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钦定古今图书集成/历象汇编/历法典/第114卷

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 第一百十四卷目录

 算法部汇考六

  算法统宗二算义总二

历法典第一百十四卷

算法部汇考六

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《算法统宗二》

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算义总二
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乘法:《留头乘》:

按:“因”与乘,一也。单位者谓之“因”,位数多者谓之“乘”,特 以此而异其名耳。

原有“破头乘” 、《掉尾乘》《隔位乘》,总不如《留头乘》之妙,故皆不录。

歌曰

下乘之法此为真,起手先将得二因,三四五来乘遍 了,却将本位破其身。

用“留头”乘法,若依盘式,小九数,位次先后不一,难以 挨次。今将暗马数以别先后,庶不乱矣。暗马式附前用字凡例中 假如今有布四百二十五疋,每疋价银二钱五分,问 共该银若干?

答曰:“一百零六两二钱五分。”

法曰:置布为实,以每疋价银二钱五分为法乘之,合 问定位。法只认疋下一位定钱,依次逆数陞上,合 得也。此所谓因乘俱向下位推。

还原。用归除法详后。

二一添作《五》。无除 起一下还二 四五除二十, 逢四进二十 二,五除一十 二一添作五, 五五 除二十五。

假如今有豆二十八石六斗,每斗价银三分四釐五 毫,问共该银若干?

答曰:“九两八钱六分七釐。”

法曰:置豆为实,以每斗三分四釐五毫为法乘之,合 问定位同前。

还原。用归除法详后。

逢六进二十 二,四如除八, 二五除一十 三,二 六,十二。 逢六进二十 四,八除三十二, 五八除 四十 三,二六十二, 《四六》除二十四, 五六除三 十。

假如今有银三十五两八钱,每银一两,籴米二石四 斗六升八合,问该米若干?

答曰:“八十八石三斗五升四合四勺。”

法曰:“置总银为实,以每两籴米”数为法乘之,合问 定位同前。

还原。用归除法详后。

逢六进三十 三,四除一十二, 三六除一十八, 三八除二十四, 二一添作五, 四五除二十 五, 六除三十 五,八除四十 二,一添作五。 逢《六进》 三十 四,八除三十二, 六八除四十八, 八八除 六十四。

假如今有米三百四十五石,每石价银四钱外牙用 三釐,问该银若干?

答曰:“一百三十九两零三分五釐。”

法曰:置总米为实,以每石价并牙用共四钱零三釐 为法乘之,合问定位同前

还原。用归除法详后。

四一二十二, 逢四进一十 三,三如除九 四一, 二十二, 逢八进二十 三,四除一十二, 四二添 作五, 三五除一十五。

假如今有田二千三百四十五亩,每亩科粮一斗八 升七合,问该粮米若干?

答曰:“四百三十八石五斗一升五合。”

法曰:置总田为实,以每亩科米一斗八升七合为法, 乘之,合问。

还原。用归除法详后。

逢二进二十 二八除一十六, 二七除一十四; 逢三进三十 三八除二十四, 三七除二十一; 逢四进四十 四八除三十二, 四七除二十八; 逢五进五十 五八除四十  五,七除三十五。 假如今有直田长三十六步三分,阔七步四分。问该 田积若干?

答曰:“二百六十八步六分二釐。”

法曰:置长为实,以阔七步四分为法乘之,合问定 位法,只认步下一位是法首,步数逆上,合得也。

还原。用归除法详后。

“《七二》下加六”, 逢七进一十 三,四除一十二 ;《七 四》五十五, 逢七进一十 四,六除二十四。 “《七二》 下加六”, 逢七进一十 三,四除一十二。

假如今有田长七十五步,阔三十二步,问该积步若 干?

答曰:“二千四百步。”

法曰:置长为实,以阔为法乘之,合问定位法。只认 原实步下一位定法,首位十逆陞合得。

假如今有方田,长、阔各一百二十六步,问该积步若 干?

答曰:“一万五千八百七十六步。”

法曰:置方面一百二十六步为实,亦置一百二十六 步为法,即自乘之,合问。

还原。用归除法详后。

逢一进一十 一,二如除二,  一六如除六。  逢二 进二十   二,二如除四,  二六,除一十二。 逢六进 六     二六除一十二, 六六除三十六。

归除

凡二至九位,数多者,用此置物为实,以价或分者为 法,先将法首对实首呼九归歌,或进或倍,后将法次 位对所归数呼九九数除之,用乘法还原。

歌曰

惟有《归除》法更奇。算学中惟归除最妙将身归了,次除之。先将本位 呼归法归之其次不拘几位俱呼小九数除之有归若是无除数,若本位有子可归次 位无子可除也起一还将原数施。如一归本位起一下位还一如二归本位起一下位 还二馀仿此或遇本归归不得{{Annotation|,如一归只一子,二归只二子,因下位无子可除,故不能归也。馀仿此。}}“撞归之法莫教迟。”如一归见一无除加八撞凑作九下位加一如撞归 讫除数不足照前用起一还原法若人识得其中意。如学者晓得归除中间之理深 奥也算学虽深可尽知。云算者用心习学可以尽识者矣

撞归法

一归见“一。”原实无除作“九。”得数一、馀数后仿此 二归见二无除作九二。 三归见三无除作九三。 四归见四无除,作九四。 五归见五无除作九五。 六归见“六”无除作九六。 七归见“七”无除作九七。 八归见八无除,作九八。 九归见九无除作九九 已有归。而无除用起一还原法。即是起一还将原数施也 一归起《一》。得数《下还一》。原实本位起一下位还一若二归起一则下位还二馀仿此 二归《起一》下,还二。  三归《起一》下,还三。

四归《起一》下,还四。  五归《起一》下,还五。

六归《起一》下,还六。  七归《起一》下,还七。

八归《起一》下,还八。  九归《起一》下,还九。

撞归者,有归而无除之谓也。予以法实盈亏进退之 理推之,盈则有归,照法首之数进于上位成十;亏则 无除起一;退于下位,照法首之数还原。先哲有云:“见 一无除作九一”之类,此正谓有归无除之秘法。知此, 可与论《制算纂法》之深奥矣。

假如今有银二百四十三两,《籴米》每斗价银五分四 釐,问共该米若干?

答曰:“四百五十石。”

法曰:置总银为实,以每斗价五分四釐为法归除之, 合问定位法,只认实上原首位起,往后顺数至分, 遇法首位是每斗三分则止。前一位得令是斗逆数 陞上合得,后仿此。

还原。用乘法。

四五得二十, 五五二十五, 四四一十六, 四五 得二十。

假如今有银二百六十五两三钱二分,作十二人分 之,问每人该银若干?

答曰:“二十二两一钱一分。”

法曰:置银为实,以十二人为法,归除之,合问定位, 与前《归法》同。

还原。用乘法。

一二如二, 一一如一, 一二如二, 一一如一, 二二如四, 一二如二, 二二如四, 一二如二。 假如今有米一百二十九石九斗六升,作一十九人 分之,问每人该米若干?

答曰:“六石八斗四升。”

法曰:置米为实,以一十九人为法,除之,合问。

还原。用乘法。

四九三十六, 一四如四, 八九七十二, 一八如 八, 六九五十四, 一六如六。

假如今有银二十六两六钱,买猪二十八只,问每只 该银若干?

答曰:“九钱五分。”

法曰:置银为实,以猪二十八只为法,除之,合问。

还原。用乘法。

五八得四十 二,五得一十 八,九七十二, 二九 一十八。

假如今有金二两八钱三分五釐,作四百零五人分 之,问每人该金若干?

答曰:“七釐。”

法曰:置金为实,以人数为法除之,合问定位,法多实少。先从原实首位起,往前逐位逆数陞上,至呼遇 法首位百则止,向前一位得,令是两降下,合得。

还原。用乘法。

五七三十五, 四七二十八。

假如今有米二十二石五斗二升,作五千六百三十 人分问,每人该米若干?

答曰:“四合。”

法曰:置米为实,以人数为法除之,合问定位,法多 实少同前。

还原。用乘法。

四六二十四, 三四一十二, 四五得二十。

假如今有银一千零九十七两二钱五分,作五百七 十人分之,问每人该银若干?

答曰:“一两九钱二分五釐。”

法曰:置银为实,以人数为法除之,合问定位法。先 数原实千,顺下至法首百,前位定两,合得。

还原。用乘法。

五七三十五, 五五二十五, 二七一十四, 二五 得一,十 七九六十三, 五九四十五, 一七如七。

一五如五

假如今有银四钱八分,每银七分五釐换赤金一分, 问该金若干?

答曰:“六分四釐。”

法曰:置总银为实,以七分五釐为法,除之,合问。

还原。用乘法。

四五得二十 四,《七》二十八, 《五六》得三十 六,《七》 四十二,

假如今有钱五千六百四十文,买梨一万六千九百 二十枚,问每钱一文买梨若干?

答曰:“三枚。”

法曰:“置梨为实,以钱数为法除之,合问。”

还原。用乘法。

三六一十八, 三四一十二, 三五一十五。

假如今有银五万五千三百八十五两,作一千零七 人分之,问每人该银若干?

答曰:“五十五两。”

法曰:置银为实,以人数为法,除之,合问。

还原。隔二位乘。

五七三十五, 一五如五。 五七三十五, 一五如

五。

加法

凡乘法首位有一数者,用此置所有物为实,以所求 价为法加之。然加法不用首位一数,只以次位馀数 加之。言十就身,加十言如。次位加如,亦从末位算起, 用减法还原。

歌曰

加法仍从下位,先如因位,数或多焉,十归本位,零居 次,一外添加法更元。

假如今有珍珠二百六十八颗,每颗价银一两一钱, 问该银若干?

答曰:“二百九十四两八钱。”

法曰:置珠为实,以每颗价除价首一两,只以次价一 钱为法,从末位加起,次第而上,定位只认颗。本位 定两,十颗上定十两,百颗上定百两。所谓“加减只须 认本位”也。馀仿此。

还原。用减法,即定身除也。

《一,二减去二》。九去二存七 一六减去《六》。除六下还四 一八 减去《八》。恰尽

假如今有绢九丈八尺,每尺价一钱三分五釐,问共 该银若干?

答曰:“一十三两二钱三分。”

《法》曰:置绢为实,以每尺除价首一钱,只以三分五釐 为法,加之定位只认尺本位定钱,丈上定两,十丈 定十两,合得。

假如今有罗二百四十六疋,每疋价银一两二钱七 分五釐,问该银若干?

答曰:“三百一十三两六钱五分。”

法曰:置罗为实,以每疋除价首一两,只以二钱七分 五釐为法,加之定位,只认疋位上定两,依次逆陞, 合得。

六七加四十二, 五六加三十 二,六加一十二, 《四七》加二十八, 四五加二十 二,四如加八, 《二 七》加一十四, 《二五》加一十 二,二如加四。

假如今有米四万六千七百五十一石,每石加耗七 升,问共该米若干?

答曰:正耗共该五万零零二十三石五斗七升。 法曰:“置正米为实,以耗米七升为法,隔位加之,合问 一七加七。”先从石上起呼于隔位升上 五七加三十五。石上加三斗下 位加五 七七加四十九。十位加四下位加九九退一成一十 六七加 四十二。百位加四四下五除一下位加二二起八成一十 四七加二十八。 千位加二下位加八

按:因、乘、加三法,其名虽殊,而理则一。但加法须记实 位,不动本身,学者宜当详审,不致差误也。

减法

凡归除遇法首位有一数者,用此所谓“定身除”者,先 定本身之位,而后减除也。置所有物为实,以所求价 为法,与身数相呼,九九之数言十,就身言如,隔位次 第,如法减而除之。先从实首位起用加法还原 定位法,因实位本身减去,而无逢进、比归除而降一 位。今将法首一数除而不用,亦可以抵逢、《进》、陞位也。

歌曰

减法须知先定身,得其身数始为真。法中有一何曾 用,身外除零妙入神。

假如今有银二百九十四两八钱买绢,每疋价银一 两一钱,问该绢若干?

答曰:“二百六十八疋。”

法曰:置总银为实,以每疋除价首一两不用,只以次 位一钱为法,定身减而除之,合问定位。此是求总 之法数,原实顺下,至钱则止,前一位是疋也。逆数陞 上,合得。

假如今有米一千零三十八石,作一百七十三人分 之,问每人该米若干?

答曰:“六石。”

法曰:置米为实,以人数除首位百不用,只以七十三人为法,定身除之,合问定位,此是求零之法。先数 原实起,顺下至遇法首十数则止,前一位得令是石 也。

假如今有金八十九两三钱八分,令金户一百零九 人办纳,问每人各该若干?

答曰:“八钱二分。”

法曰:置金为实,以金户除百不用。只以九人为法,隔 位定身除之,合问。

求一乘除法

按:古有之大位,因考其法,用倍折之繁难,不如《归除》 之简易,故今于此而废之,使学者专心于乘除、加减 之法,而无他岐之惑焉。

商除

“商除”者,商量而除之也。如定商太过,则总数不足而 无除,如定商不及,则总数有馀,务要酌量彀除方可。 然此一术,亦兼归除,归除既通,不必学此。但开方之 法,必用商除,演此而为梯阶,其法不可废也。

歌曰

数中有术号商除,商总分排两位推。惟有开方须用 此,续商不尽命其馀。

假如今有军士六百名,分粮三百九十四石二斗,问 每名该若干?

答曰:“六斗五升七合。”

法曰:置粮米于盘中为实,以军士六百名于右为法, 商除之。初商六十于左位,就以左右相呼,六六除实 三百六十石,馀实三十四石二斗。次商五升于左位 六斗之次,就以次商五升对右六相呼,五六除实三 十石,馀实四石二斗。再商七合于左位五升之下,就 以左七对右六相呼,六七除实四斗二升恰尽。今 列布算式于后。

商除式样

学者但看《初商》,即看初除,又看次商,又看次除,复看 再商,复看再除,挨次位数,则不乱矣。

假如今有芝麻六十七石,榨得油三千零一十五斤, 问每石该油若干?

答曰:“四十五斤。”

《法》曰:置油数于盘中为实,以麻六十七石于右,为商。 除法初商四十斤于左,就以左右相呼,四六除实二 千四百。又呼,四七除二百八十斤,馀实三百三十五 斤。次商五斤于初,商四十之下位,就以五斤对右六 相呼,五六除三百。又呼,五七除三十五斤,恰尽合得。

约分法

约以分子,通以分母也。法曰:“可半者半之,不可半者 以少减多,更相减损,求其有等。”以等约之,若数如四 分两之一者,二钱五分也,此为有尽。若数如三分两 之一者,三钱三分三釐三毫有零也,此所谓不尽。必 须约分之法。

解曰:约分者,谓用除法多有畸零,数之不尽,带有几千百分者,以约去其繁而就其简也,或有不可约者,

法曰:数多为母,数少为子。子母之数两列,互相减损 至同,就以此数为法,各以法除子母原数,却无畸零, 所谓“齐不齐而致其齐”也。如人分银,以至数之不能 尽者,亦有物之不可分者,不能呼数,必以法而约之。

歌曰

数有参差不可齐,须凭《约法》命分之。法为分母实为 子,不与差分一例推。

又歌

约分须分子母名,更相减损至同成就把其同为法 则,除来各数自无零。

假如今有物九十八,除了四十二,问约得若干? 答曰:“七分之三法曰:数多为母,数少为子。置母九十八,内减去二个 四十二,馀一十四。另置子四十二,减去二个一十四, 亦馀一十四,谓之子母相同。就以十四为法,除母九 十八,是七个一十四。另以十四为法,除子四十二,是 三个一十四。故曰:“七分中除三,馀仿此。”

假如今有二十一分之一十四,问,约得若干?

答曰:“三分之二。”

法曰:置母二十一,减去子一十四,馀七。另置子一十 四,减去七,亦馀七。就以七为法,除母二十一,得三。又 以法七除子一十四,得二。合问。

假如今有丝二百五十二斤,卖过一百四十四斤,问 约得若干?

答曰:“七分斤之四。”

法曰:置母二百五十二,减去子一百四十四,馀母一 百零八。反将原子一百四十四,减去馀母一百零八, 馀子三十六。又将馀母一百零八,减去馀子二个三 十六,馀母亦三十六。为之更相减损,就以母子同数 为法,以除原母、原子,各得分数。

假如今有鸭七十二只,生子六十三个。问“约得若干?” 答曰:“八分个之七。”即是八只鸭生七个子也

法曰:列子母数,更相减损,置母七十二,减去子六十 三,馀母九。反将子六十三内减去六个,馀母九,子亦 馀九。就以九为法,除原母七十二,得八个九。又以法 九除原子六十三,得七个九。故命之曰“八分之七”也。

乘分

假如今有一百九十人,支银一两、十九分两之一,问 该银若干?

答曰:“二百两。”

法曰:置银一两,以分母十九通之,加分子一,共得二 十。又以人一百九十乘,得三千八百为实。却以支银 一两,以分母十九通之,得十九两为法。除之,合问。

《解题》曰:“十九分两之一,每人即一两零五分二釐六毫有零。”

课分

假如今有布二疋,九分疋之五,用过一疋,六分疋之 一,问尚馀若干。

答曰:“馀一疋,又十八分疋之七。”

法曰:置用过布一疋,以分母六通之,加分子一,共得 七。又以原布分母九通之,得六十三。另置原布二疋, 以分母九通之,加分子五,共得二十三疋。又以用过 布分母六通之,得一百三十八,内减去前六十三,馀 七十五为实。以两分母九六相乘,得五十四为法。除 之,得一疋。馀实二十一,法实皆三,约之,合问。

通分

通分者,通以分母,约以分子也。夫数之有尽者,不必 通也,若畸零之不尽者,使不通之,则何以置位而算 之乎?此通分之法所由立也。假如四分两之一者,则 二钱五分也,此所谓数之有尽者也。若三分两之一 者,三钱三分三釐,以至于三,三之无穷,此所谓数之 不尽者也,必须以分通之,乃可算也。不然,则畸零之 不尽,终无可置位矣。

假如今有布四十五疋,每疋价三分两之二,问共该 银若干?

答曰:“三十两。”

法曰:置布四十五疋,以分之,二因之,得九十两,为实。 却以分母三为法,归之合问。

《解题》曰:“三分两之二,即每疋六钱六分六釐而不能尽,故用约分之法也。”

假如今有米三分石之二,每斗价银七分二釐,问共 该银若干?

答曰:“四钱八分。”

法曰:置银七分二釐,以每石十斗因之,得七钱二分, 又以分子之二因之,得一两四钱四分为实。却以分 母三为法,归之《合问》。按此法即异乘同除也

假如今有商伙,论本分物俱得八分之七,至银百两, 问该若干?

答曰:“八十七两五钱。”

法曰:置银一百两,以子之七因之,如故。仍以分母八 为法,归之,合得。

假如今有罗六十六疋九分疋之六,每疋价二两五 钱,问该银若干?

答曰:“一百六十六两六钱、三分钱之二。”

《法》曰:置六十六疋,以分母九通之,得五百九十四,加 分子六,共六百。以二两五钱因之,得一千五百。以分 母九为法,归之,得一百六十六两六钱三分钱之二。 假如今有米六分石之二,每斗价四分钱之三,问该 银若干?

答曰:“二钱五分。”

法曰:置分子石之二钱之三因之,得六两为实。以分 母六分、四分相乘,得二十四两为法,除之,得二钱五 分。合问。按此法即异乘同除也假如今有《缎》四十五疋、每疋价四两三分两之二,问 该银若干?

答曰:“二百一十两。”

法曰:置每疋价四两,以分母三两因之,得一十二两; 加入分子二两,共得一十四两。以乘总缎四十五,得 六百三十两为实。以分母三两为法除之,合问。 假如今有豆九石六斗六分斗之四,每石价银二钱 三分钱之一,问该银若干?

答曰:“二两二钱、五分、九分钱之五。”

《法》曰:先置每石价二钱,以分母三因之,得六,加纳子 之一,共得七钱。另置豆九石六斗,以分母六因之,得 五七六,加纳子之四,共得五十八;以七钱因之,得四 十两零六钱为实。却以分母六分、三分相因,得一十 八为法。除之不尽之数,一法实,皆折半而命之。

差分。《衰》分意同。

差分之法并来分,须要分数一分成,将此一分为之 实,以乘各数自均平。

假如今有东西二邻共织丝绢,东邻四斤六两,西邻 三斤二两,共丝七斤八两,织绢二十一丈八尺,问各 该若干?

答曰:“东邻一十二丈七尺一寸六分六釐,西邻九丈 零八寸三分三釐。”

法曰:置总绢二十一丈八尺为实。以共丝七斤八两, 先将八两变化为五,就以七斤五为法除之,得二丈 九尺零六分六釐六毫六丝为法。另以东西各丝斤 数不动,将两减六,东六两变作三七五,西二两变作 一二五,并原斤为实乘之,合问。

假如今有“元、亨、利、贞”四人,合本经营,元出本银二十 两,《亨》出本银三十两,利出本银四十两,《贞》出本银五 十两,共本一百四十两,至年终共得利银七十两,问 各该利银若干?

答曰:元该利一十两,《亨》该利一十五两,利该利二十 两,贞该利二十五两。

法曰:置利银七十两为实,以四人共本一百四十两 为法,除之,得五钱,为每两之利。就以此为法,以乘各 人原本,合问。

假如今有甲、乙、丙三人合伙同商,因各人本银不齐, 前后付出:甲于正月付出本七十两,乙于四月付出 本八十两,丙于七月付出本九十两,三人共本二百 四十两,至年终得利七十两。问“各该利银若干?” 答曰:“甲该利二十八两,乙该利二十四两,丙该利一 十八两。”

法曰:置利银七十两为实。另置甲本七十两,以十二 个月通之,得八百四十两。又置乙本八十两,以九个 月通之,得七百二十两。再置丙本九十两,以六个月 通之,得五百四十两。三共并,得二千一百两为法,除 实得三钱三分三釐三毫三丝,此乃是每月每两之 利也。就以此又为法,以乘甲通八百四十月,得利二 十八两;又乘乙,通七百二十月,得利二十四两;再乘 丙,通五百四十两,得利一十八两。《合问》。

此是差分“乘而相并,除而又乘” 之法也。

假如今有人借去银二百六十两,每年加三起息,今 有十个月,二十四日问该利银若干?

答曰:“七十两零二钱。”

法曰:先将二十四日用《三归》,得八数,在十月隔空一 位之下,再以十二月除之,得九数,如年以乘原本,得 二百三十四两为实,以每年加三为法,因之,《合问》。

解曰:凡算年月日期,即与两求斤法减六同理。每斤一十六两,减六只作一数,每年十二月,每月三十日,故先用《三归》如月并月,后用十二除月如年,以乘各人原本合得。馀皆仿此。图式具左。

定盘算日月为年式

假如今有赵、钱、孙、李四人同商,前后付出本银:赵一 于甲子年正月初九日付出本银三十两;钱二于乙 丑年四月十五日付出本银五十两;孙三于丙寅年 八月十八日付出本银七十两;李四于丁卯年十月 二十七日付出本银九十两。四共得本银二百四十 两,至戊长年终,共得利银一百二十两,问各该得利 “银若干?”

答曰:“赵一该得利二十九两五钱五分○○一丝,钱 二该得利三十六两七钱一分一厘,孙三该得利三 十二两八钱○○三毫,李四该得利二十两零九钱 三分七釐五毫。”

法曰:置利银一百二十两为实。另置各人年月日数, 照依前式归日。如月除月,如年次位之零,并年以乘 原本,合问赵一,计四年十一个月,二十一日先归日,后除月。又 原本通得一百四十九两二钱五分;钱二,计三年零 八个月,一十五日先归日,后除月。又原本通得一百 八十五两四钱一分六釐五毫。孙三,计二年零四个 月,一十二日先归日,后除月,又原本通得一百六十 五两六钱六分六釐六毫。李四计一年零二个月,零 三日先归日,后除月,又原本通得一百零五两七钱 五分。

将四人年月日通得之数共并,得六百零六两零八 分三釐三毫为法,除实得一钱九分七釐九毫九丝, 即是每年每两之利也。就以此又为法,以乘各人通 得之数,《合问》。

假如人借去银,每年每两加利二钱七分。今有一年 零三个月,二十日收还银三百六十二两四钱七分, 问本利各得若干?

答曰:“本二百六十八两,利九十四两四钱七分。” 法曰:置还本利共银为实,另置年月日数,照依前式, 用三归二,十日得六六六六于三月之下位。并月再 以十二除之,得三月零五五五于一年之下位,另以 每年利二钱七分乘之,得每两利三钱五分二釐五 毫,加原本一两二,共为法,除实,得原本银二百六十 八两。再以每两利三钱五分二釐五毫乘之,得利九 十四两四钱七分。《合问》。

假如原借本银一十五两,每月加利二分五釐,今有 六个月已还过银九两,除作本及利问本利各该若 干,仍存原本若干。

答曰:除原本七两八钱二分六釐,该利-两一钱七 分四釐,仍存原本银七两一钱七分四釐,仍以原日 起利。

法曰:置还银九两为实。另置六个月,以月利二分五 釐通之,得一钱五分,加原本一两,本利共一两一钱 五分为法。除实,得除本银七两八钱二分六釐。又以 通利一钱五分乘之,得利银一两一钱七分四釐,本 利共合九两之数。另将原本一十五两除还原本七 两八钱二分六釐,馀者仍存数也。

异乘同除

此法虽易知之术,其意至奥。或人用先除后乘之法, 若除之不尽,将何以乘之乎?此异乘同除,实为通变 之法也。

歌曰

《异乘同除》法何如,物卖钱来作例推。先下原钱乘这 物,却将原物法除之。将钱买物互乘取,百里千斤以 类推。算者留心能善用,一丝一忽不差池。

假如原有米五石八斗四升,卖银四两三钱八分,今 只有米一石七斗二升,问该银若干?

答曰:“一两二钱九分。”

《法》曰:“置今有米一石七斗二升”,以原卖银四两三钱 八分乘之,得七两五钱三分三釐六毫为实,却以原 有米五石八斗四升为法,除之,合问。

一法先用除而后乘。先置原价四两三钱八分,以原 米五石八斗四升为法。除之,得每石价银七钱五分。 又为法。以乘今米一石七斗二升亦得。

此法虽易知之,恐愚拙者法则难于取价,须用“先乘后除” ,其法捷妙。

异乘同除互换捷用法图

异乘同除互换捷用法图

歌曰

此法有四隅,内有一隅空,异名斜乘了,同名“《兑》位除。”

详此歌,则知“异名乘” 、“同名除” 也。

假如原有小麦八斗六升,磨面六十四斤八两,今有 小麦三十五石四斗八升,问该面若干? 答曰:“二千六百六十一斤。”

法曰:置今麦三十五石四斗八升,以磨面六十四斤 半乘之,得二万二千八百八十四斤六,为实,以原麦 八斗六升为法,除之,合问。

假如今有夏布四十五疋,欲换棉布,只云:“夏布三疋, 共价二钱,棉布七疋共价七钱五分”,问该换棉布若 干?

答曰:“棉布二十八疋。”

法曰:先置“今有夏布四十五疋”,以原夏布价二钱因 之,得九两,又以棉布七疋因之,得六十三疋,为实。以 夏布三疋因棉布价七钱五分得二两二钱五分为 法,除之,得棉布二十八疋。合问:

假如原有麦三斗五升,磨面二十五斤。今欲用面一 百七十五斤,问该麦若干?

答曰:“二石四斗五升。”

法曰:“置原麦乘今用面”为实,以磨面二十五斤为法 除之,合问假如今有绫一百六十一疋,每七疋价银五两,问共 该银若干?

答曰:“一百一十五两。”

法曰:置总绫,以五两因之为实,以七疋为法,归之合 问。

同乘异除歌

此法买宝石珍珠大小块颗价用此。果品亦同。

同《乘异除》法可识原物价相乘为实,今物除实求今 价,今价除实求今物。

假如原有小珍珠五十颗重一两,价银一十二两;今 有大珍珠三十颗重一两,问该银若干?

答曰:“二十两。”

《法》曰:置原珠五十,以原价十二乘,得六百两为实。以 今珠三十颗除之,合问。

异乘同乘法

假如原每人一日织锦八尺二寸五分,今有五十六 人,共织二十七日,问织锦若干?

答曰:“一千二百四十七丈四尺。”

法曰:置五十六人,乘二十七日,得一千五百一十二 工;再以日织八尺二寸五分乘之,得一万二千四百 七十四尺,合问。

异除同除法理

假如今有客一十五人,住一十二日,共用米三石六 斗,问一客每日用米若干?

答曰:“每日二升。”

法曰:置米三石六斗为实。另以一十五人乘一十二 日,得一百八十人为法,除实得二升,合问。

同乘同除法理

假如原有鹅八只换鸡二十只;每鸡三十只换鸭九 十只;每鸭六十只换羊二只。今却有羊五只换鹅,问 该若干?

答曰:“该鹅二十只。”

法曰:用异乘、同乘之法,置原鹅八只,以乘原鸡三十 只,得二百四十只。又以原鸭六十只乘之,得鹅一万 四千四百只。再以今有羊五只乘之,得七万二千只, 为实。又用异除、同除之法,以所换鸡二十只,乘换 鸭九十只,得一千八百只;又以所换羊二只因之,得 羊三千六百只为法。除实,得鹅二十只。《合问》。

指曰:“法应一除一乘,多有不尽之数。今变法总乘为实,总除为法,此术极妙。”

倾煎论色

假如今有“九二成”色银七两四钱八分,倾销足色银 问该若干?

答曰:“足色银六两八钱八分一厘六毫。”

法曰:置银为实,以九二色为法乘之,合问。

假如今有足色纹银一十五两二钱换“九五”色银,问 该若干?

答曰:“九五色银一十六两。”

《法》曰:置纹银十五两二钱为实,以九五色为法,除之, 即得。

假如今有“八五色银五两六钱”换“九五”色银,问该若 干?

答曰:“该九五色银五两零一分零五毫。”

法曰:置银五两六钱,以八五乘之,得四两七钱六分 为实,以九五为法,除之,合问。

假如今有足色纹银七两六钱五分,倾出成色银九 两,问色几何?

答曰:“八五色。”

《法》曰:置纹银为实,以倾出色银九两为法,归之合问。 假如今有足色纹银三十五两二钱,欲倾八八色银, 问用铜若干?

答曰:“铜四两八钱。”

法曰:置纹银为实,以八八色为法除之,得色银四十 两,内减原银,馀四两八钱,是铜数也。《合问》:

假如有铜七钱五分,今煎作八八色银。问“纹银若干?” 答曰:“纹银五两五钱。”

法曰:置铜为实,以每两用铜一钱二分为法除之,得 八八色银六两二钱五分,于内减去原铜七钱五分, 馀得纹银合问。

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