數度衍 (四庫全書本)/卷18

數度衍　卷十八

　　欽定四庫全書
　　數度衍卷十八
　　桐城　方中通　撰
　　和較三率〈差分之六〉
　　和較三率差分法
　　凡數分合不離三率而互和難測則立較以測之立中率以較之而又互置較位以求之
　　式上酒每斗價二錢中酒每斗價一錢二分今雜和二酒每斗價一錢五分內各酒若干曰八分斗之三為上酒〈三升七合五勺〉八分斗之五為中酒〈六升二合五勺〉術先立三率之程立和價一錢五分為一十五列上列上中二價為二
　　十為十二於右以
　　上價二十與立十
　　五較得五列左與中價並以中價十二與立十五較得三列左與上價並此互對也乃並兩較三五得八列左下以並較為首率以一斗為次率以中較為上酒之三率上較為中酒之三率
　　式二甲金一兩凖銀十五兩乙金一兩準銀十二兩今
　　鎔為一處使金一
　　兩準銀十四兩其
　　甲乙金各若干曰甲該三分兩之二乙該三分兩之一術立和金凖銀於上如法較之以並較為首率一兩為次率乙較為甲之三率甲較為乙之三率
　　式三玉率方寸重七兩石率方寸重六兩今有璞方三寸重一百七十六兩問玉石各若干曰玉九十八兩石
　　七十八兩術
　　立重數於上
　　以璞方三寸自乗再乗得立方二十七寸以通玉石以玉率七乗二十七得一百八十九兩以石率六乗二十七得一百六十二兩二數列右並較為首率立方二十七寸為次率石較為玉之三率玉較為石之三率求得玉一十四以七乗得玉數求得石一十三以六乗得石數
　　式四銀裹金方四寸共重九百○四兩每銀方寸重十
　　二兩金方
　　寸重十六
　　兩問各若干曰金五百四十四兩銀三百六十兩術立共重於上以四寸自乗再乗得立方六十四寸以通金銀以銀十二乗立方得七百六十八以金十六乗立方得一千○二十四列如前以並較為首率立方為次率以兩較互為各三率求得金三十四寸銀三十寸各以方寸重乗之得各數　此與右式同
　　式五椒一斤價四錢丁香一斤價三錢桂皮一斤價六錢阿魏一斤價一兩縮砂一斤價八錢今以銀七錢買上五色共一斤問各色若干曰椒十三分斤之一丁十三分斤之三桂十三分斤之一魏十三分斤之四砂十三分斤之四術立七錢於上此係多位者先定互對有
　　對者尋對
　　而互列之
　　如椒砂互丁魏互是也若桂則無對須借砂作對而互又列其桂較之一於砂左砂傍凡兩數矣凡相對互位者務取一大於立數一小於立數如砂數大對椒數小也以較積為首率一斤為次率各傍列較數為各三率砂傍之椒三桂一併四為砂之三率也
　　又術取一大一小雜互更位如椒砂互椒魏又互丁砂
　　互桂砂又互
　　丁魏互桂魏
　　又互凡六互
　　得較積二十八以為首率一斤為次率各傍列較為各三率椒傍〈一三〉並四丁傍〈一三〉並四桂傍〈一三〉並四魏傍〈三四一〉並八砂傍〈三四一〉並八求出四率即各數


　　又術隨意易位亦以大數互小數砂傍丁四桂一併五


　　四率〈十三分　十三分　十三分　十三分　十三分斤之三　斤之一　斤之一　斤之三　斤之五〉通曰後二術求出之數與前不同不可為凖姑存其法耳式六緑縀每丈價四兩青緞每丈價六兩紅緞每丈價十兩今有銀四百八十兩買緞八十丈問各若干曰緑三十二丈青三十二丈紅一十六丈術先以八十丈除四百八十兩得每丈六兩為立價依法列之緑與紅互
　　青又與紅互以較積為
　　首率總丈為次率各傍
　　列較為各三率紅傍之緑二青○止作二
　　通曰青價六與立六等故青較作○而紅傍之較數無並仍作二也凡價與立等者皆作○若價皆大於立皆小於立皆等於立則不可較矣
　　式七酒四等甲酒每瓶二錢一分乙酒每瓶二錢七分丙酒三錢丁酒四錢今有酒共三百瓶每瓶立價三錢三分問各若干曰甲酒五十瓶乙酒五十瓶丙酒五十瓶丁酒一百五十瓶術以三錢三分作三十三為立數
　　其四
　　色惟
　　丁四
　　十〈四錢〉大於立其甲二十一〈二錢一分〉乙二十七〈二錢七分〉丙三十〈三錢〉皆小於立則此三小數皆與丁相互矣依法列之丁傍之甲十二乙六丙三並為二十一以較積為首率總瓶為次率各較為各三率
　　式八銀四百兩買藥四百斤內丁香每斤價六錢椒每斤價七錢桂九錢蘇合一兩一錢辰砂一兩二錢阿魏一兩六錢問各若干曰丁八十七斤又二之一椒一百斤桂二十五斤合五十斤砂五十斤魏八十七斤又二
　　之一術
　　先以四
　　百斤除四百兩每斤得一兩作一十為立數列之丁魏互丁合互椒砂互椒魏互桂砂互首率較積次率總藥三率　七〈丁〉　八〈椒〉　二〈桂〉　四〈合〉　四〈砂〉　七〈魏〉又術以丁互合又互砂又互魏以椒互合又互砂又互魏以桂互合又互砂又互魏以上三位徧互下三位也




　　又術以丁互合椒互砂桂互魏

　　又術以丁互魏椒互砂桂互合


　　又術以丁互砂椒互合桂互魏


　　式九金鑄一器重三百兩俱九六成色今有九九成色及九一成色二等金約每用若干曰九九成色金用一百八十七兩五錢九一成色金用一百一十二兩五錢
　　術立九六為中價
　　依法互之並較為
　　首率共重為次率各較為各三率
　　式十米麥共五百石共價四百○五兩七錢米每石價八錢六分麥每石價七錢二分五釐問各若干曰米三百二十石共價二百七十五兩二錢麥一百八十石共價一百三十兩○五錢術立共價以米麥每石各價各
　　乗五百石
　　米得四百
　　三十兩麥得三百六十二兩五錢依法互之以並較為首率總石為次率各較為各三率求得米麥各數各以每石價乗之得各共價
　　式十一銀二十八兩二錢買銅錫鐵共重三百斤其價銅一斤銀一錢五分錫一斤銀九分鐵一斤銀四分問各若干曰銅九十六斤又七之三錫九十六斤又七之


　　斤又七之一術以共重除總銀得九分四釐作九十四為立數互之以並較為首率共重為次率各較為各三率
　　式十二銀九十三兩買綾羅紗絹共一百六十疋每疋價綾九銀羅七錢紗五錢絹三錢問各若干曰三十六疋又四之一為綾與羅同數四十三疋又四之三為紗與絹同數術先以總疋除總銀得五錢八分一釐二毫五絲作五萬八千一百二十五為立數他皆以錢作萬列之羅絹互羅紗又互綾紗互綾絹又互並較為首率總疋為次率各較為各三率



　　通曰右二式以貴賤差分法推之亦可
　　通曰中率者兩差之中較也三四五六及多差之中較也得乎中率而以多較少以少較多故又須互用而數始出非互則無所用較矣
　　借裒互徴〈差分之七　按同文算指裒作衰〉
　　借裒互徴差分法
　　數有隠伏非裒分可得者則別借虛數以類徴之或合率增減或母子射覆借彼徴此借虛徴實亦三率法而觸類長之也
　　式三人共買一宅用價二千七百兩其出數乙視甲加倍丙視甲乙共數又加倍問各若干曰甲三百乙六百丙一千八百術隨意立一數為甲裒但用小數而以乙丙照裒加之如甲裒作一則乙必二丙必六也如甲裒作六則乙必十二丙必三十六也今以甲裒作六乙裒十二丙裒三十六並得五十四為首率各裒為各次率總價為三率如用甲次裒求得甲數倍之得乙數並甲乙數又倍之得丙數
　　通曰此即加倍法也三率法中二三兩率本可相換故此以各較為次率總價為三率也
　　式二貯絹不知數但云其三之一其四之一其五之一併得四千七百疋其實若干曰六千疋術㝷一通數而測之如用六十以通各分三之一為二十四之一為十五五之一為十二並三數得四十七為首率以通數六十為次率四千七百為三率
　　式三廐馬不知數但云加一倍又加二之一又加三之一又加四之一又加一共得一百一十二匹其實若干曰三十六匹術先於共匹內減末加之一只以一百一十一匹算之用通數十二加一倍得二十四又加二之一得六加三之一得四加四之一得三共加得三十七為首率以通數為次率以一百一十一為三率求出四率三十六外加前裒合一百一十二
　　式四牧羊不知數但云加一倍又加二之一又加四之一外加一共得一百其實若干曰三十六術於一百內去一隻作九十九用通數十二依裒加得三十三為首率通數為次率九十九為三率求出三十六如前裒加之合一百　此與右式同
　　式五銀五千兩買甲乙丙三宅乙比甲多三倍丙又比乙多四倍問各價若干曰甲宅二百乙宅八百丙宅四千術隨意立一通數如立甲裒三十乙裒為一百二十丙裒為六百並得七百五十為首率以甲裒三十為次率以五千為三率求出二百如前加得八百又加得四千　此與一式同
　　式六入園摘瓜摘過三分之二又五分之一尚剰三十六問此園原瓜若干曰二百七十術先立通數如借三百為通數內減三之二去二百又減五之一去六十存四十為首率以通數為次率以尚剰三十六為三率須察借立通數內減去兩次尚剰之數或等或多於三十六方可若少於三十六則不可用也又須知三之二五之一併之未滿原數方可推測若三之一五之三則浮於原數便為虛設不必算矣
　　式七二分之一三分之一四分之一五分之一六分之一共並得五百二十二其原數若干曰三百六十術借六十為通數依裒剖之二之一為三十三之一為二十四之一為十五五之一為十二六之一為一十並得八十七為首率以六十為次率以五百二十二為三率求出三百六十為原數二之一乃一百八十三之一乃一百二十四之一乃九十五之一乃七十二六之一乃六十並之合五百二十二之數
　　式八倉粟不知數但云外加二之一又三之一又四之一又加一百石便成三百石問原粟若干曰九十六石術先於三百內減去一百存二百石乃借二十四為通數外加二之一得十二又加三之一得八又加四之一得六並得五十為首率以通數為次率以二百為三率求出四率九十六外加前裒合三百
　　通曰此與三式相同但彼四率在一百一十二之外故不並通數而止並加數為首率此四率在三百之內故連並通數及加數為首率也
　　式九大小水碓五副共舂米五十石每舂一時甲七斗乙五斗丙四斗丁三斗戊一斗今五碓齊舂須幾時可完各舂若干曰二十五時甲十七石五斗乙十二石五斗丙十石丁七石五斗戊二石五斗術隨意立一時數如借四時以計各碓所舂甲七乗四得二石八斗乙五乗四得二石丙四乗四得一石六斗丁三乗四得一石二斗戊一乗四得四斗並得八石為首率四時為次率五十石為三乗求出二十五時各以每時斗數乗之得各舂數
　　式十為商三次俱獲倍息每次歸還三百兩三次母子盡問原貸若干曰二百六十二兩五錢術借一數為母加三次倍息初一次二次四共七並母一得八為首率內減母一餘七為次率三百兩為三率又術以三百兩折半得一百五十兩又加三百得四百五十兩又折半得二百二十五兩又加三百得五百二十五兩又折半即得
　　通曰子母差和求法有此式然用借裒為正法也式十一商販四次俱獲倍息每次費九十六兩四次子母俱盡問原母若干曰九十兩術借一數為母加四次倍息曰一曰二曰四曰八並得十五再並母一得十六為首率十五為次率九十六為三率
　　式十二為商初次所獲比母銀多三之二以併入母銀再徃獲五之四三次徃又獲四之三計所獲並母銀共四百兩問原母若干曰六兩又三分兩之二術亦借數遞乗各母以推之如借一十為通數乗三得三十以三十乗五得一百五十以一百五十乗四得六百為首率以通數為次率以四百為三率求出六兩又三分兩之二以三乗之得二十又以五乗二十得一百又以四乗一百得四百兩合數
　　式十三㩦酒郊遊三次俱飲酒一斗九升每飲添酒輒倍餘酒至三次酒盡問原㩦若干曰一斗六升六合二勺五抄術借一數為原酒加三次倍率曰一曰二曰四並得八為首率減原借一存七為次率以一斗九升為三率又術並三次倍率一二四為七以乗一斗九升得一石三斗三升減半三次即得
　　式十四載米賑濟每次散米一千五百石亦每次糴增俱倍餘米五賑恰盡問原載米若干曰一千四百五十三石一斗二升五合術借一數為原米加五次倍率曰一曰二曰四曰八曰十六並得三十二為首率止並五次率得三十一為次率以一千五百為三率
　　通曰以次率乗三率得四萬六千五百石減半五次亦合
　　式十五立一虛數以乗四得數又乗三得數又乗六得數外加一十共八百前所立虛數若干曰一十又三十六之三十五術於八百內除去所加一十餘七百九十借一十為通數以乗各裒以一十乗四得四十又以四十乗三得一百二十又以一百二十乗六得七百二十為首乗以通數為次率以七百九十為三率求出一十又三十六之三十五以乗四得四十三又九之八以乗三得一百三十一又三之二以乗六得七百九十加一十合數
　　式十六老人不知年但云加二之一又減四之一得九十九嵗問實年若干曰八十八術借八十為通數依裒加減加二之一為四十並八十得一百二十又減四之一為三十於一百二十內減之餘九十為首率以通數為次率以九十九為三率
　　式十七逺望一塔上露出二丈四尺下遮不見雲尚有三分之一又五分之二其共高若干曰九十尺術借立三十為通數於三十內減去三之一餘二十又於三十內減去五之二為一十二乃於餘二十內減一十二餘八為首率通數為次率二十四尺為三率求出九十尺為塔高內減三之一為三十尺又減五之二為三十六尺餘二十四尺合上露之數
　　式十八旗竿一根其三之一是白色五之一是黑色九之二是青色外尚餘十二尺紅色其竿長若干曰四十九尺又十一分尺之一術借四十五為通數減三之一為十五減五之一為九減九之二為一十俱於通數內減去餘十一為首率通數為次率紅十二尺為三率求出四十九尺又十一分尺之一其白三之一乃十六尺又十一之四也黑五之一乃九尺又十一之九也青九之二乃十尺十一之十也
　　式十九白布三十疋青布四十疋共價六百六十兩其青布每疋比白布價多一倍問各疋價若干曰白價六兩青價十二兩術借四兩為白價倍得八兩為青價以四乗白布三十得一百二十以八乗青布四十得三百二十並得四百四十為首率通數四兩為次率共價為三率求出六兩為白疋價倍得十二兩為青疋價通曰以八兩為次率求出青疋價蓋二位之借裒皆通數也












　　數度衍巻十八