钦定古今图书集成/历象汇编/历法典/第112卷

钦定古今图书集成
历象汇编 第一百十二卷

钦定古今图书集成历象汇编历法典

　第一百十二卷目录

　算法部汇考四

　　汉徐岳数术记遗〈数术〉

　　宋谢察微算经〈大数　小数　度　量　衡　亩　九章名义　用字例义〉

　　梦溪笔谈〈筭法〉

历法典第一百十二卷

算法部汇考四

汉徐岳数术记遗

数术

余以天门金虎，呼吸精泉。

按《星经》云：昴者，西方白虎之宿。太白者，金之精也。太白入昴，金虎相薄，法有兵乱。周宣王时，有人采薪于郊间，歌曰：“金虎入门，呼长精，吸元泉。” 时人莫能知其义。老君曰：“太白入昴，兵其乱。” 徐氏名岳，东莱人。盖以汉室版荡，又谲诡见于天，将访名山，自求多福也。

羽檄星驰，郊多走马。

按汉征天下兵，必露檄插羽也。《老君》曰：“天下有道，却走马以粪；天下无道，戎马生于郊也。”

遂负帙游山，跖迹志道。

跖迹者，两足共蹑一足迹也。汉文帝，河上公跖迹为士。

备历丘岳林壑，必过。乃于太山见刘会稽，博识多闻， 遍于数术。余因受业，颇稔所由。余时问曰：“数有穷乎？” 会稽曰：“吾曾游天目山中。”

会稽官号，汉中人也。按《历志》称“灵帝光和中，谷城守门候太山刘洪造《乾象历》，又制月行迟疾阴阳历，自洪始也。方于太初四分，转精密矣。洪后为会稽太守，刘洪付乾象于东莱徐岳，又授吴中书令阚泽，泽甚重焉，为注解。” 今案：《地记》，天目山在吴兴之界。

见有隐者，世莫知其名，号曰天目先生，余亦以此意 问之。先生曰：“世人言三，不能比两，乃云捐闷与四维。”

《艺经》云：《捐闷》者，周公作也。先本位以十二时相从，其文曰：“周有文章，虎不如龙。豕者何为？来入兔宫。王孙出卜，乃造黄钟。犬就马厩，非类相从。羊奔蛇穴，牛入鸡笼。”徐援称捐闷乃是奇两之术，发首即奇一后乃奇，两者即为疑。《更调》曰：“大猪东行遁虎坑，兔子欲宿入马厩，羊来入村狗所屯，大牛何知乘龙上，蛇往西”方、入猴乡、鸡鸣不止、夜。〈阙二字。〉其言三，不能比两者，孔子所造也。布十干于其方，戊己在西南维。其文曰：“火为木，生甲呼丁，夫妇义重，己随壬，贵遗则统领辛，参南丙，妻则须守乙，后火戊子，天癸就庚”四维，东莱子所造也。布十二时四维之一，其文曰：“天行星纪，石随龙渊，风吹羊圈，天门地连，兔居蛇穴，马到猴边，鸡飞猪乡，鼠入虎廛挚。”亦有四维之戏，与此异焉。

数不识三，妄谈知十。

三者，上中下也，“十数” ，昴一数也。于先之意，非止十等之名，将关《大衍》之旨，事一也；

“犹川人事迷其指归”，乃恨司方之手爽。

“司方”者，指南车也。《狐疑论》称黄帝将见大隗于具茨之山，至襄城之野，川谷之山率多斜曲。川人曰：积数之常，乃固以之，非《指南车》之为爽，乃指谓〈阙。〉“擢，司方所指者，乃为我等之西也。然则指南岂其谬也？”乃行数里，川人又曰：“司方所指，我等之东也。”众共论之为疑笑。于时容成子怪而问之，川人以其状白对。容成曰：“在此望之，具茨之山，于汝住所，复在何方？”川人又曰：“在我之东。”容成曰：“汝向言在西，今更在东，何言不常也？此非山川之移，川曲之斜，人心之惑耳。”川人乃请于斜曲之中，定东西南北之术。容成曰：“当竖一木为表，以索系之，表引索绕表画地为规。日初出影长，则出圆规之外，向中影渐短，入规之中，候西北隅影初入规之处则记之。乃过中影渐长，出规之外，候东北隅影初出规之处又记之。取二记之所，即正东西也；折半以指表，则正南北也。”川人志之，以为知方之术。

未识刹那之赊促，安知麻姑之桑田。

按《楞伽经》云。“称量长短者。积刹那数。以成日夜刹。”

那量者，壮夫一弹日指过顷，遥六十四刹那，二百四刹那名一恒刹那，三十恒刹那名一婆罗，三十婆罗名一摩睺罗多，三十摩睺罗多子为一日一夜，其一日一夜有六百四十八万刹那。《神仙传》称：麻姑谓王方平曰：“‘自接待以来，见东海为桑田，向到蓬莱，水乃浅于往者略半也，岂复将为陵陆乎’？方平乃曰：‘东海行复扬尘耳’。”

不辨《积微》之为量，钜晓百亿与大千

按《楞伽经》云：“积微成一阿耨，七阿耨为一铜上尘，七铜上尘为一水上尘，七水上尘为兔毫上尘，七兔毫上尘为一羊毛上尘，七羊毛上尘为一牛毛上尘，七牛毛上尘为一向中由尘，七向中由尘成一虮，七虮成一虱，七虱成一麦横，七麦横成一指节，二十四指节为一肘，四肘为一弓，去肘五百弓为阿兰惹。”据若摩竭国人，一拘卢舍为五里，八拘卢舍为一由旬，一由旬计之，为四十里也。及以算校之，正得一十七里。何者？计二尺为一肘，四肘为一弓，弓长八尺也，计五百弓有四千尺也。八拘卢舍则有三万二千尺，除之得五千三百三十三步。以里法三百步除之，得一十七里，馀二百三十三步。《华严经》云：“四天下共一日月为一世界，有千世界，有一小铁围山绕之，名曰小千世界；有一小千世界，有中铁围山绕之，名曰中千世界；有中千世界，有大铁围山绕之，名曰大千世界。”此三千大千世界之中有百亿须弥山，乃今校之，世有十亿日月、十亿须弥山。何者？置小千世界之中，有一千日月，以一千乘之，得一百万，即中千世界中日月数也。置中千世界日月之数，以一千乘之，得即大千世界日月之数也。又云：“四天下者，须弥山南曰阎浮提山，北曰郁丹越山，东曰”〈阙。〉“提山，西曰俱瞿耶尼山，其日月一日一夜，照四天下：山南日中，山北夜半，山东日中，山西夜半。及以成事验之，则有疑矣。”何者？按阎浮提人在须弥山南，及至二月、八月春秋分，昼夜停，以漏刻度之，则昼夜各五十刻也。然则日初出时，东向视日之当我之东即漏刻，及其日浸当我之西五十刻，其一日一夜之中，绕三天下而来，所以至晓亦得五十刻也。胡以十万为亿，有百倍。日月四天下等事，有所未详也。

黄帝为法，数有十等，及其用也，乃有三焉。十等者，“亿、 兆、京、垓、秭、壤、沟、涧、正、载。”三等者，谓上、中、下也。其下数 者，十十变之。若言“十万曰亿，十亿曰兆，十兆曰京”也。 中数者，万万变之。若言“万万曰亿，万万亿曰兆，万万 兆曰京”也。上数者，数穷则变。若言“万万曰亿，亿亿曰 兆，兆兆曰京”也。

按《诗》云：“胡取禾三百亿兮” ，毛注曰：“万万曰亿” ，此即中数也。郑注云：“十万曰亿” ，此即下数也。徐《援受记》云：“亿亿曰兆，兆兆曰京也” ，此即上数也。郑注以数为多，故合而言之。

从亿至载，终于《大衍》。

按《易经》“大衍之数五十，其用四十有九。” 又云：“天一地二，天三地四，天五地六、天七地八，天九地十。天数五，地数五。天数二十有五，地数三十。凡天地之数五十有五也。”

下数浅短，计事则不尽；上数宏廓，世不可用。故其传 业惟以中数耳。余时问曰：“先生之言上数者，数穷则 变。既云终于《大衍》，大衍有限，此何得穷？”先生笑曰：“盖 未之思耳。数之为用，言重则变，以小兼大，又加循环， 循环之理，岂有穷乎？”

小兼大者备加董氏三等术数加，更载为烦，故略焉。

余又问曰：“为算之体，皆以积为名，为复更有他法乎？” 先生曰：“《隶首注术》，乃有多种，及余遗忘记忆数事而 已。”

其一积等，　其一太乙，　其一两仪，　其一三才， 其一五行，　其一八卦，　其一九宫，　其一运算， 其一了知，　其一成数，　其一把头，　其一龟算， 其一珠算，　其一计算。

此等诸法，随须更位，惟有“九宫，守一不移，位依行色， 并应无穷。”

从积以来至珠算从一至于百千已上，位更不变改。位依行色者，位依五行之色，北方水色黑，数一；南方火色赤，数二；东方木色青，数三；西方金色白，数四；中央土色黄，数五。言位依行色各一位，第一用元珠十位，第二用赤珠百位，第三用青珠千位，第四用白珠万位，第五用黄珠千万位。以白𫄧系黄珠万万位曰亿。以黄𫄧系黄珠。自馀诸位唯兼之。故曰“并应无穷” 也。

余慕其术，虑恐遗忘，故与好事后生记之云耳。《积算》

今之常算者也，以竹为之，长四寸以效四时，方三分以象三才，言算法是包括天地，以烛人情，数始四时，终于大衍，犹如循环，故曰“今之常算” 是也。

《太一算》：“太一之行，去来九道。”

刻板横为九道，竖以为柱，柱上一珠，数从下始，故曰“去来九道” 也。

《两仪》算天气，下通地禀四时。

刻板横为五道，竖为位，一位两珠，色青，下珠色黄，上珠。其青珠自上而下，第一刻主五，第二刻主六，第三刻主七，第四刻主八，第五刻主九。其黄珠自下而上，第一刻主一，第二刻主二，第三刻主三。第

四刻主四而已，故曰：“天气下通，地禀四时也。”

《三才算》：天地和同，随物变通

刻板横为三道，上刻为天，中刻为地，下刻为人，竖为算位。有三珠，青珠属天，黄珠属地，白球属人。又其三珠，通行三道。若天珠在天为九，在地主六，在人主三。其地珠在天为八，在地主五，在人主二；人珠在天主七，在地主四，在人主一。故曰：“天地和同，随物变通”也。《况》〈阙。〉《三元》：上元甲子一七四，中元甲子二八五，下元甲子三六九，随物变通也。

五行算以生兼，生生变无穷。

五行之法：水元生数一，火赤生数二，木青生数三，金白生数四，土黄生数五。今为五行算，色别九枚，以五行色数相配，为算之位。假令九亿八千七百六十五万四千三百二十一者，则以白算配黄为九亿，以青算配黄为八千，以赤算配黄为七百，以元算配黄算为六十，以一黄算为五万，以一白算为四千，以一青算为三百，以一赤算为二十，以元算为一也。故曰：“以生兼生，生变无穷。”

八卦算针，刺八方位阙从天。

算为之法：位用一针锋所指，以定算位数一从离起，指正南离为一，西南坤为二，正西兑为三，西北干为四，正北坎为五，东北艮为六，正东震为七，东南巽为八。至九位阙即在中央，竖而指天，故曰：“位阙从天” 也。

九宫算五行，参数犹如循环。

九宫者，即二四为肩，六八为足，左三右七，戴九履一，五居中央。“五行参数” 者，设位之法，依五行，已注于上是也。

《运筹算》，小往大来，运于指掌。

此法位别，须算筹一枚，各长五寸。至一筹上，各为五刻。“上头一刻，近一头刻之，其下四刻，迭相去一寸，令去下头亦一寸。” 入手取四指三间，间有三节：“初食指上节间为一位，第二节间为十位，第三节间为百位，至中指上节间为千位，中节间为万位，下节间为十万位。无名指上节间为百万位，中为千万位，下为亿” 也。它皆仿此。至算刻近头者，一刻主五；其远头者，一刻之别。从下而起，主一主二，主三主四。若一二三四，头则向下于掌中，中若具五，则回取上头向掌中，故曰“小往大来” 也。回游于手掌之间，故曰：“运于指掌” 也。

了知算首唯秉五，腹背两兼。

了算之法，一位为一了字。其了有三曲：其下股之末，内主一，外主九；下次第一曲，内主二，外主八；当第二曲，内主三，外主七；其第三曲，内主四，外主六；当了字之首，则主五。故曰：“首唯秉五，腹背两兼” 也。

成数算：春夏生养，秋收冬成。

算之法位，别须五色算一枚，其一算之象头，各以黄色为本，以生数也。馀色为首，其五行各配土，为成数也。水元生数一，成数六；火赤生数二，成数七；木青生数三，成数八；金白生数四，成数九。若以首向东及南为生数，向西及北为成数，假令有九亿八千七百六十五万四千三百二十一者，则以白算首向北，为九亿，以青算首向西为八千，以赤算首向北为七百，以元算首向西为六十，以黄算一枚竖为五万，以白算首向东为四千，以青算首向南为三百，以赤算首向东为二十，以元算首向南为一也。故首向东向南为生数，向西向北为成数。故云“春夏生养，秋收冬成” 也。

把头算，以身当五目视四方。

把头之法，别须算二枚，一漫一齿者，一面刻为一，其一面为二，一面为三，其一面为四也。漫者为把，为犹即当五算。生齿者为把头，一目当一算，故曰“以身当五目视四方” 也。

《龟算》“春夏秋成，遇冬则停。”

为算之法，位别一龟，龟之四面为十二时。以龟首指寅为一指，卯为二指，辰为三指，巳为四指，午为五指，未为六指，申为七指，酉为八指，戌为九指，亥为十龟。头指不以为数，故去，遇冬则停也。

《珠算》：“控带四时”，经纬三才。

刻板为三分，其上下二分以停游珠，中间一分以定算位。位各五珠，上一珠与下四珠色别。其上别色之珠当其下四珠，珠各当一，至下四珠所领，故云“控带四时。” 其珠游于三方之中，故云“经纬三才” 也。

《计数》既舍数，术宜从心计。

言《舍数术》者，谓不用算筹，宜以心计之。《或问》曰：“今有大水，不知广狭，欲不用算筹度而知之。假令于水北度之者，在水北置三表，令南北相直，各相去一丈。人在中表之北，平直相望。北水岸令三相直，即记南表相望、相直之处。其中表人目望处，亦记之。又从中相望处，直望水南岸，三相直看南表相。”

直之处亦记之。取南表二记之处高下，以等北表点记之。还从中表前望之所北望之，北表下设三相直，之北即河北岸也。又望上记三相直之处即河北岸，中间则水广狭也。或曰：“今有长竿一枚，不知高下，既不用筹算，云何计而知之？” 答曰：“取竿之影，任其长短，画地记之。假令手中有三尺之物，亦竖之。取杖下之” 影长短以量竿影得矣。或问曰：“今有深坑，在上看之，可知尺数几否？” 答曰：“以一丈极意长短，假令以一丈之杖掷著坑中，人在岸上手提之，一杖，舒手望坑中之杖遥量知其寸数，即令一人于平地捉一丈之杖，渐令却行，以前者遥望坑中，寸量之，与望坑中数等者即得。” 或问曰：“令甲乙各驱羊一群” ，人各问多少，而甲曰：“更得乙一口。” 即加五多于甲。问各几何？答曰：“甲九口，乙十一口。” 或问曰：“甲乙各驱羊，行人问其多少” ，甲曰：“我得乙一口，即与乙等。” 乙曰：“我得甲一口。则倍多于甲。” 问“各几何？” 答曰：“甲二乙四。” 或问曰：“今有鸡翁一只，直五文，鸡母一只直四文，鸡儿一文得四只，合有钱一百文，买鸡大” 小一百只。问各几何？答曰：“鸡翁十五只，鸡母一只，鸡儿八十四只，各大小一百只。计数多少，略举其例。” 或问曰：“今有鸡翁一只直四文，鸡母一只直三文，鸡儿三只直一文，合有钱一百文。还买鸡大小一百只。” 问各几何？答曰：“鸡翁八只，鸡母十四只，鸡儿七十八只，合一百只。”

或问鸾曰：“世人乃云算位者，算子则竖，信有之乎？”鸾 答之曰：“依如针算，则以针锋指八卦之位，一从《离》起， 左行周匝至巽，八位既合，及其至九，无位可指，是以 在中，竖而指天，故曰有位合。算子，竖之名也。”又问鸾 曰：“昔有吴人赵达，用一等之法，头乘尾除，其有此术 乎？”鸾答之曰：“此乃传之失实，犹公获夔一足，丁氏穿 井而获一人也。何者？按乘之法，重张其位以上呼一， 置得于中，置所除之数于下，又置得于上，亦三重张 位，然则乘之与除法用不同，欲以一算上下当六重 之身，增损为众位之实，若其神也，则藉一算之功，如 其凡也，理不可尔。”问者又曰：“若如来指为妄矣，此言 何从而至？”鸾答之曰：“此亦传之过实”也。何者？积一算 者，盖一位用一算也。“头乘尾除”者，欲使乘别位，乘时 以针锋指之，除时则用针尾㧑之，故有“头乘尾除”之 名也。

宋谢察微算经

大数

一、〈大数之始也〉　　　　十。〈十个一为十〉　　　　　　　　百。〈十个十为百〉　《千》。〈十个百为千〉 万。〈十千为万数之成也〉　十万、　　　　　　　　　　　　　　百万、　　　　　　　千万 亿。〈万万曰亿〉　　　　　十亿，　　　　　　　　　　　　　　百亿，　　　　　　　千亿， 万亿，　　　　　　　　　　《十万》亿，　　　　　　　　　　　　　《百万》亿，　　　　　　《千万亿 兆》〈万万亿〉　　　　　　京。〈万万兆〉　　　　　　　　　　《垓》。〈万万京〉　　　《秭》。〈万万垓〉

小数

分。〈十釐为分〉　　　　　釐。〈十毫〉　　　　　　　　　　　毫。〈十丝〉　　　　丝：〈十忽〉　　　　忽。〈十微〉 微。〈十纤〉　　　　　　　纤。〈十沙〉　　　　　　　　　　　沙。〈十尘〉　　　　尘。〈埃渺〉

度

丈。〈十尺〉　　　　　　　尺：〈十寸〉　　　　　　　　　　　《寸》。〈十分〉　　　　分。〈十釐〉 釐　　　　　　　　　　　毫　　　　　　　　　　　　　　　丝　　　　　　　　忽。〈已上同前〉 《疋》。〈四丈今无定制〉　　　《端》：〈五丈今亦不一〉

量

石：〈十斗〉　　　　　　　斗。〈十升〉　　　　　　　　　　　升。〈十合〉　　　　合。〈十勺〉 勺。〈十抄〉　　　　　　　抄。〈十撮〉　　　　　　　　　　　撮。〈十圭〉　　　　圭。〈六粟〉 粟。〈即一粒之粟也〉　　　斛。〈古一石今五斗或二斗五升〉　　釜。〈六斗四升〉 庾。〈十六斗〉　　　　　　《秉》。〈十六斛〉

衡

斤。〈十六两〉　　　　　　两。〈二十四铢〉　　　　　　　　　铢。〈十絫〉　　　　《絫》。〈十黍〉 黍：〈禾方得而有准〉　　　秤。〈原十五斤今二十斤或三十斤〉　《钧》。〈二秤〉 石：〈四钧〉　　　　　　　引。〈二百斤〉

今两之下，惟用钱分厘毫丝忽也。

亩

亩。〈横一步直二百四十步即阔一丈长六十丈也〉

若以自方五尺计之，积六千尺也。

步。〈方五尺也〉　　　　　分。〈五寸〉　　　　　　　　　　　釐。〈半寸〉　　　　毫 丝　　　　　　　　　　　忽　　　　　　　　　　　　　　　里。〈三百六十步〉

计一百八十丈，约人行一千步。

顷。〈今以百亩为顷〉

“顷亩” 者，乃积税之总也。二十四步为一分，十分为亩，亩之以下曰“厘毫丝忽。”

角。〈一亩分为四角每角六十步也〉

九章名义

一曰《方田》。〈以御田畴界域〉二曰《粟布》。〈以御交质变易〉 三曰“衰分。”〈以御贵贱廪税〉四曰少广。〈以御积幂方圆〉 五曰《商功》。〈以御功程积实〉六曰《均输》。〈以御远近劳费〉 七曰《盈朒》。〈以御隐杂互见〉八曰《方程》。〈以御杂揉正负〉 九曰“句股”，〈以御高深广远〉

用字例义

法。〈样数也〉　　　　　　　　实。〈本数也〉　　　　　　　　　　　因。〈法之单位者又由也〉　　　　　《归》。〈入己之数也〉加。〈增添也〉　　　　　　　　减。〈除少也〉　　　　　　　　　　　乘。〈法之多位也〉　　　　　　　　《归》。〈先归后除合名也〉 除：〈减少也〉　　　　　　　　《积》。〈乘成之数也〉　　　　　　　　　乘。〈法实合变数也〉　　　　　　　如：〈九数用此下一位也〉 身。〈本位也〉　　　　　　　　《则》。〈法也〉　　　　　　　　　　　　左：〈上边大位也〉　　　　　　　　右。〈下边小位也〉 纵。〈直长也〉　　　　　　　　横。〈广阔也〉　　　　　　　　　　　《广》。〈横阔也〉　　　　　　　　　　阔。〈横广也〉 直。〈长也〉　　　　　　　　　面。〈方面也〉　　　　　　　　　　　高。〈立起也〉　　　　　　　　　　深。〈陷下也〉 倍。〈加上本数也〉　　　　　　并。〈二数相合也〉　　　　　　　　　截：〈割断也〉　　　　　　　　　　分。〈拨开也〉 原。〈初数也〉　　　　　　　　差。〈多少不同数也〉　　　　　　　　通。〈会同其数〉　　　　　　　　　变。〈改换其数〉 约。〈量度也〉　　　　　　　　中。〈筭盘之中〉　　　　　　　　　　进。〈移上前一位〉　　　　　　　　《逢》。〈遇有数而言逢〉 上。〈脊梁之上又位之左〉　　　下。〈脊梁之下又位之右〉　　　　　　挨。〈随身变数也〉　　　　　　　　退。〈移下后一位〉 《句》。〈短也〉　　　　　　　　　股。〈长也〉　　　　　　　　　　　　弦。〈句股斜去日弦弧矢亦有弦也〉 斜。〈两隅相去又不正也〉　　　隅。〈曲角也〉　　　　　　　　　　　长。〈直也〉　　　　　　　　　　　《周》。〈外围也〉 较。〈相减馀也〉　　　　　　　廉。〈方直也〉　　　　　　　　　　　方。〈四面同数〉　　　　　　　　　径。〈周中之弦〉 脊。〈盘中横梁隔木〉　　　　　列位：〈各置位次〉　　　　　　　　　《折半》。〈减去一半〉　　　　　　　　还原。〈复旧数也〉 《商除》：〈心与意商量而除之也〉　相乘。〈长阔或银货等〉　　　　　　　自乘：〈法实数自相乘〉 再乘。〈自乘之而又乘〉　　　　遍乘。〈先以一法遍乘诸数〉　　　　　商总：〈合用商开之法 于盘中〉　　　　　　　　　　开方。〈即自乘还原也〉　　　　　　　开立。〈即自乘再乘之还原也〉 中实。〈即商总也〉　　　　　　并率。〈如一二三四五并得十五数也〉　《得令》。〈斤两贯个石等 类也〉　　　　　　　　　　　《得术》：〈乃法首位每下该得之名〉　　　互乘。〈如四处数目上 下斜角相乘〉　　　　　　　　相较。〈如二数以少减多馀曰较〉　　　合得。〈筭数定夺〉 维乘。〈四处顾创相乘〉　　　　若干，〈一为数始十为数终未筭难定〉　几何？〈与若干相同〉

《梦溪笔谈》

算法

审方面势覆量高深远近，算家谓之专术。专之文象 形，如绳木所用墨㪷也。求星辰之行步气朔消长，谓 之缀术，谓不可以形察，但以算数缀之而已。北齐祖 暅有《缀术》二卷， 算术求积尺之法，如刍萌、刍童、方池、冥谷、堑堵、鳖臑、 圆锥、阳马之类，物形备矣，独未有隙积一术。古法凡 算方积之物有立方，谓六幂皆方者，其法再自乘，则 得之。“有堑堵”，谓如土墙者，两边杀，两头齐。其法：并上、 下广，折半以为之广，以直高乘之。又以直高为句，以 上广减下广，馀者为股。句股乘弦，以为斜高。“有刍童”， 谓如覆㪷者，四面皆杀。其法：倍上长，加入下长，以上 广乘之；倍下长，加入上长，以下广乘之。并二位法，以 高乘之。“六而二隙积”者，谓积之有隙者，如累棋层坛 及酒家积罂之类，虽似覆㪷，四面皆杀，缘有刻缺及 虚隙之处，用《刍童法》求之，常失于数少。予思而得之， 用《刍童法》为上行，下行别列下广，以上广减之，馀者 以高乘之，六而一，并入上行。

假令积罂最上行纵横各二罂，最下行各十二罂，行行相次先止，以上行相次率至十二，当十一行也。以《刍童法》求之，以上行二倍之得四，并入下长十二，得十六。以上广二乘之，得三十二。又倍下长，得二十四。以上广二并入，共得二十六。以下广十二乘之，得三百一十二。以十六与二相乘，所得之三十二并之，共得三百四十四，以高十一乘之，得三千七百八十四，为实。重列下广十二，以上广二减之，馀十，以高十一乘之，得一百一十，并入实内，共三千八百九十四。以六归之，得六百四十九，此为罂数也。刍童求见实方之积，隙积求见合角不尽，盖出羡积也。

履亩之法，方圆曲直尽矣，未有会圆之术。凡圆田既 能折之，须使会之复圆。古法惟以中破圆法折之，其 失有及三倍者。予别为折会之术：置圆田径，半之以 为弦，又以半径减去所割数，馀者为股，各自乘，以股 除弦馀者，开方除，为句，倍之，为割田之直径。以所割 之数自乘，退一位，倍之，又以圆径除，所得加入直径， 为割田之弧。再割亦如之。减去已割之数，则《再割》之 数也。

假令有圆田径十步，欲割二步，以半径为弦，五步自乘，得二十五。又以半径减去所割二步，馀三步为股，自乘，得九，用减弦外，有十六，开平方除，得四步为句，倍之，为所割直径。以所割之数二步自乘，为四，倍之，得为八，退上一倍，为四尺，以圆径除。今圆径十，已是盈数，无可除，只用四尺加入直径，为所割之弧。凡得圆径八步四尺也。再割亦依此法。如圆径二十步求弧数，则当折半，乃所谓“以圆径除之” 也。

此二类皆造微之术，古书所不到者，漫志于此。