數度衍 (四庫全書本)/卷20

數度衍　卷二十

　　欽定四庫全書
　　數度衍卷二十
　　桐城　方中通　撰
　　借推盈朒〈盈朒之一〉
　　借虛徵實差分備矣更有子母雜互隱奧難知者則兩借虛數以徵之盈者有餘也朒者不足也
　　兩不足法
　　式設一數以其半為用內除三之一又除四之一尚餘三百其原總若干曰一千四百四十術先借二十四為通數列左上半為十二於內去三之一為四去四之一為三餘五以比三百不足二百九十五列左下又借九
　　十六為通數
　　列右上半為
　　四十八於內
　　去三之一為十六去四之一為十二餘二十以比三百不足二百八十列右下乃以左上乗右下得數註右右上乗左下得數註左兩不足相減餘為法兩乗得數相減餘為實以法除實得原總一千四百四十半為七百二十於內去三之一為二百四十去四之一為一百八十餘三百合問
　　式二設一數乗三外加一十又乗四外加二十又乗五外加三十又乘六外加四十共得六千七百其原數若
　　干曰十三術
　　先借二列左
　　上乗三得六
　　外加十得十
　　六又乗四得六十四外加二十得八十四又乗五得四百二十外加三十得四百五十又乗六得二千七百外加四十得二千七百四十以比六千七百不足三千九百六十列左下又借三列右上乗三得九加十得十九又乗四得七十六加二十得九十六又乗五得四百八十加三十得五百一十又乗六得三千○六十加四十得三千一百以比六千七百不足三千六百列右下左右上下互乗兩不足減餘為法兩乗數減餘為實以法除得一十三如例乗加合六千七百之數
　　式三二人分銀一百兩若均分則每人五十然須甲還所得三之一乙還所得五之一方得均分其不均之分各若干曰甲六十四兩又七分兩之二乙三十五兩又七分兩之五術先借三十兩為甲裒列左上借乙裒七
　　十附列於甲裒內
　　減三之一為一十
　　存二十於乙裒內
　　減五之一為十四而以乙減歸甲十四並二十為三十四以比五十不足十六列左下又借六十兩為甲裒列右上借乙裒四十附列於甲裒內減三之一為二十存四十於乙裒內減五之一為八而以乙減歸甲八並四十為四十八以比五十不足二列右下兩不足減餘為法兩乗數減餘為實以法除得甲數於一百內減甲數餘乙數
　　通曰乙減歸甲故與甲裒乗也若甲減歸乙則與乙裒乗而先求得乙數矣
　　式四設一數以其二之一加三之一又加四之一再加二十二共得一百其數若干曰七十二術借十二列左上而以二之一曰六三之一曰四四之一曰三並得十
　　三加二十
　　二得三十
　　五以比一
　　百不足六十五列左下又借六十列右上而以二之一曰三十三之一曰二十四之一曰十五並得六十五加二十二得八十七以比一百不足十三列右下兩不足減餘為法兩乗數減餘為實以法除得七十二以其二之一曰三十六加三之一曰二十四四之一曰十八再加二十二合一百
　　式五二商母銀不知數雲取乙十二兩與甲則乙有甲六之一取甲十五兩與乙則甲有乙十之一其母各若干曰乙母十七兩又五十九之二甲母十八兩又五十九之十二術從乙起算先借二十為乙裒列左上內減十二餘八以當甲六之一用六因求甲得四十八內減還乙十二存三十六為甲裒又於甲裒內捐十五與乙甲剩二十一乙裒二十並十五得三十五以甲剩數較乙加數是十之一否甲二十一則乙當二百一十今乙只三十五是不足一百七十五也列左下另借一百為
　　乙裒列右上
　　內減十二餘
　　八十八以當
　　甲六之一用
　　六因求甲得五百二十八內減還乙十二存五百一十六為甲裒又於甲裒內捐十五與乙甲剩五百○一乙裒一百並十五得一百一十五以乙較甲是十之一否甲五百○一則乙當五千○一十今乙只一百一十五是不足四千八百九十五也列右下兩不足減餘為法兩乗數減餘為實以法除得乙母內捐十二與甲餘五兩又五十九之二六乘得三十兩又五十九之十二內減還十二存甲母內捐十五與乙加乙母得三十二兩又五十九之二甲剩三兩又五十九之十二乃乙十之一也
　　式六甲乙丙三人共博甲贏乙二之一乙贏丙三之一丙又贏甲四之一各剰銀七百兩其各母若干曰甲母四百乙母八百丙母九百術先借一百為甲裒列左上內捐與丙四之一曰二十五存七十五而總有七百是
　　所贏乙二之一
　　為六百二十五
　　〈七百內去七十五〉而乙
　　裒當為一千二
　　百五十矣〈兩其六百〉
　　〈二十五〉附列內捐二之一剰六百二十五又贏丙三之一共得七百是所贏丙為七十五〈七百內去六百二十五〉而丙裒當為二百二十五矣〈三其七十五〉又附列內捐與乙三之一剩一百五十加入得甲四之一曰二十五共一百七十五以比七百不足五百二十五列左下另借二百為甲裒列右上內捐與丙四之一曰五十存一百五十而總有七百是所贏乙二之一為五百五十〈七百內去一百五十〉而乙裒當為一千一百矣〈兩其五百五十〉附列內捐二之一剩五百五十又贏丙三之一共得七百是所贏丙為一百五十〈七百內去五百五十〉而丙裒當為四百五十矣〈三其一百五十〉又附列內捐與乙三之一存三百加入得甲四之一曰五十共三百五十以比七百不足三百五十列右下兩不足減餘為法兩乗數減餘為實以法除得四百為甲母內減四之一存三百加乙二之一為七百是所加四百因知乙母八百也以乙母減二之一存四百加丙三之一為七百是所加三百因知丙母九百也以丙母減三之一存六百加甲四之一為七百
　　通曰不足數與乙裒乗求得乙母與丙裒乗求得丙母式七甲乙丙三商共販得子銀四百兩其分數乙比甲多十二兩丙比乙多十六兩問各若干曰甲一百二十乙一百三十二丙一百四十八術先借一兩為甲裒列左上乙該十三丙該二十九共四十三比四百不足三
　　百五十七列左下又
　　借二兩為甲裒列右
　　上乙該十四丙該三
　　十共四十六比四百不足三百五十四列右下依法求得甲數加多得乙丙數
　　式八綾七尺羅九尺兩共價等其每尺價羅少三十六文其各尺價若干曰綾每尺一百六十二文共一千一百三十四文羅每尺一百二十六文共與綾等術先借七十二為綾價列左上羅價當為三十六列次各以尺




　　數乗之綾得五百○四羅得三百二十四以羅視綾不足一百八十列左下又借一百為綾價列右上羅當為六十四列次各以尺數乗之綾得七百羅得五百七十六以羅視綾不足一百二十四列右下兩不足減餘為法以不足數乗綾裒得綾實以法除得綾每尺價乗羅裒得羅實以法除得羅每尺價各以尺數乗得各共價式九雞同籠不知數雲九十六頭三百○八足問各若




　　干曰雞三十八兔五十八術以九十六頭爲主先借雞四十八列右上該四十八〈九十六內去四十八存四十八〉列次雞二足乗得九十六足免四足乗得一百九十二足並得二百八十八足比三百○八不足二十列右下又借雞六十列左上該三十六〈九十六內去六十存三十六〉列次雞為一百二十足為一百四十四足並得二百六十四比三百○八不足四十四列左下兩不足減餘為法以下互乗上裒減餘為雞實以法除得雞數以下互乗次裒減餘為免實以法除得數又各乗得足數合三百○八又術倍九十六頭為一百九十二以減總足餘一百一十六以二除得五十八為數用四足乘得二百三十二足以減總足餘七十六以二除得三十八為雞數〈琇曰雞足半共足減共頭餘足分共足減共頭倍餘為雞〉
　　兩盈法
　　式設一數以其半為用內除三之一又除四之一尚餘
　　三百其原總幾何曰
　　一千四百四十術先
　　借四千八百為通數
　　列左上半為二千四百三之一為八百四之一為六百皆於通數內減之餘一千以比三百盈七百列左下又借二千四百為通數列右上半為一千二百三之一為四百四之一為三百皆於右通數內減之餘五百以比三百盈二百列右下兩盈相減餘為法左右上下互乗得數相減餘為實以法除實得原總
　　通曰與前一式同但彼於半通數內減各分此於通數內並半數而減之兩法皆可用也
　　式二三人共分銀四十四兩乙多甲一倍外又多四兩丙兼甲乙之數外又多六兩問各若干曰甲五兩乙十四兩丙二十五兩術先借甲一十列左上乙倍得二十
　　加四共二十四丙兼
　　甲乙又加六共四十
　　並三數得七十四比
　　四十四盈三十列左下又借甲六列右上乙倍得十二加四共十六丙兼甲乙又加六共二十八並三數得五十比四十四盈六列右下兩盈減餘為法兩乗數減餘為實以法除得甲五兩倍為十加四共十四兩為乙數兼甲乙得十九又加六共二十五兩為丙數如左圖用各裒乗便求得各數也



　　又術通曰乙多四丙兼甲乙而多六則必兼多乙之四矣並三多為十四於總銀內減之餘三十為實乙多甲一倍是甲一停乙二停也丙兼甲乙是甲乙共三停丙亦三停也三人共六停為法除實得五兩為甲一停之數亦合
　　式三以一千剖為二甲多於乙四十九兩問各幾何曰甲五百二十四兩五錢乙四百七十五兩五錢術先借
　　六百為甲裒
　　列左上乙四
　　百附列較差
　　二百比四十
　　九盈一百五十一列左下另借五百五十為甲裒列右上乙四百五十附列較差一百比四十九盈五十一列

　　右下兩盈減餘為法兩乗數減餘為實以法除得甲數減總得乙數又術通曰以一千剖為二得五百以四十九剖為二得二十四兩五錢五百外加二十四兩五錢為甲數五百內減二十四兩五錢為乙數又術通曰於一千內減去四十九餘九百五十一剖為二得四百七十五兩五錢為乙數減總得甲
　　式四罏二座葢重一百五十斤以葢加甲鑪則多乙二倍以葢加乙罏則與甲等問各幾何曰甲三百斤乙一百五十斤術先借三十為甲裒列左上葢附列共一百
　　八十又附列以
　　三之一為乙裒
　　得六十加葢共
　　二百一十比甲
　　裒盈一百八十列左下又借九十為甲裒列右上葢附列共二百四十又附列以三之一為乙裒得八十加葢共二百三十比甲裒盈一百四十列右下兩盈減餘為法兩乗數減餘為實以法除得甲鑪加葢得四百五十斤其三之一得一百五十斤為乙鑪
　　式五二人銀不知數減乙六兩與甲則甲多乙一倍減甲三兩與乙則正等問各幾何曰甲三十兩乙二十四
　　兩術從乙起算先借十
　　五為乙裒列左上內減
　　六存九以當甲之半則
　　甲該十八內減所加六得十二為甲裒內取三與乙則甲剰九以較乙裒十五加三之十八而乙盈九列左下另借二十為乙裒列右上內減六存十四倍得二十八為甲內減所加六得二十二為甲裒內取三與乙則甲剰十九以較乙裒二十加三之二十三而乙盈四列右下兩盈減餘為法兩乗數減餘為實以法除得乙二十四減六存十八倍得三十六減六得甲三十內減三與乙則與乙二十四加三正等
　　式六漏壺注水有三孔甲孔流水二時而盡乙孔流水三時而盡丙孔流水六時方盡若三孔俱開則幾時水
　　盡曰一時術借四時列左
　　上以四時推甲當盡二壺
　　乙當盡一壺又三分壺之
　　一丙當盡三分壺之二並之四時共盡四壺比原問一壺盈三列左下另借十時列右上推甲當盡五壺乙當盡三壺又三分壺之一丙當盡一壺又三分壺之二並之十時共盡十壺比原問一壺盈九列右下兩盈減餘為法兩乗數減餘為實以法除得一時甲盡半壺乙盡三分壺之一丙盡六分壺之一正合一壺之數
　　通曰左裒推得四時盡四壺亦已明矣用合率差分法亦可
　　式七黃金百斤製鑪不用銷毀欲知匠和銀若干曰和銀十六斤又三分斤之二術以三器貯水等重一投金鑪溢水六十五斤一投純金百斤溢水六十斤一投純
　　銀百斤溢水九十斤如
　　法求之先借四十為和
　　銀數列左上存金六十
　　附列以溢水裒推之存金六十斤該溢水三十六斤和銀四十斤該溢水三十六斤共溢水七十二斤以比六十五斤盈七列左下另借三十為和銀數存金七十附列以溢水裒推之存金七十斤該溢水四十二斤和銀三十斤該溢水二十七斤共溢水六十九斤以比六十五斤盈四列右下兩盈減餘為法兩乗數減餘為實以法除得十六斤又三分斤之二為和銀數推得溢水十五斤金只八十三斤又三分斤之一推得溢水五十斤共合投鑪溢水六十五斤之數
　　式八調南北西三處兵南兵四萬北兵為南及西二分之一西兵為南及北三分之一問北西各幾何曰北三萬二千西二萬四千術先借三萬為北裒列左上推得南西共六萬去南四萬西僅二萬附列西為南北三之
　　一則南北當為六
　　萬今得七萬是盈
　　一萬也列左下又
　　借二萬四千為北
　　裒列右上推得南
　　西共四萬八千去
　　南四萬西僅八千附列西為南北三之一則南北當為二萬四千今得六萬四千是盈四萬也列右下兩盈減餘為法兩乗數減餘為實以法除得北兵推知西兵二萬四千
　　式九金九錠銀十一錠等重互換一錠則金輕十三兩問各若干曰金一錠重三十五兩七錢五分銀一錠重二十




　　九兩二錢五分金九錠共重三百二十一兩七錢五分銀十一錠共重正等術金輕十三兩則金銀較為六兩五錢先借十三兩為金裒列右上銀該六兩五錢〈去較數〉列次金九錠乗十三得一百一十七兩銀十一錠乗六五得七十一兩五錢以金比銀盈四十五兩五錢列右下又借二十四兩為金裒列左上銀該十七兩五錢〈去較數〉列次金九錠乗二十四得二百一十六兩銀十一錠乗十七五得一百九十二兩五錢以金比銀盈二十三兩五錢列左下兩盈減餘為法上與下互乗減餘為金實以法除得金一錠數次與下互乗減餘為銀實以法除得銀

　　一錠數各以錠數乗得共重正等又術以較六兩五錢乗金九錠得五十八兩五錢為實以金九錠銀十一錠相減餘二為法除得銀一錠數又以較乗銀十一錠得七十一兩五錢為實以法二除得金一錠數
　　通曰又術即合率差分法也
　　一盈一不足法
　　式物價九十六兩三人共買甲出不知數乙於甲內少二兩丙於甲乙二人外多四兩問各若干曰甲二十四兩乙二十二兩丙五十兩術先借二十為甲數列左上
　　乙當十八丙當四十二
　　並得八十較原價不足
　　十六列左下又借三十
　　為甲數列右上乙當二十八丙當六十二並得一百二十較原價盈二十四列右下盈不足並得四十為法左右上下互乗並得九百六十為實以法除得甲數推知乙丙
　　式二物價二千七百兩三人共買甲出不知數乙倍甲丙倍甲乙問各若干曰甲三百兩乙六百兩丙一千八
　　百兩術先借二百為甲
　　數列左上乙四百丙一
　　千二百並得一千八百
　　較原價不足九百列左下又借四百為甲數列右上乙八百丙二千四百並得三千六百較原價盈九百列右下盈不足並為法互乗並為實以法除得甲數推知乙丙又術通曰只擬甲出十兩為率甲十乙二十丙六十並得九十為法以甲十兩乗原價得二萬七千為實以法除得甲數
　　式三設一數以其半為用內除三之一又除四之一尚餘三百其原數幾何曰一千四百四十術先借二千四
　　百列左上半為一千二
　　百內三之一去四百四
　　之一去三百餘五百比
　　三百盈二百列左下又
　　借九十六列右上半為四十八內三之一去十六四之一去十二餘二十比三百不足二百八十列右下盈不足並為法互乗並為實以法除得原數
　　式四甲乙不知數取乙九與甲則甲倍乙取甲九與乙則甲乙等問各若干曰甲六十三乙四十五術先借一
　　百為等
　　數乙得
　　甲九則
　　甲原是
　　一百○
　　九列左上乙為九十一列次甲若取乙九則甲得一百一十八而乙餘八十二比甲之半五十九〈甲係倍乙〉盈二十三列左下又借五十為等數乙得甲九則甲原是五十九列右上乙為四十一列次甲若取乙九則甲得六十八而乙餘三十二比甲之半三十四不足二列右下盈不足並為法上乗並為甲實次乗並為乙實以法各除得各數
　　式五攜酒遊山四處每沽増一倍俱飲六升恰盡問原攜若干曰五升六合二勺五抄術先借五升四合列右上倍得一斗○八合減六升餘四升八合又倍得九升六合減六升餘三升六合又倍得七升二合減六升餘
　　一升二合又倍得
　　二升四合減六升
　　不足三升六合列
　　右下又借六升二合列左上倍得一斗二升四合減六升餘六升四合又倍得一斗二升八合減六升餘六升八合又倍得一斗三升六合減六升餘七升六合又倍得一斗五升二合減六升盈九升二合列左下盈不足並為法互乗並為實以法除得原攜酒數四次倍減適盡
　　式六貸糓不知數每年加息一倍又還糓五十石至三年本息俱完問原貸若干曰四十三石七斗五升術先
　　借四十三列左上倍
　　得八十六減五十餘
　　三十六又倍得七十
　　二減五十餘二十二又倍得四十四比五十不足六列左下另借四十四列右上倍得八十八減五十餘三十八又倍得七十六減五十餘二十六又倍得五十二比五十盈二列右下盈不足並為法互乗並為實以法除得原糓
　　式七逐百隻每三人得四隻該幾人曰七十五人術先借七十二列左上四乗三除得九十六不足四列左下又借九十列右上四乗三除得一百二十盈二十列
　　右下盈不足並為法
　　互乗並為實以法除
　　得人數又術通曰用
　　三纍法〈見九章外法〉以四隻為一率三人為二率百隻為三率求之亦可
　　式八三人共數六十乙倍甲外加四丙兼甲乙外加六問各幾何曰甲七又三之二乙十九又三之一丙三十
　　三術先借六為
　　甲倍之加四乙
　　得十六兼甲乙
　　加六丙得二十八並得五十俱列左比六十不足一十列左下又借八為甲乙得二十丙得三十四並得六十二俱列右比六十盈二列右下盈不足並為法甲互乗並為實以法除得甲數推得乙丙
　　式九以三十數剖為二甲加六十乙加二十而甲為乙三倍其剖分各幾何曰甲二十二又二之一乙七又二
　　之一術先借二十為甲
　　列左上乙一十附列甲
　　加六十得八十乙加二
　　十得三十以甲比乙乙三十甲當九十今止八十是不足一十也列左下又借二十四為甲列右上乙六附列甲加得八十四乙加得二十六以甲比乙乙二十六甲當七十八今卻八十四是盈六也列右下盈不足並為法互乗並為實以法除得甲數三之一得乙又術通曰以三十剖為四分每分得七五甲得三分共二十二五乙得一分即七五
　　式十二人分銀百兩須甲捐三之一乙捐四之一平分捐數方各得五十兩其未均數各幾何曰甲五十二兩又十七分兩之十六乙四十七兩又十七分兩之一術
　　先借六十為甲列左
　　上乙四十附列減甲
　　三之一為二十存四
　　十減乙四之一為一十存三十和兩減之三十均得十五以甲得十五合減存四十得五十五比五十盈五列左下又借二十四為甲列右上乙七十六附列減甲三之一為八存十六減乙四之一為十九存五十七和兩減之二十七均得十三五以甲得十三五合減存十六得二十九五比五十不足二十○五列右下並盈不足為法並互乗為實以法除得甲數減總得乙
　　式十一二鑪一葢重百兩葢加甲鑪則三倍於乙葢加乙鑪則二倍於甲問各若干曰甲鑪八十兩乙鑪六十
　　兩術先借五十為甲列左
　　上加葢共一百五十附列
　　以三之一為乙五十加葢
　　得一百五十甲是五十乙
　　加葢只該一百今盈五十列左下又借一百一十為甲列右上加葢共二百一十附列以三之一為乙七十加葢得一百七十甲是一百一十乙加葢當二百二十今不足五十列右下並盈不足為法並互乗為實以法除得甲數推得乙
　　式十二甲匠做工三十日完加乙匠則十八日完若獨用乙匠須幾日曰四十五日術須知甲之十八日乃三
　　十日內五分之三
　　則知乙十八日為
　　五分之二先借四
　　十為乙列左上以十八日完五之二推之四十日當完九之八不足九之一列左下又借六十為乙列右上以十八日完五之二推之六十日當全完又盈九之三列右下並盈不足為法並互乗為實以法除得乙日〈用奇零法見前〉又術通曰既知十八日為乙五分之二則以十八折半得九用五乗之亦得乙日
　　式十三牛羊共百牽總價一百六十八兩每牛三頭銀十二兩羊四羫銀一兩五錢問各若干曰牛三十六價
　　一百四十
　　四兩羊六
　　十四價二
　　十四兩術
　　先以三歸
　　十二得牛一頭價四兩以四歸一兩五錢得羊一羫價三錢七分五釐而皆化為釐算之乃借六十為牛列左上羊四十列次以乗各價牛乘四千釐得二十四萬羊乘三百七十五釐得一萬五千並得二十五萬五千釐比總價盈八千七百釐列左下又借三十為牛列右上羊七十列次以乗各價牛得十二萬羊得二萬六千二百五十並得十四萬六千二百五十釐比總價不足二千一百七十五釐列右下並盈不足為法並上互乗為牛實次互乗為羊實以法除得各數
　　通曰盈本八萬七千不足本二萬一千七百五十今降一位列下也再降亦可葢升則法實俱升降則法實俱降也
　　疊求法
　　式甲乙丙三數甲加七十三則為乙丙數者二乙加七十三則為甲丙數者三丙加七十三則為甲乙數者四問各幾何曰甲七乙十七丙二十三術此因有三之二及四之三當借奇數求甲而又因乙丙之加牽連難析則疊用前法以徵之且如借一〈奇數〉為甲裒加七十三得七十四當為兼乙丙而倍之之數因折半三十七為乙丙數而乙數另須借推第一圖先借二為乙列左上乙
　　丙數三
　　十七內
　　減二餘
　　丙三十
　　五列次乃以二加七十三得七十五以較甲丙合數三十六〈甲一丙三十五〉三其合數該一百○八今只七十五是不足三十三也列左下又借五為乙列右上乙丙數三十七內減五餘丙三十二列次乃以五加七十三得七十八以較甲丙合數三十三〈甲一丙三十二〉三其合數該九十九今只七十八是不足二十一也列右下兩不足減餘為法兩互乗減餘為實以法除得一十又四之一為乙裒另列初借甲裒一列後第三圖左上乙裒列次乙丙共三十七內減乙得丙二十六又四之三列次再借三〈奇數〉為甲裒加七十三得七十六當為兼乙丙而倍之之數因折半三十八為乙丙數而乙數另須借推第二圖先借二為乙列左上乙丙數三十八內減二餘丙三十六七十四為兼乙丙而倍之之數〈乙丙共三十七〉乙裒一十又四之一加七十三得八十三又四之一當為兼甲丙共數者三今甲丙共二十七又四之三三其甲丙共數合八十三又四之一無差丙裒二十六又四之三加七十三得九十九又四之三當為兼甲乙共數者四今甲乙共一十一又四之一四其甲乙共數只該四十五今卻九十九又四之三是盈五十四又四之三也列左下右上甲裒三加七十三得七十六為兼乙丙而倍之之數〈乙丙共三十八〉乙裒一十二又二之一加七十三得八十五又二之一當為兼甲丙共數者三今甲丙共二十八又二之一三其甲丙共數合八十五又二之一無差丙裒二十五又二之一加七十三得九十八又二之一當為兼甲乙共數者四今甲乙共一十五又二之一四其甲乙共數只該六十二今卻九十八又二之一是盈三十六又二之一也列右下兩盈減餘為法甲乗減餘為甲實乙乗減餘為乙實丙乗減餘為丙實以法除得各數甲七加七十三得八十為兼乙丙共數四十者二乙十七加七十三得九十為兼甲丙共數三十者三丙二十三加七十三得九十六為兼甲乙共數二十四者四合問通曰本章諸式多與差分同兩法皆可求者則同也原帶盈朒〈盈朒之二〉
　　一盈一不足法
　　式買物每人出五兩盈六兩每人出三兩不足四兩人數物價各若干曰五人物價十九兩術左列五之六〈即五
　　兩盈六兩右列三之〉
　　四〈即三兩不足四兩〉兩
　　子並為人實母
　　子互乗並為物實兩母減餘為法以法除人實得人數以法除物實得物價再以五人乗五減六或以五人乗三加四皆同物價若用借裒先借四人列左上乗五得
　　二十減六存十四又以四
　　乗三得十二加四得十六
　　兩數相較不足二列左下
　　另借七人列右上乗五得三十五減六存二十九又以七乗三得二十一加四得二十五兩數相較盈四列右下並盈不足為法並互乗為實以法除得五人
　　式二分糓每人五石盈三十石每人六石不足四十石人糓各若干曰七十人糓三百八十石術五之三十列左六之四十列右兩子並為人實母子互乗並為糓實兩母減餘為法除人實得人數除糓實得糓數再以人
　　數乘五石加
　　盈三十或以
　　人數乗六石
　　減不足四十皆同糓數前式係出率故減盈増不足此式係入率故増盈減不足也若用借裒先借三十人列左上乗五得一百五十加三十共一百八十又以三十
　　乗六得一百八十減四
　　十存一百四十兩數相
　　較盈四十列左下另借
　　一百人列右上乗五得五百加三十共五百三十又以一百乗六得六百減四十存五百六十兩數相較不足三十列右下盈不足並為法互乗並為實以法除得人數
　　式三新絹作帳摺六幅長舊六寸摺七幅短舊四寸新絹舊帳幅各幾何曰絹長四丈二尺舊帳幅長六尺四寸術先以幅數乗盈不足以六列左上乗盈六寸得三
　　尺六寸列下以
　　七列右上乗不
　　足四寸得二尺
　　八寸列下兩子並為舊實母子互乗並為新實兩母減餘為法得舊帳幅長除新實得絹長
　　式四田一坵截半另佃截長六步不足七步截長八步盈九步所截步及原濶步各若干曰截積之步五十五原濶步八術左列六之七右列八之九並子為濶實並
　　母子互乗為截
　　實兩母減餘為
　　法各以法除得
　　數
　　兩盈法
　　式買物每人出三兩五錢盈六兩每人出三兩三錢盈二兩八錢人數物價各若干曰十六人物價五十兩術兩出率左右列兩盈各列其下兩子減餘為人實母子
　　互乗減餘為物
　　實兩母減餘為
　　法各以法除得
　　數
　　式二井不知深將繩摺作三股入井汲水餘繩四尺摺
　　作四股入井汲
　　水餘繩一尺井
　　深繩長各幾何
　　曰井深八尺繩長三丈六尺術左三股右四股列上以三乗四尺得十二為左子以四乗一尺得四為右子俱列下兩子減餘為井實母子互乗減餘為繩實兩母減餘為法各以法除得數
　　兩不足法
　　式買物每人出銀五兩不足四兩每人出銀五兩四錢不足二兩人數物價各若干曰五人物價二十九兩術
　　左列五十之
　　四十〈升兩為十〉右
　　列五十四之
　　二十兩子減餘為人實母子互乗減餘為物實兩母減餘為法各以法除得數
　　一適足一盈法
　　式買物每人出二兩五錢盈六兩每人出二兩三錢適足人數物價各若干曰三十人物價六十九兩術以二
　　十五列左上盈六十列
　　下以二十三列右上無
　　下數即以盈數為人實
　　左子乗右母為物實兩母減餘為法各以法除得數或不乗物實以人數乗適足之母亦得物價
　　式二以米換布換九疋適足換七疋米多四斗米數布
　　價各若干曰共米一石八斗每疋
　　值米二斗術左列九適足右列七
　　盈四以盈數為米實兩母減餘為
　　法除得二斗為每疋換米數乃以適足之母九乗之得共米
　　一適足一不足法
　　式買物每人出七兩不足十四兩每人出九兩適足人數物價各若干曰七人物價六十三兩術左列七不足
　　十四右列九適足
　　以不足為人實左
　　子乗右母為物實
　　兩母減餘為法各以法除得數或以人數乗適足之母亦得物價
　　疊數盈朒法
　　式買物每八人共出七兩盈四兩五錢每九人共出六兩不足三兩人數物價各若干曰三十六人物價二十七兩術分三層以八人列左上九人列右上兩上相乗



　　得七十二為通數共出七兩列左中共出六兩列右中上中互乗減餘為法盈四兩五錢列左下不足三兩列右下以下與兩乗數再互乗並為物實兩下並得七十五又乗通數為人實各以法除得數
　　通曰下層並之數皆以千降百也
　　式二買物每六人出九兩盈三兩每四人出七兩盈六兩人數物價各若干曰十二人物價十五兩術六人列左上四人列右上相乗得二十四為通數九兩列左中



　　七兩列右中上中互乗減餘為法盈三兩列左下盈六兩列右下以下與兩乗數再互乗減餘為物實兩下相減餘三又乗通數為人實各以法除得數　其疊數兩不足者倣此
　　式三買物每三人出五兩不足十兩五人出九兩適足人數物價各若干曰七十五人物價一百三十五兩術三



　　人列左上五人列右上乗得通數五兩列左中九兩列右中上中互乗減餘為法不足十兩列左下以左下乗右乗數為物實以左下乗通數為人實各以法除得數　其疊數之盈適足者倣此
　　母子盈朒法
　　式銀不知數買物用三分之二盈三兩用五分之三不足一兩銀數物價各若干曰總銀六十兩物價三十七


　　兩術上層左列五之三右列三之二母子互乗右得一十再乗不足一兩得一十左得九再乗盈三兩得二十七乃以右乗之一十列左中左乗之九列右中以右再乗之一十列左下左再乗之二十七列右下上層兩子乗得通數中層左右相減餘為法下層左右相併為物實中下互乗並數又以通數除之為銀實各以法除得數
　　式二銀不知數買物取六分之四盈二兩取四分之三盈三兩五錢銀數物價各若干曰總銀十八兩物價十兩術上層左列四之三右列六之四母子互乗右得十六再乗盈三兩五錢得五十六左得十八再乗盈二兩得三



　　十六乃以右乗之十六列左中左乗之十八列右中以右再乗之五十六列左下左再乗之三十六列右下上層兩子乗得通數中層左右減餘為法下層左右減餘為物實中下互乗減餘又以通數除之為銀實各以法除得數
　　式三派銀不言數但知甲乙二等戶乙戶所辦當甲戸十之八令甲八戶乙五戸納之不足五兩令甲六戸乙八戸納之不足三兩其派銀數及各戸則例若干曰甲一戸辦五兩乙一戸辦四兩派銀六十五兩術以甲裒一十〈乙當甲十之八故以一十為甲裒〉乗八戶得八十乙裒八乗五戶
　　得四十並得
　　一百二十列
　　左上又以甲
　　裒一十乗六戶得六十乙裒八乗八戶得六十四並得一百二十四列右上其不足五兩列左三兩列右兩母

　　減餘為法兩互乗減餘為銀實兩子減餘為則例實以法除銀實得派銀以法除則例實得五錢甲裒一十乗五錢得甲一戶數乙裒八乗五錢得乙一戸數
　　式四錢不知數買物取二分之一盈四文取七分之三適足錢數物價各若干曰錢五十六文物價二十四文
　　術七之
　　三列左
　　二之一
　　列右母子互乗左子乗得六另列右右子乗得七另列左而以六乗盈四得二十四列右下為物實又以二十四乗適足之母七得一百六十八為錢實兩另列之母減餘一為法除物實得物價原子相乗得三為法除錢實得錢數
　　式五糶麥不知數但云取三分之一糶銀八兩適足若取八分之三糶銀十兩不足二石總麥及每銀一兩糶麥若干曰總麥四十八石銀一兩糶二石術左列三之一右列八之三互乗之左得八再乗十兩得八十另列右右得九再乗八兩得七十二另列左乃以適足之銀


　　八乗不足之麥二得十六石列右下為銀實又以右下乗左上得一千一百五十二以原子相乗得三除之得三百八十四為麥實另列兩母減餘得八為法除麥實得總麥除銀實得麥二石乃價銀一兩之所糶也









　　數度衍卷二十
<子部,天文算法類,算書之屬,數度衍>