湛轩书/外集卷六

湛轩书
外集卷六
作者：洪大容
1939年

筹解需用

筹解需用外编下

测量说

盖天者万物之祖。日者万物之父。地者万物之母。星月者万物之诸父也。捆缊孕毓。恩莫大焉。呴濡涵育。泽莫厚焉。乃终身戴履而不识天地之体状。是犹终身怙恃而不识父母之年貌。岂可乎哉。若曰天吾知其高且远而已。地吾知其厚且博而已。则是何异于曰父吾知其为男子而已。母吾知其为女子而已者哉。故欲识天地之体状。不可意究。不可以理索。唯制器以窥之。筹数以推之。窥器多制而不出于方圜。推数多术而莫要于勾股。其窥推之序。必先辨方。其次定尺。辨方以量极。定尺以度地。先测地球。次及诸天。凡天地之体状。可得其梗槩矣。

辨方

天运包地。随地异观。在两极下则横运如磨。在赤道下则纵运如轮。在两极赤道之间则斜运如旋倚。盖今中国舟车所通。皆系倚盖之地。姑以中国言之。两极线之在地上者谓之北。在地下者谓之南。虽然。两线在地。移步换迹。本无定形。罗经子午。类多偏向。亦匪真线。故欲测两极之真线。子午之本方。别有其术。安置平案。勿令移动。上立细表。不拘何日。当午前后。审表端晷影。随影作点。日在正午。表影必短。取其极短。因表作线。为南北直线。就线左右。各作垂线。为东西线。

又法案表如上。别以仪器测午前日轨高度。点表影于案。再测午后日轨高度。得与午前等度。又点表影于案。乃联两点为直线。为东西直线。就线正中向表作线。亦为南北直线。

又法案上向北作屡层同心半圈。立表圈心。有午前随表影在圈线者。作点识之。至午后审两点同在一圈者。联作直线。亦为东西真线。

定尺

古今尺度。代各异制。革世之际。散失典度。其势然也。虞夏之用。今不可考。且尺寸长短。本无定度。王者御世。可以随时制用。使天下同律而已。若累黍候灰。必欲求黄锺之尺。则亦过矣。今测量之用。专系尺度。步出于尺。里出于步。西洋旧法。以二百五十里为地球一度。时宪历法。以二百里为地球一度。此非测候之有得失。以尺度之有长短也。故测量之始。必先定尺度。命之曰步天尺。以定地球度里。以定地球径围状。后凡测量之立表定率。七政之大小近远。皆由此而准焉。

定率

筹法之畸零。谓之小馀。凡推测乘除。欲其密合。莫如多取小馀。小馀愈多。差数愈微。愈多愈微。至于无差。但布位既繁。推术渐艰。除匪治历审率争在毫厘。则舍烦取简。刬去小馀。多则陞之。小则弃之。毕竟所得无害于大数。今天地诸测。惟凭古人成数。定其法术。姑显其远大之梗槪而已。则十百盈胸。在所不论。故篇内诸术。专用简率。如径求周则以三一四一五九为率。地半径则以一四三二四为率。数之畸零。只取小馀七位推得数。幷以强弱收之。览者详之。〈径求周。本率以一亿为一率。三亿一四一五九二六五为二率。地半径。以本率推之。为二千五百七十八万三千一百〇尺八寸一分〇三毫四丝〇八忽五微三纤四沙一强。作里。为一万四千三百二十三里九四四八九四六三八〇七四五强。〉

制器

工欲善其事。必先利其器。推步之得失。专系于仪器之利钝。圜中规方中矩。度分均排。巧合无差。庶可适用。其测量之用有四。一曰方圜仪。二曰象限仪。三曰矩仪。四曰矩尺。各有其用。惟方圜仪。实兼诸器之用。方圜仪者。外为半规。内容半方。当方圜之心设游表。因心为径线之垂线。平分半规。为两象限。平分半方。为两小方。方圜之分度。视器大小游表。亦具细分。以方分为度立。以测高卧。以测广倒。以测深器。大者一象限。具九十度五千四百分三十二万四千秒。其次为三万二千四百点二秒为一点。其次为五千四百分。有分而无秒。其次为五百四十点十分为一点。最小者。具九十度而已。方分器大则为万分。其次为千分。最小者。为二三百分。游表两端。各有窥穴设机。安置坠线。以定地平。远近疏密。各有其用。五等具备。乃便推步。

象限仪者。为一圜四分之一。其分度游表诸法。并上仝。

仪大则体钜难成。且不便携运。竟归无用。姑作小仪。每象限具九十度。排锲稍宽。别以木板。▣▣为分秒仪。分仪微曲。秒仪平直。〈本仪半径六十之为分仪半径。则尺寸之长。圈势微曲。分仪之曲。以此为度。本仪半径三千六百之为秒仪半径。则尺寸之间。圈势未茔。故秒仪平直无妨。〉比例本仪。为两仪远。〈本仪一度之宽。六十之为分仪之远。分仪一分之宽。六十之为秒仪之远。〉仪之两端。各以活枢设两耳窥衡。别为曲机。跨仪游移。上设细表。先置本仪。勿令移动。量分仪半径之远。前置分仪。以本仪游表。从一度之宽。游移照望。分仪窥衡。微旋相应。令分仪两端。恰满度内。窥衡两耳。与游表两耳参直。又前置秒仪。从分仪两窥衡。左右照望。秒仪窥衡。亦微旋相应。令秒仪两端恰满分内。然后从本仪游表。随处测之。游移曲机。令两细表参直于本仪表线。则每度之几分几秒俱得矣。〈分秒仪之上下进退。惟在临用通变。惟秒仪稍长而微曲。为三千六百密锲具一度六十分之全秒尤便。〉引而伸之。微纤芒忽。次第可推。

矩仪者。合两矩为一方。一矩当角设表。一规为勾股。各具细分。多小随器。测高勾在上。测深勾在下。测高加仪高。测深减仪高。〈仪小不可测远则别为铜尺。以本仪十分之宽。为其长。内具一千分密锲。窥衡细表。并依分秒仪制。前立表柱。柱端与仪头平直。悬尺于柱。令可上下。仪长百之为柱远。游表望铜尺两端。恰满本仪十分之内。上下测之。考细表以为分。本仪分百之为仪分。〉

矩尺者制同匠尺。大者股三十尺勾三尺。小者股四尺勾三尺。以步天尺为准。并具寸分。

量地

测天必先量地。记里车之所由作也。其制两轮方毂。当轴之中铁篐而圆之环。设十牙。辕上设两横杠。杠上又设两短杠。短杠立柱。各穿三窍。以受三轮之轴。下轮设牙一百二十。以受车轮之牙。轴设六牙。以受中轮之牙。中轮设牙九十。轴牙六。以受上轮之牙。上轮之牙为六十。盖先定尺度。以十尺为车轮之周。下轮一转。得一百二十尺。中轮一转。得一千八百尺。上轮一转。得一万八千尺。是故上轮一转则中轮十转。下轮一百五十转。车轮之转为一千八。并得一十里。中轮并转。车行半里而锺鸣。中轮一转。车行一里而锺闹。上轮半转。车行五里而鼓鸣。上轮一转。车行十里而鼓擂。人在车上。随锺鼓而记之。平野直途。必循子午真线。每五里而立堠。记得数百里。然后以仪器测天以准之。得地球一度之里。得一度之里。则地周地径之里俱得矣。得地球之周径。然后各天之八线。七政之大小远近。无不得矣。

又法。绳量直道距二三十里。亦可得南北度数十分之差。但绳量之际。易有盈缩。分秒之差。尤难细审。终不如车量之精确。

又法。择得数十里真午线。地平设仪测之。得其平远。各因地平测北极。亦得。〈平远异于弧线。但数十里之间。所差无多。〉

又法。测得数十里平远平深。乃以一亿为一率。三亿一四二五九二六五为二率。平远倍之。倂平深三归之为三率。亦得弧远大数。

测北极

测天准地。以北极出地为度。为长方木案。北立两圆柱。上下各横圜架柱架。各施三线。两端有套可以推移。平分柱间。为子午真线。线南设窥穴。〈置仪用仪窍尤妙。〉择近极一星最明钜如句陈大星者。初昏从窥穴望星。在东〈东西上下各随节候〉则引中横线。与右垂线两线。交于星心。夜半星昇而最高。则引中垂线与上横线。两线交于星心。晨晓星降而在西。则引左垂线与中横线。交于星心。凡五线交而为星行之半圈。两中线之交。为星圈之心。即不动之极也。〈北极下测之星极必正圆。其外则圈之上下。渐成有形。〉

乃以象限仪定准坠线。仰当天顶仪之游表。因线南窥穴参直中线之交。得北极距地平度分。

又法。春秋分后八日正午。仪测日心距天顶度分。即得北极高度。〈此因历家定分。以备参互。〉

又法。冬夏至前后。仪测日心距天顶度分。最远为冬至。减二十三度三十分。最近为夏至。加二十三度三十分。并得北极高度。〈两法并有地半径差。〉

测地球_{不由量地测极。但得斜远设仪直测。尤捷。}

不拘方位。择得数十里山顶。平矩正绳。以定地平。各立表竿。以备远望识别。先以步天尺。测其矩远。乃于山顶竿底。倒置矩仪。令仪心平线与远立竿底参直。然后设坠线于仪心。细审坠线之在勾几分。乃以勾分为一率。仪分为二率。两表距远为三率。推得四率。即地半径。

又法。山上先测天际野远。乃以圜仪从坠线。望野际得表度。仍半减象限馀。为地心对知角度。其正弦为一率。表度为对求角度。其正弦为二率。野远为所知线三率。亦得。

又法。以地心角度检表。以其正切为一率。半径一千万为二率。野际远为三率。亦得。

天地经纬度

分天为十二宫。每宫分三十度。每度分六十分。每分分六十秒。其南北纵线交于赤道。谓之经度。近赤道者度分相距渐远。远赤道者度分相距渐近。至于两极则众线合于一点。分界之限。以恒星为准。无星则以某星偏东西几度为限。赤道内外交于子午线。与赤道平行作圈。赤为十二宫三百六十度及六十分秒。谓之纬度。亦谓之距等圈。近赤道者经围渐大。远赤道者经围渐小。至于两极则终于一点。其分界之限。亦以恒星及偏度为准。平分一圜为半圜。四分一圜为象限。六分一圜为纪限。地球分度。亦依天度。以备测候。

地平经差

七曜之测。本于地心。人在地上。设仪测之。所得高远。皆地面之高远。非地心之高远。恒星离地绝远。地心之差。不啻毫厘。在所不论。若七曜则宜有增减以求实距。

地球有三线。一曰地平线。即地球上象限切线。一曰地心线。即切线平行半径之引长线。一曰下地面线。即地球下象限切线。三线各以地半径为距。互为平行。与天顶线。虽并为直角。设仪地上。准以天顶。七曜之在下两线者。皆成钝角。距地远者。其角微钝。距地近者。其角益钝。测候之所当知也。

地测

甲乙两地。为真子午。甲地测得北极出地三十七度。乙地测得北极出地三十六度三十分。记里车从甲地循子午直道至乙地。鼓擂一十二通。锺闹一百二十五次。问地一度里及周径各几何。

答曰。地一度二百五十里。

地周九万里。

地径二万八千六百四十八里弱。

术曰。求一度里。则计鼓擂锺闹。得甲乙弧远倍之。求地周。则置一度里。以三百六十乘之。

求地径。则以周求径率推之。

甲乙两山。为真子午。甲山测北极出地三十六度。乙山测北极出地三十七度。甲乙相距四十五万零四十八尺三寸。问地半径几何。

答曰。一万四千三百二十四里弱。

术曰。甲乙极出地度相减馀。为地心角度。检表其正切为一率。表半径为二率。甲乙距为三率。

甲地测得北极出地三十七度。乙地测得北极出地三十六度。原以时宪尺记里车。计得甲乙弧远二百里。今改以步天尺作车计。得二百五十里。问两尺差几何。

答曰。时宪尺一尺。步天尺一尺二寸五分。

步天尺一尺。时宪尺八寸。

术曰。原里除今里。得时宪尺长。今里除原里。得步天尺长。

海边平沙。横置矩尺。下距水平一尺。前距水际一十尺。退距六百尺。又置矩尺。与前尺平行。从后尺勾线。望岛岩顶。与前尺勾线参直。后股端横距四寸。望岩顶与前股端参直。问岩顶距前尺远几何。

答曰。四万五千尺。

术曰。后股端横距为小股一率。退距为小勾二率。矩长为大股三率。

岛岩顶退距一十尺。测得彼岸水际四万五千尺。乃施斜线〈水际平线为岛顶。顶斜线即地弧差。〉望水际。与岩顶参直。从斜线下一尺。与斜线倒置圜仪。仪心设坠线。线在仪八十九度五十四分。问地半径几何。〈水际远为地球切线。去水面为地球割线。圜外平高。〉

答曰。二千五百七十八万三千一百二十二尺强。

术曰。线度反减象限馀。为对知角度。其正弦为一率。线度为对求角度。其正弦为二率。水际远为所知线三率。

又线度反减象限馀〈六分〉为一率。斜远为二率。六十分为三率。得一度里。以三百六十乘之。得地球周。以周求径率推之。得地全径。〈弦弧切三线。各有其长。但十馀分之内。三线相逼。无甚差别。六分之弦切两线。既同其尺。则弧线之差。不过毫厘。借求不妨。〉

上下两坡各斜立距尺。合两勾线与野边天际参直。先测两矩。相距一千五百尺。上矩股头上矩一尺。望野边与矩股头参直。问下矩角距野边远几何。

答曰。四万五千尺。

术曰。上矩上距为小股一率。两矩距为小勾二率。矩长为大股三率。

坡上测得野边斜远四万五千尺。侧置圜仪。令经线因斜线。游表因垂线。表在仪六分。问地半径几何。

答曰。二千五百七十八万三千五百三十三尺弱。

术曰。表分为地心角度。检表其正切为一率。表半径为二率。斜远为三率。

临海山上。有南北两塔。从南塔底望天际。海面有一点岛岩。从北塔底望岩岛。与南塔底参直。塔高各二百二十五尺。两塔底斜距一千尺。北塔顶上距一尺。望岛岩与南塔顶参直。南塔底从地平。倒置圜仪望岛岩。表在仪三十分。问南塔底岛岩斜远地半径各几何。

答曰。斜远二十二万五千尺。

地半径二千五百七十八万二千三百五十一尺强。

术曰。求斜远则北塔上距为小股一率。两塔斜距为小勾二率。塔高为三率。

求地半径。则以三十分正切为一率。表半径为二率。斜远为三率。

海上有甲乙两峯。从甲峯望天际。海面有一点岛岩。与乙峯参直。乙峯设高架。架上因地平。倒置圜仪窥岛岩。表在仪一度零一十秒。甲峯因地平。倒置圜仪窥岛岩。表在仪一度。仍窥乙架仪心。表在仪一十秒。两仪心斜距一千二百五十尺零七寸。问甲距岛岩斜远地半径。甲平高。甲距岛岩平远平深。各几何。

答曰。斜远四十五万零五十六尺强。

地半径二千五百七十八万三千七百零一尺弱。

平高三千九百二十七尺弱。

平远四十四万九千九百七十九尺弱。

平深三千九百二十七尺弱。

术曰。求斜远则两仪度相减馀。为对知角度。其正弦〈四八五〉为一率。乙表度减甲仪。窥乙仪表度馀。为对求外角度。其正弦〈一七四五二四〉为一率。斜距为所知线三率。

求地半径。则甲角度为对知角度。其正弦〈一七五五二四〉为一率。甲角度半减象限馀。为对求角度。其正弦〈九九九八四七七〉为二率。斜远为所知线三率。

求平高。则表半径为一率。表一度正割为二率。地半径为三率。推得四率。减地半径。

求平远。则表半径为一率。表一度正弦为二率。地半径为三率。

求平深。则表半径为一率。表一度馀弦反减半径〈为正矢〉馀为二率。地径为三率。

甲山平高二里。从垂线侧立圈仪。南窥天际丙山顶。表在仪八十九度。北窥乙山顶。表在仪九十一度零一十秒。乙山从甲山斜线。窥丙山顶。表在仪一度。甲乙斜距一千二百五十尺零七寸。问甲丙相距。远地半径各几何。

答曰。甲丙远四十五万零五十尺强。

地半径二千五百七十八万三千七百一尺强。

术曰。求甲丙远。则甲表度反减象限。又减乙表度馀。为丙山对知角度。其正弦为一率。乙表度为对求角度。其正弦为二率。甲乙斜距为所知线三率。

求地半径。则甲表度反减象限馀。为地心角度。其正切为一率。表半径为二率。甲丙远为三率。

周天三百六十度。每一度当地面二百五十里。问地周几何。

答曰。九万里。

术曰。置周天度以二百五十里乘之。

地球周九万里。问径及体积面积各几何。

答曰。径二万八千六百四十八里弱。

体积一十三万二千二百五十二亿九千七百五十一万九千零九里。

面积二十五亿七千四百七十一万六千六百三十里。

术曰。求径则三十一万四一五九为一率。一十万为二率。地周为三率。

求体积则一十六万为一率。九为二率。径再自乘为三率。

求面积则一十万为一率。五万二二八六五为二率。径自乘六因之为三率。

台上望广野。天际台高二百一十六尺。问自台下平地距天际平深平远各几何。〈正矢○正弦。〉

答曰。平深二百一十六尺弱。

平远一十万零五千五百三十八尺强。

术曰。求平深则台高倂地半径为一率。地半径为二率。台高为三率。

又地半径为一率。台高倂地半径为二率。表半径为三率。推得四率。为表半径。割检表得本弧度正矢。反推之。得地弧度正矢。

求平远则地半径为弦。地半径减平深为股。推得勾。

又推得求弧度正弦。反推之。

海岸高九百尺。从岸顶望天际海面。问岸顶距海面远几何。〈切线。〉

答曰。二十一万五千四百三十一尺强。

术曰。岸高倂地半径为弦。地半径为股。推得勾。

又推得本弧度正切。反推之。

辽阳白塔下直途行一百里。人目着地。望塔顶与地面参切。问塔高几何。〈割线。〉

答曰。六百二十九尺强。

术曰。地弧一度里为一率。直道行里为二率。一度分为三率。推得四率。为直途行地弧分。检表以表半径为一率。表正割为二率。地半径为三率。推得四率。为地弧正割内减地半径。

江岸立望彼岸水际。与水平参切。人目距水平高三尺五寸。问江阔弦几何。〈通弦。〉

答曰。江一万三千四百三十四尺强。

术曰。目距倂地半径为一率。地半径为二率。目距为三率。推得四率。为平深。乃以地半径为弦。地半径减平深为股。推得勾。再以勾为股。平深为勾推弦。

又推得本弧度正矢。为股推弦。

海舶柁楼。望海面暗礁参切。天海人目。距水平高五十四尺。问海面弧远几何。〈弧线。〉

答曰。三十里强。

术曰。先求平远以地半径为一率。平远为二率。表半径为三率。推得四率。为表正弦。检表得本弧度。乃以地弧一度里推之。

一日之一分。统凡行九里。欲令绕地一周。问为日几何。

答曰。六日一十八分日之七。

术曰。地周为实。一日刻分乘行里。得每日行。为法除之。〈一日一千四百四十分。〉

野中切地际望天边。人目距地五尺。问地际距人弧远，平远，平深，斜远，地心线长，下地面线长，两线距人目斜远。各几何。

答曰。地际弧远一万三千六百二十五尺。

平远一万三千六百二十四尺弱。

平深十尺弱。

斜远一万三千六百二十三尺强。

地心线长二十一百六十八万三千三百五十七里强。

斜远二千一百六十八万三千三百六十二里弱。

下地面线长四千三百三十六万六千七百一十里弱。

斜远四千三百三十六万六千七百一十九里强。

术曰。求弧远则地半径为一率。地半径倂目距〈即地球正〉割为二率。表半径为三率。推得四率。为表正。割检表得弧度。乃以地弧一度里推之。

求平远则检表得求弧正弦。乃以表半径为一率。表正弦为二率。地半半径为三率。

求平深则地半径为弦。平远为勾。推得股反减地半径。

求斜远则平远为股。平深为勾推弦。

求地心线长则平深为一率。平远为二率。地半径倂目距为三率。

求斜远则地心线长为股。地半径倂目距为勾推弦。

求下地面线长则平深为一率。平远为二率。地全径倂目距为三率。

求斜远则下地面线长为股。地全径倂目距为勾推弦。

天测_{日月行圈。与地不同心。别有推法。姑以同心为率。}

甲地与乙山顶地平参直。相距二百六十一里四百八十三尺七寸四分。甲地从地平测月心。表在仪七十六度三十六分一十秒零三微。乙山从甲地地平线测月心。表在仪七十六度三十七分一十秒零三微。问月距地心远几何。

答曰。八十八万七千八百四十里弱。

术曰。先以两表度相减馀。〈一分。〉为月心角度。为对知角度。其正弦〈二九〇九〉为一率。乙表度为钝外角度。为对求角度。其正弦〈九百万七二八五四四六〉为二率。甲乙远为所知线三率。推得四率。〈八十七万三千八百六十一里。〉为甲距月斜远。乃以直角度为对知角度。其正弦〈一千万〉为一率。甲表度为对求角度。其正弦〈九百万七二八三二〇六〉为二率。甲月远为所知线三率。推得四率。〈八十五万零一百二十里。〉倂地半径为股。又以直角度为对知角度。其正弦为一率。甲表度反减象限馀。〈一十三度二十三分四十九秒五十七微。〉为对求角度。其正弦〈一三一七〇〇五〉为二率。甲月远为所知线三率。推得四率。〈二十万零二千四百七十四里。〉为勾推弦。

汉阳北极出地三十七度。某月某日。月离于赤道。正当午中置圜仪。从地平测月心。表在仪五十二度二十三分。问月距地心远几何。

答曰。八十一万二千三百四十五里弱。

术曰。极出地度倂表度半减象限馀。〈三十七分。〉为月心角度。为对知角度。其正弦〈一〇七六二七〉为一率。表度反减象限馀。〈三十七度三十七分。〉为甲钝外角度。为对求角度。其正弦〈六一〇三七五六〉为二率。地半径为所知线三率。

月距地心远八十一万二千三百四十五里。月在天顶南三十七度。问月距地面斜远几何。

答曰。八十万零九百五十二里弱。

术曰。地球三十七度正弦为勾。其馀弦反减月距地心远馀。为股推弦。

地上置圜仪。从月心测月弧。表在仪一十六分三十五秒五十九微。月距地面斜远八十万零九百五十二里。问月径围体积各几何。

答曰。径七千七百三十五里弱。

围二万四千三百里强。

体积二千六百零三亿一千七百五十六万九千五百八十六里弱。

视径七千七百三十四里八六。

术曰。求径则直角度为月弧角度。为对知角度。其正弦〈一千万〉为一率。表度为对求角度。其正弦〈四八二八六〉为二率。月距地面斜远。为所知线三率。推得四率倍之。

求围则以径求围率推之。〈一率一十万。二率三十一万四一五九。〉

求体积则以径求体积率推之。

求视径则先以直角度。为对知角度。其正弦为一率。表度反减象限馀。〈八十九度四十三分二十四秒零一微。〉为对求角度。其正弦〈九百万九九九八八三八〉为二率。斜远为所知线三率。推得四率。〈八十万零九百四十二里六九。〉为地面距月弧表。乃以直角度。为对知角度。其正弦为一率。表度为对求角度。其正弦〈四八二八六〉为二率。月弧远为所知线三率。推得四率〈三千八百六十七里四三〉倍之。

地上置圜仪。从天顶测月心。表在仪四十度零九分零五秒一十八微。从月心测月弧。表在仪一十七分三十一秒五十七微。月半径三千八百六十七里半。问月距地心远几何。

答曰。七十六万九千三百三十九里弱。

术曰。先以后测表度为对知角度。其正弦〈五万〇九九九四〉为一率。直角度为对求角度。其正弦〈一千万〉为二率。月半径为所知线三率。推得四率。〈七十五万八千三百四十二里。〉为地面距月心斜远。乃以直角度为对知角度。其正弦为一率。先测表度为对求角度。其正弦〈六四四八一〇六〉为二率。斜远为所知线三率。推得四率〈四十八万八千九百七十七里〉为勾。又以直角度为对知角度。其正弦为一率。先测表度反减象限馀。〈四十九度五十分零五十四秒四十二微。〉为对求角度。其正弦〈七六四三四二四〉为二率。斜远为所知线三率。推得四率。〈五十七万九千六百三十三里。〉倂地半径为股推弦。

甲乙两地为直子午。甲地北极高三十九度五十九分三十秒。乙地北极高二十三度一十分。夏至后八日午正。各置圜仪。从地平测日心。甲表七十三度一十六分零二十三微。乙表八十九度五十三分三十八秒一十二微。问日距地心远几何。

答曰。一千六百十四万四千二百里弱。

术曰。两极高相减馀。〈一十六度四十九分三十秒。〉为地心角度。又折半为半极差。两表度各加半极差。又倂之及减半圜馀。〈五十一秒二十五微。〉为日心角度。为对知角度。其正弦〈二千四九一九〉为一率。乙表度倂半极差反减半圜馀。〈八十一度四十一分三十六秒四十八微。〉为钝外角度。为对求角度。其正弦〈九百万八九五〇九四六〉为二率。地球〈一十六度四十九分三十秒〉通弦。〈四千一里九十一里。〉为所知线三率。推得四率。〈一千六百六十四万二千零五十六里八五。〉为日距甲斜远。乃以斜远为大腰。地半径为小腰。甲表度反减象限馀。〈一十六度四十三分五十九秒三十七微。〉为钝外角度。以夹角率推之。

子地测北极出地三十九度五十九分三十秒。午地测北极出地二十三度一十分。春分后八日午正。各置圜仪。从地平测日心。甲表五十三度零三分三十八秒一十微。乙表六十九度五十三分五十四秒三十七微。问日距地心远几何。

答曰。一千六百三十六万六千一百三十五里强。

术曰。两极出地较〈一十六度四十九分三十秒〉与两表较〈一十六度五十分零一十六秒二十七微〉相减馀。〈四十六秒二十七微。〉为日心角度。为对知角度。其正弦〈二二五二〉为一率。极出地较折半为半极差。倂甲表度。为对求角度。其正弦〈八七八五九三一〉为二率。极出地较为地心角度。其通弦〈二九二五九七七〉为所知线三率。推得四率。〈一一四一五三七八三四三。〉为日距午地远。仍为大腰。表半径〈一千万〉为小腰。乙外角〈二十度零六分零五秒二十三微〉为夹角推之得数。又以表半径为一率。得数为二率。地半径为三率。

日心距天顶九十度。海岸置圜仪。从地平线测日上弧岸。距水平一里。问角度几何。

答曰。〈缺〉

术曰。日距地心远为股。日半径减地半径。又减仪距水平为勾。推得弦为日上弧距仪斜远。乃以斜远为对知线一率。本勾为对求线二率。半径〈即勾股直角〉为所知角。其正弦为三率。推得四率。检表得角度。

日心距天顶九十度。海上侧置圜仪。从垂线测日心仪。距水平一里。问角度几何。

答曰。〈缺〉

术曰。日距地心远为股。地半径倂仪▣为勾。推得弦为日距仪斜远。乃以斜远为对知线一率。本勾为对求线二率。半径〈即地心直角〉为所知角。其正弦为三率。推得四率。检表得日心角度。反减象限馀。为仪角度。凡测日置仪。以距水平一里为度。立仪测上弧。倒仪测心。其角度如上二答。知日距天顶。恰满象限。

日距地心远一千六百三十六万六千一百三十五里。日在天顶南三十七度二十六分一十秒。问日距地面斜远几何。

答曰。一千六百三十五万四千七百六十四里弱。

术曰。地球三十七度二十六分一十秒。正弦为勾。其馀弦反减日距地心远馀。为股推弦。

日距地面远一千六百三十五万四千七百六十四里。地上置圜仪。从日心测日弧。表在仪一十五分一十五秒五十五微。问日径围体积各几何。

答曰。径一十四万五千二百四十五里弱。

围四十五万六千三百一十里强。

体积一千七百二十三万五千五百八十七亿八千一百五十七万六千八百八十三里强。

视径一十四万五千二百四十四里弱。

术曰。求径则直角度为日弧角度。为对知角度。其正弦〈一千万〉为一率。表度为对求角度。其正弦〈四万四四〇四五〉为二率。日距地面远为所知线三率。推得四率倍。

求围则以径求围率推之。

求体积则以径求体积率推之。

求视径则先以直角度为对知角度。其正弦为一率。表度半减象限馀。〈八十九度四十四分四十四秒零五微〉为对求角度。其正弦〈九百万九九九九〇一八〉为二率。斜远为所知线三率。推得四率。〈一千六百三十五万四千六百〇三里三九六。〉为地面距日弧远。乃以直角度为对知角度。其正弦为一率。表度为对求角度。其正弦〈四万四四〇四五〉为二率。日弦远为所知线三率。推得四率〈七万二千六百二十一里七九八六〉倍之。

夏至日距地心远一千六百六十四万四千二百里。问冬至日距地心远几何。

答曰。一千六百零五万八千一百四十八里弱。

术曰。最高定率〈一〇一七九二〇八〉为一率。夏至日距地心远为二率。最卑定率〈九八二〇七九二〉为三率。

甲地测日。距地平高七十三度一十六分零二十三微。日距地心远一千六百六十四万四千二百里。问地半径差及日距地心线真高各几何。

答曰。地半径差五十一秒零六微。

地心线真高七十三度一十六分五十一秒一十九微。

术曰。求地半径差。则日距地心远。为对知线一率。地半径为对求线二率。表度反减象限馀。为所知角度。其正弦为三率。推得地半径差角度之正弦。检表得度。

求真高则表度倂地半径差。

望日夜半。月食于午中。问地面暗虚影中长，平径。月心界平径各几何。〈日月并以中距为率。〉

答曰。地面中长四百万零六千八百五十二里弱。

平径二万八千五百四十六里弱。

月心界平径二万二千八百六十一里弱。

术曰。求地面中长。则日半径减地半径为小股一率。日距地心远为小勾二率。地半径为大勾三率。推得四率。内减地半径。

求地面半径。则中长倂地半径为大勾一率。地半径为大勾二率。中长为小勾三率。推得四率倍之。

求月心界平径。则地面中长倂地半径为大勾一率。地半径为大股二率。中长减月距地面远为小勾三率。推得四率倍之。

朔日午正日食既于甲地。天顶测得日月心。并与地心参直。从甲地周望日界。只见月球。朦胧视线。切月弧旋。成日外晕圈。自甲循地面虚界平线。至乙日始生明望日弧。与月弧参直。至丙生明过半望日心。与月弧参直。至丁望日下弧。与月上弧参直。问日界晕圈径日弧。距晕圈远地面暗虚圈径四地相距平远各几何。

答曰。晕圈径一十五万八千四百九十四里弱。

日弧距晕圈远六千六百二十五里强。

暗虚圈径六百八十里弱。

甲乙平远三百四十里弱。

甲丙平远四千零六十六里弱。

甲丁平远七千七百九十二里弱。

术曰。求晕圈径。则月距地心远内减地半径为小勾一率。月半径为小股二率。日距地心远内减地半径为大勾三率。推得四率倍之。

求日弧距晕圈远。则晕圈半径减月半径。

求暗虚圈径。则日半径减月半径为小股一率。日心距月心远为小勾二率。月半径为大股三率。推得四率。为月心界暗虚中长。仍为大勾一率。月半径为大股二率。月距地心远内减地半径反减中长为小勾三率。推得四率倍之。

求甲乙平远。则暗虚圈径折半。

求甲丙平远。则日心距月心远为小勾一率。月半径为小股二率。日心距地面远为大勾三率。

求甲丁平远。则日心距月心远为小勾一率。日半径倂月半径为小股二率。月心距地面远为大勾三率。推得四率。倂月半径。

晨朝测金星。在天顶东六十度。先从地平。斜置矩尺。股线西偃。与地平线为六十度。角勾线东偃与山顶参直。从股八尺东望金星。与山顶参直。自矩角距山顶斜远一万零五百三十二尺一寸四分。问金星距地心远。距日心远。包日行圈。距地最高最卑。各几何。

答曰。距地心远一千六百三十六万五千八百五十四里弱。

距日心远一千三百三十一万三千一百八十四里弱。

包日行圈八千三百六十四万九千一百三十一里强。

距地最高二千九百六十七万九千零三十八里弱。

距地最卑三百零五万二千六百七十里弱。

术曰。求距地心远。则股分为小勾一率。山顶斜远为小股二率。地球六十度正弦倂一率。为大勾三率。推得四率。倂地球六十度馀弦。

求距日心远。则以表半径为一率。四十八度通弦为二率。星距地心远为三率。〈四十八度即离日度法在水星术曰下。〉

求行圈。则距日心远倍之为三率。以径求围率推之。

求最高。则距地心远倂日心远距。

求最卑。则距地心远减距日心远。

海岸测岛山顶。平远一万七千一百三十八尺四寸九分。平深一十五尺。岸高三十六尺。是日。水星在某星西某宫。与某星相距九十度。仰测某星。过天顶三十四分。〈地半象气差为三十四分。水星实行过地心三十四分。乃准地心。下仿此。〉乃从岸上望水星。与岛顶参直。问水星距地心远。距日心远。包日行圈。距地最高最卑。各几何。

答曰。距地心远一千六百三十六万六千一百三十八里强。

距日心远六百八十万零五千四百二十三里强。

包日行圈四千二百七十五万九千六百九十八里弱。

距地最高二千三百一十七万一千五百六十一里弱。

距地最卑九百五十六万零七百一十五里弱。

术曰。求距地心远。则平深为小股一率。平远为小勾二率。地半径倂岸高为大股三率。

求距日心远。则表半径为一率。二十四度通弦为二率。星远为三率。〈金水二星距日近包日。不包地月。其行圈两交于日圈。今星远与日远等。知星在交圈。查是日日躔宫度及相冲宫度。以象限仪测之。知二星在日东度分。〉

求行圈。则距日心远倍之为三率。以径求围率推之。

求最高。则距地心远倂距日心远。

求最卑。则距地心远减距日心远。

海上有甲乙两山。从甲顶地平。测得乙顶平远。二千八百七十尺零三寸七分。平深一尺五寸。某月某日。测火星在子宫初度一分一秒。是日。月离于卯宫初度一分一秒。甲山候月未及天顶三十四分。乃望星心与乙顶参直。甲顶下距水平高一里。问火星距地心远几何。

答曰。二千七百四十一万二千零三十四里弱。

术曰。平深为小股一率。平远为小勾二率。地半径倂山高为大股三率。

某季春分下弦。在卯正初刻。是日。月离于某宫。木星在某宫。与日相冲。先定地平立两表。相距三里一千六百八十尺。前表长九尺二寸。后表长一十尺。候月过午中三十四分。从后表西望木星。与前表头参直。问木星距地心远几何。

答曰。一亿二千六百七十六万七千四百里。

术曰。表差为小股一率。两表距为小勾二率。地半径倂后表高为大股三率。

海岸西测岛山峯台。平远三十九里一千六百二十七尺。平深五尺。岸高三十尺。是日。土星在某星西。相距九十度。卯测某星过天顶三十四分。乃从岸头望土星。与岛山峯火参直。问土星距地心远几何。

答曰。二亿零五百七十六万九千九百九十里弱。

术曰。平深为小股一率。平远为小勾二率。地半径倂岸高为大股三率。

南方老人星。与北方某星度分相冲。春分日。登汉挐山。山有甲乙两峯。峯顶地平。相参相距一十八里一千三百九十尺。先从山上北望某星。距地平高一度零八分。〈象气差倍数。〉乃从甲峯立表南望。老人星心与乙峯参直。表长三尺。峯距海面高七里。问老人星距地心远几何。

答曰。三亿二千二百七十六万九千九百二十里强。

术曰。表长为小股一率。两表距为小勾二率。地全径倂表长山高为大股三率。推得四率。为下地面距星平远为股。地半径为勾推弦。

一日土星行二分。木星行五分。火星行三十五分。怲星一岁行五十一秒。问各星一周天为岁几何。

答曰。土星三十岁。

木星一十二岁。

火星一岁七分岁之五。

怲星二万五千四百一十一岁强。

术曰。三百六十度以分秒通之〈每度六十分每分六十秒〉为实。以各行分除之作岁。〈三百六十日为一岁。〉

地球一度为二百五十里。问各界行圈及日月围。一度为里几何。

答曰。月界一万四千一百七十八里强。

日界二十八万五千六百四十三里弱。

金星界二十三万二千三百五十九里弱。

水星界一十一万八千七百七十七里弱。

火星界四十七万八千四百三十里弱。

木星界二百二十一万二千五百零七里弱。

土星界三百五十九万一千三百六十一里弱。

镇星界五百六十三万三千三百九十三里强。

月围六十七里半。

日围一千二百六十七里半强。

术曰。地半径为一率。一度里〈二百五十里〉为二率。各界行圈心远为三率。

又置各界圈里。以三百六十〈即度数〉除之。

笼水阁仪器志

统天仪

天体浑圜。经纬纷错。不有器以象之。健行之妙。终不可得见也。唐虞之衡。周髀之笠。远矣无征。中古以来。谭天制器。代有新法。惟求其肖像。盖未之闻。今就浑仪旧制。酌损繁缛。会通西法。创立一仪。名曰统天仪。仪有两层。各以三铁环。纵横相结。幷为健锁。以便收藏。合之为大小两球。分之为半规者十二。其外层之平置者。为地平规。周表二十四位及二十四气日道。建柱四维。承以十字之跗。纵立而结于地平之子午者。为子午规。距地平上下各三十六度为方窍。以受南北极轴。横立而结于地平之卯酉者。为卯酉规。与子午规。上下相结。交地平者。为春分秋分。日道交子午者。为天顶垂线。三环相结。其形正圆。此为六合之匡郭而常不动焉。其内层。三环相结。亦如外层。但环之径广稍杀。就南北交中为圆窍。贯于极轴。其横规。刻周天宿度。是为赤道。轴之南下。贯小圆筒。以隔两层。令居中无碍而不下薄也。此所以为三辰之全机而常运转也。内层之内。别设二规。斜结于赤道。在外者三百六十五牙。上付太阳真象。是为黄道。日规距赤道南北。各二十三度半。在内者一百一十四牙。上付太阴真象。是为白道。月规距赤道南北。各二十八度半。比黄道差五度。缘层环而各设激机。中有游牙。幷有直铁以牵持之。各入于日月规牙。极轴上下。各有机柱。在上者为单牙。在下者为四牙。内层左旋日月之规。随而左旋。激机之下端。遇轴柱而反右。则日月之规。亦随而渐右。内层益旋。机端方脱。则直铁激之。游牙遽左而移规之一牙。日规激于单牙。则日移一牙。月规激于四牙。则日移四牙。内层之外。中北极而设一环。四隅有短柱。亦为键锁。以固结之。为三百五十九牙。外层之北。设木匣高出地平之上。匣上安铜匣。内藏四牙轮。如候锺之制。最下大轮。悬锤而引之。重可十斤。次上之轮。为六十牙。中轴长出匣外。架子午之规。末置小轮。为牙十五。入内层北极之环而牵转之。极轴当中设铁板。与地平平齐。上刻山河摠图。以象地面。地板之外。设一环令可游移。周表时刻。随太阳而考时。铜匣之南。为两圈。分为四刻六十分。以考分刻。上悬小锺。内藏机括。随刻自鸣。

盖六十之轮。四刻而一周。则十五小轮。亦得一周。北极之环。从以左旋而移十五牙。一日十二时而六十之轮二十四周。则十五小轮。亦得二十四周。而北极之环。正移三百六十牙。则内层从以一周而差一牙。此天行之所以过一度也。内层一周而激黄道之牙而日规日退一牙。则一日之日行。恰当三百六十度而不及天为一度也。凡右旋三百六十五日馀而与天会。月规日退四牙。则一日之月行。只为三百五十二度强而不及天为十三度强也。凡右旋二十七日弱而与天会。复行二日强而与日会。此三辰之分度也。

别为大卓。十字之跗。机轮之匣。幷安置其上。静而察之。则经纬之度。交蚀之理。分至短长之晷景。晦朔弦望之九道。可考其大略矣。

浑象仪

积气寥廓。列曜森布。无情无朕。不可得以名状也。乃若三垣五星。二十八宿。三百六十之官。万有一千五百二十之数。参之人事。象以物形。割裂牵合。以占祥眚。吾不知其何说也。惟辰次分然后天可步也。躔度明然后历可治也。昏中定然后时可协也。不有定界。测候何据。此列曜之所以不能无名而所由来久矣。今立一仪。名曰浑象。三环两层。制同统天。糊纸正圆。剖而合之。全覆内层。成一大球也。经纬分度。六等周罗。中外星官。灿然备载。铜丝悬珠。以象日月。银河起没。幷合天象。转而望之。若人之身昇九霄俯临天体也。

赤道之南中南极而设一环。亦为三百五十九牙。外设机轮。以水激之。机轮之制。设一木柜。高出地平。上安水盂。漏觜下垂。南北有柱。幷钻圆窍。内藏一轮。广寸径尺。轴贯两窍。北出柜外。至于牙环。末施八牙。两牙相受。四分轮周。系以水壶。柄长数寸。四壶之轻重大小。远近低昂。务其均齐。两壶之间。各设铁尺。长出壶外。稍锐其端。可以屈伸。一壶受水数勺之后。便欲旋泻。则上有横橛。以拒铁尺。壶水渐多。铁尺渐屈。水满尺脱。壶倾而轮旋。次壶替受。次尺见拒。柜底有盂。以受壶水。傍有曲机。盂水逆行。上有小盂。以受机觜。如是累层。复注于柜上之盂。一盂之水。互相输泻。日添数勺。任其周流。袖手傍观。允是壶中之一天也。

盖机轮有八牙。机轮一转。得环牙八而直二角二分五釐五毫四十五分毫之二十五。二转得环牙十六而直四刻五分一厘一毫四十五分毫之五。三转得环牙二十四而直六刻七分六釐六毫四十五分毫之三十。四转得环牙三十二而直一时零一十分二釐二毫四十五分毫之一十。五转得环牙四十而直一时二刻一十二分七釐七毫四十五分毫之三十五。十转得环牙八十而直二时五刻一十分四釐八毫四十五分毫之二十五。至四十五转。得环牙三百六十而直一十二时一刻一十分零一毫。夫天行。三百六十五日。三时而一周。以时法十二通之。得四千三百八十三时。此期之时数也。以刻法八通之。得三万五千零六十四刻。此期之刻数也。以分法十五通之。得五十二万五千九百六十分。此期之分数也。以釐法十通之。得五百二十五万九千六百釐。此期之釐数也。以毫法十通之。得五千二百五十九万六千毫。此期之毫数也。以毫数除二千一百四十一毫。馀五千二百五十九万三千八百五十九毫为实。以环牙三百五十九为法除之。得一十四万六千五百零一毫。各以时刻分法约之。得十二时一刻十分零一毫。则十二时一刻十分零一毫而牙环差一牙矣。积三百六十五日三时而得牙三百五十九而牙环一周。牙环一周而浑象从而一周矣。其一期既有定数。而浑象一周。有二千一百四十一毫之朒数。则天渐差而西而岁差之所以出也。今以一期之实数五千二百五十九万六千毫为实。以二千一百四十一毫为法除之。得二万四千五百六十六岁二千一百四十一分岁之一百九十四。则凡二万四千五百六十六岁二千一百四十一分岁之一百九十四而经星一周天。大略一岁之差。为五十一秒零而七十岁差一度矣。

测管仪

天有七曜。垂象至著。惟离地绝远。人视有限。所以唐虞之神明。犹待于玑衡之器。勾股之术也。惜其法象失传。测候无据。代有制作。谈说纷如。摠出臆想。小合大差。盖自西法之出而机术之妙深得唐虞遗诀。仪器以瞡之。算数以度之。天地之万象无馀蕴矣。盖知经星之运行。则百岁之间差分可齐。知地体之正圆。则同轨绝域。授时不忒。知列曜之大小高卑。则迟疾分合。常度灿然。古云天子失官。学在四夷。岂不信欤。惟其器数巧密。工费剧繁。下国匹庶。靡力及此。亦尝一到燕都。质于天官。幷瞻台仪。终未得其详。今就旧法。取其简要易办。颇加损益。粗成一器。命之曰测管仪。附以勾股测量之法。海外殊域。用法无间。万岁差分。通变随时。虽不足以度尽三辰。妙合天运。按器瞡影。乘除而推之。隙驷芒忽。可以起懒夫惜阴之心。节气分齐。不患山中之无历。若其恢拓心目。消落世纷。亦或为学人毉俗之一助也。

其制有内外两轮。俱刻三百六十牙。为周天度分。轮各有盘。内盘长齐于轮径。正中直线为赤道。赤道左右板长渐杀而齐于轮。各止于二十三度半。为盘之广。中赤道而施十字横线。盘之左右。依线而贯丝。系于轮牙。平分轮周。左为北极。右为南极。赤道上下。各界板广施两半规为黄道。俱分一百八十度。从赤道左右。每当十五度。各施直线。与赤道平行。以赤道线。为春分秋分。挨次排定。左从于第六行而为夏至。右从于第六行而为冬至。近赤道者。其行渐疏。远赤道者。其行渐密。摠十三行之疏密。为二十四节气线。赤道上下。外应周天度分。每当三度四分度之三。而一点为锲。再以二至线长。别置直线。仍作全径而周为全规。亦分三百六十度。亦每当三度四分度之三。而一点为锲于径线。仍移锲于二至之线。乃以赤道之锲为中点。二至之锲为左右点。依三点同圆之法。各作半规极线。上下各得二十三线。乃以极线为卯正初酉正初。次上一为卯正一酉初三。次下一为卯初三酉正一。幷挨次排定至上下。全周为午正初子正初。近极线者行渐疏而规渐广。远极线者行渐密而规渐曲。摠四十七。行之疏密广曲。为各节气时刻线。正中安轴。以贯外轮盘心。外盘广不过寸阴。上边长齐轮径。平分天度为地平。地平当中上下。各系直线。亦平分轮周。与地平十字交罗者。上为天顶线。下为垂线。垂线左右疏密。直线与垂线平行。外应周天度分。为直应度分。地平左右。立表通窍。与地平参直者为瞡筒。轴末悬锤。垂加于周天度分为坠线。设跗立柱。侧挂柱端。亦为活枢。使游移低昂。以便瞡望。

凡昼观太阳。宵测星宿。专籍瞡筒而准。以外轮之度。运轮对影。仍从垂线数至坠线所加之度。诸曜之高度定矣。

凡诸曜。渐升者为未过午。渐降者为已过午。得其最高。为午之中。立表作线。子午之直线定矣。午线定则赤道高卑。地极出入。次第可定。地极定然后凡节气时刻。晷影之差。经纬之度。可一览而尽矣。

先审本日去某节气为几日。即捡内盘黄道。视所当周天度。即得本日日躔距赤道几度。仍加减以本日最高度分。本地之赤道高度定矣。〈如本日过春分五日。得最高五十五度。捡内盘日躔。距亦道二度。以反减馀五十三度。为本地赤道高度。盖日在赤道无加减。在南则加。在北则减。〉

赤道高度既定。则就九十度内。除赤道高度。南极之入地定矣。南极之入地定。则北极之出地亦定矣。〈赤道当两极之中。南北各九十度。除高度五十三。馀三十七为北极出度。凡两极出入度数本均得入度而出度自定矣。〉

地极出入既定。则以外轮地平线。斜加于内轮。南极上北极下。各如其度。仍从地平南数至本日最高度。本日之为某节气定矣。〈如本日最高七十六度半。恰当于夏至线。即知本日为夏至。〉

因数至各节气线所当之度。各节气最高之度俱定矣。

且捡地平与各节气时刻线相交。各节气日出入时刻定矣。

各节气日出入时刻既定。则察日之出入。幷捡黄道。亦得本日之为某节气。或过某节气几日而各节气昼夜长短。亦定矣。

因视各节气所直外轮。直应度分。各节日出入。赤道南北之纬度定矣。〈如冬夏至日出入距地平卯酉。各三十度强。此专以地极高下为准。地极既异则天顶易次。地平随变。至若国居赤道之下。赤道为天顶。两极为地平。则日出入纬度。同于黄道。极于二十三度半。而通年昼夜皆平。自赤道南北渐远渐广。至两极之下。两极为天顶。赤道为地平。则日出入纬度极于九十度。日行赤道上为昼。日行赤道下为夜。昼夜各占半年。而当期之日。语虽近诞。按仪察之。其理甚确。〉

次从地平两傍。数至目下日高度。分别以直线。隐取两界。与地平平行。交于节气时刻。两线目下。时刻定矣。

夜察宿度。准以日躔。对宫瞡望考度如日法。则昏夜时刻亦定矣。〈如夏至日入戌初一刻三分。即以戌初一刻三分。为宿度出地时刻。倒盘而互求之。〉

夏至〈斗宿一星北四度。〉	冬至〈井宿五星南三度。〉
小暑〈牛宿一星。南五度偏西八度。〉	小寒〈北河三星南六度。〉
大暑〈女宿一星南七度。〉	大寒〈鬼宿四星。〉
立秋〈虚宿一星。南十度偏西四度。〉	立春〈轩辕大星偏西四度。〉
处暑〈壁垒七星。〉	雨水〈轩辕十六星。南一度偏东三度。〉
白露〈壁垒九星。北二度偏西四度。〉	惊蛰〈紫微右执法偏西二度。〉
秋分〈壁宿一星。南十三度。偏东七度。〉	春分〈紫微上相。〉
寒露〈娄宿二星。南八度。偏西六度。〉	清明〈角宿一星北二度。〉
霜降〈胃宿一星。南十二度。偏西一度。〉	谷雨〈亢宿四星。〉
立冬〈昴宿。南四度偏西三度。〉	立夏〈氐宿三星。〉
小雪〈毕宿大星北一度。〉	小满〈心宿中星五度。〉
大雪〈五车五星。南五度。偏东三度。〉	芒种〈天市南海星南七度。〉

坠线合垂线。以望丘陵川谷。与瞡筒齐直者。为天下至平。凡筑障开渠。遥立量竿。次第度之。商功兴事。分寸无差。〈量竿长短无定。惟具分寸黑白相间。以便遥察。更加以瞡筒。去地之高。差分立见。〉

凡内外轮盘。旋转离合。随地制用。推法甚活。姑述其略焉。

勾股仪_附杂法

天地之象。可一言而尽之。曰圆方而已。规以测圆。矩以量方。日月星宿之度。高深广远之数著矣。故曰平矩以正绳。偃矩以望高。覆矩以测深。卧矩以知远。夫矩之于数。其裁制万物。惟所为耳。爰稽古宪。合两矩而为半方。名曰勾股仪。附之仪阴。亦有瞡筒。在侧曰股。在下曰勾。凡两勾两股。皆分十二度。度分十二细度。各为一百四十四分。瞡筒以望之。九数以归之。天地之万象。可坐而致矣。

凡测高。以所测为大股。以仪度至所测股下为大勾。以仪之小勾股。比例以推之。但筒在小勾。以仪度〈十二〉乘大勾。以筒度除之。筒在小股。以筒度乘大勾。以仪度除之。得数幷加仪高。〈如测城高。距三十尺。筒在小勾八度。以仪度乘大勾。三十得三百六十为实。以筒度八为法除之。得四十五尺为城高。○如测竿高。距十五尺。筒在小股十度。以筒度十乘大勾十五。得一百五十为实。以仪度除之。得一十二尺半为竿高。〉

凡筒度有馀分者。通分而乘除之。〈如测塔高。距三十丈。筒在小勾二度十二分度之一。先以仪度通分。得一百四十四。以乘大勾三十。得四千三百二十为实。以筒度通分内子得二十五为法除之。不满法者约之。得一百七十二丈五分丈之四。为塔高。〉

凡测高。不识大勾。以重差测之。先以仪审筒在几度。又或前或却。要取平直。再以仪审筒在几度。先后筒度凡差几度。为筒差。先后立仪。相距几步为表差。以仪度乘表差为实。以筒差为法除之。〈如测敌楼高。初测在勾一度。退三十步。再测在勾十一度。以仪度乘表差三十。得三百六十为实。以筒差一十为法除之。得三十六步为敌楼高。○如测山高。初测在勾初度十二分度之一。退三十步。再测在勾初度十二分度之二。仪度通分。以乘表差三十。得四千三百二十为实。以筒差一为法除之。得四千三百二十步为山高。○距远遥测地平难齐。则以瞡筒平望为虚锲。以识之底高。则更测而减之。底深则更测而加之。〉

凡勾法平行。股法直上。直上之度。逾上逾宽。不可以平度等。故测股得勾。如上法。测股得股。变勾立筭。法以细度。一百四十四为积。以股度除之为勾度。〈如测台高。初测在股九度。退五十步。再测在股四度。以初测股度除细度。得十六。为初测勾度。以再测股度除细度。得三十六。为再测勾度。乃以仪度乘表差五十。得六百为实。以筒差二十为法除之。得三十步为台高。〉

凡先知大股。欲测大勾。是以高量远换度而乘除之。〈如望城测远楼高一百八十三尺。筒在勾十一度。以筒度十一。乘大股一百八十三。得二千零一十三为实。以仪度为法除之。得一百六十七尺四分尺之三。为城远。○如望帆测远竿高。一百三十五尺。筒在股二度。以仪度乘大股一百三十五。得一千六百五十为实。以筒度二为法除之。得八百一十尺为帆远。〉

凡测深者。以所测为大股。以平径为大勾。测之如测高之法。〈如测井深。水径一十二尺筒在勾三度。以仪度乘水径十二。得一百四十四为实。以筒度三为法除之。得四十八尺为井深。○如测壑深。面径五十六步筒在股一十一度。以筒度一十一乘壑径五十六。得六百一十六为实。以仪度为法除之。不满法者约之。得五十一步三分步之一为壑深。〉

凡测远者。先审地平。以所测为大勾。以地平距仪之高为大股。测之如测深之法。〈如在海岛测陆岸。水际仪距水平三百六十五尺。筒在勾一十一度。以筒度乘大股三百六十五。得四千零一十五为实。以仪度为法除之。不满法者约之。得三百三十四尺十二分尺之七为岸远○如立仪。如上筒在勾股之交。即知三百六十五尺为岸远。凡勾股之交。勾与股等。馀仿此○如乘舟望海仪。距水平三十六尺筒在股一度。以仪度乘大股三十六。得四百三十二为实。以筒度一为法除之。得四百三十二尺为海远。○如高岛望海仪。距水平三千六百丈。筒在股初度十二分度之二。仪度通分以乘大股三千六百。得五十一万八千四百为实。以筒度二为法除之。得二十五万九千二百丈为海远。〉

测高诀。〈悬矩测高在大勾。先从筒度定乘除。得勾仪乘筒是法。换推股数术如初。〉

重差诀。〈叠量重差最难解。表远筒高审两差。仪乘表数将筒除。度尽三辰莫驾怪。〉

变法诀。〈重量逢股变为难。细积除来勾度看。两勾相多筒差是。前人立法岂无端。〉

深远诀。〈测远先知大股高。还将面径浅深调。深同高法乘仪度。换用乘除可测遥。〉

附杂法

置镜量高。〈正立对高。置镜于前。必令高影恰射镜心。人目至足为小股。足至镜心为小勾。镜心至所量之足为大勾。以小股乘大勾为实。以小勾为法除之。或用水盂。亦同。〉

两表求高。〈前立长表。后立短表。两表与高三际弦直。两表高差为小股。两表相距为小勾。后表至所求之趾为大勾。乘除如上法。惟加短表之高。〉

四表求高。〈不识大勾。以此求之。先立两表如上法。三际弦直。两表相距为前数。再立两表。三际弦直。两表相距为后数。前后数差。为表勾差。长短表差。为表股差。两短表相距为大勾差。以表股差乘大勾差为实。以表勾差为法除之。更加短表之高。〉

两表求远。〈前立短表。后立长表。两表与远三际弦直。两表高差为小股。两表相距为小勾。长表高为大股。以小股乘大股为实。以小股为法除之。〉

四表求远。〈不识大股。以此求之。先立两表如上法。三际弦直。次于前表。或左或右。立一辅表。必取三表正方中规。又于后表。或左或右。亦立辅表。两辅与远。亦三际弦直。又与原两表正方中规。然后以后表与后辅。相距比于前表。与前辅相距。数必较长。即以较长为大勾差。前后表相距为小股差。前表与前辅相距为小勾差。以小股乘小勾为实。以大勾为法除之。〉

矩尺求远。〈立一表。上覆矩尺。稍仰前端。以射所求。必自矩角三际弦直。次从矩角。回望后端。画地为锲。亦取三际弦直。然后以表高自乘为实。以地锲距表为法除之。〉

短竿量河。〈立表水傍。下锲水平。上加短竿。斜射彼岸。固结表竿。勿令游移。旋向水傍。际其斜射。量其广狭。即得河阔。〉

圭仪铭

列曜显象乾道晣。尺仪施巧躔度别。片石双跗如树槷。全规外晕宿度列。两极平距线中截。二六疏密廿四节。众曲横𬹼晷度设。中线赤立天半裂。日中二分平冷热。金环分割上下切。七政攸衢岁功决。铜规悬斡要中缀。地平当径随颃颉。直应分度如繁缬。双筒平直纳芥穴。照望辰次无暾昳。坠线指地上下彻。因地制宜用不渴。西叟运智匠之哲。一圜浑浑妙奥泄。洗心静观机事绝。薄夫拘胶莫与说。

测候多术在筒影。双窍参直察垂绠。铜规有度四九整。左距垂线曜高炳。升极而降在俄顷。中其升降间丁丙。辨方既真技可逞。摇摇盘针寔土梗。日在黄规殊短永。较以最高赤道耿。反减直角两极倂。平线斜照定人境。捡其日高历候聘。节晷交线合屡省。日道中昃可统领。定时授切征温冷。野分地球异燕郢。日星殊观势下岭。视此直应理渊靓。巧历袖手见坐井。昼日霄星迁时景。有度有线若烛秉。抚辰厉志抱虚警。馀事商切辨丘阱。以御万象精而静。

〈宋太平兴国中蜀人张思训。刱造浑天仪。激水运之。冬则代以水银。〉

〈元祐时韩公廉激水法。侧设枢轮。其轮以七十二辐为三十六洪束。以三辋夹持。受水三十六壶。毂中横贯铁枢。轴一南北出。轴为地毂。运拨地轮。天柱中轮动。机轮动浑象。上动浑天仪。又枢轮左。设天地平水壶。平水壶受天池水注入受水壶。以激枢轮。受水壶落入退水壶。由壶下北窍。引水入昇水下壶。以昇水下轮。运水入昇水上壶。上壶内昇水上轮及河车同转。上下轮运水入天河。天河复流入天地一昼。一夜周而复始。〉

〈直距内。夹置望筒于一筒之半。设间轴附直距上。使运转低昂。筒常指日。日体常在筒窍中。〉

〈昼夜时刻。机轮五重。第一曰天轮。以拨浑象。赤道牙距。第二曰拨牙轮。上安牙距。随天柱中轮转动。以运上下四轮。第三曰。时刻锺鼓轮。上安时初时正百刻拨牙。以和锺击鼓摇铃。第四曰。日时初正司辰轮。上安时初十二司辰。时正十二司辰。第五曰。报刻司辰轮。上百刻司辰。五轮幷贯于一轴上以天束。束之下以铁杵臼承之。〉

〈章宗时尚书张行简制莲花，星丸二漏以进。莲花漏。置禁中。星丸漏。车驾巡行则用之。幷金史▦。〉

律管解

黄锺管长九寸。空围面积九分。问径周及空体积各几何。

答曰。径三分三釐八毫五丝强。

周一寸零六釐三毫五丝弱。

空体积八尺一寸。

术曰。求径则一亿为一率。一亿二七三二三九五四为二率。面积为三率。推得四率。平方开之。

求周则一亿为一率。一十二亿五六六三七〇六二为二率。面积为三率。推得四率。平方开之。

求空体积则管长乘面积。〈下仿此。〉

黄锺管长九寸。三分损一。下生林锺。问管长及空体积各几何。

答曰。管长六寸。

空体积五尺四寸。

术曰。黄锺长三归之。反减原长。

林锺管长六寸。三分益一。上生太簇。问管长及空体积各几何。

答曰。管长八寸。

空体积七尺二寸。

术曰。林锺长三归之。反加原长。

太簇管长八寸。三分损一。下生南吕。问管长及空体积各几何。

答曰。管长五寸三分三釐三分釐之一。

空体积四尺八寸。

术曰。求管长则太簇长三归之。得二寸六分六釐三分釐之二。反减原长。

求体积则管长通分内子乘面积分母。除之。〈下仿此。有畸零者命之。〉

南吕管长五寸三分三釐三分釐之一。三分益一。上生姑洗。问管长及空体积各几何。

答曰。管长七寸一分一厘九分釐之一。

空体积六尺四寸。

术曰。南吕长通分内子为实。分母三因之。除得一寸七分七釐九分釐之七。反加原长。〈今分母为实。分母分子三因之。倂今分子为实。分子多于母则陞之。凡上生仿此。〉

姑洗管长七寸一分一厘九分釐之一。三分损一。下生应锺。问管长及空体积几何。

答曰。管长四寸七分四釐二十七分釐之二。

空体积四寸。

术曰。姑洗长通分内子为实。分母三因之。除得二寸三分七釐二十七分釐之一。反减原长。〈今分母为实。分母退原一里。以实分母通之。倂原分子内减今分子馀。为实分子。子多于母则乘之。凡下生仿此。〉

应锺管长四寸七分四釐二十七分釐之二。三分益一。上生蕤宾。问管长及空体积几何。

答曰。管长六寸三分二釐八十一分釐之八。

空体积五尺六寸八分八釐八十一分釐之七十二。

术曰。应锺长通分内子分母三因之。除得一寸五分八釐八十一分釐之二。反加原长。

蕤宾管长六寸三分二釐八十一分釐之八。三分益一。上生大吕。问管长及空体积各几何。

答曰。管长八寸四分二釐二百四十三分釐之一百九十四。

空体积七尺五寸八分五釐二十七分釐之五。

术曰。蕤宾长通分内子分母三因之。除得二寸一分零二百四十三分釐之一百七十。反加原长。

大吕管长八寸四分二釐二百四十三分釐之一百九十四。三分损一。下生夷则。问管长及空体积各几何。

答曰。管长五寸六分一厘七百二十九分釐之六百三十一。

空体积五尺零五分六釐八十一分釐之六十四。

术曰。大吕长通分内子分母三因之。除得二寸八分零七百二十九分釐之六百八十。反减原长

夷则管长五寸六分一厘七百二十九分釐之六百三十一。三分益一。上生夹锺。问管长及空体积各几何。

答曰。管长七寸四分九釐二千一百八十七分釐之三百三十七。

空体积六尺七寸四分二釐二百四十三分釐之九十四。

术曰。夷则长通分内子分母三因之。除得一十八分七釐二千一百八十七分釐之六百三十一。反加原长。

夹锺管长七寸四分九釐二千一百八十七分釐之三百三十七。三分损一。下生无射。问管长及空体积各几何。

答曰。管长四寸九分九釐六千五百六十一分釐之一千八百六十一。

空体积四尺四寸九分三釐七百二十九分釐之四百零三。

术曰。夹锺长通分内子分母三因之。除得二寸四分九釐六千五百六十一分釐之四千七百一十。反减原长。

无射管长四寸九分九釐六千五百六十一分釐之一千八百六十一。三分益一。上生仲吕。问管长及空体积各几何。

答曰。管长六寸六分五釐一万九千六百八十三分釐之一万四千零五。

空体积五尺九寸九分一厘二千一百八十七分釐之八百八十三。

术曰。无射长通分内子分母三因之。除得一寸六釐一万九千六百八十三分釐之八千四百二十二。反加原长。

变律

仲吕管长六寸六分五釐一万九千六百八十三分釐之一万四千零五。三分益一。上生黄锺。问管长及空体积几何。

答曰。管长八寸八分七里五万九千零四十九分釐之三万六千三百三十七。

空体积七尺九寸八分八釐六千五百六十一分釐之三千五百三十二。

术曰。仲吕长通分内子分母三因之。除得二寸二分一厘五万九千零四十八分釐之五万三千三百七十一。反加原长。

黄锺管长八寸八分七釐五万九千零四十九分釐之三万六千三百三十七。三分损一。下生林锺。问管长及空体积各几何。

答曰。管长五寸九分一厘一十七万七千一百四十七分釐之一十三万二千七百二十三。

空体积五尺三寸二分五釐一万九千六百八十三分釐之一万三千六百二十五。

术曰。黄锺长通分内子分母三因之。除得二寸九分五釐一十七万七千一百四十七分釐之一十五万四千四百三十五。反减原长。

林锺管长五寸九分一厘一十七万七千一百四十七分釐之一十三万一千七百二十三。三分益一。上生太簇。问管长及空体积各几何。

答曰。管长七寸八分八釐五十三万一千四百四十一分釐之五十二万六千八百九十二。

空体积七尺一寸零五万九千零四十九分釐之五万四千五百。

术曰。林锺长通分内子分母三因之。除得一寸九分七釐五十三万一千四百四十一分釐之一十三万一千七百二十三。反加原长。

太簇管长七寸八分八釐五十三万一千四百四十一分釐之五十二万六千八百九十二。三分损一。下生南吕。问管长及空体积各几何。

答曰。管长五寸二分釐之一百五十八万四千三百二十三分釐之一百五十八万五千二百二十五。

空体积四尺七寸三分三釐一十七万七千一百四十七分釐之一十五万八千零四十九。

术曰。太簇长通分内子分母三因之。除得二寸六分二釐一百五十九万四千三百二十三分釐之一百五十八万九千七百七十四。反减原长。

南吕管长五寸二分五釐一百五十九万四千三百二十三分釐之一百五十八万五千二百二十五。三分益一。上生姑洗。问管长及空体积各几何。

答曰。管长七寸零一厘四百七十八万二千九百六十九分釐之一百五十五万七千九百三十一。

空体积六尺三寸一分一厘五十三万一千四百四十一分釐之四十九万五千零四十九。

术曰。南吕长通分内子分母三因之。除得一寸七分五釐四百七十八万二千九百六十九分釐之一百五十八万五千二百二十五。反加原长。

姑洗管长七寸零一厘四百七十八万二千九百六十九分釐之一百五十五万七千九百三十一。三分损一。下生应锺。问管长及空体积各几何。

答曰。管长四寸六分七釐一千四百三十四万八千九百零七分釐之七百八十九万八千八百三十一。

空体积四尺二寸零七釐一百五十九万四千三百二十三分釐之一百五十二万一千五百三十九。

术曰。姑洗长通分内子分母三因之。除得二寸三分三釐一千四百三十四万八千九百零七分釐之一千一百一十二万三千八百六十九。反减原长。

黄锺古今异同之疑

天地犹古也。万物犹古也。而黄锺独不能合于古。何哉。世之论求黄锺者多矣。大槪有三难。一则审声。二则候气。三则絫黍以定律管之长短。若长短莫准则无以候气。候气不情则无以审声。而声则固自在于天地之间。又奚有古今之异也。特今人之聪明不如古耳。

夫人声自具五音。走兽飞禽之鸣。亦皆协律。故牙齿唇舌喉。据人声而言也。如牛鸣窌。如雉鸣木。据禽兽而言也。何必远求于鸿荒。近取诸最易者而可协焉。虽然。人与物。犹局于形也。原有自然之真声。何者。易曰地雷复。又曰雷出地奋豫。先王以作乐。彼阳气孶萌。殷殷其动。七日之复。叶于隔八而又有作乐之象。则求黄锺之真者。得于雷可也。蒙之叟有言曰地籁则众窍是已。人籁则比竹是已。彼大块噫气。其名为风。在谷满谷。在坑满坑。则因比竹而求黄锺者。得于风亦可也。曾子曰。阴阳偏则风。俱则雷。夫黄锺之始。阴消阳升则求之于阴阳之偏。可乎。实为律吕之首。则求之于阴阳之俱感。可乎。此所以审声之为最难也。

且候气之法。今固不如古。而所候之气。古犹今耳。然地势有高下。土性有疏密。则所候者亦随而不同。夫水亦气也。此未落者彼已消矣。草木亦气也。此未雕者彼已谢矣。其气应固有早晩先后。而无论燥湿。只以黄锺九寸为准。则亦岂无此未升而彼已应者耶。虽多截竹伺验于冬至。亦难必其土性之得宜矣。况中国。天下百分之一。且退居赤道之北。则颍川阳城。安见其为天下之中而于此候气能毫忽不爽乎。况尺长则入地深。气可易得。尺短则入地浅。灰难即飞。而隋志云魏杜夔用后汉尺制律尺长。灰不飞者。何欤。此所以候气之为难也。

夫声气之元。既不可遽求。则黄锺之真专。责于絫黍。而古今之不合。惟此为甚。黍固天地间一物也。岂判然于古今。而岁有丰歉。地有腴瘠。产有小大。随而不同。则古人之以黍求律。亦末也。况于千载之后。欲因不齐之死法。以求自然之正声。可乎。兰溪朴氏堧。东方之号称晓律者也。其言曰。历代制律。用黍不一。高下差异。则今日中国与我东。未知熟得真黍。若不合于中国。则姑从权宜。用他黍求协于中国黄锺云。愚谓中国我东之黍未知熟是。则何可强协于中国之黄锺乎。第因我东黄锺。使明于律数者十分精审。于三分损益。亦不害为一国之正音耶。又汉黍近古。隋黍不协。宋黍亦不中之说。窃有可疑。夫古今秬黍之不一。固其然也。而可协之黄锺。至宋不变而尚存耶。温公蜀公何不于此求律而乃欲用必不一之黍。平生不能定是非。有若聚讼者然乎。于此可知古黄锺之至宋无凭也。且以琴弦言之。宫弦八十一丝。丝之粗细。岂异于黍之大小不一耶。若因宫弦求协于古黄锺。则不可以八十一丝为准。而不得不或增或损于其数而用也。然既难得真黄锺。则师旷虽在。亦不过因是而求精于三分损益而已。或曰黄锺正律。姑置勿论。虽至于末之仲吕。若得真品。从以十二损益。岂不得黄锺正声乎。此说近似而由今论之。损益又难。南吕以下之分之际。其能无差乎。假使古律虽未可得。而惟黍得真。亦难定律。阮逸主方积。房庶主圆积。李照用纵黍累尺。胡瑗用横黍累尺。纵则太长。横则太短。而按精义曰。纵黍八十一。当横黍一百九九。絫之则乃生律尺。以十成之则乃生度尺。然则纵黍定律似胜。而不可不九分为寸。盖律分之分。异于度分之分。而李文利，瞿九思辈必断断于十分为寸。何欤。若九十分。以十三乘之。得一千一百七十黍。犹馀三十黍。则一分容黍十三及又三分黍之一。既云三分黍之一。则已非全黍。将何以累积耶。况公孙崇以十二黍为寸。刘芳以十黍为寸者。何欤。此所以絫黍以定长短之为难也。

盖絫黍之法。纵横难定。候气之法。燥湿有异。而气数一降。大雅既不可复回。则亦不得不就今之乐器。以求黄锺之正而已。夫八音之中。金音为首。十二律之中。黄锺为本。当以金音求黄锺。而乐器之中。锺是金属。因十二特编。三分损益。则求得真律。似或可矣。而编锺之制。又有可疑者五。虽曰只求合律。岂无一定之制乎。取见唐乡所造。则或大如盆缸。小如铃铎。于古则岂有是理。此一疑也。按文献通考乐书曰。锺之制。长则缓而远。短则促而近。即此观之。必不准古制而惟意短长。此二疑也。我东之锺制。问于乐师。则谓造出长一样之十六枚。次次刮减其内而求律云。若然则何必尺以量衡以称也。此三疑也。凡锺上曰干。中曰劘。下曰唇。唇之制。或伸直。或外反。或内曲。岂无一定之制乎。此四疑也。三分损益之法。自太簇生南吕。有寸馀除不尽之数。律吕正义云。太簇八寸三分损一而下生南吕。得五寸三分三釐三毫三丝三忽三微三纤有奇。既曰有奇则可知二沙以下有馀弃矣。岂可曰全律乎。亦岂无夺伦之叹乎。此五疑也。若以之分法损益。则恰尽无馀矣。其愈久愈密可知。而或曰锺制铸造。胜于刮差云。盖是称铜铸成。而亦依律管长寸分。损益为制。则虽有长短之不齐。求律则似便矣。尝闻燕中人铸锺。将为黄锺者。及铸成。失之为夹锺矣。铸工曰。若不合者。当用铜锡傅其内。可改其音。乃不从工人之言。刮挫其乳之锐者。乳钝而音改。此摩锺之法也。然则刮之傅之。可以随意。而我东刮差之制。不至甚固陋耶。

今有不差之考准。西洋琴是尔。洋琴之为制。两棵分阴阳也。一统四丝。合四时也。十二弦。象十二月也。三品分排。象三才也。近加二弦。即变宫变征。则十二律四清声。了然于三品。且调弦甚便。相生分明。虽有忽微之小错。辄致散乖而不合。非比他黍之小大。丝之粗细难于均一也。居今之世。欲求正律。舍此琴而奚以哉。盖圆从智率而极精。历自汤法而无差。此无乃智率阳历之创论也。琴制亦在其时耶。必有所评说者矣。蕲闻于博雅之君子。

羽调界面调之异

海东俗乐。有羽调界面调。中国未知亦分调异律。而羽音。即天地间自然声。风雷之响。天水之籁是已。界面律。则俗传外国太子入质于中国。乐操本音。不禁怀土之悲。泪随响流。被面成界。其调哀怨。后人相传调律云。年前闻自然乐则腔操随机转斡。宛然异律。则中国应有羽界之异。

律吕皆隔八上下生。而诸本并以圆图相隔而上下生之义相浑。故以纵数之法开左。

黄锺。大吕。太簇。夹锺。姑洗。仲吕。蕤宾。林锺。𡗝则。南吕。无射。应锺。