數度衍 (四庫全書本)/卷17

數度衍　卷十七

　　欽定四庫全書
　　數度衍卷十七
　　桐城　方中通　撰
　　兩分差〈差分之一〉
　　通曰差分章多用三率法即異乗同除也見九章外法
　　四六差分法
　　四之與六加五而已以五乗四得二並四即六以五乗六得三並六即九或以六乗四除四亦得六六亦得九皆求裒法耳既得各裒始用三率法
　　戊裒四　　　　　丁裒六　　　　　丙裒九乙裒十三裒五分　甲裒二十裒二分五釐
　　右五位裒也如六位則以已為首而甲裒更增矣若止四位則以丁為首也後倣此
　　二等戶式派糧三百八十五石五斗二升甲乙二等戶甲六分乙四分辦納甲二十六戶乙四十戶問各一戶各共戶若干曰甲一戶納七石三斗二升共納一百九十石○三斗二升乙一戶納四石八斗八升共納一百九十五石二斗術甲裒六乙裒四以六乗甲戶得一百五十六以四乗乙戶得一百六十並得三百一十六為首率以總糧為次率以甲裒六乙裒四為各三率以甲三率六乗次率以首率除得甲一戶之數以甲戶乗得共數以乙三率四乗次率以首率除得乙一戶之數以乙戶乗得共數
　　四等戶式徴銀一千七百一十六兩甲乙丙丁四等戶甲六分乙四分乙六分丙四分丙六分丁四分辦納問各若干曰甲七百一十二兩八錢乙四百七十五兩二錢丙三百一十六兩八錢丁二百一十一兩二錢術丁裒四丙裒六乙裒九甲裒十三裒五分並得三十二裒五分為首率以總銀為次率以各裒為各三率
　　三七差分法
　　二位者甲七乙三三位者以三為首三因得九為丙裒九用七乗三除得二十一為乙裒二十一用七乗三除得四十九為甲裒四位者以三為首三因得九又三因得二十七為丁裒五位者以三為首三因得九又三因得二十七又三因得八十一為戊裒俱用七乗三除得各裒
　　〈二位〉乙裒三　甲裒七
　　〈三位〉丙裒九　乙裒二十七　甲裒四十九
　　〈四位〉丁裒二十七　丙裒六十三　乙裒一百四十七甲裒三百四十三
　　〈五位〉戊裒八十一　丁裒一百八十九　丙裒四百四十一　乙裒一千○二十九　甲裒二千四百○一
　　三等戸式派糧二百六十一石甲乙丙三等戶甲七分乙三分乙七分丙三分辦納甲二十一戶乙三十二戶丙四十三戶問各一戶各共戸若干曰甲一戶六石一斗二升五合共一百二十八石六斗二升五合乙一戶二石六斗二升五合共八十四石丙一戶一石一斗二升五合共四十八石三斗七升五合術甲裒四十九乙裒二十一丙裒九以甲裒乗甲戶得一千○二十九乙裒乗乙戶得六百七十二丙裒乗丙戶得三百八十七相併得二千○八十八為首率總糧為次率各裒為各一戶之三率
　　五等戶式徴銀八百二十八兩二錢甲乙丙丁戊五等戸甲七分乙三分乙七分丙三分丙七分丁三分丁七分戊三分辦納問各若干曰甲四百八十兩○二錢乙二百○五兩八錢丙八十八兩二錢丁三十七兩八錢戊十六兩二錢術戊裒八十一丁裒一百八十九丙裒四百四十一乙裒一千○二十九甲裒二千四百○一相併得四千一百四十一為首率總銀為次率各裒為各三率
　　二八差分法
　　二八裒惟用四乗二位者甲八乙二皆以二為首也三位者丙二四乗二得八為乙裒四乗八得三十二為甲裒
　　戊裒二　　　丁裒八　　　丙裒三十二
　　乙裒一百二十八　甲裒五百一十二
　　四等戶式派銀二千六百三十五兩甲乙丙丁四等戶甲八分乙二分乙八分丙二分丙八分丁二分辦納問各若干曰甲一千九百八十四兩乙四百九十六兩丙一百二十四兩丁三十一兩術丁裒二丙裒八乙裒三十二甲裒一百二十八並得一百七十為首率總銀為次率各裒為各三率
　　五等戶式徴糧二千六百五十五石九斗甲乙丙丁戊五等戶甲八分乙二分乙八分丙二分丙八分丁二分丁八分戊二分辦納甲三十戶乙四十戶丙五十戶丁六十戶戊七十戶問各一戶各共戶若干曰甲一戶五十九石九斗○四合共一千七百九十七石一斗二升乙一戸十四石九斗七升六合共五百九十九石○四升丙一戶三石七斗四升四合共一百八十七石二斗丁一戶九斗三升六合共五十六石一斗六升戊一戶二斗三升四合共十六石三斗八升術甲裒五百一十二乗甲戶得一萬五千三百六十乙裒一百二十八乗乙戶得五千一百二十丙裒三十二乗丙戶得一千六百丁裒八乗丁戶得四百八十戊裒二乗戊戸得一百四十相併得二萬七千二百為首率總糧為次率各裒為各一戸之三率
　　遞分差〈差分之二〉
　　遞減差分法
　　二位者甲裒二乙裒一三位者甲裒三乙裒二丙裒一之類
　　四位式銀九十二兩甲乙丙丁四人遞減分之問各若干曰甲三十六兩八錢乙二十七兩六錢丙十八兩四錢丁九兩二錢術甲裒四乙裒三丙裒二丁裒一併得一十為首率總銀為次率各裒為各三率
　　五位式金八十一兩造杯一套五箇問各重若干曰甲二十七兩乙二十一兩六錢丙十六兩二錢丁十兩○八錢戊五兩四錢術甲裒五乙裒四丙裒三丁裒二戊裒一併得一十五為首率總金為次率各裒為各三率又式派糧一千一百三十四石甲乙丙丁戊五等戶遞減辦納甲二十四戶乙三十三戶丙四十二戶丁五十一戶戊六十戶問各一戶各共戶若干曰甲一戶十石○五斗共二百五十二石乙一戶八石四斗共二百七十七石二斗丙一戶六石三斗共二百六十四石六斗丁一戶四石二斗共二百一十四石二斗戊一戶二石一斗共一百二十六石術甲裒五乗甲戶得一百二十乙裒四乗乙戶得一百三十二丙裒三乗丙戶得一百二十六丁裒二乗丁戶得一百○二戊裒一乗戊戶得六十並得五百四十為首率總糧為次率各裒為各一戶之三率
　　隔位遞減差分法
　　以六減者甲裒一百乙裒六十丙裒三十六以七減者甲裒一百乙裒七十丙裒四十九之類
　　用六減式派絹四百七十丈○一尺八寸四分甲乙丙三等戶以一十分之六遞減辦納甲二十五戶乙三十戶丙四十八戶問各一戶各共戶若干曰甲一戶七丈八尺共一百九十五丈乙一戶四丈六尺八寸共一百四十丈○四寸丙一戶二丈八尺○八分共一百三十四丈七尺八寸四分術甲裒一百乗甲戶得二千五百乙裒六十乗乙戶得一千八百丙裒三十六乗丙戶得一千七百二十八並得六千○二十八為首率總絹為次率各裒為各一戶之三率
　　用七減式派糧一百六十八石四斗八升八合甲乙丙丁四等戶以一十分之七遞減辦納甲二十二戶乙三十六戶丙四十二戶丁四十八戶問各一戶各共戶若干曰甲一戶二石共四十四石乙一戶一石四斗共五十石○四斗丙一戶九斗八升共四十一石一斗六升丁一戶六斗八升六合共三十二石九斗二升八合術甲裒一千乗甲戶得二萬二千乙裒七百乗乙戶得二萬五千二百丙裒四百九十乗丙戶得二萬○五百八十丁裒三百四十三乗丁戶得一萬六千四百六十四並得八萬四千二百四十四為首率總糧為次率各裒為各一戶之三率
　　互和減半差分法
　　三位者曰三曰五曰七並一十五為裒四位者曰二曰四曰六曰八並二十為裒五位者曰一曰三曰五曰七曰九並二十五為裒奇用奇偶用偶也
　　三位式糧一百八十石給甲乙丙三人云甲多丙三十六石令互和減半分之問各若干曰甲七十八石乙六十石丙四十二石術以糧數為實以三位併裒一五〈一十五作一五〉為法除實得一百二十乃甲丙二人首尾和數內減甲多三十六餘八十四折半得丙數加甲多三十六得甲數和甲丙二數得一百二十折半得乙數
　　通曰此遞減十八也後式皆係遞減
　　四位式銀二百四十兩分甲乙丙丁四人云甲多丁十八兩今互和減半分之問各若干曰甲六十九兩乙六十三兩丙五十七兩丁五十一兩術以銀數為實以四位並裒二〈二十作二〉為法除實得一百二十乃甲丁二人和數內減甲多十八餘一百○二折半得丁數加甲多十八得甲數乙丙二人不可並折乃以甲多十八用三除之得六加入丁數得丙數又加六得乙數
　　通曰以首尾較數三位用二除四位用三除五位用四除得各位較數也並較減實餘均分加各較亦合如前三位式總實一百八十甲丙較三十六用二除得十八為乙丙較並得五十四減實餘一百二十六三位均分各得四十二甲加較三十六得七十八乙加較十八得六十丙即得均分數
　　五位式鈔二百三十八貫分甲乙丙丁戊五人云戊不及甲三十三貫六百文令互和減半分之問各若干曰甲六十四貫四百文乙五十六貫丙四十七貫六百文丁三十九貫二百文戊三十貫八百文術以鈔數為實以五位並裒二貫五百文〈即二十五〉為法除實得九十五貫二百文乃甲戊二人和數內減戊不及三十三貫六百文餘六十一貫六百文折半得戊數加戊不及數得甲數互和甲戊二數得九十五貫二百文折半得丙數又和甲丙二數得一百一十二貫折半得乙數又和丙戊二數得七十八貫四百文折半得丁數
　　倍分差〈差分之三〉
　　倍減差分法
　　二位者甲裒二乙裒一三位者甲裒四乙裒二丙裒一之類
　　三位式銀一萬八千○八十八兩甲乙丙三人倍減分之問各若干曰甲一萬○三百三十六兩乙五千一百六十八兩丙二千五百八十四兩術甲裒四乙裒二丙裒一併得七為首率總銀為次率各裒為各三率通曰以銀為實以並裒除得丙數倍得乙數再倍得甲數亦可
　　五位式派銀一千一百○七兩甲乙丙丁戊五等戶倍減上納甲十六戸乙二十五戸丙三十一戸丁四十八戸戊六十二戸問各一戶各共戶若干曰甲一戶二十四兩共三百八十四兩乙一戶十二兩共三百兩丙一戸六兩共一百八十六兩丁一戶三兩共一百四十四兩戊一戸一兩五錢共九十三兩術甲裒十六乗甲戶得二百五十六乙裒八乗乙戶得二百丙裒四乘丙戶得一百二十四丁裒二乗丁戶得九十六戊裒一乗戊戸得六十二並得七百三十八為首率總銀為次率各裒為各一戶之三率
　　通曰兩分遞分倍分諸式凡有戶數者以各一戶數乗各戸得各共數然矣若以各裒乗各戶之數為三率則先得各戸共數也以各戸除之得各一戶數
　　子母差〈差分之四〉
　　求分子法
　　共子各母求各子式四商共販得子銀六千兩甲母六十乙母一百丙母一百二十丁母二百問各分子銀若干曰甲七百五十兩乙一千二百五十兩丙一千五百兩丁二千五百兩術四母相併得四百八十兩為首率共子為次率各母為各三率
　　共子各母各時求各子式三商共子銀一千兩母銀多寡既不一而先後之時又不一甲母二百兩滿八箇月乙母四百五十兩滿六箇月丙母五百兩滿十箇月問各分子銀若干曰甲一百七十二兩又九十三分兩之四乙二百九十兩又九十三分兩之三十丙五百三十七兩又九十三分兩之五十九術先以各母乗各月甲母乗八得一千六百乙母乗六得二千七百丙母乗一十得五千並得九千三百兩為首率共子為次率各母乗各月之數為各三率
　　又式三商母銀各等一年內共得子銀一千兩甲母閲七月乙母閲六月丙母滿十二月問各分子銀若干曰甲二百八十兩乙二百四十兩丙四百八十兩術並各月得二十五為首率總子為次率各月為各三率共時共子各母各時加減求各子式四商居積二年得利一萬兩甲原母三千兩至滿八月取出一千兩至滿十九月又加一千二百兩乙原母二千四百兩至滿六月取出八百兩至滿十五月又加一千四百兩丙原母二千兩滿七月悉收回至滿十七月別出母一千六百兩丁初不出母六月後方出母一千八百兩又過四月取出九百兩至滿十六月又加一千五百兩問各分子銀若干曰甲三千五百四十六兩又一千七百四十八分兩之一千五百九十二乙三千一百九十二兩又一千七百四十八分兩之三百八十四丙一千四百四十一兩又一千七百四十八分兩之一千一百三十二丁一千八百一十九兩又一千七百四十八分兩之三百八十八術以四母各乗其月甲作三段乗以原母三千乗八月得二萬四千八月之後取去一千存母二千至十九月滿計十一月以十一乗二千得二萬二千十九月之後又加一千二百共母三千二百至二年滿計五月以五乗三千二百得一萬六千並三段乗數得六萬二千為甲通乙作三段乗以原母二千四百乗六月得一萬四千四百六月之後取去八百存母一千六百至十五月滿計九月以九乗一千六百得一萬四千四百十五月之後又加一千四百共母三千至二年滿計九月以九乗三千得二萬七千並三段乗數得五萬五千八百為乙通丙作二段乗以原母二千乗七月得一萬四千自滿十七月以後別出母一千六百至二年滿計七月以七乗一千六百得一萬一千二百並二段乗數得二萬五千二百為丙通丁作三段乗自六月以後出母一千八百滿四月以四乗一千八百得七千二百此後取去九百存母九百至十六月滿計六月以六乗九百得五千四百此後又加一千五百共母二千四百至二年滿計八月以八乗二千四百得一萬九千二百並三段乗數得三萬一千八百為丁通再並四通數得十七萬四千八百為首率總利為次率各通數為各三率
　　求原母法
　　共母共子及各子求各母式三商共母一千五百二十兩得子一百九十兩甲分一百二十兩乙分四十兩丙分三十兩問各母若干曰甲九百六十兩乙三百二十兩丙二百四十兩術共子為首率共母為次率各分子為各三率
　　共子各子及出母率求各母式二商共得子二百兩甲分五十兩乙分一百五十兩其母則乙多甲一倍又零八兩問各母若干曰甲八兩乙二十四兩術以甲子五十為首率以零八兩為次率各子為各三率
　　共時各時及甲母均分子求乙丙母式三商共販一年甲先出母一千兩乙母後二月方出丙母後四月方出俱不知數所得子銀則均分問乙丙母各若干曰乙一千二百兩丙一千五百兩術以甲母乗甲月十二得一萬二千為實以乙月十為法除實得乙母以丙月八為法除實得丙母
　　求出時法
　　共子各母各子及甲時求乙丙時式三商共販得子銀一千兩甲母三百兩係滿十月乙母七百兩丙母八百兩俱不知月其子銀則甲分五百乙分三百丙分二百問乙丙出母月若干曰乙二月又七分月之四丙一月又二分月之一術以甲為凖以甲子五百為首率以甲月乗甲母得三千為次率以乙丙各子為各三率如法次三兩率相乗首率除得四率乙得一千八百為乙母乗乙月之數丙得一千二百為丙母乘丙月之數再以乙母除乙四率得乙月數丙母除丙四率得丙月數
　　和求法
　　或知此子而不知彼子或知彼母而不知此母時亦如之
　　共子各子甲母與時及乙母丙時求乙時丙母式三商共得子銀一百三十八兩甲母二百兩經十二月乙母二百四十兩不知月丙經十月不知母其子銀則甲分六十乙分四十八丙分三十問乙時丙母若干曰乙時八月丙母一百二十兩術以甲子為首率甲母乗甲月得二千四百為次率乙丙各子為各三率求得乙四率一千九百二十為乙母乗月之數以乙母除得乙月求得丙四率一千二百為丙月乗母之數以丙月除得丙母
　　共子各時分子率及甲母求乙丙母及各子式三商共得子銀一百九十兩其分數則乙比甲僅三之一丙比甲僅四之一甲出母八十兩經十二月乙經八月丙經四月俱不知母問乙丙母及各子若干曰乙母四十兩丙母六十兩甲子一百二十兩乙子四十兩丙子三十兩術以甲母乗甲月得九百六十為首率乙得三之一則三分首率得三百二十為乙次率丙得四之一則四分首率得二百四十為丙次率乃以乙月為法除乙次率得四十為乙母以丙月為法除丙次率得六十為丙母既知乙丙之母則以前首率與乙丙兩次率相併得一千五百二十為後首率以共子為後次率以前首率為甲三率以乙次率為乙三率丙次率為丙三率共母共子及合和求各母子式三商共母一千五百二十兩共得子母和銀一千七百一十兩甲分一千○八十兩乙分三百六十兩丙分二百七十兩問各母各子若干曰甲母九百六十兩子一百二十兩乙母三百二十兩子四十兩丙母二百四十兩子三十兩術以共子為首率共母為次率各和為各三率求得各母以各母減各和餘即各子
　　共子甲乙母及丙子求甲乙子及丙母式三商共得子銀一千五百二十兩甲母一千○八十乙母三百六十丙不知母而分子二百四十問甲乙子及丙母各若干曰甲子九百六十兩乙子三百二十兩丙母二百七十兩術先於共子內減去丙子餘一千二百八十為甲乙和子乃並甲乙母得一千四百四十為首率以甲乙和子為次率用甲母為三率求出甲子用乙母為三率求出乙子既知甲乙子數再並甲乙子得一千二百八十為後首率以前首率為後次率以丙子為三率求出丙母
　　共子甲母及出母裒求各母各子式四商共得子銀三百四十兩其母以四遞加如乙五則丙九丙七則丁十一丁九則甲十三之類甲母二百八十六問各母各子若干曰丁母一百九十八兩丙母一百二十六兩乙母七十兩甲子一百四十三兩乙子三十五兩丙子六十三兩丁子九十九兩術由甲推丁以甲裒十三為首率甲母為次率丁裒九為三率求出丁母由丁推丙以丁裒十一為首率丁母為次率丙裒七為三率求出丙母由丙推乙以丙裒九為首率丙母為次率乙裒五為三率求出乙母乃並四母得六百八十為後首率共子為後次率各母為各後三率求出各子
　　通曰與超四遞加不同此乃各有遞四之加也
　　附式原借母十五兩每月每兩加子二分五釐滿六月還過母子和九兩問母子各已還若干仍留母若干曰還母七兩八錢二分六釐還子一兩一錢七分四釐仍留母七兩一錢七分四釐術以還銀九兩為實以六月用二分五釐通之得一錢五分得通子加母數一兩得一兩一錢五分為法除實得還母以通子乗之得還子原母內減還母得留母
　　通曰此留母未還子也若六月還全母之子二兩二錢五分還母六兩七錢五分應留母八兩二錢五分矣附式三次為商俱得合利每次貯銀三百兩三次恰盡問原母若干曰二百六十二兩五錢術以貯銀折半得一百五十加三百得四百五十又折半得二百二十五又加三百得五百二十五又折半得原母三折者三次也借裒互徴另又一術
　　合率差〈差分之五〉
　　合率差分法
　　式穀二百四十石作五等分之甲乙二人數與丙丁戊三人數等問各若干曰甲六十四石乙五十六石丙四十八石丁四十石戊三十二石術甲裒五乙裒四並得九丙裒三丁裒二戊裒一併得六以六減九餘三乃於五等裒上各加三甲得八乙得七丙得六丁得五戊得四又並之得三十為首率總穀為次率各裒加三得數為各三率
　　通曰此遞差八也曰三人分則甲數與乙丙數等而七人分則甲乙丙數與丁戊己庚數不等乃截庚入甲乙截丙入丁戊巳兩數始等此亦就裒而言若裒上加有等數俱不等矣故用並減之法也
　　式二銀七百六十兩甲十分乙七分丙二分問各若干曰甲四百兩乙二百八十兩丙八十兩術甲裒十乙裒七丙裒二並得一十九為首率總銀為次率各裒為各三率
　　式三田一百三十八畝每畝徴米二斗今徴七分本色米三分折絲每米一石折絲一斤問各若干曰米十九石三斗二升絲八斤四兩四錢八分術以米二斗乘田得二十七石六斗為實以七與三並一十為法用七乗實得一百九十三石二斗以法除得米用三乗實得八十二石八斗以法除得八石二斗八升以石變斤得八斤其二斗八升用加六法得四斗四斗八合即四兩四錢八分
　　式四米二十四石給甲乙丙丁四人甲四分乙五分丙七分丁九分問各若干曰甲三石八斗四升乙四石八斗丙六石七斗二升丁八石六斗四升術以米為實並各裒得二十五為法除實得九斗六升為一分之數以各裒乗得各數
　　式五徴糧七十三石二斗三等戶照分辦納上二十五戸每戶五分中四十戶每戶三分下六十戶每戶一分問各一戶各共戶若干曰上一戶一石二斗共三十石中一戶七斗二升共二十八石八斗下一戶二斗四升共十四石四斗術以各裒乗各戶上得一百二十五中得一百二十下得六十並得三百○五為首率總糧為次率各裒為各一戶之三率
　　式六每芝蔴三斗換米五斗每米五斗抵荳七斗今有芝蔴四百五十石換米荳共九百二十五石問各用芝蔴及米荳各若干曰換米用芝蔴一百八十七石五斗換荳用芝蔴二百六十二石五斗米三百一十二石五斗荳六百一十二石五斗術並米五荳七得十二為首率以芝蔴總數為次率米五荳七為各三率求出用芝蔴各數再以換米用一百八十七石五斗以三斗除之得數以五斗乗之得米數以換荳用二百六十二石五斗先求出米數以三斗除之得數以五斗乗之得米四百三十七石五斗乃再以三斗除之得數以七斗乗之得荳數式七銀十一塊金九塊等重交換一塊則十銀一金之重多於八金一銀一十三兩問金銀各塊各共若干曰金一塊重三十五兩七錢五分銀一塊重二十九兩二錢五分銀十一塊共重三百二十一兩七錢五分金九塊共重等術以較十三兩折半得六兩五錢乗金九塊得五十八兩五錢為實以金九銀十一相減餘二為法除實得二十九兩二錢五分為銀一塊數以十一乗得共數以半較六兩五錢乗十一得七十一兩五錢為實仍以前二為法除實得三十五兩七錢五分為金一塊數以九乗得共數通曰以盈朒法求之亦得
　　式八冰片每兩價二兩七錢五分沉香每兩價三錢五分伽楠每兩價八錢有以沉香十七斤三兩有以伽楠十三斤十二兩問各換冰片若干曰沉香換得冰片三十五兩伽楠換得冰片六十四兩術以冰片價為首率用斤求兩法〈見乗布〉化沉香伽楠得兩數為各次率各價為各三率
　　式九軍二萬五千二百名月糧米麥荳兼支米每四名支三石麥每九名支五石荳每七名支八石問各若干曰荳二萬八千八百石麥一萬四千石米一萬八千八百石術以七名九名四名為各首率軍數為次率八石五石三石為各三率
　　式十刻漏一壺貯水令開三孔漏水大孔二時而盡中孔三時而盡小孔六時而盡如三孔齊洩則幾時水盡曰一時漏盡術以三孔與時相較各時為各首率一壺為次率最小時為三率求得大孔六時漏盡三壺中孔六時漏盡二壺小孔原係六時漏盡一壺合計六時三孔共漏盡六壺因知一時共漏盡一壺也又術以二時三時六時為各首率一壺為次率一時為三率求得大孔一時漏水二之一中孔一時漏水三之一小孔一時漏水六之一合計二之一三之一六之一共十分亦合右三數偶滿一時若並有竒零者另法求之如纍臺一座甲六年完工乙九年完工丙十八年方完今三人同纍須幾時可完必先知每人每年之工而總計之六年者每年得六之一九年者每年得九之一十八年者每年得十八之一併得每年共三分之一〈竒零加法〉約計三年始完甲成二之一乙成三之一丙成六之一共足十分之數也
　　式十一漏壺上注下洩塞下竅注水四時而滿開下竅洩水六時而盡若上注下洩相併則幾時可滿曰十二時術用三次測法先以四時為首率一壺為二率一時為三率求得一時之所法乃四分壺之一次以六時為首率一壺為二率一時為三率求得一時之所洩乃六分壺之一以四之一與六之一相減餘十二之一〈竒零減法〉乃以十二之一為首率一時為次率一壺為三率求得十二時
　　通曰以四時較六時則有二時不洩欲得六時俱不洩必須三回注四時矣亦合十二時之數也
　　問上注下洩四時滿幾分曰六時盡者四時洩三分之二以除全壺餘三分之一為水滿數又問如塞下竅三時而滿開下竅八時而盡若上注下洩須幾時可滿曰以三時滿者一時之率三之一以八時盡者一時之率八之一就三之一減八之一餘二十四之五為一時之率則全壺得四時零五分時之四也又問一壺既以三時而滿如四時又五分時之四可滿幾壺曰滿一壺又十五分壺之八又問八時盡一壺若四時又五分時之四該幾何曰此五分壺之三即於前數一時滿一壺者除之便得問八時盡一壺三時得幾何曰三時洩得八分之三以除全壺餘八五之五是三時滿八分之五又問三時滿八分之五則全壺幾時滿曰四時零五分時之四也
　　式十二兵百人領隊四人旗牌六人器械七萬二千四百件犒軍旗牌比領隊得八分之五兵比旗牌得五分之三問各得若干曰兵得六萬每人六百旗牌得六千每人一千領隊得六千四百每人一千六百術以兵裒三乗一百得三百以旗牌裒五乗六得三十以領隊裒八乗四得三十二並得三百六十二為首率器械為次率各裒乗數為各三率求出各共得數再以各人數除之得每人數
　　式十三大船三桅六槳小船一桅八槳今桅五十九槳二百○二問大小船各若干曰大船十五小船十四術並大小船每隻桅槳各九共一十八為首率大小二隻為次率並桅槳全數為三率推得二十九隻乃大小和數減小之一補大得各數
　　貴賤差分法
　　式硃砂每斤三兩六錢石青每斤二兩四錢有銀一千二百兩買硃青二色硃數增青一倍問各若干曰硃二百五十斤共價九百兩青一百二十五斤共價三百兩術因硃加倍即倍其價為七兩二錢並青價得九兩六錢為首率總銀為次率各一斤之價為各三率求出各斤數各以價乗得各共價
　　式二銀五十五兩五錢買銅錫鐵共重八萬三千○五十兩每銀一錢買銅一百三十兩錫一百五十兩鐵一百七十兩問各若干曰銅二萬四千七百兩共價十九兩錫二萬七千七百五十兩共價十八兩五錢鐵三萬○六百兩共價十八兩術以總銀用三色除之得十八兩五錢為中間錫價以每一錢買一百五十兩乗之得錫數共重內減錫數餘五萬五千三百兩為銅鐵和總銀內減錫價餘三十七兩為銅鐵和價以每一錢買銅一百三十兩乗和價得四萬八千一百兩以減銅鐵和餘七千二百為實以銅一百三十與鐵一百七十相減餘四十除實得一百八十錢為鐵價十八兩以一百七十乗之得鐵數又於和價內減鐵價餘十九兩為銅價以一百三十乗之得銅數
　　式三綾每尺九分二釐羅每尺八分五釐絹每尺三分六釐有銀一百二十一兩一錢七分五釐買綾一停羅二停絹三停問各若干曰綾三十二丈七尺五寸共價三十兩○一錢三分羅六十五丈五尺共價五十五兩六錢七分五釐絹九十八丈二尺五寸共價三十五兩三錢七分術二停乗羅價得一錢七分三停乗絹價得一錢○八釐以並綾價共三錢七分為首率總銀為次率各每尺價為各三率求出各數各每尺價乗得各共價
　　式四綾羅紗絹共一百六十疋共價九十三兩綾每疋九錢羅每疋七錢紗每疋五錢絹每疋三錢問各若干曰綾三十五疋價三十一兩五錢羅四十疋價二十八兩紗四十疋價二十兩絹四十五疋價十三兩五錢術以四色除總疋得四十疋即中間羅紗之數羅四十疋以每疋價推得銀數紗四十疋以每疋價推得銀數總疋內減羅紗餘八十疋為綾絹和共價內減羅紗價餘四十五兩為綾絹價和乃以綾九錢乗綾絹和得七十二兩以減餘銀尚餘二十七兩為實以綾九錢減絹三錢餘六錢為法除實得四十五為絹數於綾絹和內減之餘三十五為綾數各以每疋價乗得各價
　　式五銀一千○八兩買絲三停綿二停綫一停共重三百六十兩其價綫二兩絲止一兩綫一兩六錢綿止一兩問各若干曰絲重一百八十兩價二兩二錢四分〈得綫價二之一〉綿重一百二十兩價二兩八錢〈得綫價十六之十〉綫重六十兩價四兩四錢八分術並各裒絲三綿二綫一得六為首率總重為次率各裒為各三率求出各重絲一百八十以二兩〈綫二兩也〉除得九十綿一百二十以一兩六錢〈綫一兩六錢也〉除得七十五以並綫六十共二百二十五為法除總銀得綫價以一六除綫價得綿價以二除綫價得絲價
　　式六銀二千九百二十八兩買綾一百五十疋羅三百疋絹四百五十疋綾疋價多羅疋價四錢七分羅疋價多絹疋價一兩三錢五分問各疋價若干曰綾每疋四兩三錢二分羅每疋三兩八錢五分絹每疋二兩五錢術以多絹價一兩三錢五分乗羅疋得四百○五兩以兩多價共一兩八錢二分乗綾疋得二百七十三兩並兩乗數得六百七十八兩以減總銀餘二千二百五十兩為實並三色共九百疋為法除實得二兩五錢為絹每疋價加多一兩三錢五分得羅每疋價又加多四錢七分得綾每疋價又術以多羅價四錢七分乗羅疋得一百四十一兩以兩多價共一兩八錢二分乗絹疋得八百一十九兩相併得九百六十兩加入總銀得三千八百八十八兩為實以三色並得九百疋為法除實得綾疋價依裒減之亦合
　　通曰此又名匿價差分法
　　式七銀一萬○七百七十八兩六錢○五釐糴米麥荳三色均平其每石價米二兩三錢五分麥一兩九錢五分荳一兩四錢五分問各若干曰三色共一千八百七十四石五斗四升米共價四千四百○五兩一錢六分九釐麥共價三千六百五十五兩三錢五分三釐荳共價二千七百一十八兩○八分三釐術以總銀為實並三色每石價共五兩七錢五分為法除實得各石數各以每石價乗得各共價
　　帶分母子差分法
　　式四人共分金七百八十五兩乙得甲十之七丙得乙十四之三丁得丙十二之九問各若干曰甲四百兩乙二百八十兩丙六十兩丁四十五兩術先並各子乗各母從小並起除丁九無並其丙裒十二又係三則以十二並三依約法三四一十二且作四以乗乙之十四得五十六為乙裒乙係五十六又係七則以五十六並七依約法七八五十六且作八以乗甲之十得八十為甲裒乃並丁九丙十二乙五十六甲八共一百五十七為首率總銀為次率以各裒為各三率
　　式二三人共錢三千○四十二文甲得二之一乙得三之一丙得四之一問各若干曰甲一千四百○四乙九百三十六丙七百○二術先並母㝷其通四分三分二分之一者為主依法二三乗得六又乗四得二十四約之得十二以甲乙丙分之其數皆通甲二之一用六為裒乙三之一用四為裒丙四之一用三為裒乃並三裒得十三為首率總錢為次率各裒為各三率
　　式三三縣派糧共一千四百○七石小縣二分之一中縣五分之三大縣十一分之八問各若干曰大縣五百六十中縣四百六十二小縣三百八十五術以各母相乗求通數二乗五得一十又乗十一得一百一十為通數小縣裒五十五中縣裒六十六大縣裒八十並三裒得二百○一為首率總糧為次率各裒為各三率　此與右式同術
　　式四四人共銀三百九十六兩甲得二分之一外加十兩乙得五分之三內欠二十兩丙得三分之一外加八兩丁得四分之一內欠六兩問各若干曰甲一百二十乙一百四十四丙八十丁六十術先於總銀內除去加數甲十丙八存三百七十八加入欠數乙二十丁六共四百○四兩乃依前法並母二乗五得一十又乗三得三十又乗四得一百二十約得六十為通數甲裒三十乙裒三十六丙裒二十丁裒十五並得一百○一為首率四百○四兩為次率各裒為各三率
　　式五兄弟三人季歳得伯四之三仲歳得伯六之五仲多季只八嵗問各嵗若干曰伯九十六仲八十季七十二術已知兩母為伯裒並其母四六相乗得二十四為伯裒之實乃用母子互乗以求仲季之裒〈四之三六之五〉以四乗五得二十為仲裒以六乗三得十八為季裒以仲季兩裒較二為首率仲多季八為次率伯裒二十四仲裒二十季裒十八為各三率
　　式六四人分錢不知數雲乙得甲六之五丙得甲四之三丁得甲二十四之一十七丁與丙差四文問各若干曰甲九十六文乙八十文丙七十二文丁六十八文術先並母四乗六得二十四又乗二十四得五百七十六為甲裒乃以乙母六除甲裒得九十六以乙子五乗得四百八十為乙裒以丙母四除甲裒得一百四十四以丙子三乗得四百三十二為丙裒以丁母二十四除甲裒得二十四以丁子一十七乗得四百○八為丁裒以丙丁二裒之較二十四為首率丙丁差四為次率各裒為各三率　此與右式同術但彼三位此四位也通曰右二式用後借裒互徴法亦可
　　式七七人分錢甲乙共七十七文戊己庚共七十五文問丙丁及諸人各若干曰甲四十乙三十七丙三十四丁三十一戊二十八己二十五庚二十二術先令母子互乗甲乙二人為母七十七為子戊己庚三人為母七十五為子〈二人三人〉□〈七十七七十五〉以二乗七十五得一百五十以三乗七十七得二百三十一相減餘八十一為一差之實並兩母二三得五折半得二人半以減總七人餘四人半以兩母相乗得六乗四人半得二十七為一差之法以法除實得三文為一差之數乃知自甲而下遞減三文也以三加甲乙和得八十折半得甲數遞減三得各數
　　式八大小船數相等共載鹽四千三百五十引大船每三隻鹽五百小船每四隻鹽三百問船鹽各共若干曰大小船俱十八隻大船共鹽三千小船共鹽一千三百五十術先令子母互乗〈大三小四〉□〈五百三百〉以三乗三百得九百以四乗五百得二十並得二千九百為首率兩母相乗得十二為次率總鹽為三率求出各船十八再以兩母三四為各首率兩子五百三百為各次率以船數十八為三率求得各鹽數
　　式九鰲燈一座大小燈毬大每三盞油四兩小每四盞油三兩其小燈多大燈二之一共用油十八斤七兩問大小燈及用油各若干曰大燈一百二十盞用油十斤小燈一百八十盞用油八斤七兩術因有二之一立大母二小母三〈小多大二之一故作三〉通斤為兩〈用粟布法〉以十八斤七兩通作二百九十五兩又通兩為銖每兩二十四銖通作七千○八十銖先求大小每盞油數以三盞四盞為各首率以二十四銖為次率以四兩三兩為各三率求得大每盞用油三十二銖小每盞用油十八銖再求大小盞數以母二乗三十二得六十四以母三乗十八得五十四並得一百一十八為首率以總油七千○八十銖為次率以母二母三為各三率求得各盞數以各每盞銖數乗得大共用三千八百四十銖小共用三千二百四十銖各歸整得油數
　　貴賤相和差分法
　　式甲乙物共一百斤共價八錢七分五釐甲二斤價四分乙七斤價五分問各若干曰甲一十二斤半共價二錢五分乙八十七斤半共價六錢二分五釐術立長短
　　法上中下
　　三互求之
　　以甲價四分乗乙七斤得二錢八分以甲二斤乗乙價五分得一錢相減餘一錢八分為長法以乙七斤乗總價得六兩一錢二分五釐以乙價五分乗總一百斤得五兩相減餘一兩一錢二分五釐為實以長法除實得六分二釐五毫為短法以甲二斤乗短法得十二斤半為甲數以甲價四分乗短法得二錢五分為甲價減總得乙又術以甲二斤乗總價得一兩七錢五分以甲價四分乗總一百斤得四兩相減餘二兩二錢五分為實仍用前長法除之得一錢二分五釐為短法以乙七斤乗之得八十七斤半為乙數以乙價五分乗短法得六錢二分五釐為乙價減總得甲
　　通曰合率諸式凡有差皆遞加之差也苟非遞加則須用盈朒法矣

















　　數度衍卷十七
<子部,天文算法類,算書之屬,數度衍>