钦定古今图书集成
历象汇编第五十一卷

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钦定古今图书集成历象汇编历法典

　第五十一卷目录

　历法总部汇考五十一

　　新法历书一〈日躔历指〉

历法典第五十一卷

历法总部汇考五十一

新法历书一

日躔历指

“历象，以齐七政，今首日躔者何也﹖？”曰：“七政运行，各有一道，二极各有三百六十经纬度，其度分又各有实，经纬视经纬，其会合有实，会视会实，望，视望棼然不齐，首日躔者，乃所以齐之也。日躔之能齐七政奈何？” 曰：“凡测量之法，必自其根始。如度树之短长，地其根也；度舟行之远近，水，次其根也。度天行之根有二：其一在天行之内，岁首是也。古法以今岁之十一月冬至为来年之天正岁首。冬至者，则日轨高度分之极少，日躔赤道纬之极南也。其一在天行之外，历元是也。”自昔推历元者，必求上古之积年，后来岁实稍密，即无数可论，故至《授时》而废不用矣。《授时》以至元辛巳为历元，以其气应为根，而求通积，“以岁实而一，得冬至。然此所得者，皆平年之冬至，非定冬至也。今法以崇祯元年戊辰冬至日子正初刻为历元，依《恒年表》求其根数，为平冬至，因以法加减之，为定冬至。定冬至者，岁岁加减，初无通积可求。盖日轨度之真极少，日躔纬之真极南也。是则天行之两根，舍日躔皆无从取之矣。”曰：“此两根者，六曜皆有行度，皆可用以为岁首，为历元，何独日躔乃可乎﹖？”曰：“此其故有二：其一，七曜之中，独日躔之行甚顺也；其一，以他曜测，不若以日躔测，甚便也。何谓甚顺？太阳之行与本天之本行相合为一，繇黄道带之，最中无出入，岁月日时各平，行有恒度，分无永短，如是者皆终古不易。他曜之行”于本天，本行之外，各有小轮，各有纬距，度各有迟疾留逆，时时不等，虽有定法而似无法，何能为他行之法？譬如畸零不齐之布帛，宜以十寸之尺度之。若以畸零度畸零，无乃欲齐而棼之乎？故六曜者，畸零之布帛；日躔者，十寸之尺也。若恒星之东行，与日相似，亦可谓顺矣。乃行度最迟，必六十馀“年而一度，二万五千二百馀年而一周。”推步者欲求其变动之数，卒世而不一得也。且考恒星之经度，必用太阳之经度，自非二分二至为其准，则，何从定之？星之古测今测，更多不合。或曰“顺行”，或曰“否”，人自为说，又何从定之？岂若《日躔》之岁月日时，具可测验，具可推算哉？何谓甚便？日光甚大，用窥“筒诸器，即分秒可得。诸星体微光眇，测候颇难。月体大矣，而去地甚近，其视差甚大，己亦不能为主。”古今法考月离经度者，必因其食甚时刻，考太阳之经度，加半天周，得太阴之经度。故自昔名历家，先测太阳，定其行度、经度，次及月、五星恒星之行度、经纬度，以为定法。是知日行者，诸行之本也。然历法首步气朔，兹有气而未及朔，何也？曰：朔望者，日与月比论乃得之也，未论月，虽未可论朔望也。其不及岁差何也﹖？曰：岁差者，日与恒星比论乃得之也，未论恒星，未可论岁差也。今以《本法》诸义著于篇，以资推算焉。

定南北线第一

第一法必待《春秋》分。第二第三法，恒日可用。但论其理，俱未能定卯酉之真线。何故为太阳本行去离赤道以前以后，终岁终古，皆不作周圈而作螺旋圈也。欲得真线，别有本法。

图

本法用地平经纬仪取最近北极一星测其东西行所至两经度中分之即正北方也用句陈大星西名小熊尾第一夏至子时在极东冬至子时在极西用句陈第五星西名小熊尾第三冬至酉时在极西卯时在极东〈用此即定线一夕可得〉

图

若无本器用两表之法两表者一定表其体与地平为垂线一游表其直边亦与地平为垂线先以二表与星相望参直成一线若星渐移而东则迁游表随东至不复东而止移西亦如之末从定表望匝游表各以直线联之成三角形

平分其角，作南北正线。

或以权系垂线可当表，但须权末极锐，与垂线相应，以切地平定点。

已上诸法，必以夜及午正时。若或早或晚，随时求之，则有别法。先定一表景之直线，以此线当地平上之太阳经圈，即于此时用测器取日轨高，得南北正线。如后图。作甲乙丙丁圈，其心戊甲丙为地平。丙上数本地赤道出地之数，如顺天府五十度即至己，从己作径线。径线之或北或南，取本日日躔离赤道距等。

图

度为己壬，作壬癸线，为赤道距等圈。次从丙甲上数日轨高度分，如高三十度得子，作子丑线，即本时地平上之太阳纬圈也。此线交壬癸距圈于卯，从卯向甲丙地平引作酉卯辰垂线，取子丑纬圈上子午半弦为度，从戊心抵酉卯辰，线上作斜线，得未戊，引至圈界成未戊申线也。乙戊丁为东西线，未戊申为景线，即或左或右，如本时刻与卯酉远近之数，成“未戊乙角”，则得申戊丁对角。从景线上依法作角，得角傍东西正线，其本日太阳宫度及北极出地之数，或暮夜用星，说见本论。〈有一百法〉

《定北极出地度分》第二。

凡步日躔月离五星行度等，一切测验推算，皆以北极出地之正度分。若仪器未精，测候未确，如《春秋分》所测，午正日轨高差至一分，则以算太阳之经度，必差二分半；推太阳之最高，必差一度有奇，即日躔行度不能得其真率也。以此定冬、夏至时刻等无不忒矣。故此法最宜详密，不容率尔以致谬误。

凡得日躔经度，或某星经度，以午正日轨高，或出入地平之经度等率，可定北极出地度分，见本论，约有五十法。今先具一本法，用象限仪，取北极附近一星极高极低之数平分之，为北极出地度分。如用《句陈》大星。〈西历为小熊尾第一〉冬至日酉时测得极低三十七度强，卯时测之，得四十三度强，其差六度半之三度与三十七并，得四十度强。是顺天府北极出地之数。古法用表景或仪器测冬夏至两日轨高之差，折半以减夏至高，得赤道高。以减象限，即北极高也。然人目不在地，心在地面，故得数未确。

图

如上图甲为地心丁为地面人目在丁用仪器如丁辛戊庚测得冬至日轨高辛戊然实高乙戊视高辛戊其差为丁戊甲角夏至日轨高为壬其差则丁壬甲角小于丁戊甲角两视之差不等其所得之数必非真率且用表即景末难

定又有“日轮半径之差。”〈实表非中景故〉“《清蒙》之差”，致差之道多端，岂容略率推步，遽定高下之数哉！

问：“日躔列宿，渐次西移，古来名为岁差《西历》以为列宿东行度分，非日果差西也。是既然矣，又日躔有最高，不惟旋转东行，即两心又无定距，则近星去极亦有时远近，随时变易，安能遽定为一定之法，终古不易﹖？”曰：“恒星及最高皆一二万年而一周，数十年而一度。近星去极，虽则游移，为动甚微，为时甚缓，数年之” 间，目力器数，固难验其变易矣。既具测候之法，待其积时积数，灼见违离，然后依法更定，未为失也。

《论清蒙气之差》第三，

《西历苐谷》，欲究极日躔行度之理，造测器十具，体式各异，宫度分秒，丝毫不错，以定本地北极出地度分讫，次用古法。〈即二至之高折中取之〉测之，不合者四分，莫知所繇。乃造大浑仪一具于黄道上，加极细窥筒，夏至午正测之。又时时测诸经纬度分，则二法往往不合。每浑仪所测之纬度，高于所算太阳之纬度，乃知真高在视高之下。因悟差高之缘，盖清蒙之气所为也。清蒙之气者，地中游气，时时上腾，入夜为多，水上更多，其质轻微，略似澄清之水，“其于物体，不能隔碍人目，使之隐蔽，却能映小为大，升卑为高。故日月出入，人从地平上望之，比于中天则大；星座出入，人从地平上望之，比于中天则广。”此映小为大也。定望日时，地在日月之间，人在地平，无两见之理，而恒得两见。或日未西没而已见月食于东，日已东出而尚见月食于西，或高“山之上，见日月出入”，以较历家算定时刻，每先昇后坠，此升卑为高也

试以钱一文，寘空盏底，人立稍远，令盏之边掩钱体，人目不见钱则止。更以水注之，水半则钱体半见，水满则全见，升卑为高，其理明矣。

清蒙之气，有厚薄，有高下。气盛则厚而高，气减则薄而下。厚且高则映像愈大，升像愈高；薄且下则映像不甚大，升像亦不甚高。其所繇厚且高者，若海若江湖，水气多也；或水少而土浮虚，此气能令轻尘上升，亦厚且高也。地势不等，气势亦不等，故受《蒙》者其势亦不等。欲定日躔月离、五星列宿等之纬度，宜先定本地之清蒙差，

万历二十五年丁酉，西洋之迤北人，汎海至诺瓦生八纳之地，北极出地七十六度强，日躔大寒四度。论宗动之法，应日出在冬至后五十二日，却前出十三日，所差二十九度。于时太阳实在地平下五度，因本地在大海中，蒙气甚盛，太阳久躔地平之下，不能消除其湿势，故发见折象尤多，令前出十三日也。又早晚蒙气亦不等。盖昼则太阳能消湿气。至暮而尽。夜则复生。渐生渐盛。及晨而多。故蒙气又有昼夜早晚之差。

清《蒙》之本性，能昇物象，令高于实在之所，不能偏左偏右，故其差恒在纬度，不在经度。今先论测纬法，借宗《动天本论》内一则曰：“凡测高，以恒球纬圈量之。盖恒天之内，经纬之度皆相连，有一自有二。若得本地北极出地之数，及或东、或西恒球上日躔经度，可得本时恒天内真纬。”

如左图甲乙丙为南北圈，甲戊丙为地平圈之一弧，乙为天顶，乙辛己戊为恒球，一经圈过太阳之视高。

图

辛亦过太阳之实高己从北极丁作丁己弧成丁乙己曲线三角形此形有丁乙边为北极高之馀度有丁己边为日轨距北极之度有丁乙戊角为丙乙戊之馀角

丙乙戊角为乙戊经圈距正午丙之度其弧为

图

丙戊

求乙己即日轨之实高离天顶度其法己角

即恒球经圈乙己偕北极出圈丁己两线所作角

在本圈恒为锐角若丁乙己为同类锐角即如左图从丁向乙己作丁庚垂弧

图

分元形为两直角形若丁乙己为异类即于乙己边引长之从丁作丁庚垂弧必在形外其前图丁乙庚直角形有丁乙边乙角求乙庚则全数与乙角之馀弦若丁乙弧之切线与庚乙弧之切线又法全数与丁乙之正弦若乙角之正

弦与丁庚之正弦，次丁庚己形，有丁己边，又有丁庚边。求己庚则全与丁庚之馀弦。若丁己弧之割线，与己庚弧之割线末乙庚庚己，并得己乙，为日轨之实，高离天顶度。其后图丁庚乙形，有丁乙边乙角。求乙庚法如前，但庚乙内减庚己馀乙己即所求。

假如“太阳躔鹑首初度，地平经度”，任置为〈从午正或东或西算〉九十四度求太阳地平上之正高。〈太阳距极为六十六度二十九分〉丁己为六十六度二十九分。〈见前全图〉丁乙戊角为八十六度，丁乙为五十度。〈北京赤道高〉法，全数与丁乙戊角之馀弦。〈六九七六〉若“丁乙边”之切线。〈一一九一七五〉与“《庚乙》边”之切线。〈二三率相乘以全除之〉得。〈八三一二〉查表，得四度四十五分，又全与丁乙边之正弦。〈七六六○四〉若乙角之正弦，〈九九七五六〉与丁庚之正弦，算得。〈七六四一○〉查表得四十九度五十分，又全与丁庚之馀弦。〈六四五○一〉若丁己割线。〈二五○六一七〉与己庚之割线，算得；〈一六一六五○〉查《表》得：〈五十一度四十七分〉己庚庚乙并之得。〈五十六度三十二分〉减九十得。〈三十三度二十八分〉乃《太阳地平》之纬度也。〈正高也〉此四数，极出地、太阳距极，太阳地平经、太阳地平纬，皆相连相乘。

右系测纬度之正法。若先用器测得经度，以此法推得韩度，而别测得纬度与所推不合，则别测者必高于所推，其差必繇《清、蒙》之气也。若论测器，不在地心而在地面，则以地半径之差数，减所测纬度，下方详之。

崇祯三、四五年，每年测冬至，即用元仪、元筒规，然所得数非一，前后有差一二分，或是蒙气、尘灰等之故耳。

《求黄道与赤道之距度，世世不等》第四：〈亦名《太阳之线》。〉

法曰：夏至前后一日，用测器数，具各依法求午正日

轨高，若俱合，即真率，否则择其相合者用之。第二第三日再测如前，于所得真率内减去地半径之差，又减去赤道高，馀为两道距度，即夏至日躔赤道以上之纬度也。何以不用冬至？以夏至太阳近天顶，蒙气甚微，不入算。冬至近地平蒙气多，则差多。何以用前 “后一二日？”曰：“至前后一日，日躔去离赤道止一十三秒，次日止五十五秒，测器之上，无从分别，与初日不异也。”

若用冬夏两至之较，差不为真，率见前论。

古今各测

周显王二十五年丁丑迄崇祯元年戊辰，为一千九百七十二年。《西古史》亚理大各

秦二世三年甲午迄崇祯元年戊辰。为一千八百四十七年。《西史》厄腊多

汉景帝中元元年壬辰迄崇祯元年戊辰，为一千七百七十七年，《西史》意罢阁。

汉光武建武十七年辛丑迄崇祯元年，为一千四百八十八年，《西史》多勒某其书，为历家之宗。

已上四家测定，黄赤相距为二十三度五十一分二十○秒，于中分为二十三度八十五分。

唐僖宗广明元年庚子迄崇祯元年，为七百四十八年。《西史》亚耳罢德测定二十三度三十五分，于中分为二十三度五十八分三十三秒。

宋神宗熙宁三年庚戌迄崇祯元年，为五百五十八年。《西史西杂刻》测定二十三度三十四分，于中分为二十三度五十六分六十七秒。

宋高宗绍兴十年庚申迄崇祯元年，为四百八十八年。《西史》亚尔满测定二十三度三十三分，于中分为二十三度五十五分。

元成宗大德四年庚子迄崇祯元年，为三百二十八年。《西史》波禄法测定二十三度三十二分，于中分为二十三度五十三分三十三秒。

天顺四年庚辰迄崇祯元年，为一百六十八年。《西史》 “褒尔罢”测定二十三度二十八分，于《大统历》为二十三度四十六分六十七秒。

正德十年乙亥迄崇祯元年，为一百一十三年。《西史》歌白泥测定二十三度二十八分二十四秒，于《大统历》为二十三度四十八分一十二秒。

万历二十四年丙申，迄崇祯元年，为三十二年。《西史》 “苐谷造铜铁测器十具，甚大甚准。”又算地之半径差及清蒙差岁岁测候，定为二十三度三十一分三十 ○秒。西土今宗用之于《大统历》，为二十三度五十二分三十○秒。

苐谷覃精四十年，察古史测法，知从来未觉有清蒙之气及地之半径两差。又旧用仪器体制，小分度粗，窥筒孔大，所得馀分，不过四分度或六分度之几而已。且古来测北极出地之法，未真未确，故相传旧测，俱不足依赖以定太阳躔度。

今欲定黄道各经度分之纬度分若干，借《宗动》一题，曰：“凡得两道极相距度分及黄道，其经度分可推本度分之纬度分。”

如左图，甲乙为赤道一象限，甲丙为黄道一象限，两道遇于甲为春秋分，乙丙为过两至两极之经圈有。

图

两道距度

即二十三度三十一分三十秒之弧

为甲角之度而测他距度其法如日躔立夏节为丁即从丁向赤道作丁戊垂弧而成甲丁戊曲线直角形此形有甲角二十三度半强又有甲丁弧立夏之

经度四十五。求丁戊弧纬度，则全数十万，与甲丁弧之正弦七○七二；若甲角之正弦三九九一五，与丁戊弧之正弦二八二二二。查得一十六度二十三分三十九秒，为立夏之黄赤距度，与立春、立秋、立冬之距度皆等。盖从两分之交数，经度皆四十五也。他各节去离二分，或左或右，经度等，则距度亦等。以此法推黄道各经度分之纬度分，作表如后。

“反之，有太阳之纬。”求其经，如上图甲丁戊形，有甲角丁戊弧纬而求甲丁弧，其法全数与甲角之正弦三九九一五。若戊丁弧之馀割线三五四三八一，与甲丁弧之馀割线一四一四二一，查得四十五度。其法见《宗动天》本书。

“凡过极圈截黄、赤二道，有黄道所截之经度分，求截赤道之经度分，此即《约说》所名赤道上之黄道升度也。过极圈”者，在正球为地平，在欹球为子午圈、时圈等。

如左图，乙、甲、丙如前，若正球。〈赤道过天顶〉则己戊丁弧为地平，己丁庚其子午圈，己为北极，庚为南极，甲戊丁

图

形之丁戊为其地平东西或左或右之一分若欹球则丁戊为过极圈〈子午时圈等〉“夫甲戊丁角形”，有日躔经度之甲丁。〈四十五度〉有甲角而求赤道之弧，戊甲，其法全数与甲角。〈二十三度半强〉之割线一○九○六四，若甲丁弧之馀切线一○○○○○，

与戊甲弧之馀切线一○九○六七，查得四十二度三十一分强。

春秋两分时太阳之本度第五。

历法家古来有公论二端，其一曰：“凡动而有法者三：一、自上而下，如土石等重物，以地心为界。”〈为界者欲至地心而止〉二、自下而上，如气火等轻物，以月天为界。此二动自行必成直线，名为“直动”；三循环行一周至元界，如天行一周成全圈，名为“周动”也。三者而外，皆名无法之动。〈详见本论〉

其二曰：“凡天体及七政恒星等，必平行不平行，则推步之术，无从可立，无从可用矣。然而人目所见，各有迟疾顺逆，时时迁革，百千万年，无一平行者，又何也？历家因此推求，悟有不同心之圈及诸小轮等，虽有彼此前后多互异之说。总之欲得其不平行之故，而又不失其平行之恒理，不得不然耳。”〈详见七政性理之论〉太阳之公动，其理不一，其属宗动天而定昼夜之时之类，后篇详之。今略论其本行，曰：“太阳既为周动，又必平行，则人目所见，经历岁月日时，悉宜平等。则从天正春分至秋分，又从秋分至春分，平分一岁，其日亦宜平等。乃从春分昼夜平至秋分，历一百八十六日有奇而平；从秋分昼夜平至春分，历一百七十八日有奇，而平所差八日有奇，安得谓之平行？”又“人目所见太阳之体，冬至则大，夏至则小，见大去人必近，见小去人必远。”又冬至月食小于夏至之食。盖大光之体愈远，其景愈长愈大，月过地景之时愈多，故知 “时多者景大，景大则光体必远。”既两有冬夏远近，又安得谓之周动？且渐迟渐速，渐大渐小，非骤然迁变。

图

即又日日刻刻皆非平行也今欲明迟速之故而又不失为平行欲明大小之故而又不失为周动将何说以处于此

如图甲为地心乙丙丁为宗动天庚己辛戊为日轮本天庚辛为春秋两分戊己为冬夏两至若两圈为

图

同心者即庚戊辛半周辛己庚半周所得圈分必等今不等必缘不同心〈其差数详〉〈见下方〉故人目不在太阳本天之心壬，而在宗动天之心甲，则日行本轮，天恒平行，而人目所见者庚，戊辛所经之日多于辛，己庚所以冬缩而夏羸也。日在戊

去甲远，在己去甲近，故冬大而夏小也。但在本天既平行，则推算者必先得平行数为根，而后可论其迟疾多寡，故须先作《平行表》。其术以岁周为法，天周为实，平分之，见下文。

其求天正春秋分日躔本度之法有二：其一或春分或秋分前后三四日内，于午正初刻，测得日轨高与本地赤道离地平度数，两数相减，得数为本日日躔纬度。以纬度求经度。

法见本篇。《四》。“若赤道度多于日轨高，即太阳在南六宫；若少于日轨高，即在北六宫。”

既得经度，可步日躔经度得若干时刻，而入于交点。

交点，即《春秋》分也。交者黄赤道之交。点者无分。

其法以岁周三百六十五日二十三刻○四分为法，以天周三百六十度为实而一，得每日太阳平行五十九分○八秒一十九微为第一率，以日法九十六刻为第二率，以所得日躔经度为第三率，依法求得若干时刻为第四率。次用此时刻于本日午正初刻，或加或减，得太阳入交点时刻。

春分赤道多于日轨高，为未及交，以所得时刻加于本日午正时刻。若少于日轨高，为过交，以所得时刻减于本日午正时刻。

“《秋分》则加减”相反。

赤道多于日轨高，为过交，减之。少于日轨高，为未及交，加之。

次法测得日轨高与赤道之差以相减，每差一分为四刻。〈春秋加减如前法〉何者太阳日平行约一度，而春秋分前后第一经度，其纬为二十三分五十六秒，约为二

图

十四日九十六刻则太阳每四刻行纬一分故赤道日轨之差一分当得四刻也

此法可用于分前后一二日若过此纬度渐缩矣故第一则为公法

如上图两道两弧遇于甲人在乙测赤道乙丁乙戊

图

日日不异太阳则渐向交渐近赤道如春分太阳在己少于乙戊则未过甲交己戊为太阳之纬己甲为太阳之经若己未及甲一度则后一日而入于交点若太阳在丙多于乙丁是己过甲交丙丁为纬丙甲为经若丙过甲一度则前

一日已入交点，秋分反是，是为加减之元本。

假如崇祯三年二月初八日在局午正时，测得日轨高五十度一十三分，加入地平半径差一分五十二秒。若有清蒙差，即应减率。今在午，日轨之高度多，故蒙差极微即不减。实得地心以上日轨之真高五十度一十四分五十二秒。

若本地极出地，三十九度五十○分。

《顺天府北极出地之度》有三说，未知孰是，尚须测候归一，今试一一推之：

即赤道高五十度一十○分。以与日真高相减，馀四分五十二秒，为本地本日赤道以上太阳之纬度。次简《黄赤距度表》求其经度，得去离降娄初一十二分二十二秒。次以太阳日平行五十九分○八秒为一率，日法九十六刻为二率，今行一十二分二十二秒为三率，而求四率，得二十○刻。弱而日真高多于赤道高，则入交点在本日午正前二十○刻，为辰初初刻。

若北极出地三十九度五十三分，即赤道高五十度 ○七分，与日真高相减。馀七分五十二秒，为太阳纬。依法得经度二十○分。用三率法，求得三十二刻○ 七分，则入交点在本日寅初初刻○八分。〈每刻十五分〉若北极出地四十度，即赤道高五十度。减差为一十四分五十二秒，求经得三十七分一十五秒，用三率法，求得五十九刻○七分，则入交点在初七日戌初三刻○八分。

若北极出地四十度○一分，则入交点在初八日午正前六十四刻○七分，为是。初七日酉正三刻○八分。

前此诸说未就，遽得真率。今用西术成数立一较法，缘此展转推求，庶几近之。欲得真确，须铜铸仪象，亦大亦精，累年测候，以立万年不易之法。

按远西之国，有历学名家，于万历十二年甲申，在大尼亚国，其地居顺天府西，以法推其地经度，得东西相去一百○四度，因推其东西时差，得二十七刻一十一分。彼国北极出地五十五度五十四分四十五秒，连测五年，而得太阳入春秋两分之真率。今以时差加率，为顺天府各年之真率如左：

万历十二年甲申，二月初九日，西春分，在午正后八十六刻正。加时差二十七时一十一分，得次日子正后六十五刻一十一分，为中春分。

“午正后八十六刻” 者，《中历》日法以子正起算，《西历》以午正起算八十六，并二十七得一，一三减日周九十六刻，存一十七刻。又以子正起，加四十八刻，得六十五刻，为次日数，后仿此。

本年距《元测》一百八十七日西秋分，在午正后六十四刻正，加时差，得次日子正后四十三刻一十一分为中秋分。

十三年乙酉，距《元测》三百六十六日西春分，在午正后一十三刻○四分，加时差，得本日子正后八十九刻正，为中春分。

本年距《元测》一百五十二日西秋分，在午正后八十七刻四分，加时差，得次日子正后六十六刻一十四分，为中秋分。

十四年丙戌，距《元测》七百三十○日西春分，在午正后三十六刻○八分，加时差，得次日子正后一十六刻○四分，为中春分。

本年距《元测》九百一十七日西秋分，在午正后一十四刻○八分，加时差，得本日子正后九十○刻○四分，为中秋分。

十五年丁亥，距《元测》一千○九十五日西春分，在午正后五十九刻一十一分，加时差，得次日子正后三十九刻○七分，为中春分。

本年距《元测》一千二百八十二日西秋分，在午正后三十七刻一十一分，加时差，得次日子正后一十七刻○七分，为中秋分。

十六年戊子，距《元测》一千四百六十一日西春分，在午正后八十三刻正。加时差，得次日子正后六十二刻一十一分，为中春分。

本年距《元测》一千六百四十七日西秋分，在午正后六十一刻，加时差，得次日子正后四十刻，十一分为中秋分。

方法用之，可得岁周率及冬至、夏至等时刻。

上论详测《春秋》两分太阳躔度，然须以《日躔表》所算太阳经度考之，若测相合则准，不合则不准也。

随日午正测太阳所躔经度宫分。

置赤道高若干，又置午正太阳正高。

所测日地平高数，内减蒙气差，又加地半径差，得正高。

两数相减，其较，为太阳距纬度。〈距赤道数〉以此数查黄赤距度，表中横行，内求度分上或下，得宫度分，乃太阳本日午正所躔度分。〈若表中无元数即用中比例法〉凡赤道数大，测数小，宜用冬至傍半周宫度分。若赤道数小，测数大，用夏至傍半周宫度分。宫在上，用上度，在下，用下度。如测日高，得六十度四十三分。〈因高过蒙气不用差〉加地半径差一分十三秒，得六十度四十四分强。减赤道高五十度○五分，馀十度三十九分。查黄赤距度表，得降娄宫二十七度三十五分。〈因测大赤小用上行宫度〉乃日躔度分或鹑尾二度二十五分。

又测午正高，得三十七度十三分。减蒙气半分，加地半径差二分二十五秒，得三十七度十五分。赤道高内减之，得较为十二度五十一分，乃太阳距度也。查表得大梁三度五十二分，或鹑火二十六度○八分。

太阳平行及实行第六

“岁实”者，太阳行天一周之月日时刻也。太阳之岁有二，其一从某节某点。〈二分二至之类皆名节亦皆名点〉“行天一周，而复于元节元点，是名太阳之节气岁。”若太阳会于某星，行天一周，而复与元星会，是名“太阳之恒星。”岁恒星有本行，自西而东，假如今年春分太阳会某恒星，至来年春分，此星已行过春分若干分矣。太阳至春分则巳满节气岁之实，而尚未及元星若干分，即又须若干时刻逐及于元星而与之会，乃满恒星，岁之实，故《恒星》岁实，必多于《节气》《岁实》。

此外又有太阴之岁。以日月十二会。定为十二月。此岁为三百五十四日有奇。少于太阳之岁。实十一日有奇也。但太阴之视行。绝不平。

视行者，月周天本平行，而其小轮有自行度，即入转也。自行有顺逆，因其行速，故人目视之，不见顺逆，而但见迟疾。既有迟疾，故晦朔弦望绝不能为平等。

故用此纪年者，又以“太阳之岁实”为本。

如前篇“万历甲申春分，在午正后一十七刻一十一分，越三百六十五日为乙酉，在午正后四十一刻”相减，得小馀二十三刻○四分。〈每刻十五分〉“则岁实为三百六十五日二十三刻○四分。”又用前世实测，前后相较，如弘治元年戊申，西国历家白耳那瓦测得春分为西历三月二十四日子正后六十四刻○六分。越一百年为万历十六年戊子，名历苐谷测得春分为西历三月十九日子正后四十三刻六分。西法岁三百六十五日四分日之一，每四岁之小馀成一日，因而置闰，则百年中为整年七十五，闰年二十五，共为三万六千五百二十五日，用两测中积数。

戊申三月二十四日子后六十四刻○六分，戊子三月十九日午后四十三刻○六分。

相减其较，七十五刻○五分，百而一，得每一年少○ 刻一十一分一十五秒。以减整年实三百六十五日二十四刻，得三百六十五日二十三刻○三分四十五秒，为今定用岁实。

此法与甲申、乙酉《实测》所得不合，其差为二十七秒，若用前古数百、数千年所传《实测》之数，其差更多。何者？太阳之岁行不等，其原有三：其一，太阳不同心圈之心。

不同心之天，太阳所丽，名“日轮本天” ，其心非地心也，故又名“不同心天” ，亦名“最高天” ，此岁差所因也，亦可名“岁差天。”

“顺”：“节气自西而东，每岁有自行度，故取一点。今岁与节点合，百年后便觉去离若干。”其二太阳不同圈之心去离地心，其远近又复不等；其三恒星亦不平行。此三差为数甚微，故百年之内难于计算，数百千年以上乃可得之。〈因大统历故百年岁实减一分〉

算每日太阳平行分法

置先算，定岁实为三百六十五日二十三刻○三分四十五秒，乃太阳行天一周三百六十度也。今欲定一日之行而成表法，以周天为实，以岁实为法除之。

欲得细数，故以前两数，因本类化之如左。

置周天三百六十度，以六十因，七次得一○○七七

六九六○○○○○○○○为实。

置岁实，三百六十五日二十三刻。〈大刻〉○三分四十五秒。先将三百六十五日，以二十四时乘之，俱化为时，得八七六○时，再以二十三刻化为时，得五时。〈每时四刻二十刻故得五时〉加于先得数，共为八七六五时，尚馀三刻，再化为分，得四十五分。〈每刻十五分〉加小馀○三分，共为四十八分。仍置八七六五时，以六十乘之，化为分末，加四十八分，共得五二五九四八分；再以六十乘之，化为秒末，加小馀四十五秒，共得三一五五六九二五秒，为法，与前周天实数而一，得三一九三四九七四尘。因先所置实数俱化为尘。〈周天度七次化之得第七位数为尘〉法数，为时之一秒。〈先化时为分化分为秒〉则时之一秒，得周天三一九三四九七四尘。若取时之一分，因进一位，周天数亦进一位为末。若取一时，则周天数亦宜。上二位为芒，则一时太阳行周天，三一九三九七四芒。以二十四时乘之，得一日，行为七六六四三九二七六芒。依约法以六十除之，得一二七七，三九八九俱为纤，尚馀三十六芒。再以六十除之为微，得二一二八九九，馀四十九纤。又再以六十除之为秒，得三五四八秒，馀十九微；再以六十除之为分，得五十九分，馀八秒。将先各类所馀数并之，得太阳一日平行为五十九分○八秒一十九微四十九纤三十六芒。

前法既得一日之行，今再求一时以及各时之行法，以前推得一日或二十四小时，行五十九分○八秒二十微。〈前数四十九数巳过大半宜进作二十微〉各半之，得十二时之行，为二十九分三十四秒一十○微。再半之，得六时之行，为一十四分四十七秒○五微。又半之，得三时之行，为七分二十三秒三十二微。以三除之，得一时之行二分二十七秒五十一微。仍以一时之行递加至二十四时，为一日所行也。再递加至六十分，为表。次用加法，二日至十日，又至百日，二百日、三百日，乃至一岁作表。

求太阳最高之处及两心相距之差第七

最高与夏至，异古多罗某。〈在今一千四百年前〉测得最高去离降娄初为经度六十五度三十五分，两心。〈地心与日轮本天心〉之差，为十万分。〈半径全数〉之四千一百五十一。今在《经》九十五度四十分。两心之差，为十万分之三千五百六十七。〈差五百八十四〉《系》曰：“太阳公动。”〈一随宗动西行一随列宿东行〉及本行之外，别有二种行度：“一从最高恒自西而东，岁行若干。”一，地心与太阳本轮。〈即不同心之圈〉之心相距分，岁岁减少，意数千年后当相合为一点。

想当然耳，或别有行动，不可知也。亦有为之说者，未能定其然否。

问“最高何物﹖。何繇能知有此﹖。”曰：“若不同心。最高之点。”

图

恒在夏至如甲则太阳从春分辛至戊行四十五经度之弧与从己至秋分壬亦行四十五经度之弧其时日必等盖两心在甲乙线内与丁丙为直角而丁甲丙与辛甲壬两弧俱两平分于甲〈几何三卷三十题〉则所分各两弧。〈丙甲与甲丁辛甲与甲壬〉之

行度等，其所须时日必等。乃春分后行四十五度至立夏，立秋前四十五度至秋分，其行度等而时日恒不等，则丙庚丑丁两弧度必不等，而不同圈之心必不在甲乙线之上。

其推步最高法：于春分后四十馀日，即每日测午正日轨高，求其四十五度，以定天正立夏。

春分至立夏，当行四十五经度，其纬当得十六度二十三分三十九秒。加赤道高，约五十度，得六十六度二十三分三十九秒。若日轨高，适满其数即正，得四十五度，为立夏。若过或不及，用前篇求《春分》法，得本时刻。

“溯春分迄立夏，总计中间积日时刻。”以日率五十九分○八秒一十九，微五十○纤而一，得太阳平行之总度分，乃非四十五度而得馀分。如后论。

如左图甲为地心，作丙戊丁圈，任取甲乙小线。〈欲求此数故任作之〉乙为心，作未己庚辛为太阳平行之本圈。次作己甲辛为春秋分线，过甲地心，次于戊上取戊壬为四十五度，从壬过甲作直线，至未，而截己卯弧于庚。

图

得己甲庚为四十五度之角次从小圈心乙向庚作直线次作未己线次从未向己辛作子未垂线末从乙向庚未作乙午垂线即庚未线必两平分于午

庚未为本圈之弦从心出垂线至其上必平分

则丙甲庚角为从戊壬四

十五度以上至最高点之角；

春分后，日行戊壬弧，为天元，经度四十五。其视行四十六日一十○刻一十○分，以日率准之，得平行四十五度二十七分三十四秒，则庚己弧也。己未庚乘圈角半之，得二十二度四十三分四十七秒。庚甲己角既四十五度，即己甲未角，得一百三十五度。以加庚未己角，共一百五十七度四十三分四十七秒。未甲己三角形，内得甲、未、己角，即得己角，为二十二度一十六分一十五秒，倍之为辛未弧，四十四度三十。

图

二分三十○秒又日行己卯辛弧为春分至秋分时刻得一百八十六日七十四刻其平行为一百八十四度○五分二十四秒即辛未己弧当得一百七十五度五十四分三十六秒辛未己弧内减己角之倍数〈即辛未弧〉四十四度三十二

分三十○秒馀，未己弧得一百三十一度二十二分一十○秒，求得未己弦一八二二五八六八。又于未己弧加己庚，共得一百七十六度四十九分四十四秒，求得未甲庚弦一九九九二三四二。

既戊壬，为经度四十五，今欲求壬至丙太阳最高之点。〈或卯甲庚角〉及乙甲两心之差各几何？依下文论之，己子未三边直角形，既得己角及己未边，求未子线，其法全数。〈万万内〉与己角，〈二十二度有奇内〉之正弦。〈一三八九○○○〉若未己弦，〈一八二二五八六八外〉与未子边得，六九○七一六。

图

八〈外〉

甲子未直角形既有子甲未角

四十五度为庚甲己之交角故

及未子边求未甲其法全数〈内〉与《未子》。〈外〉若子未甲角：

四十五度为未甲两角

平分子直角故

之割线。〈一四一四二一○○内〉与未甲边。〈外〉得九七六八二一 ○。

庚未，弦。〈一九九九二三四二〉平分之，得九九九六一七一午未也。内减未甲，馀二二七九六一午甲也。

又庚己未弧与半圈，其较三度一十○分一十六秒；平分之，得一度三十五分○八秒，乙庚午角也。

若庚乙引之至癸癸未弧，为较，半之，为癸庚未角。

求正弦，得二七六四五○，乙午线也。

乙午甲直角形既得甲午午乙两边求甲，乙用勾股法得三五八四一六，即两心之差。其全数乙卯为太阳本圈之半径，约之得百分之三分半有奇。

又求乙甲午角，其法午甲边。〈外〉与《全数》。〈内〉若午乙边：〈外〉与甲角之切线得一二一三四一三八。〈内〉其弧五十○度三十分，为壬丙，即日躔，从立夏。〈天元经度四十五〉“至最高丙”，得五十○度三十分。以加四十五，得最高之处，为经度九十五度三十○分。在夏至后五度三十 ○分。其最高冲在冬至后五度三十分。

图

若用秋分前愬立秋四十五度即用前法但依前图更右为左论之

立秋后至秋分日行戊壬弧为天元经度四十五其视行得四十六日三十八刻一十○分其平行四十五度四十四分一十三秒己庚弧也己未庚乘圈角

半其弧，得角为二十二度五十二分○六秒。其己卯辛弧一百八十四度○五分二十四秒，即辛未己弧一百七十五度五十四分三十六秒。二率俱如前次求未己弦甲未己三角形。既得未角，以减庚甲己角四十五度，得己角二十二度○七分五十四秒。

庚甲己角，为甲己未形之外角，必与未己两角并等，故减未角，得己角几何？一卷三十二题。

倍之，为辛未弧，得四十四度一十五分四十八秒。以减辛未己弧馀，一百三十一度，为未己孤求，得未己。

图

弦一八二四五七三六又于未己弧加己庚共得一百七十七度二十三分○一秒求得未甲庚弦一九九九四七八四

又己子未形求未子线其法全数〈内〉与“己未弦。”〈外〉若己角，〈内〉之正弦与未子边。〈外〉得六八七三八三三

又甲子未形，求未甲边，其法全数。〈内〉与子“未边。”〈外〉若

未角之割线：〈内〉与未甲边。〈外〉得九七二一○六八，庚未弦。〈一九九九四七八四〉平分之，得九九九七三九二午未也。内减未甲，馀二七六三二四午甲也。

庚己未弧与半圈之较，二度三十六分五十九秒，癸未也。平分之，得一度一十六分二十九秒，乙庚午角也。求正弦得二二八二四四，乙午线也。

乙午甲形求甲乙，用勾股法得三五八，三八八，即两心之相距。

图

又求乙甲午角其法午甲边〈外〉与《全数》。〈内〉若午乙边：〈外〉与午乙之切线。〈内〉得八二六○三七四。其弧三十九度三十三分，为壬丙。以加壬戊四十五，得八十四度三十三分。以减天正象限九十度，馀五度二十七分为最高过夏至之数。

此秋分前数与春分后数较，差三分，然可不论。盖测午正太阳之高，或多或寡，所差一分，即此算内当差一度。今算内差三分，则两测中有差三秒者三，秒居一度中，为三千六百分之三，安从觉之？若两心之差，因此三分之差，亦复不合，然其较为一千万分中之二十八至微矣。

右二法皆用《天元》四十五经度。若用《天元》六十经度，则一经度之纬度十二分五十六秒，每纬度一分当八刻。若用七十经度，则纬度一分当十四刻。若春分前四十五度，秋分后四十五度，亦可用，但蒙气多，难定其确数耳。

《古今测候》最高，所得前后各异。今录取三家，以备参考。

《意罢》阁于汉景帝七年壬辰迄崇祯元年戊辰，为一千七百七十七年。多禄某于晋永和七年庚辰迄崇祯元年，为一千五百八十八年。所测太阳最高，其法先求夏至之日。

从天正春分迄夏至，其视行得九十四日四十八刻。

图

〈日九十六刻〉“夏至迄《秋分》，得九十二日四十八刻，共一百八十七日。以日率求平行”，则九十四日四十八刻，行九十三度○九分；九十二日四十八刻，行九十一度一十一分。

如上图甲为太阳本圈心乙为地心丙为春分丁为

图

秋分戊为夏至己为冬至两至线与两分线遇于乙为直角次作乙甲辛遇两心线辛为最高之点其戊丙戊丁两弧并之多于半周天则最高在丙戊丁弧内又丙戊弧大于戊丁则最高心在丙乙乙戊两线以内亦在春分后夏至前

如甲。次从甲，作庚甲、壬癸甲午两直线，相遇于甲，为直角，与丙乙、乙戊各平行。夫丙戊弧九十三度○九分，戊丁弧九十一度一十一分，并得一百八十四度二十○分，平分之，各得九十二度○十分为丙庚丁庚。丁庚内减丁戊平行一象限，馀○度五十九分，为戊庚弧。其正弦一七一六为乙子句，丁庚内减癸庚天正一象限，馀二度○十分，为癸丙弧。其正弦三七八○，为甲子股。用句股法得四一五一，为甲乙弦，即两心之相距。

又求甲乙子角，其法：“子乙边。”〈外〉与子甲边。〈外〉若全数，〈内〉与《甲乙》子角之切线。〈内〉得“二二○二七。”其弧六十五度三十五分，日躔春分后至最高之点，为实沈五度三十五分。

两心相距为十万之四千一百五十一，约之为百分之四，以较前第一法所得之数，下无互异，其较为十万之五百八十一两，得数不等，其元测必不等。然此古法以日躔天正夏至之时刻为根，夏至之定时最为难得。何者？夏至后天元一经度，得纬仅一十三秒。若北极出地四十度之处，用一丈之表，测午正日轨高得二十六度半，彊其景为千万之四百九十八万五千八百一十六。若加十三秒之景，应加千万之六十五分，约之为十万之六分，彊通之为六微，虽复巧手明目，何从觉之？又本地本时蒙气之映高亦得二分四十○秒。又天正夏至未确，若先后一日，即最高之处及两心相距必前后若干度分。以此论之，纤芥参差，谅无足怪，乃愈见斯人之不为牵合，斯术之最为密亲矣亚耳罢德后多禄某七百四十年，于唐僖宗广明元年庚子迄崇祯元年，七百四十八年，测算得最高在实沈二十二度一十七分。〈即夏至前七度四十三分〉不同《心》之差，得十万之三千四百六十五。

白耳《那瓦》于弘治元年戊申迄崇祯元年，一百四十年，测得日躔，从春分迄秋分，行一百八十六日九十 ○刻○十分；从春分至立夏，行四十六日一十四刻 ○五分；从立秋至秋分，行四十六日三十五刻○五分。因而推算庚己，弧此为四十五度二十九分一十。

图

三秒

前法为四十五度二十七分三十四秒

行四十六日一十四刻○五分

前法为四十六日一十○刻一十○分

己卯辛弧此为一百八十四度○三分二十一秒

图

前法为一百八十四度○五分二十四秒

行一百八十六日九十○刻一十○分

前法为一百八十六日七十二刻三十○分

己未辛弧此为一百七十五度五十六分三十九秒

前法为一百七十五度

五十四分三十六秒

己甲庚为四十五度角。其馀己甲未角一百三十五度，同前。《未甲》庚线为一九九九二七六八。

《己甲未形》，有己未边有角。求甲未边，得九七六四八 ○三。

未午为未甲庚之半，得九九九六三八四，内减甲未，得甲午二三一五八一。

癸未弧三度○四分五十四秒。乙庚午角一度三十二分二十七秒。其正弦午乙二六九七

乙午甲直角形，有两边，求甲角甲乙边，得午甲乙角四度一十五分一十○秒为立夏。离最高之度。分甲乙边三五四八○七，为两心之差。其全数则太阳本圈之半径乙卯。

最高在夏至后四度一十五分一十○秒。

前法为五度三十○分，差○度一十四分五十○秒。

《两心差》，三五四八○七。

前法为“三五八四一六” ，其较三四一一，则一千万分中之三千四百一十一分，一万分中之三分有奇也。

“推太阳之视差及日地去离远近加减之算” 第八。

按：《天问略》等书皆言“地体居天中止一点”是也。然各重天高下大小不等，各天与地球比例之大小亦不等。惟恒星一重天比于向下诸天甚远甚大，以地球较之，极微无数可论。故测候之家，以恒星为求视差之本。

图

如上图甲为地心甲乙为地半径丁辛为日躔最高圈丙篇高冲圈日行在最高丁人在乙见日躔于外天〈恒星宗动常静皆是〉己壬己弧，为其地平上之视高。然从地心测之，则壬戊为其地平上之实高。两高之差，为戊丁己角或乙丁甲角。若日

行高冲丙，从地心测其实高仍在戊与在最高丁等，则从地面乙视之，见日躔于外天庚。从乙丙庚线定视高为壬庚，较前视高壬己为小。故太阳之实高等，随时所见，视高不等，其视差之数亦不等也。

“凡有日轨高若干度，欲定其视差若干，先求本时太阳去地远近之数”，其法借《三大论》。〈论日月地相去远近及大小之比例〉《中一则》曰：“以日月食推地径与日轮本天径之比例歌白泥定地半径与日天半径之比例，若一与一千一百四十二。”

图

如上前图甲戊丁为太阳本圈甲为最高乙为其心丙为地心乙丙为两心之差日在戊甲戊为日距最高度之弧乙戊为本圈之半径今欲求自地相离之线曰戊乙丙直线三角形有乙戊半径全数又有两心之差乙丙数〈三五八四一六〉又

图

有甲乙戊角之馀角为戊乙丙形而求丙戊边其法如增图全数〈乙丙内〉与乙丙边。〈外〉若戊乙丙角，馀角之正弦。〈丁丙内〉与某数。〈增图之丁丙边〉〈外〉又《全数》。〈乙丙内〉与乙丙边。〈外〉若戊乙丙角馀角之馀弦。

若戊乙丙为钝角其馀

图

角为丁乙丙此角之正弦为丁丙馀弦为乙丁

与某数〈增图之乙丁边外〉以所得第二数，加乙戊半径。〈增图之戊〉〈丁全边〉为股，第一数为句。各数自之，并而开方，得丙戊。既得丙戊。次以半径乙戊全数为第一率，以所倍于地半径之一千一百四十。

图

二为第二率以丙戊若干为第三率而求得四率为丙戊所倍于地半径之数〈见本表〉

若戊乙丙为锐角其法全数〈即乙丙内〉与乙丙边。〈外〉若乙角之正弦，〈即丙丁外〉与丙丁。〈外〉亦若乙角之馀正弦。〈内〉与丁乙边。〈外〉次于乙戊内减

乙丁，馀丁戊用句股法，丙丁、丁戊各自之，并而开，方得丙戊。

加减差者，太阳本圈中平行与视行之差也。如上论，从天正春分至立夏，日行经度四十五，其在本圈行四十五度二十七分三十四秒，此两行之较，为加减差也。太阳从最高下行至最高冲，此半周内应减算。从最高冲上行至最高，此半周内应加算。

如左图外圈为宗动天之黄道，与地同心为丙。内圈为太阳之本天，其心丁有最高、最高冲之线过丁心。

图

若太阳在元枵娵訾降娄大梁实沈春分前后半周平行在实沈初度而视行已至甲即平行算外应加实至甲之弧或丁乙丙角得太阳实躔若在鹑尾寿星大火析木秋分前后半周平行在鹑尾初度而视行才至戊即平行算内减

图

尾至戊之弧或丁乙丙角得实躔凡最高左右距弧等其加减之算亦等求一即得二

丙乙丁角形有丁丙两心差有丙乙日地相离数有乙丁丙角〈上图为钝角〉而求丁乙、丙角为减差。其法全数。〈内〉与丁丙边。〈外〉若丙、丁、乙

角、馀角〈即丙丁午〉之正弦。〈即丙午内〉与某数。〈外〉又，《丙乙边》。〈外〉与《全数》。〈内〉若某数，〈即丙午外〉与“乙角之正弦。”〈即丙午内〉若丁为锐角。

最高前后九十度必钝，最高冲前后九十度必锐。

其法全数。〈丁丙内〉与丁丙边。〈外〉若丁角之正弦，〈丙子内〉与某数。〈丙子外〉又，《丙乙边》。〈外〉与《全数》。〈内〉若某数，〈丙子外〉与“乙角之正弦。”〈丙子内〉

用前法推各度分之差，列表如后。

求地半径差法同如上，丁丙边为地半径，丙乙为太。

图

阳距地心之数乙甲为日躔距天顶之数丁乙丙为视差角而求乙角为视差之数其法全数〈内〉与丁丙边。〈外〉若甲丁乙角之正弦，〈内〉与某数，又丙乙边。〈外〉与《全数》。〈内〉若某数，〈外〉与“乙角之正弦。”〈内〉“简《表》得其度分，以加所测之数。”加者，视高

小于日高也。

论日差第九

称日者，日行一昼夜，循宗动一周而复于元界也。其界为子午圈或地平圈。用子午者，以子正或午正时起算。用地平者，以卯正或酉正时起算也。日分十二时九十六刻，然其实行度分，日日不等。如太阳甲日午正，在天正春分一点；乙日午正，春分点行天一周，满经度三百六十，而太阳尚不及者。一度既至，则春 “分点巳去离一度，太阳更东行一度，而后成为一日此一度者，有赢有缩，日日不等，绝非平行，故步日躔月离经纬诸星，凡称日者，皆不用赢缩之日，而用平日。平日者，行赤道一周，并太阳一日之平行为三百六十度五十九分○八秒一十九微也。〈见本表　据以上原本无

卷数通阅前后。当以此卷为原本。《历指》卷一。

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