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律呂精義/內篇卷二

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內篇卷二

○不取圍徑皆同第五之上

舊律圍徑皆同,而新律各不同。《禮記》《註疏》曰「凡律空圍九分」,《月令章句》曰「圍數無增減」,及《隋志》安豐王等說,皆不足取也,故著此論。論曰:琴瑟不獨徽柱之有遠近,而弦亦有巨細焉;笙竽不獨管孔之有高低,而簧亦有厚薄焉。弦之巨細,若一但以徽柱遠近別之,不可也;簧之厚薄,若一但以管孔高低別之,不可也。譬諸律管,雖有修短之不齊,亦有廣狹之不等。先儒以為,長短雖異,圍徑皆同,此未達之論也。今若不信,以竹或筆管制黃鍾之律一樣二枚,截其一枚,分作兩段;全律半律,各令一人吹之,聲必不相合矣,此昭然可驗也。又製大呂之律一樣二枚,周、徑與黃鍾同,截其一枚,分作兩段;全律半律,各令一人吹之,則亦不相合。而大呂半律,乃與黃鍾全律相合,略差不遠。是知所謂半律者,皆下全律一律矣。大抵管長則氣隘,隘則雖長而反清;管短則氣寬,寬則雖短而反濁。此自然之理,先儒未達也。要之,長短廣狹皆有一定之理,一定之數在焉。置黃鍾倍律九而一,以為外周,用弦求句股術得其內周。又置倍律四十而一,以為內徑,用句股求弦術得其外徑。蓋律管兩端形如環田,有內外周、徑焉。外周內容之方,即內徑也;內周外射之斜,即外徑也。方圓相容,天地之象,理數之妙者也。黃鍾通長八十一分者,外周九分,是為八十一中之九,即約分法九分中之一也。若約黃鍾八十一分作為九寸,則其外周當雲一寸。舊以九十分為黃鍾,而雲空圍九分者,誤也。況又穿鑿,指為麵冪九方分,則誤益甚矣。方圓相容,有圖如左。

新法密率算術:周、徑、冪、積相求。

周求徑者,置周全數,九因,四十除之,所得自乘,倍之為實,開平方法除之,得徑。徑求周者,置徑全數,自乘,半之為實,開平方法除之,所得四十乘之,九歸,得周。周求積者,置周全數,九因,四十除之,所得自乘,倍之為實;徑求積者,置徑全數,自乘為實:二項各又自乘,以一百乘之,一百六十二除之,所得為實,陰平方法除之,得積。積求周、徑者,置積全數,自乘,所得以一百六十二乘之,一百除之為實,開平方法除之,所得副置之:其一折半為實,開平方法除之,所得四十乘之,九歸,得周;其一不須折半,但以開平方法除之,得徑。所謂積者,麵冪平圓積也。以其通長乘之,各得其實積也。

舊法平圓周、徑、積互相求,但係圍三徑一術者,皆疏舛不可用;惟周、徑相乘,四歸得積,及半周半徑相乘得積,二者可用。先求三十六律通常真數

黃鍾倍律通長二尺,容黍二合,稱重二兩,律度量衡無非倍者。此自然全數也,故算法皆從倍律起。若夫正律於度雖足,於量於衡則皆不足,隻容半合,隻重半兩,比諸倍律似非自然全數。故算法不從正律起,亦不從半律起。倍律、正律、半律,各有十二,共為三十六律。

置黃鍾倍律通長二尺為實,以十億乘之,以十億○五千九百四十六萬三千○九十四除之,得一尺八寸八分七厘七毫四絲八忽六微二纖,為大呂。

置大呂倍律通長一尺八寸八分七厘七毫四絲八忽六微二纖為實,以十億乘之,以十億○五千九百四十六萬三千○九十四除之,得一尺七寸八分一厘七毫九絲七忽四微三纖,為太蔟。

置太蔟倍律通長一尺七寸八分一厘七毫九絲七忽四微三纖為實,以十億乘之,以十億○五千九百四十六萬三千○九十四除之,得一尺六寸八分一厘七毫九絲二忽八微三纖,為夾鍾。

置夾鍾倍律通長一尺六寸八分一厘七毫九絲二忽八微三纖為實,以十億乘之,以十億○五千九百四十六萬三千○九十四除之,得一尺五寸八分七厘四毫○一忽○五纖,為姑洗。置姑洗倍律通長一尺五寸八分七厘四毫○一忽○五纖為實,以十億乘之,以十億○五千九百四十六萬三千○九十四除之,得一尺四寸九分八厘三毫○七忽○七纖,為仲呂。

置仲呂倍律通長一尺四寸九分八厘三毫○七忽○七纖為實,以十億乘之,以十億○五千九百四十六萬三千○九十四除之,得一尺四寸一分四厘二毫一絲三忽五微六纖,為蕤賓。置蕤賓倍律通長一尺四寸一分四厘二毫一絲三忽五微六纖為實,以十億乘之,以十億○五千九百四十六萬三千○九十四除之,得一尺三寸三分四厘八毫三絲九忽八微五纖,為林鍾。

置林鍾倍律通長一尺三寸三分四厘八毫三絲九忽八微五纖為實,以十億乘之,以十億○五千九百四十六萬三千○九十四除之,得一尺二寸五分九厘九毫二絲一忽○四纖,為夷則。

置夷則倍律通長一尺二寸五分九厘九毫二絲一忽○四纖為實,以十億乘之,以十億○五千九百四十六萬三千○九十四除之,得一尺一寸八分九厘二毫○七忽一微一纖,為南呂。置南呂倍律通長一尺一寸八分九厘二毫○七忽一微一纖為實,以十億乘之,以十億○五千九百四十六萬三千○九十四除之,得一尺一寸二分二厘四毫六絲二忽○四纖,為無射。置無射倍律通長一尺一寸二分二厘四毫六絲二忽○四纖為實,以十億乘之,以十億○五千九百四十六萬三千○九十四除之,得一尺○五分九厘四毫六絲三忽○九纖,為應鍾。置應鍾倍律通長一尺○五分九厘四毫六絲三忽○九纖為實,以十億乘之,以十億○五千九百四十六萬三千○九十四除之,得一尺,為黃鍾。

置黃鍾正律通長一尺為實,以十億乘之,以十億○五千九百四十六萬三千○九十四除之,得九寸四分三厘八毫七絲四忽三微一纖,為大呂。

置大呂正律通長九寸四分三厘八毫七絲四忽三微一纖為實,以十億乘之,以十億○五千九百四十六萬三千○九十四除之,得八寸九分○八毫九絲八忽七微一纖,為太蔟。

置太蔟正律通長八寸九分○八毫九絲八忽七微一纖為實,以十億乘之,以十億○五千九百四十六萬三千○九十四除之,得八寸四分○八毫九絲六忽四微一纖,為夾鍾。

置夾鍾正律通長八寸四分○八毫九絲六忽四微一纖為實,以十億乘之,以十億○五千九百四十六萬三千○九十四除之,得七寸九分三厘七毫○○五微二纖,為姑洗。

置姑洗正律通長七寸九分三厘七毫○○五微二纖為實,以十億乘之,以十億○五千九百四十六萬三千○九十四除之,得七寸四分九厘一毫五絲三忽五微三纖,為仲呂。

置仲呂正律通長七寸四分九厘一毫五絲三忽五微三纖為實,以十億乘之,以十億○五千九百四十六萬三千○九十四除之,得七寸○七厘一毫○六忽七微八纖,為蕤賓。

置蕤賓正律通長七寸○七厘一毫○六忽七微八纖為實,以十億乘之,以十億○五千九百四十六萬三千○九十四除之,得六寸六分七厘四毫一絲九忽九微二纖,為林鍾。

置林鍾正律通長六寸六分七厘四毫一絲九忽九微二纖為實,以十億乘之,以十億○五千九百四十六萬三千○九十四除之,得六寸二分九厘九毫六絲○五微二纖,為夷則。

置夷則正律通長六寸二分九厘九毫六絲○五微二纖為實,以十億乘之,以十億○五千九百四十六萬三千○九十四除之,得五寸九分四厘六毫○三忽五微五纖,為南呂。

置南呂正律通長五寸九分四厘六毫○三忽五微五纖為實,以十億乘之,以十億○五千九百四十六萬三千○九十四除之,得五寸六分一厘二毫三絲一忽○二纖,為無射。

置無射正律通長五寸六分一厘二毫三絲一忽○二纖為實,以十億乘之,以十億○五千九百四十六萬三千○九十四除之,得五寸二分九厘七毫三絲一忽五微四纖,為應鍾。

置應鍾正律通長五寸二分九厘七毫三絲一忽五微四纖為實,以十億乘之,以十億○五千九百四十六萬三千○九十四除之,得五寸,為黃鍾。

置黃鍾半律通長五寸為實,以十億乘之,以十億○五千九百四十六萬三千○九十四除之,得四寸七分一厘九毫三絲七忽一微五纖,為大呂。

置大呂半律通長四寸七分一厘九毫三絲七忽一微五纖為實,以十億乘之,以十億○五千九百四十六萬三千○九十四除之,得四寸四分五厘四毫四絲九忽三微五纖,為太蔟。

置太蔟半律通長四寸四分五厘四毫四絲九忽三微五纖為實,以十億乘之,以十億○五千九百四十六萬三千○九十四除之,得四寸二分○四毫四絲八忽二微○,為夾鍾。

置夾鍾半律通長四寸二分○四毫四絲八忽二微○為實,以十億乘之,以十億○五千九百四十六萬三千○九十四除之,得三寸九分六厘八毫五絲○二微六纖,為姑洗。

置姑洗半律通長三寸九分六厘八毫五絲○二微六纖為實,以十億乘之,以十億○五千九百四十六萬三千○九十四除之,得三寸七分四厘五毫七絲六忽七微六纖,為仲呂。

置仲呂半律通長三寸七分四厘五毫七絲六忽七微六纖為實,以十億乘之,以十億○五千九百四十六萬三千○九十四除之,得三寸五分三厘五毫五絲三忽三微九纖,為蕤賓。

置蕤賓半律通長三寸五分三厘五毫五絲三忽三微九纖為實,以十億乘之,以十億○五千九百四十六萬三千○九十四除之,得三寸三分三厘七毫○九忽九微六纖,為林鍾。

置林鍾半律通長三寸三分三厘七毫○九忽九微六纖為實,以十億乘之,以十億○五千九百四十六萬三千○九十四除之,得三寸一分四厘九毫八絲○二微六纖,為夷則。

置夷則半律通長三寸一分四厘九毫八絲○二微六纖為實,以十億乘之,以十億○五千九百四十六萬三千○九十四除之,得二寸九分七厘三毫○一忽七微七纖,為南呂。

置南呂半律通長二寸九分七厘三毫○一忽七微七纖為實,以十億乘之,以十億○五千九百四十六萬三千○九十四除之,得二寸八分○六毫一線五忽五微一纖,為無射。

置無射半律通長二寸八分○六毫一絲五忽五微一纖為實,以十億乘之,以十億○五千九百四十六萬三千○九十四除之,得二寸六分四厘八毫六絲五忽七微七纖,為應鍾。

次求三十六律外周真數

先置黃鍾倍律通長二尺為實,九歸得二寸二分二厘二毫二絲二忽二微二纖為其外周。就置所得為實,依後項乘除之。

置黃鍾倍律外周二寸二分二厘二毫二絲二忽二微二纖為實,以十億乘之,以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之,得二寸一分五厘八毫九絲五忽九微八纖,為大呂。

置大呂倍律外周二寸一分五厘八毫九絲五忽九微八纖為實,以十億乘之,以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之,得二寸○九厘七毫四絲九忽八微四纖,為太蔟。

置太蔟倍律外周二寸○九厘七毫四絲九忽八微四纖為實,以十億乘之,以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之,得二寸○三厘七毫七絲八忽六微七纖,為夾鍾。

置夾鍾倍律外周二寸○三厘七毫七絲八忽六微七纖為實,以十億乘之,以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之,得一寸九分七厘九毫七絲七忽四微九纖,為姑洗。

置姑洗倍律外周一寸九分七厘九毫七絲七忽四微九纖為實,以十億乘之,以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之,得一寸九分二厘三毫四絲一忽四微五纖,為仲呂。

置仲呂倍律外周一寸九分二厘三毫四絲一忽四微五纖為實,以十億乘之,以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之,得一寸八分六厘八毫六絲五忽八微七纖,為蕤賓。

置蕤賓倍律外周一寸八分六厘八毫六絲五忽八微七纖為實,以十億乘之,以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之,得一寸八分一厘五毫四絲六忽一微六纖,為林鍾。

置林鍾倍律外周一寸八分一厘五毫四絲六忽一微六纖為實,以十億乘之,以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之,得一寸七分六厘三毫七絲七忽八微九纖,為夷則。

置夷則倍律外周一寸七分六厘三毫七絲七忽八微九纖為實,以十億乘之,以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之,得一寸七分一厘三毫五絲六忽七微五纖,為南呂。

置南呂倍律外周一寸七分一厘三毫五絲六忽七微五纖為實,以十億乘之,以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之,得一寸六分六厘四毫七絲八忽五微六纖,為無射。

置無射倍律外周一寸六分六厘四毫七絲八忽五微六纖為實,以十億乘之,以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之,得一寸六分一厘七毫三絲九忽二微四纖,為應鍾。

置應鍾倍律外周一寸六分一厘七毫三絲九忽二微四纖為實,以十億乘之,以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之,得一寸五分七厘一毫三絲四忽八微四纖,為黃鍾。

置黃鍾正律外周一寸五分七厘一毫三絲四忽八微四纖為實,以十億乘之,以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之,得一寸五分二厘六毫六絲一忽五微一纖,為大呂。

置大呂正律外周一寸五分二厘六毫六絲一忽五微一纖為實,以十億乘之,以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之,得一寸四分八厘三毫一絲五忽五微三纖,為太蔟。

置太蔟正律外周一寸四分八厘三毫一絲五忽五微三纖為實,以十億乘之,以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之,得一寸四分四厘○九絲三忽二微八纖,為夾鍾。

置夾鍾正律外周一寸四分四厘○九絲三忽二微八纖為實,以十億乘之,以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之,得一寸三分九厘九毫九絲一忽二微二纖,為姑洗。

置姑洗正律外周一寸三分九厘九毫九絲一忽二微二纖為實,以十億乘之,以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之,得一寸三分六厘○○五忽九微四纖,為仲呂。

置仲呂正律外周一寸三分六厘○○五忽九微四纖為實,以十億乘之,以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之,得一寸三分二厘一毫三絲四忽一微二纖,為蕤賓。

置蕤賓正律外周一寸三分二厘一毫三絲四忽一微二纖為實,以十億乘之,以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之,得一寸二分八厘三毫七絲二忽五微二纖,為林鍾。

置林鍾正律外周一寸二分八厘三毫七絲二忽五微二纖為實,以十億乘之,以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之,得一寸二分四厘七毫一絲八忽○○,為夷則。

置夷則正律外周一寸二分四厘七毫一絲八忽○○為實,以十億乘之,以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之,得一寸二分一釐一毫六絲七忽五微二纖,為南呂。

置南呂正律外周一寸二分一釐一毫六絲七忽五微二纖為實,以十億乘之,以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之,得一寸一分七厘七毫一絲八忽一微二纖,為無射。

置無射正律外周一寸一分七厘七毫一絲八忽一微二纖為實,以十億乘之,以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之,得一寸一分四厘三毫六絲六忽九微一纖,為應鍾。

置應鍾正律外周一寸一分四厘三毫六絲六忽九微一纖為實,以十億乘之,以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之,得一寸一分一釐一毫一絲一忽一微一纖,為黃鍾。

置黃鍾半律外周一寸一分一釐一毫一絲一忽一微一纖為實,以十億乘之,以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之,得一寸○七厘九毫四絲七忽九微九纖,為大呂。

置大呂半律外周一寸○七厘九毫四絲七忽九微九纖為實,以十億乘之,以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之,得一寸○四厘八毫七絲四忽九微二纖,為太蔟。

置太蔟半律外周一寸○四厘八毫七絲四忽九微二纖為實,以十億乘之,以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之,得一寸○一厘八毫八絲九忽三微三纖,為夾鍾。

置夾鍾半律外周一寸○一厘八毫八絲九忽三微三纖為實,以十億乘之,以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之,得九分八厘九毫八絲八忽七微四纖,為姑洗。

置姑洗半律外周九分八厘九毫八絲八忽七微四纖為實,以十億乘之,以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之,得九分六厘一毫七絲○七微二纖,為仲呂。

置仲呂半律外周九分六厘一毫七絲○七微二纖為實,以十億乘之,以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之,得九分三厘四毫三絲二忽九微三纖,為蕤賓。

置蕤賓半律外周九分三厘四毫三絲二忽九微三纖為實,以十億乘之,以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之,得九分○七毫七絲三忽○八纖,為林鍾。

置林鍾半律外周九分○七毫七絲三忽○八纖為實,以十億乘之,以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之,得八分八厘一毫八絲八忽九微四纖,為夷則。

置夷則半律外周八分八厘一毫八絲八忽九微四纖為實,以十億乘之,以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之,得八分五厘六毫七絲八忽三微七纖,為南呂。

置南呂半律外周八分五厘六毫七絲八忽三微七纖為實,以十億乘之,以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之,得八分三厘二毫三絲九忽二微八纖,為無射。

置無射半律外周八分三厘二毫三絲九忽二微八纖為實,以十億乘之,以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之,得八分○八毫六絲九忽六微二纖,為應鍾。

次求三十六律外徑真數

周求徑術:置黃鍾倍律外周二寸二分二厘二毫二絲二忽二微二纖,九因得二尺,以四十除之,得五分,自乘得二十五分,加倍得五十分為實,開平方法除之,得七分○七毫一絲○六微七纖,是為外徑。就置所得為實,依後項乘除之。

徑求周術:置黃鍾倍律外徑七分○七毫一絲○六微七纖,自乘得五十分,折半得二十五分為實,開平方法除之,得五分,以四十乘之,得二尺,九歸,得二寸二分二厘二毫二絲二忽二微二纖,是為外周。周、徑互相求,即還原法也。

置黃鍾倍律外徑七分○七毫一絲○六微七纖為實,以十億乘之,以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之,得六分八厘六毫九絲七忽六微八纖,為大呂。

置大呂倍律外徑六分八厘六毫九絲七忽六微八纖為實,以十億乘之,以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之,得六分六厘七毫四絲一忽九微九纖,為太蔟。

置太蔟倍律外徑六分六厘七毫四絲一忽九微九纖為實,以十億乘之,以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之,得六分四厘八毫四絲一忽九微七纖,為夾鍾。

置夾鍾倍律外徑六分四厘八毫四絲一忽九微七纖為實,以十億乘之,以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之,得六分二厘九毫九絲六忽○五纖,為姑洗。

置姑洗倍律外徑六分二厘九毫九絲六忽○五纖為實,以十億乘之,以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之,得六分一厘二毫○二忽六微七纖,為仲呂。

置仲呂倍律外徑六分一厘二毫○二忽六微七纖為實,以十億乘之,以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之,得五分九厘四毫六絲○三微五纖,為蕤賓。

置蕤賓倍律外徑五分九厘四毫六絲○三微五纖為實,以十億乘之,以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之,得五分七厘七毫六絲七忽六微三纖,為林鍾。

置林鍾倍律外徑五分七厘七毫六絲七忽六微三纖為實,以十億乘之,以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之,得五分六厘一毫二絲三忽一微○,為夷則。

置夷則倍律外徑五分六厘一毫二絲三忽一微○為實,以十億乘之,以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之,得五分四厘五毫二絲五忽三微八纖,為南呂。

置南呂倍律外徑五分四厘五毫二絲五忽三微八纖為實,以十億乘之,以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之,得五分二厘九毫七絲三忽一微五纖,為無射。

置無射倍律外徑五分二厘九毫七絲三忽一微五纖為實,以十億乘之,以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之,得五分一厘四毫六絲五忽一微一纖,為應鍾。

置應鍾倍律外徑五分一厘四毫六絲五忽一微一纖為實,以十億乘之,以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之,得五分,為黃鍾。

置黃鍾正律外徑五分為實,以十億乘之,以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之,得四分八厘五毫七絲六忽五微九纖,為大呂。

置大呂正律外徑四分八厘五毫七絲六忽五微九纖為實,以十億乘之,以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之,得四分七厘一毫九絲三忽七微一纖,為太蔟。

置太蔟正律外徑四分七厘一毫九絲三忽七微一纖為實,以十億乘之,以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之,得四分五厘八毫五絲○二微○,為夾鍾。

置夾鍾正律外徑四分五厘八毫五絲○二微○為實,以十億乘之,以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之,得四分四厘五毫四絲四忽九微三纖,為姑洗。

置姑洗正律外徑四分四厘五毫四絲四忽九微三纖為實,以十億乘之,以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之,得四分三厘二毫七絲六忽八微二纖,為仲呂。

置仲呂正律外徑四分三厘二毫七絲六忽八微二纖為實,以十億乘之,以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之,得四分二厘○四絲四忽八微二纖,為蕤賓。

置蕤賓正律外徑四分二厘○四絲四忽八微二纖為實,以十億乘之,以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之,得四分○八毫四絲七忽八微八纖,為林鍾。

置林鍾正律外徑四分○八毫四絲七忽八微八纖為實,以十億乘之,以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之,得三分九厘六毫八絲五忽○二纖,為夷則。

置夷則正律外徑三分九厘六毫八絲五忽○二纖為實,以十億乘之,以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之,得三分八厘五毫五絲五忽二微七纖,為南呂。

置南呂正律外徑三分八厘五毫五絲五忽二微七纖為實,以十億乘之,以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之,得三分七厘四毫五絲七忽六微七纖,為無射。

置無射正律外徑三分七厘四毫五絲七忽六微七纖為實,以十億乘之,以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之,得三分六厘三毫九絲一忽三微二纖,為應鍾。

置應鍾正律外徑三分六厘三毫九絲一忽三微二纖為實,以十億乘之,以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之,得三分五厘三毫五絲五忽三微三纖,為黃鍾。

置黃鍾半律外徑三分五厘三毫五絲五忽三微三纖為實,以十億乘之,以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之,得三分四厘三毫四絲八忽八微四纖,為大呂。

置大呂半律外徑三分四厘三毫四絲八忽八微四纖為實,以十億乘之,以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之,得三分三厘三毫七絲○九微九纖,為太蔟。

置太蔟半律外徑三分三厘三毫七絲○九微九纖為實,以十億乘之,以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之,得三分二厘四毫二絲○九微八纖,為夾鍾。

置夾鍾半律外徑三分二厘四毫二絲○九微八纖為實,以十億乘之,以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之,得三分一厘四毫九絲八忽○二纖,為姑洗。

置姑洗半律外徑三分一厘四毫九線八忽○二纖為實,以十億乘之,以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之,得三分○六毫○一忽三微三纖,為仲呂。

置仲呂半律外徑三分○六毫○一忽三微三纖為實,以十億乘之,以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之,得二分九厘七毫三絲○一微七纖,為蕤賓。

置蕤賓半律外徑二分九厘七毫三絲○一微七纖為實,以十億乘之,以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之,得二分八厘八毫八絲三忽八微一纖,為林鍾。

置林鍾半律外徑二分八厘八毫八絲三忽八微一纖為實,以十億乘之,以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之,得二分八厘○六絲一忽五微五纖,為夷則。

置夷則半律外徑二分八厘○六絲一忽五微五纖為實,以十億乘之,以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之,得二分七厘二毫六絲二忽六微九纖,為南呂。

置南呂半律外徑二分七厘二毫六絲二忽六微九纖為實,以十億乘之,以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之,得二分六厘四毫八絲六忽五微七纖,為無射。

置無射半律外徑二分六厘四毫八絲六忽五微七纖為實,以十億乘之,以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之,得二分五厘七毫三絲二忽五微五纖,為應鍾。

次求三十六律內徑真數

先置黃鍾倍律通長二尺為實,四十除之,得五分,是為內徑。就置所得為實,依後項乘除之。

置黃鍾倍律內徑五分為實,以十億乘之,以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之,得四分八厘五毫七絲六忽五微九纖,為大呂。

置大呂倍律內徑四分八厘五毫七絲六忽五微九纖為實,以十億乘之,以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之,得四分七厘一毫九絲三忽七微一纖,為太蔟。

置太蔟倍律內徑四分七厘一毫九絲三忽七微一纖為實,以十億乘之,以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之,得四分五厘八毫五絲○二微○,為夾鍾。

置夾鍾倍律內徑四分五厘八毫五絲○二微○為實,以十億乘之,以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之,得四分四厘五毫四絲四忽九微三纖,為姑洗。

置姑洗倍律內徑四分四厘五毫四絲四忽九微三纖為實,以十億乘之,以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之,得四分三厘二毫七絲六忽八微二纖,為仲呂。

置仲呂倍律內徑四分三厘二毫七絲六忽八微二纖為實,以十億乘之,以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之,得四分二厘○四絲四忽八微二纖,為蕤賓。

置蕤賓倍律內徑四分二厘○四絲四忽八微二纖為實,以十億乘之,以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之,得四分○八毫四絲七忽八微八纖,為林鍾。

置林鍾倍律內徑四分○八毫四絲七忽八微八纖為實,以十億乘之,以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之,得三分九厘六毫八絲五忽○二纖,為夷則。

置夷則倍律內徑三分九厘六毫八絲五忽○二纖為實,以十億乘之,以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之,得三分八厘五毫五絲五忽二微七纖,為南呂。

置南呂倍律內徑三分八厘五毫五絲五忽二微七纖為實,以十億乘之,以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之,得三分七厘四毫五絲七忽六微七纖,為無射。

置無射倍律內徑三分七厘四毫五絲七忽六微七纖為實,以十億乘之,以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之,得三分六厘三毫九絲一忽三微二纖,為應鍾。

置應鍾倍律內徑三分六厘三毫九絲一忽三微二纖為實,以十億乘之,以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之,得三分五厘三毫五絲五忽三微三纖,為黃鍾。

置黃鍾正律內徑三分五厘三毫五絲五忽三微三纖為實,以十億乘之,以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之,得三分四厘三毫四絲八忽八微四纖,為大呂。

置大呂正律內徑三分四厘三毫四絲八忽八微四纖為實,以十億乘之,以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之,得三分三厘三毫七絲○九微九纖,為太蔟。

置太蔟正律內徑三分三厘三毫七絲○九微九纖為實,以十億乘之,以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之,得三分二厘四毫二絲○九微八纖,為夾鍾。

置夾鍾正律內徑三分二厘四毫二絲○九微八纖為實,以十億乘之,以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之,得三分一厘四毫九絲八忽○二纖,為姑洗。

置姑洗正律內徑三分一厘四毫九絲八忽○二纖為實,以十億乘之,以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之,得三分○六毫○一忽三微三纖,為仲呂。

置仲呂正律內徑三分○六毫○一忽三微三纖為實,以十億乘之,以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之,得二分九厘七毫三絲○一微七纖,為蕤賓。

置蕤賓正律內徑二分九厘七毫三絲○一微七纖為實,以十億乘之,以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之,得二分八厘八毫八絲三忽八微一纖,為林鍾。

置林鍾正律內徑二分八厘八毫八絲三忽八微一纖為實,以十億乘之,以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之,得二分八厘○六絲一忽五微五纖,為夷則。

置夷則正律內徑二分八厘○六絲一忽五微五纖為實,以十億乘之,以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之,得二分七厘二毫六絲二忽六微九纖,為南呂。

置南呂正律內徑二分七厘二毫六絲二忽六微九纖為實,以十億乘之,以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之,得二分六厘四毫八絲六忽五微七纖,為無射。

置無射正律內徑二分六厘四毫八絲六忽五微七纖為實,以十億乘之,以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之,得二分五厘七毫三絲二忽五微五纖,為應鍾。

置應鍾正律內徑二分五厘七毫三絲二忽五微五纖為實,以十億乘之,以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之,得二分五厘,為黃鍾。

置黃鍾半律內徑二分五厘為實,以十億乘之,以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之,得二分四厘二毫八絲八忽二微九纖,為大呂。

置大呂半律內徑二分四厘二毫八絲八忽二微九纖為實,以十億乘之,以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之,得二分三厘五毫九絲六忽八微五纖,為太蔟。

置太蔟半律內徑二分三厘五毫九絲六忽八微五纖為實,以十億乘之,以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之,得二分二厘九毫二絲五忽一微○,為夾鍾。

置夾鍾半律內徑二分二厘九毫二絲五忽一微○為實,以十億乘之,以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之,得二分二厘二毫七絲二忽四微六纖,為姑洗。

置姑洗半律內徑二分二厘二毫七絲二忽四微六纖為實,以十億乘之,以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之,得二分一厘六毫三絲八忽四微一纖,為仲呂。

置仲呂半律內徑二分一厘六毫三絲八忽四微一纖為實,以十億乘之,以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之,得二分一厘○二絲二忽四微一纖,為蕤賓。

置蕤賓半律內徑二分一厘○二絲二忽四微一纖為實,以十億乘之,以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之,得二分○四毫二絲三忽九微四纖,為林鍾。

置林鍾半律內徑二分○四毫二絲三忽九微四纖為實,以十億乘之,以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之,得一分九厘八毫四絲二忽五微一纖,為夷則。

置夷則半律內徑一分九厘八毫四絲二忽五微一纖為實,以十億乘之,以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之,得一分九厘二毫七絲七忽六微三纖,為南呂。

置南呂半律內徑一分九厘二毫七絲七忽六微三纖為實,以十億乘之,以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之,得一分八厘七毫二絲八忽八微三纖,為無射。

置無射半律內徑一分八厘七毫二絲八忽八微三纖為實,以十億乘之,以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之,得一分八厘一毫九絲五忽六微六纖,為應鍾。

次求三十六律內周真數

徑求周術:置黃鍾倍律內徑五分,自乘得二十五分,折半得一十二分半為實,開平方法除之,得三分五厘三毫五絲五忽三微三纖九塵,以四十乘之,得一尺四寸一分四厘二毫一絲三忽五微六纖,九歸得一寸五分七厘一毫三絲四忽八微四纖,是為內周。就置所得為實,依後項乘除之。

周求徑術:置黃鍾倍律內周一寸五分七厘一毫三絲四忽八微四纖,九因得一尺四寸一分四厘二毫一絲三忽五微六纖,以四十除之,得三分五厘三毫五絲五忽三微三纖九塵,自乘得一十二分半,加倍得二十五分為實,開平方法除之,得五分,是為內徑。周、徑互相求,即還原法也。

置黃鍾倍律內周一寸五分七厘一毫三絲四忽八微四纖為實,以十億乘之,以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之,得一寸五分二厘六毫六絲一忽五微一纖,為大呂。

置大呂倍律內周一寸五分二厘六毫六絲一忽五微一纖為實,以十億乘之,以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之,得一寸四分八厘三毫一絲五忽五微三纖,為太蔟。

置太蔟倍律內周一寸四分八厘三毫一絲五忽五微三纖為實,以十億乘之,以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之,得一寸四分四厘○九絲三忽二微八纖,為夾鍾。

置夾鍾倍律內周一寸四分四厘○九絲三忽二微八纖為實,以十億乘之,以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之,得一寸三分九厘九毫九絲一忽二微二纖,為姑洗。

置姑洗倍律內周一寸三分九厘九毫九絲一忽二微二纖為實,以十億乘之,以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之,得一寸三分六厘○○五忽九微四纖,為仲呂。

置仲呂倍律內周一寸三分六厘○○五忽九微四纖為實,以十億乘之,以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之,得一寸三分二厘一毫三絲四忽一微二纖,為蕤賓。

置蕤賓倍律內周一寸三分二厘一毫三絲四忽一微二纖為實,以十億乘之,以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之,得一寸二分八厘三毫七絲二忽五微二纖,為林鍾。

置林鍾倍律內周一寸二分八厘三毫七絲二忽五微二纖為實,以十億乘之,以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之,得一寸二分四厘七毫一絲八忽○○,為夷則。

置夷則倍律內周一寸二分四厘七毫一絲八忽○○為實,以十億乘之,以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之,得一寸二分一釐一毫六絲七忽五微二纖,為南呂。

置南呂倍律內周一寸二分一釐一毫六絲七忽五微二纖為實,以十億乘之,以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之,得一寸一分七厘七毫一絲八忽一微二纖,為無射。

置無射倍律內周一寸一分七厘七毫一絲八忽一微二纖為實,以十億乘之,以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之,得一寸一分四厘三毫六絲六忽九微一纖,為應鍾。

置應鍾倍律內周一寸一分四厘三毫六絲六忽九微一纖為實,以十億乘之,以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之,得一寸一分一釐一毫一絲一忽一微一纖,為黃鍾。

置黃鍾正律內周一寸一分一釐一毫一絲一忽一微一纖為實,以十億乘之,以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之,得一寸○七厘九毫四絲七忽九微九纖,為大呂。

置大呂正律內周一寸○七厘九毫四絲七忽九微九纖為實,以十億乘之,以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之,得一寸○四厘八毫七絲四忽九微二纖,為太蔟。

置太蔟正律內周一寸○四厘八毫七絲四忽九微二纖為實,以十億乘之,以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之,得一寸○一厘八毫八絲九忽三微三纖,為夾鍾。

置夾鍾正律內周一寸○一厘八毫八絲九忽三微三纖為實,以十億乘之,以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之,得九分八厘九毫八絲八忽七微四纖,為姑洗。

置姑洗正律內周九分八厘九毫八絲八忽七微四纖為實,以十億乘之,以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之,得九分六厘一毫七絲○七微二纖,為仲呂。

置仲呂正律內周九分六厘一毫七絲○七微二纖為實,以十億乘之,以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之,得九分三厘四毫三絲二忽九微三纖,為蕤賓。

置蕤賓正律內周九分二厘四毫三絲二忽九微三纖為實,以十億乘之,以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之,得九分○七毫七絲三忽○八纖,為林鍾。

置林鍾正律內周九分○七毫七絲三忽○八纖為實,以十億乘之,以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之,得八分八厘一毫八絲八忽九微四纖,為夷則。

置夷則正律內周八分八厘一毫八絲八忽九微四纖為實,以十億乘之,以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之,得八分五厘六毫七絲八忽三微七纖,為南呂。

置南呂正律內周八分五厘六毫七絲八忽三微七纖為實,以十億乘之,以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之,得八分三厘二毫三絲九忽二微八纖,為無射。

置無射正律內周八分三厘二毫三絲九忽二微八纖為實,以十億乘之,以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之,得八分○八毫六絲九忽六微二纖,為應鍾。置應鍾正律內周八分○八毫六絲九忽六微二纖為實,以十億乘之,以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之,得七分八厘五毫六絲七忽四微二纖,為黃鍾。

置黃鍾半律內周七分八厘五毫六絲七忽四微二纖為實,以十億乘之,以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之,得七分六厘三毫三絲○七微五纖,為大呂。

置大呂半律內周七分六厘三毫三絲○七微五纖為實,以十億乘之,以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之,得七分四厘一毫五絲七忽七微六纖,為太蔟。

置太蔟半律內周七分四厘一毫五絲七忽七微六纖為實,以十億乘之,以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之,得七分二厘○四絲六忽六微四纖,為夾鍾。

置夾鍾半律內周七分二厘○四絲六忽六微四纖為實,以十億乘之,以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之,得六分九厘九毫九絲五忽六微一纖,為姑洗。

置姑洗半律內周六分九厘九毫九絲五忽六微一纖為實,以十億承之,以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之,得六分八厘○○二忽九微七纖,為仲呂。

置仲呂半律內周六分八厘○○二忽九微七纖為實,以十億乘之,以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之,得六分六厘○六絲七忽○六纖,為蕤賓。

置蕤賓半律內周六分六厘○六絲七忽○六纖為實,以十億乘之,以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之,得六分四厘一毫八絲六忽二微六纖,為林鍾。

置林鍾半律內周六分四厘一毫八絲六忽二微六纖為實,以十億乘之,以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之,得六分二厘三毫五絲九忽○○,為夷則。

置夷則半律內周六分二厘三毫五絲九忽○○為實,以十億乘之,以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之,得六分○五毫八絲三忽七微六纖,為南呂。

置南呂半律內周六分○五毫八絲三忽七微六纖為實,以十億乘之,以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之,得五分八厘八毫五絲九忽○六纖,為無射。

置無射半律內周五分八厘八毫五絲九忽○六纖為實,以十億乘之,以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之,得五分七厘一毫八絲三忽四微五纖,為應鍾。