钦定古今图书集成
历象汇编第一百十九卷

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钦定古今图书集成历象汇编历法典

　第一百十九卷目录

　算法部汇考十一

　　算法统宗七〈少广章第四中〉

历法典第一百十九卷

算法部汇考十一

《算法统宗七》

少广章第四中

立圆法歌

《立圆》问径法何如？十六乘积，九归除，除此数常为实积，立方开见更何如？《立圆》：若问周围数，四十八乘积数，躯乘为实，积用开立，即见周围数不虚。

法曰：外周者，置积若干，以四十八乘之，得若干为实，以开立方法除之，得周。若要还原，以周自乘；再乘，以四十八除之，见积问径。置积若干，以十六乘之，得若干，又用九归之，得若干为实，以开立方法除之，得径。若要还原，以径自乘；再乘，以九因十六除之，见积周径下原有不尽者，或周径自乘、再乘，并入不尽数周，以四十八除之，见积。径以九因十六除之，见积若问周问径遇有馀积不尽者，依开立方下命法命之。

“今有积六万二千二百零八尺，欲为《立圆》。”问“径若干？” 答曰：“径四十八尺。”

法曰：置积尺数，以十六乘之，又用九归之，得一十一万零五百九十二尺，为实。以开立方法除之，初商四十，自乘，得一千六百，再乘得六万四千，除实。馀实四万六千五百九十二尺。另将初商四十以三因，得一百二十为方法，列位次商八尺于初商之次，得四十八尺，就以八乘之，得三百八十四尺，为廉法。以方乘廉，得四万六千零八十尺，除实。馀实五百一十二。另以次商八尺自乘，再乘，得五百六十二尺，为隅法。除实恰尽，得立圆径。合问。

此问周径如圆球

“今有积六万二千二百零八尺，欲为立圆。”问“周若干？” 答曰：“周一百四十四尺。”

法曰：置积尺，以四十八乘之，得二百九十八万五千九百八十四尺，为实。以开立方法除之，初商一百尺，自乘，得一万，再乘，得一百万，除实，馀实一百九十八万五千九百八十四尺。另以初商一百，以三因，得三百为方法。次商四十于初商之下，共一百四十，就以四十乘之，得五千六百，为廉法。以方乘廉，得一百六十八万，除实馀实三十万零五千九百八十四。另以次商四十自乘，再乘，得六万四千，为隅法。除实，馀实二十四万一千九百八十四。再以初次商一百四十，以三因，得四百二十，为方法。再商四尺于初次商之下，共得一百四十四尺。就以四尺因之，得五百七十六，为廉法。以方乘廉，得二十四万一千九百二十，除实，馀实六十四。又以再商四尺自乘，再乘得六十四，除实讫，合问。

凡立圆问周径，遇数单者，则有不尽。

今有立方积一万五千六百二十五步，问“立方一面若干？”

答曰：“二十五步。”

归除《开立方法》曰：“置积一万五千六百二十五尺为实，以万积商二十置于积前，就置二十于右下，自乘，得四百步，与上商二十”相呼，二四除实八千，馀实七千六百二十五步，却以右下四百步，以三十乘之，得一千二百为法，归除之呼逢五进五，又呼二五，除一千。另置初商二十步，以次商五步乘之，得一百步，以三因之，得三百步。以加入自乘次商五步，得二十五步，共三百二十五步。于右与次商五步相呼，除之，呼三五除一千五百步，又二五除一百步，又五五除二十五步，积尽。以左上二十五步为立方一面之数。《合问》。

今有《立方》积一亿零二百五十万零三千二百三十二尺，问“立方一面若干？”

答曰：“四百六十八尺。”

《归除开立方法》曰：“置积为实。”以七千万该商四百尺于左上，又置四百尺于右下，自乘，得一十六万，相呼，一四除，四千万尺，又四六除二千四百万，馀实三千八百五十万零三千二百三十二尺，却以右下一十六万尺，以三乘之，得四十八万为法。归除之，呼四三七十二少除。〈因下位数不足除〉呼，四归起一，下还四呼，六八除四十八。另置初商四百尺，以次商六十尺乘之，得二万四千尺，以三因之，得七万二千尺，为廉法。加入次商六十尺，自乘，得三千六百尺，共七万五千六百尺。却以次商六十尺相呼除之，六七除四十二，又五六除三十，又六六除三十六。馀实五百一十六万七千二百三十二尺。以方法四十八万，并入两个廉法七万二千，再并入隅法三个三千六百尺，共得方法六十三万四千八百尺为法。归除之。呼六五，八十二，呼三八，除二十四，又呼四八，除三十二，又八八，除六十四。右下之法不用。再置所商共四百六十尺，以次商八尺乘之，得三千六百八十尺，以三因之，得一万一千零四十尺，并入，再商八尺，自乘，得六十四尺，共一万一千一百零四尺。又以次商八尺相呼除之，一八除八万，又一八除八千，又一八除八百，又四八除三十二尺。除实恰尽。以左上所商四百六十八尺，为立方一面之数。《合问》：

开立方带纵法

今有方仓贮米五百一十八石四斗，方比高多三尺，问方高各若干？

答曰：“方一丈二尺，高九尺。”

法曰：置米五百一十八石四斗，以《斛法》二尺五寸乘之，得积一千二百九十六尺为实。以开立方带纵除之，以方多三尺自乘，得九尺，为纵方。再置三尺倍之，得六尺，为纵廉。约积一千商十尺。今有纵方，只商九尺，置于实前，另以九尺自乘，得八十一尺，加入纵方九尺，共九十尺，为方法。另以纵廉六尺，以九尺乘之，得五十四尺，为廉法。二法并共一百四十四尺。于右下以所商九尺相呼，一九除九，又呼四九除三十六，又四九除三十六，除实恰尽。以商九尺为高，加入方多三尺，得方仓一十二尺。《合问》

今有立方一所，积一千七百八十七万五千尺，只云高阔相等，长多阔三十六尺。问立方高阔及长若干？答曰：“长二百八十六尺，阔二百五十尺，高二百五十尺。”

法曰：置积一千七百八十七万五千尺为实。以开立方带纵法除之，初商约得二百尺，自乘，得四万尺，再乘得八百万尺。又约二百五十尺自乘，得六万二千五百尺，再以二百五十尺乘之，得一千五百六十二万五千尺，减去积馀，积二百二十五万尺为实。另置长多三十六尺，以所商二百五十尺乘之，得九十尺，再以二百五十尺乘之，得二百二十五万尺，除实恰尽，得阔二百五十尺，加入长多三十六尺，共二百八十六尺，为长数。《合问》。

今有立方积二万九千八百零八尺，高比方不及一丈三尺，问高方各若干？

答曰：“高二丈三尺，方仓三丈六尺。”

法曰：置积二万九千八百零八尺为实。以开立方带纵法除之，约实二万。商三十尺自乘，得九百尺。再以三十尺乘之，得二万七千尺。又约商三十六尺自乘，得一千二百九十六尺。另置三十六尺，减不及一十三尺，馀二十三尺乘之，得二万九千八百零八尺。除实尽，得方仓三十六尺，高二丈三尺。合问。

今有三乘方积二千零一十五万一千一百二十一尺，问：“一面若干？”

答曰：“六十七尺。”

法曰：置积为实。下法常超三位，初商六十于左，下法亦置六十自乘，得三千六百，再乘得二十一万六千，为隅法。与上商六十相呼，除实一千二百九十六万，馀实七百一十九万一千一百二十一尺。乃以四乘隅法二十一万六千，得八十六万四千，为方法。另置上商六十自乘，得三千六百，又以六因之，得二万一千六百尺，为上廉。又置上商六十，以四乘，得二百四十尺，为下廉。次商七尺于左，六十之。次下法亦置七尺，自乘，得四十九尺，再以七因，得三百四十三尺，为隅法。又以次商七尺乘上廉二万一千六百，得一十五万一千二百。又以下廉二百四十，用两次七因初次因，得一千六百八十尺，二次因得一万一千七百六十尺。以方法八十六万四千，上廉一十五万一千二百，下廉一万一千七百六十，隅法三百四十三，并四法共一百零二万七千三百零三尺，皆与次商七尺相呼，除实恰尽得一面六十七尺。合问：〈此三乘方捷径〉一法：用二次开平方法除之，亦得。初一次置积数为实，以开平方法除之，商得四千四百八十九尺。第二次就以此初商数为实，亦以开平方法除之，即得一面六十七尺。《合问》：〈此又捷径〉

若还原，置一面六十七尺，自乘，得四千四百八十九尺，再乘，得三十万○○七百六十三尺，又乘之，即见原积数也。

自乘，再乘又乘，故曰“三乘。”其四乘乃四次乘也。其五乘，乃五次乘也。

今有田积三千三百七十五尺。问“立方面若干？” 答曰：“面方一十五尺。”

法曰：置积三千三百七十五尺为实，以开立方法除之。古法用三为廉率，约实定位，从实。末位尺十尺定尺，百尺，千尺定十尺。初商一十于左。下法，亦置初商一十自乘，得一百，再乘得一千，除实讫，馀实二千三百七十五尺。却以下法，初商一十自乘，得一百，用三因为方法。又以初商一十，以三因，得三十，为廉。次商五尺于左。初商之次，下法亦置。次商五尺自乘，得二十五尺，为隅法。又以次商五尺乘廉三十，得一百五十，为廉法。并方法三百，廉法一百五十，隅法二十五，共四百七十五尺，皆与次商五尺相呼。四五除二，五七除三十五，五五除二十五，得方面一十五尺。《合问》。

开立方

大段。解曰：“立方积，形如骰子，有上下、左右、前后六面，方如一段。大方积，是初商方高十尺。”自乘，再乘，得一千尺。三段平廉，每段方十尺，高五尺，即初商十尺。自乘，又以次商五尺乘，积五百尺，用三因，即三段积一千五百尺。三段长廉，每段长十尺，阔五尺，高五尺，即初商十尺。以次商五尺乘，又以次商五尺乘，得每段积二百五十尺。用三因，即三段积七百五十尺。一段小方隅，即次商五尺。自乘，再乘，积一百二十五尺也。

《求米仓窖盛贮歌》：〈每石斛法二尺五寸。〉

“米求仓窖要知源，斛法先除米数全。若见圆仓乘十二方窖三，因米数然。三十六乘圆窖米，各为实积定无偏，却用立方开”见约方求长、阔约为先，圆数求周为约数，各将约数自乘焉。乘来为法除实积，便见深高法更元。

今有米二千四百一十九石二斗，欲为方仓盛之，问长、阔、高各若干？

答曰：“长二十八尺，阔一十八尺，高一十二尺。”

法曰：置米数，以斛法二尺五寸乘之，得六千零四十八尺为实。以开立方法约之，得阔一十八尺，便约长二十八尺。却以长阔相乘，得五百零四尺为法。除实，得高合问。

今有米七百零五石六斗，欲作圆仓盛之问周围及高各若干？

答曰：“周四十二尺，高一十二尺。”

法曰：置米数，以斛法二尺五寸乘之，得一千七百六十四尺，再以圆法十二乘之，得二万一千一百六十八尺，为实。以开立方法约之，得周四十二尺，自乘，得一千七百六十四尺为法。除实，得高一十二尺。合问今有米五百七十七石二斗，欲作方窖盛之，问上下方及深各若干？

答曰：“上方九尺，下方一十二尺，深一十三尺。”

法曰：置米数，以斛法二尺五寸乘之，得一千四百四十三尺。又以三因之，得四千三百二十九尺，为实。以开立方法约之，得上方九尺，便约下方一十二尺。却以上方自乘，得八十一尺。另以下方自乘，得一百四十四尺。又以上方九尺乘下方一十二尺，得一百零八尺。并三位，共三百三十三尺为法。除实，得深一十三尺，合问：

今有米七十七石二斗，欲作圆窖盛之问上下周及深各若干。

答曰：“上周一十四尺，下周一十八尺，深九尺。”

法曰：置米数，以斛法二尺五寸乘之，得一百九十三尺。再以圆率三十六乘之，得六千九百四十八尺为实。以开立方法约之，得上周一十四尺，便约下周一十八尺。另以上周一十四尺自乘，得一百九十六尺。又以下周一十八尺自乘，得三百二十四尺。又以上周一十四乘下周一十八，得二百五十二尺。并三位共七百七十二尺为法，除实得深九尺。《合问》：

今有米二千四百一十九石二斗，欲造长仓盛之，只云“阔一十八尺，高一十二尺，问长若干。”

答曰：“长二十八尺。”

法曰：置米数，以斛法二尺五寸乘，得六千零四十八尺为实。另以高乘阔，得二百一十六尺为法。除实，得长合问。

或只云“长二十八尺，高一十二尺。”问：“阔若干？”

答曰：“阔一十八尺。”

法曰：仍以前实，却以长高相乘，得三百三十六尺为法。除实，得阔一十八尺。合问。

今有米七百零五石六斗，欲作圆仓盛之，只云“高一十二尺，问周若干。”

答曰：“周四十二尺。”

法曰：置米数，以斛法二尺五寸乘之，得一千七百六十四尺。又以圆率十二乘之，再以高一十二尺除之如故为实。以开平方法除之，得周四十二尺。合问今有米五百七十七石二斗，欲作方窖盛之，只云“上方九尺，深一十三尺。问下方若干？”

答曰：“下方一十二尺。”

法曰：置米数，以斛法二尺五寸乘之，得一千四百四十三尺；以三因之，得四千三百二十九尺。以深一十三尺除之，得三百三十三尺。内减上方，自乘，得八十一尺，馀二百五十二尺为实；以上方九尺为纵方。开平方法除之，得下方一十二尺。合问。

或云：“下方一十二尺，深一十三尺。”问：“上方若干？” 答曰：“上方九尺。”

法曰：仍以前实四千三百二十九尺，以深除之，得三百三十三尺。内减下方自乘一百四十四尺，馀一百八十九尺，为实。以下方一十二为纵方。以开平方法除之，得上方九尺。《合问》。

今有米七十七石二斗，欲造圆窖盛之，只云“上周一十四尺，深九尺，问下周若干。”

答曰：“下周一十八尺。”

法曰：置米数，以斛法二尺五寸乘之，得一百九十三尺。又以圆率三十六尺乘之，得六千九百四十八尺。以深九尺除之，得七百七十二尺。内减上周，自乘一百九十六尺，馀五百七十六为实。以上周一十四为纵方。以开平方法除之，得下周一十八尺。《合问》：或云：“下周一十八尺深九尺，问上周若干？”

答曰：“上周一十四步。”

法曰：仍以前实六千九百四十八尺，以深九尺除之，得七百七十二尺。内减下周自乘，得三百二十四尺。馀四百四十八尺为实。以下周一十八尺为纵方。以开平方法除之，得上周一十四尺。《合问》。

今有米五百一十八石四斗，欲造方仓，盛之问“方、高各若干？”

答曰：“方一十二尺，高九尺。”

法曰：置米数，以斛法二尺五寸乘之，得一千二百九十六尺为实。以开立方法约之，得方一十二尺。却以方一十二尺自乘，得一百四十四尺为法。除实，得高九尺。合问。

或云“高九尺，问方若干。”

答曰：“方一十二尺。”

法曰：仍以前实以高九尺除之，得一百四十四尺。以《开平方法》除之，得方一十二尺。合问。

分田截积法上

直田截积歌

《直田》截积法尤奇，截长积步阔除之，截阔用长除且易，得其步数不须疑。

法曰：“若依原长截积，则以原阔除之。若依原阔截积，则以原长除之。”

直田截积原载《方田章》，因与圭梯等截积间隔，不便观览，今移此以统于一。

今有直田，长四十八步，阔四十步。今依原长截积七。

直田截阔图

百二十步，问：“截阔若干？”

答曰：“阔一十五步。”

法曰：置截积七百二十步为实，以原长数为法除之，即得截阔数。《合问》：

今有直田，长四十八步，阔四十步。今依原阔截积七百二十步，问截长若干？

直田截长图

答曰：“长一十八尺。”

法曰：置截积七百二十步为实，以原阔四十步为法，除之，得截长一十八步。合问。

今有方田一坵，要“从东南角截一直形积三十二步，南边阔四步，问截东边长若干？”

答曰：“截东长八步。”

《法》曰：置截积三十二步为实，以南阔四步为法除之。

方田截直图

得截积东长八步。《合问》：若东长定数，问截南阔，就以长数为法而除截积。

今有直田，长一十五步六分，阔一十二步。今从东边。

直田截斜图

截积五十四步六分。北头要阔四步，问截南头阔若干？

答曰：“截南头阔三步。”

法曰：置截积五十四步六分为实。以

原长一十五步六分为法，除之，得截阔三步五分，此是二广均匀之数。加倍得七步，减去北广四步，馀得截南广三步是也。

又法，倍截积，得一百零九步二分为实。以原长一十五步六分为法，除之，得共截阔七步减北广四步，馀得截南广三步亦得。

今有直田，长一十五步，阔一十二步。今从西北《角截》。

直截句股图

句股形一段，积三十一步五分，原坐落西边，股长九步，问截北边句阔若干。

答曰：“截北句，阔七步。”

法曰：置截积三十一步五分，倍之，得六十三步，以西股长九步为法，除之，得截北句阔七步。合问。

今有直田，积一千九百二十步，只云“长六十步，问阔若干？”

答曰：“阔三十二步。”

法曰：置积一千九百二十步为实，以长六十步为法除之，得阔。若是只云阔三十二步，问长若干，就以阔为法除之，即得长。

今有圭田，积二百二十五步，只云“长三十步，问阔若干？”

答曰：“阔一十五步。”

法曰：置积倍之，得四百五十步为实，以长为法除之，得阔。若云中长步数，倍积为实，以阔为法除之，即得。

以上二款，名曰“忘长失短” ，与“直田截积” 意同。

今有句股田，长三十步，阔一十五步。今从尖截长一十二步，问中广若干。

勾股截积图

答曰：“截中广六步。”

法曰：置截长一十二步，以句阔乘之，得一百八十步为实，以股长为法除之。

又法：置句为实，以股为法除之，每股长一步，得阔五分。以乘截长亦得。

今有斜田，南广四步，北广十二步，长三十二步。今“从中截腰广六步，问截南长若干？”

答曰：“截南头长八步。”

斜田截积图

法曰：置截中广六步，减上广四步，馀二步，以乘长三十二步，得六十四步为实。却将南北二广相减，馀八步为法，除之，即得。若截下长。

置下广，减中广，馀六步。以乘原长，得一百九十二步为实。以上下二广相减，馀八步为法，除之，得截下长二十四步。《合问》。

今以前图截下长二十四步，问截中广若干？

答曰：“六步。”

法曰：将下广减去上广四步，馀八步为实。以原长三十二步为法除之，每长一步，得阔差二分五釐。就以此为法，以乘下长二十四步，得阔差六步。以减下阔一十二步，馀六步，即是中广合问。

今有梯田，积一千五百步，北广四十步，中长五十步，问南广若干？

答曰：“南广二十步。”

法曰：置积一千五百步，倍之，得三千步为实。以长五十步为法，除之，得六十步，于内减北广四十步，馀得南广二十步。《合问》：

原有斜田，南广四步，北广十步，长一十二步。今欲增作句股样式，问股长出若干？

斜增为勾股图

答曰：“股长出八步。”

法曰：以南广四步乘长一十二步为实，另以二广相减，馀六步为法，除之，得尖出股长八步。合问。

《圭求广纵歌》。〈除《圭尖》即是梯形。〉

梯求上广出尖长，上阔乘纵法最良，却将上下广相减，馀法除之免思量。

今有上圭下梯田，上广一尺六寸，下广一十二尺八

圭求广纵图

寸圭下正纵一十尺零五寸，问圭尖长若干。

答曰：“尖高长一尺五寸。”

《法》曰：“置正纵一十尺零五寸以上。”

广一尺六寸乘之，得一十六尺八寸为实。另以下广一十二尺八寸减上广一尺六寸，馀一十一尺二寸为法，除之，得圭尖长一尺五寸。《合问》。

圭求下广歌

圭田若问《梯》下广，圭梯并长，不必想上广乘长为实，则尖长法除，即下广。

法曰：置圭长并梯长共一十二尺以上，广一尺六寸乘之，得一十九尺二寸为实。以尖长一尺五寸为法，除之，得下广一十二尺八寸合问。

圭求外梯长歌

圭田：欲问外梯长，下广减去，上广，良除，以圭长乘为实。上广法除，是梯长。

法曰：以下广一十二尺八寸，减去上广一尺六寸，馀一十一尺二寸。以圭长一尺五寸乘之，得一十六尺八寸为实。以上广一尺六寸除之，得梯正纵长一十尺零五寸合问。

圭求中广歌

《圭》求中广要思量，却用下《广》乘，尖长正纵，加入尖长数为法，除之中广良。

法曰：置下广一十二尺八寸，以尖长一尺五寸乘之，得一十九尺二寸为实。另以正纵一十尺零五寸加入尖长一尺五寸，共一十二尺为法，除之，得中广一尺六寸。合问。

假如三角田一坵，三面各一十四步，今作三叚，俱要四角，问长阔各若干？

三角截四角圆

答曰：共积八十四步，三角各得二十八步，每角计长八步，阔七步。法曰：置每面一十四步，六因七归，得中径一十二步。另以每面一十四步与径一十二步相乘，得一百六十八。

步折半，得积八十四步，为实。以三段归之，各得二十八步。却以每面折半，得阔七步，以归二十八步，得四步，倍之，得中长八步。《合问》：

今有直田，长一十五步，阔一十二步。今依《阔截圭积》。

直田截圭图

四十五步问截圭长若干？答曰：“圭长七步五分。”

法曰：置截积，倍之，得九十步为实，以阔一十二步为法，除之，即得其馀。

圭梯等截法。俱用开方列法于左：

“圭田截积”歌：〈若作三段分者，先截尖段下二段，以作《梯形截法》。〉

《圭田》截积小头知倍积原长以乘之，原阔归除为实积开方便见截长。宜仍以截长乘原阔，原长为法以除之，除来便见截阔数，法明简易不须疑。

今有圭田，长七十五步，北阔三十步。今自《尖头截积》

圭截小头圆

四百零五步。问截长阔各若干？答曰：“长四十五步，阔一十八步。” 法曰：置截积四百零五步，倍之，得八百一十步。以原长七十五步乘

之，得六万零七百五十步，以阔三十步除之，得二千零二十五步为实，以《开平》方法除之，得截长四十五步。就以原阔三十步乘之，得一千三百五十步为实，以原长七十五步为法，除之，得截阔一十八步。《合问》：今有句股田，股长四十步，句阔二十步。今从大头截。

勾股截积图

积一百七十五步，问“所截长、阔各若干？”

答曰：“截下长一十步，截上广一十五步。”

法曰：先将句股相乘，得八百，折半得积四百步。减截积一百七十五步，馀积二百二十五步，以作圭田截积小头，知而筭之，置小头积二百二十五步，倍作四百五十步，以原长四十步乘之，得一万八千步，以原阔二十步除之，得九百步，为实。以《开平方法》除之，得上尖长三十步。就以此为法，以除倍积四百五十步，得截阔一十五步。另将原长减去截长三十步，馀得下长一十步。《合问》。

今又有圭田，长七十五步，北阔三十步。今自“北《阔截》。”