新法算书 (四库全书本)/卷069

新法算书　卷六十九

　　钦定四库全书
　　新法算书卷六十九　　　明　徐光启等　撰交食历指卷六
　　外三差
　　前论交食法有东西南北高庳三差皆生于地径盖以地为太圜之心为此界以宗动天为彼界日月在两界之间因地径之小于日大于月生彼界之视三差也今言外三差者于三差之外复有三差不生于日月地之三径而生于气气有轻重有厚薄各因地因时而三光之视度为之变易三者一曰清𫎇高差是近于地平为地面所出清𫎇之气变易高下也二曰清𫎇径差亦因地上清𫎇之气而人目所见太阳本径之大小为所变易也三曰本气径差本气者四行之一即内经素问所谓大气地面以上月天以下充塞太空者是也此比于地上清𫎇更为精微无形质而亦能变易太阳之光照使目所见之视度随地随时小大不一也外三差之义振古不闻西史第谷于万历年间殚精推测钩深索隐历家推重以为冠绝古今而此秘未睹至其暮年方行万里乃始洞彻原委尚未及著书其门人述遵遗指撰集论次然后交食之法于理为尽则近今十馀年事耳盖历学之难言如此
　　清𫎇高差
　　历家测验日月及经纬诸星积累所得其光入人目往往不依直线而至夫太阴太阳有地径视差无怪其然也恒星无地径差人测之在地面与在地心不异宜所见者必依直线若之何不然且两星相距近于地平与其相距近于天顶绝不同其各体之大小亦不同又太阳太阴固有地径差其视体偏下视高度宜少而所得者忽复多定望时二曜正居天地径之两端以理论见一不得见二或并见则半体而已今有时全见之何也古度数家见直物入水中折成曲象空水之交则有钝角以此钝角喻诸星射目之折线于理为允则近地面之气可比于水天体至清可比水晶光在有气无气之交必成折角而能令诸曜之象升卑为高也若星距顶愈远所射光之折线角愈减其钝而视高之去实高也愈多盖近地则湿气愈厚故受𫎇为甚而又实非云雾等有质之物且在地浊之上〈历言入浊言浊中近浊入则不见视此为异也〉谓之清𫎇也因此凡测候两星若距度线与地平平行者其气所升视之巳在赤道上迨太阳近午出𫎇气之外复测之始以实行交于赤道为真春分秋分反是先以近午之实行在赤道上为真秋分迨昏测之日巳入过赤道而北矣视度乃复在赤道上自朝至中不能有两春分自中至夕不能有两秋分则朝夕所见皆视度非实度也则皆清𫎇之高差也
　　问清𫎇之气能变易太阳太阴之实度是已其言随地随时又各不同者何谓也曰第谷测定清𫎇诸差太阳与太阴大约相等而与诸星则不等其五星所得之差又与恒星不等因此推知致差之因不在距地远近其差大小皆气之所为也气厚薄时之所为也距地远近地之所为也凡考七曜之𫎇差皆候其高弧至于无𫎇之处得其实度而以较于有𫎇之处得其视差几何如第谷所居北极高五十五度冬至日夏至夜皆甚短其测候太阳之𫎇差必于夏月太阳出𫎇气之上乃可得之测恒星之𫎇差又于冬月若夏测星冬测日则尽日尽夜皆在𫎇气中无法可得而气之厚薄冬与夏必有分矣故所定气差随之异也若论地则山阜之上𫎇气为在高之距与在庳之距必小有异若不与地平平行而两高弧各异者不论或正〈与地平为直角〉或斜〈与地平为斜角〉其在高之距与在庳之距亦小有异总之星愈近于地两距之实度愈少远则愈多矣第谷之本地北极高五十五度有奇测定太阳太阴之𫎇气差大约相等自地平以上至四十馀度高差渐少更高则无有而近地之最大差得三十四分故太阳极近地平以地径视差之偏庳三分𫎇气差之视高三十四分相减得太阳高弧之视差三十一分则目视太阳将入以下周至地平见谓在上而其实体已全入于地太阴以最大之地径视差六十三分𫎇气差之视高三十三分相减馀三十○分目视之见谓全没而其实体犹全在地平上也多禄某以浑天仪测太阳行春秋分积年所得皆以本日两交于赤道遂为千古不决之疑不知者意其差在仪器仪器果差安得百无一合又安得悉在地平之上竟无差而在下者乎至近世而后知为清𫎇之差也第谷用器甚多甚精诸器毕合不可谓有器差而其所得亦复如是所以然者太阳临春分论实度尚在赤道南晨测之为蒙少平地乃多泽国尤多海滨更多盖此气周生于大地之靣外规之界距地心悉等而地靣有高庳其距气界各各不等此为浅深厚薄之缘正如海底有坳突之势因有浅深若海水之靣恒平而已然论其恒势浅气所生之视差少深气为多论其变浅气或忽然増加少易而多深气乃鲜有变时也万历十八年庚寅夏六月西历记月食太阳以半体出地其太阴正相对尚高二度入景中已多分及太阴半没而太阳已高二度出地平之上若以恒理论之则太阳心方出地平景心宜同时而入太阴之西周实入于地又当在景心入地之前今太阳心出矣而景心尚高二度非蒙气所为安得此乎然此视高差可谓甚大则以本地近于大山之下大河之滨其𫎇气为厚遇夜清气上腾凌晨更甚故也若他地他时未必尽同此数故治历者当先定本地之诸曜蒙差参以时令乃能立表推步其法须累测交食之多寡早晏斟酌定之勿谓精于本法便可随地随时必无舛戾也若立差既定而临食时气候忽更此则难可豫料然所失无几矣此高差惟月食累遇之若日食则二曜之𫎇气差大略相等高弧既同鲜有变易径可勿论也
　　清𫎇径差
　　太阳全食昼晦星见恒事耳中史及西史皆数记之若太阴全在日与人目之间而不能尽掩日体四周皆有馀光历家谓之金环或有阙如钩或云依日月周径本法则不应有此何者凡此一视径或大或等于彼一视径则以此体寘之人目与彼体之间无不全受掩蔽者今止论太阳在其最庳全视径为大得三十一分太阴在其最高全视径为小得三十○分三十○秒其较三十○秒为全径六十分之一耳即定朔果在此时日月以两心正会何因四周能见太阳之边乎〈或有时可见详下文〉此说是也然而古今所记实见实测乃复多有之如隆庆元年丁卯三月朔日太阳近于最高得全径三十分太阴在高庳之正中得全径三十二分三十四秒则全掩太阳之外尚馀二分三十四秒乃西土实侯至食甚时二曜以心正会见有金环又万历二十六年戊戌二月朔日太阴在最庳掩太阳复如是论地则此测在西国之内地前测在海滨论北极则此测高五十度前测正高四十二度论临食时此测有云前测无云也〈云气虽不掩日月亦能变易光曜损益分秒〉而第谷专精候验多在北海之滨北极高五十六度累年密测终不见太阴尽掩太阳昼晦星见是则日光恒赢月魄恒缩又将疑掩之不尽为恒事矣迨万历二十八年庚子六月朔于内地北极高五十度测得日食五分有半依本地原推正应四分较多一分有半则又日光缩月魄赢也又万历二十九年辛丑十一月朔日全食第谷门人于本地北极高六十馀度测得食甚时见金环四周皆广一分有半〈太阳径十二分〉万历三十六年戊申七月朔日食西土内地北极高五十一度测食甚时得二分正同时向北更四度论高视差宜减一分犹宜见食一分而第谷门人密测乃不见食此两
　　测者皆日先居赢且赢甚也而皆无云综其大都极出地甚高近海或大泽食时多云气则日光赢测数少于推数极出地迤庳居地平高去水泽远食时无云气则月魄赢推数少于测数展转推求即清𫎇之气随地随时有无厚薄不等能浅深受光于日而变易其照耀之势使人目所见或增或减迄无定限也再验之海中有小岛其视体甚小于太阳之视径日初出时正当其中平分太阳之体则石之两旁皆显大光若不当其中而石居太阳之左右则不能映蔽日光如两相退让而露太阳之全体此为何故石之蔽日隐显之间虽以一线为界乃海中𫎇气极厚日之施光𫎇气受之故人目所见日光能侵轶于本界之外也喻月魄于石体其理正同故𫎇气盛者全食时如石当日之正中少食时如石当日之左右即高弧至于午正人目见日无横斜之线不能升卑为高乃地以上之𫎇气犹能承受日光使溢界外而展小为大月不蔽日职是故矣如图地心为甲
　　日心为丙太阴正当日目
　　之中为乙月景之最中人
　　目所在为己设太阳之边
　　实为丁为戊其光下照所限月景之界宜为丁甲戊甲两线此限外之气皆得最光也然因乙太阴隔太阳原光于已目目所能正见者非丁戊乃是庚辛而作己辛直线则目宜全不见日周之微光矣苐太阳正照之最光下及于月景四周之外而外气之近地者为次彻之体则太阳之光借此体以侵入于月景本界之内别作一界线曲而向内即人目所正见为癸而癸既切景较远景之处加有光焉〈光愈正照愈明切景之光甚似垂线若正照然故比距远之处加明焉〉故景之四周从癸至壬目所见皆成日光是为癸壬金环癸壬所在实于空中非太阳之光果外溢至辛也从下视之若在月之四周与太阳同天而太阳之原光若丁戊以外更馀辛庚一环矣但癸壬之广狭依气厚薄随地随时一一不同耳曽有人试以铜薄规为小圆形依直角线寘长竿之末退后一丈又寘一规正对前规与为平行后规之心开细孔以目切孔正觑前规之心其前规之全径较两规相距之远得一千分之十以掩天上之弧得三十四分二十○秒与本时太阴光满近最庳之全径等则目视两规与目视二曜大小远近之比例亦等次从后规视前规理宜全掩太阴之体乃所见者四周皆显大光更移后规向前二尺有奇以远近之比例论则前规可掩弧度四十一分然而尚有微光也可见日月近地平固因蒙气有视度之高庳差即去地平远犹有视径之大小差矣
　　本气径差
　　金环又有二种一为虚环人目所见其内规〈如上图之癸〉为最光向外渐微至外规〈如上图之壬〉则似次光此为地上清蒙之气所生上文所说是也一为实环若内若外悉是最光此所见者必为太阳原光矣所以然者太阴在最高太阳在最卑则太阴之视径略小于太阳之视径上文所云六十分之一者是也但实环既为原光在太阳之周非复向之虚环从蒙气中隐映而得者则人居月景之中何自得见之即在景之偏际亦宜见左失右何自得全见之曰此亦因太阳出光折照至于人目虽正在景中犹得见之折照之繇即非地上清蒙之气而在空中之本气前交食第一卷论月体当食显赤色是气景所生此论地靣当食而见光色是空中本气所射其理一也设甲为太阳其实边乙丙太阴在癸其实边丁戊人居地靣在己辛之间不能以直线见太阳所以得见者太阳全轮既受掩于月体为壬庚所馀庚乙实环皆为原光而以庚壬内规之光正照丁戊月边过丁戊则
　　折而内向以至于地面
　　己辛其所繇内折者欲
　　就于甲癸垂线也〈详本篇一〉
　　〈卷第五〉己辛以内皆为月景得界丁辛及戊己成三角形〈戊丁为底图未尽景末〉又太阳乙丙外规之光正照太阴近处为子丑过子丑又折入景中而相遇于寅〈此折甚于前折者愈远于垂线愈欲急就之也〉得寅己辛角形形以内为折入景中之重光人目在重光之中从卯辰两交得见光环意疑在丁丑旋绕月轮其实则太阳之原光庚己也
　　问本篇首卷言凡象射次澈之体则成折线故本章言日光过地靣则折入于景为蒙气故也空中本气则甚澈之体何能受光而折入于人目乎曰空中本气为甚澈之体此恒理也然亦有时而变如彗孛搀抢乃及客星等皆在列宿天中非理所宜有难究其所生之縁而实则恒有之今言日食有金环者大抵皆虚环也其实环甚为希有万一有之不得不究所从来故作此论盖虚环既𫎇气所为无可疑者则实环之缘不得不在𫎇气之上既在其上不得不归之空中本气舍是别无可推之理耳兹有𫎇气以上变易之征聊足解此万历三十三年乙己八月西国北极高四十度测太阴在最庳日全食亦全掩原光而其四方尚馀赤光如火广数度依此地论必言𫎇气所生不足疑亦无待辩矣从此向西北一国北极高五十馀度同时测日不全食未尽一分三十馀秒日周以外太阴馀分甚多而此地尚见是大光岂两地相远如此尚当言蒙气相同之故乎纵使相同而蒙气距地靣极高无过二百里此不全食之地其交景之顶尚在二百里以上全出𫎇气本界之外则安
　　得有本地靣
　　之蒙气受照
　　为光且四周
　　皆见乎彼所见满景四周之光既不为𫎇气所生必为空气所生矣假如甲为太阳乙为太阴丙为地丁戊为𫎇气界若全食则所生金环在丁戊之四周也今不全食之地在己其交景之顶为子亦见光〈此光非金环因在日周故其理不二〉而光中甚黒则非丁戊气所能生矣盖目从己视太阴之下周庚必以己子庚线视其上周必从己壬至太阳辛则太阳之辛癸原光正照己目及蒙气之界面丁壬丁壬之中绝无月景而丁壬等高之景全在己子庚直线之下安所得生光之原乎可见日四周之光必生于𫎇气以上必为空气所生或近于月轮在庚子两线之中或在月轮之下不远矣
　　日食昼晦星见
　　凡前史记日食昼晦必因全食若星则不全食而见者有之如晨昏分中日己出己入矣明昧之交正似太阳未全食之光也而大星已见也又或不全食而见者有之故历家下推将来虽得全食其见星与否未可豫定盖见星不见星之縁不尽在于食分多因𫎇气与阴晴耳若食时遇气甚清人目先见最光而习之忽尔失光虽日不全食亦似向晦星乃可见如从大光中暂焉入室见为甚暗也若食时遇气甚厚或多云雾则目先习是次光后见失光不以为异又𬪩厚之气受返照之光光亦不能甚失日虽全食未及甚晦正如浮云在天虽太阳已没曚昽宜尽而尚有馀明星不可见矣自此之外更有太阳正照斜照之缘如太阳当晨昏时斜照于地上气得其正照之光则能返照地面若此时以日食绝正照于气中则地无返照之光又本无正照之光安得不为甚晦乎故午前日食初亏至食甚时加晦生光至复圆时稍明午后食则反是盖太阳愈庳愈能正照气中而地得其返照之光太阳愈高愈正照于地靣而以有食绝其正光惟四外反有从旁斜入之次光耳又或太阴近最高其视径不甚大于日之视径则太阳四周光曜散溢虽则全食地面之次光乃大于少食者亦多有之又使日食切近地平太阴微高于日则地靣所见日下周之原光虽不尽如钩而上气乃与日月参相对绝其正照即地面绝无返照之光此时亦变为甚晦也推视会
　　交食第三卷求定望改实时为视时所以然者为有升度差也今日食以地心之实会改为地面之视会所以然者为有地半径差也以地半径差论实会视会不同上章已详之矣此求视会则依视差推算法先求日月高弧以得高差又求高弧与黄道之交角因以得南北东西差次求视会与实会之时差以加以减于实会之时刻而得日月正视会之时刻其加减则以黄道九十度为限〈即黄平象限〉
　　日月距地平高弧
　　视差有多有寡必依太阳出地平所得高度多寡〈日月会合若同高度或差一度以下其视差甚微故得太阳高度不必复求太阴高度必求细率则以太阳高度查太阴高差先加于太阳高弧得太阴高真度也〉欲求高度几何则用定会〈即定朔也〉之实时及本时之太阳躔度先以躔度推太阳距赤道之纬度次以定会实时推其距子午圏若干〈详见下文用法中〉得二角形形有北极出地之馀弧有太阳距赤道之馀弧有两弧间角为太阳距子午圏弧之相当角算得本形之第三弧为太阳出地高弧之馀弧也如图甲乙丙为子午圏甲丁丙为地平丁戊为黄道太阳在庚则乙庚己为高弧壬庚为太阳距赤道之馀弧因得乙壬〈本地极高之馀弧〉及壬庚〈太阳距赤〉
　　〈道之馀弧〉两弧及乙壬庚角〈太阳距子午之相当角〉以推第三乙庚弧得其馀弧庚己太阳出地平上之弧也次推高弧交黄道之角先以升度求庚丁弧次以庚己高弧以庚丁黄道弧以庚己丁直角推得庚丁己交角因以对角求南北东西差法如次图设庚癸为高差辛为黄道极则辛癸大圏之弧以直角交黄道于壬为庚壬癸三角形先己得壬庚癸角而庚癸壬为馀角则全数与高差若壬庚癸角与壬癸南北差又全数与高差若壬癸庚角与壬庚东西差或
　　用简平仪求高弧可免算第其图愈大所取太阳高度分愈真乃足推算视差如图己戊辛为子午圏甲乙为赤道北极在丙太阳距赤道北依丁戊线行与行壬戊弧其理一也至戊为正午至丁如复至壬午前与午后同所以然者戊丁直线不可得度分数必用戊壬弧量度
　　为凖〈戊壬与戊丁皆距等小圏两弧皆小圏之弧即等试想戊壬圏置戊丁线上与戊丙圏纵横为直角则得其理〉如彼面之丁为己时至戊为午行至此面之丁为未与壬为己至戊为午复转至壬为未其理一也次作丁庚直线与地平甲己线平行则得己庚弧为太阳在己时或在未时出地平上之高弧也别有表以日食之实时及太阳距赤道纬度查其出地平度而推两曜高差又有高弧交黄道角表以此三角形〈前图之己庚丁〉推算法用太阳高度于太阳距黄道九十度限表中查角〈即庚角〉详本表又有南北东西差表以太阴高差及高弧交黄道角依直线三角形推算〈因三差线小虽在天实为大圏之弧亦可以直线句股法求之与三角形圎线法所求不异〉
　　黄道九十度为东西差之中限
　　地半径三差恒垂向下但高庳差线以天顶为宗下至地平为直角南北差者变太阴距黄道之度以黄道极为宗下至黄道为直角东西差则黄道上弧也故论天顶则高庳差为正下南北差为斜下而东西差独中限之一线为正下一线以外或左或右皆斜下论黄道则南
　　北差恒为股东西差恒为句高庳差恒为至中限则股为一线无句矣所谓中限者黄道出地平东西各九十度之限也〈黄平象限省曰度限〉法以子午圏为中限新历以黄道出地之最高度为中限〈东西各九十度则是最高〉两法皆于中前减时差使视食先于实食皆于中后加时差使视食后于实食第所主中限不同则有宜多而少宜少而多或宜加反减宜减反加凡加时不得合天多縁于此此限在正球之地距午不远若北极渐高即有时去午渐远时在午东时在午西大都北极高二十三度三十一分以上者〈若高二十三度三十一分以下者则日月有时在天顶南有时在北三视差随之今未及论此〉独冬夏二至度限与子午圏相合为一从冬至迄夏至半周恒在东居午前从夏至迄冬至半周恒在西居午后
　　问日月诸星东出渐高至午为极高乃西下渐卑而没则午前午后之视差岂不分左分右渐次高庳以正午为中限乎曰南北差东西差皆以视度与实度相较得之而日月之实度皆依黄道视度因焉安得不并在黄道从黄道论其初末以求中限乎推太阴之食分以其实距黄道度为主推太阳之食分则以太阴之实距度先改为视距度所改者亦黄道之距度也论实望实会欲求其实时以黄道经度为主今求视会其所差度必不离黄道经度而因度差多寡求其相当之时差以得正视会理甚明矣若子午圏者赤道之中限也度限为东西差有无多寡之限犹冬夏至为昼夜永短之限午正时为日轨高庳之限也惟岁惟时自宗赤极不借黄道之度中为限东西视差自宗黄极何乃借赤道之午中为限耶昔之治历者未能悉究三差之所从生徒见午前食恒失于后天午后食恒失于先天故后者欲移而前前者欲移而后又见所移者渐向日中渐以加少遂疑极高至午中则无差不知黄道两象限之自有其高也亦自有其中也必如彼说以午正为东西差之中限设太阳实食午正遂以为无时差遂以为定朔为食甚倘此时之度限尚在西愈西则愈有西向之差法曰中以东则宜减安得不见食于午前乎傥此时之度限尚在东愈东则愈有东向之差法曰中以西则宜加安得不见食于午后乎如万历二十四年丙申八月朔日食依大綂法推得初亏己正三刻食甚与定朔无异皆在午正初刻至期测得初亏己正一刻后天二刻此所谓中东宜减见食于前者也今试依新法减时则推定朔在午正初刻内四分四十九秒于时日月躔度在鹑尾宫二十九度八分四十七秒黄道中限在本宫一十三度○一分距正午西一十八度五十九分距太阳躔度一十六度○八分太阳定朔之高尚有五十○度查得太阴高差三十八分先求高弧交黄道角为日距度限弧之切线与本角若全数与高弧之切线得视差小三角形内正对东西差边之角二十○度一十一分再推本角之正与东西差若全数与高庳差得一十三分○四秒为此时之东西差因此求时差得太阴行一十三分应为时二十四分二十六秒于法宜减故得食甚在午初二刻一十○分三十七秒在定朔之前也更求初亏约用前四刻依法复求视差其时黄道度限在鹑尾宫初度二十○分即午后一十四度四十○分距太阳二十八度四十六分太阳高四十八度得太阴高差四十○分东西差二十四分求其视行度得四刻行二十一分又以开方法得太阳自初亏至食甚行三十一分今视行二十一分得四刻则三十一分应得五刻一十三分五十四秒以减食甚时得初亏在己正一刻内一十一分四十三秒与实测时刻密合
　　凡九十度限去子午圏不远新两历所推之定朔不远则两所得之时差亦不远若相距远而度限在东则食在午前或在午后新历所得时刻皆多于历度限在西食在午前午后新历所得时刻皆少于历如万历三十八年庚戌十一月朔大綂历推食甚在申初一刻至期实测得申初四刻先天三刻于时度限距子午圏二十一度○四分在东距太阳五十九度四十七分日月并高一十六度得太阴高差五十四分一十五秒从是算得东西差二十八分三十一秒应时差四刻○一分三十五秒依法与实时相加而实时与大统历算小异在未正三刻○四分得视时乃大异是繇度限在东加数宜多而午正为限者加数则少安得不先天也又万历三十一年癸卯四月朔日食九分二十○秒大綂历推食甚在辰正初刻新历推得在辰正三刻内此时度限亦在东距午正一十五度四十二分较太阳距正午为更近所得东西差止一十九分二十四秒应时差四十七分四十六秒依法宜减则实时己初一刻○六分改视时为辰正二刻○三分此两食者皆所谓度限在东则食在午前午后新历所得时刻皆多于历者也又其甚者若日食在正午及度限之间则宜加者反减之宜减者反加之所失更多如崇祯四年辛未十月朔日食大綂推初亏未初一刻较新历迟三刻有奇食甚未正初刻新历推未初一刻内至期实测果在本刻内所以然者新历以黄道九十度限为中所得时差与实时相减则食甚后退故合大綂以午正为中所得时差反加而前进去之逾远矣盖本日食甚实时日月并已过午正一十七度二十九分○一秒未至黄平象限六度二十二分三十九秒则度限在午西二十三度五十一分○四秒算得东西差三分三十四秒应时差○五分为减而先推实会在未初八分四十○秒因时差退减为未初一刻内三分四十○秒如是止矣若以子午圏为中限则本时日月过午己十七度有奇在西东西差既宜少而多时差又反减为加即多得时刻若此者就用西法算两曜高三十五度四十八分及其距午正之度能生东西差一十一分一十三秒应得差二十二分定朔在未初二刻○五分相加亦不得不为未正可见中限异同实为加时离合之根也
　　算视会必求黄道九十度限
　　交食以黄道出地之最高度为中限固矣但限内所应加减者则有时差〈日食在九十度西时差宜加在东宜减〉此实食视食之所繇以先后〈详见上篇〉故算视会者必先求九十度限所向何方乃可然求之之方不一或依常法定其宫度分或依简法止推两曜当食之时居九十度东西何方而不必问其宫度先以常法论设甲乙丁斜三角形甲为天顶
　　乙为黄道交子午圏日月俱在丁以
　　升度得乙丁弧以太阳距度得甲乙
　　弧查本表得其两弧间之角以甲乙
　　丙三角形内因九十度限在丙必求甲丙为垂线指九十度距甲顶若干更求乙丙为九十度限与子午相距若干则丁丙乃日月距九十度○所自有者而以先得甲乙弧与乙丁弧及两弧间之角因求得时差此本九十度限表所繇起乃常法也第以此求之必先算日月高弧及高弧交黄道角等未免太烦乃简法则惟算黄道何度分当九十度即此斜角三角形内径求甲丁弧为日月高弧之馀弧又求甲丁乙角即高弧交黄道之角则视差小三角形内〈见前五卷三题〉以高弧得高差以本角得交角及馀角而推所对之弧为南北东西差固已捷若指掌矣再欲察日食在九十度限东若西亦得两法一以黄道在正午度推九十度距午左右何若则以定朔所得太阳躔度较先所得在正午黄道度即得太阳在九十度限东西何方如依甲乙丁斜三角形以升度求乙丁弧必得何度在乙〈子午圏交黄道之处〉使星纪宫初度或
　　鹑首初度在乙乃为正九十度此外
　　则以食时按极出地度求之盖北极
　　高过二十三度三十一分凡自星纪
　　初度至鹑首初度黄道度在午者必九十度偏东自鹑首至星纪黄道度在午者反为九十度偏西而距午最远者则在大火宫或玄枵宫随极高低不一亦随宫度各处不一也试以极高二十四度则九十度限距午最远特一十五度耳极高四十度则九十度限能距午二十四度馀宫度在九十度限亦距午渐近因而推日食在九十度之或东或西较较不爽也又一法以黄道交高弧角求之更凖盖本角向子午圏者在午前为锐角午后为钝角则食必在九十度之东若本角午前为钝角午后为锐角则食必在九十度之西如此可免再求矣
　　求视会复算视差之故第三
　　日食与九十度相近则太阴之偏东西不多所得时差于本食之实时不甚相远可免复求东西差倘所食远距九十度之限则太阴偏左偏右〈左右即东西〉者必多而能变其实行以为视行使不再三考求何从而知故必先算太阴之视差化之为时差次求其视行与太阳实相距若干则用以推东西差可得食甚至若初亏复圆总不外太阴之视行而得之此推步日食者所以复算视差求太阴视行
　　定太阴东西差须得其与太阳相会之实度应先〈如在九十度东〉应后〈在九十度西〉乃使太阴实行即从自行可得则或二十八分一小时或三十○分或三十三分有奇〈因最高最庳中距不等故〉以三率法推其度差则相应几何时刻因与定朔加减之其所得时亦可于真视会不远但先后会之度差必以太阴实行为主然因视差故每每移其本实行故以实行求时差多谬而以视行求之乃凖矣法曰日食在九十度东则较定朔前一小时食在九十度西则较定朔后一小时复求东西差以两差不等之分秒或加或减于太阴一小时因以实行得其视行若次得之东西差大于先得之东西差其两差不等之数为减若次得之差数小于先得数则两差不等之数为加乃得太阴一小时视行也或不用一小时先于定朔算东西差而以实行化为时差或加或减于本时得视会又以视会与定朔相去不拘若干惟于此时再求东西差两差不等之数依前法加减之必得太阴视行时差因以复算真时差
　　假如崇祯四年辛未十月定朔在辛丑日未初八分四十○秒此时顺天府得东西差三分五十○秒太阴一小时实行为三十三分二十○秒以此算得六分五十四秒为时差因食在九十度东故减得未初○一分四十六秒即相近视会时也次升度先在正午自春分起为二百二十六度二十五分四十○秒因时差宜减一度四十三分则以馀升度查本表得躔度在正午者为大火宫一十七度一十二分算得九十度在午西离二十三度三十五分比日月距午更远七度四十四分三十八秒又以太阳高三十六度一十四分算得高弧交黄道角八十四度一十七分则以馀角复得东西差四分五十○秒两差不等之数为○一分因后得之差大故先得差内减一分实得○二分五十○秒为太阴过太阳之视行也前时差○六分五十四秒今以三率法依本视行得前东西差○三分五十○秒应九分一十九秒为真时差因减故算得视会在午正三刻一十四分二十一秒〈一十五分为一刻〉
　　考真时差
　　真时差者为太阴视行反复推求再三加减吻与视会相合者也欲更考其实须算太阴实距太阳几何若所得分数与太阴所当视会之东西差等则所得视会亦凖若微有不等则以不等之分数化为时依两曜实相距之分数较之视差或大或小依法加减于前视会如距度大日食在九十度东则时差为加食在九十度西则时差为减如距度小则九十度东宜减九十度西宜加分秒内可得其凖也因此再求东西差而以本视会时复求九十度限与其距天顶及距太阳度因以本高弧及高弧交黄道角复算视差如前假如得真时差九分一十九秒何以知其然也因减时九十度略在前即夀星宫二十三度○六分距天顶五十三度四十○分距午二十三度三十一分较太阳复西去○八度二十一分算得高弧三十六度三十四分交角八十三度四十五分推东西差○五分一十三秒故以三率法用太阴实行三十三分二十○秒一小时以真时差得五分一十○秒为太阴实距太阳分数见其与才得之东西差相等则前时之时差亦凖若未等则求所差分数如前东西差三分五十○秒得九分一十九秒为时差此不等之三秒亦得七秒依前法视会内应减实得午正三刻一十四分一十四秒乃真视会也
　　求初亏复圆俱依视差算
　　凡算月食推初亏复圆先以开方求其自初亏至食甚所行之度分若干又自食甚至复圆所行之度分亦若干故所推食甚前后时刻大约相等算日食则不然虽太阴在食甚前后所行度数相等而所应之时刻鲜有不参差者盖视差能变实行为视行有前得之时较后得为多亦有后得之时较前得为多此中种种不一如图甲为太阳乙丙丁皆为太阴甲乙或甲丙为两曜视半
　　径甲丁为太阴食甚视距度则甲乙
　　线之方数减甲丁线之方数其馀数
　　开方得乙丁线为太阴自初亏至食
　　甚所行之度与丁丙至复圆数略相
　　等但太阴行过乙丙线时〈除食甚正在九十度〉
　　前后未尝相等故求之之法必于前时以东西差求其视行则得初亏距食甚之时又于后时复以东西差求其视行乃得复圆与食甚相距之时然初亏与食甚或皆在九十度东则因初时之东西差大于后时之东西差其两差不等之数减于太阴实行则得视行若初时之东西差反小于后时之东西差其两差不等之数则加于太阴实行而得其视行或初亏与食甚皆在九十度西而初时之东西差大后时之东西差小其两差不等之数用加如初时之东西差小后时之东西差大其两差不等之数用减与前法相反此较初亏与食甚若较食甚与复圆皆为一理第其两相比量俱以先东西差与次东西为主故求初亏则食甚为后时而求复圆则食甚又为前时也或前后两时不同在九十度之一边如初亏在东食甚在西则求东西差必不止食甚前后之两次因九十度而中分之则一视行求其时之多半又一视行求其时之馀乃合之为初时至后时太阴视会所行度分矣
　　假如视会在鹑首宫初度午后正二刻距九十度西得东西差○五分设得视行二十二分则太阴自九十度至本视会之度两刻间视东行一十一分如前图乙丁线为二十八分减一十一分所馀一十七分为太阴在九十度东自初亏至食甚时所行即因九十度前一小时以东西差得太阴视行二十一分故其行一十七分必须时三刻○四分乃自初食至正午〈此正午与九十度同故〉为太阴所行之时并午前后时总得五刻○四分为太阴自初亏至食甚过乙丁线所行时也
　　算日食复求太阴视距度之故第四
　　前以实会而不得其视会则所求者在东西差乃今视会真矣然何以知其所食大小之分数及以月掩日所向之方位乎曰此皆由于太阴视距度也故推步者必先于食甚求视距度则得日应食几何分又于初亏复圆求视距度则得月掩日之光在何方
　　日食分数
　　凡推月食以太阴实距度较其半径及地景半径即得月食之分今算日食法虽同然因视度为主则必以太阴视距度与日月两轮之半径相较乃得日食分矣依法于视径本表查日月半径并之减视距度为太阴掩日之分〈天度数之分〉次以三率法求食之分〈日径分十分之分〉因先于食甚求太阴实距度则太阴视会及实会间之本行或加或减于其交周度依时差加减得视会时太阴交周度用算或查表即得距度
　　假如时差为三十五分二十一秒宜加此间太阴过太阳行一十七分五十六秒太阳本行○一分二十七秒相加共得一十九分二十三秒为太阴本行今设交周实度为五宫二十九度因时差应加则交周多得一十九分二十三秒终得太阴食甚时实距北○一分四十一秒次以南北视差本实距度改为视距度故凡于三差小三角形内考时差并求南北差乃所得为正视会若太阴距黄道北人居夏至北则实距度恒减视差为视距度若太阳距黄道南则视差反加于实距度为视距度
　　假如万历二十四年丙申岁八月朔日食历官报应食九分八十六秒实测得八分强弱之间依新法算当食甚时太阳高五十○度○五分得太阴高差三十八分因九十度距太阳西一十六度○八分算得高弧交黄道角六十八度四十八分为南北差线其对角为南北差得三十五分因当时太阴近交中在黄道北二十八分五十○秒与南北差相减得○六分一十○秒乃太阴视距在黄道南矣又日月两轮半径并得三十二分○五秒减视距度得二十五分五十五秒以此求食分数得○八分二十九秒乃与所测适合也
　　日食图说
　　新法以图显本食所向之方故上下书南北左右书东西其绘图则以太阴距度为主但食时先后太阴距度常有变易或初亏距度多而复圆距度少或初亏距度少而复圆距度多此其故盖因食在交处前后之不一也若前后离交相等则虽距度同而所向南北未免有不同矣故日食前后求太阴视距度必以交周所应食甚视距度减其自初亏至食甚所行径度则得太阴初亏视距度又以加于自食甚至复圆所行径度则得其复圆视距度也复求交周所应太阴食甚视距度惟查距度表内上下左右则得交周度及其在交前后分数○
　　假如前万历二十四年食甚得视距度○六分一十○秒即交中后查本表右得○一度一十二分其本表上则得六宫乃所应视距度交周也又当时自初亏至食甚太阴所行径度三十一分○七秒与交周相减得六宫○度四十一分五十一秒相加得六宫○一度四十三分○五秒即初亏及复圆交周也依此交周复查表得初亏视距度○三分三十三秒而复圆得八分五十三秒因此画本食图如乙丁及丙戊两直线以直角在甲相交指南北东西方乙丁为黄道甲心为太阳居其中依前食论其太阳半径得一十五分一十五秒较太阴
　　半径略小甲戊线则并两轮半径为
　　三十二分○五秒因太阴食甚在辛
　　甲辛乃当时视距度○六分一十○
　　秒初亏在壬即乙壬与甲己相等只
　　三分三十三秒复圆在庚得丁庚与
　　甲癸相等共八分五十三秒而壬辛
　　庚皆视距南也










　　新法算书卷六十九
<子部,天文算法类,推步之属,新法算书>