湛轩书/外集卷五
筹解需用内编
[编辑]筹解需用内编下
[编辑]天元解
[编辑]元〈一〉。列亩通步为实。〈亩法。二百四十步也。〉以和九十二为从方。以一为隅。从方一进。隅再进。上商三十步。以隅因上商减从方。馀六百二十。因上商除实。一百八十六。又以隅因商减从方。馀三百二十。从方一退。隅再退。续商八步。以隅因商减从。馀二十四。因上商除实恰尽。得平三十八步。合问。〈右减从开平方法〉
若先求长则法实上同。上商五十。以隅因商减从。馀四百二十。因上商得二千一百。多于原积反减。馀四十八为负实。又以隅因商得五百。多于从反减。馀八十为方。法退位如法续商四步。以隅因商加方法。得十二。因商除实恰尽。上商得五十四步长也。〈右开平方翻积法〉
元〈二〉。列亩通步。四之与寄左相消。馀三百二十四为实。以一为廉。平方开之。得较十八步。以古法演之。
若先求平。则用减从开平方法。列亩通步为实。以和七十四为从方。以一为隅从一进。得七百四十。隅再进上商二十。以隅因商减从。馀五百四十。因商除实。馀二百八。又以隅因商减从。馀三百四十。从一退隅再退。续商八步。以隅因商减从。馀二十六。因商除实恰尽。上商得平二十八步。减和得长四十六步。长平相减。得较十八步。合问。
若先求长。则用翻积平方法。法实上同。上商四十。以隅因商减从。馀三十四。因商得一千三百六十。多于原积。故反减。馀七十二为负实。又以隅因商得四十。多于从。故反减。馀六。〈亩名。〉方法一退。隅二退。续商六步。以隅因商加方法。得十二。因商除实恰尽。上商得四十六步也。以减和得平。长平相减得较。〈原积者列亩通步数。〉
元〈三〉。列亩通步为实。以差步为从。以一为隅。从一进隅再进。上商二十。以隅因商加从。得四百五十。因商除实。馀二百七十六。又以隅因商加从。得六百五十一。退得六十五。隅再退。续商四步。以隅因商加从。得六十九。因商除实恰尽。上商得平二十四步。加差即长也。〈右开平方带从法〉
〈实一千二百七十六。平二十四。长六十九。差四十五。〉
元〈四〉。列亩通步四之。倂寄左为实。一为隅。开平方得和。此古法演之也。〈倂之列亩通步内子四之加寄九百共数云也。〉
若先求平。则列亩通步为实。以较为从方。一为隅。用带从平方法。进位如前。上商二十。以隅因商加从。得五百。因商除实。馀四百五十六。又以隅因商加从。得七百。从一退隅再退。续商六步。以隅因商加从。得七十六。因商除实恰尽。上商得平二十六步。加较得长。长平相倂得和。
〈实一千四百五十六。平二十六。长五十六。较三十。〉
元〈五〉。列亩通步为实。以一百七十五为隅。二进。上商三十。以隅因商。得五百二十五为方法。因上商除实。馀六百九十三。又以隅因商加方。法一退。得一百五。隅再退。续商六步。以隅因商加方。得一百十五步半。因商除实恰尽。上商得方面三十六步。圆径适等。〈右开平方法〉
〈实二千二百六十八。〉
元〈六〉。列亩通步。四之减寄。馀六千一百五十六为实。以一百四为从方。以七为正隅。方一进隅再进。上商三十。以隅因商。得别方二百十。反减从方。馀一百六。进位得一千六十为方法。因上商除实。馀二千九百七十六。又以隅因商加方法一退。得三百十六。隅二退续商八步。以隅因商加方。得三百七十二。因商除实恰尽。上商得圆径三十八。减不及。即方面〈右开平方翻法〉
元〈七〉。列亩通以十五乘。得三万五千二百八十为实。以一千五百十二为从方。以十六为隅。进位如法。上商四十。以隅因商。得六百四十。减从。馀八千七百二十。因商除实。馀四百。又以隅因商减从方。馀二千三百二十。从退一隅退二。续商二步。以隅因商减从。馀二百。因上商除实恰尽。得平四十二步。以平除积。即长也。
元〈八〉。别立一数。以十三为较。取较平差八分。以二十一为平。取较十三。以三十四为长。以较只云数。则为多于一平一步。以平减长。至一百二十二平。减一百九长而其数与分母相乘。一千一百四十四合。今多于二步。为一步之倍数。是以诸数皆倍之。二千二百八十八。为一百九长内减一百二十二平。
列亩通步。以一百二十二乘之。得三十四万八千四百三十二为实。以二千二百八十八为从方。以一百九为隅。从方一进隅二进。上商六十。以隅因商置别方六万五千四百。反减从方。馀四万二千五百二十。因商除实。馀九万三千三百十二。又以隅因商加方法一退。得一万七百九十二。隅二退。续商八步。以隅因商加方法。得一万一千六百六十四。因商除实恰尽。得长六十八步以长除。积即平也。
元〈九〉。用带从平方法。得用减从反法。得长二步少半步。通分内子七。以乘分母。得六百七十二。又以三收之为二百二十四步。
列亩通步为实。以二十八为从方。一进。以一为隅二进。上商五十。以隅因商加从。得七百八十。因商除实。馀八百四。又以隅因商加从一退。得一百二十八。隅二退。续商六。又以隅因商加从。得一百三十四。因商除实恰尽。得平五十六步。以平除积。得长也。
元〈十〉。用减从开平方法。列亩通步。内子四之倂寄左。一万六百四十七为实。以二百八为从方。以一为隅。从方一进。得二千八十。隅再进。上商九十。以隅因商减从。馀一千一百八十。因商除实。馀二十七。又以隅因商减从一退。得二十八。隅二退。续商一。以隅因商减。得二十七。因商除实。得圆径九十一步。内减倍之。云数二十六。即方也
元〈十一〉。开法上同。列亩通步。以一百九十六乘之。得内减寄左三万九千二百四。馀五万六千五十二为实。以三千九百六十为从方。以四十七为隅。从方一进。隅二进。上商一十。以隅因商减从。馀三万四千九百。因商除实。馀二万一千一百五十二。又以隅因商减从。馀三万二百。从一退隅二退。续商八。以隅因商减从。馀二千六百四十四。因商除实。上商得地径十八步。加八倍之。角径五之七而一得田方二十七步。
元〈十二〉。列积四之。得四千九十六为实。平方开之。得长六十四步。以四除之。即平也。
又记实少方多。方退一隅退二。上商二分。以隅因商减从。馀四〇五。因商除实。馀一分九釐。又以隅因商减从。馀三八五。一退隅二退。续商五釐。以隅因商减从。馀三八。因商除实恰尽。就以二分五釐为隅。开元积。当与下条通看。
又记列积开平方。得长二分五釐。乘之得平。〈列积四之。〉
元〈十三〉。列直积以少长除之。得一千二十四。平开之得平三十二步。以少长乘之。得一百二十八步。即长也。
又记上商四步。以隅因商。得四步为别方。反减从方。馀二分半为方法。因商除实恰尽。用平方带从法。则实少方多。方退一隅二如法开之。得小平二分半。以除直积。得大长羃一千六百三十八步四分半。方开之。得大长一百二十八步。以小平乘之。即大平。
元〈十四〉。以小面乘大面。比于长平相乘。故云直积，共积。比如勾股之弦积。故云弦羃。二积相减。馀为较羃。以较为从方。天元一。为隅开之。
置直积为实。以较十七为从方。以一为隅。从一进隅二进。上商六十。以隅因商。得六十。反减从。馀四十三。为方法。因商除实。馀五百四十。又以隅因商加方法一退。得百三。隅二退。续商五。以隅因商加方法。得百八。因商除实恰尽。得大方面六十五步。减较即平。
用平方带从法。则先得小方面。加较。得大方面。〈大方面七百四十八自乘。得五十五万九千五百。四减寄左一千二百六十八。〉
元〈十五〉。置实五十五万八千二百三十六。一方一进。以寄为上廉。二进得十四万九千六百。下廉空。以一为隅四进。上商二十步。以隅因商置下廉二万。以下廉因商减上廉。馀十一万九千六百。因商加方法。得二十一万九千二百十。因商除实。馀十一万九千八百十六。又以隅因商加下廉。得四万。以下廉因商减上廉。馀二万九千六百。因商加方法。得二十七万八千四百十。又以隅因商加下廉。得六万。因商别置十二万。反减上廉。馀九万四百为上廉。〈本廉则弃。〉又以隅因商加下廉。得八万。方法一退。上廉再退。下廉三退。隅四退。续商八步。以隅因商加下廉。得八十八。以下廉因商加上廉。得一千六百八。因商减方法。馀一万四千九百七十七。因商除实恰尽。得小方面二十八步。〈右开三乘方翻法〉
元〈十六〉。以直积自乘。得四百二十六万四千二百二十五为实。方法空。以较乘和二千二百五十六为上廉。再进下廉空。以一隅四进。上商三十步。以隅因商加下廉。得三万。以下廉因商加上廉。得三十一万五千六百。以上廉因商。得九十四万六千八百为方法。因商除实。馀一百四十二万三千八百二十五。又以隅因商加下廉。得六万。以下廉因商加上廉。得四十九万五千六百。以上廉因商加方法。得二百四十三万三千六百。又以隅因商加下廉。得九万。以下廉因商加上廉。得七十六万五千六百。又以隅因商加下廉。得十二万。方法一退。上廉二退。下廉三退。隅四退。续商五步。以隅因商加下廉。得一百二十五。以下廉因商加上廉。得八千二百八十一。以上廉因商加方法。得二十八万四千七百六十五。因商除实恰尽。得平三十五步。以平除积。为长也。〈右开三乘方带从法〉
用三乘方翻法。则先得长。以长除积得平。〈见三无除作九三也。〉置直积自乘。得四百二十六万四千二百二十五步为实。方法空。以二千二百五十六为上廉。再进下廉空。以一为隅四进。上商五十。以隅因商。得下廉五万。以下廉因商别置二十五万。反减上廉。馀二万四千四百。以上廉因商。得十二万二千为方法。因上商除实。馀三百六十五万四千二百二十五。又以隅因商加下廉。得十万。以下廉因商加上廉。得五十二万四千四百。以上廉因商加方法。得二百七十四万四千。又以隅因商加下廉。得十五万。以下廉因商加上廉。得一百二十七万四千四百。又以隅因商加下廉。得二十万。上廉得一万二千七百四十四。方法一退。得二十七万四千四百。上廉二退。下廉三退。隅四退。续商九步。以隅因商加下廉。得二百九。以下廉因商加上廉。得一万四千六百二十五。以上廉因商加方法。得四十万六千二十五。因商除实恰尽。合问。
元〈十七〉。以和一百二十九自乘四之得加差。自乘得一千五百二十一。共得六万八千八十五为实。以和一百二十九八因。得一千三十二为从方。以三为隅。从一进。止万步下。隅二进。止百下。乃上商八十。以隅因商。得二千四百为下廉。以减从方。馀七千九百二十。因商除实。馀四千七百二十五。又以隅因商减从方。馀五千五百二十。从方一退。隅二退。续商九步。又以隅因商减从方。馀五百二十五。因商除实恰尽。上商得八十九步。减差半之。得平加差。即长。
元〈十八〉。和如长。中方面如平。长平相乘以减共积。馀为二段较羃。故二为隅。平方开之得较。
又列积为实。以二隅平方开之。得较十六步。加中方面得大方。而中方面减较。即小方面也。
元〈十九〉。用带从平方法开之。置一千五百三十四万九百二十为实。以九万二千三百四十四为从方。以六千四百九十八为隅。从方一进。隅二进。俱止于三十万。下。乃上商四十。以隅因商加从方。得三百五十二万二千六百四十。因商除实。馀一百二十五万三百六十。又以隅因商加从法。得六百十二万一千八百四十。从一退隅二退。续商二步。又以隅因商加从方。得六十二万五千一百八十。因商除实恰尽。得古径四十二步。加差七得密径。又加差七得徽径。
元〈二十〉。开用三乘方翻法。置二十万七千九百三十六为实。以四十八为方法。一进。以二千七百三十六为上廉。二进。以九为隅。四进。乃上商十。以隅因商。得九万为下廉。以下廉因商减上廉。馀十八万三千六百。以上廉因商加方法。得十八万四千八十。因商除实。馀二万三千八百五十六。又以隅因商加下廉。得十八万。以下廉因商减上廉。馀三千六百。以上廉因商加方法。得十八万七千六百八十。又以隅因商加下廉。得二十七万。以下廉因商别置二十七万。反减上廉。馀二十六万六千四百。又以隅因商加下廉。得三十六万。方法一退。上廉二退。下廉三退。隅四退。续商二步。以隅因商加下廉。得三百七十八。因商加上廉。得三千四百二十。因商减方法。馀一万一千九百二十八。因商除实恰尽。上商得圆径十二步。三之为周三十六步也。
元〈二十一〉。列积三之内减下方自乘九。馀七百六十五为实。以十八为方法。以十二为廉法。以三为隅。置上商五尺。以隅因商加廉。得二十七。以廉因商。得方法一百五十三。因商除实恰尽。上商得上方五尺。加一尺得高。就加二尺得下方八尺。〈右开立方带从法〉
元〈二十二〉。列积以三十六乘之。得十八万一千四百四十为实。以一万一百九十二为从方。以七十六为从廉。以一为隅。从方一进。从廉二进。隅三进。乃上商二十。以隅因商减从廉。馀五千六百。以从廉因商减从方。馀九万七百二十。以从方因商除实恰尽。上商得台亭二十尺。加不及即上周。上周减相和数。得下周也。〈右开立方减从法〉
元〈二十三〉。列积三之为实方。以四百八十四为上廉。以四十四为下廉。以一为隅。乃上商六尺。以隅因商加下廉。得五十。以下廉因商加上廉。得七百八十四。以上廉因商置方四千七百四。因商除实恰尽。上商得六尺。加小馀。得下方二十八尺。又六尺自之即高。〈右三乘方法〉
元〈二十四〉。列积三十六乘为实。以三千七百二十一为上廉。以一百二十二为下廉。以一为隅。乃上商三尺。以隅因商加下廉。得一百二十五。以下廉因商加上廉。得四千九十六。以上廉因商。得下方一万二千二百八十八。以下方因商置上方。得三万六千八百六十四。因商除实恰尽。上商得三尺。为开方之数。加不及。得下周六十四尺。又列三尺再自乘。得高二十七尺也。〈右开四乘方带从法〉
元〈二十五〉。列积十六乘内减寄左。馀二千三十八万七千一百三十六为实。以八千五百十二为从方。以六百八十八为从廉。以二十五为隅。从方一进。从廉二进。隅三进。乃上商八十。以隅因商加从廉。得二十六万八千八百。以从廉因商加从方。得二百二十三万五千五百二十。因商除实。馀二百五十万二千九百七十六。又以隅因商加从廉。得四十六万八千八百。以从廉因商。加从方五百九十八万五千九百二十。又以隅因商加从廉。得六十六万八千八百。从方一退。从廉二退。隅三退。续商四步。以隅因商加从廉。得六千七百八十八。以从廉因商加从方。得六十二万五千七百四十四。因商除实恰尽。上商得立圆径八十四步。加不及即立方面。减多即平方面也。
元〈二十六〉。列积一百十二乘减寄左。馀一百九十九万五千二百六十四为实。以二万八千三百二十为从方。以三千二百二十四为从廉。以一百七十五为隅。从方一进。从廉二进。隅三进。乃上商十尺。以隅因商加从廉。得四十九万七千四百。以从廉因商。加从方得七十八万六百。因商除实。馀一百二十一万四千六百六十四。又以隅因商加从廉。得六十七万二千四百。以从廉因商加从方。得一百四十五万三千。又以隅因商加从廉。得八十四万七千四百。从方一退。从廉二退。隅三退。续商六尺。以隅因商加从廉。得九千五百二十四。以从廉因商加从方。得二十万二千四百四十四。因商除实恰尽。上商得圆径十六尺。加八尺得立方面。减二尺为平圆径。倍立方面。即平方面也。〈开法上同。〉
元〈二十七〉。列共积通分十八乘相消寄左。馀一亿二千三十六万六千四百三十二为实。以三十三万九千四百四十四为从方。以五万九千八百二十六为从廉。以五千六百二十五为隅。从方一进。从廉二进。隅三进。乃上商二十尺。以隅因商加从廉。得一千七百二十三万二千六百。以从廉因商加从方。得三千七百八十五万九千六百四十。因商除实。馀四千四百六十四万七千一百五十二。又以隅因商加从廉。得二千八百四十八万二千六百。以从廉因商加从方。得九千四百八十二万四千八百四十。又以隅因商加从廉。得三千九百七十三万二千六。从方一退。从廉二退。隅续商四尺。以隅因商加从廉。得四十一万九千八百二十六。以从廉因商加从方。得一千一百十六万一千七百八十八。因商除实恰尽。上商得二十四尺。立方面。古圆周等数也。加四尺。得立圆径。三之为平方面。又列立方面减三尺。即徽圆径也。
期闰解
[编辑]今有九百四十分之二百三十五。问约之得几何。
答曰。四分之一。
术曰。子母相减。得等数为约法。除原母为约母。除原子为约子。
周天三百六十五度四分度之一。日日行一度。月日行十三度十九分度之七。问日月相会。为日几何。
答曰。二十九日九百四十分日之四百九十九。
术曰。周天度通分内子。得一千四百六十一。月行内减日行。〈一度。〉馀一十二度十九分度之七。通分内子。得二百三十五。乃以月行分母。〈十九。〉互乘天度。〈一千四百六十一。〉得二万七千七百五十九为实次。以天度分母。〈四。〉互乘月行。〈二百三十五。〉得九百四十。为法除之。不满日者命之。
一日月行一十三度十九分度之七。只九百四十分日之四百九十九。问月行度几何。
答曰。七度一万七千八百六十分度之一千七百二十六。
术曰。月行通分内子。得二百五十四。以日分子〈四百九十九〉乘之。得一十二万六千七百四十六为实次。以日分母〈九百四十〉乘一日。得九百四十。又以月行分母〈十九〉乘之。得一万七千八百六十为法除之。不满度者命之。
九百四十分日之四百九十九。月行七度一万七千八百六十分度之一千七百二十六。只一日。问月行度几何。
答曰。一十三度十九分度之七。
术曰。七度通分内子。得一十二万六千七百四十六。以一日通分〈九百四十〉乘之。得一亿一千九百一十四万一千二百四十为实。以月行分子〈四百九十九〉乘七度分母。〈一万七千八百六十。〉得八百九十一万二千一百四十。为法除之。得一十三度八百九十一万二千一百十四分度之三百二十八万三千四百二十约之。
日月一会。得全日二十九日。只十二会。问得全日几何。
答曰。三百四十八日。
术曰。置日数。以十二乘之。
日月一会。馀分四百九十九。只二十会。问为分几何。
答曰。五千八百八十八。
术曰。置分数。以十二乘之。
十二会馀分之积五千九百八十八。每日九百四十分。问为日几何。
答曰。六日九百四十分日之三百四十八。
术曰。置积数以日分〈九百四十〉除之。不满日者命之。
月行一与日会。得二十九日九百四十分日之四百九十九。凡十二会。问为日几何。
答曰。三百五十四日九百四十分日之三百四十八。
术曰。二十九日通分内子。得二万七千七百五十九。以十二乘之。得三十三万三千一百零八。以日法〈九百四十〉除之。不满日者命之。
气盈五日九百四十分日之二百三十五。朔虚五日九百四十分日之五百九十二。问一岁闰日几何。
答曰。十日九百四十分日之八百二十七。
术曰。倂盈虚不满日者命之。
闰日一岁率则十日九百四十分日之八百二十七。问三岁五岁十有九岁。问闰日各几何。
答曰。三岁。三十二日九百四十分日之六百零一。
五岁。五十四日九百四十分日之三百七十五。
十九岁。二百零六日九百四十分日之六百七十三。
术曰。十日通分内子。得一万零二百二十七。三因之得三万零六百八十一。以分母〈九百四十〉除之。不满法者命之。得三岁闰日。五因之得五万一千一百三十五。以分母除之。得五岁闰日。十九加之得一十九万四千三百一十三。以分母除之。得十九岁闰日。
十有九岁闰积二百零六日九百四十分日之六百七十三。问闰月几何。
答曰。七闰。
术曰。二百零六日通分内子。得一十九万四千三百一十三为实。以月与日会二十九日九百四十分日之四百九十九通分内子。得二万七千七百五十九。为法除之。〈馀分恰尽。是谓气朔分齐。〉
月行一日行十三度十九分度之七。凡二十九日九百四十分日之四百九十九。问月行度几何。
答曰。三百九十四度四百七十分度之三百六十七。
术曰。二十九日通分内子。得二万七千七百五十九。十三度通分内子。得二百五十四。相乘得七百零五万零七百八十六为实。一日通分。〈九百四十。〉以月度分母〈十九〉乘之。得一万七千八百六十。为法除之。不满法者约之。
月行二十九日九百四十分日之四百九十九。行三百九十四度四百七十分度之三百六十七。只一日。问月行度几何。
答曰。十三度十九分度之七。
术曰。三百九十四度通分内子。得一十八万五千五百四十七。以一日通分〈九百四十〉乘之。得一亿七千四百四十一万四千一百八十为实。二十九日通分内子。得二万七千七百五十九。以分母〈四百七十〉乘之。得一千三百零四万六千七百三十。为法除之。不满法者约之。
天仪分度
[编辑]今有候锺日月轮。日轮五十七牙。月轮五十九牙。每日差二牙。问几何日而复会。
答曰。二十九日半。
术曰。列月轮牙。以差二归之。合问。
今有统天仪机轮。甲轮小牙八十。乙轮小牙六十大牙八。丙轮小牙五十四大牙六。丁轮小牙五十大牙六。只云甲轮一转得五时。问各轮一转得时。一日各轮转几何。
答曰。甲轮一转五时。一日二轮。〈又三十二牙。〉
乙轮一转四刻。一日二十四转。
丙轮一转六分。一日二百四十转。
丁轮一转三分分之二。一日〈二千一百六十转。〉
术曰。置十二时。以五时归之。得二转五分之二。以八十五归之二因之。得甲转。置八十。〈甲牙。〉以四十〈五时通刻〉归之得二。〈是甲转二牙为一刻。〉为法以除八。〈乙大牙。〉得四刻。复为法以除九十六。〈一日通刻。〉得乙转。置六十。〈乙牙。〉以六〈丙大牙〉归之。得一十。〈是乙一转丙则十转。〉为法以除六十。〈四刻通分。〉得六分。复为法以除一千四百四十。〈一日通分。〉得丙转。置五十四。〈丙牙。〉以六〈丁大牙〉归之。得九。〈是丙一转丁则九转。〉为法以除六。〈丙一转分。〉得九分分之六。约之得三分分之二。复以九为法因二百四十。〈丙转。〉得丁转。合问。
今有乙轮南端小轮。牵转天轮。一日一周而过一度。天轮凡三百五十九牙。问小轮牙几何。
答曰。一十五牙。
术曰。置天轮牙塔入过一度。得三百六十为实。以二十四〈一日乙转〉为法除之。合问。
今有日轮为三百六十五牙。凡三百六十五日四分日之一而一周天。问一牙之转为时几何。
答曰。一十二时一分弱。
术曰。置日通时。〈身外加二。〉搭入三时。〈四分日之一。〉共得四千三百八十三时。通分〈每时一百二十分。〉得五十二万五千九百六十分为实。以三百六十五牙为法除之。得一千四百四十一分弱。以时分法〈一百二十〉约之。不满法者命之。合问。
今有月轮二十九日半与日会。一日只转四牙。问轮牙几何。
答曰。一百一十一牙。
术曰。置二十九日半。以四牙乘之。得一百一十八为实数。置二十九牙半。〈一月日行度数。〉以四牙归之。得七牙四分牙之一。除零数反减。合问。
勾股摠率
[编辑]勾股者。出于九章。即西法之直角三角形。横曰勾。立曰股。斜曰弦。勾三股四弦五。为其本率。此三角之锐钝。仪角之圜度。其用虽备。垂线八线。皆取其直角。则同归于勾股。盖勾股有三线。以两线求一线者。为平勾股。有一线借两表。以两小线一大线求大线者。为比例勾股。倂无三线。虚借四表。以三小线求大线者。为重比例勾股。其述虽异。其义则倂为同式比例而已。倂取三术。为勾股摠率。
平勾股
[编辑]勾股求弦。
倂两羃开方。
弦股求句。
弦羃减股羃开方。
弦句求股。
弦羃减勾羃开方。
勾股求对直角中垂线。
勾股相乘。弦除之。
弦界垂线所分二段求大小。
弦除勾羃为小股。弦除股羃为大段。
勾股求容方径。
勾股相乘。倂勾股除之。
馀勾馀股。求容方径。
相乘开方。
三线求容圜径。
倂勾股内减弦。
又勾股相乘。倂三线除之。得圜半径。
比例勾股
[编辑]有远求高。〈用两表或望从地平。以代短表。〉
表距为小勾一率。表差为小股二率。后表远为大勾三率。
有高求远。
表差为小股一率。表距为小勾二率。高为大股三率。
有深求远。
表差为小股一率。表距为小勾二率。深为大股三率。
有远求深。
与有远求高同率。即覆矩。
有远求广。〈附有广求远。〉
与有远求高同率。即卧矩。
无高求远。
与有高求远同率。即以前表为大股。则得前表远。后表为大股。则得后表远。
无高求斜远。
因斜线立两表。与无高求远。同率。
无远求深。〈附无深求远。〉
斜线立矩。先求斜远。以矩尺因地平截斜远。为小勾股。
无广求远。
与无高求远同率。亦为卧矩。
重比例勾股
[编辑]无远求高。〈用四表。必两两相等。或望从地平。以代短表。〉
前后表距差为小勾一率。长短表差为小股二率。两短表距为大勾三率。〈仍求远则前后表矩差为小股一率。前两表矩为小股二率。两长表距为大股三率。〉
无远求深。〈附无深求远。〉
与无远求高同率。但倒设两层为层矩。〈层矩不可远矩。数千尺以外。不可用。〉
无远求广。
广远两线为直角。则与无远求高同率。为重卧矩。非直角则先求两远。以钝锐角推之。
三角总率
[编辑]凡两直线。一端相切。一端开张。中成虚面。下丰上尖。其形类角。故曰角。两线之间。度以半圜。计其度数曰角度。两线开张。两线之端。又成一线。三线相切。总成三角。三角之中。一角满象限者。谓之直角。〈即勾股。其与勾三股四弦五同式者。为正勾股。〉一角过象限者。谓之钝角。三角俱不满象限者。谓之锐角。相比相求。各有其率。且三种之角。其形千万。但倂三角之度。与半圜度等。则三种均也。是以其角小者对此角者。其线必短。其线长者对此线者。其角必大。线角相对。角有定分。互相比例。其数可得。盖一角有八线。比例且四率。凡三角三线。但知其三。其馀可求。〈只知三角则三线无准推法不行。或所知角在所知两线之间。线角无对则以夹角率推之。〉总以对所知为一率。对所求为二率。所知为三率。所求为四率。则凡物之高深广远。天地之形体。七政之躔度。可坐而致矣。总其求术。为三角总率。
等边三角。求中垂线。〈两等边同。〉
半底为勾。一腰为弦推股。
又半底自乘。又三因之开方。亦得。
锐角求中垂线。〈三角。〉
底为一率。倂两腰为二率。两腰相减为三率。推得四率为底较。反减底馀折半为勾。小腰为弦推股。又两腰羃相减。馀以底除之为底较。反减底馀折半为勾。小腰为弦推股。亦得。
斜立钝角。求形外垂线。
底为一率。两腰相减为二率。倂两腰为三率。推得四率。内减底馀折半为勾。小腰为弦推股。
又两腰羃相减馀。以底除之。内减底馀折半为勾。小腰为弦。推股亦得。
三角求中心。至三线垂线。
倂三线折半。为一率。小腰反减一率。为二率。大腰反减二率。又底反减一率。两较相乘。为三率。推得四率。平方开之。
等边三角求面积。〈两等边锐角钝角倂同。〉
半底为勾。一腰为弦推股。得中垂线。以乘底折半。
钝角求容方径。
中垂线倂底为一率。中垂线为二率。底为三率。
等边三角。求容圜径。
中垂线三归之。得容圜半径。
等边三角。求外切圜径。
中垂线三归四因。
又边线自乘。三归四因开方。亦得。
锐角求容圜径。
中垂线乘底为实。倂三线除之。得半径。
锐角求外切圜径。〈三角。〉
中垂线为一率。小腰为二率。大腰为三率。
钝角求两腰线。〈三角。〉
各积量直角。卧仪测之。
两腰夹角求馀角。
两腰和为一率。较为二率。角度下减反圜馀折半。其正切为三率。推得半较角之正切。检表得度。反减半外角度。得大腰角。度半较角度。倂半外角度。得小腰角。
又直角为对知角。钝外角为对求角。小腰为小知线。推得小腰形外垂线。仍以直角为对知角。钝外角反减象限。馀为对求角。小腰为小知线。推得垂线之距钝角形外虚线。乃以虚线倂大腰为一率。垂线为二率。半径为三率。推得大腰角之正切。检表得大腰角。反减钝外角。得小腰角。
又小腰为一率。大腰为二率。钝外角馀割为三率。推得钝外角大腰角两馀切之较。乃以钝外角馀切倂较。为大腰角。馀切检表。得大腰角。倂钝角反减半圜。得小腰角。
钝角求两角。
直角为对知角。所知锐角为对求角。小腰为所知线。推得小腰角中垂线。仍以直角为对知角。所知锐角反减象限。馀为对求角。小腰为所知线。推得分线反减大腰。馀为一率。垂线为二率。半径为三率。推得大腰角正切。检表得大腰角。倂两角反减半圜。得小腰角。
又直角为一率。所知锐角馀弦为二率。小腰为三率。推得小分线。乃以小分线为一率。小分线反减大腰馀为二率。所知锐角馀切为三率。推得大腰馀切。检得大腰角。
又小腰为一率。大腰为二率。所知锐角馀割为三率。推得所知所锐角。与大腰角馀切之和。亦为小腰角。两分角正切之和。乃以所知锐角反减象限馀为分角。检其正切。反减两分角正切之和馀为分角之正切。亦为大腰角之馀切。检表得大腰角。
钝角求两角。
先求中垂线。分作两直角形。乃以大腰乘底又倍之为一率。底羃倂大腰羃内减小腰羃为二率。半径为三率。推得两腰角分角之正弦。即大腰底线之馀弦。检表得大腰底线角。
小腰乘底又倍之为一率。底羃倂小腰羃内减大腰羃为二率。半径为三率。推得两腰角分角之正弦。即大腰底线角之馀弦。检表得大腰底线角。
倂两角反减半圜。得两腰角。
又得一角以两线一角推之。得两角。
又底为一率。大腰倂小腰为二率。两腰相减为三率。推得分线之较反减底线馀折半为小分线。乃以小腰为对知线。小分线为对求线。直角为所知角。推得两腰角分角之正弦。亦为小腰底线角之馀弦。检表得小腰底线角。
又先求中心。至三线垂线倂三线折半内减大腰馀为一率。垂线为二率。半径为三率。推得小腰底线半角之正切。检表得度倍之。得小腰底线角。
倂三线折半内减小腰馀为一率。得大腰底线半角之正切倂三线折半内减底线馀为一率。得两腰半角之正切倂检表倍之。得两角。
八线摠率
[编辑]经曰。圜出于方。方出于矩。矩者勾股也。盖圜弧之势。屡变难测。必方以度之。然后其数可得。其术亦简。割圜八线。乃以直线而配圜弧。同归于勾股。其正弦通弦。互求相消。馀线可得。六宗三要二简诸术。该悉推法。立表精审。检用不渴。良工苦心。嘉惠弘深。今取其成法。为八线摠率。〈凡八线表。取简则以十万为半径。取精则以千万为半径。但务其至精密。合则必以割圜本法。多取小馀。庶无显差。〉
知圜径。求六分三分四分十分五分十五分十八分九分十四分七分圜之各通弦。〈六宗。〉
求六分圜通弦则圜径折半。
求三分圜通弦。则圜径为弦。半径为勾。推股。
求四分圜通弦。则半径自乘。又倍之。开方。
求十分圜通弦。则用连比例首率与两率适等之法。半径为首率求中率。
又半径为股。半径又折半为勾。推得弦内减勾。
求五分圜通弦。则半径为底。仍为一腰。十分圜之通弦。为一腰。求得中垂线倍之。
又半径为股。十分圜之通弦为勾。推弦。
又半径自乘为长方积。半径为长广较。以带纵较数开之。得长。折半为自圜心至通弦之垂线。乃以半径为弦。垂线为股。推勾倍之。
求十五分圜通弦。则半径为弦。五分圜之通弦折半为勾。推得股内减半径之半馀为股。三分圜之通弦内减五分圜之通弦馀折半为勾。推弦。
求十八分圜通弦。则半径为一率。自乘再乘为甲实。半径自乘三因之为甲法。以益实归除法除之。得二率。
求九分圜通弦。则半径为低。仍为一率。十八分圜之通弦为一腰。求得中垂线倍之。
求十四分圜通弦。则半径为一率。自乘再乘为甲实。半径自乘又倍之为甲法。以益实兼减实归除法除之。得二率。
求七分圜通弦。则半径为底。仍为一腰。十四分圜之通弦为一腰。求得中垂线倍之。
知本弧正弦。求本弧馀弦。〈以下三要。〉
本弧正弦为勾。半径为弦。推股。〈亦为馀弧正弦。〉
知本弧正弦馀弦。求倍弧正弦馀弦。
半径为一率。本弧正弦为二率。本弧馀弦为三率。推得四率倍之。得正弦。
本弧正弦自乘半径除之。又倍之反减半径。得馀弦。
知本弧正弦馀弦。求半弧正弦。
正弦为股。馀弦半减半径为勾。推弦折半。
又馀弦反减半径。馀折半以乘半径。平方开之。亦得。
知本弧馀弦。求倍弧馀弦。〈以下新增。〉
馀弦自乘。以半径除之。仍反减半径。又倍之。又反减半径。
知本弧馀弦。求半弧馀弦。
馀弦反减半径。仍折半倂馀弦。又乘半径。平方开之。
知本弧正弦。求三分一弧正弦。
倍正弦为倍弧通弦。以乘半径羃为实。三因半径羃为法。以益实归除法除之折半。
知大小两弧正弦馀弦。求两弧相倂之正弦及两弧相减之正弦。〈以下二简。〉
先以半径为一率。大弧正弦为二率。小弧馀弦为三率。推得四率。再以半径为一率。大弧馀弦为二率。小弧正弦为三率。推得四率。两四率相倂。得相倂弧正弦。两四率相减。得相倂弧正弦。
知六十度外弧及外弧距六十度之正弦。求六十度内距相等弧之正弦。
外弧正弦内减距弧正弦。
知六十度内弧及内弧距六十度之正弦。求六十度外距相等弧之正弦。
内弧正弦倂距弧正弦。
知六十度内外距相等两弧之正弦。求两弦距六十度弧之正弦。
两弧正弦相减。
十弧正弦
[编辑]三十度。五万。
六十度。八万六六〇二〈五四〇三七八四〉。
四十五度。七万〇七〇一〇〈六七八一一八六五〉。
十八度。三万〇九〇一〈六九九四三七四五〉。
三十六度。五万八〇七〇七〇八〈五二五二一九一〉。
十二度。二万〇七〇九〇一〈一六九〇八一七〉。
十度。一万七三六四〈八一七七六六七〉。
二十度。三万四〇二〇二〈〇一四三三二六五〉。
十二度〈五十四分二十五秒半零〉。二万〈二二五二〇九三三九七六五〉。
二十五度〈四十二分五十一秒零〉。四万〈三三八八三七三九一一八〉。
〈得十通弦〉
八弧正弦
[编辑]六十度。八万六千六百空二〈五四〇三七八四〉。
四十五度。七万〇七百一十〇〈六七八一一八六五〉。
三十六度。五万八千七百七十八〈五二五二一九二〉。
三十度。五万。
二十度。三万四千二百〇二〈〇一四三三二六五〉。
一十八度。三万〇九百〇一〈六九九四三七四五〉。
一十二度。二万〇七百九十一〈一六九〇八一七〉。
一十度。一万七千三百六十四〈八一七七六六七〉。
〈得十通弦各半之得各半弧正弦。仍各求其馀弦。次以十二度正弦通求半弧。得六度三度一度三十分四十五分之正弦。又通求其三分之一弧。得十五分五分之两正弦。乃求六十度内外之正弦。次以五分正弦求半弧。得二分三十秒五弦。复求三分之一弧。得弧为一率。五十秒之弦为二率。一分之弧化六十秒为三率。得一分五十秒正弦。乃以五十秒之正弦。复以二简法求之。得每度每分之正弦。乃以一分比例求之。每秒之八线。俱得矣。〉
知正弦求七线。
求馀弦。则半径为弦。正弦为股。
求正矢。则半径减馀弦。
求馀矢。则半径减正弦。
求正切。则正弦乘半径。馀弦除之。
求馀切。则正弦乘半径。正弦除之。
求正割。则半径自乘。馀弦除之。
又本弧之正切。倂馀弧折半之正切。
求馀割。则半径自乘。正弦除之。
又本弧之正切。倂本弧折半之正切。
圜仪率
[编辑]有远求高。
表角反减象限。馀为对知角。表角为对求角。远为所知线。
仍求斜远。则直角为对求角。
又高为勾远为股。推弦。
有远求广。
卧仪与求高。同率。
有深求远。
表角反减象限。馀为对知角。表角为对求角。深为所知线。
有高求远。
表角为对知角。表角反减象限。馀为对求角。高为所知线。
无远求高。
两仪重测。前表度减后表度。馀为对知角。对后表度为对求角。前后仪距为所知线。推得斜远。乃以直角为对知角。前表度为对求角。斜远为所知线。
钝角无远求广。
先求两腰。次求一角。为对知角。钝角外角〈钝角反减半圜。馀为外用。○钝角无八线借用。外角八线比例亦同。〉为对求角。一腰为所知线。
锐角无远求广。
先求两腰。次求一角。为对知角。锐角为对求角。一腰为所知线。
矩仪率方仪率同
[编辑]有远求高。
表在勾。则以表分为小勾。仪分为小股。表在股。则仪分为小勾。表分为小股。并以远为大勾。
有深求远。
仪分为小股。表分为小勾。深为大股。
有远求深。
表分为小勾。仪分为小股。远为大勾。
有远求广。
卧仪测之。仪分为小勾。表分为小股。远为大勾。
无远求高。
退距重测。前后表并在勾。则两表分较为勾。仪分为小股。退距为大勾。并在股则先以小分为一率。仪分为二率。两分较为三率。推得四率。仍为小勾。多分为小股。退距为大勾。
一勾一股。则先以股分为一率。仪分为二率。股馀分为三率。推得四率。倂勾馀则仍为小勾。仪分为小股。退距为大勾。
无远求深。
斜置两仪。以无远求高率。先求斜线。乃以小弦推之。与有远求高同率。
无远求广。
无高求远。
并以层仪重测。与无远求高同率。但换勾股而推之。
平勾股
[编辑]勾二十一尺。股二十八尺。问弦几何。
〈勾股总率。勾股求弦法。倂两羃开方。〉
答曰。三十四尺。
术曰。勾股各自乘倂之。平方开之。(〈股自乘七百八十四尺。勾自乘四百四十一尺。倂之为一千二百二十五尺。以此为实。依平方法推之。得弦长如答。〉)
弦三十五尺。股二十八尺。问勾几何。
〈弦股求勾法。弦羃减股羃开方。〉
答曰。二十一尺。
术曰。弦股各自乘相减。平方开之。(〈弦自乘一千二百二十五尺。内减股自乘七百八十四尺。则馀四百四十一尺。以此为实。依平方法推之。得勾长如答。〉)
弦三十五尺。勾二十一尺。问股几何。
〈弦勾求股法。弦羃减勾羃开方。〉
答曰。二十八尺。
术曰。弦勾各自乘相减。平方开之。(〈弦自乘。一千二百二十五尺。内减勾自乘。四百四十一尺。馀七百八十四尺。以此为实。依平方法推之。得▣长如答。〉)
勾二十尺。股三十尺。问对直角中垂线几何。
〈勾股求对直角中垂线法〉
答曰。一十七尺弱。〈弱者不足也。此为一十六尺而零馀有不尽之数。故统为一尺。合曰十七尺而稍不足也。馀仿此。〉
术曰。勾股相乘弦除之。(〈勾股相乘。得六百尺。以弦三十六尺强为法。用归除法除之。得一十六尺而有零馀不尽之数。故曰一十七尺弱。欲知弦长。则依上勾股求弦法推之。〉)
勾二十尺。股三十尺。中垂线分弦线为二段。问大段小段各几何。
〈弦界垂线所。分二段求大小法。〉
答曰。大段二十五尺弱。
小段一十一尺强。〈强者有馀也。此为一十一尺而零馀不尽之数甚少。故曰十二尺弱而十一尺强。馀仿此。〉
术曰。求大段则股自乘弦除之。(〈自乘得九百尺。以弦三十六尺强为法。归除之。〉)
求小段则勾自乘弦除之。(〈自乘得四百尺。以弦三十六尺强为法。归除之。〉)
勾二十尺。股三十尺。问容方径几何。
〈勾股求容方径法〉
答曰。一十二尺。
术曰。勾股相乘。倂勾股除之。(〈勾股相乘。得六百尺为实。以勾股相倂五十尺为法。归除之。〉)
勾二十尺。股三十尺。问容圜径几何。
〈三线求容圜径法〉
答曰。一十四尺弱。
术曰。倂勾股内减弦。(〈勾股相倂五十尺。内减弦长三十六尺强。则馀一十四尺稍不足。故曰弱。〉)
又勾股相乘。倂三线除之。得圜半径。七尺弱。(〈勾股相乘。得六百尺。以勾股弦三线相倂。八十六尺强为法。归除。得圜之半径尺数。〉)
正勾股勾一十五尺。问股弦各几何。
〈正勾股勾求股弦法。用四率比例。〉
答曰。股二十尺。
弦二十五尺。
术曰。求股则勾三为一率。股四为二率。今勾为三率。〈二率三率相乘得数。以一率除之。得四率二十尺。〉
图式
〈一率。勾三。〉
〈二率。股四。〉
〈三率。今勾二十五尺。〉
〈四率。得股二十尺。〉
〈相乘得六十尺。〉
求弦则弦五为二率。
〈一率。勾三。〉
〈二率。弦五。〉
〈三率。今勾一十五尺。〉
〈四率。得弦二十五尺。〉
〈相乘得七十五尺。〉
又勾三除。今勾得加几倍之比例。
正勾股勾一十五尺。问容方径几何。
〈正句股求容方径法〉
答曰。九尺弱。
术曰。先推股七归三因。〈推得股二十尺为实。以七为法。归除之得二八四。又以三为法。因之得八尺五寸二分。故曰九尺弱。〉
又勾七归四因。〈以句十五尺为实。以七为法。归除之得二一三。又以三为法。因之亦得八尺五寸二分也。〉
正勾股勾一十五尺。问容圜径几何。
〈正句股求容圜径法〉
答曰。一十尺。
术曰。先推股折半。〈推得股二十尺。故折其半为十尺。即容圜径也。〉
又勾三归二因。〈以句十五尺为实。以三为法。归除之得五。又以二为法。因之亦得十尺。〉
方城东南正中设问。出南门三十步。有旗竿一株。出东门七百五十步。见旗竿与城角弦直。问城方几何。〈馀句馀股求容方。〉
〈馀句馀股求容方法〉
答曰。三百步。
术曰。出南门为馀勾。出东门为馀股。相乘开方。为容方径倍之。〈出南门三十步。与出东门七百五十步相乘。得二万二千五百步为实。以平方法开之。得一百五十步。倍之为三百步。即城方也。〉
城方二百步。出东门一十五步。有树一株。问出南门见此树。为步几何。〈容方馀句求馀股〉
〈容方馀句求馀股法〉
答曰。六百六十六步强。
术曰。城方折半为容方自乘。出东门为馀勾除之。为馀股。〈城方折半为一百步。以一百自乘。得一万步为实。以出东门一十五步为法归除。得六百六十六步一分。故曰强。○盖此法与前求容方径法。互相一例。假如出东门一十五步有树。出南门六百六十六步强。见此数。与城角弦直。问城方几何。则当答二百步也。〉
比例勾股
[编辑]旗竿距三十五尺。立短表高三尺。前距三尺。立长表高九尺。自短表头望竿顶。与长表头参直。问竿高几何。〈有远求高。○表竿地平参直。后仿此。〉
〈有远求高法。表距为小句一率。表差为小股二▣。后表远为大句三率。一率小句三尺。二率小股六尺。三率大句三十五尺。四率大股得十七尺。〉
答曰七十尺。〈加三尺短表。高实七十三尺。〉
术曰。两表相距为小勾一率。两表差为小股二率。后表距竿底为大勾三率。推得四率。加短表高。〈后皆仿此。二三率相乘。得二百一十尺。以一率为法归除之。得四率七十尺。乃加短表高三尺。〉
桧树距三十八尺。立表高五尺。退距二尺。人目着地望树顶。与表头参直。问树高几何。
〈同上法。一率小句二尺。二率小股五尺。三率大句三十八尺。四率大股得一百尺。〉
答曰。一百尺。
术曰。退距为小勾一率。表高为小股二率。人目距树底为大勾三率。
测塔远立两表。相距二十尺。前表高五尺。后表高四尺。从后表头望塔顶。与前表头参直。塔高一百二十尺。问后表距塔远几何。〈有高求远〉
〈有高求远法。表差为小股一率。表距为小句二率。高为大股三率。〉
答曰。二千四百尺。
〈一率。小股一尺。〉
〈二率。小句二十尺。〉
〈三率。大股塔高一百二十尺。〉
〈四率。大句得二千四百尺。〉
〈相乘得二千四百尺。以一率单一归除。故四率亦仝此数。〉
术曰。两表差为小股一率。两表距为小勾二率。塔高为大股三率。
测江远水际立表高二尺。退距三十尺。从地平望彼岸顶。与表头参直。岸高八十尺。问江阔远几何。
〈同上法。〉
〈一率。小股表高二尺。〉
〈二率。小句退距三十尺。〉
〈三率。大股岸高八十尺。〉
〈四率。大句江阔一千二百尺。〉
答曰。一千二百尺。〈减三十尺。退距实一千一百七十尺。〉
术曰。表高为小股一率。退距为小勾二率。岸高为大股三率。推得四率减退大。〈后皆仿此。相乘得二千四百尺。依法除之。〉
登城距垛头九尺。望敌阵脚。与垛头参直。垛头距地平深七十五尺。人目比垛头高五寸。问阵脚距城远几何。〈有深求远。〉
〈有深求远法。表差为小股一率。〉
〈表距为小股二率。深为大股三率。〉
答曰。一千三百五十尺。
〈一率。小股目差五寸。〉
〈二率。小句距垛九尺。〉
〈三率。大股地平深七十五尺。〉
〈四率。大句阵脚一千三百五十尺。〉
〈相乘六百七十五尺。〉
术曰。目差为小股一率。目垛距为小勾二率。地平深为大股三率。
海岸深二百三十四尺五寸。从岸上退距三十六尺。有石高一尺三寸。从石头望海外一点孤岛。与岸头参直。问岸岛相距远几何。
〈同上法。一率小股石高一尺三寸。二率小股退距三十六尺。三率大股岸深三百三十四尺五寸。四率大句岛距六千四百九十三尺九寸零。〉
答曰。六千四百九十四尺弱。〈一尺三寸。变作一十三寸。三十六尺。变三百六十〇寸。二百三十四尺五寸。变二千三百四十五寸。得六万四千九百三十九寸。又馀六寸合。为所答之数。〉
术曰。石高为小股一率。退距为小勾二率。岸深为大股三率。〈二三率相乘。得八十四万四千二百寸为实。以一率一十三寸为法归除之。得六千四百九十三尺八寸。而实有馀六寸不尽除。故曰四尺弱。○盖此三率末位为寸。故皆以寸为名。乘除则定位无差别。录于右。〉
井径四尺。退距五寸。立表高四尺五寸。自表头望井底。与井口参直。问井深几何。〈有远求深。〉
〈有远求深法。与有远高求即覆矩也。一率小句退距五寸。二率小股表高四十五寸。三率大股井径四十寸。四率大句井深三百六十寸。〉
答曰。三十六尺。
术曰。退距为小勾一率。表高为小股二率。井径为大勾三率。〈相乘得一千八百寸。如法除之。尺变为寸之说。见上。〉
台上欲测台深。台前庭广一百二十尺。自台上退距二尺。立表高五尺。从表头望庭际。与台边参直。问台深几何。
〈同上。一率小句退距二尺。二率小股表高五尺。三率大句庭广一百二十尺。四率大股台深三百尺。〉
答曰。三百尺。
术曰。退距为小勾一率。表高为小股二率。庭广为大勾三率。〈相乘得六百尺。如法除之。〉
海岸距一点孤岛。平远六千四百九十三尺八寸十三分寸之六。自岸上退距三十六尺。有石高一尺三寸。从石头望岛顶。与岸头参直。问岸头距岛平深几何。
答曰。二百三十五尺。
术曰。退距乘分母为小勾一率。石高为小股二率。岛距通内为大勾三率。
方城远五百尺。卧置矩尺长三十尺。望城东面。与勾线参直。从勾二尺望西隅。与股端参直。问城广几何。〈有远求广。○附有广求远。〉
答曰。七千五百尺。
术曰。退距为小股一率。矩尺长为小勾二率。城远为大股三率。
圜台边距一千六百尺。卧置大矩尺。令股线与台边参直。从股端望台心。与勾六寸参直。问台径几何。
答曰。六十四尺。
术曰。股长为小勾一率。勾长为小股二率。边距为大勾三率。推得四率倍之。
海中有丁戊两岛。岸际立乙丙两表。相距五十四尺。自乙丙表。各退距四十五尺立甲表。自甲表右望丁岛。与乙表参直。左望戊岛。与丙表参直。测得两岛距甲表各二千五百四十五尺。问两岛相距广几何。〈同式锐角。〉
答曰。三千五百四尺。
术曰。甲乙距为一率。乙丙距为二率。甲距两岛为三率。
城下立甲乙丙三表。乙丙两表。与城面平行。从甲表左望东隅。与乙表参直。右望西隅。与丙表参直。甲乙甲丙相距各一十五尺。乙丙相距五百七十尺。甲距东隅一千五百尺。问城广几何。〈同式钝角。〉
答曰。五万七千尺。
术曰。甲乙距为一率。乙丙距为二率。甲距东隅为三率。
平野测山远。山顶与地平参直。立两表。前表高一十五尺。后表高一十七尺。两表相距三百尺。从后表头望山顶。与前表头参直。问前表距山顶远几何。〈无高求远。〉
答曰。二千二百五十尺。
术曰。两表差为小股一率。两表距为小勾二率。前表高为大股三率。
河际立短表高五尺。退距二十八尺。立长表高六尺。自后表头望彼岸水际。与前表头参直。问河远几何。
答曰。一百六十八尺。
术曰。两表差为小股一率。两表距为小勾二率。前表高为大股三率。
携杖野行。遥望片石。与杖头参直。杖长三尺七寸。人目距地三尺七寸五分。距杖头一尺九寸。问石距人远几何。
答曰。一百四十二尺。
术曰。目差为小股一率。目距杖为小勾二率。目距地为大股三率。
坡上测野树斜远。斜立两距尺。相距五十尺。合两勾线。与野参直。从后矩股二十一尺望野树。与前矩二十尺参直。问前矩距野树斜远几何。〈无高求斜远。〉
答曰。一千尺。
术曰。两距差为小股一率。两矩距为小勾二率。前股长为大股三率。
甲乙两峯。与丙山参直。自乙测得甲乙斜远一千尺。平深五尺。〈有地平数十尺。知直矩退距。测其高远。句股求弦为斜远。无地平。则自甲设层矩。以测深远。或施斜线。以两矩尺。直测斜远。亦可。〉乙丙斜远。四万六千尺。问乙丙平深几何。〈无远求深。○附无深求远。〉
答曰。二百三十尺。
术曰。甲乙斜远为小弦一率。平深为小股二率。乙丙斜远为大弦三率。
仍求远则推得甲乙平远。为小勾二率。
又斜远为弦。平深为勾。推股亦得平远。
甲地测山高。不得地平。任择参直上坡乙地。先从乙以层矩。测得矩甲平深六十八尺。平远五十一尺。仍得甲乙斜远八十五尺。山顶距甲斜远二千五百尺。问甲距山顶高几何。
答曰。二千尺。
术曰。甲乙斜远为小弦一率。平深为小股二率。山顶斜远为大弦三率。
仍求远则甲乙平远。为小股二率。
临海立甲表。退距九十尺立乙表。从乙望戊岛。与甲表参直。甲右距六十八尺立丙表。乙右距七十尺立丁表。从丁表望岛。与丙表参直。甲乙两表角幷中距。问岛距前表远几何。〈无广求远。〉
答曰。三千零六十尺。
术曰。甲丙距与乙丁距差为小股一率。甲乙距为小勾二率。甲丙距为大股三率。
城楼望敌兵布成三角阵。锥锐向城。自楼门退距三十三尺。望阵锐角当门正中。与门阈参直。后两角与门楣两角参直。门阈广八尺。距地平高七十五尺。门枨长二尺。人目下距阈三尺。问敌阵距城远。阵中长后面广。锐角两面斜长各几何。〈杂测。〉
答曰。中长一千七百一十六尺。
距城远八百二十五尺。
后面广六百二十四尺。
两面斜长一千七百四十四尺强。
术曰。求远则目下距为小股一率。退距为小勾二率。阈距地为大股三率。
求中长则目下距减枨长为小股一率。退距为小勾二率。枨长并阈距地为大股三率。推得四率内减距城远。
求后面广则退距为一率。阈广折半为小股二率。中长倂距城远。又倂一率为大勾三率。推得四率倍之。
求两面斜长中长为股后面广。折半为勾推弦。
重比例勾股
[编辑]测山高。立两竿相距一百二十尺。前竿退距一十八尺立表。从表头望山顶。与竿头参直。后竿退距二十尺立表。从表头望山顶。与竿头参直。两竿高各三十尺。两表高各一十二尺。问山高几何。〈无远求高。○附无高求远。〉
答曰。一千零八十尺。
术曰。前后竿表距差为小勾一率。竿表差为小股二率。两表距为大勾三率。推得四率加表高。
仍求远则前后竿表距差为小股一率。两表距为小勾二率。前竿表距为大股三率。
隔海测岛。立两长表高三尺。两短表高三寸。从短表头望岛顶。各与长表头参直。前两表相距六十尺。后两表相距六十二尺。两短表相距五百尺。问岛高几何。
答曰。六百七十五尺。
术曰。前后表距差为小勾一率。长短表差为小股二率。两短表距为大勾三率。
仍求远则前后表距差为小股一率。短表距为小勾二率。前两表距为大股三率。
隔江测山。立二表高各五尺。相距一百尺。前表退距二十三尺。后表退距二十七尺。各从地平望山顶。与表头参直。问山高几何。
答曰。一百二十五尺。
术曰。前后退距差为小勾一率。表长为小股二率。两表距为大勾三率。
仍求远则前后退距差为小股一率。两表距为小勾二率。前退距为大股三率。
岸上测壑底深。设层矩尺。从股二尺望壑底。与下勾一尺参直。从上股二尺零五分望壑底。与上勾一尺参直。两矩相距一十尺。问壑底平深几何。〈无远求深。○附无深求远。〉
答曰四百尺。
术曰。上下股差为小股一率。下股长为小勾二率。两矩距为大股三率。
仍求远则上下股差为小勾一率。勾长为小股二率。两矩距倂股差为大勾三率。
甲山测乙山深平。设层矩。从下勾五寸望乙山顶。与下股端参直。从上句望乙山顶。与上股端参直。两矩距二十五尺。问乙山顶平深几何。
答曰。六十八尺弱。
术曰。上下勾差为小股一率。下勾长为小勾二率。两矩距为大股三率。
仍求远则上下勾差为小勾一率。股长为小股二率。两矩距倂句差为大勾三率。
海边欲测岛广。横置两矩尺。相距五百尺。两句线与岛右参直。前矩尺退矩五尺。后矩尺退矩七尺。各从勾线望岛左。各与股端参直。问岛广几何。〈无远求广。○附无广求远。〉
答曰。七千五百三十尺。
术曰。前后退距差为小勾一率。矩尺长为小股二率。两矩距并退距差为大句三率。
仍求远〈自后退距距岛心远〉则前后退距差为小股一率。两矩距并退距差为小勾二率。前矩退距为大股三率。
圜仪
[编辑]旗竿退距五十尺仪。从地平窥竿顶表。在五十七度。问竿高几何。〈以下直角。〉
答曰。七十七尺弱。
术曰。表度反减象限。〈九十度。〉馀三十三度为竿顶对知角度。〈竿顶似竿线及窥表。视线定角度。地平线为竿顶所对而五十尺为所知之线。故曰对知角。〉检表以三十三度正弦为一率。表度为对求角度。〈表角对竿高。竿高为所求之线故曰对求角。〉检表以五十七度正弦为二率。退距为所知线三率。
又半径十万为一率。五十七度正切为二率。退距为三率。
塔高三百二十尺仪。窥塔顶表在二十三度三十五分。问塔距仪远几何。
答曰。七百三十三尺强。
术曰。表度为对知角度。其正弦为一率。表度半减象限。馀为塔顶对求角度。其正弦为二率。塔高为所知线三率。
又半径为一率。表度馀切为二率。塔高为三率。
江岸置仪。下距水平深二百一十尺。窥彼岸水际表在四十三度三十七分。问江阔几何。
答曰。二百尺强。
术曰。表度反减象限。馀为彼岸对知角度。其正弦为一率。表度为对求角度。其正弦为二率。仪距水平深为所知线三率。
仍求斜远。则直角度为对求角度。其正弦为二率。又直角度正弦为一率。表度正割为二率。仪高为三率。
河边先测岛岩顶。斜远八百九十尺二寸二分仪。窥岩顶表在五十一度五十一分。问岛高岛远各几何。
答曰。岛高七百尺强。
岛远五百五十尺弱。
术曰。求高则岛底直角度为对知角度。其正弦为一率。表度为对求角度。其正弦为二率。斜远为所知线三率。
求远则岛底直角度。为对知角度。其正弦为一率。表度反减象限馀三十八度九分。为岛顶对求角度。其正弦为二率。斜远为所知线三率。
又求高则表度正割为一率。正切为二率。斜远为三率。
求远则表度正割为一率。岛底直角度正弦为二率。斜远为三率。
测江阔。两岸为锲。从锲取直角。横量一百五十尺仪。窥两锲表在六十度。问江阔几何。
答曰。二百六十尺弱。
术曰。表度半减象限馀为彼岸对知角度。其正弦为一率。表度为对求角度。其正弦为二率。横量为所知线三率。
又直角度正弦为一率。表度正切为二率。横量为三率。
仍求斜远则直角度正弦为一率。表度正割为二率。横量为三率。
旗杆一株。欲测其高。不知其远仪。从地平窥杆顶。表在五十度。退距一百尺。复从地平窥杆顶表在四十度。问杆高几何。
答曰。二百八十三尺强。
术曰。先以前后表度相减馀为杆顶对知角度。其正弦为一率。后表度为对求角度。其正弦为二率。退距为所知线三率。推得四率。为杆顶距前仪心斜远。乃以杆底直角度。为对知角度。其正弦为一率。前表度为对求角度。其正弦为二率。斜远为所知线三率。
又前后表度两馀切相减馀为一率。直角度正弦为二率。退距为三率。
山上欲测山高。山前平野有两石。与山顶弦直。测两石相距一百八十丈。仪从山顶垂线。窥远石表在四十九度。窥近石表在三十八度。问山高几何。
答曰。四百八十七丈强。
术曰。先以远近表度相减馀为山顶对知角度。其正弦为一率。远表度半减象限馀为对知角度。其正弦为二率。两石相距为三率。推得四率。为近石距山顶斜远。乃以山底直角为对知角度。其正弦为一率。近表度反减象限馀为对求角度。其正弦为二率。斜远为所知线三率。
又远近表度两正切相减馀为一率。直角度正弦为二率。两石相距为三率。
甲乙丙三岛。从乙岛窥甲乙两岛。表在六十度。从丙岛窥甲乙两岛。表在四十六度。乙丙岛相距三百二十尺。问甲丙岛相距。甲乙岛相距。各几何。〈以下锐角。〉
答曰。甲丙距二百八十八尺强。
甲乙距二百三十九尺强。
术曰。求甲丙距。则倂两表度反减半圜馀为甲岛对知角度。其正弦为一率。乙表度为对求角度。其正弦为二率。乙丙距为所知线三率。
求甲乙距。则甲角度为对知角度。其正弦为一率。丙表度为对求角度。其正弦为二率。乙丙距为所知线三率。
又求甲乙距则倂两表度馀切为一率。甲角度馀割为二率。乙丙距为三率。
求甲丙距则倂两表度馀切为一率。两表度馀割为二率。乙丙距为三率。
海上置仪。测甲乙两岛。甲岛远四千尺。乙岛远二千六百一十尺八寸。表角六十度。问甲乙两岛角度及两岛相距各几何。
答曰。甲角四十度。
乙角八十度。
两岛距三千五百一十七尺五寸弦。
术曰。求甲角度。则倂两岛远为一率。两岛远相减为二率。表角度反减半圜馀为外角度折半。其正切为三率。推得四率。为半较角度之正切。检表得度为半较角度。与半外角度相减。
求乙角度。则半较角度。倂半外角度。
求两岛距。则以乙角度为对知角度。其正弦为一率。表角度为对求角度。其正弦为二率。甲岛远为所知线三率。
山上置仪。窥南北两峯表角五十度。南峯距仪五千尺。北峯距仪七千尺。问两峰相距几何。
答曰。五千三百八十五尺强。
术曰。倂两峰远为一率。两峰远相减为二率。表角度半减半圜馀为外角度。折半其正切为三率。推得四率。为半较角度之正切。检表得度反减半外角度馀。为北峯角度。乃以北峯角度。为对知角度。其正弦为一率。表度为对求角度。其正弦为二率。南峯远为所知线三率。
又直角度正弦为一率。表度正弦为二率。南峯远为三率。推得四率。为北峰视线上距南峰垂线。再以直角度正弦为一率。表度馀弦为二率。南峯远为三率。推得四率。为视线上垂线。所分之小边线。反减北峯远馀。为垂线所分之大边线。乃以大边线为勾。垂线为股推弦。
又南峯远为一率。北峯远为二率。表馀度割为三率。推得四率。为南峯角垂线所分两分角度正切之和内减表度馀切馀。为北峯角度之馀切。检表得北峯角度。仍为对知角度。其正弦为一率。表度为对求角度。其正弦为二率。南峯远。为所知线三率。
甲乙丙三树。从乙树窥甲丙两树。表在二十四度。从丙树窥甲乙两树。表在三十六度三十分。乙丙树相距七百二十尺。问甲丙树相距。甲乙树相距。各几何。〈以下锐角。〉
答曰。甲乙距四百九十二尺强。
甲丙距三百三十六尺强。
术曰。求甲乙距。则倂两表度反减半圜馀。为甲岛对知角度。再以甲钝角度反减半圜馀。为钝外角度。〈钝角无正弦以外角正弦为钝角正弦。〉其正弦为一率。丙表度为对求角度。其正弦为二率。乙丙距。为所知线三率。
求甲丙距。则甲外角度为对知角度。其正弦为一率。乙表度为对求角度。其正弦为二率。乙丙距。为所知线三率。
又求甲乙距。则倂两表度馀切为一率。乙表馀割为二率。乙丙距为三率。
求甲丙距则倂两表度馀切为一率。丙表度馀割为二率。乙丙距为三率。
野中置仪。测东西两树。东树远五百四十步。西树远三百六十步。表角一百一十九度三十四分。问东西两树角度。两树相距各几何。
答曰。东树角二十三度三十四分二十秒。
西树角三十六度五十一分四十秒。
两树距七百八十三步弱。
术曰。求东树角度。则倂两树远为一率。两树远相减为二率。表外角度折半。其正切为三率。推得四率。为半较角度之正切。检表得度。为半较角度内减半外角度。
求西树角度。则半较角度倂外角度。
求两树距。则以西树角度为对知角度。其正弦为一率。表外角度为对求角度。其正弦为二率。东树远。为所知线三率。
河边有东西两矶。测隔河人家远置仪。东矶从西矶斜窥人家。表在一百一十度。置仪西矶。从东矶斜窥人家。表在四十度。两矶相距一百二十尺。问人家距东矶远几何。
答曰。一百五十四尺强。
术曰。倂两表度反减半圜馀。为对知角度。其正弦为一率。西表度为对求角度。其正弦为二率。两矶相距。为所知线三率。
又东表外角度之馀切。与西表度之馀切相减馀。为一率。东表外角度之馀割为二率。两矶相距为三率。
山下有左右两麓。欲测山高置仪。左麓斜窥山顶。表在八十六度五十三分置仪。右麓从左麓斜窥山顶。表在七十八度零七分。左麓从地平正测山顶。表在五十一角。两麓相距一千尺。问山高几何。〈以下杂测。〉
答曰。二千九百三十八尺强。
术曰。先倂两斜。窥表度反减半圜馀。为对知角度。其正弦为一率。右表度为对求角度。其正弦为二率。两麓相距为所知线三率。推得四率。为山顶距左麓斜远。乃以山底直角度。为对知角度。其正弦为一率。正测表度为对求角度。其正弦为二率。斜远为所知线三率。
测山高不得地平。先于上坡空取地平仪。窥山顶表在四十度。退距一千尺于下坡。又空取地平仪。窥山顶表在三十五度。因窥上坡仪心。表在一十三度。问山顶距下坡高几何。
答曰。二千九百八十八尺弱。
术曰。先以上下坡表度相减馀。为对知角度。其正弦为一率。上坡表度。减下坡窥上坡仪心表度馀。为对求角度。其正弦为二率。退距为所线三率。推得四率。为山顶距下坡仪心斜远。乃以山底直角度。为对知角度。其正弦为一率。下坡表度为对求角度。其正弦为二率。斜远为所知线三率。
望城置仪。欲测城广仪。距城南隅九百丈。距城比隅一千二百丈。仪从南隅窥北隅。表在一百二十度。问城广几何。
答曰。一千八百二十五丈弱。
术曰。倂两距为一率。两距相减为二率。表半外角度正切为三率。推得四率。为半较角度之正切。检表得度反减半外角度馀。为北隅小角度。乃以小角度为对知角度。其正弦为一率。表外角度为对求角度。其正弦为二率。南距为所知线三率。
又直角度正弦为一率。表外角度正弦为二率。南距为三率。推得四率。为南隅形外垂线。又以直角度正弦为一率。表外角度馀弦为二率。南距为三率。推得四率。为北隅视线引过仪心。与垂线成直角之虚边线。倂北距为北隅视线。倂虚边之总长。乃以总长为股。垂线为勾推弦。
又南距为一率。北距为二率。表外角度馀割为三率。推得四率。为南隅垂线。所成两分角度正切之较。与表外角度馀切相加。为北隅角度之馀切。检表得度。为北隅角度。乃以北隅角度。为对知角度。其正弦为一率。表外角度为对求角度。其正弦为二率。南距为所知线三率。
城楼置仪。测城外两墩楼上。从城线窥右墩。表在九十度。窥左墩表在三十八度。楼左一百三十丈置仪。城上亦从城线窥左墩表在一百一十度。窥右墩表在四十五度。问楼距两墩两墩相距各几何。
答曰。楼距右墩一百三十丈。
楼距左墩二百三十一丈弱。
两墩相距一百九十三丈强。
术曰。求楼距右墩。则城仪右墩表度反减象限馀。即右墩角三视线所成之内分角度为对知角度。其正弦为一率。城仪右墩表度。为对求角度。其正弦为二率。两仪距为所知线三率。
求楼距左墩。则倂两仪左墩表度反减半圜馀。即左墩角三视线所成之内分角度为对知角度。其正弦为一率。城仪左墩表度为对求角度。其外角度正弦为二率。两仪距为所知线三率。
求两墩相距。则倂两墩距楼为一率。两墩距楼相减为二率。楼仪两墩表度相减馀。为楼仪角三视线。所成之外分角度反减半圜馀。为外角度。折半其正切为三率。推得四率。为半较角度之正切。检表得度。反减半外角度馀。即左墩角三视线所成之外分角度为对知角度。其正弦为一率。楼仪外分角度为对求角度。其正弦为二率。楼距右墩为所知线三率。
隔江有双塔。用两仪测之。右仪从左仪。窥南塔表在一百零七度。窥北塔表在四十六度。两塔视线角六十一度。左仪从右仪。窥北塔表在九十九度。窥南塔表在五十度。两塔视线角四十九度。两仪相距一百丈。问两塔距左仪。两塔相距各几何。
答曰。北塔距左仪一百二十五丈强。
南塔距左仪二百四十五丈弱。
两塔相距一百八十八丈强。
术曰。求北塔距左仪。则倂两仪北塔表度反减半圜馀。为对知角度。其正弦为一率。右仪北塔表度为对求角度。其正弦为二率。两仪距为所知线三率。
求南塔距左仪。则倂两仪南塔表度反减半圜馀。为对知角度。其正弦为一率。右仪南塔表度为对求角度。其外角度正弦为二率。两仪距为所知线三率。
求两塔相距。则倂两塔距仪为一率。两塔距仪相减为二率。左仪两塔视线角半外角度正切为三率。推得四率。为半较角度之正切。检表得度反减半外角度馀。即南塔角三视线。所成之外分角度为对知角度。其正弦为一率。左仪两塔视线角度。为对求角度。其正弦为二率。北塔距仪。为所知线三率。
又求两塔相距。则直角度为对知角度。其正弦为一率。左仪两塔视线角度。为对求角度。其正弦为二率。北塔距仪。为所知线三率。推得四率。为左仪南塔视线上距北塔垂线。仍以垂线所分直角度。为对知角度。其正弦为一率。左仪两塔视线角度反减象限馀。为对求角度。其正弦为二率。北塔距仪为三率。推得四率。为左仪距直角之分边小线。反减南塔距仪馀。为南塔距垂线直角之分边大线。乃以大边线为股。垂线为勾推弦。
附方仪
[编辑]测杆高。距三十尺立仪平地。窥杆顶。表在从边线八百分。问杆高几何。
答曰。二十四尺。
术曰。方仪一千分为一率。表分为二率。距远为三率。
测树远。对树立标。自标横取短线。卧仪平地。从对标窥树趾。表在横边线六百分。仪标相距一百五十尺。问树几何。
答曰。二百五十尺。
术曰。表分为一率。仪分为二率。仪表距为三率。
测山高。不知其远。立仪平地。先窥山顶。表在纵边八百分。退距九十尺。再窥山顶。表在纵边六百四十分。问山高几何。〈以下重测。〉
答曰。二百八十八尺。
术曰。前表分为一率。仪分为二率。后表分为三率。推得四率。反减仪分馀为一率。后表分为二率。退距为三率。
测汛台远。不知其高。立仪平地。先窥台顶。表在纵边二百五十分。退距二十五尺。再窥台顶。表在纵边二百四十八分。问杆距前仪几何。
答曰。三千一百零一尺二寸五分。
术曰。前表分为一率。仪分为二率。后表分为三率。推得四率。反减仪分馀为一率。四率为二率。退距为三率。
测石远。卧置两仪。相距一十步。右仪从左仪窥石。表在左横边一十分。左仪从右仪窥石。表在右横边二十分。问石距右仪左仪各几何。
答曰。距右仪三百三十三步强。
距左仪三百三十三步强。
术曰。求距右仪。则倂两表分为一率。表斜分为二率。两仪相距为三率。
求距左仪。则倂两表分为一率。表斜分为二率。两仪相距为三率。
测树远。卧置两仪。相距一十尺。甲仪从乙仪窥树表在左横边九百七十分。乙仪从甲仪窥树表在左横边九百六十五分。问树距甲仪乙仪各几何。
答曰。距甲仪二千七百八十六尺强。
距乙仪二千七百七十九尺强。
术曰。求距右仪。则倂两表分为一率。表斜分为二率。两仪相距为三率。
求距左仪。则倂两表分为一率。表斜分为二率。两仪相距为三率。
测人家远。卧置两仪。相距三百尺。西仪从东仪窥人家。表在右纵边五百四十分。表斜一千一百三十六分零。东仪从西仪线窥人家察表。不取边线。以西表分长为度。察内线分。表在右纵内线六百分。表斜八百零六分零。问人家距西仪东仪各几何。
答曰。距西仪八百五十二尺。
距东仪六百零四尺五寸。
术曰。求距西仪。则东表内线分反减仪分为一率。西表斜为二率。两仪相距为三率。
求距东仪。则东表内线分反减仪分为一率。东表斜为二率。两仪相距为三率。
矩仪
[编辑]测岸高。距仪三十六尺。表在勾三百二十分。问岸高几何。〈有远求高。〉
答曰。一百一十二尺半。
术曰。表分为小勾一率。仪分为小股二率。仪距为大勾三率。
测竿高。距仪八十丈。表在股三百七十分。问竿高几何。
答曰。二十九丈六尺。
术曰。仪分为小勾一率。表分为小股三率。仪距为大勾三率。
测塔高。距仪四十步。表在勾股之交。问塔高几何。
答曰。四十步。
术曰。表在勾股之交者。勾与股等。
测山高。前测表在勾二百四十分。退距三十尺。再测表在勾三百二十分。问山高几何。〈无远求高。〉
答曰。三百七十五尺。
术曰。两表分较为小勾一率。仪分为小股二率。退距为大勾三率。
测云高。前测表在股八百五十分。退距三百步。再测表在股八百分。问云高几何。
答曰。四千八十步。
术曰。少分〈八百分〉为一率。仪分为二率。两分较〈五十分〉为三率。推得四率。〈六十一分半。〉为小勾一率。多分〈八百五十分〉为小股二率。退距为大勾三率。
测岛高。前测表在勾九百八十五分。退距一百五十尺。再测表在股九百九十五分。问岛高几何。
答曰。七千四百九十尺七百九十七分尺之四百七十。
术曰。股分为一率。仪分为二率。股馀分〈股分反减仪分馀五分〉为三率。推得四率。〈五尺九百九十五分分之二十五分下分约之。得一百九十九分分之五。〉倂勾馀分。〈勾分反减仪分馀。一十五分。〉为小勾一率。〈二十分一百九十九分分之五。〉仪分为小股二率。退距为大勾三率。
测岸远。仪在岛上。下距水平六十尺。表在股三百分。问岸远几何。〈有深求远。〉
答曰。二百尺。
术曰。表分为小股一率。仪分为小勾二率。仪高为大股三率。
测井深。平径一十二尺。表在勾五百分。问井深几何。〈有远求深。〉
答曰。二十四尺。
术曰。表分为小勾一率。仪分为小股二率。平径为大勾三率。
测壑深。平径六十尺。表在股九十九尺八分。问壑深几何。
答曰。五十九尺八寸八分。
术曰。仪分为小勾一率。表分为小股二率。平径为大勾三率。
测堡广。仪直北隅。距远九百步。斜测南隅。表在股八百五十分。问堡广几何。〈有远求角。〉
答曰。七百六十五步。
术曰。仪分为小勾一率。表分为小股二率。距远为大勾三率。
又以仪分为股。表分为勾。推得小弦。再以仪分为一率。小弦为二率。距远为三率。推得斜远。乃以小弦为一率。表分为二率。斜远为三率。〈互测而两合。知北隅之为直角。〉
测城广。仪直东隅。距远五百步。斜测西隅。表在勾四百六十分。问城广几何。
答曰。一千零八十六步二十三分步之二十二。
术曰。表分为小句一率。仪分为小股二率。距远为大勾三率。
岸上测江远。不知岸高。设层仪。〈一仪两用亦可。〉使两垂线参直。先从下仪测彼岸。表在股二百分。再从上仪测彼岸。表在股一百八十分。两仪相距一十尺。问江远几何。
答曰。五百尺。
术曰。两表分较为小勾一率。仪分为小股二率。两仪距为大勾三率。
测井深。不知井径。设层仪。先从下仪测井底。表在勾二百零五分。再从上仪测井底。表在勾二百分。两仪相距一十尺。问井深几何。
答曰。八十二尺。
术曰。少分为一率。仪分为二率。两分较为三率。推得四率。为小勾一率。多分为小股。二率两仪。距为大勾三率。
测城广。不知城远。卧置两仪。与城后隅参直。先从前仪。斜测前隅。表在勾九百九十分。再从后仪。斜测前隅。表在股九百八十五分。两仪相距三十步。问城广几何。
答曰。一千一百八十九步四百九十七分步之六十七。
术曰。股分为一率。仪分为二率。股馀分为三率。推得四率。倂句馀分为小股一率。仪分为小勾二率。两仪距为大股三率。
甲地测山高远。不得地平。任择参直。上坡丙地。测得甲丙斜远两地。各因斜线设仪。测得山顶。距甲斜远一千五百尺。乃从甲设仪。定准地平窥山顶。表在四百分。问山顶平高平远各几何。
答曰。山高五百五十七尺强。
山远一千三百九十三尺弱。
术曰。求山高则先以仪分为股。表分为句。推得弦为小弦一率。表分为小股二率。斜远为大弦三率。求山远则仪分为小勾二率。
测两岛相距。先测甲岛远一千步。乙岛远一千二百步。仪从甲岛窥乙岛。表在股二百五十分。问两岛相距几何。〈钝角。〉
答曰。三百三十四步一五六强。
术曰。仪分为股。表分为勾。推得小弦。乃以小弦为一率。表分为二率。乙岛远为三率。推得四率。为甲岛视线。引长之虚线。上距乙岛垂线。再以表分为一率。仪分为二率。垂线为三率。推得四率。为甲岛视线虚线之共长内。减甲岛远馀。为虚线长。乃以虚线为勾。垂线为股推弦。
测两峯相距。先测东峯远一千二百二十步。西峯远一千一百二十步。从东峯窥西峯。表在勾九百九十五分。问两峯相距几何。〈锐角。〉
答曰。九百零三步弱。
术曰。仪分为股。表分为勾。推得小弦。乃以小弦为一率。仪分为二率。西峯远为三率。推得四率。为东峯视线。上距西峯垂线。乃以垂线为三率。表分为二率。仪分为一率。推得四率。为分边大线。反减东峯远馀。为分边小线。乃以小线为勾。垂线为股推弦。