新法算书 (四库全书本)/卷087

新法算书　卷八十七

　　钦定四库全书
　　新法算书卷八十七　　明　徐光启等　撰测量全义叙目
　　测量全义十卷前九卷属法原后一卷属法器法原者法之所以然也凡事不明于所以然则其已然者茫茫不知所来其当然者昧昧不知所往即使沿其流齐其末穷智极虑求法之确然不易弗可得已况天之高星辰之远历数之𧷤且隐也而不究其原可乎旋观往代如二十一史所载汉以后诸家之历详矣大都专求法数罕言名理即才士间出亦各窥一二莫睹大全杂以易卦乐律益增迷瞀何怪乎千八百年而未有定法也夫历法之原有二其一则象纬之原也天事也其一则推测之原也人事也象纬之原如测天约说所论百中之一二耳其他散见于七政本论会而通之聊足著明矣此书所论则推测之原也古今言推测者又有二其可以形察可以度审者谓之叀术不可以形察不可以度审者谓之缀术此所论者又缀术也缀术之用又有二其一总物以为度论其几何大曰量法也其一截物以为数论其几何众曰算法也历象之家兼用二法如鸟之傅两翼也则无所不可之矣凡几何之属有四曰点曰线曰靣曰体引为线线展为靣靣积为体究此四者诸有形有质之物细若纎芥钜若大圜悉可极其数而尽其变所以能范围不过曲成不遗也不可为度线不可为形必三线交始成三角形焉凡度与数不用此形即巧历无从布算故三角者虽形体之始基实测量之纲要诸卷中当首论者此也凡言度数必通大小通近远者也三角形繇两视线一径线径线者所测物之广也径之两端出两直线入交于目睛之最中而成形如分寸咫尺为近小之形乃至大圜七政为远大之形形绝不等然其为三角等则比例必等因而用小推大用近推远亡不合者故曰通大小通远近也夫学难者必自近也学微者必自显也最难且微莫如天之三光最易且显莫如地之百物次卷所测测地与物以此故也然而测一物之高一山之高与测日月星辰去地之高也无以异则亦通大小通远近者也其次进而测靣靣者平方平圆之类其变不可胜穷也然而测物之靣与测地景之靣测日月星之靣其理一也又进而测体体者立方立圆之类其变不可胜穷也然而测物之容与测地之容日月星之容其理一也是皆远近大小通焉者也既曰通焉而不言远大先言近小者则所以习之也习之奈何习手与目以求其贯也习心与意以求其信也不习不贯未有能信者也习且贯未有不信者也故习小习近言远大者之所求也夫论度数至于测体深矣微矣然而皆平靣直线也天则圆体其靣圆靣其线曲线也测圆靣之难十倍平靣测曲线之难十倍直线盖圆与曲谓之弧而测弧无法于无法中求有法其势不得不难世有传弧矢算术测圆术者皆非术也其本术稍见于大测其为数则割圆八线表而此书第七至第九则言其理与法也盖以弧背求矢用测曲线三角形展转推求展转变易凡周天众规相交相距所以经纬七政运行四时推迁运会者上下百千万年可知也诸天诸曜种种运行悉无一定之法其为纷𧷤莫可胜原此弧诸法则何以能追求至尽乎盖所论者非诸曜自行之度数而宗动天之度数也宗动者不依七政而能为七政之凖则历家谓之天元道天元极天元分至终古无变易也因此推步是以有恒御无恒历家之立法最难在此其用法最易亦在此矣终之以法器何也曰器之用大矣智者非器不作明者非器不述差者非器不改合者非器不验教者非器无以措其辞学者非器莫能领其意巧者非器未繇见其长拙者非器有所匿其短是以唐虞钦若首在玑衡历代以还屡更其制据今所有则浑天仪简仪立运仪浑天象四器也而年逾数百久阙缮治地址倾垫枢轴锈蚀浑天一仪不复运动简仪立运犹似堪用复少黄道规环且测候多端止凭一器架柱森列多成映蔽均赋辰度尚未精密刻定宿度则又元时所测非今测也此卷中分列诸器择其最急略有五种曰测高仪曰距度仪曰地平经纬仪曰赤道经纬仪曰黄道经纬仪有此诸仪相袭并用彼碍则此通可以无求不得矣更求密测责以分秒无差则一式又湏三器三器俱列用相参较三测并合则制器精工安置如式测验得法灼然具见矣有不合者可以推究病源更求厘正厘正之后测复参差则择其同者用之若止据一器有得即真乌从知其然不然可不可乎且旧仪大环径止五尺二寸度止十分今拟新式用半径者六尺则三倍大也度得百分则十倍细也用全径亦六尺度可六十分亦六倍细也夫今之改宪欲求倍胜于古非倍胜之器谅无从得之矣或疑法器重大取数复多即用物必奢是又不然今之旧仪不能揣知轻重大都唐宋以来考诸史志约略相等宋史言东都浑仪四座每座约铜二万馀斤今拟诸式槩从轻省若得宋元一仪之费足以尽造诸器有馀矣且每式三器诚不可少若宛转相就则经纬仪可以得距地平仪可以得高一倍本数亦能通用或五大既全稍从狭小以为副贰兼用精铁以省铜材固无不可则所计一仪之费尚可损其半也惟是旧仪欲将修改则一器止堪一用其修改之费恐过于造作计不当为之耳惟浑天象止以测到度分量度经纬在于施用未为关切今体制完美无烦再造矣
　　界说二十三则
　　第一界
　　正弧全圏四分之一或大焉或小焉
　　如图甲乙丁为全圈之半乙丙丁为四分之一是名一象限九十度正弧之大无过于此若甲乙丙则大于象限丙丁则小于象限但
　　小者皆名正弧而大者则名过弧
　　第二界
　　馀弧正弧之剰分
　　如庚己正弧庚乙为馀弧是正小于己
　　乙也如庚丁过弧则大于丁乙而庚乙
　　为过弧之馀弧也
　　第三界
　　通者通弧之相当线分圏为两分〈相当线亦名对线〉
　　如庚丙线与庚乙丙弧相当又与庚己子丙弧相当第四界
　　圏内线极大过心者为圏径
　　如己戊丁是
　　第五界
　　正之半
　　如丙甲庚半之为丙甲正当丙乙弧又丙辛子半之为丙辛正当丙丁弧或曰正者从圏上一点作垂线至己丁径上则丙辛为丙丁弧相当之正第六界
　　馀馀弧之正
　　如丁丙正弧则丙乙其馀弧丙甲为丙乙之正丙丁之馀
　　第七界
　　倒者馀与半径之较亦名矢
　　如丙甲馀与辛戊线等以辛戊减丁
　　戊半径存辛丁为丙丁弧之倒亦为
　　丙丁弧之矢
　　第八界
　　全径之半象限弧之正
　　第九界
　　直线角在圏心或大或小皆居对弧两腰间〈相当弧亦曰对弧〉如丙戊丁角在戊心向丙丁正弧则角生于丙戊丁戊两腰间

　　第十界
　　馀角者馀弧之正角〈对角亦名正角亦名相当角〉
　　如丙戊乙角为丙丁正弧之馀角即丙乙馀弧之正角第十一界
　　切线者圏径界之垂线亦名切圈线在圏外〈如下界之丙甲线〉第十二界
　　割线者直角之对线亦名交线亦名截线在圏之内外如甲戊丙形甲直角〈凡言甲角当九十度弧之直角〉戊为心丙戊交圏于乙割线也此线限心上角
　　限甲乙弧则角与弧胥生于甲戊戊丙两腰间又曰正割线者正弧之割线如甲乙正弧则戊丙正割线也第十三界
　　馀切线者馀弧之切线
　　第十四界
　　馀割线者馀弧之割线
　　如戊丁馀弧乙己为割线是甲戊弧之馀割线
　　第十五界
　　全圏三百六十度半径之全数十万平分〈或用一万或用百万千万皆可〉第十六界
　　设弧者任取全圏之一分〈凡言设者先有定数也或称有或称得〉
　　如甲戊丙角形戊为心甲乙丁其象限弧也取甲乙一分四十度则甲乙为设弧也
　　第十七界
　　设角者设弧之角
　　如戊心甲戊戊乙两腰弧甲乙则因弧而称甲戊乙角言角之度分即对弧之度分
　　第十八界
　　设正
　　如丁戊半径十万分先言丙辛若干分则所设丙丁弧之正

　　第十九界
　　设切线
　　如甲乙全数先言甲丙若干数则所设切线
　　第二十界
　　设割线
　　如甲乙全数先言乙丙若干数则所设割线
　　第二十一界
　　设边线
　　如甲乙丙角形先言甲乙四丈或乙丙五丈或甲丙三丈俱所设边线
　　第二十二界
　　方数者方形边自乘之数
　　如正方边四自之得一十六方之各边俱等
　　方形根者开方所得方形一边之数
　　第二十三界
　　平形有方有矩〈方者直角方形矩者矩内直角形〉
　　矩形边两两自相等有一边有实用算得所求他边开方法有本论本书今别撮为图欲求根一简即得省布算焉简法见筹算
　　测量全义卷一
　　第一题
　　通与通弧正与正弧比例等〈比例等后省曰若〉
　　解曰有己庚乙丙丁圏其通径己戊丁戊上作乙戊垂线别作庚甲丙线与己丁平行则庚甲丙为庚乙丙通弧之对题言
　　庚甲丙通与庚乙丙通弧之比例若丙甲正与乙丙正弧
　　论曰戊心上垂线作直角平分庚乙丙弧则庚甲戊丙甲戊两角形等何者庚戊丙戊从心至界等甲两旁直角等甲戊同边则两形必等两角之对弧亦等〈几何三卷二十六〉故庚甲丙偕庚乙丙两全与丙甲偕丙乙两半比例等
　　第二题
　　圏内正弧等正亦等反之正等正弧亦等
　　解曰有全圏丁丙乙寅己丁寅为径设丁丙乙寅两正弧等从丙从乙作丙戊乙己两垂线截径于辛于壬作直角平分两
　　〈三卷第三〉亦平分丙丁戊乙寅己两弧〈三卷三十〉是丙丁丁戊偕乙寅寅己之各两半与丙丁戊偕乙寅己之两全比例等则其丙辛戊乙壬己之两全与丙辛辛戊偕乙壬壬己之各两半比例亦等题言丁丙乙寅两正弧既等则丙辛乙壬两正必等
　　论曰丙丁与乙寅两弧既等则作丙庚乙庚自心至界之两等线得丙庚丁角与乙庚寅角等〈三卷二十七〉丙辛庚与乙壬庚两直角亦等而丙辛庚乙壬庚两三角形必等故丙辛乙壬两正必等反之丙辛与乙壬丙庚与乙庚各等丙辛庚乙壬庚两直角等则丙庚辛乙庚壬两角亦等〈一卷第八〉而丙丁乙寅两对弧必等〈三卷第二十六〉
　　第三题
　　圏之内大弧大小弧小反之大大弧小小弧各相对
　　解曰甲乙丙丁圏甲己大弧丙庚小弧题言己卯大于庚寅
　　论曰试取甲辛弧与丙庚弧等从庚乙己辛各
　　作垂线过甲丙径至于丑于丁于癸于子其庚寅辛壬两半等〈本卷二〉即庚丑辛子两全亦等〈三卷第三〉己癸近心大于辛子〈三卷十五〉是全大于其全也〈五卷十五〉己卯视辛壬半不大于其半乎次论曰试截卯己于午与庚寅等午上作垂线至辛与丙甲径平行午卯庚寅既等自与辛壬等〈皆在两平行线内〉甲辛丙庚两弧亦等己甲全弧大于辛甲分弧己卯大必大于辛壬小是大对大弧小对小弧也第四题
　　圏径截亦截弧任分之两分与两弧之正各相似解曰有圏径乙辛截丙丁通于己截丙乙丁通弧于乙其丙乙乙丁两分弧之各正为丙甲戊丁题言丙己己丁两分
　　与甲丙戊丁两正比例等
　　论曰丙甲己丁戊己两角形相似何者两形有相等之己交角有相等之两直角即丁角与丙角必等〈一卷三十二〉是形与形边与边俱相似而丙己己丁两分之比例与丙甲丁戊两正自相似
　　第五题〈三支〉
　　三不等角形作垂线任分底为二其大分依大边大边上方大于小边上方其较为底全线偕分馀线矩内形先解曰丁乙丙角形三边不等丁乙小丁丙次之乙丙大为底〈凡边大者为底〉从丁角作垂线至底题言分底为二者谓垂线之甲在形内盖乙丙边大即对角之乙丁丙角
　　亦大乙丙两角必小如谓在形外即以乙丙边引长于己而令己作直角将丁己乙三角形内有丁乙己钝角〈甲乙丁为锐角故也〉又有己直角是两角大于两直角也可乎次解曰丁甲垂线任分乙丙底题言甲丙大分依丁丙大边
　　论曰丁丙边既大于丁乙边即其上方形亦大而丁丙上方与甲丁甲丙上两方幷等〈一卷四十七〉则甲丁甲丙两边幷亦大于甲丁甲乙两边幷试减同用之甲丁则所存
　　甲丙亦大于甲乙是甲丙大分依丁丙大边也三解曰丁丙方大于丁乙方其较乙丙偕戊丙矩内形论曰试截甲戊与甲乙等其乙戊线平分于甲有引增戊丙线则乙丙偕戊丙矩内形及甲戊上方形幷与甲丙上方形等〈二卷第六〉次各加一甲丁上方形则乙丙偕戊丙矩内形及乙甲〈即甲戊也〉甲丁上两方形或丁乙上方形〈乙甲甲丁两方幷与丁乙方等一卷四七〉与甲丙甲丁上两方幷或丁丙上方形俱等夫丁乙上方形内有甲乙甲丁上两方形独少乙丙偕戊丙矩内形则丁丙上方大于丁乙上方形之较为乙丙偕戊丙矩内形
　　第六题〈四支〉
　　三不等角形从角作垂线任分底为二知其边数即知各分数
　　解曰同前图乙甲甲戊等戊丙为任分之较法曰丁乙丁丙上两方之实相减馀者以底数而一得戊丙以减底数馀者半之得乙甲
　　小分如丁丙十五丁乙十乙丙底十八丁丙自之得二百二十五丁乙自之得一百相减存一百二十五以底十八为法而一得六又十八之十七戊丙也以减十八存十一又十八之一乙戊也半之得五又三十六之十九乙甲也次解曰依二卷十三题乙丙为两锐角则丁丙上方小于丁乙乙丙上两方其较为乙丙偕乙甲矩内形二法曰用前数乙丁一百乙丙三百二十四两方形幷为四百二十四减去丁丙方形之数二百二十五存一百九十九为实底数一十八为法而一得乙甲之数约之为五又三十六之十九者二
　　三解曰以丁大角为心丁乙小边为界作全圏截丁丙于己乙丙于戊丁丙引长于辛丁乙丁辛两半径等则辛丙偕己丙与乙丙偕戊丙两矩内形等〈三卷三十六〉乙甲甲戊又等〈三卷三〉丙乙大边有戊丙分在圏外
　　法曰用前数丁丙十五加丁乙十或丁辛得辛丙二十五丁己与丁乙等则辛己径为二十以己丙五乘辛丙得一百二十五为实乙丙十八为法而一得六又十八之
　　十七为戊丙有戊丙得乙戊平分乙戊得乙甲四解曰以丁大角为心丁丙大边为界作全圈乙丙底引长于戊丁乙边引长于庚于己即庚乙乙己矩内形与丙乙乙戊矩内形等〈三卷三十五〉丙甲甲戊既等庚丁丁丙亦等庚乙边二十五丁丙丁乙两边幷亦二十五丁己丁丙各十五减丁乙十存乙己五
　　与庚乙相乘得一百二十五为实乙丙十八为法而一得六有竒为戊乙以加乙丙十八得戊丙平分得丙甲第七题
　　断比例之四率以三推一名三率法
　　解曰四几何为两比例等先有三推得第四或同类或异类其前其后不得更易用反理亦用转理列第一第二第三率即可推第四率依七卷十九题中率相乘与首尾两率相乘得数等故二三相乘为实第一为法而一得四率也昔人因其用大算家必需称为全法焉〈同类异类反理转理俱见几何四卷〉
　　第八题
　　三边直角形锐角为心底为界作象限圏半径为全数在心角对边为其弧之正其旁为正弧之馀馀弧之正解曰如前图甲乙丙直角形乙锐角为心乙丙底为界作丁己象限圏引乙甲边于丁从心作乙己垂线题言甲直角乙丙为对边作全数〈本界说八〉丙甲边为在心角之对边即丁丙弧
　　之正〈本界说五〉而甲乙边为丁丙正弧之馀为丙己馀弧之正所以然者试从丙作丙戊与甲乙平行甲直角丙戊乙亦直角则丙戊甲乙两线等〈一卷三十四〉丙己弧为丁丙正弧之馀弧丙戊为丙己馀弧之正为丁丙正弧之馀〈甲乙同〉
　　又如后图用锐角丙为心乙为界则乙甲
　　为丙角之对边为乙丁正弧之正甲丙其馀〈乙戊同〉第九题
　　三角形边与边之比例若各对角之正
　　解曰题一言直角形依前论各边为对角之正在心角与正弧与正俱同理则弧与弧与角与角其比例俱等二言三边等即三角俱等〈一卷五〉角之正亦等则边与边皆若角与角三言己乙丙杂角
　　形三边形不等则以己乙小边引长于丁为乙丁与己丙等丙为心己为界作己庚弧又乙为心丁为界作丁戊弧末作丁辛甲己两垂线至乙丙底
　　论曰丁辛乙甲己乙两直角形之丁辛甲己平行同用乙角即各边俱相似〈六卷四〉则乙丁与乙辛若乙己与乙甲又先设乙丁己丙等是丙己边与丁辛若己乙边与甲己也夫丁辛为乙角之正甲己为丙角之正更之则丙己边与己乙边若乙角正之丁辛与丙角正之甲己也
　　第十题
　　有三角即有三边之比例
　　解曰直角形设一锐角自有其二〈一卷三十二〉三边等形设一边自有其三两边等形有腰间角以减两直角平分其较自得底上角杂角形有两角幷以减两直角其较为第三角〈杂角者总直钝锐也下文以直角为例〉如乙角四十二度查正得六六九一三丙角四十八度得七四三一四则丙甲边与乙甲边若六六九一三与七四三一四约之为三十三与三十
　　七有竒也其乙丙与丙甲若全数与乙角之正六六九一三也钝角同理
　　第十一题
　　三角形有设角之比例即有各角之几何
　　解曰乙丙丁角形丁角与乙角若三与四乙角与丙角若四与六题言可得各角之几何
　　论曰三几何分之有比例幷之亦有比例〈五卷十八〉乙丙丁三角幷得十三其与丙若十三与六与丁若十三与三与乙若十三与
　　四
　　如求每角几度则用三率法三角幷为第一两直角幷一百八十为第二每角之分数为第三推之得第四


　　或用四卷八题之法三与四四与六四数横列之以第一第三相乘所得为第一率以第二第三相乘所得为第二以第三第四相乘所得为第三〈再用前法〉又如乙与丙若三与四丙与丁若五与六列数如图



　　第十二题　论直角三边　〈四支〉
　　三角形有锐角及直角之对边求馀边
　　一法曰置〈三角形之直角之对边也〉如乙丙二丈五尺乙角三十六度五十二分丙角必五十三度○八分求丙甲边以乙角为心作
　　丁丙戊象限弧则乙丙全数也丙甲边乙角之正也一率甲直角之全数十万
　　二率丙乙边外数二十五尺〈言内者八线表数言外者今所求得数如丈尺等〉三率乙角〈三十六〉一度五十二分　　或用丙角五十三度
　　正内数五九九九五　　　　其正内数八○○○三
　　四率得一四九九约得一丈四尺　　四率得二丈
　　为甲丙边外数　　　　　为甲乙边外数
　　用加减法
　　凡全数为第一率如置十万即第二第三率之数进为万加○若过万则退位两率各当正向各表上取其弧两弧幷而相减求总存两弧之各馀若总数过九十者两馀相加其半为第四率总数不过九十者两馀相减所存半之为第四率
　　如全数与二十五若五九九九五与所求数法二十五作二万五千正表取其弧得十四度二十九分查第三率得三十六度五十二分两弧幷得五十度二十分其馀为六三八三三相减存二十二度二十四分其馀九二四五五两馀之较二八六二三半之得一四三一为第四率与三率乘除所得同
　　用切割两线
　　二法曰丙乙角为心甲为界作甲戊己
　　弧截乙丙于戊则乙甲边全数也甲丙
　　乙角之切线也乙丙乙角之割线也有
　　乙设角即有其切线与割线而求甲乙边则乙角之割线与乙丙〈外〉若乙甲全数与乙甲〈外〉又求甲丙边则乙角之割线与乙角之切线若乙丙〈外〉与丙甲〈外〉
　　一乙角三十六度五十二分之割线三四九九五二乙丙外边二十五　　或二乙角之切线七四九九一
　　三全数十万　　　　　○三乙丙外边二十五四得二十为外甲乙边　　四得十五为外甲丙边
　　三法曰设直角傍之一边如乙丙甲角
　　五十三度八分用正则乙丙为全数
　　其法为丙角之正与乙甲外数若甲
　　直角之全数与乙丙底外数
　　丙角五十三度八分之正八○○○三
　　乙甲边外数二十
　　乙丙全数十万　　　　乙角之正五九九九五得二十五强即乙丙底外数　　得一十五强乃甲丙边外数
　　用割切二线
　　四法曰设乙甲边与乙角则甲乙全〈内数〉与其外数若乙丙割线〈内数〉与其外数或
　　若甲丙切线〈内数〉与其外数底与边俱得
　　乙甲全数十万
　　乙甲边数二十
　　乙角割线内数一二四九九五　　乙角切线内数七四九九一得二十五强即乙丙外数　　得一十五强即甲丙外数
　　第十三题〈三支〉
　　有两边求馀边又求其角
　　一支两边在直角之傍
　　一法曰先求边用勾股法两边数自之幷
　　而开方得直角之对边〈一卷四十七〉次以边求其角因角与角之比例若边与边用正数为丙乙边之外数与甲角之全数若丙甲边外数与乙角之正亦若甲乙边外数与丙角之正
　　丙乙外数五
　　全十万
　　甲乙外数三　　　　甲丙边外数四

　　用剖切线
　　二法曰丙锐角为心丙甲为全数甲乙其切线丙乙割线也先求角则甲丙边
　　外数与全数若甲乙边外数与丙角之切线丙甲外数四
　　全十万
　　甲乙边外数三
　　得七五○○○为丙角之切线查得三十六度五十二分
　　有丙角自有乙角而求丙乙边则全数与甲丙外数若丙角之交线与丙乙外数
　　全十万
　　甲丙外数四
　　丙角交线一二五○二二
　　得五为丙乙边外数
　　二支一边为直角之对一边在直角之傍
　　三法曰先用勾股法两设边各自之相减馀开方得所求边有边求角则角与角之比例若边与边
　　四法曰不用开方用第一支求角法有二边即有对角之数次求边则丙乙全数与丙乙外数若乙角之正与丙甲外数
　　全数十万
　　乙丙外数五
　　乙角之正八○○○三
　　得四为甲丙边外数
　　用割切两线
　　五法曰求角用乙角之割线则乙甲外
　　数与全数若乙丙外数与乙丙内数内
　　乙丙者乙角之割线也
　　乙甲边外数三
　　全数十万
　　乙丙外数五
　　得一六六六六六为乙角之割线查得五十三度五十二分〈丙角三十六度○八分〉
　　六法曰求边用乙角之切线则乙甲内全数与乙甲外数若乙角之切线与甲丙外数
　　乙甲内全数十万　　或乙角之割线一六六六七九
　　甲乙外数三　　　　　乙角之切线一三三三四九乙角之切线一三三三四九　　　乙丙边外数五得四为甲丙边外数　　得四为甲丙边外数
　　又问有一边及两边之比例馀边几何
　　法曰设一边与第二边有比例或大或小则以大比例为前数为第一率设边数为二率
　　比例之后数为三率用三率法得四率为第三边之数次用勾股法求第三边如乙甲一丈乙甲与甲丙若二十与二十五得甲丙一丈二尺五寸次用开方求之又问设两边总之较问各边若干此测量不常用见勾股索隐
　　又增题　三边直角形设两腰以求角法曰设甲乙七十五甲丙百则以乙丙底平分于丁作丁戊垂线交丙甲腰于戊从戊至乙角作戊乙线是与戊丙等〈一卷十〉次以戊为心乙为界作丙乙己半圏丙甲腰引长至己即乙甲为丙甲甲己之中比例线〈六卷十三〉是乙甲上方形与丙甲甲己矩内形等次以乙甲边自之以丙甲边而一得甲己知丙己径之
　　数即知丙戊及戊乙半径之数用三率法外戊乙与全数若外乙甲与乙戊甲角之正夫乙戊甲在心角也丙在弧角也弧角半于心角则因乙〈戊甲〉角得丙角〈三卷二十题〉
　　甲乙七十五自之五千六百二十五甲丙百而一得五十六又四之一与丙甲幷得一百五十六又四之一即丙己半之得七十八又八之一即丙戊半径
　　戊丙七八又八之一
　　全十万
　　甲乙七五
　　乙己弧正九六○○○
　　查得七十三度二十二分半之得三十六度四十一分用切线甲丙全数也丙甲为丙乙甲角之切线则甲丙一率也全数二率也甲乙三率也所得丙角之切线也
　　第十四题〈论杂角三边形〉
　　有三角及一边求第二第三边
　　解曰依前论边与边若角与角如设乙角六十○度丁角三十六度丙角八十四度乙丙边一十○步
　　法曰所有边其对角之正为第一率边数
　　为二率所求边对角之正为三率得四率即所求边数
　　丁角之正五八七七九
　　乙丙边数一十
　　丙角之正九九四五二　　乙角之正八六六○○一得十七为丁乙边　　得十五为丙丁边
　　若三角形有钝角当借用其馀角之正
　　第十五题〈三支〉
　　有角及其旁两腰求馀边馀角
　　一支不论角之体势　如丁乙丙角形乙丁边一十二步丁丙一十五步丁角二十四度三十七分而求乙丙边乙角丙角先以丙丁边引长之丁为心乙为界作乙壬辛戊弧截引长边于戊次作戊乙通从丁作丁庚辛线与丙乙平行末平分戊乙作丁甲壬线
　　解曰乙丁丙角二十四度半强则乙丁戊角
　　必一百五十五度半弱庚丁戊角与丙角等〈在平行线内〉庚丁乙角亦与丁乙丙角等盖丁乙线交两平行线故其相对两内角等则乙丁边与丙角之正或庚丁戊角之正若丁丙与乙角之正或庚丁乙角之正依显戊庚与庚乙若庚丁戊角之正与乙丁庚角之正亦若乙丁〈一十二〉与丁丙〈一十五〉也〈本卷四题〉次以乙丁丁丙同比例之戊庚庚乙幷得戊乙二十七半之得甲戊一十三又半为外一率甲丁戊角之切线为内二率甲戊内减比例之小数戊庚存甲庚一有半为外三率求得甲丁庚角之切线为内四率查得本角之度知甲丁戊角则亦知甲戊切线知甲庚庚戊之比例则亦知甲丁庚角之切线甲庚也甲丁庚为乙丙两角之较以加减得各角之数
　　乙丁边十二丁丙边十五总二十七代以乙戊也半之得十三半甲戊也减比例小数即十二馀一半甲庚也丁角二十四度三十七分乙丙两角幷得一百五十五度二十三分即戊丁乙也其半七十七度四十一分甲丁戊也
　　法曰乙丁丁丙两边数幷半之为第一率乙丁戊角之数半之为甲丁戊其切线为二率甲戊内减去比例之小数十二所存甲庚为三率得甲丁庚角之切线查度以减甲丁戊外角所存为庚丁戊角之度即丙角之度既得角则用前法求边〈或两腰总数作第一率两腰较作第三率〉
　　甲戊十三有半
　　甲丁戊角之切线四五八○○一
　　甲庚有一半
　　得五○八一五为甲丁庚角之切线查得二十六度五十六分
　　甲丁乙角七十七度四十一分加甲丁庚角二十六度五十六分共一百○四度三十七分即丁乙丙角也又甲戊丁角七十七度四十一分减甲丁庚角二十六度五十六分馀五十度四十五分为丙角则乙丁边与丁丙边若丙角与乙角
　　二支所设为钝角解曰如丁乙丙角形丙钝角一百三十度丁丙边一十二步丙乙边一十五步用设边如乙丙引长之从丁作垂线至引长边得甲在形外何者甲乙丁角形有甲直角丁丙乙角形有丙钝
　　角则丙丁乙丙乙丁两角小于甲丁乙丁乙甲两角盖每角形之三角幷等两直角钝大于直则所馀两角幷必小于直角之两馀幷矣故丁甲线在丙丁之外丁丙乙角既一百三十度甲丙丁其馀角也必五十度丙丁甲角必四十度一法用正用开方丁角为心丁乙边为界作戊乙辛圏分又丁丙为界作午丙子象限圈即甲丁丙直角形有丁丙边十二步甲丙丁角五十度丙丁甲角必四十度而求甲丁甲丙两边其法全数与丁丙若甲丙丁角之正与甲丁甲丙亦如之既得两边开方求丁乙边〈甲丙丙乙幷之得勾丁甲为股故也〉
　　全数十万
　　丁丙边外数十二
　　甲丙丁五十度角之正七六六○四　甲丁丙四十度角之正六四二七九得九又一百之十九为甲丁边外数　得七又一百之七十一为甲丙边外数〈甲乙二十二又一百之七十一甲丁九又一百之十〉自之幷得一万之六○○二四三五开方得一百之二四四九即丁乙边约之得二十五不足有三边以求角则丁乙边与全数若丁丙边与乙角之正查得二十二度有竒
　　用割切两线丁为心作甲己象限圏即丙丁为丙丁甲角之割线甲丙其切线也乙丁为乙丁甲角之割线甲乙其切线也甲丙丁角有五十度其形内有丁丙两锐角有丁丙边十二步而求甲丁甲丙两腰得甲丁九步又一百之一十九甲丙七步又一百之七十一以丙乙丙甲幷为甲乙边二十二步有竒则甲丁乙三角形有甲丁甲乙两边开方求丁乙底得二十四步
　　半有竒
　　甲丁丙角割线一三○五四
　　丁丙边外数十二
　　全数十万　　　　　　甲丁边角切线八三九一○得九又一百之十九为甲丁边外数
　　有三边以求角则甲丁边外数与全数若甲乙边外数与乙丁甲角之切线
　　甲丁边数九步一十九分
　　全数十万
　　甲乙边之数二十二步七十一分
　　得二四七一一六为乙甲丁角之切线查得六十度五十分
　　三支所设为锐角解曰如丁乙丙角形乙锐角二十四度二十七分丁乙边三十六步乙丙边五十二步十五之十一一法用正数亦用开方从乙丙底之对角丁作垂线分元形为甲乙丁甲丙丁两形次以丁为心丙为界作寅丙壬弧又以乙为界作辛乙庚弧夫甲乙丁角形丁乙为全数设乙角则甲丁为正甲乙又丁角之正用法求甲丁为一十五步求甲乙为二十二步又一十五之一十一则以甲乙减丙乙存甲
　　丙线二十步依显丁甲丙角形有丁甲一十五步甲丙二十步用开方法求丁丙得五步末以三边求甲丙丁角得三十六度五十○分
　　全数十万
　　丁乙边外数三十六
　　乙角之正四六六七　乙角之馀九○九○六得十五为丁甲边外数　得二十三又十五之十一为乙甲边外数丁丙边二十五
　　甲丁边十五
　　全十万
　　得六○○○○为丙角之正查得三十六度五十五分
　　用割切两线丁为心丁甲垂线为界作己甲午半圏丁
　　甲乙角形丁甲为全数丁乙边为乙丁
　　甲角之割线甲乙其切线也又丁甲丙
　　角形丁甲为全数丁丙边为丙丁甲角
　　之割线甲丙其切线也丁乙甲角形有
　　丁乙边三十六步有丁角为乙之馀角
　　六十五度二十二分用法求丁甲甲乙两边于丙乙减甲乙存二十为甲丙边又丁甲丙角形有丁甲甲丙两边用法求丙角亦求丁丙边
　　乙丁甲角之割线二三九九九九
　　丁乙外边三十六
　　全数十万　　　　　乙丁甲角之切线二一八一七三得十五为所求外丁甲　得三十二又十五之十一为外甲乙求角甲丁边十五
　　全数十万
　　甲丙边二十
　　得一三三三三三为甲乙丙角之切线查得五十三度○七分求边全数十万
　　甲丁丙角之割线一六六六六五
　　丁丙边十五
　　得二十五弱为丁丙边
　　甲丙甲丁两边之正方实幷而开方得丁丙二十五弱第十六题〈四支〉
　　杂角形设两边及一边之对角求馀边馀角
　　一支不论角之体势依边与边若角与角比例之法
　　先求乙角则丁乙为外一率其对角〈即丙角〉之
　　正为二率丁丙为外三率所得为乙角之正以丁二十五步弱丁丙十二步丙角百三十度列数得之丁乙边二十五步弱
　　丙一百三十度用五十度角之正七六六○四〈为一当大小两弧〉
　　丁丙边十二
　　得三七五○○为乙角之正查得二十二度○二分
　　幷乙丙两角之度以减一百八十馀二十七度五十八分得丁角
　　次有角求丙乙边则乙角之正与外丁丙若丁角之正与外丙乙
　　乙角之正三七五○○
　　丁丙边十二
　　丁角之正四七○○○
　　得十五为丙乙边
　　二支所设为钝角〈数如前〉用所设两腰间之丁角为心以丙以乙为界各作弧用正数如十四题第一图丁丙乙钝角一百三十度则甲丙丁角必五十度丙丁甲角必四十度〈甲直角故〉求甲丁边用前法〈如一图〉又甲丁乙角形有甲丁边九步又百分之一十九分丁乙边二十四步求甲乙丁角〈如二图〉　又丁丙乙角形有乙角有丁丙乙
　　角依前法求丙乙边〈如三图〉
　　全数十万
　　丁丙边十二
　　甲丙丁五十度角之正七六六○四
　　得九又一百之十九为甲丁边数
　　丁乙边二十四步半　乙角之正三七五○
　　全十万　　　　　　丁丙边十二
　　甲丁边九步又一百之十九　丙甲乙角之正四六八九六得三七五一为甲乙丁角之正　得十五为乙丙边
　　用割切两线甲丁为全数丁丙为甲丁丙角之割线甲
　　丙其切线也丁乙为甲丁乙角之割线
　　甲乙其切线也今有丁丙乙角一百三
　　十度馀角甲丙丁必五十度则甲丁丙
　　直角形有两角有丁丙对直角之边而
　　求甲丁边
　　一图
　　甲丁丙四十度之割线一三○五四一
　　丁丙边十二
　　全数十万
　　得九又一百之十九为甲丁边外数
　　二图
　　或甲丁丙角之切线八三九一○为三率
　　得七又半不尽为甲丙边外数
　　三图
　　甲丁边九有竒
　　丁乙二四半
　　全数
　　得二六六五九四为甲丁乙割线查得六十七度二十三分〈乙角之度二十二度○十○分〉四图
　　全数
　　甲丁边九有竒
　　丙切线之较一六一三五
　　得十五为丙乙边
　　又甲乙为甲丁乙角之切线甲丙为甲丁丙角之切线丙乙为两切线之较则全数与甲丁边若切线之较与丙乙〈如四图〉
　　三支三角形有两边及锐角其二亦锐角如丁乙丙形有丁乙边三十六步丁丙边二十五步丁乙丙锐角二十四度三十七分丁丙为其对边法用所设两腰间之丁角作甲丁垂线至丙乙边用正数丁为心丙为界作
　　戊丙弧乙为界作己乙弧即甲丁乙角形有丁乙边有乙角可求甲〈丁甲乙两〉边〈如一二图〉甲丁丙角形有甲丁丁丙两边可求丙角〈如三图〉可求丙甲边〈如四图〉
　　一图
　　全数十万
　　丁乙边三十六
　　乙角之正四六六七
　　得十五为甲丁边外数
　　二图
　　或乙丁甲角之正九○九○六为三率
　　得三十二又十五之十一为甲乙边外数
　　三图
　　丁丙边二十五
　　全数十万
　　甲丁边十五
　　得六○○○○为甲丙丁角之正查得三十六度五十○分四图
　　全数十万
　　丁丙边二十五○○○○
　　甲丁丙角正八○○○○
　　得十五为甲丙边外数
　　用割切两线丁乙为乙丁甲角之割线甲乙其切线也即甲丁乙角形有丁乙六十三步乙角二十四度三十七分可求丁甲甲乙两边〈如一二图〉又甲丙丁角形有甲丁丁丙两边可求
　　甲丁丙角甲丙边〈如三四图〉
　　一图
　　乙丁甲角之割线二三九九九九
　　全数十万
　　丁乙边三十六
　　得十五为甲丁边外数
　　二图
　　或乙丁甲角之切线二一八二五一
　　得三十二又十五之十一为乙甲边外数
　　三图
　　甲丁边十五
　　全数十万
　　丙丁边二十五
　　得一六六六七九为甲丁丙角之割线查得五十三度八分四图
　　全数十万
　　甲丁丙角之切线一三三四九
　　甲丁边十五
　　得二十七又十五之四为甲丙边外数
　　四支所设为锐角有两边其旁为钝角
　　一法用正数如丁乙边二十四步半丁丙边一十二步乙锐角二十二度○二分丙为钝角用第二支图作丁甲垂线即甲丁乙直角形丁乙二十四步可求甲丁甲
　　乙两边〈如一二图〉甲丁丙直角形有甲丁丁丙两边可求甲丁丙角〈如三图〉甲丙边〈如四图〉
　　一图
　　全数十万
　　乙丁边二十四步半
　　乙角之正三七五一五
　　得九步又一百之十九为甲丁边
　　二图
　　或甲丁乙角之正九二六九七为三率
　　得二十二又一百之七十一为甲乙边
　　三图
　　丁丙边十二
　　全数
　　甲丁边九又一百之十九
　　得七六六○一为甲丁丙角之正查得五十度四图
　　全数
　　丙丁甲角之正六四三○一
　　丁丙边十二
　　得七又一百之七十五为甲丙边外数
　　用割切两线法与前同
　　第十七题
　　三角形有三边求三角
　　三边等则三角亦等各角皆六十度于一百八十度为三分之一或两边等如丁乙丁丙法从丁作丁甲垂线至乙丙底分本
　　形为甲丁乙甲丁丙两角形而等何者丁乙丁丙两腰等乙甲甲丙又等丁甲同腰则两形必等〈一卷八〉即甲乙丁角形有丁乙腰乙甲半底依角与角若边与边用三率法求之先置各腰五步乙丙六半之为乙甲三推得乙丁甲角倍之得乙丁丙角以减两直角馀为乙丙两角幷之数半之得两角数为两角等故
　　丁乙边五
　　全数
　　乙丙边三
　　得六○○○○为乙丁甲之正查得三十六度五十二分
　　甲丁乙三十六度五十二分即所倍乙丁丙为七十三度四十四分以减一百八十存一百○六度一十六分为乙丙两角之幷数半之得五十三度○八分为乙丙两角之各本数
　　或各边不等如丁乙丙角形丁乙一十步丁丙一十五步丙乙一十八步用丁角为心〈此角在两小腰间〉丁乙为界作戊乙己辛圈而以丙丁边引长至戊依五题求甲乙得五步半甲丙得一十二步半即甲丙丁直角形有丁丙甲
　　丙两边求得丙丁甲角〈如一图〉因得甲丙丁角又甲丁乙直角形有丁乙甲乙求得甲丁乙角〈如二图〉因得甲乙角又幷两角得丙丁乙角亦得丙乙两角为是丁上两角之馀故
　　一图
　　丁丙边十五
　　甲丙边十二半
　　全数
　　得八三三三三为丙丁甲角之正查得五十六度二十六分二图
　　丁乙边十
　　乙甲五半
　　全数
　　得五五○○○为甲丁乙角之正查得三十三度二十二分即丙角







　　新法算书卷八十七
<子部,天文算法类,推步之属,新法算书>