钦定古今图书集成/历象汇编/历法典/第113卷

钦定古今图书集成
历象汇编 第一百十三卷

钦定古今图书集成历象汇编历法典

　第一百十三卷目录

　算法部汇考五

　　算法统宗一〈序目　算义总　算义总一〉

历法典第一百十三卷

算法部汇考五

《算法统宗一》

〈明程大位著〉

序目

夫算非小技也，有熊氏命隶首创焉。《周官》则置保氏， 教国子以六艺，而数居其一。惟是数以俟夫算，算以 成，夫数固二而一者也。藉令算为小技，何古先哲王 用意勤笃如是哉？迺今隶首远矣，保氏之职废，精其 理者代不数人。程汝思氏怅然有恫于衷，爰辑《算法 统宗》若干卷。汝思少游吴楚，历大泽名山，老憩丘园， 举平生师友之所讲求，咨询之所独得者，提纲挈要， 缕析支分，著是编而迪来学。傥其中有前贤未及者， 而汝思悉为阐明之。汝思谓余曰：“大位悦孙武子兵 家言，而感其通于事理也，曰多算胜，少算不胜，而况 于无算乎？迄今畴为隶首，而吾几其徒耶？畴为保氏， 而吾几其副耶？匪汝思自任所事，思”之自得者耳。汝 思之书具在，一寓目，而千古所谓“方田”以下，“旁要”以 上，九数云者，靡不了了于胸臆间，始知汝思之称说 不迂矣。余谓汝思不佞，于此道未见一斑。第尝读《汉 记》，至安定嵩真元元理，“一能自算其年寿，一能为 友人算囷米，举所食，著十馀转不差圭合其术，后相 授受，得其分数而失元妙焉。”不佞未尝不欣慕而抱 愿见之思。今观汝思骎骎乎跂！元妙之归无让嵩真。 元理当吾世而获觏其人一何快哉！吴继绶著。

算义总

总说　　　　　　　　　　　河图　　　　　　　　　、《洛书》，伏羲则“图”作《易》。〈四《图》。〉　　　《洛书》释数：

“九宫八卦图　　　　　　　　”、《洛书易换数》《黄钟万事根本图　　　　　　》《先贤格言》《算法提纲　　　　　　　　　》《九章名义》《算学节要　　　　　　　　　》、“《乘除》用字释”“用字凡例　　　　　　　　　数。”〈附：《暗马式》〉　　　　大数，　　小数，度　量，　衡　亩，　　　　　　诸物，轻重数，钱钞，名数　　　　　　　　　定，算盘，位次实，左法右论，九九八十一，　　　　　　　　九九合数，《九归歌》，　　　　　　　　　　《因乘论》，《九归论》，　　　　　　　　　　《商除论》，《加法论》，　　　　　　　　　　《减法论》，《约分法论》，　　　　　　　　　《通分法论》，异乘同除，论　　　　　　　　异乘同乘论，异除同除论，　　　　　　　　《开平方法论》，《开立方法论》，　　　　　　　　《倍法论》，《折半法论》，　　　　　　　　　定位总歌〈凡三〉《直指定位诀》，　　　　　　　　定法实，诀归《除法实》。〈凡四〉总诀：

《初学盘式图　　　　　　　　》九因〈《八问》：〉《九归》。〈九问〉　　　　　　　乘法：〈八问〉

《归除》：〈歌一十问：〉　　　　　〈撞归法　起一还原法〉加法。〈四问〉　　　　　　　减法。〈三问〉

《商除》：〈二问。〉　　　　　　　约分。〈四问〉

乘分：〈一、问：〉　　　　　　　课分：〈一问〉

《通分》。〈《七问》：〉　　　　　　　差分。〈七问〉

异乘同除。〈一《图五问》〉　　　同乘异除。〈一问〉异乘同乘。〈一问〉　　　　　异除、同除。〈一问〉同乘同除。〈一问〉　　　　　倾煎论色。〈六问〉

方田章第一

《丈量田地总歌》：〈凡二。〉　　　《丈量步车图》。〈并制释〉

《方圆定则》九图　　　　　　　　，各种田形图〈凡七十一，二十八问。〉

“方围”、方束、《图解　　　　　　　》《田亩演段根源》《图解》《方圆论说》〈附图：〉　　　　　“《方圆环》总图说”带分母，用约分法。〈六问〉　　《休邑科则》：〈凡二〉《亩法论》　　　　　　　　　　《古今折步粟布》章第二：

粟、布。〈“诸数率数” 八问：〉　　　官粮带耗。〈三问〉盘量仓窖。〈一十六问〉

各处盐场散堆量算引法：〈一、问：〉

《衡法》：〈《二十四问》：〉　　　　　炼镕铜、铁矿。〈三问〉度法。〈九问〉　　　　　　　就物抽分。〈三问〉

衰分章第三

合率差分。〈《十问》：〉　　　　　四、《六差分》。〈五问〉二《八差分》。〈三问〉　　　　　三。《七差分》。〈四问〉折半差分。〈三问〉　　　　　递减挨次差分。〈十问〉

带分“母子”差分。〈四问：〉　　　互和减半差分。〈八问〉匿价差分。〈四问〉　　　　　贵贱差分。〈三问〉《仙人换影》。〈六问〉　　　　　《物不知总》。〈三问〉

少广章第四

《开平方法　　　　　　　　　》“《开平求廉率》作法，本源图。”方廉隅图。〈《五问》：〉　　　　　一《方四廉两隅演段图》。〈一问〉《归除》《开平方》。〈二问〉　　　　《归除》平方带《纵》。〈一问〉带纵开平方。〈四问〉　　　　“长阔”相和。〈一问〉长阔相差。〈一问〉　　　　　平圆：〈三问〉

《开平方》通分法。〈二问。〉　　　《方圆三棱图》。〈三图七问〉《演段根源》开方解。〈附图〉　　带、《纵平方图》〈一问〉长阔相差《求和图》。〈二问〉　　减《纵开方图》。〈一问〉减纵翻积图，　　　　　　　　方圆求径图。〈一问〉减积带纵开平方。〈又名锁方一问〉　〈附图〉《大小三方》总一图。〈一问〉　　开立方法。〈四问〉立圆法：〈二问〉　　　　　　《归除》开立方法。〈二问〉《开立方带纵》法。〈三问〉　　　三乘方法。〈一问〉《开立方廉隅图》，〈一问〉　　　求米，仓窖盛贮。〈九问〉分田截积法：〈十一图十五问〉圭田截积法：〈四图四问〉梯田截积法：〈二图二问〉　　环田截积法：〈二图二问〉圆田截积法：〈一图二问〉　　弧矢法：〈三图三问〉

商功章第五

坚河渠濠。〈四问：〉　　　　　筑台。〈五问〉

《筑墙》。〈《五问》：〉　　　　　　　《筑方锥》。〈三问〉筑方圆台。〈三问〉　　　　　《筑堤》。〈一问〉

《开渠》。〈一问附《杂问七》〉　　　《堆垛》。〈九问〉

挑土计方。〈一、问：〉　　　　　《量木梱》。〈三问〉

均输章第六

问答：〈凡二十七。〉

盈朒章第七

盈不足，〈《六问》：〉　　　　　　两盈两不足。〈四问〉“《盈》适足”，不足适足。〈六问〉　　《取钱买物法》。〈三歌五问〉

方程章第八

《二色歌》：〈二问。〉　　　　　　《三色歌》：〈五问〉《四色歌》：〈二问〉

句股章第九

句股名义。〈一十三。〉　　　　《句股论说释义》、求弦、求股、求句、容方、容圆等图〈二十九问〉《求高求远法》：〈四图七问〉　　难题。〈附亦分列九章〉

算义总一

总说

数何肇，其肇自图书乎？伏羲得之以画卦，大禹得之 以序畴，列圣得之以开物成务。凡天官、地员、律历、兵 赋，以及纤悉秒忽，莫不有数，则莫不本于《易》范。故今 推明直指算法，辄揭“《河图》《洛书》”于首，见数有原本云。

河图

《河图》者，伏羲氏王天下，龙马负图出河，遂则其文以 画八卦。

《河图》以相生为序，故右行自北而东、而南、而中、而西，复始于北；

〈天数〉一三五《七九》〈积二十五〉

〈地数〉“二四六”，八十。〈积三十〉

共积五十五数，此所以“成” “变化” 而行。

求积法曰：置天一、地十，并，得十一，以十乘之，得一百 一十，折半得五十五，为天地之数也。

洛书

《洛书》者，“禹治水时，神龟负文列于背，有数至九，禹遂 因而第之，以成九畴。”

《洛书》以相克为序，故右转自北而西、而南，而东而中，复始于北；

盖取龟象，故其数“戴九履一，左三右七，二四为肩，六 八为足

洛书易换数

洛书释数

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求《积法》曰：“并上下数，一九共十，以九乘之，得九十，折 半得积四十五为实。以三行为法除之，得纵、横、斜角 皆十五数也。”

黄钟万事根本图

《先贤格言》。〈改调《西江月》：〉

智慧童蒙易晓，愚顽皓首难闻。世间六艺任纷纷，算 乃人之根本。知书不知算法，如临暗室，昏昏谩同高 手细评论，数彻无萦方寸。

《算法提纲》。〈习学之法。〉

一要先熟读九歌，二要诵归除歌法，三要知加减定 位，四要知度量衡亩，五要知诸分母子，六要知长阔 堆积，七要知盈朒互隐，八要知正负行例，九要知句 股弦数，十要知开方各色。

九章名义

数学从来有九归，方田粟布易推详。衰分辨别贵和 贱，少广开除圆与方。商度功税术最妙，均平输运法 最良。盈朒得互须列位，方圆正负要排行。若算高深 并广远，好将句股细思量。

一曰《方田》。〈以御田畴界域〉二曰《粟布》。〈以御交质变易〉 三曰“衰分。”〈以御贵贱廪税〉四曰少广。〈以御积幂方圆〉 五曰《商功》。〈以御功程积实〉六曰《均输》。〈以御远近劳费〉 七曰《盈朒》。〈以御隐杂互见〉八曰《方程》。〈以御杂据正负〉 九曰“句股”，〈以御高深广远〉

算学节要

学算之人须努力，先将九数时时习，呼如下位算为 先。变其身数呼求十，观其法门果何如，仔细斟量分 法实。若然法实既能知，次求定位是为急。再考九归 及归除，又将减法细寻绎。有能致意用工夫，算学虽 深可尽识。

乘除用字释

以者，用也。置者，列也。为者，数未定也。得者，数已成也。 呼者，呼唤其数也。命者，言也。首者，第一位也。尾者，末 位也。身者，本位也。率者，齐数也。实者，所问之物也。法 者，所求之价也。乘之者，九字相生之数也。“除之”者，谓 九归、归除、商除之类。

用字凡例

法。〈样数也〉　　　　　　　　　　　实。〈本数也〉　　　　　　　　　　　因。〈法之单位者又由也〉　《归》。〈入己之数也〉 加。〈增添也〉　　　　　　　　　　　减。〈除少也〉　　　　　　　　　　　乘。〈法之多位者〉　　　　《归》。〈先归后除合名也〉 除：〈减少也〉　　　　　　　　　　　《积》。〈乘成之数也〉　　　　　　　　　乘。〈法实合变数也〉　　　如：〈九数用此下一位也〉 身。〈本位也〉　　　　　　　　　　　《则》。〈法也〉　　　　　　　　　　　　左：〈上边大位也〉　　　　右。〈下边小位也〉 纵。〈直长也〉　　　　　　　　　　　《横　　　　　　　　　　　　　　　　广》。〈俱阔也〉　　　　　　阔。〈横广也〉 直。〈长也〉　　　　　　　　　　　　面。〈方面也〉　　　　　　　　　　　高。〈立起也〉　　　　　　深。〈陷下也〉 倍。〈加上本数也〉　　　　　　　　　并。〈二数相合也〉　　　　　　　　　截：〈割断也〉　　　　　　分。〈拨开也〉 原。〈初数也〉　　　　　　　　　　　差。〈多少不同数也〉　　　　　　　　通。〈合同其数〉　　　　　变。〈改换其数〉 约。〈量度也〉　　　　　　　　　　　中。〈算盘之中〉　　　　　　　　　　进。〈移上前一位〉　　　　《逢》。〈遇有数而言逢〉 上。〈脊梁之上又位之左〉　　　　　　下。〈脊梁之下又位之右〉　　　　　　挨。〈隋身变数也〉　　　　退。〈移下后一位〉 《句》。〈阔也〉　　　　　　　　　　　　股。〈长也〉　　　　　　　　　　　　斜。〈两隅相去又不正也〉　弦。〈句股斜曰弦弧矢亦 有弦〉　　　　　　　　　　　　　　隅。〈曲角也〉　　　　　　　　　　　长。〈直也〉　《周》。〈外围也〉 较。〈相减馀也〉　　　　　　　　　　廉。〈方直也〉　　　　　　　　　　　方。〈四面同数〉　　　　　径。〈周中之弦〉脊。〈盘中横梁隔木〉　　　　　　　　列位：〈各置位次〉　　　　　　　　　《折半》。〈减去一半〉　　　　还原。〈复旧数也〉 《商除》：〈心与意商量而除之〉　　　　　相乘。〈长阔银货等类〉　　　　　　　自乘：〈法实数自相乘〉 再乘。〈自乘之而又乘〉　　　　　　　遍乘。〈先以一法遍乘诸数〉　　　　　商总：〈合用商开之法 于盘中〉　　　　　　　　　　　　　开方。〈即自乘还原也〉　　　　　　　开立。〈即自乘再乘之还原也〉 中实。〈即商总也〉　　　　　　　　　并率。〈如一二三四五并得十五数也〉　《得令》。〈斤两贯个石等 类也〉　　　　　　　　　　　　　　《得术》：〈乃法首位每下该得之名〉　　　互乘。〈如四处数目颠 倒相乘〉　　　　　　　　　　　　　相较。〈如二数以少减多馀曰较〉　　　合得。〈算数定夺〉 若干，〈一为数始十为数终未算难定〉　几何？〈与若干相同〉

数，〈附：《暗马式》〉

〔参考页面〕：

右大圈九字，配合相生而成法也。大圈之下，小圈乃暗子马数惟一、二、三，不拘横直正位数，配合得宜，不乱为式。

假如：十一数作。二十二、作三十三、作四十四、 作五十七、作六十九、作

大数

一、〈数之始〉　　　　　　十。〈十个一为十〉　百。〈十十为百〉　《千》。〈十百为千〉 万。〈十千为万数之成也〉　十万、　　　　　　　百万、　　　　　　千万 亿。〈万万曰亿〉　　　　　十亿，　　　　　　　百亿，　　　　　　千亿， 万亿，　　　　　　　　　　《十万》亿，　　　　　　《百万》亿，　　　　　《千万亿 兆》〈万万亿〉　　　　　　京。〈万万兆〉　　　《垓》。〈万万京〉　　《秭》。〈万万垓〉 穰，　　　　　　　　　　　“沟　　　　　　　　涧　　　　　　　正 载，　　　　　　　　　　　极　　　　　　　　恒河沙，　　　　　阿僧秪 那由他，　　　　　　　　　不可思议　　　　　无量数。”

自京垓以后，世之罕用，姑存之。又按：万万曰亿，万万亿曰兆。《孟子注》“其丽不亿。” 解为十万，误也。

小数

分。〈十釐为分〉　釐。〈十毫〉　　　毫。〈十丝〉　　丝：〈十忽〉 忽。〈十微〉　　　微。〈十纤〉　　　纤。〈十沙〉　　沙。〈十尘〉 “尘　　　　　　　埃　　　　　　　渺　　　　　　漠 模糊。”　　　　　　《逡巡》　　　　　　须臾　　　　　瞬息。 弹指　　　　　　刹那，　　　　　　《六德》　　　　　虚空清净。

《模糊》以下，虽有此名，虚而无实，公私亦不用。

度。〈所以分别长短之法。〉

丈。〈十尺〉　　　　尺：〈十寸〉　　　　　　　《寸》。〈十分〉　　　　　　　分。〈十釐〉 厘毫丝忽，同前　　　《疋》。〈四丈今无定则〉《端》：〈五丈今亦不一〉

量。〈所以分别多寡之法。〉

石：〈十斗〉　　　　斗。〈十升〉　　　　　　　升。〈十合〉　　　　　　　合。〈十勺〉 勺。〈十抄〉　　　　抄。〈十撮〉　　　　　　　撮。〈十圭〉　　　　　　　圭。〈十粟〉 粟。〈即一粒之粟〉　斛。〈古一石今五斗或二斗五升〉 釜。〈六斗四升〉　　庾。〈十六斗〉　　　　　　《秉》。〈十六斛〉

衡。〈所以分别轻重之法。〉

斤。〈十六两〉　　　两。〈二十四铢〉　　　　　铢。〈十絫〉　　　　　　　《絫》。〈十黍〉 黍：〈禾方得而有准　以上是自斤而下者然今两之下惟用钱分厘毫丝忽其铢絫黍等俱不用〉 秤。〈原十五斤今二十斤或三十斤〉　　　　　　《钧》。〈二秤即三十斤〉　石：〈四钧〉 引。〈二百斤　以上是自斤而上者〉

亩。〈“所以分别田阔狭远近” 之法。〉

步。〈方五尺也〉　　分。〈五寸一尺为二分也〉　釐。〈半寸一寸为二釐也〉　毫丝忽同 亩。〈横一步直二百四十步为一亩每步止五尺若以丈计即横一丈长六十丈以尺计长横计积六千 尺〉

分。〈二十四步为一分十分为一亩分之下亦有厘毫丝忽然上是步之分厘毫丝忽分是步十分之一 此是亩之厘毫丝忽分是亩十分之一〉

顷。〈百亩为顷〉　　角。〈一亩分为四角每角六十步〉 里。〈三百六十步为一里计一百八十丈约人行一千步〉

诸物轻重数。〈谓长阔高皆方一寸为“则。” 〉

金。〈重十六两〉　　银：〈重十四两〉　　　　玉。〈重十二两〉　　　　　　铅：〈重九两五钱〉 铜：〈重七两五钱〉　铁：〈重六两〉　　　　　青石：〈重三两〉

〈按轻重数不知所本西法比例铅次于金而重于银与此不同〉钱钞名数：

钱钞之法谓之“文。”一文之上有十文，十十为百文，十 百文为千文，千文为一贯，五贯为一锭，一文之下 亦有分厘毫丝忽之数。

定算盘位次，实左法右论。

按：《洛书》数曰：“左三右七。”则右者第一之行位也，左者 第二之行位也。又按：《大学章句》曰：“别为序次如左。”则 左者以后之事也。又曰：“右传之某章”，则右者以前之 事也。今当以初行为右，次行为左。以理而推之，法当 从右，实当在左，此乃不易之位也。

九九八十一

〈一遍〉　一上一，　　二上二，　　三上三，　　四上四。

五上五　　，六上六　　，七上七　　，八上八，九上九。

〈二遍〉　《一上一，　　二上二　　三下五》，除二。

四下五除一　　　　　五起五成一十六，上一起五成一十　　七，上二起五成一十八，退二成一十　　　　九，退一成一十。

〈三遍〉　《一》上一，　　二下五，除三　　三上三。

《四》起六成一十　　　　，五上《五　　六》上六七，退三成一十　　　　，八退二成一十，九退一成一十。

〈四遍〉　《一》上一，　　二上二，　　三起七，成一十

四下五除《一　　　　　五》，起五成一十六，退四成一十　　　　七，退三成一十八。《上三》起五成一十　　九，退一成一十。

〈五遍〉　《一》下五，除《四　　　　　二》起八，成一十。

《三》下五，除二　　　　　四，起六成一十《五上五　　　　　　　六》上一，起五成一十　　《七上七八》，退二成一十　　　　九，退一成一十。

〈六遍〉　《一》上一，　　　　　　　二上二，　　　　　　　三起七，成一十。

四下五除一　　　　　五起五，成一十六，上《六　　　　　　　七》退三，成一十八，退二成一十　　　　九，上四起五，成一十。

〈七遍〉　《一》上一，　　　　　　　二下五，除三　　　　　三上三。

《四退》六成一十　　　　五，《上五六退》四成一十　　　　七，《上二起》五成一十八，退二成一十　　　　九，退一成一十。

〈八遍〉　《一上一，　　　　　　　二上二　　　　　　　三下五》，除二。

四下五除一　　　　　五，起五成一十六，上一起五成一十　　七，退三成一十八，退二成十　　　　　九，退一成一十。

〈九遍〉　一上一，　　　　　　　二上二，　　　　　　　三上三，　　四上四。

五上五　　　　　　　，六上六　　　　　　　，七上七　　，八上八，九退一，成一十。

九九合数。〈乘除加减，皆呼此数，故呼“小数在上，大数在下。” 〉

一一如一。

一二如二，　二二如四。

一三如三，　二三如六，　三三如九。

一四如四，　二四如八，　三四一十二，　四四一十 六。

一五如五，　二五得一，十，　三五一十五，　四五得 二十，　五五二十五。

一六如六，　二六一十二，　三六一十八，　四六二 十四，　五六得三十，　六六三十六。

“一七如七，　二七一十四，　三七二十一，　四七二 十八，　五七三十五，　六七四十二，　七七四十九。” “一八如八，　二八一十六，　三八二十四，　四八三 十二，　五八得四十，　六八四十八，　七八五十六。”

八八六十四

一九如九，　二九一十八，　三九二十七，　四九三 十六，　五九四十五，　六九五十四，　七九六十三。

八九七十二　，九九八十一。

右法遇十，挨身上逢如下位加　。谓句内有十字之数，就本身之位上之。若句内有“如” 字之数，下一位上之也。

《九归歌》：〈呼大数在上，小数在下；〉

〈一归〉　一《归不须归》。〈一者原数不必归也〉　其法故不立。 〈二归〉　二一添作五　逢二进一十，　逢四进二十。

逢六进三十　，逢八进四十。

〈三归〉　三一三十一，　三二六十二，　逢三进一十。

逢六进二十　，逢九进三十。

〈四归〉　四一二十二　“四二”添作五，　四三七十二。

逢四进一十　、逢八进二十。

〈五归〉　五一倍作“二”，　五二倍作“四”，　五三倍作“六。”

五四倍作八　，逢五进一十。

〈六归〉　六一下加四，　六二三十二，　六三添作“五。”

六四六十四　，六五八十二　，逢六进一十。

〈七归〉　《七一》下加三，　《七二》下加六，　《七三》四十二。

七四五十五　，七五七十一　，七六八十四，逢七进一十。

〈八归〉　《八一》下加二，　《八二》下加四，　《八三》下加六。

八四添作五　，八五六十二　，八六七十四，八七八十六　，逢八进一十。

〈九归〉　《九归随身》下　逢九进一十。

右法与九九合数相混，但记句法，惟辨多数在先，少数在次，即“九归”之句，如“八六七十四是归，六八四十八是因”之类。已上句法，并后各样歌诀，皆学者所当熟记。〈按：“一归不须归” 者，为单一数言耳。若除法自两位三位以上，其法首或为一十，或为一百一千，则仍有逢一进一至逢九进九之用。《九归歌》有法有实，有得数，有馀实。如云“二一添作五” 者，则二是法，一是实，五是得数。其意是两人分一数，则各得其半，如分一两各得五钱也。又此所分不能成一整数，故不言进，而但于本位添一作五，故谓之添作也。其云“逢二” 者，二即实也。“进一十” 者，得数也。两人分二数，则各得其一也。所得既为整一，故进前一位而谓之进一十。“逢二” 上宜有“二” 字为法数，今不言者，省文也。馀仿此。其云“三一三十一” 者，三为法，一为实，三十为得数，末一字则馀实也。其意如三人分一两，各得三钱，仍馀一钱也。此三十即本位，而馀实一则置于丁位，以待再分也。馀仿此。其“五归倍作云” 者，皆得数在本位，倍之与添作五同。其云“六一下加四” 者，六为法，一为实，又为得数下加四者，馀实也。假如六人分一两，各得一钱，而仍馀四钱，以待再分也。因得数在本位，与实数同为一，故不用添倍，即借原数为得数，而但于下位加馀实四，即得之矣。馀仿此。〉

因乘法者，单位曰“因”位，数多曰“乘”，通而言之，乘也。置 所有物为实，以所求价为法，皆从末位而起，如法乘 之，呼九字相生之数，次第乘之，呼如须次位，言十，在 本身陞积谓之乘，其数虽陞而位反降矣，必须用定 位之法而治之，详见于后。

九归归除法者，单位者曰“归位”，数多者曰“归除”，通而言之曰归除。置所出率为实，以所求率为法，皆从实 首位而起。以法之首位用归，以次之位皆用除之，故 曰“归除。”归者呼九归之歌，除者呼九字相生之数。次 第除之，降积谓之除，其数虽降，而位反陞矣。须详定 位诀而求之。以法为母，以实为子，实如法而一，法实 相反，失之千里。必须用心详玩，直指定位法实诀于 后。或有畸零之不尽者，设有约分之法，而命之 “商除法”者，商量法实多寡而除之。古法未有归除，故 用之不如归除，最是捷径之法也。然开方法用之 加法者，随母留身增添，谓之加。谓如正米每斗带耗 七合者，留身以七合隔位加之。又如每银一两加利 三钱，不破本身，以三增之，故谓之“加法。”或用乘法而 代之。如每斗加七合，就以一斗零七合乘之，得正耗 之数也。

减法者，即曰“定身除法”，约存原本之数而除之，故谓 之“减。”假有正耗米共九斗，只约正米八斗，呼七八减 去五升六合之类。又如本利银四两，每两减去三钱， 只呼三三除减九钱，得本银三两有零之类。或用归 除而代之，如正耗米为实，就以一斗零七合为法归 除之，得正米之数也。

约分法者，凡用除法多有畸零，数之不尽，位数多者， 以法约之则简。假如九百四十分之二百三十五，以 法约之，得四分之一，何也？曰：“分母九百四十分，乃是 四个二百三十五，故谓四分之一也。”去其繁而截其 约之故耳。

通分法者，谓法实带有畸零之数，若不设法通之，则 何由而置位乎？假如畸零四分之一者，就以一分之 数变作四分，加入零一分可用乘除而算之，故曰“通 母”，凡公私皆不用之。今但有畸零者，至于毫忽，以五 收之，以四去之，算家若不精微，岂可合得数乎？ “异乘同除”者，谓先应用除法而后用乘法者，其除法 多有畸零不尽之数，则何出而用乘法乎？故变法而 先用乘法，然后用归除，虽有畸零数之不尽者而可 命之，故曰“异乘同除。”至于精奥，其变通之大术矣。 异乘同乘者，谓如“用四乘之，又用五乘之，再以七乘 之”者，就变法以四乘五得二十，再以七乘之，得一百 四十，就以一百四十为法乘之，以代三次相乘而数 不差矣，

异除同除者，谓用四归之，又用五归之，再用十二归 之者，就变法以四乘五，得二十，再以一十二乘之，得 二百四十，就以二归四除，以代三次除也。已上皆言 算法变通之理。

“开平方法”者，谓如平地，四面皆然也。如长十步，阔十 步，自乘，得积一百步。开者，以积求方面之数也。此法 别是一种，有实而无法，则商约而除之，所以最难之 法也。今新增归除《开平方》而法之便矣。

“开立方法”者，立者，立起之方也。如长十尺，阔十尺，自 乘，得一百尺，再以高十尺乘之，得积一千尺。开者，以 积求立方每面之数也。有实而无法，则《商约》而除之， 所以更难也。今新增归除开立方，而法又便矣。 “倍法”者，加一倍是也。法当用二因，而位反降矣。今变 用《五归》，而位不降矣。

《折半法》者，谓减去一半是也。法当用《二归》，而位反陞 矣。今变用《五因》，而位不陞矣。

定位总歌

数家定位法为奇，因乘俱向下位推。加减只须认本 位，归与归除上位施。法多原实逆上法，位前得令须 下宜。“法少原实降下数，法前得令逆上知。”

又十二字诀

乘从每下，得术。归从法前，得令。

定位秘诀

凡定位，俱从实上原首位数起，至遇法首位。〈乘则每数即斤 两贯个石等类除则不拘斤两贯个石等类〉则止 乘从。每下，得术。

术者，乃法首位每下该得之名也。从实上原首位起，往后顺数至法首位，每数则止于下位，得法首每该之名。是钱呼钱，是石呼石，是两呼两已上，十百千万已下，厘毫合勺，回向前数则陞，依数呼之。

归从法前，得令。

《令》者，斤两贯钧石等类，亦从实上原首位起。实多法少者，往后顺数至法首之数则止，转向前一位，得令，往前逐位陞之，合得实少法多者，亦从实上原首位数起，往前逆数顺至法首之数则止，再进前一位，得令，回则往后降起。

直指定位诀

用因乘定位诀曰：“预先以算盘上写定万千百十，或 顷亩石斗两钱”之类。因乘完毕，得数莫动。或云每亩 科粮四升，但以亩之下位得升，以亩变斗，以十变石， 以百亩变十石之类是也。馀物仿此。

用归除定位。诀有二条，曰：预先以算盘上写定石斗 或两钱顷亩步分之类假如有米四百馀石，每银一两，籴米三石，问共该银 若干。法曰：置米为实，以银每两籴米三石为法除之， 得数莫动定位。诀曰：“此是实多法少。”先从实首位起 数，原实百，顺下至石，遇法首位是石，则止。前一位得 令是两，又前一位是十两，又前一位是百两，此是“逆 上。”

假如麦四百五十石，卖银三十二两四钱，问每石该 银若干？法曰：“置银为实，以麦为法，归除之，得数莫动 定位。”诀曰：“此是法多实少”，先从实首位起数，原实十， 逆上至百，遇法首位是百，则止前一位，得令是两，降 下顺数至实是七分，次位即二釐也。

但用因乘法实后定位。故云“乘法虽陞而位反降矣。” 但用归除法实前定位。故云“除法虽降而位反陞矣。”

定法实诀

《诀》曰：“凡因乘，不必拘于法实，或以法乘实，或以实乘 法，皆可也。惟归除不可颠倒错乱，详理而用之。”

归除法实

假如有银若干，买物若干，或几人分，或几人出，以银 物为实，以人分为法。

假如有银若干，买货若干，问银每两该货若干，以“货” 为实，以总银为法。若问货价，则以银为实，以“货”为法。 假如有银若干，每货价若干，问共该买货若干，以总 银为实，以货价为法。

假如有货若干，每两卖货若干，问共该银若干，以总 货为实，以每两之货为法。

总诀

一曰以所有总数为实，以所求每数为法除之。 一曰有总物而又有总价，或问每物则以物为法，以 价为实；或问每价即以价为法，以物为实。馀仿此。

分别法实左右图

九因

凡二至九单位者，用此置物为实，以价为法，呼“九九”， 合数言“十”就身言，如隔位，从末位算起，用《九归》还原。

因法歌

合数九因须记熟，起手先从末位推。言十就身如隔 位，若要还原用九归。

归因总歌

《归》从头上起，因从足下生，逢如须隔位言，十在本身。 假如今有银一百二十三两四钱，每银一两、籴米二 石，问共该米若干？

答曰：“二百四十六石八斗。”

法曰：置银于左为实，以每银籴米二石于右为法，因 之，合问定位法，只认两下位。〈即钱之位〉“定石”逆上。〈即两之位〉 定“十石”再上位。〈十两之位〉定百石合得。

此所谓“因乘俱向下位”，推先数左首原实百位，起， 顺下至两，遇右法首位每两二石则止。下位得术，是 石回向前，逐位逆数陞上，合得也。今列布算之法于 后。

图

还原。〈“《用二归》法。” 详后。〉

逢二进一十，　逢四进二十，　逢六进三十，　进八 进四十。

假如今有米二百三十四石五斗，每石卖银三钱，问 共该银若干？

答曰：“共该七十两零三钱五分。”

《法》曰：“置所有米”为实，以每石银三钱为法，因之，合问。

定位先数原实百起，顺下至石止，下一位得术是。

钱回向前逆数陞上合得。

图

图

还原。〈用《三归》法。详后。〉

逢六进二十　三一三十一　三一三十一，　逢三 进一十　三一三十一，　逢六进二十

假如有人借去本银二百五十八两二钱，每年加四 还利，问该利银若干。

答曰：“该利一百零三两二钱八分。”

法曰：“置本银为实，以利四钱”为法，因之，合问定位 同前。

图

还原。〈用“《四归》法。” 详后。〉

四一二十二，　四二添作五，　四三七十二，　逢四 进一十，　逢八进二十。

假如今有谷二百四十六石九斗，每石碾米五斗，问 该白米若干？

答曰：“一百二十三石四斗五升。”

法曰：“置谷为实，以每石碾米五斗为法”，因之合问。

图

还原。〈用“《五归》法。” 详后。〉

五一倍作二，　五二倍作四，　五三倍作六，　五四 倍作八，　逢五进一十。

假如今有杉木二万三千五百六十九根，每根价银 六分，问共该银若干？

答曰：“一千四百一十四两一钱四分。”

法曰：置木为实，以每根价银六分为法，因之，合问。

图

还原。〈用“《六归》法。” 详后。〉

六一下加四，　逢六进一十　六二三十二　六三 添作五　六四六十四　六五八十二，　逢六进一 十

假如秋粮米二万三千四百五十七石九斗，每石科 银七钱，问共该银若干？

答曰：“一万六千四百二十两零五钱三分。”

法曰：“置粮米为实，以每石七钱为法，因之合问。”

图

还原。〈用《七归》法。详后。〉

七一下加三，　逢七进一十　七二下加六，　逢七 进一十　七三四十二，　七四五十五，　七五七十 一，　七六八十四，　逢七进一十

假如今有军人一百三十四万五千六百七十九名， 每名给米八斗，问共该米若干？

答曰：“一百零七万六千五百四十三石二斗。”

《法》曰：“置军人为实”，以每名给米八斗为法，因之合问。

图

还原。〈用《八归》法。详后。〉

《八一》下加二，　《八二》下加四。〈四下五除一〉　逢八进 一十　八，三下加六。　逢八进一十　八，四添作五

八五六十二　，八六七十四　，八七八十六　，逢。

八进一十。

假如湿谷一千二百三十四石五斗六升七合九勺， 每石晒得干谷九斗，问该干谷若干？

答曰：一千一百一十一石一斗一升一合一勺一抄。 法曰：“置湿谷为实，以晒乾九斗为法”，因之合问。

图

还原。〈用《九归》法。详后。〉

《九一》下加《一　九，二》下加《二　九，三》下加《三　九四》。

下加四　九五，下加五　《九六》，下加六　《九七》，下加 七　九八，下加八，　逢九进一十。

九归

凡二至九单位者，用此置物为实，以价或分物者为 法，呼《九归》之歌，或进或倍，从实首位算起，用因法还 原。

歌曰

九归之法乃分平，凑数从来有现成，数若有多归作 十，归如不尽搭添行。

又歌

学者如何算九归，先从实上左头推。逢进起身须进 上，下加次位以施为。

假如今有米四百八十六石二斗，每银一两，籴米二 石，问共该银若干？

答曰：“二百四十三两一钱。”

法曰：置总米数为实，以每两籴米二石为法，归之合 问定位法，只认石上前一位。〈即十之位〉定两逆上。〈即百之位〉 定十两，再陞上一位定百两，合得。

此所谓归与归除，上位，施　先数，原实百起，顺下至 石，遇法首位是每两二石，则止转向前一位得令，是 两逐位逆数陞上，合得也。今列布算于后。

图

还原。〈用二因。〉

一二如二，　二三如六，　二四如八，　二二如四。 假如今有银八百三十五两八钱，每银三两籴米一 石，问该米若干？

答曰：“二百七十八石六斗。”

《法》曰：置总银为实，以每石银三两为法，归之《合问》 定位法，只认两前一位是石，逆上依次陞之，合得。

图

还原。〈用三因。〉

三六一十八，　三八二十四，　三七二十一，　二三 如六。

假如今有苎麻七百三十五斤，每苎四斤卖银一钱， 问该银若干？

答曰：“一十八两三钱七分五釐。”

《法》曰：“置总苎麻为实，以每钱卖苎麻四斤为法，归之 合问定位法”，只认斤前一位定钱，依次逆陞合得。

图

还原。〈用四因。〉

四五得二十，　四七二十八，　三四一十二，　四八 三十二，　一四如四。

假如今有银一百二十三两四钱五分，每银五两换 金一两，问该金若干？

答曰：“二十四两六钱九分。”

法曰：置总银为实，以每银五两为法，归之合问定 位法，只认银两上前一位是金，两数，逆陞合得

图

还原。〈用五因。〉

五九四十五，　五六得三十，　四五得二十，　二五 得一十。

假如今有米二十石，五万人分之。问每人该米若干？ 答曰：“四勺。”

《法》曰：置米为实，以人五万为法，归之合问定位，法 多实少？先从实首原位数起，逆上，至遇法首位是万， 则止向前一位得，令是石也。顺数降一，合得。

图

还原。〈用五因。〉

四五得二十。

假如今有银二百六十五两三钱二分，作六人分之， 问每人该银若干？

答曰：“四十四两二钱二分。”

法曰：置银为实，以六人为法，归之合问定位法从 原实数百，降下次位几十，又次位几人，遇法是人则 止前一位得令是两逆上陞之，合得。

图

还原。〈用六因。〉

二六一十二，　二六一十二，　四六二十四，　四六 二十四。

假如今有银七十两籴大麦七百五十五石一斗六 升，问每银一两该麦若干？

答曰：“一十石零七斗八升八合。”

法曰：置麦为实，以总银七十为法，归之合问，定位 同前。

图

还原。〈用七因。〉

七八五十六。　七八五十六。　七七四十九。　一七 如七。

假如今有银九十八两九钱二分，买羊八十只，问每 只该银若干？

答曰：“一两二钱三分六釐五毫。”

《法》曰：“置银为实，以羊八十为法，归之《合问》。”

图

还原。〈用八因。〉

五八得四十，　六八四十八，　三八二十四，　二八 一十六，　一八如八。

假如今有银二百六十五两三钱二分，买椒每斤价 银九分，问共该椒若干？

答曰：“二千九百四十八斤。”

《法》曰：“置总银为实，以每斤椒价九分为法，归之合问。”

图

还原。〈用九因。〉

八九七十二，　四九三十六，　九九八十一，　二九 一十八