海岛算经

海岛算经
作者：刘徽　晋

晋刘徽撰，唐李淳风等奉诏注。据刘徽序《九章算术》有云，徽寻九数有重差之名，凡望极高，测绝深，而兼知其远者，必用重差辄造重差，并为注解，以究古人之意，缀于勾股之下，度高者重表，测深者累矩，孤离者三望。离而又旁求者四望，据此，则徽之书本名《重差》，初无《海岛》之目，亦但附于勾股之下，不别为书。故《隋志·九章算术》增为十卷，下云刘徽撰，盖以九章九卷合此而为十也。而《隋志》、《唐志》又皆有刘徽《九章重差图》一卷，盖其书亦另本单行，故别著于录，一书两出，至《唐志》兼列刘向《九章重差》一卷，则徽之《重差》既自为卷，因遂讹刘徽为刘向，而一书三出耳。今详为考证，定为刘徽之书，至《海岛》之名虽古无所见，不过后人因卷首以《海岛》之表设问而改斯名，然唐选举志称算学生《九章》、《海岛》共限习三年，试《九章》三条，《海岛》一条，则改题《海岛》自唐初已然矣。其书世无传本，惟散见《永乐大典》中。今裒而辑之，仍为一卷。篇帙无多，而古法具在，固宜与《九章算术》同为表章，以见算数家源流之有自焉。

今有望海岛，立两表，齐高三丈，前后相去千步，令后表与前表参相直。从前表却行一百二十三步，人目著地取望岛峯，与表末参合。从后表却行一百二十七步，人目著地取望岛峯，亦与表末参合。问岛高及去表各几何？

答曰：岛高四里五十五步；去表一百二里一百五十步。

术曰：以表高乘表间为实；相多为法，除之。所得加表高，即得岛高。求前表去岛远近者：以前表却行乘表间为实；相多为法。除之，得岛去表数。

今有望松生山上，不知高下。立两表齐，高二丈，前后相去五十步，令后表与前表参相直。从前表却行七步四尺，薄地遥望松末，与表端参合。又望松本，入表二尺八寸。复从后表却行八步五尺，薄地遥望松末，亦与表端参合。问松高及山去表各几何？

答曰：松高一十二丈二尺八寸；山去表一里二十八步、七分步之四。

术曰：以入表乘表间为实。相多为法，除之。加入表，即得松高。求表去山远近者：置表间，以前表却行乘之为实。相多为法，除之，得山去表。

今有南望方邑，不知大小。立两表东、西去六丈，齐人目，以索连之。令东表与邑东南隅及东北隅参相直。当东表之北却行五步，遥望邑西北隅，入索东端二丈二尺六寸半。又却北行去表一十三步二尺，遥望邑西北隅，适与西表相参合。问邑方及邑去表各几何？ 答曰：邑方三里四十三步、四分步之三；邑去表四里四十五步。

术曰：以入索乘后去表，以两表相去除之，所得为景差；以前去表减之，不尽以为法。置后去表，以前去表减之，馀以乘入索为实。实如法而一，得邑方。求去表远近者：置后去表，以景差减之，馀以乘前去表为实。实如法而一，得邑去表。

今有望深谷，偃矩岸上，令句高六尺。从句端望谷底，入下股九尺一寸。又设重矩于上，其矩间相去三丈。更从句端望谷底，入上股八尺五寸。问谷深几何？

答曰：四十一丈九尺。

术曰：置矩间，以上股乘之，为实。上、下股相减，馀为法，除之。所得以句高减之，即得谷深。

今有登山望楼，楼在平地。偃矩山上，令句高六尺。从句端斜望楼足，入下股一丈二尺。又设重矩于上，令其间相去三丈。更从句端斜望楼足，入上股一丈一尺四寸。又立小表于入股之会，复从句端斜望楼岑端，入小表八寸。问楼高几何？

答曰：八丈。

术曰：上下股相减，馀为法；置矩闲，以下股乘之，如句高而一。所得，以入小表乘之，为实。实如法而一，即是楼高。

今有东南望波口，立两表南、北相去九丈，以索薄地连之。当北表之西却行去表六丈，薄地遥望波口南岸，入索北端四丈二寸。以望北岸，入前所望表里一丈二尺。又却后行去表一十三丈五尺。薄地遥望波口南岸，与南表参合。问波口广几何？

答曰：一里二百步。

术曰：以后去表乘入索，如表相去而一。所得，以前去表减之，馀以为法；复以前去表减后去表，馀以乘入所望表里为实，实如法而一，得波口广。

. 后行 : 原错为“行后”。自李淳风注。改。

今有望清渊，渊下有白石。偃矩岸上，令句高三尺。斜望水岸，入下股四尺五寸。望白石，入下股二尺四寸。又设重矩于上，其间相去四尺。更从句端斜望水岸，入上股四尺。以望白石，入上股二尺二寸。问水深几何？

答曰：一丈二尺。

术曰：置望水上下股相减，馀以乘望石上股为上率。又以望石上下股相减，馀以乘望水上股为下率。两率相减，馀以乘矩间为实；以二差相乘为法。实如法而一，得水深。

又术：列望水上下股及望石上下股，相减，馀幷为法。以望石下股减望水下股，馀以乘矩间为实，实如法而一，得水深。

今有登山望津，津在山南。偃矩山上，令句高一丈二尺。从句端斜望津南岸，入下股二丈三尺一寸。又望津北岸，入前望股里一丈八寸。更登高岩北，却行二十二步，上登五十一步，偃矩山上。更从句端斜望津南岸，入上股二丈二尺。问津广几何？ 答曰：二里一百二步。

术曰：以句高乘下股，如上股而一。所得以句高减之，馀为法；置北行，以句高乘之，如上股而一。所得以减上登，馀以乘入股里为实。实如法而一，即得津广。

今有登山临邑，邑在山南。偃矩山上，令句高三尺五寸。令句端与邑东南隅及东北隅参相直。从句端遥望东北隅，入下股一丈二尺。又施横句于入股之会，从立句端望西北隅，入横句五尺。望东南隅，入下股一丈八尺。又设重矩于上，令矩间相去四丈。更从立句端望东南隅，入上股一丈七尺五寸。问邑广长各几何？

答曰：南北长一里一百步；东西广一里三十三步、少半步。

术曰：以句高乘东南隅入下股，如上股而一，所得减句高，馀为法；以东北隅下股减东南隅下股，馀以乘矩间为实。实如法而一，得邑南北长也。求邑广：以入横句乘矩间为实。实如法而一，即得邑东西广。