钦定古今图书集成/历象汇编/历法典/第055卷

钦定古今图书集成
历象汇编 第五十五卷

钦定古今图书集成历象汇编历法典

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　历法总部汇考五十五

　　新法历书五〈月离历指一〉

历法典第五十五卷

历法总部汇考五十五

新法历书五

月离历指一

“步七政，次月离者，何也？”曰：“其故有六：月与日视体相 若，虽偕恒星五纬，同借日光，而独能继照古今，以之 配日，称为二曜，则尊于诸星，一也；太阳以定春夏秋 冬而成岁，太阴以定晦朔弦望而成月。岁与月错综 损益，历法兴焉，以知天时，以授民事，二也；日食于定 朔，月食于定望，恒用日躔月离诸行，以求食分加时。 日食之繁，倍于月，食甚三，视差皆从月生”，三也。“《太阳》 五纬恒星，渐次高远，差数渐微，大小高下，难可遽得。 惟月去人最近，差数为大，易见易测。”故测候诸曜，皆 用月差较量，繇显入微，悉能推见，四也。“日与星不并 见，欲测太阳躔度距某星几何，无法可得。”古法于昼 时测日月之距，至夜测月星之距，并之得日星之距， 五也。《大圜》之中，百昌庶物，生长之缘有二：“日以暄之， 月以润之”，诸风云雨露霜雪等，皆系于月，其在物也， 各有盈虚消息，亦系月之亏复进退。其与太阳经纬 诸星，或会或冲，或三合、四合、六合，各有顺逆承制之 理，测候推算之法，医家借此以工治疗，农家借此以 爰稼穑，商旅借此以行舟泛海，六也。

上五则有关历学者，书中略已论述。后一则各有本学，兹不备著。

“有此诸端，故推步之法，宜求密合，而欲求密合，政复 未易。如《日躔》之行，止有三种，月离则有七种，参错之 中，欲求齐一”，非明理无以立法，非立法无以致用，其 曲折繁细，十倍日躔矣。乃胜国至今，此学湮废，星官 家徒传旧法，若求其立法之原与乖违之故，即无片 言只字可资考证。好学者偶一测验，偶一致思，便欲 “轻言改作，不复究本来之条贯，求目前之征实，计后 世之变迁，譬如勺水于河曷，尝愬源于星海，穷委于 归墟者哉！”今据西法译该《历指》四卷，阐理著数，似觉 井然。《历表》四卷，条画分明，以步月离经纬度，比于旧 法，可省工力三分之二；以步交食，可省四分之三。其 为密近，似复胜之。且令数百年后，据兹义指，得以改 宪求合焉。谨列如左：

《月离》各种行度第一。

月离行度与日躔异，日躔恒依黄道，其行度三而已。 随宗动天西行，一也；“自行”，二也；最高行，三也。若月离 则有七种行度。如左：

一曰“随行”，随行者自东而西，依宗动天，一日一周，七 政恒星共繇之。其起算之界，为子正初点或午正初 点，与太阳同。

二曰“平行。”〈一名本行〉平行者，月之本天自西而东，日平行 一十三度有奇，二十七日有奇，而行天一周。其界有 二：一以太阳为界，从合朔起算，每日去离太阳若干 度分，以命太阴之本行度分。累积之，一以宫次节气 为界。〈宫次如降娄大梁等节气如春分秋分等〉从各初点起算，每日去离 若干，以命太阴之本行度分累积之，此行谓之“交周”， 满一周为“交终。”其初交曰“正交”，其次交曰“中交。”其行 各及半，曰正半交，曰中半交。其两界命两种行度， 分异名同，理详下方。

三曰“自行。”〈一名本轮旧名小轮也因小轮非一故改命之〉“自行”者，太阴之行， 不平不顺，有时疾有时迟，既尔纷纭，无凭布度。《古历》 因想近月四周有一本轮太阴既随本天循交道。〈即白 道〉东行。〈右旋〉又“依此轮自东而西。”〈左旋〉一日行十三度有 奇，二十七日有奇，而行轮一周，此亦平行也。而与交 道平行参错不一，所以下土视之，时疾时迟矣。因其 疾迟以别于交道之行，故彼名平行，此名自行也。既 曰周行本轮，则疾时与交行相合，迟时与交行相背， 亦宜如五纬之法，有逆行度分。此独言迟不言逆者， 月行甚疾，但见其迟，不见其逆也。此周谓之转周，满 一周为转终。分四象限：首限曰正转，二限曰正半转， 亦曰本轮之最高。三限曰中转，四限曰中半转，亦曰 本轮之最庳、曰最高冲。〈或省曰高冲〉行最高极迟，行最庳 极疾也。

最高最庳之一周，又名“不同心圈” ，其与本轮异名同理，详见下方。

四曰次轮。次轮者，太阴之最高，既依白道行，则月离 最高时，其距地心之远近宜等。迨测之，则时时不等。 古历又想本轮之周，复有一次轮，循本轮左旋，月在次轮之上，循周右旋也。此法古历所未有，以意命之。 其行次轮一周，名为次转终也。四分之，则为小四象： 第一名正初象，第二名正半象，第三名中初象，第四 名中《半象》也。

五曰“交行。”交行者，从测候见太阴行白道。

古法月有九行，殊谬。《元授时历》废不用，独言“白道交周” 是也，一名月道。

出入黄道约五度有奇，不行黄道中线。

何名黄道中线？七政恒星，皆循黄道行，而六曜皆有出入，如太白最远，出入约六度，故黄道左右广十二度，名为“黄道带” ，而太阳独行其最中，故名中线也。黄道一名躔道。

而两交于中线。两交之点，一名“正交”；〈亦曰罗㬋〉一名《中交》。 〈亦曰计都〉两交之行，自东而西，与他行异，亦名《罗计行度》 也。

六曰“又次轮”，古来无有也。万历间，《西史》苐谷测候极 密，得太阴行两小轮。〈其一本轮其一次轮〉其各两半时。〈两小轮各有正 半中半〉之两均数，与实测之度分，往往未合，故知次轮 而外，当有又次一轮。此之为数，微眇难分，其于历法 未关损益，故无暇及也。

七曰“面轮而轮”者，太阴既依本轮，又依次轮，各周行 即月，面宜恒向次轮心。下土所见，时时旋转，须当不 一，若之何终古恒如是，故当复有本行，使面恒下向 也。此亦未关疏密，不能备著。

测月平行度第二

测月之法，于七政为最难，其故有六：

其一，“月天最小，距地甚近”，即地球与其本天有小大 之比例。乃测器之心不居地心而居地面。所得月轨 高，乃地面之“视高”，非地心之实高也。〈此在日躔历指谓之地半径差〉 其二，有地球与月天之比例，乃可推地半径差。既得 地半径差，乃以加所测之高，定其实高。不先得此，无 缘得彼。

其三，“凡得各曜之高，必减清蒙之高，以定实高。”各曜 之蒙差，高下不等，测月者未知距地若干，即无差数 可减所测高，则非实高。

其四，月体恒亏缺不全。若用太阳法，令其光过窥表， 即虚淡难见，光体不圆，亦无从得其中心之光。若目 察窥表，见月体不全，无从测其心。

其五，若测以地平经纬仪或黄赤道经纬仪，纵得其 经纬度分，又以三视差，故测得之数无一合者。〈三视差见 交食历指〉

其六，依测日星法，以恒星测验推算，而得其经纬度， 似可用。亦因三视差，故无一合者。

然则何如？按《西历古今法》测月离度分，必于月食时 简知之。《晋史》姜岌亦以月食冲简知太阳所在。不知 考太阳之躔度易，考太阴之离度难，而姜倒用之，两 率皆疏矣。今法于月食时推太阳之经度，其对冲即 太阴之经度。〈考太阳经度法见日躔表一卷〉若日食则不可用，何故 日食时因于视差，是生中食、实食、视食？

中食者，两平行所得平朔也。实食者，加减平朔，而得地月日三心参直定朔也。视食者加减定朔，而得其加时先后，此地此时，人目所见也。

随地随时。都无定率故。

右法任用一月食，皆足简知行度。若求月平行率，则 用前后两会食，取中积平分之。其法与日平行相似， 而难易迥别。何者？月或全食，或不全食，或食于南，或 食于北，或于迟限食，或于疾限食，各各不等。顾须求 其相等，一不等即所得非真率也。然两食犹为未足， 宜精择所宜用之四会食，参互稽求，以定月历。今详 论其法如左：

夫“月不平行”，古今治历者之公言也。欲求平行之率， 必用择食之法；欲明择食之理，先解不平行之理。其 征有二：

其一初日，测太阴过子午圈，注定时刻。〈定时法测星第一水漏自 鸣钟等器次之〉次日测过子午，定时刻如之。第三、第四日复 测，皆如之。次取各日所注时刻较之，必一一不等，知 其非平行。若平行者，宜一一等也。如“一周三百六十 平度，初日行一百刻，次日亦行一周，而得一百刻有 奇，或九十九刻有奇，多寡不等。其历时多者必行迟 也，历时寡者必行疾也。”

其二取月食三事，各以其中积时相减，必有多寡，知 其非平行。如《西测食略》所记，天启三年癸亥，九月 望，月食，食甚在戌初初刻○五分。〈日九十六刻刻十五分下仿此〉日 躔寿星宫一十四度四十一分。月离降娄宫度分同。

又《记》：“天启四年甲子二月望，月食，食甚在丑初三。”

刻○三分，日躔降娄宫一十四度二十九分，月离寿 星同。又记本年八月望月食，食甚在寅初二刻○ 四分三十九秒，日躔寿星宫三度五十五分五十三 秒，月离降娄同。推得先两食中积时，为一百七十 八日二十六刻十三分，太阳行一百八十度一十二 分一十一秒，太阴行满六交会。置中积{{Annotation|一百七十八日二十七“刻○，分}}六为法而一，得二十九日六十八刻○七分四 十三秒五十○微，为一会望策。”后两食中积时，为一 百七十六日○七刻○十二分三十九秒，太阳行一 百六十九度二十七分○四秒，太阴行满六交会，置 中积，六而一，得二十九日三十一刻○二分一十三 秒三十○微，为一会望策。右前后两会，望策不等， 差三“十七刻。馀前六会积分多，必行迟；后六会积分 少，必行疾。”又前两食间太阳行经度与后两食间不 等，其较一十度四十六分○七秒，而积分之较，仅二 百二十○刻八十七分八十○秒。经度积时，多寡不 等，足征非平行也。

右二则皆不平行之征也。所以然者，其缘又有三。三 缘者，其二在月，其一不在月。不在月者，日躔经度是 也。前论以“月食”简知“月离经度”，谓食甚时，二曜经度 正相对也。然日躔自有赢缩，自非恒平，何能定月离 之平？何者？日躔有最高最庳，其去地也，时近时远，是 生地景。〈一名暗虚〉“时大时小，时长时短。若日躔最高，其景 则长则大，月之过景，加时则多；日躔最庳，其景则短 则小，月之过景，加时则少。此第一差之缘也。二在月 者，一为月转迟疾也。月行迟限则过景时多，月行疾 限，则过景时少。此第二差之缘也。”一为月转最高最 庳也。在最高月体小，又入于小景，则过时少；在最庳 月体大，又入于大景，则过时多，此第三差之缘也。 是故历家设择食之法。择者，导择也，去其不齐之缘， 以求其齐也。不齐之缘第一在日躔经度，或在赢，或 在缩，则择食之第一法，宜择两食之日躔经度所在 等。既免此缘，则馀二缘在月之本行，本轮日无与也 【。《图甲】》

如图“甲为地球，乙日体在最底，从乙发光，地景则短； 丙日体在最高，从丙发光，地景则长。”月循戊丁本轮 行，如在丁近地，过丁小景，又在戊远地，过戊小景，而 此二小景等，则何从知月在其最高戊乎？或者其最 庳丁乎？惟先知日躔所在，在其最庳景宜短，或不至 戊，或至戊，宜更小，所见小景者丁也，而月离在其最 “庳也。日在其最高，景宜长过；月之最庳，宜作《己庚》大 景，而所见小景者戊也，则月离在其最高也。”故两食 之太阳高庳等，则景大小等，可免第一差之缘也。夫 景之末，地之心，太阳之心，三者恒相对也。地景之行 度分，即太阳之行度分。太阳之高庳，两食不等，即行 度之迟疾不等，而景之行度迟疾亦不等。若“《高庳》等”， 则两行之迟疾皆等。

是故“前后两会，望皆全食”，又两食之黄道同度。〈差自分秒 以上至一二度无害〉即两景之大小等，两过景之加时等，又得 其月离之距地心等，即其本轮之转分所至亦等。

“转分之所至等” 者，距地之远近等也。然月在本轮之最高最庳，则其远其近一而已。若在正转、中转，则距地之远近虽等，而在左在右未定也。法见下文本论。或用不同心圈，其理则一。

其择食之第二法，即两食之月距地心等也。若同在 本轮之最高或最庳，不论左右。若欲定其左右，则以 恒星经度测之。若两食之经度等，加时等，即其或在 左或在右亦等。既得月转分之所在等，即可测食 前月体之径。若径等，即其距地必等。〈测月体有本法本论见后篇〉 可免第二、三差之缘也。

如上言。欲求月平行率，必用各率均齐之前后两食。 欲得此前后食，必考于古之传记。今考二十一史各 天文志，大都有年月日，而无时刻分秒，经纬度数，将 于何取之？不得巳借西历、《会通》用之。又考古至五千 年以上，若用朝代年号，纷纶不齐；若用甲子，细碎无 纪。故近古有虚立积年，略如章蔀纪元法，以十九年 为一章，二十八章为一袠，十五袠为一总。一总者四 百二十○章，七千九百八十○年也。每年为三百六 十五日四分日之一，每四年加一日，为三百六十六 日。〈说见历指第一卷〉今用此推算，通以《历代纪年》，则为法超 简，仍不妨符合矣。崇祯元年为总期，六千三百四十 一年。

总期之四千二百八十六年，为周考王十四年癸丑。 《西史》默冬推定十九年而太阴满。自行本轮之周，复 与太阳同度。

每年三百六十五日四分日之一，为月二百三十五。

是为“章岁。”《汉史》所谓“月行之终。复会于端”也。西历谓 之“全数。”用以求月之日

“求月之日” 者，于太阳月之某日求太阳之日数法以十九数及《通闰》数推之，别有本论。

“崇祯元年”，为章岁之第十四，通闰得二十四日也。〈西数〉 虽然，尚未能确见分齐。如汉人以章月平分，推太阴 各日平行为十三度十九分度之七，后世讥其疏漏， 因而代代改率，然不于千数百年间详考天行，得其 决定均齐之数，未免揣摩影响。《西史》依巴谷用实法 考验，定为三百四十五平年，又八十二日四刻。〈平年者古 法三百六十五日无馀分〉或一十二万六千○○七日四刻，实两 交食各率齐同之距也。于时交会转终，皆复其始。

“交会” 者，太阴距太阳之行，或太阴距节气之行，满一周为定望也。“转终” 者，太阴之本轮自行度，亦满周而复其故处也。

计其中积，凡为交会者四千二百六十七，为转终者， 四千五百七十三。

以中积分。〈一十二万六千○○七日四刻〉为实交会数。〈四千二百六十七〉为 法而一，得《会望》策，二十九日三十一分五十○秒○ 八微二十○纤。〈古西法以六十分为一日〉或二十九日，五十○刻 一十四分○三秒。〈今西法〉《通率》为二十九日六时。〈日十二时〉 三刻。〈每时八刻〉○五分九十○秒二十七微。

求日平行分以《天周》。〈三百六十度〉为实，会望策为法而一， 得一十二度一十一分二十六秒四十一微二十○ 纤一十八芒，为太阴。一日平行距太阳之度也。〈日有平日 有用日见日躔历指〉倍之，得二日，三倍之，得三日，可列表。

如别卷距太阳平行分，以合太阳日平行分，当加。以合罗计日行分，当减。

求通闰：以平年日为实，日行平分为法而一，得四千 四百四十九度三十七分二十一秒二十八微二十 九纤，除满十二交会。〈一年十二月〉外馀一百二十九度三 十七分有奇，为一平年。〈三百六十五日〉之通闰，约得为十日 有奇也。

《中通闰》，是岁实与十二朔之较；《西通闰》，是平年与十 二朔之较。〈年无小馀〉以平年通闰，加小馀，得中通闰。 求刻平行分，以日平行为实，九十六刻为法而一，得 一刻平行分秒。〈见本表〉

求交分：〈即太阴黄道上之日行度满一周〉置太阴日平行分，加太阳 日平行五十九分○八秒一十七微一十三纤一十 三，芒三十一末。〈古测之数〉得一十三度一十○分三十四 秒五十八微三十三纤三十○芒，三十一末。用乘法 得十日。百日乃至一年，得四千八百○九度二十三 分○三秒一十九微。用除法得一刻一分秒之平行 率。以满天周，得二十七日三十○刻一十二分○五 秒，是为“交中分。”

求转分。〈即太阴本圈之最高行满一周〉置前中积。〈一十二万六千○○七日四刻〉为 实以转数。〈四千五百七十三〉为法而一，得二十七日五十二 刻一十一分五十○秒，为转终分。又以天周。〈三百六十度〉 为实转终分为法而一，得一日之转分，一十三度○ 三分五十三秒五十六微一十七纤五十一芒五十 九末。用乘法得十日。百日乃至一年，得四千七百六 十八度。或约十三转外，馀八十八度四十三分○七 秒四十五微。用除法，得一刻一分秒之转率，可立表。

《测月平行次论》第三。

法用“太阴四会食。”其择法，欲前两会之中积平行度 中积日，其比例与后两会之比例等，又第一与第二。

图

月行本轮同势

势者迟疾最高庳等同者俱在小轮一象限内

第三与第四亦然又第一与第二之中积实行度等第三与第四亦然若是则前两会后两会两中积间月在本轮必各满自行之周

图

如是均齐乃得实平行度分

解曰如图己为地心丙丁乙戊为小轮乙为最高丙为最高冲〈即最庳〉己丁己戊，为两切线。

凡月在戊在丁其变行之势亦借名为留段盖月行甚速留时绝少仅

一瞬耳。然迟疾之间。度分难测。故借名为《留段》也。

从乙丙分小轮为四“象限”，各象有变形之势。

如在最高乙为极迟；最庳丙为极疾，丁戊为留。详见下方。

假令简得第一会时月在辛。第二会在同象限。

同在乙丁象限内，为“同类” 之行。

如《庚》第三会在他象限；如《壬》第四，在同象限。

同在乙戊象限内，为“同类” 之行。

如癸即不可用何者？上法言所求同行、同类、同时者必庚所至亦在辛，癸所至亦在壬。若如图庚与辛，癸 与壬各去离若干，虽以同时，故同行辛庚弧。〈前两会之差〉 与壬癸弧，〈后两会之差〉必等。然一弧之均数用加，一弧之 均数用减，其时〈平行〉与行。〈视行〉不得相等。

“《两弧》等” 者，其自行虽等，而视行不等。

故《法》言“庚会必仍在辛，癸会必仍在壬”，而后为月满 自行之全周。

《系凡简会》食不当在戊与丁两切线之上，盖目在巳 己，丁己戊两视线切圈，其所切之处，难辨其高下之 准分也。

《视法》曰：凡斜望圆圈，圈作一直线，又曰：视线。切圆圈之两旁，人目谬见曲线为直线，其谬直线中间有上行下行者，虽动而目视之，若不动。

此古法依巴谷等所共用，其书不全，所用“四会食之 行度时日等”，各率皆无传，故略举其正法如右方。

《测止中交行度》第四。

正中交者，黄白二道之两交也。正交亦曰罗睺，亦曰 天首，亦曰阴历初、阳历末，西历谓之龙头。中交亦曰 计都，亦曰天尾，亦曰阳历初、《阴历末，西历》谓之“龙尾。” 月行及于黄道曰“交月。”本圈之自行度曰“转”，而转终 分多于交终分，故转满一周，交终未及，恒居其后。交 不及转之度，即两交退行之度，故谓两交为“逆行”也。 〈自东而西〉测法亦用交食，而考古无传，不能得其真率。《西 史》依巴谷如前法，用两月食，择其前后各率均齐如 太阴或同在阴历、同在阳历，太阳之自行同度，去两 交之两点，或前或后，同限食分等，加时等，即太阴之 转分所至等。因以定两交行天若干周而复于故处。 其原测之中积为交会五千四百五十八，两交行天 周为五千九百二十三。

置中积会数。〈五千四百五十八〉以《会望策》。

二十九日五十○刻一十四分○三秒。

乘之，得一十六万一千一百七十七日五十八分。〈西古 六十分为一日〉五十八秒○三微二十五纤，为中积日。次以 《中积》会数乘天周。〈三百六十度〉得二百一十三万二千二 百八十○度为实，以中积日为法而一，得一十三度 一十三分四十五秒三十九微四十八纤五十六芒 三十七末，是太阴距交一日行度。

次于两交日行度，去减太阴黄道上行度。

即平行分日，十三度一十分三十四秒五十九微。

得两交逆行日三分一十一秒。每年行一十九度○ 一十九秒四十三微。用乘法，得积年度。用除法，得时 刻度列表。〈如别卷〉

以上诸率，皆依巴谷《古测》所定。后多禄某歌《白泥》及 《苐谷》各加密测，仍用试法数端，推得合会之数，“每年 不足为一十四分一十八秒一十○微一十九纤，应 加。转终分每年盈为五十四微一十二纤，应减。交行 每年盈为一秒二微四十二纤，应减。”

今新历表所用率

朔实：二十九日五十○刻一十四分○三秒○九微， 通得二十九日五十三刻○六分九十二秒。

转终二十七日五十三刻○五分二十五秒一十四 微，通得二十七日五十五刻五十八分四十七秒四 十九微。

交终二十七日二十○刻○五分三十三秒四十八 微，通得二十七日二十一刻二十一分九十六秒七 十四微。

依上三数之本法，可得《大统》所用别率及其异同之 较。

《通论七政本轮异名同理》第五。

《日躔历》指论太阳赢缩疾迟之理，设太阳所行之道， 与地为不同心圈，今论月行，亦用不同心圈，亦用小 轮。此二者，名虽异而理实同。盖藉以分布度数，指记 运行，随人所立，期于不爽而止。若大象森罗，其孰然？

图

孰不然或皆不然则非智计所能测也今略解如左不同心者一圈之内别函一圈两圈各异心也若圈周之上任用一点为心别作小圈则为小轮如图甲乙圈内别有丙丁圈戊己不同心又庚辛壬圈周以辛为心作癸子圈是谓小

图

轮

解曰日躔历指既言不同心

赢缩今古共知言不同心近而易明

月离历指又言小轮

回回历已著小轮之目因仍用之

且诸历中或复错出故宜

图

诠释同异以绝疑端此法七政所同今借太阳为解他可类推也按日行夏迟冬疾春分过夏至迄秋分历时日多秋分过冬至迄春分历时日少何故若以不同心圈解之作甲乙丙丁外圈戊为心分黄道十二宫为天元宫次又以己

为心，作庚壬辛癸圈，次从降娄寿星各初度，相对作 直线，必过地心戊而任分庚辛壬癸圈为二，必上为 大半，下为小半，己心在戊心之上故也。日平行一岁， 尽庚壬辛癸圈，即夏半周。

夏至左右春分迄秋分

庚壬辛为大分冬半周。

冬至左右秋分迄春分

辛癸庚为小分，大分历时多，小分历时少。日自恒平 行人从地心戊视之，则为赢缩迟疾矣。若用小轮，则

图

如上图戊为地心甲乙丙丁大圈名负小轮圈〈或曰带小轮〉其周上乙点为心，作小轮，如丁为心己庚为周也。小轮从丁向甲乙丙行，一年而复。日体亦行小轮周，一年而复。〈复者复于故处〉置日体在最庳己小轮心丁，循大圈行四十五度至壬日，从

己行小轮四十五度至庚。次丁心行大圈九十度。至 甲日，行小周亦九十度，至寅丁心。至癸日至子心，至 乙日至丑心，至午日至卯心，至丙日至辰心，至申日 至未心。回丁日，回己日，在小轮周上行成己庚寅子 丑卯辰未圈，即是不同心之圈。其心为酉，而酉戊两 心相距之度，即小圈之半径。

又如左一图，用不同心圈，午为日，从地心戊，本圈心 酉各作线，至午成戊酉午三角形。如二图，用小轮子 为日子，癸为小轮，半径从地心戊，作戊子线，成戊子。

图

癸三角形其戊酉午形与戊癸子等戊酉与子癸等子丑弧与午乙等〈圈大小不等而度分等〉即子癸丑角与乙酉午角等，其馀角午酉戊与子癸戊亦等，戊午戊子两边等。〈日距地心之度等故〉则戊酉午与子癸戊两形等，形等则所求之日距地心。若干太

阳平行自行之差，日体大小之类，或用不同心圈，或 用小轮，其得数同也。

《测定本轮之大小远近及其加减差》第六。

借西古《史多禄》某及近世《歌白泥》之论。

法“用《三会食》”测算。〈此多禄某所用〉

第一《食总期》之四千八百四十六年，为“汉顺帝阳嘉 二年癸酉五月。”〈西历之月今三月〉初六日。《子正后》〈顺天府时刻〉一 十八刻○十分。月全食，日躔大梁宫一十三度一十 四分。其平行一十二度二十一分。

第二食四千八百四十七年为“阳嘉三年甲戌十月 建戌之月，}}二十四日子正后。”〈顺天府〉一十七刻○十分，月食 十二分之十，在黄道南，日躔寿星宫二十五度○十 分，其平行二十六度四十三分。

第三食四千八百四十九年为“永和元年丙子三月。” 〈建寅之月或建卯〉初六日子正后三十七刻○五分。〈顺天府为在书 不见〉月食十二分之六，在黄道南，日躔娵訾宫一十四 度一十二分。其平行为一十一度一十四分。

前二会中积。

太阳、太阴两视行，皆为一百六十一度五十五分。〈各减 全周〉是为“黄道上两会相距之度。”

积日为五百三十一日九十三刻，若平日为九十三 刻○七分。

于时月平行距日为一百六十九度三十七分， 月自行为一百一十○度二十一分。〈本轮行度〉 视平两行之较，得七度四十二分，以为加减率。

平行大，视行小，用减法，为月自行过小轮，或不同心圈之最高，在最高逆行故。

后二会中积。

太阳、太阴两视行，皆为一百三十八度五十五分，是 为黄道上两会相距之度。

积日为五百○二日二十○刻，若平日为二十二刻。 于时月平行距日为一百三十七度三十三分， 月自行为八十一度三十六分。

视平两行之较，得一度二十一分，以为加减率。

平行小视行大用加法，为月未至最高。

大图说

外大圈，白道也，小圈为太阴之本轮，第一会月之视

行在子平行。〈小轮心在丁庚丑线〉在丑：〈视行大必在前〉第二会：月之视 行在午，平行在丑。〈平行大必在前〉第三会月视行在未。〈以下原本

图

〉

三会月行离总图

小图说

此即前大图中之小轮。分图借《古史》成法，用二小轮。 〈一为本轮一为次轮〉“以齐月行”，似为足矣。别有诸家异同之说， 更仆难罄，未能悉举。

如左图，以地心丁为心，作午未丑子黄道弧。

《大图》言“白道” 者，度分相若，互言之。

庚为小轮，心依黄道，自西而东。〈右旋〉二十七日有奇而 一周天，此为“交周。”日行十三度一十分有奇，太阴日 平行度也。月体在小轮。〈即本轮〉之上，从甲向乙。〈左旋〉《二十》。

图

七日有奇而一周本轮此转周也日行十三度三分有奇太阴日转自行度也

小轮亦分三百六十度与周天等说见本篇第五

所谓月体在小轮之上者乃朔望之时也其外非在此见下文

依上法，列《平行立成表》，取小轮心行度，推某日太阴 在某宫某度分，即丁庚丑线所指黄道度分也。又用 测法或会食时推算，求太阴所躔宫度，得丁乙午、丁 戊甲子等线，定丑丁午丑丁子等角，即两行之差也。 以为加减之率，如大图三会食第一，食月在甲，去甲 一百一十度。〈两会自行相距之度〉而至乙乙者，第二会食之月 离度也。

《甲乙》之间，平行多，视行少，则乙在小轮之右。又乙行迟段，故月在小轮之上弧。

图

推得两会中积视行平行之差为七度四十二分即黄道上子午也又去乙八十一度二十一分而至丙

乙丙之间视行与平行差少故丙亦在小轮之右又丙行疾段则在小轮之下

推得两会两行之差为一

度二十一分，即黄道上午未也。次得丙甲弧，一百六 十八度○三分。

丙甲之间，自行大平行小丙，行疾段在小轮下。

月行丙甲弧两行之差，为六度二十一分。

以前午子、午未二差相减，得未子较，为此两行之较。

又如前图，乙丙、丙甲两弧并，即平行，少视行多，必在 最庳之两旁。〈行疾段故〉《甲乙》反之。即平。行多。视行少。必在 最高之两旁。〈行迟段故〉次定“己为最高”，从甲、“从乙”、从丙，作 甲丁、乙丁、丙丁各线，甲丁割小轮圈于戊。次作乙丙、 丙戌、戊乙三线，成乙戊丙形，乙戊丁等形。

《乙戊丁形》有乙戊丁角。

甲戊乙角之馀甲戊乙者，甲乙弧之在界乘圈角也。半甲乙弧，得五十五度一十分半，为甲戊乙角。后凡言“乘圈角” ，即所乘弧折半推算，全圈分一百八十度。

一百二十四度四十九分半。又有戊丁乙角。

其对弧为黄道弧之子午七度四十二分。

图

即戊乙丁角〈以满一百八十度〉必四十七度二十八分半。依三角形用法，以角求边之比例。

三角形外作切圈即乙角对戊丁弧其弦为戊丁线丁角对乙戊弧其弦为乙戊线戊角对乙丁弧其弦为乙丁线

图

十万为全数〈全周之半径〉查表。

〈八线表中有法〉得乙戊为二六七九八，戊丁为一四七三九六。

半弧度查表求正弦倍正弦得通弦

戊丙丁形有戊角

甲戊丙角之馀也甲乙乙丙二弧并为一百九

图

十一度五十七分因乘圈半之为甲戊丙角度其馀为丙戊丁角度

八十四度一分半有戊丁内角

戊丁丙角之弧为两行之差未子

六度二十一分自得戊丙丁角依三角求边之比例

得戊丁一九九九九六戊丙二二一二○。

先得乙戊、戊丁之比例，次得戊丁、戊丙之《比例》，用变 率法通之。

“变率” 者，变两戊丁为同数，他率从之也。用三率法，次戊丁为第一率，次戊丙为二率，先戊丁为三率，求四率得先戊丙，即两比例之数俱同类。

得○戊丁俱一四七三九六，戊丙一六三○二，戊乙 二六七九八。

又乙戊丙形，有乙戊戊丙，两边有乙戊丙角。〈乙丙弧之半〉

图

求乙丙得一七九六○乙丙线者乙丙弧之弦也乙丙弧为八十一度三十六分若设小轮全径为二十万分即乙丙弦为一二○六八四用变率法〈见前〉乙丙之先数得丙戊，丙丁为某数。

云某数者先乙丙为一

率先戊丙，为“二率” 相偕，为比例也。

乙丙之次数，得某数，算得戊丙一一八六三七，戊丁 一○七二六八四。既得戊丙弦，求其弧，得七十二度 四十六分一十○秒为戊壬丙。有戊壬丙弧，并入丙 乙乙甲，以减全周，馀九十五度一十六分五十○秒 为甲戊弧。其弦一四七七八六为甲戊线。甲戊弧于 全周为小分，则圈之心必在甲戊外。置庚心作己庚 壬丁线，定己为最高，壬为最庳。

次依几何原本。〈三卷三十六题〉甲丁戊丁两线内矩形，与己 丁壬丁两线内矩形等，又己丁壬丁矩形及庚壬上 方形，并与庚丁上方形等，则甲丁丁戊相乘，加全数 庚壬上方积，以开方得庚丁为一一四八五五六。次 设庚丁全数，为十万，用变率法得庚己八七○六，是 为月天半径与小轮半径之比例。

次从庚心作甲戊垂线平分甲戊线于辛，截甲戊弧 于癸，成庚辛丁直角形。此形有辛丁。

先得丁戊戊甲，今庚辛线平分甲戊，以辛戊加戊丁所得。

图

一一四六五七七又有庚丁一四八五五六求辛庚丁角得八十六度三十八分半是在心之庚角所乘癸戊壬弧也以减半周馀九十三度二十一分半为癸己弧先得甲戊弧为九十五度一十六分五十○秒甲癸半之为四十七度

三十八分三十○秒；以减癸己，馀四十五度四十三 分为甲己，是第一会食，太阴未至最高之度也。以减 甲乙，馀六十四度三十八分为己乙，是第二会食，太 阴过最高之度。以己乙并乙丙，得一百四十六度一 十四分，是第三会食，太阴距最高之度。

依上算，得辛丁庚角三度二十六分，黄道子丑弧也。 为第一食两行之差。

“小轮心” 指黄道上之丑，点本行从丑向子，则月在子居前，平行在丑居后。

图

应于平行加丑子度分为视行又甲丁乙角七度四十二分去减甲丁丑角馀己丁乙角四度二十一分于黄道弧为午丑是第二食两行之差

乙在最高之后月视行未至丑

应于平行减午丑度分为

图

视行又丙丁乙角先为一度二十一分以减午丁丑角馀丙丁丑角二度四十九分于黄道弧为未丑是第三食两行之差〈丙未至最高冲〉应于平行，减未丑度分，为视行。

末第一食月视行离大火宫一十三度一十五分于

《黄道弧》为子。〈太阳躔其冲大梁宫度分同〉今得两行之差：丑子三 度二十二分，减视行率，得平行小轮心度丑为在大 火宫九度五十三分。第二食，视行，离降娄宫二十五 度○六分，于黄道为午，两行差四度二十一分。以加 视行率，得丑，为在降娄宫二十九度三十○分。第三 食，视行，离鹑尾宫一十四度一十二分，于黄道为未， 两行差三度二十二分。以加视行率，得丑，为在鹑尾 宫一十七度○四分。

一、系因上论可得小轮半径。〈庚壬〉与“《月天》半径。”〈庚丁〉之《比》。

图

例

二系可得两行之极大差法从地心丁作丁卯线切小轮于卯因几何〈三卷三十六题〉丁卯切线上方形，与己丁壬丁两线矩内形等。今先有己丁壬丁两数以相乘，开方得卯丁。既卯丁庚形有三边，以求卯丁庚角，是

为两行之极大差。

此差古今测法同，得数小异，别有图表，见后卷。

五度一分。上法用不同心圈，得数无异。

测本轮大小远近及加减差后法第七。

法同上，用三会食。〈此近世歌白泥法今时通用〉 第一，《食总期》之六千二百二十四年，为正德六年辛 未十月。〈西历之月今九月〉初七日子正后二十八刻。〈顺天府时刻下 同〉月全食太阳躔寿星宫二十二度二十五分，平行 为二十四度一十三分。

第二食六千二百三十五年，为嘉靖元年壬午，九月 初六日子正后三十一刻，月全食，太阳躔鹑尾宫二 十二度一十二分，平行为二十三度四十九分。〈今作八月〉 第三食六千二百三十六年，为嘉靖二年癸未，八月 二十六日子正后四十二刻一十分，月食太阳躔鹑 尾宫一十一度二十一分，平行一十三度○二分。〈今作 八月〉

前两会食黄道上相距之中积，视行度。〈减全周〉为三百 二十九度四十七分。中积日。为三千九百八十七日。 平时三刻一十分。于时交周上中积平行度。〈减全周〉为 三百三十四度四十七分。本轮自行。〈减全周〉为二百五 十○度三十六分。因自行度，是生平行。视行之差，五 度以为加减率。

中积之，视行大，平行小，故月在小轮之右。

后两会食黄道上相距之中积，视行度为三百四十 九度○九分，中积日为三百五十四日，平时十二刻 ○九分。于时交周上中积平行度为三百四十六度 一十○分，本轮自行为三百一十六度四十三分，因 自行度，是生两行之差，二度五十九分以为加减率。

《中积》之平行大，视行小，因差少，月仍在小轮之右。

第一食月在甲，从甲数前二会之自行中积二百五 十度三十六分至乙即乙，为小轮周上第二食，月离 所在，而乙甲馀弧必一百○九度二十四分，甲丁乙 角之弧为午子五度，是人目所见黄道上两行之差。 又从《乙》〈第二会月离所在〉过戊甲数，三百一十六度四十三 分，至丙即第三会月离所在，而丙乙弧必五十三度 三十七分，丙丁乙角之弧为午未二度五十九分，是 黄道上两行之差。

又乙丁甲角去减丙丁乙角，馀甲丁丙角为子未二 度○一分，为黄道上两行之差。

次并甲乙乙丙弧，得一百六十二度四十一分，以减 全周，馀一百九十七度一十九分为丙己甲弧是周 之大半，即周之心，在其弦内。次作丁庚丑线，定己为 最高，从甲从乙从丙，作甲丁乙丁丙丁各线，丙丁线 割小轮圈于戊。次作乙甲甲戊戊乙三线，成甲乙戊 形。

图

乙戊丁形有戊丁乙角〈二度五十九分〉又有“乙戊丁角”，

丙戊乙角乘丙乙弧二

十六度三十八分半其馀以满一百八十度为乙戊丁角一百五十三度二十一分半

即戊乙丁角第三，为二十三度三十九分三十○秒。

以求各腰。

倍角之数求其弦，即对边之数。

得乙戊边，为一○四二，戊丁为八○二四。

次甲戊丁形，有甲丁戊角。〈未子二度一分〉有甲、戊、丁角。

甲戊丙角乘甲己丙弧，一百九十七度一十九分，半之，得八十八度三十九分半，甲戊丙角也。其馀为甲戊丁角，九十一度二十○分半。

即有戊甲丁角有三角求其边，若戊丁为八○二四， 则甲戊为七○二。

次甲戊乙形有戊乙。〈一○四二〉戊甲：〈七○二〉两边有乙戊甲 角。

乘甲己乙弧，二百五十○度三十六分，半之，为一百二十五度一十八分。

求《甲乙》，得一二二七。

若小轮之半径庚壬为全数，即因甲己乙弧之度，推 得甲乙弦。又用变率法，推乙戊戊甲戊丁各线，与庚 壬全数为同比例之数，算得甲乙为一六三二三，戊 丁为一○六七五一，戊乙为一三八五三，有戊乙弦。

图

即得戊乙弧为八十七度四十一分以并乙丙弧得一百四十○度五十八分求其弦得一八八五○为丙戊以并戊丁得一二五六○二

次依几何原本〈三卷三十六题〉丙丁丁戊两线内矩形，与己丁、丁壬两线内矩形等，又

己丁、丁壬矩形及庚壬方并与庚丁方等，则以丙丁、 丁戊矩形，一三四○八一三九一○二庚壬方。〈庚壬全数 为一万〉一万万，并为积，开方得庚丁方之边，为一一六 二二六。次设庚丁全数，为十万，变庚壬为八六○四， 是为月天半径。与小轮半径之比例，与前古法所得 小异。

次从庚心作丙戊之垂线平分丙戊线于辛，截丙戊 弧于癸，成庚辛丁直角形。此形有庚丁。〈一一六二二六〉有辛 丁。

图

先得戊丁一○六七五一又有丙戊一八八五二半之为辛戊九四二六以并戊丁为一一六一七七

求庚丁辛角得一度三十九分为未丑又求辛庚丁角得八十八度二十一分为癸壬弧并丙癸

图

先得戊乙丙弧一百四十度五十八分其半为丙癸七十度二十九分

得一百五十八度五十○分其馀〈以满半周〉为丙己二十一度一十○分，是第三食月距小轮最高之自行度。第二食，月在乙乙己弧七十四度二十七分，为其距

最高之自行。第一食，月在甲甲乙己一百八十三度 五十一分，为其距最高之自行。

又己丁丙角为未丑一度三十九分，月在平行之后， 则第三食平行内应减未丑。丙丁乙角为午未二度 五十九分，月在平行之后，则第二食平行内应减午 未两角，并得午丑四度三十八分，为第一食应减之 数。而甲丁乙角先得五度，因月在小轮下弧，则为应 减之数。一加一减相准。馀壬丁甲角为丑子弧○度 二十二分，则第一食平行内应加丑子。

末第一食月视行经度，离降娄宫二十二度二十五 分，减丑子弧二十五分。〈视行内应减平行内应加〉得平行，为在降 娄宫二十二度○三分。第二食月，视行离娵訾宫二 十二度一十二分，加午丑弧四度三十八分，得平行， 为在娵訾宫二十六度五十○分。第三食月，视行离 娵訾宫一十一度二十一分，加己丁丙角一度三十 九分，得平行，为在娵訾宫一十三度。皆食时之经度 也。

因上二论，以推加减立成，表如后卷。

三会月行经度总图

《试旧推平行率各术疏密》第八。

依前法，用太阴加减差表定前后两会食之中积时， 可得太阴之平行率。又用上论求两食之本轮自行 度，若此两率之距本轮最高或最庳等，则所定平行 率为确合。

如前本篇第六所用第二会食，为总积之四千八百 四十七年，系汉顺帝阳嘉二年。〈多禄某所用〉其各率见本 章。又第七所用“第二会食”为总积之六千二百三 十五年，系正德六年。〈歌白泥所用〉其各率见本章。其中积 率为平年。〈三百六十五日〉“一千三百八十八年三百○二日 一十四刻○四分，其间交会满一万七千一百六十 六周，其自行本轮亦满全周，则为确合。”今依上古法 推。〈依巴谷在周显王时〉减全周外，馀三百五十九度四十八分 ○七秒。

转周不及交会一十一分五十三秒。

依中古法推。〈多禄某在阳嘉年〉减周外，馀三百五十九度三 十七分四十九秒。

转不及会，二十二分一十一秒。

依近世法推：〈歌白泥在正德年〉减周外，馀四分，则知近世之 法视古为密。盖测验推步一二千年，积功力、积智巧， 所定诸法，渐次加精故也。

定太阴平行自行之历元第九。

《历元》者，于某地之某年月日时刻，定某曜躔本天之 某度分，为推步之根本。上愬既往，下迄将来，靡不准 此。或加或减，以得随时所躔各度分也。

“今拟定崇祯元年戊辰天正冬至后子正初刻为历 元，其地则京师顺天府定为历元之本所历元则上 下推步，略同古法。论地则自唐至元有测验北极出 地之法，是为地之纬度。若其东西经度，从古未有也。 今立法以本府为根。其南北北极出地三十九度五 十五分有奇，九服皆随地测验。东西则以本府为初” 度初分，九服依此为准，或加或减。推算各地本时本 曜之各所求度分，别有本法本论。〈如后卷〉

古北极出地度通为四十○度四十九分有奇，中西 二率，悉与古法不合。盖前人未悟地半径差、蒙气差 于两至所测之高，应加应减故也。说见《日躔历》。指 用历元前一月食之岁月日时及《历元》之岁月日时， 取其中积日求太阴之平行若干度分减朔策。〈一交会之 全周〉“馀度分，为《历元》之平行度分”，则朔应也。又考月食 时，得自行若干度分，亦算中积时之自行若干度分。 两数并得，为《历元》之自行度分，则转应也。〈以上原本历指卷五 月离之一〉

《解》第二，《均数》第十

如上论，“因月有本轮自行度，以致不平不顺，定朔定 望多寡不一。今用其自行度分，加减其平行视行，以 定均数，则于定朔定望及交食之法，始无遗漏。”乃历 家详测密推，以为未足尽月行之理，故又立次轮一 法以定均数，与本轮第一均数并用之。今解其义如 左。

古今测月行，审有自行度，与平行不合，立为本轮法 或不同，心}}与自行加减，以定朔望，以正交食。然其朔望之 极大差不过五度，此本轮之半径也。是知定朔、定望 时，太阴恒在本轮之周矣。其在上下弦之差则不然。 《古历》于上下弦日，推太阴自行本轮之二限、四限。

“左右两傍之尽处” ，所谓“留际” 也，如此则为去最高之极大差。

又在黄道之九十度限。

一名《黄平象限》，如此则无东西视差。

以定本日之经度，若如本轮法，则此差止应得为五 度。及用圆浑仪测候，或以距太阳求月之视行经度， 或以恒星求其黄道上之视经度，得数乃与先推殊 不合。论推算宜得五度，论测候则得七度四十分。从 古至今，累测皆如之。又测弦前后若干日，亦与推算 不合。每日远近，所差不等。知月行止定朔、定望，日在 小轮周，馀日去离远近多寡，各有本行度分，因从其 差数以立差法，仍定本轮周上。复有次小一轮，循本 轮右旋。〈与七政行同与自行异〉半月一周，因其行度作加减差， 以定第二均数。列表。〈如后卷〉

《求次轮之比例》第十一。

既论有次小轮，今论其大小，以定加减率。

如图丁为地心，庚为本轮心，甲乙丙为本轮周，作庚 丁过心线，作本轮之丁甲切线，即庚丁甲为五度角。

图

也

视行平行之极大差

朔望时次作庚甲戊线又作丁戊线则成庚丁戊角为七度四十○分视平两行上弦下弦之大差次庚为心戊为界作戊己圈太阴在定朔定望时必循甲乙丙本轮周左行在两弦

图

时必循戊己周左行而弦前后半月间则自甲向戊戊向甲右旋为次轮之自行也

若庚丁线为一万全数即庚甲为八百七十二〈五度之正弦〉庚戊为一千三百三十四，〈七度四十分之正弦〉相减得甲戊四百六十三，甲戊线平分

于辛庚为心，辛为界，作辛戊为负，次轮圈。〈一名带次轮〉即 甲辛为二百三十一，以并庚甲，得庚辛一千一百○ 三，为负次轮辛癸圈之半径，则本轮次轮两半径为 一一○三与二三一也。

系有二小轮之比例，可解前一推一测异同之极大 差，又可推朔望前后之视行。疑于无法而不知实有 法也。

朔望前后三十八度，其视行绝异，故云“疑于无法。” 详《后论》。

图

如图两圈为本次二轮丁为地心甲为本轮之最高丙为其心乙为次轮心作丙乙线为一一○三从乙心作次轮圈其半径二三一〈如上两轮之比例〉次从丙，作丙戊丙子线，切次轮于戊，于子成戊子两直角。设月体在戊，今论之。

图

凡月行本轮周左旋〈依宗动天自东而西〉如图“庚”为本轮心，甲乙为白道，丁为最高，己为最庳。其平行则自甲向丙，庚至乙，其自行则自丁而丙，而己，而戊，而复于丁从丁。〈即正半转即最高〉入转行极迟向丙。〈即中转亦留际〉其迟日损至丙而及平行度，谓之“迟初

限”，从丙向己。〈即中半转即最庳〉迟损疾益至己而极疾，谓之 “迟末限”，从己向戊。〈即正转亦留际〉其疾日，损至戊而及平行 度，谓之“疾初限。”从戊而复向丁，疾损迟，益至丁而极 迟，谓之“疾末限。”最高左右二限，谓之《迟历》，逆经度行。

逆七政经度也。《后省》曰“逆行。”

最庳左右二限，谓之《疾历》，顺经度行。〈后省曰顺行〉二十七 日有奇，而周〈即转周〉若次轮，则如左图，乙为其心，甲己 为本轮，周壬戊癸子为次轮周，壬为最近，癸为其最 远。

图

本轮可言高庳次轮不得言高庳故言远近谓远近于本轮心

其顺本轮左旋则自甲向己其自行右旋〈如七政自西而东〉则自壬而戊而癸而子，而复于壬，从壬入转至戊，为“迟”初限从戊至“癸”为“迟”末限从癸至“子”为“疾”，初限从

图

子至壬为疾末限最近左右二限为迟历逆行最远左右二限为疾历顺行十五日弱而周谓次转周夫甲己弧者约太阴距太阳之半周也

朔与望相距之一百八十度

次轮心行甲己半周则月

图

循次轮行满一周是月体循本轮周行一度即循次轮周行二度次轮心从甲至乙月从壬至戊比本轮上之两行皆在迟历皆逆行一至戊切点则为逆行之末顺行之始顺行则始疾故戊切点为月行次轮顺逆两行之大差今以数

图

明之

作乙戊线为切线之垂线成乙戊丙形戊为直角此形有乙戊二三一有乙丙一一○二求丙角得一十二度二十八分为次轮上月行之最大差是本轮心行度〈甲乙〉外应加、应减之数，乙丙戊角既一十二度二

十八分，戊乙丙角必七十七度三十二分，壬戊弧也。

半之得三十八度四十六分，为甲乙弧。〈甲乙为壬戊之半〉 系凡次轮心距本轮最高三十八度，为大差之限，朔 望前后各等。

《论太阴次轮异名同理》第十二。

前卷推月不平行之缘，为有本轮、次轮，因立两均数 以定其实行。〈此歌白泥术〉而首卷又有《异名同理》一章：〈第五〉 言用不同，心圈立法，得数不异，是则止论本轮，未及 次轮也。今并论两小轮与两不同，心圈亦复异名同。

图

理得数无二〈此马日诺术〉如左如图，是月本天之大圈平面也。本天中函有诸球，体有厚薄，行有顺逆迟速。此图平面亦函有诸圈，譬犹剖球为面，其中所有，一一具见矣。内外凡六圈，甲为地心，亦为月本天之心。外第一圈为黄道平分十二。

图

宫次圈为交道〈黄白经度略等〉巳见前解第二、第六总名为“负太阴中距之天。”其第二之外规面，第六之内规面，则与地同心。〈甲也〉其第二之内规面，第六之外规面，则与地不同心，而以“中距之心为心。”两天各有厚薄不等，其厚薄处恒相反相对

也。〈此二天同一色绘之〉

此天平面之外圈，斜交于黄道内函“月行”诸圈为一 体，顺经度行。〈右旋〉每日六分四十○，秒五十五，微○六 纤八。平年三百一十二日有奇，而行天一周，周行无 首尾，其起算之界，用外规之最薄，即本天之最高。 第三、第五，总名为“太阴中距天”，又名为“正不同心天。”

上有二面同心，此四面不同心。

其心为乙，距地心甲以最外规。〈丁也〉之半径。〈丁甲也〉为度 十分之约得一有半，为乙甲。求其厚，得丁甲十五分。

图

之四为丁戊此天内函月行之轨道为一体顺经度行〈右旋〉其外虽为负距天所挈，一体顺行，又自有其行度。每日二十四度二十二分五十三秒有奇，凡一十四日七十三刻○七分有奇，而行天一周。

在歌白泥法为次轮上

月行之周

其起算之界，为最近地心之处。〈巳也如上次轮法〉本表目，其 本行度为日月相距之倍度，是为次引数。凡月朔望 间必行一周，故朔望时月恒在于最近。即无此圈，行 度亦不用次均数，皆与前法所论次轮同理。此圈又 名为引数之圈，以其函负月轨圈，为定均数之恨。 第四名为月轨圈，盖太阴自行之轨道也。与第三、第 五正不同心之天，又不同心其心丙，故又名“次不同 心”之天乙丙，两心相距，以中距天。〈即第三第五〉之《全径》。〈外规 过心相距〉为度六十。平分之，得其一分半，弱。

次不同心之心丙，旋绕正不同心之心乙，作一小圈， 月体循第四天行，虽最外为负距天所挈，一体顺行， 又为中距天所挈，一体顺行。其自行则又逆经度左 旋。譬之负距天如流水，中距天如舟，月体如人，水自 顺地势东行，有水之行度。舟亦顺水势东行，又自有 舟之行度，人却从船首向船尾西行，又自有人之行 度也。其起算以自天之最高为界日，逆行一十一度 一十八分五十九秒有奇，三十一日七十八刻有奇， 而行天一周。其在前解，则自行本轮也。

前解定次轮上。〈或正不同心圈理同〉太阴，一日顺行二十四度 有奇，今减本轮上。〈或次不同心圈理同〉逆行：一十一度一十八 分有奇；馀一十三度○三分有奇。因两行相背，故相 减，所得较数，为前引数。

《两不同心》圈，各有最高最庳。

前解。“在次轮者，为最远最近。” 此解亦名最高最庳。

则太阴所至有远近四限与前解同。其数以中距天 之半径丁乙为度，半径六“十”，则极远距地心为六十。

图

八次远为六十五分○九秒次近为五十四分五十一秒极近为五十二分〈皆歌白泥所测也〉

第二图次不同心之心在丙其最高在丁正不同心之最高在戊

中名月孛西名平最高

甲乙戊线定黄道上月孛

之经度甲丙己线，定己为正最高之经度。

甲丙己线过甲、丙两心，则己为月轨，距地之极远。

乙丙丁线，定月轨道最高之经度，从己至月前，解名 为“月自行。”古史各有本表，今用前两轮解，已作表，不 复备著。

右二法外，《苐谷》及其门人又有别解，更细更密，特为 奇妙，以《步月离》倍胜前法，特微眇难见，以步交食精 粗判然，今并论如左。

《苐谷密测月离》，觉月自行在朔望时，遇初宫或六宫 及左右平距

最高庳之左右，其距地等。

即自行四限。〈高庳左右〉但依古法，用一均数，一本轮自行， 足以齐太阴之不平行矣。自非然者，即用古法，多见 参差。因依古步五星法，于月离法中亦加一均轮。均 轮者，古推步五星自行，用两不同心圈，一为负本轮 心之圈，一为均行之圈。

均行圈者，与本轮心圈又不同心而出入其内外。古推五星，但依本轮心圈，未能悉合，别依此圈推步，然后度分不谬，故名均行之圈，或用均轮也。《歌白泥》谓月离法中可省此苐谷觉有未合，复用之乃合。

其解详于《五星历》中，今月离亦用之，是为新法。依此 作五轮月行全图如左方。如图甲为地心，取甲乙线 为半径。

前法为次轮之半径

乙为心，甲为界，作甲丁丙圈。〈前法为次轮〉从圈《周任》取丁 为心，作戊己癸圈，其半径丁戊，是为月与地之平距。

图

也

平距者最高庳之间

即五十六地半径也

前法为月本天半径或负本轮圈之半径

若丁戊为全数十万即甲乙为二千一百七十分右为二三一又于戊己癸周任取癸点为心取癸辛线

五千八百分为半径，作午辛辰本轮。又取辛庚线二 千九百分为半径，作庚壬子均轮，得癸庚线。〈两小轮之两半 径并〉八千七百。此八千七百者，于前法为本轮之半径。 但前用一本轮以齐太阴朔望之行，此析为二。析为 二者，以前法之本轮半径三平分之二，为新本轮之 半径，一为均轮之半径。新本轮之半径者，月朔望时 近远之实半较也。

凡月之定朔定望时，丁心与地心甲合为一点，丁心 右旋。〈顺经度行〉循甲丙丁圈。

“从甲向丙” ，而“丁” 而复于甲。

半月而周。

此圈以当前法之次轮，故如前月体循次轮周半月而复。

则甲丙丁周上之弧，为月距太阳之倍数。本轮之癸 心，循戊癸未圈。

“从戊向癸” 而“未” 而复于戊。

右旋。〈顺经度行〉二十七日有奇，而周均轮庚子之心辛，循 本轮周，左旋。

违经度，行从辰向辛，而壬而午，而复于辰。

亦二十七日有奇而周，即辰辛戊癸两弧之行，恒为 等度分，而此两圈皆当前法之一本轮，其行周皆转 终分也。月体则循均轮周右旋，

顺经度行，从子向壬向庚而复于子。

十三日有奇，而《周》〈是转终之倍数〉

凡朔望时，丁心必在甲，若自行为初宫初度，则如一 图癸心在戊，辛心在辰，月体在子，无均数；自行为六 宫，则如后图癸心在未，辛心在午，月体亦在子，亦无

图

均数

朔望图见交食历朔望之外依图用三角形法推算则得月离之宫度分可无用表

依新法则戊为月孛盖最高也甲丁乙所指为平最高今以二法较论同异则月与地之中距〈五十六地半径〉两

家微异。

前法为“本轮心距地” ，新法亦然，皆丁戊也。

若自行初宫初度，则月距地比于中距，前法盈十万 之八千五百分，《新法》盈二千九百分，是损三分之二 也。

此《苐谷》所定也。以视差及密测月高庳法，得之。

若自行三宫，则两家所定最大差为小异；其以次小 轮；〈前为次轮今为均轮〉为自行之倍数，新旧一也，今用《合图》明 之

合图说

实线为前论歌“白泥法” ，半虚线为《苐谷》新法。

不论次轮，前法次轮在上，新法次轮在下，其理不二 故也。〈五纬历中见其论〉

前法丁地心亦为戊寅、庚卯圈心，戊丁其半径戊本 轮心，以平行右旋，历丑寅、庚卯等点，月从丙自行左 旋向乙。设戊平行三十度，至丑月左旋从丙至乙，自 行二十九度一十三分。

每平行一度，自行五十九分四十六秒故。

月行二法合图

平行六十度至寅，即自行五十八度二十六分，亦从 丙至乙。〈丙乙恒为自行弧〉又至庚至卯等，皆同此推。若依丁 戊线，从丁向戊，取丁申线，与戊丙等，申为心，丙为界， 作圈必遇各乙点，是名“过乙圈”，亦为高庳圈。〈不同心圈〉 新法：丁戊半径戊寅、庚卯圈同前。别取戊午线为戊 丙三分之二，戊为心，午为界，作本轮。

较旧本轮之径，减三分之一。

次平分，戊午于己，午为心，己为界，作均轮。〈得旧本轮径三分之 一〉月体在己，设戊心平行至丑，即戊乙戊丙两线开 展。

午心循子午本轮左旋，为各子午弧。

如张《箑》之势。

丁戊丙直线，戊午乙过两小轮心线，若自行初宫初度，即两线合为一线，后渐展开至三宫九十度成直角，至六宫复合为一。

己月从，最近酉。〈最近本轮心也〉右旋。〈顺经度行〉至己为自行之倍 数。如戊行至丑两心线为丑酉午乙月在己，则酉己 弧倍于丙乙弧或午子弧。

丙乙午子与戊丑等，而乙丑乙寅等线恒与戊丁平行。

馀悉同此。〈酉己弧行倍于丙乙〉次依丁戊线，从丁，取十万分之 二千九百为未，未为心，己为界，作圈，过各己点，是为 均行之圈。两法至庚点，即相近。

依前法推加减表，则用丁丑乙一三角形求丁角。新 法用午己丑及丑己丁两形求丑丁己角两得数之 差，自行十五度为四分三十三秒，自行三十度为八 分○九秒，自行四十五度为九分五十六秒，自行六 十度为九分三十二秒，自行七十五度为七分○三 秒，自行九十度为三分○六秒。前法以自行九十五 度为大差之限，则四度五十六分一十九秒。新法以 自行九十一度为大差之限，则四度五十八分二十 七秒。两得数之差随在，皆成乙丁己角。而最高左右 均数，新法比前法为大。最高冲左右新法比旧法为 小。

“凡月离诸表，今皆依新法推算。