其旁所得高度即自景中心至不见食之界也〈总数不正合高度用中比例法求之〉假如日月皆在最高加其半径总得三十○分一十五秒查表太阴距地最远之方所对六十高度得三十○分○六秒较两半径总数差九秒太阳视差○一分二十七秒三数并加共得三十一分四十二秒在高度五十九及五十八间〈自顶往下故〉以中比例推得四十六分乃自天顶至周界得三十一度四十六分为总见食地面之半径而全径则六十三度三十二分化为里共得一万五千八百八十三使日月皆在最库两半径数并得三十二分五十○秒查表本方内得相对高度五十九依前法推得不止五十八度即见食之界距顶三十二度五十○分共六十五度四十分为里一万六千四百一十七若太阳在最高太阴在最庳总得六十四度一十八分即一万六千零七十五里使太阴在最高太阳在最庳算得六十四度五十二分为里一万六千二百一十七
　　若论全食在下度食愈低其景愈大但地面不全受景则人目在地面同见食之广不全依高低度何云食愈低其景愈大视日月两轮大小约等以中心与目正对皆居一直线上虽相距实远目视之若同为一轮同在一度今欲见其两心相离不正在一线则自此地至彼地势若横行然盖高度全食前后左右皆于日月为横行愈高愈横得景亦少若全食在下度或前或后〈以高弧及同见为主前后非东西南北可定必随日月所居方并过目圏为是〉多为对行而非横行愈下愈对必行之多始得其体之离惟多行故迟出景外所以食在下度愈低得景愈广矣何云不全受景见日食即因日月目并居一直线上〈此论以体相对虽心不正在一直线会合亦无妨〉今全食在高度或前或后行凡日月目直线可对者自正以心相对惟去离渐远至以边相对则以见食至复圆为止若全食在下度目少进即见食渐高至两曜以边居直线上亦能尽见其复圆使目退行少许见食渐低两曜先至地平不及以边居线上因而体虽尚对而所馀食分为目所不见矣纵使更退亦不得见复圆故地面所受之景乃地景〈日巳没故〉非日食之景耳推下度全食之景法日月两半径并与食甚高度太阴之视差顺表相减馀数加太阳视差总数复查表得数等其旁所遇高度即为前行见食之界若不等以中比例求相应之高度与表两半径并加太阴视差更加太阳自食甚高度至夲总数相应高度所变视差而末所得总数必应高度即后行见食之界如日月皆在最高两半径并得三十○分一十五秒设食甚高八十○度太阴视差在此为一十○分二十九秒两分数相减馀一十九分四十六秒约应高度七十一得太阳视差五十六秒以加总得二十○分四十二秒乃又应高弧六十九度五十五分即前行至日月过顶二十○度○五分而见食地面共为三十○度○五分若后行两分数宜加得四十○分四十四秒约应高弧四十七度太阳视差自八十至此变一分二十九秒以加总得四十二分一十三秒应四十五度一十六分即日月高相离之界共为三十四度四十四分乃后行见食地面之径也设食甚高为六十○度依本法算得前行见界距三十○度○九分过天顶较前径略长后行则景长无比必行六十度始见下地平其未见复圎者八十馀秒而前后地面见景为九十馀度设食甚高四十度必前行三十四度一十四分后行四十度乃下地平尚见食五分八十馀秒总见景者七十四度设高二十度往前得四十三度二十分往后行二十度止得见复光约一分总度六十三度有馀愈下愈见少即此可知同见食之广不全依高低度因地面不全受景故也
　　若日月皆在最庳得半径并最大数为三十二分五十○秒设高八十度必前行三十一度后行三十六度共六十七度所同见食较前略广设高六十○度即前行三十一度后行六十度未可见复圆盖所少为一分二十秒耳大概依馀日月半径及馀高度求同见食之地面皆仿此算而以度数更求里数论先后见食则以总食之时及时气两视差细求之可也
　　见食进退一分应地面几何
　　太阳任在本轮高庳距天顶远近及在四方偏正俱分一十平分而见食地面则依高弧取前后以定其径盖径之大小依高度前后不能为同即前所云较食在下度与食在高度自得更大乃论满景之公公论也今又设为全食如前行即太阳从下生光渐至上复圆若后行即从上生光至下复圆总进退间止在一十分内欲算法于度数之分所应任取之径分加太阳视差及日月各半径不等之分秒总数查表其旁所对高度即本径分之景界化为里得见本食之地面矣假如日月皆在最高食甚在天顶设生光为一径分〈食退是〉求所应之度即十径分与三十○分〈太阳全径度数之分〉若一径分与三度数之分以本三分入表查太阳视差九秒更有日月两半径不等之一十五秒总得三分二十四秒应三度一十三分即去顶生光之界共八百零四里若生光得太阳半径即五径分当一十五度数之分加太阳视差四十五秒及两半径不等之一十五秒共得一十六分应一十五度二十四分距顶之界试以复圆即三十○分查太阳视差一分二十七秒加半径不等之秒总得三十一分四十二秒应三十一度四十六分乃与前求总景之数正合若食若在下度如高六十○度求一径分相应之高弧即以三度数之分如本六十高度太阴视差得三十三分○六秒约对五十七高度因至此太阳变视差八秒宜加且更加两半径不等之秒总得三十三分二十九秒应五十六度一十○分即自食甚至一径分生光得三度五十分较前算自顶退一径分多得三十七分为一百五十馀里若求五径分应几何即于六十度太阴视差加一十五分得四十五分○六秒对四十一度查太阳变视差四十四秒加两半径不等之秒总得四十六分○五秒应四十○度四十五秒自食甚至半径生光得一十九度一十五分较前多三度五十一分若日月在本圏别度得视径大小较最高不同必先求径分所应度数之分几何然后依本法算而进食之分与生光之分亦同一理也
　　日食掩地面总图





　　甲为太阳乙为太阴丙为目三者于食甚时皆居一直线上以心相正对也设太阳视径小于太阴视径为丁戊即地面得满景为壬辛必自中心丙至壬至辛乃可见丁戊日轮之边耳设太阳视径大于太阴视径为庚癸而目在中心丙以丙巳丙子直线见太阳庚癸边必周得金环倘退至壬或进至辛即不见之矣论满景总为丑卯自中心丙进前至卯即以卯丁直线见日轮复圆退后至丑即以丑戊直线亦见复圆径之大小在高度低度其理一也


　　新法算书卷六十八