律呂精義/內篇卷二

內篇卷二

○不取圍徑皆同第五之上

舊律圍徑皆同，而新律各不同。《禮記》《註疏》曰「凡律空圍九分」，《月令章句》曰「圍數無增減」，及《隋志》安豐王等說，皆不足取也，故著此論。論曰：琴瑟不獨徽柱之有遠近，而弦亦有巨細焉；笙竽不獨管孔之有高低，而簧亦有厚薄焉。弦之巨細，若一但以徽柱遠近別之，不可也；簧之厚薄，若一但以管孔高低別之，不可也。譬諸律管，雖有修短之不齊，亦有廣狹之不等。先儒以為，長短雖異，圍徑皆同，此未達之論也。今若不信，以竹或筆管制黃鍾之律一樣二枚，截其一枚，分作兩段；全律半律，各令一人吹之，聲必不相合矣，此昭然可驗也。又製大呂之律一樣二枚，周、徑與黃鍾同，截其一枚，分作兩段；全律半律，各令一人吹之，則亦不相合。而大呂半律，乃與黃鍾全律相合，略差不遠。是知所謂半律者，皆下全律一律矣。大抵管長則氣隘，隘則雖長而反清；管短則氣寬，寬則雖短而反濁。此自然之理，先儒未達也。要之，長短廣狹皆有一定之理，一定之數在焉。置黃鍾倍律九而一，以為外周，用弦求句股術得其內周。又置倍律四十而一，以為內徑，用句股求弦術得其外徑。蓋律管兩端形如環田，有內外周、徑焉。外周內容之方，即內徑也；內周外射之斜，即外徑也。方圓相容，天地之象，理數之妙者也。黃鍾通長八十一分者，外周九分，是為八十一中之九，即約分法九分中之一也。若約黃鍾八十一分作為九寸，則其外周當雲一寸。舊以九十分為黃鍾，而雲空圍九分者，誤也。況又穿鑿，指為麵冪九方分，則誤益甚矣。方圓相容，有圖如左。

新法密率算術：周、徑、冪、積相求。

周求徑者，置周全數，九因，四十除之，所得自乘，倍之為實，開平方法除之，得徑。徑求周者，置徑全數，自乘，半之為實，開平方法除之，所得四十乘之，九歸，得周。周求積者，置周全數，九因，四十除之，所得自乘，倍之為實；徑求積者，置徑全數，自乘為實：二項各又自乘，以一百乘之，一百六十二除之，所得為實，陰平方法除之，得積。積求周、徑者，置積全數，自乘，所得以一百六十二乘之，一百除之為實，開平方法除之，所得副置之：其一折半為實，開平方法除之，所得四十乘之，九歸，得周；其一不須折半，但以開平方法除之，得徑。所謂積者，麵冪平圓積也。以其通長乘之，各得其實積也。

舊法平圓周、徑、積互相求，但係圍三徑一術者，皆疏舛不可用；惟周、徑相乘，四歸得積，及半周半徑相乘得積，二者可用。先求三十六律通常真數

黃鍾倍律通長二尺，容黍二合，稱重二兩，律度量衡無非倍者。此自然全數也，故算法皆從倍律起。若夫正律於度雖足，於量於衡則皆不足，隻容半合，隻重半兩，比諸倍律似非自然全數。故算法不從正律起，亦不從半律起。倍律、正律、半律，各有十二，共為三十六律。

置黃鍾倍律通長二尺為實，以十億乘之，以十億○五千九百四十六萬三千○九十四除之，得一尺八寸八分七厘七毫四絲八忽六微二纖，為大呂。

置大呂倍律通長一尺八寸八分七厘七毫四絲八忽六微二纖為實，以十億乘之，以十億○五千九百四十六萬三千○九十四除之，得一尺七寸八分一厘七毫九絲七忽四微三纖，為太蔟。

置太蔟倍律通長一尺七寸八分一厘七毫九絲七忽四微三纖為實，以十億乘之，以十億○五千九百四十六萬三千○九十四除之，得一尺六寸八分一厘七毫九絲二忽八微三纖，為夾鍾。

置夾鍾倍律通長一尺六寸八分一厘七毫九絲二忽八微三纖為實，以十億乘之，以十億○五千九百四十六萬三千○九十四除之，得一尺五寸八分七厘四毫○一忽○五纖，為姑洗。置姑洗倍律通長一尺五寸八分七厘四毫○一忽○五纖為實，以十億乘之，以十億○五千九百四十六萬三千○九十四除之，得一尺四寸九分八厘三毫○七忽○七纖，為仲呂。

置仲呂倍律通長一尺四寸九分八厘三毫○七忽○七纖為實，以十億乘之，以十億○五千九百四十六萬三千○九十四除之，得一尺四寸一分四厘二毫一絲三忽五微六纖，為蕤賓。置蕤賓倍律通長一尺四寸一分四厘二毫一絲三忽五微六纖為實，以十億乘之，以十億○五千九百四十六萬三千○九十四除之，得一尺三寸三分四厘八毫三絲九忽八微五纖，為林鍾。

置林鍾倍律通長一尺三寸三分四厘八毫三絲九忽八微五纖為實，以十億乘之，以十億○五千九百四十六萬三千○九十四除之，得一尺二寸五分九厘九毫二絲一忽○四纖，為夷則。

置夷則倍律通長一尺二寸五分九厘九毫二絲一忽○四纖為實，以十億乘之，以十億○五千九百四十六萬三千○九十四除之，得一尺一寸八分九厘二毫○七忽一微一纖，為南呂。置南呂倍律通長一尺一寸八分九厘二毫○七忽一微一纖為實，以十億乘之，以十億○五千九百四十六萬三千○九十四除之，得一尺一寸二分二厘四毫六絲二忽○四纖，為無射。置無射倍律通長一尺一寸二分二厘四毫六絲二忽○四纖為實，以十億乘之，以十億○五千九百四十六萬三千○九十四除之，得一尺○五分九厘四毫六絲三忽○九纖，為應鍾。置應鍾倍律通長一尺○五分九厘四毫六絲三忽○九纖為實，以十億乘之，以十億○五千九百四十六萬三千○九十四除之，得一尺，為黃鍾。

置黃鍾正律通長一尺為實，以十億乘之，以十億○五千九百四十六萬三千○九十四除之，得九寸四分三厘八毫七絲四忽三微一纖，為大呂。

置大呂正律通長九寸四分三厘八毫七絲四忽三微一纖為實，以十億乘之，以十億○五千九百四十六萬三千○九十四除之，得八寸九分○八毫九絲八忽七微一纖，為太蔟。

置太蔟正律通長八寸九分○八毫九絲八忽七微一纖為實，以十億乘之，以十億○五千九百四十六萬三千○九十四除之，得八寸四分○八毫九絲六忽四微一纖，為夾鍾。

置夾鍾正律通長八寸四分○八毫九絲六忽四微一纖為實，以十億乘之，以十億○五千九百四十六萬三千○九十四除之，得七寸九分三厘七毫○○五微二纖，為姑洗。

置姑洗正律通長七寸九分三厘七毫○○五微二纖為實，以十億乘之，以十億○五千九百四十六萬三千○九十四除之，得七寸四分九厘一毫五絲三忽五微三纖，為仲呂。

置仲呂正律通長七寸四分九厘一毫五絲三忽五微三纖為實，以十億乘之，以十億○五千九百四十六萬三千○九十四除之，得七寸○七厘一毫○六忽七微八纖，為蕤賓。

置蕤賓正律通長七寸○七厘一毫○六忽七微八纖為實，以十億乘之，以十億○五千九百四十六萬三千○九十四除之，得六寸六分七厘四毫一絲九忽九微二纖，為林鍾。

置林鍾正律通長六寸六分七厘四毫一絲九忽九微二纖為實，以十億乘之，以十億○五千九百四十六萬三千○九十四除之，得六寸二分九厘九毫六絲○五微二纖，為夷則。

置夷則正律通長六寸二分九厘九毫六絲○五微二纖為實，以十億乘之，以十億○五千九百四十六萬三千○九十四除之，得五寸九分四厘六毫○三忽五微五纖，為南呂。

置南呂正律通長五寸九分四厘六毫○三忽五微五纖為實，以十億乘之，以十億○五千九百四十六萬三千○九十四除之，得五寸六分一厘二毫三絲一忽○二纖，為無射。

置無射正律通長五寸六分一厘二毫三絲一忽○二纖為實，以十億乘之，以十億○五千九百四十六萬三千○九十四除之，得五寸二分九厘七毫三絲一忽五微四纖，為應鍾。

置應鍾正律通長五寸二分九厘七毫三絲一忽五微四纖為實，以十億乘之，以十億○五千九百四十六萬三千○九十四除之，得五寸，為黃鍾。

置黃鍾半律通長五寸為實，以十億乘之，以十億○五千九百四十六萬三千○九十四除之，得四寸七分一厘九毫三絲七忽一微五纖，為大呂。

置大呂半律通長四寸七分一厘九毫三絲七忽一微五纖為實，以十億乘之，以十億○五千九百四十六萬三千○九十四除之，得四寸四分五厘四毫四絲九忽三微五纖，為太蔟。

置太蔟半律通長四寸四分五厘四毫四絲九忽三微五纖為實，以十億乘之，以十億○五千九百四十六萬三千○九十四除之，得四寸二分○四毫四絲八忽二微○，為夾鍾。

置夾鍾半律通長四寸二分○四毫四絲八忽二微○為實，以十億乘之，以十億○五千九百四十六萬三千○九十四除之，得三寸九分六厘八毫五絲○二微六纖，為姑洗。

置姑洗半律通長三寸九分六厘八毫五絲○二微六纖為實，以十億乘之，以十億○五千九百四十六萬三千○九十四除之，得三寸七分四厘五毫七絲六忽七微六纖，為仲呂。

置仲呂半律通長三寸七分四厘五毫七絲六忽七微六纖為實，以十億乘之，以十億○五千九百四十六萬三千○九十四除之，得三寸五分三厘五毫五絲三忽三微九纖，為蕤賓。

置蕤賓半律通長三寸五分三厘五毫五絲三忽三微九纖為實，以十億乘之，以十億○五千九百四十六萬三千○九十四除之，得三寸三分三厘七毫○九忽九微六纖，為林鍾。

置林鍾半律通長三寸三分三厘七毫○九忽九微六纖為實，以十億乘之，以十億○五千九百四十六萬三千○九十四除之，得三寸一分四厘九毫八絲○二微六纖，為夷則。

置夷則半律通長三寸一分四厘九毫八絲○二微六纖為實，以十億乘之，以十億○五千九百四十六萬三千○九十四除之，得二寸九分七厘三毫○一忽七微七纖，為南呂。

置南呂半律通長二寸九分七厘三毫○一忽七微七纖為實，以十億乘之，以十億○五千九百四十六萬三千○九十四除之，得二寸八分○六毫一線五忽五微一纖，為無射。

置無射半律通長二寸八分○六毫一絲五忽五微一纖為實，以十億乘之，以十億○五千九百四十六萬三千○九十四除之，得二寸六分四厘八毫六絲五忽七微七纖，為應鍾。

次求三十六律外周真數

先置黃鍾倍律通長二尺為實，九歸得二寸二分二厘二毫二絲二忽二微二纖為其外周。就置所得為實，依後項乘除之。

置黃鍾倍律外周二寸二分二厘二毫二絲二忽二微二纖為實，以十億乘之，以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之，得二寸一分五厘八毫九絲五忽九微八纖，為大呂。

置大呂倍律外周二寸一分五厘八毫九絲五忽九微八纖為實，以十億乘之，以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之，得二寸○九厘七毫四絲九忽八微四纖，為太蔟。

置太蔟倍律外周二寸○九厘七毫四絲九忽八微四纖為實，以十億乘之，以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之，得二寸○三厘七毫七絲八忽六微七纖，為夾鍾。

置夾鍾倍律外周二寸○三厘七毫七絲八忽六微七纖為實，以十億乘之，以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之，得一寸九分七厘九毫七絲七忽四微九纖，為姑洗。

置姑洗倍律外周一寸九分七厘九毫七絲七忽四微九纖為實，以十億乘之，以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之，得一寸九分二厘三毫四絲一忽四微五纖，為仲呂。

置仲呂倍律外周一寸九分二厘三毫四絲一忽四微五纖為實，以十億乘之，以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之，得一寸八分六厘八毫六絲五忽八微七纖，為蕤賓。

置蕤賓倍律外周一寸八分六厘八毫六絲五忽八微七纖為實，以十億乘之，以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之，得一寸八分一厘五毫四絲六忽一微六纖，為林鍾。

置林鍾倍律外周一寸八分一厘五毫四絲六忽一微六纖為實，以十億乘之，以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之，得一寸七分六厘三毫七絲七忽八微九纖，為夷則。

置夷則倍律外周一寸七分六厘三毫七絲七忽八微九纖為實，以十億乘之，以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之，得一寸七分一厘三毫五絲六忽七微五纖，為南呂。

置南呂倍律外周一寸七分一厘三毫五絲六忽七微五纖為實，以十億乘之，以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之，得一寸六分六厘四毫七絲八忽五微六纖，為無射。

置無射倍律外周一寸六分六厘四毫七絲八忽五微六纖為實，以十億乘之，以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之，得一寸六分一厘七毫三絲九忽二微四纖，為應鍾。

置應鍾倍律外周一寸六分一厘七毫三絲九忽二微四纖為實，以十億乘之，以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之，得一寸五分七厘一毫三絲四忽八微四纖，為黃鍾。

置黃鍾正律外周一寸五分七厘一毫三絲四忽八微四纖為實，以十億乘之，以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之，得一寸五分二厘六毫六絲一忽五微一纖，為大呂。

置大呂正律外周一寸五分二厘六毫六絲一忽五微一纖為實，以十億乘之，以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之，得一寸四分八厘三毫一絲五忽五微三纖，為太蔟。

置太蔟正律外周一寸四分八厘三毫一絲五忽五微三纖為實，以十億乘之，以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之，得一寸四分四厘○九絲三忽二微八纖，為夾鍾。

置夾鍾正律外周一寸四分四厘○九絲三忽二微八纖為實，以十億乘之，以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之，得一寸三分九厘九毫九絲一忽二微二纖，為姑洗。

置姑洗正律外周一寸三分九厘九毫九絲一忽二微二纖為實，以十億乘之，以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之，得一寸三分六厘○○五忽九微四纖，為仲呂。

置仲呂正律外周一寸三分六厘○○五忽九微四纖為實，以十億乘之，以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之，得一寸三分二厘一毫三絲四忽一微二纖，為蕤賓。

置蕤賓正律外周一寸三分二厘一毫三絲四忽一微二纖為實，以十億乘之，以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之，得一寸二分八厘三毫七絲二忽五微二纖，為林鍾。

置林鍾正律外周一寸二分八厘三毫七絲二忽五微二纖為實，以十億乘之，以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之，得一寸二分四厘七毫一絲八忽○○，為夷則。

置夷則正律外周一寸二分四厘七毫一絲八忽○○為實，以十億乘之，以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之，得一寸二分一釐一毫六絲七忽五微二纖，為南呂。

置南呂正律外周一寸二分一釐一毫六絲七忽五微二纖為實，以十億乘之，以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之，得一寸一分七厘七毫一絲八忽一微二纖，為無射。

置無射正律外周一寸一分七厘七毫一絲八忽一微二纖為實，以十億乘之，以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之，得一寸一分四厘三毫六絲六忽九微一纖，為應鍾。

置應鍾正律外周一寸一分四厘三毫六絲六忽九微一纖為實，以十億乘之，以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之，得一寸一分一釐一毫一絲一忽一微一纖，為黃鍾。

置黃鍾半律外周一寸一分一釐一毫一絲一忽一微一纖為實，以十億乘之，以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之，得一寸○七厘九毫四絲七忽九微九纖，為大呂。

置大呂半律外周一寸○七厘九毫四絲七忽九微九纖為實，以十億乘之，以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之，得一寸○四厘八毫七絲四忽九微二纖，為太蔟。

置太蔟半律外周一寸○四厘八毫七絲四忽九微二纖為實，以十億乘之，以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之，得一寸○一厘八毫八絲九忽三微三纖，為夾鍾。

置夾鍾半律外周一寸○一厘八毫八絲九忽三微三纖為實，以十億乘之，以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之，得九分八厘九毫八絲八忽七微四纖，為姑洗。

置姑洗半律外周九分八厘九毫八絲八忽七微四纖為實，以十億乘之，以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之，得九分六厘一毫七絲○七微二纖，為仲呂。

置仲呂半律外周九分六厘一毫七絲○七微二纖為實，以十億乘之，以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之，得九分三厘四毫三絲二忽九微三纖，為蕤賓。

置蕤賓半律外周九分三厘四毫三絲二忽九微三纖為實，以十億乘之，以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之，得九分○七毫七絲三忽○八纖，為林鍾。

置林鍾半律外周九分○七毫七絲三忽○八纖為實，以十億乘之，以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之，得八分八厘一毫八絲八忽九微四纖，為夷則。

置夷則半律外周八分八厘一毫八絲八忽九微四纖為實，以十億乘之，以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之，得八分五厘六毫七絲八忽三微七纖，為南呂。

置南呂半律外周八分五厘六毫七絲八忽三微七纖為實，以十億乘之，以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之，得八分三厘二毫三絲九忽二微八纖，為無射。

置無射半律外周八分三厘二毫三絲九忽二微八纖為實，以十億乘之，以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之，得八分○八毫六絲九忽六微二纖，為應鍾。

次求三十六律外徑真數

周求徑術：置黃鍾倍律外周二寸二分二厘二毫二絲二忽二微二纖，九因得二尺，以四十除之，得五分，自乘得二十五分，加倍得五十分為實，開平方法除之，得七分○七毫一絲○六微七纖，是為外徑。就置所得為實，依後項乘除之。

徑求周術：置黃鍾倍律外徑七分○七毫一絲○六微七纖，自乘得五十分，折半得二十五分為實，開平方法除之，得五分，以四十乘之，得二尺，九歸，得二寸二分二厘二毫二絲二忽二微二纖，是為外周。周、徑互相求，即還原法也。

置黃鍾倍律外徑七分○七毫一絲○六微七纖為實，以十億乘之，以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之，得六分八厘六毫九絲七忽六微八纖，為大呂。

置大呂倍律外徑六分八厘六毫九絲七忽六微八纖為實，以十億乘之，以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之，得六分六厘七毫四絲一忽九微九纖，為太蔟。

置太蔟倍律外徑六分六厘七毫四絲一忽九微九纖為實，以十億乘之，以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之，得六分四厘八毫四絲一忽九微七纖，為夾鍾。

置夾鍾倍律外徑六分四厘八毫四絲一忽九微七纖為實，以十億乘之，以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之，得六分二厘九毫九絲六忽○五纖，為姑洗。

置姑洗倍律外徑六分二厘九毫九絲六忽○五纖為實，以十億乘之，以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之，得六分一厘二毫○二忽六微七纖，為仲呂。

置仲呂倍律外徑六分一厘二毫○二忽六微七纖為實，以十億乘之，以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之，得五分九厘四毫六絲○三微五纖，為蕤賓。

置蕤賓倍律外徑五分九厘四毫六絲○三微五纖為實，以十億乘之，以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之，得五分七厘七毫六絲七忽六微三纖，為林鍾。

置林鍾倍律外徑五分七厘七毫六絲七忽六微三纖為實，以十億乘之，以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之，得五分六厘一毫二絲三忽一微○，為夷則。

置夷則倍律外徑五分六厘一毫二絲三忽一微○為實，以十億乘之，以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之，得五分四厘五毫二絲五忽三微八纖，為南呂。

置南呂倍律外徑五分四厘五毫二絲五忽三微八纖為實，以十億乘之，以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之，得五分二厘九毫七絲三忽一微五纖，為無射。

置無射倍律外徑五分二厘九毫七絲三忽一微五纖為實，以十億乘之，以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之，得五分一厘四毫六絲五忽一微一纖，為應鍾。

置應鍾倍律外徑五分一厘四毫六絲五忽一微一纖為實，以十億乘之，以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之，得五分，為黃鍾。

置黃鍾正律外徑五分為實，以十億乘之，以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之，得四分八厘五毫七絲六忽五微九纖，為大呂。

置大呂正律外徑四分八厘五毫七絲六忽五微九纖為實，以十億乘之，以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之，得四分七厘一毫九絲三忽七微一纖，為太蔟。

置太蔟正律外徑四分七厘一毫九絲三忽七微一纖為實，以十億乘之，以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之，得四分五厘八毫五絲○二微○，為夾鍾。

置夾鍾正律外徑四分五厘八毫五絲○二微○為實，以十億乘之，以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之，得四分四厘五毫四絲四忽九微三纖，為姑洗。

置姑洗正律外徑四分四厘五毫四絲四忽九微三纖為實，以十億乘之，以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之，得四分三厘二毫七絲六忽八微二纖，為仲呂。

置仲呂正律外徑四分三厘二毫七絲六忽八微二纖為實，以十億乘之，以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之，得四分二厘○四絲四忽八微二纖，為蕤賓。

置蕤賓正律外徑四分二厘○四絲四忽八微二纖為實，以十億乘之，以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之，得四分○八毫四絲七忽八微八纖，為林鍾。

置林鍾正律外徑四分○八毫四絲七忽八微八纖為實，以十億乘之，以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之，得三分九厘六毫八絲五忽○二纖，為夷則。

置夷則正律外徑三分九厘六毫八絲五忽○二纖為實，以十億乘之，以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之，得三分八厘五毫五絲五忽二微七纖，為南呂。

置南呂正律外徑三分八厘五毫五絲五忽二微七纖為實，以十億乘之，以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之，得三分七厘四毫五絲七忽六微七纖，為無射。

置無射正律外徑三分七厘四毫五絲七忽六微七纖為實，以十億乘之，以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之，得三分六厘三毫九絲一忽三微二纖，為應鍾。

置應鍾正律外徑三分六厘三毫九絲一忽三微二纖為實，以十億乘之，以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之，得三分五厘三毫五絲五忽三微三纖，為黃鍾。

置黃鍾半律外徑三分五厘三毫五絲五忽三微三纖為實，以十億乘之，以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之，得三分四厘三毫四絲八忽八微四纖，為大呂。

置大呂半律外徑三分四厘三毫四絲八忽八微四纖為實，以十億乘之，以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之，得三分三厘三毫七絲○九微九纖，為太蔟。

置太蔟半律外徑三分三厘三毫七絲○九微九纖為實，以十億乘之，以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之，得三分二厘四毫二絲○九微八纖，為夾鍾。

置夾鍾半律外徑三分二厘四毫二絲○九微八纖為實，以十億乘之，以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之，得三分一厘四毫九絲八忽○二纖，為姑洗。

置姑洗半律外徑三分一厘四毫九線八忽○二纖為實，以十億乘之，以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之，得三分○六毫○一忽三微三纖，為仲呂。

置仲呂半律外徑三分○六毫○一忽三微三纖為實，以十億乘之，以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之，得二分九厘七毫三絲○一微七纖，為蕤賓。

置蕤賓半律外徑二分九厘七毫三絲○一微七纖為實，以十億乘之，以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之，得二分八厘八毫八絲三忽八微一纖，為林鍾。

置林鍾半律外徑二分八厘八毫八絲三忽八微一纖為實，以十億乘之，以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之，得二分八厘○六絲一忽五微五纖，為夷則。

置夷則半律外徑二分八厘○六絲一忽五微五纖為實，以十億乘之，以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之，得二分七厘二毫六絲二忽六微九纖，為南呂。

置南呂半律外徑二分七厘二毫六絲二忽六微九纖為實，以十億乘之，以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之，得二分六厘四毫八絲六忽五微七纖，為無射。

置無射半律外徑二分六厘四毫八絲六忽五微七纖為實，以十億乘之，以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之，得二分五厘七毫三絲二忽五微五纖，為應鍾。

次求三十六律內徑真數

先置黃鍾倍律通長二尺為實，四十除之，得五分，是為內徑。就置所得為實，依後項乘除之。

置黃鍾倍律內徑五分為實，以十億乘之，以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之，得四分八厘五毫七絲六忽五微九纖，為大呂。

置大呂倍律內徑四分八厘五毫七絲六忽五微九纖為實，以十億乘之，以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之，得四分七厘一毫九絲三忽七微一纖，為太蔟。

置太蔟倍律內徑四分七厘一毫九絲三忽七微一纖為實，以十億乘之，以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之，得四分五厘八毫五絲○二微○，為夾鍾。

置夾鍾倍律內徑四分五厘八毫五絲○二微○為實，以十億乘之，以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之，得四分四厘五毫四絲四忽九微三纖，為姑洗。

置姑洗倍律內徑四分四厘五毫四絲四忽九微三纖為實，以十億乘之，以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之，得四分三厘二毫七絲六忽八微二纖，為仲呂。

置仲呂倍律內徑四分三厘二毫七絲六忽八微二纖為實，以十億乘之，以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之，得四分二厘○四絲四忽八微二纖，為蕤賓。

置蕤賓倍律內徑四分二厘○四絲四忽八微二纖為實，以十億乘之，以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之，得四分○八毫四絲七忽八微八纖，為林鍾。

置林鍾倍律內徑四分○八毫四絲七忽八微八纖為實，以十億乘之，以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之，得三分九厘六毫八絲五忽○二纖，為夷則。

置夷則倍律內徑三分九厘六毫八絲五忽○二纖為實，以十億乘之，以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之，得三分八厘五毫五絲五忽二微七纖，為南呂。

置南呂倍律內徑三分八厘五毫五絲五忽二微七纖為實，以十億乘之，以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之，得三分七厘四毫五絲七忽六微七纖，為無射。

置無射倍律內徑三分七厘四毫五絲七忽六微七纖為實，以十億乘之，以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之，得三分六厘三毫九絲一忽三微二纖，為應鍾。

置應鍾倍律內徑三分六厘三毫九絲一忽三微二纖為實，以十億乘之，以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之，得三分五厘三毫五絲五忽三微三纖，為黃鍾。

置黃鍾正律內徑三分五厘三毫五絲五忽三微三纖為實，以十億乘之，以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之，得三分四厘三毫四絲八忽八微四纖，為大呂。

置大呂正律內徑三分四厘三毫四絲八忽八微四纖為實，以十億乘之，以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之，得三分三厘三毫七絲○九微九纖，為太蔟。

置太蔟正律內徑三分三厘三毫七絲○九微九纖為實，以十億乘之，以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之，得三分二厘四毫二絲○九微八纖，為夾鍾。

置夾鍾正律內徑三分二厘四毫二絲○九微八纖為實，以十億乘之，以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之，得三分一厘四毫九絲八忽○二纖，為姑洗。

置姑洗正律內徑三分一厘四毫九絲八忽○二纖為實，以十億乘之，以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之，得三分○六毫○一忽三微三纖，為仲呂。

置仲呂正律內徑三分○六毫○一忽三微三纖為實，以十億乘之，以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之，得二分九厘七毫三絲○一微七纖，為蕤賓。

置蕤賓正律內徑二分九厘七毫三絲○一微七纖為實，以十億乘之，以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之，得二分八厘八毫八絲三忽八微一纖，為林鍾。

置林鍾正律內徑二分八厘八毫八絲三忽八微一纖為實，以十億乘之，以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之，得二分八厘○六絲一忽五微五纖，為夷則。

置夷則正律內徑二分八厘○六絲一忽五微五纖為實，以十億乘之，以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之，得二分七厘二毫六絲二忽六微九纖，為南呂。

置南呂正律內徑二分七厘二毫六絲二忽六微九纖為實，以十億乘之，以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之，得二分六厘四毫八絲六忽五微七纖，為無射。

置無射正律內徑二分六厘四毫八絲六忽五微七纖為實，以十億乘之，以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之，得二分五厘七毫三絲二忽五微五纖，為應鍾。

置應鍾正律內徑二分五厘七毫三絲二忽五微五纖為實，以十億乘之，以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之，得二分五厘，為黃鍾。

置黃鍾半律內徑二分五厘為實，以十億乘之，以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之，得二分四厘二毫八絲八忽二微九纖，為大呂。

置大呂半律內徑二分四厘二毫八絲八忽二微九纖為實，以十億乘之，以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之，得二分三厘五毫九絲六忽八微五纖，為太蔟。

置太蔟半律內徑二分三厘五毫九絲六忽八微五纖為實，以十億乘之，以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之，得二分二厘九毫二絲五忽一微○，為夾鍾。

置夾鍾半律內徑二分二厘九毫二絲五忽一微○為實，以十億乘之，以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之，得二分二厘二毫七絲二忽四微六纖，為姑洗。

置姑洗半律內徑二分二厘二毫七絲二忽四微六纖為實，以十億乘之，以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之，得二分一厘六毫三絲八忽四微一纖，為仲呂。

置仲呂半律內徑二分一厘六毫三絲八忽四微一纖為實，以十億乘之，以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之，得二分一厘○二絲二忽四微一纖，為蕤賓。

置蕤賓半律內徑二分一厘○二絲二忽四微一纖為實，以十億乘之，以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之，得二分○四毫二絲三忽九微四纖，為林鍾。

置林鍾半律內徑二分○四毫二絲三忽九微四纖為實，以十億乘之，以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之，得一分九厘八毫四絲二忽五微一纖，為夷則。

置夷則半律內徑一分九厘八毫四絲二忽五微一纖為實，以十億乘之，以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之，得一分九厘二毫七絲七忽六微三纖，為南呂。

置南呂半律內徑一分九厘二毫七絲七忽六微三纖為實，以十億乘之，以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之，得一分八厘七毫二絲八忽八微三纖，為無射。

置無射半律內徑一分八厘七毫二絲八忽八微三纖為實，以十億乘之，以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之，得一分八厘一毫九絲五忽六微六纖，為應鍾。

次求三十六律內周真數

徑求周術：置黃鍾倍律內徑五分，自乘得二十五分，折半得一十二分半為實，開平方法除之，得三分五厘三毫五絲五忽三微三纖九塵，以四十乘之，得一尺四寸一分四厘二毫一絲三忽五微六纖，九歸得一寸五分七厘一毫三絲四忽八微四纖，是為內周。就置所得為實，依後項乘除之。

周求徑術：置黃鍾倍律內周一寸五分七厘一毫三絲四忽八微四纖，九因得一尺四寸一分四厘二毫一絲三忽五微六纖，以四十除之，得三分五厘三毫五絲五忽三微三纖九塵，自乘得一十二分半，加倍得二十五分為實，開平方法除之，得五分，是為內徑。周、徑互相求，即還原法也。

置黃鍾倍律內周一寸五分七厘一毫三絲四忽八微四纖為實，以十億乘之，以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之，得一寸五分二厘六毫六絲一忽五微一纖，為大呂。

置大呂倍律內周一寸五分二厘六毫六絲一忽五微一纖為實，以十億乘之，以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之，得一寸四分八厘三毫一絲五忽五微三纖，為太蔟。

置太蔟倍律內周一寸四分八厘三毫一絲五忽五微三纖為實，以十億乘之，以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之，得一寸四分四厘○九絲三忽二微八纖，為夾鍾。

置夾鍾倍律內周一寸四分四厘○九絲三忽二微八纖為實，以十億乘之，以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之，得一寸三分九厘九毫九絲一忽二微二纖，為姑洗。

置姑洗倍律內周一寸三分九厘九毫九絲一忽二微二纖為實，以十億乘之，以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之，得一寸三分六厘○○五忽九微四纖，為仲呂。

置仲呂倍律內周一寸三分六厘○○五忽九微四纖為實，以十億乘之，以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之，得一寸三分二厘一毫三絲四忽一微二纖，為蕤賓。

置蕤賓倍律內周一寸三分二厘一毫三絲四忽一微二纖為實，以十億乘之，以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之，得一寸二分八厘三毫七絲二忽五微二纖，為林鍾。

置林鍾倍律內周一寸二分八厘三毫七絲二忽五微二纖為實，以十億乘之，以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之，得一寸二分四厘七毫一絲八忽○○，為夷則。

置夷則倍律內周一寸二分四厘七毫一絲八忽○○為實，以十億乘之，以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之，得一寸二分一釐一毫六絲七忽五微二纖，為南呂。

置南呂倍律內周一寸二分一釐一毫六絲七忽五微二纖為實，以十億乘之，以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之，得一寸一分七厘七毫一絲八忽一微二纖，為無射。

置無射倍律內周一寸一分七厘七毫一絲八忽一微二纖為實，以十億乘之，以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之，得一寸一分四厘三毫六絲六忽九微一纖，為應鍾。

置應鍾倍律內周一寸一分四厘三毫六絲六忽九微一纖為實，以十億乘之，以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之，得一寸一分一釐一毫一絲一忽一微一纖，為黃鍾。

置黃鍾正律內周一寸一分一釐一毫一絲一忽一微一纖為實，以十億乘之，以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之，得一寸○七厘九毫四絲七忽九微九纖，為大呂。

置大呂正律內周一寸○七厘九毫四絲七忽九微九纖為實，以十億乘之，以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之，得一寸○四厘八毫七絲四忽九微二纖，為太蔟。

置太蔟正律內周一寸○四厘八毫七絲四忽九微二纖為實，以十億乘之，以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之，得一寸○一厘八毫八絲九忽三微三纖，為夾鍾。

置夾鍾正律內周一寸○一厘八毫八絲九忽三微三纖為實，以十億乘之，以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之，得九分八厘九毫八絲八忽七微四纖，為姑洗。

置姑洗正律內周九分八厘九毫八絲八忽七微四纖為實，以十億乘之，以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之，得九分六厘一毫七絲○七微二纖，為仲呂。

置仲呂正律內周九分六厘一毫七絲○七微二纖為實，以十億乘之，以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之，得九分三厘四毫三絲二忽九微三纖，為蕤賓。

置蕤賓正律內周九分二厘四毫三絲二忽九微三纖為實，以十億乘之，以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之，得九分○七毫七絲三忽○八纖，為林鍾。

置林鍾正律內周九分○七毫七絲三忽○八纖為實，以十億乘之，以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之，得八分八厘一毫八絲八忽九微四纖，為夷則。

置夷則正律內周八分八厘一毫八絲八忽九微四纖為實，以十億乘之，以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之，得八分五厘六毫七絲八忽三微七纖，為南呂。

置南呂正律內周八分五厘六毫七絲八忽三微七纖為實，以十億乘之，以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之，得八分三厘二毫三絲九忽二微八纖，為無射。

置無射正律內周八分三厘二毫三絲九忽二微八纖為實，以十億乘之，以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之，得八分○八毫六絲九忽六微二纖，為應鍾。置應鍾正律內周八分○八毫六絲九忽六微二纖為實，以十億乘之，以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之，得七分八厘五毫六絲七忽四微二纖，為黃鍾。

置黃鍾半律內周七分八厘五毫六絲七忽四微二纖為實，以十億乘之，以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之，得七分六厘三毫三絲○七微五纖，為大呂。

置大呂半律內周七分六厘三毫三絲○七微五纖為實，以十億乘之，以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之，得七分四厘一毫五絲七忽七微六纖，為太蔟。

置太蔟半律內周七分四厘一毫五絲七忽七微六纖為實，以十億乘之，以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之，得七分二厘○四絲六忽六微四纖，為夾鍾。

置夾鍾半律內周七分二厘○四絲六忽六微四纖為實，以十億乘之，以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之，得六分九厘九毫九絲五忽六微一纖，為姑洗。

置姑洗半律內周六分九厘九毫九絲五忽六微一纖為實，以十億承之，以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之，得六分八厘○○二忽九微七纖，為仲呂。

置仲呂半律內周六分八厘○○二忽九微七纖為實，以十億乘之，以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之，得六分六厘○六絲七忽○六纖，為蕤賓。

置蕤賓半律內周六分六厘○六絲七忽○六纖為實，以十億乘之，以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之，得六分四厘一毫八絲六忽二微六纖，為林鍾。

置林鍾半律內周六分四厘一毫八絲六忽二微六纖為實，以十億乘之，以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之，得六分二厘三毫五絲九忽○○，為夷則。

置夷則半律內周六分二厘三毫五絲九忽○○為實，以十億乘之，以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之，得六分○五毫八絲三忽七微六纖，為南呂。

置南呂半律內周六分○五毫八絲三忽七微六纖為實，以十億乘之，以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之，得五分八厘八毫五絲九忽○六纖，為無射。

置無射半律內周五分八厘八毫五絲九忽○六纖為實，以十億乘之，以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之，得五分七厘一毫八絲三忽四微五纖，為應鍾。